ADM3_Matematica_Aplicada

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Administração

Caderno de AtividadesMatemática Aplicada

CLIQUEAQUIPARAVIRARAPÁGINA

FICHA TÉCNICA

Equipe de Gestão EditorialRegina Cláudia FiorinJoão Henrique Canella FiórioPriscilla Ramos Capello

Análise de ProcessosJuliana Cristina e SilvaFlávia Lopes

Revisão TextualAlexia Galvão AlvesGiovana Valente FerreiraIngrid FavorettoJulio CamilloLuana Mercúrio

DiagramaçãoCélula de Inovação e Produção de Conteúdos

Caderno de AtividadesAdministração

DisciplinaMatemática Aplicada

Coordenação do CursoFernando Conter

Grasiele Lourenço

AutorCarlos Henrique Dias

ChancelerAna Maria Costa de Sousa

ReitoraLeocádia Aglaé Petry Leme

Pró-Reitor AdministrativoAntonio Fonseca de Carvalho

Pró-Reitor de GraduaçãoEduardo de Oliveira Elias

Pró-Reitor de ExtensãoIvo Arcangêlo Vedrúsculo Busato

Pró-Reitora de Pesquisa e PósGraduaçãoLuciana Paes de Andrade

Realização:

Diretoria de Planejamento de EAD José Manuel Moran Barbara Campos

Diretoria de Desenvolvimento de EAD Thais Costa de Sousa

Gerência de Design EducacionalRodolfo Pinelli Gabriel Araújo

© 2013 Anhanguera Educacional

Proibida a reprodução final ou parcial por qualquer meio de impressão, em forma idêntica, resumida ou modificada em língua portuguesa ou qualquer outro idioma.

Como citar esse documento:DIAS, Carlos Henrique, Matemática Aplicada. Valinhos, p. 1-172, 2014. Disponível em: www.anhanguera.com.Acesso em: 01 Nov. 2013.

ÍndiceÍndice

Tema 01: Definição e Conceito de Função 6

Tema 02: Função Polinomial do 1o Grau 24

Tema 03: Função Polinomial do 2o Grau 44

Tema 04: Função Quadrática e Aplicações 68

Tema 05: Função Exponencial 90

Tema 06: Taxa de Variação Média e Instantânea. O Conceito de Derivada 112

Tema 07: Técnicas de Derivação 134

Tema 08: Aplicação da Derivada no Estudo das Funções das Áreas Econômicas e Administrativas 154

seções

Tema 01Definição e Conceito de Função

SeçõesSeções

Tema 01Definição e Conceito de Função

Introdução ao Estudo da Disciplina

Caro(a) aluno(a).

Este Caderno de Atividades foi elaborado com base no livro Matemática Aplicada a Administração e Economia, do autor Afrânio Carlos Murolo, Editora Cengage Learning, 2012. (Livro-Texto n. 622)

Roteiro de Estudo:

Carlos Henrique DiasMatemática Aplicada

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Conteúdo

Nessa aula você estudará:

• A definição de função.

• O cálculo de valores de funções a partir de pontos dados.

• As funções crescentes e decrescentes.

• A construção de gráficos de funções.

• O conceito de função polinomial de grau n.

CONTEÚDOSEHABILIDADES

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Habilidades

Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:

• O que é função?

• Qual a relação entre variáveis dependentes e independentes em uma função?

• Qual o comportamento do gráfico das funções crescentes e decrescentes?

• Como identificar o grau de uma função polinomial?


LEITURAOBRIGATÓRIA

Definição e Conceito de Função

As vendas de uma grande empresa podem ser representadas por intermédio de uma função matemática, por meio da qual se pode representar a quantidade de unidades vendidas de determinado bem ao longo dos dias, meses ou anos. Deste modo, torna-se possível, pela empresa, a programação da produção, facilitando o controle e o planejamento produtivo. O custo da energia elétrica, em uma residência, também é calculado por meio de uma função que depende do consumo de energia. Observe que, para cada consumo, existe uma única tarifa a ser cobrada. Não é possível o mesmo consumo com duas tarifas diferentes.

Muitos fenômenos econômicos também utilizam funções matemáticas, por exemplo, as definições de lucro, de custo e de receita tornam-se viáveis e aplicáveis com o uso de modelos matemáticos.

Uma função pode ser definida como uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Ao conjunto A dá-se o nome de domínio e ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio. Em termos de gráfico, o eixo x contém os pontos que pertencem ao domínio da função, e o eixo y contém os pontos que pertencem ao contradomínio da função. Aos valores no eixo y que estão relacionados com a função dá-se o nome de imagem.

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LEITURAOBRIGATÓRIAA expressão que representa uma função é formada por uma variável dependente e outra independente. Por exemplo, na função y = 2x2+5x+10, y é a variável dependente e x é variável independente. Assim, os valores obtidos por y são dependentes dos valores atribuídos a x. Lembre-se: pode-se escrever y = f(x).

Exemplo 1.1: O custo C em reais da fabricação de determinado eletrodoméstico em função da quantidade x produzida pode ser dado por C= x2+20x+800. Identifique a variável dependente e a independente.

Solução:

C: é a variável dependente, a qual depende da quantidade x produzida.

x: é a variável independente na função, representa a quantidade produzida.

Ainda com relação à função do exemplo anterior, observe que, se a empresa produzir 50 eletrodomésticos (x = 50), terá um custo de:

C = 502 + 20 . 50 + 800 = 2500 + 1000 + 800 = 4300 reais.

Pode-se também calcular o custo médio unitário de produção dos eletrodomésticos dividindo o quanto a empresa gastou para produzir os eletrodomésticos pela quantidade produzida. Nesse exemplo, divide-se C = 4300 por x = 50. Assim:

Cunitário =4300 ÷ 50 = 86 reais.

Isso mostra que, se a empresa deseja comercializar 50 eletrodomésticos, ela precisa vendê-los por um valor superior a R$ 86,00 para pelo menos pagar o custo de produção.

A interpretação de gráficos de funções torna-se importante para a análise de resultados e futuras tomadas de decisões. Neste contexto, a compreensão do significado do termo zero de uma função é importante, já que se refere ao(s) valor(es) de x que faz f(x) = 0.

Algumas funções podem ser classificadas como crescentes ou decrescentes. Veja os exemplos nas Figura 1.1 e Figura 1.2, respectivamente.

Função estritamente crescente: a função f(x) é estritamente crescente se, para quaisquer x1 e x2, pertencentes ao domínio com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2).

Função estritamente decrescente: a função f(x) é estritamente decrescente se, para quaisquer x1 e x2, pertencentes ao domínio com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2).

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Na prática, a função que descreve o montante de uma aplicação financeira na poupança é uma função crescente. Já a função que descreve a depreciação de um automóvel é uma função decrescente.

Figura 1.1 Função crescente. Figura 1.2 Função decrescente.

Observe que existem funções que podem ser crescentes para algum intervalo no eixo x e decrescentes em outro intervalo. Nestes casos, não se pode classificá-las como crescentes ou decrescentes.

Pode-se construir o gráfico de uma função a partir de valores preestabelecidos. Muitas vezes, não é necessário tomar muitos pontos do domínio para construir o gráfico de uma função. Na verdade, basta tomar alguns pontos para ter a noção exata do comportamento da referida função.

Exemplo 1.2: Considere a situação em que a receita de uma empresa é dada por R = 2q + 3, em que q representa o número de unidades vendidas. Para montar o gráfico, utilizam-se as seguintes quantidades q vendidas: 0, 5, 10 e 15.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 1.3 Gráfico do Exemplo 1.2.

A Figura 1.3 mostra o gráfico resultante da escolha dos pontos 0, 5, 10 e 15. Para cada um destes valores, foram encontrados os respectivos valores em y, possibilitando a montagem do gráfico. No gráfico da Figura 1.3 não faz sentido considerar valores negativos para o número de quantidades vendidas, já que em termos práticos não existe quantidade negativa para as vendas.

Muitas funções aplicáveis na gestão empresarial ou na contabilidade são funções polinomiais. Essas funções podem ser classificadas a partir do grau do polinômio que as descreve. Assim, uma função polinomial de grau n é descrita por um polinômio que tem grau n. Por exemplo:

• f(x) = 3x4+5x2+3x+10 é uma função polinomial de grau quatro. O maior expoente que aparece na variável x do polinômio 3x4+ 5x2+3x+10 é quatro.

• f(x) = 10x-45 é uma função polinomial de primeiro grau, já que o maior expoente que aparece na variável x é 1. Observe que x1 = x.

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A forma do gráfico de uma função polinomial também está relacionada ao grau do polinômio. Assim, por exemplo, uma função polinomial de primeiro grau sempre será uma reta, enquanto a de segundo grau será uma parábola.

LEITURAOBRIGATÓRIA

LINKSIMPORTANTES

Quer saber mais sobre o assunto? Então:

SitesAcesse o site Só Matemática.Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio.php>. Acesso em: 21 nov. 2013. Procure o arquivo funções1.zip. Nele, você encontrará um material completo sobre o que é função, domínio e imagem, construção de gráficos, propriedades de uma função, entre outros.

Acesse também: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>. Acesso em: 23 nov. 2013. Contém uma breve explicação sobre funções juntamente a um exemplo gráfico.

Acesse o site Brasil Escola.Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm>. Acesso em: 23 nov. 2013. Contém um exemplo sobre função de primeiro grau, além de referência a outros sites.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 24 nov. 2013. No campo para pesquisa digite funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções polinomiais.

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LINKSIMPORTANTESVídeos Importantes:Assista ao vídeo:Acesse o site do IMECC – UNICAMP e assista ao vídeo: Arte e Matemática.Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1051>. Acesso em: 24 nov. 2013. Dois amigos conversam sobre funções polinomiais, suas raízes e métodos numéricos para encontrar as raízes de um polinômio.

Instruções:

Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema.

AGORAÉASUAVEZ

Questão 1:

Relacione situações de seu cotidiano que possam envolver o uso de funções. Discri-mine o que representa a variável depen-dente e independente. Por exemplo, em uma conta de luz, a variável dependente é o valor a ser pago pela conta, e a variá-vel independente é o que foi consumido de energia elétrica.

Questão 2:

A função polinomial f(x) = x5-20x6+10x3-15x +20 tem grau:

a) 2.

b) 3.

c) 4

16

d) 5.

e) 6.

Atenção: As questões de 3 a 5 devem ser respondidas com base no enuncia-do a seguir:

A função custo em certa empresa é dada pela equação C = 2250x + 3050, em que C é o total de gastos em reais com pessoal, x é o total de funcionários.

Questão 3:Qual é o gasto com pessoal quando o total de funcionários é 10?

a) R$ 5.300,00.

b) R$ 19.450,00.

c) R$ 22.500,00.

d) R$ 25.550,00.

e) R$ 32.750,00.

Questão 4:Qual é o número de funcionários na em-presa quando o gasto com pessoal é de R$ 45.800,00?

a) 20.

b) 19.

c) 18.

d) 17.

e) 16.

Questão 5:

O custo unitário com pessoal cu é dado por

Cunitário = xC . Qual é o custo unitário quando

o total de funcionários é 8?

a) R$ 2.431,25.

b) R$ 2.531,25.

c) R$ 2.631,25.

d) R$ 2.731,25.

e) R$ 2.831,25.

Questão 6:

A figura mostra a evolução do lucro de uma empresa, em milhões de reais, em função do tempo t em anos:

Passe o mouse para aumentar imagem

AGORAÉASUAVEZ

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a) Determine o lucro da empresa em t=1.

b) Encontre t, tal que L(t)= 11,5 milhões de reais.

c) Determine o tempo t que representa o lucro máximo. Qual o lucro máximo?

Questão 7:

O lucro L na venda, por unidade de um pro-duto, depende do preço p (em reais) em que ele é comercializado, e tal dependên-cia é expressa por L = p2+25p-10. Determi-ne o lucro quando o preço é R$ 12,00.

Questão 8:

O custo C em reais para a produção de q unidades de um produto é dado por C(x) = 6q+30.

a) Determine o custo quando são produzi-das 10 e 15 unidades.

b) Esboce o gráfico da função.

c) A função é crescente ou decrescente?

Questão 9:

A demanda q de uma mercadoria depende do preço unitário p em que ela é comercia-lizada, e essa dependência é expressa por q = 100-3p.

a) Determine a demanda quando o preço unitário é R$ 4,00 e R$ 8,00.

c) Esboce o gráfico da demanda.

d) A função é crescente ou decrescente?

Questão 10:

O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por C = 10q+30. O custo unitário cu para a confecção de um

produto é dado por Cunitário = xC . Calcule o

custo unitário quando se produz 25 unidades.

AGORAÉASUAVEZ

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Neste tema, você aprendeu sobre o conceito e a definição de funções. Além disso, você aprendeu a calcular valores de funções a partir de pontos dados e a montar o gráfico dessas funções, permitindo, assim, classificá-las em funções crescentes ou decrescentes. Você também conheceu um tipo de função muito utilizado na matemática: a função polinomial.

Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!

FINALIZANDO

MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada a Administração, Economia e Contabilidade. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.

TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. 5.ed. São Paulo: Pio-neira, 2001.

REFERÊNCIAS

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Depreciação: desvalorização ou perda de valor que um produto sofre com o uso ou com o passar do tempo.

Domínio: o domínio de uma função f são todos os valores que pertencem ao eixo x que podem ser utilizados para o cálculo da função.

Estritamente: na matemática, funções estritamente crescentes ou decrescentes são funções que mantêm o mesmo comportamento, crescente ou decrescente, para todo x que pertence ao domínio da função.

Imagem: a imagem de uma função corresponde aos valores que pertencem ao eixo y quando se calcula f(x), em que x pertence ao domínio.

Polinômio: é uma expressão algébrica reduzida, constituída por números e variáveis. Em um polinômio, cada variável possui um expoente e um coeficiente.

GLOSSÁRIO

Questão 1

Resposta: Sugestões de resposta: Gasto com combustível: a variável dependente é o valor a ser pago após o abastecimento do veículo, e a variável independente é quantidade em litros de combustível abastecida.

Conta de água: a variável dependente é o valor a ser pago pela conta, e a variável independente é o consumo de água.

GABARITO

20

Gasto de uma empresa com folha de pagamento: a variável dependente é o valor total de salários pagos. A variável independente é o número de funcionários da empresa.

Questão 2

Resposta: Alternativa E.

Observe que o polinômio associado a essa função é x5-20x6+10x3-15x+20. O maior expoente que aparece é o relativo ao monômio -20x6, ou seja, o número 6.

Questão 3

Resposta: Alternativa D.

Para 10 funcionários, o gasto ficará:

C= 2250 ⋅10+ 3050⇒ C= 22500+ 3050 ⇒ C=25550 reais

Questão 4

Resposta: Alternativa B

Se o gasto com pessoal é de R$ 45.800,00, então, C = 45800. O número de funcionários correspondente a este gasto é:

45800 = 2250x+ 3050 ⇒ 45800-3050 = 2250x ⇒ 42750=2250x ⇒ x225042750

= ⇒ 190x =

Questão 5

Resposta: Alternativa C

Quando o número de funcionários é 8, o custo será:

C= 2250 ⋅8+ 3050⇒ C= 18000+ 3050 ⇒ C=21050 reais

Já o custo unitário pode ser calculado como:

Cunitário = xC ⇒ Cunitário = 2631,25

821050

= reais por unidade produzida.

GABARITO

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GABARITOQuestão 6

Resposta:

a) L(1) = 13 milhões de reais.

b) t = 3, pois L(3) = 11,5 milhões de reais.

c) t = 2 anos fornece a localização do máximo. Lucro máximo 17 milhões, pois L(2) = 17.

Questão 7

Resposta: L(12) = 122 + 25.12 -10= 144 +300-10= 434 reais.

Questão 8

Resposta:

a) C(10) =90

C(15)=120

b) Colocando no plano cartesiano os pontos obtidos, (10,90) e (15,120), tem-se:

c) A função é crescente.

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Questão 9

Resposta:

a)Para p = R$4,00, q = 88.

Para p = R$8,00, q = 76.

b) Colocando no plano cartesiano os pontos obtidos, (4,88) e (8,76), tem-se:

c) A função é decrescente.

Questão 10

Resposta: C(25) = 10.25 + 30 = R$ 280,00. Então, Cu = 280/ 25 = 11,20 reais por unidade.

GABARITO

seções

Tema 02Função Polinomial do 1o Grau

SeçõesSeções



Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


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Conteúdo


• Aplicações das funções polinomiais do primeiro grau em modelos que envolvem custo, receita e lucro.

• Gráficos de funções polinomiais do primeiro grau.

• Coeficiente angular e linear da função.

• Equação da reta a partir de dois pontos.


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LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• O que é uma função polinomial do primeiro grau?

• É possível construir modelos matemáticos aplicados à gestão empresarial ou à contabilidade utilizando a função polinomial do primeiro grau?

• Como é o gráfico da função polinomial do primeiro grau?

• O que é uma função afim?

Função Polinomial do 1o Grau

Introdução

As funções polinomiais do primeiro grau aparecem nas mais variadas situações do cotidiano. Por exemplo, a tarifa de uma viagem de táxi é cobrada em função da quilometragem dessa viagem. Esta, por sua vez, em uma mesma bandeirada, é uma função polinomial do primeiro grau. Deve-se notar que, para cada quilometragem percorrida, existe uma única tarifa a ser cobrada, que é proporcional à quilometragem rodada. Entretanto, o custo da tarifa final não é proporcional à quilometragem, pois existe um custo fixo, a bandeirada.

Exemplo Prático

O custo industrial para a produção de um produto também pode ser representado por uma função do primeiro grau. Para ilustrar, considere a situação em que o custo total desse produto consiste em um custo fixo de R$ 300,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Pode-se expressar o custo total em função do número de unidades produzidas. Para isso, seja x o número de unidades produzidas e C o custo correspondente. Desta forma:

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LEITURAOBRIGATÓRIACusto total = (custo unitário) (número de unidades) + custo fixo

Neste problema, tem-se que custo unitário = 50, número de unidades = x, custo fixo = 300. Assim, C = 50x + 300, uma função polinomial do primeiro grau. O gráfico dessa função de custo aparece na Figura 2.1:

Figura 2.1 Gráfico da função custo (C = 50x + 300).

Observe que, para se produzir duas unidades, o custo é C = 50 . 2 + 300 = 400 reais, que corresponde ao ponto de coordenada (2,400) que está no gráfico. O mesmo se pode dizer sobre o ponto (4,500), que corresponde ao custo de R$ 500,00 para produzir quatro unidades.

O ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas representa o custo fixo, ou seja, a despesa que não está relacionada à quantidade produzida. Em termos práticos, o custo fixo pode representar, por exemplo, o gasto de uma empresa com aluguel.

Ainda com relação ao mesmo produto, decide-se vender cada unidade a um preço de R$ 150,00. Com isso, seja x o número de unidades vendidas e R a receita correspondente:

Receita = (preço unitário) (número de unidades vendidas)

Neste caso, o preço unitário = 150 e o número de unidades vendidas = x. Assim, R = 150x representa a função receita para x unidades comercializadas. Essa função também é polinomial do primeiro grau. O gráfico dessa função aparece na Figura 2.2:

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 2.2 Gráfico da função receita (R = 150x).

Observe que, ao vender duas unidades, a receita é R = 150 . 2 = 300 reais, que corresponde ao ponto de coordenada (2,300) que está no gráfico. O mesmo se pode dizer sobre o ponto (4,600), que corresponde à receita de R$ 600,00 quando comercializadas quatro unidades.

A partir das funções custo C = 50x+300, receita R = 150x e considerando que a quantidade vendida é a mesma que a produzida, pode-se obter a função lucro a partir de L = R-C, ou seja:

L = 150x – (50x+300)⇒ L = 150x – 50x -300 ⇒ L = 100x -300

Para construir o gráfico da função lucro, basta observar que:

• Quando x = 0⇒ L = 100 . 0 – 300 = -300, que corresponde à coordenada (0,-300).

• Quando L = 0⇒ 0 = 100x -300 ⇒100x = 300⇒x = 3, que corresponde à coordenada (3,0).

Pode-se escolher qualquer ponto para construir o gráfico. Foram utilizados os pontos obtidos por serem mais intuitivos. A Figura 2.3 mostra o gráfico da função lucro construída utilizando-se os pontos (0,-300) e (3,0).

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 2.3 Gráfico da função lucro (L = 100x -300).

O gráfico da Figura 2.3 mostra que, para valores de x menores que três, o lucro é negativo (prejuízo). Já para valores de x maiores que três, tem-se lucro. O ponto x = 3 representa uma situação muito importante. Trata-se da quantidade x em que a Receita é igual ao Custo. Este ponto pode ser obtido algebricamente pela resolução da equação formada a partir da igualdade R=C, que corresponde:

150x = 100x + 300⇒150x – 100x = 300⇒100x = 300⇒x = 3.

Nesta situação, para x = 3, R = 150.3 = C = 100.3+300 = 450, que fornece a coordenada (3,450). Graficamente, esse ponto é chamado de break-even point, ponto de equilíbrio entre a receita e o custo, ou seja, lucro zero.

A Figura 2.4 mostra o break-even point, em que as funções custo e receita estão represen-tadas em um mesmo sistema de eixos cartesianos. Observe que, neste ponto (3,450), o gráfico da receita e o gráfico do lucro se interceptam, pois representam situações iguais.

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 2.4 Break-even point.

Função Afim

Uma função cujo valor varia a uma taxa constante em relação à variável independente é chamada de função afim, já que o gráfico de uma função deste tipo é uma reta. Em termos algébricos, função afim é qualquer função da forma:

f(x) = mx+b

com m≠0, em que m é chamado de coeficiente angular ou taxa de variação da função.

O valor m pode ser calculado a partir dos pontos (x1,y1) e (x2,y2):

Graficamente, m fornece a inclinação da reta que representa a função. Observe a Figura 2.5. Além disso, quando m>0, a função será crescente; quando m<0, a função será decrescente.

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LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 2.5 Função afim.

A constante b é chamada de coeficiente linear da reta e pode ser obtida tomando-se x = 0.

y = f(0) = m ⋅0 + b ⇒ y = b.

Graficamente, b fornece o ponto em que reta corta o eixo y.

Exemplo 2.1: Determine a função cuja reta passa pelos pontos A(4,16) e B(7,10). Classifique a função em crescente ou decrescente e construa o gráfico.

Solução:

Primeiramente, deve-se calcular a inclinação da reta m. Para isso, são necessários dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), que são os pontos A(4,16) e B(7,10) fornecidos pela questão.

A função é decrescente, pois m = -2 <0.

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A função está parcialmente pronta, já com a forma f(x) = -2x+b. Para descobrir o valor da constante b, substitui-se x e y da função por qualquer um dos pontos A e B. Por exemplo, utilizando o ponto A(4,16), tem-se:

f(4) = -2 ⋅4+b⇒16 = -8 + b ⇒ b=24.

Portanto, a função em sua forma completa com os dois coeficientes é f(x) = -2x+24. Para montar o gráfico, você deve se lembrar que dois pontos determinam uma reta; logo, basta colocar os pontos A e B no plano cartesiano e traçar a reta. Veja a Figura 2.6:

Figura 2.6 Gráfico da função f(x) = -2x+24.

Observe que, para facilitar a montagem do gráfico, utilizam-se escalas diferentes entre os eixos x e y.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site Só Matemática.Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>. Acesso em: 24 nov. 2013. Contém uma breve explicação sobre funções juntamente a um exemplo gráfico.

Acesse o site Brasil Escola.Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-de-primeiro-grau.htm>. Acesso em: 24 nov. 2013. Contém exemplo sobre funções do primeiro grau, além de referência para outros sites.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 24 nov. 2013. No campo para pesquisa, digite funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções polinomiais.

Vídeos Importantes: Assista ao vídeo: (A Função y = ax + b) Matemática.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=xsh6RnWuROY>. Acesso em: 24 nov. 2013. Este vídeo do Telecurso cita diversas situações práticas para o uso das funções polinomiais do primeiro grau. Além disso, ensina a montar gráficos de funções.

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AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Pesquise o preço da tarifa de táxi por qui-lômetro rodado em sua cidade. Não se esqueça de considerar as duas bandeiras diferentes que dependem do dia em que se utilizará o táxi. Para simplificação, não considere a tarifa relativa ao tempo em que o táxi fica parado em um semáforo ou con-gestionamento. Em seguida, monte duas funções polinomiais do primeiro grau, uma para cada bandeirada.

Questão 2:

A função representada por uma reta que passa pelos pontos A(2,14) e B(-4,-4) é:

a) f(x) = 2x + 10.

b) f(x) = 1,5x +2.

c) f(x) = x + 12.

d) f(x) = -2x-12.

e) f(x) = 3x+8.

Questão 3:

Um vendedor de uma confecção ganha um salário fixo de R$ 1.800,00 e, além disso, uma comissão de 8% em cima do total de vendas. A expressão que representa o sa-lário S do vendedor em função da quanti-dade x de vendas realizadas no mês é:

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a) S(x) = 1800 + 8x.

b) S(x) = 1800+144x.

c) S(x) = 1944 + 0,08.

d) S(x) = 1800 + 0,08x.

e) S(x) = 1800 + 8%.

Questão 4:

Uma locadora de automóveis aluga deter-minado carro ao preço de R$ 50,00 a diá-ria, mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. A expressão que representa o valor V a ser pago por um carro que percorreu q quilô-metros em d dias é:

a) V(x) = 50d + 2.

b) V(x) = 50 + 2q.

c) V(x) = 50d + 2q.

d) V(x) = d + q.

e) V(x) = 50q + 2d.

Questão 5:O valor inicial de uma máquina é de R$ 105.000,00. A cada ano, esse valor é de-preciado em R$ 8.400,00. Após quanto tempo o valor da máquina será menor que a metade do valor inicial.

a) 3 anos.

b) 4 anos.

c) 5 anos.

d) 6 anos.

e) 7 anos.


Um feirante compra diariamente tomates de um produtor a um preço de R$ 1,50 o quilo. O gasto com o transporte dos toma-tes pode ser aproximado para um custo fixo de R$ 84,00. Na feira, o tomate é vendido a R$ 4,50 o quilo.

Questão 6:

Determine:

a) Uma expressão para o custo diário C em função da quantidade q de quilos de toma-tes comprados.

b) Uma expressão para a receita diária R em função da quantidade q de quilos de to-mates vendidos.

Questão 7:

Encontre uma expressão para o lucro do feirante. Considere que a quantidade de tomates comprados é a mesma de toma-tes vendidos.

AGORAÉASUAVEZ

38

Questão 8:

Determine a quantidade q em que a receita é igual ao custo. Qual o significado deste ponto em termos do lucro do feirante?

Questão 9:

Esboce o gráfico da função receita e do custo em um mesmo sistema de eixos, in-dicando pelo menos dois pontos por reta. Indique o break-even point.

Questão 10:

Esboce o gráfico da função lucro indicando os principais pontos.

AGORAÉASUAVEZ

FINALIZANDO

Neste tema, você aprendeu sobre as aplicações das funções polinomiais do primeiro grau em modelos que envolvem custo, receita e lucro. Além isso, você aprendeu a montar o gráfico dessas funções, possibilitando, assim, identificar o coeficiente angular e linear da reta da função. Você também aprendeu a encontrar a equação da reta a partir de dois pontos.


39

REFERÊNCIAS



GLOSSÁRIO

Abscissas: no sistema cartesiano, o eixo das abscissas é o eixo x, aquele comumente representado na horizontal.

Bandeirada: valor fixo a ser pago ao utilizar o táxi. A bandeirada pode ter valores diferenciados nos domingos e feriados.

Break-Even Point: expressão inglesa que significa ponto de equilíbrio.

Ordenadas: no sistema cartesiano, o eixo das ordenadas é o eixo y, aquele comumente representado na vertical.

40

GABARITO

Questão 1

Resposta: Como exemplo, na cidade de Valinhos, o valor da corrida de táxi em função de x quilômetros percorridos é:

Bandeira 1: C(x) = 2,65x + 4,40.

Bandeira 2: C(x) = 3,10x + 4,40.

Questão 2


Deseja-se encontrar a função f(x) = mx+b. Para isso, é necessário determinar os coeficientes m e b. O valor m pode ser calculado a partir dos pontos

)4,2( A11 yx

1 e )4,( B

22 yx

−− 4 pela fórmula:

2-4-44

xxyy

x y m

12

12 1−−=

−−

=∆∆

= ⇒6

180−−

=m ⇒ 3m =

Então, a função parcialmente pode ser escrita como f(x) = 3x+b. Para determinar o ponto b, utiliza-se um dos pontos A ou B. Utilizando o ponto A,

14 = 3 ⋅2+b⇒14 = 6+b⇒14 - 6 = b ⇒ b = 8.

Portanto, f(x) = 3x+8.

Questão 3


Salário Total = Salário fixo + (Comissão sobre as vendas) (número de unidades vendidas)

S(x) = 1800 + %8 ⋅x ⇒S(x) = 1800 + 1008

⋅x ⇒ S(x) = 1800 + 080,0 ⋅x

41

Questão 4

Resposta: Alternativa C.

Valor do Aluguel do Carro = (preço da diária) (número de dias) + (preço do quilômetro rodado) (número de quilômetros rodados).

V = 50d+2q

Questão 5


Metade do valor inicial da máquina é 525002

105000= .

Dividindo R$ 52.500,00 pelo valor da depreciação que ocorre a cada ano, R$ 8.400,00, descobre-se o número de anos.

6,25840052500

= anos.

Portanto, para um período maior que 6,25 anos, a máquina vale menos da metade do valor inicial. A opção de alternativa é de 7 anos.

Questão 6

Resposta:

a) C(q)=1,5q+84.

b) R(q) = 4,50q.

Questão 7

Resposta: L = R – C.

Então, L = 4,5q – (1,5q + 84) = 4,5q - 1,5q - 84 = 3q – 84.

Portanto, L = 3q-84.

GABARITO

42

GABARITOQuestão 8

Resposta: R = C⇒ 4,5q = 1,5q +80⇒ 3q = 84⇒q = 28 unidades.

L(28) = 3.28 – 84 = 0. Portanto, o feirante não teve lucro nem prejuízo.

Questão 9

Resposta:

Questão 10

Resposta:

seções


SeçõesSeções



Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


47

Conteúdo


• A caracterização de uma função polinomial do 2o grau.

• Gráficos de funções polinomiais de 2o grau.

• A posição da concavidade da parábola.

• Interceptos da função nos eixos das abscissas e ordenadas.

• Vértice da parábola.


48


LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• O que é uma função polinomial de 2o grau?

• Como é o gráfico da função polinomial do 2o grau?

• Como construir o gráfico da função?

• Como determinar o ponto de máximo ou mínimo em um gráfico que envolve uma parábola?

Função Polinomial do 2o Grau

Introdução

Neste tema, você estudará as funções polinomiais do 2o grau, funções em que o gráfico é uma parábola. Este tipo de curva, quando estendida para a forma de superfícies, gera o paraboloide ou as conhecidas antenas parabólicas. A forma parabólica facilita a recepção de sinais provenientes dos satélites, pois converge o sinal que vem disperso para um único ponto, que é o foco da parábola, ou seja, a parte central da antena parabólica.

Caracterização da Função Polinomial do 2o Grau

A função polinomial do 2o grau tem a forma f(x) = ax2 +bx+c, em que a, b e c são constantes reais, com a ≠ 0. Conforme já mencionado, o gráfico de uma função polinomial do 2o grau é uma parábola, e os coeficientes que aparecem no polinômio da função (a, b e c) são determinantes para auxiliar na montagem do gráfico. Os tópicos, a seguir, mostram as principais informações para a montagem do gráfico.

49

• O coeficiente a determina a posição da concavidade da parábola. Observe a Figura 3.1:

Figura 3.1 Concavidade da parábola.

Assim, se o coeficiente a for positivo, a parábola terá concavidade voltada para cima; contudo, se a for negativo, a parábola terá concavidade voltada para baixo.

• O coeficiente c determina o ponto em que a parábola intercepta o eixo y. Este valor é muito útil, pois auxilia na montagem do gráfico, haja vista que corresponde ao ponto de coordenada (0,c) (Figura 3.2).

• Para determinar os pontos em que o gráfico da função polinomial do 2o grau intercepta o eixo x, basta descobrir quais são os valores de x que fazem f(x)=0, ou seja, ax2 + bx + c = 0. Isso significa resolver uma equação do 2o grau. A fórmula de Bhaskara determina a solução, se existir, da equação ax2 + bx + c = 0.

Fórmula de Bhaskara:

∆±−=

⋅⋅−=∆

a 2bx

ca4b2

Observe que, na resolução da equação, quando se chega ao valor ∆ (delta) negativo, a equação não terá solução, e, consequentemente, não existirá x real que faça ax2 + bx + c = 0. Portanto, para ∆ negativo, a parábola não intercepta o eixo x. No caso de valor ∆ positivo, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos; se for igual a zero, intercepta em apenas um ponto.

Na Figura 3.2, são apresentadas possíveis situações para o valor ∆ , combinando possíveis situações para a concavidade.

LEITURAOBRIGATÓRIA

50

Figura 3.2 Valor ∆ e concavidade da parábola.

O vértice da parábola representa ponto de máximo ou de mínimo da função polinomial do 2o grau e pode ser encontrado por:

a 2bxv

−= e

a 4yv

∆−=

Observe que o vértice é localizado por uma coordenada (xv, yv). A Figura 3.3 ilustra algumas possiblidades para o vértice da parábola.

Figura 3.3 Possibilidades para o vértice da parábola.

LEITURAOBRIGATÓRIA

51

Quando a parábola possui concavidade voltada para cima, o vértice representará o mínimo da função; caso contrário, o vértice representará o máximo da função. Assim, em problemas práticos para a localização do máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2o grau, basta determinar o vértice da parábola.

A partir das informações sobre concavidade, interceptos com os eixos y e x (se existirem) e vértice da parábola, é possível construir um esboço adequado do gráfico da função polinomial do 2o grau.

Construção do Gráfico

A seguir, são apresentados exemplos que envolvem a construção do gráfico da parábola. Para cada exemplo, utiliza-se uma sequência de passos que determinam as informações mais importantes da parábola.

Exemplo 3.1: Construir o gráfico da função f(x)= 2x2-12x+10.

Considere os seguintes passos para a montagem do gráfico:

1o) Coeficientes: a = 2; b=-12; c=10.

2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a > 0 (a=2), a concavidade da parábola é voltada para cima.

3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 10, pois c = 10, e a coordenada correspondente é (0,10).

4o) Intercepto com o eixo x: resolver a equação 2x2-12x+10 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x = 1 e x = 5, ou seja, nas coordenadas (1,0) e (5,0).

LEITURAOBRIGATÓRIA

52

5o) Vértice da parábola: a coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:

A coordenada do vértice da parábola é (3;-8).

6o) Gráfico: com as informações importantes obtidas nos passos anteriores sobre o gráfico da função f(x) = 2x2-12x+10, deve-se colocar os pontos no plano cartesiano e traçar a curva que passa pelos pontos (Figura 3.4).

Figura 3.4 Gráfico da função f(x)=2x2-12x+10 (Exemplo 3.1).

O gráfico da função apresentado na Figura 3.4 deixa bem evidente que o vértice da parábola é um ponto que marca a mudança do comportamento da função, neste caso, de decrescente

LEITURAOBRIGATÓRIA

53

para crescente. Além disso, o vértice também fornece o menor valor que a função f(x) = 2x2-12x+10 pode assumir. Para esse exemplo, para qualquer x, a função nunca terá valor menor que -8.

Exemplo 3.2: Construir o gráfico da função f(x)= -x2+6x-9.


1o) Coeficientes: a = -1; b=6; c=-9.

2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a < 0 (a=-1), a concavidade da parábola é voltada para baixo.

3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em -9, pois c = -9, e a coordenada correspondente é (0,-9).

4o) Intercepto com eixo x: resolver a equação -x2+6x-9 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

A parábola apenas tangencia o eixo das abscissas no ponto x=3, ou seja, na coordenada (3,0).


LEITURAOBRIGATÓRIA

54

A coordenada do vértice da parábola é (3,0), que coincide com o intercepto em x. Isso acontece porque a parábola pode apenas tangenciar o eixo x no vértice.

6o) Gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.

Figura 3.5 Gráfico da função f(x)= -x2+6x-9 (Exemplo 3.2).

No procedimento de montagem do gráfico da Figura 3.5, obteve-se apenas dois pontos como referência, (0,-9) e (3,0), devido ao fato de o vértice da parábola coincidir com o intercepto em x, gerando apenas uma coordenada.

Exemplo 3.3: Construir o gráfico da função f(x) =x2+6x+10.


1o) Coeficientes: a = 1; b=6; c=10.

2o) Concavidade da parábola: neste caso, como a > 0 (a=1), a concavidade da parábola é voltada para cima.

3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 10, pois c = 10, e a coordenada correspondente é (0,10).

LEITURAOBRIGATÓRIA

55

4o) Intercepto com o eixo x: resolver a equação x2+6x+10 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara:

-40 4-6 3

0 146ca4b

2

2

=∆=∆

⋅⋅−=∆

⋅⋅−=∆

1

Como o valor ∆ é negativo, não é possível continuar a resolução da equação, pois não é possível extrair uma raiz quadrada negativa considerando o conjunto dos números reais.

Desta forma, a função não possui interceptos no eixo x.


A coordenada do vértice da parábola é (-3;1).

LEITURAOBRIGATÓRIA

56

6o) Construir o gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.

Figura 3.6 Gráfico da função f(x) =x2+6x+10 (Exemplo 3.3).

Para a montagem do gráfico apresentado na Figura 3.6, foram utilizadas apenas duas coordenadas, devido ao fato de não existirem interceptos no eixo das abscissas.

LEITURAOBRIGATÓRIA

LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site Só Matemática.Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao2/funcao2.php>. Acesso em: 29 nov. 2013. Contém uma breve explicação sobre funções juntamente a um exemplo gráfico.

57

Acesse o site Mundo Educação.Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-2-grau.htm>. Acesso em: 29 nov. 2013. Contém a teoria sobre funções quadráticas, além de alguns exercícios resolvidos.

Acesse o site da Universidade Federal Fluminense.Disponível em:<http://www.uff.br/cdme/quadratica/quadratica-html/info-br.html>. Acesso em: 30 nov. 2013. Contém exemplos práticos sobre as funções quadráticas. Além disso, contém uma breve história sobre Galileu Galilei e as funções quadráticas.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 24 nov. 2013. No campo de pesquisa, digite funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções polinomiais.

Vídeos Importantes: Assista ao vídeo: Aula 31 - Matemática - Ens. Médio – Telecurso.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=7tjLo1RQVPU>. Acesso em: 3 nov. 2013. Este vídeo do Telecurso cita diversas situações práticas para o uso das funções polinomiais do 2o grau. Além disso, ensina a montar os gráficos de funções.

LINKSIMPORTANTES

58

AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Como explicado na teoria, a parábola apa-rece em aplicações práticas:

“Esse tipo de curva, quando estendida para a forma de superfícies, gera o paraboloide ou as conhecidas antenas parabólicas.”

Relacione três outras aplicações desta for-ma de curva. Pesquise em livros ou na in-ternet outras situações práticas em que a parábola (ou paraboloide) aparece.

Questão 2:

Dada a função f(x)=-3x2-2x+10, qual o co-eficiente que determina a concavidade e a direção da concavidade da parábola?

a) a = -3, concavidade da parábola voltada para cima.

b) b = -2, concavidade da parábola voltada para cima.

c) c = 10, concavidade da parábola voltada para baixo.

d) a = -3, concavidade da parábola voltada para baixo.

e) b = -2, concavidade da parábola voltada para baixo.

Questão 3:

A coordenada em que o gráfico da função f(x) = 2x2 -10x +12 intercepta o eixo y é:

59

a) (0,2).

b) (0,-10).

c) (0,12).

d) (-10,0).

e) (12,0).

Questão 4:

As coordenadas em que o gráfico da fun-ção f(x) = 2x2-10x+12 intercepta o eixo x são:

a) (2,0) e (3,0).

b) (0,2) e (0,3).

c) (-2,0) e (-3,0).

d) (0,-2) e (0,-3).

e) A parábola associada a f(x) não intercepta o eixo x.

Dica: Resolva a equação do 2o grau asso-ciada à função f(x), ou seja, resolva 2x2-

-10x+12=0.

Questão 5:

A coordenada do vértice da parábola da função f(x) = 2x2-10x +12=0 é:

a) (2,3).

b) (3,2).

c) (2,5;-0,5).

d) (-0,5;2,5).

e) (-5,4).

Dica: A coordenada do vértice da parábola é (xv,yv). Utilize a fórmula que aparece na Leitura Obrigatória para determinar os va-lores.

Atenção: As questões de 6 a 8 devem ser respondidas considerando a função f(x) = x2 – 4x – 5.

Questão 6:Determine:

a) A posição da concavidade da parábola associada f(x).

b) O intercepto do gráfico de f(x) com o eixo y.


a) Os interceptos, se existirem, do gráfico de f(x) com o eixo x.

b) O vértice da parábola.

Questão 8:A partir de todas as informações obtidas na resolução das Questões 6 e 7, construa o gráfico de f(x).

AGORAÉASUAVEZ

60

Questão 9:

Sem construir o gráfico da função f(x) =-x2 + 4x – 6 e apenas por meio de cálculos, ex-plique por que o gráfico da função f(x) não intercepta o eixo x.

Questão 10:

Construa o gráfico da função f(x) =-2x2 – 4x – 2. Determine as informações importantes sobre a parábola (concavidade, intercepto no eixo y, interceptos no eixo x e vértice) antes de montar o gráfico.

AGORAÉASUAVEZ

FINALIZANDO

REFERÊNCIAS

Neste tema, você aprendeu sobre a caracterização das funções polinomiais do 2o grau. Aprendeu, também, a montar o gráfico dessas funções utilizando os pontos mais importantes da parábola. Além disso, neste tema, você aprendeu a encontrar os interceptos da parábola com o eixo das abscissas e ordenadas. Por fim, aprendeu o significado do vértice da parábola, como ponto de mínimo ou de máximo da função.




61

GLOSSÁRIO

GABARITO

Bhaskara: matemático indiano cujo nome foi atribuído à fórmula para resolver equações do 2o grau. Deve-se ressaltar que não foi Bhaskara (1114-1185) quem desenvolveu essa fórmula.

Coeficiente: é o fator multiplicativo de um termo em uma expressão, sendo geralmente um número. Não se confunde com as variáveis da expressão.

Concavidade: na parábola, a concavidade é o lado em que há cavidade, depressão ou vale.

Intercepto: ponto em que duas curvas se encontram.

Questão 1

Resposta: Resposta pessoal. Exemplo:

• O lançamento oblíquo de um objeto tem a forma de uma parábola.

• As lentes utilizadas em telescópios para a ampliação de imagens têm a forma de uma parábola.

• Alguns refletores de luz têm a forma de um paraboloide.

62

Questão 2


a=-3<0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Questão 3


f(x) = 2x2 -10x +12, então: a=2, b =-10 e c =12.

Assim, c=12 representa o ponto em que a parábola intercepta o eixo y, que corresponde à coordenada (0,12).

Questão 4

Resposta: Alternativa A.

Resolver a equação 2x2 -10x +12=0, em que a=2, b =-10 e c =12.

Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x = 2 e x = 3, ou seja, nas coordenadas (2,0) e (3,0).

Questão 5


f(x) =2x2 -10x +12, em que a = 2, b = -10 e c = 12.

GABARITO

63

A coordenada do vértice da parábola é (2,5; -0,5).

Questão 6

Resposta:

a) Os coeficientes associados a f(x) são: a = 1, b=-4 e c=-5.

Assim, a concavidade da parábola é voltada para cima, pois a > 0 (a=1).

b) A parábola intercepta o eixo y em -5, pois c = -5.

Questão 7

Resposta:

a) Para descobrir esses pontos, se existirem, resolve-se a equação x2 – 4x – 5 = 0. Utilizando a fórmula de Bhaskara, tem-se:

A parábola corta o eixo das abscissas em x = -1 e x = 5, ou seja, nas coordenadas (-1,0) e (5,0).

GABARITO

64

GABARITOb) A coordenada do vértice da parábola é determinada a partir de dois valores, xv e yv:

A coordenada do vértice da parábola é (2;-9).

Questão 8

Resposta:

Questão 9

Resposta: Inicialmente, deve-se tentar resolver a equação -x2 + 4x – 6 =0. Utilizando a fórmula de Bhaskara, tem-se:

65

GABARITOComo o valor de ∆ é negativo, não é possível continuar a resolução da equação. Desta forma, a função não possui interceptos no eixo x, pois não é possível encontrar x tal que f(x) =0, ou seja, -x2 + 4x – 6 =0.

Questão 10

Resposta:

1o) Discriminar os coeficientes: a = -2, b=-4 e c=-2.


3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em -2.

4o) Intercepto com o eixo x: resolver -2x2-4x-2 = 0. Deste modo, utilizando a fórmula de Bhaskara, tem-se:

A parábola apenas tangencia o eixo x no ponto x=-1.


A coordenada do vértice da parábola é (-1;0).

66

GABARITO6o) Construir o gráfico: colocar os pontos obtidos nos passos anteriores no plano cartesiano.

seções

Tema 04Função Quadrática e Aplicações

SeçõesSeções

Tema 04Função Quadrática e Aplicações


Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


71

Conteúdo


• Aplicações das funções quadráticas em modelos que envolvem custo, receita e lucro.

• O processo para encontrar o break-even point no modelo que envolve função quadrática.

• O ponto de máximo da função quadrática receita.

• O ponto de máximo da função quadrática lucro.

• Resolução de problemas aplicados.


72


LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• É possível construir modelos matemáticos aplicados à gestão empresarial ou à contabilidade utilizando a função quadrática?

• Como encontrar o break-even point em um modelo que envolve função quadrática?

• Como a função receita torna-se uma função quadrática?

• Receita máxima significa lucro máximo?

Função Quadrática e Aplicações

Introdução

No Tema 3, você estudou a caracterização das funções polinomiais do 2o grau. Neste tema, você estudará a aplicação dessas funções em problemas que envolvem a área de gestão empresarial e contabilidade, por exemplo, o estudo das funções receita, custo e lucro. Para facilitar, a função polinomial do 2o grau pode ser chamada de função quadrática, termo que será utilizado muitas vezes.

Exemplo Prático

Em uma loja, o preço de um calçado pode variar de acordo com a demanda. Em geral, a quantidade demandada de um bem aumenta à medida que o preço por unidade diminui. Assim, o preço do calçado pode ser relacionado por uma equação, de forma a permitir que o vendedor determine um preço para uma demanda. Por exemplo, o vendedor percebe que o preço do calçado p pode ser relacionado pela quantidade demandada x do seguinte modo:

p = -3x + 300

73

LEITURAOBRIGATÓRIAEntão, para vender, por exemplo, 20 calçados (x = 20), o preço por calçado será:

p = -3 ⋅20+300 = -60+300 = 240 reais.

Entretanto, se ele deseja aumentar suas vendas e comercializa 40 calçados (x = 40), o preço será:

p = -3 ⋅40+300 = -120+300 = 180 reais

Observe que, para vender 20 calçados, o preço deve ser de R$ 240,00; para vender 40, o preço deve ser de R$ 180,00. Obviamente, menor o preço, maior o número de calçados vendidos.

Para calcular a receita relativa à venda dos calçados, o vendedor multiplica a quantidade vendida pelo preço de cada calçado. Deste modo, a fórmula que fornece a receita relativa à venda de calçados é o preço p vezes a quantidade x de calçados vendidos, ou seja, R = p ⋅x. Porém, como o preço já é calculado pela relação p = -3x+300, substituindo p por (-3x+300), tem-se:

R = p ⋅x = (-3x+300) ⋅x⇒ R= -3x2+300x

Perceba que, se o vendedor deseja vender 20 calçados, o preço, como verificado anteriormente, será de R$ 240,00, e a receita relativa desta venda será:

R = p ⋅x = 240 ⋅20 = 4800 reais.

A receita também pode ser calculada:

R = p ⋅x = -3 ⋅202+300 ⋅20 = 3 ⋅400+6000 = -1200+6000 = 4800 reais.

A função R= -3x2+300x que determina a receita para x sapatos vendidos é uma função quadrática. O gráfico da parábola associada a essa função é representado seguindo as etapas a seguir:

1o) Determinar coeficientes: a função é R= -3x2+300x, então, a = -3, b = 300 e c = 0.


3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em 0, pois c = 0.

74

4o) Intercepto com o eixo x: deve-se resolver a equação

-3x2+300x=0. Pela fórmula de Bhaskara:

Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x1 = 0 e x2 = 100.


A coordenada do vértice da parábola é (50;7500).

6o) Construir o gráfico: colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Em seguida, traça-se a curva que passa pelos pontos.

Figura 4.1 Gráfico da função R= -3x2+300x.

LEITURAOBRIGATÓRIA

75

É possível perceber pelo gráfico apresentado na Figura 4.1 que a receita máxima ocorre quando a venda de calçados é igual a 50 (x=50) e o valor da receita máxima correspondente é de R$ 7.500,00 (y = 7500). O vértice da parábola fornece a localização da máxima receita (xv) e a receita máxima (yv). Evidentemente, se a parábola estiver com concavidade voltada para cima, essa coordenada representará o mínimo da função. Em problemas práticos para a localização do máximo ou mínimo de uma função quadrática, basta determinar o vértice da parábola.

Analisando agora por outro ponto de vista e ainda com relação ao mesmo calçado, o vendedor percebe que o custo de fabricação é dado por C=150x+1200. Assim, por exemplo, para a fabricação de 20 calçados, o custo será:

C = 150 ⋅20+1200=3000+1200 = 4200 reais.

A função custo C=150x+1200 é polinomial do primeiro grau, e a montagem do gráfico desse tipo de função foi estudada no Tema 2. O gráfico da função custo está representado na Figura 4.2.

Figura 4.2 Gráfico da função C=150x+1200.

Na Figura 4.2, é possível confirmar o exemplo anterior: para 20 calçados produzidos, o custo será de R$ 4.200,00.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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O vendedor pode determinar o lucro ao produzir e comercializar calçados. Por exemplo, como já se verificou anteriormente, para 20 calçados fabricados e vendidos, o custo e a receita são, respectivamente, R$ 4.200,00 e R$ 4.800,00. Assim, o lucro associado será:

L = R$ 4800,00 – R$ 4200,00 = R$ 600,00.

De forma genérica, a função lucro é escrita utilizando a relação L = R – C. Assim:

L = -3x2+300x – (150x + 1200) ⇒ L= - 3x2+300x – 150x -1200

⇒ L = -3x2+150x-1200

Assim como a função receita, a função lucro L = -3x2+150x-1200 também é uma função quadrática, e o gráfico da parábola associada a essa função é representado seguindo as etapas a seguir:

1o) Determinar coeficientes: a função é L= -3x2+150x-1200, então, a =-3, b=150 e c=-1200.

2o) Concavidade da parábola: a concavidade da parábola é voltada para baixo, pois, neste caso, a < 0 (a=-3).

3o) Intercepto com o eixo y: a parábola corta o eixo y em -1200, pois c = -1200.

4o) Intercepto com o eixo x: deve-se resolver a equação

-3x2+150x-1200=0. Pela fórmula de Bhaskara:

Portanto, a parábola corta o eixo das abscissas em x1 = 10 e x2 = 40.


LEITURAOBRIGATÓRIA

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A coordenada do vértice da parábola é (25;675).

6o) Construir o gráfico: colocam-se os pontos no plano cartesiano a partir das informações obtidas nos passos anteriores. Em seguida, deve-se traçar a curva que passa por esses pontos.

Figura 4.3 Gráfico da função L = -3x2+150x-1200.

Na Figura 4.3, o lucro máximo ocorre quando x=25, ou seja, quando 25 calçados são produzidos e 25 são comercializados. O valor correspondente ao lucro máximo é de R$ 675,00. O vértice da parábola forneceu a informação sobre o máximo da função.

Ainda com relação ao gráfico da Figura 4.3, os valores de x para os quais o lucro é nulo ocorrem quando x = 10 ou x = 40. Como já explicado no Tema 2, o lucro zero representa a situação em que a receita é igual ao custo, ou seja, situação do break-even point. Construindo o gráfico da função receita e da função custo em um mesmo sistema de eixos, é possível observar esta situação:

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Figura 4.4 Gráfico da função receita e da função custo em um mesmo sistema de eixos.

Observe que, na Figura 4.4, a região sombreada está limitada pelos valores de x maiores que 10 e menores que 40. É nesta região que a receita é maior que o custo, ou seja, em que há lucro.

Ainda na Figura 4.4, pode-se observar que a receita máxima é representada pelo ponto (50,7500). Entretanto, esse ponto está fora da região de lucro, ou seja, conseguir a receita máxima, neste caso, significou obter prejuízo.

Em termos práticos, a receita máxima nem sempre representará o lucro máximo; às vezes, pode até representar uma situação de prejuízo, como mostra a Figura 4.4. Isso acontece porque o lucro depende não só da função receita, mas também da função custo.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site Mundo Educação.Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcoes-custo-receita-lucro.htm>. Acesso em: 1 nov. 2013. Contém uma breve explicação sobre as funções custo, receita e lucro, juntamente a exemplos gráficos.

Acesse o site Brasil Escola.Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/matematica-na-economia-funcao-custo-funcao-receita-.htm>. Acesso em: 1 nov. 2013.Contém uma breve explicação teórica e exemplos sobre as funções custo, receita e lucro.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 1 nov. 2013.No campo de pesquisa, digite funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções polinomiais.

Vídeos ImportantesAssista ao vídeo:Assista ao vídeo: Função Lucro.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=yOsdCS3UZ1k>. Acesso em: 3 nov. 2013. Este vídeo mostra a resolução de um exercício que envolve a aplicação de funções quadráticas na formulação da receita, custo e lucro.

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AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Siga os passos, a seguir, para deduzir uma importante característica sobre as parábolas.

• Encontre os interceptos da função f(x)=x2-12x+20 com o eixo x, ou seja, resolva a equação x2-12x+20 = 0.

• Determine a média aritmética das duas soluções encontradas, ou seja,

2xxx 21 += .

• Determine a coordenada xv da

parábola, ou seja, resolva: Lembre-

se de que xv fornece a localização do ponto de máximo ou mínimo da parábola.

Compare o resultado encontrado pela mé-dia aritmética e o vértice da parábola. O que se pode concluir?


Certo produto é fabricado com custo e re-ceita segundo as funções C = 120x+24000 e R = -2x2+800x, respectivamente. Consi-dere que, para este produto, a quantida-de comercializada é igual à quantidade fabricada. O gráfico, a seguir, mostra o comportamento da função receita e da função custo.

a 2bxv

−=

81

Questão 2:

A partir do gráfico, a receita máxima obtida na comercialização deste produto é:

a) R$ 28.800,00.

b) R$ 60.000,00.

c) R$ 70.000,00.

d) R$ 80.000,00.

e) R$ 90.000,00.

Questão 3:

A quantidade comercializada que fornece a receita máxima é:

a) 40.

b) 100.

c) 200.

d) 300.

e) 400.

Questão 4:

As quantidades comercializadas que repre-sentam o break-even point são:

a) 40 e 100.

b) 40 e 200.

c) 40 e 300.

d) 100 e 200.

e) 200 e 300.

Questão 5:

Os valores de receita que representam os dois pontos break-even point são:

a) R$ 24.000,00 e R$ 28.800,00.

b) R$ 24.000,00 e R$ 60.000,00.

c) R$ 24.000,00 e R$ 80.000,00.

d) R$ 28.800,00 e R$ 60.000,00.

e) R$ 60.000,00 e R$ 80.000,00.

Observação: neste caso, os dois valores de receita são iguais aos dois valores de custo, pois se trata do break-even point.

AGORAÉASUAVEZ

82

Questão 6:

Encontre a função lucro de um produto que é comercializado segundo a função receita R = -2x2+800x e fabricado segundo a fun-ção custo C = 120x+24000.


Um feirante nota que o preço do quilo do tomate varia de acordo com a relação p = -2x+16. O gasto total do feirante com os to-mates (gasto da compra do tomate com o produtor e o transporte) é dado pela relação C = 4x+10. Nos dois casos, x representa a quantidade em quilogramas de tomates.

Questão 7:

Sabendo que a função receita R é dada pela relação R = p . x (preço vezes a quan-tidade de tomate comercializada), obtenha a função receita e esboce o gráfico dessa função com o gráfico da função custo. Indi-que o break-even point.

Questão 8:

A partir da função receita e do gráfico obti-do na questão anterior, responda:

a) Qual a quantidade em quilogramas de tomate a ser comercializada para que a re-ceita seja máxima?

b) Qual a receita máxima?

Questão 9:

Obtenha a função lucro e determine:

a) Qual a quantidade em quilogramas de tomate a ser comercializada para que o lu-cro seja máximo?

b) Qual o lucro máximo?

Questão 10:

Esboce o gráfico da função lucro indicando os principais pontos, inclusive o break-even point.

AGORAÉASUAVEZ

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FINALIZANDO

Neste tema, você aprendeu sobre as aplicações das funções quadráticas em modelos que envolvem receita e lucro. Além isso, você aprendeu a montar o gráfico dessas funções, possibilitando a localização dos pontos de máximo da receita e do lucro, verificando as diferenças teóricas entre ambos. Você também aprendeu a encontrar o ponto de equilíbrio entre as funções custo e receita, o break-even point, permitindo a localização do intervalo de lucro.


REFERÊNCIAS



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GLOSSÁRIO

GABARITO

Abscissas: no sistema cartesiano, o eixo das abscissas é o eixo x, aquele comumente representado na horizontal.

Concavidade: na parábola, a concavidade é o lado em que há cavidade, depressão ou vale.

Break-Even Point: expressão inglesa que significa ponto de equilíbrio.

Demanda: é a quantidade de um bem ou serviço que os consumidores desejam adquirir por um preço definido em dado mercado, durante uma unidade de tempo.

Ordenadas: no sistema cartesiano, o eixo das ordenadas é o eixo y, aquele comumente representado na vertical.

Questão 1

Resposta: A solução da equação x2-12x+20 = 0 é x1 = 2 ou x2 = 10. A média desses pontos

é 62

0 12x =+

= .

O ponto que representa Xv 62212)(

=⋅−−

= .

85

GABARITOPortanto, a coordenada do vértice da parábola pode ser calculada por meio da média aritmética dos interceptos da função com o eixo x. Observe o gráfico:

Questão 2


Observe gráfico:

86

Questão 3


Observe o gráfico:

Questão 4


Observe o gráfico:

GABARITO

87

Questão 5


Observe o gráfico:

Questão 6

Resposta: L = R-C = -2x2+800x – (120x+24000) ⇒ L = -2x2+800x-120x-24000

⇒ L = -2x2+680x-24000

Questão 7

Resposta: a) R = (-2x+16) . x ⇒ R = -2x2 + 16x.

b) A partir dos pontos importantes da parábola, o gráfico ficará:

GABARITO

88

Questão 8

Resposta: No gráfico da Questão 7, a coordenada do vértice é (4,32). Portanto, a quantidade em quilogramas de tomate a ser comercializada para que a receita seja máxima é xv= 4 kg.

b) A receita máxima que é dada em reais é yv = R$ 32,00.

Observe o gráfico:

Questão 9

Resposta: L = R – C = -2x2+16x – (4x+10) ⇒ L = -2x2+12x-10

a) A quantidade que fornece lucro máximo é dada pelo a 2bxv

−= . Então, a = -2, b =12 e c = -10

(-2)22 1xv ⋅

−=

⇒ 4

2 1xv −−

= ⇒ 3xv =

Assim, a comercialização de 3 kg fornece o lucro máximo.

b) O lucro máximo pode ser encontrado tomando x = 3:

L = -2.32+12.3-10⇒ L = -18+36-10⇒ L = R$ 8,00

GABARITO

89

Questão 10

Resposta: A partir dos pontos importantes da parábola para a função L = -2x2+12x-10, o gráfico ficará:

GABARITO

seções

Tema 05Função Exponencial

SeçõesSeções

Tema 05Função Exponencial


Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


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Conteúdo


• Fator multiplicativo para aumento e redução porcentual.

• Modelagem de problemas que envolvam funções exponenciais.

• Caracterização da função exponencial.

• Gráficos de funções exponenciais.

• Utilização da calculadora científica para operações de potenciação.


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LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• Como determinar o fator multiplicativo para aumento ou redução porcentual?

• Como construir um modelo a partir de problemas que envolvam funções exponenciais?

• Como determinar se uma função exponencial é crescente ou decrescente?

• Como realizar operações de potenciação utilizando a calculadora científica?

Função Exponencial

Introdução

O modelo de função exponencial é muito utilizado em Economia e Finanças, já que qualquer cálculo que envolva juros compostos é um modelo exponencial. A utilidade desse tipo de função também aparece no cálculo da depreciação de máquinas e equipamentos, cálculo muito importante para a contabilidade de uma empresa.

Antes de iniciar o estudo do conceito de função exponencial, será apresentado o cálculo do fator multiplicativo de uma porcentagem.

Porcentagem e Fator Multiplicativo

A representação de um número em porcentagem é equivalente a uma representação decimal, por exemplo, 5% =

1005 = 0,05 ou 32% =

1002 3

= 0,32. Deste modo, para calcular a

porcentagem de um número basta multiplicá-lo pelo equivalente decimal, por exemplo, 5% de R$ 230,00 é:

230 ⋅5% = 2301005

⋅ = 230 ⋅0,05 = R$ 11,50.

95

LEITURAOBRIGATÓRIAPara os cálculos que envolvem aumento porcentual de uma grandeza, no entanto, pode-se também descobrir um fator multiplicativo para aumento, por exemplo, se um produto que custa R$ 200,00 sofrer um aumento de 12% terá um valor final de:

Vf = aumentoo dValorprodutoo dValor12%200200 ⋅+

⇒ Vf = 200 + 200 ⋅0,12

Colocando o valor 200 em evidência (processo inverso da distributividade):

Vf = 200 ⋅ (1 + 0,12), pois 0,122002000,12)1 (200 ⋅+=+⋅

⇒ Vf = tivoMultiplicaFator

1,12200 ⋅ ⇒ Vf = 224,00

Observe que o fator 1,12 aumenta a grandeza em 12%. Isso acontece porque 1,12 pode ser escrito como:

1,12 = 1 + 0,12 = 100

2 1100100

+ = 100% + 12% =112%

Portanto, para aumentar uma grandeza em 12%, basta multiplicá-la por 1,12.

Analogamente, nos cálculos que envolvem redução porcentual, existe também um fator multiplicativo de redução. Por exemplo, se um produto que custa R$ 200,00 sofrer um desconto de 12%, terá um valor final de:

Vf =

descontoo dValorprodutoo dValor12%200200 ⋅− ⇒ Vf = 200 - 200 ⋅0,12

Colocando o valor 200 em evidência (processo inverso da distributividade):

Vf = 200 ⋅ (1 - 0,12)⇒ Vf = tivoMultiplicaFator

0,88200 ⋅ ⇒ Vf = 176,00

Assim, o fator 0,88, quando multiplicado, diminui o valor do produto em 12%. Isso acontece porque 0,88 pode ser escrito como:

0,88 = 1 - 0,12 = 100

2 1100100

− = 100% - 12% =88%

Portanto, para reduzir um valor em 12%, basta multiplicar por 0,88.

De maneira geral, dada uma porcentagem, para descobrir o fator de aumento, basta encontrar a representação em decimal da porcentagem e somar o resultado ao número 1. Já, para descobrir o fator de redução, basta subtrair do número 1 a representação decimal da porcentagem.

96

LEITURAOBRIGATÓRIAExemplo 5.1: Encontre o fator de aumento para as porcentagens 37% e 5%

Resolução:

- Para 37%: o fator multiplicativo de aumento = 1 + 37% = 1+ 0,37 = 1,37

- Para 5%: o fator multiplicativo de aumento = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05

Exemplo 5.2: Encontre o fator de redução para as porcentagens 48% e 3%

Resolução:

- Para 48%: o fator multiplicativo de redução = 1 – 48% = 1 – 0,48 = 0,52

- Para 3%: o fator multiplicativo de redução = 1 – 3% = 1 – 0,03 = 0,97

Exemplo Prático I

Considere a situação em que uma empresa toma emprestado de um banco R$ 50.000,00. Para este empréstimo, o banco cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. A empresa pretende pagar a dívida após três meses em uma única parcela.

Para calcular a evolução da dívida desse empréstimo, primeiramente se calcula o fator multiplicativo de aumento, pois a dívida aumentará mês a mês. Então:

Fator multiplicativo de aumento= 1 + 2% = 1 + 0,02 = 1,02

Assim, a cada mês, a dívida evolui:

• Após um mês e representando a dívida por D(1):

D(1) = (valor do empréstimo) ⋅ (fator multiplicativo de aumento)

D(1) = 50000,00 ⋅ 1,02

D(1) = 51000,00 reais.

• Após dois meses e representando a dívida por D(2):

D(2) = (dívida do mês anterior) ⋅ (fator multiplicativo de aumento)

D(2) = D(1) ⋅ 1,02

97

LEITURAOBRIGATÓRIAD(2) = 51000,00 ⋅1,02

D(2) = 52020,00 reais.

• Após três meses e representando a dívida por D(3):

D(3) = (dívida do mês anterior) ⋅ (fator multiplicativo de aumento)

D(3) = D(2) ⋅ 1,02

D(3) = 52020,00 ⋅1,02

D(3) = 53060,40 reais.

Portanto, a dívida a ser paga pela empresa após três meses é de R$ 53.060,40.

Entretanto, D(3) = 53060,40 poderia ser obtido diretamente pela conta:

Ou seja,

D(3) = 1,021,021,0250000,00 ⋅⋅⋅ ⇒ D(3) = 31,0250000,00 ⋅ por propriedade de potenciação, pois 1,021,021,021,023 ⋅⋅= .

A formulação apresentada torna-se mais simples, pois permite calcular diretamente a dívida após qualquer período considerado. Por exemplo, se a empresa decidisse pagar a dívida após quatro meses, a dívida ficaria:

D(4) = 41,0250000,00 ⋅

D(4) = 1,0824321650000,00 ⋅

D(4) = 54121,61 reais.

De maneira geral, se o prazo de pagamento do empréstimo fosse n meses, a função dívida seria:

98

D(n) = 50000,00. 1,02n

Chamamos esse tipo de função, em que a variável aparece no expoente, de função exponencial.

O gráfico de uma função exponencial é apenas crescente ou apenas decrescente. A Figura 5.1 ilustra o gráfico da dívida da empresa:

Figura 5.1 Gráfico da dívida da empresa.

O gráfico da Figura 5.1 é apenas de uma representação ilustrativa da evolução da dívida da empresa. Como a dívida é capitalizada apenas ao final do mês, o gráfico não poderia ser uma linha contínua.

Exemplo Prático II

Considere a situação em que uma máquina sofre uma depreciação de 4% ao ano. Se a máquina custa R$ 70.000,00, qual será o valor da máquina após três anos.

Inicialmente, para resolver este problema, deve-se determinar o fator multiplicativo de redução que é:

LEITURAOBRIGATÓRIA

99

Fator multiplicativo de redução= 1 – 4% = 1 – 0,04 = 0,96.

Assim, a cada ano o valor da máquina será:

• Após 1 ano e representando o valor da máquina por V(1):

V(1) = (valor da máquina) ⋅ (fator multiplicativo de redução)

V(1) = 70000,00 ⋅ 0,96

V(1) = 67200,00 reais.

• Após 2 anos e representando o valor da máquina por V(2):

V(2) = (valor no ano anterior) ⋅ (fator multiplicativo de redução)

V(2) = V(1) ⋅ 0,96

V(2) = 67200,00 ⋅0,96

V(2) = 64512,00 reais.

• Após 3 anos e representando o valor da máquina por V(3):

V(3) = (valor no ano anterior) ⋅ (fator multiplicativo de redução)

V(3) = V(3) ⋅ 0,96

V(3) = 64512,00 ⋅0,96

V(3) = 61931,52 reais.

Portanto, após 3 anos, a máquina terá um valor de mercado de R$ 61.931,52.

Entretanto, V(3) poderia ser obtido diretamente pela conta:

LEITURAOBRIGATÓRIA

100

Ou seja,

V(3)= 0,960,960,9670000,00 ⋅⋅⋅ ⇒V(3)= 30,9670000,00 ⋅ por propriedade de potenciação, pois 0,960,960,960,963 ⋅⋅= .

Essa formulação permite calcular diretamente a dívida após qualquer período considerado. Por exemplo, o valor da máquina após quatro anos será:

V(4) = 40,9670000,00 ⋅

V(4) = 0,8493465670000,00 ⋅

V(4) = 59454,26 reais.

De maneira geral, a função que mostra o valor da máquina após n anos será:

V(n) = 70000,00. 0,96n

Novamente, como a variável aparece no expoente, a função é chamada de exponencial.

A função depreciação é decrescente, já que o valor da máquina diminui com o tempo. O gráfico da Figura 5.2 ilustra esta situação:

Figura 5.2 Gráfico da depreciação da máquina.

LEITURAOBRIGATÓRIA

101

Novamente, como aconteceu com o gráfico da Figura 5.1, o gráfico da Figura 5.2 é uma representação ilustrativa da evolução da depreciação da máquina. Como a depreciação ocorre a cada ano e ao final de um período, o gráfico não poderia ser uma linha contínua.

Caracterização da Função Exponencial

Uma função exponencial é f(x) = b.ax, com a > 0, a ≠ 1 * b ≠ 0.

O coeficiente b representa o valor da função quando x = 0, ou seja, fornece o ponto em que a curva corta o eixo y:

y = f(0) = b.a0 ⇒ y = b ⋅ 1 ⇒ y = b

Nos dois problemas práticos anteriores, o valor b representou a situação inicial. Por exemplo, no empréstimo feito pela empresa, o valor b representou a quantia inicial emprestada. Já no exemplo da depreciação, o valor b representou o valor inicial da máquina.

O coeficiente a determina se a função f(x) = b.ax é crescente ou decrescente. Quando a > 1, a função é crescente; se 0 < a < 1, a função é decrescente. Por exemplo:

D(n) = 50000,00. 1,02n, a = 1,02 função crescente.

V(n) = 70000,00. 0,96n, a = 0,96 função decrescente.

Uso da Calculadora Científica

Os cálculos das potenciações dos problemas anteriores podem ser feitos por meio do uso de calculadora científica. Por exemplo, no exemplo prático II, na conta V(4) =

40,9670000,00 ⋅ , deve-se primeiro determinar o resultado de 40,96 antes de realizar a multiplicação por 70000,00.

A Figura 5.3 mostra este cálculo em duas versões comuns de calculadoras científicas:

LEITURAOBRIGATÓRIA

102

Figura 5.3 Cálculo em duas versões distintas de calculadoras científicas.

Observe que a diferença entre o uso da potenciação em ambas calculadoras é apenas o símbolo da tecla potenciação ^ e yx. Após determinar o valor de 40,96 (que é 0,84934656), basta multiplicar por 70000,00 e você terá o resultado de V(4) = 40,9670000,00 ⋅ , que é de 59454,26 reais.

O mesmo processo pode ser feito para o cálculo de outros valores. Por exemplo, de D (3) = 31,0250000,00 ⋅ . Veja a Figura 5.4:

Figura 5.4 Cálculo do valor de 31,02 .

Analogamente, após determinar o valor de 31,0250000,00 ⋅ (que é 1,061208), basta multiplicar por

50000,00 e você terá o resultado de D(3) = 31,0250000,00 ⋅ , que é de 53060,40 reais.

LEITURAOBRIGATÓRIA

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LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site Mundo Educação.Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-exponencial-matematica-financeira.htm>. Acesso em: 6 nov. 2013. Contém uma breve explicação sobre funções exponenciais e um exemplo que envolve o uso dessa função em matemática financeira.

Acesse o site Brasil Escola.Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/aplicacoes-uma-funcao-exponencial.htm>. Acesso em: 6 nov. 2013. Contém exemplos aplicados que envolvem a função exponencial, principalmente exemplos em finanças.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 3 nov. 2013. No campo para pesquisa, digite funções. Aparecerão várias produções acadêmicas com aplicações das funções exponenciais.

Vídeos Importantes: Assista ao vídeo: Acesse o site do IMECC – UNICAMP.Disponível em: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1092>. Acesso em: 24 set. 2013. Apresenta um problema em finanças que utiliza a função exponencial: “José acaba de ser pai e quer guardar dinheiro para o seu filho fazer uma faculdade quando ficar moço. Liga para o gerente do banco, Mauro, que o ajuda a fazer uma boa escolha de investimento.”

104

AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Pesquise em sites de bancos a taxa de ju-ros de empréstimo pessoal. Em seguida, utilizando pelo menos três taxas de juros diferentes, encontre o fator multiplicativo de aumento das taxas de juros de cada banco.

Elevando cada um dos fatores multiplicati-vos à quarta potência (elevando a quatro), você descobrirá por qual valor a dívida será multiplicada após quatro meses. Compare os resultados encontrados e perceba como a dívida com um banco pode torna-se mui-to maior que com outro.

Questão 2:

O fator multiplicativo aplicado a uma quan-tia para calcular 167% é:

a) 167.

b) 16,7.

c) 1,67.

d) 0,167.

e) 0,0167.

Questão 3:

O fator multiplicativo aplicado a uma quan-tia para um aumento de 18,5% é:

105

a) 18,5.

b) 1,85.

c) 1,185.

d) 0,185.

e) 0,1185.

Questão 4:

O fator multiplicativo aplicado a uma quantia para um desconto (redução) de 28,7% é:

a) 71,3.

b) 28,7.

c) 7,13.

d) 2,87.

e) 0,713.

Questão 5:

Uma empresa faz um empréstimo de R$ 25.000,00 que será corrigido a uma taxa de 4,3% ao mês. A função exponencial que re-presenta o montante M dessa dívida após n meses é:

a) M(n) = 1,043n

b) M(n) = 25000,00n

c) M(n) = 1,043 ⋅25000,00n

d) M(n) = 25000,00 ⋅4,3n

e) M(n) = 25000,00 ⋅1,043n

Atenção: As Questões 6 e 7 devem ser respondidas com base no enunciado a seguir:

Um torno CNC tem seu valor dado pela função V(x) = 250000 ⋅0,92x, em que x re-presenta o ano após a compra do torno e x = 0 representa o ano em que foi comprado o torno.

Questão 6:

Qual o valor do torno após três anos da compra? Utilize calculadora científica.

Questão 7:Qual o valor do torno na data da compra? Qual o porcentual de depreciação que essa máquina tem por ano?


Uma máquina, após a compra, tem seu valor depreciado a uma taxa de 14,5% ao ano. O valor pode ser expresso por uma função exponencial, e o valor da máquina na compra é de R$ 95.000,00.

AGORAÉASUAVEZ

106

FINALIZANDO

Questão 8:Obtenha a função exponencial que repre-senta o valor V da máquina como função dos anos n após a compra da máquina.

Questão 9:

A partir da expressão obtida na Questão 8, determine o valor da máquina após cin-co anos da compra. Utilize calculadora científica, com aproximação de cinco ca-sas decimais.

Questão 10:

Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% ao mês. Se essa pessoa optar por pagar o empréstimo em uma única parcela após x anos, deter-mine:

a) A expressão que representa o montante M da dívida após x meses da data do em-préstimo.

b) O porcentual de juros acumulados se a dívida foi paga em quatro meses.

AGORAÉASUAVEZ

Neste tema, você aprendeu a determinar o fator multiplicativo para o aumento ou a redução porcentual. Além isso, você aprendeu a montar funções a partir de problemas que envolvam funções exponenciais. Você também aprendeu sobre a caracterização das funções exponenciais. Por fim, você aprendeu a utilizar a calculadora científica para resolver operações de potenciação.


107

REFERÊNCIAS

GLOSSÁRIO



Capitalização: adição de juros a um capital. Pode ser simples ou composta.

Depreciação: desvalorização ou perda de valor que um produto sofre com o uso ou com o passar do tempo.

108

GABARITO

Questão 1

Resposta: Sugestão de resposta: o site da Revista Exame contém a relação de alguns bancos: <http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/veja-as-taxas-de-juros-de-emprestimos-de-cada-banco-em-maio/>. Acesso em: 04/11/2013.

Por exemplo:

Banco do Brasil⇒ 4,27% a.m.

Bradesco⇒ 6,19% a.m.

Caixa⇒3,51% a.m.

Fator multiplicativo para cada banco:

Fator multiplicativo de aumento=1+4,27%=1 + 1004,27 =1+0,0427 = 1,0427

Fator multiplicativo de aumento=1+6,19%=1 + 1006,19 =1+0,0427 = 1,0619

Fator multiplicativo de aumento=1+3,51%=1 + 1003,51=1+0,0351 = 1,0351

Após 4 meses:

Banco do Brasil⇒ 1,04274= 1,18205.

Bradesco⇒ 1,06194 = 1,27155

Caixa⇒1,03514= 1,14797

Observe que o fator multiplicativo de aumento da taxa de juros do banco Bradesco, após quatro meses, é aproximadamente 10% maior que a do banco Caixa. Isso significa que, após quatro meses, a dívida com um banco será 10% maior que a com o outro banco. Perceba que pode representar uma diferença grande. Por exemplo, se você tomou um empréstimo de R$ 10.000,00, isso representaria uma diferença de R$ 1.000,00 após 4 meses.

109

Questão 2


O fator multiplicativo = 100167 = 1,67

Questão 3


O fator multiplicativo de aumento = 1 + 18,5% = 1+ 10018,5 = 1+0,185=1,185.

Questão 4


O fator multiplicativo de redução = 1 - 28,7% = 1 - 10028,7 = 1-0,287=0,713.

Questão 5


Uma função exponencial tem a forma f(x) = b ⋅ax. Para o problema considerado, ela terá a forma M(n) = b ⋅an.

Como explicado na teoria, o coeficiente b representa a situação inicial. Nesse problema, a situação inicial é o valor do empréstimo R$ 25.000,00. O coeficiente a representa o fator de aumento ou de redução. Neste problema, trata-se de um fator de aumento, pois a dívida aumenta com o passar do tempo. Assim:

Fator multiplicativo de aumento= 1 +4,3 % = 1 + 1004,3 = 1+0,043 = 1,043

Portanto, a função será M(n) = 250000 ⋅1,043n.

Questão 6

Resposta: Após três anos, o valor do torno CNC será:

V(3) = 250000 ⋅0,923⇒ V(3) = 250000 ⋅0,778688

V(3) = 250000 ⋅0,778688⇒ V(3) = 194672 reais.

GABARITO

110

Questão 7

Resposta: Uma função exponencial tem a forma f(x) = b ⋅ax. Como explicado na teoria, o coeficiente b representa a situação inicial. Já o coeficiente a representa o fator de aumento ou de redução.

Para o problema considerado, a função é V(x) = 250000 ⋅0,92x. Assim, o coeficiente b = 2500000 e a =0,92.

Portanto, o valor da máquina na data da compra é de R$ 250.000,00. Já o coeficiente a=0,92 representa o fator multiplicativo de redução.

Para descobrir o porcentual de depreciação (o porcentual de desvalorização da máquina), utiliza-se o seguinte raciocínio:

Como o fator de redução é 0,92, então 0,92 = 100

2 9 = 92%, o que significa que, por ano,

sobram apenas 92% do valor da máquina. Assim, desvaloriza-se 8% do valor da máquina (100% - 92% = 8%).

Portanto, a máquina deprecia 8% ao ano.

Questão 8

Resposta: O coeficiente b representa a situação inicial. Nesse problema, a situação inicial é de R$ 95.000,00. O coeficiente a representa o fator de aumento ou de redução. Nesse problema, trata-se de um fator de redução, pois o valor da máquina é depreciado. Assim:

Fator multiplicativo de redução = 1 - 14,5 % = 1 - 10014,5 = 1-0,145= 0,855

Portanto, a função será V(n) = 95000 ⋅0,855n.

Questão 9

Resposta: Para n=5, o valor será:

V(5) = 95000 ⋅0,8555⇒ V(5) = 95000 ⋅0,45691⇒ V(5) =43406,45 reais

GABARITO

111

Questão 10

Resposta: a) O coeficiente b representa a situação inicial. Nesse problema, a situação inicial é de R$ 2.000,00. O coeficiente a representa o fator de aumento ou de redução. Nesse problema, trata-se de um fator de aumento.

Fator multiplicativo de aumento = 1 + 3 % = 1 +1003 = 1+0,03= 1,03

Portanto, a função será M(x) = 2000 ⋅1,03x.

b) Para x = 4, então:

M(4) = 2000⇒1,034 ⇒ M(4) = 2000 ⋅1,12550881. Observe que o valor 2000 será multiplicado por 1,12550881, valor este que representa os juros em quatro meses. Como 1,12550881 representa um fator de aumento, pode ser escrito como:

1,12550881 = 1+ 0,12550881 = 1 + 100

12,550881 = 1 + 12,550881%

Portanto, os juros acumulados em quatro meses são de aproximadamente 12,55%.

GABARITO

seções

Tema 06Taxa de Variação Média e Instantânea.O Conceito de Derivada

SeçõesSeções

Tema 06Taxa de Variação Média e Instantânea.O Conceito de Derivada


Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


115

Conteúdo


• O conceito de taxa de variação média.

• Aplicação da taxa de variação média.

• O cálculo da taxa de variação instantânea a partir do cálculo repetido de taxa de variação média.

• A definição da taxa de variação por meio do uso de limites, a derivada.

• Problemas que envolvam taxas de variação média e instantânea.


116


LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• O que significa taxa de variação média? O que é preciso para calculá-la?

• O que significa taxa de variação instantânea?

• Como calcular a taxa de variação instantânea a partir da taxa de variação média?

• Qual a relação entre taxa de variação instantânea e a derivada?

Taxa de Variação Média e Instantânea. O Conceito de Derivada

Introdução

Pode-se representar a variação de uma quantidade em relação a outra por meio de uma razão denominada taxa de variação. A taxa de variação pode ser média ou instantânea. As taxas de variação ocorrem em muitas situações práticas em administração, contabilidade e economia. Por exemplo, a velocidade com que uma empresa produz um produto ou a razão entre a quantidade produzida e o capital investido correspondem a taxas de variação.

Taxa de Variação Média

A taxa de variação média é obtida pela divisão de duas grandezas que, em situações práticas, têm unidades de medidas. A taxa de variação pode ser calculada para qualquer função. Assim, por exemplo, a função P(x), em que P é a quantidade produzida e x é o tempo, terá:

Taxa de variação média = X P

xm eVariaçãoPm eVariação

∆∆

=

117

LEITURAOBRIGATÓRIASe a produção de uma empresa em toneladas é dada por P(x) = x2, em que x é o tempo em horas, após 2 horas a empresa produzirá P(2) = 22=4 toneladas. Após 4 horas, a empresa produzirá P(4) = 42 = 16 toneladas. Desta forma, a taxa de variação média da produção dessa empresa será:

Taxa de variação média = horastoneladas/622 1

246 1

24P(2)P(4)

==−

=−−

Este resultado mostra que, no intervalo de 2 até 4 horas, a empresa produziu em média 6 toneladas por hora.

O gráfico da Figura 6.1 mostra a função produção e a reta que representa a taxa de variação média. Observe que a taxa de variação média, no intervalo de 2 a 4 horas, aproximou o comportamento da curva produção de forma linear, ou seja, por uma reta. Portanto, neste caso, a taxa de variação média representa apenas um comportamento aproximado para a variação da produção por hora. Por uma simples análise do gráfico percebe-se que, em x=3, a reta está distante da curva produção, mostrando que a taxa de variação média é apenas uma aproximação para a variação da produção por hora.

Figura 6.1 Taxa de Variação Média.

118

LEITURAOBRIGATÓRIAOutro exemplo importante é mostrado na Figura 6.2, em que a curva representa a quantidade Q em toneladas de cereais armazenados em um silo e x representa o número de dias transcorridos do armazenamento. Neste exemplo, para calcular a taxa de variação média, considere a quantidade em x = 2 dias de Q(2) = 8,2 toneladas e em x = 7 dias de Q(7) = 27 toneladas. Desta forma:

Taxa de variação média = ton./dias3,765

18,85

8,27 227Q(2)Q(7)

==−

=−−

Este resultado mostra que, no intervalo de 2 até 7 dias, esse silo teve um aumento médio no armazenamento de cereais de 3,75 toneladas por dia. No gráfico da Figura 6.2, é possível perceber que a reta que representa a taxa de variação média aproximou o comportamento da curva Q(x). Pode-se ter a falsa impressão, a partir da taxa de variação média, que a quantidade de cereais no silo sempre aumentou ao ponto que, pelo gráfico da Figura 6.2, é possível perceber que houve decréscimo na quantidade de cereais, por exemplo, entre o quarto e o quinto dia. Daí a importância de compreender que a reta que representa a taxa de variação média dá apenas uma noção aproximada do comportamento função, às vezes com uma aproximação não muito boa, como neste exemplo.

Figura 6.2 Taxa de Variação Média e o comportamento da curva Q(x).

119

LEITURAOBRIGATÓRIAA reta que representa a taxa de variação média chama-se reta secante. A inclinação da reta secante, ou o coeficiente angular da reta secante, é a própria taxa de variação média. Para compreender este resultado, lembre-se da fórmula do coeficiente angular m da reta estudada no Tema 2:

12

12

xxyy

x y

xe dvariaçãoye dvariaçãom

−−

=∆∆

==.

Essa fórmula fornece a inclinação da reta dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2). Mas a taxa de variação média também é dada por dois pontos:

Taxa de variação média = 12

12

xxPP

XP

xm eVariaçãoPm eVariação

−−

=∆∆

= .

Observe, então, que a inclinação m da reta secante tem o mesmo cálculo da taxa de variação média. Logo, m = taxa de variação média. Observe o gráfico da Figura 6.3:

Figura 6.3 Reta secante.

Taxa de Variação Instantânea

Ainda com relação ao exemplo da empresa em que a produção é dada por P(x) = x2, pode-se calcular a taxa de variação da produção em um instante específico. Para isso, considere a mesma função produção P(x) = x2 e o instante x = 3 horas.

Inicialmente, para esse cálculo, considere a taxa de variação média no intervalo 3 até 3 + h, em que h representa o tamanho desse intervalo. À medida que o valor h diminui, a distância de 3 até 3+h também diminui e a taxa de variação média se aproxima da taxa de variação

120

LEITURAOBRIGATÓRIAno instante x = 3. Para estudar este comportamento, considere as seguintes reduções para o valor de h:

Para h = 0,1, o intervalo considerado será 3 até 3,1; portanto, a taxa de variação média será:

Taxa de variação média = ==−

=−−

0,10,61

0,133,1

33,1P(3)P(3,1) 22

= 6,1 toneladas por hora.

• Para h = 0,01, o intervalo considerado será 3 até 3,01; portanto, a taxa de variação média será:


=−−

0,010,0601

0,0133,01

33,01P(3)P(3,01) 22


• Para h = 0,001, o intervalo considerado será 3 até 3,001; portanto, a taxa de variação média será:


=−−

0,0010,006001

0,00133,001

33,001P(3)P(3,001) 22


Para os três valores de h considerados, 0,1, 0,01 e 0,001, percebe-se que, à medida que h diminui (ou seja, à medida que a distância entre 3 e 3 + h diminui), a taxa de variação média aproxima-se de 6 toneladas por hora.

Para garantir que a taxa de variação no instante x = 3 seja de 6 toneladas por hora, deve-se considerar a observação da variação de h com valores negativos, ou seja, aproximar de 3 pelo intervalo 3 - h até 3, então:

Para h = -0,1, o intervalo considerado será 2,9 até 3; portanto, a taxa de variação média será:


=−−

0,10,59

0,12,93

2,93P(2,9)P(3) 22


121

LEITURAOBRIGATÓRIA• Para h = -0,01, o intervalo considerado será 2,99 até 3; portanto, a taxa de variação média será:


=−−

0,010,0599

0,012,993

2,993P(2,99)P(3) 22


• Para h = -0,001, o intervalo considerado será 2,999 até 3; portanto, a taxa de variação média será:


=−−

0,0010,005999

0,0012,9993

2,9993P(2,999)P(3) 22


Novamente, à medida que os valores de h aproximam-se de zero, o intervalo 3 + h até 3 diminui e a taxa de variação média aproxima-se de 6 toneladas por hora.

Portanto, pode-se dizer que no instante x = 3 a taxa de variação é de 6 toneladas por hora. O procedimento de tornar h (o tamanho do intervalo) próximo de zero corresponde ao cálculo de um limite:

O cálculo preciso do valor desse limite não será discutido neste tema, mas ele resume todos os cálculos realizados anteriormente para os vários valores de h. O cálculo preciso desse limite chama-se derivada, e seu cálculo será estudado no próximo tema.

Para determinar a taxa de variação instantânea, devem-se gerar vários valores para h (cada vez menores) e determinar o valor no qual a taxa de variação média se aproxima.

Exemplo 6.1: O custo C, para se beneficiar uma quantidade q de trigo, é dado por C(q) = 3q2 + 500, em que C é dado em reais (R$) e q é dado em toneladas (ton.).

a) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo de 1 até 6 toneladas.

b) Qual a inclinação da reta secante associada à taxa de variação média obtida no item a?

c) Determine a taxa de variação instantânea do custo para q = 4. (Utilize, para as estimativas, h = ± 0,1; h = ± 0,01; h = ± 0,001).

122

LEITURAOBRIGATÓRIAResolução:

a) Taxa de variação média = =+⋅+⋅

=−−

5500)13 (-50063

16C(1)C(6) 22

1 25

1055

31085

500 -13-5006 33==

−=

⋅+⋅= R$/ton.

Ou seja, a taxa de variação média do custo para beneficiar de 1 até 6 toneladas de trigo é de R$ 21,00 por tonelada. O que significa que, em média, R$ 21,00 são gastos por tonelada de trigo para fazer o beneficiamento.

b) Como observado na teoria, a inclinação da reta secante no intervalo de 1 até 6 toneladas é o próprio valor da taxa de variação instantânea, ou seja, msecante=21.

c) Para determinar a taxa de variação instantânea em x = 4, analisa-se o comportamento para valores de h positivos e valores negativos.

Para valores positivos de h (h = 0,1; h = 0,01; h = 0,001), os intervalos (4 até 4 +h) serão, respectivamente, 4 até 4,1; 4 até 4,01; e 4 até 4,001.

• h = 0,1, ou seja, intervalo de 4 até 4,1.

• h = 0,01, ou seja, intervalo de 4 até 4,01.

123

LEITURAOBRIGATÓRIA• h = 0,001, ou seja, intervalo de 4 até 4,001.

Observe que, com a redução do valor h, a taxa de variação média no intervalo de 4 até 4 + h aproxima-se cada vez mais do valor de 24 R$/ton. Agora, deve-se analisar o comportamento da taxa de variação para valores negativos de h (h = -0,1; h = -0,01; h = -0,001). Então, os intervalos (4-h até 4) serão, respectivamente, 3,9 até 4; 3,99 até 4; e 3,999 até 4.

• h = -0,1, ou seja, intervalo de 3,9 até 4.



124

LEITURAOBRIGATÓRIAO valor da taxa de variação média no intervalo 4-h até 4 também se aproxima de 24 R$/ton. quando varia o valor de h. Assim, à medida que os dois intervalos (4-h até 4 e 4 até 4+h) tornam-se pequenos, o valor da taxa de variação média tende a R$ 24,00 por tonelada.

A partir dos cálculos anteriores, pode-se afirmar que a taxa de variação instantânea quando q = 4 é de R$ 24,00 por tonelada.

LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site IME-USP. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/popups/tx_var_media.htm>. Acesso em: 6 nov. 2013. Contém exemplos sobre taxa de variação média, além de links para outros assuntos como a taxa de variação instantânea.

Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 6 nov. 2013.No campo para pesquisa, digite derivada. Aparecerão vários e-books que contêm conceitos sobre derivadas (taxa de variação instantânea).

Vídeos ImportantesAssista ao vídeo:Cálculo I – Taxa de Variação.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=12PVg-m_8ls>. Acesso em: 6 nov. 2013. Este vídeo mostra a noção intuitiva sobre a taxa variação utilizando exemplos simplificados.

125

AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

A taxa de variação média e instantânea aparece em muitas situações do cotidia-no das pessoas. O detalhe é que essas situações não aparecem explicitamente com esses nomes. Forneça exemplos práticos para cada uma dessas duas ta-xas de variação.

Atenção: As Questões de 2 a 5 devem ser respondidas com base no enuncia-do a seguir:

A produção semanal de uma empresa em toneladas é dada por P(x) = 4x2, em que x representa o tempo em horas em que linha de produção funciona de forma ininterrup-

ta. O gráfico, a seguir, mostra a evolução da produção:

Passe o mouse para ver a imagem

126

Questão 2:

Com base no gráfico, pode-se dizer que a taxa de variação média da produção, consi-derando o intervalo de 20 a 30 horas, é de:

a) 100 toneladas/horas.

b) 200 toneladas/horas.

c) 300 toneladas/horas.

d) 400 toneladas/horas.

e) 500 toneladas/horas.

Questão 3:

A taxa de variação média em toneladas por hora da produção, considerando o intervalo de 30 a 40 horas, é de:






Questão 4:

Na teoria, verificou-se que a inclinação da reta secante está relacionada à taxa de va-riação média. A partir disso, a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (20,1600) e (40,6400) é:

a) 80.

b) 100.

c) 200.

d) 240.

e) 280.

Questão 5:

A taxa de variação média em toneladas por hora da produção, considerando o intervalo de 15 a 32 horas, é de:






Dica: Os valores x = 15 e x = 32 não estão explícitos no gráfico. Desta forma, deve-se utilizar a função produção P(x) = 4x2 para determiná-los.

Atenção: As Questões de 6 a 10 devem ser respondidas com base no enuncia-do a seguir:

Em uma indústria de cosméticos, conside-rou-se a produção como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu--se P(q) = 3q2-50, em que a produção P é

AGORAÉASUAVEZ

127

dada em litros e o capital investido q é dado em milhares de reais.

Questão 6:

a) Qual a taxa de variação média da produ-ção no intervalo de capital investido de 7 a 9 mil reais?

b) Qual o significado prático para a empre-sa dessa taxa de variação?

Questão 7:Determine a taxa de variação média da produção para os intervalos:

I. 8 a 8,1 mil reais de capital investido.

II. 8 a 8,01 mil reais de capital investido.

III. 8 a 8,001 mil reais de capital investido.

Questão 8:Determine a taxa de variação média da produção para os intervalos:

I. 7,9 a 8 mil reais de capital investido.

II. 7,99 a 8 mil reais de capital investido.

III. 7,999 a 8 mil reais de capital investido.

Questão 9:

A partir das respostas obtidas nas Ques-tões 7 e 8, determine a taxa variação ins-

tantânea da produção quando o capital investido é q = 8. Explique sua resposta.

Questão 10:

Qual o significado do limite a seguir:

8h8P(8)) hP(8Lim

0h −+−+

→

Qual o resultado que esse limite fornece?

AGORAÉASUAVEZ

128

FINALIZANDO

Neste tema, você aprendeu sobre o conceito da taxa de variação média e como calculá-la. Além isso, estudou problemas aplicados que envolvem taxa de variação média. Você também aprendeu o que é taxa de variação instantânea e como calculá-la a partir das taxas de variação média. Resolveu, também, problemas que envolvem taxas de variação instantânea. Por fim, você iniciou o estudo da derivada.


REFERÊNCIAS



129

GLOSSÁRIO

GABARITO

Instantânea: Que acontece em apenas um instante específico.

Secante: Uma reta secante intercepta uma curva em dois pontos ou mais.

Silo: Construção tipicamente cilíndrica utilizada para preparação, conservação e armazenagem de cereais, substâncias minerais ou grãos.

Toneladas: Unidade de medida de massa que representa 1.000 quilogramas.

Questão 1

Resposta: Resposta pessoal. Sugestões:

Taxa de Variação Média

O site ICARROS publicou, em 27/08/2013, que no Brasil são roubados 1.256 carros por dia. Esse dado é uma taxa de variação, pois representa a relação entre o número de roubos de carros e o número de dias. A taxa de variação é média, já que, como a própria matéria informa, de janeiro a junho de 2013 foram roubados 229.280 veículos, e o intervalo de

tempo nesse casso é de 181 dias. Assim, 1256181

229280≅ carros por dia.

130

Site ICARROS: <http://www.icarros.com.br/noticias/geral/brasil-tem-mais-de-1200-veiculos-roubados-por-dia-/14922.html>. Acesso em: 08/11/2013.

Taxa de Variação Instantânea

• A velocidade fornecida pelo velocímetro de um carro é uma taxa de variação, já que representa a relação entre espaço e tempo. Essa taxa de variação é instantânea, pois não considera espaço inicial e final nem tempo inicial e final. Tem-se apenas a velocidade em cada instante considerado.

Questão 2

Resposta: Alternativa B.

Taxa de variação média = ton/horas2000 1

20000 116003600

0 20 3P(20)P(30)

==−

=−−

Questão 3


Taxa de variação média = ton/horas2800 1

28000 13600-6400

0 30 4P(30)P(40)

===−−

Questão 4


Os pontos são (20,1600) e (40,6400). Então, a inclinação da reta secante (ou coeficiente angular da reta secante) é:

2400 2

48000 20 4

16006400xxyy

xe dvariaçãoye dvariaçãom

12

12 ==−−

=−−

== .

Questão 5

Resposta: Alternativa A.

Taxa de variação média = ⇒⋅−⋅

=⋅−⋅

=−

7 1225410244

7 15 142 34

5 1-2 3P(15)P(32) 22

Taxa de variação média = 1887 1

31967 1

9004096==

− toneladas por hora.

GABARITO

131

Questão 6

Resposta:

a) Taxa de variação média = ⇒⋅−−⋅

=−

250)-73 (0 593

7-9P(7)P(9) 22

Taxa de variação média = ⇒+−−

=⋅−−⋅

20 51470 5243

2) 0 5-9 43 (0 51 83

Taxa de variação média = 8 426 9= litros por mil unidades de reais investida.

b) No intervalo de investimento entre 7 mil a 9 mil reais, a produção em média irá aumentar 48 litros para cada mil reais investido. Assim, a empresa pode estimar que, a partir do investimento maior que 7 mil reais para cada mil reais investido, a produção irá aumentar em 48 litros de cosméticos.

Questão 7

Resposta: I. Intervalo de 8 até 8,1.

⇒−⋅−−⋅

=−−

=0,1

) 0 583 (0 58,1388,1P(8)P(8,1)

8,1 até 8média variação e d Taxa 22

48,30,1

4,830,1

) 0 54 63 (0 55,61 638,1 até 8

média variação e d Taxa==

−⋅−−⋅=

litros por mil unidades de

reais investido.

II. Intervalo de 8 até 8,01.

⇒−⋅−−⋅

=−−

=0,01

) 0 583 (0 58,01388,01P(8)P(8,01)


48,030,01

0,48030,01

50)4 63 (0 564,160138,01 até 8


−⋅−−⋅= litros por mil unidades de reais

investido.

GABARITO

132

II. Intervalo de 8 até 8,001.

⇒+⋅−+⋅

=−−

=0,001

50)83 (0 58,001388,001P(8)P(8,001)


48,0030,001

0,0480030,001

50)4 63 (0 564,01600138,001 até 8


+⋅−+⋅= litros por mil unidades de

reais investido.

Questão 8

Resposta: I. Intervalo de 7,9 até 8

⇒−⋅−−⋅

=−−

=0,1

50)7,93 (0 5837,98P(7,9)P(8)

8 até 7,9média variação e d Taxa 22

47,70,1

4,770,1

50)62,413 (0 54 638 até 7,9


−⋅−−⋅=

litros por mil unidades de reais investido.

II. Intervalo de 7,99 até 8.

⇒−⋅−−⋅

=−−

=0,01

50)7,993 (0 5837,998P(7,9)P(8)


47,970,01

0,47970,01

50)63,84013 (0 54 638 até 7,99


−⋅−−⋅= litros por mil unidades de reais

investido.

III. Intervalo de 7,999 até 8.

⇒+⋅−+⋅

=−−

=0,001

50)7,9993 (0 5837,9998P(7,999)P(8)


47,9970,001

0,0479970,001

50)63,9840013 (0 54 638 até 7,999


+⋅−+⋅= litros por mil unidades de

reais investido.

GABARITO

133

GABARITOQuestão 9

Resposta: Na Questão 7, as repostas obtidas foram:

• Intervalo de 8 até 8,1: Taxa de variação média = 48,3



Observe que, à medida que os intervalos se tornam menores, a taxa de variação média aproxima-se de 48.

Na Questão 8, as repostas obtidas foram:

• Intervalo de 7,9 até 8: Taxa de variação média = 47,7



Analogamente, à medida que os intervalos tornam-se menores, a taxa de variação média também se aproxima de 48.

Portanto, reduzindo-se os intervalos em ambos os sentidos (por valores menores e maiores que 8), a taxa de variação média vai se aproximando de 48. Assim, a taxa de variação instantânea, quando q = 8, é de 48 litros por mil unidades de reais investido.

Questão 10

Resposta: O 8h8P(8)) hP(8Lim

0h −+−+

→ representa a taxa de variação instantânea em q= 8. O cálculo

preciso desse limite resume todos os cálculos realizados nas Questões 7 e 8. Portanto, pela

Questão 9, o resultado desse limite é: 8 48h8P(8)) hP(8Lim

0h=

−+−+

→ litros por mil unidades de reais

investido.

Assim, a empresa sabe precisamente que, quando o capital investido for 8 mil reais, a produção de cosméticos está aumento em 48 litros por mil unidades de reais investido.

seções

Tema 07Técnicas de Derivação

SeçõesSeções

Tema 07Técnicas de Derivação


Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


137

Conteúdo


• A inclinação da reta tangente a partir do cálculo da derivada.

• A notação utilizada para o cálculo da derivada.

• Regras para derivação de funções.

• O cálculo das derivadas a partir de fórmulas preestabelecidas.

• A equação da reta tangente a uma curva em um ponto especificado.


138


LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• Qual a relação entre a derivada e a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto especificado?

• Como determinar a derivada de uma função polinomial?

• Qual a notação utilizada para representar o cálculo da derivada?

• Como determinar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto especificado?

Técnicas de Derivação

Introdução

No tema anterior, você estudou o significado e o cálculo da taxa de variação instantânea a partir de um processo repetitivo e intuitivo. Neste tema, o valor da taxa de variação instantânea, já definido como derivada, será determinado de forma direta por meio de fórmulas. O uso dessas fórmulas permite o cálculo imediato e preciso das derivadas.

Derivada e Inclinação da Reta Tangente

Como já estudado, os pontos utilizados para calcular a taxa de variação média descrevem uma reta secante, em que a inclinação dessa reta é o próprio valor da taxa de variação média.

12

12

xxyy

xy

xe dvariaçãoye dvariação

média variação e d Taxam−−

=∆∆

=== .

O gráfico da Figura 7.1 mostra a reta secante passando pelos pontos (x1,y1) e (x2,y2). Observe que essa reta possui inclinação m, que é igual à taxa de variação média.

139

LEITURAOBRIGATÓRIA

Figura 7.1 Reta secante.

No tema anterior, você estudou a taxa de variação instantânea em um ponto x0. Essa taxa de variação não tem relação com uma reta secante, pois se trata apenas de um ponto específico (x0, y0), e não de dois pontos, como acontece na reta secante. Por outro lado, a taxa de variação instantânea tem relação com a inclinação de uma reta tangente, ou seja, esta fornece o coeficiente angular mt de uma reta tangente à função f(x) no ponto x0. Veja a Figura 7.2:

Figura 7.2 Reta tangente.

140

Portanto, a taxa de variação média fornece a inclinação da reta secante e a taxa de variação instantânea fornece a inclinação da reta tangente.

Exemplo 7.1: A taxa de variação instantânea da função produção P(x) no ponto x0 = 5 horas é de 28 reais/hora. Qual a inclinação da reta tangente a essa função P(x) no ponto x0 = 5?

Resolução:

Como explicado, a inclinação mt da reta tangente em um ponto especificado, como o ponto x0 = 5, é a própria taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto, ou seja, mt = 28.

Cálculo da Derivada de uma Função

No tema anterior, definiu-se que a taxa de variação instantânea de uma função f(x), em um ponto x0, é chamada de derivada de f(x) em x0. Para simplificar esta notação, a derivada de f(x) em x0 será escrita como f '(x), ou seja, colocou-se o apóstrofo na letra que representa a função. Outra notação para o cálculo da derivada muito utilizada é:

x dy d

x ddf(x)

= = f '(x)

Essa notação é muito sugestiva para a ideia de taxa de variação, lembrando, por exemplo,

a taxa de variação média xy

∆∆ .

Até agora, você estudou que, para determinar o valor numérico da derivada de uma função em um ponto estabelecido, utiliza-se um processo repetitivo e aproximado que envolve o cálculo de várias taxas de variação média. Entretanto, será apresentado um processo exato que utiliza fórmulas para determinar a derivada de uma função.

Antes de verificar essas fórmulas, considere o problema em determinar a taxa de variação instantânea em x = 3 horas para a função produção P(x) = x2, dada em toneladas. A resposta desse problema foi obtida, no tema anterior, por meio de uma estimativa após o cálculo repetitivo de várias taxas de variação média. O valor encontrado, já utilizando a notação de derivada, foi:

hora.toneladas/ 6(3)'f =

Entretanto, esse resultado pode ser obtido diretamente pelo cálculo do limite:

/hora. toneladas63h3P(3)) hP(3Lim(3)'f

0x=

−+−+

=→

LEITURAOBRIGATÓRIA

141

O cálculo da derivada (taxa de variação instantânea) por meio do limite chama-se cálculo pela definição. O cálculo da derivada pela definição não será desenvolvido aqui, mas pode ser encontrado em Tan (2001). O que será desenvolvida neste tema é a fórmula resultante desse cálculo:

2x.xhxP(x)) hP(xLim(x)'f

0x=

−+−+

=→

Assim, quando a função é P(x) = x2, a taxa de variação instantânea (ou a derivada) possui a fórmula P '(x) = 2x. Portanto, para calcular a taxa de variação instantânea em x=3 (derivada em x=3), basta calcular P '(3):

P '(3) horatoneladas/ 632 =⋅=

Observe que o uso da fórmula simplificou o processo do cálculo da derivada em um ponto, não sendo mais necessário o cálculo repetitivo de várias taxas de variação média. Entretanto, essa fórmula não é única, pois a cada nova função fornecida o cálculo da derivada gera uma nova fórmula.

A seguir, são apresentadas algumas regras que permitem a obtenção dessas fórmulas quando a derivada é de funções polinomiais.

• Regra da Potência: para qualquer número real n, se f(x) = xn, então:

f '(x)=n . xn-1 ou 1nn xn)x (

x dd −⋅=

.

O que significa que, para calcular a derivada da função f(x) = xn, subtrai-se 1 do expoente e multiplica-se o resultado pelo expoente original.

Exemplo 7.2: Calcule a derivada de f(x) = x5. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 2.

Resolução:

LEITURAOBRIGATÓRIA

142

• Regra da Multiplicação por uma Constante: se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, c ⋅ f(x) também é uma função derivável e

( ) (x)fcx df dccf(x)

x dd ′⋅=⋅=

Exemplo 7.3: Calcule a derivada de f(x) = 10x3. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 4.

Resolução:

f '(x)= ( )3x0 1x d

d⋅

⇒ f '(x)= ( )3x

x dd0 1 ⋅

⇒ f '(x)=10 ⋅3. 1-3x

⇒ f '(x)=30x2.

Para x=4, f '(4)=30 24⋅ ⇒ f '(4)=30 . 16⇒ f '(4)=480.

• Regra da Soma ou Diferença: se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma ou a diferença, f(x)± g(x), também é uma função derivável e

( ) (x)g(x)fx dg d

x df dg(x)f(x)

x dd ′±′=±=± .

Isso significa que a derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas das parcelas.

Exemplo 7.4: Calcule a derivada de f(x) = 6x4 - 4x3 + 5x2. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 1.

Resolução:

f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )234234 x 5x d

dx 4x d

dx 6x d

dx 5x 4x 6x d

d+−=+−

⇒

f '(x)= ( ) ( ) ( ) 123234 x25x43x46xx d

d5xx d

d4xx d

d6 ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=+−

⇒ f '(x)=24x3-12x2+10x.

Para x=1, f '(1)=24 ⋅13-12 ⋅12+10⇒1⇒ f '(1)=24 - 12 +10 ⇒ f '(1)=22.

Observação: Quando a função é constante, f(x) = c, a derivada da função é igual a zero, pois não há taxa de variação em uma função constante, já que o valor da função nunca cresce e nunca decresce.

LEITURAOBRIGATÓRIA

143

Exemplo 7.5: Calcule a derivada de f(x) = x2+78. Em seguida, determine a taxa de variação instantânea da função f(x) em x = 8.

f '(x)= ( ) ( ) ( )

constante função uma e d Derivada

22 8 7x d

dxx d

d8 7xx d

d+=+

= 2x + 0⇒ f '(x)= 2x

Para x=8, f '(8)=2 ⋅8⇒ f '(8)=16.

Exemplo 7.6: O custo C para se beneficiar uma quantidade x de trigo é dado por C(x) = 3x2 + 500, em que C é dado em reais (R$) e x é dado em toneladas (ton.).

a) Determine a taxa de variação instantânea do custo quando x=7 toneladas.

b) Qual a inclinação m da reta tangente à curva C(x) quando x=7?

c) A função f(x) que descreve a reta tangente à curva representada por C(x) = 3x2 + 500 no ponto x=7.

Resolução:

a) Para encontrar a taxa de variação instantânea, deve-se calcular a derivada de C(x) no ponto x=7. Observe que, nesse exemplo, a função depende da variável x; portanto, a derivada deve ser feita com relação a essa variável. Assim, a derivada de C(x):

C '(x)= ( ) ( ) ( )500x d

dxx d

d3500x 3x d

d 22 +⋅=+ = 3 ⋅2 ⋅x + 0⇒ C '(x) = 6x

Para x=7, C '(7)=6 ⋅7⇒ C '(7)=6 ⋅7⇒ C '(7)=42 reais por tonelada.

A taxa de variação instantânea do custo, quando x = 7 toneladas, é de R$ 42,00 por tonelada.

b) A inclinação m da reta tangente no ponto x=7 é a própria taxa de variação instantânea dessa função neste ponto, ou seja, m =42.

c) Como estudado no Tema 2, a função que representa uma reta é dada por f(x) = mx + b. O valor m, conforme o item anterior, é igual a 42. A função f(x) parcialmente pronta é:

f(x) = 42x + b

Para descobrir o valor de b, basta observar que, quando duas funções são tangentes entre si, estas possuem um ponto em comum. Observe a Figura 7.3:

LEITURAOBRIGATÓRIA

144

Figura 7.3 Ponto em comum.

Observe pela Figura 7.3 que f(x0) = C(x0) = y0, ou seja, possuem o mesmo valor em x0.

Desta forma, como a reta tangencia a curva no ponto x=7 (enunciado), então, neste ponto, as duas funções (reta e curva) têm o mesmo valor, ou seja, f(7)=C(7). A partir dessa informação, é possível determinar b:

f(7)=C(7)

42 ⋅7+b = = 3 ⋅72 + 500

294+b=147+500

b= -294+647

b=353.

Assim, a função que descreve a reta tangente à curva C(x) = 3x2 + 500 no ponto x=7 é f(x) = 42x+353.

LEITURAOBRIGATÓRIA

145

LINKSIMPORTANTES


SitesAcesse o site IME-USP.Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/>. Acesso em: 15 nov. 2013. Contém conceitos sobre derivadas além de muitos exemplos sobre o tema. Há links que direcionam para outros temas relacionados a derivadas.

Acesse o site Matematiquês.Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=124>. Acesso em: 15 nov. 2013. Contém muitas informações sobre o cálculo da derivada. Além disso, contém muitas listas de exercícios para estudo. Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 6 nov. 2013. No campo para pesquisa digite derivada. Aparecerão vários e-books que contêm os conceitos sobre derivadas.

Vídeos Importantes Assista ao vídeo:Acesse o vídeo: Derivada | Técnicas de derivação 1 | Matemática.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=-HUO38vQIqI>. Acesso em: 15 nov. 2013. Este vídeo contém explicação das técnicas de derivação. O vídeo utiliza um formato bem didático.

146

Acesse o vídeo: Cálculo 1 / aula 14 - A Derivada como uma Função - parte 1.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=HK6DDx8G7ZU>. Acesso em: 15 nov. 2013. Este vídeo mostra uma teleaula ministrada na UNICAMP sobre introdução ao conceito de derivada.

LINKSIMPORTANTES

AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Na Leitura Obrigatória, definiu-se que a derivada de uma constante é igual a zero. Para comprovar este fato, construa o gráfico da função f(x) = 4, uma função constante. Em seguida, verifique a inclinação da reta com relação ao eixo horizontal e conclua sobre o resultado dessa derivada.

Outra conclusão interessante é sobre a função afim, estudada no Tema 2. A

função afim tem a forma f(x) =mx+b, em que m representa o coeficiente angular da reta (m ≠ 0) e b representa o coeficiente linear da reta. Determine a derivada da função f(x) =mx+b com relação à variável x. O que se pode dizer sobre a derivada dessa função?

Questão 2:

A taxa de variação instantânea de uma fun-ção produção P(x) no instante três horas é

147

15 reais/hora. Qual a inclinação m da reta tangente a essa função P(x) no ponto x= 3?

a) m = 3.

b) m = 5.

c) m = 15.

d) m = 20.

e) m = 25.

Questão 3:

A derivada da função f(x) = 12x3+5x2+10x-15 é:

a) f ' (x) =3x2+2x+10.

b) f ' (x) =3x3+2x2+10x.

c) f ' (x) =36x2+10x+10.

d) f ' (x) =36x3+10x2+10x.

e) f ' (x) =36x3+10x2+10x-15.

Questão 4:

A taxa de variação instantânea da função f(x)= 12x3+5x2+10x-15, em x = 2, é:

a) 121.

b) 174.

c) 213.

d) 257.

e) 291.

Questão 5:

A derivada da função f(x) = 2x100+3x50+4x25+x é:

a) f ' (x) =x99+x49+x24+1.

b) f ' (x) = x100+x50+x25+x.

c) f ' (x) =2x99+3x49+4x24+1.

d) f ' (x) =200x99+150x49+100x24+x.

e) f ' (x) =200x99+150x49+100x24+1.


Em uma indústria de cosméticos, considerou-se a produção como função do capital investido em equipamentos e estabeleceu-se P(x) = 3x2+10x-50, em que a produção P é dada em litros e o capital investido x é dado em milhares de reais.

Questão 6:

Utilize a derivada para determinar a taxa de variação instantânea da produção quando o capital investido é x = 8.

AGORAÉASUAVEZ

148

Questão 7:

Determine a inclinação m da reta tangente a essa função P(x) no ponto x = 10?

Atenção: As Questões de 8 a 10 devem ser respondidas com base no enunciado a seguir:

A produtividade de um funcionário, quando relacionada ao número x de horas trabalhadas, é descrita pela seguinte função:

P(x) = -1,5x2+15x+20.

Essa função produtividade considera a situação típica de um dia de trabalho, ou seja, em um turno de até dez horas de trabalho (0 ≤x ≤10).

Questão 8:Utilize a derivada para determinar a taxa de variação instantânea da produtividade quando o instante de trabalho é x = 3 ho-ras. Interprete o resultado.

Questão 9:

Utilizando ainda a derivada, determine a taxa de variação instantânea da produtivi-dade quando o instante de trabalho é x = 7 horas. Interprete o resultado.

Questão 10:

Encontre a função f(x) que descreve a reta tangente à curva representada por P(x) = -1,5x2+15x+20 no ponto x = 7 horas.

AGORAÉASUAVEZ

FINALIZANDO

Neste tema, você aprendeu a determinar a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto especificado a partir do cálculo da derivada. Com isso, foi possível encontrar a equação da reta tangente a essa curva.

Ainda neste tema, você também estudou a notação utilizada no cálculo da derivada. Aprendeu a utilizar as regras de derivação e as fórmulas para derivação de funções polinomiais. Por fim, você estudou alguns problemas que envolvem o cálculo da derivada.


149

REFERÊNCIAS



GLOSSÁRIO

Estimativa: cálculo aproximado que se faz de algo.

Instantâneo: que acontece em apenas um instante específico.

Secante: uma reta secante intercepta uma curva em dois pontos ou mais.

Tangente: uma reta tangente toca uma curva sem cortá-la, compartilhando um único ponto, conhecido como ponto de tangência.

150

GABARITO

Questão 1

Resposta: O gráfico da função f(x) = 4:

Observe que a reta representada pelo gráfico da função não tem inclinação (está na horizontal); logo, a derivada que representa a inclinação da reta tangente a essa curva também não tem inclinação; portanto, a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.

Com relação à função afim f(x) =mx+b:

f '(x)= ( ) ( ) ( ) 0mbx d

dxx d

dmbx mx d

d+=+=+ ⇒ f '(x)=m

Portanto, a derivada de uma função afim é sempre constante e corresponde ao coeficiente angular da reta descrita pela função f(x), neste caso, m.

151

Questão 2


Como explicado na teoria, a inclinação m da reta tangente em um ponto, por exemplo, no ponto x= 3, é a própria taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto, ou seja, m =15.

Questão 3


f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 1x d

dxx d

d0 1xx d

d5xx d

d2 15 110xx 512xx d

d 2323 −++=−++

⇒ f '(x)=36x2+10x+10

Questão 4


A derivada f(x) já foi determinada na Questão 3: f '(x)=36x2+10x+10

Para x=2, f '(2)= 36 ⋅22+10 ⋅2+10⇒ f '(2)=36 ⋅4+20+10⇒ f '(2)=174.

Questão 5

Resposta: Alternativa E

f '(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx d

dxx d

d4xx d

d3xx d

d2xx 4x 3x 2x d

d 5 20 51005 20 5100 +++=+++

⇒ f ' (x) =200x99+150x49+100x24+1.

Questão 6

Resposta: Inicialmente, calcula-se a derivada da função P(x) = 3x2+10x-50:

P '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )0 5-x d

dxx d

d0 1xx d

d30 5-10xx 3x d

d 22 ++=+

⇒ P '(x)=6x+10.

Para x=8, P '(8)= 6 ⋅8+10⇒ P '(8)=48+10⇒ P '(8)=58.

GABARITO

152

Significa que, no instante em que o capital investido é de R$ 8.000,00 (x=8), a produção de cosméticos está aumentando a uma taxa de 58 litros por mil reais de unidades investidas.

Questão 7

Resposta: A derivada P(x) já foi determinada na Questão 6: P '(x)=6x+10.

Para x=10, P '(10)= 6 ⋅10+10⇒ P '(10)=60+10⇒ P '(10)=70.

A inclinação m da reta tangente no ponto x=10 é a própria taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto, ou seja, m =70.

Questão 8

Resposta: Inicialmente, calcula-se a derivada da função P(x):

P '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )xx d

d0 2xx d

d5 1xx d

d1,520x15x1,5x-x d

d 22 ++−=++

⇒ P '(x)=-3x+15.

Para x=3, P '(3)= -3 ⋅3+15⇒ P '(3)=-9+15⇒ P '(3)=6.

Significa que o funcionário está aumentando sua produtividade em 6 unidades por hora no instante x = 3 horas. Isto, na prática, está relacionado ao início da jornada de trabalho, situação em que o funcionário está menos cansado.

Questão 9

Resposta: Inicialmente, calcula-se a derivada da função P(x):

P '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )xx d

d0 2xx d

d5 1xx d

d1,520x15x1,5x-x d

d 22 ++−=++

⇒ P '(x)=-3x+15.

Para x=7, P '(7)= -3 ⋅7+15⇒ P '(7)=-21+15⇒ P '(7)=-6.

Significa que o funcionário está diminuindo sua produtividade em 6 unidades por hora no instante x = 7 horas. Isto, na prática, está relacionado à proximidade do término da jornada de trabalho, situação em que o funcionário está mais cansado.

GABARITO

153

Questão 10

Resposta: A função que representa uma reta é dada por f(x) = mx + b. O valor m, conforme Questão 9, é -6 (pois a taxa de variação instantânea corresponde à inclinação da reta tangente no mesmo ponto). A função f(x) parcialmente pronta é:

f(x) = -6x + b

Para descobrir o valor de b basta observar que, quando duas funções são tangentes entre si, elas possuem um ponto em comum, ou seja, f(7) = P(7). Desta forma:

f(7)=P(7)

-6 ⋅7+b = = -1,5 ⋅72+15 ⋅7+20

-42+b=-1,5 ⋅49+105+20

b= 42-73,5+105+20

b=93,5.

Assim, a função que descreve a reta tangente à curva P(x)=-1,5x2+15x+20 no ponto x=7 é f(x) = -6x+93,5.

GABARITO

seções

Tema 08Aplicação da Derivada no Estudo das Funções das Áreas Econômicas e Administrativas

SeçõesSeções

Tema 08Aplicação da Derivada no Estudo das Funções das Áreas Econômicas e Administrativas


Caro(a) aluno(a).


Roteiro de Estudo:


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Conteúdo


• O conceito de custo marginal.

• A estimativa do custo marginal a partir do uso da derivada.

• Os conceitos de receita e lucro marginal.

• A estimativa da receita e do lucro marginal a partir do uso da derivada.

• O significado da função marginal em um problema prático.

• O ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática a partir do cálculo das derivadas.


158


LEITURAOBRIGATÓRIA

Habilidades


• O que são custo, receita e lucro marginal e como determiná-los?

• Como estimar o valor marginal utilizando a derivada?

• Como interpretar o valor marginal?

• Como encontrar o valor que maximiza ou minimiza uma função quadrática utilizando a derivada?

Aplicação da Derivada no Estudo das Funções das Áreas Econômicas e Administrativas

Introdução

Em algumas situações, um empresário pode ter de tomar a decisão de aumentar ou não o nível de produção. Para tanto, uma análise do lucro marginal (também custo marginal e receita marginal) pode mostrar a esse empresário se produzir mais e vender mais significa lucrar mais. Nas áreas de administração, contabilidade e economia, utiliza-se o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em uma função (que pode ser custo, receita ou lucro) por uma pequena variação na quantidade vendida ou produzida. Uma ferramenta prática para esse cálculo é a derivada.

Exemplo Prático – O Custo Marginal

Em uma indústria de calçados de luxo, na produção de x unidades de certo tipo de sapato, o custo C em reais foi estudado e estabelecido como C(x) = 0,2x3 – 15x2 +500x+3.

A partir dessas informações é possível determinar o custo, por exemplo, para a produção de 34 sapatos:

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C(34)=0,2 ⋅343–15 ⋅342+500 ⋅34+3⇒C(34)=7860,80-17340+17000+3

⇒C(34)=7523,80 reais

Também é possível determinar o custo de fabricação de 35 sapatos:

C(35)=0,2 ⋅353–15 ⋅352+500 ⋅35+3⇒C(35)=8575-18375+17500+3

⇒C(35)=7703 reais

Entretanto, se a empresa deseja saber apenas o custo para produzir o trigésimo quinto sapato (35o), deve-se subtrair do custo de produção de 35 sapatos o custo de produção de 34 sapatos, ou seja:

C(35) – C(34) = 7703-7523,80 = 179,20 reais.

Pode-se também interpretar este resultado como: no nível de produção de 34 unidades de sapatos, o custo adicional para a produção de mais uma unidade é de R$ 179,20. A esse tipo de custo dá-se o nome de custo marginal.

O custo marginal, quando a produção é de 34 unidades de sapatos, é de R$ 179,20 por unidade.

Para o cálculo do custo marginal, alguns economistas, pela praticidade e rapidez, preferem utilizar a derivada, apesar de a derivada ser apenas uma aproximação para esse caso. Isso acontece porque o cálculo da derivada pressupõe o número de sapatos como uma variável contínua. Assim, a derivada da função C(x) no ponto x = 34 é:

C( ) 0x500x215x30,23500x15x0,2x

dxd 0223 +⋅+⋅⋅−⋅⋅=++−

(x)= ( ) 0x500x25 1x30,23500x15x0,2xx d

d 0223 +⋅+⋅⋅−⋅⋅=++− ⇒

C '(x)= 150030x0,6x2 ⋅+− ⇒ C '(x)=0,6x2-30x+500

Para x=34, C '(34)=0,6 ⋅342-30 ⋅34+500⇒ f '(1)=693,6 - 1020 +500 ⇒ ' C '(34)=173,60 reais por unidade.

Portanto, por meio do cálculo da derivada, o custo marginal, quando a produção é de 34 unidades, é C ' (34) = R$ 173,60 por unidade. O valor do custo marginal por meio da derivada é uma boa aproximação para o custo marginal real, que, conforme obtido anteriormente, é de R$ 179,20. O que significa que o uso da derivada em algumas situações pode simplificar o cálculo deste custo. Nos próximos cálculos da função marginal será utilizada apenas a derivada.

LEITURAOBRIGATÓRIA

160

Exemplo Prático – A Receita Marginal

A empresa de calçados de luxo, após estudos, avalia que a função receita, para até certo nível de vendas, é dada pela função R(x)= 0,2x3 – 16x2 +600x. Essa função foi obtida, pois a empresa avaliou que o preço em relação à demanda x é p =0,2x2 – 16x +600. Além disso, vale a relação R = p ⋅x, em que a receita é igual a preço p multiplicado pela quantidade vendida x.

Essa empresa pode estimar a variação da receita quando o nível de vendas é de 34 sapatos, ou seja, a empresa pode determinar a receita para a venda do 35o sapato, o que significa encontrar a receita marginal quando o nível de vendas é de 34 sapatos. Para isso, é necessário obter a função receita marginal. Derivando a função:

R '(x)= ( ) 0223 x600x26 1x30,2600x16x0,2xx d

d⋅+⋅⋅−⋅⋅=+−

⇒

R '(x)= 160032x0,6x2 ⋅+− ⇒ R '(x)=0,6x2-32x+600.

O valor da receita marginal quando x = 34 unidades:

R '(34)=0,6 ⋅342-32⇒34+600⇒R '(1)=693,6 - 1020 +600 ⇒

⇒R '(34)=205,6 reais por unidade.

Portanto, a receita marginal, quando o nível de vendas é de 34 sapatos, é de R$ 205,6. Isto significa que, na venda do 35o sapato, a empresa terá um aumento de R$ 205,6 na receita.

Exemplo Prático – O Lucro Marginal

Considerando quantidade vendida igual à quantidade produzida, a função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo:

L = R-C

L = 0,2x3 – 16x2 +600x – (0,2x3 – 15x2 +500x+3)

L = 0,2x3 – 16x2 +600x – 0,2x3 + 15x2 -500x-3

L = -x2 +100x-3

Essa empresa pode estimar a variação do lucro quando o nível de vendas é igual a 34 sapatos, ou seja, a empresa pode determinar o lucro para a venda do 35o sapato, o que

LEITURAOBRIGATÓRIA

161

significa encontrar o lucro marginal quando o nível de vendas é igual a 34 sapatos. Para isso, incialmente, é necessário obter a função lucro marginal. Derivando a função lucro:

L '(x)= ( ) 0x100x2 -3-100xx-x d

d 02 −⋅+⋅=+ ⇒L '(x)=-2x+100.

O valor do lucro marginal quando x = 34 unidades: L '(34)= -2 ⋅34+100 = 32 reais por unidade.

Portanto, o lucro marginal, quando o nível de vendas é de 34 sapatos, é de R$ 32,00 por unidade. Isso significa que, na venda do 35o sapato, a empresa terá um aumento no lucro de R$ 32,00.

Considere a situação em que a empresa deseja determinar o lucro marginal quando o nível de vendas é igual a 52 unidades. Assim, para x = 52 unidades:

L '(52)= -2 ⋅52+100 = -4 reais por unidade.

Esse valor negativo indica que, na venda do 53o sapato, haverá uma redução de R$ 4,00 no lucro da empresa. Observe que, neste caso, a redução do lucro não significa que a empresa terá prejuízo ao vender 52 unidades de sapatos, mas sim um lucro menor em R$ 4,00.

Exemplo Prático – O Lucro Máximo

O ponto de máximo de uma função quadrática pode ser determinado pelo cálculo da derivada. Parte-se do princípio de que, no vértice da parábola (onde ocorre o máximo ou mínimo da função), a reta tangente tem inclinação igual a zero, ou seja, está na horizontal.

Assim, como a derivada fornece a inclinação da reta tangente, basta derivar a função quadrática e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto em que a reta tangente está na horizontal, ou seja, para encontrar o ponto de mínimo ou de máximo. Observe a Figura 8.1:

LEITURAOBRIGATÓRIA

162

Figura 8.1 Ponto de máximo ou de mínimo da função.

Como o cálculo da derivada da função lucro já foi determinado anteriormente, tem-se que:

L '(x)=-2x+100.

Vale lembrar que o resultado da derivada de uma função também representa a inclinação m da reta tangente à função em um ponto x qualquer, ou seja:

mtangente=-2x+100.

Agora, para obter o ponto de máximo da função, iguala-se a inclinação a zero, ou seja, determina-se o valor de x em que a reta está na horizontal.

mtangente=0⇒ -2x+100 = 0 ⇒ x = 50 unidades

O lucro máximo ocorre quando x = 50 unidades com um valor correspondente a:

L(50) = -502 +100 ⋅50-3⇒ L(50) = -502 +100 ⋅50-3 = 2497,00 reais.

Portanto, a partir da função lucro L = -x2 +100x-3, para a empresa maximizar o lucro, ela deve produzir e vender 50 sapatos gerando um lucro de R$ 2.497,00.

Este processo é equivalente a encontrar o vértice da parábola, como aprendido no Tema 2. Para outros tipos de funções polinomiais de grau maior que dois, a derivada torna-se uma excelente ferramenta na busca dos mínimos e máximos locais.

LEITURAOBRIGATÓRIA

163

LINKSIMPORTANTES


SitesLeia o texto Matemática aplicada à Administração.Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAu70AH/matematica-aplicada-a-administracao>. Acesso em: 13 nov. 2013. Texto bem completo sobre a função marginal. O arquivo do site mostra a resolução de diversos exercícios.

Leia a definição de Custo marginal.Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Custo_marginal>. Acesso em: 13 nov. 2013. Contém a definição formal sobre a função marginal com a aplicação desse conceito em economia. Acesse o site da Biblioteca Virtual da Anhanguera.Disponível em: <http://www.anhanguera.com/bibliotecas/biblioteca-virtual/curso/ead/administracao>. Acesso em: 11 nov. 2013. No campo para pesquisa, digite derivada. Aparecerão vários e-books que contêm os conceitos sobre derivadas (com aplicação na determinação das funções marginais).

Vídeos ImportantesAssista ao vídeo:Funções Marginais Aplicadas à Administração.Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=NTqgZc_m9b0>. Acesso em: 11 nov. 2013. Este vídeo mostra a resolução de diversos exercícios relacionados a funções marginais aplicadas à administração e economia.

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AGORAÉASUAVEZ

Instruções:


Questão 1:

Considere a situação em que uma empresa gasta C(x) = mx+b para produzir uma quantidade x de um produto, em que m e b são constantes. Utilizando a derivada, determine a função marginal do custo para um nível de produção x. Explique o resultado obtido comentando o comportamento da função marginal para qualquer valor de x.


Em uma indústria, na produção de x unidades de certo tipo de peça metálica, o custo C em reais foi estudado e estabelecido como C(x) = 0,2x3 – 4x2 +30x+50.

Questão 2:

O custo da produção para a fabricação da 12a peça foi de:

a) a) R$ 179,60.

b) b) R$ 162,20.

c) c) R$ 112,20

d) d) R$ 62,20.

e) e) R$ 17,40.

Questão 3:

A partir do cálculo da derivada, a função custo marginal de C(x) é:

165

a) C ' (x) =3x2-4x+30.

b) C ' (x) =6x2-8x+30.

c) C ' (x) =0,6x2-4x+30.

d) C ' (x) =0,6x2-8x+30.

e) C ' (x) =0,2x2-4x+30.

Questão 4:

Utilizando a função custo marginal obtida na Questão 3, determine o custo marginal quando o nível de produção é x= 11 peças.

a) R$ 10,00.

b) R$ 14,60.

c) R$ 15,40.

d) R$ 58,60.

e) R$ 62,00

Questão 5:

Sem utilizar a derivada, qual o custo mar-ginal quando o nível de produção é x = 11 peças.

a) R$ 14,60.

b) R$ 15,40.

c) R$ 17,40.

d) R$ 58,60.

e) R$ 62,20.


Em uma indústria têxtil, a receita na venda de certo tipo de toalha de mesa é dada por R(x) = -0,005x2+20x, em que 4000x0 ≤≤ . O custo para a produção dessas toalhas é dado por C(x) = 2x+5000. A variável x representa as quantidades de tolhas produzidas e vendidas.


a) A função lucro.

b) A função lucro marginal. Para este cál-culo, utilize a derivada.

Questão 7:

Obtenha o lucro marginal nos níveis de produção x = 600 e x = 1950 unidades. Interprete os resultados.

Questão 8:Determine a receita e o custo marginal quando x = 1950 unidades. Compare o re-sultado com o obtido na Questão 7.

Questão 9:Utilizando a derivada, determine a quanti-dade x que fornece a receita máxima. De-termine também a receita máxima.

AGORAÉASUAVEZ

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Questão 10:

Utilizando a derivada, determine a quantidade x que fornece o lucro máximo. Determine também o lucro máximo.

AGORAÉASUAVEZ

FINALIZANDO

Neste tema, você aprendeu o conceito sobre função marginal, incluindo o estudo sobre custo, receita e lucro marginal. Além disso, você aprendeu que é possível estimar a função marginal por meio do uso da derivada. Estudou também problemas aplicados ao uso da função marginal. Por fim, estudou uma importante aplicação da derivada, que é a obtenção de pontos de máximos e mínimos.


REFERÊNCIAS



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GLOSSÁRIO

Contínua: uma variável contínua é aquela que pode assumir qualquer valor numérico.

Instantâneo: que acontece em apenas um instante específico.

Marginal: uma produção marginal é a quantidade extra produzida por uma unidade de produção.

Tangente: uma reta tangente toca uma curva sem cortá-la, compartilhando um único ponto, conhecido como ponto de tangência.

GABARITO

Questão 1

Resposta: Derivando a função C(x) =mx+b:

C '(x)= ( ) ( ) ( ) 0mbx d

dxx d

dmbx mx d

d+=+=+ ⇒ C '(x)=m

A função marginal obtida é constante, e a variável x não aparece na função marginal. Isso significa que, para qualquer valor de x, o custo marginal se manterá constante com valor igual a m. Assim, o custo de produção aumenta sempre a uma mesma taxa m, independentemente da quantidade x produzida.

Questão 2


168

Primeiro, calcula-se o custo para a produção de 11 peças:

C(11)=0,2 ⋅113–4 ⋅112+30 ⋅11+50⇒C(11)=266,2-484+330+50

⇒C(11)=162,2 reais.

Em seguida, o custo para a produção de 12 peças:

C(12)=0,2 ⋅123–4 ⋅122+30 ⋅12+50⇒C(12)=345,6-576+360+50

⇒C(12)=179,6 reais

O custo para a fabricação da 12a peça é:

C(12) – C(11) = 179,6-162,2 = 17,4 reais.

Portanto, o custo para fabricar a 12a peça é R$ 17,40.

Questão 3


C '(x)= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5x d

dxx d

d0 3xx d

d4xx d

d0,20 530xx 40,2xx d

d 2323 ++−=++−

⇒ C ' (x) =0,6x2-8x+30.

Questão 4


A função custo marginal obtida no item anterior é C ' (x) =0,6x2-8x+30.

Para x=11, C ' (11) =0,6 ⋅112-8 ⋅11+30⇒ C '(11)=14,6 reais.

Questão 5


Na Questão 2, calculou-se o custo para a fabricação da 12a peça, sendo o resultado obtido de R$ 17,40. Isto significa que, no nível de produção de 11 peças, o custo adicional para a produção de mais uma unidade é de R$ 17,40, ou seja, isso representa o custo marginal.

Portanto, o custo marginal, quando o nível de produção é x=11 peças, é de R$ 17,40.

GABARITO

169

Questão 6

Resposta: a) A função lucro.

L =R – C ⇒L = -0,005x2+20x – (2x+5000) ⇒ L=-0,005x2+20x–2x- 5000

⇒ L(x)= -0,005x2+18x - 5000

b) A função lucro marginal. Para esse cálculo, utilize a derivada.

L '(x)= ( ) ( ) ( ) ( )5000x d

dxx d

d8 1xx d

d0,005500018x0,005x-x d

d 22 ++−=++

⇒ L '(x) = -0,01x+18.

Questão 7

Resposta: - Para x=600, L '(600)=-0,01 ⋅600+18 ⇒ L '(600)=-6+18⇒ L '(600)=12.

Isto significa que, na venda da 601a toalha, haverá um aumento de R$ 12,00 no lucro da empresa.

- Para x=1950, L '(1950)=-0,01 ⋅1950+18 ⇒ L '(1950)=-19,5+18

⇒ L '(1950)=-1,5.

Isto significa que, na venda da 1951a toalha, haverá uma redução de R$ 1,50 no lucro da empresa.

Questão 8

Resposta: Inicialmente, é necessário determinar a função receita marginal. Derivando a função receita:

R '(x)= ( ) ( ) ( )xx d

d0 2xx d

d0,00520x0,005x-x d

d 22 +−=+

⇒ R '(x) = -0,01x+20.

- Para x=1950, R '(1950)=-0,01 ⋅1950+20 ⇒ R⇒(1950)=-19,5+20⇒

R '(1950)=0,5.

GABARITO

170

Em seguida, determinar a função custo marginal. Derivando a função custo:

C(x) = 2x+5000

C '(x)= ( ) ( ) ( )5000x d

dxx d

d25000x 2x d

d+=+ ⇒ C '(x) = 2.

A função custo marginal é constante, independe da quantidade x. Portanto, para x = 1950, o custo marginal é de R$ 2,00.

Assim, como para x = 1950 a receita e o custo marginal são, respectivamente, R$ 0,50 e R$ 2,00, então o lucro marginal é:

L '(x)= 0,50 – 2,00 = -1,50 reais

Isto significa que, na venda da 1951a toalha, haverá um aumento de R$ 0,50 na receita da empresa e um aumento do custo de R$ 2,00. Entretanto, como o aumento do gasto é maior que o aumento da receita, não haverá aumento no lucro, e sim decréscimo de R$ -1,50. Esse resultado corresponde ao mesmo obtido na Questão 7.

Questão 9

Resposta: Como o cálculo da derivada da função receita já foi determinado na Questão 8, tem-se:

R '(x) = -0,01x+20.

Como estudado, deve-se igualar a função que foi derivada a zero para obter a quantidade x que fornece a receita máxima:

0 = -0,01x+20.

0,01x = 20.

X = 2000.

Portanto, a receita máxima ocorre quando x = 2000 unidades com um valor correspondente a:

R(2000) = -0,005 ⋅20002+20 ⋅2000⇒ R(2000) = -20000+40000 ⇒

R(2000) = 20000 reais.

Portanto, para a empresa maximizar a receita, ela deve vender 2000 toalhas de mesa, gerando um lucro de R$ 20.000,00.

GABARITO

171

GABARITOQuestão 10

Resposta: Como o cálculo da derivada da função lucro já foi determinado na Questão 6, tem-se:

L '(x) = -0,01x+18.

Igualando a função que foi derivada a zero:

0 = -0,01x+18.

0,01x = 18.

X = 1800.

Portanto, o lucro máximo ocorre quando x = 1800 unidades com um valor correspondente a:

L(1800) = -0,005 ⋅18002+18 ⋅1800-5000⇒ L(1800) = -16200+32400-5000 ⇒ L(1800) = 11200 reais.

Portanto, para a empresa maximizar o lucro, ela deve produzir e vender 1.800 toalhas de mesa, gerando um lucro de R$ 11.200,00.

Comparando com a Questão 9, o valor de x que maximiza a receita não é o mesmo que maximiza o lucro. Isto acontece porque a função lucro está relacionada à função custo, por meio da fórmula L=R-C.

Documents

ADM3_Matematica_Aplicada