Limites e Continuidade - univasf.edu.brunivasf.edu.br/~pedro.macario/Limite_e_Continuidade_2016.pdf · físico deseje obter quanto vale determinada medida, ... (1789 –1857 ... nota-se

No reino do espírito, busque clareza; no mundo material, busque utilidade. Leibniz 1 1

GOVERNO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA

PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA

Discente ___________________________________________CPF

Limites e Continuidade

A Importância do Estudo de Limite

O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e

integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as

definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de

limite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma

função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na

compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no

campo das ciências que lidam com a Matemática.

O Cálculo Diferencial e Integral é uma um ramo da matemática, toda ela,

fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função é uma das ideias

fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um

físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na

verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é

experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os

valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela

seria igual ao valor . Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada

por , então podemos representar esse resultado por:

Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito

é de fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que

possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, economia, psicologia, biologia

engenharia entre outras.


Breve Histórico

Uma preocupação já presente, entre os gregos antigos consistia na busca de

procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de

transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos

dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta

ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas

de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou

indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do

círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número

cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir.

Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos

isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura

convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão.

Introdução

Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que

pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.

Exemplos

01. Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele

estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.

02. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.

03. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de

combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.

...


04. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais

potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha

que meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de

unidade

monetária

a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta:

b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: .

c) Quando o preço será de 19 u.m. Resposta: Daqui a 4 meses.

d) O que acontecerá com o preço ao longo prazo Resposta: .

05. Supõe-se que a população de uma certa comunidade sertaneja, daqui a anos, será de

milhares.

a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? Resposta:

milhares.

b) De quanto à população crescerá durante o ano? Resposta – habitantes.

c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resp. Aprox. 20 mil/ha.

PS: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido,

mas do qual se pode aproximar tanto quanto se desejar.

PS. Deve-se a Cauchy (1789–1857), matemático francês, a formalização precisa de limite.

Noção Intuitiva de Limite

Problemas Resolvidos

Problema 01 Inicialmente, vamos tomar a função , definida por – e

determinar o valor de , quando os valores de , encontram-se muito próximos de 2.

Solução:

Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2 pelo lado

esquerdo, é possível determinar os valores de , conforme ilustra na Tabela 1.

Percebe-se que conforme os valores de aproximam-se de 2, os valores de , aproximam-

se de 0.

Por outro lado, atribuindo-se a uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais

de 2, pelo lado direito, é possível determinar os valores de , conforme ilustra na Tabela 1.

Novamente, os valores de , aproximam-se de 0, à medida que os valores de

aproximam-se de 2.


Valores de

tendendo a 2 pela

esquerda.

Valores de

tendendo a 0 pela

esquerda

1 -1

1,5 -0,5

1,8 -0,2

1,9 -0,1

1,99 -0,01

1,999 -0,001

1,9999 -0,0001

1,99999 -0,00001

1,999999 -0,000001

Valores de

tendendo a 2 pela

direita.

Valores de

tendendo a 0 pela

direita.

3 1

2,5 0,5

2,3 0,3

2,1 0,1

2,01 0,01

2,001 0,001

2,0001 0,0001

2,00001 0,00001

2,000001 0,000001

Tabela 1

Graficamente, usando o software Graphmatica, temos:

Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:

0)(lim)(lim)(lim222

xfxfxfxxx

Lê-se: Limites laterais de são iguais ao limite

de quando x tende para 2 e é igual a 0.

Problema 02 Tomemos a função

, suponha que estejamos interessados em saber

de que valor se aproxima quando se aproxima de 3.

Solução: Observe a Tabela 2, atribuamos a x valores menores que 3. Vemos que quanto mais

x se aproxima de 3, mais o valor de se aproxima de 6.

Matematicamente, representamos esta situação por

Lê-se: limite de quando tende a três pela esquerda é igual a 6.


Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3. Note que quanto mais x se

aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais se aproxima de 6.

Matematicamente, representamos esta situação por

Lê-se: limite de quando tende a três pela direita é igual a 6.

Valores de

tendendo a 3

pela esquerda.

Valores de

tendendo a 6

pela esquerda

2,5 5,5

2,8 5,8

2,9 5,9

2,99 5,99

2,999 5,999

2,9999 5,9999

... ...

Valores de

tendendo a 3

pela direita.

Valores de

tendendo a 6

pela direita.

3,4 6,4

3,2 6,2

3,1 6,1

3,01 6,01

3,001 6,001

3,0001 6,0001

... ...

Estes limites são chamados limites laterais.

O limite de uma função existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais

Em linguagem matemática devemos ter

Como os limites anteriores são

iguais, podemos dizer que o limite

existe, existe, ou seja, e

, mas a função não é continua, já

que não está definido.

Observe o gráfico ao lado.


De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma

função , quando tende para , depende somente dos valores de em valores próximos de

, o valor de é irrelevante.

Nota:

Problema 03 O gráfico a seguir representa uma função de em . Determine:

a) b)

c)

d)

e) e)

Solução:

a) b)

c)

d)

e) e)

Problema 04 Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. À medida que o gás

é comprimido, o volume decresce até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa

pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:

a)

b)

c)

Solução:

a)

b)

c) O limite não existe, pois

.


Continuidade em Aplicações

Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de

importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o

tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no

instante (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o

gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque

com unidades quando o estoque cai para unidades. As descontinuidades ocorrem nos

momentos em que acontece o reabastecimento.

Figura 1 Figura 2

Lista de Exercícios

01. Seja a função definida por

. Esboce o gráfico de e calcule

.

02. Dada a função definida por:

. Esboce o gráfico de e calcule

o seu limite quando tende a 1.

03. Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas

adquiridas pelo comprador através da equação

, em que é o preço em

dólares por saca e é o número de sacas vendidas.

a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas?

b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas?

c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?

d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )?

Respostas:

a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) $ 50 quando x


04. Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia

executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um

labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o

labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente

minutos.

a) Para que valores de a função tem significado no contexto do experimento

psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *

b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7

minutos

c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?

Resposta: 12a tentativa

d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para

atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia

capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?

Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 min.

05. O gráfico a seguir representa uma função de em .

Determine:

a) )1(f = b)

)(lim1

xfx

c)

)(lim1

xfx

Resposta: a) 5)1( f b) 3 c) 5

06. Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um

medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do

medicamento presente na corrente sanguínea após t horas é exibida na figura a seguir.

Determine e interprete:

a) )(lim8

tft

b) )(lim8

tfp

Resposta: a) 150 b) 250 Interpretação: Não

existe limite.


07. O gráfico a seguir representa uma função de em

. Determine:

a) )1(f = b)

)(lim1

xfx

c)

)(lim1

xfx

Resposta: a) 4)1( f b) -2 c) 4

08. Se a equação horária de uma partícula é ,16)( 2 ttts determine:

a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1].

b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2.

09. Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma

planta em pode ser dada por

em que (em ) é a quantidade de

fertilizante adicionada. O que acontece se crescer indefinidamente? Faça um comentário

que justifique o resultado obtido.

Resposta Interpretação: Se adicionarmos uma quantidade infinita de adubo a altura

máxima da planta tende a 20 cm. Não se faz, necessário uma quantidade . “É perder

dinheiro”.

Propriedades dos Limites

A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites

sem utilizar a pesquisa do número que aparece na definição de limite.

(P0) Se 1)(lim Lxfax

e 2)(lim Lxfax

, então .21 LL (Teorema da Unicidade do limite).

(P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então ccax

lim isto é o limite de uma constante

é a própria constante.

(P2) Se a, b, m são números reais, então: bmabmxax

)(lim

.

(P3) Se ,)(lim e )(lim

MxgLxfaxax

então:

a) )]()([lim

MLxgxfax


b) )]()([lim

MLxgxfax

c) 0M que desde M

L=

)(

)(lim

xg

xf

ax

d) n) positivo inteiro p/ ( )(lim

nn

axLxf

e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim

nn

axLxf

f) 0 L que desde , .ln)(ln lim

Lxfax

g) )( cosf(x) cos lim

Lax

h) )( f(x)sen lim

Lsenax

i) lim )(

Lxf

axee

Exemplo: Determine o seguinte limite:

)13(lim 2

2 xx

x112.321lim3limlim 2

2

2 2

2

2

3

P

xxx

P

xx

Vemos neste exemplo que o valor de )()(lim

afxfax

Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:

Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim

afxfax

.

Exemplos:

1) Calcule )15(lim 2

2

xx

x512522

2) Calcule

2>xse ,x

2xse 3x, sendo)(lim

22 xf

x .

Solução:Se 623)(lim 22 x

xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2

2 x +

xf .

Portanto, não existe o limite.

Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de

limites.

Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:


)()(lim aqxqax

Exemplos:

1) Calcule 76

125lim

2

3

x

xx

x

Solução:

11

73

11

40

736

13235

76

125lim

22

3

x

xx

x

2) Calcular 3 2

5 943lim

xx

x

Solução:

464 9+20-75 =943lim943lim 333

2

5

3 2

5

xxxx

xx

Em resumo:

Sejam f e g funções tais que: 2px

1px

L)x(flim e L)x(flim

então:

1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx

, ou seja, o limite da soma é igual a soma

dos limites.

2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfkpxpx

3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[limpxpx

21px

4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx

5) 0L que desde ,)x(glim

)x(flim

L

L

)x(g

)x(flim 2

px

px

2

1

px

6) Nn ,)x(flimL)]x(f[limn

px

n

1

n

px

7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1npx

n1

n

px


8)

k ,lim kkpx

, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.

9) pxlimpx

10) )x(glim

px

L

1

)x(g

px

px2 )x(flimL)x(flim

L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nnpx

22px

11px

, então

11) n21n21px

L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim

12) n21n21px

L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim

, 2n,Nn

Exemplos:

1) 24...)8x4(lim 3

2x

2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22

px

3) 2

3...

1x

1xxlim

23

1x

4)

54x3

1x 2

3...

2x

x2xlim

Lista de Exercícios

1) )1x5xx(lim 23

1x

=

2) )3x4x2x(lim 23

1x

=

3) )1x2x2x4(lim 23

2x

=

4) 5x

4x5xlim

2

2

3x

=

5) 2x

10x7xlim

2

2x

=

6) 3x

3x2xlim

2

3x

=

7) xx

x2x5xx3lim

2

234

0x

=

8) 1x2x

3x4xlim

5

3

1x

=

9) 6x

36xlim

2

6x

=

10) 2x3x

1xlim

2

2

1x

=

11) 2x

32xlim

5

2x

=


12) 27x54x36x10x

27x18x8xlim

234

234

3x

=

13) 4x2

2xlim

2x

=

14) 2x

4xlim

4x

=

15) x42

xlim

0x =

16) x22

xlim

0x =

17) 1x

x32lim

1x

=

18) 11x

xlim

0x =

19) 2x

3x21lim

4x

=

20) 11x5x3

22x3x2lim

2

2

2x

=

Respostas:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

8 4 - 5 - 26 5 -3 -4 -2

3

1

12 -2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

80 2 0 4 4 22

4

1

2

3

4

14

5

Limites no Infinito

Introdução:

Consideremos a função f definida por x

xf1

)( e analisemos, mediante uma tabela, o seu

comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos.

x

4

1

3

1

2

1

1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000

4 3 2 1

2

1

3

1

4

1

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os

valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos

tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é

igual a zero”.

x

)(xf

x

0)(lim

xfx

x x


Observação: Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de

valores positivos, escrevemos: “ ”. Devemos enfatizar que não é um número

real. O símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente .

Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável

decrescem ilimitadamente através de valores negativos.

x -

4

1 -

3

1 -

2

1

-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

-4 -3 -2 -1 -

2

1 -

3

1 -

4

1

-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001

Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem

ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez

mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão

decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um

0)(lim

xfx

, que se lê: “limite de f de , quando tende a menos infinito, é igual a zero.

Pelo gráfico da função x

xf1

)( cujo esboço é

indicado pela figura ao lado, notamos que quando

x cresce ilimitadamente através de valores

positivos ( ), os valores da função )(xf

aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E,

portanto, simbolicamente podemos escrever

ou 01

lim xx

.

Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura

indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores

negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero).

Simbolicamente, escrevemos:

0)(lim

xfx

ou 01

lim xx

.

x

x

x

x

)(xf

x

x x

x x

x

0)(lim

xfx

x


Exemplos:

1) Observe o gráfico da função

apresentado na Figura a seguir:

Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende

para o infinito. Isto é, quando . Denotamos por

A função

tende para 2 quando x como podemos observar na Figura a

seguir.

Assim, podemos escrever:


Propriedades dos Limites no Infinito

Limite de uma função Polinomial

Consideremos a função polinomial 13764)( 23 xxxxP , podemos escrevê-la

na seguinte forma:

32

3

4

13

4

7

4

614)(

xxxxxP

Portanto,

32

3

4

13

4

7

4

61lim)4(lim)(lim

xxxxxP

xxx

Ora, é claro que:

14

13

4

7

4

61lim

32

xxxx

Temos, então:

)4(lim)(lim 3xxPxx

Assim, temos dois casos:

)4(lim)(lim 3xxPxx

e

)4(lim)(lim 3xxPxx

Generalizando, sendo 01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxP n

n

n

n

, podemos sempre escrever:

n

nxx

xaxP

lim)(lim

Limite de uma função racional

Dada a função racional )(

)()(

xQ

xPxf , onde P e Q são funções polinomiais em x com:

01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxP n

n

n

n

e 01

2

2

1

1 ...)( bxbxbxbxbxQ m

m

m

m

Sendo 0na e .0mb Tem-se então que:


mn

xm

n

m

m

n

n

xm

mx

n

nx

x

x

xxx

b

a

xb

xa

xb

xa

xQ

xP

xQ

xPxf

limlim

lim

lim

)(lim

)(lim

)(

)(lim)(lim

Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:

1o)

)(lim xfmn

x

2o) 0)(lim

xfmn

x

3o)

m

n

x b

axfmn

)(lim

Exemplos:

1)

x

x

x

xx

xxx

xxxlim

9

10

9

10lim

4109

115810lim

2

3

2

23

2) 00151

lim1515

lim21012

1196815lim

4

3

24

23

xx

x

xxx

xxx

xxx

3) 5

71lim

5

7

5

7lim

58145

21187lim

3

3

23

23

xxx x

x

xxx

xxx

4) Calcule 1

lim2 x

x

x

Solução:

Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx ( ,0x pois )x e então dividimos o

numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x

11

1

1lim

1lim

1lim

1lim

222

2

2

2

2

2

2

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xxxx


5) Calcule xxxx

43lim 2

Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx 432 , temos:

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

43

43lim

43

43lim

43

4343lim43lim

22

22

2

222

Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:

2

3

11

3

143

1

43

lim43

43

lim43lim

2222

2

2

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

xxxxxx

Exercícios

01. Calcule os limites indicados:

a) 43

3lim

2

2

x

xx

x Resposta: 1/3

b) 35

23lim

2

x

x

x Resposta: 0

c) 62

3lim

2

x

x

x Resposta: 0

d) x

x

x

2

34lim Resposta: 2

e) xxx

1lim 2 Resposta: 0

f) xxxx

2lim Resposta: 1

g) xx

1lim

Resposta: 0

h) xx

12lim

Resposta: 2

i) 4lim 2

xxx

Resposta:


j) x

xe

lim Resposta: 0

k)

22

1lim

xx Resposta: 1

l)

31

1lim

xx Resposta: 1

m)

x

xe

1

3lim Resposta: 4

n) 1lnlim 2

xx

Resposta:

o) 1lnlim 2

xx

Resposta:

p) 1lim 2

xxx

Resposta: 0

02. Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:

15limd) 7816

364lim)

43lim b) 723lim)

2x3

2

2

2x

3

2

21

xx

xxc

xxxxa

x

x

32

2

34

32

1

42

2

1

352limh)

)56(

)354(limg)

92

16limf)

276

352lim)

2

1

x

xx

t

tt

s

s

xx

xxe

xt

sx

3 xsex +4

-3< xse 9

sendo f(x)limj)

2343lim)

2

3x

32

2

x

xxix

2> xse2x -4

2 xse x= f(x) sendo ),(lim)

3

2xfk

x

03. Calcule os limites:

2

3x2

2

1

32x5

x-9- xlimd) 344

62x lim)

x2

2x-5 limb)

1-x

23x lim)

xx

xc

a

x

x


04. Considere a função definida por:

1 1

1 4

1 3

)(

2 xsex

xse

xsex

xf , determine:

)(lim (c) )(lim )()(lim)(1x1x1x

xfxfbxfa

05. Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se

existirem: )(lim )()(lim )()(lim)(

111xfiiixfiixfi

xxx

1 xse x -3

1 xse 13)()

1 xse 1x

1 xse 4)()

2

xxfb

xxfa

1 xse 2-x

1 xse 2

1 xse

)()

2x

xfc

06. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada

item abaixo. Caso não exista, justifique.

f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim3 3 3 0 - xxxx

a



f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim2 2 1 3 3 3 -- xxxxxx

a




)(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf)

)(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim)

12

22333

xfxf

xfxfxfcxfxfa

xx

xxxxx

09. Calcule os seguintes limites laterais:

9

lim)f 36

6lim)e

4

2lim)

4

lim)c 2

lim)b 4

2lim)

23

26

22

422

2

x

x

x

x

x

xd

x

x

x

x

x

xa

xxx

xxx

10. Calcule o )(lim2

xfx

sendo:

2 x se 5

2 xse 2

4

)(

2

x

x

xf

RESPOSTAS: 1) a)-13 b) 425 c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 34

5

i) 6 j) 1 k ) não existe 2) a) 1 b) 4 c)3 d)2 3) a) 17/2 b)

1/64 c) 1 d)3 4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)111

xfxfxfaxxx


5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)111

xfxfxfaxxx

2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)111

xfxfxfbxxx

1)(limlogo1)(lim;1)(lim)111

xfxfxfcxxx

6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3

7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1

08) a) + b) - c) não existe d) - e) -

f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe

09) f) e) d) -c) b) )a

10) 4)(lim2

xfx

FUNÇÕES CONTÍNUAS

1. Introdução:

Sejam f e g funções de gráficos:

Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g

apresenta um salto a outra não.

Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p

é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é:


Por exemplo, se e p = 2, temos que:

As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas

contínuas nesse ponto.

2. Definição:

Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições

abaixo:

(i) )( pf

(ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxfpxpxpx

(iii) f(p))(lim

xfpx

Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é

descontínua em .px

Exemplos:

1) Verifique se a função xxxf 352)( é contínua em .4x

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:

12343542)4( f

12343542)352(lim)(lim4

xxxfxpx

)4()(lim4

fxfx

Portanto, como )4()(lim4

fxfx

a função é contínua em

2) Verifique se a função 2

|2|)(

xxf é contínua em .2x

Solução: Primeiramente, lembramos que:

)()(lim pfxfpx

4)( 2 xxf

)()2(042)4(lim)(lim 22

2pffxxf

xpx

.4x


2se,2

2

2se,2

2

2

|2|

xx

xx

x

A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:

02

0

2

22)2(

f .

Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:

02

0

2

22

2

2lim

2

|2|lim)(lim

222

xxxf

xxx

e

02

0

2

22

2

2lim

2

|2|lim)(lim

222

xxxf

xxx

Como )(lim)(lim22

xfxfxx

)(lim2

xfx

e 0)(lim2

xfx

.

)2()(lim2

fxfx

. Portanto, como )2()(lim2

fxfx

a função é contínua em .2x

3) Verifique se a função

3,3

3,2

3,1

)(

2

xsex

xse

xsex

xf é contínua em .3x


2)3( f .


81913)1(lim)(lim 22

33

xxf

xx e 033)3(lim)(lim

33

xxf

xx

Como )(lim)(lim33

xfxfxx

não existe )(lim3

xfx

e, portanto a função dada não é contínua

em .3x

4) Verifique se a função

2,3

2,2)(

2 xsexx

xsexxf é contínua em .2x


422)2( f .


422)2(lim)(lim22

xxfxx

e

264232)3(lim)(lim 22

22

xxxf

xx


Como )(lim)(lim22

xfxfxx

não existe )(lim2

xfx

e, portanto a função dada é descontínua

em .2x

Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e

podemos constatar que o mesmo tem um “salto”

em .2x

5) A função 1

1)(

2

x

xxf não é contínua no

ponto ,1x pois a função dada não é definida no ponto especificado. Graficamente,

temos:

6) A função

1,1

1,1

1

)(

2

xse

xsex

x

xg também não é contínua no ponto ,1x pois:

1)1( g .

Limites laterais:

211)1(lim)1(

)1()1(lim

1

)1(lim)(lim

11

2

11

x

x

xx

x

xxg

xxxx

e

211)1(lim)1(

)1()1(lim

1

)1(lim)(lim

11

2

11

x

x

xx

x

xxg

xxxx


Como )(lim)(lim11

xgxgxx

)(lim1

xgx

e 2)(lim1

xgx

.

)2(12)(lim1

gxgx

Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto

especificado, como confirma o gráfico a seguir:

7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função

3,92

30,2

0,4

)( 2

xsex

xsexx

xsex

xf .

Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0x e .3x

Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0x

assim:

.000002)0( 2 f

Limites laterais:

0)4(lim)(lim00

xxfxx

e 0)2(lim)(lim 2

00

xxxf

xx


Como )(lim)(lim00

xfxfxx

)(lim0

xfx

e 0)(lim0

xfx

.

)0()(lim0

fxfx

Logo, como )0()(lim0

fxfx


Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para

o ponto ,3x assim:

.396332)3( 2 f

Limites laterais:

396332)2(lim)(lim 22

33

xxxf

xx

e

396932)92(lim)(lim33

xxfxx

Como )(lim)(lim33

xfxfxx

)(lim3

xfx

e 3)(lim3

xfx

.

)3()(lim3

fxfx

Logo, como )3()(lim3

fxfx


Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é

continua, concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem

qualquer tipo de salto ou interrupção.

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados:

a) 5 xem 2x

x3)x(f

b) 4 xem

4x

1)x(f


c) 0 xem e1)x(f x

1

d)

-1 xse 3x,

1- xem 1 xse ,1

-1 xse ,1

23

)(

2

x

xx

xf

e) 2 xem 2 xse ,2x

2 xse 6,-7x)(

2

xf f) 3em32)( 2 xxxf

g) 1. xem 1

1)(

xxf h) 4 xem

4 xse2x -10

4 xse 2

4 xse 103

)(

x

xf

2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado:

a) 2 xem

2 xse a,

2 xse ,2

65

)(

2

x

xx

xf b) 4 xem

4 xse a,3x

4 xse ,4

2

)(

x

x

xf

c) 0 xem

0 xse a,43x

0 xse ,22

)(2

x

x

x

xf

Respostas:

1)

a b c d e f g h

sim não não não sim sim não Sim

2)

a b c

a = -1

4

47a

4

2a


3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua

resposta.

a)

2,

2,4

2,2

)(

2 se xx

se x

xsex

xf b)

xsex

xsexxf

1,1

1,12)(

c)

0,2

0,5

0,23

)(

x se

xse

xsex

xf d)

65,3

51,2

1,1

xsex

x sex

xsex

f(x)

4) A função

2,2

21,1

1,1

)(

2

x se

xse x

x sex

xf possui algum ponto de descontinuidade? Quais?

Justifique.

5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique

sua resposta.

a) 3)( xxf b)1

23)(

x

xxf c)

2

2)(

2

x

xxxf

d)

2 xse 1,

2xse,2

2

)(

2

x

xx

xf e)

5xse 2,

5xse,3)(

xxf f)

1xse x,-3

1xse2,2x-)(

2xxf

6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta.

a)

2

2)(

2

x

xxxf b)

0xse1,

0xse,1

)( 2xxf c)

2xse1,

2xse,2

2

)(

2

x

xx

xf


7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado.

a) 3 xem

3 x se m,

3 xse ,3

9

)(

2

x

x

xf b) 0 xem

0 x se m,

0 xse,3)(

2

x

xx

xf

8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta.

a)

1xse 2x,

1xse,1)(

2xxf b)

1xse 2,x

1xse,2)(

2xxf

9) Explique porque f(x) não é contínua em x.

a) 3 x em3

5)(

xxf b) 2 xem

2 x se 5,

2 xse,2

4

)(

2

x

x

xf

c) 1 xem

1 xse ,

1 x se 3,

1 xse 2,x

)(

x

xf d) 3xem3

9)(

2

x

xxf

10) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de x a função é

descontínua? Por quê?

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS -

CALCULE

1) x2

x3senlim

0x

2) x4

xsenlim

0x

3) x3

x2tglim

0x

11) xsen

xsentgxlim

20x

12) xsenxcos

x2coslim

4

πx


4) x3sen

x4senlim

0x

5) x5tg

x3tglim

0x

6) x

xcos1lim

0x

7) xsen.x

xcos1lim

0x

8) 20x x

xsec1lim

9) x

xsentgxlim

0x

10) tgx1

xcosxsenlim

4

πx

13) xsenx

xsenxlim

0x

14) x3senx

x2senxlim

0x

15) x4sen

x3cosx5coslim

0x

16) xsen

x2senx3senlim

0x

17) x

asen)axsen(lim

0x

18) x

acos)axcos(lim

0x

19) xπ

2

xsen1

limπx

20) 20x x3

x2cos1lim

Respostas:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

2

3

4

1

3

2

3

4

5

3

0

2

1

2

1

2

2

2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 2 0

4

1

0 1 a cos a sen

0

3

2

21) Calcule os seguintes limites:

a) xtg

x lim

0 x b)

2xsen lim

0 xx c)

xsenx 5

4xsen lim

0 d)

3

hsen lim

0 hh

e) 2

2

0

cos-1 lim

x

x

x f)

1 cos

x- lim

2

2

0 xx g)

xx cos1

senxx lim

0

Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1

g) 2



1) Mostre que:

a) 12

4

0)31(lim ex x

x

b) 2x

1

0xe)x21(lim

c)

33

1x

1

0xee

3

x1lim

d) 7

4x

1

0xe

7

x41lim

e)

e

1e)x1(lim 1x

1

0x

f) π

1x

1

0xe

π

x1lim

2) Calcule os seguintes limites:

a)

2

n

11 lim

n

n b)

n

31 lim

n

n

c)

x1

x lim

x

x

d) x

51 lim

1

x

x e)

xsen

xsenx

1

1 lim

Resposta: a) e b) e3 c) e

-1 d) e

5

e) e

3) Calcule os limites abaixo:

a)

x 1

ln 2 xlim Fazer x+ 1 = u

x+1

b)

x 2

ln 3 xlim Fazer x+ 2 = u

x+2

c) x

x 0

2 1lim

x

d)

senx

x 0

e 1lim

senx

e) x 0

sen5xlim

tg4x f)

x2

cos xlim

x2

g) 2

x 0

ln 1 xlim

x

h)

3

x 1

ln xlim

x 1

i) cossec x

x 0lim 1+senx ( Fazer sen x = u)

j) 2 x 0

1 cos xlim

x


k) 3 x 0

tgx senxlim

x

l)

1

x 4

x 4

1+xlim

5

m) x

x x 0

10 1lim

5 1

(dividir por x Num. e Den.) n)

x

x

2lim 1+

x

Resposta: a) 1 b) 1 c) 1/ e

2log d) 1 e) 5/4 f) 1

g) 2

h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 1/ 5log

n) e2

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

(Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco)

1. INTRODUÇÃO

Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de

uma reta a medida que x cresce ( x + ) ou decresce (x ). Veja as Figuras a seguir:

Essas retas são chamadas assíntotas.


Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas

horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.

2. Assíntota Vertical

Dizemos que a reta ax é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

)(lim)( )(lim)()(lim)( )(lim)(

xfivxfiiixfiixfiaxaxaxax

3. Assíntota Horizontal

Dizemos que a reta by é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

bxfiibxfixx

)(lim)( )(lim)(

Exemplos:

1) Seja a função 3

5)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais,

se elas existirem.

Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função.

Verificamos, facilmente que }.3{)( fD Sendo assim, vamos calcular: )3(

5lim

3 xx .

Para calcular o limite da função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais,

assim:

Para calcular )3(

5lim

3 xx, fazemos com 0h , assim temos:

51

lim5)(

5lim

)33(

5lim

)3(

5lim

0003 hhhx hhhx

,3 hx


Por outro lado, para calcular )3(

5lim

3 xx, fazemos ,3 hx com 0h , assim temos:

51

lim55

lim)33(

5lim

)3(

5lim

0003 hhhx hhhx

Desta forma, temos:

)(lim)(lim33

xfexfxx

Logo, 3x é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).

Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.

Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:

05

lim3

5lim)(lim

xxxf

xxx

Logo, 0y é a assíntota horizontal.

O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:

2)

3) Considere a função 2)2(

43)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais

e/ou verticais, se elas existirem.


Solução:

Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que

}.2{)( fD

Sendo assim, vamos calcular 22 )2(

43lim

xx.

Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais,

assim:

Para calcular 2

2 )2(

43lim

xx, fazemos hx 2 , com ,0h vamos a:

34

lim3 lim4

3 lim)(

43 lim

)22(

43 lim

)2(

43 lim

200 20 20 20 22 hhhhx hhhhhx

Agora para calcular 2

2 )2(

43lim

xx, fazemos hx 2 , com 0h , vamos a:

34

lim3 lim4

3 lim)22(

43 lim

)2(

43 lim

200 20 20 22 hhhx hhhhx

Assim, temos:

)(lim2

xfx

e )(lim2

xfx

Logo 2x é uma Assíntota Vertical da função dada.

Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:

Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular 2 )2(

43 lim

xx, ou seja:


3034

lim3 lim44

43 lim

)2(

43 lim

2 2 2

xxxx xxxx

Logo, 3y é a assíntota horizontal.

O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:


1) Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da

função dada.

a) 2

5

xy b)

1-x

12x y

c)

x

2 y d)

1)-(x

2 y

2 e)

2-x

3 1- y

2) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de

cada gráfico.

a) 2

13)(

x

xxf b)

32)(

2xxf c)

1

35)(

x

xxf d)

1

3)(x

xf

e)

2

1)(

2

x

xf f) 4

4)(

xxf g)

2

3)(

xxf h)

4.3

1)(

xxxf


3) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é

função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo

gráfico da figura a seguir;

Representada por ,P

KV onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura

do gás.

a) Com respeito à função ,P

KV 0P (não tem sentido físico considerar a pressão P nula

ou negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta:

Aumenta, tendendo a mais infinito.

b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce,

tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui,

tendendo a zero.

4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes,

0f ). Seja e o eixo principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P’ a

imagem correspondente. As abscissas p e p’ de P e P’ respectivamente, tomadas em

relação ao centro ótico o da lente, se relacionam através da equação de Gauss:

,1

'

11

fpp dessa equação tiramos que: ,'

fp

pfp

onde f é uma constante que depende

da lente. Construa o gráfico de p’ em função de p.


5) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a

descarga de um capacitor C e uma resistência R.

Sabe-se que: .0RC

t

eIi

a) Determine a corrente inicial para t = 0.

b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente.

c) Faça um esboço da corrente em função do tempo.

d) 6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por

0|,|

0,1

)(

xsex

xsexxf . A seguir

determine:

a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) =

b) A imagem da função. Resposta: Im(f) = [0, +[ = {y / y 0}

c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente

d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas

coordenadas? Resposta: Sim, a função possui 1 (um) ponto de mínimo global em (0, 0)

Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple

, temos:


Definição de Limite Formal de Limite

Seja f(x) definida em um intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a.

Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos:

Lxfax

)(lim

se para todo ,0 existe um ,0 tal que )( Lxf sempre que . 0 ax

Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto:

(i) equivale a axa e ax .

(ii) equivale a .)( LxfL

A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real.

Reformulando a definição de limites, teremos:

significa que, para todo ,0 existe um tal que se x está no intervalo aberto

),( aa e ax , então f(x) está no intervalo aberto ).,( LL Veja a figura a seguir.

0 ax

)( Lxf

Lxfax

)( lim

0


2. A definição formal de Limite

A definição formal de limite é dado a seguir.

Definição: Diremos que L é o limite de uma função f, quando xx0 se, para todo > 0 existe

> 0 tal que

0 < |x - x0| < |f(x) - L| <

Observação: Tomamos 0 < |x - x0| < (|x - x0| 0) para fazer ênfase que na análise do limite

o ponto x = x0 não interessa.

Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por estamos

denotando um número pequeno qualquer, portanto |f(x) – L| < quer dizer que f(x) está

próximo de L. Nestas condições, o limite de f quando x xo é igual a L se existe um

intervalo que contenha a xo, que faça que a imagem de todo ponto deste intervalo continue

estando próximo de L, isto é que faça que |f(x) – L| < . Dai o fato que deve existir um

número > 0, pois o intervalo em questão será ]xo – , xo + [.

Exemplos:

1) Mostre que o limite da função f(x) = 3x – 1 é igual a L = 2 quando x 1.

Solução: Neste caso é simples conferir que .2)(lim1

xfx


Provaremos que para todo > 0, é possível encontrar > 0, satisfazendo

0 < |x - 1| < |f(x) – 2| <

Para mostrar que existe > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a

desigualdade

|f(x) – 2| = |3x – 1 – 2| = |3x – 3| = 3|x – 1| <

Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar = /3, portanto

0 < |x - 1| < /3 |f(x) – 2| <

2) Usando a definição de limite, prove que:

213x lim1

x

Para esta prova devemos mostrar que, > 0, > 0, tal que:

2)13( x sempre que 1 0 x

O exame da desigualdade envolvendo proporciona uma chave para escolha de .

As seguintes desigualdades são equivalentes:

3 1 13 )1(3 33( 2)13(

xxxxx

A última desigualdade nos sugere a escolha do . Fazendo ,3

vem que:

2)13( x sempre que 1 0 x

Portanto,

213x lim1

x

.

3) Usando a definição de limite, prove que:


16 lim 2

4

x

x

Mostre que, dado > 0, > 0, tal que:

16 2x sempre que 4 0 x

Da desigualdade envolvendo , temos.

4 .4 16 2 xxx

Necessitamos agora substituir 4 x por um valor constante. Neste caso, vamos supor:

0 < ≤ 1, e então, de 4 0 x , seguem as seguintes desigualdades equivalentes:

9 4 x 75 x 314114 xx

Logo,

9 4 x

Escolhendo ,1,9

min

temos que se 4 x então:

9 9

9 4 .4 16 2

xxx

Portanto,

16 lim 2

4

x

x

4) Mostre que .31

1lim

3

1

x

x

x

Solução: Pela definição, temos que provar que para todo > 0, é possível encontrar > 0,

satisfazendo

0 < |x - 1| < |f(x) – 3| <

De acordo com a definição, dado > 0 devemos encontrar > 0 que verifique a desigualdade

acima. Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade


2123131

1 223

xxxxxx

x

x

Note que para x próximo de 1, a expressão acima está próximo de zero. Para descrever isto

em termos de desigualdades, necessitamos estimar o termo |x + 2|. Para isto suporemos que |x

– 1| < 1, desta forma teremos que

|x – 1| < 1 -1 < x – 1 < 1 2 < x + 2 < 4

Desta forma,

142131

13

xxx

x

x

Finalmente, tomando = /4, encontramos

0 < |x - 1| < /4 |f(x) – 3| <

Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se = min {/4, 1}.


1) Prove o limite 1073x lim1

x

. Utilize: = 0,5

2) Prove o limite 21

1x lim

2

1

xx

. Utilize: = 0,75

3) Prove o limite 3

1

x-2

1 lim

5

x

. Utilize: = 0,75

BIBLIOGRAFIA

HUGHES-HALLET, Débora [et al]. Cálculo e Aplicações. São Paulo: Edgar Blucher, 1999.

LEITHOULD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1, 3ª ed. São Paulo: Harbra,

1994.

THOMAS, George B. [et al]. Cálculo, Vol. 1. 12ª ed. São Paulo: Pearson Education do

Brasil, 2012.

TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Cengage,

2015.

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