A TABUADA REDUZIDA:

um caminho leve para a compreensão

e a memorização

Prof. Renato ><(((´> Faculdade de Educação/UFG

rensardinha@ufg.br

Goiânia-GO/Brasil, 14 de maio de 2021

Sem palavras Prof. Ubiratan D’Ambrosio

[São Paulo, 08/12/1932; 12/05/2021]

Educação Matemática

Etnomatemática

Transdisciplinaridade

Sistema de Contagem Guarani das Aldeias Itaty, do Morro dos Cavalos, SC/Brasil

Primeiras palavras

Aqueles e

aquelas que nos ajudam a

pensar sobre o ensino dos números

Jean

Piaget

(Suíça, 1896 –1980)

A gênese do número na criança (1964)

Alina Szeminska

(Polônia, 1907 – 1986)

A gênese do número na criança (1964)

Constance Kamii

(Japão, 1935)

A criança e o número

Gérard Vergnaud

(França, 1933).

No ano de 1977, Vergnaud elaborou a Teoria dos Campos Conceituais.

Livros teóricos,

históricos e práticos sobre

os números

Georges Ifrah (França, 1947 – 2019)

Os números: a história de uma grande invenção (1985)

Antoni Vila e María Luz Callejo (Espanha)

Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas (2006)

Marília Toledo e Mauro Toledo (Brasil)

Teoria e prática de Matemática: como dois e dois (2010)

Peter Bentley (Inglaterra, 1972)

O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática (2008)

Carl B. Boyer (EUA, 1906 – 1976)

História da Matemática (1968)

A

multiplicação em diferentes significados e

formas

Para Vergnaud, um campo conceitual é formado por situações que dão sentido aos conceitos.

Vergnaud afirma que as estruturas multiplicativas são compostas por situações que envolvem a multiplicação e a divisão de dois números.

As estruturas multiplicativas abrangem também os conceitos de proporção, fração, semelhança entre figuras geométricas, razão, números racionais e raciocínio combinatório.

A Tabuada

Clássica

Origens

A origem da palavra tabuada é de “tábua”. Sabe-se que, na Grécia Antiga, usavam-se tábuas de argila ou de pedra para fazer cálculos matemáticos. Vale lembrar que a palavra ”cálculo” tem como significado “pedra”. Por isso dizemos “cálculo renal”, que é o mesmo que dizer “pedra no rim”.

A

Multiplicação com os Dedos

das Mãos (“método romano”)

A Tabuada de Pitágoras de

Samos (séc. VI a.C.)

Pitágoras de Samos, filósofo e matemático grego do século VI a.C., criou uma tabela que permitia efetuar as operações de multiplicação de forma simplificada. Esta tabela foi escrita em uma tábua de argila.

A Tabuada

Circular Sequencial

(TCS)

A Tabuada

Circular Aleatória

(TCA)

A Tabuada Reduzida (1)

Quando olhamos para a tabuada da multiplicação, nos deparamos com 100 números para memorizar! Isso pode ser mesmo desanimador, principalmente para as crianças que ainda não estão acostumadas a fazer cálculos mentais ou com o uso comercial dos números.

Calma! Talvez, com um pouco de dedicação e de compreensão, você consiga memorizar toda a tabuada da multiplicação, sem precisar sofrer tanto.

A Tabuada Reduzida (2)

É importante observar que muitas das multiplicações que estão na tabuada já são conhecidas dos alunos. Por exemplo, será necessário memorizar a multiplicação por 1?

Ora, qualquer número multiplicado por 1 é igual a ele mesmo.

Pronto! Então, já podemos eliminar as multiplicações por 1, o que nos dá 19 números a menos para memorizar, ficando com 81.

A Tabuada Reduzida (3)

Vejamos algo mais: qual é o dobro de 3? O conceito de dobro já é bastante conhecido das crianças, desde o 1º ano do Ensino Fundamental. Isso porque é a representação mais fácil de fazer concretamente – formar pares, agrupar em duplas etc. Também é ‘natural’ a compreensão do dobro do número de pessoas em um grupo, do dobro do número de figurinhas, do dobro de certo valor em dinheiro e assim por diante.

Então, vamos eliminar todas as multiplicações por 2, que equivalem ao dobro de qualquer número. Oba, já são 17 números a menos para memorizar! Então, temos: 81 – 17 = 64 números.

A Tabuada Reduzida (4)

Você já pensou como fazemos para multiplicar um número natural por 10? É simples: basta acrescentar um zero (0) nele! Veja: 8x10 = 80. Desse modo, já sabemos que não é necessário memorizar as multiplicações por 10, o que já nos faz economizar 15 números a memorizar. Logo, temos 64 – 15 = 49 números restantes na tabuada.

A Tabuada Reduzida (5)

Até agora, dos 100 números iniciais, estamos com apenas 49 para memorizar. Está ficando bom, mas pode ficar melhor ainda!

Veja: 3x4 é o mesmo que 4x3, ou seja, 3x4 = 4x3 = 12. Essa propriedade da igualdade chama-se comutativa e nos diz que “a ordem dos fatores não altera o produto” (também conhecida de forma divertida assim: “a ordem dos tratores não altera o viaduto”).

Ora, se é assim, então vamos eliminar um monte de valores a memorizar, porque se eu já sei quanto é 3x7, já saberei quanto é 7x3, concorda? Por conta disso, eu terei 21 números a menos para memorizar. Estou gostando disso!

A Tabuada Reduzida (6)

Então, o que ficou para memorizar? Dos 100 números iniciais, estamos com apenas 28 restando... Que bacana, não é? Será que ainda dá para eliminar mais números desses 28?

Vamos pensar... Na imagem que apresentei há pouco, vimos o “método romano de multiplicação”, que nos permite calcular com os dedos das mãos a tabuada de multiplicação por 9.

Como já tínhamos eliminado alguns resultados da tabuada do 9 (por exemplo, 9x1, 9x2, ... e 9x8, pela ‘propriedade comutativa’), quando houver qualquer número multiplicado por 9, basta utilizar o processo dos romanos. Assim, iremos descontar dos 28 anteriores outros 7 resultados.

Portanto, ao frigir dos ovos, ao fim e ao cabo, temos apenas 21 resultados para memorizar!

Uau, que diferença... São 79 números a menos do que os 100 iniciais. Aí, sim, fiquei animado para memorizar a tabuada da multiplicação!

A Tabuada Reduzida:

a memorizar..

Ordem Multiplicação É o mesmo que Resultado

1 3x3 - 9

2 3x4 4x3 12

3 3x5 5x3 15

4 3x6 6x3 18

5 3x7 7x3 21

6 3x8 8x3 24

7 4x4 - 16

8 4x5 5x4 20

9 4x6 6x4 24

10 4x7 7x4 28

11 4x8 8x4 32

12 5x5 - 25

13 5x6 6x5 30

14 5x7 7x5 35

15 5x8 8x5 40

16 6x6 - 36

17 6x7 7x6 42

18 6x8 8x6 48

19 7x7 - 49

20 7x8 8x7 56

21 8x8 - 64

Outras formas de multiplicar:

“método egípcio”

Uso do “método egípcio” de multiplicação:

32 x 13 = ?

32 x 1 = 32

32 x 2 = 64

32 x 4 = 128

32 x 8 = 256

32 x 16 = 512

32 x 32 = 1024

...

13 = 1 + 4 + 8 32 + 128 + 256 = 416. Logo, 32x13 = 416

Outras formas de multiplicar:

“método dos dobros e das metades” ou “método da

Idade Média” [a]

Quanto é 35 x 16?

Portanto, 35x16 = 560.

16 35

8 70

4 140

2 280

1 560

Outras formas de multiplicar:

“método dos dobros e das metades” ou “método da

Idade Média” [b]

Uso do “método dos dobros” ou

“método da Idade Média” de multiplicação:

21 x 75 = ?

21 x 75 = 75 + 300 + 1200 = 1575

21 75

10 150

05 300

02 600

01 1200

Outras formas de multiplicar:

“método dos reticulados”

[a]

Quanto dá 123x456?

Portanto, 123x456 = 56 088

Outras formas de multiplicar:

“método dos reticulados”

[b]

Quanto dá 284x36?

Portanto, 284x36 =

2 8 4

3

6

Outras formas de multiplicar:

“método dos reticulados”

[b]

Quanto dá 284x36?

Portanto, 284x36 =

2 8 4

3

6

E agora, José?

Há tantas estrelas para

contar...

Vamos pensar

um pouco?

Q1 Q2 Q3 Q4

Q5

Q9

Q6

Q10

Q7

Q11

Q8

Q12

Escolhi o

quadrado Q2 [contei e adicionei as quantidades de cada quadradinho verde;

depois, dividi o resultado por 3,

encontrando a média de pontos por

quadradinho; por fim, multipliquei

tudo por 9]

Q2

Aqui, eu escolhi

o Q12 [fiz do mesmo modo: contei e adicionei as quantidades de cada quadradinho verde;

depois, dividi o resultado por 3,

encontrando a média de pontos por

quadradinho; por fim, multipliquei tudo por 9]

Q12

Para finalizar...

[adicionei o total de

estrelas de Q2 e Q12; fiz a média aritmética simples entre eles; o resultado da

média foi multiplicado por 12 e, então, chegamos a

um valor bastante razoável para o número total de estrelas nesta

fotografia]

#Não deixe de fazer isso em

casa!

Palavras finais

Ao pensar na Tabuada:

Lembre-se de que as crianças precisam de tempo para compreender e memorizar os resultados numéricos. Portanto, tudo a seu tempo!

Procure trabalhar o cálculo mental com frequência.

Aumente a complexidade dos cálculos, evitando o desinteresse da criança.

Explore a resolução de problemas. O “cálculo pelo cálculo” é cansativo e não estimula a criança a avançar.

Tente ser “leve” ao acompanhar os seus filhos e filhas nos estudos.

Muito obrigado pela sua atenção e participação.

Abraço!

Prof. Renato ><(((´>

rensardinha@ufg.br

14 de maio de 2021

Referências

BENTLEY, Peter. O livro dos números: uma história ilustrada da Matemática. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed.: 2009.

IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2001.

KAMII, Constance. A criança e o número. 34. ed. Campinas, SP: Papirus, 1990.

MOREIRA, M. A. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o ensino de Ciências e a pesquisa nesta área; Investigação em Ensino de Ciências, 6 (2). 2001.

PIAGET, Jean; SZEMINSKA, Alina. A gênese do número na criança. Rio de Janeiro: Zahar Editores, 1971.

SARDINHA, Renato. A tabuada reduzida: um caminho leve para a compreensão e a memorização. Goiânia: Faculdade de Educação/UFG, 2020. [Prelo]

TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e Prática de Matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010.

Leituras indicadas

ALVES, Rubens. A alegria de ensinar. Campinas, SP: Papirus, 2000.

ALVES, Rubens. A escola com que sempre sonhei sem imaginar que pudesse existir. Campinas, SP: Papirus, 2001.

BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação para uma sociedade em transição. Campinas, SP: Papirus, 1999.

GONÇALVES JUNIOR, Marcos Antonio; ROCHA, Luciana Parente; SARDINHA, Renato (Org.). Deixe-se contar: histórias de aulas de matemática, colaboração e formação de professores. Goiânia: Cegraf/UFG, 2020.

IFRAH, Georges. História universal dos algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997. 2 v.

LOBATO, Monteiro. Aritmética da Emília. Jandira, SP: Ciranda Cultural, 2019.

VASCONCELOS, Celso dos S. Construção do conhecimento em sala de aula. São Paulo: Libertad, 1995. [Cadernos Pedagógicos do Libertad-2]

VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Récherches em Didactique des Mathématiques, 10 (23), 1990.

VILA, A. CALLEJO, M. L. Matemática para aprender a pensar: o papel das crenças na resolução de problemas. Trad. Ernani Rosa. Porto Alegre: Artmed, 2006.