Processo dos Esforços pórticos - UNIP.br

PROCESSO DOS ESFORÇOS

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira

2015

Processo dos EsforçosAplicado à pórticos...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira2

Processo dos esforços

Quando se tem um pórtico uma vez hiperestático...



Para uma estrutura uma vez hiperestática retirar apenas um vínculo incógnito:


Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...


Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada

de incógnita hiperestática X1...


≡


Princípio de Superposição de Efeitos:


(r) = ( r’) = (0) + X1(1)


(r) = ( r’) = (0) + X1(1)

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento


Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo...

→ O problema (1) fica com o carregamento unitário...

Processo dos esforçosSistema de equação de

compatibilidade de deslocamento:


∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0

X1 = - ∆10

δ11

dos

esfo

rços

Diagrama de momento fletor para problema(0)

Pro

cess

odo

s


dos

esfo

rços


Pro

cess

odo

s



Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis

pelo processo da carga unitária...


∆10 e δ11


∆10 = 1EI∙� M1 ∙ M0 dx



Linha 1 * Coluna IVG F


G F


δ11 = 1EI∙� M1 ∙ M1 dx


δ11 = EI∙� M1 ∙ M1 dx

Processo dos esforçosδ11 =

1EI∙� M1

4

0∙ M1 dx


Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I F F F F


Equação de compatibilidade de deslocamento:

X = - ∆10


X1 = - ∆10

δ11


Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor(incógnita

hiperestática) encontrada...



Quando se tem um pórtico duas vezes hiperestático...



Para uma estrutura duas vezes hiperestática retirar dois vínculos incógnitos:


Estruturas isostáticas fundamentais possíveis...

Processo dos esforçosEscolheu-se retirar o momento fletor do

apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1 e a força

horizontal no apoio fixo que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X2...


≡







(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)


(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2)

Obs → O problema (0) fica com todo carregamento


Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo...

→ O problema (1) e (2) fica com o carregamento unitário...


Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento:


δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20

dos

esfo

rços


Pro

cess

odo

s


dos

esfo

rços


Pro

cess

odo

s


dos

esfo

rços


Pro

cess

odo

s



Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis

pelo processo da carga unitária...


∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22


∆10 = 1EI∙� M1 ∙ M0 dx



Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV G F G F


G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0):




Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I G F G F


G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0):





Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I F F F F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1):




Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I


Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I G F G F

Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2):

δ12 = δ21 = 1EI∙ �L 1

2∙F∙G� + 1

2EI∙ �L 1

2∙F∙G�




Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II


Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna IIF F F F F F

Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2):


Equação de compatibilidade de deslocamento:

δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10



Processo dos esforçosPara obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor (incógnita hiperestática X1) e

força horizontal (incógnita hiperestática X2) encontradas...

Ou pode-se utilizar o Princípio de Superposição de Efeitos...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

de Efeitos...

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Generalizando...

Caso se tenha uma estruturas “n” vezes hiperestática, adota-se “n” incógnitas

hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isostática Fundamental...


Estrutura Isostática Fundamental... A aplicação conveniente do Princípio de

Superposição de Efeitos conduz à equação de superposição:

(r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n)


Sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos...

∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X


∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn⋅⋅⋅

∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn

Processo dos esforçosO sistema de equações de compatibilidade

de deslocamentos usando a notação matricial pode ser escrito:

�δij�∙Xi=�∆i,real-∆i0�


� � � �Obs → i indica a incógnita hiperestática

j indica qual o problema

Processo dos esforçosExemplo GH=2


� δ11 δ12δ21 δ22

� �X1X2

� = ∆1,real-∆10

∆2,real-∆20�


�δ21 δ22

� �X2

� ∆2,real-∆20

�Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de

flexibilidade.Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, portanto δ12 = δ21

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