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A Reta

Docente Pedro Macário de Moura

A Matemática é a única

linguagem que temos em

comum com a natureza.

Hawking.

17 Out. 2014 2

A Matemática é a honra do espírito

humano. Leibniz

,AP t v t R

v

P

ij

k

A,P A t v t R

,P A t v t R

Equação Vetorial da Reta Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a

direção de um vetor não nulo . Para que um ponto

P do espaço pertença à reta r, é necessário e

suficiente que os vetores e sejam colineares

(Fig.1), isto é:

Figura1 17 Out. 2014 3


humano. Leibniz

Se , e

temos que a equação vetorial da reta r.

1 1 1, , , , , , ,x y z x y z t a b c t R

, ,P x y z 1 1 1, ,A x y z , ,v a b c

,P A t v t R :r

:r

é chamado vetor diretor da reta r e t é

denominado parâmetro com .

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humano. Leibniz

Exemplos 01. Determinar uma equação vetorial da reta r

que passa pelos pontos A(3,0,-5) e B(7,4,-7).

02. Determinar um vetor gerador e as equações

paramétricas da reta r que passa pelos pontos

A(1, -2, -1) e B(0,-3,2).

03. Determinar a equação vetorial da reta r que

passa pelo ponto A(1,3,2) e tem a direção do

vetor

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humano. Leibniz

Da equação vetorial da reta r temos que:

1 1 1: , , , , , , ,r x y z x y z t a b c t R

1

1

1

: ,

x x ta

r y y tb t R

z z tc

Assim temos as equações paramétricas da

reta r dadas por:

Equações Paramétricas

PS. 17 Out. 2014 6


humano. Leibniz

Exemplos 01. Escreva a equação da reta cuja direção é

definida pelo vetor (2, 1, 2) e que passe pelo ponto

(-2, 3, 4).

02. Seja r a reta determinada pelos pontos A(1,0,1)

e B(3,-2,3).

a) Obtenha a equação vetorial de r;

b) Verifique se o ponto P(-9,10,-9) pertence à reta r.

c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos

de r, distintos de A e B

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humano. Leibniz

Equação Simétrica

Das equações paramétricas da reta r temos que:

Assim para temos que:

1

1

1

: ,

x x ta

r y y tb t R

z z tc

0, 0, 0a b c

1 1 1:x x y y z z

ra b c

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humano. Leibniz

Equações Reduzidas

Considerando cada igualdade das equações simétricas da reta r em separado, e para

temos que: 0, 0, 0a b c

1 1

1 1

x x y y

a b

x x z z

a c

1 1

1 1

b x x a y y

c x x a z z

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humano. Leibniz

Para 0a

1 1

1 1

ay bxby x

a a

az cxcz x

a a

1 1 1 1, ,ay bx az cxb c

m n p e qa a a a

y mx n

z px q

sendo

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humano. Leibniz

Exercícios 1. Dar nas 3 formas a equação da reta que passa em

A(3,-4,10) na direção do vetor

2. Idem ao anterior considerando a reta que passa nos pontos A(3,5,8) e B(4,3,2).

3. Seja a reta t dada por: Dar um vetor que a direciona

Dar um ponto da reta

Escrever as outras formas de sua equação

Dar um ponto da reta de abscissa 13.

Dar um ponto da reta de ordenada ¾.

2 4 8v i j k

3 2 51

2 3 2

x y z

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4. Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se:

a) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e

tem a direção de v

b) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4

respectivamente

c) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4

d) verificar se os pontos D(4,-1,2) e E(5,-4,3) pertencem a r

e) Determinar para que valores de m e n o ponto F(m,5,n)

pertence a r

f) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r

g) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G(5,2,-4) e é paralela a r

h) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y

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5. Escreva as equações paramétricas da reta r

que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4).

6. Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n,

z=px+q, encontre um vetor diretor

7. Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4)

e tem o vetor diretor v=(2,3,0)

Note que a terceira componente de v é nula e

a reta é paralela a x0y

8. Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem

a direção do vetor v=(0,0,3)

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Ângulo de Duas Retas Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2,

respectivamente. Chama-se ângulo de duas retas o

menor ângulo formado pelos vetores diretores

Logo, sendo teta este ângulo tem-se:

cosθ = |<u , v>| /( | u | | v |)

com

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Exemplos 01. Calcule o ângulo entre as retas

x=3+t,

r1: y=t,

z=-1-2t

r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1

02.Verifique se as retas são ortogonais

r1: y=-2x+1,z=4x

r2: x=3-2t,y=4+t,z=t 17 Out. 2014 24


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Exemplos

01. Determinar as equações paramétricas da

reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é

ortogonal às retasr1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4)

e r2: x=5, y=t, z=1-t

02. As retas

são ortogonais

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Condição de coplanaridade

de Duas Retas

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Exemplos 01.Determine o valor de m para que as retas

sejam coplanares

R1:y=mx+2,z=3x-1

R2:x=t,y=1+2t,z=-2t

02.

São coplanares 17 Out. 2014 29


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Posição Relativas de Duas Retas

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Primeiro caso

R1:y=2x-3,z=-x

R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t

Segundo caso

R1:x/2=(y-1)/-1=z

R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1

Terceiro caso

R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4

R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t

Quarto caso

R1:y=3,z=2x

R2:x=y=z

Exemplos Estudar a posição relativa das retas

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Interseção de duas retas

Se duas retas se interceptam, elas são

coplanares, isto é, estão situadas no

mesmo plano. Neste caso, são ditas

concorrentes

Se duas retas não são coplanares, elas

são ditas reversas. Supõe-se que as

retas não são paralelas

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Exemplo

01.Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes

e, em caso afirmativo, determinar o ponto

de interseção

r1:y=-3x+2,z=3x-1

r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t

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Reta Ortogonal a Duas Retas

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Exercícos

01. Encontrar a projeção ortogonal da reta

r: x = y - 1 = z - 2 sobre o plano coordenado xy.

02. A reta r passa pelo ponto A=(1, - 2, - 3) e

forma com os eixos x, y e z respectivamente

ângulos de60º, 90º e 30º.

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EXTRA 01. Uma partícula está animada de um

movimento tal que, no instante t, ela se encontra

no ponto (x,y)=(2+3t,1+4t)

a) determine sua posição nos instantes t=0, t=1 e

t=2.

b) determine o instante no qual a partícula atinge o

ponto (13, 11).

c) a partícula passa pelo ponto (5,6)?

d) descreva sua trajetória.

e) determine sua velocidade no instante t.

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EXTRA 2. Determine a projeção ortogonal do

ponto p(2,4,1) sobre a reta x=1+2t, y=-1+3t,

z=-3-t

EXTRA3. Determine a interseção da reta

y=3x-2. z=x/2+3 com a definida pelos

pontos (2,1,0) e (0,0,1)

EXTRA 4. Determine o lugar geométrico dos

pontos do espaço equidistantes de A(2,1,3),

B(2,0,3) e C(0,3,-1)

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Bom Estudo!

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BIBLIOGRAFIA

REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir

Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed. Rio

de Janeiro: LTC, 2014.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE,

Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São

Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria

Analítica. São Paulo: Pearson Makron

Books, 2000.

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