Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Dezembro de 2013LIGA DELFOS 2013-2014 1a JORNADA

A pulga e o escorpiãoA pulga e o escorpião jogamum jogo a dois de cerco efuga. O jogo é jogado numtabuleiro de xadrez n × n cu-jas casas são quadradinhos delados de comprimento 1.É dado um real positivo d quenão muda até ao fim do jogo. A pulga ocupa um dos nodos do tabuleiro saltando de um nodo para ou-tro em cada jogada. O escorpião arrasta-se continuamente sobre a fronteira do tabuleiro e pode ocuparqualquer ponto dessa fronteira (não apenas os 4n nodos periféricos). Em cada jogada da pulga ela temque desocupar o nodo em que se encontra e saltar para um dos nodos adjacentes a esse; cada jogada doescorpião consiste em arrastar-se sobre a linha periférica podendo percorrer qualquer distância ⩽ d.

Notem que, para ir dum ponto do bordo do tabuleiro ao ponto diametralmente oposto, o escorpiãotem que percorrer uma distância 2n.

Na primeira jogada, a pulga ocupa um nodo inicial à sua escolha; depois o escorpião ocupa um ponto dafronteira à sua escolha; a seguir, a pulga salta, depois o escorpião arrasta-se, etc., jogando alternadamente.Diz-se que a pulga escapa (e ganha o jogo) se salta para um nodo periférico aonde o escorpião não podechegar na jogada seguinte.

1. Para n = 2 determinem, justificando, os valores de d para os quais a pulga tem estratégia paraescapar ao cerco.

2. O mesmo que o problema anterior, para n = 3.

3. Suponham (apenas neste problema) que ao escorpião só é permitido percorrer distâncias estrita-mente inferiores a d. Com esta nova regra, respondam de novo aos problemas 1 e 2.

4. O mesmo que o problema 1, mas com n = 4.

5. Provem que se n = 5 e d = 3, a pulga tem estratégia para escapar.

6. Provem que se n = 5 e d ⩾ 4, a pulga não tem estratégia para escapar.

7. Provem que, se n é um número par superior a 4 e d ⩽ 3, a pulga tem estratégia para escapar.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Janeiro de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 2a JORNADA

Aρβηλoς

O título desta jornada vai em Grego, um luxo que poderá não se repetir por muitas outras. É uma honracelebrar Arquimedes, considerado como o maior matemático da Antiguidade. Acredita-se que tenha

AX Y

B

estudado o arbelos, mas ao certo não se sabe. A palavra significa “faca de sapateiro"e a forma geométricaé o que sobra dum semi-círculo depois de dele se retirarem dois semi-círculos menores (destes, na figurada esquerda, apenas se percebem as dentadas que deixaram). Os semi-círculos menores têm centros nodiâmetro [XY ] do maior, são tangentes entre si e cada um deles é também tangente ao semi-círculo maior.A figura da direita mostra um arbelos múltiplo: do semi-círculo maior foram retirados 11 semi-círculosmenores, com centros no diâmetro do maior e com as tangências que a figura mostra.

0. Arquimedes nasceu no ano 287 AC. Quantas velas teria ele de soprar este ano se por cá aparecesse?

1. Determinem o perímetro do arbelos múltiplo, sabendo que o raio do círculo maior é 1 e que os raiosdos 11 círculos menores, quando postos por ordem crescente, crescem em proporção geométrica.

2. Provem que a área do arbelos é igual à área do círculo que tem como diâmetro o segmento vertical[AB] marcado na figura.

3. Considerem todos os arbelos múltiplos cujo arco maior tem raio 1 e que têm 2300 ou menos denta-das. Qual o máximo da área desses arbelos? Porquê?

4. Seja M a interseção do segmento ]BX[ com a semi-circunferência esquerda do arbelos, e N ainterseção de ]BY [ com a semi-circunferência da direita. Provem que [ANBM] é um retângulo.

5. Provem que a reta MN é tangente a ambos os semicírculos menores.

6. Considerem todos os arbelos com semicírculo maior de raio 1. Determinem, justificando, o máximopossível da área do retângulo [ANBM] e para que arbelos esse máximo é atingido.

7. Os gémeos de Arquimedes. Provem que as duas circunferências marcadas no arbelos têm raiosiguais.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 15 de Fevereiro de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 3a JORNADA

Dobragens

Num círculo de papel de raio R e centro C, fixem um ponto Z cujadistância ao centro é d, um real tal que 0 ⩽ d < R. Escolham um pontoX no bordo do círculo e dobrem o papel de modo a fazer coincidir Xcom Z. Vinquem bem a dobra, depois desdobrem. Escolham outroponto X e repitam a operação de modo a obter novo vinco no papel.Façam isto um bom número de vezes, variando as vossas escolhas deX , sem mudar Z. Fica no papel uma região, que parece ser um discoelítico, que não foi propriamente atravessada por nenhum vinco. A ideiadesta 3a Jornada é provarem que isso é verdadeiro.

Para elipse e disco elítico, sugere-se que utilizem a definição do jardineiro. Conjetura-se que aregião da figura é um disco elítico D , delimitado por uma elipse E . Supomos que D contém E

1. Indiquem a vossa conjetura sobre quais os focos e as medidas dos eixos de E . O caso d = R foiexcluído do problema; o que acontece nesse caso?

2. Provem que cada vinco, interpretado como uma reta, interseta a elipse conjeturada num e apenasnum ponto. (Se isto não for verdade, a vossa conjetura não é boa.)

3. Cada vinco v determina dois semiplanos cuja interseção é v; denotamos por Sv o semiplano quecontém Z. Provem que, para qualquer vinco v, o disco elítico D está contida em Sv.

4. Provem que o disco elítico D é a interseção de todos os semiplanos Sv.

5. Provem que por cada ponto do plano passam exatamente w vincos, onde w pode tomar um de3 valores: 0, 1 ou 2. Para cada um destes w’s, qual o conjunto dos pontos pelos quais passam w

vincos? Descrevam uma construção de régua e compasso que determine o(s) vinco(s) que passa(m)por cada ponto P fixado no plano. Justifiquem.

6. Provem que D é estritamente convexo, isto é: se P,Q são pontos distintos do disco, então o seg-mento [PQ] está contido no disco e o seu ponto médio não pertence à elipse E .

7. Determinem, justificando, o lugar geométrico dos pontos do plano pelos quais passam dois vincosperpendiculares entre si.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 22 de Março de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 4a JORNADA

Pedais e roletas

Dado um polígono convexo fechado, P , dizemos que uma reta é subtangente a P se interseta P masnão interseta o interior de P . Fixemos, de uma vez por todas, um vértice V de P . Chama-se pedal deP ao lugar geométrico dos pés das perpendiculares lançadas de V para as subtangentes de P .

Assente P sobre um eixo fixo do plano de P (o eixo é subtangente a P) e faça o polígono rolar sobre oeixo sem escorregar, como na figura da esquerda. A curva descrita por V chama-se roleta. Notem que aroleta é uma curva periódica, que toca periodicamente o eixo; chamamos arco da roleta a uma secção daroleta cujas extremidades são os únicos pontos de contacto da dita secção com o eixo. À região delimitadapor um arco da roleta e pelo eixo chamamos região sob o arco da roleta.

Nesta jornada, num polígono de n vértices não há três que sejam colineares. Por definição, ângulo entredois arcos de circunferência que se cruzam em P é o ângulo formado pelos vetores tangentes em P ,supondo, em cada circunferência, que os arcos se orientam no sentido direto.

1. Num triângulo arbitrário T escolham um vértice V . Desenhem um arco da roleta de T e deter-minem a área da região sob esse arco.

2. Para T e V como acima, desenhem a curva pedal e mostrem que ela é a fronteira da união de doiscírculos, nenhum deles contido no outro. Calculem a área delimitada por essa pedal.

3. Provem que, se P tem n vértices, a pedal é a fronteira duma união de n − 1 círculos, nenhum dosquais contido na união dos outros n − 2.

4. A pedal é uma concatenação de n − 1 arcos circulares. Determinem, em cada ponto de junção dedois arcos, o ângulo que eles fazem entre si. Calculem a soma desses ângulos.

5. Determinem, justificando, uma fórmula que dê o perímetro da pedal, em função dos lados, diago-nais e ângulos em P .

6. Determinem, justificando, uma fórmula que dê a área sob um arco da roleta, em função dos lados,ângulos e diagonais de P .

7. Provem que, para qualquer escolha de P e V , a área delimitada pela pedal é metade da área daregião sob um arco da roleta.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 26 de Abril de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 5a JORNADA

Problemas Isoperimétricos

Considerem uma curva no plano. Aqui, uma curva é sempre contínua e simples, i.e., sem pontos múltiplos.Se for fechada, o conjunto plano constituído pela curva e pelo seu conteúdo designa-se por região. Dadauma região X de área A e perímetro P , ao número r(X) = A/P 2 chamamos razão isoperimétrica de X .Notem que regiões semelhantes têm a mesma razão isoperimétrica. Um problema isoperimétrico consisteem, dada uma família de regiões de perímetros iguais, determinar qual o supremo das áreas dessas regiõese quais as regiões da família (se existem) para as quais a área é máxima. O famoso teorema isoperimétricoafirma que r(X) ⩽ 1/4π, com igualdade se e só se X é um círculo.

As vossas respostas devem sempre ser devidamente justificadas.

1. Na família dos triângulos existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles?

2. Um quadrilátero tem lados de comprimentos a, b, c, d. De entre os quadriláteros com lados comesses comprimentos, quais os de maior área? (Sugestão: usem a fórmula de C. Bretschneider (1842) que

dá a área do quadrilátero: A =√

(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) − abcd cos2 µ , onde s é o semi-perímetro e µ

a média de dois ângulos opostos.)

3. Dentre os polígonos de n lados existem elementos de razão isoperimétrica máxima. Quais são eles?

4. Uma curva simples C de comprimento fixo L tem as suas extremidades apoiadas numa reta r,ficando toda do mesmo lado de r. (a) Provem que existem curvas deste género que tornam máximaa área “entre” C e r. Que curvas são essas? (Sugestão: use o truque da reflexão, de J. Steiner, 1838.)

(b) Resolva o mesmo problema, supondo que as extremidades de C estão na reta r a uma distânciad independente de C.

5. São dadas duas semi-retas s, t de origem O formando um ângulo convexo sOt de amplitude fixa α.Contida em sOt está uma curva C, de comprimento fixo L, com uma extremidade em s e outra emt. Provem a existência de C que maximiza a área da região delimitada por C no ângulo sOt.

6. Dado um triângulo T , qual é o comprimento e a forma das curvas mais curtas que dividem T emduas regiões de áreas iguais?

7. Uma região é delimitada por uma concatenação de curvas simples em número par, S1, S2, . . . , S2n,onde cada Sk tem comprimento fixo Lk. Para k ímpar, Sk é um segmento de reta; para k par Sktem forma à nossa escolha. Das regiões possíveis identifiquem as que têm área máxima, e provema sua maximalidade. Para simplificar, suponham que os números m = max{L1, L2, . . . , L2n} ep = L1 +L2 + ⋅ ⋅ ⋅ +L2n satisfazem p > (π2 + 1)m.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Maio de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 6a JORNADA

As vossas respostas devem ser devidamente justificadas.

1. Neste final de Xadrez estranho, em tabuleiro 4 × 3, a Dama branca, que joga primeiro, tem comoobjetivo obrigar o Rei negro a ocupar a casa do canto superior direito (d3), em não mais de 4

movimentos do Rei. O objetivo do Rei é evitar isso. Qual dos dois tem estratégia vencedora?

2. (a) Três esferas maciças, impenetráveis, estão dentro dum contentor também esférico. O volumedo contentor é o menor possível de modo a conter as 3 esferas. Mostrem que são complanares oscentros das quatro esferas.

(b) Se uma das três esferas tem raio R e as outras duas são iguais de raio r < R, determinem oraio do contentor em função de r e R.

3. (a) Antes de iniciar um jogo de snooker, as bolas foram empacotadas num caixilho triangular,sobre a mesa, como manda a tradição. Sem se retirar o triângulo, empilharam-se, com base nas15 iniciais, o maior número possível de outras bolas congéneres, em várias camadas, de modo aque cada bola ficasse em contacto com 3 bolas da camada imediatamente abaixo. Sabendo que asbolas são esferas de 3 cm de raio, qual a distância do ponto mais alto da pilha à mesa de jogo?

(b) A pilha de bolas e o caixilho triangular foram, de seguida, cobertos por uma campânula; esta éum paralelepípedo retângulo, cujo bordo retangular ficou assente na mesa de jogo. O caixilho temespessura de 1 cm. Supondo que o paralelepípedo tem volume o menor possível de modo a contera pilha e o caixilho, quais são as medidas dos seus lados?

4. Em R2 são dados dois pontosA eB. Definimos caminho zigzag entreA eB como sendo uma curvaC , contínua, com extremidades A e B, que satisfaz a condição:

Para n ímpar, se C interseta a faixa {(x, y) ∶ n ⩽ y ⩽ n + 1} em mais de um ponto, essaintersecção é um segmento de reta paralelo à bissetriz dos quadrantes pares, ou paralelo àbissectriz dos quadrantes ímpares.

(a) Determinem o menor comprimento dos caminhos zigzag entre A = (0,1.2) e B = (13,50).

(b) Determinem quantos caminhos zigzag entre A = (0,1.2) e B = (13,50) têm comprimentomínimo.

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Junho de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 7a JORNADA

Puzzle dos 16 & companhia

12

8

4

13

9

5

1

15

10

6

2

14

11

7

3

10 11

6

12

7

3

13

8

4

1

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2 1

2

3

5

67

8

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410

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20

21

Trata-se dum puzzle do famoso Sam Lloyd (1841-1911) jogado num tabuleiro 4 × 4, com 15 peças nu-meradas e uma casa vazia que rotulamos com ∅. Em cada jogada, ∅ troca de posição com o rótuloduma das casas adjacentes. Uma configuração ou rotulação é uma permutação de ∅,1, . . . ,15, lida notabuleiro linha após linha (da esquerda para a direita) de cima para baixo; a rotulação da figura acima éS = (∅123456789101112131514). O problema de Sam Lloyd é o de saber se existe uma sequênciade jogadas que permita, partindo de S, chegar à configuração ‘natural’ N = (∅123 . . . 131415).

Numa sequência de jogadas, o rótulo ∅ percorre um caminho no tabuleiro, que se chama circuito se ∅começa e acaba na mesma posição. Cada circuito de ∅ determina uma aplicação f ∶C →C , onde f(A)é a configuração obtida quando se executa o circuito de ∅ começando com A. Chamamos F ao conjuntodessas funções. Um invariante de F é uma aplicação ϕ de domínio C , tal que ϕ(f(A)) = ϕ(A). A órbitade A ∈ C é o conjunto OA = {f(A) ∶ f ∈ F}. Os elementos duma órbita têm todos ∅ no mesmo local. Osproblemas básicos são descobrir invariantes e determinar órbitas.

1. Mostrem que F é um grupo para a composição funcional. Provem que OA = OB se e só se existe f ∈ Ftal que B = f(A), e que órbitas distintas são disjuntas.

2. No puzzle dos 16, que relação há entre as paridades das permutações A e f(A)? O problema de SamLloyd tem solução? Quantas órbitas há e quantos elementos tem cada uma?

(∗) O puzzle pode generalizar-se a um grafo (simples) com nodos rotulados, um deles com ∅.Pergunta-se então: quais são e quantos são os elementos da órbita da configuração dada?

3. Respondam às perguntas colocadas em (∗), quando:

(a) O grafo é o de 16 nodos da figura.

(b) O grafo é o triangular da figura. Generalizem a um grafo triangular com n nodos de lado.

(c) O grafo é um ciclo de 2n nodos com uma ponte de 1 nodo ligando dois nodos opostos do ciclo.

(d) O grafo é o da quarta figura acima.

4. No conjunto C das rotulações dum grafo com n ⩾ 3 nodos, há n órbitas. Provem que o grafo é conexo,sem nodos pendentes, e com pelo menos um ciclo ímpar. Será verdadeiro o recíproco?

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Junho de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 8a JORNADA

Filhos e primos

1. Duas amigas matemáticas que não se viam há muito, encontram-se na rua e conversam:— Casei-me há 23 anos e, depois disso, tive 4 filhos. A outra pergunta: — Que idades têm eles?— Bem, o produto das idades (que são números naturais) é 216 e a soma é o número daquela portaacolá. A outra pensou, pensou e disse: — Isso não chega para eu saber as idades deles!— Sim, eu sei, mas poderás determiná-las se eu acrescentar que a diferença entre o máximo e omínimo das idades é um número primo. Que idades têm os quatro filhos?

2. Seja m um inteiro positivo. Mostrem que todo o inteiro par pode ser escrito, de infinitas maneiras,como diferença de dois inteiros positivos primos com m.

3. Determinem todos os naturais n para os quais existem números inteiros, a1, a2, . . . , an, tais que1

3a1 − 1+ 1

3a2 − 1+⋯ + 1

3an − 1= 1.

4. Sendo n e m números naturais, n⌢m denota o natural cuja representação na base 10 é a concate-nação das representações de m e n na base 10. Por exemplo: 20⌢14 = 2014 e 14⌢20 = 1420. (NB:neste problema, é positivo o dígito mais à esquerda da representação decimal dum número.)Diz-se que m é mágico se, para todo o natural n, o número m é divisor de n⌢m.

(α) Determinem todos os números mágicos menores que 1000.(β) Determinem quantos números mágicos existem menores que 102014.

5. Em certa base de numeração b, o número n e o seu triplo representam-se por 854b e 2351b (querdizer: n = 8b2 + 5b + 4 e 3n = 2b3 + 3b2 + 5b + 1). Determinem b e n na base 10.

6. De cada um dos naturais na lista abaixo, apenas se revelam os seis algarismos mais à direita darepresentação decimal. Dentre eles existe um quadrado perfeito. Determinem o resto da divisãopor 40000 desse quadrado perfeito.

. . .243510 . . .190521 . . .190521 . . .723339 . . .612718 . . .874105

7. Seja p um primo ímpar. Por definição, um p-gono, ou polígono de p vértices, é uma sequência de ppontos do plano, G = (V0, V1, . . . , Vp−1); os Vi chamam-se vértices de G.Pensem num p-gono como polígono fechado de p vértices, os quais se consideram numerados mó-dulo p, isto é: Vp+k = Vk, para todo o k inteiro.É dado um p-gono G0 arbitrário. Define-se uma sequência G0,G1,G2,G3, . . . de p-gonos de acordocom a seguinte regra: se W0, . . . ,Wp−1 são os vértices de Gk−1, o j-ésimo vértice de Gk é o pontosimétrico de Wj relativamente a Wj+k, j = 0, . . . , p − 1.Mostrem que Gp−1 é semelhante a G0.

, Vejam soluções em www.mat.uc.pt/~emsa

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt

Projeto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Setembro de 2014LIGA DELFOS 2013-2014 9a JORNADA

Última Jornadade 2013-2014

1. Mostrem que para n ≥ 4 qualquer triângulo pode partir-se em n triângulos isósceles.NB: neste problema e no seguinte os triângulos são de áreas positivas.

2. Quais são os triângulos que podem partir-se em dois triângulos isósceles?

TPC: Quais os que podem partir-se em três triângulos isósceles?

3. Seja [ABCD] um losango. Uma circunferência que passa em A intersecta o lado [AD] em N , olado [AB] em M e a diagonal [AC] em P . Mostre que AP = (AM +AN)AB

AC.

4. Um sudoku é uma matriz que resulta do preenchimento de todas as casas dum tabuleiro 9 × 9, cadacasa com um número de 1 a 9, de acordo com regras que todos conhecem. A casa na linha i e colunaj é identificada com o par (i, j), e o tabuleiro é o conjunto T desses 81 pares.Matematicamente falando, um sudoku é uma aplicação s ∶ T → {1, . . . ,9}, com característicasmuito especiais vossas conhecidas. Cada uma das 81! permutações τ ∶ T → T transforma umsudoku s numa aplicação s ○ τ que pode ser ou não um sudoku. Uma dessas permutação diz-sesudokante se, para todo o sudoku s, s ○ τ é também um sudoku.

Mostrem que a permutação que corresponde a trocar a primeira coluna com a última não é sudo-kante; e que a transposição, (i, j)↦ (j, i), é sudokante.

5. Quais e quantas são as permutações sudokantes?

6. Mediatrizes em Manhattan. Num tabuleiro de xadrez n×n, com n2 casas, chamamos passo ao saltoduma casa para outra adjacente, a norte, a sul, a este ou a oeste. A distância-M da casa A à casa Bé, por definição, o número mínimo de passos para ir de A até B. Uma casa diz-se mediadora de Ae B, se ela está a igual distância-M de A e de B; a mediatriz-M de A e B é o conjunto de todas ascasas mediadoras de A e B.

Para cada par de casas, determinem o número de elementos da sua mediatriz-M.

7. Quais são os pares de casas distintas que têm mediatriz-M de maior cardinal?

Eduardo Marques de Sá delfos@mat.uc.pt