ABAAAAIbUAF.PDF

RESISTÊNCIA DOSMATERIAIS I

CAPÍTULO

2Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.

2CARREGAMENTO

AXIAL (N) TRAÇÃOJohn T. DeWolf

TraduçãoProf. Emerson Morais

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

AXIAL (N) - TRAÇÃO E COMPRESSÃO

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Beer • Johnston • DeWolf • Tradução Prof. Emerson Morais

Conteúdo Programático do Capítulo 21. Deformação específica normal sob carregamento axial;2. Diagrama tensão-deformação – Materiais dúcteis e frágeis;3. Lei de Hooke e módulo de elasticidade;4 C t t lá ti t t lá ti d t i i

2

4. Comportamento elástico e comportamento plástico dos materiais;5. Cargas repetidas e fadiga;6. Deformações de barras sujeitas a cargas axiais;7. Problemas estaticamente indeterminados;8. Problemas envolvendo variação de temperatura;9. Coeficiente de Poisson;


10. Lei de Hooke generalizada para carregamento multiaxial;11. Dilatação volumétrica específica e módulo de Bulk (ou de elasticidade do volume);12. Módulo de elasticidade transversal – Relações entre E,ν e G;13. Princípio de Saint-Venant e concentração de tensões;


Tensão e Deformação: Carregamento Axial

• A conveniência de uma estrutura ou máquina pode depender das deformaçõesna estrutura como também das tensões induzidas pelo carregamento. Somente aanálise estática não é suficiente.

3

• Considerar estruturas como deformáveis permite a determinação de forças ereações em membros que são estaticamente indetermináveis.

• A determinação da distribuição de tensões em um membro também requerconsideração de deformações no membro.



Deformação Específica Normal4


normal deformaçãoL

tensãoAP

==

==

δε

σ

L

AP

AP

δε

σ

=

==22

LL

AP

δδε

σ

==

=

22


Deformação Específica Normal• O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letragrega δ (delta), seja ele um alongamento ou um encurtamento, como visto na figuraabaixo:

5

•A razão entre a variação de comprimento em barra submetida a uma força axial (δ -delta) por unidade de comprimento (L) é denominada deformação específica (ε -epsilon).

dlim δδΔε ==


• Note-se que a deformação é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meiotécnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se ovalor da deformação específica por 10² ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 10³.

dxxlim

0x Δε

Δ →


Diagrama Tensão-Deformação6







• Limite de proporcionalidade: representa o valor máximo da tensão abaixo da qual omaterial comporta-se de forma linear. Nesta fase o material consegue restaurar suaconfiguração original após cessar a aplicação da carga.configuração original após cessar a aplicação da carga.• Limite de elasticidade: Ligeiramente acima do limite de proporcionalidade, existeum ponto na curva tensão-deformação ao qual corresponde o limite de elasticidade;representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem que apareçamdeformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Paramuitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade sãopraticamente iguais, sendo usados como sinônimos.• Limite de escoamento: A partir deste ponto, aumentam as deformações sem que se


p p , ç qaltere praticamente o valor da tensão. Quando se atinge o limite de escoamento, diz-seque o material passa a escoar-se. A tensão que causa o escoamento é chamada de tensãode escoamento (σE).



• Limite de resistência: Se ao término do escoamento, uma carga adicional é aplicadaao corpo de prova, a tensão continuará a aumentar com a deformação específicacontinuamente até atingir um valor de tensão máxima referido como limite deresistência (σr).• Tensão de ruptura: É a tensão correspondente a ruptura do material (σrup).• Região elástica: É o trecho da curva compreendido entre a origem e o limite deelasticidade. Nesta fase o material tem um comportamento elástico.• Região plástica: É o trecho da curva entre o limite de elasticidade e o ponto deruptura do material (tensão de ruptura). Esta região representa o comportamento

lá i


plástico.• Estricção: Ao atingir a tensão de ruptura, a área da seção transversal começa adiminuir em uma região localizada do corpo de prova e não mais ao longo de todo oseu comprimento nominal.


Materiais Dúcteis10

• Materiais Dúcteis: são caracterizados por sua capacidade de escoar na temperaturaambiente. Exemplos: aços estruturais e muitas ligas de outros metais.

• Inicialmente seu comprimento aumenta linearmente com a carga e a uma taxap gmuito baixa, ocasionando uma linha reta com inclinação acentuada;• Após alcançar um valor crítico de tensão (σE), o corpo de prova sofre uma grandedeformação com um aumento relativamente pequeno da carga aplicada. Oalongamento pode ser 200 vezes maior do que o início do escoamento;• Depois de alcançar um certo valor máximo de carga, o diâmetro de uma parte docorpo de prova começa a diminuir (estricção);


• Depois de iniciada a estricção, cargas mais baixas são suficientes para manter ocorpo de prova alongando, até que finalmente se rompe.

• O cisalhamento é o principal responsável pela falha dos materiais dúcteis.


Materiais Dúcteis11



Materiais Frágeis12

• Materiais Frágeis: são caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem mudançaprévia notável na taxa de alongamento.

• Não há diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura;• A deformação no instante da ruptura é muito menor em relação aos materiais• A deformação no instante da ruptura é muito menor, em relação aos materiaisdúcteis.

• As tensões normais são as principais responsáveis pela falha de materiais frágeis.



Materiais Frágeis13

• O concreto é um exemplo de material frágil com propriedades diferentes na tração ena compressão.


• O módulo de elasticidade, representado pela inclinação da curva tensão-deformaçãoem sua parte linear, é o mesmo na tração e na compressão e isto ocorre para a maioriados materiais frágeis.


Tensões e Deformações Específicas Verdadeiras14

• Devido a uma diminuição de seçãotransversal, os gráficos não representam atensão verdadeira no corpo de prova.• Utilizam todos os valores sucessivos de LUtilizam todos os valores sucessivos de Lque registraram.• Dividindo cada incremento ΔL dadistância entre as marcas de referênciapelo valor correspondente de L.• Obtem-se uma deformação específicaelementar Δε.


∫

∑ ∑

==

==

L

L ov

v

oLLln

LdL

LL

ε

ΔεΔε


Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade (ou de Young)• Muitas estruturas são projetadas para

sofrer deformações relativamentepequenas, envolvendo somente aparte reta do diagrama tensão-

15

deformação (abaixo da tensão deescoamento).

• A resistência é afetada pela presençad li táli t t t té i

• Para esta parte inicial do diagrama, atensão é diretamente proporcional àdeformação específica

θ


deElasticida de ou Módulo Young de MóduloE =

de ligas metálicas, tratamento térmicoou pelo processo de manufatura, massua rigidez ou capacidade de resistir adeformações dentro da região linear(módulo de elasticidade), não.

εσεσθ ⋅=⇒== EEtg

θ


Materiais Isotrópicos, Anisotrópicos e Compósitos

• Materiais Isotrópicos: aspropriedades mecânicas do materialsão independentes da direçãoconsiderada A relação entre a tensão

• Materiais Anisotrópicos: materiaiscujas propriedades dependem dadireção considerada.

16

considerada. A relação entre a tensãonormal e deformação específicanormal é independente da direção decarregamento.

• Materiais Compósitos reforçadospor fibras: são materiais anisotrópicosobtidos incorporando-se fibras de ummaterial mais resistente e rígido,chamado matriz.

• Materiais típicos usados como fibra


• Materiais típicos usados como fibrasão: carbono, vidro e polímeros,enquanto vários tipos de resinas sãoutilizadas como material “colante”.


Comportamento Elástico vs. Plástico• Se a deformação desaparece quando a

tensão é retirada, dizemos que omaterial se comporta elasticamente.

• A maior tensão na qual o

17

• Quando a deformação não retorna azero depois que a tensão é retirada,dizemos que o material se comportaplasticamente.

comportamento elástico ocorre échamado limite elástico do material.

S d é d


• Se o corpo de prova é carregado edescarregado e carregado novamente,a nova curva de carregamento seguirábem próxima à curva dedescarregamento até quase chegar aoponto C.


Carregamentos Repetidos e Fadiga

• Propriedades da fadiga sãomostradas nos diagramas σ-N.

18

• Quando a tensão é reduzida abaixo

• Uma peça estrutural pode falhardevido à fadiga, com tensõessignificamente abaixo da tensão deruptura se sujeito a muitos ciclos decarregamento.


do limite de resistência à fadiga, nãoocorre falha, mesmo para umnúmero indefinidamente grande deciclos de carregamento.


Deformações sobre Carregamento Axial

AEP

EE ===

σεεσ

• A partir da lei de Hooke: • A partir da definição de deformação:

Lδε =

• Igualando e resolvendo a deformação:

19

g ç

AEPL

=δ

• Para variações de carregamento, de seçãotransversal ou de propriedades do material:

∑=i ii

iiEALPδ


i ii

• Para seção transversal variável ou para forçainterna dependente de x:

∫=L

0AEPdxδ


Exemplo 1

SOLUÇÃO:• Dividir a barra em componentes nos

t d li ã d

20

Determinar a deformação nabarra de aço mostrada submatida

in.618.0 in. 07.1

psi1029 6

==

×= −

dD

E

pontos de aplicação das cargas.

• Aplicar a análise de corpo-livre emcada componente para determinar aforça interna.

• Calcular a deflexão total docomponente.


barra de aço mostrada submatidaàs forças dadas.


SOLUÇÃO:• Dividir a barra em

componentes nos pontos deaplicação das cargas:

221

21

in 9.0

in.12

==

==

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

• Aplicar a análise de corpo-livre em cada componente para determinar a força interna:

21

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

×=

×−=

×=

P

P

P

• Calcular a deflexão total:

1 332211 ⎟⎞

⎜⎛ LPLPLPLP ii


( ) ( ) ( )

in.109.75

3.0161030

9.0121015

9.0121060

10291

1

3

333

6

3

33

2

22

1

11

−×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ×+

×−+

×

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=∑=

ALP

ALP

ALP

EEALP

i ii

iiδ

in. 109.75 3−×=δ


Exemplo 2

SOLUÇÃO:

• Aplicar a análise de corpo livre para abarra BDE para encontrar as forças

id l b AB DC

22

A barra rígida BDE está apoiada por duasbarras AB e CD.

A barra AB é feita de alumínio (E = 70 GPa) et á d ã t l d 500 2 A

exercidas pelas barras AB e DC.

• Calcular os deslocamentos nos pontos B(barra AB) e D (barra DC).

• Trabalhar com geometria elementarpara encontrar a deslocamento em Edados os deslocamentos em B e D.


tem área de seção transversal de 500 mm2. Abarra CD é feita de aço (E = 200 GPa) e temuma área de seção transversal de 600 mm2.

Para a força de 30 kN mostrada, determine osdeslocamentos dos pontos: a) B, b) D e c) E.


Deslocamento de B:

( )( )m3.0N1060 3×−

=AEPL

BδCorpo Livre: Barra BDE

SOLUÇÃO:

Exemplo 223

( )( )( )( )

m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

−×−=

××=

↑= mm 514.0BδDeslocamento de D:

=AEPL

Dδ( )tração kN90F

m2.0Fm6.0kN300

0M

CD

CD

B

+=×+×−=

=∑


( )( )( )( )

m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

−×=

××

×=

↓= mm 300.0Dδ

( )compressão kN60F

m2.0Fm4.0kN300

0M

çN

AB

AB

D

CD

−=×−×−=

=∑


Deslocamento de D:

=′′

HDBH

DDBB

Exemplo 224

( )

mm7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

−=

xx

x

( )mm7.73400 +

=′′

E

HDHE

DDEE

δ


↓= mm 928.1Eδ

( )

mm 928.1mm 7.73mm 300.0

=

=

E

E

δ


Princípio da Superposição de Efeitos

•Admite-se que o efeito de um sistema de forças atuante em uma determinadaestrutura é o mesmo que o somatório dos efeitos causados por cada uma das forçasisoladamente e em qualquer ordem.

25

q q


• Este princípio somente será válido para pequenos deslocamentos da estrutura emrelação as suas dimensões e se estes forem proporcionais às cargas que os produzem.


Problemas Estaticamente Indeterminados• Estruturas na qual forças e reações internas não podem

ser determinadas a partir somente da Estática sãochamadas estaticamente indeterminadas.

U á i i d i d

26

• Reações redundantes são substituídas por cargasdesconhecidas que junto com as outras cargasdevem produzir deformações compatíveis.

• Uma estrutura será estaticamente indeterminadasempre que for suportada por mais apoios do queé necessário para manter seu equilíbrio.


0=+= RL δδδ

• Deformações devido a cargas atuantes e reaçõesredundantes são determinadas separadamente e entãoadicionadas ou superpostas.


Exemplo 3Determinar as reações A e B para uma barra de açocom o carregamento apresentado.

SOLUÇÃO:

27

• Estabelecer que os deslocamentos devidos às cargas

• Resolve-se o deslocamento de B devido à reaçãoredundante em B.

• Considerando a reação de B como redundante,libera-se o apoio e resolve-se o deslocamento de Bdevido às cargas aplicadas.


• Resolver o cálculo da reação em A devido aocarregamento aplicado e a reação encontrada em B.

e devido à reação redundante sejam compatíveis, porexemplo, estabelecer que a soma deles seja igual azero.


SOLUÇÃO:• Resolve-se o deslocamento em B devido ao carregamento

aplicado com o apoio liberadoPPPP 3

43

321 N10900N106000 ×=×===

Exemplo 328

EEALP

LLLL

AAAA

i ii

ii9

L

4321

2643

2621

10125.1

m 150.0

m10250m10400

×=∑=

====

×==×== −−

δ

• Resolve-se o deslocamento em B devido ao apoioredundante,


( )∑

×−==

==

×=×=

−==

−−

i

B

ii

iiR

B

ER

EALPδ

LL

AA

RPP

3

21

262

261

21

1095.1

m 300.0

m10250m10400


• Estabelece que os deslocamentos devido aos carregamentos edevido à reação redundante sejam compatíveis.

0=+= δδδ

Exemplo 329

( )

kN 577N10577R

0E

R1095.1E

10125.1

0

3B

B39

RL

=×=

=×

−×

=

=+=

δ

δδδ

• Encontra-se a reação em A devido aos carregamentos e àreação em B.


kN323

kN577kN600kN 3000

=

∑ +−−==

A

Ay

R

RF

kN577

kN323

=

=

B

A

R

R


• Calcular as reações em A e B, na barra da figura abaixo, supondo que existe uma distância de4,5 mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é aplicado. Adotar E = 200 Gpa.

Exemplo 530

( )

0F

kN115N104.115R

105,410200

R1095.11020010125.1

anterior exemplo dom105,4

y

3B

39

B3

9

9

3RF

=

=×=

×=×

×−

××

=

×=+=

∑

−

−

δ

δδδ


kN785R0R600300R

0F

A

BA

y

==+−−

∑


• Uma barra de comprimento L e área da seção transversal A1, com módulo de elasticidade E1,foi colocada dentro de um tubo de comprimento de mesmo comprimento L, mas de área deseção transversal A2 e módulo de elasticidade E2. Qual a deformação da barra e do tubo,quando uma força P é aplicada por meio de uma placa rígida?

Exemplo 431

111

22

1

11

1

22

22

11

11

21

21

EAEAPEAP

EA)PP(

EAP

EALP e

EALP

que mostra Geometria aLivre) Corpo de (Diagrama PPP

+=

−=⇒==

==+

δδ

δδ


2211

222

2211

EAEAPEAP

EAEA

+=

+


• A barra AB de comprimento L e seção transversal de área constante é presa a suportesindeslocáveis em A e B antes de ser carregada. Quais são os valores das tensões em AC e BC,devidos à aplicação da carga P no ponto C?

Exemplo 532

0LRLRRP e RP Livre Corpo de Diagrama Pelo

0AE

LP AE

LP0 que mostra Geometria a

Livre) Corpo de (Diagrama PRR

2B1A

B2A1

2211

21

BA

=−−==⇒

=+=

=+==+

δ

δδδ


área pela R e R dividindo tensões as se-calculaL

PLR e L

PLR

BA

1B

2A ==


Problemas Envolvendo Variação de Temperatura

• Uma mudança de temperatura resulta em uma variação de comprimento oudeformação térmica.

• Não existe tensão associada à deformação por variação de temperatura a menos que adil t ã j t i id l i

33

dilatação seja restringida pelos apoios.

( )

L

atemperatur de variaçãoTtérmica dilatação de ecoeficient

LT

TT

T

=

===

δε

Δα

Δαδ


específica térmica deformaçãoTL

T

T

T

==

εΔαε


Problemas Envolvendo Variação de Temperatura

( )AEPLeLT PT == δΔαδ

• Trata-se o apoio adicional como redundante aplica-se oprincípio da superposição

34

( )AEPT

( ) 0AEPLLT

0PT

Δα

δδδ

=+

=+=

• A deformação térmica e a deformação do apoioredundante devem ser compatíveis.


( )

( )TEAP

TAEPAE

Δασ

Δα

−==

−=


Exemplo 6• A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +

25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e BC da barra para a temperaturade -50°C. Usar E = 200 GPa e α = 12x10-6/°C.

35

C75)C25()C50(T °−=°−°−=ΔA = 800 mm2

( )

B21

262

261

21

6T

6T

RLLm10800A m10400A

LLtérmica) o(deformaçã m10540

)m6,0)(C75)(C/1012(LT

C75)C25()C50(T

==×=×=

=×−=

°−°×==

−=−−=

−−

−

−

δ

Δαδ

ΔA = 400 mm2

A = 800 mm2

300 mm 300 mm

m3,0m3,0R

B em reação à devido deformação EA

LPEALP

B

2

22

1

11R

⎟⎞

⎜⎛

+=δ


contrário sentidode e igual é A em reação A

kN96N1096R

0R)N/m10625,5(m10540

0m10800

m3,0m10400

m3,0Pa10200

3B

B96

RT

26269B

=×=

=×+×−=

=+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×+

××=

−−

−−

δ

δδδ


Exemplo 636

MPa120m10800N1096

AP

MPa240m10400N1096

AP

26

3

2

22

26

3

1

11

=××

==

=××

==

−

−

σ

σ

1200101200MPa200MPa240

E

90010900

)C75)(C/1012(T

1

61

6

6T

=×==

−=×−=

°−°×==

−

−

−

σ

μσ

μ

Δαε

• O fato da deformação total da barra ser zero não deve levar à conclusão de que adeformação em AC e CB é nula.


0m90)m3,0)(300()CB(m90)m3,0)(300()AC(

300600900E

3001200900E

CBAC

CBCB

ACAC

2TCB

1TAC

=+=−=−==+=+==

−=+−=+=

+=+−=+=

δδδμμεδμμεδ

μμμσεε

μμμσεε


Coeficiente de Poisson• Para uma barra delgada sujeita a um carregamento

axial:0=== zy

xx E

σσσε

37

• O alongamento na direção x é acompanhado poruma contração nas outras direções. Assumindo queo material é isotrópico (sem dependência dadireção considerada),

0≠= zy εε

• O coeficiente de Poisson é definido por:

ltífid f ã


EE

allongitudin específica deformaçãoltransversaespecíficadeformação

xzy

xx

x

z

x

y

νσεε

σε

εε

εε

ν

ν

−==⇒=

−=−=

=


Exemplo7• Uma barra de material homogêneo e isotrópico tem 500 mm de comprimento e 16 mm

de diâmetro. Sob a ação da carga axial de 12kN, o seu comprimento aumenta em 300μm e seu diâmetro se reduz em 2,4 μm. Determinar o módulo de elasticidade ecoeficiente de Poisson do material.

38

10150mm16

m4,2L

10600mm500

m300L

MPa7,59m10201N1012

AP

m10201)m108(RA

6yy

6xx

26

3

x

26232

×−=−

==

×===

=××

==

×=×=⋅=

−

−

−

−−

μδε

μδε

σ

ππ


25,01060010150

GPa5,9910600MPa7,59E

:Hooke de Lei Pela

6

6

x

y

6x

x

=××−

=−=

=×

==

−

−

−

εε

ν

εσ


Lei de Hooke Generalizada• Para um elemento sujeito a um carregamentomultiaxial, as componentes de deformação normalresultantes a partir das componentes de tensão podemser determinadas a partir do princípio dasuperposição, se as duas condições forem satisfeitas:

39

p p ç , ç

1) Cada deformação é diretamente proporcional àcarga que a produziu;

2) A deformação causada por qualquer doscarregamentos é pequena e não afeta as condições deaplicação dos outros carregamentos.

y νσνσσ


EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

σνσνσε

νσσνσε

νσνσσε

+−−=

−+−=

−−+=• Generalização daLei de Hooke paraCarregamentoMultiaxial:


Exemplo 8• A figura mostra um bloco de aço submetido à ação de pressão uniforme em todas as

faces. Mediu-se a variação do comprimento AB, que foi de - 24 μm. Determinar: (a)A variação de comprimento das outras duas arestas; (b) a pressão p aplicada às facesdo bloco. Adotar E = 200 GPa e ν = 0,29.

40

40 mm m12)mm40)(300()BC(

300

300mm80

m24AB

)21(Ep uniforme Pressão

yy

zyx

xx

zyx

−=−==

−===

−=−

==

−−===

μμεδ

μεεε

μμδ

ε

νεεε


80 mm 60 mm

MPa9,14229,021

)300)(GPa200(21

Ep

m18)mm60)(300()BD(

m12)mm40)(300()BC(

x

zz

yy

=⋅−

−−=

−−=

−=−==

μν

εμμεδ

μμεδ


Dilatação Volumétrica

• Enquanto o cuboelementar se encontra livrede tensões, o elemento temvolume unitário

41

1vol

1,,

)1)(1)(1(vol

zyx

zyx

+++=

<<<

+++=

εεε

εεε

εεε

volume unitário.

• As tensões o levam àforma de umparalelepípedo-retângulode volume:

• O valor e representa a variação de volume por unidade devolume

específica cúbica diltaçãoou específica avolumétric dilataçãoe

e

111vole

1vol

zyx

zyx

zyx

=

++=

−+++=−=

+++=

εεε

εεε

εεε


volume.

)(E21e

E)(2

Ee

dageneraliza Hooke de Lei pela doSubstituin

zyx

zyxzyx

σσσν

σσσνσσσ

++−

=

++−

++=


Módulo de Elasticidade de Volume (ou de Bulk)• Para um elemento sujeito a uma

pressão hidrostática uniforme:

42

( )E

213pe −−=

ν

• Exemplo 9: Determinar para o bloco doexemplo 8 a variação de volume ΔV quandose aplica uma pressão hidrostática p =180Mpa. Adotar E = 200GPa e ν = 0,29.

• Sujeita a uma pressãouniforme a dilatação deve

( )

Bulk de móduloou volumede deelasticida de módulo k

kpe

213Ek adotando

=

−=

−=

ν

( )

33

3

mm10192m)(60mm)(80mm)(40mV

oindeformad estado no volume

10134,1GPa7,158

MPa180kpe

GPa7,158)58,01(3

GPa200213

Ek

×==

×−=−=−=

=−

=−

=

−

ν


uniforme, a dilatação deveser negativa, entretanto

210 << ν

3

333

mm218V

)mm10192)(10134,1(eVVV

Ve

−=

××−==

=

−

Δ

Δ

Δ


Deformação de Cisalhamento

• Um elemento cúbico sujeito à tensões cisalhantes tenderáa deformar em um paralelepípedo oblíquo. A deformaçãocisalhante correspondente é quantificada em termos da

d d â l t l d

43

mudança de ângulo entre os lados:

)(f xyxy γτ =

• Um gráfico de tensões cisalhantes por deformaçõescisalhantes é similar ao gráfico prévio de tensões normaispor deformações normais exceto pelos valores deresistência que são aproximadamente a metade. Para


pequenas deformações,

zxzxyzyzxyxy GGG γτγτγτ ===

onde G é o módulo de elasticidade transversal.


Exemplo 10SOLUÇÃO:

• Determinar a deformação angular médiaou a deformação cisalhante no bloco.

• Aplicar a Lei de Hooke para tensões e

44

160 mm

40 mm

50 mm

Um bloco retangular de material que temmódulo de elasticidade transversal G = 600MPa é colado em duas placas horizontaisrígidas. A placa inferior é fixa, enquanto a

l i b id f

• Usar a definição de tensão cisalhante paraencontrar a força P.

• Aplicar a Lei de Hooke para tensões edeformações cisalhantes para encontrar atensão cisalhante correspondente.


placa superior é submetida a uma forçahorizontal P. Sabendo-se que a placasuperior se move 0,8 mm sob a ação daforça, determinar: a) a deformação decisalhamento no material, e b) A força Pexercida na placa superior.


• Determinar a deformação angular média ou adeformação cisalhante no bloco.

rad020.0mm40mm ,080tan xyxyxy ==≈ γγγ

45

0,8 mm

• Aplicar a Lei de Hooke para tensões edeformações cisalhantes para encontrar atensão cisalhante correspondente.

( )( ) PaM12rad020.0MPa600G xyxy === γτ

• Usar a definição de tensão cisalhante para

40 mm

,


encontrar a força P.

( )( )( ) N1096m050,0m160,0Pa1012AP 36xy ×=×== τ

kN96P =


Relações entre E, ν e G• Uma barra delgada submetida à força axial de

tração apresenta alongamento ao longo doeixo na direção da força e contração nasoutras direções transversaisU b l t i t d d

46

• Se um cubo elementar é orientado como nasegunda figura, se transformará em umlosango Isto é o carregamento axial também

• Um cubo elementar e orientado segundo aprimeira figura se transformará em umparalelepípedo-retângulo. Isto é, ocarregamento axial produz uma deformaçãonormal.


( )ν+=

12EG

• Componentes de deformação normal ecisalhante são relacionadas,

losango. Isto é, o carregamento axial tambémresulta em deformação de cisalhamento


Exemplo 11

Um círculo de diâmetro d = 230 mm é desenhadoem uma placa de alumínio sem tensões, deespessura t = 20 mm. Aplicam-se forças que

47

380 mmatuam no plano da placa causando as tensõesnormais σx = 84 MPa e σz = 140 MPa.

Para E = 70 GPa e ν = 1/3, determinar as variaçõesque ocorrem:

a) no comprimento do diâmetro AB,

b) no comprimento do diâmetro CD,

380 mm


c) na espessura da placa, e

d) no volume da placa.


SOLUÇÃO:

• Aplica-se a Lei Generalizada deHooke e encontra-se as trêscomponentes de deformações normais.

νσ

• Calcula-se os componentes de deformações:

( )( )23010533,0d 3xAB

−×+== εδ

mm106,122 3AB

−×+=δ

48

( ) ( )

EEE

m/m10533.0

14031084

1070101

EEE

zyxy

3

9

6

zyxx

−

−+−=

×+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

××

=

−−+=

νσσνσε

νσνσσε ( )( )230106,1d 3

zDC−×+== εδ

( )( )2010067,1t 3yt

−×−== εδ

mm10368 3DC

−×+=δ

mm103,21 3t

−×−=δ


m/m10600.1EEE

m/m10067.1

3

zyxz

3

−

−

×+=

+−−=

×−=

σνσνσε

• Encontra-se a variação de volume:

( )2038038010067,1eVV

10067,1e3

3zyx

×××==

×=++=−

−

Δ

εεε

3mm3081V +=Δ


Materiais Compósitos• Os materiais compósitos reforçados por fibras são

obtidos a partir da lâmina de fibras de grafite, vidro oupolímeros, embebidos em uma matriz de resinas.

T õ d f õ i ã l i d L i d

49

z

zz

y

yy

x

xx EEE

εσ

εσ

εσ

===

• Tensões e deformações normais são relacionadas a Lei deHooke, mas direcionalmente dependem do módulo deelasticidade,

• Deformações transversais são relacionadas direcionalmentedependentes dos valores do coeficiente de Poison,


x

zxz

x

yxy ε

ενεε

ν −=−=

p ,

• Materiais com propriedades de dependência mecânicadirecional são ditos anisotrópicos.


Princípio de Saint-Venant• Carregamentos transmitidos através de

placas rígidas resultam em umadistribuição uniforme de tensões edeformações.C t t d lt

50

Princípio de Saint Venant: “A

• As distribuições de tensões edeformações tornam-se uniforme a umadistância relativamente curta do ponto deaplicação do carregamento.

• Carregamentos concentrados resultam emgrandes tensões na vizinhança do ponto deaplicação da carga.


• Princípio de Saint-Venant: “Adistribuição de tensões pode ser adotadaindependentemente do modo que seaplica o carregamento, com exceção dospontos na vizinhança do ponto deaplicação da força”.


Concentração de Tensão: Furos51


Descontinuidades de seção transversal podemresultar em altos valores de tensões localizadas ouconcentradas.

tensões de ãoconcentraç de ecoeficient :K

Kmed

max

σσ

=


Concentração de Tensões: Arredondamentos52



Exemplo 12

SOLUÇÃO:

• Determinar as relações geométricas et fi i t d t ã d

53

Determinar a máxima carga axial Pque pode ser suportado com segurançapela barra chata de aço constituída deduas partes, ambas de 10 mm deespessura, e respectivamente 40 e 60mm largura, ligadas por uma região de

encontrar o coeficiente de concentração detensões a partir do gráfico

• Aplicar a definição de tensão normal para

• Encontrar a tensão média normaladmissível utilizando a tensão admissíveldo material e o coeficiente deconcentração de tensões.


g g gtransição com arredondamentos de raior = 8 mm. Assumir a tensãoadmissível do material de165 MPa.

p ç pencontrar o carregamento admissível.


• Determinar as relações geométricas eencontrar o coeficiente de concentraçãode tensões a partir do gráfico:

821K

20,0mm40mm8

dr50,1

mm40mm60

dD

=

====

54

82,1K =

• Encontrar a tensão média normaladmissível utilizando atensãoadmissível do material e o coeficientede concentração de tensões.

MPa7,9082,1MPa165

Kmax

med ===σ

σ


• Aplicar a definição de tensão normalpara encontrar o carregamentoadmissível.

( )( )( )N103,36

MPa7,90mm10mm40AP3

med

×=

== σ

kN3.36=P

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ABAAAAIbUAF.PDF