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GOVERNO FEDERAL

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO

CÂMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA

PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA

CÁLCULO II – 2015.2

Discente ___________________________________________CPF

Turma A2 – Sala NT 02 CCA – Data 07 de Dezembro de 2015

Integração Numérica

As primitivas de algumas funções, como

e , não têm

fórmulas elementares. Quando não conseguimos determinar uma primitiva viável para a

função ƒ que precisamos integrar, dividimos o intervalo de integração, substituímos ƒ por um

polinômio ajustado bem próximo de f em cada subintervalo, integramos os polinômios e

somamos os resultados para aproximar a integral de f. Esse procedimento é um exemplo de

integração numérica. Estudaremos dois métodos, a regra do trapézio e a regra de Simpson.

Para que seja, possível aplicar esse método a função precisa ser continua ao longo do

intervalo de integração . Esse procedimento é um exemplo de integração numérica.

Aproximações por trapézios

A regra do trapézio para o valor de uma integral definida se baseia na aproximação

da região entre uma curva e o eixo com trapézios em vez de retângulos, como foi feito na

demonstração da área entre e o eixo dos (Integral de Riemann).

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Não é preciso que os pontos da subdivisão , na figura estejam

uniformemente espaçados, mas a fórmula resultante será mais simples se isso acontecer. Por

isso, consideramos o comprimento de cada subintervalo como

O comprimento recebe o nome de Tamanho do passo ou Tamanho da

malha.

A área do trapézio que fica acima do i-éssimo subintervalo é

Onde e . Essa área é o comprimento da “altura” horizontal do

trapézio vezes a média das suas “bases” verticais. A área abaixo da curva e acima

do eixo é, então, aproximada pela soma das áreas de todos os trapézios:

Onde

A regra do trapézio diz: use para estimar a integral de , de até .

Definição Regra do Trapézio

Para aproximar

, use

Os são os valores de nos pontos da partição

Onde

.

A regra do Trapézio aproxima pequenos trechos da curva com Trapézios.

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Regra de Simpson: aproximações com o uso de parábolas

Outra regra para aproximar a integral definida de uma função contínua consiste em

usar parábolas em vez dos segmentos de reta que forma trapézios. Como anteriormente,

dividimos o intervalo em subintervalos de mesmo comprimento

, mas dessa vez exigimos que seja um número par. Em cada par consecutivo de intervalos,

aproximaremos a curva por uma parábola, como mostra a figura abaixo.

Uma parábola típica passa por três pontos consecutivos e

na curva.

Calcularemos a área sombreada sob uma parábola que passa por três pontos consecutivos. Para

simplificar nossos cálculos, primeiro consideremos o caso em que e .

Figura abaixo.

Onde . A área sob a parábola será a mesma se deslocarmos o eixo para

a esquerda ou para a direita.

A parábola tem uma equação da forma , portanto, a área sob ela de

até é

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Integrando vem

Como a curva passa pelos três pontos e também temos

De onde obtemos o sistema linear

Assim, a expressão da área em termos das ordenadas e , fica

Agora, se deslocarmos a parábola horizontalmente para a posição sombreada na

figura abaixo, a área sob ela permanecerá a mesma.

Assim, a área sob a parábola que passa por e na figura

ainda é

Da mesma forma, a área sob a parábola que passa pelos pontos e é

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Calculando as áreas sob todas as parábolas e somando os resultados, podemos

escrever a aproximação da área por

O resultado é conhecido como regra de Simpson. Não preciso que a função seja

positiva, mas o número de subintervalos tem que ser par.

Definição Regra de Simpson

Para aproximar

, use

Os são os valores de nos pontos da partição

Onde

.

A regra de Simpson aproxima pequenos trechos da curva com parábolas.

Análise de erro

Sempre que usamos uma técnica de aproximação, a questão que se coloca é o quanto

a aproximação pode ser precisa. O teorema a seguir leva a fórmulas para estimar os erros

quando se usa a regra dos trapézios e a regra de Simpson. O erro é a diferença entre a

aproximação obtida pela regra e o valor real da integral definida

.

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Regra do Ponto Médio

Considere agora o caso, em temos o retângulo de “base” e “altura” , sendo

o ponto médio do intervalo –

Definição Regra do Ponto Médio

Para aproximar

, use

é o ponto médio do j-ésimo intervalo –

Teorema 2 Estimativa de Erro para o Ponto Médio Seja um número tal que . Então