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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP
DARICE LASCALA PADRO
A ORIGEM DO ZERO
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMTICA
So Paulo
2008
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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP
DARICE LASCALA PADRO
A ORIGEM DO ZERO
Dissertao apresentada Banca Examinadora
da Pontifcia Universidade Catlica de So
Paulo, como exigncia parcial para obteno
do ttulo de MESTRE PROFISSIONAL EM
ENSINO DE MATEMTICA , sob a orientao
da Professora Dra. BARBARA LUTAIF
BIANCHINI .
So Paulo
2008
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Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
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Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a
reproduo total ou parcial desta
Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e
Data: ______________
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DEDICATRIA
Dedico este trabalho aos meus queridos e amados filhos Camila
Lascala
Martins Padro e Hlio Lascala Martins Padro que acreditaram e
contriburam
para que eu realizasse este sonho.
As palavras muito obrigada no so suficientes para expressar
o
sentimento de gratido que experimento pelo fato de vocs
existirem na minha
vida. Sempre presentes nas horas difceis durante a trajetria
deste trabalho,
sempre apoiando e dando foras para que tudo desse certo.
Meus filhos, vocs participaram dos meus momentos de
ansiedade,
desespero e desnimo, sempre valorizando minha capacidade e
fazendo com que
eu acreditasse nos frutos do meu esforo, oferecendo carinho e
amor.
Queridos filhos, agradeo a vocs pela fora, consolo, nimo. E,
sobretudo, comprovarem que tudo vale a pena, desde que exista
amor.
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AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, agradeo a DEUS por me conceder a vida e todas
as
oportunidades que surgiram ao longo desta trajetria,
ensinando-me a confiar
Nele.
Agradeo aos meus filhos Hlio e Camila pela pacincia e
compreenso
durante os perodos em que estive ausente e por terem respeitado
e acreditado
neste sonho.
Ao meu marido Hlio que tanto me incentivou e colaborou para que
eu
pudesse realizar este trabalho.
Aos meus pais Dirce e Dario, oferecendo seus prstimos, me
incentivando e rezando para que tudo desse certo.
s minhas queridas irms Dilma, Dione e Dbora pelo carinho e
afeto.
Em especial Dione que colaborou para que este trabalho fosse
realizado.
minha orientadora e amiga, Professora Doutora Barbara Lutaif
Bianchini pela dedicao incondicional e confiana depositada em
mim, sempre
me incentivando e colaborando para que tudo fosse realizado da
melhor maneira
possvel.
Ao Professor Doutor Benedito Antonio da Silva e Professora
Doutora
Leila Zardo Puga que aceitaram participar da Banca Examinadora,
por suas
orientaes e contribuies para que este trabalho fosse
finalizado.
Ao Professor Doutor Nlson Jos Machado pelas orientaes.
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s minhas colegas de curso Carla, Adriana e Rosana, que sempre
se
mostraram amigas e, nos momentos difceis, souberam expressar
palavras de
carinho e nimo, alm de colaborarem com inmeras sugestes.
Liana Sayuri Takagi Minsoni, pela sua pacincia e contribuio.
Ao Thomas Wollan pela sua contribuio.
Secretaria da Educao do Estado de So Paulo que concedeu a
bolsa mestrado e tornou possvel a realizao desse sonho.
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RESUMO
Este trabalho uma pesquisa bibliogrfica que tem como objetivo
investigar as
dificuldades que surgiram ao longo da histria para que o zero
fosse considerado um
elemento integrante da matemtica. Os trabalhos citados abordam,
de alguma forma, o
zero. So eles: Sentidos Atribudos ao zero por alunos da 6 srie,
artigo de Salvador e
Nacarato (2003), apresentado na ANPED 2003; Sentido do zero de
Guimares,
dissertao de Mestrado PUCSP 2008; A Histria do Zero, artigo de
Pinedo e
Sbardelotto 2004, publicado no boletim eletrnico n3 Jnior do
Grupo de Ensino e
Pesquisa em Educao Matemtica CEFET Paran unidade Sudoeste -
Campus Pato
Branco. Neste trabalho mostramos a importncia do conhecimento da
histria da
matemtica para uma melhor compreenso do conceito a ser estudado.
O
desenvolvimento desta pesquisa se deu por meio de um
levantamento histrico sobre as
civilizaes que introduziram o zero em seus sistemas de numerao,
evidenciando as
dificuldades encontradas, at que chegassem a uma denotao para o
vazio. A
civilizao babilnica utilizou um sistema de numerao posicional
sexagesimal e atribuiu
um smbolo para indicar a ausncia de uma ou mais ordens na
representao de um
nmero. O povo maia utilizou um sistema de numerao posicional de
base vinte, com
uma irregularidade no valor relativo terceira ordem. Este povo
representou a ausncia
de uma ou mais ordens com o smbolo de uma concha. O sistema de
numerao criado
pelos chineses foi baseado em um sistema hbrido, no qual foi
atribudo um smbolo para
indicar a ausncia de ordens, que chamaram de ling. A civilizao
hindu desenvolveu um
sistema de numerao posicional de base dez e usou um smbolo para
representar a falta
de uma ordem, associado ao nada. Mais tarde esse smbolo
tornou-se um nmero, o
zero. Assim foi possvel descrever a trajetria da origem do zero
nas civilizaes citadas
anteriormente, conhecendo as dificuldades enfrentadas pelos
povos.
Palavras-Chave: origem do zero, zero algarismo, zero nmero.
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ABSTRACT
The objective of this research paper is to study the origins of
ZERO and the different
challenges that have emerged throughout history before ZERO was
considered an integral
part of mathematics. The references below all show ZERO in
different contexts: Sentidos
Atribudos ao Zero por alunos da 6 srie, article by Salvador and
Nacarato (2003),
presented at ANPED 2003; Sentido do Zero, by Guimares, masters
dissertation
PUCSP 2008; A Histria do Zero, by Pinedo and Sbardelotto (2004)
published on
electronic bulletin n3 Junior of Mathematics Education Knowledge
and Research Group
CEFET Paran southwest unity Pato Branco Campus. This study shows
how
significant studying the history of mathematics is for improving
the understanding of the
researched subject. The basis for this paper is a historical
survey on earlier civilizations
which introduced ZERO in their numerical system, furthermore
analyzing the mathematical
challenges they encountered before finally arriving at a
definition for nothing. The
Babylonian civilization developed a positional sexagecimal
system where they assigned a
symbol to indicate the absence of a value in a numerical
sequence. The Mayan people
invented a positional numerical system based on 20, with an
irregularity in the value
relative to the third order. The Mayans assigned a sign in the
shape of a shell to
symbolize the absence of a value (zero). The numerical system
established by the
Chinese was a hybrid system where a symbol called ling indicated
the absence of a
value (zero).The Hindu civilization developed a numerical
positional system based on 10,
and also used symbols to indicate the absence of a value
(nothing). Later this symbol
became a number, the zero as we know it today. Thus by studying
the difficulties
overcome by these civilizations, it was possible to describe the
development of ZERO from
its origins until it became an integral part of numerical
system.
Keywords: origin of zero, zero algarism, the number zero.
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LISTA DE FIGURAS
CAPTULO II
Figura 2.1 Nmeros egpcios (GUIMARES, 2008, p.35)..... ....
27
Figura 2.2 Nmeros gregos (GUIMARES, 2008, p.36)... ........
28
Figura 2.3 Nmeros babilnicos (GUIMARES, 2008, p.37)..... 29
Figura 2.4 Smbolos da numerao maia (GUIMARES, 2008, p.40).......
........ . .... ............ ........ ... ... .. ............
....... 29
Figura 2.5 Representao do nmero 79, no sistema de numerao maia
(GUIMARES, 2008, p.41)..... ..... ....... ..... ..... .. 30
CAPTULO III
Figura 3.1 Mapa do atual Paquisto, antiga civi l izao indiana
(BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p. 44).. ............ .... ... 42
Figura 3.2 Mapa do Imprio Babilnico (COTRIM, 1995, p.
50)........ ........ ....... . ........... ........ ..... ...
............ ....... 44
Figura 3.3 Smbolos da numerao babilnica (adaptada IFRAH, 1997,
p.295).. ..... ........ ......... . .... ... ..... ....... 45
Figura 3.4 Representao dos nmeros 25, 615 e 4 305, no sistema de
numerao babilnico (IFRAH, 1997, p.240). 45
Figura 3.5 Representao do nmero 10 804, no sistema de numerao
babilnico (EVES, 2004, p.36)........... . ...... 46
Figura 3.6 Mapa da regio dos maias (BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p.
32)..... ... .. ............ ........ ..... ... . ...........
...... 47
Figura 3.7 Representao dos dezenove primeiros nmeros do sistema
de numerao dos maias (IFRAH, 1997, p.639)....... . ........ ...
............ .... .... ...... .. ............ ... ... 48
Figura 3.8 Representao do nmero 21, no sistema de numerao maia
(adaptada IFRAH, 1997, p.640)... ............ ...... . 48
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Figura 3.9 Representao do nmero 4 399, no sistema de numerao
maia (IFRAH, 1997, p.640)... ............ ..... 49
Figura 3.10 Representao do nmero 1 087 200, no sistema de
numerao maia (IFRAH, 1997, p.641)... ............ ..... 50
Figura 3.11 Crdex de Dresden (IFRAH, 1997, p.642)... ..........
51
Figura 3.12 Transcrio das menes numricas que f iguram no
documento anterior (IFRAH, 1997, p.642)....... . 53
Figura 3.13 Mapa da China (BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p.
37)........ ........ ....... .. .......... ........ ..... ... .
........... .... 54
Figura 3.14 Sinais numricos do sistema de numerao chins (IFRAH,
1997, p.551).... .. ........ . ......... ... .... 55
Figura 3.15 Representao do nmero 9 564 no sistema de numerao
chins (adaptada IFRAH, 2001, p.236)... 56
Figura 3.16 Representao do nmero 504 no sistema de numerao chins
(adaptada IFRAH, 1997, p.556)...... . ......... ... ............
... ..... ...... .. ............ .. .. 56
Figura 3.17 Representao do nmero 504 no sistema de numerao
chins, com um smbolo para o zero (adaptada IFRAH, 1997,
p.556)....... ... ............ ..... 57
Figura 3.18 Mapa da regio da ndia e Arbia Saudita (Disponvel em
www.webbusca.com.br/atlas/mapas/asia.gif . Acesso em 14
jul.2008).... .... ........ ..... ........ .. .. ..... 58
Figura 3.19 Representao do nmero 7 629 na numerao hindu (IFRAH,
2001, p.266).... ... ........ ......... . ...... .. .... ... 59
Figura 3.20 Representao do nmero 9100 na numerao hindu (IFRAH,
2001, p.285).... ... ........ ......... . ...... . ..... ....
60
Figura 3.21 Evoluo da representao dos algarismos indo-arbicos
(SILVEIRA, 2001, p.9).... ... .. ............ ..... 63
Figura 3.22 Linha do tempo dos principais acontecimentos
relacionados origem do zero....... ..... ...... .... .. ... 64
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LISTA DE QUADROS
CAPTULO II
Quadro 2.1 Sntese dos diferentes signif icados do zero (adaptado
SALVADOR; NACARATO, 2003, p. 3)... 22
Quadro 2.2 Sentidos atribudos ao zero (SALVADOR; NACARATO, 2003,
p. 5)... ... ........ ....... ......... ... ... 23
Quadro 2.3 Escrita dos nmeros hindus (Adaptada GUIMARES, 2008,
p. 46).... . ....... ..... ........... . .... . 31
CAPTULO III
Quadro 3.1 Notao dos nmeros da f igura 3.11(IFRAH, 1997,
p.643)....... . ........ ... ............ .... .... ...... ..
............ ... . 53
Quadro 3.2 Cronologia dos acontecimentos relacionados ao zero
(adaptado SILVEIRA, 2001, p. 5-10)........ ..... 65
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LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
ANPED = Associao Nacional de Ps-Graduao e Pesquisa em
Educao
CEFET = Centro Federal de Educao Tecnolgica
EBRAPEM = Encontro Brasileiro de Estudantes de Ps-Graduao
em Educao Matemtica
ENEM = Encontro Nacional de Educao Matemtica
GEPEM = Grupo de Ensino e Pesquisa em Educao Matemtica
GPEA = Grupo de Pesquisa em Educao Algbrica
NCTM = National Council of Teachers Mathematics
PCN = Parmetros Curriculares Nacionais
PUCSP = Pontif cia Universidade Catlica de So Paulo
UNESP = Universidade do Estado de So Paulo
UNICAMP = Universidade de Campinas
USP = Universidade de So Paulo
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SUMRIO
CAPTULO I 1. A
PESQUISA....................................................................................................
16 1.1
Introduo................................................................................
16
1.2 Questo de pesquisa e
objetivo.............................................. 18
1.3 Desenvolvimento da
pesquisa................................................. 19
CAPTULO II
2. REVISO
BIBLIOGRFICA.............................................................................
20
2.1 Sentidos atribudos ao zero, Salvador e Nacarato
3
momentos............................................................................
20
2.2 Sentido do zero,
Guimares.................................................... 24
2.3 Histria do nmero zero, Pinedo e
Sbardelotto....................... 32
2.3.1 Antes de
Cristo................................................................
33
2.3.1.1 Os
Babilnios......................................................
33
2.3.1.2 Os
Olmecas.........................................................
33
2.3.1.3
Parmenides..........................................................
33
2.3.1.4 Na
China..............................................................
33
2.3.1.5 Os
gregos.............................................................
34
2.3.2 Depois de
Cristo..............................................................
34
2.3.2.1
Ptolomeu..............................................................
34
2.3.2.2 Os
maias.............................................................
34
2.3.2.3 Os
indianos.........................................................
35
2.3.2.3.1 Varahamihica........................................
36
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2.3.2.3.2 Brahmagupta.........................................
36
2.3.2.3.3
Mahavira................................................ 36
2.3.2.3.4 Al-khwarizmi..........................................
37
2.3.2.3.5 Gelbertd Aurillac...................................
37
2.3.2.3.6 Ibz
Ezra................................................. 37
2.3.2.3.7
Bhaskara............................................... 37
2.3.2.3.8
Fibonacci............................................... 38
2.3.2.3.9 Sacrobosco...........................................
38
2.4 Consideraes sobre as
pesquisa.......................................... 39
CAPTULO III
3. A ORIGEM DO ZERO NA
HISTRIA...............................................................
40 3.1 Importncia da histria da matemtica no
ensino.................. 40
3.2 A civilizao
babilnica...........................................................
43
3.3 A civilizao
maia...................................................................
47
3.4 A civilizao
chinesa...............................................................
54
3.5 A civilizao
hindu..................................................................
57
3.6 Linha do tempo relacionada origem do
zero....................... 64
3.7
Cronologia.............................................................................
65
3.8 O
nmero................................................................................
68
CONSIDERAES FINAIS
.................................................................................
70
REFERNCIAS...................................................................................................
72
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CAPTULO I
1 A PESQUISA
1.1. Introduo
A escolha inicial do tema de pesquisa surgiu quando percebemos
as
dificuldades que os alunos do Ensino Fundamental II e Ensino
Mdio
apresentavam ao efetuar operaes envolvendo o nmero zero.
Quando lecionvamos na 8 srie de uma escola particular da
Zona
Norte da cidade de So Paulo, ensinando equao do 2 grau,
observamos que
os alunos erravam no clculo do discriminante (na resoluo da
equao do 2
grau, o aluno utilizava a seguinte frmula ,.2
..42
a
cabbx
= em que cab ..42
chamado de discriminante), quando o termo independente c era
zero. Eles
simplesmente desprezavam o zero, efetuando o produto entre o
nmero quatro e
o coeficiente a.
O fator que nos motivou a realizar esse trabalho foi o desejo
de
conhecer, esclarecer e aprender um pouco mais a respeito do
zero.
Da o interesse em investigar como e em que contexto o zero
surgiu
na histria das civilizaes. Esta pesquisa mostra quais foram as
dificuldades
apresentadas nos sistemas de numerao at que o conceito do zero
foi institudo
na matemtica.
Durante as leituras sobre o tema, percebi a necessidade de
aprofundar
o estudo do zero para uma melhor compreenso de como tudo
aconteceu ao
longo da histria da matemtica.
Este trabalho est faz parte do projeto A Teoria Elementar
dos
Nmeros no Ensino Bsico e Licenciatura , que faz parte de outro
maior
intitulado Qual a lgebra a Ser Ensinada na Formao de Profes
sores?,
-
17
inserido linha de pesquisa Matemtica na Estrutura Curricular e
Formao de
Professores do Programa de Estudos de Ps-Graduados da
Pontifcia
Universidade Catlica de So Paulo, subgrupo de pesquisa de
Educao
Algbrica conhecido como GPEA. Segundo a descrio do projeto de
pesquisa:
Este grupo concebe a Teoria Elementar dos Nmeros como parte
integrante da lgebra do Ensino Bsico, conforme resultado de seus
estudos. O objetivo das pesquisas desse projeto investigar o
estatuto que esse assunto tem no campo institucional (PCN,
Programas, NCTM, etc.), no campo docente (professores do ensino
superior, mdio, fundamental e infantil) e no campo discente (alunos
de todos os segmentos). Os resultados dessas pesquisas visam
contribuir para a sensibilizao sobre a contribuio dos estudos sobre
o tema no desenvolvimento do fazer matemtico como demonstrar,
conjecturar, diversificar estratgias para resoluo de problemas que
envolvam nmeros inteiros .
______________
Texto disponvel em: . Acesso em 02 de jul.2008.
-
18
1.2 Questo de pesquisa e objetivo
Diante do interesse de investigar o zero, responderemos
seguinte
questo de pesquisa:
Quais foram as dificuldades encontradas pelas civilizaes, ao
longo da
histria, at institurem o zero como um elemento integrante da
matemtica?
Certamente este trabalho no responder questo na sua ntegra,
mas despertar o interesse pelo assunto, j que foram observadas
poucas
pesquisas sobre o tema.
Por meio da presente pesquisa foi feito um levantamento histrico
da
origem do zero, e relatado o surgimento desse algarismo e nmero
nas
civilizaes babilnica, maia, chinesa e indiana.
-
19
1.3 Desenvolvimento da pesquisa
O desenvolvimento deste trabalho foi feito por meio de uma
pesquisa
bibliogrfica, com a finalidade de conhecer as dificuldades
enfrentadas pelas
civilizaes que surgiram na histria da origem do zero.
A pesquisa bibliogrfica a modalidade de estudo que se prope a
realizar anlises histricas de estudos ou processos tendo como
material de anlise documentos escritos e/ou produes culturais
garimpados a partir de arquivos e acervos. (FIORENTINI; LORENZATO,
2006, p.71).
Segundo Kche (2001), o investigador faz um levantamento de
trabalhos e livros que abordam o tema, com o objetivo de
analisar e avaliar as
principais teorias e assim compreender o desenvolvimento do
processo do objeto
de investigao.
O objetivo da pesquisa bibliogrfica, portanto, o de conhecer e
analisar as principais contribuies tericas existentes sobre um
determinado tema [...] (2001, p. 122).
No captulo 2, foi feita uma reviso bibliogrfica sobre pesquisas
que
retratam a questo do zero. Entre elas, Sentidos Atribudos ao
zero por alunos da
6 srie de Nacarato e Salvador, apresentado na ANPED 2003;
Sentido do zero
de Guimares, dissertao de Mestrado PUCSP - 2008 e A Histria do
Zero de
Pinedo e Sbardelotto 2004.
Finalmente, no captulo 3, sistematizamos os acontecimentos
relacionados histria do zero, encerrando o trabalho com nossas
consideraes
finais.
-
20
CAPTULO II
2 REVISO BIBLIOGRFICA
Esta pesquisa consta de um levantamento bibliogrfico de
artigos,
dissertaes e teses, referente a citaes a respeito do zero, que
contribuem
para responder questo de pesquisa proposta. Dissertaes e teses
foram
pesquisadas em sites da PUC-SP, UNICAMP, UNESP, USP e
universidades
federais. Os artigos foram procurados em revistas cientficas
como: BOLEMA e
Revista do Professor de Matemtica; em anais de congressos como:
ENEM,
ANPED e EBRAPEM; e no Grupo de Ensino e Pesquisa em Educao
Matemtica GEPEM do CEFET Paran unidade Sudoeste-Campus Pato
Branco.
Nessa busca, encontramos apenas trs trabalhos que abordam a
histria da origem do zero.
Eis algumas pesquisas:
2.1 Sentidos Atribudos ao zero por alunos da 6 s rie
(Salvador; Nacarato, 2003)
O artigo de Salvador e Nacarato (2003), apresentado na ANPED
2003,
descreve uma pesquisa feita com 39 alunos de 6 srie, com idades
entre 12 e 14
anos da Escola Pblica Estadual de So Paulo, no perodo de
fevereiro/2002 a
abril/2002, quando as autoras (pesquisadoras) perceberam a
dificuldade dos
alunos em estudar os nmeros inteiros relativos.
O referencial terico dessa pesquisa foram os trabalhos de
Caraa
(1989) e Glaeser (1985). Caraa (1989 apud SALVADOR; NACARATO,
2003) que
-
21
foram essenciais para a compreenso do Princpio das leis formais,
colaborando
para o entendimento de aspectos epistemolgicos dos campos
numricos e
Glaeser (1985 apud SALVADOR; NACARATO, 2003) na compreenso
dos
obstculos epistemolgicos, em que as autoras destacam dois:
[...] dificuldade em unificar a reta numrica manifesta pela
diferenciao qualitativa entre quantidades positivas e
negativas,
pela concepo da reta como mera justaposio de duas semi-
retas opostas, ou, ainda, por desconsiderao do carter
simultaneamente dinmico e esttico dos nmeros; e ambigidade
dos dois zeros: zero absoluto e zero como origem. Estes
obstculos despertaram nosso interesse por envolverem a
questo do zero no campo dos nmeros relativos. (SALVADOR;
NACARATO, 2003, p. 1).
O trabalho teve como objetivos:
- discutir as questes histricas e epistemolgicas relacionadas ao
zero;
- identificar os sentidos que os alunos atribuem ao zero e a
transformao deles no decorrer da prtica pedaggica.
Na investigao das autoras, a questo central foi Quais sentidos
so
atribudos ao zero pelos alunos de 6 srie ao iniciarem o estudo
dos nmeros
relativos e quais contribuies a prtica pedaggica traz a esse
processo de
elaborao conceitual?
No primeiro momento da pesquisa, as autoras pediram que os
alunos
respondessem questo Qual o significado do zero para voc? e
entregassem
por escrito na aula seguinte. Esta fase refere-se sondagem
inicial e decorreu
sem a interferncia das pesquisadoras. Os alunos receberam
explicaes durante
as aulas em que introduziram o estudo da reta numrica,
destacando o zero como
origem.
Durante duas semanas, os alunos tiveram contato com atividades
e
jogos relacionados com nmeros negativos, com a histria do zero,
temperatura,
transaes comerciais e com a reta numrica. Aps esse perodo,
chamado de
-
22
segundo momento pelas autoras, foi feita a mesma pergunta para
que os alunos
respondessem em sala de aula. O objetivo desse momento era
perceber se os
alunos atribuam novos sentidos ao zero.
Quando as pesquisadoras concluram o estudo dos nmeros
relativos
fizeram a mesma questo para que fosse respondida pelos alunos em
sala de
aula, chamando esta fase de terceiro momento. Esse momento teve
como
objetivo se os alunos atribuam novos sentidos para o zero, aps o
estudo dos
nmeros relativos.
As pesquisadoras apresentaram um quadro com a sntese dos
diferentes significados atribudo ao zero, o que as levou a uma
reflexo dos
aspectos pedaggicos relacionados a eles.
Quadro 2.1 Sntese dos diferentes significados do zero (adaptado
SALVADOR;
NACARATO, 2003, p.3)
Significados do
zero
Caractersticas
Zero como
elemento de
contagem
Cardinal de um conjunto vazio;
nem sempre considerado um
nmero natural; de natureza
discreta; impregnado de
quantidade.
Zero como valor
posicional
Representa as ordens vazias, zero
como algarismo; impregnado de
quantidade.
Zero como dado
operatrio
Elemento neutro da adio; anula
o produto em uma multiplicao;
a = 1; 0 indeterminado;
impregnado de quantidade.
Zero como
origem
De natureza contnua; surge para
unificao da reta numrica no
campo dos reais; impregnado de
quantidade.
-
23
A partir destes resultados, as pesquisadoras procuraram
documentos
oficiais a exemplo da Proposta Curricular para o Ensino de
Matemtica de 1 grau
do Estado de So Paulo e os Parmetros Curriculares Nacionais com
o objetivo
de verificar se esses documentos contemplavam os significados do
zero
apresentado na tabela.
Na anlise desses documentos identificaram que na Proposta
Curricular so poucas as consideraes pedaggicas em relao ao zero
e nos
PCN (1997) no conseguiram identificar citaes ao conceito do
zero.
Ao trmino dos trs momentos da pesquisa, as pesquisadoras
elaboraram uma tabela identificando os sentidos que os alunos
atriburam ao zero.
Quadro 2.2 - Sentidos atribudos ao zero (SALVADOR; NACARATO,
2003, p.5)
Sentidos para o zero 1 momento 2 momento 3 momento
Zero absoluto (contagem) 62% 46% 33% Zero como medida (origem)
38% 49% 46% Zero como valor posicional 44% 31% 54% Zero como dado
operatrio 21% 31% 38%
Analisando a tabela, as autoras atribuem esses resultados ao
trabalho
pedaggico. No primeiro momento, os alunos traziam apenas o
conhecimento das
sries anteriores, mas depois das intervenes feitas pelas
pesquisadoras,
acreditavam que um nmero significativo de alunos pudesse
explicitar os sentidos
do zero. A sistematizao do conhecimento no aconteceu de maneira
linear.
_______________
A Proposta Curricular que as autoras se referem Proposta
Curricular para o Ensino de Matemtica 1 grau . So Paulo, 1988.
-
24
Para as autoras, Salvador e Nacarato:
Os conceitos tm histria tanto para a rea de conhecimento quanto
para o prprio sujeito. Assim, o zero teve sua histria no
desenvolvimento da matemtica e tem tambm sua histria para cada um
dos alunos envolvidos nesta pesquisa. O fato de, em cada um desses
momentos, alguns sentidos para o zero terem emergidos mais que
outros no significa, necessariamente, que tenham ou no sido
incorporados pelos alunos. Provavelmente, o aluno explicitou, em
cada um desses momentos, os sentidos que para ele eram
significativos, aqueles que o marcaram mais, ou aqueles que estavam
sendo abordados e, portanto, seriam de expectativa da pesquisadora.
(2003, p. 5-6).
As autoras acreditam que os alunos no tm uma base de
informaes
suficiente a respeito da conceituao do zero, pois as discusses
entre docentes
em relao ao tema so raras.
A insero da trajetria histrica do zero possibilitou-nos
compreender o quanto a sua criao pelas civilizaes antigas foi
complexa. Pensar no nada e ter que associar algo a esse nada deve
ter sido provavelmente muito difcil para essas civilizaes. Mas,
mesmo com condies precrias e limitadas em termos tecnolgicos, se
comparadas s atuais, ousaram e conseguiram com xito criar um smbolo
para representar o nada, motivados por necessidades de ordem
prtica. Nesse sentido, a prtica pedaggica poderia recuperar essa
trajetria para problematizar o prprio conceito do zero. (SALVADOR;
NACARATO, 2003, p. 15).
Neste artigo percebemos a importncia de o aluno conhecer a
trajetria
histrica do zero para compreender melhor seu conceito. Alm
disso, traz para o
meio acadmico informaes sobre a forma como os alunos atribuem
sentidos ao
zero.
2.2 Sentido do zero (Guimares, 2008) Na dissertao de Mestrado de
Guimares (2008), intitulada Sentido do
Zero encontramos um estudo focado para os sentidos atribudos ao
zero por
alunos de diferentes idades da escolaridade obrigatria.
-
25
A autora realizou entrevistas em escolas pblicas da cidade de
Taubat
SP, formulando a seguinte questo O que para voc o zero?. As
entrevistas
com os alunos do Ensino Infantil ao Ensino Mdio Regular e Educao
de jovens
e adultos, foram feitas oral, individualmente e em grupo. Foram
tambm
realizadas de forma coletiva e oral em 4 classes, de 20 alunos
em mdia, da
Educao Infantil (3 a 7 anos). E individualmente com 37
entrevistados do Ensino
Fundamental e Ensino Mdio.
Com o trmino desta etapa do trabalho, a autora leu a obra Os
zeros e
os Infinitos Vergani (1991 apud GUIMARES, 2008) que trabalhou a
seguinte
questo Escreva com suas palavras o que para voc zero. A questo
foi
formulada para 170 alunos de 7 e 8 sries do Ensino Fundamental,
1 e 3 anos
do Ensino Mdio Regular e 1 e 3 anos do Ensino Mdio Educao de
Jovens e
Adultos, de forma individual e escrita.
O fenmeno estudado por Guimares (2008) foi o zero, e a partir
de
uma reflexo aps a coleta de dados localizou as unidades de
significados,
apoiando-se em Garnica (1997 apud GUIMARES, 2008), por meio de
discursos
e descries dos alunos. A autora criou quatro unidades de
significados. So elas:
[...] os sentidos atribudos ao zero pelos alunos: o zero como
tcnica matemtica, o zero conceitual, o zero como uma tcnica social
e o zero como uma metfora. (GUIMARES, 2008, p. 27).
Em suas anlises, Guimares (2008, p. 63-64) descreveu os critrios
de
cada unidade de significados.
Zero como tcnica matemtica: entrevistas referentes s tcnicas
para
explicar o zero no contexto matemtico acadmico.
Zero conceitual: entrevistas em que os alunos procuram o
conceito do
zero, ou ainda buscam uma explicao para o zero, no s dentro como
tambm
fora do contexto matemtico. Exemplos: tem valor, vazio, etc.
-
26
Zero como uma tcnica social: entrevistas em que o zero aparece
com
uma tcnica usada em vrios momentos sociais. Um exemplo o zero
como nota
em prova escolar.
Zero como metfora: expresses idiomticas que utilizam o zero
como
metfora. Exemplos: zero esquerda e comear do zero.
O Programa Etnomatemtica de DAmbrosio (2002 apud GUIMARES,
2008) foi utilizado como referencial terico para analisar e
localizar as unidades
de significados.
Segundo Guimares,
ETNOMATEMTICA TICAS (maneiras, modos, tcnicas) de MATEMA
(explicar, conhecer, entender, lidar, conviver) em diversas ETNOS
(realidade natural e sociocultural). Os alunos de diferentes
idades, sries, crenas (ETNOS) utilizaram de diferentes maneiras,
modos, tcnicas (TICAS) para explicar, entender (MATEMA) o zero.
(2008, p. 28).
A autora traz os depoimentos dos alunos que participaram da
pesquisa,
caracterizando-os de acordo com critrios destacados
anteriormente.
Na Educao Infantil, foi realizada uma entrevista oral e em grupo
com
alunos entre 3 e 7 anos de idade. A pergunta realizada foi o que
significava para
eles o zero.
No primeiro momento a questo foi feita aos alunos de 3 anos e no
se
obteve resposta. A autora ento insistiu, formulando de outra
maneira a mesma
questo: apontando para uma mesa vazia, perguntou quantos lpis
havia sobre a
referida mesa. Os alunos comearam falar vrios nmeros.
Para as crianas de 3 a 6 anos, a autora fez a mesma pergunta e
as
respostas variaram entre diferentes nmeros, inclusive o zero. J
os alunos na
faixa etria entre 6 e 7 anos, responderam com o zero, ou que no
havia nada
sobre a mesa.
-
27
No Ensino Fundamental, Guimares (2008) descreve o depoimento
de
cada aluno e os caracteriza nas unidades de significados. Na
entrevista com os
estudantes de 1 a 4 sries ningum se referiu ao zero como uma
metfora.
Ensino Mdio, 1 a 3 sries, e ensino de jovens e adultos EJA,
o
procedimento foi o mesmo do ensino fundamental.
No captulo O ZERO NA HISTRIA, Guimares (2008) faz citaes
relacionadas aos Sistemas de Numerao e o zero.
Os egpcios, h mais de 5 000 anos, tinham um sistema aditivo
de
numerao com inscrio para os seguintes nmeros:
Figura 2.1 Nmeros egpcios (GUIMARES, 2008, p. 35)
Como esse sistema de numerao no era posicional no havia
necessidade do algarismo zero.
-
28
Os gregos sofreram uma influncia dos egpcios ao utilizar letras
no
lugar dos desenhos egpcios, desenvolvendo um sistema mais
sofisticado. Como
mostra a figura:
Figura 2.2 Nmeros gregos (GUIMARES, 2008, p. 36)
Os gregos tiraram da representao do nmero sua caracterstica de
referncia de quantidade e como utilizavam o princpio aditivo na
escrita dos nmeros, no era necessrio a presena do zero algarismo.
(GUIMARES, 2008, p. 37).
O sistema de numerao romana tambm utilizava o princpio aditivo
e
letras. Dessa forma no precisavam do algarismo zero.
-
29
A partir das citaes feitas por Guimares (2008) em relao aos
sistemas de numerao e o zero nas civilizaes babilnica, maia,
hindu e
chinesa, aprofundaremos a questo em captulo posterior.
Os babilnios tinham um sistema posicional (o valor do
algarismo
dependia da posio ocupada por ele) de base sessenta e utilizavam
apenas dois
smbolos:
Figura 2.3 Nmeros babilnicos (GUIMARES 2008, p. 37)
At o nmero 59, utilizavam o princpio aditivo e, a partir da,
era
utilizado o sistema posicional. Quando faltava uma ordem,
deixavam um espao
entre os smbolos, para indicar o algarismo zero. Para evitar
dvidas em relao
a esses espaos, por volta de 300 a.C., os babilnios criaram um
smbolo para o
zero: duas cunhas inclinadas. Assim:
O sistema de numerao maia apresentava-se na base vinte e
utilizava
apenas trs smbolos:
Figura 2.4 Smbolos da numerao maia (GUIMARES, 2008, p. 40)
At o nmero dezenove, usavam o princpio aditivo, com os
smbolos
acima. A partir do nmero vinte, representavam de maneira
vertical, de cima para
baixo. Conforme a figura:
-
30
Figura 2.5 Representao do nmero 79, no sistema de numerao maia
(GUIMARES, 2008, p. 41)
O zero algarismo surge nos sistemas de numerao Babilnica e Maia.
Os Maias utilizavam o zero algarismo em todas as posies, diferente
dos Babilnios, que s o utilizaram nas posies intermedirias. Os
indianos apropriaram-se das idias babilnicas e as aperfeioaram,
formando o nosso atual sistema de numerao decimal. (GUIMARES, 2008,
p. 44).
O sistema de numerao hindu utilizava nove algarismos distintos,
o
princpio aditivo e a base que era dez. Como esse sistema era
muito limitado,
segundo Ifrah (1998) e os hindus tinham interesse pela
astronomia, houve a
necessidade de aprimor-lo, atribuindo uma palavra para cada um
dos nove
nmeros, da seguinte maneira:
-
31
Quadro 2.3 Escrita dos nmeros hindus (Adaptada GUIMARES, 2008,
p. 46)
Nmero Palavra
1 eka
2 dvi
3 tri
4 catur
5 paca
6 sat
7 sapta
8 asta
9 nava
O nmero era escrito da esquerda para a direita, comeando
pela
unidade simples, vindo em seguida as potncias de dez. Para
simplificar essa
escrita, os indianos tiraram os nomes das classes e deixaram a
localizao dos
algarismos. Ento para representar o nmero 3 709, utilizavam a
seguinte
notao: nava sapta sata ca tri sahasra (nove, sete centos e trs
mil).
Ainda numa forma verbal, nasceu o sistema de posio indiano. Para
a escrita de nmeros como 301 no bastava dizer Um Trs, facilmente os
sbios indianos contornaram esta situao recorrendo a palavra snya,
que significa vazio. (GUIMARES, 2008, p. 46).
Os nmeros eram representados em um baco, agora da direita para
a
esquerda como usamos atualmente deixando um espao vazio na
ausncia de
uma ordem numrica, dando origem ao zero. O zero foi simbolizado
por um ponto.
Algumas modificaes ocorreram na representao dos algarismos
indianos e estas foram introduzidas na imprensa no sculo XV.
Foram os rabes que divulgaram esse sistema de numerao, e por
isso os algarismos hoje so conhecidos como indo-arbicos.
-
32
Em sua pesquisa, Guimares (2008) aponta alguns aspectos da
origem do
zero ao longo da histria, mas tambm categoriza os sentidos que
alunos de
diversas idades atribuem ao zero. A divulgao desses dados
importante para o
meio acadmico, pois assim possvel conhecer um pouco sobre como
os alunos
entendem o zero.
2.3 Histria do Nmero Zero (Pinedo e Sbardelotto, 2004)
Nesse artigo publicado no boletim do Grupo de Ensino e Pesquisa
em
Educao Matemtica GEPEM em 2004, Pinedo e Sbardelotto discorrem
sobre
a origem da notao do zero nos diferentes momentos da histria,
nas diversas
civilizaes, entre outras a babilnica, a chinesa, a maia e a
indiana.
Os autores concluram que as civilizaes babilnica, chinesa, maia
e
hindu descobriram o princpio de posio e foram as primeiros da
histria que
puderam representar um nmero qualquer.
As civilizaes babilnica e maia s utilizavam o zero para
representar a
ausncia das unidades de uma ordem. Assim o zero foi institudo
para representar
a quantidade nula, s como algarismo.
Pinedo e Sbardelotto (2004) fazem uma retrospectiva do
surgimento do
zero desde os primrdios at os dias de hoje, para um melhor
entendimento de
sua importncia ao longo dos tempos.
O trabalho dividido em:
-
33
2.3.1 Antes de Cristo
2.3.1.1 Os Babilnios
Por volta de 1 200 a.C., os babilnios segundo Pinedo e
Sbardelotto
(2004) no conheciam o conceito do zero e utilizavam um sistema
posicional
cuneiforme, de base sessenta, conhecido na Mesopotmia. Em
aproximadamente
400 a.C., usavam no lugar vazio, ou seja, na falta de uma
potncia de
sessenta. Outra notao que representava o vazio era , em
aproximadamente 700 a . C.
2.3.1.2 Os Olmecas
Em 1 000 a.C. essa civilizao, considerada a mais antiga da Costa
do
Golfo do Mxico e antecessora dos maias, inventou um sistema de
numerao
posicional, em que o zero estava includo.
2.3.1.3 Parmnides (500 a.C.)
Foi um filsofo grego, que criou O Paradoxo do Julgamento
Negativo,
que diz: se uma afirmao declara que certa coisa existe ento sua
negativa
indicar algo que no existe; ora, uma frase sobre algo que no
existe uma frase
sobre nada e ento impossvel. Em seus dilogos, Plato utiliza esse
paradoxo
para concluir que impossvel existir grandeza nula.
2.3.1.4 Na China (400 a.C.)
Nessa poca, os chineses usavam um baco para fazer clculos e
na
ausncia de dezena, deixavam casa vazia para indicar o zero. Mas
esse
-
34
procedimento foi insuficiente, ento incluram alguns signos na
numerao
chinesa para representar potncias de dez. Mais tarde, no sculo
VII d.C., os
sbios chineses instituram o zero.
2.3.1.5 Os gregos
Ao que se sabe os gregos e romanos no conheciam o zero,
portanto
no havia um sistema de numerao posicional. O signo 0 (zero) era
usado por
matemticos envolvidos com a astronomia, de uma forma simblica.
Esse fato
explicado por algumas teorias.
Uma dessas teorias explica que micron a primeira letra da
palavra grega oudewn (nada, a saber). Anteriormente a essa
designao, o micron restringia-se a representar o nmero 70. (PINEDO;
SBARDELOTTO, 2004, p. 4).
2.3.2 Depois de Cristo
2.3.2.1 Ptolomeu (150 d.C.)
Em seu livro Syntaxis Mathemtica (Almagesto em rabe) usa o
algarismo zero para representar os nmeros de tabelas
trigonomtricas e
astronmicas. No sistema sexagesimal, ele utiliza o zero medial e
final (por
exemplo: 205 e 250). Os registros desse livro so apenas cpias e
por esse
motivo h controvrsias sobre se o smbolo usado para representar o
zero era a
letra grega micron (nosso smbolo zero).
2.3.2.2 Os maias (250 900 d.C.)
Esse povo da Amrica Central (hoje: Mxico Meridional e
Guatemala)
desenvolveu um sistema de nmero de posio usando o algarismo
zero. O
Uaxactun um artefato produzido pelos maias, considerado um dos
documentos
-
35
mais antigos a apresentar um zero, para indicar a ausncia de uma
ou mais
ordens do sistema de base vinte. Esse sistema era utilizado
principalmente para
o registro do tempo em calendrios.
O Pestac o mais antigo documento encontrado que relata o sistema
de numerao posicional dos Maias usando o zero, este documento
datado de 665 d.C. Neste sistema usavam o desenho de uma concha ou
de um caracol para representar simbolicamente o zero, que era
chamado de xixim . (PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p. 5).
2.3.2.3 Os indianos
Esse povo foi o primeiro que reconheceu o sistema de posio com
os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e o elemento zero. Como
utilizavam o baco
para realizar clculos, na ausncia de uma ordem deixavam um sulco
vazio.
Assim surgiu a necessidade de um smbolo para representar esse
espao, que
foi um ponto chamado de snya, no perodo entre os sculos III e
IV, segundo o
manuscrito de Bakhshali. A palavra snya significa vazio e indica
casa nula.
Entrou para o rabe como sifr, que significa vago. E foi
transliterado para o latim como zephirum ou zephyrum em meados de
1200, mantendo-se seu som, mas no seu sentido. A partir disso
ocorreram mudanas sucessivas, e a palavra tornou-se zeuero, zepiro
e cifre. (PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p. 6).
_______________________________
Transliterao: em sentido estrito, um mapeamento de um sistema de
escrita em outro. Tenta ser sem perdas, isto , o leitor informado
deve poder reconstruir a ortografia original de palavras
transliteradas que desconhece. Para consegui-lo, deve definir
convenes complexas sobre como transliterar letras que no tm
correspondncia direta na escrita de destino. Disponvel em:<
http://pt.wikipedia.org/wiki/Translitera%C3%A7%C3%A3o>. Acesso
em 14 jul.2008.
-
36
Os autores citam nomes de pessoas famosas que, de alguma forma
se
referiram ao zero. So eles:
2.3.2.3.1 Varahamihica (505 - 587)
Matemtico indiano que utilizou um crculo para indicar o
algarismo
zero, no seu livro Panca Siddhantika.
A matemtica indiana comeou a usar o zero em meados de 650. O
zero foi concebido como nmero para representar a quantidade de
nenhum
objeto. Com o surgimento dos nmeros negativos, a idia do nmero
zero ficou
mais abstrata. Os matemticos indianos Brahmagupta, Mahavira e
Bhaskara
escreveram seus livros, tentando buscar solues para as operaes
aritmticas
de adio, subtrao, multiplicao e diviso entre os nmeros negativos
e o zero.
2.3.2.3.2 Brahmagupta (598 670)
Em seu livro Brahmasphuta Siddhanta, o matemtico explica
operaes
envolvendo o zero, atravs de regras para a adio, subtrao,
multiplicao e
diviso. Em sua poca, conseguiu perceber a relao que havia nos
clculos. S
no conseguiu explicar corretamente a diviso de um nmero por
zero, afirmando
que n/0 e zero dividido por zero zero.
2.3.2.3.3 Mahavira (800 870)
Por volta de 830 d.C., ele escreveu sua obra prima, Ganita
Sara
Samgraha, que foi uma atualizao do livro de Brahmagupta. Mas
ainda no
conseguiu explicar de maneira correta a diviso de um nmero por
zero,
afirmando que: Um nmero permanece inalterado quando dividido por
zero.
-
37
2.3.2.3.4 Al-khwarizmi (790 850)
Esse matemtico divulgou o sistema posicional decimal e suas
tcnicas
de clculo para o mundo Islmico e o zero para o mundo rabe,
atravs de seu
livro Al-khawarizmi on the Hindu.
2.3.2.3.5 Gelbert d Aurillac (950 1003)
Foi um monge francs, que mais tarde tornou-se Papa. Em 980
viajou
pela Espanha Islmica e conheceu o sistema de numerao indiano.
Tentou
transmitir para o Mundo Cristo as tcnicas de clculo no baco, mas
talvez no
entendesse bem, em particular, a importncia do zero. Assim sua
tentativa
fracassou.
2.3.2.3.6 Ibn Ezra (1092 1167)
Foi um rabino que pela primeira vez tratou do problema do valor
da
posio, no ocidente. Destacou as vantagens dos sinais indianos e
salientou a
importncia do zero. Escreveu trs tratados que levaram os smbolos
indianos e
as idias de fraes para as pessoas instrudas da Europa. Em seu
trabalho, O
livro do nmero, aponta o sistema decimal para os inteiros, com
valores de
posio. O zero era chamado de galgal (roda o crculo).
2.3.2.3.7 Bhaskara (1114 1185)
Conseguiu expressar o problema da diviso de um nmero por
zero,
afirmando que: Uma quantidade dividida por zero se torna uma
frao com
denominador igual a zero. Esta frao determina uma quantidade
infinita.
(PINEDO; SBARDELOTTO, 2004, p.8).
-
38
Esta colocao no estava correta a de Bhaskara, pois ao afirmar
que
=0
n, estaria correto dizer que zero multiplicado por infinito
deveria ser igual a n,
ou seja, qualquer nmero. O que seria um absurdo, pois todos os
nmeros seriam
iguais. No entanto, ele revelou propriedades corretas envolvendo
o zero. Como 0
=0 e 00 = .
2.3.2.3.8 Fibonacci (1175 -1240)
Chamado Leonardo de Piza, Fibonacci foi um matemtico que em
uma
de suas viagens pelo Isl, conheceu e aprendeu a utilizar o
sistema indiano.
Escreveu o livro Lber Abaci e junto com a obra de al-khwarizmi
on the Hindu Art
of Reckoning, o sistema indo-arbico foi introduzido no Mundo
Cristo. Nessa
poca, o zero era visto com desconfiana e Fibonacci no lhe deu
maior
destaque. Simplesmente tratou-o como os outros algarismos. Esse
matemtico foi
o responsvel pela comunicao do sistema de numerao indo-arbico
Europa.
2.3.2.3.9 Sacrobosco (1200 1256)
Foi o responsvel pela divulgao do sistema posicional decimal e
de
suas tcnicas de clculo na comunidade cientfica, atravs de sua
obra
Algorismus Vulgaris. A aceitao do sistema pelos comerciantes e
pela populao
exigiu tempo. Houve uma resistncia muito grande ao novo sistema,
uma vez que
por muitos sculos haviam recorrido aos nmeros romanos e ao baco
por muitos
sculos.
Entre os sculos XII e XIII, os trabalhos deixados pelo
matemtico
Jordano Nemorrios, nas reas de aritmtica, lgebra, geometria e
estatstica,
viabilizaram a divulgao da numerao rabe na Alemanha.
Pinedo e Sbardelotto (2004) concluem que os babilnios e os
maias
inventaram um signo para o zero com o objetivo de marcar a
ausncia de uma
-
39
ordem, mas no atriburam o estatuto de um nmero para indicar a
quantidade
nula.
Com a introduo do conceito do nmero zero pelos hindus, foi
possvel
verificar os vrios aspectos do zero: nmero, numeral e
algarismo.
Nesse artigo de Pinedo e Sbardelotto (2004), observando cada
etapa do
desenvolvimento da humanidade no sentido do conhecimento,
pudemos constatar
as dificuldades encontradas pelos matemticos no estudo do zero.
Os autores
mostram, de maneira muito clara, os fatos que envolveram a
descoberta do zero.
2.4 Consideraes sobre as pesquisas
As pesquisas citadas contriburam muito para este trabalho, pois
a partir
delas foi possvel conhecer os fatos histricos que marcaram a
trajetria da
descoberta do zero nas antigas civilizaes. Alm disso, pudemos
avaliar a
importncia do aluno ter acesso a essa histria, para que ele
tenha um melhor
entendimento do conceito do zero.
Comparando os trabalhos apresentados por Salvador e Nacarato
(2003)
e os estudos de Guimares (2008), observamos certa semelhana
entre eles, j
que Guimares citou e de alguma forma se inspirou no trabalho de
Salvador e
Nacarato. Em seus trabalhos so investigados os sentidos que
alunos de diversas
faixas etrias atribuem ao zero.
A pesquisa de Pinedo e Sbardelotto (2004) foi utilizada como
inspirao
para este trabalho, pois retrata a histria do zero.
-
40
CAPTULO III
3 A ORIGEM DO ZERO NA HISTRIA
3.1 Importncia da histria da matemtica no ensino
Struik (1985 apud NAKAMURA, 2008, p. 19 -20) mostra em seu
trabalho
alguns aspectos que tornam a histria da matemtica mais atrativa.
Entre esses
aspectos, destacaremos alguns:
As pesquisas dos autores clssicos, alm de gratificante em si
mesmo,
podem ser um importante auxiliar no ensino e na pesquisa;
Possibilitam um campo mais abrangente, em que especialistas da
rea de
matemtica e de outras reas podem encontrar interesses em
comum;
Proporcionam uma melhor compreenso dos conceitos da educao
matemtica no passado e no presente;
Tornam possvel ilustrar e deixar mais interessante o ensino da
matemtica
atravs de historietas.
Mendes (2001) considera importante o uso da Histria da
Matemtica
como recurso de ensino e faz a seguinte reflexo:
[...] o professor poder us-la como fonte de enriquecimento
pedaggico e conduzir suas atividades num caminhar crescente, em que
o aluno investigue, discuta, sintetize e reconstrua as noes
matemticas anteriormente vistas como definitivas sem que o aspecto
histrico tivesse sido usado para despertar o interesse de quem as
aprende. (p. 32).
-
41
Aps a anlise dos trabalhos citados, percebemos que o conceito
do
zero bastante complicado, pois a noo de algarismo diferente da
noo de
nmero. Talvez s seja possvel atingir a noo de zero, quando for
possvel
quantificar o nada.
Neste captulo, pretendemos fornecer uma viso geral da origem
e
evoluo do conceito de algarismo e de nmero zero, desenvolvido
nas antigas
civilizaes, fazendo uma anlise sobre os fatos histricos
relacionados ao zero.
O algarismo zero surgiu aps os outros, de modo independente,
nas
vrias civilizaes. Essa inveno revolucionou a matemtica, at que
fosse
reconhecido, como um elemento de grande importncia.
Para Schenberg (2001), os gregos apresentavam dificuldades
em
aceitar o conceito do vcuo e a existncia do vazio. Portanto os
gregos no
conseguiram criar o nmero zero, pois o zero o nada.
Parece que os indianos tinham uma idia do mundo muito diferente
da dos gregos. A idia indiana dos nmeros era mais moderna. Eles
consideravam os nmeros como smbolos operacionais, alm de serem
coisas. Em particular eles j reconheciam a importncia deste nmero
zero, que justamente a unidade do grupo aditivo dos inteiros. Alm
de suas caractersticas algbricas, a idia do vazio era um elemento
fundamental no deus hindu, pois no fundo o vazio era identificado
como a divindade. (p. 30).
Apesar da inveno do zero ter sido atribuda aos hindus, pois
foram
eles que criaram o nmero e o algarismo, outros sistemas de
numerao
desenvolveram o conceito parcial do zero, ou seja, s do
algarismo.
Provavelmente, segundo Kaplan (2001), o zero teria aparecido
pela
primeira vez entre os sculos IV e III a.C., na civilizao fencia,
que instituiu a
notao posicional. Essa notao necessitaria de um smbolo para
representar a
ausncia da unidade de uma ordem.
-
42
H evidncias de que no Vale do Indo4 (Mohenjo Daro Harappa)
era
usado um smbolo circular representando o zero em rguas
graduadas.
Figura 3.1 Mapa do atual Paquisto, antiga civilizao indiana
(BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p. 44)
_______________
4 A civilizao do vale do Indo, fica no Paquisto atual. O nome
que tem sido usado, desde a dcada de 80 Civilizao Harappeana
(devido cidade de Harappa), at porque essa foi uma cultura que se
espalhou por uma rea extensa e no apenas pelo vale do rio Indo. Em
1947, a ndia foi dividida em ndia e Paquisto. O Paquisto se formou
em torno do vale do rio Indo, centro sul da sia. No oeste est
limitado pelos montes Suliman, ao norte est o Himalaia. Nas divisas
com a ndia e o Ir existem desertos. O Paquisto atual faz fronteiras
com o Ir, Afeganisto, China e ndia. O rio Indo, nasce no Tibet e
corta o pas de norte a sul, escoa no Mar Arbico formando um imenso
delta.
Disponvel em: . Acesso em 1 abril 2008.
-
43
Segundo Dantzing (1970),
Vemos, portanto, que nenhum progresso era possvel at que se
inventasse um smbolo para uma classe vazia, um smbolo para o nada,
o nosso zero moderno. A mentalidade concreta dos antigos gregos no
podia conceber o vazio como um nmero, e no endossaram o vazio com
um smbolo. (p.40).
Vejamos algumas civilizaes que apresentaram avanos na
trajetria
da inveno do zero.
3.2 A civilizao babilnica
A civilizao babilnica apresentou um sistema de numerao
admirvel
para a poca, pois era a posio do algarismo que de fato
determinava o seu
valor.
A Babilnia est localizada na Mesopotmia, a 80 km ao sul de
Bagdh.
Fundada por volta de 2 000 a.C. pelo povo amorita, que veio do
deserto da Arbia,
chegou Mesopotmia e se instalou na Babilnia.
A Mesopotmia uma regio do Oriente localizada entre os rios
Eufrates e Tigre. O significado de Mesopotmia na lngua grega
terra entre
rios, como mostra o mapa a seguir:
-
44
Figura 3.2 Mapa do Imprio Babilnico. (COTRIM, 1995, p. 50)
Como a base do sistema babilnico era sexagesimal (base
sessenta),
os nmeros de 1 at 59 eram representados de maneira aditiva,
utilizando dois
smbolos: um cravo vertical representando a unidade e uma
asna
representando 10 unidades. Conforme figura:
-
45
Figura 3.3 Smbolos da numerao babilnica (Adaptada IFRAH, 1997,
p.295)
Esses smbolos eram agrupados bem juntos, formando o equivalente
a
uma nica cifra.
A partir do nmero 60, o sistema passava a ser posicional, ou
seja, os
valores dependiam da posio em que se encontravam e eram lidos da
direita
para a esquerda, deixando um espao adequado entre os grupos de
smbolos.
Em muitas representaes numricas, o contexto exclua a
ambigidade
do valor, mas em alguns casos, como por exemplo, o nmero 25
poderia ser
confundido com o 615 ou com o 4 305.
Figura 3.4 Representaes dos nmeros 25, 615 e 4 305, no sistema
de numerao
babilnico (IFRAH, 2001, p.240)
Os escribas babilnios no tinham um smbolo para indicar a
posio
vazia, mas com a inteno de tentar solucionar esse problema e
evitar confuses,
deixaram um espao vazio para indicar com clareza a passagem de
uma ordem
sexagesimal para a outra, pois essas notaes eram muito
parecidas.
Durante quinze sculos, os matemticos e astrnomos babilnios
ignoraram esse fato. Ento houve a necessidade de usar um smbolo
para
representar esse espao, que no poderia ser nada. Muitas vezes os
escribas
omitiam esse espao. Era difcil simbolizar a ausncia de duas ou
mais ordens de
-
46
unidades consecutivas. No sculo III a.C., os matemticos e
astrnomos
babilnios usaram o zero para representar a ausncia de unidades
sexagesimais.
Posteriormente este espao foi substitudo por um sinal
cuneiforme
(duplo prego oblquo, ou dois pregos sobrepostos), para que no
surgissem
dvidas. Criou-se um smbolo para indicar a ausncia de uma potncia
de
sessenta, representado pela notao .
Segundo Eves (2004),
Este smbolo era, portanto, apenas um zero parcial, pois um zero
verdadeiro serve para indicar as potncias ausentes da base tanto no
meio como no final dos nmeros, como o caso de nossos 304 e 340. No
sistema de numerao babilnico, ento, 10 804 aparecia como: (p.
36).
Figura 3.5 Representao do nmero 10 804 no sistema de numerao
babilnico (EVES, 2004, p. 36)
O sentido dado ao zero pelos sbios da poca foi de vazio (ausncia
de
unidade de uma ordem), considerando-o, portanto, como algarismo.
E no como
nmero, resultado de uma subtrao, como em vinte menos vinte.
Julgavam
desnecessria a representao dessa quantidade.
Vazio e nada j eram concebidos, mas ainda no eram
considerados
sinnimos. (IFRAH, 2001, p. 243).
-
47
3.3 A civilizao maia
O povo maia habitou a Amrica Central (atualmente o Mxico
Meridional
e a Guatemala) durante mais de 1 000 anos, com inicio na era
Crist.
Figura 3.6 Mapa da regio dos maias (BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p.
32)
Esse povo desenvolveu um sistema de numerao muito complexo
que
tinha como base a vintena e as potncias de vinte, talvez pelo
fato de os
ancestrais contarem os dedos dos ps e das mos.
Os nicos registros numricos da civilizao maia de que se tem
notcia,
referem-se astronomia. Essa numerao foi estruturada por meio de
smbolos,
pontos e traos e no efetuavam operaes aritmticas. Provavelmente
os
smbolos serviam para mostrar os clculos j efetuados, com o
emprego de um
instrumento semelhante a um baco.
Os maias, para representarem os nmeros de um at dezenove
utilizavam pontos e traos, aos quais atribuam o valor de um e de
cinco,
-
48
respectivamente. Posicionavam os smbolos na vertical e na
horizontal, de forma
aditiva. Da seguinte maneira:
Figura 3.7 Representao dos dezenove primeiros nmeros do sistema
de numerao dos maias (IFRAH, 1997, p.639)
Os nmeros superiores a vinte eram escritos verticalmente e as
ordens
eram somadas. Nos nmeros compostos por duas ordens, o algarismo
da primeira
ordem ficava no patamar inferior e o da segunda ordem no patamar
superior e era
multiplicado por vinte.
Para a representao do nmero 21 (1x20 + 1), usavam a seguinte
notao:
Figura 3.8 Representao do nmero 21 no sistema de numerao maia
(Adaptada IFRAH, 1997, p.640)
-
49
No havendo essa regularidade, o algarismo da terceira ordem,
era
colocado no patamar superior ao da segunda ordem e representava
mltiplos de
360.
A notao do nmero 4 399 era:
Figura 3.9 Representao do nmero 4 399 no sistema de numerao maia
(Adaptada IFRAH, 1997, p.640)
Para as ordens seguintes, usavam a base vinte, ou seja, a
quarta
ordem vale vinte vezes a ordem inferior que 20x360 = 7 200, a
quinta ordem
vale 20x7 200 = 144 000 e assim por diante.
Devido a essa irregularidade, os sbios maias no puderam
desfrutar da
descoberta do sistema posicional nos campos do clculo e da
aritmtica.
No caso da ausncia de certa ordem, os maias atriburam um
smbolo,
semelhante a uma concha ou caramujo, que representaria o
algarismo zero.
Assim o nmero 1 087 200, era indicado:
-
50
Figura 3.10 - Representao do nmero 1 087 200 na numerao maia
(Adaptada IFRAH, 1997, p.641) Os manuscritos de Cdex de Dresden5
mostram a existncia do zero para
indicar a falta de uma ordem.
____________
5Tratado de astronomia e adivinhao copiada no sculo IX ,
redigido trs ou quatro
sculos antes. (IFRAH, 2001, p. 250).
-
51
Figura 3.11 Cdex de Dresden (IFRAH, 1997, p. 642)
-
52
Figura 3.12 Transcrio das menes numricas que figuram no
documento anterior
(IFRAH, 1997, p. 642)
-
53
Quadro 3.1 - Notao dos nmeros da figura 3. 11 (IFRAH, 1997,
p.643)
Temos provas, por estes registros, de que os sbios maias
descobriram
o princpio posicional e inventaram o zero.
As descobertas no foram um fenmeno partilhado por todos os povos
ao mesmo tempo. Este o caso do conceito de zero, que os povos
ocidentais precisaram esperar a Idade Mdia para que lhes fosse
transmitido pelos rabes, que tinham, por sua vez, recebido dos
sbios da ndia. (IFRAH, 1997, p. 643).
As descobertas mais importantes dos maias foram: utilizao de
um
sistema de numerao vigesimal com notao posicional e um smbolo
especial
para o zero.
-
54
3.4 A civilizao chinesa
O povo chins h mais de trs mil anos, j utilizava um sistema
de
numerao decimal.
Figura 3.13 Mapa da China (BIANCHINI; PACCOLA, 2001, p. 37)
Esse sistema era formado por treze sinais, sendo que nove
correspondentes s unidades de um a nove, e quatro s potncias de
dez (dez,
cem, mil e dez mil).
-
55
So eles:
Figura 3.14 Sinais numricos do sistema de numerao chins (IFRAH,
1997, p. 551)
Esse sistema de numerao era baseado em um princpio hbrido,
ou
seja, aplicava-se o princpio multiplicativo para indicar as
dezenas, centenas,
milhares e dezenas de milhares (multiplicando-se o algarismo de
um a nove pelas
dezenas, centenas, etc.) e o princpio aditivo para somar as
dezenas, centenas,
milhares e dezenas de milhares indicadas. Assim, para
representar o nmero
9 564, faziam a decomposio da seguinte forma:
-
56
9 x 1000 + 5 x 100 + 6 x 10 + 4
Figura 3.15 Representao do nmero 9 564 no sistema de numerao
chins (Adaptada IFRAH 2001, p.236)
Dessa maneira no era necessrio um smbolo para representar o
zero
nesse sistema de numerao. Para representar o nmero 504, bastaria
decomp-
lo assim:
5 x 100 + 4
Figura 3.16 - Representao do nmero 504 no sistema de numerao
chins (Adaptada IFRAH, 1997, p.556)
S a partir do sculo VIII d.C., com a influncia dos hindus, os
sbios
chineses passaram a utilizar um smbolo para representar o zero
na falta de uma
ou mais potncias de dez, evitando, assim, qualquer erro de
interpretao.
Utilizam at hoje a palavra ling e o signo para indicar o zero
chins. Portanto o
nmero 504 passou a ser representado desta maneira:
-
57
5 x 100 + 0 + 4
Figura 3.17 - Representao do nmero 504 no sistema de numerao
chins, com um smbolo para o zero (Adaptada IFRAH, 1997, p.556)
3.5 A civilizao hindu
Segundo Ifrah (2001), os historiadores do incio do sculo XX
contam
que o nosso sistema de numerao decimal teria tido sua origem no
comeo da
era crist, na Grcia antiga.
No sculo V d.C., no norte da ndia, surgiu o antecedente do
nosso
sistema moderno de numerao, com as bases de clculo que so usadas
at
hoje. Documentos comprovam que esse fato foi proclamado pelos
rabes, a quem
foi atribuda esta descoberta, juntamente com a indiana.
-
58
Figura 3.18 Mapa da regio da ndia e Arbia Saudita6
O sistema de numerao dos indianos era constitudo por nove
algarismos distintos. Esses smbolos, mais tarde, originaram o
que chamamos de
algarismos indo-arbicos. Embora eles ainda no usassem a regra de
posio,
j consideravam a base dez e o princpio aditivo. Sendo assim,
tinham uma
representao diferente para cada nmero.
Para representar o nmero 7 629, era preciso colocar os
algarismos
nesta ordem 7 000, 600, 20 e 9, como vemos a seguir:
____________________________
6Disponvel em . Acesso em 14 jul. 2008
-
59
Figura 3.19 Representao do nmero 7 629 na numerao hindu (IFRAH,
2001,
p.266)
Esse sistema de numerao no podia representar nmeros muito
elevados, portanto no supria a necessidade dos astrnomos.
Para tentar resolver esse problema, os hindus representavam os
nmeros
por meio da escrita, atribuindo-lhes um nome em snscrito (lngua
hindu que
vigorou durante muito tempo). Esse fato levaria descoberta do
princpio
posicional e do zero.
Varahamihira (500 d.C.) foi um famoso sbio indiano que utilizou
um
pequeno crculo para representar o algarismo zero. Escreveu o
livro Panca-
Siddhantika. provvel que os indianos, desde 300 d.C., j
estivessem usando
um ponto, que era chamado de pujyam, para denotar o zero.
O povo hindu utilizava o baco, que eram meros sulcos feitos na
areia,
onde colocavam pedras, para realizar seus clculos. Cada sulco
era a
representao de uma ordem decimal, da direita para a esquerda, ou
seja,
primeiro a ordem das unidades, depois dezenas e assim por
diante.
Para representar o nmero 109, colocavam-se nove pedras no
primeiro
sulco das unidades, deixava-se o segundo sulco das dezenas vazio
e colocava-se
uma pedra no terceiro sulco das centenas.
Ento surge a necessidade de se representar esse sulco vazio, que
foi
representado pelo desenho de um ponto em negrito que chamaram de
snya,
que significa vazio ou lacuna e era utilizado para indicar casa
nula. Assim, o zero
foi inventado.
-
60
Segundo Ifrah,
[...] nem tudo estava pronto. Os nove algarismos no estavam
ainda submetidos ao princpio de posio, aplicando-se esta regra, por
ora, apenas s palavras. Quanto ao zero, por enquanto ele era apenas
oral. (2001, p. 270).
Assim, os calculadores da poca perceberam que podiam
representar
os prprios smbolos dos algarismos no baco e no mais as pedras,
aplicando a
regra de posio, ou seja, o valor do algarismo dependeria da sua
posio no
baco. Mas nesse momento, os nmeros eram representados da direita
para a
esquerda. Ento o nmero 9 100 era representado assim:
Figura 3.20 - Representao do nmero 9 100 na numerao hindu
(IFRAH, 2001, p.285)
A maneira pela qual o snya indiano se transformou no zero atual
constitui um dos captulos mais interessantes na histria da cultura.
Quando os rabes do sculo X adotaram a numerao indiana, traduziram o
snya indiano por sua prpria palavra, sifr, que significa vazio, em
rabe. Quando a numerao indo-arbica foi primeiramente introduzida na
Itlia, sifr foi latinizado para zephhirum. Isso aconteceu no incio
do sculo XIII, e durante os cem anos seguintes a palavra sofreu uma
srie de mudanas que culminaram no italiano zero. (DANTZING, 1970,
p.40).
Brahmagupta (628 d.C.) foi um grande conhecedor indiano da
matemtica, considerado o pai da aritmtica. Em seu livro
Brahmasphuta
Siddhanta, ele utiliza os numerais rabes inclusive o zero, nas
operaes de
adio, subtrao, multiplicao, diviso e outras fundamentais. Alm
disso,
popularizou o conceito do zero, categorizando-o como samkhya, ou
seja, nmero.
Nesse livro ele ainda definiu regras para os clculos com o zero
como: nmero
-
61
multiplicado por zero resulta em zero; a soma e a diferena de um
nmero com
zero resulta nesse nmero, entre outras.
Segundo Boyer (1996), [...] Brahmagupta estragou um pouco as
coisas
afirmando que 0 00 = , e na delicada questo de 0a para 0a ele no
se
comprometeu. (p.150).
No sculo IX, Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi 7, aps ter
aprendido a realizar clculos com o livro Brahmasphuta Siddhanta
de
Brahmagupta, escreveu o livro Clculo com os Numerais Indianos
(al arqan al
hindu), adotando os numerais hindus na matemtica muulmana. Por
meio desse
livro, divulgou-se no mundo islmico, o sistema posicional
decimal, suas tcnicas
de clculo e o zero.
O nome de al-Khowarizmi, aps muitas transformaes, deu origem
a
palavra algarismo.
Em 1 202 d.C., Leonardo de Pisa, um comerciante italiano
conhecido
como Fibonacci, escreveu o livro Liber Abaci (Livro do baco),
aps ter feito
viagens pelo norte da frica e tomado conhecimento do sistema de
numerao
hindu. Tambm reconheceu a superioridade dos algarismos rabes,
comparados
aos romanos.
_______________________
7 al- Khowarizmi ou al-Khwarizmi: Brilhante conhecedor da
matemtica e astrnomo persa-muulmano nascido provavelmente na regio
de Khwarizm, sul do mar de Aral, na sia central, descobridor do
Sistema de Numerao Decimal e dos dez smbolos, que hoje so
conhecidos como algarismos indo-arbicos, e introdutor desses
numerais e dos conceitos da lgebra na matemtica europia. Disponvel
em: http://www.dec.ufcg.edu.br/biografias/MohameMK.html. Acesso em
12/07/2008.
-
62
Esse livro contm assuntos relacionados Aritmtica e lgebra e
teve
um papel importante na Europa, pois foi atravs dele, que os
europeus
conheceram os algarismos e o sistema indo-arbico.
Fibonacci demonstra certa desconfiana em relao ao zero quando
faz
uma distino de nomenclatura, excluindo-o da categoria dos
algarismos e
considerando-o um sinal.
Sacrobosco era um mestre ingls e, baseado em al-Khowarizmi e
Fibonacci escreveu, em 1 219, o livro Algorismus vulgaris, em
que tratou de
tpicos como adio, subtrao, multiplicao, diviso. Este livro
Algorismus
vulgaris tornou-se o mais popular nas universidades medievais,
pois por meio dele
o sistema posicional decimal e suas tcnicas de clculo foram
divulgados na
comunidade cientfica ocidental.
Esse sistema foi sendo absorvido pelos comerciantes e pela
populao
europia de uma forma lenta, pois a maioria das pessoas continuou
utilizando os
numerais romanos e o clculo com bacos ainda por vrios
sculos.
O smbolo do zero e a idia de vazio, nulo, no-existente s
foram
levados para a Europa a partir do sculo VIII d.C. juntamente com
os outros
algarismos e aps a aceitao dos algarismos arbicos. Difundiu-se
esse termo,
zero, como snya, que em rabe se tornou shifr e foi latinizado
para zephirum,
depois zfiro, zefro e, por fim, zero.
A representao grfica do zero demorou cerca de 400 anos para
ser
incorporado ao sistema decimal indo-arbico de numerao.
A evoluo da representao dos algarismos desde os utilizados
pelos
indianos na poca de Brahmagupta, at os usados hoje, apresenta-se
da seguinte
forma:
-
63
Figura 3.21 Evoluo da representao dos algarismos indo-arbicos
(SILVEIRA, 2001, p.9)
Lendo de cima para baixo:
Indo-arbico atual
Algarismos indo-arbicos medievais
Letras rabes eventualmente usadas como algarismos
Algarismos rabes atuais
Algarismos rabes de 800 d.C.
Algarismos Devangari 8 primitivos, anteriores a Brahmagupta
Algarismos Devangari da poca de Brahmagupta
______________
8 Devangari: Sistema de escrita utilizado para o registro da
lngua snscrita. Disponvel em: . Acesso em 12 jul. 2008.
-
64
3.6 Linha do tempo relacionada origem do zero
Figura 3.22 Linha do tempo dos principais acontecimentos
relacionados origem do zero
Meados do sculo III a.C.
Sculo IV d.C.
Sculo V d.C.
Aproximadamente sculo VIII d.C.
Descoberta da regra de posio e
do zero pelos hindus
Surgimento, na Babilnia, do primeiro zero conhecido na
histria
poca provvel do surgimento do zero
no sistema de numerao maia
Sbios chineses, influenciados pelos hindus, puderam
dispor do zero
-
65
3.7 Cronologia
O quadro a seguir, mostra os principais fatos relacionados ao
zero no decorrer da histria.
Quadro 3.2 Cronologia dos acontecimentos relacionados ao zero
(adaptada SIVEIRA, 2001, p. 5-10)
ANO FATOS 3000 a. C.
Vale do Indo (Mohenjo Daro e Harappa): h evidncia de aparente
uso de smbolo circular indicando o valor zero em rguas graduadas.
(Os documentos da Civilizao do Vale do Indo tm resistido a dezenas
de tentativas de decifrao.
3 000 a.C.
O olho de Horus : sistema de representao e clculo com fraes
inventado pelos egpcios e por muitos sculos usados pelos
comerciantes da regio mediterrnea; envolto em misticismo,
trabalhava com fraes binrias entre zero e um, sendo que um estava
identificado com a pureza absoluta e zero impureza absoluta.
2 000 a.C.
O Sistema cuneiforme foi inventado na Mesopotmia, pelos
babilnios; apesar de ser um sistema de numerao posicional, os
mesopotmicos ainda no tinham a noo de algarismo zero.
400 a.C. Os chineses deixam casa vazia, em caso de zero, em seus
bacos de mesa.
300 a.C.
Os mesopotmicos: os matemticos e astrnomos passam a usar um
algarismo zero medial zero para representar a ausncia de unidades
sexagesimais, (como 205 no nosso sistema decimal) em suas tabelas
astronmicas, no usavam zero inicial ou final (como em 250 no
sistema decimal).
200 a.C.
A palavra snya (significa vazio, em snscrito) usada para indicar
casa nula na escrita de numerais. Mais tarde, as casas nulas
passaram a ser indicadas por um ponto, o qual era chamado de
pujyam.
350 d.C.
Os maias produzem um artefato, o Uaxactun - Stela 18 e 19, que o
documento mais antigo que deixaram contendo meno ao zero. Esse
artefato no usa o sistema posicional; o mais antigo documento maia
usando zero e o sistema posicional o Pestac - Stela 1, datado de
665 d.C., conforme informou Michael Closs.
-
66
500 d.C.
Varahamihira , famoso matemtico indiano, usa um pequeno crculo
para denotar o algarismo zero em seu livro Panca-siddhantika.
Especula-se que desde 300 d.C. os indianos vinham usando um ponto,
o pujyam, para denotar o zero.
628 d.C.
Brahmagupta , matemtico indiano, em seu livro Brahma-sputa
siddhanta, eleva o zero categoria dos samkhya (ou seja, dos nmeros)
ao dar as primeiras regras para se calcular com o zero: um nmero
multiplicado por zero resulta em zero; a soma e a diferena de um
nmero com zero resulta neste nmero etc.).
850 d.C.
Al-Khwarizmi , aps ter aprendido a calcular ao estilo indiano
com o Siddhanta de Brahmagupta, escreveu um livro de aritmtica
chamado (provavelmente) Clculo com os Numerais Indianos (al arqan
al hindu ); esse livro foi quem fez a divulgao do sistema
posicional decimal, e respectivas tcnicas de clculo, no mundo
islmico. Junto com isso veio a divulgao do zero no mundo entre os
povos de lngua rabe; dos nomes snya, pujyam e sbra, usados no livro
de Brahmagupta, al-Khwarizmi adotou o terceiro para denotar o zero
e da a evoluo;sbra; siphra ou sifr (rabe); cifra e outras variantes
nas lnguas europias ; zephirum (pronncia latina do sifr) e da o
termo moderno: zero.
1 200 d.C.
Fibonacci , que havia aprendido a calcular no sistema indiano em
suas viagens de estudo pela frica islmica, escreve seu famoso
livro, o Liber abaci, o qual, junto com a traduo latina da
aritmtica de al-Khwarizmi foram os grandes introdutores do sistema
indo-arbico no Mundo Cristo e dois dos mais importantes livros da
histria da humanidade. Fibonacci ainda via o zero com desconfiana e
isso pode ser percebido pelo modo que usava para se referir aos
algarismos: novem figure indorum (os nove algarismos indianos) e o
hoc signum 0... quod arabice zephirum appelatur (o sinal zero).
-
67
1 250 d.C.
Sacrobosco , baseado em al-Khwarizmi e Fibonacci, escreve seu
Algorismus vulgaris o qual tornou-se o livro de matemtica mais
popular nas universidades medievais e, assim, divulgou
definitivamente o sistema posicional decimal e suas tcnicas de
clculo na comunidade cientfica de ento; a adoo desse sistema pelos
comerciantes e resto da populao foi bem mais lenta, e eles
continuaram a usar os numerais romanos e o clculo com bacos ainda
por vrios sculos. Na figura temos alguns passos da evoluo dos
algarismos, desde os usados pelos indianos da poca de Brahmagupta,
passando pelos algarismos usados pelos povos rabes e chegando aos
algarismos que usamos no Mundo Cristo.
-
68
3.8 O nmero
Relataremos segundo Mendes (2006), algumas noes de nmero
apresentadas desde os tempos mais antigos e faremos algumas
reflexes.
Os estudos arqueolgicos mostram que os sistemas numricos
surgiram para que o homem pudesse representar de alguma forma,
quantidades
referentes a riquezas, bens, ou at mesmo para a realizao de
alguns clculos.
Para isso houve a necessidade da criao de cdigos para
identificar esses
nmeros e de estratgias para efetuar as operaes aritmticas, pois
a memria
humana tinha dificuldade em calcular grandes quantidades.
Aqui faremos uma reflexo: o zero como nmero no representava
nenhuma quantidade, assim podemos pensar que no haveria
necessidade de
representao, pois era uma situao que antecedia a aquisio do bem
ou da
riqueza, que seria representada pelo nmero 1. Em situaes do
dia-a-dia,
dificilmente se utilizava o zero em uma operao.
A aritmtica surgiu pela necessidade de medir, comparar,
fazer
equivalncias etc., e mais uma vez no houve a necessidade de
operaes
aritmticas com o nmero zero, pois no h medida representada por
este
nmero.
Nessas reflexes percebemos que a representao do zero no
comum em certas situaes presentes no dia-a-dia de cada
indivduo,
principalmente nos primeiros anos de vida. Talvez, em relao
humanidade, isso
tenha acontecido de uma maneira semelhante: os povos primitivos,
assim como
no sentiram a necessidade de utilizar o nmero zero para
representar a ausncia
de objetos. Nem mesmo na aritmtica essa representao foi
necessria as
crianas.
Hoje sabemos que a inveno do zero revolucionou a humanidade
e
contribuiu para avanos tecnolgicos.
-
70
CONSIDERAES FINAIS
A presente pesquisa bibliogrfica tenta responder seguinte
questo:
Quais foram as dificuldades encontradas pelas civilizaes, ao
longo da histria,
at institurem o zero como um elemento integrante da
matemtica?
Pelo levantamento histrico realizado, percebemos que, apesar
das
civilizaes babilnica, maia e chinesa apresentarem dificuldades
para dar uma
representao ao vazio, elas conseguiram instituir um smbolo para
o algarismo
zero.
O povo hindu foi capaz de conceber em relao ao zero o
conceito
completo: como nmero idia de quantidade nula; e como algarismo
smbolo
usado para representar a ausncia de uma ordem numrica.
Nesta breve histria, observamos que a inveno do zero foi muito
difcil
para as antigas civilizaes. A princpio, o zero foi institudo
como algarismo, pela
necessidade de se representar o vazio em certa ordem do
nmero.
Talvez por este fato, at hoje associamos a idia do zero com o
nada,
o que muitas vezes gera uma m interpretao por parte das pessoas
nas
operaes que envolvem o zero.
O povo que mais colaborou com o nosso sistema de numerao
atual
foi o hindu. Mas essa criao no foi de um s homem nem apenas dos
povos
indianos, pois com o decorrer dos sculos as idias foram
aperfeioadas e
difundidas pelos rabes. Da o nome do nosso sistema de numerao,
indo-
arbico.
A trajetria histrica do zero, segundo Salvador e Nacarato
(2003),
ajuda-nos a entender melhor como a idia do nada foi associada a
algo desse
nada e como se criou um smbolo para representar o nada.
-
71
Guimares (2008) mostra a importncia do algarismo zero nas
vrias
posies, comeo, meio e fim, e na construo do sistema de numerao
decimal.
O trabalho apresentado por Pinedo e Sbardelotto (2004) mostra
a
importncia da descoberta do zero em um sistema posicional,
proporcionando
avanos na matemtica.
As dificuldades apresentadas na conceituao do zero ao longo
da
histria hoje proporcionam avanos em suas aplicaes, mas ainda
causam
algumas dvidas.
A inveno de zero tornou possvel uma notao perfeita e coerente
dos
nmeros, permitindo que qualquer pessoa efetuasse clculos sem
precisar das
mos ou de contadores mecnicos.
Atualmente o nmero e o algarismo zero so instrumentos poderosos
e
indispensveis para clculos e para o desenvolvimento da matemtica
e de outras
cincias.
Deixamos como sugesto que mais trabalhos sejam desenvolvidos
com
os alunos, para que um dia o conceito do zero seja totalmente
entendido por
todos, no s no meio acadmico da matemtica. Assim, a histria do
zero ser
mais conhecida, e seu conceito melhor compreendido.
-
72
REFERNCIAS
BIANCHINI, E. ; PACCOLA, H. Sistemas de Numerao ao longo da
Histria. So Paulo Editora moderna 2001. BOYER, C. Histria da
Matemtica . Traduo de Elza F. Gomide- 2 Ed. - So Paulo: Editora:
Edgard Blcher, 1996. BRASIL. Ministrio da Educao e do Desporto,
Secretaria de Educao Fundamental. Parmetros Curriculares Nacionais
de Matemtica. Braslia/DF, 1997, volume 3. COTRIM, G. Histria &
Reflexo . So Paulo - Editora Saraiva, 1995. DANTZING, T. NMERO: A
Linguagem da Cincia . Traduo de Sergio G. de Paula. Rio de Janeiro.
Zahar Editores, 1970. EVES, H. Introduo histria da matemtica .
Traduo: Hygino H. Domingues. Campinas, So Paulo. Editora da
UNICAMP, 2004. FIORENTINI, D. ; LORENZATO, S. Investigao em Educao
Matemtica. Coleo: Formao de Professores. Campinas: Autores
Associados, 2006. 226p. GUIMARES, F. Reflexes sobre o zero . In: X
- EBRAPEM, Belo Horizonte. Minas Gerais, 2006 Disponvel em: .
Acesso em 25 ago. 2007. ___________. Zero: Das Manifestaes
Histricas a manifestaes atuais. In: REUNIO ANUAL DA ANPED, Caxambu.
Minas Gerais 2007. Disponvel em: .Acesso em 25 jul. 2007.
___________. O Sentido do Zero . Dissertao de Mestrado em Ensino de
Matemtica So Paulo PUCSP 2008. Disponvel em:<
http://www.pucsp.br/pos/edmat/trabalhos_aceitos.html>. Acesso em
25 jun. 2008.
-
73
GUNDLACH, B. H., Nmeros e Numerais . Trad. de Hygino H.
Domingues So Paulo. Editora Atual, 1992. IFRAH, G. Histria
Universal dos Algarismos : Tomo 1 e 2. 1 ed. Rio de Janeiro:
Editora Nova Fronteira, 2 v, 1997. _________. Os Nmeros. A histria
de uma grande inveno. 9 ed. So Paulo: Editora Globo, 2001. IMENES,
L. M.; LELLIS M. Os nmeros na histria da civilizao . So Paulo SP:
Editora Scipione, 2000. KAPLAN, R. O Nada que existe: Uma histria
natural do Zero. 1 ed. Rio de Janeiro. Editora Rocco, 2001, 208 p.
KARLSON, P. A Magia dos Nmeros . Traduo de Henrique Carlos Pfeifer.
Porto alegre - Rio Grande do Sul. Editora Globo, 1961. KCHE, J. C.
Fundamentos de Metodologia Cientfica: Teoria da Ci ncia e Prtica da
Pesquisa . Ed. Vozes 19 edio. Petrpolis Rio de Janeiro, 2001.
MENDES, I. A. Uso da Histria no Ensino da Matemtica: reflexes
tericas e experincias. Belm: EDUEPA. 90p. Srie Educao; n.1, 2001.
_____________ Nmeros o simblico e o racional na histria . 1 ed. So
Paulo: Editora Livraria da Fsica, 2006. NAKAMURA, K. CONJUNTO DOS
NMEROS IRRACIONAIS: A TRAJETRIA DE UM CONTEDO NO INCORPORADO S
PRTICAS ESCOLARE S. Dissertao de Mestrado Profissional em Ensino de
Matemtica So Paulo PUCSP 2008. PESCUNA, D.; CASTILHO A.P.F de.
Projeto de Pesquisa. O que ? Como fazer? Um guia para sua elaborao.
So Paulo: Olho dgua, 2006.
-
74
PINEDO, C. J. Q.; SBARDELOTTO, A. Histria do Nmero Zero . 2004.
Disponvel em: . Acesso em 23 ago. 2007. RONAN, C. A. Histria
ilustrada da cincia 2 Oriente, Roma e I dade mdia . Traduo de Jorge
Enas Fortes Rio de Janeiro. Jorge Zahar Editor, 2001. SALVADOR, C.
M. A.; NACARATO, A. M. Sentidos atribudos ao zero por alunos da 6
srie . In: REUNIO ANUAL DA ANPED, 26, Poos de Caldas. Minas Gerais.
2003. Disponvel em: Acesso em 02 jul 2007. SO PAULO (Estado).
Secretaria da Educao. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas.
Proposta Curricular para o Ensino de Matemtica 1 grau . So Paulo,
1988. SCHENBERG, M. Pensando a Fsica . 5 Ed. So Paulo: Landy
Editora, 2001. SILVEIRA, J. F. Porto da, Origens do Zero , 2001.
Disponvel em: . Acesso em 25 jun. 2008. STRUIK, D. J. Histria
concisa das matemticas. Trad. De Joo Cosmo Santos Guerreiro.
Portugal. Lisboa. Editora Gradiva, 1985. Sites Consultados
Disponvel em: . Acesso em 10 jul. 2008. Disponvel em: . Acesso em
12jul. 2008.
-
75
Disponvel em: .Acesso em 01 abr. 2008. Disponvel em: <
http://www.om.pro.br/devanagari.pdf>. Acesso em 12 jul. 2008.
Disponvel em . Acesso em 14 jul. 2008. Disponvel em . Acesso em 02
de jul.2008. Acesso em 14 jul. 2008. Disponvel em . Acesso em 14
jul. 2008.
