A Lógica das Sentenças Abertas Profa. Ana Florencia Aula 9

Unidade de Ensino Superior Dom BoscoCurso de Sistemas de InformaçãoDisciplina de Lógica Matemática e ComputacionalSemestre 2013.2 1º Período

A Lógica das Sentenças Abertas

Profa. Ana Florencia

Aula 9

Roteiro1. Sentenças abertas com uma variável2. Conjunto- verdade de uma sentença aberta3. Sentenças com N variáveis e seu conjunto verdade4. Conjunção sobre sentenças abertas5. Disjunção sobre sentenças abertas6. Negação sobre sentenças abertas7. Demais operadores

1. O operador Condicional2. O operador Bicondicional

8. Equivalências tautológicas9. Exercício sobre sentenças abertas

2Lógica matemática e Computacional- Profa. Ana Florencia

Sentenças abertas com uma variável

• Definição:– Uma sentença aberta com uma variável num

conjunto A;– Ou uma sentença em A;• P(x) tal que p(a) é verdadeira (V) ou falsa (F) para todo

elemento a pertencente ao conjunto A ,ou seja,• Para todo a A;∈• O conjunto A também é chamado de domínio da

variável x.


• Em outras palavras:– uma sentença aberta em A é uma frase que contém

“espaços em brancos” (as variáveis) que devem ser preenchidos com valores retirados do conjunto A.

• Quando um elemento é retirado deste conjunto e “encaixado” na sentença aberta, então esta sentença deixa de ser aberta;

• e passa a se comportar como uma proposição simples:– tendo um valor lógico possível: ou ela é uma sentença que

afirma algo verdadeiro (proposição verdadeira) ou uma sentença que afirma algo falso (uma proposição falsa).

• Diz-se que a sentença é fechada quando isto ocorre.


Construir sentenças abertas, definindo

domínios apropriados para suas variáveis, é

similar a jogar um jogo de montar

“frases” ou “versos”, onde uma frase ou

texto mais complexo é formado a partir de

trechos sugeridos pelos participantes.


• No caso do “jogo de montar sentenças abertas” da lógica:– é necessário escolher primeiro qual será o

domínio das variáveis, ou seja, de onde serão retirados os elementos que se encaixarão na frase aberta.

• Isto ocorre também nos jogos de montar frases ou palavras.


Exemplo

• Sabendo qual é o domínio então pode-se começar a “montar” as sentenças.

• No exemplo, poderíamos ter frases como:– (a.1) “A minha mesa não está firme.”– (b.1) “Esta é a cadeira que faltava.”– (c.1) “A cadeira que falta aqui é a cadeira que está

sobrando lá no canto.”

Vamos supor o conjunto de móveis que podem pertencer a uma sala de aula: estantes, mesas, cadeiras, quadro, computadores (e seus componentes), etc.


• Estes exemplos apresentam proposições simples, que são sentenças fechadas, sem variáveis.

• Porém as variáveis poderiam aparecer como espaços:– (a.2) “A minha _ _ _ _ não está firme.”– (b.2) “Esta é a _ _ _ _ que faltava.”– (c.2) “A _ _ _ _ que falta aqui é a _ _ _ _ que está

sobrando lá no canto.”

– ......


• Um problema:– “espaço em branco” é um espaço em branco igual

aos outros;– Quando existe um só espaço em branco na frase,

então não há ambiguidade;

• Porém, quando ela aparece em vários lugares é necessário indicar claramente quem é quem em termos de “espaços em branco”.


Solução

• é dar “nome” aos espaços em branco, que deixam de ser espaços e passam a ser variáveis:– (a.3) “A minha x não está firme.”– (b.3) “Esta é a x que faltava.”– (c.3) “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá

no canto.”

– Para os x pertencentes aos móveis da sala de aula.– .....


• Para completar o processo de formalização, ou seja, deixar as claro somente a forma das sentenças e não se preocupar com seu conteúdo (seu significado), são atribuídos símbolos para as afirmações abertas:

– (a.4) P(x) = “A minha x não está firme.”– (b.4) Q(x) “Esta é a x que faltava.”– (c.4) R(x) = “A x que falta aqui é a x que está sobrando lá no

canto.”

• Que são válidas para o domínio A que é o conjunto de móveis da sala de aula.

• Dessa forma as sentenças são expressas simplesmente como:

» P(x), Q(x) e R(x) para x A.∈


• Em termos da língua portuguesa, uma sentença simples é formada basicamente por dois elementos: o sujeito e seu predicado.

• Já as sentenças abertas formais:

– são normalmente construídas, considerando-se que o sujeito da frase é substituído por uma variável;

– é definido um domínio para esta variável, dizendo quem são os objetos, pessoas, entidades, coisas, etc.

– O predicado restante passa a ser então a afirmação que está sendo feita sobre algum sujeito do domínio.

– Definição: sentenças abertas também são denominadas simplesmente de PREDICADOS.


Outros exemplos:

• São sentenças abertas em N= {1, 2, 3, ... ,n, ...} as seguintes expressões:

(d) x+1>8 (f) x2 - 5x + 6 = 0(e) x é primo (g) x é divisor de 10

para os x N.∈


Conjunto- Verdade de uma Sentença Aberta


• Definição: – chama-se conjunto- verdade de uma sentença

aberta P(x) num domínio A, o conjunto de todos os elementos a A tais que P(a) é uma ∈ proposição verdadeira.

• Formalmente o conjunto- verdade pode ser definido como:

VP = {x | x A P(x)=V}∈ ∧• ou, mais simplesmente como:

VP = {x A | P(x)}∈


Exemplos

• (a) O conjunto- verdade de P(x) = “x+1 > 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:

VP = {x N | P(x)} = {x N | x+1 > 8}= {8, 9, 10, ... } ∈ ∈ ⊂N


Exemplos

• (b) O conjunto- verdade de P(x) = “x+7 < 8” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:

VP = {x N | x+7 < 5}= N∈ ∅⊂


Exemplos

• (c) O conjunto- verdade de P(x) = “x é divisor de 10” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:

VP = {x N | x é divisor de 10}= {1, 2, 4, 10} N∈ ⊂


Exemplos

• (d) O conjunto- verdade de P(x) = “x+5 > 3” em N={1, 2, 3, ...} (conjunto dos números naturais) é dado por:

VP = {x N | x+5 > 3}= {1, 2, 3, 4, ...} = N N∈ ⊂


Importante

(I) Se P(x) é uma sentença aberta em A, então três casos podem ocorrer:– P(x) é verdadeira para todo x A. Neste caso o ∈

conjunto- verdade de P(x) é igual ao próprio domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição universal ou propriedade universal no conjunto A;


– (II) P(x) é verdadeira para alguns x A. Neste caso ∈o conjunto- verdade de P(x) é um subconjunto próprio do domínio A. Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição possível ou propriedade possível no conjunto A.

– P(x) não é verdadeira para nenhum x A. Neste ∈caso o conjunto- verdade de P(x) é vazio (VP = ). ∅Quando isto ocorre se diz que P(x) exprime uma condição impossível ou propriedade impossível no conjunto A.


Sentenças com N variáveis e seu Conjunto- Verdade

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• Supondo n conjuntos primitivos A1, A2, ..., An que serão usados como domínios individuais de cada variável da sentença.

• conjunto de todas as variáveis como o conjunto resultante do produto cartesiano destes conjuntos primitivos:

A1×A2×...×An


• O produto cartesiano de 2 conjuntos: – A1×A2 é o conjunto formado por todos as duplas

ordenadas (a1, a2) onde,• a1 A1 e a2 A2 . ∈ ∈

• Definição:– uma sentença aberta com n variáveis num

conjunto A1×A2×...×An, ou simplesmente – uma sentença aberta em A1×A2×...×An, é uma

expressão P(x1, x2,..., xn)– tal que p(a1, a2,..., an) é verdadeira (V) ou falsa (F)

para todo ênupla (a1, a2,..., an) A∈ 1×A2×...×An.


Então!!• O conjunto-verdade de uma sentença aberta

P(x1, x2,..., xn) no domínio A1×A2×...×An é– o conjunto de todas as ênuplas – (a1, a2,..., an) A1×A2×...×An ∈– tais que P(a1, a2,..., an) é uma proposição verdadeira.

– Formalmente este conjunto- verdade pode ser definido como:

VP = {(x1, x2,..., xn) A1×A2×...×An | P(x1, x2,..., xn)}∈


Exercício

• Determinar o conjunto- verdade em N (conjunto dos números naturais) de cada

• uma das sentenças abertas a seguir:(a) 2x = 6 (b) x-1<4(c) x2 - 5x + 6 = 0 (d) x2 - x + 2 = 0(e) x2 - 5x = 0 (f) x - 5 N∈


Conjunção sobre Sentenças Abertas ( )∧


• A conjunção lógica (a operação E lógico, representada pelo símbolo ) pode ser ∧aplicada sobre sentenças abertas ou predicados.

• ...


• Vamos começar a análise da conjunção de sentenças abertas, supondo 2 sentenças abertas bastante simples:– “x é médico”, “x é professor”– podem ser aplicadas sobre o domínio (conjunto) das

pessoas vivas atualmente.

• Agora se conectarmos ambas afirmações pelo conectivo E lógico ( ) fica-se com a expressão:∧

– “x é médico” “x é professor”∧– que somente pode ser verdadeira (satisfeita) para as

pessoas (os “x”) que são ambos médico(a) e professor(a).


• Em todas as conjunções de sentenças abertas onde os domínios são finitos pode-se teoricamente montar uma tabela similar a vista acima e verificar, usando as regras da lógica proposicional, qual o valor-verdade da conjunção.


• Porém o que se pode fazer quando os domínios são infinitos?

• Que tipo de significado se poderia atribuir para a conjunção de sentenças abertas sobre domínios infinitos?


A solução para este problema é?

• usando-se a Teoria Elementar dos Conjuntos para definir o significado da operação de conjunção lógica sobre duas sentenças abertas.

• ...


• Vamos supor as duas sentenças já vistas anteriormente:

• Deste desenho deve ficar claro que somente a intersecção das duas áreas (e portanto dos dois conjuntos) é que corresponde as pessoas que são ambas médicos e professores.Lógica matemática e Computacional- Profa.

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• Graficamente isto pode ser mostrado pelo seguinte diagrama:

• Ou seja o conjunto- verdade correspondente a conjunção de duas sentenças abertas é dado pela intersecção dos conjuntos- verdade de ambas sentenças.

• Formalmente, este conjunto- verdade é definido como:VP Q = VP ∩ VQ = {x A | P(x)} ∩ {x A | Q(x)}∧ ∈ ∈


Exemplo• Sejam as seguintes sentenças abertas em Z

(conjunto dos número inteiros):P(x) = x2 + x -2 = 0 Q(x) = x2 - 4 = 0

• Tem-se que:VP Q = {x Z | P(x)} ∩ {x A | Q(x)}∧ ∈ ∈

• = {x Z | x2 + x -2 = 0} ∩ {x A | x2 - 4 = 0}∈ ∈• = {-2, 1} ∩ {-2, 2}• = {-2}


Disjunção sobre Sentenças Abertas ( )∨


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