Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroESTUDO COMPARATIVO DO USO DAS NORMAS AMERICANA EBRASILEIRA NO DIMENSIONAMENTO E OTIMIZAO DEPRTICOS DE CONCRETO ARMADOJuliana von Schmalz Torres (1); Silvana Maria Bastos Afonso (2); Antonio Oscar C. da Fonte (3)(1) Mestre em Estruturas, Universidade Federal de Pernambucoemail: julianavst@yahoo.com.br(2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Civil, Universidade Federal de Pernambucoemail: smb@npd.ufpe.br(3) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Civil, UNICAP, Ps-Graduao, UFPEemail: aocf@npd.ufpe.brAv. Acadmico Hlio Ramos, s/n, 50.740-530 Recife PEPalavras Chaves: Dimensionamento, Otimizao, Prticos, Concreto Armado.ResumoO presente trabalho tem como objetivo a obteno de projetos econmicos deprticos de concreto armado. O problema do custo mnimoque satisfaa todas asrestries relacionadas com as recomendaes de dimensionamento formulado eimplementado no programa ANSYS. As especificaes para dimensionamento dasarmaduras contidas na norma Brasileira NB-1/2000, bem como, na normaAmericana ACI so as aqui consideradas. So includos os custos do concreto,armadura e forma. As variveis de projeto so as dimenses da seo transversaldos elementos. As armaduras tambm so variveis do problema, s quedependentes das variveis anteriormente citadas. Um estudo comparativo entreprojetos timos obtidos seguindo as recomendaes das normas aqui consideradas conduzido ao final.Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiro1IntroduoA otimizao de estruturas tornou-se uma rea de grande importncia para aengenharia, devido necessidade da obteno em tempo hbil, de solueseconmicas e viveis.As tcnicas de otimizao, no projeto das estruturas de prticos por exemplo,aparecem como uma metodologia mais eficiente, em contradio aos procedimentosconvencionais de tentativas e erros comumente empregados.Neste trabalho, um procedimento para otimizar prticos planos de concreto armadocom sees transversais retangulares apresentado e implementado no sistemacomputacional ANSYS. A estratgia adotada baseada nos trabalhos de BALLINGe YAO (1996), contido no Guia de Otimizao Estrutural, que segue os critrios daNorma Americana, ACI (1998). Para efeito comparativo, as especificaes da normaBrasileira NB-1 (2000) tambm so consideradas e aqui apresentadas.A funo objetivo a ser minimizada o custo total do prtico, que consiste noscustos do material e da mo-de-obra do concreto, da armadura e da forma. Paracada pilar, tem-se como restries: capacidade de resistncia da coluna e armaduramxima. Para as vigas as restries so: capacidade de resistncia a flexo,armadura mxima e a capacidade de resistncia ao cisalhamento. As variveis deprojeto so as dimenses, base e altura, das sees transversais das vigas e dospilares do prtico. As armaduras tambm so variveis do problema, s quedependentes das variveis anteriormente discutidas. Conjuntos de vigas e trechosde pilares so agrupados de maneira que todos os elementos do grupo tenham amesma dimenso. Como conseqncia, o grupo inteiro representado por umaquantidade menor de variveis de projeto. Os parmetros constantes no problemaso: geometria, cargas, propriedades dos materiais e valores dos custos dosmateriais.No programa ANSYS, a anlise linear elstica da estrutura via o mtodo doselementos finitos conduzida. Um mdulo especfico foi desenvolvido e codificadocontendo as especificaes para dimensionamento das armaduras nas sees decada elemento estrutural, bem como, a formulao das restries e funo objetivo eas regras de associao das variveis de projeto. Tal mdulo inserido no programaANSYS para executar a otimizao. Para obter projetos timos, algoritmos deprogramao no-linear contidos neste programa so empregados. Finalmente, umprojeto de um prtico plano otimizado.2Algoritmo bsico do ANSYSOs principais passos do algoritmo bsico para conduzir a otimizao utilizando oANSYS esto descritos a seguir.1.Definio das caractersticas da estrutura: nesta etapa que o tipo do elemento,as constantes reais, as propriedades dos materiais, o modelo da geometria, otipo de carregamento e o tipo da anlise so definidos.2.Discretizao: A malha de elementos finitos em todo domnio gerada quandodefine-se a geometria da estrutura. Para isto, foi utilizado o elemento beam3 dabiblioteca do ANSYS.3.Execuo da anlise de elementos finitos: Uma anlise linear elstica de umprtico plano feita.4.Clculo das funes restries e objetivo: As restries e a funo objetivo soInstituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiroformuladas como expresses definidas pelo usurio, atendendo sespecificaes do programa.5.Avaliao da sensibilidade do projeto e execuo da otimizao: Os gradientesso calculados pela introduo de pequenas perturbaes nas variveis deprojeto. O mtodo das diferenas finitas adotado para calcular a sensibilidaderelativa s variveis de projeto do prtico.Com a avaliao das sensibilidadesdas funes obtidas no item 4 e utilizando o otimizador contido no ANSYS, umnovo projeto obtido. Se o novo projeto satisfaz o critrio de convergncia oprocedimento terminado. Caso contrrio, o projeto atualizado e o passo 3 doprocedimento retomado.3Formulao do problemaA formulao do problema de otimizao em questo segue as instrues do Guiade Otimizao Estrutural, da ASCE (1997). Tal procedimento aqui aplicado otimizao de prticos de concreto armado, em duas dimenses, com seestransversais retangulares. Neste trabalho, para a estimativa da armadura e formulao das restries e funoobjetivo, adotado tanto os critrios da norma Brasileira, NB-1 (2000) quanto danorma Americana, ACI (1998). Contudo, apenas as recomendaes da NB-1 quesero aqui ilustradas. Maiores detalhes da formulao do problema segundo ascondies da ACI podem ser encontrados em TORRES (2001).So descritos a seguir, os elementos para a formulao do presente problema deotimizao.3.1Parmetros constantesNo presente trabalho, os parmetros constantes no problema so: o comprimentodas barras que constituem o prtico, as cargas, as propriedades dos materiais e osvalores dos custos dos materiais.3.2Variveis de projetoAs variveis de projeto so as dimenses, base b e altura h, das sees transversaisdas vigas e dos pilares que constituem o prtico. As armaduras tambm sovariveis do problema, s que dependentes das variveis anteriormente discutidas.Com o objetivo de reduzir o nmero de variveis de projeto e/ou manter a simetriada estrutura, os elementos (vigas e pilares) so agrupados e relaes de associaoso aplicadas s variveis de projeto.3.3Clculo das armaduras3.3.1VigasPara o clculo das armaduras adota-se uma hiptese feita pelo Guia da ASCE: noprojeto timo a armadura longitudinal As, na localizao do momento crtico, controlada por um dos dois fatores: (a) a resistncia flexo ou (b) a condio dearmadura mnima.Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroConsiderando o fator (a), para o clculo da armadura deve-se obter as equaes deequilbrio da viga sujeita flexo simples, que esto associadas com a configuraoda deformada ltima. Estas aqui so estabelecidas, de acordo com a especificaoda norma Brasileira, NB-1 (2000). Desta forma, para uma viga retangular comarmadura simples, considerando-se a resistncia flexo, a armadura pode sercalculada pela seguinte equao (ROCHA, 1983):( )

,_

b ffd fcdyd syd s u f d85 . 0 2 (1)Na equao acima, Md o momento fletor resistente de clculo, f o coeficiente desegurana, u momento fletor solicitante de clculo, fyd a resistncia deescoamento do ao de clculo, d a distncia da fibra extrema de compresso parao centride da armadura de trao, fcd a resistncia compresso do concreto declculo. No presente trabalho, admitiu-se o parmetro d sendo dado por:h h d h d 1 . 0 (2)A equao (1) pode ser representada pela seguinte equao quadrtica:02 + + s s (3)onde os coeficientes , e so dados por:( ) b ffcdyd85 , 0 22 ,d fyd e dM (4)A restrio da capacidade de resistncia flexo deve ser includa no problema deotimizao, que restringe Mu Mumax, para cada localizao do momento crtico. Ouseja, o discriminante da frmula quadrtica deve ser positivo (BALLING e YAO,1997):2 - 4 0(5)Durante o procedimento da otimizao, o algoritmo de programao no linear, podeocasionalmente enviar valores da base, altura e Mupara a anlise individual doelemento, queviole a restrio da capacidade de resistncia flexo. Nestes casos,deve-se estabelecer um valor razovelda armadura longitudinal de forma que asfunes, custo e outras restries, possam ser avaliadas. Logo, sugerido que aarmaduraseja computada da seguinte maneira:Se2 - 4 0 , 242 s , Se2 - 4 (10)Considerando agora a hiptese (b), do Guia de Otimizao do ASCE, a qual assumeque o dimensionamento do pilar controlado pela armadura mnima especificadapela norma, tem-se neste caso:bh A A As s s min'min + (11)Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiroonde: % .ff.ydcdmin4 0 15 0 = taxa de armadura mnima e

cddbhfP = valor da fora normal em termos adimensionais.Desta forma, o valor da armadura proveniente da resistncia da coluna comparadocom o valor de armadura mnima e o maior dos dois adotado.3.4Funes restries3.4.1VigasPara as vigas as restries consideradas so: capacidade de resistncia a flexo,armadura mxima e a capacidade de resistncia cisalhante. A restrioespaamento das armaduras para as vigas, no est explcita diretamente nomdulo de otimizao, porm est sendo considerada quando calcula-se aquantidade de barras permitidas em uma camada, em funo do dimetro da barra aser utilizado.No que concerne capacidade de resistncia flexo, esta foi apresentada naseo do clculo de dimensionamento de vigas.A restrio de armadura mxima requer que para cada localizao do momentocrtico, a seguinte equao seja satisfeita:04 0,bhsVIG (12)A restrio capacidade de resistncia cisalhante dada por:2 rd c s uV V V V < + (13)Onde na equao anterior: Vua fora cortante solicitante de clculo na seo,Vs a parcela defora cortante absorvida pela armadura transversal,Vc parcela da fora cortante absorvida pelo concreto, aqui formulada apenas paraa flexo simples e obtida por: bd f , Vctd c6 0 ,com cctkctdffinf ,,ctm inf , ctkf , f 7 0 ,3 / 23ck ctmf f (14)sendo c o coeficiente de ponderao do concreto,e Vrd2 a fora cortante resistente de clculo relativa runa das diagonaiscomprimidas de concreto para o modelo de clculo 1, que foi o modelo aquiconsiderado (NB-1, 2000), dada por:bd f Vcd v rd 27 , 02 ,com 2500001ckvf (15)Ressaltando-se que, nas equaes (14) e (15) a unidade que deve ser utilizada kPa.Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiro3.4.2PilaresPara cada coluna, tem-se como restries: capacidade de resistncia da coluna earmadura mxima. Da mesma forma que para as vigas, a restrio espaamentodas armaduras para os pilares est sendo atendida quando calcula-se a quantidadede barras permitidas em uma camada, em funo do dimetro da armadura a serutilizado.A restrio capacidade de resistncia da coluna satisfeita quando formula-se asequaes de equilbriopara o clculo das armaduras, anteriormente apresentadas.A restrio de armadura mxima, dada por:08 , 0 bhAsPIL(16)3.5Funo objetivoConforme j mencionado, a funo objetivo do problema de otimizao a ser aquiresolvido o custo total do prtico. O custo total consiste nos custos do material eda mo-de-obra de trs parcelas:concreto,armadura eforma.O custo de concretoe da forma de cada elemento de viga ou pilar, pode seravaliado diretamente por meio das variveis de projeto base e altura, porm o custoda armadura e o clculo das restries, requerem uma estimativa da rea de ferropara cada localizao do momento crtico. Desta forma, conclui-se que o custo doconcreto e da forma so proporcionais ao volume total de concreto e o custo daarmadura proporcional ao peso das armaduras.A funo objetivo definida por:PIL VIG OBJC C F + (17)onde CVIG o custo total de todas as vigas e CPIL o custo total de todos os pilares,e so obtidos a partir da adio dos custos referentes s parcelas isoladas doconcreto, ao e forma:FV AV CV VIGC C C C + + e FP AP CP PILC C C C + + (18)As parcelas de custo correspondentes s vigas so portanto:Custo do concreto:( ) VNkk CV CVC C1 (19) onde para cada viga k:

( )( )( ) ( ) ( )( )k V k k MAT k CVL h b C C + MOCCusto da armadura:( ) VNkk AV AVC C1 (20) onde para cada viga k:Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiro ( )( )( )()( )( )( ) ( )

,_

+ + 4 4212k ev k ev enik i bk bao MO MAT k AVL n dLdC C Ck b Custo da forma: ( ) VNkk FV FVC C1 (21)onde para cada viga k:

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )k V k k V k MAT k FVL h L b C C + + 2 CMOE as parcelas de custo correspondentes aos pilares so:Custo do concreto:( ) PNkk CP CPC C1(22)onde para cada pilar k: ( )( )( ) ( ) ( )( )k P k k MAT k CPL h b C C + MOCCusto da armadura:( ) PNkk AP APC C1 (23)onde para cada pilar k: ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,_

+ + 4 42 2k ep k ep e k P k b k bao MO MAT k APL n d L n dC C C Custo da forma: ( ) PNkk FP FPC C1(24)onde para cada pilar k: ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )k P k k P k MAT k FPL h L b C C + + 2 2 CMONas equaes acima, NV o nmero total de vigas do prtico; CMAT o custo domaterial do concreto ou da armadura ou da forma; CMO o custo da mo-de-obra doconcreto ou da armadura ou da forma; LV o comprimento total da viga; ao opeso unitrio do ferro; db o dimetro longitudinal da barra de armadura principal daviga ou do pilar; nb o nmero das barras de armadura principal da viga ou dopilar;Lbio comprimento da i-sima barra de armadura principal da viga; de odimetro do estribo da viga ou do pilar;nev o nmero de estribos da viga; Levocomprimento de um estribo nico da viga; NP o nmero total de elementos depilares do prtico (trecho entre dois andares consecutivos); LP o comprimento deum trecho do pilar; nep o nmero de estribos do pilar;Lepo comprimento de umestribo nico do pilar.Os valores de de e db so previamente escolhidos. Tenta-se sempre adotar o menordos dimetros. Assim, calcula-se o nmero de barras para um dado As e o nmerode barras que cabe em uma camada para o dimetro da barra adotado. Limitando-se o nosso estudo a trabalhar com duas camadas de armaduras, caso este nmeroseja ultrapassado para a barra em uso, muda-se para a barra de dimetro maiormais prxima e assim por diante.A quantidade de barras ao longo do eixo, da viga ou do pilar, para cada localizaoda solicitao crtica, dada por:Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiro24bsbdAn (25)Por outro lado, a quantidade de barras que cabe em uma camada, da viga ou dopilar, dada por:esp besp e recbcamd dd d d bn++ 2 2 (26)Onde: drec a distncia de recobrimento requerida e desp o espaamento entrebarras.O nmero de estribos da viga determinado por meio da equao:VLevx sdxn0) ( (27)Onde na equao acima, LV o comprimento da viga onde os estribos so exigidose s(x) denominada funo espaamento do estribo da viga.A funo do espaamento do estribo da viga controlada por qualquer um dos doisfatores: espaamento mnimo de estribo da viga exigido ou resistncia aocisalhamento exigida em uma localizao x. Utilizando as especificaes da normaBrasileira NB-1 (2000), estes fatores esto representados pelas seguintes equaes:( )11]1

) ( 49 . 0, min2maxx Vd f ds x ssywd stir onde( )( )cusVx Vx V (28)mm d s 300 6 . 0max se:267 . 0rd dV V (29)mm d s 200 3 . 0max se:267 . 0rd dV V > (30)O nmero de estribos dos pilares, considerando-se um ao do tipo CA-50, calculado a partir de (NB-1, 2000):) 12 , , , 2 . 0 min(bPepd h bLn (31)Para finalizar os clculos da funo custo, preciso que a topologia da armaduralongitudinal das vigas seja admitida, para determinao do comprimento Lbi. Destaforma, a topologia adotada para cada vo da viga pode observada na Figura 1 eobtida de acordo com as seguintes consideraes:para momento positivo:(T1)40% das barras nb calculadas tem comprimento = [LV(i)](T2)60% das barras nb calculadas tem comprimento = [(LV(i)) + (2*50* db)]para momento negativo:(T3)100% das barras nb calculadas tem comprimento = [(1/4* LV(i))+(50* db)]Para os pilares, admitido que a topologia da armadura consiste trivialmente em umInstituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileironico grupo de barras estendendo-se no comprimento inteiro da coluna.Figura 1 - Topologia da armadura da viga.4ExemploA formulao descrita neste trabalho agora aplicada a um prtico de 22 andaressujeito ao carregamento vertical, conforme indicado na Figura 2. Para cada andartem-se como carregamento: carga distribuda Q = 23,54kN/m e carga concentradaP = 176,52 kN.As propriedades do material consideradas para esta anlise so: ao do tipo CA-50A com mdulo de elasticidade do ao Es = 210000000 kPa e concreto comresistncia a compresso fck = 45000 kPa.As dimenses iniciais das sees transversais so 0,12 m x 0,75 m para as vigas e0,30 m x 0,70 m para os pilares. Os valores dos custos so os seguintes: Custo domaterial do ao: R$ 126,00 / kN; Custo da mo-de-obra do ao: R$ 49,00 / kN;Custo do material do concreto: R$ 188,00 / m3; Custo da mo-de-obra do concreto:R$ 37,00 / m3; Custo do material da forma: R$ 12,00 / m2; Custo da mo-de-obrada forma: R$ 11,00 / m2.Figura 2 Prtico de 22 andares sujeito ao carregamento vertical.Este prtico foi discretizado considerando um elemento finito para cada viga e umelemento finito para cada trecho de pilar.Para este problema, o nmero de restries envolvidas excede o nmero mximopermitido pelo otimizador do ANSYS. Sendo assim, um prtico equivalente de 10andares considerado para a otimizao. As cargas no andar mais alto (10o) soT32*T32*T3T3T1T1T1T2elemento viga 1 = LV(1)elemento viga 2 = LV(2)elemento viga 3 = LV(3)QP P7,65 m3,00 m3,00 m66,00 mQP PQP P7,65 m 7,65 m3,00 m3,00 m66,00 mInstituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileirocalculadas levando-se em conta as cargas aplicadas dos andares eliminados (11o ao22o andar). Esta simplificao resulta em 70 restries, as quais podem serconsideradas no otimizador do ANSYS.O objetivo da otimizao minimizar o custo total da estrutura. As restriesmencionadas na seo 3.4 so consideradas.As variveis de projeto so as bases e as alturas das sees transversais das vigase dos pilares. Elas so agrupadas e desta maneira o processo de associao devariveis de projeto tem a sua importncia na reduo do esforo computacional.Apenas uma situao de organizao dos grupos das variveis de projeto aquiusada, ou seja, o grupo 1 (G1) representa o 1o ao 5o andar e o grupo 2 (G2)representa o 6o ao 10o andar. Cada grupo constitudo por quatro variveis deprojeto, correspondendo estas s dimenses das sees transversais (bases ealturas) das vigas e dos pilares.Para os pilares, as bases esto limitadas na faixa de 0,20 m a 0,60 m e a altura de0,35 m a 1,40 m. Para as vigas as limitaes so de 0,12 m a 0,24 m para as basese 0,38 m a 1,50 m para as alturas.Um estudo comparativo entre projetos timos obtidos seguindo as recomendaesdas normas Brasileira NB1 e Americana ACI apresentado.Obs: Os resultados de dimensionamento calculados com base na ACI soapresentados em funo da resistncia de escoamento da armadura e do fator demajorao de cargas com valores respectivamente de: fy = 411879,3 kPa ec = 1,7.4.1Discusso dos resultados4.1.1Comparao das variveis de projeto entre normasNa Tabela 1 so ilustrados os resultados da otimizao das variveis de projeto(base e altura dos pilares e vigas) para cada agrupamento (G1 e G2). Tais valorestambm so dados de acordo com as Normas ACI e NB-1. Observa-se que asdimenses das variveis de projeto que seguem as especificaes da ACI em geralso maiores do que as da NB-1. As reas das sees transversais dos pilaresdiminuem medida que se aumenta a altura do prtico, para ambas asespecificaes das normas citadas.Tabela 1 Variveis de projeto iniciais e timas, para as normas ACI e NB-1.timoIncioACI NB-1Grupo 1 BP1 0,3 0,37734 0,35615HP1 0,7 0,89335 0,68447BV1 0,12 0,12 0,12003HV1 0,75 0,69482 0,49485Grupo 2 BP2 0,3 0,32602 0,31365HP2 0,7 0,74816 0,58467BV2 0,12 0,12 0,12001HV 0,75 0,68004 0,502664.1.2Comparao da funo objetivoNa Figura 3 so apresentados os valores do custo total para o projeto inicial e timo,considerando-se tanto os critrios da norma Americana ACI, quanto da normaBrasileira NB-1. Uma diferena de 30,24% observada por parte dos custos entreos projetos iniciais da ACI e NB-1. A diferena recai para 22,52% no projeto timo.Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroOs projetos iniciais e timos so viveis. Para este caso em estudo, fica ntido que anorma Americana bem mais conservadora em termos do dimensionamento.Com respeito ACI, observada uma melhoria do custo no timo em relao aoprojeto inicial de 19,77%. Quanto NB-1, uma reduo de 10,89% obtida.Figura 3 Funo objetiva no projeto inicial e timo para as normas ACI e NB-1.4.1.3Comparao das parcelas dos custos para as vigasOs custos totais das vigas esto apresentados na Figura 4, com suas respectivasparcelas de ao, concreto e forma.Em todas as situaes (projeto inicial e timo NB-1 e ACI), observa-se que a formarepresenta a maior parcela de custo. No projeto inicial, o custo do ao o menor detodos. No entanto, no projeto timo, a parcela de menor custo est associada aoconcreto.Quando comparado o projeto timo com o inicial, tanto para a ACI quanto para aNB-1, nota-se que o custo do ao aumentou, enquanto que os custos do concreto eforma diminuram.Figura 4 Parcelas dos custos das vigas no projeto inicial e timo, para as normas ACI e NB-1.4.1.4Comparao das parcelas dos custos para os pilaresAs parcelas dos custos de ao, concreto e forma esto ilustrados na Figura 5.Para o projeto inicial, o custo do ao o maior dos custos e o custo da forma omenor, para a ACI e a NB-1. Para o projeto final, o custo do concreto o maior doscustos para a ACI, enquanto que para a NB-1 o maior o custo do ao. O custo daforma o menor dos custos tanto para a ACI quanto para a NB-1.Funo Objetiva - Custo0100002000030000Valores FOBJProjeto Inicial 20689 14432Projeto timo 16599 12860ACI NB-1Projeto Inicial - Viga (ACI x Ibracon)0100020003000CustosValores CustosACI 1492.51 1549.13 2850.39NB1 903.65 1549.13 2850.39CACOVIG CCONVIG CFORVIGProjeto timo - Viga (ACI x Ibracon)0100020003000CustosValores CustosACI 1604.92 1419.89 2630.21NB1 1414.65 1030.35 1966.29CACOVIG CCONVIG CFORVIGInstituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroQuando comparado o projeto timo com o inicial, para a ACI nota-se que o custo doao diminuiu, enquanto que os custos do concreto e da forma aumentaram. Para aNB-1, percebe-se que o custo do concreto aumentou enquanto que os custos do aoe da forma diminuram.Figura 5 - Parcelas dos custos dos pilares no projeto inicial e timo, para as normas ACI e NB-1.4.1.5Dimensionamento da vigaNa Figura 6, ilustrado o dimensionamento das vigas que constituem o prtico. Parao projeto inicial, a taxa de armadura para a ACI maior do que a da NB-1. Enquantoque, para o projeto final ocorre o contrrio, ou seja, a taxa de armaduraconsiderando-se os critrios da NB-1 maior do que a da ACI. Isto pode serexplicado por menores dimenses das sees transversais obtidas no timo porparte da NB-1, em comparao com a ACI.Houve um aumento de a armadura no timo em comparao ao projeto inicial, tantopara a ACI quanto para a NB-1.4.1.6Dimensionamento do pilarNa Figura 7, ilustrado o dimensionamento dos pilares que constituem o prtico.Para o projeto inicial, a taxa de armadura para a ACI maior do que a da NB-1.Para a ACI, no timo, a taxa de armadura permanece praticamente a mnima,enquanto que no projeto inicial a mesma bem maior nos andares inferiores s quediminui medida que a altura do prtico aumenta.No dimensionamento da estrutura otimizada segundo os critrios da norma NB-1,quando comparado com o dimensionamento do projeto inicial, observa-se que a taxade armadura maior.Projeto Inicial - Pilar (ACI x Ibracon)025005000750010000CustosValores CustosACI 9202.07 2835.00 2760.00NB1 3534.21 2835.00 2760.00CACOPIL CCONPIL CFORPILProjeto timo - Pilar (ACI x Ibracon)025005000750010000CustosValores CustosACI 3785.89 3921.83 3235.92NB1 2889.66 2883.3 2675.74CACOPIL CCONPIL CFORPILInstituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroFigura 6 Comparao do projeto inicial e final das vigas, segundo as normas ACI e NB-1.Dados Iniciais Viga(b = 0,12 m e h = 0,75 m)Dados timo VigaPQACI As_a = 7,91 cm2 _a = 0,0098 As _m = 4,33 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0098 As _m = 4,27 cm2 _m = 0,0053 As_a = 8,06 cm2 _a = 0,01 As _m = 4,19 cm2 _m = 0,0052 As_a = 7,45 cm2 _a = 0,0092 As _m = 4,77 cm2 _m = 0,0059 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053PNB-1 ACI As_a = 8,88 cm2 _a = 0,0118 As _m = 4,45 cm2 _m = 0,00593 As_a = 8,90 cm2 _a = 0,0119As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00591 As_a = 8,91 cm2 _a = 0,0119 As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00590 As_a = 8,87 cm2 _a = 0,0118As _m = 4,46 cm2 _m = 0,00595 As_a = 9,04 cm2 _a = 0,0123As _m =4,62 cm2 _m =0,00629 As_a = 9,05 cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,61 cm2 _m =0,00628 As_a = 9,05 cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,60 cm2 _m = 0,00627 As_a = 9,1cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,56 cm2 _m = 0,00621 As_a = 8,66 cm2 _a = 0,0118 As _m =4,98 cm2 _m =0,00678 As_a = 8,91 cm2 _a = 0,0118As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00590Obs: As_a=armadura localizada nos apoios da vigae As_m= armadura localizada no meio do vo da viga As_a = 5.34 cm2 _a = 0,0059 As _m = 3,42 cm2_m = 0,0038 As_a = 5,79 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,0 cm2 _m = 0,0033 As_a = 5,72 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2_m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2_m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2_a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,05 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,68 cm2_a = 0,0063 As _m = 3,1 cm2 _m = 0,0034NB-1 As_a = 9,13 cm2 _a = 0,0151 As _m = 4,91 cm2_m =0,00814 As_a = 9,56 cm2 _a = 0,0158 As _m = 4,55 cm2 _m = 0,00754 As_a = 9,50cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,60 cm2_m = 0,00763 As_a = 9,50 cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,60 cm2 _m = 0,00763 As_a = 9,49 cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00764 As_a = 9,76 cm2 _a = 0,0164 As _m = 4,64 cm2_m = 0,00781 As_a = 9,80 cm2 _a = 0,0165 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00776 As_a = 9,80 cm2_a = 0,0165 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00776 As_a = 9,79 cm2 _a = 0,0165 As _m =4,61 cm2 _m = 0,00777 As_a = 9,77 cm2_a = 0,0164 As _m =4,63 cm2 _m = 0,00780Dados Iniciais Viga(b = 0,12 m e h = 0,75 m)Dados timo VigaPQACI As_a = 7,91 cm2 _a = 0,0098 As _m = 4,33 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0098 As _m = 4,27 cm2 _m = 0,0053 As_a = 8,06 cm2 _a = 0,01 As _m = 4,19 cm2 _m = 0,0052 As_a = 7,45 cm2 _a = 0,0092 As _m = 4,77 cm2 _m = 0,0059 As_a = 7,98 cm2 _a = 0,0099 As _m = 4,26 cm2 _m = 0,0053PNB-1 ACI As_a = 8,88 cm2 _a = 0,0118 As _m = 4,45 cm2 _m = 0,00593 As_a = 8,90 cm2 _a = 0,0119As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00591 As_a = 8,91 cm2 _a = 0,0119 As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00590 As_a = 8,87 cm2 _a = 0,0118As _m = 4,46 cm2 _m = 0,00595 As_a = 9,04 cm2 _a = 0,0123As _m =4,62 cm2 _m =0,00629 As_a = 9,05 cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,61 cm2 _m =0,00628 As_a = 9,05 cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,60 cm2 _m = 0,00627 As_a = 9,1cm2 _a = 0,0123 As _m = 4,56 cm2 _m = 0,00621 As_a = 8,66 cm2 _a = 0,0118 As _m =4,98 cm2 _m =0,00678 As_a = 8,91 cm2 _a = 0,0118As _m = 4,43 cm2 _m = 0,00590Obs: As_a=armadura localizada nos apoios da vigae As_m= armadura localizada no meio do vo da viga As_a = 5.34 cm2 _a = 0,0059 As _m = 3,42 cm2_m = 0,0038 As_a = 5,79 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,0 cm2 _m = 0,0033 As_a = 5,72 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2_m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2_m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2_a = 0,0064 As _m = 3,06 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,73 cm2 _a = 0,0064 As _m = 3,05 cm2 _m = 0,0034 As_a = 5,68 cm2_a = 0,0063 As _m = 3,1 cm2 _m = 0,0034NB-1 As_a = 9,13 cm2 _a = 0,0151 As _m = 4,91 cm2_m =0,00814 As_a = 9,56 cm2 _a = 0,0158 As _m = 4,55 cm2 _m = 0,00754 As_a = 9,50cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,60 cm2_m = 0,00763 As_a = 9,50 cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,60 cm2 _m = 0,00763 As_a = 9,49 cm2 _a = 0,0157 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00764 As_a = 9,76 cm2 _a = 0,0164 As _m = 4,64 cm2_m = 0,00781 As_a = 9,80 cm2 _a = 0,0165 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00776 As_a = 9,80 cm2_a = 0,0165 As _m = 4,61 cm2 _m = 0,00776 As_a = 9,79 cm2 _a = 0,0165 As _m =4,61 cm2 _m = 0,00777 As_a = 9,77 cm2_a = 0,0164 As _m =4,63 cm2 _m = 0,00780Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso BrasileiroFigura 7 Comparao do projeto inicial e final dos pilares, segundo as normas ACI e NB-1.5Comentrios Finais1.A metodologia proposta pelo Guia de Otimizao Estrutural da ASCE constituiuma ferramenta adequada a ser aplicada naengenharia prtica. Com talferramenta, a economia no custo da estrutura pode ser alcanada atendendo asexigncias normativas.2.H uma tendncia das dimenses dos elementos diminurem medida que aaltura do prtico aumenta, principalmente para os pilares. Tal comportamentodeve-se ao fato das maiores solicitaes estarem localizadas nos andaresinferiores da estrutura.3.De modo geral, as estruturas dimensionadas pela norma americana ACI somais reforadas do que as da norma brasileira NB-1. Ou seja, a normaAmericana ACI mais conservadora do que a NB-1.4.O custo da forma para as vigas o que apresenta maior valor em comparaocom os demais custos, tanto para o projeto inicial e timo, enquanto que para ospilares o que apresenta menor valor.As = 10,50 cm2As= 10,50 cm2 = 0,01As = 11,16 cm2As= 11,16 cm2 = 0,0106As = 14,75 cm2As= 11,82 cm2 = 0,0126As = 19,13 cm2As= 12,61 cm2 = 0,0151As = 23,51cm2As= 16,98 cm2 = 0,0193As = 28,18 cm2As= 21,06 cm2 = 0,0234As = 31,91 cm2As= 26,09cm2 = 0,0276QPPDados Iniciais Pilar(b = 0,30 m e h = 0,70 m)Dados timo PilarAs = 9,85 cm2As= 9,85 cm2 = 0,0094As = 9,19 cm2As= 9,19 cm2 = 0,0087As = 8,53cm2As= 8, 53cm2 = 0,0081NB-1ACIAs = 12,19cm2As= 12,19 cm2 = 0,01As = 12,19cm2As=12,19 cm2 = 0,01As = 12,19cm2As= 12,19 cm2 = 0,01As = 18,11cm2As= 6,85cm2 = 0,01023As = 25,80cm2As= 14,87cm2 = 0,0167As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 20,82cm2As= 16,85 cm2 = 0,011ACIAs = 34,09 cm2As= 22,36 cm2 = 0,027As = 41,94 cm2As= 30,23 cm2 = 0,034As = 49,80 cm2As= 38,09 cm2 = 0,042As = 57,66 cm2As= 45,95 cm2 = 0,049As = 65,53cm2As= 53,80 cm2 = 0,057As = 73,92 cm2As= 61,12 cm2 = 0,064As = 80,6 cm2As= 70,2 cm2 = 0,072As = 26,22 cm2As= 14,54 cm2 = 0,019As = 18,37 cm2As= 6,65 cm2 = 0,012As = 15,02 cm2As= 10,5 cm2 = 0,012As = 8,53 cm2As= 8,53 cm2 = 0,00931As = 9,19cm2As=9,19 cm2 = 0,0100As = 10,87cm2As= 9,85 cm2 = 0,0113As = 15,31cm2As= 7,22 cm2 = 0,0123As = 19,52 cm2As= 11,76 cm2 = 0,0171As = 11,82 cm2As= 11,82 cm2 = 0,0097As = 12,47 cm2As= 12,47 cm2 = 0,0102NB-1As = 13,13cm2As= 13,13 cm2 = 0,0108As = 17,47cm2As= 10,13 cm2 = 0,0113As = 21,32cm2As= 15,03 cm2 = 0,0149As = 10,50 cm2As= 10,50 cm2 = 0,01As = 11,16 cm2As= 11,16 cm2 = 0,0106As = 14,75 cm2As= 11,82 cm2 = 0,0126As = 19,13 cm2As= 12,61 cm2 = 0,0151As = 23,51cm2As= 16,98 cm2 = 0,0193As = 28,18 cm2As= 21,06 cm2 = 0,0234As = 31,91 cm2As= 26,09cm2 = 0,0276QPPDados Iniciais Pilar(b = 0,30 m e h = 0,70 m)Dados timo PilarAs = 9,85 cm2As= 9,85 cm2 = 0,0094As = 9,19 cm2As= 9,19 cm2 = 0,0087As = 8,53cm2As= 8, 53cm2 = 0,0081NB-1ACIAs = 12,19cm2As= 12,19 cm2 = 0,01As = 12,19cm2As=12,19 cm2 = 0,01As = 12,19cm2As= 12,19 cm2 = 0,01As = 18,11cm2As= 6,85cm2 = 0,01023As = 25,80cm2As= 14,87cm2 = 0,0167As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 16,85cm2As= 16,85 cm2 = 0,01As = 20,82cm2As= 16,85 cm2 = 0,011ACIAs = 34,09 cm2As= 22,36 cm2 = 0,027As = 41,94 cm2As= 30,23 cm2 = 0,034As = 49,80 cm2As= 38,09 cm2 = 0,042As = 57,66 cm2As= 45,95 cm2 = 0,049As = 65,53cm2As= 53,80 cm2 = 0,057As = 73,92 cm2As= 61,12 cm2 = 0,064As = 80,6 cm2As= 70,2 cm2 = 0,072As = 26,22 cm2As= 14,54 cm2 = 0,019As = 18,37 cm2As= 6,65 cm2 = 0,012As = 15,02 cm2As= 10,5 cm2 = 0,012As = 8,53 cm2As= 8,53 cm2 = 0,00931As = 9,19cm2As=9,19 cm2 = 0,0100As = 10,87cm2As= 9,85 cm2 = 0,0113As = 15,31cm2As= 7,22 cm2 = 0,0123As = 19,52 cm2As= 11,76 cm2 = 0,0171As = 11,82 cm2As= 11,82 cm2 = 0,0097As = 12,47 cm2As= 12,47 cm2 = 0,0102NB-1As = 13,13cm2As= 13,13 cm2 = 0,0108As = 17,47cm2As= 10,13 cm2 = 0,0113As = 21,32cm2As= 15,03 cm2 = 0,0149Instituto Brasileiro do Concreto - 44 Congresso Brasileiro6RefernciasABRAHO, C. , Flexo Composta no Estado Limite ltimo, 1a edio, Mongi dasCruzes, 1976.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE, ACI, Building Code Requirements forReinforced Concrete, ACI 318-98, 1998.ANSYS, Help System: Commands Reference, Elements Reference, DesignOptimization and others.ASCE Manuals and Reports on Engineering Practice N. 90, Guide to StructuralOptimization, New York, 1997.ASSOCIAOBRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS,NB-1/2000, Projeto eExecuo de Obras de Concreto Armado, 2000.BALLING, R. 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