Lista 1: Introdução ao Estudo de Limites 09.03univasf.edu.br/~pedro.macario/Lista_1_Introdução_ao...Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes 1 Universidade

Daria tudo que sei pela metade do que ignoro. René Descartes 1

Universidade Federal do Vale do São Francisco

Colegiado de Engenharia Elétrica

Prof. Pedro Macário de Moura

[email protected]

Lista – 1: Introdução ao Estudo de Limites 09.03.2015

Parte I Introdução

Problema 01

Fatore os polinômios:

a) xx 52

b) 9124 2 xx

c) 842 23 xxx

d) 94 2 x

e) bbxaax

f) 258064 2 yy

g) 3223 baba

h) 356 65 aaa

i) 222 44 babxxa

j) aba 1812 2

k) 223 yxyyxx

l) 912x

m) 222 abccabbca

n)

o) Determinar o limite para qual tende a

fração decimal 0,12121212...

Problema 02 Os biólogos descobriram que a velocidade do sangue em uma artéria é função

da distância entre o sangue e o eixo central da artéria. De acordo com a lei de Poiseluille, a

velocidade (em centímetros por segundo) do sangue que estar a centímetros do eixo central

de uma artéria e dado pela função onde é uma constante e R o raio da

artéria. Suponha que, para uma certa artéria, e

. Determine a velocidade do sangue no eixo central da artéria.

Problema 03 Em algumas espécies de animais, a ingestão de alimentos é afetada pelo grau de

vigilância que o animal precisa manter enquanto está comendo. Em outras palavras, é difícil

de alimentar adequadamente se você tem que estar em guarda o tempo todo para não ser

comido por um predador. Em um modelo proposto recentemente por (A.W.Willius e

C.Fitzgibbon), se o animal se alimenta de plantas que permite uma mordida de tamanho , a

ingestão de alimentos é dada por uma função da forma.

Onde e são

constantes positivas. O que acontece com a ingestão se o tamanho da mordida aumentar

indefinidamente? Interprete o resultado

Problema 04 A função representa a potência de um

processador de computador em função do tempo. Calcule e interprete fisicamente o

resultado


Problema 05 A massa do coração de um mamífero é proporcional à massa de seu corpo.

Ou seja . Um ser humano com 70 quilos tem um coração de quilos. Use essa

informação para encontrar a constante de proporcionalidade , encontrada a constante de

proporcionalidade estime a massa do coração de um cavalo cuja massa é de 650 quilos.

Problema 06 A área de superfície de um mamífero satisfaz a equação , onde

é a massa do corpo e a constante de proporcionalidade depende da forma do corpo do

mamífero. Um humano com massa de 70 quilos tem uma área de superfície de 18.600 .

Encontre a constante de proporcionalidade para os humanos. Encontre a área de superfície de

um humano com 60 quilos.

Problema 07 Seja c a velocidade da luz (aproximadamente m/s, o u 300.00km/s).

Pela teoria de Einstein, a fórmula de contração de Lorentz

, especifica a

relação entre o comprimento de um objeto que se move a uma velocidade com respeito a

um observador e seu comprimento em repouso. A fórmula implica que o comprimento do

objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando

está em repouso. Determine e interprete . E explique por que é necessário um limite

lateral esquerdo.

Problema 08 O custo em dólares para remover p% dos poluentes da água de um pequeno

lago é dado por

em que c é o custo e p é a porcentagem de

poluentes.

a) Determine o custo para remover 50% dos poluentes.

b) Qual a porcentagem de poluentes que pode ser removida por $ 100.000?

c) Calcule e explique sua conclusão.

Problema 09 A taxa de produção na fotossíntese e ligada à intensidade I da luz pela função

, onde e são constantes positivas. Calcule e esboce o gráfico se

.

Problema 10 Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função

e esboce o seu

gráfico.


Problema 11 A Marcenaria Macambira fabrica uma alinha de mesas para executivos. Estima-

se que o custo total da fabricação de mesas de certo modelo é de

reais por ano. Determine o custo médio quando .

Problema 12

Suponha que um peixe nadando uma distância metro a uma velocidade m/s contra a

corrente de m/s tem um gasto total de energia de

onde é medido

em metros/libra e é a constante. Calcule e interprete cada resultado

Problema 13 Um gás (tal como vapor d’água ou

oxigênio) é mantido a temperatura constante no pistão

da figura ao lado. À medida que o gás é comprimido, o

volume decresce até que atinja uma certa pressão

crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma

líquida. Use o gráfico para achar e interpretar.

Problema 14 Na teoria da relatividade, a massa de uma partícula com velocidade é

Onde é a massa da partícula no repouso e c é a velocidade da luz. O que acontece se

Problema 15 Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um

experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que

o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem

de

, minutos. O que acontece com esse tempo quando o número de

tentativas aumentar indefinidamente? Interprete este o resultado.

Problema 16 O custo por disco em reais que a Quixajuba gravações têm ao fabricar DVD é

dado pela função custo total , calcule o custo médio quando tende ao

infinito e interprete o resultado.


Problema 17 Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é , a

produtividade pode ser modelada pela função de Michaelis-Menten

Onde e são constantes positivas. O que acontece com a produtividade se o teor de

nitrogênio aumentar indefinidamente?

Noção Intuitiva de Limite

Seja a função . Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita

(valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor

correspondente de y:

x y = 2x + 1

1,5 4

1,3 3,6

1,1 3,2

1,05 3,1

1,02 3,04

1,01 3,02

x y = 2x + 1

0,5 2

0,7 2,4

0,9 2,8

0,95 2,9

0,98 2,96

0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende

para 1, x 1, y tende para 3, y 3, ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o

estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1, x 1. Nem é preciso que x assuma

o valor 1. Se f(x) tende para 3, f(x) 3, dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3,

embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.


De forma geral, escrevemos:

Definição formal de limite

Exemplo: Seja

. Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1, x 1, f(x) se aproxima de 3, embora para x=1

tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no

caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:


Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1.

No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Limites Laterais

Propriedades operatórias dos limites

1ª Propriedade: Limite de uma função constante

kxfax

)(lim , f(x) = k

Exemplo: f(x) = 5, 55lim2

x

2ª Propriedade: Limite de uma soma (ou diferença) algébrica

cbxgxfxgxfaxaxax

)()()()( limlimlim

Exemplo: 182416limlimlimlim2

2

2

4

2

24

2

xxxxxxxxxx

3ª Propriedade: Limite de um produto

cbxgxfxgxfaxaxax

.)(.)()(.)( limlimlim

Exemplo: 82.4.44 limlimlim222

xxxxx


4ª Propriedade: Limite de um quociente

c

b

xg

xf

xg

xf

ax

sx

ax

)(

)(

)(

)(

lim

limlim

Exemplo: 1

3

1

3

1

3

limlim

limlim

lim

limlim

11

1

2

1

1

2

12

1

xx

xx

x

x

x x

x

x

x

x

x

5ª Propriedade: Limite de uma potência

n

n

ax

n

ax

bxfxf

)()( limlim

Exemplo: 932

2

3

2

3limlim

xxxx

6ª Propriedade: Limite de um radical

nn

ax

n

ax

bxfxf

)()( limlim

Exemplo: 522 limlim33

xxxx

7ª Propriedade: Limite de um logarítmo

bxfxf cax

ccax

log)(loglog limlim

Exemplo: 6log2log2log limlim33

xxxx

8ª Propriedade: Limite de uma função polinomial

)()(lim afxfax

Exemplo: 1)1288()12( 23

2lim

xxxx

FORMAS INDETERMINADAS

As sete formas clássicas de indeterminação são:

00 , 1 ,0 ,0 , , ,0

0


Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua

num ponto a do seu domínio se as

seguintes condições são satisfeitas:

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x) g(x) é contínua em a;

f(x) . g(x) é contínua em a;

é contínua em a .

Limites envolvendo infinito

Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores

superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma

forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.

Exemplo:

a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.

b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.

c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por

valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que

zero, y tende para menos infinito

Parte II Praticando

Problema 18

Determine os seguintes limites, se possível.



66.

1x

x x

21lim

75.

x

x x5

11lim


101. 1

1lim

6

5

1

x

x

x

102.

103.

104.

Não me sinto obrigado a acreditar que o mesmo Deus que nos dotou de sentidos, razão e intelecto, pretenda que não os utilizemos.Galileu

12

Problema 19

Calcule o limite: h

)x(f)hx(flim

0h

Para cada um dos casos abaixo:

a) 2)x(f b) x3)x(f c) 2x3)x(f d) 2x5)x(f e) 2x3x5)x(f 2

Problema 20 Determine o valor da constante para que o limite a seguir exista.

Parte III Gráficos

Problema 21 A figura 1.7 mostra a quantidade de

nicotina em miligramas, no fluxo sanguíneo

de uma pessoa em função do tempo , em horas, desde

o instante em que essa pessoa terminou de fumar um

cigarro.

a) Estime e interprete esse valor em termos de

nicotina

b) Se essa pessoa não voltar a fumar mais o que acontece com . Interprete o

resultado.

Problema 22 Esboce o gráfico da função

e determine se existe

ou não os limites.

Problema 23 Dada uma função , definida por

, Determine

os valores de e para que função seja contínua para todo

Problema 24 Calcule o Se

Problema 25 Seja

.Determine para que a seja contínua em

.


13

Problema 26 No gráfico abaixo está esboçado o gráfico de uma função Complete

as igualdades e responda às questões:

a) Determine se existirem as assíntotas verticais e horizontais.

b) Para que valores de é descontínua?

Problema 27 Seja

. Encontre: e

Problema 28 Esboce o gráfico da função e calcule os limites se existe.

.

Problema 29 Seja

verifique se é continua em

Problema 30 Calcular:

Problema 31 Determine a constante tal que a seguinte função seja contínua:


14

Problema 32 Determine os seguintes limites, se existe ou sua tendência.

Seja

, verificar se é continua em

Problema 33 Esboce o gráfico da função e calcule os limites se existe.

a) b)

Parte IV Revar

Problema 34 Calcule os limites

a)

b)

c)

d) Resp: 1/10

e) Resp: -6

f) Resp: -3/4

g) : 27

h)

i) Resp: 0

j) . Resp: 2

k) . : 11/4

l) . : 108/7

m) . -1/48

n) . Resp: -1/6

o) . Resp: 27

p) . Resp: 4/3

q) . Resp: 5/3

r) . Resp: 4

s) .

Problema 37


15

t) . u) . não existe limite

Problema 35 Calcule e justifique os limites abaixo.

Parte V Limite pela Definição

Problema 36 Determine um número para o dado tal que |f(x) – L| < sempre que

0 < |x – a| < .

a) 10)42(lim3

xx

; = 0,01 b) 3)54(lim2

xx

; = 0, 001 c) 7)43(lim1

xx

; = 0,02d)

d) 8)52(lim2

xx

; = 0, 002 e) 9lim 2

3

x

x; = 0, 005


16

Problema 37 Usando a definição, isto é, para qualquer > 0 encontre um > 0 tal que |f(x) –

L| < sempre que 0 < |x – a| < .

a) 2)35(lim1

xx

b) 11)27(lim2

xx

c) 1lim 2

1

x

x d) 10)3(lim 2

5

xx

x

Problema 38 Calcule:

a) x

x2lim

= b) x

x2lim

= c)

x

x

3

1lim = d)

x

x

4

3lim =

e) x

x2lim

2 = f)

x

x

2

1lim

1 = g) x

x3loglim

h) x

x7

0loglim

i) x

x2

10

loglim

= j) x

x2

10

loglim

= k) 2

2lim

2

x

x

x=

Seja bem vindo ao curso!

Bom estudo!

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:

Bookman, 2014.

2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo, Vol. 01. 5ª ed. [Reimp.]. Rio de

Janeiro: LTC, 2011.

3. STEWART, James. Cálculo, Vol. 1. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.

4. THOMAS, George Brinton, [et al]. Cálculo, Vol. 1. 12ª ed. São Paulo: Pearson

Education do Brasil, 2012.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

1. BOULOS, Paulo. Calculo Diferencial e Integral, Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron

Books, 1999.

2. FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,

Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.

3. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. 3ª ed. São Paulo:

Harbra, 1994.

4. ROGAWSKI, Jon. Cálculo vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2009.

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IVA

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