1

Cálculo Numérico

Introdução

Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

twitter.com/jorgecav

Universidade Federal do Vale do São Francisco

2

Cálculo Numérico – Plano de Ensino

Objetivos

Ementa

Metodologia, Técnicas de Ensino

Recursos Didáticos

Avaliação

Bibliografia

3

Fornecer condições para que os alunos possamconhecer, calcular, utilizar e aplicar métodosnuméricos na solução de problemas deengenharia.

Estudar a construção de métodos numéricos,analisar em que condições se pode ter agarantia de que os resultados computados estãopróximos dos exatos, baseados nosconhecimentos sobre os métodos.

Cálculo Numérico – Objetivos do Curso

4

Visão de Engenharia x de Matemática/Computação

Conceitos e entendimentos básicos de CN

Noções de precisão e eficiência nas soluções

Introdução dos métodos tradicionais

Aplicação de ferramentas disponíveis

O que a disciplina vai oferecer?

5

Cálculo Numérico – Ementa

1. Motivação

2. Conceitos básicos: princípios usados emcálculo numérico, representação binária denúmeros inteiros e reais, Padrão IEEE.

3. Problemas: geração e propagação de erros.

4. Resoluções Numéricas: métodos tradicionaispara cálculo numérico.

5. Aplicação: exame de bibliotecas e ferramentasatuais

6

1. Motivação & Conceitos Básicos

2. Erros

3. Soluções de Equações Algébricas eTranscendentes

4. Sistemas de Equações Lineares

5. Interpolação Polinomial e Ajuste deCurvas

6. Integração Numérica

Cálculo Numérico – Programa

7

Metodologia & Técnicas de Ensino

Aulas Expositivas;

Aulas Práticas em Laboratório;

Atividades individuais e em grupo.

8

Cálculo Numérico – Avaliação

Avaliações em sala.

Possibilidade de trabalhos extras.

9

Cálculo Numérico – Bibliografia

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico:

aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron,

1997.

BARROSO, L. C., BARROSO, M. A., CAMPOS, F. F., CARVALHO,

M. L. B. & MAIA, M. L. Cálculo Numérico (Com Aplicações),

2.ed. São Paulo, Editora Arbra, 1987.

BURDEN, R. L. Análise Numérica, Pioneira Thomson Learning,

São Paulo, 2003.

Slides em http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/.

10

O que é o Cálculo

Numérico ?

Cálculo Numérico – Introdução

11

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de

ferramentas ou métodos usados para se obter a

solução de problemas matemáticos de forma

aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas

que não apresentam uma solução exata, portanto

precisam ser resolvidos numericamente.

Cálculo Numérico – Introdução

12

Exemplo:

Circuito elétrico composto de uma

fonte de tensão e um resistor.

0 iRVR

Vi Solução exata

Introdução de um diodo no circuito:

1ln

sI

i

q

kTiv 01ln

sI

i

q

kTiRV

Solução utilizando

métodos numéricos

VR

i

VR

Di

Cálculo Numérico – Introdução

13

Por que produzir

resultados numéricos?

Cálculo Numérico – Introdução

14

1. Um problema de Matemática pode ser resolvidoanaliticamente, mas esse método pode se tornarimpraticável com o aumento do tamanho doproblema.

Exemplo: solução de sistemas de equações lineares(cálculo de estruturas, redes elétricas etc.).

Cálculo Numérico – Introdução

15

2. A existência de problemas para os quais não existemmétodos matemáticos para solução (não podem serresolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) não tem primitiva em forma simples;

b) equações diferenciais parciais não lineares podemser resolvidas analiticamente só em casosparticulares.

dxex2

Cálculo Numérico – Introdução

16

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas

para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como

tais, não são exatos. Uma medida física não é um

número, é um intervalo, pela própria imprecisão das

medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do

erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação

do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos

métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do

erro, do desvio.

Cálculo Numérico – Introdução

17

Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através

de métodos numéricos

modelo matemático”

Cálculo Numérico – Introdução

18

Fluxograma – Solução Numérica

PROBLEMAMODELO

MATEMÁTICOSOLUÇÃO

modelagem resolução

PROBLEMA

ESCOLHA DO MÉTODO

NUMÉRICO

IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

CONSTRUÇÃO DO MODELO

MATEMÁTICO

LEVANTAMENTO DE DADOS

ANÁLISE DOS RESULTADOS

VERIFICAÇÃO

Cálculo Numérico – Introdução

19

Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Limitação na representação numérica (24 bits : 1/10s)

Cálculo Numérico – Introdução

20

Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 2: Explosão de foguetes(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)

Erro de trajetória 36,7 s

após o lançamento

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

Cálculo Numérico – Introdução

21

Desastres Causados por erros de cálculo numérico

http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/

Aplicações de cálculo numérico na engenharia.

Determinação de raízes de equações

Interpolação de valores tabelados

Integração numérica, entre outros.

Cálculo Numérico – Introdução