Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Modelagem Matemática na Educação Matemática: pluralidades e debates

São Carlos, SP – 30 de abril à 02 de maio de 2015

ISSN 2176-0489

A MATEMÁTICA NO BASQUETEBOL

Grasiella Vieira

Instituto Federal Catarinense - Camboriúi

grasills@hotmail.com

Afrânio Austregésilo Thiel

Instituto Federal Catarinense - Camboriúi

afrâniothiel@ifc-camboriu.edu.brm

Resumo:

O relato que aqui se discorre compartilha com outros educadores uma experiência pedagógica utilizada numa

turma de segundo ano do ensino médio do Instituto Federal Catarinense – Campus Camboriú. A prática da

Modelagem Matemática no ensino foi proposta com o intuito de tornar conceitos matemáticos em algo agradável

aos estudantes, aproximando a matemática da realidade, facilitando a compreensão dos alunos, fazendo-os

perceber que a matemática está presente em nosso cotidiano. Para tanto, adotou-se o basquetebol como objeto de

estudo, tema este sugerido por eles. Para melhor execução da prática, aplicou-se a Modelagem como aporte

pedagógico envolvendo a Matemática com as disciplinas de Educação Física e Física. Durante a aplicação, a

professora propôs aos alunos situações, induzindo-os a pesquisar e descobrir a matemática no basquetebol. A

presente experiência pode ser aplicada a outros esportes, desde que tenha caráter motivador e desperte interesse dos alunos pelas atividades propostas. O resultado desta prática foi, a satisfação dos estudantes na discussão e

realização das tarefas em grupo, além da aquisição de conceitos matemáticos envolvendo a interdisciplinaridade.

Palavras-chave: Ensino Médio. Modelagem matemática. Interdisciplinaridade. Basquetebol.

Justificativa

O presente trabalho tem por objetivo compartilhar um método pedagógico praticado

por acadêmicos do Instituto Federal Catarinense - Camboriú, numa turma do segundo ano do

ensino médio, da mesma instituição citada anteriormente.

A prática aqui mencionada teve seu planejamento direcionado à aplicação da

modelagem matemática, sendo esta a metodologia empregada, juntamente com a

interdisciplinaridade, trabalhando conceitos matemáticos atribuídos a conteúdos atrativos para

os estudantes.

Adotou-se Modelagem Matemática como um aporte pedagógico de se fazer

compreender e solucionar situações/problemas que nos cercam, descobrindo a matemática em

diversas ocasiões onde não a visualizamos diretamente, tendo a possibilidade de resolver estas

questões com emprego de conceitos matemáticos em andamento ou já vistos em sala.

Atividades de Modelagem Matemática sob essa perspectiva pode além da

aprendizagem do conteúdo trazer também reflexões, reações e ações acerca da

situação que está sendo investigada e daí emerge a não neutralidade dos modelos

matemáticos desenvolvidos na sala de aula, já que o modelo reflexivo tem potencial

para suscitar interpretações para os modelos em relação às situações a que estão associados e pode orientar como agir numa situação estruturada pela matemática.

(ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 33).

2

Foi considerando também a importância dos jogos esportivos na vida do ser humano,

bem como a apreciação dos jovens e, ascendendo um momento de competição, instigando-os

a participar das aulas, que se decidiu unir jogos esportivos e educação.

Atualmente a competição está inserida em todos os segmentos de nossa sociedade, o

que, muitas vezes, é vista como um aspecto negativo. Assim, se lidarmos com a

prática coerente do esporte, de forma a valorizar a competição, levará nossos jovens

a aprenderem a lidar com seus limites e superações (PACHECO, 2011, p. 1)

Optou-se pela interdisciplinaridade considerando sua característica de aproximar

currículos, valorizando algumas disciplinas dentro de um mesmo contexto. Pode-se afirmar

também que ela tem:

[...] Caráter operacional, de modo a orientar a ação, um processo que tem como

objetivo a integração e engajamento de educadores, em trabalho conjunto de

interação das disciplinas do currículo escolar entre si e com a realidade, com a

finalidade de superar a fragmentação do ensino, objetivando a formação integral dos

alunos (CUNHA; SPIM; BOSCHETTI, 2014, p. 04).

Ao abordar o esporte Basquetebol, entrelaçamos a Física por meio dos conceitos

energia cinética, grandeza vetorial e escalar, ponto de referência (posição, tempo e trajetória),

lançamento vertical, gravidade (massa e peso), velocidade escalar média (quantidade de

movimento); impulso.

A contribuição das aulas de Educação Física foi por meio da prática do jogo, tornando

mais visíveis os conceitos científicos citados anteriormente, incluídos no conteúdo,

explorando conhecimentos de postura corporal do aluno, posicionamento em quadra, regras

desse esporte e convivência em grupo. Já com relação à Matemática, abordaram-se os

conceitos de perímetro e área de figuras planas, volume de um sólido geométrico, ângulos,

equações, funções, gráficos e análise combinatória.

O envolvimento dos professores das três disciplinas propiciou o trabalho em equipe,

caracterizando assim a interdisciplinaridade, oportunizando também o ensino e aprendizado

via modelagem matemática, que se passa a discorrer.

Aplicando o método

Para aplicação deste trabalho, inicialmente, foram apresentadas aos alunos, as

principais modalidades de esporte: ‘voleibol, futsal, basquetebol, handebol, atletismo’,

pedindo-lhes que entrassem em consenso na turma e escolhendo um dos esportes como tema

gerador.

Assim, sugerido pelos alunos, optou-se pelo basquetebol como jogo em pesquisa,

considerando ser uma modalidade esportiva praticada particularmente nas aulas de educação

física.

3

Ressalta-se que nada impede que esta prática seja estendida pelo professor a outros

jogos, desde que seja possível o acesso dos alunos ao jogo e seus componentes, como quadra,

bola, rede, enfim, artefatos específicos que possibilitem a prática e a compreensão do jogo e

dos conceitos envolvidos. Somente desta forma os alunos poderão interagir com o jogo,

tornando-o mais atrativo, palpável e menos teórico.

A intenção deste trabalho foi mostrar aos alunos que a matemática faz parte das mais

diversas áreas do cotidiano, sendo uma ferramenta de serviço muito utilizada, porém pouco

percebida. Além disso, trabalhou-se com algo prático para os alunos e não somente com

teorias, algo possível de ver e fazer tudo o que estava sendo calculado.

O desafio foi apresentar a matemática inserida no basquetebol, por meio de pesquisas,

usando-se conceitos de geometria plana, espacial e analítica, funções do 1º e 2º grau, análise

combinatória. Foram mostrados, ainda, cálculos, fórmulas e gráficos realizados, tanto na

disciplina Matemática quanto na disciplina Física, desenvolvendo o raciocínio lógico-

matemático, junto à capacidade de resolução de problemas relacionados a este esporte,

praticando, concomitante a isso, suas técnicas e regras juntamente com a disciplina Educação

Física.

No primeiro momento, em sala de aula após a escolha do esporte, a classe tendo 35

alunos foi dividida em grupos com cinco alunos, com os professores perguntando-lhes onde

estava a matemática no jogo de basquetebol. Com alguns minutos de conversa feita pelos

grupos surgiram as primeiras ideias, tais como: o tamanho oficial de uma quadra de

basquetebol; o número de atletas que compõem o time; a velocidade do arremesso da bola; a

trajetória da bola; a forma e tamanho dos tacos que fazem parte do revestimento da quadra; a

velocidade da bola.

Esse foi um momento importante para reflexão, no entanto, não o suficiente para que

respondessem completamente onde e quais conteúdos matemáticos estavam envolvidos no

basquetebol. A partir daí, os estudantes se sentiram estimulados a fazer pesquisas, leituras e

discussões mais aprofundadas sobre o tema.

No segundo momento, os alunos foram levados à quadra de esportes pelo professor de

educação física, para jogar uma partida de basquetebol. A intenção era aprender as regras do

jogo e analisar tudo o que acontecia para saber se havia mais algum ponto em que a

matemática e a física estavam presentes. Neste momento o professor da disciplina de física

entrou em ação, mostrando em cada movimento o conteúdo e os conceitos presentes num

jogo. Foi nesse ponto em que houve a interdisciplinaridade, os alunos trabalhavam três

disciplinas ligadas ao mesmo tema “Basquetebol”.

4

Ao término dessas observações e análises, iniciaram-se as pesquisas. Os autores

levantaram uma série de questões, em que a cada aula era proposto um exercício diferente

para cada grupo, com data marcada para apresentação à turma.

Para resolução e conclusão do trabalho, os alunos precisavam pesquisar e criar um

modelo matemático como solução das questões, com o auxílio dos livros didáticos, sites

educacionais, troca de informações entre eles mesmos, podendo tirar dúvidas com os

professores. Dessa forma, em cada situação problema, os alunos/grupos eram estimulados a

buscar soluções, descobrindo e descrevendo quais conceitos matemáticos estão envolvidos

num jogo de basquete.

Na apresentação deste trabalho foi selecionado um exercício realizado por cada grupo

e que, posteriormente, foi socializado com a turma.

Aplicações utilizando a matemática como suporte / Inter-relação com outras disciplinas.

Função do 1º grau: Considerando a medida de um taco (17 cm x 21 cm) e a medida de uma

quadra oficial, confirmada após medições realizadas pelos alunos no ginásio poliesportivo,

pede-se:

Qual é o modelo matemático para a área em função do número de tacos, conforme a

medida apresentada? Mostre graficamente.

Diante da situação proposta aos grupos, eles, após efetuar as medições das dimensões

de um taco na quadra de basquetebol, elaboraram o Quadro 1 acompanhado do respectivo

gráfico, conforme a ilustração da Figura 1.

Quadro 1: Relação entre número

de tacos e a área calculada

N° de

Tacos

Área Ponto

1 357 A

2 714 B

3 1071 C

X ? Fonte: Documento do autor.

Figura 1: Gráfico da área em função dos tacos

1071

714

357

0 1 2 3x

A (cm )2

A

B

C

Fonte: Documento do autor.

Diante do conhecimento adquirido no 1o ano do Ensino Médio, tanto em Física como

em Matemática, os grupos determinaram a expressão matemática que representa a situação

problema, tendo como referência a fórmula y = ax + b, onde o ‘a’ corresponde ao ‘coeficiente

angular’ responsável pela inclinação da reta; o ‘b’ corresponde ao ‘coeficiente linear’, ou seja,

o valor em que o gráfico intercepta o eixo da ordenada.

357R/AAIm(f)

1R/xxD(f)

5

Ao observar o gráfico construído, alguns grupos afirmaram que o gráfico localizado

no 1o. Quadrante, não intercepta o eixo y, considerando que a área do taco deve ter valor

positivo. Projetando o gráfico no eixo x (no. tacos) e eixo y (área) os grupos determinaram a

tendência da variação.

Para definir a função, se escolhe dois pontos A e B; substituindo esses dados na

fórmula, encontra-se o coeficiente angular ‘a’.

tgαa 3572

714

13

3571071

Δx

Δy

Tendo o valor de ‘a = 357’ e escolhendo um dos pontos ‘A ou B’, por exemplo, o

ponto A (1; 357), substitui-se os dados na expressão geral da função do 1o grau (y = ax + b),

determinando o valor de ‘b’, construindo a expressão matemática que representa a situação-

problema.

y = ax + b => para y = 357x => y = 357 + b => 357 = 357 (1) + b => b = 0

Trabalhando com a fórmula de superfície e volume de uma esfera.

Sabendo-se o valor do diâmetro de uma bola oficial de Basquetebol como podemos

descobrir o valor da superfície esférica (calota) e seu volume, conforme a Figura 2?

Figura 2: Ilustração de uma bola de basquetebol

Fonte: Wikipédia (2014).

Com o auxílio de uma fita métrica os alunos obtiveram o valor aproximado da

circunferência (78 cm); encostando a bola na parede e posicionando uma ripa (paralela à

parede), mediu-se a distância desta ripa a parede obtendo assim o valor aproximado do

diâmetro (d = 24,84cm). Em seguida encontraram o valor do raio (r = d/2 = 24,84/2 = 12,42

cm). Substituindo os dados na fórmula da superfície e volume de uma esfera, calcularam o

valor aproximado do objeto indispensável neste esporte.

Aplicando função do 2º grau (quadrática)

3

3

3

8021,08cm3

24063,257V

,42)(3,14).(123

4V

π.r3

4V

2

2

2

1937,46cmS

4)56(154,256 12,S

)14).(12,42 4(3,S

r 4πS

6

O atleta arremessou a bola para cesta conforme a ilustração. Será possível construir

um modelo matemático observando os dados e cotas da curva aberta (parábola) indicando a

trajetória da bola conforme a Figura 3 e 4.

Figura 3: Postura corporal de um aluno antes Figura 4: Aluno realizando o arremesso da bola

do lançamento

Fonte: Elaborado pelos alunos. Fonte: Elaborado pelos alunos.

Para se determinar uma função do 2º grau, que representa a curva (parábola), este

grupo escolheu três pares ordenados A(0 ; 2), B(3 ; 4) e C(6 ; 3), substituindo-os na expressão

geral (y = ax² + bx + c) formando três equações.

Expressão geral: y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c

A (0, 2) => 2 = a(0)² + b(0) + c => c = 2 (eq. I )

B (3, 4) => 4 = a (3)² + b (3) + c => 4 = 9a + 3b + 2 => 9a + 3b = 2 (eq. II )

C (6, 3) => 3 = a (6)² + b (6) + c => 3 = 36a + 6b + 2 => 36a + 6b = 1 (eq. III)

Para determinar os coeficientes a e b, os alunos por meio de um sistema formado com

as equações II e III, optando pelo método da adição, encontraram os coeficientes ‘a’ e ‘b’:

9a + 3b – 2 = 0 .(-2) - 18a – 6b + 4 = 0 a = - 3/18 = - 1/6

36a + 6b – 1 = 0 (+) 36a + 6b – 1 = 0

18a + 3 = 0

Substituindo o valor de ‘a = - 1/6’ em qualquer uma das equações (II ou III) o grupo

encontrou o valor de b.

Eq. II: 9a + 3b = 2 => 9(- 1/6) + 3b = 2 => (-9/6) + 3b = 2

=> 3b = 2 + (3/2) => 6b = 7 => 3b = 7/2 => b = 7/6

De posse dos valores de a, b e c, elaboraram a expressão matemática, que representa a

altura (y) da bola em função da distância (x):

y = ax² + bx + c => y = (-1/6)x² + (7/6)x + 2

Aplicando o Princípio fundamental da Contagem

7

Para um campeonato de Basquetebol foram inscritos quatro (4) clubes/times.

Determine, quantas e quais são as possibilidades de classificação para os três primeiros

lugares, sabendo que só os três primeiros receberão medalhas.

Nesta questão encontram-se duas reflexões: ‘quantas’ e ‘quais’, originando duas

respostas, dividindo consequentemente o problema em duas etapas.

Para encontrar ‘quantas são’ as possibilidades, os alunos (grupos) apresentaram dois

caminhos a seguir:

a) Princípio da Contagem p = p1 . p2 . p3

a.1) p = 1ªL . 2ªL . 3ªL

a.2) p = 4p . 3p . 2p = 24 possibilidades

b) A fórmula adequada para ser utilizada é arranjo ou combinação?

Como a ordem de classificação altera a premiação, utilizou-se a formula de Arranjo.

An, p = n!___ => A4,3 = 4!___ = 4.3.2.1! = 24 possibilidades

(n - p)! (4 – 3)! 1!

Para encontrar ‘quais são’ as possibilidades, utilizaram a árvore de possibilidades,

determinando assim, as distintas maneiras para a classificação dos três primeiros lugares.

1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar

Y Z = xyz

W = xyw

X Z Y = xzy

W = xzw

W Y = xwy

Z = xwz

Parcial: 6 possibilidades.

1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar

Z X = yzx

W = yzw

Y W Z = ywz

X = ywx

X Z = yxz

Y = yxw

Quais

Quais

8

Parcial: 6 possibilidades

1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar

X Y = zxy

W = zxw

Z Y X = zyx

W = zyw

W Y = zwy

X = zwx

Parcial: 6 possibilidades

Parcial: 6possibilidades

Total = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 (6) = 24 possibilidades (Quantas).

Aplicando o princípio da contagem

O treinador da seleção brasileira de basquetebol tem a sua disposição em seu elenco 12

jogadores. De quantas formas diferentes o treinador poderá organizar o time para começar o

jogo?

O time de basquetebol é formado por 5 (cinco) jogadores titulares, mais os reservas.

No ato da inscrição do time que entra em campo, registra-se o nome do atleta na súmula e não

a posição que este ocupa na quadra. Sendo assim, a ordem (troca de posição) não constitui um

novo time. Diante deste fato, aplicou-se a fórmula de Combinação:

1° Lugar 2° Lugar 3° Lugar

X Y = wxy

Z = wxz

X = wyx W Y

Z = wyz

Z X = wzx

Y = wzy

Quais

Quais

9

C12,5 = _ 12!___ =_12. 11. 10. 9. 8. 7!_ = 11. 9. 8 = 792 formas diferentes

(12 – 5)! 5! 7!. 5.4.3.2.1

Utilizando elementos da física

Uma bola de basquete é arremessada por um jogador, de 1.90 m de altura, com uma

velocidade de 36 km/h (10 m/s) formando um ângulo de 30º com a horizontal. A bola

consegue atingir a cesta, que está a 1,90 m do solo. Determine o tempo que a bola demora a

atingir a cesta, a altura máxima atingida pela bola e o alcance desta.

Figura 5: Postura corporal de um aluno num arremesso.

Fonte: Elaborado por um dos grupos de alunos.

1o passo: Decompor as velocidades V0x e V0y

Figura 6: Inclinação do vetor velocidade inicial Figura 7: Ilustração gráfica da situação nos eixos x e y

Fonte: Elaborado por um dos grupos.

Fonte: Elaborado por um dos grupos.

Vox = Vo . cos 30ᵒ Voy = Vo . sen 30ᵒ

Vox = 10 . 0, 87 Voy = 10 . 0,5 = 5m/s

V0x = 8,7 m/s Voy = 5 m/s

2º. Passo: Determinar a altura máxima (eixo y) alcançada pela bola e o tempo para atingir

essa altura.

Para determinar a altura máxima, um dos grupos determinou o tempo que a bola levou

para atingir tal altura. Aplicando a expressão da Física referente ao movimento retilíneo

variado e sabendo que a aceleração da gravidade é ‘a = -10 m/s²’. Considerando que quando a

bola alcança a altura máxima sua velocidade vertical é nula (zero), assim, o tempo ‘t’

procurado é:

10 m/s

30°

10 m/s 30o

Vox

V0y

10

1600

1024576

2561424

4

2

2

acb

Tempo: Sendo a = -10m/s² (gravidade)

Vy = V ou + a . t => 0 = 5 – 10 . t => t = 5/10 => t = 0,5 s

A bola leva 0,5 s para subir até a altura máxima e 0,5 s para voltar até 1,90 m de altura

(cesta).

O tempo total é, portanto, igual a s15,05,0 .

Altura: Utilizou-se a equação de Torricelli: V²y = V0y – 2 . g . h

V²y = V0y – 2 . g . h => 0² = 5² - 2 . 10 . h => 25 = 20h => h = 1,25

h = 1,25 é a altura, após 1,90 m, atingida pela bola.

Logo a altura total será: ht = 1,90 + 1, 25 = 3,15

Eixo X: Para determinar a distância da mão do aluno até a cesta, utilizou-se a fórmula:

d = Vx . t => d = (8,7) . (1,0) => d = 8,7 m

Equação do 1° grau

Os professores de matemática pediram que cada grupo determinasse o perímetro de

uma quadra de basquete, sabendo que a sua área é igual a 364 m2 e seus lados são

representados por (6 + x) m e (18 + x) m. A Figura 8 abaixo ilustra uma quadra de

basquetebol.

Figura 8: Planta de uma quadra de basquetebol

Fonte: Wikipédia (2014).

Lados da quadra

26m818x18

14m86x6

2

1

Perímetro da quadra

80m522826214222 21

Aplicando Sistemas de equações do 1° grau com duas incógnitas

025624xx

0364x18x6x108

364x18x6

364

364mÁrea

2

2

21

2

322

64

2

4024x

82

16

2

4024x

2

4024

12

160024

2a

Δbx

2

1

11

Cada um dos grupos ficou incumbido de resolver outra situação: uma quadra de

basquete tem a forma retangular e seu perímetro é 70 m. Como vocês encontrarão suas

dimensões, sabendo que a diferença entre elas é 15 m?

Figura 9: desenho de uma quadra de basquetebol

Fonte: Wikipédia (2014).

O grupo determinou as dimensões, sem medir ‘a largura e o comprimento’,

considerando que o perímetro é a soma dos lados da quadra obtém-se que:

2a + 2b = 70 ou a + b = 35.

Se a diferença entre as dimensões é 15 m, então a – b = 15. O que temos é um sistema

de equações do 1° grau com duas incógnitas, dados pelas equações:

O grupo resolveu o sistema pelo método da adição, simplesmente adicionando as duas

equações. Assim:

Se 35ba e 25a , então 10.b35b25

Logo, as dimensões da quadra de basquete são respectivamente 25 m (comprimento) e

10 m (largura).

Conclusão

Acompanhando o processo de pesquisa e aprendizagem dos alunos, foi perceptível o

comprometimento deles aos estudar algo que lhes agrada. Como o basquetebol já era um

esporte praticado frequentemente durante as aulas de Educação Física, foi possível se

aprofundar no tema, estudando as regras e origens, bem como toda a matemática envolvida,

deixando assim os alunos ainda mais fascinados pelo esporte e impressionados com a

matemática.

Algumas dificuldades foram constatadas, dentre os erros ocasionados por falta de

atenção, como troca de sinais e dúvidas na atribuição de valores a fórmulas, porém o maior

15ba

35ba

25a502a

15ba

35ba

12

obstáculo foi na visualização da matemática no esporte. Inicialmente, com algumas reflexões,

os alunos conseguiam falar sobre onde se encontrava tal situação, no entanto as dificuldades

surgiam no momento de reformular a questão matematicamente, ou seja, sabiam onde aplicar

a matemática, mas, não como aplicá-la, o que já era e se esperar, pois é de costume fornecer

equações e fórmulas prontas, e neste caso os alunos só tinham situações/problemas na qual

necessitavam encontrar valores do esporte, elaborar equações matemáticas, somente depois de

unir estas informações conseguiriam resolvê-las.

O processo trabalhado em grupos facilitou no esclarecimento das dificuldades acima

citadas, isso devido a trocas de informações e discussões, entre eles e com auxílio dos

professores também, ressaltando também que por ser uma atividade nova, partimos todos do

mesmo nível de conhecimento, sem discriminação entre quem sempre tira notas máximas ou

mínimas, este quesito propiciou uma maior interação e motivação da turma.

A junção de interdisciplinaridade, modelagem e esportes permitiu trabalhar tantos

outros assuntos matemáticos e físicos, nos quais não couberam neste artigo, sendo possível o

professor incrementar esta idéia, com o que mais lhe pareça favorável no desenvolvimento da

aprendizagem do aluno.

Referências

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Básica. São Paulo, ed. Contexto, 2012, p. 12-37

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GIOVANNI, J. R. [et al]. Matemática Fundamental: 2ºgrau. São Paulo: FTD, 1998.

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