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A Integral de Haar construtiva segundovon Neumann
Francisca Andrea Macedo Franca
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Orientador: Antonio Roberto da Silva
Doutor
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2006
“... voce foi minha forca quando nada parecia dar certo
me deu fe quando so voce acreditava...
tudo o que sou hoje...
foi gracas a Deus e a voce. ”
A minha mae
1
Agradecimentos
Ao meu orientador Antonio Roberto da Silva, por sua excelente orientacao, pelos seus
conselhos e apoio a mim dispensados.
Ao professor Helvecio Rubens Crippa, pela confianca que sempre teve em mim desde
o comeco. Ao pessoal da secretaria da Pos-Graduacao em Matematica, pela acolhida e
paciencia.
Aos professores Suely Druck, Cecılia S. Fernandez, Cristina Cerri e Franciscus Josef
Vanhecke pelos conselhos e apoio.
Aos meus pais pelo incentivo para continuar em frente e ao meu irmao por ser quem
ele e.
Aos amigos Eulalia de Melo N. Oliveira, Marcelo Dantas, Vania Cristina Machado e
Gladson Otaviano Antunes por sempre me apoiarem e acreditarem em mim.
Aos amigos da graduacao e da Pos-Graduacao, pois todos em algum momento fizeram
parte desta “caminhada”.
Ao Andre pelo apoio, carinho e por estar sempre ao meu lado.
Francisca Andrea Macedo Franca
2
Resumo
Apresentamos nesta dissertacao uma versao mais detalhada da prova da existencia e
unicidade da integral de Haar, baseada no processo construtivo proposto por von Neumann
com a colaboracao de Kakutani.
No primeiro capıtulo apresentamos alguns conceitos basicos da topologia geral e da
teoria da medida que sao necessarios para os capıtulos subsequentes. O capıtulo inclui
ainda uma prova do classico lema de Urysohn e algumas consideracoes sobre grupos
topologicos, que sao preliminares a construcao da medida de Haar.
No segundo capıtulo introduzimos algumas classes de conjuntos e estudamos a regu-
laridade das medidas. Finalmente, apresentamos o teorema de Fubini, o qual utilizaremos
para provar a unicidade da medida de Haar.
No terceiro capıtulo definimos os conceitos de media invariante e O-equidistribuicao
que serao de grande importancia no processo de von Neumann para a construcao da
medida de Haar. Finalmente, concluımos o trabalho apresentando o teorema principal
que garante a existencia da integral de Haar e a sua unicidade, a menos de uma constante
positiva.
Abstract
In this dissertation we present a detailed version of the existence and uniqueness proof
of the Haar measure based on the constructive method proposed by von Neumann in
collaboration with Kakutani.
In the first chapter we present some basic concepts of general topology and measure
theory which are necessary for the subsequent chapters. We include also a proof of the
classic Urysohn’s lemma and basic results concerning topological groups, that precede the
proper Haar measure construction.
The second chapter starts with the introduction of classes of sets that are useful for
studying the regularity of measures. We present Fubini’s theorem, and apply it to prove
the uniqueness of the Haar measure.
In the third and final chapter we define the concepts of invariant measure and O-
equidistribution, which are fundamental for von Neumann’s construction. Finally, we
conclude the dissertation presenting its main result. It assures, through a constructive
procedure, the existence and uniqueness, up to a constant, of the Haar measure.
1
Sumario
Introducao 3
1 Preliminares 4
1.1 Conceitos basicos da Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nocoes basicas da teoria da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Mensurabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Conexao entre λ e ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Consideracoes sobre grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Preliminares para a construcao da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Conexao entre topologia e medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 A unicidade da Medida de Haar 36
2.1 Algumas classes especiais de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Unicidade da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 A Construcao de von Neumann 63
3.1 Classes especiais de funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Medias e medidas invariantes a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Sistemas convergentes de medias aproximadamente invariantes a esquerda . 89
3.5 Equidistribuicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Exemplos de Medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 Medias e funcoes contınuas de 2-variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8 Comparacao de duas medias aproximadamente O-invariantes a esquerda . . 107
3.9 O Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2
Introducao
O objetivo da presente dissertacao e apresentar uma versao simplificada e atualizada
da prova da existencia e unicidade da medida de Haar, utilizando o processo construtivo
de von Neumann. Cabe notar que embora a construcao original, que vamos tratar, tenha
sido elaborada nos anos quarenta por von Neumann, com a participacao indireta de
Kakutani, o conteudo das anotacoes contendo a proposta aqui apresentada so veio a
publico, pela primeira vez, cerca de sessenta anos mais tarde (ver [6]). O interesse nesse
tipo de construcao e justificado pelo empenho recente na obtencao de provas construtivas
de resultados classicos da Analise ( ver [2] e [12] ), tornando-os computacionalmente
realizaveis.
No primeiro capıtulo estabelecemos as nocoes basicas de topologia geral e da teoria da
medida, que vamos utilizar ao longo da dissertacao. Apresentamos uma prova do classico
lema de Urysohn, ainda nesse capıtulo inicial fazemos algumas consideracoes sobre grupos
topologicos, que sao preliminares a construcao da medida de Haar. Concluımos o capıtulo
com algumas inter-relacoes entre medida e topologia que nos serao uteis nos capıtulos
posteriores.
No segundo capıtulo apresentamos um estudo sobre regularidade de medidas e uma
prova da unicidade da medida de Haar via o teorema de Fubini.
No terceiro e ultimo capıtulo apresentamos a construcao propriamente dita, para tal
introduzimos os conceitos de equidistribuicao e medias invariantes. A partir das relacoes
entre estes dois ultimos conceitos, fazendo uso do Lema de Hall, Maak e Kakutani, apre-
sentamos exemplos de equidistribuicao e construimos medias para duas variaveis . Con-
cluımos o trabalho apresentando o resultado final da dissertacao (teorema principal).
3
Capıtulo 1
Preliminares
O objetivo desse primeiro capıtulo , alem de estabelecer a notacao, e o de apresentar as
nocoes basicas da topologia geral e da teoria da medida, que serao utilizados, nos capıtulos
posteriores. Para tornar o texto auto-suficiente apresentamos uma prova do classico lema
de Urysohn e algumas relacoes entre os conceitos de natureza topologica e os da teoria da
medida que nos serao uteis ao longo da dissertacao .
1.1 Conceitos basicos da Topologia Geral
No decorrer deste capıtulo iremos trabalhar com um espaco topologico de Hausdorff fixo S
e denotaremos por C, D e K subconjuntos compactos de S; O,P e Q como subconjuntos
abertos de S e M,N e E subconjuntos arbitrario de S. Alem disso, dado um conjunto
arbitrario M denotaremos por M o fecho de M , por M c o conjunto complementar S\M ,
e por M i o interior de M .
Definicao 1.1.1. Seja f : S → C. O suporte da funcao f (supp f) e o fecho do conjunto
x ∈ S; f(x) 6= 0. A colecao de todas as funcoes complexas contınuas sobre S cujo
suporte e compacto sera denotada por Cc(S).
Lema 1.1.2. Sejam os conjuntos K compacto e M tais que K ∩M = ∅. Se para todo
ponto x ∈ K existem conjuntos abertos disjuntos correspondentes Qx e Px tais que x ∈ Qx
e M ⊂ Px entao existe um par de conjuntos abertos disjuntos Q e P tais que K ⊂ Q,
M ⊂ P .
Demonstracao. Temos que K ⊂ ⋃x∈K
Qx. Como K e compacto podemos encontrar um
numero finito de conjuntos abertos Qx1 , . . . Qxn tais que K ⊂n⋃
i=1
Qxi. Denotando Q =
4
n⋃i=1
Qxie P = Px1 ∩ Px2 ∩ · · · ∩ Pxn segue que
K ⊂ Q, M ⊂ P e Q ∩ P = ∅.
Este lema afirma, em linguagem menos formal, que se todo ponto de um compacto
pode ser separado de um conjunto fixo M , entao o conjunto compacto todo pode ser
separado de M .
Lema 1.1.3. Se C e D sao conjuntos compactos disjuntos entao existem conjuntos abertos
disjuntos O e P tais que C ⊂ O, D ⊂ P .
Demonstracao. Seja x ∈ D dado. Considerando no lema 1.1.2, M = x e K = C temos
que existem conjuntos abertos Qy e Py, para cada y ∈ C, tais que y ∈ Qy, M ⊂ Py e
Qy ∩ Py = ∅, ja que estamos considerando um espaco de Hausdorff.
Desta forma, como x ∈ D foi dado arbitrariamente segue que se considerarmos no lema
1.1.2, K = C e M = D obtemos abertos disjuntos O e P tais que C ⊂ O e D ⊂ P .
Segue do lema anterior:
Lema 1.1.4. Seja C um conjunto compacto, temos que
(i) se F ⊂ S e um conjunto fechado entao C ∩ F e compacto;
(ii) se O e P sao conjuntos abertos tais que C ⊂ O ∪ P entao existem conjuntos com-
pactos D ⊂ O, E ⊂ P tais que C ⊂ D ∪ E.
Lema 1.1.5. Supondo que S e localmente compacto, se C e O sao conjuntos compacto e
aberto, respectivamente, tais que C ⊂ O entao existe um conjunto compacto D tal que
C ⊂ Di ⊂ D ⊂ O.
Demonstracao. Provemos a afirmativa, inicialmente, para o caso em que S e compacto.
Nesse caso, Oc e um conjunto fechado num espaco compacto, e portanto, C e Oc sao con-
juntos compactos disjuntos, pois C ⊂ O. Pelo lema 1.1.3, podemos encontrar conjuntos
abertos disjuntos Q e P tais que C ⊂ Q, Oc ⊂ P . Como Q ⊂ P c e P c e fechado entao
Q ⊂ P c ⊂ O. Logo, podemos tomar Q como o conjunto desejado D.
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No caso em que S for apenas localmente compacto, temos para todo ponto x que
existe uma vizinhanca Nx correspondente tal que Nx e compacto. Se x ∈ C, escrevemos
Qx = O ∩Nx , entao , pelo item (i) do lema 1.1.4, Qx e uma vizinhanca de x cujo fecho e
compacto que esta inteiramente contida em O. Temos para o compacto C que
C ⊂⋃x∈C
Qx ,
entao existe um numero finito de pontos x1, . . . , xn tais que
C ⊂ T = Qx1 ∪ · · · ∪Qxn ⊂ O.
Entao T = Qx1∪ · · · ∪ Qxn
e um conjunto compacto. Aplicando o resultado anterior
aos conjuntos C e T , que sao subconjuntos do espaco compacto T , obtemos um conjunto
compacto D para o qual
C ⊂ Di ⊂ D ⊂ T.
Como T ⊂ O segue o resultado.
Apresentaremos agora o importante lema de Urysohn e alguns resultados que serao
uteis para os capıtulos posteriores.
Teorema 1.1.6. Sejam K ⊂ S compacto e p ∈ Kc. Entao, existem conjuntos abertos O
e Q tais que p ∈ O, K ⊂ Q e O ∩Q = ∅.
Demonstracao. Se q ∈ K segue da condicao de Hausdorff que existem vizinhancas dis-
juntas Uq e Vq tais que p ∈ Uq e q ∈ Vq . Pela compacidade de K, existem pontos
q1, . . . , qn ∈ K tais que
K ⊂ Vq1 ∪ · · · ∪ Vqn .
Tomando O = Uq1 ∩ · · · ∩ Uqn e Q = Vq1 ∪ · · · ∪ Vqn , temos que:
(i) p ∈ O,
(ii) K ⊂ Q e O ∩Q = O ∩ [Vq1 ∪ · · · ∪ Vqn
]=
[O ∩ Vq1︸ ︷︷ ︸
q∅
] ∪ · · · ∪ [O ∩ Vqn︸ ︷︷ ︸
q∅
]= ∅.
Teorema 1.1.7. Sejam U um conjunto aberto em um espaco de Hausdorff localmente
compacto S e K ⊂ U compacto. Entao, existe um conjunto aberto V com fecho compacto
tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
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Demonstracao. Primeiramente, suponhamos que U = S.
Como S e localmente compacto segue que todo ponto de K possui uma vizinhanca em
S cujo fecho e compacto. Visto que K sera coberto por uma uniao finita de vizinhancas
cujos fechos serao compactos podemos tomar G sendo a uniao finita dessas vizinhancas
com fecho compacto. Assim, G e um conjunto aberto com fecho compacto, tal que K ⊂ G.
Logo,
K ⊂ G ⊂ G ⊂ S = U.
Suponhamos agora que U $ S. Seja C = U c, pelo teorema 1.1.6, a cada p ∈ C
corresponde um conjunto aberto Qp tal que K ⊂ Qp e p /∈ Qp .
Desta forma, variando p sobre C a colecao C ∩G ∩Qpp∈Ce formada por conjuntos
compactos cuja intersecao e vazia. De fato, dado p ∈ C, temos que C∩G∩Qp e compacto
e como⋂
p∈C
Qp ⊂ Cc entao
(1.1)⋂p∈C
[C ∩G ∩Qp
]= ∅.
Afirmamos que existem pontos p1, . . . , pn ∈ C tais que
C ∩G ∩Qp1∩ · · · ∩Qpn
= ∅.
Com efeito, definamos Vp :=[C ∩G ∩Qp
]cpara cada p ∈ C. Fixando po ∈ C temos que
nenhum ponto de Vpo esta em todos os V cp , pois
⋂p∈C
V cp = ∅, por (1.1). Daı, Vpp∈C
e
uma cobertura aberta para V cpo
= C ∩ G ∩ Qpo. Logo, V c
po⊂ Vp1 ∪ Vp2 ∪ · · · ∪ Vpn para
alguma colecao finita de Vpi. Desta forma, V c
p0∩ V c
p1∩ · · · ∩ V c
pn= ∅, isto e,
(1.2) C ∩G ∩Qpo∩Qp1
∩ · · · ∩Qpn= ∅.
O conjunto V = G ∩Qpo ∩Qp1 ∩ · · · ∩Qpn possui as propriedades requeridas, pois
K ⊂ V ⊂ V ⊂ G ∩Qpo∩ · · · ∩Qpn
⊂ U, por (1.2).
Definicao 1.1.8. Seja f uma funcao real (ou estendida-real) sobre S.
f e dita semicontınua inferiormente (s.c.i.) ⇔ x; f(x) > α e aberto para todo α ∈ R.
f e dita semicontınua superiormente (s.c.s.) ⇔ x; f(x) < α e aberto para todo α ∈ R.
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Exemplos:
(i) Funcoes caracterısticas de conjuntos abertos sao semicontınuas inferiormente.
(ii) Funcoes caracterısticas de conjuntos fechados sao semicontınuas superiormente.
(iii) O supremo de qualquer colecao de funcoes semicontınuas inferiormente e s.c.i.
O ınfimo de qualquer colecao de funcoes semicontınuas superiormente e s.c.s.
Notacoes: Sejam f ∈ Cc(S), K ⊂ S compacto, 0 ≤ f ≤ 1 e V ⊂ S aberto.
(i) K ≺ f significa que f(x) = 1 para todo x ∈ K.
(ii) f ≺ V significa que o suporte de f existe e esta contido em V .
(iii) K ≺ f ≺ V indica que (i) e (ii) ocorrem.
Lema de Urysohn: Se S e um espaco de Hausdorff localmente compacto, V ⊂ S aberto
e K ⊂ V compacto. Entao, existe uma funcao f ∈ Cc(S) tal que K ≺ f ≺ V .
Demonstracao. Definamos uma sequencia rnn∈N da seguinte forma: r1 = 0, r2 = 1 e
r3, r4, r5. . . . sendo uma enumeracao dos racionais em (0, 1) [r1 < r3 < r4 < · · · < r2].
Pelo teorema 1.1.7, podemos encontrar conjuntos abertos Vo e V1 tais que V o e compacto
e
K ⊂ V1 ⊂ V 1 ⊂ Vo ⊂ V o ⊂ V.
Suponhamos que n ≥ 2 e Vr1 , . . . , Vrn escolhidos de tal maneira que ri < rj implica
V rj⊂ Vri
. Entao, existem ri = maxk=1,...,n
rk ; rk < rn+1 e rj = mink=1,...,n
rk ; rk < rn+1.Usando o teorema 1.1.7, podemos encontrar Vrn+1 tal que
V rj⊂ Vrn+1 ⊂ V rn+1 ⊂ Vri
.
Assim, pelo princıpio de inducao, obtemos uma colecao Vrr∈Q∩[0,1], de conjuntos
abertos para cada racional r ∈ [0, 1] com as seguintes propriedades:
K ⊂ V1 , V o ⊂ V, V r e compacto e s > r ⇒ V s ⊂ Vr .
Definamos para cada r, s ∈ Q ∩ [0, 1] as seguintes funcoes:
fr(x) :=
r, se x ∈ Vr
0, se x /∈ Vr
; gs(x) :=
1, se x ∈ V s
s, se x /∈ V s
;
f(x) := supr∈Q∩[0,1]
fr(x) e g(x) := infr∈Q∩[0,1]
gs(x) para todo x ∈ S.
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Afirmamos que f e a funcao procurada.
Temos que 0 ≤ f ≤ 1, f(x) = 1 se x ∈ K e f tem seu suporte em Vo . De fato, se
x ∈ K entao f(x) = supfr(x); r ∈ Q ∩ [0, 1] = 1 e, se f(x) 6= 0 entao existe r > 0 tal
que x ∈ Vr porem, pela construcao de Vrr∈Q , Vr ⊂ V r ⊂ Vo . Logo x ∈ Vo .
Pelo item (iii) no exemplo anterior, temos que f e g sao semicontınuas inferiormente
e superiormente, respectivamente. Para que f ∈ Cc(X) falta mostrar apenas que f e
contınua, isto e, f e s.c.s. e s.c.i., para isso mostraremos que f = g.
Afirmamos que fr ≤ gs para todo r, s ∈ Q ∩ [0, 1], ou seja, f ≤ g.
Com efeito, dados r e s, temos que fr(x) > gs(x) e possıvel somente se r > s, x ∈ Vr
e x /∈ V s . Porem, por definicao da colecao Vii∈Q∩[0,1]se r > s entao V r ⊂ Vs , isto e,
x ∈ Vs ⊂ V s uma contradicao.
Logo, f ≤ g.
Suponhamos, por absurdo, que exista x ∈ S tal que
0 < f(x) < g(x) < 1.
Nesse caso, existem racionais r e s tais que f(x) < r < s < g(x). Daı, f(x) < r
entao x /∈ Vr e, como g(x) > s segue que x ∈ V s , o que e uma contradicao, pois
r < s ⇒ V s ⊂ Vr.
Logo, f = g.
Teorema 1.1.9. Sejam V1, . . . , Vn subconjuntos abertos de um espaco de Hausdorff local-
mente compacto S e K um conjunto compacto tal que
K ⊂ V1 ∪ · · · ∪ Vn .
Entao, para cada i ∈ 1, . . . , n existe uma funcao hi ≺ Vi tal que
h1(x) + h2(x) + · · ·+ hn(x) = 1, para todo x ∈ K.
Demonstracao. Pelo teorema 1.1.7, temos para cada x ∈ K que existe uma vizinhanca
Wx com fecho compacto W x ⊂ Vi para algum i (dependendo de x). De fato, dado x ∈ K
existe i ∈ 1, . . . , n tal que x ∈ Vi e, portanto x ⊂ Vi . Assim, pelo teorema 1.1.7,
existe uma vizinhanca Wx com fecho compacto tal que x ⊂ Wx ⊂ W x ⊂ Vi .
Entao, pela compacidade de K, existem finitos pontos x1, . . . , xm em K tais que K ⊂Wx1 ∪Wx2 ∪ · · · ∪Wxm .
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Para cada i ∈ 1, . . . , n fixo, definamos o conjunto
Hi :=⋃
W xj⊂ Vi
1 ≤ j ≤ m
W xj.
Como uniao finita de compactos e compacto segue que Hi e compacto para todo i ∈1, . . . , n. Assim, pelo lema de Urysohn, existem funcoes gi ∈ Cc(S) tais que Hi ≺ gi ≺ Vi
para cada i ∈ 1, . . . , n.Definamos
h1 := g1
h2 := (1− g1)g2
h3 := (1− g1)(1− g2)g3
...
hn := (1− g1)(1− g2) . . . (1− gn−1)gn .
Entao, hi ≺ Vi . De fato, hi e contınua e o suporte de hi e:
supp hi = x ∈ S; gj(x) 6= 1, para todo 1 ≤ j < i e gi(x) 6= 0 ⊂ x ∈ X; gi(x) 6= 0
e compacto, portanto, hi ∈ Cc(S). Ainda mais, como supp hi ⊂ supp gi ⊂ Vi segue que
hi ≺ Vi .
Por inducao, temos
(1.3) h1 + h2 + · · ·+ hn = 1− (1− g1)(1− g2) . . . (1− gn).
Com efeito,
h1 + h2 + · · ·+ hn = g1 + (1− g1)g2 + (1− g1)(1− g2)g3 + · · ·+ (1− g1) . . . (1− gn−1)gn
daı,
−1 + h1 + h2 + · · ·+ hn = −1 + g1 + (1− g1)g2 + · · ·+ (1− g1) · · · · · (1− gn−1)gn =
= (1− g1)[−1 + g2 + · · ·+ (1− g2) · · · · · (1− gn−1)gn] =
= (1− g1)(1− g2) . . . (1− gn−1)[−1 + gn] =
= (1− g1)(1− g2) · · · · · (1− gn)(−1).
Entao
h1 + h2 + · · ·+ hn = 1− (1− g1)(1− g2) · · · · · (1− gn).
10
Como K ⊂ H1 ∪ · · · ∪ Hn e Hi ≺ gi ≺ Vi para todo i ∈ 1, . . . , n segue, por (1.3), que
para todo x ∈ K vale
h1(x) + h2(x) + · · ·+ hn(x) = 1.
1.2 Nocoes basicas da teoria da medida
Seja M um subconjunto arbitrario de S.
Definicao 1.2.1. Uma colecao A de subconjuntos de M e dita uma σ-algebra em M se
ela tem as seguintes propriedades:
(i) Ω ∈ A;
(ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A;
(iii) (An)n∈N ⊂ A ⇒⋃
n∈NAn ∈ A.
Teorema 1.2.2. A intersecao⋂i∈IAi de qualquer famılia (Ai)i∈I de σ-algebras em um
conjunto comum M e uma σ-algebra.
Demonstracao. A prova pode ser encontrada em [3].
Segue do teorema acima a seguinte definicao
Definicao 1.2.3. Para qualquer colecao E de subconjuntos de M existe uma menor σ-
algebra σ(E) que contem E. A σ-algebra σ(E) e dita a σ-algebra gerada por E em M e Ee dito um gerador de σ(E).
Definicao 1.2.4. A σ-algebra σ(B), onde B e a colecao dos subconjuntos abertos em M,
e chamada σ-algebra de Borel e os elementos de σ(B) serao ditos conjuntos de Borel.
Definicao 1.2.5. Uma colecao R de subconjuntos de M e dita um anel em M se ela
tem as seguintes propriedades:
11
(i) ∅ ∈ R;
(ii) A,B ∈ R ⇒ A\B ∈ R;
(iii) A,B ∈ R ⇒ A ∪B ∈ R.
Definicao 1.2.6. Seja R um anel emM e µ uma funcao sobre R com valores em [0, +∞].
µ e dita uma pre-medida sobre R se :
(i) µ(∅) = 0
(ii) para toda sequencia (An)n∈N de conjuntos em R, dois a dois disjuntos, cuja uniao
ainda esta em R vale:
µ( ∞⋃
n=1
An
)=
∞∑n=1
µ(An) (aditividade completa)
• µ e dita um conteudo se no lugar de (ii) vale
µ( k⋃
n=1
An
)=
k∑n=1
µ(An) (aditividade finita)
para qualquer colecao finita de conjuntos dois a dois disjuntos A1, A2, . . . , Ak ∈ R.
Definicao 1.2.7. Uma pre-medida µ definida em uma σ-algebra A de subconjuntos de
M e dita uma medida,
µ : A −→ [0, +∞]
A −→ µ(A) := medida de A
• se µ(M) < +∞ dizemos que µ e finita.
• µ ≡ 0 e uma medida, dita nula.
Definicao 1.2.8. Uma medida µ definida em uma σ-algebra A de subconjuntos de M e
dita
(i) regular interior se para todo A ∈ A temos µ(A) = supµ(K); K ⊂ A,K compacto;
(ii) regular exterior se para todo A ∈ A temos µ(A) = infµ(O); A ⊂ O, O aberto;
12
(iii) regular se ela e ambas regular interior e exterior.
Estenderemos a S a construcao de uma medida do tipo Lebesgue, procedendo de modo
analogo ao contexto dos espacos euclidianos.
Seja λ : C ⊂ S; C e compacto → [0, +∞] uma aplicacao tal que para quaisquer C
e D compactos temos
(1.4) λ(C ∪D) ≤ λ(C) + λ(D),
(1.5) λ(C ∪D) = λ(C) + λ(D) se C ∩D = ∅.
A partir de λ definiremos mais duas aplicacoes µ e ν por
(1.6) µ(O) := supλ(C); C ⊂ O,C compacto, para todo aberto O
e
(1.7) ν(M) := infµ(O); M ⊂ O, O aberto, para todo M.
Procederemos sistematicamente para derivar propriedades de µ e ν e para estabelecer
relacoes entre λ, µ e ν.
Lema 1.2.9. Sejam O e P abertos tais que O ⊂ P . Entao µ(O) ≤ µ(P ).
Demonstracao. Se C ⊂ O ⊂ P entao , por definicao de µ, λ(C) ≤ µ(P ). Logo, µ(O) =
supC⊂O
λ(C) ≤ µ(P ).
Lema 1.2.10. Sejam M e N conjuntos arbitrarios tais que M ⊂ N . Entao ν(M) ≤ ν(N).
Demonstracao. Se O e um conjunto aberto tal que N ⊂ O entao M ⊂ O. Portanto,
µ(O) ≥ ν(M) = infM⊂O
µ(O), donde segue que ν(N) = infN⊂O
µ(O) ≥ ν(M).
Lema 1.2.11. ν(C) ≥ λ(C) para todo compacto C.
Demonstracao. Se C ⊂ O entao µ(O) = supC⊂O
λ(C) ≥ λ(C). Daı, ν(C) = infC⊂O
µ(O) ≥λ(C).
Lema 1.2.12. ν(O) = µ(O) para todo aberto O.
13
Demonstracao. Temos que ν(O) = infO⊂P
µ(P ) ≤ µ(O). Por outro lado, se O ⊂ P entao
pelo lema 1.2.9, µ(O) ≤ µ(P ). Mas, ν(O) = infO⊂P
µ(P ) ≥ µ(O). Logo, µ(O) = ν(O).
Lema 1.2.13. λ(∅) = µ(∅) = ν(∅) = 0.
Demonstracao. Para λ, isto segue de (1.5) tomando C = D = ∅. Por outro lado, como
℘(∅) = ∅ segue que µ(∅) = 0 e pelo lema 1.2.12, segue que ν(∅) = µ(∅) = 0.
Lema 1.2.14. µ(O ∪ P ) ≤ µ(O) + µ(P ) para quaisquer abertos O e P .
Demonstracao. Suponhamos que C ⊂ O∪P . Entao, pelo item (ii) do lema 1.1.4, podemos
encontrar D ⊂ O e E ⊂ P compactos tais que C ⊂ D ∪ E. Entao, por (1.4), λ(C) ≤λ(D) + λ(E) ≤ sup
D⊂Oλ(D) + sup
E⊂Pλ(E) = µ(O) + µ(P ). Assim,
µ(O ∪ P ) = supC⊂O∪P
λ(C) ≤ µ(O) + µ(P ).
Lema 1.2.15. Sejam O e P abertos tais que O∩P = ∅. Entao µ(O∪P ) = µ(O)+µ(P ).
Demonstracao. Suponhamos que C ⊂ O ∪ P e escrevamos D = C ∩ P c, E = C ∩ Oc.
Entao, C ⊂ O ∪ P , D ∩ E = C ∩ Oc ∩ P c = C ∩ (O ∪ P )c = ∅. Pelo item (i) do lema
1.1.4, D e E sao compactos. Alem disso, D ⊂ O e E ⊂ P , pois O ∩ P = ∅ e C = D ∪E.
De fato, D = C ∩ P c ⊂ C e E\(C ∩Oc) ⊂ C entao D ∪E ⊂ C. Por outro lado, se c ∈ C
entao c ∈ O ou c ∈ P , pois O ∩ P = ∅. Se c ∈ O ⊂ P c entao c ∈ C ∩ P c = D, ou seja,
se c ∈ P ⊂ Oc entao c ∈ C ∩ Oc = E. Assim, C ⊂ D ∪ E. Logo, C = D ∪ E. De (1.5)
temos que
λ(C) = λ(D) + λ(E), pois D ∩ E = ∅,daı,
µ(O ∪ P ) = supC⊂O∪P
λ(C) ≥ λ(D) + λ(E).
Portanto,
µ(O ∪ P ) ≥ supD⊂O
λ(D) + supE⊂P
λ(E) = µ(O) + µ(P ).
Enfim, pelo lema 1.2.14, temos que µ(O ∪ P ) = µ(O) + µ(P ).
14
Lema 1.2.16. Se Oi e aberto para todo i ∈ 1, 2, . . . , n, entao µ(O1 ∪ · · · ∪ On) ≤µ(O1) + µ(O2) + · · ·+ µ(On).
Demonstracao. Segue diretamente do lema 1.2.14.
Lema 1.2.17. Se Oi e aberto para todo i ∈ 1, 2, . . . , n e Oi ∩ Oj = ∅ para i 6= j entao
µ(O1 ∪ · · · ∪On) = µ(O1) + · · ·+ µ(On).
Demonstracao. Segue diretamente do lema 1.2.15.
Lema 1.2.18. Se Oi e aberto para todo i ∈ N, entao µ( ∞⋃
i=1
Oi
) ≤∞∑i=1
µ(Oi).
Demonstracao. Seja C um conjunto compacto tal que C ⊂∞⋃i=1
Oi , entao podemos encon-
trar um numero finito de ındices i1, . . . , in tais que
C ⊂ Oi1 ∪ · · · ∪Oin .
Segue de (1.6) que
λ(C) ≤ µ(Oi1 ∪ · · · ∪Oin) ≤ µ(Oi1) + · · ·+ µ(Oin).
Daı,
λ(C) ≤∞∑i=1
µ(Oi).
Como isto e valido para todo compacto C ⊂∞⋃i=1
Oi , temos que
µ( ∞⋃
i=1
Oi
)= sup
C⊂∞⋃
i=1Oi
λ(C) ≤∞∑i=1
µ(Oi).
Lema 1.2.19. Seja Oii∈N uma colecao de abertos tais que Oi ∩ Oj = ∅ para i 6= j.
Entao µ( ∞⋃
i=1
Oi
)=
∞∑i=1
µ(Oi).
15
Demonstracao. Temos µ( ∞⋃
i=1
Oi
) ≥ µ( n⋃
i=1
Oi)pelo lema 1.2.17
=n∑
i=1
µ(Oi) para todo n ∈ N.
Como a desigualdade anterior e valida para todo n, temos que
µ( ∞⋃
i=1
Oi
) ≥∞∑i=1
µ(Oi).
Logo, a igualdade segue do lema 1.2.18.
Lema 1.2.20. Seja Mii∈N uma colecao de conjuntos arbitrarios. Entao ν( ∞⋃
i=1
Mi
) ≤∞∑i=1
ν(Mi).
Demonstracao. Como ν(M) = infM⊂O
µ(O) entao para todo ε > 0 podemos encontrar
conjuntos abertos Oi ⊃ Mi tais que µ(Oi) ≤ ν(Mi) +ε
2ipara cada i ∈ N . Assim,
ν( ∞⋃
i=1
Mi
) ≤ µ( ∞⋃
i=1
Oi
) ≤∞∑i=1
µ(Oi)
≤∞∑i=1
ν(Mi) +∞∑i=1
(1
2
)iε
=∞∑i=1
ν(Mi) + ε.
Como ε foi escolhido arbitrariamente, o resultado segue tomando ε → 0.
1.3 Mensurabilidade
Definicao 1.3.1. Um conjunto M e mensuravel se para todo conjunto compacto K vale
ν(K) = ν(K ∩M) + ν(K ∩M c).
Uma particao e uma sequencia finita ou enumeravel de conjuntos dois a dois disjuntos
em S cuja uniao e S.
Se U = (A1, A2, . . . ) e B = (B1, B2, . . . ) sao particoes, iremos denotar por U ≤ B se
para todo Ai existe algum j ∈ N tal que Ai ⊂ Bj. Sob esta ordenacao parcial, o conjunto
de todas as particoes e um reticulado, isto e, para todo par U , B de particoes existe uma
unica particao C chamada o produto de U e B (C = U · B) com as seguintes propriedades:
C ≤ U , C ≤ B, e se existe uma particao C ′ tal que C ′ ≤ U , C ′ ≤ B entao C ′ ≤ C. C e
16
a particao cujos conjuntos sao Ai ∩ Bj para i, j ∈ N . Uma particao U = (A1, A2, . . . ) e
mensuravel se para todo conjunto compacto K temos
ν(K) =∞∑i=1
ν(K ∩ Ai).
Observamos que M e um conjunto mensuravel se, e somente se, a particao (M,M c) e
uma particao mensuravel.
Lema 1.3.2. Se M e um conjunto arbitrario tal que ν(O) ≥ ν(O∩M)+ ν(O∩M c) para
todo aberto O entao M e mensuravel.
Demonstracao. Dado K um conjunto compacto arbitrario, seja O um aberto tal que
O ⊃ K . Entao,
ν(O) ≥ ν(O ∩M) + ν(O ∩M c) ≥ ν(K ∩M) + ν(K ∩M c).
Como ν(O) = µ(O), temos
µ(O) ≥ ν(K ∩M) + ν(K ∩M c) para todo K ⊂ O,
tal que
ν(K) = inf µ(O) ≥ ν(K ∩M) + ν(K ∩M c).
A igualdade segue do lema 1.2.20.
Lema 1.3.3. O produto de duas particoes mensuraveis e mensuravel.
Demonstracao. Se U = (A1, A2, . . . ) e B = (B1, B2, . . . ) sao particoes mensuraveis e M e
um conjunto qualquer, temos que
ν(M) =∞∑i=1
ν(M ∩ Ai) =∞∑i=1
∞∑j=1
ν(M ∩ Ai ∩Bj).
Assim, segue da definicao 1.3.1 que U ·B e mensuravel.
Lema 1.3.4. Se U = (A1, A2, . . . ) e uma particao mensuravel e B = (B1, B2, . . . ) uma
particao tal que U ≤ B entao B e mensuravel.
17
Demonstracao. Para qualquer conjunto M temos
ν(M) =∞∑i=1
ν(M ∩ Ai) =∞∑
j=1
∑
i∈l;Al⊂Bjν(M ∩ Ai).
Por outro lado,
ν(M ∩Bj) =∞∑i=1
ν(M ∩ Ai ∩Bj) =∑
i∈l;Al⊂Bjν(M ∩ Ai ∩Bj) =
=∑
i∈l;Al⊂Bjν(M ∩ Ai),
donde
ν(M) =∞∑
j=1
ν(M ∩Bj).
Lema 1.3.5. Seja U = (A1, A2, . . . ) uma particao. Entao U e mensuravel se, e so se, Aj
e mensuravel para todo j ∈ N.
Demonstracao. Seja U uma particao mensuravel, pelo lema 1.3.4, a particao (Aj, Acj)
tambem e mensuravel para todo Aj, com j ∈ N . Logo, Aj e mensuravel para todo j ∈ N.
Reciprocamente, suponhamos para todo j ∈ N que Aj e mensuravel. Entao, cada uma
das particoes (A1, Ac1), . . . (An, Ac
n) e mensuravel, e portanto, o seu produto e mensuravel.
Visto que os Aj sao dois a dois disjuntos, este produto e a particao
(A1, A2, . . . , An,
n⋂j=1
Acj
).
Por isso, para todo conjunto M temos
ν(M) = ν(M ∩ A1) + ν(M ∩ A2) + · · ·+ ν(M ∩ An) + ν(M ∩
n⋂j=1
Acj
) ≥n∑
i=1
ν(M ∩ Ai),
de modo que ν(M) ≥∞∑i=1
ν(M ∩ Ai). Como, pelo lema 1.2.20, a inequacao oposta e
verdadeira, pois A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ∪n⋂
j=1
Acj = S, segue que, U e mensuravel.
Os tres lemas 1.3.3, 1.3.4 e 1.3.5 serao utilizados para derivar as propriedades essenciais
dos conjuntos mensuraveis.
18
Lema 1.3.6. Se A e B sao conjuntos mensuraveis entao Ac, A ∩ B e A ∪ B sao men-
suraveis.
Demonstracao. Para Ac a afirmacao segue diretamente, simetria entre A e Ac, na definicao
1.3.1 . Por hipotese, (A, Ac) e (B,Bc) sao particoes mensuraveis e A∩B e um dos conjuntos
no seu produto, logo A ∩B e mensuravel. De fato, A ∪B = (Ac ∩Bc)c que, por sua vez,
e mensuravel.
Lema 1.3.7. Se Ajj∈N e uma colecao de conjuntos mensuraveis e A =∞⋃
j=1
Aj entao A
e mensuravel. Alem disso, se os An sao dois a dois disjuntos, entao
(1.8) ν(A) =∞∑
j=1
ν(Aj)
Demonstracao. Mostremos, primeiramente, o caso em que Ai ∩ Aj = ∅ para i, j ∈ N tais
que i 6= j. Como Aj e mensuravel, a particao (Aj, Acj) tambem e mensuravel. Logo,
(A1, A2, . . . , An,
n⋂j=1
Acj
)
que envolve o produto dos n primeiros termos desta particao e mensuravel. Consequen-
temente, se M e um conjunto arbitrario
ν(M) =n∑
j=1
ν(M ∩ Aj) + ν(M ∩ ( n⋂
j=1
Acj
)) ≥n∑
j=1
ν(M ∩ Aj) + ν(M ∩ ( ∞⋂
j=1
Acj
)),
e visto que isto e valido para todo n, temos que
ν(M) ≥∞∑
j=1
ν(M ∩ Aj) + ν(M ∩ ( ∞⋂
j=1
Acj
)).
A desigualdade oposta vale pelo lema 1.2.20, logo
(1.9) ν(M) =∞∑
j=1
ν(M ∩ Aj) + ν(M ∩ ( ∞⋂
j=1
Acj
)).
Isto significa que a particao(A1, A2, . . . ,
∞⋂j=1
Acj
)e mensuravel, por conseguinte, o conjunto
∞⋂j=1
Acj tambem e mensuravel. Consequentemente,
∞⋃j=1
Aj = A sera mensuravel.
19
Substituindo M por A em (1.9) obtemos (1.8).
Para o caso em que Ai ∩ Aj 6= ∅ para algum i, j , teremos
A = A1 ∪ (Ac1 ∩ A2) ∪ (Ac
1 ∩ Ac2 ∩ A3) ∪ · · · ,
onde cada termo desta uniao, cujos termos sao dois a dois disjuntos, e mensuravel, pelo
lema 1.3.6. Isto completa a demonstracao do lema 1.3.7.
Desta forma, ν e uma medida definida sobre os conjuntos mensuraveis. Como o
conjunto vazio e mensuravel, temos que a aditividade completa de ν para conjuntos men-
suraveis implica na aditividade finita. Para o caso finito, temos o seguinte lema
Lema 1.3.8. Se A e mensuravel e B e qualquer entao
ν(A ∪B) + ν(A ∩B) = ν(A) + ν(B).
Demonstracao. A mensurabilidade de A implica as relacoes:
(1.10) ν(A ∪B) = ν((A ∪B) ∩ A) + ν((A ∪B) ∩ Ac) = ν(A) + ν(B ∩ Ac),
(1.11) ν(B) = ν(B ∩ A) + ν(B ∩ Ac).
Das quais segue que
ν(A) + ν(B) = ν(A) + ν(B ∩ A) + ν(B ∩ Ac) = ν(A ∪B) + ν(A ∩B).
Lema 1.3.9. Se A1 ⊂ A2 ⊂ · · · e uma sequencia monotona crescente de conjuntos
mensuraveis, entao
ν( ∞⋃
j=1
Aj
)= lim
j→∞ν(Aj).
Demonstracao. Como
∞⋃j=1
Aj = A1 ∪ (Ac1 ∩ A2) ∪ (Ac
2 ∩ A3) ∪ (Ac3 ∩ A4) ∪ . . . ,
temos que
ν( ∞⋃
j=1
Aj
)=
pelo lema 1.3.7limj→∞
(ν(A1) +
j∑i=1
ν(Aci ∩ Ai+1)
)=
pelo lema 1.3.8limj→∞
ν(Aj).
20
Lema 1.3.10. Se A1 ⊃ A2 ⊃ · · · e uma sequencia monotona decrescente de conjuntos
mensuraveis tal que existe algum j para o qual Aj possui medida finita, entao
ν( ∞⋂
j=1
Aj
)= lim
j→∞ν(Aj).
Demonstracao. Se ν(Aj) < ∞ temos que ν(Aj) ≥ ν(Aj+p) para todo p ∈ N, entao
ν(Aj+p) < ∞. Por isso, sem perda de generalidade, podemos assumir que todo Aj tem
medida finita. Em outras palavras, para todo j ∈ N temos que Aj esta contido em um
conjunto mensuravel M de medida finita.
O teorema segue agora da aplicacao do lema 1.3.9 na sequencia M\A1 ⊂ M\A2 ⊂ · · · .
De fato, temos que
ν(∞⋃
j=1
(M\Aj)) = ν(M\(∞⋂
j=1
Aj)) = limj→∞
ν(M\Aj)
como ν(M) < ∞ segue que ν(⋂∞
j=1 Aj) = limj→∞ ν(Aj).
Lema 1.3.11. Todo conjunto aberto e mensuravel.
Demonstracao. Dado um conjunto aberto O , tomemos P conjunto aberto arbitrario.
Sejam C e D conjuntos compactos tais que C ⊂ O∩P e D ⊂ P ∩Cc. Entao D∩C = ∅,pois D ⊂ Cc. Como C ⊂ P e D ⊂ P , temos que C ∪D ⊂ P . Logo,
ν(P ) = µ(P ) ≥ λ(C ∪D) = λ(C) + λ(D).
Daı, como P ∩ Cc e aberto e Cc ⊃ Oc, temos
ν(P ) ≥ λ(C) + supD⊂P∩Cc
λ(D)
= λ(C) + ν(P ∩ Cc) ≥ λ(C) + ν(P ∩Oc),
e assim,
ν(P ) ≥ supC⊂P∩O
λ(C) + ν(P ∩Oc)
= µ(P ∩O) + ν(P ∩Oc).
Portanto, pelo lema 1.3.2, O e mensuravel.
Lema 1.3.12. Todo conjunto de Borel e mensuravel.
Demonstracao. Segue dos lemas 1.3.11, 1.3.7 e 1.3.8.
21
1.4 Conexao entre λ e ν
No lema 1.2.11 mostramos que para todo conjunto compacto C, ν(C) ≥ λ(C). Nesta
secao, estabeleceremos a igualdade entre ν e λ e entao discutiremos hipoteses sob as quais
a extensao λ e determinada por ν.
Lema 1.4.1. Se alem das aplicacoes (1.4) e (1.5), a aplicacao λ tambem satisfaz a
condicao
(1.12) λ(C) ≤ λ(D) para C ⊂ D compactos.
Entao para todo compacto C
(1.13) ν(Ci) ≤ λ(C).
Demonstracao. De acordo com o lema 1.2.12 e (1.6), temos:
ν(Ci) = µ(Ci) = supD⊂Ci
λ(D).
Se D ⊂ Ci entao D ⊂ C, o que implica λ(D) ≤ λ(C). Daı,
supD⊂Ci
λ(D) = ν(Ci) ≤ λ(C).
Definicao 1.4.2. Diremos que uma aplicacao λ : C ⊂ S; C e compacto → [0, +∞] que
satisfaz (1.4) e (1.5) gera uma aplicacao ν se ν(O) = supλ(C); C ⊂ O,C compacto,para todo aberto O e ν(M) = infν(O); M ⊂ O, O aberto, para todo conjunto M.
Notemos que segue da definicao acima que se a medida ν e gerada por alguma aplicacao
λ que satisfaz (1.4) e (1.5) entao ν e uma medida regular.
Impondo restricoes sobre o espaco S, vamos determinar agora condicoes sob as quais
a medida ν e gerada pela medida λ.
Teorema 1.4.3. Se λ1, λ2 : C ⊂ S; C e compacto → [0, +∞] sao aplicacoes satis-
fazendo (1.4) e (1.5) tais que λ1 gera ν e λ1(C) ≤ λ2(C) ≤ ν(C), para todo compacto C
entao λ2 tambem gera ν.
22
Demonstracao. Como λ1 gera ν entao ν(M) = infν(O); M ⊂ O, O aberto, para todo
conjunto M. Falta provar que, para todo conjunto aberto O,
ν(O) = supλ2(C); C ⊂ O, C compacto.
Temos, para todo compacto C ⊂ O,
ν(O) ≥ ν(C) ≥ λ2(C) ≥ λ1(C).
Logo
ν(O) ≥ supC⊂O
λ2(C) ≥ supC⊂O
λ1(C) = ν(O),
o que implica o resultado procurado.
Lema 1.4.4. Se S e localmente compacto e ν e uma medida gerada por uma aplicacao λo
satisfazendo (1.4) e (1.5) entao uma aplicacao dada por λ(C) = ν(Ci) para todo C ⊂ S
compacto tambem gera ν.
Demonstracao. Observemos que nao iremos usar explicitamente a hipotese de que ν e
gerada por λo, assumimos isto apenas para aplicar uma consequencia do teorema 1.4.3
que λ′(C) = ν(C) para todo compacto C gera ν. Assim, temos para qualquer conjunto
aberto O
(1.14) ν(O) = supC⊂O
ν(C).
Para provar o lema 1.4.4 e suficiente provar que para todo conjunto aberto O temos
(1.15) ν(O) = supD⊂O
ν(Di).
Seja C ⊂ O compacto qualquer. Como S e localmente compacto podemos, de acordo
com o lema 1.1.5, encontrar um conjunto compacto D tal que
C ⊂ Di ⊂ D ⊂ O.
Entao ν(C) ≤ ν(Di) ≤ ν(O) de modo que
(1.16) supC⊂O
ν(C) ≤ supDi⊂O
ν(Di) ≤ ν(O),
onde o termo da esquerda de (1.16) e, por (1.14), igual a ν(O). Logo, (1.16) implica
(1.15).
23
1.5 Consideracoes sobre grupos topologicos
Definicao 1.5.1. Um grupo topologico e uma terna (G, ·, T ) onde:
(i) (G, ·) e um grupo;
(ii) (G, T ) e um espaco topologico de Hausdorff com topologia T ;
(iii) a aplicacao (x, y) ½ xy−1 de G×G em G e contınua, quando munimos G×G com
a topologia produto e G com a topologia T .
Se M e um subconjunto arbitrario de G escrevemos aM (ou Ma) para o conjunto de
todos os elementos de G da forma ax (ou xa) onde x ∈ M e denotaremos por M−1 o
conjunto de todos os elementos de G da forma x−1, onde x ∈ M . Alem disso, dados M
e N dois subconjuntos quaisquer de G, denotaremos por M ¯ N o conjunto de todos os
elementos de G da forma xy onde x ∈ M , y ∈ N .
Se G e H sao grupos topologicos denotaremos por G×H seu produto direto: isto e,
G ×H = (x, y); x ∈ G, y ∈ H, e G ×H e um grupo se definimos o produto de (x′, y′)
por (x′′, y′′) por (x′x′′, y′y′′). Analogamente, se S e T sao espacos topologicos denotamos
por S × T = (x, y); x ∈ S, y ∈ T. S × T e um espaco topologico se definimos uma
vizinhanca de (x, y) sendo um conjunto O×P onde O e uma vizinhanca (em S) de x e P
e uma vizinhanca (em T ) de y. Se G e H sao grupos topologicos denotaremos por G×H
o grupo produto direto com a topologia produto.
No restante deste capıtulo iremos assumir que G e um grupo sobre o qual esta definida
uma topologia de Hausdorff de modo que G se torna um espaco topologico localmente
compacto e que G e um grupo topologico.
Vamos provar que existe uma medida ν definida para todos os conjuntos de Borel que
e invariante sob multiplicacao a esquerda em G, isto e, ν(M) = ν(aM) para todo a ∈ G e
todo conjunto de Borel M . Como foi visto anteriormente, sera suficiente encontrar uma
aplicacao λ : C ⊂ S; C e compacto → [0, +∞] satisfazendo as condicoes: (1.4), (1.5),
(1.17) se C ⊂ D entao λ(C) ≤ λ(D),
(1.18) se C i 6= ∅ entao λ(C) > 0,
(1.19) λ(C) < ∞,
que e invariante sob multiplicacao a esquerda em G. Tal aplicacao λ sera construıda na
secao a seguir .
24
Primeiramente, iremos analisar a diferenca entre invariancia a esquerda e invariancia
a direita. O que nao interferira no resultado apresentado por dois motivos:
Se G e um grupo entao obtemos outro grupo Gd, substituindo a regra da multiplicacao
xy por yx. Logo, Gd e o mesmo conjunto que G, porem um grupo diferente (exceto quando
G e abeliano) e Gdd = G. Embora Gd tenha em geral uma regra de multiplicacao diferente
de G, temos que tera a mesma unidade 1 e o mesmo recıproco x−1.
Se G e um grupo topologico entao Gd e tambem um grupo topologico com a mesma
topologia.
Passando de G para Gd, as nocoes de direita e esquerda sao permutadas. Considere o
teorema I o qual e valido para todos os grupos G, ou para todos os grupos topologicos
os quais satisfacam condicoes topologicas, em geral compacidade ou compacidade local.
Entao o teorema que obtemos de I por permutacao da direita para a esquerda – o dual
Id – tambem e valido, para os mesmos grupos: Id e provado aplicando I para Gd ao inves
de G.
Mais especificamente: Se ν e qualquer medida invariante a esquerda em G, entao
ν ′(M) = ν(M−1), para todo conjunto M , e uma medida invariante a direita em G, e
vice-versa.
Deste modo, a existencia de uma medida invariante a esquerda para todo grupo
topologico localmente compacto, implica um resultado analogo com respeito a invariancia
a direita.
Isto nao necessariamente implica que qualquer medida invariante a esquerda ν (em um
grupo particular G) seja tambem invariante a direita. Nem que deva existir uma medida
ν, simultaneamente, invariante a esquerda e a direita para um dado grupo G. Veremos
a seguir que existem grupos G para os quais nem um caso nem outro ocorre. Alguns
exemplos de grupos para os quais ambos os casos ocorrem sao os grupos abelianos e os
grupos compactos.
Exemplo de uma medida invariante a esquerda que nao e invariante a direita:
Seja G o grupo de todas as transformacoes afins da reta R, definidas por
t → T (t) = xt + y (x, y fixados, x > 0).
Faremos corresponder a cada T = Tx,y o ponto z = (x, y) do plano Euclidiano. Esta e
uma correspondencia bijetiva entre G e o semi-plano x > 0. Topologizaremos G com a
topologia induzida por esta correspondencia. Sera conveniente pensar nos elementos z
como elementos de G. A lei de multiplicacao em G e descrita pela formula
z′z′′ = (x′, y′)(x′′, y′′) = (x′x′′, x′y′′ + y′),
25
enquanto os elementos inversos e a unidade sao dados por: z−1 = (x, y)−1 =(1
x,−y
x
)e
1 = (1, 0) simultaneamente. Temos que G e um grupo topologico.
Iremos construir medidas da forma ν(E) =
∫
E
ϕ(z)dm(z) para todo conjunto compacto
E, onde m e medida de Lebesgue. Se escrevemos, para qualquer z = (x, y) ∈ G,
µ∗(z; E) = m(Ez), ∗µ(z; E) = m(zE),
entao
µ∗(z; E) = xm(E), ∗µ(z; E) = x2m(E).
Denotamos
ν(E) =
∫
E
ϕ(z)dmz.
Entao, para zo = (xo, yo) temos:
ν(Ezo) =
∫
Ezo
ϕ(z)dmz =
∫
E
ϕ(zzo)dµ∗(zo; z) =
∫
E
ϕ(zzo)xo dmz,
ν(zoE) =
∫
zoE
ϕ(z)dmz =
∫
E
ϕ(zoz)dµ∗(zo; z) =
∫
E
ϕ(zoz)x2o dmz.
Assim, a invariancia a esquerda e a direita de ν e equivalente a
(1.20)
∫
E
ϕ(zoz)x2o dmz =
∫
E
ϕ(z)dmz
e
(1.21)
∫
E
ϕ(zzo)xo dmz =
∫
E
ϕ(z)dmz
respectivamente. Temos que (1.20) e satisfeita para qualquer ϕ tal que ϕ(zoz)x2o ≡ ϕ(z). E
a relacao (1.21) e satisfeita para qualquer ϕ tal que ϕ(zzo)xo ≡ ϕ(z). Tomando ϕ(z) =1
x2
(ou ϕ(z) =
1
x
)obtemos uma medida invariante a esquerda (ou invariante a direita), porem
nao invariante a direita (ou invariante a esquerda).
Terminaremos esta secao provando o seguinte lema:
Lema 1.5.2. Se A e B sao subconjuntos compactos do grupo topologico G entao A¯ B
tambem e compacta.
Demonstracao. O conjunto A×B e compacto em G×G. A aplicacao (x, y) ∈ G×G 7→xy ∈ G e contınua, pois G e um grupo topologico. Como A×B ⊂ G×G compacto entao
a sua imagem A¯B sera compacto.
26
1.6 Preliminares para a construcao da medida de
Haar
A construcao que segue e baseada no trabalho pioneiro de Haar. O procedimento que
sera realizado difere do original em dois aspectos:
Primeiro: Haar usou o processo diagonal, isto e, selecao de subsequencias sucessivas, para
obter limites. Isto restringe a aplicacao de seu metodo para grupos separaveis.
Segundo: Separando as duas nocoes de λ e ν , como foi visto anteriormente, podemos
enquadrar a discussao na teoria geral de medida.
Consideraremos nesta secao que G e um grupo topologico localmente compacto.
Dado um conjunto compacto C e um conjunto arbitrario M com M i 6= ∅, definiremos
uma aplicacao n[ C
M
]como segue. Sendo M i 6= ∅, todo ponto de G esta contido em um
conjunto apropriado aM i, a ∈ G. Entao a uniao de todos os conjuntos aM i cobre C, onde
os conjuntos aM i sao abertos e C e compacto. Consequentemente, C pode ser coberto
por um numero finito deles:
(1.22) C ⊂ a1Mi ∪ · · · ∪ anM i n ∈ N, ai ∈ G.
Denotemos o menor n para o qual (1.22) e valida por n[ C
M
].
Por exemplo, se G e o plano Euclidiano, C e um conjunto fechado e limitado arbitrario,
e D e um cırculo fechado de raio r. O numero n[C
D
], neste caso, e o menor numero n(r)
de cırculos de raio r necessarios para cobrir C. Claramente para todo r > 0, n(r)πr2 ≥m(C), onde m e medida de Lebesgue. E possıvel mostrar (ver [4]) que limr→0 n(r)πr2 =2π√
3
9m(C). Em outras palavras, comecando com a nocao usual de medida, a qual
associa πr2 como a area de um cırculo de raio r, finalizamos com uma medida diferente,
um multiplo constante da original. Por este motivo nao iremos usar n[C
D
]como uma
comparacao dos “tamanhos”de C e D , ao inves disso, tomaremos um conjunto compacto
A fixo com Ai 6= ∅, e utilizaremos o quociente n[C
A
]/n[D
A
].
Podemos verificar que
(1.23) n
[C
M
]≤ n
[C
E
]n
[E
M
],
onde E satisfaz duas condicoes: E compacto e Ei 6= ∅.
(1.24) n
[C ∪D
M
]≤ n
[C
M
]+ n
[D
M
]
27
quando C e D sao compactos. Temos tambem que:
(1.25) n
[C
M
]≤ n
[D
M
]se C ⊂ D,
(1.26) n
[C
M
]= 0 se, e so se, C = ∅,
(1.27) n
[aC
M
]= n
[C
M
], a ∈ G.
Tomemos um conjunto compacto E com Ei 6= ∅, a existencia de um tal conjunto segue
da compacidade local de G. Fixemos o conjunto E. Para qualquer conjunto compacto C
e qualquer conjunto compacto A com Ai 6= ∅, definiremos a aplicacao
(1.28) λA(C) =n[
CA
]
n[
EA
] ·
onde o denominador e nao nulo por (1.25).
Proposicao 1.6.1. A aplicacao λA(C) =n[
CA
]
n[
EA
] · possui as seguintes propriedades:
(1.29) 0 ≤ λA(C) ≤ ∞,
(1.30) λA(C ∪D) ≤ λA(C) + λA(D),
(1.31) λA(C ∪D) = λA(C) + λA(D) se (D−1 ¯ C) ∩ (A−1 ¯ A) = ∅,
(1.32) λA(C) ≤ λA(D) se C ⊂ D,
(1.33) λA(C) ≤ 1/n[E
C
]> 0, se Ci 6= ∅,
(1.34) λA(C) ≤ n[C
E
]< ∞,
(1.35) λA(aC) = λA(C).
28
Demonstracao.
Para (1.30): Segue de (1.28) e (1.24).
Para (1.31): Segue de (1.28) , se a igualdade
(1.36) n
[C ∪D
A
]= n
[C
A
]+ n
[D
A
]
ocorre. Logo, basta verificarmos a igualdade (1.36). Temos, por (1.24) , que
n
[C ∪D
A
]≤ n
[C
A
]+ n
[D
A
].
Por definicao, se k = n
[C ∪D
A
]entao k e o menor natural tal que C ∪D ⊂ a1A
i ∪ · · · ∪akA
i n ∈ N, ai ∈ G.
Temos, por (D−1 ¯ C) ∩ (A−1 ¯ A) = ∅, que nao existe j ∈ 1, 2, . . . , k tal que
ajAi ∩C 6= ∅ e ajA
i ∩D 6= ∅. Caso contrario, se existe u ∈ ajAi ∩C e v ∈ ajA
i ∩D entao
existem x, y ∈ Ai tais que
v = ajy e u = ajx.
Assim, vy−1 = aj ⇒ u = vy−1x ⇒ v−1u = y−1x. Porem, v−1u ∈ D−1 ¯ C e y−1x ∈A−1 ¯ A, isto e, (D−1 ¯ C) ∩ (A−1 ¯ A) 6= ∅, o que e uma contradicao.
Desta forma, n
[C ∪D
A
]≥ n
[C
A
]+n
[D
A
]e portanto, n
[C ∪D
A
]= n
[C
A
]+n
[D
A
].
Para (1.32): Segue de (1.28) e (1.25).
Para (1.33): Segue de (1.28) e (1.23), substituindo C, E e M de (1.23) por E, C e A
e por C, E e A, respectivamente.
Para (1.34): Segue de (1.28) e (1.23), substituindo C, E e M por E, C e A e por C,
E e A, respectivamente.
Para (1.35): Por (1.28) e (1.27).
Antes de ir adiante, observemos que (1.31) e uma forma enfraquecida da condicao
aditiva , como afirmado em (1.5). De fato, a hipotese de (1.5) e
(1.37) C ∩·D = ∅.
Enquanto que a hipotese de (1.31) e
(1.38) (D−1 ¯ C)·∩ (A−1 ¯ A) = ∅.
29
Agora, (1.38) implica (1.37), pois (1.37) e equivalente a 1 /∈ D−1 ¯ C, quando 1 ∈A−1 ¯ A. Consequentemente, (1.38) implica (1.37), ou seja, (1.31) implica (1.24), se
1 ∈ A−1¯A. Notemos que as propriedades (1.29)-(1.35) de λA coincidem com as condicoes
(1.4), (1.5) e (1.17)-(1.19) para λ.
Estas consideracoes motivam o lema que segue, o qual afirma que para quaisquer dois
conjuntos compactos C, D satisfazendo (1.37) e possıvel encontrar um conjunto compacto
A com Ai 6= ∅ com o qual a condicao (1.38) e satisfeita.
Lema 1.6.2. Se C, D sao conjuntos compactos tais que C ∩D = ∅, entao (D−1 ¯C)c e
um conjunto aberto contendo 1.
Demonstracao. Temos que D−1 e compacto, ja que este e a imagem por aplicacao contınua
do compacto D. Pelo lema 1.5.2, D−1 ¯ C e compacto, logo (D−1 ¯ C)c e aberto. Como
C ∩D = ∅ implica 1 /∈ D−1 ¯ C, portanto 1 ∈ (D−1 ¯ C)c.
Lema 1.6.3. Se O e um conjunto aberto contendo 1 entao existe um conjunto compacto
Ao, com 1 ∈ Aio, tal que A−1
o ¯ Ao ⊂ O.
Demonstracao. Como y−1x e uma aplicacao contınua de x e y, e posssıvel encontrar dois
conjuntos abertos O1 e O2 contendo 1 tais que se x ∈ O1 e y ∈ O2 entao y−1x ∈ O, ou
seja, O−12 ¯ O1 ⊆ O. Aplicando agora o lema 1.1.5 com 1 e O1 ∩ O2 no lugar de C e
O e substituindo D por Ao, obtemos que 1 ∈ Aio ⊂ Ao ⊂ O1 ∩ O2 , e consequentemente,
A−1o ¯ Ao ⊂ O.
Definicao 1.6.4. Seja I um conjunto fixado arbitrario. Uma colecao nao vazia T de
subconjuntos de I e dita um ideal se T contem todos os subconjuntos de I e para dois
conjuntos quaisquer em T a uniao permanece na colecao T .
Prosseguiremos com o processo mencionado na secao 1.5. Faremos isto encontrando
um conjunto adequado de ındices I e um ideal = de I.
Definicao 1.6.5. Seja Ξ o espaco das aplicacoes, com as operacoes usuais,
x : I → Rα → xα
ditas sequencias generalizadas. Aqui, ξ ∈ Ξ significa que ξ = (xα)α∈I. Alem disso, para
todo αo ∈ I iremos tomar a funcao
ψαo : Ξ → Rξ = (xα)α∈I → ψαo(ξ) = xαo .
30
Seja ϕ um funcional definido sobre um subconjunto do espaco das sequencias generalizadas
Ξ′. Dado um conjunto de ındices I dizemos que um subconjunto de I, I ′, e associado a
ϕ se dadas ξ1, ξ2 ∈ Ξ′ temos que e valida a seguinte condicao: se ψα(ξ1) = ψα(ξ2) para
α /∈ I ′ entao ϕ(ξ1) = ϕ(ξ2).
Lema 1.6.6. A colecao Tϕ de todos os conjuntos I ′ ⊂ I que sao associados a ϕ e um
ideal que sera chamado o ideal associado ao funcional ϕ.
Demonstracao. A demonstracao pode ser encontrada em [6].
Observacao: Notemos que existencia de um tal funcional ϕ e garantida pelo Teorema
de Tychonoff, e assim pelo Teorema de Kelley, faz uso indireto do Axioma da Escolha.
No entanto, como veremos o processo construtivo que vamos apresentar no capıtulo 3
vai garantir que uma vez que seja possıvel tomar limites de sequencias generalizadas sera
possıvel construir a medida de Haar.
Iremos escolher para I a famılia de todos os conjuntos compactos A ⊂ G com 1 ∈ Ai
para os quais foi definida a aplicacao λA vista em (1.28). Em outras palavras, I e a
classe dos compactos A para os quais λA esta definida, exceto que a exigencia Ai 6= ∅e substituıda pela exigencia 1 ∈ Ai. Considere a famılia I ′ ⊂ I satisfazendo as duas
condicoes a seguir:
Condicao 1.6.7. Existe um Ao ∈ I tal que A ∈ I ′ implica A 6⊂ Ao.
Condicao 1.6.8. Existe um conjunto aberto O contendo 1 tal que A ∈ I ′ implica A 6⊂ O.
Observemos:
Lema 1.6.9. As duas condicoes 1.6.7 e 1.6.8 sao equivalentes. Denotemos a classe de
todas as famılias I ′ ⊂ I as quais satisfazem uma das condicoes acima, por =.
Demonstracao. 1.6.7 ⇒ 1.6.8: Tome O = Aio. Para 1.6.8 ⇒ 1.6.7: use a compacidade
local de G.
Lema 1.6.10. = e um ideal, = 6= I.
31
Demonstracao. Provemos, inicialmente, que = e um ideal. Com efeito, se I ′ ∈ = e I ′′ ⊂ I ′entao I ′′ ∈ = e se I ′, I ′′ ∈ = entao I ′ ∪ I ′′ ∈ =, pois se I ′′ satisfaz a condicao 1.6.7 com
A′o e para I ′′ com A′′
o entao I ′ ∪ I ′′ com A′o ∩ A′′
o .
Por fim, iremos mostrar que = 6= I. Pela condicao 1.6.7 temos que A 6⊂ Ao o que
exclue que a condicao 1.6.7 seja valida para I com qualquer Ao, por isso I /∈ =, ou seja,
= 6= I.
Seja ϕ um funcional definido sobre o espaco das sequencias generalizadas limitadas
(xA | A ∈ I) de numeros reais xA tais que o ideal associado a ϕ contem =, cuja existencia
esta provada em [6]. Para todo C fixado (1.29) e (1.34) implicam que (λA(C) | A ∈ I) e
uma sequencia limitada, e assim, podemos definir
(1.39) λ(C) = ϕ(λA(C) | A ∈ I).
Proposicao 1.6.11. A aplicacao λ possui as seguintes propriedades:
(1.40) 0 ≤ λ(C) < ∞,
(1.41) λ(C ∪D) ≤ λ(C) + λ(D),
(1.42) λ(C ∪D) = λ(C) + λ(D), se C ∩D = ∅,
(1.43) λ(C) ≤ λ(D) se C ⊂ D,
(1.44) λ(C) > 0, se Ci 6= ∅,
(1.45) λ(aC) = λ(C), a ∈ G.
32
Demonstracao.
Para (1.40): Segue de (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.41): Por (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.42): De acordo com (1.31),
(1.46) λA(C ∪D) = λA(C) + λA(D),
exceto quando
(1.47) (D−1 ¯ C) ∩ (A−1 ¯ A) 6= ∅.
Agora, (1.47) significa que A−1¯A 6⊂ (D−1¯C)c. Tomemos O = (D−1¯C)c no lema
1.6.2, e formemos o Ao do lema 1.6.3 para este aberto O. Entao A−1o ¯Ao ⊂ (D−1¯C)c.
Deste modo, (1.47) implica A 6⊂ Ao .
Assim, o conjunto de todos os A ∈ I para os quais (1.46) nao e valida, pertence a =,
pelo lema 1.6.9.
Consequentemente,
ϕ(λA(C ∪D) | A ∈ I) = ϕ(λA(C) + λA(D) | A ∈ I)
= ϕ(λA(C) | A ∈ I) + ϕ(λA(D) | A ∈ I),
isto e,
λ(C ∪D) = λ(C) + λ(C).
Para (1.43): Segue de (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.44): Por (1.33), temos que λ(C) ≤ 1/n[
EC
]> 0.
Para (1.45): Por (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Pela observacao feita na secao 1.5, a existencia de uma medida λ com as propriedades
(1.40)-(1.42) prova a existencia de uma medida de Haar invariante a esquerda.
1.7 Conexao entre topologia e medida
Nesta secao, mostraremos que ν e uma medida de Haar invariante a esquerda, ou seja,
satisfaz ν(aM) = ν(M) para todo a ∈ G e M,aM conjuntos mensuraveis.
Lema 1.7.1. G e compacto se, e so se, ν(G) e finito.
33
Demonstracao. Como ja vimos, a definicao de ν garante que a compacidade de G implica
que ν(G) < ∞. Precisamos portanto, considerar apenas a afirmacao oposta .
Suponhamos entao que G nao e compacto. Consideremos uma medida de Haar ν em
G invariante a esquerda. Seja O qualquer vizinhanca da identidade para a qual D = O e
compacto. Entao D−1 e compacto, de modo que, pelo lema 1.5.2, C = D¯D−1 tambem
e compacto. Escrevamos a1 = 1, e tomemos a1, . . . , an ∈ G. Considere o conjunto
compacto a1C ∪ · · · ∪ anC. Se G nao e compacto podemos encontrar an+1 ∈ G de modo
que an+1 /∈ a1C ∪ · · · ∪ anC. Deste modo, obtemos uma sequencia infinita an de
elementos de G tais que para p < q, aq /∈ apC = ap(D ¯ D−1). Isto significa que apD e
aqD sao disjuntos sempre que p < q logo, por simetria, sempre que p 6= q. Assim,
ν(G) ≤∞∑i=1
ν(aiD) = ∞,
pois
ν(aiD) = ν(D) ≥ ν(O) > 0.
Portanto, se ν(G) e finito entao G e compacto.
Teorema 1.7.2. Se G e compacto entao existe sobre G uma medida de Haar ν para a
qual
ν(aM) = ν(M) = ν(Ma)
para todo a ∈ G e ν(M) = ν(M−1).
Demonstracao. Como G e compacto entao G×G e tambem compacto, e existe em G×G
uma medida de Haar invariante a esquerda ν∗, como foi visto no final da secao 1.6. Para
todo conjunto de borel M ⊂ G, seja M∗ ⊂ G×G o conjunto de todos os (x, y) ∈ G×G
para os quais xy−1 ∈ M . Como M∗ e a imagem inversa do aberto M pela aplicacao
contınua (x, y) → (xy−1). Por isso, M∗ e um conjunto de Borel como M . Portanto,
podemos definir uma medida em G por ν ′(M) = ν∗(M∗) para todo conjunto de Borel M .
Isto e possıvel por causa da compacidade de G e de G×G, o que implica que ν∗(G×G)
e finito e, com isto, todo ν∗(M∗) e todo ν ′(M) tambem sao finitos. Sem a hipotese da
compacidade de G nao e possıvel garantir que ν ′(M) seja sempre finito.
Agora,
(aM)∗ = (a, 1)M∗, (Ma)∗ = (1, a−1)M∗,
de modo que
ν ′(aM) = ν ′(M) = ν ′(Ma).
Desta forma, ν(M) = ν ′(M) + ν ′(M−1) satisfaz o teorema.
34
Vimos no lema 1.7.1 que uma condicao topologica (compacidade) e equivalente, para
grupos, a restricao teorica da finitude da medida.
E possıvel mostrar que vale um resultado analogo ao teorema 1.7.2 tambem para o caso
nao-finito. Por restricao de espaco omitimos os detalhes deste ultimo caso, que podem
ser encontrados em [6].
35
Capıtulo 2
A unicidade da Medida de Haar
Neste segundo capıtulo iremos introduzir algumas classes de conjuntos e estudar a regu-
laridade das medidas. Apos estabelecer o teorema de Fubini vamos utiliza-lo para provar
a unicidade da medida de Haar.
2.1 Algumas classes especiais de conjuntos
Nesta secao iremos discutir algumas propriedades de certas classes de conjuntos as quais
aplicaremos no ultimo capıtulo.
Seja M um subconjunto arbitrario do grupo topologico G, definimos a seguir cinco
classes de subconjuntos de M .
Definicao 2.1.1. Uma classe D de conjuntos e do tipo 1 se dados A,B ∈ D existe um
numero finito de conjuntos dois a dois disjuntos, C1, . . . , Cn, tais que
(A ∩B)c = C1 ∪ · · · ∪ Cn .
Iremos usar a letra D para denotar uma classe generica deste tipo .
Definicao 2.1.2. Uma classe F de conjuntos e uma algebra se A,B ∈ F implica A ∪ B
e (A ∩B)c ∈ F . Observemos que se A, B ∈ F entao A ∩B = (A ∪B) ∩ (A′ ∪B′)c, onde
A′ = (A ∪B) ∩ Ac e B′ = (A ∪B) ∩Bc, o implica que A ∩B ∈ F .
36
Definicao 2.1.3. Uma classe B de conjuntos e uma algebra de Borel se A1, A2, · · · ∈ Bimplica
⋃∞i=1 Ai ∈ B e A ∩ B ∈ B implica A ∩ Bc ∈ B. Notemos que, como foi dito
anteriormente,∞⋂i=1
Ai = (∞⋃i=1
Ai) ∩ (∞⋃i=1
A′i)
c,
onde A′i = (
⋃∞i=1 Ai) ∩ Ac
i .
Assim,⋂∞
i=1 Ai ∈ B.
Definicao 2.1.4. Uma classe N de conjuntos e um anel monotono de Borel se A1 ⊂A2 ⊂ . . . e Ai ∈ N para todo i ∈ N, implica que
⋃∞i=1 Ai ∈ N e, ao mesmo tempo, se
A1 ⊃ A2 ⊃ . . . e Ai ∈ N para todo i ∈ N implica que⋂∞
i=1 Ai ∈ N .
Notemos que a classe de todos os subconjuntos de M satisfaz as cinco definicoes, e
que a intersecao de um numero qualquer de aneis, algebras, algebras de Borel, ou aneis
monotonos de Borel, respectivamente, e novamente uma classe do mesmo tipo. Por isso,
a uma classe arbitraria C de conjuntos podemos associar a intersecao de todos aneis con-
tendo C: esta intersecao e o menor anel contendo C, denotamos por R(C). Similarmente,
denotamos por F(C), B(C) e M(C), respectivamente, a menor algebra, algebra de Borel,
ou anel monotono de Borel contendo C. A afirmacao acima nao se aplica para conjuntos
do tipo D: a intersecao de dois conjuntos do tipo D nao sera, necessariamente, do tipo
D e pode nao definir o menor conjunto do tipo D contendo C . Iremos usar D′(C) para
denotar a colecao de todos conjuntos da forma C1 ∪ · · · ∪ Cn , onde Ci ∈ C e para i 6= j
tem-se Ci ∩ Cj = ∅ .
Lema 2.1.5. Seja R um anel e tomemos Z a classe de todos os conjuntos da forma
A ∩ Bc, onde A e B sao elementos arbitrarios de R e Z ′ a classe de todos conjuntos da
forma A ∩Bc onde A,B ∈ R tais que A ⊃ B. Entao Z e do tipo D e Z = Z ′.
Demonstracao. Temos que Z ′ ⊂ Z. Por outro lado, A,B ∈ R implica A∩Bc = A∩ (A∩B)c ∈ Z ′. Logo, Z = Z ′. Considere agora a diferenca de quaisquer dois conjuntos em Z ′:
isto e, suponhamos que A1, B1, A2, B2 ∈ R e sao tais que A1 ⊃ B1 , A2 ⊃ B2 , e considere
(A1 ∩Bc1) ∩ (A2 ∩Bc
2)c. Temos
(A1 ∩Bc1) ∩ (A2 ∩Bc
2)c = (A1 ∩Bc
1) ∩ (Ac2 ∪B2) = (A1 ∩Bc
1 ∩ Ac2) ∪ (A2 ∩Bc
1 ∩B2) =
= A1 ∩ (A2 ∪B1)c ∪ (A1 ∩B2) ∩Bc
1 .
Como (A2 ∪ B1)c ⊂ Ac
2 ⊂ Bc2 entao os termos da ultima uniao sao disjuntos, e visto que
R e um anel segue que cada conjunto desta uniao esta em Z. Isto completa a prova de
que Z e do tipo D.
37
Lema 2.1.6. Se Z e uma classe do tipo D entao F(Z) = D′(Z).
Demonstracao. Temos que D = D′(Z) ⊂ F ⊂ F(Z). Provaremos que D = F mostrando
que D e uma algebra.
Pela definicao de D′(Z) temos que Di ∈ D para todo i ∈ 1, . . . , n(2.1)
e Di ∩ Dj = ∅ para i 6= j implica D1 ∪ D2 ∪ · · · ∪ Dn ∈ D.
(2.2) Se A,B ∈ Z temos que A ∩Bc ∈ D.
(2.3) Se A ∈ D e B ∈ Z entao A ∩Bc ∈ D.
Por hipotese, podemos escrever A como uma uniao disjunta de conjuntos de Z, A =
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An tal que
A ∩Bc = (A1 ∪ · · · ∪ An) ∩Bc = (A1 ∩Bc) ∪ · · · ∪ (An ∩Bc).
Por (2.2) , Ai ∩Bc ∈ D e segue de (2.1) que A ∩Bc ∈ D.
(2.4) Se A,B ∈ D entao A ∩Bc ∈ D.
Se B = B1 ∪ · · · ∪ Bn , onde os Bi sao conjuntos de Z, dois a dois disjuntos, entao
A ∩Bc = A ∩ (B1 ∪ · · · ∪ Bm)c = A ∩Bc1 ∩Bc
2 ∩ · · · ∩Bcm ,
e o resultado desejado segue da aplicacao repetida de (2.3).
(2.5) Se A,B ∈ D entaoA ∩B ∈ D.
Temos que A ∪ B = (A ∩ Bc) ∪ B e uma uniao de conjuntos disjuntos os quais por
(2.4) pertence a FD. Assim, por (2.1), pertence a D.
Juntas as afirmacoes (2.4) e (2.5) mostram que D e uma algebra.
Lema 2.1.7. Se F e uma algebra entao B(F) = M(F).
38
Demonstracao. A estrutura desta prova e analoga a dada anteriormente. Observemos que
M = M(F) ⊂ B = B(F). Iremos completar a prova mostrando que M e uma algebra
de Borel. Observemos que e suficiente provar que M e uma algebra. Pois, se M e uma
algebra e Ai ∈ M, i ∈ N, entao A′i = A1 ∪ · · · ∪ Ai ∈ M, daı, como M e, por definicao,
um anel monotono de Borel ,∞⋃i=1
Ai =∞⋃i=1
A′i ∈M.
Agora, para provar queM e uma algebra introduzimos tres classes auxiliares de conjuntos
como segue:
Consideremos a classe
M′
M′′
M′′′
dos conjuntos A tais que para todo B ∈
FM′
M
temos A ∪ B, A ∩ Bc, Ac ∩ B ∈ M.
Temos que M′, M′′ e M′′′ sao aneis monotonos de Borel, pois M e unico. Se A ∈ M′ e
B ∈ F entao, pela definicao de M′, A ∪B, A ∩Bc, Ac ∩B ∈M de modo que, trocando
os papeis de A e B e usando a definicao de M′′, B ∈ M′′. Isto significa que F ⊂ M′′ e,
portanto,
(2.6) M = M(F) ⊂M′′.
Assim, se A ∈M, de modo que A ∈M′′, e B ∈M′ entao A∪B, A∩Bc, Ac∩B ∈M.
Trocando novamente os papeis de A e B e usando a definicao de M′′, segue que B ∈M′′′.
Em outras palavras,
(2.7) M′ ⊂M′′′.
Finalmente, o fato de que F e uma algebra implica que F ⊂M′ de modo que
(2.8) M = M(F) ⊂M′.
Combinando (2.7) e (2.8) obtemos
M⊂M′′′
e isto implica que para A,B ∈M, e portanto, para A ∈M′′′, B ∈M, temos que A∪B,
A ∩Bc, Ac ∩B ∈M, isto e, M e uma algebra.
39
Se E e uma classe arbitraria de conjuntos e Ao e um conjunto dado , denotamos por
EAo a classe de todos os conjuntos da forma A ∩ Ao , onde A ∈ E .
Lema 2.1.8. Se R e um anel e Ao ∈ R, entao
(2.9) RAo e o conjunto de todos B ∈ R com B ⊂ Ao,
e
(2.10) B(RAo) = (B(R))Ao .
Demonstracao. Para (2.9): Todo elemento B de RAo tem a forma B = A ∩ Ao , A ∈ R.
Assim, B ∈ R, B ⊂ Ao . Reciprocamente, B ∈ R, B ⊂ Ao implica B = B ∩ Ao ∈ RAo .
Para (2.10): Por (2.9) RAo ⊂ R de modo que B(RAo) ⊂ B(R). Como os conjuntos
B ⊂ Ao formam uma algebra de Borel a qual contem todos RAo e portanto, B(RAo)
entao B(RAo) ⊂ (B(R))Ao . Reciprocamente, os conjuntos A com A ∩ Ao ∈ B(RAo)
formam uma algebra de Borel. Como A ∈ R implica que A ∩ Ao ∈ RAo ⊂ B(RAo) esta
algebra de Borel contem R e, portanto, B(R). Daı
(B(R))Ao ⊂ B(RAo)
como querıamos provar.
Lema 2.1.9. Se R e um anel e A ∈ B(R) entao existe uma sequencia Aii∈N de con-
juntos em R tais que
(2.11) A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ,
(2.12) A = (A ∩ A1) ∪ (A ∩ A2) ∪ · · · .
Demonstracao. A classe de todos os subconjuntos da forma⋃∞
i=1 Ai com Ai ∈ R e uma
algebra de Borel contendo R e, por conseguinte, contendo B(R). Isto prova que todo
A ∈ B(R) pode ser escrito na forma (2.12) com Ai ∈ R, substituindo Ai por A1∪ · · · ∪Ai
obtemos (2.11).
Combinando os lemas 2.1.5-2.1.9 obtemos:
40
Teorema 2.1.10. Tome R como sendo um anel qualquer de subconjuntos de M . Obte-
mos a menor algebra de Borel B(R) contendo R pela seguinte sequencia de passos .
Para qualquer Ao ∈ R tome:
(i) a classe RAo formada pelos conjuntos A ∈ R com A ⊂ Ao ;
(ii) a classe DAo formada pelos conjuntos A ∩Bc, com A,B ∈ RAo, A ⊂ B;
(iii) a classe FAo formada pelos conjuntos A1 ∪ · · · ∪An , onde os Ai sao conjuntos dois
a dois disjuntos de DAo;
(iv) o anel monotono de Borel MAo = M(FAo);
(v) a classe B formada pelos conjuntos A =⋃∞
i=1 Ai, onde A1 ⊂ A2 ⊂ . . . e Ai ∈ FAo.
Entao B(R) = B.
Observamos que se µ : B = B(R) → [0,∞] e uma medida completamente aditiva tal
que e finita para todo A ∈ R, entao podemos determinar uma medida sobre os conjuntos
formados em cada um dos passos de (i) a (v).
De fato, para (i) temos que RAo e apenas uma subclasse de R. Para (ii), basta usar a
operacao A ∩ Bc com A ⊃ B onde µ(A), µ(B) sao finitas, pois A,B ⊂ Ao, de modo que
µ(A∩Bc) = µ(A)− µ(B). Para (iii) basta usar a operacao A1 ∪ · · · ∪An, onde os Ai sao
conjuntos dois a dois disjuntos, de modo que
µ(A1 ∪ · · · ∪ An) = µ(A1) + · · ·+ µ(An).
Enquanto, a medida sobre a classe MAo = M(FAo) determinada em (iv) e baseada nas
operacoes⋃∞
i=1 Ai com A1 ⊂ A2 ⊂ . . . e⋂∞
i=1 Ai com A1 ⊃ A1 ⊃ . . . . Assim, como
todos os µ(Ai) sao finitos, pois Ai ⊂ Ao, temos que µ(⋂∞
i=1 Ai) e µ(⋃∞
i=1 Ai) sao iguais
a limi→∞
µ(Ai). Finalmente, para a classe B dada em (v), basta utilizarmos novamente a
operacao⋃∞
i=1 Ai com A1 ⊂ A2 ⊂ . . . .
Desta maneira, algumas propriedades de µ sobre B(R) podem ser estabelecidas provando
que elas sao validas para µ sobre R. A tıtulo de ilustracao mencionamos que se duas me-
didas µ e ν sao iguais sobre R, entao elas sao iguais sobre B.
2.2 Regularidade
No restante do nosso trabalho quando discutimos medidas sobre espacos topologicos lo-
calmente compactos consideraremos R como o anel de todos os subconjuntos compactos
de G e B = B(R) a menor algebra de Borel contendo R.
41
Considere as seguintes condicoes sobre uma medida ν:
(2.13) ν(M) = supC⊂M
Ccompacto
ν(C), para todo M,
(2.14) ν(M) = infM⊂O
Oaberto
ν(O), para todo M.
Lema 2.2.1. Ambas condicoes (2.13) e (2.14) sao hereditarias sob os passos (iii), (iv),
e (v) de 2.1.10, isto e, na notacao de 2.1.10, a validez destas condicoes para todos os
conjuntos M em todo DAo garante sua validez para todo M ∈ B = B(R), onde R e o anel
de todos os conjuntos compactos.
Demonstracao. Concluımos da discussao que segue ao teorema 2.1.10 que devemos provar
(2.13) e (2.14) para os seguintes casos:
(i) A1 ∪ · · · ∪ An , onde os Ai sao dois a dois disjuntos,
(ii)⋃∞
i=1 Ai onde A1 ⊂ A2 ⊂ . . . ,
(iii)⋂∞
i=1 Ai, onde A1 ⊃ A2 ⊃ . . . .
Em cada uma das afirmacoes (i)-(iii) todo Ai ⊂ Ao,i para algum Ao,i ∈ R. Assim, ν(Ai)
e finito para todo i.
Iremos provar as seguintes afirmacoes :
Para (2.13) e (i): Dado ε > 0, escolha Ci ⊂ Ai com ν(Ci) ≥ ν(Ai) − ε
n· Tome C =
C1∪ · · · ∪Cn . Temos que C ⊂ A1∪ · · · ∪An . Como os Ci sao dois a dois disjuntos, assim
como os Ai , vale
ν(C) = ν(C1) + · · ·+ ν(Cn) ≥ ν(A1) + · · ·+ ν(An)− ε = ν(A1 ∪ · · · ∪ An)− ε.
Para (2.13) e (ii): Escolha α arbitrario com ν(⋃∞
i=1 Ai) > α. Isto significa que limi→∞
ν(Ai) >
α, assim podemos escolher um j com ν(Aj) > α. Tome C ⊂ Aj compacto com ν(C) > α
e C ⊂ ⋃∞i=1 Ai .
Para (2.13) e (iii): Seja ε > 0. Escolha Ci ⊂ Ai compacto com ν(Ci) ⊃ ν(Ai)− ε
2i· Tome
C =⋂∞
i=1 Ci . Temos que C ⊂ ⋂∞i=1 Ai . Deste modo,
(∞⋂i=1
Ai) ∩ (∞⋂i=1
Ci)c ⊂
∞⋃i=1
(Ai ∩ Cci )
42
daı
ν(∞⋂i=1
Ai)− ν(C) = ν(∞⋂i=1
Ai)− ν(∞⋂i=1
Ci)
= ν((∞⋂i=1
Ai) ∩ (∞⋂i=1
Ci)c) ⊂
∞∑i=1
ν(Ai ∩ Cci )
=∞∑i=1
(ν(Ai)− ν(Ci)) ≤ ε,
isto e, ν(C) ≥ ν(⋂∞
i=1 Ai)− ε.
Para (2.14) e (i): Seja ε > 0. Escolha Oi ⊃ Ai com ν(Oi) ≤ ν(Ai) +ε
n·
Tome O = O1 ∪ · · · ∪On . Logo, O ⊃ A1 ∪ · · · ∪ An . Alem disso,
ν(O) ≤ ν(O1) + · · ·+ ν(On) ≤ ν(A1) + · · ·+ ν(An) + ε = ν(A1 ∪ · · · ∪ An) + ε.
Para (2.14) e (ii): Seja ε > 0. Escolha Oi ⊃ Ai com ν(Oi) ⊂ ν(Ai) +ε
2i· Temos que
O ⊃ ⋃∞i=1 Ai . Desta forma,
(∞⋃i=1
Oi) ∩ (∞⋃i=1
Ai)c ⊂
∞⋃i=1
(Oi ∩ Aci)
daı
ν(O) = ν(∞⋃i=1
Ai) = ν(∞⋃i=1
Oi)− ν(∞⋃i=1
Ai)
= ν((∞⋃i=1
Oi) ∩ (∞⋃i=1
Ai)c) ⊂
∞∑i=1
ν(Oi ∩ Aci)
=∞∑i=1
(ν(Oi)− ν(Ai)) ≤ ε;
isto e, ν(O) ≤ ν(⋃∞
i=1 Ai) + ε.
Para (2.14) e (iii): Escolha α arbitrario com ν(⋂∞
i=1 Ai) < α. Isto significa que limi→∞
ν(Ai) <
α, assim podemos escolher um j com ν(Aj) < α. Tomemos O ⊃ Aj com ν(O) < α e
O ⊃ ⋂∞i=1 Ai.
Lema 2.2.2. A validade de (2.13) para todos os conjuntos abertos M com fecho compacto,
isto e, relativamente compactos implica sua validade para todos os conjuntos de Borel.
43
Demonstracao. Pelo lema 2.2.1, temos que provar que as condicoes do lema sao validas
para todos os conjuntos da forma C ∩Dc, onde C e D sao conjuntos compactos tais que
D ⊂ C. Suponhamos dados dois tais conjuntos compactos.
Escolha ε > 0 arbitrario, e um conjunto aberto O ⊃ C com fecho compacto. Entao
O ∩ Dc e tambem um conjunto aberto com fecho compacto de modo que, por hipotese,
podemos encontrar um conjunto compacto C ′ ⊂ O ∩ Dc com ν(C ′) ≥ ν(O ∩ Dc) − ε.
Desta maneira,
ν(O ∩Dc ∩ C ′c) = ν(O ∩Dc)− ν(C ′) ≤ ε.
Como C ∩ C ′ e compacto, C ∩ C ′ = C ∩ O ∩ Dc = C ∩ Dc e (C ∩ Dc) ∩ (C ∩ C ′)c =
C ∩ (Dc ∩ C ′c) ⊂ O ∩Dc ∩ C ′c, temos que
ν(C ∩Dc)− ν(C ∩ C ′) = ν((C ∩Dc) ∩ (C ∩ C ′)c) ≤ ν(O ∩Dc ∩ C ′c) ≤ ε,
ou seja, ν(C ∩ C ′) ≥ ν(C ∩D′)− ε.
Lema 2.2.3. A validade de (2.14) para todos os conjuntos compactos implica sua validade
para todos os conjuntos de Borel.
Demonstracao. Sejam C e D conjuntos compactos dados como no lema anterior.
Seja ε > 0 arbitrario. Por hipotese, podemos encontrar um conjunto aberto O ⊃ C
com ν(O) ≤ ν(C) + ε. Assim, ν(O ∩ Cc) = ν(O) − ν(C) ≤ ε. Como O ∩ Dc e aberto,
O ∩Dc ⊃ C ∩Dc e
(O ∩Dc) ∩ (C ∩Dc)c = (O ∩ Cc) ∩Dc ⊂ O ∩ Cc,
entao
ν(O ∩Dc)− ν(C ∩Dc) = ν((O ∩Dc) ∩ (C ∩Dc)c) ≤ ν(O ∩ Cc) ≤ ε
isto e, ν(O ∩Dc) ≤ ν(C ∩Dc) + ε.
Proposicao 2.2.4. As condicoes sobre a medida ν dadas a seguir sao equivalentes entre
si e a (2.13) assim como a (2.14):
Condicao 2.2.5. Para todo conjunto aberto O com fecho compacto
ν(O) = supC⊂O
Ccompacto
ν(C),
ou seja, vale (2.13).
44
Condicao 2.2.6. Para todo conjunto compacto C
ν(C) = infO⊂C
Oaberto
ν(O),
ou seja, vale (2.14).
Demonstracao. A condicao 2.2.5 e equivalente a (2.13) , pelo lema 2.2.2, enquanto que,
a condicao 2.2.6 e equivalente a (2.14), pelo lema 2.2.3. Entao basta provarmos que as
condicoes 2.2.5 e 2.2.6 sao equivalentes.
2.2.5 ⇒ 2.2.6: Sejam C um conjunto compacto e ε > 0. Escolha um conjunto aberto
O ⊃ C com fecho compacto. Entao O ∩ Cc tambem e um conjunto aberto com fecho
compacto. Tome C ′ compacto com
C ′ ⊂ O ∩ Cc com ν(C ′) ≥ ν(O ∩ Cc)− ε.
Assim, ν(O ∩ Cc ∩ C ′c) = ν(O ∩ Cc) − ν(C ′) ≤ ε. Agora, O ∩ C ′c e aberto e O ∩ C ′c ⊃O ∩ (O ∩ Cc)c = C. Alem disso,
ν(O ∩ C ′c)− ν(C) = ν(O ∩ C ′c ∩ Cc) ≤ ε,
isto e, ν(O ∩ C ′c) ≤ ν(C) + ε.
2.2.6 ⇒2.2.5: Seja O um conjunto aberto com fecho compacto . Escolha ε > 0 arbitrario.
O e compacto, assim como O ∩Oc (o bordo de O). Podemos encontrar, por hipotese, um
conjunto aberto O′ ⊃ O ∩Oc com ν(O′) ≤ ν(O ∩Oc) + ε. Deste modo,
ν(O′ ∩ (O ∩Oc)c) = ν(O′)− ν(O ∩Oc) ≤ ε.
Agora, O e compacto, e com isto O∩O′c. Assim, O∩O′c ⊂ O∩ (O∩Oc)c = O. Como
O ∩ (O ∩O′c)c = O ∩O′ ⊂ O′ ∩ (Oc ∪O) = O′ ∩ (O ∩Oc)c,
temos que
ν(O)− ν(O ∩O′c) = ν(O ∩ (O ∩O′c)c) ≤ ν(O′ ∩ (O ∩Oc)c) ≤ ε,
isto e, ν(O ∩O′c) ≥ ν(O)− ε.
Assim, se ν satisfaz qualquer uma das quatro condicoes equivalentes das condicoes
2.2.5 e 2.2.6 entao ν e uma medida regular. Nas secoes seguintes iremos assumir, alem
da hipotese geral formulada no comeco desta secao, que as medidas com as quais estamos
lidando sao regulares.
45
Observemos que 2.2.6 implica 2.2.5 mesmo que nao seja exigido que todo conjunto
compacto tenha medida finita. Na verdade, e possıvel supor apenas que nenhum ponto
tenha medida infinita. Pois neste caso, 2.2.6 implica que todo ponto p tem uma vizinhanca
Op de medida finita, de modo que para todo conjunto compacto C temos
C ⊂⋃p∈C
Op .
A compacidade implica que C ⊂ Op1 ∪ · · · ∪ Opn , por isso, ν(C) < ∞ e a prova pode
ser realizada como foi feito anteriormente.
As consideracoes sobre a regularidade de medidas ficam obscurecidas quando consider-
amos apenas espacos separaveis, pois em um espaco separavel localmente compacto toda
medida e regular. Para tal espaco todo conjunto fechado M e a intersecao de conjuntos
abertos O1, O2, . . . , ou seja, todo conjunto fechado e um Gδ. Se M = C e compacto,
podemos encontrar um conjunto aberto O ⊃ C com fecho compacto O = D, e substi-
tuindo cada Oi por O ∩O1 ∩ · · · ∩Oi , obtemos D ⊃ O1 ⊃ O2 ⊃ . . . , e⋂∞
i=1 Oi = C. Por
isso, lim ν(Oi) = ν(⋂∞
i=1 Oi) = ν(C), e isto implica 2.2.6, ou seja, a regularidade de ν.
2.3 Teorema de Fubini
Nesta secao assumiremos que S e T sao espacos topologicos localmente compactos e que
µ e ν sao medidas definidas sobre os conjuntos de Borel de S e T , respectivamente.
Recordemos que, de acordo com as convencoes do paragrafo anterior, µ e ν sao regu-
lares e finitas sobre os conjuntos compactos.
Definicao 2.3.1. Uma funcao f e uma funcao de Baire se seus valores sao numeros reais
positivos, e para todo α > 0 o conjunto de todos x para os quais f(x) ≥ α e um conjunto
de Borel.
Esta famılia de funcoes e fechada sob as operacoes de adicao, subtracao, multiplicacao,
e para o limite de sequencias convergentes.
Em analogia a teoria usual de Lebesgue podemos desenvolver a teoria de integracao
para o tipo de medida que estamos considerando. No que segue vamos faze-lo em relacao
aos conceitos de integral, e integrabilidade de uma funcao de Baire. Notemos que as
funcoes consideradas sao maiores ou iguais a zero e que suas integrais podem assumir o
valor +∞ .
46
Definicao 2.3.2. Seja S×T o espaco produto de S e T . Para todo conjunto M ⊂ S×T
denotamos por Mx (ou My) o conjunto de todos os pontos y ∈ T (ou x ∈ S) para os quais
(x, y) ∈ M . Denotemos por MS = ΠS(M) e MT = ΠT (M) para todo conjunto de Borel
M , onde ΠS e ΠT sao as projecoes de S × T sobre S e T , respectivamente.
Estabeleceremos os seguintes lemas:
Lema 2.3.3. Se M ⊂ S × T e compacto entao MS, MT tambem sao compactos.
Demonstracao. Como MS = ΠS(M), MT = ΠT (M) sao imagens contınuas do conjunto
compacto M entao sao compactos.
Lema 2.3.4. M ⊂ S × T tem um fecho compacto se, e so se, MS e MT possuem fechos
compactos.
Demonstracao. Suponhamos que M e compacto, assim (M)S, (M)T sao compactos pelo
lema 2.3.3. Agora, M ⊂ M . Deste modo, MS ⊂ (M)S, MT ⊂ (M)T . Assim, MS, MT sao
subconjuntos fechados de (M)S, (M)T , respectivamente. Desta maneira, eles tambem
sao compactos.
Por outro lado, se MS, MT sao compactos entao MS ×MT e compacto . Consequen-
temente, e tambem fechado . Agora, M ⊂ MS × MT ⊂ MS × MT . Assim, M e um
subconjunto fechado de MS ×MT . Logo, tambem e compacto.
O principal objetivo dessa secao e provar o seguinte teorema:
Teorema de Fubini 2.3.5. Para todo conjunto Borel M ⊂ S × T
(2.15) Mx ⊂ T e My ⊂ S sao conjuntos de Borel para todo (x, y) ∈ S × T,
(2.16) ν(Mx) e µ(My) sao funcoes de Baire definidas sobre S e T, respectivamente,
(2.17)
∫
S
ν(Mx)dµ(x) =
∫
T
µ(My)dν(y) = ρ(M),
(2.18)
O valor em comum ρ = ρ(M) das integrais em (2.17) e uma aplicacao completa-
47
mente aditiva, nao negativa, regular definida para todos os conjuntos de Borel
M ⊂ S × T e finita para todos os conjuntos compactos. Em outras palavras,
ρ e uma medida em S × T.
A prova do teorema de Fubini ira depender de alguns resultados auxiliares que mostraremos
separadamente como lemas. A construcao das integrais em (2.17) relativamente as medi-
das µ e ν pode ser encontrada em [11].
Lema 2.3.6. Se M e um conjunto compacto arbitrario tal que M ⊂ S × T , entao cor-
respondendo a todo ponto yo ∈ T e a todo conjunto aberto O ⊂ S para o qual Myo ⊂ O
podemos encontrar uma vizinhanca P de yo, yo ∈ P ⊂ T , tal que y ∈ P implica My ⊂ O.
Em outras palavras, My e uma funcao semicontınua superiormente de y.
Demonstracao. Seja O′ ⊂ T uma vizinhanca arbitraria de yo , tomemos o produto direto
O × O′. Para qualquer ponto y ∈ MT , y 6= yo , seja Qy uma vizinhanca de y, tal que
yo /∈ Qy . Seja O∗ um conjunto aberto, O∗ ⊂ S tal que MS ⊂ O∗. Temos
M ⊂ O ×O′ ∪⋃
y∈MT ,y 6=yo
O∗ ×Qy .
Como M e compacto podemos encontrar um numero finito de pontos y1, . . . , yn ∈ MT
tais que
M ⊂ O ×O′ ∪n⋃
i=1
O∗ ×Qyi.
Seja P o complemento den⋃
i=1
Qyi. Entao P e um conjunto aberto, P ⊂ T , e, pela
escolha de Qy , yo ∈ P . Afirmamos que P e a vizinhanca cuja existencia e afirmada
no teorema. De fato, se y ∈ P e (x, y) ∈ M , entao (x, y) /∈ O∗ × Qyi, para qualquer
i = 1, . . . , n, pois y /∈ Qyi, de modo que (x, y) ∈ O×O′, isto e, x ∈ O. Como isto e valido
para todos tais x, temos que My ⊂ O, como querıamos mostrar.
Exemplo:
Chamamos de retangulo um conjunto da forma A × B, onde A e B sao conjuntos
de Borel com medidas finitas, em S e T , respectivamente. Uma uniao enumeravel de
retangulos dois a dois disjuntos sera chamada de conjunto retangular. Notemos que (2.15),
(2.16) e (2.17) sao validas para qualquer retangulo, e portanto, para qualquer conjunto
retangular. Se M = A×B entao
48
Mx =
B se x ∈ A,
∅ se x /∈ A,
My =
A se y ∈ B,
∅ se y /∈ B,
desta forma,
ν(Mx) =
ν(B) se x ∈ A,
0 se x /∈ A,
e
µ(My) =
µ(A) se y ∈ B,
0 se y /∈ B.
Consequentemente, (2.15) e (2.16) sao validas e
∫
S
ν(Mx)dµ(x) = µ(A)ν(B) =
∫
T
µ(My)dν(y).
Lema 2.3.7. Se E e um conjunto de Borel arbitrario em T e se para cada y ∈ E existe
uma vizinhanca Oy associada a y, tal que E ⊂ ⋃y∈E
Oy, entao existe uma sequencia yin∈N
em E tal que E ⊂∞⋃i=1
(Oyi∪N), onde ν(N) = O.
Demonstracao. Basta provar o teorema no caso que ν(E) < ∞. O caso geral segue do
fato que todo conjunto de Borel e a uniao enumeravel de conjuntos de Borel de medida
finita.
Se E tem medida finita entao, pela regularidade, podemos encontrar para cada n ∈ Num conjunto compacto Cn ⊂ E tal que ν(Cc
n ∩ E) <1
n. Como Cn ⊂
⋃y∈Cn
Oy entao
existe um numero finito de pontos yn1 , yn
2 , . . . , ynkn∈ Cn tais que Cn ⊂
⋃kn
i=1 Oyni. Tomemos
C =⋃∞
n=1 Cn. Entao ν(Cc ∩ E) ≤ ν(Ccn ∩ E) <
1
ne assim, fazendo n → ∞ temos que
ν(Cc ∩ E) = 0 e C ∩ E ⊂ ⋃∞n=1
⋃kn
i=1 Oyni. Em outras palavras, os conjuntos Oyn
i cobrem
E exceto, possivelmente, para um subconjunto do conjunto Cc ∩ E de medida nula.
Daremos agora a prova do teorema de Fubini.
49
Demonstracao. Suponha inicialmente que M e um conjunto compacto tal que M ⊂ S×T .
Fixado x ∈ S , considere o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ S × T . Este conjunto
e fechado, daı, sua intersecao com M e compacto. Se denotarmos esta intersecao por M ′x ,
entao a projecao de M ′x sobre T , (M ′
x)Te novamente compacta. Porem, (M ′
x)T= Mx .
Assim, se M e compacto, Mx e um conjunto de Borel para todo x, e analogamente, My e
um conjunto Borel para todo y.
Sendo M compacto, temos que µ(My) e uma funcao semicontınua superiormente de
y para y ∈ T . Pois, dados ε > 0 e yo ∈ T podemos encontrar um conjunto aberto
O ⊂ S tal que Myo ⊂ O e µ(O) ≤ µ(Myo) + ε. De acordo com 2.3.6 podemos entao
encontrar uma vizinhanca P de yo , P ⊂ T , tal que para y ∈ P , My ⊂ O de modo que
µ(My) ≤ µ(Myo) + ε. O que garante a semi-continuidade superior de µ(My).
Podemos agora provar que ν(Mx) e µ(My) sao funcoes de Baire em x e y, respectiva-
mente. Por simetria podemos nos restringir a considerar apenas µ(My).
Considere α > 0. Como µ(My) e semicontınua superiormente, o conjunto dos y′s
com µ(My) < α e aberto. Assim, o conjunto complementar dos y′s com µ(My) ≥ α
e fechado. Este conjunto e um subconjunto do conjunto compacto MT , pois y /∈ MT
implica My = ∅, µ(My) = 0, de modo que o conjunto de todos os y′s com µ(My) ≥ α e
compacto e portanto, um conjunto de Borel. Deste modo, µ(My) e uma funcao de Baire
de y.
Assumindo ainda que M e compacto, provaremos a seguir, que dado δ > 0 podemos
encontrar um conjunto retangular K, como no exemplo dado anteriormente tal que M ⊂K e ∫
T
µ(Ky)dν(y) ≤∫
T
µ(My)dν(y) + δ.
Tome ε > 0 arbitrario. A compacidade de M implica a compacidade de MS de modo
que µ(MS) < ∞; podemos encontrar um inteiro positivo k tal que µ(MS) < kε. Para
todo i ∈ 0, 1, . . . , k − 1, k, definamos M iT como o conjunto dos pontos y ∈ MT para os
quais µ(My) ≥ iε. Entao, temos
(2.19) MT = M oT ⊃ M1
T ⊃ · · · ⊃ Mk−1T ⊃ Mk
T = ∅e todo M i
T e um conjunto de Borel.
Para cada y ∈ MT tome Oy como sendo um conjunto aberto (Oy ⊂ S) tal que My ⊂ Oy
e µ(Oy) ≤ µ(My) + ε. Entao, por 2.3.6, podemos encontrar uma vizinhanca Py de y tal
que y′ ∈ Py implica My′ ⊂ Oy . Daı, para 1 ≤ i ≤ n,
M i−1T ∩ (M i
T )c ⊂⋃
y∈MT
Py , y ∈ M i−1T ∩ (M i
T )c .
50
Logo, por 2.3.7, podemos encontrar uma sequencia de pontos yin ∈ M i−1
T ∩ (M iT )c e um
conjunto Ni com ν(Ni) = 0 tais que
(2.20) M i−1T ∩ (M i
T )c ⊂∞⋃
n=1
Pyin∪Ni .
Observemos que os conjuntos Pyin
e Ni tem tres propriedades :
(i) Pyin
e um conjunto aberto;
(ii) y′ ∈ Pyin
implica My′ ⊂ Oyin;
(iii) ν(Ni) = 0.
Iremos substituir os conjuntos Pyin
e Ni por certos subconjuntos. Deste modo, (ii),
(iii) serao verdadeiros, enquanto (i) nao sera considerado.
Vamos substtituir o conjunto Pyin
por seu subconjunto Pyin∩ ( n−1⋃
m=1
Pyim
), e Ni por seu
subconjunto Ni ∩( ∞⋃
n=1
Pyin
)c. Deste modo, (i) e falso, enquanto (ii), (iii) permanecem
validos.∞⋃
n=1
Pyin∪Ni nao e mudado, ja que (2.20) permanece valido. E os Pyi
n(n ∈ N) e
Ni sao agora dois a dois disjuntos. Consideremos um i fixo.
A seguir vamos substituir todos os Pyin
por seu subconjunto M i−1T ∩ (M i
T )c ∩ Pyin
e
Ni por seu subconjunto M i−1T (M i
T )c ∩ Ni. Desta forma, (ii), (iii) serao validos, Pyin
para
n ∈ N e Ni serao disjuntos para um i fixo, e em (2.20) ⊆ e substituıdo por =, isto e,
(2.21) M i−1T ∩ (M i
T )c =∞⋃
n=i
Pyin∪Ni .
Tomando a reuniao sobre i ∈ 1, . . . , k obtemos, por (2.19),
(2.22) MT =k⋃
i=1
∞⋃n=i
Pyin∪Ni,
onde N =⋃k
i=1 Ni.
Assim, (2.21) e (2.19) mostram que os conjuntos Pyin, Ni de i distintos sao disjuntos,
portanto:
(iv) Todos os conjuntos Pyin
com i ∈ 1, . . . , k, n ∈ N e N sao dois a dois disjuntos .
De (iii) obtemos,
51
(v) ν(N) = 0.
Logo, temos as afirmacoes (2.22), (2.23) e (ii), (iii), (iv), (v).
Tomemos o subconjunto de S × T
(2.23) K =k⋃
i=1
∞⋃n=i
Oyin× Pyi
n∪MS ×N .
Se (x, y) ∈ M entao y ∈ MT . Daı, por (2.22), ou y ∈ Pyin
para algum i ∈ 1, . . . , ke n ∈ N ou y ∈ N . Se y ∈ Pyi
nentao, por (ii), x ∈ rOyi
n. Assim (x, y) ∈ Oyi
n× Pyi
n.
Se y ∈ N entao podemos observar que para todo x ∈ MS temos (x, y) ∈ MS × N .
Consequentemente, em todos os casos (x, y) ∈ K, isto e,
(2.24) M ⊆ K
Por (2.23) e (iv), K e um conjunto retangular, e por (2.24) M ⊆ K. Logo basta
calcular∫
Tµ(Ky)dν(y).
Considerando (2.23) e (iv), temos
Ky =
Oyin
para y ∈ Pyin,
MS para y ∈ N,
∅ para y /∈ Pyin
e y /∈ N.
Daı, por (iv) e (v) segue que
∫T
µ(Ky)dν(y) =∑k
i=1
∑∞n=1 µ(Oyi
n)ν(Pyi
n)
≤ ∑ki=1
∑∞n=1(µ(Myi
n) + ε)ν(Pyi
n).
Como yin ∈ (M i−1
T ) ∩ (M iT )c e como y ∈ (M i
T ) acarreta que µ(My) < iε. Obtemos
finalmente,
(2.25)
∫
T
µ(Ky)dν(y) ≤k∑
i=1
∞∑n=1
((1 + i)ε)ν(Pyin).
Por outro lado, por (2.22), (iv) e (v),
∫T
µ(My)dν(y) =k∑
i=1
∞∑n=1
∫
Pyin
µ(My)dν(y).
52
Do mesmo modo, como Pyin⊂ (M i−1
T ) ∩ (M iT )c, por (2.21), e para y ∈ M i−1
T , vale que
µ(My) < (i− 1)ε.E obtemos
(2.26)
∫
T
µ(My)dν(y) ≥k∑
i=1
∞∑n=1
((i− 1)ε)ν(Pyin).
Fazendo a diferenca de (2.26) por (2.25), usando (2.22), (iv) e (v), temos
∫T
µ(Ky)dν(y)− ∫T
µ(My)dν(y) ≤ 2εk∑
i=1
∞∑n=1
ν(Pyin) = 2εν(MT ).
Tomando agora δ = 2εν(MT ) obtemos
(2.27)
∫
T
µ(Ky)dν(y)−∫
T
µ(My)dν(y) ≥ δ,
que e a desigualdade procurada.
Sejam δ > 0 arbitrario e M um conjunto compacto tal que M ⊂ S × T. Entao, pelo
foi dito apos o lema 2.3.7, e possıvel encontrar um conjunto retangular K ⊃ M , tal que
∫T
µ(Ky)dν(y) ≤ ∫T
µ(My)dν(y) + δ.
Assim,
∫S
ν(Mx)dµ(x) ≤ ∫S
ν(Kx)dµ(x)
=∫
Tµ(Ky)dν(y)
≤ ∫T
µ(My)dν(y) + δ.
Como esta desigualdade e valida para todo δ > 0,
∫S
ν(Mx)dµ(x) ≤ ∫T
µ(My)dν(y).
Trocando os papeis de S e T obtemos a inequacao oposta, o que demonstra a validade
de (2.17).
Apos o lema 2.3.7, foi provado que (2.15), (2.16) e (2.17) sao validas para todos os
conjuntos compactos M. Pelo lema 2.1.10 as mesmas afirmativas sao validas para conjuntos
de Borel , ja que verificamos que as propriedades (2.15)-(2.17) sao consequencias dos passos
da construcao dada. Desta forma, resta apenas mostrar as propriedades de ρ. Temos que
ρ e nao-negativa e completamente aditiva, assim so resta mostrar que ρ e regular.
53
Para isso e suficiente provar que todo conjunto compacto pode ser arbitrariamente
aproximado por conjuntos abertos dados. Porem, todo conjunto compacto pode ser
aproximado por conjuntos retangulares, logo basta mostrar a aproximacao de conjun-
tos retangulares por conjuntos abertos, o que e imediato pelo que foi visto para conjuntos
retangulares. Agora para conjuntos retangulares a regularidade das medidas dadas, µ e
ν, segue da definicao de topologia no espaco produto S × T .
O que conclui a prova do Teorema de Fubini.
2.4 Unicidade da medida de Haar
Nesta secao iremos assumir que G e um grupo topologico localmente compacto e que ν
e uma medida regular invariante a esquerda definida sobre os conjuntos de Borel de G,
a qual e finita para conjuntos compactos e positiva para conjuntos abertos. O principal
objetivo desta secao, e provar que a menos de um fator multiplicativo constante, ν e
unicamente determinada com suas propriedades, isto e, se µ e qualquer outra medida
regular invariante a esquerda definida sobre todos os conjuntos de Borel de G e finita para
conjuntos compactos, entao existe uma constante finita, positiva c tal que µ(M) = cν(M),
para todo conjunto de Borel M . A prova dessa afirmacao dependera de alguns resultados
auxiliares.
No que segue faremos uso do grupo produto direto G × G e da medida ρ(M) obtida
aplicando o teorema de Fubini:
(2.28) ρ(M) =
∫ν(Mx)dν(x) =
∫ν(My)dν(y).
Afirmamos, inicialmente, que as seguintes aplicacoes injetivas de G × G em G × G
preservam medidas :
(2.29) (x, y) → (ax, y),
(2.30) (x, y) → (x, by),
(2.31) (x, y) → (ax, by),
54
(2.32) (x, y) → (y, x),
(2.33) (x, y) → (x, xy),
(2.34) (x, y) → (x, x−1y).
Temos que (2.29) segue da relacao ρ(M) =∫
ν(My)dν(y). Denotaremos por M ′ a
imagem de M pela transformacao (2.29). Entao M ′y = x ∈ G; (x, y) ∈ M ′, isto e, o
conjunto de todos ax para os quais (ax, y) ∈ M ′. Este ultimo conjunto e um conjunto
My. Assim,
ρ(M ′) =
∫ν(M ′
y)dν(y) =
∫ν(aMy)dν(y) =
∫ν(My)dν(y) = ρ(M),
como querıamos provar.
Para (2.30) o resultado segue do que foi provado acima, usando a relacao ρ(M) =∫ν(Mx)dν(x). O produto das aplicacoes (2.29) e (2.30) e (2.31), que tambem preserva
medida. Observemos que a afirmacao que ρ e invariante sob (2.31) e o mesmo que dizer
que ρ e a medida invariante de Haar invariante a esquerda em G × G. Que a medida e
preservada em (2.32) segue da simetria, em x e y.
Finalmente, para (2.33), provaremos, como anteriormente, que M ′′x = xMx, onde M ′′
e o conjunto imagem de M sob (2.33), enquanto que (2.34) e a inversa de (2.33)
Aplicando (2.33), (2.32) e (2.34), nesta ordem, obtemos que a aplicacao de G×G em
G×G
(2.35) (x, y) → (xy, y−1)
preserva medida . Assim, se M e qualquer conjunto de Borel em G, e aplicando esta
aplicacao ao conjunto G×M , obtemos G×M−1. Alem disso, ρ(G×M) = ρ(G×M−1),
isto e,
(2.36) ν(G)ν(M) = ν(G)ν(M−1).
Observemos que se o produto ρ(A×B) = ν(A)ν(B) e da forma 0.∞ ou ∞.0 seu valor
sera 0 (por convencao). Alem disso, ν(G) > 0, porem ν(G) ≤ ∞.
55
Lema 2.4.1. Se G e compacto entao ν(M) e invariante a esquerda e a direita, e tambem
inversa invariante, isto e,
(2.37) ν(aM) = ν(M),
(2.38) ν(Ma) = ν(M),
(2.39) ν(M−1) = ν(M).
Demonstracao. Temos que ν(G) < ∞. Assim, por (2.36) temos (2.39). Ja (2.37) segue
diretamente da definicao. Por fim, temos que (2.38) segue da aplicacao , nesta ordem de
(2.39) e (2.37), com a−1, e (2.39).
Lema 2.4.2. Para todo G as aplicacoes tais que ν(M) = 0 para M ⊂ G sao invariantes
a esquerda e a direita e possuem inversa invariante, ou seja,
(2.40) ν(aM) = 0 e equivalente a ν(M) = 0,
(2.41) ν(Ma) = 0 e equivalente a ν(M) = 0,
(2.42) ν(M−1) = 0 e equivalente a ν(M) = 0.
Demonstracao. Temos que (2.42) segue de (2.36), enquanto que (2.40) segue da definicao.
Enfim, (2.41) e resultado da composicao das aplicacoes, nesta ordem, (2.42) e (2.40), com
a−1 e (2.42), donde segue a equivalencia.
Teorema 2.4.3. Se M e N sao conjuntos de Borel em G entao
∫
G
ν(M ∩ xN)dν(x) = ν(M)ν(N−1).
56
Demonstracao. Consideraremos o conjunto E = M ×N−1 ⊂ G×G. Entao a imagem E ′
de E sob a aplicacao (2.33) esta definida por
E ′ = (x, y) ∈ G×G; x ∈ M, y ∈ xN−1.
Assim, para todo y ∈ G temos que E ′y e o conjunto dos x ∈ G tais que x ∈ M e x ∈ yN :
E ′y = M ∩ xN.
Como (2.33) preserva medida, obtemos a relacao desejada:
ρ(E) = ν(M)ν(N−1) = ρ(E ′) =
∫ν(E ′
y)dν(y) =
∫ν(M ×N)dν(y).
Proposicao 2.4.4. Se para um conjunto de Borel M arbitrario de G temos que ν(M c ∩xM) = 0 para todo x ∈ G, entao ou ν(M) = 0 ou ν(M c) = 0.
Demonstracao. Suponhamos que ν(M c ∩ xM) = 0 para todo x ∈ G. Entao em virtude
do teorema 2.4.3
0 =
∫
G
ν(M c ∩ xM)dν(x) = ν(M c)ν(M−1),
daı ou ν(M c) = 0 ou ν(M−1) = 0. Portanto, por (2.42), ν(M) = 0.
Lema 2.4.5. Se M e N sao dois conjuntos de Borel arbitrarios com fechos compactos
e medidas positivas entao existem um conjunto de Borel K e elementos x e y tais que
xK ⊂ M , yK ⊂ N e
ν(K) ≥ ν(M)ν(N−1)
ν(M ¯N−1),
tais que ν(M), ν(N), ν(M ¯N−1) sao positivas e finitas.
Demonstracao. Suponhamos que ν(M), ν(N) sao positivas. Como M e N sao compactos
temos que ν(M), ν(N) sao finitas. Como M 6= ∅ podemos tomar a ∈ M . Como ν(N) > 0
entao ν(N−1) > 0. Assim
ν(M ¯N−1) ≥ ν(aN−1) = ν(N−1) > 0.
Alem disso, M ¯ N−1 ⊂ M ¯ N−1
o qual e compacto. Daı, ν(M ¯ N−1) e finita.
Temos que se x /∈ M ¯N−1 entao M ∩ xN = ∅ e ν(M ∩ xN) = 0, deste modo aplicando
o teorema 2.4.3,
57
∫
M¯N−1
ν(M ×N)dν(x) =
∫
G
ν(M ×N)dν(x) = ν(M)ν(N−1).
Daı, tomando x0 em algum subconjunto de medida positiva em M ¯N−1, temos
ν(M ∩ x0N) ≥ ν(M)ν(N−1)
ν(M ¯N−1).
Portanto, tomando K = M ∩ x0N , x = 1 e y = x−10 obtemos o resultado desejado.
Teorema 2.4.6. Se M e N sao dois conjuntos de Borel em G arbitrarios entao existem
em G duas sequencias de elementos (xn)n∈N, (yn)n∈N e uma sequencia de conjuntos de
Borel (Kn)n∈N tais que
(2.43) M = x1K1 ∪ x2K2 ∪ · · · ∪M∞ = ∪∞i=1(xiKi) ∪M∞,
(2.44) N = y1K1 ∪ y2K2 ∪ · · · ∪N∞ = ∪∞i=1(yiKi) ∪N∞,
onde os elementos em cada uma das unioes acima sao dois a dois disjuntos, sendo
ν(M∞) = 0, ou ν(N∞) = 0.
Demonstracao. Como todo conjunto de Borel pode ser escrito como uma uniao disjunta
de uma sequencia enumeravel de conjuntos de Borel com fechos compactos, basta provar
o teorema para o caso em que ambos M e N tem fechos compactos.
Denotaremos M0 = M e N0 = N e suponhamos definido para cada i ∈ 1, . . . , nos conjuntos Mi, Ni tais que M i e N i sao compactos, e ν(Mi) > 0 e ν(Ni) > 0. Desta
forma, podemos aplicar o lema 2.4.5 e obtermos xn, yn, Kn de modo que xnKn ⊂ Mn,
ynKn ⊂ Nn e
ν(Kn) ≥ ν(Mn)ν(N−1n )
ν(Mn ¯N−1n )
.
Definamos para n + 1 os conjuntos Mn+1 := Mn ∩ (xnKn)c e Nn+1 := Nn ∩ (ynKn)c.
Se para qualquer inteiro positivo m > n, ν(Mm) = 0, tomamos Km = Km+1 =
. . . = ∅, M∞ = Mm e N∞ = Nm. Tomando xm, xm+1, . . . , ym, ym+1, . . . ∈ G obtemos a
decomposicao desejada. Assim, podemos supor que a inducao continua indefinidamente.
Neste caso, denotaremos M∞ =⋂∞
n=0 Mn, N∞ =⋂∞
n=0 Nn e obtemos as decomposicoes
desejadas em (2.43) e (2.44). Resta apenas provar que um dos conjuntos M∞, N∞ tem
medida nula.
58
Como
M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · , N = N0 ⊃ N1 ⊃ · · · ,
entao (ν(Mn))n∈N e (ν(Nn))n∈N sao sequencias monotonas decrescentes limitadas, logo
podemos tomar α = limn→∞ ν(Mn), β = limn→∞ ν(N−1n ). Entao
ν(Mn+1) = ν(Mn)− ν(xnKn) = ν(Mn)− ν(Kn)
≤ ν(Mn)− ν(Mn)ν(N−1n )
ν(Mn ¯N−1n )
≤ ν(Mn)− ν(Mn)ν(N−1n )
ν(M ¯N−1n )
,
tomando o limite, obtemos
α ≤ α− αβ
ν(M ¯N−1n )
.
Como α ≥ 0 e β ≥ 0 isto implica que pelo menos um dos numeros α e β e nulo.
Como α = ν(M∞), β = ν(N−1∞ ) e como ν(N−1
∞ ) e nulo se, e so se, ν(N∞) e nulo, segue a
conclusao desejada.
Notacoes: Se M e N sao conjuntos de Borel com fechos compactos entao na notacao
do teorema 2.4.6, ν(M) − ν(N) = ν(M∞) − ν(N∞). Alem disso, dadas µ e ν medidas
invariantes a esquerda tais que ν(M) = 0 e equivalente a µ(M) = 0, denotaremos por
∆µ e ∆ν as imagens de µ(M) e ν(M) respectivamente, quando M varia sobre todos os
conjuntos de Borel com fechos compactos. Entao defina uma aplicacao monotona injetiva
f : ∆ν −→ ∆µ tal que para todo conjunto M com fecho compacto µ(M) = f(ν(M)).
Teorema 2.4.7. Se µ e ν sao medidas invariantes a esquerda tais que µ(M) = 0 e
equivalente a ν(M) = 0. Entao existe uma constante finita positiva c tal que µ(M) =
cν(M).
Demonstracao. Sem perda de generalidade, iremos nos restringir aos conjuntos M com
fecho compacto. Usaremos as notacoes e resultados acima.
Se β1, β2 ∈ ∆ν com β1 ≤ β2 entao podemos encontrar conjuntos de Borel M e N
com fechos compactos tais que ν(M) = β1 e ν(N) = β2. Iremos escrever M e N na
forma (2.43) e (2.44), respectivamente, e tomaremos M ′ = y1K1 ∪ y2K2 ∪ · · · . Entao
ν(M ′) = ν(M) = β1 e M ′ ⊂ N tal que N = M ′ ∪N ′ com M ′ ∩N ′ = ∅. Como ν(N) = β2
e ν(M ′) = β1 entao ν(N ′) = β2 − β1, o que prova que β2 − β1 ∈ ∆ν . Alem disso, como
µ(N) = f(β2), µ(M ′) = f(β1) e µ(N ′) = f(β2−β1) temos que f(β2) = f(β1)+f(β2−β1).
Isto e,
59
(2.45)
β1, β2 ∈ ∆ν e β1 ≤ β2 implica que β2 − β1 ∈ ∆ν ,
e f(β2 − β1) = f(β2)− f(β1).
Vamos provar que
(2.46) f(β) = cβ para uma constante finita, positiva c.
Temos que ∆ν e um conjunto de numeros reais que possui apenas elementos positivos,
e portanto, possui ınfimo pela completitude dos reais.
Suponhamos, inicialmente, que ∆ν possua um menor elemento, α0. Pela propriedade
arquimediana , temos que para todo α ∈ ∆ν existe i ∈ 0, 1, 2, . . . tal que iα0 ≤ α <
(i + 1)α0. Aplicando (2.45)i-vezes obtemos que α − iα0 ∈ ∆ν , donde 0 < α − iα0 < α0
o que nao e possıvel pela minimalidade de α0. Portanto, α − iα0 = 0. Agora, aplicando
novamente (2.45) obtemos que f(α)−if(α0) = 0. Desta forma, f(α) = if(α0) = αα0
f(α0),
isto e, f(α) = cα com c = f(α0)α0
.
Suponhamos agora que nao exista um menor elemento positivo em ∆ν . Seja α1 o ınfimo
de ∆ν . Claramente, α1 ≥ 0. Vamos assumir que α1 > 0 onde α1 /∈ ∆ν , por hipotese.
Agora 2α1 > α1, tomemos α ∈ ∆ν com 2α1 > α. Devido ao que foi dito anteriormente
temos que α > α1. Assim, tomando β ∈ ∆ν com β < α. Obtemos, novamente, β > α1
entao α1 < β < α < 2α1. Logo, por (2.45), α− β ∈ ∆ν e 0 < α− β < α1 o que contradiz
a definicao de α1. Consequentemente, α1 = 0.
Desta forma, para todo ε > 0 existe um α ∈ ∆ν com 0 < α < ε.
Consideremos agora β1, β2 ∈ ∆ν , ambos positivos.
Afirmamos que
(2.47)f(β1)
β1
=f(β2)
β2
.
De fato, em caso contrario, podemos supor que
f(β1)
β1
>f(β2)
β2
.
Consequentemente,
(2.48)f(β1)
β1
>(p0 + 1)2
p20
.f(β2)
β2
, para algum p0 ∈ N.
60
Tomemos α ∈ ∆ν com 0 < α < min(β1
p0, β2
p0). Pela propriedade arquimediana existem
r, s ∈ N tais que rα ≤ β1 < (r + 1)α, sα ≤ β2 < (s + 1)α. Entao, r, s ≥ p0. Assim,
repetindo a aplicacao de (2.45) dada anteriormente, obtemos
f(β2)− sf(α) = f(β2 − sα) ≥ 0
(r + 1)f(α)− f(β1) = f((r + 1)α)− f(β1) = f((r + 1)α− β1) ≥ 0;
daı,
f(β1) ≤ (r + 1)f(α), f(β2) ≥ sf(α)
e entao
f(β1)
β1
≤ (r + 1)f(α)
rα=
r + 1
r· f(α)
α≤ p0 + 1
p0
f(α)
α,
f(β2)
β2
≤ sf(α)
(s + 1)α=
s
s + 1· f(α)
α≤ p0
p0 + 1
f(α)
α,
resultando
f(β1)
β1
≤ (p0 + 1)2
p20
f(β2)
β2
.
O que contradiz (2.48). Daı, (2.47) fica estabelecida.
Seja c o valor comum de f(β)β
para todo β ∈ ∆ν , por (2.47). Entao, f(β) = cβ para
todo β ∈ ∆ν , que tambem e valida para β = 0.
Agora, estamos em posicao de provar a unicidade da medida de Haar.
Teorema 2.4.8. Se µ e ν sao medidas invariantes a esquerda entao existe uma constante
positiva c tal que µ(M) = cν(M) para todo conjunto de Borel M.
Demonstracao. Sem perda de generalidade demonstraremos o teorema para os conjuntos
M com fecho compacto. Consideraremos as medidas invariantes a esquerda
ρ(M) = ν(M) + µ(M),
σ(M) = 2ν(M) + µ(M).
Entao ρ(M) = 0 e σ(M) = 0 sao equivalentes, ja que cada um destes sao equivalentes
a validade simultanea de ν(M) = 0 e µ(M) = 0. Daı, pelo teorema 2.4.7, existe uma
constante positiva δ tal que
ρ(M) = δσ(M),
61
ou
(1− δ)µ(M) = (2δ − 1)ν(M).
Se δ ≤ 12
entao µ(M) ≤ 0 para todo M , desta forma, µ ≡ 0. Se δ ≥ 1 entao
ν(M) ≤ 0 para todo M , logo ν ≡ 0. Porem, como assumimos que µ e ν sao positivas para
conjuntos abertos, entao nenhuma dessas possibilidades pode ocorrer. Consequentemente,
12
< δ < 1, e a proposicao 2.4.4 e valida para c =1− δ
2δ − 1.
62
Capıtulo 3
A Construcao de von Neumann
Nesse terceiro e ultimo capıtulo apresentamos o processo de construcao da medida de
Haar, atraves do metodo de von Neumann. Para tal introduzimos os conceitos de O-
equidistribuicao e de media invariante. Atraves de exemplos exibimos o papel da nocao
de O-equidistribuicao na construcao de medidas invariantes. Finalmente, fazendo uso do
lema de Hall, Maak e Kakutani, provamos o resultado principal.
3.1 Classes especiais de funcoes contınuas
Ao longo deste capıtulo consideraremos G um grupo topologico localmente compacto
iremos denotar M c = G\M para todo conjunto M ⊂ G e consideraremos O, P e Q
como subconjuntos abertos de G; C, D e E como subconjuntos compactos de G e M , N
subconjuntos arbitrarios de G. Alem disso, dados a ∈ G e uma funcao f : G → R iremos
considerar a funcao definida por fa(x) := f(ax) para todo x ∈ G.
Definicao 3.1.1. Sejam FM o conjunto de funcoes reais contınuas em G tais que f(x) = 0
para todo x ∈ M c e FoM o conjunto das funcoes contınuas definidas em G satisfazendo
f(x) = 0 para todo x ∈ M c e tais que f(G) ⊂ [0, 1].
Definicao 3.1.2. Para qualquer funcao f : G → R definamos f(x) = f(x−1) para todo
x ∈ G.
Note que f ∈ FM(FoM) e equivalente a f ∈ FM−1(Fo
M−1).
63
Definicao 3.1.3. Seja M ⊂ G arbitrario. Para toda f ∈ FM e para todo aberto O ⊂ G,
com 1 ∈ O, sejam
‖f‖ = supx∈G
|f(x)|e
OscO(f) = supx−1y∈O
|f(x)− f(y)|.
Sejam f, g ∈ FM e O ⊂ G aberto com 1 ∈ O. Podemos verificar as seguintes pro-
priedades:
(i) OscO(f) = supxy−1∈O
|f(x)− f(y)|.
(ii) OscO(f) = OscO−1(f).
(iii) OscO(f) ≤ 2‖f‖.
(iv) OscO(f + g) ≤ OscO(f) + OscO(g)
(v) OscO(cf) = |c|OscO(f)
(vi) OscO(fg) ≤ ||f ||OscO(g) + ||g||OscO(f)
Lema 3.1.4. Seja C ⊂ G compacto. Para toda f ∈ FC, dado ε > 0 existe um aberto
simetrico O = O(f ; ε) com 1 ∈ O e OscO(f) ≤ ε.
Demonstracao. Como f e contınua entao dado ε > 0 tem-se que para todo a ∈ C existe
um aberto Oa com a ∈ Oa tal que se x ∈ Oa entao |f(x)− f(a)| < ε.
Como a aplicacao h : (x, u) ∈ G × G 7→ axu ∈ G e contınua podemos tomar Pa com
1 ∈ Pa e aPaPa ⊂ Oa. De fato, temos que W = (x, y) ∈ G × G; axy ∈ Oa e uma
vizinhanca aberta de (1, 1) ∈ G×G, pois (1, 1) ∈ h−1(Oa).
Ja que C ⊂⋃a∈C
aPa, C e compacto e todo aPa e aberto, existe k ∈ N tal que C ⊂k⋃
i=1
aiPai.
Seja O =k⋂
i=1
[Pai∩ P−1
ai], entao 1 ∈ O, pois 1 ∈ Pai
para todo i = 1, ..., k, e O = O−1.
Fixemos x−1y ∈ O.
Suponhamos, inicialmente, que x ∈ C, entao x ∈ aiPaipara algum i ∈ 1, ..., k. Daı,
x ∈ aiPaiPai
⊂ Oai. Alem disso,
y = xx−1y ∈ aiPaiO ⊂ aiPai
Pai⊂ Oai
.
64
Entao
|f(x)− f(ai)| < ε
2e |f(y)− f(ai)| < ε
2.
Consequentemente,
(*) |f(x)− f(y)| < ε
Suponhamos agora que y ∈ C. Como y−1x = (x−1y)−1 ∈ O−1 = O entao recaımos no
caso anterior.
Por fim, suponhamos que x, y /∈ C. Como f ∈ FC segue que f(x) = f(y) = 0, obtendo
o resultado desejado.
E portanto, OscO(f) ≤ ε.
Considerando C ⊂ G compacto com 1 ∈ Ci, temos os seguintes resultados
Lema 3.1.5. . Para toda f ∈ FC,
‖f‖ e OscO(f)
sao finitos.
Lema 3.1.6. Para toda f ∈ FC existe x0 ∈ G tal que ‖f‖ = |f(x0)|.
Lema 3.1.7. Seja C ⊂ G compacto. Para todo aberto O ⊂ G, com 1 ∈ O, existe um
aberto O∗ = O∗(C,O) com 1 ∈ O∗ ⊂ O e satisfazendo a seguinte propriedade:
Para toda f ∈ FC , OscO∗(f) ≤ OscO(f).
Demonstracao. Seja O ⊂ G tal que 1 ∈ O.
Pela propriedade (i) e visto que f(z) = 0 para todo z /∈ C temos que f(z) = f(z−1) =
0, para z /∈ C−1. Devemos encontrar um aberto O∗ ⊂ O tal que
(3.1) yx−1 ∈ O∗ e x ∈ C−1 ou y ∈ C−1 ⇒ x−1y ∈ O.
Neste caso, vale OscO∗(f) = supx−1y ∈ O∗
x ∈ C−1ou y ∈ C−1
|f(x)− f(y)| ≤ OscO(f).
Observe que
(3.2) x−1y = x−1yx−1x = y−1yx−1y.
65
Como a aplicacao (u, v) 7→ u−1vu e contınua e u−1vu = 1 para v = 1 e u ∈ G
arbitrario, entao para todo a ∈ G existem abertos Oa e Pa com a ∈ Oa e 1 ∈ Pa tais que,
se u ∈ Oa e v ∈ Pa entao u−1vu ∈ O. Temos que C−1 ⊂⋃
a∈C−1
Oa, daı existe k ∈ N tal
que C−1 =k⋃
i=1
Oai.
Tomemos O∗ =k⋂
i=1
(Pai∩O). Entao 1 ∈ O∗ ⊂ O.
Sejam u ∈ C−1 e v ∈ O∗. Entao u ∈ Oaipara algum i ∈ 1, . . . , k e v ∈ Pai
. Assim,
u−1vu ∈ O. Entao temos:
(3.3) u ∈ C−1, v ∈ O∗ ⇒ u−1v u ∈ O.
Por (3.2) e (3.3) temos (3.1), basta colocarmos v = yx−1 e u = x ou u = y.
3.2 Medias
Definicao 3.2.1. Seja C ⊂ G compacto. Um funcional M : FC −→ R e dito uma media
se satisfaz as seguintes condicoes:
(i) M(f + g) = M(f) +M(g);
(ii) M(f) ≥ 0 para f ∈ FoC.
Lema 3.2.2. Para toda media M, temos para toda f ∈ FC que:
(i) M(kf) = kM(f) para qualquer k ∈ R;
(ii) M(f) ≥ 0 se f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G;
(iii) Existe uma constante α = α(M) tal que
|M(f) |≤ α‖f‖.Demonstracao. Primeiramente, mostremos que (i) e valido para todo k racional.
Seja k =k1
k2
com k1, k2 ∈ Z e k2 6= 0.
Temos que se f ∈ FC entao rf ∈ FC para qualquer r ∈ R. Alem disso, dado k ∈ Z temos
que M(kf) = kM(f). De fato, temos os seguintes casos:
(i) k = 0;
Neste caso, M(0.f) = M(0). Como M(f) = M(f + 0) = M(f) +M(0), pelo ıtem (i)
da definicao 3.2.1, entao M(0) = 0 = 0.M(f).
66
(ii) k > 0;
Novamente, pelo ıtem (i) da definicao 3.2.1, temos que M(kf) = kM(f).
(iii) k < 0;
Entao, k = −k′ para algum k′ ∈ N. Assim, 0 = M(0) = M((k′f) + (−k′f)) =
M(k′f) +M(−k′f) entao M(kf) = M(−k′f) = −M(k′f). Logo, por (ii),
M(kf) = −M(k′f) = −k′M(f) = kM(f).
Deste modo,
k1M(f) = M(k1f) = M(k2
k2
k1f)
= k2M(k1
k2
f)
entao,k1
k2
M(f) = M(k1
k2
f).
Logo, o ıtem (i) e valido para todo k ∈ Q.
Mostremos agora o ıtem (ii).
Suponhamos, inicialmente, que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Seja k > 0 racional com
k ≥ ||f ||, isto e, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G. Entao 1kf ∈ Fo
C , daı, M( 1kf) ≥ 0 logo,
M ≥ 0.
Para mostrar (iii), suponhamos que nao vale (iii). Entao para cada n ∈ N existe
fn ∈ FC tal que
(3.4) |M(fn)| > 4n||fn||.
Temos que (3.4) exclue o caso em que fn ≡ 0. Caso contrario, ambos os membros de
(3.4) seriam nulos. Assim, ||fn|| > 0.
Alem disso, por (3.4), temos para cada n ∈ N que 12n‖fn‖ |M(fn)| > 2n. Assim, tomando
f ′n =fn
2n ‖ fn ‖ temos que ||f ′n|| = 12n , isto e, |f ′n(x)| ≤ 1
2n , para todo x ∈ G e M(f ′n) > 2n.
Logo, f ′n satisfaz (3.4).
Seja g(x) :=∞∑
n=1
|f ′n(x)|, para todo x ∈ G. Notemos que g ∈ FC .
Com efeito, pelo teste de Weierstrass temos que g e contınua.
Alem disso, para todo x ∈ G e todo n ∈ N temos que g(x) ≥ |f ′n(x)| ≥ f ′n(x) donde
M(g)−M(f ′n) = M(g − f ′n) ≥ 0 e logo M(g) ≥M(f ′n).
Daı, M(g) > 2n para todo n ∈ N, o que contradiz o fato de que g ∈ FC .
67
Por fim, mostremos o ıtem (i) para todo k irracional.
Seja f ∈ FC fixado. Temos que a aplicacao h : Q → R definida por h(k) = M(kf) e
uniformemente contınua.
Com efeito, dados k1, k2 ∈ Q temos que
|h(k1)− h(k2)| = |M(k1f)−M(k2f)|= |(k1 − k2)| |M(f)|≤ |k1 − k2|α(M)||f ||.
Deste modo, podemos estender h a todo R = Q.
Definicao 3.2.3. Dada uma media M, definamos
|||M |||:= infα = α(M); |M(f) |≤ α ‖ f ‖, para toda f ∈ FC.
Lema 3.2.4. Para toda media M vale
|M(f) |≤|||M ||| · ‖ f ‖, para toda f ∈ FC .
Demonstracao. Seja f ∈ FC fixa. Se f ≡ 0 entao | M(f) |= 0 =||| M ||| · ‖ f ‖. Caso
contrario, para todo α ∈ R+ tal que |M(f) |5 α ‖ f ‖ temos que|M(f) |‖ f ‖ 5 α.
Assim, pela definicao de ınfimo, temos|M(f) |‖ f ‖ 5|||M |||, isto e,
|M(f) |5|||M ||| · ‖ f ‖ .
Logo, como f foi tomada arbitrariamente segue que | M(f) |5||| M ||| · ‖ f ‖ para
toda f ∈ FC .
Lema 3.2.5. Para toda media M tem-se as seguintes propriedades:
(i) |||M |||= sup‖f‖≤1
|M(f) |= sup‖f‖=1
|M(f) |;
(ii) |||M |||= supf∈Fo
C
M(f).
68
Demonstracao. (i) Pela definicao 3.2.3 a afirmacao e trivial para f ≡ 0.
Seja f ∈ FC\0. Pelo lema 3.2.2, ıtem (i), podemos assumir ||f || = 1.
Entao |||M ||| e o menor α tal que |M(f) |≤ α, isto e,
(3.5) |||M |||= sup‖f‖=1
|M(f) |
Assim,
sup‖f‖≤1
|M(f) |≥ sup‖f‖=1
|M(f) |
Daı, por (3.5),
(3.6) sup‖f‖≤1
|M(f) |≥|||M |||
Pela definicao de |||M ||| temos que |M(f)| ≤|||M ||| para ||f || ≤ 1, daı
(3.7) sup||f ||≤1
|M(f)| ≤|||M ||| .
Agora, por (3.5), (3.6) e (3.7) temos (i).
(ii) Seja f ∈ FoC tal que ‖ f ‖≤ 1. Como M(f) ≤|M |, temos que
(3.8) supf∈Fo
C
M(f) ≤ sup‖f‖≤1
|M(f) |
Sejam f ∈ FC tal que ‖ f ‖≤ 1 e g(x) = |f(x)| para todo x ∈ G.
Temos que 0 ≤ g(x) ≤ 1 para todo x ∈ G, assim g ∈ FoC . Alem disso, para todo x ∈ G
temos ±f(x) ≤ g(x). Daı, pelo lema 3.2.2, ıtem (ii), M(g(x)− (∓f(x))) ≥ 0. Entao, pelo
ıtem (i) do lema 3.2.1 , M(g) ≥M(±f) = ±M(f), isto e,
|M(f)| ≤M(g) ≤ suph∈Fo
C
M(h).
Deste modo,
(3.9) sup‖f‖≤1
|M(f) |≤ suph∈Fo
C
M(h)
Por (3.8), (3.9) e pelo ıtem (i) temos (ii).
Lema 3.2.6. Seja M uma media. Entao M ≡ 0 se, e somente se, M(f) = 0 para toda
f ∈ FoC.
69
3.3 Medias e medidas invariantes a esquerda
Medias invariantes a esquerda
Definicao 3.3.1. Uma media M e dita invariante a esquerda se
M(fa) = M(f)
para todo a ∈ G e fa, f ∈ FC.
Definicao 3.3.2. Seja O ⊂ G aberto com 1 ∈ O. Uma media M e dita aproximadamente
O-invariante a esquerda quando
|M(fa)−M(f)| ≤ ko OscO(f),
para todo a ∈ G tal que fa, f ∈ FC , onde ko e uma constante absoluta(nao depende do
aberto O).
Lema 3.3.3. Uma media M e invariante a esquerda se, e so se, M e aproximadamente
O-invariante a esquerda para todo O ⊂ G com 1 ∈ O.
Demonstracao. Seja M uma media invariante a esquerda.
Entao
M(fa) = M(f),
para todo a ∈ G tal que fa, f ∈ FC . Fixado a ∈ G tal que fa, f ∈ FoC ⊂ FC segue, para
todo aberto O com 1 ∈ O, que
0 = |M(fa)−M(f)| ≤ k0OscO(f).
Logo, M(f) e aproximadamente O-invariante a esquerda.
Por outro lado, suponhamos que M e aproximadamente O-invariante a esquerda para
todo O aberto com 1 ∈ O.
Seja a ∈ G tal que fa, f ∈ FC .
No caso em que fa, f ∈ FoC temos que
|M(fa)−M(f)| ≤ k0OscO(f).
Pelo lema 3.1.4, para todo n ∈ N tomando-se ε =1
nexiste um aberto simetrico On =
On(f, 1n) com 1 ∈ On tal que OscOn(f) ≤ 1
n. Assim,
0 ≤ |M(fa)−M(f)| ≤ k01
n,
70
para todo n ∈ N. Fazendo n →∞ temos que
0 ≤ |M(fa)−M(f)| ≤ 0
entao
(3.10) M(fa) = M(f)
.
Suponhamos que f ≥ 0. Pelo lema 3.1.5 , podemos escolher k > 0 tal que k ≥ ||f ||.Daı, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G, e assim, as consideracoes feitas em (3.10) sao validas
para 1kf . Logo, tambem sao validas para f .
No caso em que f(x) < 0 para algum x ∈ G temos que:
f1(x) =1
2(| f(x) | +f(x)), f2(x) =
1
2(| f(x) | −f(x)), para todo x ∈ G.
Assim, f1 ≥ 0 e f2 ≥ 0. Deste modo, temos que f1 e f2 satisfaz (3.10). Daı, como
f = f1 − f2 segue que f tambem satisfaz (3.10).
Definicao 3.3.4. Seja C ⊂ G compacto tal que 1 ∈ Ci. Uma medida σ e dita uma
Ci-medida se e regular e
(3.11) σ((Ci)c) = 0.
Lema 3.3.5. Seja C ⊂ G compacto tal que 1 ∈ C i. Para toda medida regular τ existe
uma, e somente uma C i-medida σ tal que
(3.12) σ(M) = τ(M), para todo M ⊂ Ci boreliano .
Deste modo, σ esta definida por
(3.13) σ(M) = τ(Ci ∩M), para todo M ⊂ G boreliano ,
e chamaremos σ o C i-pedaco de τ .
Demonstracao. Dada uma medida τ , definamos σ(M) = τ(Ci ∩M) para todo M ⊂ G.
Temos que σ e uma medida, pois σ(∅) = τ(Ci ∩ ∅) = τ(∅) = 0 e dada uma sequencia de
conjuntos de borel, dois a dois disjuntos, Ann∈N, temos:
σ(⋃
n∈NAn) = τ(Ci ∩ (
⋃
n∈NAn)) = τ(
⋃
n∈N(Ci ∩ An)) =
∑
n∈Nτ(Ci ∩ An)
=∑
σ(An).
71
Logo, σ e uma medida. Alem disso, se τ e regular entao σ tambem sera regular. E com
isso, temos que σ satisfaz (3.11) e (3.12). Com efeito, σ((Ci)c) = τ(Ci∩(Ci)c) = τ(∅) = 0.
Por outro lado, se σ satisfaz (3.11) e (3.12) entao σ((Ci)c) = 0 e (Ci)c ∩M ⊂ (Ci)c o
que implica σ((Ci)c ∩M) = 0. Assim,
σ(M) = σ((Ci ∪ (Ci)c) ∩M) = σ(Ci ∩M) + σ((Ci)c ∩M)
= σ(Ci ∩M) = τ(Ci ∩M),
pois Ci ∩M ⊂ Ci. Logo, σ satisfaz (3.13).
Note que dado C ⊂ G compacto, a aplicacao
(3.14)M : FC → R
f 7→ M(f) =∫
Gfdσ
e uma media, onde a medida σ satisfaz as propriedades usuais da medida de Lebesgue,
incluindo regularidade. A relacao (3.14) estabelece uma correspondencia entre as medias
M e todas as Ci-medidas σ, a qual pode ser encontrada em [10] .
Definicao 3.3.6. Uma media M e uma Ci-medida σ que correspondem pela equacao
M(f) =
∫
G
f dσ, para toda f ∈ FC serao ditas correspondentes. Esta e uma corre-
spondencia biunıvoca de todas as medias com todas as Ci-medidas, como sera provada
pelas proposicoes a seguir.
Proposicao 3.3.7. Seja C ⊂ G compacto com 1 ∈ Ci. Dada uma media M existe,
atraves da relacao (3.14), no maximo uma Ci-medida σ correspondente a M.
Demonstracao. Suponhamos que exista uma media M a qual correspondam duas tais
Ci-medidas: σ1, σ2 . Vamos provar que σ1 e σ2 sao iguais, isto e, que σ1(M) = σ2(M),
para todo conjunto de Borel M. Como σ1 e σ2 sao medidas regulares basta provar que
σ1(O) = σ2(O) para todo O ⊂ G aberto.
Temos
σ1(O) = σ1((O ∩ Ci) ∪ (O ∩ (Ci)c)) = σ1(O ∩ Ci) + σ1(O ∩ (Ci)c) = σ1(O ∩ Ci),
pois 0 ≤ σ1(O ∩ (Ci)c) ≤ σ1((Ci)c) = 0. Do mesmo modo,
σ2(O) = σ2(O ∩ Ci).
72
Assim, podemos substituir O por O ∩ Ci , isto e, podemos considerar O ⊂ Ci. Desta
forma, basta provarmos que
σ1(O) = σ2(O),
para todo O ⊂ Ci.
Dado O ⊂ Ci, tomemos D ⊂ O compacto. Entao, pelo lema de Urysohn, existe uma
funcao contınua f : G → [0, 1] tal que f(x) = 1, se x ∈ D e f(x) = 0, se x ∈ Oc.
Entao a relacao (3.14) garante que
(3.15)σ1(D) ≤ M(f) =
∫G
fdσ1;
σ2(D) ≤ M(f) =∫
Gfdσ2.
Alem disso, temos
∫
G
fdσ1 =
∫
D
1dσ1 +
∫
(Dc)∩O
fdσ1 ≤∫
D
1dσ1 +
∫
(Dc)∩O
1dσ1 =
∫
O
1dσ1 = σ1(O).
De modo analogo, tem-se
∫
G
fdσ2 ≤ σ2(O).
Daı, por (3.15), temos que:
(3.16) σ1(D) ≤ σ2(O).
Como (3.16) e valido para todo compacto D ⊂ O, a regularidade de σ1 nos da
σ1(O) ≤ σ2(O).
Trocando os papeis de σ1, σ2 teremos que σ1(O) = σ2(O).
Logo, σ1 e σ2 coincidem.
Proposicao 3.3.8. Seja C ⊂ G compacto com 1 ∈ Ci. Para toda media M sobre FC
existe no mınimo uma C i-medida σ a qual corresponde, isto e,
M(f) =
∫
G
fdσ
para toda f ∈ FC .
73
Demonstracao. Seja M uma media. Vamos construir uma tal medida σ explıcitamente.
Seja O ⊂ G aberto, definamos
(3.17) ρ(O) := supf ∈ Fo
O∩ FC
1 ≤ f ≤ 1
M(f) ≤ sup|| f ||≤ 1
|M(f) |=|||M ||| .
Notemos que f ∈ FoO ∩ FC se, e so se, f ∈ Fo
O∩C . E visto que FoC = Fo
Ci segue que
FoO∩C = Fo
O∩Ci . Deste modo,
(3.18) ρ(O) = supf∈Fo
O∩C
M(f) = supf∈Fo
O∩Ci
M(f) ≤|||M ||| .
Alem disso, temos que ρ(O) e finito, como visto no lema 3.2.5.
Definamos para todo compacto D ⊂ G,
(3.19) λ(D) := infO⊃D
ρ(O).
Enunciaremos algumas propriedades das aplicacoes ρ e λ definidas em (3.17) e (3.19),
respectivamente:
(I) ρ(O) = supO⊃D
λ(D).
Demonstracao. De fato, dado O ⊂ G aberto temos, por (3.19), para qualquer compacto
D ⊂ O que ρ(O) ≥ λ(D). Logo, ρ(O) ≥ supD⊂O λ(D).
Desta forma, basta provarmos que ρ(O) ≤ supD⊂O λ(D), o que por (3.17), e equivalente
a provar que:
(3.20) M(f) ≤ supD⊂O
λ(D),
para toda f ∈ FoO∩C .
Seja f ∈ FoO∩C .
Dado ε > 0, definamos o conjunto Dε = x ∈ G; f(x) ≥ ε. Temos que Dε e fechado,
pois f e contınua. Daı, como f ∈ FC entao Dε ⊂ C entao Dε e compacto. Alem disso,
temos que f ∈ FoO implica Dε ⊂ O.
Definamos fε por
74
fε(x) := max(f(x)− ε, 0)
para todo x ∈ G.
Temos que f(x) ≥ 0, fε(x) ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ G , e se x 6∈ Dε entao f(x) < ε,
e daı, fε(x) = 0. Logo, fε ∈ FoDε
. Desta forma, fε ∈ FC e para todo P ⊃ Dε aberto temos
que fε ∈ FoP .
Consequentemente, aplicando (3.17) a um conjunto aberto arbitrario P ⊃ Dε, temos
ρ(P ) ≥M(fε).
Daı, aplicando (3.19) ao compacto Dε temos
λ(Dε) ≥M(fε),
e como Dε ⊂ O segue que
(3.21) M(fε) ≤ supD⊂O
λ(D).
Alem disso,
h(x) = f(x)− fε(x) = min(ε, f(x)),
donde 0 ≤ h(x) ≤ ε para todo x ∈ G. Assim, ‖f − fε‖ ≤ ε. Daı,
|M(f)−M(fε)| = |M(f − fε)| ≤|||M ||| ‖f − fε‖ ≤|||M ||| ε,
donde
(3.22) M(fε) ≥M(f)− |||M ||| ε.
Combinando (3.21) e (3.22) temos
(3.23) M(f)− |||M ||| ε ≤ supD⊂O
λ(D).
Como (3.23) e valida para ε > 0 arbitrariamente pequeno provamos (I).
(II) ρ(O) + ρ(P ) = ρ(O ∪ P ) ≤ ρ(Q), se O ∩ P = ∅ e O ∪ P ⊂ Q.
75
Demonstracao. Dadas f ∈ FoO ∩ Fo
C , g ∈ FoP ∩ FC entao f + g ∈ Fo
Q, ja que O ∩ P = ∅ e
O ∪ P ⊂ Q. Daı, por (3.17),
M(f) +M(g) = M(f + g) ≤ ρ(Q),
e tomando o supf M(f) e supgM(g) obtemos a propriedade (II)
(III) ρ(O) + ρ(P ) ≥ λ(D), para O ∪ P ⊃ D.
Demonstracao. Como G e localmente compacto, existe um aberto Q ⊃ D tal que Q e
compacto e Q ⊂ O ∪ P. Assim, por (3.19), ρ(Q) ≥ λ(D). Daı, basta provar que
(3.24) ρ(O) + ρ(P ) ≥M(f)
para toda f ∈ FoQ ∩ FC .
Seja f ∈ FoQ ∩ FC dada.
Temos que Oc ∩ Q, P c ∩ Q sao conjuntos fechados que estao contidos em Q que e
compacto, e portanto, sao compactos. Alem disso, sao disjuntos, pois
(Oc ∩Q) ∩ (P c ∩Q) = (Oc ∩ P c) ∩Q = (O ∪ P )c ∩Q = ∅
uma vez que, Q ⊂ O ∪ P. Entao, P c ∩Q e fechado e G\(Oc ∩Q) e aberto com P c ∩Q ⊂(Oc∩Q)c. Logo, pelo lema de Urysohn, existe uma funcao contınua h : G → [0, 1] tal que
h(x) = 1 para x ∈ P c ∩Q, h(x) = 0 para x ∈ Oc ∩Q.
Definamos agora as seguintes funcoes
k(x) := f(x)h(x), l(x) := f(x)(1− h(x)), para todo x ∈ G.
Entao, k, l ∈ FC e 0 ≤ k(x), l(x) ≤ 1. Alem disso, se k(x) 6= 0 para algum x ∈ G entao
f(x) 6= 0, e como f ∈ FoQ segue que x ∈ Q. Alem disso, tambem teremos que h(x) 6= 0 o
que implica x /∈ Oc ∩ Q. Porem, x ∈ Q ⊂ Q, consequentemente, x /∈ Oc, isto e, x ∈ O.
Logo, k ∈ FoO. Analogamente, l ∈ Fo
P . Temos entao
M(f) = M(k + l) = M(k) +M(l) ≤ ρ(O) + ρ(P ),
o que prova (3.24).
(IV) λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E).
76
Demonstracao. Dados os conjuntos O ⊃ D e P ⊃ E, temos que: O ∪ P ⊃ D ∪ E. Entao
por (III) segue
ρ(O) + ρ(P ) ≥ λ(D ∪ E).
Assim, fixando D, E temos para todo O ⊃ D e P ⊃ E que:
ρ(O) ≥ λ(D ∪ E)− ρ(P ).
Deste modo, tomando o infO⊃D
ρ(O) = λ(D) temos
λ(D) ≥ λ(D ∪ E)− ρ(P ).
Por outro lado,
ρ(P ) ≥ λ(D ∪ E)− λ(D).
Tomando novamente o infP⊃E ρ(P ) = λ(E), segue que
λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E).
(V) λ(D) + λ(E) = λ(D ∪ E), se D ∩ E = ∅.
Demonstracao. Dados os conjuntos D, E com D ∩ E = ∅ pela propriedade (IV) basta
provar
(3.25) λ(D) + λ(E) ≤ λ(D ∪ E).
O que por (3.19) e equivalente a mostrar que
(3.26) λ(D) + λ(E) ≤ ρ(O), se O ⊃ D ∪ E.
Como G e localmente compacto temos que se D∩E = ∅ entao existem dois conjuntos
abertos P ⊃ D e Q ⊃ E tais que P ∩ Q = ∅. Substituir P e Q por P ∩ O e Q ∩ O,
respectivamente, nao interferira nos resultados podemos entao assumir P , Q ⊂ O.
Dados D ⊂ P , E ⊂ Q temos λ(D) ≤ ρ(P ), λ(E) ≤ ρ(Q), por (3.19). Alem disso,
como P ∩Q = ∅ e P ∪Q ⊂ O temos
ρ(P ) + ρ(Q) ≤ ρ(O).
77
Deste modo, vale a desigualdade (3.26).
Como λ e positiva, finita e possui as propriedades (IV) e (V) segue que λ satisfaz as
propriedades da secao 1.2. Assim, seguindo o procedimento do primeiro capıtulo, podemos
definir µ e ν . Comparando a propriedade (I) com (1.6), mostramos que µ assim obtido
coincide com nosso ρ. Sabemos tambem do lema 1.2.12 que µ(O) = ν(O) para todo
O ⊂ G aberto. Daı,
(3.27) ρ(O) = µ(O) = ν(O),
para todo O ⊂ G aberto.
Da regularidade de ρ resulta que ν(D) = infO⊃D ρ(O). Tudo isto juntamente com
(3.19), garante que
(3.28) λ ≡ ν.
Como µ(O) = ρ(O) para todo aberto O, iremos denotar a aplicacao resultante ν por
σ.
(VI) σ e uma Ci−medida tal que
σ(O) = ρ(O), para todo aberto O ⊂ G e
σ(D) = λ(D), para todo compacto D ⊂ G
.
Demonstracao. Com efeito, por construcao σ e uma medida regular . As duas equacoes
acima sao reformulacoes de (3.27) e (3.28). Logo , falta apenas provarmos que σ((Ci)c) =
0.
Como Ci, G sao conjuntos abertos temos, por (3.18), que ρ(Ci) = ρ(G) e finito. Por
(3.27), σ(Ci) = σ(G) e finito . Consequentemente, σ((Ci)c) = σ(G) − σ(Ci) = 0, como
querıamos mostrar.
Tendo definido σ iremos estabelecer a correspondencia (3.14) em varios passos.
(VII) M(f) ≤ ∫G
fdσ para toda f ∈ FoC .
78
Demonstracao. Seja f ∈ FoC . Dado ε > 0, tome n ∈ 0, 1, 2, . . . tal que nε ≥ 1.
Para cada i ∈ 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1, n, definamos fi(x) := miniε, f(x). Entao,
fi ∈ FoC . Alem disso, para todo x ∈ G temos
(3.29) 0 = fo(x) ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ · · · ≤ fn−1(x) ≤ fn(x) = f(x),
e
(3.30) fi(x)− fi−1(x) =
ε, se f(x) > iε;
f(x)− (i− 1)ε, se (i− 1)ε < f(x) ≤ iε;
0, se f(x) ≤ (i− 1)ε.
com 1 ≤ i ≤ n.
Definamos tambem
(3.31) gi(x) :=1
ε(fi(x)− fi−1(x)) para i ∈ 1, . . . , n
e
(3.32) Oi := x ∈ G; f(x) > iε para i ∈ 0, 1, . . . , n.
Agora, por (3.29) e (3.30), temos
(3.33) f(x) = ε
n∑i=1
gi(x), para todo x ∈ G.
Tambem, por (3.30) e (3.31), temos para todo i ∈ 0, 1, . . . , n que
0 ≤ gi(x) ≤ 1, para todo x ∈ G.
Agora, (3.30), (3.31) e (3.32) mostram para cada i ∈ 0, . . . , n que
gi(x) = 0 para x /∈ Oi−1 .
Daı, gi ∈ FoOi−1
. Deste modo, para todo i ∈ 1, . . . , n temos que gi ∈ FC ja que todo
fi ∈ FC . Consequentemente, segue de (3.1) e (VI) que
(3.34) M(gi) ≤ ρ(Oi−1) = σ(Oi−1).
De (3.32) temos
(3.35) Oo ⊃ O1 ⊃ · · · ⊃ On−1 ⊃ On = ∅.
79
Por (3.33) e (3.34), temos
(3.36) M(f) = ε
n∑i=1
M(gi) ≤ ε
n∑i=1
σ(Oi−1).
Porem, de (3.35)
σ(Oi−1) = σ(Oi−1)− σ(On) =n∑
j=i
(σ(Oj−1)− σ(Oj))
=n∑
j=i
σ(Oj−1 ∩ (Oj)c),
n∑i=1
σ(Oi−1) =n∑
j=1
jσ(Oj−1 ∩ (Oj)c).
Assim, por (3.36)
(3.37) M(f) ≤n∑
j=1
jεσ(Oj−1 ∩ (Oj)c).
Por outro lado, ja que Oj−1 ∩ (Oj)c sao disjuntos por (3.35) para j = 1, . . . , n, temos
∫
G
(f + ε)dσ ≥n∑
j=1
∫
Oj−1∩Ocj
(f + ε)dσ ≥n∑
j=1
∫
Oj−1∩Ocj
jε dσ
=n∑
j=1
jεσ(Oj−1 ∩ (Oj)c).
Isto e,
(3.38)
∫
G
(f + ε)dσ ≥n∑
j=1
jεσ(Oj−1 ∩ (Oj)c).
Deste modo, segue de (3.37) e (3.38) que
(3.39) M(f) ≤∫
G
(f + ε)dσ,
como σ(G) = ρ(G) e finito, pela propriedade (VI) ou (3.19), a validade de (3.39) para
todo ε > 0 implica a propriedade (VII).
(VIII) M(f) =
∫
G
f dσ para toda f ∈ FoC .
80
Demonstracao. Seja f ∈ FoC dada.
Dado ε > 0, a aplicacao de (3.18) com O = G permite escolher uma funcao h ∈ FoC
com
(3.40) M(h) ≥ σ(G)− ε.
Definamos para cada x ∈ G, a funcao g(x) := max(0, h(x)− f(x)). Entao g ∈ FoC ,
f(x) + g(x) = max(f(x), h(x)), para todo x ∈ G
e
(3.41) h(x) ≤ (f(x) + g(x)) ≤ 1, para todo x ∈ G.
Agora de (3.40) e (3.41) segue que
M(f) +M(g) = M(f + g) ≥M(h) ≥ σ(G)− ε,
isto e, ∫
G
f dσ +
∫
G
g dσ =
∫
G
(f + g)dσ ≤∫
G
dσ = σ(G).
Daı
(3.42) M(f) +M(g) ≥∫
G
f dσ +
∫
G
g dσ − ε.
Por outro lado, aplicando a propriedade (VII) para f e g obtemos
(3.43) M(f) ≤∫
G
f dσ e M(g) ≤∫
G
g dσ.
Como isto e valido para todo ε > 0, demonstramos (VIII).
(IX) M(f) =
∫
G
f dσ, para toda f ∈ FC .
Demonstracao. Seja f ∈ FC .
Primeiramente, assumamos que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Escolha um k > 0 tal que
k ≥ ||f ||. Daı, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G. Entao1
kf ∈ Fo
C , logo podemos aplicar
a propriedade (VIII) a1
kf . Deste modo, a propriedade (IX) e valida para
(1
kf)
entao a
propriedade (IX) tambem e valida para f .
Por outro lado, suponhamos que existe x ∈ G tal que f(x) < 0. Tomemos
f1(x) =1
2(|f(x)|+ f(x)), f2(x) =
1
2(|f(x)| − f(x)), para todo x ∈ G.
Entao f1, f2 ∈ FC ja que f ∈ FC . Como f1(x), f2(x) ≥ 0 para todo x ∈ G entao (IX)
vale para f1 e f2 e como f = f1 − f2 temos que (IX) tambem e valida para f .
81
Por fim, temos que as propriedades (VIII) e (IX) completam a prova do lema.
Lema 3.3.9. Se M e σ sao correspondentes entao
|||M||| = σ(Ci) = σ(C) = σ(G).
Demonstracao. Por (3.18), temos
(3.44) ρ(Ci) = ρ(G) = supf∈Fo
Ci
M(f).
Por (3.27), os dois termos do lado esquerdo de (3.44) sao iguais a σ(Ci) e a σ(G),
respectivamente. Daı, segue de FoC = Fo
Ci que supf∈Fo
Ci
M(f) = supf∈Fo
C
M(f) = |||M|||, por (ii)
no lema 3.2.5. Entao (3.44) implica que
(3.45) σ(Ci) = σ(G) = |||M|||.
Deste modo, (3.45) da a primeira e a terceira das equacoes do lema. A segunda resulta
da relacao
σ(Ci) ≤ σ(C) ≤ σ(G).
Observacao: Notemos que os resultados da secao 3.3, resumidos nas proposicoes 3.3.7
e 3.3.8 conduzem a prova de uma correspondencia biunıvoca entre as medias e as Ci-
medidas, que pelo lema 3.3.9 preserva normas. Este fato pode ser visto como a versao de
von Neumann do classico teorema da representacao de Riesz.
Medidas invariantes a esquerda
Consideraremos C ⊂ G compacto tal que C i 6= ∅.
Definicao 3.3.10. Uma medida J em G e dita invariante a esquerda se
J(aM) = J(M), para todo a ∈ G e M ⊂ G boreliano.
Definicao 3.3.11. Uma Ci-medida σ e dita Ci-invariante a esquerda se
σ(aM) = σ(M), para M, aM ⊂ Ci borelianos.
82
Lema 3.3.12. Se J e uma medida invariante a esquerda entao seu Ci-pedaco σ e uma
Ci-medida Ci-invariante a esquerda.
Demonstracao. Seja a ∈ G tal que M, aM ⊂ Ci entao
σ(M) = J(M) = J(aM) = σ(aM).
Proposicao 3.3.13. Dada uma C i-medida σ, Ci-invariante a esquerda, existe no maximo
uma medida J invariante a esquerda em G cujo Ci-pedaco e σ.
Demonstracao. Suponhamos que existam duas medidas invariantes a esquerda J1 e J2
tais que σ e o Ci-pedaco de ambas. Entao M ⊂ Ci implica J1(M) = σ(M) = J2(M).
Alem disso, M ⊂ aC implica a−1M ⊂ Ci, logo
J1(M) = J1(a−1M) = J2(a
−1M) = J2(M).
De modo que,
(3.46) J1(M) = J2(M), para M ⊂ aC i.
Dado o conjunto compacto D, temos que D ⊂k⋃
i=1
aiCi, pois D ⊂ ⋃
a∈G
aCi e Ci 6= ∅.Consequentemente,
(3.47) D =k⋃
i=1
Ni com Ni ∩Nj = ∅ para i 6= j e Nj ⊂ ajCi.
Tome Mj = D ∩ (ajCi), Ni = Mi ∩
( i−1⋃j=1
Mj
). Daı, por (3.46) e (3.47), temos
J1(D) =k∑
i=1
J1(Ni) =k∑
i=1
J2(Ni) = J2(D),
isto e,
(3.48) J1(D) = J2(D).
Como J1 e J2 sao regulares, (3.48) garante que J1(M) = J2(M) para todos os conjuntos
de Borel M , isto e, J1 ≡ J2 .
83
Proposicao 3.3.14. Dada uma Ci-medida Ci-invariante a esquerda σ existe no mınimo
uma medida invariante a esquerda J em G cujo Ci-pedaco e σ.
Demonstracao. Dada uma medida σ satisfazendo as hipoteses do teorema, vamos con-
struir J explicitamente.
Seja D ⊂ G compacto.
Pelo que foi visto na prova da proposicao 3.3.13, podemos tomar
(3.49) D =k⋃
i=1
Ni com Ni ∩Nj = ∅ para i 6= j e Nj ⊂ ajCi,
para algum k ∈ N e a1, . . . , ak ∈ G.
Deste modo, a−1j Nj ⊂ C i, e entao podemos formar
(3.50) λ(D) =k∑
i=1
σ(a−11 Ni).
Vamos deduzir agora varias propriedades de λ.
(I) λ e uma funcao apenas de D, isto e, e independente da decomposicao particular
utilizada (3.49) de D .
Demonstracao. Consideremos duas decomposicoes
D =k⋃
i=1
Ni com Ni ∩Nj = ∅ para i 6= j e Nj ⊂ ajCi,
D =k′⋃
i=1
N ′p com N ′
p ∩N ′q = ∅ para p 6= q e N ′
p ⊂ a′pCi .
Entao, Ni ⊂ D =k′⋃
p=1
N ′p para todo i ∈ 1, . . . , k, assim,
Ni =k′⋃
p=1
(Ni ∩N ′p), a−1
i Ni =k′⋃
p=1
a−1i (Ni ∩N ′
p) e entao
(3.51)k∑
i=1
σ(a−1i Ni) =
k∑i=1
k′∑p=1
σ(a−1i (Ni ∩N ′
p)).
84
De modo analogo,
(3.52)k′∑
p=1
σ(a′−1i N ′
p) =k∑
i=1
k′∑p=1
σ(a−1i (Ni ∩N ′
p)),
onde a−1i (Ni ∩N ′
p) ⊂ Ci, a′−1p (Ni ∩N ′
p) ⊂ Ci e a′−1p (Ni ∩N ′
p) = (a′−1p ai)(a
−1i (Ni ∩N ′
p)).
Consequentemente, da Ci-invariancia a esquerda de σ segue
(3.53) σ(a−1i (Ni ∩N ′
p)) = σ(a′−1p (Ni ∩N ′
p)).
Combinando (3.51), (3.52) e (3.53) obtemos
(3.54)k∑
i=1
σ(a−1i Ni) =
k′∑p=1
σ(a′−1p N ′
p),
o que demonstra a propriedade (I).
(II) λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E), D e E compactos.
(III) λ(D) + λ(E) = λ(D ∪ E), se D ∩ E = ∅.Demonstracao. Aplicando (3.49) a D ∪ E temos:
(3.55) D ∪ E =k⋃
i=1
Ni com Nl ∩Nj = ∅, para l 6= j e Nl ⊂ alCi.
Entao
(3.56) D =k⋃
i=1
Ni ∩D,
(3.57) E =k⋃
i=1
Ni ∩ E,
para os mesmos k e a1, . . . , ak temos (3.49) para D e para E, respectivamente. Con-
sequentemente,
(3.58)
λ(D ∪ E) =k∑
i=1
σ(a−1i Ni),
λ(D) =k∑
i=1
σ(a−1i (Ni ∩D)),
λ(E) =k∑
i=1
σ(a−1i (Ni ∩ E)).
85
Alem disso, Ni ⊂ D∪E entao Ni = (Ni∩D)∪(Ni∩E), a−1i Ni = a−1
i (Ni∩D)∪a−1i (Ni∩E)
para todo i ∈ 1, . . . , k. Daı,
(3.59) σ(a−1i (Ni ∩D)) + σ(a−1
i (Ni ∩ E)) ≥ σ(a−1i Ni),
(3.60) σ(a−1i (Ni ∩D)) + σ(a−1
i (Ni ∩ E)) = σ(a−1i Ni) se D ∩ E = ∅.
Assim, (3.58), (3.59) provam a propriedade (II) e, (3.58), (3.60) provam a propriedade
(III).
Como λ e sempre nao-negativa, finita e satisfaz as propriedades (II) e (III) segue
que λ satisfaz as exigencias da secao 1.2. Alem disso, podemos definir µ e ν seguindo o
procedimento da secao 1.2. Iremos denotar ν por I.
(IV) I e uma medida invariante a esquerda.
Demonstracao. Devemos provar que dado um conjunto de Borel M ⊂ G, vale
I(M) = I(aM) para todo a ∈ G.
Como I e definido atraves de λ, basta provarmos que
(3.61) λ(aD) = λ(D) para todo a ∈ G.
Temos que se substituimos em (3.49) D, ai , Ni por aD, aai , aNi nao afetara a
igualdade, ja que (aai)−1(aNi) = a−1
i Ni. Agora (3.50) mostra que λ(aD) = λ(D), isto e,
que (3.61) e valida.
(V) λ(D) = σ(D), se D ⊂ Ci.
Demonstracao. Se D ⊂ Ci entao podemos escolher em (3.49) k = 1, a1 = 1, e N1 = D.
Logo, (3.50) prova (V).
(VI) σ e o Ci-pedaco de I.
86
Demonstracao. Devemos provar
(3.62) I(M) = σ(M) para todo M ⊂ Ci boreliano.
Para isto, basta provar
(3.63) I(O) = σ(O) se O ⊂ C i, O aberto.
Aplicando infM⊂O⊂Ci
em ambos os lados de (3.63) obtemos
(3.64) infM⊂O⊂Ci
I(O) = infM⊂O⊂Ci
σ(O) se M ⊂ C i.
Assim, infM⊂O⊂Ci
I(O) ≥ infM⊂O
I(O) e infM⊂O⊂Ci
σ(O) ≥ infM⊂O
σ(O). Por outro lado, dado
M ⊂ O ⊂ Ci implica que M ⊂ O∩Ci ⊂ Ci. Assim, I(O∩Ci) ≤ I(O) e σ(O∩C) ≤ σ(O).
Entao,
infM⊂O⊂Ci
I(O) ≤ infM⊂O
I(O) e infM⊂O⊂Ci
σ(O) ≤ infM⊂O
σ(O).
Desta forma, temos que infM⊂O⊂Ci
I(O) = infM⊂O
I(O) e infM⊂O⊂Ci
σ(O) = infM⊂O
σ(O), ou seja,
por (3.64), vale
(3.65) infM⊂O
I(O) = infM⊂O
σ(O) se M ⊂ Ci.
Como I e σ sao regulares isto implica (3.62). Falta provar (3.63), para isto tomemos
O ⊂ C i aberto. Pela propriedade (V) temos que
(3.66) supD⊂O
λ(D) = supD⊂O
σ(D) se O ⊂ Ci.
Pela definicao de µ, temos que µ(O) = supD⊂O
λ(D) e, como µ(O) = ν(O) = I(O) segue
que I(O) = supD⊂O
λ(D). Por outro lado, como σ e regular temos
I(O) = supD⊂O
λ(D) = supD⊂O
σ(D) = σ(O) para todo O ⊂ Ci.
O que prova (3.63).
Finalmente, as propriedades (IV) e (VI) completam a prova do lema.
Definicao 3.3.15. Uma medida invariante a esquerda I, e uma Ci-medida Ci-invariante
a esquerda σ tal que σ e o Ci-pedaco de I, serao denominadas por correspondentes.
Nos lemas a seguir estabeleceremos conexoes entre as varias nocoes de invariancia a
esquerda para medias e medidas.
87
Lema 3.3.16. Dada uma media M seja σ a Ci-medida correspondente, isto e, M(f) =∫
G
f dσ para toda f ∈ FC . Entao, M e invariante a esquerda se, e somente se, σ e
Ci-invariante a esquerda.
Demonstracao. Suponhamos, inicialmente, que a media M e invariante a esquerda, ou
seja, para todo a ∈ G temos que
(3.67) M(fa) = M(f), para fa, f ∈ FC .
Se fa ∈ FC entao f ∈ Fa−1C . Assim, pela hipotese de (3.67), temos que f ∈ FC ∩Fa−1C , ou seja, f ∈ FC∩a−1C . Definamos
(3.68) M′(f) := M(f), para toda f ∈ FC∩a−1C ,
(3.69) M′′(f) := M(fa), para toda f ∈ FC∩a−1C ,
entao, por (3.67), M′ e M′′ sao medias identicas para C ∩ a−1C.
Sejam σ′ e σ′′ os (C ∩ a−1C)i-pedacos de σ e σa−1 , respectivamente.
Como M e σ sao correspondentes entao σ′ e σ′′ sao os correspondentes de M′ e M′′,
respectivamente. Consequentemente, por (3.67), a identidade de M′ e M′′ equivale a
identidade de σ′ e σ′′, isto e,
σ′(M) = σ′′(M) para todo M ⊂ (C ∩ a−1C)i = Ci ∩ a−1Ci.
Devido a (3.12) e (3.13), isto significa que
σ(M) = σ(aM) = σa(M) para todo M ⊂ Ci ∩ a−1Ci,
ou seja,
(3.70) σ(M) = σa(M) para todo M,aM ⊂ Ci.
Desta forma, a invariancia a esquerda de M , que e equivalente a validade de (3.67)
para todo a ∈ G, garante a validade de (3.70) para todo a ∈ G. Mas isto e o mesmo que
dizer que σ e Ci-invariante a esquerda.
Proposicao 3.3.17. A relacao
M(f) =
∫
G
f dν para toda f ∈ FC
estabelece uma correspondencia biunıvoca entre todas as medias invariantes a esquerda Me todas as medidas invariantes a esquerda ν.
88
Demonstracao. Seja σ o Ci-pedaco de ν. Entao a relacao dada e equivalente a
(3.71) M(f) =
∫
G
f dσ para toda f ∈ Fc .
Se ν e invariante a esquerda entao σ e Ci-invariante a esquerda e se σ e invariante a
esquerda entao ν pode ser escolhida invariante a esquerda. Esta correspondencia entre
ν e σ e bijetiva pelo lema 3.3.12 e da proposicao 3.3.13. A correspondencia (3.71) entre
as medias invariantes a esquerda M e as medidas Ci-invariantes a esquerda σ tambem e
bijetiva pela definicao 3.3.15 junto com o lema 3.3.16 dado anteriormente.
Deste modo, tomando-se a composicao dessas duas aplicacoes bijetivas temos que a
correspondencia entre as medias M invariantes a esquerda e as medidas invariantes a
esquerda ν tambem e bijetiva.
3.4 Sistemas convergentes de medias aproximadamente
invariantes a esquerda
Vamos considerar C como um conjunto compacto tal que Ci 6= ∅.
Teorema 3.4.1. Seja o conjunto aberto O, 1 ∈ O. Suponhamos que existe um conjunto
NO tal que
(i) NO e um conjunto nao-vazio de medias O-aproximadamente invariantes a esquerda
M em C;
(ii) Para toda f ∈ FoC e todo ε > 0 existe um aberto Oo = Oo(f, ε) com 1 ∈ Oo tal que
podemos obter conjuntos abertos O′ e O′′ tais que
1 ∈ O′, O′′ ⊂ Oo
e
se M′ ∈ NO′ ,M′′ ∈ NO′′ entao |M′(f)−M′′(f)| ≤ ε.
Entao, existe uma, e somente uma media M com a seguinte propriedade:
(iii) Para toda f ∈ FC e todo ε > 0 existe um conjunto aberto O1 = O1(f, ε) com 1 ∈ O1
tal que
1 ∈ O′ ⊂ O1 e
se M ∈ NO1 entao |M(f)−M′′(f)| ≤ ε.
89
Demonstracao. A prova sera feita em etapas.
(I) Dada f ∈ FoC existe um numero real ζ com a seguinte propriedade:
Se ε > 0, 1 ∈ O ⊂ Oo(f, ε), M ∈ NO entao |ζ −M(f)| ≤ ε.
Demonstracao. Para todo sistema ε, O(aberto), M(media) com
(3.72) ε > 0, 1 ∈ O ⊂ Oo(f, ε), M ∈ NO ,
considere o intervalo
(3.73) I(ε, O,M) = ζ ∈ R;M(f)− ε ≤ ζ ≤M(f) + ε.
Consideremos agora uma famılia finita de sistemas εi , Oi , Mi para 1 ≤ i ≤ n os quais
satisfazem (3.72). Sejam i, j ∈ 1, . . . , n arbitrarios. Tomemos O∗ = Oo(f, εi)∩Oo(f, εj)
e escolhamos M∗ ∈ NO∗ . Aplicando (ii) a εi , Oi , O∗, Mi , M∗ e a εj , Oj , O∗, Mj , M∗
no lugar de ε, O′, O′′, M′, M′′, obtemos:
|Mi(f)−M∗(f)| ≤ εi , |Mj(f)−M∗(f)| ≤ εj ,
e portanto,
(3.74) Mi(f)− εi ≤Mj(f) + εj .
Como (3.74) e valida para todo i, j ∈ 1, . . . , n implica, conjuntamente com (3.72),
que
(3.75) I(ε1, O1,M1) ∩ · · · ∩ I(εn, On,Mn) 6= ∅.
Como I(ε,O,M) sao conjuntos compactos segue de (3.75) que todos os intervalos
I(ε,O,M) possuem um elemento comum ζo . Fixemos o sistema ε+, O+, M+ que satisfaz
(3.72) e consideremos I(ε,O,M) ∩ I(ε+, O+,M+) no lugar de I(ε,O,M).
Por construcao temos que ζo possui a propriedade explicitada na etapa I.
(II) Dada f ∈ FC , existe um numero real ζo com a seguinte propriedade:
Para todo ε > 0 existe um aberto O1 = O1(f, ε) tal que:
Se 1 ∈ O ⊂ O1 , M ∈ NO1 entao |ζo −M(f)| ≤ ε.
Demonstracao. Se f ∈ FoC entao (II) segue de (I) com O1(f, ε) = Oo(f, ε).
Suponhamos agora que f ∈ FC\FoC .
90
Vamos assumir, inicialmente, que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Escolha k > 0 tal que
k ≥ ||f ||. Daı,
0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G.
Entao,1
kf ∈ Fo
C . Logo, (II) e valida para1
kf . Consequentemente, tambem e valida
para f com O1(f, ε) = O1
(1
kf,
1
kε).
Suponhamos agora que exista xo ∈ G tal que f(xo) < 0. Definamos
f ′(x) :=1
2(|f(x)|+ f(x)), f ′′(x) :=
1
2(|f(x)| − f(x)), para todo x ∈ G.
Entao, f ′, f ′′ ∈ FC . Como f ′(x), f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ G entao (II) e valida para f ′,
f ′′. Daı, f = f ′ − f ′′ tambem satisfaz (II) com O1(f, ε) = O1
(f ′,
ε
2
) ∩O1
(f ′′,
ε
2
).
(III) O ζo de (II) e unico e sera denotado por M(f).
Demonstracao. Dados f ∈ FC e ε > 0, sejam ζ ′o, ζ ′′o ambos satisfazendo (II) com O′1(f, ε),
O′′1(f, ε), respectivamente.
Forme O = O′1
(f,
ε
2
) ∩ O′′1
(f,
ε
2
)e escolha M ∈ NO . Entao, a aplicacao de (II) com
ζ ′o e ζ ′′o resulta em |ζ ′o − ζ ′′o | ≤ ε. Como esta desigualdade e valida para todo ε > 0 segue
que ζ ′o = ζ ′′o .
(IV) O M de (III) e uma media em FC .
Demonstracao. Por (II) e a afirmacao da unicidade de (III) temos as propriedades (i) e
(ii) da definicao 3.2.1.
(V) A media M satisfaz (iii). Para qualquer f ∈ FoC podemos escolher O1(f, ε) =
Oo(f, ε).
Demonstracao. A prova segue de (II) e (I).
(VI) A media M e a unica media que satisfaz (iii).
Demonstracao. Segue de (III), pois (iii) coincide com (II).
(VII) A media M e invariante a esquerda.
91
Demonstracao. Seja P ⊂ G aberto com 1 ∈ P .
Sejam a ∈ G e f tais que f, fa ∈ FoC . Dado ε > 0 tomemos
O = P ∩O1
(f,
ε
2
) ∩O1
(fa,
ε
2
)
e escolhamos M ∈ NO .
Entao, M e aproximadamente O-invariante a esquerda, daı
|M(fa)−M(f)| ≤ ko OscO(f) ≤ ko OscP (f).
Logo, aplicando (iii) a f e a fa obtemos:
|M(fa)−M(f)| ≤ ko OscP (f) + ε.
Que e valida para todo ε > 0, por essa razao
|M(fa)−M(f)| ≤ ko OscP (f).
Portanto, M e aproximadamente P -invariante a esquerda.
Como o aberto P foi tomado arbitrariamente segue, do lema 3.3.3, que M e invariante
a esquerda.
Enfim, pelas etapas (IV), (V), (VI) e (VII) completamos a prova.
Nota : No teorema acima faltou analisar o caso em que M ≡ 0, neste caso sua medida
correspondente I ≡ 0. Se isto acontece entao a invariancia e valida.
Excluiremos este caso exigindo a existencia de α = α(O) > 0 fixo tal que
(3.76) |||M||| ≥ α > 0 para toda M ∈ NO .
Teorema 3.4.2. Suponha que sob as hipoteses do teorema3.4.1 dado anteriormente, ex-
istem fo ∈ FC e βo > 0 fixos com a seguinte propriedade:
Para todo aberto O com 1 ∈ O existe um aberto O′ com 1 ∈ O′ ⊂ O e uma media
M′ = M′(O) ∈ NO tais que
|M′(fo)| ≥ βo > 0.
Entao para M, do teorema 3.4.1, tambem vale
|M(fo)| ≥ βo > 0,
e consequentemente, M nao e identicamente nula.
92
Demonstracao. Dado ε > 0 tomemos o aberto O = O′ ∩O1(f, ε). Entao,
|M(fo)| ≥ βo − ε.
Como essa desigualdade e valida para todo ε > 0 entao |M(fo)| ≥ βo , como querıamos
provar.
3.5 Equidistribuicao
Seja G um grupo topologico, C ⊂ G compacto fixo e 1 ∈ O ⊂ G aberto.
Definicao 3.5.1. Um conjunto
(3.77) F (m) = a1, . . . , am ⊂ C (m ∈ N)
e O-equidistribuıdo (1 ∈ O) se, e so se, possui a seguinte propriedade: Para todo a ∈ G
existe uma permutacao que depende de a 1, . . . , m de 1, . . . , m, tal que para todo
i ∈ 1, 2, . . . , m, vale
(A) aiO ∩ aa−1i O 6= ∅, ou
(B) aiO ∩ (aC)c 6= ∅ e a−1i O ∩ (a−1
i C)c 6= ∅.
Lema 3.5.2. Seja o conjunto aberto P tal que P ⊂ C e 1 ∈ P . Entao existem um aberto
Oo = Oo(P ) com 1 ∈ Oo e βo = βo(C,P ) > 0 com as seguintes propriedades:
Se o F de (3.77) dado acima e O-equidistribuıdo com 1 ∈ O ⊂ Oo entao
#i ∈ 1, 2, . . . , m; ai ∈ P ≥ β0m.
Demonstracao. Como (x, y, z) 7→ xyz−1 de G×G×G−1 em G e contınua, e como 1 ∈ P ,
existe Oo = Oo(P ) com 1 ∈ Oo e OoOoO−1o ⊂ P . Consequentemente,
(3.78) 1 ∈ Oo ⊂ OoOo ⊂ OoOoO−1o ⊂ P ⊂ C.
Temos que C ⊂ ⋃d∈C
dOo, onde cada dOo aberto. Entao
(3.79) C ⊂k⋃
n=1
dnOo,
onde k e os d1, . . . , dk dependem de C e P .
93
Consideremos agora um aberto O com 1 ∈ O ⊂ Oo e o conjunto F da forma (3.77),
O-equidistribuıdo.
Para todo ai ∈ C temos, por (3.79), que
k∑n=1
#i ∈ 1, . . . , m; ai ∈ dnOo = m.
Daı, existe um n ∈ 1, . . . , k tal que
(3.80) #i ∈ 1, . . . , m; ai ∈ dnOo ≥ m
k,
pois em caso contrario, terıamos quek∑
n=1
#i ∈ 1, . . . , m, ai ∈ dnOo <k∑
n=1
m
k≤ m, o
que negaria C ⊂k⋃
n=1
dnOo.
Consideremos i ∈ 1, . . . , m tal que ai ∈ dnOo . Devemos ter uma das alternativas
(A) e (B) dadas na definicao anterior.
Se ocorre (B) entao aiO\dnC 6= ∅. Como
aiO ⊂ dnOoO ⊂ dnOoOo ⊂ dnC, por (3.78),
obtemos assim uma contradicao.
Daı nos resta (A). Isto implica aiO ∩ dna−1i O 6= ∅. Consequentemente,
a−1i ∈ d−1
n aiOO−1 ⊂ d−1n (dnOo)OO−1 = OoOO−1 ⊂ OoOoO
−1o ⊂ P, por (3.78).
De fato, como aiO∩ dna−1i 0 6= ∅ entao existe x ∈ aiO∩ dna−1
i O, ou seja, existem o, o′ ∈ O
tais que x = aio e x = dna−1i o′ ⇒ dnaio
′ = aio ⇒ a−1i = d−1
n aio · o−1 ∈ d−1n aiOO−1. Vimos
entao que:
(3.81) ai ∈ dnO ⇒ a−1i ∈ P.
Consequentemente,
(3.82) #j ∈ 1, . . . , m; aj ∈ P ≥ #i ∈ 1, . . . ,m; ai ∈ dnO
Combinando (3.80) e (3.82) temos:
#j ∈ 1, . . . , m; aj ∈ Pm
≥ 1
k=
1
k(C, P )·
Deste modo, podemos tomar βo = βo(C, P ) =1
k=
1
k(C,P )> 0 e a prova esta completa.
94
Para apresentar exemplos de equidistribuicao vamos utilizar um resultado classico,
de natureza combinatoria, conhecido Lema de Hall, Maak e Kakutani enunciado abaixo.
Tendo em vista nossos propositos e a extensao de sua prova omitiremo-la. Para maiores
detalhes ver [6].
Lema de Hall, Maak e Kakutani.
Sejam
(a) A =m⋃
i=1
Ai e B =n⋃
j=1
Bj (m,n ∈ N) para Ai, Bj ⊂ G,
se para cada s temos que
(b)⋃
j∈J(s+1)
Bj 6⊆ ⋃i∈I(s)
Ai e
(c)⋃
i∈I(s+1)
Ai 6⊆ ⋃j∈J(s)
Bj
onde I(k) e J(k) denotam conjuntos finitos com exatamente k elementos.
Entao podemos encontrar
(A) uma permutacao p(1), . . . , p(m) de 1, . . . ,m;(B) uma permutacao q(1), . . . , q(n) de 1, . . . , n;(C) p ∈ 1, 2, . . . , min(m,n),
tais que:
(α) Ap(k) ∩Bq(k) 6= ∅ para k = 1, 2, . . . , p,
(β) Ai ⊆ B ⇒ i = p(k) para algum k = 1, . . . , p,
(γ) Bj ⊆ A ⇒ j = q(k) para algum k = 1, . . . , p.
Primeiro exemplo de equidistribuicao
Consideremos um compacto C e um aberto O. Assumiremos que 1 ∈ O. Como C ⊂⋃
a∈C
aO temos que para um conjunto finito adequado C ⊂m⋃
i=1
aiO. Tome
(3.83) F (m) = a1, . . . , am ⊂ C (m ∈ N)
tal que
(3.84) C ⊂m⋃
i=1
aiO.
95
Vemos que (3.84) e equivalente a
(3.85) C =m⋃
i=1
Mi com Mi = C ∩ (aiO).
Temos agora:
Lema 3.5.3. Escolha o F de (3.83) com o menor m possıvel que satisfaz (3.84)(isto e,
(3.85)). Este F e O-equidistribuıdo.
Demonstracao. Usemos (3.85).
Temos, para a arbitrario, que
(3.86) C =m⋃
i=1
Mi e aC =m⋃
i=1
aMi .
Aplicando o Lema de Hall, Maak e Kakutani em (3.86), tomando na primeira condicao
m = n, A = C, B = aC, Ai = Mi , Bi = aMi. Vamos provar que as condicoes (b) e (c)
do Lema de H-M-K sao satisfeitas, isto e, que
(3.87)⋃
i∈I(s)
Mi 6⊃⋃
i∈J(s+1)
aMi
e
(3.88)⋃
i∈J(s)
aMi 6⊃⋃
i∈I(s+1)
Mi
Como (3.87) pode ser obtida de (3.88) multiplicando ambos os lados por a−1 e sub-
stituindo a por a−1 basta considerar (3.88). Assumamos o oposto, isto e que (3.88) e
violada. Entao, ⋃i∈J(s)
aMi ⊃⋃
i∈I(s+1)
Mi ;
por (3.86), temos
C ⊂[ ⋃
i∈1,...,m−I(s+1)
Mi
]⋃[ ⋃i∈J(s)
aMi
],
pois
C =⋃m
i=1 Mi =[⋃
i∈1,...,m−I(s+1)Mi
] ⋃ [⋃i∈I(s+1)
Mi
]
⊂ [⋃i∈1,...,m−I(s+1)
Mi
] ⋃ [⋃i∈J(s)
aMi
].
96
Entao, por (3.85),
C ⊂[ ⋃
i∈1,...,m−I(s+1)
aiO
]∪
[ ⋃i∈J(s)
aaiO
].
Denotemos os ai com i ∈ 1, . . . , m − I(s+1) e os aai com i ∈ J(s) em alguma ordem,
por a1, . . . , am−1 . Temos entao que C ⊂m−1⋃k=1
akO, contradizendo a minimalidade de m em
(3.84).
Desta forma, o lema de Hall, Maak e Kakutani e valido para (3.86).
Existem entao duas permutacoes p(1), . . . , p(m) e q(1), . . . , q(m) de 1, . . . , mcom p ∈ 1, . . . ,m tais que :
(3.89) Mp(k) ∩ (aMq(k)) 6= ∅ para k = 1, . . . , p,
(3.90) se Mi ⊂ aC entao i = p(k) para k = 1, . . . , p,
(3.91) se aMj ⊂ C entao j = q(k) para k = 1, . . . , p.
Combinando (3.85) e (3.89), obtemos
(3.92) ap(k)O ∩ aaq(k)O 6= ∅ para k = 1, 2, · · · , p.
Agora, ap(k)O ⊂ aC ou aq(k)O ⊂ a−1C com k ∈ 1, . . . ,m o que, por (3.85), implica
Mp(k) ⊂ aC ou aMq(k) ⊂ C. Assim, por (3.90) e (3.91), isto e valido para todo k ∈1, 2, · · · , p. Vemos entao que
(3.93) ap(k)O\aC 6= ∅ e aq(k)O\a−1C 6= ∅
para p + 1 ≤ k ≤ m.
Deste modo, por (3.92) e (3.93), se definirmos a permutacao 1, . . . , m por ¯p(k) =
q(k) para 1 ≤ k ≤ m, podemos garantir as alternativas de (A) e (B) na definicao de
O−equidistributividade.
97
Segundo exemplo de equidistribuicao
Consideremos um compacto C e um aberto O tais que 1 ∈ O e bO ⊂ C para algum b, e
tomemos os conjuntos finitos
(3.94) G(n) = b1, . . . , bn ⊂ C (n ∈ N)
para os quais temos
(3.95) C ⊃n⋃
j=1
bjO,
onde os conjuntos bjO sao disjuntos. Notemos que (3.95) e equivalente a
(3.96) C =n⋃
j=1
Mj com Mj ⊃ bjO.
Tais conjuntos Gn existem em virtude das hipoteses originais: G(1) = b. Afirmamos
agora o seguinte lema:
Lema 3.5.4. Escolha o Gn de (3.94) com o maior n possıvel satisfazendo (3.95) . Isto
e possıvel pois o conjunto dos n′s em questao e limitado. Este conjunto G e OO−1O−equidistribuıdo.
Demonstracao. Primeiramente, iremos provar que o conjunto n; G(n) de (3.94) satisfaz
(3.95) e limitado.
Como x−1y e contınua, podemos escolher um aberto P com 1 ∈ P e PP−1 ⊂ O.
Aplicando as consideracoes do inıcio do primeiro exemplo para P no lugar de O, obtemos
(3.97) C ⊂m⋃
i=1
aiP
para um certo m o qual vamos considerar como fixado.
Consideremos agora (3.95), assumindo n > m. Entao, como 1 ∈ O temos que
bj ∈ C para todo j ∈ 1, 2, · · · , n, pois bj ∈ bjO ⊂ C. Daı, deve existir dois j1, j2
em 1, 2, · · · , n distintos com bj1 , bj2 ∈ aiP para o mesmo i ∈ 1, 2, . . . , m. Consequen-
temente, ai ∈ bj1P−1. Assim, bj2 ∈ aiP ⊂ bj1P
−1P ⊂ bj1O. Como bj2 ∈ bj2O, isto
contradiz bj1O ∩ bj2O = ∅, por (3.95).
98
Desta forma, n ≤ m. Mostrando que o conjunto dos n′s com essa propriedade e
limitado.
Vamos mostrar agora que G e OO−1O-equidistribuıdo.
Usando a forma (3.95), consideremos um b ∈ G para o qual nem
(3.98) bO\C = bO ∩ Cc 6= ∅
nem
(3.99) b ∈ bjOO−1 para algum j ∈ 1, 2, · · · , n.
Um tal b satisfaz bO ⊂ C e b /∈ bjOO−1, bO ∩ bjO = ∅ para todo j ∈ 1, 2, · · · , n. Daı,
(3.100) C ⊃[
n⋃j=1
bjO
] ⋃bO,
e entao de (3.100) terıamos (3.95) com n+1, onde b(n+1) = b, contradizendo a propriedade
de maximalidade de n. Deste modo, todo b satisfaz (3.98) ou (3.99), isto e, se definirmos
(3.101) C ′ =n⋃
j=1
bjOO−1
entao
(3.102) b /∈ C ′ implica bO\C 6= ∅.
Como b /∈ C implica que bO\C 6= ∅, podemos reforcar (3.102) para
(3.103) b /∈ C ∩ C ′ implica bO\C 6= ∅.
Temos agora, devido a (3.95), (3.101) e ao fato que bjO ⊂ bjOO−1 com 1 ∈ O, as
relacoesn⋃
j=1
bjO ⊂n⋃
j=1
bjOO−1
= C ′,
⊂ C;
daı,
(3.104)n⋃
j=1
bjO ⊂ C ∩ C ′ ⊂n⋃
j=1
bjOO−1.
99
Consequentemente, podemos colocar
(3.105) C ∩ C ′ =n⋃
j=1
Nj com bjO ⊂ Nj ⊂ bjOO−1.
Temos para qualquer a ∈ G que
(3.106) C ∩ C ′ =n⋃
j=1
Nj , a(C ∩ C ′) =n⋃
j=1
aNj .
Aplicando o Lema de Hall, Maak e Kakutani com (3.106) no lugar da sua primeira
condicao, ou seja, m = n, A = C ∩ C ′, B = a(C ∩ C ′), Aj = Nj e Bj = aNj. Provemos
que as respectivas segunda e terceira condicoes dadas no teorema sao equivalentes:
(3.107)⋃
j∈I(s)
Nj +⋃
j∈J(s+1)
aNj ,
(3.108)⋃
j∈J(s)
aNj +⋃
j∈I(s+1)
Nj .
Como (3.108) deriva de (3.107) multiplicando ambos os lados por a−1 e entao substi-
tuindo a por a−1, basta para considerar (3.107). Assuma que (3.107) e falsa. Entao
⋃j∈I(s)
Nj ⊃⋃
j∈J(s+1)
aNj ;
Daı, de (3.106) temos
C ⊃ C ∩ C ′ =n⋃
j=1
Nj =
[ ⋃
j∈1,...,n−I(s)
Nj
]⋃[ ⋃j∈I(s)
Nj
]
⊃[ ⋃
j∈1,...,n−I(s)
Nj
] ⋃[ ⋃j∈J(s+1)
aNj
],
entao, por (3.105),
(3.109) C ⊃[ ⋃
j∈1,...,n−I(s)
bjO
]⋃[ ⋃j∈J(s+1)
abjO
].
100
Denote os bj com j ∈ 1, . . . , n − I(s) e os abj com j ∈ J(s+1) em alguma ordem,
digamos que seja b1, . . . , bn+1 . Entao
(3.110) C ⊃n+1⋃
k=1
bkO,
contradizendo a maximilidade de n na forma (3.95).
Assim, o lema de Hall, Maak e Kakutani e valido para (3.106).
Entao temos duas permutacoes p(1), . . . , p(n) e q(1), . . . , q(n) junto com um p ∈1, . . . , n tais que as equivalencias de (α)− (γ) sao validas para (3.106), ou seja,
(3.111) Np(k) ∩ aNq(k) 6= ∅ para 1 ≤ k ≤ p,
(3.112) se Nj ⊂ a(C ∩ C ′), entao j = p(k) para 1 ≤ k ≤ p,
(3.113) se aNj ⊂ C ∩ C ′, entao j = q(k) para 1 ≤ k ≤ p.
Combinando (3.105) e (3.111) obtemos
(3.114) (bp(k)OO−1) ∩ (bq(k)OO−1) 6= ∅ para 1 ≤ k ≤ p.
Mas, bp(k)OO−1 ⊂ a(C∩C ′) ou bq(k)OO−1 ⊂ a−1(C∩C ′) o que implica, por (3.105), que
Np(k) ⊂ a(C∩C ′) ou aNq(k) ⊂ C∩C ′ para todo 1 ≤ k ≤ p, por (3.112) e (3.113). Por outro
lado, bp(k)OO−1 ⊂ a(C∩C ′) ou bq(k)OO−1 ⊂ a−1(C∩C ′) significa que a−1bp(k)OO−1 ⊂ C∩C ′ ou abq(k)OO−1 ⊂ C∩C ′. Daı, por (3.103), eles sao implicados por a−1bp(k)OO−1O ⊂ C
ou abq(k)OO−1O ⊂ C, isto e, por bp(k)OO−1O ⊂ aC ou bq(k)OO−1O ⊂ a−1C. Vemos entao
que
(3.115) bp(k)OO−1O\aC 6= ∅ e bq(k)OO−1O\a−1C 6= ∅
para p + 1 ≤ k ≤ n.
Deste modo, a alternativa (A) ou (B) na definicao de equidistribuicao esta garantida para
OO−1O no lugar de O, por (3.114) e (3.115), lembremos que OO−1 ⊂ OO−1O ja que 1 ∈ O,
se definimos a permutacao 1, . . . , n por p(k) = q(k) para todo k ∈ 1, 2, · · · , n.
101
3.6 Exemplos de Medias
Consideremos C compacto com Ci 6= ∅, e um conjunto finito arbitrario
(3.116) F (m) = a1, . . . , am ⊂ C.
Para αi ≥ 0, i = 1, . . . ,m fixados, definamos para toda f ∈ FC
(3.117) M(f) :=m∑
i=1
αi f(ai) com αi ≥ 0 para todo i ∈ 1, . . . , m
entao M e uma media em FC . E definindo
(3.118) N(f) :=1
m
m∑i=1
f(ai), para toda f ∈ FC
que e um caso especial de (3.117), tambem e uma media em FC .
Os lemas a seguir estabelecerao algumas propriedades dessas medias.
Lema 3.6.1. Se o conjunto Fm de (3.116) e O-equidistribuıdo entao a media N de (3.118)
e aproximadamente O-invariante a esquerda.
Demonstracao. Consideremos um conjunto Fm O-equidistribuıdo de (3.116), e formemos
a media N de (3.118). Devemos provar que para a constante absoluta k0:
|N(fa)− N(f)| ≤ ko OscO(f) quando f, fa ∈ FoC .
Consideraremos k0 = 2.
Sejam a ∈ G e f tais que f, fa ∈ FoC . Visto que F e O-equidistribuıdo, discutiremos
as duas alternativas de (A) e (B) da definicao de equidistribuicao:
Para (A): Neste caso, existe zi ∈ aiO ∩ aa−1i O. Entao, a−1
i zi , a−1i a−1zi ∈ O, daı,
|f(ai)− f(zi)| ≤ OscO(f) e |f(aa−1i )− f(zi)| ≤ OscO(f),
e entao
(3.119) |f(ai)− f(aa−1i )| ≤ 2 ·OscO(f).
102
Para (B): Neste caso, existem ui ∈ (aiO)\(aC) e vi ∈ (a−1i O)\(a−1C). Entao a−1
i ui ,
a−1i a−1avi = a−1
i vi ∈ O e tambem, ui /∈ aC e avi /∈ C. Deste modo,
|f(ai)− f(ui)| ≤ OscO(f) e |f(aa−1i )− f(avi)| ≤ OscO(f).
Como fa, f ∈ FoC entao f(ui) = 0 = f(avi). Consequentemente, (3.119) ocorre.
Como (3.119) ocorre para todo i ∈ 1, . . . , m e
N(fa)− N(f) =1
m
m∑i=1
f(ai)− 1
m
m∑i=1
f(aai)
=1
m
m∑i=1
f(ai)− 1
m
m∑i=1
m∑i=1
f(aa−1i )
=1
m
m∑i=1
(f(ai)− f(aa−1i )),
entao
(3.120) |N(fa)− N(f)| ≤ 2OscO(f),
o que completa a prova.
Lema 3.6.2.
(i) Existe uma funcao fo ∈ FoC a qual nao e identicamente nula.
(ii) Fixado fo ∈ FoC por (i), existe um aberto Oo = Oo(fo) com 1 ∈ Oo e γo = γo(fo) >
0, com a seguinte propriedade:
Se 1 ∈ O ⊂ Oo e F (m) de (3.116) e O-equidistribuıdo entao para a media N de (3.118)
temos
N(fo) ≥ γo > 0.
Demonstracao. De (i): Como Ci 6= ∅ podemos tomar ao ∈ Ci. Assim, pelo lema de
Urysohn, existe uma funcao contınua fo tal que
(I) fo(ao) = 1,
(II) fo(x) = 0 para todo x /∈ Ci,
(III) 0 ≤ fo(x) ≤ 1 para todo x ∈ G.
103
Logo, fo e a funcao procurada.
De (ii): Seja fo satisfazendo (i). Entao, ||fo|| > 0.
Definamos o conjunto Po :=x ∈ G; fo(x) >
1
2||fo||
. Temos que Po e aberto, pois fo
e contınua, Po ⊂ C e Po 6= ∅.Aplicando o lema 3.5.2 a Po e assumindo 1 ∈ O ⊂ Oo = Oo(Po) = Oo(fo) temos que
N(f0) =1
m
m∑i=1
fo(ai) ≥ 1
m
p(m)∑
i=p(1)
fo(ai), onde ap(1), ap(2), . . . , ap(m) = Po ∩ F (m).
≥ 1
m
p(m)∑
i=p(1)
1
2||fo||
=1
2||fo||p(m)
m
=1
2||fo||βo ,
onde βo = βo(C, Po) = p(m)m
.
Temos para γo = γo(fo) =1
2||fo||βo > 0, a desigualdade desejada N(fo) ≥ γo .
Com o auxılio dos dois lemas acima, obtemos:
Lema 3.6.3. Consideremos a funcao fo de (i) do lema 3.6.2, e os correspondentes Oo e
γo de (ii) do lema 3.6.2.
Suponhamos que 1 ∈ O ⊂ Oo e que o F (m) de (3.116) e O-equidistribuıdo. Tomemos
a media N de (3.118), e definamos
(3.121) M(f) :=γo
N(fo)N(f), para toda f ∈ FC .
Entao, temos
(i) M e uma media da forma (3.117);
(ii) M e aproximadamente O-invariante a esquerda com ko = 2, como no lema 3.6.1;
(iii) |||M||| ≤ 1;
(iv) M(fo) = γo .
Demonstracao. De (i): De fato, pois N tem a forma (3.118).
De (ii): Como N e aproximadamente O-invariante a esquerda com ko = 2, pelo lema 3.6.1
, segue que M e aproximadamente O-invariante a esquerda, pois o fatorγo
N(fo)e menor
ou igual a 1, por (ii) do lema 3.6.2.
104
De (iii): Como N tem a forma (3.118) entao |N(f)| ≤ ||f || para toda f ∈ FC , ou seja,
|||N||| ≤ 1. O que implica |||M||| ≤ 1, ja que o fatorγo
N(fo)e menor ou igual a 1 .
De (iv): Segue da definicao de M.
Iremos agora definir para todo conjunto aberto O, 1 ∈ O, os conjuntos MO os quais
possuem as mesmas propriedades dos conjuntos NO descritos nos teoremas 3.4.1 e 3.4.2.
Definicao 3.6.4. Consideremos fo, Oo e γo como nos lemas 3.6.2, 3.6.3.
Seja o aberto O tal que 1 ∈ O ⊂ Oo .
Consideremos todos os conjuntos O-equidistribuıdos F (m), como foi visto em (3.116),
as medias N, vistas em (3.118), e a media
M(f) =γo
N(fo)N(f).
Entao, M′O denotara o conjunto de todas estas medias M.
Definicao 3.6.5. Dado um aberto O com 1 ∈ O, definiremos MO por MO := M′O∩Oo
.
Lema 3.6.6. MO satisfaz a condicao (i) no teorema 3.4.1 e tambem a exigencia adicional
do teorema 3.4.2.
Demonstracao. Para (i) no teorema 3.4.1: Temos que MO = M′O∩Oo
6= ∅, pois existem
conjuntos F , O ∩ Oo-equidistribuıdos, em virtude dos lemas nas secoes 3.5 e 3.6, ou
equivalentemente pela discussao na secao 3.7. Todo M ∈ MO = MO∩Oo e uma media
aproximadamente O ∩Oo-invariante a esquerda, pelo lema 3.6.3 , e por conseguinte, uma
media aproximadamente O-invariante a esquerda.
Para o teorema 3.4.2: Por (iv) no lema 3.6.3, temos para todo M ∈ MO = M′O∩Oo
que M(fo) = γo > 0.
3.7 Medias e funcoes contınuas de 2-variaveis
Definicao 3.7.1. FCC e o conjunto das funcoes de 2-variaveis f que possuem as seguintes
propriedades:
(i) f : G×G → R(x,u) 7→ f(x,u)
e uma funcao contınua de 2-variaveis;
(ii) f(x, u) = 0 se x /∈ C ou u /∈ C.
105
Notacao: Seja M : f ∈ FC 7→ M(f) ∈ R uma media. Denotaremos M(f) por Mx(f)
para explicitar que a media M esta aplicada na funcao f cuja variavel dependente e x.
Definicao 3.7.2. Duas medias M, N : FC → R sao comutativas, se :
Para toda f ∈ FCC, segue que
(i) Fixado x ∈ G, considerando a funcao de u
fx : G → Ru 7→ fx(u) = f(x, u), a qual pertence a FC, pois f ∈ FCC,
temos que a funcao definida por
K : G → R
x 7→ K(x) = Nu(fx)
pertence a FC .
(ii) Fixado u ∈ G, considerando a funcao de x
fu : G → Rx 7→ fu(x) = f(x, u), que pertence a FC, pois f ∈ FCC,
temos que a funcao dada por
L : G → R
u 7→ L(u) = Mx(fu)
pertence a FC .
(iii) L(K(x))) = K(L(u)) para todo (x, u) ∈ G×G.
Lema 3.7.3. Quaisquer duas mediasM e N dadas por (3.117) e (3.118), respectivamente,
sao comutativas.
Demonstracao. Para toda f ∈ FC , sejam
(3.122) M(f) =m∑
i=1
αi f(ai)
e
(3.123) N(f) =
p∑j=1
βj f(bj),
106
onde αi, βj ≥ 0 e os ai, bj ∈ C sao fixos.
Entao, para toda funcao f ∈ FCC temos
(3.124) Nu(fx) =
p∑j=1
βj f(x, bj),
(3.125) Mx(fu) =
m∑i=1
αi f(ai, u),
(3.126) Mx(Nu(fx)) =
m∑i=1
p∑j=1
αiβj f(ai, bj) = Nu(Mx(fu)),
provando (i), (ii) e (iii) na definicao 3.7.2.
Corolario 3.7.4. Quaisquer duas medias M e N pertencentes a quaisquer dois conjuntos
MO′ e MO′′ sao comutativas.
Demonstracao. Segue do lema 3.7.3, e do item (i) do lema 3.6.3.
3.8 Comparacao de duas medias aproximadamente
O-invariantes a esquerda
Consideraremos C compacto tal que Ci 6= ∅.Como (x, y) 7→ xy e uma aplicacao contınua podemos escolher um aberto P∗ com
1 ∈ P∗ e P∗P∗ ⊂ C. Seja O∗ = P∗P−1∗ entao
(3.127) 1 ∈ O∗ , O∗ = O−1∗ e O∗O∗ ⊂ C.
Este O∗ estara fixado na discussao a seguir.
Dado um aberto P ⊂ O∗, pelo lema 3.1.7 , temos que existe um aberto O∗ = O∗(C, P )
tal que 1 ∈ O∗ ⊂ P . Tomemos agora uma aberto O tal que
(3.128) 1 ∈ O ⊂ O∗ ⊂ P ⊂ O∗.
Fixemos os abertos O e P dados acima.
107
Nesta secao tomaremos duas medias M e N sobre as quais iremos assumir que:
(3.129) M,N sao medias aproximadamente O-invariantes a esquerda
(com ko = 2 como visto nos lemas 3.6.1 e 3.6.3),
(3.130) |||M|||, |||N||| ≤ 1 e
(3.131) M e N sao comutativas consigo mesmas e entre si.
Seja FoO∗ o conjunto que foi definido na secao 3.1.
Por (3.127),
(3.132) FoO∗ ⊂ Fo
C ⊂ FC .
Para toda funcao f definamos
(3.133)∨f(x) := f(x−1) para todo x ∈ G.
Entao, como O−1∗ = O∗, por (3.127),
(3.134) f ∈ FoO∗ se, e so se,
∨f ∈ Fo
O∗ .
Com isso, resulta de (3.132) que f,∨f ∈ Fo
C ⊂ FC .
Lema 3.8.1. Suponhamos que (3.127) a (3.131) ocorram. Se f, g ∈ FoO∗ entao
(i) a funcao h : G×G → R dada por h(x, u) = f(x)g(u−1x), para todo (x, u) ∈ G×G
pertence a FCC ;
(ii) |Mu(Mx(hu))−M(f)M(
∨g)| ≤ koOscO(
∨g).
Demonstracao. De (i): Temos que h e contınua em G × G. Falta apenas analisar a
condicao (ii), ou seja, devemos provar que
f(x)g(u−1x) = 0 quando x /∈ C ou u /∈ C.
Suponhamos que f(x)g(u−1x) 6= 0 para (x, u) ∈ G×G. Entao, f(x) 6= 0 e g(u−1x) 6= 0.
Como f, g ∈ FoO∗ temos que x, u−1x ∈ O∗ . Deste modo, por (3.127), x ∈ O∗ ⊂ C,
u = x(u−1x)−1 ∈ O−1∗ O∗ ⊂ C, isto e, x, u ∈ C, como querıamos provar.
De (ii): Fixemos x ∈ C.
108
Suponhamos, inicialmente, que f(x) 6= 0. Assim, a funcao Gx : G → R definida para
todo u ∈ G por
(3.135) Gx(u) := g(u−1x) = g((x−1u)−1) =∨gx−1(u)
pertence a FC .
Logo, por (3.134),∨g ∈ Fo
O∗ e portanto, por (3.132),
(3.136)∨g ∈ FC .
Desta forma, por (3.135), (3.127), usando o item (i) no lema 3.2.2 e pela definicao de
media aproximadamente O-invariante a esquerda, obtemos para todo u ∈ G que
|Mu(Gx)−Mu(
∨g)| = |Mu(
∨gx−1)−Mu(
∨g)| ≤ koOscO(
∨g).
Assim, como | f(x) |≤ 1 entao
(3.137) | f(x) | |Mu(∨gx−1)−Mu(
∨g)| = |Mu(h
x)− f(x)Mu(∨g)| ≤ koOscO(
∨g).
Por outro lado, se f(x) = 0 entao ambos os termos de (3.137) se anulam. Logo, (3.137)
ocorre para todo x ∈ C. Porem, como f ∈ FoO∗ e O∗ ⊂ C, por (3.127), segue que (3.137)
ocorre para todo x ∈ G.
Como |||M||| ≤ 1, por (3.130), temos que:
|Mx(Mu(hx)− fMu(
∨g))| ≤ 1 · |Mu(h
x)− fMu(∨g)|
entao
(3.138) |Mx(Mu(hx))−Mx(f)Mx(Mu(
∨g))| ≤ koOscO(
∨g).
Como, por (3.131), M comuta com si propria
(3.139) Mu(Mx(hu)) = Mx(Mu(h
x)).
Consequentemente, por (3.138),
(3.140) |Mu(Mx(hu))−M(f)M(
∨g)| ≤ koOscO(
∨g),
como querıamos demonstrar.
Lema 3.8.2. Sob as hipoteses do lema 3.8.1, temos
Mu(Mx(hu)) ≥ (M(f))2M(
∨g)− ko(OscO(f) + OscO(g) + 2OscO(
∨g)).
109
Demonstracao. Fixado u ∈ G entao f(x)g(u−1x) ∈ FoC como uma funcao de x, pois
f ∈ FoC e 0 ≤ g(u−1x) ≤ 1 para todo x ∈ G. Do mesmo modo, f(ux)g(x) ∈ Fo
C como
uma funcao de x, pois g ∈ FoC e 0 ≤ f(ux) ≤ 1 para todo x ∈ G. Entao, temos
(3.141) hu, fug ∈ FC como funcao de x.
E tambem,
(3.142) f(ux)g(u−1(ux)) = f(ux)g(x) para todo x ∈ G.
Deste modo, por (3.141), (3.142) e pela definicao de media aproximadamente O-
invariante a esquerda , temos que
(3.143) |Mx(fug)−Mx(hu)| ≤ koOscO(fug).
Temos que OscO(fu) = OscO(f). Daı, pela propriedade (vi) na secao 3.1, temos
OscO(fug) ≤ OscO(f) + OscO(g).
Assim, por (3.143),
(3.144) |Mx(fug)−Mx(hu)| ≤ ko(OscO(f) + OscO(g)).
Por hipotese, temos que 0 ≤ f(ux)g(x) ≤ g(x) para todo x ∈ G. Assim,
(3.145) Mx(fug) ≤M(g).
Consequentemente, por (3.144) e (3.145), temos
Mx(hu) ≤M(g) + ko(OscO(f) + OscO(g)).
Aplicando M acima e usando que |||M||| ≤ 1, por (3.130), temos
Mu(Mx(hu)) ≤Mu(M(g) + ko(OscO(f) + OscO(g)))(3.146)
≤M(g) + ko(OscO(f) + OscO(g)), por (3.130).
Agora, por (3.146) e pelo item (ii) do lema 3.8.1 , obtemos
(3.147) M(g) ≥M(f)M(∨g)− ko(OscO(f) + OscO(g) + OscO(
∨g)).
Substituindo g por∨g em (3.147) entao, por (3.134), segue
(3.148) M(∨g) ≥M(f)M(g)− ko(OscO(f) + OscO(g) + OscO(
∨g)).
Por fim, substituindo (3.148) no item (ii) do lema 3.8.1 e observando que M(f) ≤ 1
devido a 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ G e |||M||| ≤ 1, entao
(3.149) Mu(Mx(hu)) ≤ (M(f))2M(g)− ko(OscO(f) + OscO(g) + OscO(
∨g))
como querıamos demonstrar.
110
Lema 3.8.3. Sob as hipoteses do lema 3.8.1 dado anteriormente, existem uma funcao
ϕ ∈ FoO∗ e u+ ∈ G com as seguintes propriedades:
(i) existem f+ e g+ tais que f(x) = ϕ(x) + f+(x) e g(x) = ϕ(u+x) + g+(x), para todo
x ∈ G. E todas as quatro funcoes ϕ, f+, ϕu+, g+ ∈ FoO∗ ;
(ii) Sejam δ = max(OscP (f), OscP (g)) e δ+ = max(OscP (f+), OscP (g+)). Entao, δ+ ≤2δ;
(iii) Seja δ = max(OscP (f), OscP (g)). Entao,
OscP (ϕ) ≤ 2δ.
(iv) Sejam α = M(f)M(g) e α+ = M(f+)M(g+). Entao,
α+ ≤ α− α2 + 4koδ.
Demonstracao. Sejam α = M(f)M(g) e δ = max(OscP (f), OscP (g)), dependendo de f e
g dadas na hipotese. Entao, por (3.128), temos para todo O ⊂ P que
OscO(f) ≤ OscP (f), OscO(g) ≤ OscP (g)
e do lema 3.1.7 segue que
OscO(∨g) ≤ OscP (g).
Desta forma,
OscO(f) + OscO(g) + 2 ·OscO(∨g) ≤ 4δ.
Assim, pelo lema 3.8.2, temos
Mu(Mx(hu)) ≥ (M(f))2M(g)− 4koδ,
isto e,
(3.150) M(h′) ≥ (M(f))2M(g)− 4koδ com h′(u) = Mx(hu)
para todo u ∈ G.
Logo, por |||M||| ≤ 1 visto em (3.129),
||h|| ≥ (M(f))2M(g)− 4koδ.
Daı, pelo lema 3.1.6, existe u+ ∈ G
||h′|| = h′(u+) ≥ (M(f))2M(g)− 4koδ.
111
Isto e,
(3.151) Mx(hu) ≥ (M(f))2M(g)− 4koδ.
Definamos agora a funcao
(3.152) ϕ(x) := f(x)g(u+−1x), para todo x ∈ G.
Entao,
(3.153) ϕ(u+x) = f(u+x)g(x) para todo x ∈ G.
Definamos tambem, para todo x ∈ G,
(3.154) f+(x) := f(x)− ϕ(x) = f(x)(1− g(u+−1x)) e
(3.155) g+(x) := g(x)− ϕ(u+x) = g(x)(1− f(u+x)).
Como f, g ∈ FoO∗ entao 0 ≤ f(x), g(x) ≤ 1, para todo x ∈ G. Consequentemente,
(3.152)-(3.155) implicam
(3.156) ϕ(x) ≥ 0, f+(x), ϕ(u+x), g+(x) ≤ 1 para todo x ∈ G.
E como x ∈ O∗ implica que f(x) = g(x) = 0, logo (3.152)-(3.155) implicam
(3.157) ϕ(x) = f+(x) = ϕ(u+x) = g+(x) = 0 se x ∈ O∗ .
Desta forma, (3.156) e (3.157) implicam que
(3.158) ϕ, f+, ϕu+ , g+ ∈ FoO∗ .
Vamos concluir agora a demonstracao de (i) a (iii):
De (i): Segue de (3.154), (3.155) e (3.158).
De (ii): Mostraremos que δ+ ≤ 2δ.
Suponhamos sem perda de generalidade que δ+ = max(OscP (f+), OscP (g+)) = OscP (f+).
Entao, por (3.154),
OscP (f+) = OscP (f(1− gu+−1))
≤ ||f ||OscP (1− gu+−1) + ||1− gu+−1||OscP (f)
≤ ||f ||(OscP (1) + OscP (gu+−1)) + OscP (f)
≤ OscP (gu+−1) + OscP (f) = OscP (g) + OscP (f).
112
De modo analogo, se δ+ = OscP (g+) entao, por (3.155), temos que OscP (g+) ≤ OscP (f)+
OscP (g). Logo, δ+ ≤ 2 ·max(OscP (g), OscP (f)) = 2δ.
De (iii): Provaremos que OscP (ϕ) ≤ 2δ.
De fato, por (3.152),
OscP (ϕ) = OscP (fgu+−1) ≤ ||f ||OscP (gu+−1) + ||gu+−1||OscP (f) ≤ OscP (g) + OscP (f).
Portanto, OscP (ϕ) ≤ 2δ.
De (iv):
Como ϕu+ ≥ 0 entao Mx(ϕu+) ≥ 0. Daı, por (i),
(3.159) M(g+) ≤M(g).
Assim, por (3.151) e (3.152) temos
(3.160) M(f+) ≤M(f)− (M(f))2M(g) + 4koδ.
Multiplicando agora (3.159) e (3.160), e observando queM(g) ≤ 1 devido a 0 ≤ g(x) ≤1 para todo x ∈ G, obtemos
M(f+)M(g+) ≤M(f)M(g)− (M(f)M(g))2 + 4koδ,
isto e,
(3.161) α+ ≤ α− α2 + 4koδ
como querıamos demonstrar.
Lema 3.8.4. Considerando as hipoteses do lema 3.8.1 existe uma sequencia de funcoes
ϕ` : G → G e uma sequencia u` ∈ G, ` ∈ N, com as seguintes propriedades:
(i) Dado ` ∈ N, existem fl e gl ∈ FoO∗ tais que
f(x) = fo(x) =∑n=1
ϕn(x) + f`(x),
g(x) = go(x) =∑n=1
ϕn(unx) + g`(x), para todo x ∈ G.
Entao as funcoes ϕ`, f`, ϕ`u`, g` ∈ Fo
O∗ .
(ii) Seja δ` = max(OscP (f`), OscP (g`)) para todo ` ∈ N. Entao,
δ` ≤ 2δ`−1 para ` ∈ N.
113
(iii) OscP (ϕ`) ≤ 2δ`−1 para todo ` ∈ N.
(iv) Seja α` = M(f`)M(g`) para todo ` ∈ N. Entao,
α` ≤ α`−1 − α2`−1 + 4koδ`−1 para todo ` ∈ N.
Demonstracao. Sejam fo(x) = f(x), go(x) = g(x) para todo x ∈ G.
Consideremos ` ∈ N tal que f`−1 , g`−1 estao bem definidas e f`−1, g`−1 ∈ FoO∗ .
Pelo lema 3.8.3 com f`−1 e g`−1 no lugar de f e g, respectivamente, existem ϕ`, u`,
f`, g` no lugar de ϕ, u+, f+, g+, respectivamente. Entao, os itens (i) a (iv) do lema 3.8.4
coincidem com os itens (i) a (iv) do lema 3.8.3 , respectivamente.
Lema 3.8.5. Considerando as hipoteses e as notacoes utilizadas no lema 3.8.4 temos:
(i) Se δ = δo = max(OscP (f), OscP (g)) ≤ 1
2p+1p2(p + 1)ko
para p ∈ 2, 3, 4, . . . fixado,
entao
(ii) δ` ≤ 1
2p−`+1p2(p + 1)ko
para todo ` ∈ 0, 1, 2, . . . ,
(iii) α` ≤ 1
` + 1para todo ` ∈ 0, 1, 2, . . . , p.
Demonstracao. De (ii): De fato, por (ii) do lema 3.8.4 e por (i) dado acima, segue por
inducao sobre ` que
δ` ≤ 1
2p−`+1p2(p + 1)ko
para todo ` ∈ 0, 1, 2, . . . .
De (iii):
Consideremos, primeiramente, ` = 0. Como f ≡ fo , g ≡ go e visto queM(f),M(g) ≤ 1
segue que αo = M(fo)−M(go) ≤ 1, o que satisfaz (iii).
Tomemos agora ` = 1. Por (iv) no lema 3.8.4,
α1 ≤ αo − α2o + 4koδo ≤ 4ko
1
2p+1p2(p + 1)ko
=1
2p−1p2(p + 1)para p ∈ 2, 3, 4, . . . .
Assim, para p = 2 temos:
α1 ≤ 1
2 · 22 · (3)=
1
24<
1
2·
114
Logo, ` = 1 satisfaz (iii).
Por fim, consideremos ` ∈ 2, 3, 4, . . . tal que ` − 1 satisfaz (ii). Entao, α`−1 ≤ 1
`·
Assim, por (iv) no lema 3.8.4 e por (ii) dado acima, temos para todo ` ∈ 2, 3, . . . , p que
α` ≤ α`−1 − α2`−1 + 4koδ`−1 ≤ 1
`− 1
`2+
1
2p−1 · p2 · (` + 1)·
Como ` ≤ p segue que `2 = p2. Logo
α` ≤ 1
`− 1
`2+
1
`2(` + 1)=
1
`− 1
`(` + 1)=
1
` + 1
para todo ` ∈ 2, 3, 4, . . . , o que completa a demonstracao de (iii) para todo ` ∈0, 1, 2, 3, . . . .
Lema 3.8.6. Considerando as hipoteses e as notacoes dos lemas 3.8.4 e 3.8.5 temos:
Existe ` ∈ 0, 1, 2, 3, . . . tal que
(i) ko
∑n=1
OscP (ϕn) ≤ w(δ),
(ii) M(f`) ≤ w(δ) ou M(g`) ≤ w(δ),
onde w : [0, +∞) → [0, 1] e uma funcao fixada tal que limδ→0
w(δ) = 0.
Observacao: Para ser exato, w e a seguinte funcao:
Tome para cada p ∈ 2, 3, . . .
(3.162) εp =1
2p+1p2(p + 1)ko
.
Temos que
(3.163)1
96ko
= ε2 > ε3 > ε4 > · · · > 0.
Definamos para δ > 0
(3.164) w(δ) =
1, para δ > ε2 ,
1√p, para εp+1 < δ < εp com p ∈ 2, 3, . . . .
Desta forma, temos assintoticamente
(3.165) w(δ) ∼ 1√log
1/δ2
para δ → 0.
115
Demonstracao. Seja δ > 0 fixo. Para δ >ε
2, tomemos ` = 0. Entao o lado esquerdo de
(i) no lema se anula, logo (i) e valida. Em (ii) temos que M(f),M(g) ≤ 1 entao (ii) e
tambem valido.
Suponhamos agora que εp+1 < δ ≤ εp com p ∈ 2, 3, . . ..Tomemos ` = p. Entao dos lemas 3.8.4, 3.8.5 resulta
ko
p∑
h=1
Oscp(ϕh) ≤ ko
p∑
h=1
2δh−1
≤p∑
h=1
1
2p−hp2(p + 1)
=1
p2(p + 1)
p∑
h=1
1
2p−h
≤ 1
p2(p + 1)<
1√p,
(3.166) ko
p∑
h=1
Oscp(ϕh) <1√p·
E αp ≤ 1
p + 1<
1
pe M(fp)M(gp) <
1
p. Assim, temos as alternativas
(3.167)
ou M(fp) <1√p
ou M(gp) <1√p·
Agora, (3.166) e (3.167) provam (i) e (ii), respectivamente. Portanto, a prova esta com-
pleta.
Lema 3.8.7. Suponhamos, como anteriormente, a validade de (3.127)-(3.131) . Consid-
eremos as medias M, N de (3.129)-(3.131). Se f, g ∈ FoO∗, entao ou
(i) M(f) ≥M(g)− 3w(δ) e N(f) ≥ N(g)− 3w(δ), ou
(ii) M(f) ≤M(g) + 3w(δ) e N(f) ≤ N(g) + 3w(δ).
onde w e a funcao dada na observacao anterior.
Demonstracao. Tomemos a media
M′(f) =1
2(M(f) + N(f)) para toda f ∈ Fo
O∗ .
116
Temos que M′ satisfaz (3.129) a (3.131) assim como M e N.
Aplicamos o lema 3.8.6 com M′ no lugar de M. Escolhendo ` ∈ 0, 1, 2, . . . entao os
itens (i) e (ii) do lema 3.8.6 sao validas. Podemos assumir, por simetria para f e g, que
a afirmativa (ii) do lema 3.8.6 e valida. Vamos mostrar que desse ultimo fato decorre a
afirmativa (i).
A condicao (i) do lema 3.8.6 afirma que:
(3.168) ko
∑
h=1
OscP (ϕh) ≤ w(δ).
A segunda alternativa afirma, com M′(f) =1
2(M(f) + N(f)) no lugar de M(f), que
1
2(M(g`) + N(g`)) ≤ w(δ).
Como M(g`), N(g`) ≥ 0 isto implica que
(3.169) M(g`),N(g`) ≤ 2w(δ).
Somamos (3.169) as inequacoes
(3.170) M(f`),N(f`) ≥ 0.
Finalmente, como M e aproximadamente O-invariante a esquerda e P -invariante a
esquerda entao
M(ϕhuh) ≤M(ϕh) + koOscP (ϕh) ≤M(ϕh) + koOscP (ϕh).
Daı,
(3.171)∑
h=1
M(ϕhuh) ≤
∑
h=1
M(ϕh) + ko
∑
h=1
OscP (ϕh).
De modo analogo, temos
(3.172)∑
h=1
N(ϕhuh) ≤
∑
h=1
N(ϕh) + ko
∑
h=1
OscP (ϕh).
Agora, por (i) no lema 3.8.4 com (3.169), (3.170), (3.171), (3.172) e (3.168) resultaM(g) ≤M(f) + 3w(δ),
N(g) ≤ N(f) + 3w(δ),
o que prova (i).
117
Lema 3.8.8. Considerando as hipoteses e as notacoes do lema 3.8.7 temos:
|M(f)N(g)−M(g)N(f)| ≤ 6w(δ).
Demonstracao. Seja γo uma constante tal que
(3.173) 0 ≤ γo ≤ 1.
Aplicando o lema 3.8.7 para γoM, N no lugar de M, N. Nao podemos ter simultanea-
mente
(3.174) γoM(f) < M(g)− 3w(δ),
(3.175) γoN(f) > N(f)− 3w(δ),
pois (3.174) , (3.175) excluem ambas as alternativas (i), (ii) do lema 3.8.7.
Em outras palavras, Noγo pode satisfazer as tres condicoes (3.173), (3.174) e (3.175)
simultaneamente.
Se existe γo tal que
N(g) + 3w(δ)
N(f)< γo <
M(g)− 3w(δ)
M(f)e γo ≤ 1
entao γo satisfaz (3.174) e (3.175). Existe um tal γo se
(3.176)N(g) + 3w(δ)
N(f)<M(g)− 3w(δ)
M(f)eN(g) + 3w(δ)
N(f)≤ 1.
Logo, (3.176) nao deve ser valida.
Se a primeira inequacao de (3.176) nao e valida, entao
M(f)(N(g) + 3w(δ)) ≥ N(f)(M(g)− 3w(δ)),
M(f)N(g)−M(g)N(f) ≥ 3(M(f) + N(f))w(δ).
Como M(f), N(f) ≤ 1 a inequacao dada acima implica
(3.177) M(f)N(g)−M(g)N(f) ≥ −6w(δ).
Se a segunda inequacao de (3.176) nao e valida, entao
(3.178) N(f) < N(g) + 3w(δ).
Assim, temos que: Ou (3.177), ou (3.178) e valida.
118
Suponha agora que (3.177) nao e verdadeira. Entao (3.178) ocorre. A substituicao
simultanea de M, N e de f , g nao interfere na hipotese do lema 3.8.8, nem em (3.177).
Assim, sua aplicacao em (3.178) tambem e valida, isto e,
(3.179) M(g) < M(f)− 3w(δ).
Por (3.178), (3.179) e M(f),N(f) ≤ 1, temos
M(f)N(g)−M(g)N(f) = M(f)(N(g)− N(f)) + N(f)(M(f)−M(g))
> 1(−3w(δ)) + 1(−3w(δ))
= −6w(δ).
Deste modo, (3.177) esta provada por contradicao.
Uma troca simultanea de M, N, mas nao de f e g, nao altera as hipoteses. Daı, sua
aplicacao a (3.177) e tambem valida, isto e,
(3.180) M(f)N(g)−M(g)N(f) ≤ 6w(δ).
Logo, (3.177) e (3.180) juntas completam a demonstracao.
Lema 3.8.9. Dados C ⊂ G compacto e um aberto Q ⊂ G nao vazio, existem t =
t(C,Q) ∈ N e t funcoes fs(x) = fs(C, Q; x) para 1 ≤ s ≤ t, para todo x ∈ G, e t
elementos correspondentes as = as(C,Q) ∈ G, 1 ≤ s ≤ t com as seguintes propriedades:
(i) fs ∈ FoQ para todo s ∈ 1, . . . , t,
(ii)t∑
s=1
fs(asx) = 1 se x ∈ C.
Demonstracao. Seja xo ∈ Q.
Como G e regular e localmente compacto existe um aberto Q′ tal que xo ∈ Q′ ⊂ Q′ ⊂ Q
e Q′ e compacto. Entao, pelo lema de Urysohn, podemos encontrar uma funcao contınua
h : G → [0, 1] tal que h(x) = 1 para x ∈ Q′ e h(x) = 0 para x /∈ Q.
Como C ⊂ ⋃a∈G
aQ′ temos que C ⊂t⋃
s=1
bsQ′. Definamos a funcao
(3.181) k(x) :=t∑
s=1
h(b−1s x) para todo x ∈ G.
119
Temos que k e contınua, pois h e contınua. Se x ∈ C entao x ∈ bs1Q′ para algum
s1 ∈ 1, . . . , t. Daı, b−1s1
x ∈ Q′, h(h−1s1
x) = 1, e consequentemente, k(x) ≥ h(b−1s1
x) = 1.
Desta forma,
(3.182) k(x) ≥ 1 para todo x ∈ C.
Definamos agora para cada s ∈ 1, . . . , t
(3.183) fs(x) :=h(x)
max(1, k(bsx))para todo x ∈ G.
Afirmamos que, (i) e (ii) sao validas para este t e estas funcoes fs, 1 ≤ s ≤ t, se
tomarmos as = b−1s , 1 ≤ s ≤ t.
Prova de (i): h ∈ FoQ por (i)-(iii) o que implica fs ∈ Fo
Q , pois o denominador em (3.183)
e uma funcao contınua e maior ou igual a 1.
De (ii): Usando (3.182) e (3.183), para x ∈ C temos
t∑s=1
fs(b−1s x) =
t∑s=1
h(b−1s x)
max(1, k(x))=
t∑s=1
h(b−1s x)
k(x)= 1
como querıamos demonstrar.
Lema 3.8.10. Suponha a validade de (3.127) e (3.128) , considerando as medias M e Nde (3.129)-(3.131) . Entao existe uma constante positiva C = C(C), t = t(C) ∈ N, e t
funcoes fs(x) = fs(C; x), 1 ≤ s ≤ t com as seguintes propriedades:
(i) fs ∈ FoC para todo s ∈ 1, 2, . . . , t;
(ii) Se f, g ∈ FoC entao
|M(f)N(g)−M(g)N(f)| ≤ Cw(2η),
onde η = max(OscP (f), OscP (g), OscP (f1), . . . , OscP (ft) e w e a funcao definida na
observacao feita no lema 3.8.6.
Demonstracao. Vamos aplicar o lema 3.8.9 a C e a Q = O∗ , onde O∗ foi definido em
(3.127). Tomemos t e ts com s ∈ 1, 2, . . . , t adequadamente. No lema 3.8.9 estes
dependem de C e Q, enquanto agora dependem apenas de C, pois C determina o aberto
Q = O∗ .
120
Definamos, para cada s ∈ 1, . . . , t,
(3.184)f ′s(x) := f(a−1
s x)fs(x),
g′s(x) := g(a−1s x)fs(x)
,
para todo x ∈ G.
Usando o lema 3.8.9 temos que f ′s, g′s ∈ Fo
O∗ , ou seja,
(3.185) f ′s, g′s ∈ Fo
O∗ ⊂ FoC para 1 ≤ s ≤ t.
Como para todo s ∈ 1, . . . , t temos
(3.186)f ′s(asx) = f(x)fs(asx)
g′s(asx) = g(x)fs(asx)
para todo x ∈ G, segue que
(3.187) f ′sas, g′sas
∈ FoC para 1 ≤ s ≤ t.
Temos que OscP (fa−1s
) = OscP (f) entao
OscP (f ′s) ≤ OscP (f) + OscP (fs) para 1 ≤ s ≤ t.
De modo analogo,
OscP (g′s) ≤ OscP (f) + OscP (fs).
Pela definicao de η temos
(3.188) OscP (f ′s), OscP (g′s) ≤ 2η.
Como 0 ≤ f ′s(x), g′s(x) ≤ 1 para todo x ∈ G, por (3.185), entao 0 ≤ f ′s(asx), g′s(asx) ≤ 1
para todo x ∈ G. Assim, como |||M|||, |||N||| ≤ 1 temos que
(3.189) 0 ≤Mx(f′s),Nx(f
′s),Mx(fs′as
),Nx(fs′as),Mx(g
′s), Nx(g
′s), Mx(gs′as
), Nx(gs′as) ≤ 1.
Finalmente, observemos que
(3.190)
f(x) =t∑
s=1
f ′s(asx),
g(x) =t∑
s=1
g′s(asx)
para todo x ∈ G.
121
De fato, para x ∈ C, isto e uma consequencia de (3.186) e de (ii) do lema 3.8.9. Para
x /∈ C ambos os lados se anulam, pois f, g ∈ Foc e por (3.187).
Afirmamos que (i) e (ii) sao validas para este valor de t e as funcoes fs para 1 ≤ s ≤ t
tomando C = 14t2.
Com efeito, para (i) temos, por (i) no lema 3.8.9, fs ∈ FoO∗ ⊂ Fo
C . Para (ii) devido a
(3.185), (3.187)
|Mx(f′sas
)−Mx(f′s)| ≤ koOscP (f ′s).
Daı, por (3.188),
(3.191) |Mx(f′sas
)−Mx(f′s)| ≤ 2koη.
Tambem, por (3.189),
(3.192) |Mx(f′sas
)−Mx(f′s)| ≤ 2.
Pela observacao no lema 3.8.6 temos que
(3.193) w(δ) ≥ min(1,
koδ
2
)para todo δ > 0.
Aplicando (3.193), com δ = 2η, a (3.191) e (3.192) obtemos
(3.194) |Mx(f′sas
)−Mx(f′s)| ≤ 2w(2η).
Substituindo agora f , f ′s por g, g′s transforma (3.194) em
(3.195) |Mx(g′sas
)−Mx(g′s)| ≤ 2w(2η).
Agora, substituindo M por N de (3.194), (3.195) obtemos
(3.196) |Nx(f′sas
)− Nx(f′s)| ≤ 2w(2η),
(3.197) |Nx(g′sas
)− Nx(g′s)| ≤ 2w(2η).
Segue de (3.189) e (3.194) a (3.197) que
(3.198)|Mx(f
′sas
)Nx(g′sas
)−Mx(g′sas
)Nx(f′sas
)−Mx(f
′s)Nx(g
′s)−Mx(g
′s)Nx(f
′s)| ≤ 8w(2η).
Por (3.185) e pelo lema 3.8.8 temos, considerando que (3.188),
(3.199) |Mx(f′sas
)Nx(g′sas
)−Mx(g′sas
)Nx(f′sas
)| ≤ 6w(2η).
122
Agora, por (3.198) e (3.199), temos
(3.200) |M(f ′s)N(g′s)−M(g′s)N(f ′s)| ≤ 14w(2η).
Finalmente, por (3.190) e (3.200), obtemos
|M(f)N(g)−M(g)N(f)| ≤t∑
s,u=1
|M(f)N(g′u)−M(g′u)N(f ′s)|
≤t∑
s,u=1
14w(2η) = 14t2 w(2η),
isto e,
|M(f)N(g)−M(g)N(f)| ≤ 14t2 w(2η).
O que demonstra (ii).
3.9 O Teorema Principal
Consideremos um conjunto compacto C tal que Ci 6= ∅.Consideremos o conjunto MO definido em 3.6.5. Tomemos fo, Oo e γo como dados na
definicao 3.6.4. Antes de partir para o teorema principal, iremos provar que MO satisfaz
as hipoteses do teorema 3.4.1. Pelo lema 3.6.6, basta verificarmos que MO satisfaz a
condicao (ii) do teorema 3.4.1.
Sejam f ∈ FoC e ε > 0 dados.
Escolhamos ηo > 0 tal que, com o C e os fs’s para 1 ≤ s ≤ t do lema 3.8.10 para γo
dado acima,
(3.201) C w(2ηo) ≤ γo ε.
Tomemos entao um aberto P com 1 ∈ P tal que
(3.202) OscP (f), OscP (f0), OscP (f1), . . . , OscP (ft) ≤ ηo
pelo lema 3.1.4. Finalmente, tomemos como em (3.128),
(3.203) O∗ = O∗(C, P ) ⊂ P ⊂ O∗ .
Consideremos agora dois abertos O′, O′′ tais que
(3.204) 1 ∈ O′, O′′ ⊂ Oo ∩O∗.
123
Entao pelas definicoes 3.6.4 e 3.6.5 temos
(3.205)MO′ = M′
O′
MO′′ = M′O′′
Alem disso, consideremos duas medias
(3.206) M′ ∈MO′ e M′′ ∈MO′′ .
Temos que o lema 3.6.3 pode ser aplicado a ambas as medias comparando com a
definicao 3.6.4. Alem disso, estas medias satisfazem (3.129) a (3.131). Sendo (3.129)
devido a (i) no lema 3.6.3, (3.130) devido a (iii) do lema 3.6.3, e (3.131) devida a (i) do
lema 3.6.3 juntamente com o lema 3.7.3.
Consequentemente, o lema 3.8.10 pode ser aplicado a f0 e f1 no lugar de f e g1 ,
respectivamente. Por (3.202), temos
(3.207) η ≤ ηo
para η citado anteriormente. Agora, por (ii) do lema 3.8.10,
(3.208) |M′(f)M′′(fo)−M′′(f)M′(fo)| ≤ w(2η).
daı, por (3.207) e (3.201),
(3.209) |M′(f)M′′(fo)−M′′(f)M′(fo)| ≤ γoε.
E de (iv) no lema 3.6.3 segue que
M′(fo) = M′′(fo) = γo.
Assim, por (3.209), temos
(3.210) |M′(f)−M′′(f)| ≤ ε.
Agora, por (3.204), para O′ e O′′, (3.206) implicam (3.210). Isto significa que a
condicao (ii) do teorema 3.4.1 e satisfeita, se tomarmos O1 = O1(f, ε) = Oo ∩ O∗. O
que e legıtimo ja que nosso Oo depende apenas de C , como visto na definicao 3.6.4 e no
124
lema 3.6.2. E O∗ depende apenas de C, enquanto P por sua vez depende de C, f , ε, por
(3.201) e (3.202).
Finalmente, podemos enunciar o resultado principal da dissertacao no seguinte teo-
rema:
Teorema Principal: Dado um compacto C tal que Ci 6= ∅ entao:
(i) Existe uma unica media M que satisfaz (iii) no teorema 3.4.1 para os conjuntos MO
das definicoes 3.6.4 e 3.6.5.
(ii) M e invariante a esquerda e nao e identicamente nula.
(iii) Existe uma unica medida J invariante a esquerda em G, a qual e a correspondente
da media M dada acima , isto e, satisfaz
M(f) =
∫
G
f(x)dJx para toda f ∈ FC .
onde J nao e identicamente nula.
Demonstracao.
De (i): Pelo que foi mostrado anteriormente e pelo lema 3.6.6 o conjunto MO satisfaz as
hipoteses do teorema 3.4.1. Logo, (i) segue do teorema 3.4.1.
De (ii): Considerando o teorema 3.4.1 temos que M e invariante a esquerda e nao e
identicamente nula pelo teorema 3.4.2.
De (iii): Por (ii) e pelo lema 3.3.17.
O teorema principal mostra que a existencia e a unicidade da medida de Haar podem
ser estabelecida atraves de um processo longo e extenuante, porem puramente construtivo.
As referencias [1], [5], [10] e [11] apresentam exemplos de grupos topologicos localmente
compactos com as correspondentes integrais de Haar.
125
Referencias Bibliograficas
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ematical Logic Quartely, vol.4, 2005, pp. 351-359.
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matics 61 (1939), 665-671.
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Recife, 1960.
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[7] Pedersen, G. K., Analysis Now, Graduate Texts in Mathematics 118, Springer-
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[8] Pedersen, G. K., The existence and uniqueness of the Haar integral on a locally
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[10] Saks, S., Theory of the integral, Warszawa, 1937.
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(2005).
[12] Spitters, B., Aproximating integrable sets by compacts construtively. In “From sets
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Oxford University Press (2005).
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![Research Article Decreased Brain and Placental Perfusion ...downloads.hindawi.com/journals/rrp/2016/9458540.pdf · detailed imaging with complex anomalies [, ]. Diusion weighted imaging](https://img.document.onl/doc/110x75/600d1c30bbbab64741009613/research-article-decreased-brain-and-placental-perfusion-detailed-imaging-with.jpg)
