Turma A1 Sala NT 03 Data 03 de Dezembro de 2015 - Iníciounivasf.edu.br/~pedro.macario/Limite_e_Continuidade_ADM_2015_2.pdf · Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio

Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,

quando a rocha estiver totalmente gasta pela ação do pássaro, um dia no infinito terá se passado. Loon.

1

GOVERNO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA

PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA

Matemática Aplicada a ADM – 2015.2

Discente ___________________________________________CPF

Turma A1 – Sala NT 03 – Data 03 de Dezembro de 2015

Limites e Continuidade

A importância do estudo de Limite

O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e

integrais. Neste momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as

definições rigorosas e as demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de

limite é trabalhada geometricamente por meio de sequências e pela análise do gráfico de uma

função. A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na

compreensão e, consequentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no

campo das ciências que lidam com a Matemática.

O Cálculo Diferencial e Integral é uma um ramo da matemática, toda ela,

fundamentada no conceito de limite. O conceito de limite de uma função f é uma das ideias

fundamentais que distinguem o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um

físico deseje obter quanto vale determinada medida, quando a pressão do ar é zero. Na

verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um procedimento a ser adotado é

experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez menores de pressão, se os

valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que no vácuo ela

seria igual ao valor L. Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada

por f(x), então podemos representar esse resultado por:

Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de

fundamental importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que

possuem várias aplicações na física, eletricidade, mecânica, economia, psicologia, biologia

engenharia entre outras.

Lxfx

)( lim0

Ao norte, existe uma rocha de Km. A cada milênio um pássaro vem nela afiar o seu bico. Assim,


2

Breve Histórico

Uma preocupação já presente, entre os gregos antigos consistia na busca de

procedimentos para encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de

transformações geométricas, relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos

dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por segmentos de reta

ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas. Quando tratamos do cálculo de áreas

de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que se utilizem, direta ou

indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de calcular a área do

círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com número

cada vez maior de lados, de acordo com a sequência de figuras apresentada a seguir.

Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos

isósceles com vértices no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura

convergia para o círculo circunscrito a todos os elementos da sequência em questão.

Introdução

Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que

pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.

Exemplos

01. Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele

estoura. Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.

02. Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.

03. No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de

combustível necessário para que a aeronave entre em órbita.

...



3

04. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais

potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha

que x meses a partir de agora, o preço de certo modelo seja de

(u.m.).

a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.

b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1.

c) Quando o preço será de $ 43 u.m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.

d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x )? Resp.: P(x) $ 40 quando x .

5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de

milhares.

a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: P(9) = 194/10 milhares.

b) De quanto à população crescerá durante o 90 ano? Resposta P(9) – P(8) = 67 habitantes.

c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resp. Aprox. 20 mil/ha.

PS: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido,

mas do qual se pode aproximar tanto quanto se desejar.

Conceito de limite:

Exemplos

01. Inicialmente, vamos tomar a função f: , definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o

valor de f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.

Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez

mais de 2 pelo lado esquerdo, é possível determinar os valores de f(x),

conforme ilustra o quadro ao lado:

Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os

valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero).

x f(x)

1 -1

1,5 -0,5

1,8 -0,2

1,9 -0,1

1,99 -0,01

1,999 -0,001

1,9999 -0,0001

1,99999 -0,00001

1,999999 -0,000001



4

Por outro lado, atribuindo-se a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais

de 2, pelo lado direito, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no

seguinte quadro:

Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que

os valores de x aproximam-se de 2 (dois).

Graficamente, usando o software Graphmatica

, temos:

Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:

0)(lim)(lim)(lim222

xfxfxfxxx

Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0.

02. Tomemos a função .3

9)(

2

x

xxf Suponha que estejamos interessados em saber de que

valor se aproxima f(x) quando x se aproxima de 3.

Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3.

Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se

aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores

menores do que 3.

Matematicamente, representamos esta situação por:

Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).

6)( lim-3

xfx

x f(x)

3 1

2,5 0,5

2,3 0,3

2,1 0,1

2,01 0,01

2,001 0,001

2,0001 0,0001

2,00001 0,00001

2,000001 0,000001

x f(x)

2,5 5,5

2,8 5,8

2,9 5,9

2,99 5,99

2,999 5,999

2,9999 5,9999

... ...



5

Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.

Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do

que 3, mais f(x) se aproxima de 6.

Matematicamente, representamos esta situação por

6)( lim3

xfx

Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).

Estes limites, são chamados limites laterais.

O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.

Simbolicamente:

LxfxfLxfaxaxax

)(lim)(lim)(lim

Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:

6)(lim3

xfx 6)(lime 6)(lim pois,

33

xfxf

xx

Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x),

quando x tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de

f(x), quando x tende a 2 pela direita).

Exemplos

01. Analisar a função f: , definida por 1

1)(

2

x

xxfy , quando x

tende (aproxima-se) para 1.

Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida,

fazendo o esboço do gráfico, lembrando que }1/{)( xxfDom

(Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem atribuídos

a variável independente x).

x f(x)

3,4 6,4

3,2 6,2

3,1 6,1

3,01 6,01

3,001 6,001

3,0001 6,0001

... ...

x

1

12

x

xy

-1 0

0 1

0,9999 1,9999

1 Não existe

1,0001 2,0001

2 3

3 4



6

Graficamente, usando o software Graphmatica

, temos

Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens

das sequencias cujos valores se aproximam de 1.

As imagens se aproximam de 2. Portanto, neste

caso, escrevemos:

2)(lim)(lim)(lim111

xfxfxfxxx

Perceba que o limite dessa função para x tendendo

a 1 existe, embora a função não esteja definida no

ponto x = 1.

De forma genérica, escrevemos: Lxfax

)(lim

De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma

função f, quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a,

o valor de f(a) é irrelevante.

Nota:

L

Lxf

LxfLxf

ax

ax

ax,

)(lim

)(lim)(lim

02. O gráfico a seguir representa uma função f de ]9 ,6[ em . Determine:

a) )2(f = b) )(lim2

xfx

=

c) )(lim2

xfx

= d) )(lim2

xfx

=

e) )2(f = f) )7(f =

Solução: a) 3)2( f b)

)(lim2

xfx

2 c)

)(lim2

xfx

5 d) Não existe o limite pedido,

pois: )(lim2

xfx

)(lim2

xfx

e) 0)2( f f) 0)7( f

Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.



7

03. Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. À medida que o gás é

comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa

pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:

a) Vp 100lim b) V

p 100lim c) V

p 100lim

Solução:

a) Vp 100lim = 0,8

b) Vp 100lim = 0,4

c) Não existe o limite pedido, pois:

Vp 100lim V

p 100lim

Continuidade em Aplicações

Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de

importantes fenômenos físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o

tempo para um cabo subterrâneo que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no

instante t = t0 (A voltagem caiu para zero quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o

gráfico de unidades em estoque versus tempo para uma companhia que reabastece o estoque

com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As descontinuidades ocorrem nos

momentos em que acontece o reabastecimento.

Figura 1 Figura 2

Lista de Exercícios

01. Seja a função f: *, definida por

||)(

x

xxf . Esboce o gráfico de f e calcule )(lim

0xf

x.



8

02. Seja f a função racional definida por )2(

)2()12()(

x

xxxf . Esboce o gráfico de f e

calcule )(lim2

xfx

. Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f.

03. Dada a função f definida por:

1,2

1,2

1,4

)(

2

2

xsex

xse

xsex

xf . Esboce o gráfico de f e calcule o

seu limite quando x tende a 1.

04. Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia

executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um

labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o

labirinto na enésima tentativa era de aproximadamente n

nf12

3)( minutos.

a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento

psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo )Z( *

b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7

minutos

c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?

Resposta: 12a tentativa

d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para

atravessar o labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia

capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?

Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 min.

05. Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas

adquiridas pelo comprador através da equação x

xP200

50)( , em que P(x) é o preço em

dólares por saca e x é o número de sacas vendidas.

a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas?

b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas?

c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?

d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )?

Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) $ 50 quando x



9

06. O gráfico a seguir representa uma função f de ]2 ,4[ em . Determine:

a) )1(f = b)

)(lim1

xfx

c)

)(lim1

xfx

Resposta:

a) 5)1( f b) 3 c) 5

07. Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um

medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do

medicamento presente na corrente sanguínea após t horas é exibida na figura a seguir.

Determine e interprete:

a) )(lim8

tft

b) )(lim8

tfp

Resposta:

a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite.

08. O gráfico a seguir representa uma função f de [4 ,3[ em . Determine:

a) )1(f = b)

)(lim1

xfx

c)

)(lim1

xfx

Resposta:

a) 4)1( f b) -2 c) 4

09. Se a equação horária de uma partícula é ,16)( 2 ttts determine:

a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1].

b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2.



10

Propriedades dos Limites

A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites

sem utilizar a pesquisa do número que aparece na definição de limite.

Sejam a e números reais quaisquer, então ccax

lim isto é o limite de uma constante é a

própria constante.

Se são números reais, então: bmabmxax

)(lim

.

Se ,)(lim e )(lim

MxgLxfaxax

então:

a) )]()([lim

MLxgxfax

b) )]()([lim

MLxgxfax

c) 0M que desde M

L=

)(

)(lim

xg

xf

ax

d) n) positivo inteiro p/ ( )(lim

nn

axLxf

e) par n p/ 0 L que desde ,)(lim

nn

axLxf

f) 0 L que desde , .ln)(ln lim

Lxfax

g) )( cosf(x) cos lim

Lax

h) )( f(x)sen lim

Lsenax

i) lim )(

Lxf

axee

Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: )()(lim

afxfax

.

Exemplos:

01. Calcule )15(lim 2

2

xx

x512522

02. Calcule

2>xse ,x

2xse 3x, sendo)(lim

22 xf

x .

Solução: Se 623)(lim 22 x

xfx . Por outro lado, 42)(lim2>x 2

2 x +

xf .

Portanto, não existe o limite.

Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de

limites.



11

Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:

)()(lim aqxqax

Exemplos

01. Calcule 76

125lim

2

3

x

xx

x

Solução

11

73

11

40

736

13235

76

125lim

22

3

x

xx

x

02. Calcular 3 2

5 943lim

xx

x

Solução:

464 9+20-75 =943lim943lim 333

2

5

3 2

5

xxxx

xx

Em resumo

Sejam f e g funções tais que: 2px

1px

L)x(flim e L)x(flim

então:

1) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx

, ou seja, o limite da soma é igual a soma

dos limites.

2) )(lim.)(lim 1 xfkLkxfkpxpx

3) )x(glim)x(flim LL)]x(g)x(f[limpxpx

21px

4) )(lim)(lim L)]()([lim 21 xgxfLxgxfpxpxpx

5) 0L que desde ,)x(glim

)x(flim

L

L

)x(g

)x(flim 2

px

px

2

1

px

6) Nn ,)x(flimL)]x(f[limn

px

n

1

n

px

7) par) én que em caso (no 0L que desde ,)x(flimL)x(flim 1npx

n1

n

px

8)

k ,lim kkpx

, ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.

9) pxlimpx



12

10) )x(glim

px

L

1

)x(g

px

px2 )x(flimL)x(flim

L(x)flim ,...,L(x)flim ,L(x)flim Se nnpx

22px

11px

, então

11) n21n21px

L...LL)]x(f...)x(f)x(f[lim

12) n21n21px

L...L.L)]x(f)...x(f).x(f[lim

, 2n,Nn

Exemplos:

1) 24...)8x4(lim 3

2x

2) ) c b,a, ( ,cbpap...)cbxax(lim 22

px

3) 2

3...

1x

1xxlim

23

1x

4)

54x3

1x 2

3...

2x

x2xlim


1) )1x5xx(lim 23

1x

=

2) )3x4x2x(lim 23

1x

=

3) )1x2x2x4(lim 23

2x

=

4) 5x

4x5xlim

2

2

3x

=

5) 2x

10x7xlim

2

2x

=

6) 3x

3x2xlim

2

3x

=

7) xx

x2x5xx3lim

2

234

0x

=

8) 1x2x

3x4xlim

5

3

1x

=

9) 6x

36xlim

2

6x

=

10) 2x3x

1xlim

2

2

1x

=

11) 2x

32xlim

5

2x

=

12) 27x54x36x10x

27x18x8xlim

234

234

3x

=

13) 4x2

2xlim

2x

=

14) 2x

4xlim

4x

=

15) x42

xlim

0x =

16) x22

xlim

0x =

17) 1x

x32lim

1x

=



13

18) 11x

xlim

0x =

19) 2x

3x21lim

4x

=

20) 11x5x3

22x3x2lim

2

2

2x

=

Respostas:

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

8 4 - 5 - 26 5 -3 -4 -2

3

1

12 -2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

80 2 0 4 4 22 -1/4 2 4/3 5/14

Limites no Infinito

Introdução

Consideremos a função f definida por x

xf1

)( e analisemos, mediante uma tabela, o seu

comportamento quando os valores de crescem ilimitadamente através de valores positivos.

x

4

1

3

1

2

1

1 2 3 4 10 100 1.000 10.000 100.000

4 3 2 1

2

1

3

1

4

1

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Pela tabela constatamos que quando cresce ilimitadamente através de valores positivos, os

valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos

tal fato por: , que se lê: “limite de f de , quando tende a mais infinito, é

igual a zero”.

PS: Quando uma variável independente está crescendo ilimitadamente através de valores

positivos, escrevemos: “ ”. Devemos enfatizar que não é um número real. O

símbolo indica, portanto, o comportamento da variável independente .

Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável

decrescem ilimitadamente através de valores negativos.

x

)(xf

x

0)(lim

xfx

x x

x

x

x

x



14

x -

4

1 -

3

1 -

2

1

-1 -2 -3 -4 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000

-4 -3 -2 -1 -

2

1 -

3

1 -

4

1

-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001

Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de decrescem

ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez

mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ ” para indicar os valores de que estão

decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um

0)(lim

xfx

, que se lê: “limite de f de , quando tende a menos infinito, é igual a zero.

Pelo gráfico da função x

xf1

)( cujo esboço é indicado pela

figura ao lado, notamos que quando x cresce ilimitadamente através

de valores positivos ( ), os valores da função )(xf

aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E, portanto,

simbolicamente podemos escrever ou 01

lim xx

.

Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura

indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores

negativos ( ), os valores da função )(xf aproximam-se cada vez mais de 0 (zero).

Simbolicamente, escrevemos: 0)(lim

xfx

ou 01

lim xx

.

Exemplos

01. Observe o gráfico da função

apresentado na figura a seguir:

Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende

para o valor 1, quando x tende para o infinito. Isto é, quando .x Denotamos por

)(xf

x

x x

x x

x

0)(lim

xfx

x



15

02. A função

tende para 2 quando x como podemos observar na Figura a

seguir.

Assim, podemos escrever: 2

1

12lim

x

x

x

Limite de uma função Polinomial

Consideremos a função polinomial 13764)( 23 xxxxP , podemos escrevê-la

na seguinte forma:

32

3

4

13

4

7

4

614)(

xxxxxP

Portanto,

32

3

4

13

4

7

4

61lim)4(lim)(lim

xxxxxP

xxx

Ora, é claro que: 14

13

4

7

4

61lim

32

xxxx. Temos, então: )4(lim)(lim 3xxP

xx

Assim, temos dois casos:

)4(lim)(lim 3xxPxx

e

)4(lim)(lim 3xxPxx

Generalizando, sendo 01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxP n

n

n

n

, podemos sempre escrever:

n

nxx

xaxP

lim)(lim

Limite de uma função racional

Dada a função racional )(

)()(

xQ

xPxf , onde P e Q são funções polinomiais em x com:

01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxP n

n

n

n

e 01

2

2

1

1 ...)( bxbxbxbxbxQ m

m

m

m

Sendo 0na e .0mb Tem-se então que:

mn

xm

n

m

m

n

n

xm

mx

n

nx

x

x

xxx

b

a

xb

xa

xb

xa

xQ

xP

xQ

xPxf

limlim

lim

lim

)(lim

)(lim

)(

)(lim)(lim



16

Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:

1o)

)(lim xfmn

x

2o) 0)(lim

xfmn

x

3o)

m

n

x b

axfmn

)(lim

Exemplos:

1)

x

x

x

xx

xxx

xxxlim

9

10

9

10lim

4109

115810lim

2

3

2

23

2) 00151

lim1515

lim21012

1196815lim

4

3

24

23

xx

x

xxx

xxx

xxx

3) 5

71lim

5

7

5

7lim

58145

21187lim

3

3

23

23

xxx x

x

xxx

xxx

4) Calcule 1

lim2 x

x

x

Solução:

Para calcularmos este limite, escrevemos 2xx ( ,0x pois )x e então dividimos o

numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por .2x

11

1

1lim

1lim

1lim

1lim

222

2

2

2

2

2

2

xxx

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

5) Calcule xxxx

43lim 2

Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por xxx 432, temos:

xxx

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxx

xxxx

43

43lim

43

43lim

43

4343lim43lim

22

22

2

222

Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:

2

3

11

3

143

1

43

lim43

43

lim43lim

2222

2

2

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

x

xxxxxx



17

Exercícios

01. Calcule os limites indicados:

a) 43

3lim

2

2

x

xx

x Resposta: 1/3

b) 35

23lim

2

x

x

x Resposta: 0

c) 62

3lim

2

x

x

x Resposta: 0

d) x

x

x

2

34lim Resposta: 2

e) xxx

1lim 2 Resposta: 0

f) xxxx

2lim Resposta: 1

g) xx

1lim

Resposta: 0

h) xx

12lim

Resposta: 2

i) 4lim 2

xxx

Resposta:

j) x

xe

lim Resposta: 0

k)

22

1lim

xx Resposta: 1

l)

31

1lim

xx Resposta: 1

m)

x

xe

1

3lim Resposta: 4

n) 1lnlim 2

xx

Resposta:

o) 1lnlim 2

xx

Resposta:

p) 1lim 2

xxx

Resposta: 0

02. Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:



18

15limd) 7816

364lim)

43lim b) 723lim)

2x3

2

2

2x

3

2

21

xx

xxc

xxxxa

x

x

32

2

34

32

1

42

2

1

352limh)

)56(

)354(limg)

92

16limf)

276

352lim)

2

1

x

xx

t

tt

s

s

xx

xxe

xt

sx

3 xsex +4

-3< xse 9

sendo f(x)limj)

2343lim)

2

3x

32

2

x

xxix

2> xse2x -4

2 xse x= f(x) sendo ),(lim)

3

2xfk

x

03. Calcule os limites:

2

3x2

2

1

32x5

x-9- xlimd) 344

62x lim)

x2

2x-5 limb)

1-x

23x lim)

xx

xc

a

x

x

04. Considere a função definida por:

1 1

1 4

1 3

)(

2 xsex

xse

xsex

xf , determine:

)(lim (c) )(lim )()(lim)(1x1x1x

xfxfbxfa

05. Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se

existirem: )(lim )()(lim )()(lim)(

111xfiiixfiixfi

xxx

1 xse x -3

1 xse 13)()

1 xse 1x

1 xse 4)()

2

xxfb

xxfa

1 xse 2-x

1 xse 2

1 xse

)()

2x

xfc

06. Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada

item abaixo. Caso não exista, justifique.



19

f(3) e) f(x) d) f(x) c) f(x) b) f(x) ) limlimlimlim3 3 3 0 - xxxx

a



f(x) h)f(x)g)f)f(-2) f(3) e)f(x) d)f(x) c)f(x) b)f(x) ) limlimlimlimlimlim2 2 1 3 3 3 -- xxxxxx

a



)(limj) f(-3) i)h)f(1) f(2)g) )(limf)

)(lim e) )(limd) )(lim) )(lim b) )(lim)

12

22333

xfxf

xfxfxfcxfxfa

xx

xxxxx

09. Calcule os seguintes limites laterais:

9

lim)f 36

6lim)e

4

2lim)

4

lim)c 2

lim)b 4

2lim)

23

26

22

422

2

x

x

x

x

x

xd

x

x

x

x

x

xa

xxx

xxx



20

10. Calcule o )(lim2

xfx

sendo:

2 x se 5

2 xse 2

4

)(

2

x

x

xf

RESPOSTAS: 1) a)-13 b) 425 c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64 h) 34

5

i) 6 j) 1 k ) não existe 2) a) 1 b) 4 c)3 d)2 3) a) 17/2 b)

1/64 c) 1 d)3 4) 2)(lim logo 2)(lim;2)(lim)111

xfxfxfaxxx

5) )(lim existe não logo 3)(lim;0)(lim)111

xfxfxfaxxx

2)(lim logo 2)(lim ;2)(lim)111

xfxfxfbxxx

1)(limlogo1)(lim;1)(lim)111

xfxfxfcxxx

6) a) 3 b) 2 c) 4 d) não existe e) 3

7) a) 2 b) -2 c) não existe d) 3 e) 1 f) -3 g) -1 g) -1

08) a) + b) - c) não existe d) - e) -

f) não existe g) não existe h) 1,5 i) 0 j) não existe

09) f) e) d) -c) b) )a 10) 4)(lim2

xfx

FUNÇÕES CONTÍNUAS

Introdução Sejam f e g funções de gráficos:

Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g

apresenta um salto a outra não.

Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p

é igual ao valor da função quando x é igual a p, isto é:

)()(lim pfxfpx



21

Por exemplo, se e p = 2, temos que:

As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas

contínuas nesse ponto.

Definição

Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições

abaixo:

(i) )( pf

(ii) )(lim)(lim :é isto ),(lim xfxfxfpxpxpx

(iii) f(p))(lim

xfpx

Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é

descontínua em .px

Exemplos

1) Verifique se a função xxxf 352)( é contínua em .4x

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:

12343542)4( f

12343542)352(lim)(lim4

xxxfxpx

)4()(lim4

fxfx

Portanto, como )4()(lim4

fxfx

a função é contínua em

2) Verifique se a função 2

|2|)(

xxf é contínua em .2x

Solução: Primeiramente, lembramos que:

2se,2

2

2se,2

2

2

|2|

xx

xx

x

A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:

4)( 2 xxf

)()2(042)4(lim)(lim 22

2pffxxf

xpx

.4x



22

02

0

2

22)2(

f .

Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:

02

0

2

22

2

2lim

2

|2|lim)(lim

222

xxxf

xxx e

02

0

2

22

2

2lim

2

|2|lim)(lim

222

xxxf

xxx

Como )(lim)(lim22

xfxfxx

)(lim2

xfx

e 0)(lim2

xfx

.

)2()(lim2

fxfx

. Portanto, como )2()(lim2

fxfx

a função é contínua em .2x

3) Verifique se a função

3,3

3,2

3,1

)(

2

xsex

xse

xsex

xf é contínua em .3x

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições: 2)3( f .


81913)1(lim)(lim 22

33

xxf

xx e 033)3(lim)(lim

33

xxf

xx

Como )(lim)(lim33

xfxfxx

não existe )(lim3

xfx

e, portanto a função dada não é contínua

em .3x

4) Verifique se a função

2,3

2,2)(

2 xsexx

xsexxf é contínua em .2x

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:

422)2( f .


422)2(lim)(lim22

xxfxx

e

264232)3(lim)(lim 22

22

xxxf

xx

Como )(lim)(lim22

xfxfxx

não existe )(lim2

xfx

e, portanto a função dada é descontínua

em .2x

5) A função

1,1

1,1

1

)(

2

xse

xsex

x

xg também não é contínua no ponto ,1x pois: 1)1( g .



23

Limites laterais

211)1(lim)1(

)1()1(lim

1

)1(lim)(lim

11

2

11

x

x

xx

x

xxg

xxxx e

211)1(lim)1(

)1()1(lim

1

)1(lim)(lim

11

2

11

x

x

xx

x

xxg

xxxx

Como )(lim)(lim11

xgxgxx

)(lim1

xgx

e 2)(lim1

xgx

.

)2(12)(lim1

gxgx

Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a

função dada não é contínua no ponto especificado, como

confirma o gráfico a seguir:

6) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da

função

3,92

30,2

0,4

)( 2

xsex

xsexx

xsex

xf .

Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são 0x e .3x

Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto ,0x

assim:

.000002)0( 2 f

Limites laterais:

0)4(lim)(lim00

xxfxx

e 0)2(lim)(lim 2

00

xxxf

xx



24

Como )(lim)(lim00

xfxfxx

)(lim0

xfx

e 0)(lim0

xfx

.

)0()(lim0

fxfx

Logo, como )0()(lim0

fxfx


Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para

o ponto ,3x assim:

.396332)3( 2 f

Limites laterais:

396332)2(lim)(lim 22

33

xxxf

xx e

396932)92(lim)(lim33

xxfxx

Como )(lim)(lim33

xfxfxx

)(lim3

xfx

e 3)(lim3

xfx

.

)3()(lim3

fxfx

Logo, como )3()(lim3

fxfx


Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é

continua, concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem

qualquer tipo de salto ou interrupção.


1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados:

a) 5 xem 2x

x3)x(f

b) 4 xem

4x

1)x(f

b) c) 0 xem e1)x(f x

1

d)

-1 xse 3x,

1- xem 1 xse ,1

-1 xse ,1

23

)(

2

x

xx

xf



25

e) 2 xem 2 xse ,2x

2 xse 6,-7x)(

2

xf f) 3em32)( 2 xxxf

g) 1. xem 1

1)(

xxf h) 4 xem

4 xse2x -10

4 xse 2

4 xse 103

)(

x

xf

2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado:

a) 2 xem

2 xse a,

2 xse ,2

65

)(

2

x

xx

xf b) 4 xem

4 xse a,3x

4 xse ,4

2

)(

x

x

xf

c) 0 xem

0 xse a,43x

0 xse ,22

)(2

x

x

x

xf

Respostas:

1)

a b c d e f g h

sim não não não sim sim não Sim

2) a b c

a = -1

4

47a

4

2a

3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua

resposta.

a)

2,

2,4

2,2

)(

2 se xx

se x

xsex

xf b)

xsex

xsexxf

1,1

1,12)(

c)

0,2

0,5

0,23

)(

x se

xse

xsex

xf d)

65,3

51,2

1,1

xsex

x sex

xsex

f(x)

4) A função

2,2

21,1

1,1

)(

2

x se

xse x

x sex

xf possui algum ponto de descontinuidade? Quais?

Justifique.



26

5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade.

a) 3)( xxf b)1

23)(

x

xxf c)

2

2)(

2

x

xxxf

d)

2 xse 1,

2xse,2

2

)(

2

x

xx

xf e)

5xse 2,

5xse,3)(

xxf f)

1xse x,-3

1xse2,2x-)(

2xxf

6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta.

a)

2

2)(

2

x

xxxf b)

0xse1,

0xse,1

)( 2xxf c)

2xse1,

2xse,2

2

)(

2

x

xx

xf

7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado.

a) 3 xem

3 x se m,

3 xse ,3

9

)(

2

x

x

xf b) 0 xem

0 x se m,

0 xse,3)(

2

x

xx

xf

8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta.

a)

1xse 2x,

1xse,1)(

2xxf b)

1xse 2,x

1xse,2)(

2xxf

9) Explique porque f(x) não é contínua em x.

a) 3 x em3

5)(

xxf b) 2 xem

2 x se 5,

2 xse,2

4

)(

2

x

x

xf

c) 1 xem

1 xse ,

1 x se 3,

1 xse 2,x

)(

x

xf d) 3xem3

9)(

2

x

xxf

Lista de Revisão

1) x2

x3senlim

0x

2) x4

xsenlim

0x

3) x3

x2tglim

0x

4) x3sen

x4senlim

0x

11) xsen

xsentgxlim

20x

12) xsenxcos

x2coslim

4

πx

13) xsenx

xsenxlim

0x

14) x3senx

x2senxlim

0x

20) 20x x3

x2cos1lim



27

5) x5tg

x3tglim

0x

6) x

xcos1lim

0x

7) xsen.x

xcos1lim

0x

8) 20x x

xsec1lim

9) x

xsentgxlim

0x

10) tgx1

xcosxsenlim

4

πx

15) x4sen

x3cosx5coslim

0x

16) xsen

x2senx3senlim

0x

17) x

asen)axsen(lim

0x

18) x

acos)axcos(lim

0x

19) xπ

2

xsen1

limπx

Respostas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

2

3

4

1

3

2

3

4

5

3

0

2

1

2

1

2

2

2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 2 0

4

1

0 1 a cos a sen

0

3

2

21) Calcule os seguintes limites:

a) xtg

x lim

0 x b)

2xsen lim

0 xx c)

xsenx 5

4xsen lim

0 d)

3

hsen lim

0 hh

e) 2

2

0

cos-1 lim

x

x

x f)

1 cos

x- lim

2

2

0 xx g)

xx cos1

senxx lim

0

Resposta: a) 1 b) 2 c) 4/5 d) 1/3 e) 1 f) 1

g) 2

II Lista de Revisão

1) Mostre que:

a) 12

4

0)31(lim ex x

x

b) 2x

1

0xe)x21(lim

c) 33

1x

1

0xee

3

x1lim



28

d) 7

4x

1

0xe

7

x41lim

e)

e

1e)x1(lim 1x

1

0x

f) π

1x

1

0xe

π

x1lim

2) Calcule os seguintes limites:

a)

2

n

11 lim

n

n b)

n

31 lim

n

n

c)

x1

x lim

x

x

d) x

51 lim

1

x

x e)

xsen

xsenx

1

1 lim

Resposta: a) e b) e3 c) e

-1 d) e

5

e) e

3) Calcule os limites abaixo:

a)

x 1

ln 2 xlim Fazer x+ 1 = u

x+1

b)

x 2

ln 3 xlim Fazer x+ 2 = u

x+2

c) x

x 0

2 1lim

x

d)

senx

x 0

e 1lim

senx

e) x 0

sen5xlim

tg4x f)

x2

cos xlim

x2

g) 2

x 0

ln 1 xlim

x

h)

3

x 1

ln xlim

x 1

i) cossec x

x 0lim 1+senx ( Fazer sen x = u)

j) 2 x 0

1 cos xlim

x

k) 3 x 0

tgx senxlim

x

l)

1

x 4

x 4

1+xlim

5

m) x

x x 0

10 1lim

5 1

(dividir por x Num. e Den.) n)

x

x

2lim 1+

x

Resposta:



29

a) 1 b) 1 c) 1/e

2log d) 1 e) 5/4 f) 1 g) 2

h) 3 i) e j) 1/2 k) 1/2 l) 5 e m) 1/ 5log n) e2

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS

INTRODUÇÃO

Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se aproximam de

uma reta a medida que x cresce ( x + ) ou decresce (x ). Veja as Figuras a seguir:

Essas retas são chamadas assíntotas.

Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas

horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.

2. Assíntota Vertical

Dizemos que a reta ax é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

)(lim)( )(lim)()(lim)( )(lim)(

xfivxfiiixfiixfiaxaxaxax

3. Assíntota Horizontal

Dizemos que a reta by é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das

afirmações seguintes for verdadeira:

bxfiibxfixx

)(lim)( )(lim)(



30

Exemplos:

1) Seja a função 3

5)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais,

se elas existirem.

Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos, facilmente

que }.3{)( fD Sendo assim, vamos calcular: )3(

5lim

3 xx .Para calcular o limite da

função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais, assim:

Para calcular )3(

5lim

3 xx, fazemos com 0h , assim temos:

51

lim5)(

5lim

)33(

5lim

)3(

5lim

0003 hhhx hhhx

Por outro lado, para calcular )3(

5lim

3 xx, fazemos ,3 hx com 0h , assim temos:

51

lim55

lim)33(

5lim

)3(

5lim

0003 hhhx hhhx

Desta forma, temos:

)(lim)(lim33

xfexfxx

Logo, 3x é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).

Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.

Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:

05

lim3

5lim)(lim

xxxf

xxx

Logo, 0y é a assíntota horizontal.

O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:

,3 hx



31

2) Considere a função 2)2(

43)(

xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais

e/ou verticais, se elas existirem.

Solução:

Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que

}.2{)( fD

Sendo assim, vamos calcular 22 )2(

43lim

xx.

Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais,

assim:

Para calcular 2

2 )2(

43lim

xx, fazemos hx 2 , com ,0h vamos a:

34

lim3 lim4

3 lim)(

43 lim

)22(

43 lim

)2(

43 lim

200 20 20 20 22 hhhhx hhhhhx

Agora para calcular 2

2 )2(

43lim

xx, fazemos hx 2 , com 0h , vamos a:

34

lim3 lim4

3 lim)22(

43 lim

)2(

43 lim

200 20 20 22 hhhx hhhhx

Assim, temos:

)(lim2

xfx

e )(lim2

xfx

Logo 2x é uma Assíntota Vertical da função dada.

Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:



32

Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular 2 )2(

43 lim

xx, ou seja:

3034

lim3 lim44

43 lim

)2(

43 lim

2 2 2

xxxx xxxx

Logo, 3y é a assíntota horizontal.

O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da

função dada.

a) 2

5

xy b)

1-x

12x y

c)

x

2 y d)

1)-(x

2 y

2 e)

2-x

3 1- y

2) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de

cada gráfico.

a) 2

13)(

x

xxf b)

32)(

2xxf c)

1

35)(

x

xxf d)

13)(

xxf

e)

2

1)(

2

x

xf f) 4

4)(

xxf g)

2

3)(

xxf h)

4.3

1)(

xxxf

3) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é

função da pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa

função é dada pelo gráfico da figura abaixo;

Representada por ,P

KV onde K é uma constante que depende

da massa e da temperatura do gás.

a) Com respeito à função ,P

KV 0P (não tem sentido físico

considerar a pressão P nula ou negativa), o que se pode dizer de



33

V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta, tendendo a mais infinito.

b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce,

tornando-se muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui,

tendendo a zero.

4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes,

0f ). Seja e o eixo principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P’ a imagem

correspondente. As abscissas p e p’ de P e P’ respectivamente, tomadas em relação ao

centro ótico o da lente, se relacionam através da equação de Gauss: ,1

'

11

fpp dessa

equação tiramos que: ,'fp

pfp

onde f é uma constante que depende da lente. Construa

o gráfico de p’ em função de p.

6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por

0|,|

0,1

)(

xsex

xsexxf . A seguir

determine:

a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) =

b) A imagem da função. Resposta: Im(f) = [0, +[ = {y / y 0}

c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente

d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas

coordenadas?

Definição formal de Limite

Definição:

Diremos que L é o limite de uma função f, quando xx0 se, para todo > 0 existe > 0 tal

que 0 < |x - x0| < |f(x) - L| <

Observação: Tomamos 0 < |x - x0| < (|x - x0| 0) para fazer ênfase que na análise do limite

o ponto x = x0 não interessa.

Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por estamos

denotando um número pequeno qualquer, portanto |f(x) – L| < quer dizer que f(x) está



34

próximo de L. Nestas condições, o limite de f quando x xo é igual a L se existe um

intervalo que contenha a xo, que faça que a imagem de todo ponto deste intervalo continue

estando próximo de L, isto é que faça que |f(x) – L| < . Dai o fato que deve existir um

número > 0, pois o intervalo em questão será ]xo – , xo + [.

A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real.

Reformulando a definição de limites, teremos:

significa que, para todo ,0 existe um tal que se x está no intervalo aberto

),( aa e ax , então f(x) está no intervalo aberto ).,( LL Veja a figura a seguir.

Lxfax

)( lim

0



35

Exemplos

1) Mostre que o limite da função f(x) = 3x – 1 é igual a L = 2 quando x 1.

Solução: Neste caso é simples conferir que .2)(lim1

xfx

Provaremos que para todo > 0, é possível encontrar > 0, satisfazendo

0 < |x - 1| < |f(x) – 2| <

Para mostrar que existe > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a

desigualdade

|f(x) – 2| = |3x – 1 – 2| = |3x – 3| = 3|x – 1| <

Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar = /3, portanto

0 < |x - 1| < /3 |f(x) – 2| <

2) Usando a definição de limite, prove que:

213x lim1

x

Para esta prova devemos mostrar que, > 0, > 0, tal que:

2)13( x sempre que 1 0 x

O exame da desigualdade envolvendo proporciona uma chave para escolha de .

As seguintes desigualdades são equivalentes:

3 1 13 )1(3 33( 2)13(

xxxxx

A última desigualdade nos sugere a escolha do . Fazendo ,3

vem que:

2)13( x sempre que 1 0 x

Portanto,

213x lim1

x

.



36

3) Usando a definição de limite, prove que:

16 lim 2

4

x

x

Mostre que, dado > 0, > 0, tal que:

16 2x sempre que 4 0 x

Da desigualdade envolvendo , temos.

4 .4 16 2 xxx

Necessitamos agora substituir 4 x por um valor constante. Neste caso, vamos supor:

0 < ≤ 1, e então, de 4 0 x , seguem as seguintes desigualdades equivalentes:

9 4 x 75 x 314114 xx

Logo, 9 4 x

Escolhendo ,1,9

min

temos que se 4 x então:

9 9

9 4 .4 16 2

xxx

Portanto, 16 lim 2

4

x

x

4) Mostre que .31

1lim

3

1

x

x

x

Solução: Pela definição, temos que provar que para todo > 0, é possível encontrar > 0,

satisfazendo

0 < |x - 1| < |f(x) – 3| <

De acordo com a definição, dado > 0 devemos encontrar > 0 que verifique a desigualdade

acima. Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade

2123131

1 223

xxxxxx

x

x



37

Note que para x próximo de 1, a expressão acima está próximo de zero. Para descrever isto

em termos de desigualdades, necessitamos estimar o termo |x + 2|. Para isto suporemos que |x

– 1| < 1, desta forma teremos que

|x – 1| < 1 -1 < x – 1 < 1 2 < x + 2 < 4

Desta forma, 142131

13

xxx

x

x

Finalmente, tomando = /4, encontramos

0 < |x - 1| < /4 |f(x) – 3| <

Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se = min {/4, 1}.

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Prove o limite 1073x lim1

x

. Utilize: = 0,5

2) Prove o limite 21

1x lim

2

1

xx

. Utilize: = 0,75

3) Prove o limite 3

1

x-2

1 lim

5

x

. Utilize: = 0,75

Bibliografia:

FLEMMING, Diva Marília e GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite,

Derivação, Integração. Vol. 1, 6ª ed. São Paulo: Pearson, 2006.

STEWART, James. Cálculo. Vol. 1, 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.

ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1, 10ª ed. Porto Alegre:

Bookman, 2014.

THOMAS, G. B. Cálculo. vol. 1, 12ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html

http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html

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Turma A1 Sala NT 03 Data 03 de Dezembro de 2015 - Iníciounivasf.edu.br/~pedro.macario/Limite_e_Continuidade_ADM_2015_2.pdf · Ao norte, existe uma rocha medido Km. A cada milênio