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XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática
A sala de aula de Matemática e suas vertentes
UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019
2019. In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. pp.xxx. Ilhéus, Bahia.
XVIII EBEM. ISBN:
A RESSIGNIFICAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS EM TAREFAS DE NATUREZA EXPLORATÓRIA
Marianne Santos Talher1
Universidade Federal do Espírito Santo – Universidade Aberta do Brasil
Célia Barros Nunes2
Universidade do Estado da Bahia – Campus X
Resumo: A presente comunicação é fruto de uma pesquisa realizada durante um curso de
especialização Ensino de Matemática para o Ensino Médio – Matemática na prática, que
ocorreu em sala de aula com uma turma do 1° ano do Ensino Médio, cujo objetivo foi de (re)
significar o ensino-aprendizagem do Teorema de Pitágoras. Eles conheciam o enunciado do
Teorema, mas continuavam a apresentar dificuldades em compreender o seu significado,
detendo apenas à sua generalização algébrica. Para isso, foi utilizado como prática
metodológica a resolução de problemas e o ensino exploratório que serviram de sustentação
teórica para o embasamento da pesquisa. O desenvolvimento da pesquisa se deu pela
abordagem qualitativa, tendo como característica a descrição e interpretação dos dados
coletados. Foram utilizados como instrumentos de coleta de dados fotos e o registro escrito dos
alunos, das resoluções produzidas por eles. E, após a análise dos dados, percebemos que os
estudantes, em sua maioria, compreenderam o significado do Teorema de Pitágoras ao se
engajar nas tarefas, despertando o fazer matemático.
Palavras-chave: Teorema de Pitágoras. Ensino exploratório. Resolução de problemas. Tarefas.
INTRODUÇÃO
O ensino do Teorema de Pitágoras, na maioria das salas de aula é apresentado de
maneira sucinta, geralmente os estudantes aprendem como utilizar a fórmula 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, no
1 Professora da Educação Básica da rede estadual do Espírito Santo. Estudante do curso de especialização Ensino
de Matemática para o Ensino Médio – matemática na prática. 2 Professora da Educação Superior na Universidade do Estado da Bahia – Campus X.
Título do trabalho
Referência do trabalho
entanto, não compreendem o seu significado geométrico, nem tampouco o significado das letras
a, b e c, causando um obstáculo à aprendizagem. Por isso, acreditamos que atividades
utilizando o ensino exploratório através da resolução de problema, podem contribuir para que
esse cenário seja diferente, passando a provocar inquietações, curiosidade e aprendizagem
matemáticas em crianças, adolescentes, jovens e adultos.
O ensino exploratório através da resolução de problemas, especificamente a
metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução de
problemas, se apresenta neste trabalho como uma alternativa metodológica para uma melhor
compreensão do Teorema de Pitágoras.
Defendemos o ensino exploratório através da resolução de problemas por se tratar de
uma estratégia didática que oportuniza aos alunos uma participação mais ativa durante a
resolução do problema, envolvendo-os em atitudes de pensar, fazer e desenvolver a matemática
que precisam aprender. Como diz Van de Walle (2009, p. 57) “os estudantes devem resolver
problemas não para aplicar matemática, mas para aprender nova matemática” . Além disso, a
aprendizagem é assumida como um processo simultaneamente individual e coletivo, resultado
da interação dos alunos com o conhecimento matemático e também da interação com o outro
(OLIVEIRA, CANAVARRO e MENEZES, 2016).
A aprendizagem dos alunos em alguns momentos depende da atividade que realizam e
da reflexão que fazem sobre a mesma, por isso, a seleção das tarefas/problemas que são
trabalhadas em sala de aula, deve levar em conta o tipo de atividade que propõe aos alunos.
Assim, tarefas que conduzem a procedimentos rotineiros são diferentes de tarefas que exigem
aos alunos pensar conceitualmente e que os estimulam a estabelecer conexões (Stein & Smith,
1998). As tarefas são um elemento fundamental na caracterização de qualquer currículo, pois
elas determinam em grande medida as oportunidades de aprendizagem oferecidas aos alunos.
(Ponte, 2005, p. 23).
Com base nas reflexões acima, o presente trabalho traz uma experiência de ensino, na
qual buscou ressignificar o conteúdo Teorema de Pitágoras através da resolução de problemas,
centrada no ensino exploratório. O teorema foi escolhido pelos estudantes, porque
apresentavam dificuldades em aplicá-lo em problemas matemáticos, visto que não conseguiam
compreender o enunciado do teorema e tampouco a sua fórmula, muitas vezes substituíam o
valor numérico da hipotenusa no lugar do valor numérico do cateto e vice-versa.
O texto está estruturado em duas partes: a primeira contém introdução, referencial
teórico com ênfase no ensino exploratório e na resolução de problemas, especificamente na
Título do trabalho
Referência do trabalho
metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de
Problemas. A segunda parte traz o desenvolvimento metodológico da pesquisa, a análise e
discussão dos resultados e por fim algumas considerações sobre o trabalho realizado.
ENSINO EXPLORATÓRIO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
O ensino exploratório constitui um desafio às práticas de ensino mais habituais, não só
pelas tarefas a propor, mas pela estrutura de aula, pelos papeis que são exigidos ao professor e
aos alunos (OLIVEIRA, CANAVARRO e MENEZES, 2016, p. 54) e de desenvolver
capacidades matemáticas como a resolução de problemas, o raciocínio matemático e a
comunicação matemática (CANAVARRO, 2011, p. 11). Ela se estrutura em quatro fases:
introdução da tarefa, realização da tarefa, discussão da tarefa e sistematização dos resultados
O professor que utiliza o ensino exploratório em sua prática de ensino, oportuniza um
trabalho autônomo aos seus alunos, de modo que eles têm a possibilidade de ver os
conhecimentos e procedimentos matemático surgirem com significado. Dessa forma, o
professor precisa trabalhar com a inquirição, que é apresentada por Cyrino e Oliveira (2016),
segundo Chapman e Heater (2010) como sendo “um ensino de caráter investigativo, centrado
no aluno, orientado por questões, em que a comunicação, a reflexão e a colaboração têm um
papel muito importante”, no entanto o professor precisa fazer as perguntas corretas para
direcionar o estudo de seus alunos.
Pensando numa melhor forma de conduzir bem uma aula utilizando o ensino
exploratório, Canavarro (2011) apresenta quatro etapas fundamentais para os profissionais que
desejam conduzir suas aulas nesta perspectiva:
1- Antecipar: Ao antecipar, o professor dedica-se a: prever a interpretação e o
envolvimento dos alunos na tarefa; elencar uma diversidade de estratégias, corretas e
incorretas, que os alunos poderão usar. 2 – Monitorar: Ao monitorizar, para além de
verificar se os alunos estão a trabalhar na tarefa, o professor dedica-se a: observar e
ouvir os alunos ou grupos; avaliar a validade matemática das suas ideias e resoluções;
interpretar e dar sentido ao seu pensamento matemático. 3 – Selecionar: Corresponde a identificar os alunos ou grupos cujas resoluções são importantes para partilhar, com
toda a turma, na fase de discussão de modo a proporcionar uma diversidade de ideias
matemáticas adequadas ao propósito matemático da aula. 4 – Sequenciar: Esta
prática dá-se quase em simultâneo com a anterior, e é muito orientada pelo percurso
de exploração das ideias matemáticas que o professor entende ser mais adequado para
os seus alunos tendo em vista atingir o propósito matemático da aula.
(CANAVARRO, 2011, p. 13-15).
Estas etapas se identificam com a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de
matemática através da resolução de problemas, preconizada por Onuchic (1999, 2013),
sobretudo no que se refere as ações do professor em sala de aula. O professor é o responsável
pela criação e manutenção de um ambiente matemático motivador e estimulante em que a aula
Título do trabalho
Referência do trabalho
deve ocorrer. Segundo Onuchic e Allevato (2004), para se obter isso, toda aula deve
compreender três partes importantes: antes, durante e depois.
Para a primeira parte, o professor deve garantir que os alunos estejam mentalmente
prontos para receber a tarefa e assegurar-se de que todas as expectativas sejam claras.
Na fase durante os alunos trabalham e o professor observa e avalia esse trabalho. Na
terceira, depois, o professor aceita a solução dos alunos sem avaliá-los e conduz a
discussão enquanto os alunos justificam e avaliam seus resultados e métodos. Então
o professor formaliza os novos conceitos e novos conteúdos trabalhados (ONUCHIC
e ALLEVATO, 2004, p. 221).
É essencial que se ensine de modo que os alunos possam ver a Matemática como algo
natural e agradável em seu ambiente.
A metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução
de problemas possui características relevantes que precisam de destaque. Primeiro é sabido que
nesta abordagem o objetivo é promover a autonomia dos estudantes, que estes compreendam a
tarefa que estão realizando e consigam pensar, tentar, resolver e encontrar uma solução.
[...] É importante ter a visão de que compreender deve ser o principal objetivo do
ensino, apoiados na crença de que o aprendizado de matemática, pelos alunos, é mais
forte quando é autogerado do que quando lhes é imposto por um professor ou por um
livro-texto. Quando os professores ensinam matemática através da resolução de
problemas, eles estão dando a seus alunos um meio poderoso e muito importante de
desenvolver sua própria compreensão. (ONUCHIC, 1999, p. 208).
Para que haja essa compreensão é necessário que o professor encontre um problema,
chamado comumente de problema-gerador, para o início da tarefa, nesse sentido, o problema
não pode ser de difícil compreensão por parte dos alunos, o que os deixariam desestimulados;
e nem tampouco fácil, pois não causaria empolgação em resolvê-lo. Onuchic (1999) diz que
problema é o ponto de partida e orientação para a aprendizagem, e a construção do
conhecimento far-se-á através de sua resolução. Segundo a autora, “problema é tudo aquilo
que não se sabe fazer mas se está interessado em resolver” (ONUCHIC, 1999, p. 207).
Para uma melhor organização e execução de quaisquer sequências de atividades que
utilizem tal metodologia de ensino-aprendizagem é importante que as atividades sejam
organizadas em dez etapas:
(1) proposição do problema, (2) leitura individual, (3) leitura em conjunto, (4)
resolução do problema, (5) observar e incentivar, (6) registro das resoluções
na lousa, (7) plenária, (8) busca do consenso, (9) formalização do conteúdo, (10) proposição e resolução de novos problemas. (ALLEVATO; ONUCHIC,
2014, p. 44-45).
Estas etapas sevem para orientar o professor no decorrer das suas aulas, no entanto, não
é obrigatório que façam uso de todas as etapas e nessa ordem, alguns trabalhos, talvez não
Título do trabalho
Referência do trabalho
precise da realização da etapa (3) ou não dê tempo para executar a etapa (10). Mas, elas são
fundamentais para que os envolvidos consigam desenvolver o trabalho proposto.
O papel do professor neste contexto é diferente, porque não precisa que a atenção de
seus alunos esteja voltada exclusivamente para a sua fala, e tampouco que aceitem apenas o
que ele diz, pelo contrário, os alunos podem ser questionadores, construtores do seu próprio
conhecimento e o professor irá apenas mediar esta construção, escolhendo o problema gerador,
eliminando problemas secundários que Onuchic e Allevato (2009) os caracterizam como sendo;
dúvidas referentes à notação, à passagem da linguagem vernácula para a linguagem matemática,
a conceitos relacionados e a técnicas operatórias durante a resolução e quaisquer outras dúvidas
que seus alunos apresentarem. Pólya (1967) acredita que
(…) ao ajudar o aluno, o professor deverá dar apenas uma ajuda interior, quer dizer, sugestões que teriam podido nascer no espírito do próprio aluno, e evitar uma ajuda
exterior, quer dizer dar elementos para a solução que não tenham relação com o estado
de espírito do aluno. Afirmo que é importante dar uma ajuda interior, mas não digo
que tal seja fácil. Para fazê-lo com eficácia, isto exige da parte do professor um bom
conhecimento tanto do problema como do aluno; dito de outro modo, o professor deve
ter experimentado e estar familiarizado com as etapas da resolução de problemas que
ocorrem com frequência e naturalmente. (PÓLYA, 2014, p. 49).
Como se pode perceber, o ensino exploratório em sinergia com a metodologia de
Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas na
organização de uma aula permitem o trabalho autônomo dos alunos, a construção do próprio
conhecimento e a discussão coletiva das suas resoluções para o aprofundamento do
conhecimento matemático.
PERCURSO METODOLÓGICO
A delimitação dos sujeitos, procedimentos e instrumentos a serem utilizados foi a parte
mais delicada, como não havia um acompanhamento em uma turma do Ensino Médio houve
dificuldades na escolha do conteúdo matemático a ser trabalhado e de que forma o mesmo seria
abordado. A atuação em uma turma do 1° ano do Ensino Médio, com apenas 15 estudantes, em
uma escola da rede estadual, aconteceu no final de outubro e ao decorrer das aulas foi
delimitado o conteúdo matemático a ser trabalhado; o teorema de Pitágoras.
A escolha do conteúdo se deve ao fato de que através de explicações, exercícios e
aplicações pela professora-pesquisadora (primeira autora deste trabalho), os estudantes
continuavam a apresentar dificuldades em compreender o significado do teorema de Pitágoras,
detendo apenas à sua generalização algébrica.
Título do trabalho
Referência do trabalho
Dessa forma, a pesquisa foi aplicada em seis aulas com duração de 55 minutos cada e,
as atividades selecionadas foram extraídas do livro Vivendo a matemática: descobrindo o
teorema de Pitágoras de Luiz Márcio Imenes (1987). Os problemas planejados sobe o Teorema
de Pitágoras foram escolhidos com o intuito de ressignificar a essência do Teorema a fim de
promover a aprendizagem dos alunos e atingir o objetivo da pesquisa. Para isso, o tipo de
pesquisa utilizada foi a qualitativa, numa abordagem descritiva e interpretativa (LUDKE e
ANDRÉ, 1986), e como metodologia de trabalho em sala de aula usou-se a metodologia de
ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução de problemas com ênfase
no ensino exploratório.
Os instrumentos utilizados para a aplicação da aula foram: quadro, pincel, folha de
ofício, papel milimetrado, papel quadriculado, tesoura, cola, caneta, xerox da sequência de
atividades e o quebra cabeça desenhado em folha de ofício. Como instrumentos de coleta de
dados foram utilizados apenas fotografias e os registros escritos produzidos pelos estudantes.
DESCRIÇÃO E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
As atividades aplicadas tiveram como finalidade (re)significar o Teorema de Pitágoras
através da Resolução de Problemas em tarefas de natureza exploratória. Para isso, na primeira
atividade pediu-se aos estudantes que pintassem os quadrados da Figura que receberam (Figura
1), depois eles precisavam recortar as linhas tracejadas contidas nos dois quadrados pintados,
formando assim, um quebra-cabeça com 5 peças (Figura 2). Prosseguindo com a tarefa, os
estudantes precisavam montar um novo quadrado utilizando todas as peças do quebra-cabeça,
alguns conseguiram montar um retângulo (Figura 3) e diziam ter encontrado a solução correta,
no entanto, algumas perguntas foram feitas para que eles percebessem se a resposta estava
realmente correta.
Professora (P): Qual a definição de quadrado?
Estudantes (E): Uma figura com todos os lados iguais.
Professora (P): A figura que conseguiram montar tem todos os lados iguais?
Estudantes (E): Não.
Figura 1: Quebra-cabeça com os quadrados pintados Figura 2: Quadrados recortados nas linhas pontilhadas
Título do trabalho
Referência do trabalho
Fonte: Dados da pesquisa Fonte: Dados da pesquisa
Figura 3: Retângulo montado com o quebra-cabeça Figura 4: Quadrado montado utilizando as peças do quebra-cabeça
Fonte: Dados da pesquisa Fonte: Dados da pesquisa
Após várias tentativas, cada um em seu ritmo, conseguiu formar o quadrado como na
Figura 4.
É importante salientar dois aspectos, nesse início da atividade, a importância da
inquirição, pois a ideia de inquirição está associada a um ensino de caráter investigativo,
centrado no aluno, orientado por questões, em que a comunicação, reflexão e colaboração têm
um papel muito importante. (CHAPMAN; HEATER, 2010 apud CYRINO; OLIVEIRA, 2016,
p. 22, grifo nosso). E da etapa (5) da metodologia de Resolução de Problemas, segundo Allevato
e Onuchic (2014) - observar e incentivar - que é realizada quando os estudantes estão
desenvolvendo as atividades e
O professor age, enquanto isso, observando o trabalho dos alunos, incentivando-os a
utilizar seus conhecimentos prévios e técnicas operatórias já conhecidas, e
incentivando a troca de ideias. Auxilia nas dificuldades sem, contudo, fornecer
respostas prontas, demonstrando confiança nas condições dos alunos. (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2014, p. 45-46).
Assim, fica evidente que durante a observação e o incentivo realizados pela professora
que aplicou a sequência didática; que a mesma fez uso do processo de inquirição, o que auxilia
tanto no ensino como na aprendizagem matemática.
Prosseguindo com a atividade, os estudantes começaram a trabalhar em grupos com
quatro componentes e desenvolveram a atividade 7, que pedia para incluir o quadrado obtido e
os demais quadrados em cada um dos lados do triângulo, conforme Figura 5.
Título do trabalho
Referência do trabalho
Figura 5: Resolução da questão 7
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 8 pedia aos alunos para comparar a área dos quadrados menores com a área
do quadrado maior obtido pela junção das peça do quebra-cabeça da Figura 5. Para esta questão,
três respostas se destacaram pelos alunos em seus grupos.
E1: Que as áreas são diferentes.
E2: Que a área do quadrado maior forma dois quadrados menores.
E3: Que a área dos quadrados menores juntos, formam a área do maior.
Apesar de repostas diferentes, os alunos fizeram uma comparação entre as áreas dos
quadrados, que os permitiu compreender melhor o significado do enunciado do Teorema de
Pitágoras, ao utilizarem o papel quadriculado, conforme Figura 6. Conseguiram unir os vértices
dos quadrados pequeno, médio e grande, formando no interior, um triângulo retângulo,
semelhante à Figura 5 e, além disso, escreveram com rapidez a quantidade de quadradinhos em
cada um, que pode ser notado como mostrado na Figura 7.
Figura 6: Resolução das questões 9 a 11 Figura 7: Resolução de um grupo para a questão 11.
Fonte: Dados da pesquisa Fonte: Dados da pesquisa
Título do trabalho
Referência do trabalho
Por fim, foi perguntado aos estudantes: _ O que se pode concluir observando a
quantidade de quadradinhos em cada quadrado? Escreva sua conclusão. De acordo com a
Figura 7, questão 11, um grupo conseguiu escrever mais de uma conclusão, evidenciando a
mais importante ao dizer que “a soma dos quadradinhos dos dois quadrados menores é igual
ao total de quadradinhos do quadrado maior”.
As atividades até aqui mencionadas foram exploradas em quatro aulas com duração de
55 minutos, cada, sendo finalizada com a formalização do conteúdo na lousa. Depois, foram
utilizadas mais duas aulas para resolução de novos problemas a fim de perceber se os estudantes
compreenderam o Teorema de Pitágoras. Durante a resolução destes novos problemas, dois
problemas secundários surgiram: 1° - dificuldade em encontrar o valor algébrico da diagonal
de um quadrado; 2° - dificuldades com propriedades da radiciação e potenciação. Tais dúvidas
foram sanadas fazendo perguntas em que eles notavam os equívocos e concluíam qual era a
melhor resposta.
Abaixo, na Figura 8 são apresentadas as respostas de um único grupo, nota-se que
conseguiram encontrar o valor algébrico da diagonal, no qual perceberam que para calcular o
valor da diagonal de qualquer quadrado basta multiplicar o valor da raiz quadrada de 2, pelo
valor do lado do quadrado. No entanto, quando foram encontrar o valor da diagonal do azulejo
de lado 9,5 cm, desconsideraram a fórmula geral da diagonal encontrada. E, quando
questionados, responderam que queriam usar o teorema.
Figura 8: Respostas da atividade ‘Diagonal do quadrado’
Fonte: Dados da pesquisa.
Já, outro grupo quis poupar tempo e ser mais prático, substituiu na fórmula o valor do
comprimento do azulejo de 9,5 cm; multiplicando-o por 1,41 obtendo assim, o valor d = 13,77
cm, o que pode ser verificado na Figura 11.
Título do trabalho
Referência do trabalho
Figura 9: Valor da diagonal utilizando a fórmula d = √2𝑙.
Fonte: Dados da pesquisa.
A resolução desta atividade reforçou o significado que os estudantes construíram sobre
o teorema de Pitágoras, as dificuldades que apareceram, através do diálogo, foram superadas e,
o mais importante os estudantes conseguiram se engajar nas atividades, a pensar
matematicamente, despertando o fazer matemático.
CONCLUSÃO
Durante a aplicação da sequência de atividades ficou visível que os estudantes de fato
compreenderam o que estavam fazendo, sem que mantivessem o foco voltado para o quadro ou
os dizeres do professor. Pelo contrário, o foco estava voltado para a atividade matemática, eles
conseguiram ter concentração, tiravam suas dúvidas que eram esclarecidas através do processo
de inquirição, que é a característica primeira do ensino exploratório, pois, o professor ao fazer
as perguntas corretas induz o estudante às respostas corretas. A atividade foi satisfatória, não
apenas porque os estudantes encontraram as respostas dos enunciados, ou conseguiram
compreender o teorema de Pitágoras, mas porque no seu desenvolvimento, eles desenvolveram
atitude de pensar, que é uma das finalidades essencial no ensino. E para aprender eficazmente,
“o aluno deverá descobrir por si mesmo uma parte da matéria ensinada tão grande quanto
possível nas circunstâncias dadas” (POLYA, 2014, p. 46). E que, possivelmente, será aquilo
que o estudante levará para a sua vida.
No que se refere ao conteúdo matemático escolhido, a princípio ele parece ser fácil sob
o ponto de vista do professor, porque este já detém o conhecimento e o compreende, mas nossos
estudantes precisam de instrumentos que viabilize a construção de seu pensamento e, utilizar o
quebra-cabeça oportunizou uma compreensão mais sólida, porque mesmo conhecendo o
enunciado do teorema, os estudantes não associam que este se refere aos quadrados cujas
medidas dos seus lados são correspondentes aos catetos e a hipotenusa de um triângulo
retângulo qualquer.
Título do trabalho
Referência do trabalho
Durante a realização das tarefas com o uso da Metodologia de ensino-aprendizagem-
avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas numa abordagem exploratória
pode-se perceber a geração de novos conhecimentos relevantes e úteis na aprendizagem dos
estudantes, para além da compreensão do Teorema de Pitágoras. Tais práticas possibilitaram:
um ambiente propício para a participação dos alunos nas discussões coletivas e, neste momento
da aula, a professora-pesquisadora procurou promover a qualidade matemática das
apresentações dos alunos ao lhes pedir explicações para esclarecer ideias e justificações.
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CYRINO, M.C.C.T.; OLIVEIRA, H. M. . Ensino exploratório e casos multimídia na
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Título do trabalho
Referência do trabalho
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