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ii
Agradecimentos
À Professora Doutora Lina Fonseca e ao Professor Doutor David F. Rodrigues,
orientadores deste trabalho, pela disponibilidade, interesse e pelas sugestões preciosas
que me proporcionaram na sua realização.
Ao Professor António Osório e ao Professor Pedro Palhares, pelo apoio e
colaboração concedidos.
Aos alunos e à professora da turma que, amável e pacientemente, se dispuseram
a colaborar comigo, na realização deste projecto, tornando assim possível a sua
concretização.
Aos meus pais e restante família, pelos incondicionais apoios, incentivos e
ajudas que sempre me proporcionaram.
Aos meus colegas de mestrado, pela amizade, solidariedade e camaradagem.
E ao Carlos, ao André e à Carolina, por tudo o que eles sabem e que ternamente
entre nós se guarda e perdura: os afectos, as emoções, o companheirismo e a constante
presença, apesar das minhas obrigadas ausências.
A todos, a minha gratidão.
iii
Resumo
Esta investigação incidiu no estudo da relação entre a Língua Portuguesa e a
aprendizagem da Matemática, nos aspectos fundamentais da interpretação e
compreensão de enunciados de problemas, ao nível da resolução/formulação de
problemas e actividades de investigação matemática. Neste âmbito, foram identificados
três conjuntos de questões: 1) Como se caracteriza o desempenho de alunos do 4.º de
escolaridade, na resolução de problemas? Que competências manifestam? Como
evoluíram essas competências ao longo do estudo? 2) Que dificuldades manifestam os
mesmos alunos, ao nível da interpretação/compreensão de enunciados matemáticos,
quando resolvem problemas? Que dificuldades manifestam em Matemática? Como
justificar e ultrapassar estas dificuldades? 3) Como caracterizar a influência da Língua
Portuguesa na resolução de problemas de Matemática, explorados pelos mesmos alunos
do 4.º ano de escolaridade do 1.º ciclo do EB?
Foi realizado um estudo de caso. A recolha de dados realizou-se numa turma do
4.º ano do 1.º ciclo do Ensino Básico (EB), envolvendo quatro pares de alunos com
nove anos de idade. Foram aplicados questionários à professora e alunos, fez-se
observação participante e o registo áudio e vídeo do trabalho desenvolvido nas aulas,
foram analisados os documentos escritos dos alunos relativos às tarefas e registadas
algumas notas de campo. No final, foram feitas entrevistas, tanto aos alunos como à
professora. A análise de dados possibilitou a verificação das competências e das
dificuldades manifestadas. A selecção das estratégias adequadas na resolução das
tarefas e a comunicação oral e escrita dos raciocínios foram as dificuldades mais
evidenciadas, porque os alunos estranharam o facto de não ter de usar directamente os
algoritmos das operações básicas e, ainda, provavelmente, por terem poucos hábitos de
explicar, justificar e expor na aula de Matemática. No entanto, foi a este nível que os
alunos revelaram maior evolução ao longo do estudo. Os pares que manifestaram maior
número de competências em Língua Portuguesa, como leitura, interpretação e
compreensão adequadas dos enunciados, tiveram maior facilidade em resolver as tarefas
matemáticas. Este estudo permite, desde já, adiantar que, em princípio, a Língua
Portuguesa influencia o desempenho dos alunos do 4.º ano de escolaridade do EB na
resolução/formulação de problemas e investigações matemáticas. Por isso, será de
concluir que quanto maior e melhor for o domínio da Língua Portuguesa, maior e
melhor será o seu desempenho em Matemática.
iv
Abstract
This investigation focused on the relationship between Portuguese Language and
Mathematics learning, in the main aspect of problem text interpretation and
understanding, at the level of the posing/solving mathematical problems and
investigations. At this extent three sets of questions has been identified: 1) How can we
characterise the performance of 4th grade children in problem solving? Which skills do
they reveal? How did they evolve during the study? 2) Which difficulties do those
students reveal, concerning with problem text interpretation and understanding when
they solve problems? Which difficulties do those students reveal in mathematics? How
can we explain and overtake these difficulties? 3) How can we characterise the
influence of Portuguese Language in mathematical problem solving, when 4th grade
children explore them?
A case study was made. Data collection was made in 4th grade class, and it evolved
four pairs of nine years old students. Questionnaires were applied to the class teacher
and to the students, participant observation, audio and video recording of the class work
was made and the written documents produced by the students, during their work, were
analysed. Some work notes were registered also. In the end, some interviews to the
teacher and to the students were made.
Data analysis made possible the verification of the skills and of the difficulties
shown by the students. The selection of the adequate strategies in problem solving and
oral and written communication were the most noticeable difficulties, because it was
strange to the students the fact that they could not use directly basic operations
algorithms and they probably would have few explanation, justification and clarifying
habits in mathematics class. Nevertheless it was at this level that students improved
their performances all along the study. The pairs, who showed a higher number of skills
in Portuguese Language, such as reading, interpretation and understanding of problem
solving texts, solved the mathematics tasks more easily.
This study allows to say beforehand that Portuguese Language seems to affect the
performance of 4th grade students in solving and posing problems and in mathematics
investigations. Thus, we can conclude that grater and better domain of the Portuguese
Language by the students, the greater and better their performance in mathematics.
v
Índice
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO...............................................................................................................1
PROBLEMA E SEU ENQUADRAMENTO........................................................................................................1
QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO...................................................................................................................2
PERTINÊNCIA DO ESTUDO.........................................................................................................................3
ESTRUTURA DO TRABALHO......................................................................................................................4
CAPÍTULO II - REVISÃO DE LITERATURA ................ .....................................................................5
A LÍNGUA PORTUGUESA NO CURRÍCULO DO 1.º CICLO DO EB: COMPETÊNCIAS ESSENCIAIS.....................5
PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR DA LÍNGUA PORTUGUESA.....................................................................7
O ORAL E O ESCRITO: MECANISMOS COGNITIVOS E LINGUÍSTICOS NA COMPREENSÃO DE TEXTOS............9
CONHECIMENTO LINGUÍSTICO AO NÍVEL DA L ÍNGUA PORTUGUESA.......................................................17
INDICADORES DE DIFICULDADES NA COMPREENSÃO DE TEXTOS.............................................................21
LÍNGUA PORTUGUESA E MATEMÁTICA : COMPETÊNCIAS TRANSVERSAIS................................................24
A Linguagem.....................................................................................................................................26
A Comunicação.................................................................................................................................27
RESULTADOS DE ESTUDOS DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA /LÍNGUA PORTUGUESA.............................32
A IMPORTÂNCIA DA RESOLUÇÃO/FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS E ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO EM
MATEMÁTICA .........................................................................................................................................35
RESUMO.................................................................................................................................................44
CAPÍTULO III - METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO........ .......................................................46
OPÇÕES METODOLÓGICAS.....................................................................................................................46
CONTEXTO DA INVESTIGAÇÃO ...............................................................................................................47
A professora......................................................................................................................................48
Alunos participantes .........................................................................................................................48
Os pares do estudo............................................................................................................................49
INSTRUMENTOS PARA RECOLHA DE DADOS............................................................................................51
As tarefas ..........................................................................................................................................51
Questionários....................................................................................................................................54
Observação participante...................................................................................................................54
Documentos escritos dos alunos.......................................................................................................55
Registo áudio e vídeo........................................................................................................................55
Notas de campo.................................................................................................................................56
Entrevistas ........................................................................................................................................56
ANÁLISE DOS DADOS..............................................................................................................................56
CALENDARIZAÇÃO DA INVESTIGAÇÃO ...................................................................................................58
CAPÍTULO IV - INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA............... .............................................................60
APRESENTAÇÃO DOS PARES PARTICIPANTES..........................................................................................60
Par A: Rodolfo e Marta ....................................................................................................................60
Par B: Ricardo e Rui Pedro..............................................................................................................61
vi
Par C: Diogo e Alexandre ................................................................................................................61
Par D: Filipa e Pedro Miguel...........................................................................................................62
Resumo..............................................................................................................................................63
TAREFAS INTRODUTÓRIAS......................................................................................................................63
TAREFAS EFECTIVAS NO ÂMBITO DO ESTUDO.........................................................................................64
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS...................................................................................................................64
Par A: Rodolfo e Marta ....................................................................................................................64
Par B: Ricardo e Rui Pedro..............................................................................................................70
Par C: Diogo e Alexandre ................................................................................................................76
Par D: Filipa e Pedro Miguel...........................................................................................................82
ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA .....................................................................................87
Par A: Rodolfo e Marta ....................................................................................................................87
Par B: Ricardo e Rui Pedro..............................................................................................................90
Par C: Diogo e Alexandre ................................................................................................................93
Par D: Filipa e Pedro Miguel...........................................................................................................97
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS.............................................................................................................100
Par A: Rodolfo e Marta ..................................................................................................................101
Par B: Ricardo e Rui Pedro............................................................................................................103
Par C: Diogo e Alexandre ..............................................................................................................105
Par D: Filipa e Pedro Miguel.........................................................................................................106
CAPÍTULO V - ANÁLISE DOS DADOS............................................................................................109
ANÁLISE DOS QUESTIONÁRIOS APLICADOS AOS PARES DE ESTUDO.......................................................109
ANÁLISE DO DESEMPENHO DOS PARES NAS TAREFAS...........................................................................109
Par A: Rodolfo e Marta ..................................................................................................................109
Par B: Ricardo e Rui Pedro............................................................................................................117
Par C: Diogo e Alexandre ..............................................................................................................124
Par D: Filipa e Pedro Miguel.........................................................................................................130
ANÁLISE COMPARATIVA DO DESEMPENHO DOS PARES NAS TAREFAS ...................................................135
Competências manifestadas nos vários tipos de tarefas................................................................135
Análise comparativa das dificuldades evidenciadas.......................................................................137
CAPÍTULO VI – CONCLUSÕES ........................................................................................................141
RESPOSTAS ÀS QUESTÕES DA INVESTIGAÇÃO.......................................................................................141
LIMITAÇÕES DO ESTUDO E RECOMENDAÇÕES PARA INVESTIGAÇÕES FUTURAS....................................148
CONSIDERAÇÕES FINAIS.......................................................................................................................149
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................................151
ANEXOS .................................................................................................................................................157
1
CAPÍTULO I – Introdução Neste capítulo, é identificado o problema de estudo e é apresentado o seu
enquadramento teórico. Seguem-se as questões de investigação, a pertinência do estudo
e a estrutura do trabalho.
Problema e seu enquadramento
Este estudo tem como finalidade analisar a relação entre a Língua Portuguesa e a
aprendizagem da Matemática nos aspectos fundamentais da interpretação e
compreensão de enunciados de problemas, ao nível da resolução/formulação de
problemas e de actividades de investigação matemática.
O trabalho desenvolvido surge da necessidade de investigar as dificuldades
manifestadas, neste domínio, pelos alunos do 4.º ano, dificuldades que constituem uma
preocupação constante, para os profissionais de educação e população escolar em geral.
Este estudo estará orientado para tarefas de resolução/formulação de problemas
e de investigação matemática, por constituírem desafios para os alunos, levando-os a
explorar a Língua Portuguesa, ao nível da escrita como do oral, para que possam
explorar, fazer e testar conjecturas, decodificar, interpretar e compreender o que lhes é
solicitado, aquando da sua concretização.
Privilegiar-se-á um estudo que nos permita verificar se os alunos, com aptidão
para interpretar e compreender enunciados orais e escritos, têm ou não mais facilidade e
resultados mais positivos em Matemática, nomeadamente, na resolução/formulação de
problemas e investigações matemáticas. Procurar-se-á verificar em que medida a Língua
Portuguesa poderá contribuir, ao nível da compreensão e interpretação, para um melhor
desempenho, na resolução de problemas, perceber como se poderá estabelecer essa
relação e porquê. A aplicação de tarefas que envolvem textos é fundamental na
Matemática, porque estimula a aprendizagem, favorece o espírito crítico e cooperativo,
e promove a comunicação entre os alunos. O bom domínio de textos em Língua
Portuguesa é, portanto, essencial no desenvolvimento e na aprendizagem da
Matemática.
Ponte, Costa, Rosendo, Maia, Figueiredo e Dionísio, citados por Mamede
(2002), referem:
2
A resolução de problemas pode proporcionar momentos bastante enriquecedores
na sala de aula, onde a descoberta, e exploração e as interacções podem
constituir aspectos marcantes. Neste quadro, a comunicação e as interacções são
aspectos indissociáveis no contexto de resolução de problemas (p.115).
As tarefas de resolução/formulação de problemas e investigações matemáticas
permitem a interligação entre a Língua Portuguesa e a Matemática, através da
comunicação, considerada aspecto transversal da aprendizagem desta última área:
A comunicação inclui a leitura, a interpretação e a escrita de pequenos textos de
matemática, sobre a matemática ou em que haja informação matemática. Na
comunicação oral, são importantes as experiências de argumentação e de
discussão em grande ou em pequeno grupo, assim como a compreensão de
pequenas exposições do professor. O rigor da linguagem, assim como o
formalismo, devem corresponder a uma necessidade sentida e não uma
imposição arbitrária (DEB, 2001, p. 70).
A Matemática, como é referida no Currículo Nacional do Ensino Básico -
Competências Essenciais do 1.º Ciclo do Ensino Básico, “constitui um património
cultural da humanidade e um modo de pensar. A sua apropriação é um direito de todos”
(DEB, 2001, p.57). Ao longo do percurso escolar da educação básica, todos deverão ter
oportunidade de desenvolver, entre outras competências “a aptidão para discutir com
outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas através do uso de uma linguagem,
escrita e oral, não ambígua e adequada à situação” (Ibidem, p.57).
De modo semelhante, o aspecto da comunicação aparece referido, também, nas
Normas (NCTM, 1991):
Relacionar a linguagem de todos os dias com a linguagem e os símbolos
matemáticos e compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir
Matemática são uma parte vital da aprendizagem e da utilização da Matemática
(p.33).
Questões de investigação
1- Como se caracteriza o desempenho de alunos do 4.º de escolaridade, na resolução
de problemas? Que competências manifestam? Como evoluíram essas competências ao
longo do estudo?
2- Que dificuldades manifestam os mesmos alunos, ao nível da
interpretação/compreensão de enunciados matemáticos, quando resolvem problemas?
3
Que dificuldades manifestam em Matemática? Como justificar e ultrapassar estas
dificuldades?
3- Como caracterizar a influência da Língua Portuguesa na resolução de problemas
de Matemática, explorados pelos mesmos alunos do 4.º ano de escolaridade do 1.º ciclo
do EB?
Pertinência do estudo
Na perspectiva de formar seres dinâmicos, numa sociedade cada vez mais
exigente, a função primordial dos sistemas de ensino é promover a qualidade do ensino
e aprendizagem. Idealiza-se, por isso, uma educação direccionada para o sucesso
escolar e profissional. No entanto, os resultados do Relatório Nacional das Provas de
Aferição do EB aplicadas ao 4.º ano, no ano de 2003/04 (DGIDC, 2006), revelaram que
os alunos portugueses evidenciavam dificuldades de leitura na Matemática e na
linguagem. Ao analisar estes resultados, por temas e tipos de competências, observa-se
que os resultados mais fracos incidem no cruzamento da Geometria e Medida com a
resolução de problemas, com o raciocínio e com a comunicação. A comunicação em
geral é um aspecto relevante na aprendizagem. Contribui para dar sentido às mensagens
trocadas na sala de aula, entre professores e alunos, nomeadamente, a participação em
debates, discussões relativas aos conteúdos trabalhados, entre outros. Neste sentido,
devem ser criadas oportunidades de comunicação, transformando a sala de aula num
espaço de conhecimento partilhado, onde são criadas oportunidades de construção, de
modificação e de integração de ideias. Além disso, a interacção entre professores e
alunos facilita as aprendizagens e ameniza problemas que possam surgir neste âmbito.
A dificuldade ao nível da comunicação constitui, segundo Mamede (2002),
Ponte e Serrazina (2000), entre outros autores, um problema que atinge os nossos
alunos. Na maioria das vezes, as dificuldades manifestadas, na expressão das ideias e
dos raciocínios, são devidas aos hábitos de leitura dos alunos. Neste contexto, o
vocabulário activo é reduzido e pouco diversificado. Assim, nem sempre os signos
linguísticos são adequados, porque não existe uma correspondência correcta entre o
significado e o significante. Esta incapacidade gera alterações na
interpretação/compreensão dos enunciados. À semelhança dos resultados da
Matemática, também, os de Língua Portuguesa, ao nível da compreensão da leitura e
expressão escrita e conhecimento explícito da língua, apontam no mesmo sentido.
4
Pretende-se, por isso, analisar a relação da Língua Portuguesa com a
aprendizagem da Matemática, articulando e promovendo a interdisciplinaridade entre as
duas áreas. Pretende-se, ainda, conhecer as razões que estão na base dos referidos
resultados, tanto em Língua Portuguesa como em Matemática, e analisar a possível
influência da primeira na aprendizagem da segunda.
Estrutura do trabalho
Para além do presente capítulo, o estudo está organizado em mais cinco
capítulos. No segundo capítulo, é apresentada a revisão de bibliografia, sendo abordados
diversos temas relacionados com o domínio da Língua Portuguesa, particularmente no
que concerne à compreensão e interpretação de textos, em situações de
resolução/formulação de problemas e investigações matemáticas. Neste processo, estão
envolvidos mecanismos cognitivos e linguísticos, nomeadamente aos níveis da
semântica, da sintaxe e da lexicologia. Além disso, o que vai ser compreendido pelo
aluno depende não só da macro e da microestrutura do texto, mas também da sua
enciclopédia pessoal, quer em termos específicos, quer em termos culturais gerais, a par
da sua capacidade de análise e inferência, sobre o tema em estudo. São abordados,
também, aspectos comuns às duas áreas, nomeadamente quanto à comunicação. Neste
sentido, a Língua Portuguesa funciona como um precioso instrumento na aprendizagem
da Matemática, porque constitui e contempla, interdisciplinarmente, competências
transversais às duas áreas. São, ainda, abordados aspectos relevantes sobre a
resolução/formulação de problemas e investigações matemáticas, referidos em Afonso
e Gabriel (2001), Borralho (2004), DEB (2001), Serrazina, Vale, Fonseca e Pimentel
(2002) e Palhares (1997). São apresentados, no terceiro capítulo, a metodologia
adoptada, o contexto da investigação, os instrumentos e os procedimentos para a recolha
e análise de dados. De seguida, são apresentadas a calendarização da investigação e as
fases de intervenção. No capítulo quarto, são apresentados os pares participantes, as
tarefas introdutórias a implementar numa fase precedente ao estudo, as tarefas efectivas
no âmbito do estudo e os desempenhos demonstrados pelos pares na resolução das
tarefas. É apresentada, no quinto capítulo, a análise de dados. No sexto capítulo,
encontra-se a conclusão do estudo, onde são dadas as respostas às questões de
investigação, apresentadas algumas limitações do estudo, listadas algumas
recomendações para futuras investigações e tecidas algumas considerações finais.
5
CAPÍTULO II - Revisão de Literatura
No presente capítulo é apresentada a revisão de bibliografia, tendo como
principal preocupação a resposta às questões de investigação levantadas no início deste
estudo. São referidos aspectos sobre a importância da Língua Portuguesa no currículo
do 1.º ciclo do Ensino Básico: competências essenciais; perspectiva interdisciplinar da
Língua Portuguesa; o oral e o escrito: mecanismos cognitivos e linguísticos na
compreensão de textos; conhecimento linguístico ao nível da Língua Portuguesa;
indicadores de dificuldades na compreensão de textos; Língua Portuguesa e
Matemática: competências transversais; a linguagem e a comunicação como factores
essenciais na Matemática; resultados de estudos de investigação em Língua
Portuguesa/Matemática; e, a importância da resolução/formulação de problemas e
actividades de investigação matemática no 1.º ciclo.
A Língua Portuguesa no currículo do 1.º ciclo do EB: Competências essenciais
A língua materna é um importante factor de identidade nacional e cultural (DEB,
2001, p.31). Desempenha um papel essencial no desenvolvimento pessoal e social e na
comunicação com os outros; é um substancial meio na expressão do pensamento e nas
aprendizagens escolares. Constitui uma propedêutica notável à atitude de rigor na
observação e compreensão do real noutras disciplinas curriculares (Sim-Sim, 1995).
A Língua Portuguesa é um factor primordial no espaço nacional, onde é língua
oficial e língua de escolarização da maioria da população escolar. O domínio da Língua
Portuguesa reveste-se de um admirável e decisivo poder no processo de ensino e
aprendizagem, garantindo a cada cidadão o pleno desenvolvimento, quer a nível do
acesso ao conhecimento, do relacionamento social, quer do sucesso escolar e
profissional.
Valadares (2003) atribui à disciplina de Língua Portuguesa um papel central no
currículo, porque todas as áreas disciplinares dela dependem, sobretudo ao nível da
língua falada e escrita. Conforme a Lei de Bases do Sistema Educativo, esta autora
refere que esta área curricular é a “matriz de identidade e suporte de aquisições
múltiplas”.
Através do desenvolvimento das competências essenciais, a Língua Portuguesa
desempenha um papel de relevo na aquisição de saberes nas diversas disciplinas. Só
desenvolvendo capacidades a nível de leitura, compreensão e expressão orais e escritas,
6
em Língua Portuguesa, os alunos estarão aptos a construir a sua aprendizagem, em
processos significativos, noutras áreas, e alcançar o sucesso escolar e social (Valadares,
2003).
A autora acima mencionada faz referência ao incontestável contributo da
disciplina de Língua Portuguesa na aquisição dos saberes em todas as áreas curriculares
disciplinares, exercendo, deste modo, um papel relevante de oposição à fragmentação
curricular. A Língua Portuguesa é a “pedra basilar do currículo”. Em seu redor, são
promovidos e garantidos novos saberes, dado o seu carácter de formação
transdisciplinar. Este lugar de destaque da Língua Portuguesa não significa que ela deva
ser considerada como um espaço isolado e impermeável. Muito pelo contrário, sendo a
base das restantes disciplinas, deve com elas formar um todo coerente, propício à
organização e articulação de experiências de aprendizagem com o mesmo objectivo.
Algumas conclusões extraídas do estudo realizado por Menezes, Leitão,
Pestana, Laranjeira e Menezes (2001), apontam para a importância da Língua
Portuguesa na aprendizagem da Matemática, uma vez que ambas as disciplinas
representam instrumentos fundamentais de comunicação e de pensamento. A Língua
Portuguesa é a base de todo o ensino e aprendizagem, na medida em que, para serem
compreendidos e interpretados os enunciados matemáticos é fundamental o domínio da
Língua Portuguesa.
Na disciplina de Língua Portuguesa, ao nível do 1.º ciclo do EB, é fundamental
o desenvolvimento de competências essenciais, base de todo o ensino e aprendizagem,
por estas garantirem a cada aluno o seu desenvolvimento individual, pessoal e escolar.
De acordo com o DEB, as competências essenciais no ensino da Língua
Portuguesa situam-se ao nível do domínio do modo oral, compreensão e expressão oral;
do modo escrito, leitura e expressão escrita; e do conhecimento explícito da língua.
A compreensão do oral comporta a capacidade de atribuição de significados a
discursos orais. Esta competência abarca a recepção e a decifração da mensagem e tem
como principal objectivo a interpretação de discursos, a identificação de intenções
comunicativas e a selecção e retenção de informação necessária ao objectivo visado.
A expressão oral comporta a capacidade de produção de cadeias fónicas
munidas de significado e de acordo com a gramática da língua. Esta competência
implica a mobilização de conhecimentos linguísticos e sociais e pressupõe uma postura
cooperativa na interacção e o conhecimento de funções representadas pelos eloquentes
em cada tipo de situação.
7
A leitura constitui um processo interactivo entre o leitor e o texto. O leitor
reconstrói o significado do texto por meio da leitura efectuada. Esta competência
permite transformar a informação escrita em conhecimento e promove o
desenvolvimento do imaginário, do espírito crítico e do pensamento divergente.
A expressão escrita é o resultado munido de significado e de acordo com a
gramática da língua e que pressupõe o conhecimento do sistema de representação
gráfica adoptado. Esta competência implica processos cognitivos e linguísticos
complexos, mais concretamente os que envolvem o planeamento, na formatação
linguística, na revisão, na correcção e na reformulação do texto. Pretende-se, por meio
do desenvolvimento da escrita, o domínio das técnicas básicas da escrita, a criação de
autonomia e desenvoltura no acto da escrita, enquanto forma de expressão organizada
de pensamento.
O conhecimento explícito é o conhecimento reflectido, expresso e sistematizado
das unidades, regras e processos gramaticais da língua. Esta competência implica o
desenvolvimento de processos metacognitivos e proporciona o controlo das regras que
os falantes usam e a selecção das estratégias mais apropriadas para a compreensão e
expressão em diferentes situações de comunicação. No conhecimento explícito, é
objectivada a aquisição do conhecimento sistematizado dos aspectos básicos da
estrutura e do uso do Português padrão, como alicerce de uma expressão correcta e
eficaz.
Perspectiva interdisciplinar da Língua Portuguesa
Segundo o Decreto-Lei n.º 286/89, é fundamental a valorização do ensino da
Língua Portuguesa numa perspectiva interdisciplinar ao currículo. De acordo com o
artigo 9.º, todas as componentes curriculares devem contribuir para o ensino e
aprendizagem da língua materna sendo considerado este domínio como de formação
transdisciplinar.
Também no Decreto-Lei n.º 6/2001, sobre reorganização curricular, a Língua
Portuguesa é apresentada como uma das formações transdisciplinares no Ensino
Básico.
O Despacho Normativo n.º 30/2001, no ponto 5, referente à avaliação das
aprendizagens no Ensino Básico, determina que a compreensão e a expressão em
Língua Portuguesa constituam objecto de avaliação em todas as áreas curriculares
disciplinares.
8
Estes documentos realçam o carácter transversal da Língua Portuguesa, bem
como a sua importante contribuição ao nível do ensino e aprendizagem de todas as
áreas curriculares disciplinares.
Valadares (2003) refere que toda a experiência escolar é uma experiência
linguística e que os alunos necessitam de desenvolver capacidades para funcionar com
a língua escrita e falada, assumindo, por esse motivo, como projecto transversal, todas
as tarefas de educação linguística. Refere ainda que somos confrontados diariamente
com críticas variadas acerca das dificuldades dos alunos no domínio da língua materna,
considerando a fraca competência linguística um entrave ao sucesso dos alunos nas
outras disciplinas.
O nível de mestria obtido na leitura com objectivos de estudo e na expressão
escrita, segundo Sim-Sim, Duarte e Ferraz (1997), representa um factor de sucesso na
maioria das disciplinas curriculares. Estes autores referem que os vários estudos
efectuados têm demonstrado um eminente nível de correlação entre o desempenho
atingido nas competências de leitura e de expressão escrita em língua materna e o
sucesso noutras disciplinas curriculares. Analogamente, tem-se demonstrado que,
quanto maior atenção for dada, nestas áreas curriculares, à leitura e à escrita, os
resultados obtidos pelos alunos na disciplina de língua materna também serão muito
superiores. Este “círculo virtuoso”, segundo os autores, exige, assim, de toda a
comunidade escolar, nomeadamente, da escola e dos professores, um trabalho
pluridisciplinar. Este trabalho tem como primordial finalidade, os meta-objectivos,
tornando evidente aos alunos o seguinte:
a diversidade de disciplinas curriculares constitui uma unidade no que respeita
aos grandes objectivos de formação e ao tipo de capacidades cognitivas gerais e
de estratégias de aprendizagem que mobilizam (p.40).
Enfim, as capacidades cognitivas gerais que representam o objectivo educativo
da maior parte das disciplinas curriculares são desenvolvidas na disciplina de Língua
Portuguesa, de forma precoce, porque estas capacidades são decisivas no
desenvolvimento e aprendizagem das competências essenciais desta disciplina.
Atendendo à importância de que a expressão oral se reveste em todas as
disciplinas, no âmbito da comunicação/interacção comunicativa, e tendo em conta que,
do seu grau de desenvolvimento, depende, em boa parte, o sucesso escolar dos alunos,
torna-se imprescindível que todas as disciplinas proporcionem aprendizagens
9
conducentes a uma expressão fluente, adequada aos contextos/situações, dotada de um
vocabulário preciso, diversificado e de uma progressiva complexidade sintáctica
(Valadares, 2003). A autora adverte para a importância da expressão oral e da
expressão escrita, como instrumentos de apropriação e propagação do conhecimento em
todas as disciplinas. Neste sentido, é indiscutível o desenvolvimento das referidas
competências, atribuindo-lhes uma qualidade interdisciplinar, e adoptando, assim, um
carácter transversal ao currículo.
O oral e o escrito: mecanismos cognitivos e linguísticos na compreensão de textos
De acordo com Aguiar e Silva (1990), as crianças realizam a sua aprendizagem
linguística através da fala e só posteriormente principiam a aprendizagem da escrita. Na
língua oral, actua um “mecanismo de projecção”, ou seja, um conjunto de regras que
permitem a conexão de significados com sons, conforme o Quadro 1.1, constante do
Anexo 3 – A 1. Na língua escrita actua um “mecanismo de transcrição” que teria como
“input” o “output” do mecanismo de projecção da língua falada e como “output
próprio” sinais gráficos, processando-se de maneira inversa na leitura, conforme o
Quadro 1.2, do Anexo 3 – A.
Os mesmos autores apontam diferenças semióticas profundas entre a língua
falada e a língua escrita, entre o texto oral e o texto escrito. A língua falada é utilizada
numa comunicação efémera. Não é certa a pervivência dos seus textos, encontrando-se
em contínua ameaça de extinção ou deterioração. É difícil a sua difusão no espaço,
“mau grado os mensageiros e os seus avatares” (p.285). Inversamente, a comunicação
operada por meio da língua escrita tem outra durabilidade e outra capacidade de difusão,
gozando, os seus textos, de superior resistência a todas as modalidades de entropia.
Na língua falada podem ser utilizados indispensáveis recursos “supra-
segmentais, paralinguísticos e cinésicos” (p.286) que não são representáveis ou só
fragmentariamente são representáveis, na escrita, através de sinais gráficos, como é o
caso da pontuação, do uso de maiúsculas, da utilização do sublinhado ou de
determinado tipo de letra, embora possam ser verbalizados.
Muito frequentemente, a língua falada serve-se de “entornos não-verbais” que,
neste caso, desempenham uma função muito importante. Já na língua escrita eles são
facciosos ou completamente imperfeitos, podendo e devendo ser adequadamente
1 - Esquemas de Domenico Parisi e Rosaria Conte, «Problemi di ricerca sulla scrittura», in Domenico Parisi (ed.), Per una educazione linguística razionale, Bologna, Il Mulino, 1979, p.348.
10
supridos pelo chamado contexto verbal. A comunicação escrita permite uma
programação desvelada e minuciosa dos actos de linguagem que a perfazem,
contrariamente ao que ocorre com a comunicação oral. O texto escrito goza da
possibilidade de ser reescrito, podendo ser modificado imensas vezes antes do seu
lançamento num circuito de difusão. O texto oral impõe ao seu receptor, que é um
ouvinte, o ritmo da sua decodificação. Este ritmo tem de acompanhar em simultâneo o
desenvolvimento temporal da linearidade do próprio texto, dentro dos limites
possibilitados pela percepção auditiva e pela memória do receptor. Pelo contrário, o
receptor do texto escrito, que é um leitor, não depende desta imposição, uma vez que a
materialidade do texto escrito permite ritmos distintos de decodificação, consentindo a
leitura e a releitura, proporciona o dilucidamento de um excerto textual à luz de um
excerto sintagmaticamente anterior ou posterior. Usualmente, a língua escrita implica
uma construção mais trabalhada e mais rigorosa. Apresenta, geralmente, um léxico mais
consistente e uma organização gramatical ao mesmo tempo mais regular e mais
complexa, do que a língua falada.
O processo de compreensão da linguagem escrita, segundo Luria (1987),
diferencia-se muito do processo de compreensão da linguagem oral, sobretudo pelo
facto de que é sempre possível voltar a ler aquilo que foi escrito, ou seja, recorrer, caso
haja necessidade, a todos os elementos que estão incluídos no texto, o que na linguagem
oral é completamente impossível.
Para Rebelo, Marques e Costa (2000), quer o discurso oral, fónico ou audível,
quer o escrito, gráfico ou visível, constituem duas manifestações de um sistema que
possuem uma autonomia relativa. Segundo estes autores, estas duas manifestações
ostentam lógicas e problemas particulares. Enquanto a comunicação escrita opera sob a
modalidade de disjunção temporal e espacial, a comunicação oral relaciona-se,
estreitamente, com o contexto, organizando-se, de acordo com a situação em que evolui,
comunicação em presença/comunicação à distância.
Fazendo referência a Chomsky, Paulo e Campino (1990) declaram que o
processo de compreensão de uma frase baseia-se na transferência das Estruturas
Gramaticais Superficiais em Estruturas Gramaticais Profundas onde é captada a lógica
fundamental da sua composição. Este processo, por vezes, requer um empenho
específico, que se torna mais complicado com a linguagem matemática, devido à
heterogeneidade dos enunciados matemáticos, pois integram, com frequência,
elementos da língua materna, dados gráficos e ainda escrita simbólica matemática. Os
11
autores referem que os trabalhos dos alunos constituem uma ajuda importante na
inferência sobre se o processo mental resulta, ou não, do trabalho de interpretação das
estruturas conceptuais, havendo, ou não, erros na execução. Muitas vezes, o erro é
cometido por não se verificar existência de isomorfismo entre as linguagens: oral e
escrita. Em ambas as circunstâncias, o processo verbal foi traduzido de imediato, sem
que tenham sido observadas as convenções da escrita matemática.
Para Sim-Sim (1998), os níveis atingidos por cada indivíduo na compreensão do
oral, na leitura, na expressão oral, na expressão escrita e no conhecimento explícito da
língua revelam o seu nível de competência linguística, constituindo, por essa razão, as
competências básicas a ter em conta, no ensino da língua materna. A autora refere que a
compreensão do oral é a competência que permite a atribuição de significado a cadeias
fónicas, efectuadas de acordo com a gramática da língua. Este processo envolve a
recepção e a decifração da mensagem, permitindo o acesso à informação linguística
registada continuamente na memória. Se não for processado este registo não haverá
compreensão, porque não há reconhecimento do significado das unidades ouvidas,
sejam elas palavras, expressões ou frases.
Neste processo, a compreensão do oral e a expressão oral encontram-se
estreitamente relacionadas. No entanto, em termos de desenvolvimento, a compreensão
do oral antecede sempre a expressão oral. Isto quer dizer que, a criança, ao adquirir a
linguagem, compreende primeiro e só depois consegue produzir o que já é capaz de
compreender.
A mesma autora afirma que o nível da compreensão do oral da criança depende
da quantidade e da diversidade do seu vocabulário, como também depende da
complexidade sintáctica adquirida. Esta compreensão só é possível se o grau de
formalidade do discurso ouvido e o tema da abordagem for de fácil acesso para a
criança, ou melhor, adequado à sua competência adquirida ao nível da compreensão da
linguagem verbal. A falha, por parte do aluno, na compreensão do oral, conduz à perda
de informação, devido à falta de atenção à mensagem ouvida. Por esta razão, a
compreensão do oral é uma competência de extrema importância, no sucesso escolar de
qualquer aluno.
Sim-Sim (1998) afirma que, a partir da leitura, é efectuada a extracção do
significado e a adequação da informação transmitida por meio da escrita, constituindo
assim, os seus objectivos primordiais. Pela leitura, o leitor reconstrói o significado do
texto. No entanto, o nível de compreensão atingido depende do conhecimento prévio
12
que o leitor tem do assunto, da sua competência linguística e do tipo de texto em
presença.
Ao contrário da compreensão do oral, a leitura não é nem uma actividade
natural, nem de aquisição espontânea e universal. É um processo que se prolonga e se
aprofunda ao longo da vida do indivíduo. O respectivo domínio permite o aumento do
potencial comunicativo e a expansão dos interesses individuais, constituindo um
poderoso instrumento nas aprendizagens escolares e no crescimento cognitivo de cada
aluno.
Ler fluentemente representa uma das maiores finalidades no processo de ensino
e aprendizagem da leitura. Permite ao aluno uma descodificação automática, desde que
ao seu nível de compreensão linguística, maior capacidade na obtenção de informação e
maior facilidade na compreensão do texto.
Sim-Sim (1998) afirma que, para Grabe e Caplan, a expressão escrita é um
eficaz instrumento de comunicação e aprendizagem que exige um aperfeiçoado
domínio de técnicas e estratégias precisas, diversas e sofisticadas. Por assumir um papel
relevante na aprendizagem de todas as disciplinas curriculares, a escrita deve ser
considerada instrumento de apropriação e transmissão do conhecimento.
Sequeira (1990) afirma que, para Bartlett, esquema representava um sistema
organizado de conhecimentos e experiências passadas, que vão permitir a aquisição de
novos conhecimentos. Este sistema é caracterizado pela sua abstracção, representando
uma organização das relações das suas componentes.
Esta autora explica como é organizado o processo de compreensão, em geral, e
do texto escrito, em particular. Durante esta actividade é destacado o papel da memória.
Nela vão operar estratégias de busca e recuperação de conteúdos semânticos, factuais,
episódicos e simbólicos que se encontram armazenados e sistematicamente organizados
em classes e categorias. A recuperação destes conteúdos só é possível devido ao plano
de busca próprio dos esquemas estruturais do indivíduo.
Neste plano de busca, a capacidade de inferência é elementar tanto no que se
refere à escolha dos esquemas e da informação dentro do esquema seleccionado, como
também na definição de conclusões, quando surge uma falha.
O esquema cognitivo de um leitor beneficia proveitosamente da capacidade
organizativa da memória, das suas estratégias de busca, das inferências, na recolha de
informação sobre o texto escrito e na organização da informação, de acordo com os
conhecimentos anteriormente adquiridos e que fazem parte da sua cultura.
13
A estrutura do texto, ou seja, o modo como se interrelacionam, se conjecturam e
expõem as ideias, tem por base o modo como é efectuada a triagem do significado do
texto. Neste sentido, a interacção entre o leitor e o texto revela, de facto, a sua
evidência e a estrutura textual que para um leitor pode assumir certas características,
para outro pode parecer completamente diferente, devido à forma como é feita a
apreensão do seu significado. No entanto, os esquemas cognitivos próprios de cada
leitor utilizam estratégias de adaptação que vão remover os obstáculos mais difíceis.
São apontados três níveis básicos de estruturação de um texto:
microproposicional ou de organização de frases; macroproposicional ou de organização
de parágrafos, e partes de organização superior que vê o texto como um todo.
Qualquer uma destas unidades é essencial para a relacionação e hierarquização
das ideias, constituindo uma via exclusiva na compreensão total do texto.
Por meio dos seus “esquemas” mentais, o sujeito desenvolve múltiplas
estratégias de compreensão. Estas encontram-se relacionadas com saberes adquiridos,
conhecimentos prévios, exercício de atenção, definição de objectivos em relação ao
texto, incluindo a identificação de tarefas pedidas, construção de inferências,
comparações, avaliação de conteúdos, generalizações, entre outras. Ao serem activadas,
estas estratégias podem intervir em diferentes fases do processo de compreensão do
texto.
A reestruturação dos saberes previamente adquiridos e a atenção podem ser
praticadas em actividades anteriores à leitura; os objectivos, as tarefas e as interacções
textuais, durante a leitura; enquanto a avaliação e a generalização podem ser operadas
numa fase posterior à leitura.
Activar os conhecimentos anteriormente adquiridos e guardados na memória de
longa duração, de maneira a influenciar a selecção, a integração e a compreensão de
novos conhecimentos, bem como permitir o aperfeiçoamento dos vários passos do
processo da atenção, são actividades que justificam que o conhecimento se vai
consolidando pela construção. Nesta construção, participam elementos exteriores como,
no caso da compreensão de textos, as estratégias usadas pelo professor para ajudar à
compreensão, particularmente a exploração dos vocábulos de uso menos corrente e a
exploração da construção frásica; as estratégias usadas pelo autor do texto e,
especialmente, as estratégias mais difíceis de conceber, as que são usadas pelo sujeito
na construção da sua própria aprendizagem. Estas estratégias estão centradas no próprio
sujeito e são consideradas de lenta aquisição. Possuem um carácter permanente e delas
14
fazem parte auto-correcções, adaptações, previsões de acontecimentos, numa constante
transformação, até se conseguir a compreensão.
As estratégias individuais referem-se às acções que a memória é forçada a
cumprir para seleccionar a informação, com o intuito do armazenamento contínuo, e
também à brevidade e eficácia da busca dos elementos necessários já armazenados.
Deste modo, para que seja levado a cabo o processo de compreensão do texto escrito, o
leitor deve escolher e colocar em prática as estratégias referidas, de maneira a poder
mobilizar antigos e novos conhecimentos.
Se existirem lacunas no conhecimento prévio, se a informação não for suficiente
para estabelecer redes de conexão, se não houver capacidades para inferir, para
comparar, para procurar um sentido na interpretação das ideias, então o processo de
compreensão falha. Por sua vez, a compreensão torna-se eficaz se o sujeito estiver
imerso num ambiente rico em conceitos diversificados, provenientes do quotidiano e de
áreas científicas interessantes e apropriadas. Quer isto dizer que, se houver, da parte do
sujeito, acesso a leituras abundantemente ricas, a experiências relevantes e houver
capacidade de relacionar ideias e factos, a compreensão será mais eficiente.
A compreensão de um texto é, deste modo, um processo activo, no qual o leitor
usa o seu esquema cognitivo de compreensão, em que a memória tem um papel
preponderante, na extracção do significado do texto. A estrutura do texto é, por sua vez,
activada de acordo com os modelos de processamento de informação, determinando um
delineamento mais adequado das redes de conexão e das análises de micro e
macroestruturas linguísticas.
Para Castro (2000), considerada, apenas, do ponto de vista do seu uso, a
linguagem tem, habitualmente, um papel primordial: a compreensão. É seguida uma
intenção semântica, no acto de falar com alguém ou de ler um texto. A leitura é um
procedimento que possibilita o tratamento da informação, propiciando a construção de
representações que irão facilitar a compreensão.
Na compreensão de uma frase, não é suficiente a rede semântica. É fundamental
o conhecimento da função das palavras no contexto da frase, de modo a estabelecer
relações entre os elementos que, muito frequentemente, podem não ser simplesmente de
tipo léxico-semântico.
Para a compreensão de um conjunto de frases ou discurso não são suficientes os
níveis lexical (conhecimento de vocabulário), semântico (conhecimento do sentido
global do conteúdo), sintáctico (conhecimento da combinação das palavras na frase e
15
das frases no discurso) e pragmático (conhecimento do tema do discurso). É necessário
o estabelecimento de estratégias que unem ou diferenciam as ideias ou proposições, e
deste modo proceder a inferências, a comparações, a sínteses, em resumo, interpretar,
no sentido próprio do termo. Podemos prever a diversidade de processos cognitivos
requeridos pela compreensão, particularmente o uso da memória e a capacidade de
efectuar inferências, uma vez que, no uso vulgar da linguagem, a compreensão só
excepcionalmente se exercita sobre palavras isoladas.
Para se estabelecer o processo de compreensão, é essencial a existência de
representações relativas a conhecimentos prévios sobre um certo domínio,
especificamente aquele sobre o qual se vai exercer a compreensão. De acordo com
Kintsch e Van Dijk, a propósito do modelo de compreensão, também Castro (2000)
refere que o que vai ser compreendido depende não só da macro e da microestrutura do
texto, mas também do conhecimento prévio do leitor em determinado aspecto e, ainda,
do objectivo do enunciado ou discurso. A título de exemplo, a autora refere que um
mesmo leitor, frente a um mesmo texto e com um conhecimento prévio que não tenha
sofrido alterações, pode compreender coisas distintas se o seu objectivo diferir da
segunda para a primeira leitura (Castro, 2000). O funcionamento dos processos de
compreensão lembra mais os sistemas centrais, em que a compreensão invoca
conhecimentos, crenças, o planeamento da acção em torno de um objectivo e, ainda, o
pensamento que vai permitir juntar os vários pedaços de informação num todo com
sentido. A autora, citando Underwood e Batt, refere que compreender é, de certo modo,
estabelecer um modelo mental que integra os conhecimentos anteriores com os
conhecimentos acabados de recolher, a partir da mensagem.
Assim como o conhecimento do mundo e o sistema semântico não se resumem
às representações fonológicas e ortográficas, também a compreensão não se restringe
unicamente à linguagem. Para Castro (2000), a compreensão é um processo que não
decorre apenas dentro da leitura e da fala. É mais um processo cognitivo que
propriamente linguístico, embora a sua função primordial seja a linguagem. A
compreensão, segundo a autora, implica o envolvimento de representações específicas
de diferentes géneros, podendo estar ou não intimamente relacionadas com certas
modalidades sensoriais. Para auxiliar na compreensão da ideia atrás referida, a autora
refere o seguinte exemplo:
para compreender uma frase escrita onde esteja incluída a palavra «cubo», em
alguns de nós poderá ser activada uma imagem mental de um cubo; assim, a
16
compreensão invocaria uma representação de tipo espacial, ao lado de outras
fonológicas, ortográficas, sintácticas, semânticas (p.145).
À medida que se avança da compreensão para a interpretação, o “carácter
relacional” torna-se mais marcante e de certo modo livre do processo. Deixa de ser um
conjunto de operações mentais pré-estruturadas, tornando-se num modo de estabelecer
ligações entre diferentes representações que seguem as exigências do momento, sem
que esteja cingido a um plano pré-definido. A compreensão abrange, assim, uma
espécie de jogo cognitivo de busca de sentidos, tendo como ponto de partida diferentes
fontes de informação.
De acordo com o caso, a compreensão influi sobre representações retiradas da
mensagem falada ou da mensagem escrita. No entanto, a mensagem escrita, a partir do
material impresso, proporciona uma maior facilidade na extracção de representações
semânticas. Quanto maior for a capacidade de reconhecimento das palavras escritas,
maior será também a facilidade na administração dos recursos mentais, no processo de
compreensão da mensagem. Este modo de conceber a compreensão e a leitura tem
consequências importantes para a interpretação de situações de dificuldades de uso da
leitura. Estas dificuldades podem resultar de complicações no próprio processo de
leitura, ou de compreensão, podendo afectar quer a oralidade quer a escrita.
Malta (2003) expõe alguns pressupostos que norteiam as suas crenças sobre a
aprendizagem da Matemática. Na Matemática, a capacidade de expressar com clareza o
raciocínio permite o desenvolvimento da capacidade de entender os resultados
matemáticos. Isto verifica-se sobretudo no que se refere à capacidade de expressão do
próprio raciocínio, por permitir o acesso ao desenvolvimento da capacidade de
compreensão em Matemática. A mesma autora refere ainda que o desenvolvimento da
capacidade de expressão está conectado com a aptidão para a leitura, ou seja, com a
capacidade de uma aquisição mais facilitada de conhecimentos sem intermediários.
Luria (1987) refere que Rommetveit, Filmore, McCawley, Lakoff, e Wertsch
mostraram que o processo de compreensão da comunicação expressa num determinado
texto, possui um carácter complexo e, para compreendê-lo, são imprescindíveis
diversos processos, parte dos quais está ligada à percepção dos significados das
palavras e outra à decodificação das regras sintácticas da sua combinação. No processo
de compreensão, é fundamental a busca de sentido, que proporciona a escolha de
algumas das alternativas surgidas. O processo fundamental que caracteriza o acto de
17
compreensão, segundo os autores citados, é a tentativa de decifrar o significado de toda
a comunicação, aquilo que constitui a sua coerência geral ou no seu sentido interno, que
dá à comunicação profundidade ou “subtexto”. Estas tentativas estão voltadas para a
busca do contexto da comunicação percebida, sem o qual não haverá possibilidade de
compreensão do texto, nem de avaliação correcta dos elementos que entram na sua
composição. Por isso, Luria (1987) dispõe, em primeiro plano, o processo de busca e
formação das correspondentes hipóteses ou suposições, que permitem a determinação
dos significados concretos das palavras ou das frases. Também segundo Vigotsky,
citado em Amor (2003), a leitura é compreendida como um exercício de
reconhecimento e compreensão. Deixa de ser a reconstrução da estrutura fonológica e
passa a centrar-se na apreensão global da palavra, surgindo associada a um significado.
Conhecimento linguístico ao nível da Língua Portuguesa
A língua, segundo Amor (2003):
é sistema e código, realidade anterior e exterior ao indivíduo, aparentemente
redutível aos planos/subsistemas: fonológico, relativo aos mecanismos de
identificação/produção de unidades correspondentes a classes de sons
específicos (os fonemas); morfo-sintáctico ou gramatical, em que se procura
captar as relações entre forma, estrutura e função, na determinação de princípios
e regras de selecção/organização a que obedecem as unidades significantes da
língua (do morfema à frase); léxico-semântico, no qual se pretende o estudo das
significações e a análise dos mecanismos e das regras que assistem à sua
produção e transformação” (p.10).
Para Sim-Sim (1998):
o domínio da estrutura sintáctica de qualquer língua implica o conhecimento de
um conjunto de princípios regulados pelas propriedades da linguagem humana,
em geral, e de regras específicas da organização frásica dessa língua, em
particular (p.146).
São essas regras que a criança extrai do ambiente linguístico em que vive imersa
e que lhe possibilita compreender o que ouve e expressar-se para ser compreendida.
O desenvolvimento do conhecimento sintáctico implica olhar simultaneamente
para a apreensão das regras que determinam a estrutura interna das palavras, para a
organização frásica e para o significado das expressões linguísticas e para as realizações
semânticas. Assim, o desenvolvimento em questão pode ser descrito como o percurso
18
gradual que vai desde a compreensão e produção de palavras isoladas à interpretação e
construção de frases cada vez mais complexas.
Em qualquer língua natural as palavras são combinadas, tendo em conta modelos
e normas estabelecidos, dando origem a frases. As normas que regem a construção
sintáctica não são normas de combinação de «palavras específicas», mas regras de
combinação de classes de palavras de acordo com funções sintácticas. O domínio
implícito dessas normas manifesta-se pela adesão automática a tais normas quando
falamos ou interpretamos o que ouvimos, resultando, na materialização do conhecimento
sintáctico do falante (Sim-Sim, 1998, p.147).
A interpretação e produção de enunciados implicam o conhecimento sintáctico da
língua, sendo o resultado de uma aquisição gradual de estruturas gramaticais cada vez
mais elaboradas. Para Baddeley, citado por Sim-Sim (1998), o processo natural que
permite às crianças a aquisição de regras que regulam a formulação sintáctica da
respectiva língua materna é considerado, pela psicologia experimental, um exemplo
paradigmático de apreensão tácita, resultando desse aspecto o conhecimento implícito ou
intuitivo da língua. A autora refere que na compreensão de um enunciado não é
suficiente o conhecimento do significado de todas as palavras que o integrem. É
igualmente necessário o acesso aos padrões de constituição da estrutura sintáctica dessa
língua. As palavras isoladas, bem como a ordenação aleatória de palavras, revelam a
ausência de qualquer estrutura, não lhes sendo conferido, por isso mesmo, valor em
termos de transmissão de mensagem. Para haver reconhecimento do significado pelo
ouvinte é fundamental o domínio de uma organização estrutural da frase. Na estrutura da
frase, o encadeamento das palavras atende a uma certa disposição sequencial. De modo
que para compreender e produzir frases é inevitável a capacidade de estabelecer relações
entre palavras ou agrupamentos naturais de palavras que atendem a uma estrutura
hierárquica.
No processo de reconhecimento do significado do que é ouvido, ou seja, da
compreensão, é necessário um conjunto de estratégias que permitam uma rápida e
automática análise do enunciado. Deste processo de análise fazem parte,
simultaneamente, a seriação e a sequência das palavras no enunciado, a informação
pormenorizada de cada palavra e, também, as chaves prosódicas e contextuais que
integram e acompanham o enunciado. Neste sentido, a interpretação do que se ouviu
requer o recrutamento da informação guardada na memória acerca do sistema linguístico
em presença e acerca do real representado na formulação linguística (Sim-Sim, 1998).
19
A utilização do conhecimento implícito da língua, quer na compreensão daquilo
que se ouve, quer na produção de enunciados, obriga a recorrer constantemente a
estratégias e processos mnésicos que se responsabilizam pela conservação e retorno da
informação linguística.
Com efeito, é pelo facto de possuirmos em memória não só os itens lexicais,
mas também as regras de organização das palavras em frases, ou seja, regras
sintácticas, que somos capazes de estruturar e refazer, de forma rápida e
automática, o significado de enunciados. Por outro lado, a compreensão frásica
necessita que cada palavra seja guardada temporariamente, enquanto a frase
ouvida é gramaticalmente processada, ou seja, se estabelecem as relações entre
as unidades constituintes do enunciado e se reconstrói o seu significado. Uma
vez extraído o significado, as palavras exactas de cada constituinte são
esquecidas, conservando o ouvinte o cerne da informação (Sim-Sim, 1998,
p.151).
A escrita tenta representar o oral. Portanto, para extrair e produzir informação
escrita é indispensável o domínio das regras gramaticais da vertente oral. O processo de
aprendizagem da leitura e da escrita encontra-se fortemente implicado no domínio do
oral. Assim, compreender e produzir um texto escrito requer a capacidade de esclarecer
ambiguidades, isto é, palavras, expressões ou frases que não possuem apenas uma
interpretação, dominar relações de sinonímia, de estabelecer paráfrases, em conclusão,
ser capaz de manipular de forma consciente as relações e representações semânticas e o
conhecimento sintáctico.
Muitas vezes, a criança só tem acesso ao significado de uma palavra através do
contexto em que essa palavra é usada. Assim, o aperfeiçoamento do significado apenas
será alcançado, através da repetição da palavra em diferentes contextos. Reconhecer e
usar são, por isso, dois aspectos do conhecimento que, no campo linguístico,
representam a compreensão e produção. O número de palavras reconhecidas (léxico
passivo) é muito superior ao número de palavras usadas num determinado intervalo de
tempo (léxico pessoal activo).
Para que o domínio da estrutura sintáctica de qualquer língua seja completo, é
fundamental o conhecimento de um conjunto de princípios norteados pelas
propriedades da linguagem humana, em geral, e de regras específicas da organização
frásica dessa língua, em particular. São essas regras que possibilitam o reconhecimento
20
ou compreensão do que se ouve e permitem expressar ou produzir enunciados de forma
a que a criança seja compreendida.
Por razões intrínsecas à própria estrutura da linguagem, Sim-Sim (1998) refere
que o desenvolvimento do conhecimento sintáctico implica olhar simultaneamente para
a apreensão das regras que determinam a estrutura interna das palavras, para a
organização frásica, para o significado das expressões linguísticas e para as realizações
semânticas. Em síntese, o desenvolvimento em questão pode ser descrito como o
caminho progressivo que vai da compreensão e produção de palavras isoladas à
interpretação e construção de frases de complexidade crescente.
Ainda segundo Sim-Sim (1998), a compreensão da estrutura das frases, da parte
da criança, altera conforme o grau de dificuldade e conforme o envolvimento de
combinação de orações através dos processos de coordenação e de subordinação.
Normalmente, a compreensão do conteúdo do texto é dificultada pelas frases que
envolvem este tipo de estrutura. Muito frequentemente, a interpretação de um texto
pode ser mais facilitada, não porque se verifique o domínio da estrutura sintáctica em
causa, mas essencialmente porque se recorre ao suporte contextual que funciona como
estratégia extra linguística de compreensão.
A aquisição e desenvolvimento da linguagem são efectivados por meio da sua
utilização, ouvindo os outros falar e falando. Embora processos distintos, a produção
oral de mensagens e a compreensão do que é dito, assentam ambas no conhecimento
das estruturas da língua e das respectivas regras de uso em contexto. O
desenvolvimento da linguagem oral encontra-se intimamente relacionado com a
aprendizagem da leitura e da escrita e o conhecimento de ambas as vertentes da língua,
oral e escrita, é primordial na integração e domínio da maioria dos conteúdos
disciplinares que integram o currículo escolar dos alunos.
Ainda de acordo com a mesma autora, tanto a leitura, como a escrita permitem a
mediação de grande parte das aprendizagens escolares. Por intermédio da escrita a
criança retira, organiza e retém a informação, assimilando, deste modo, os
conhecimentos que integram os conteúdos disciplinares do currículo escolar. Saber
estudar exige o domínio de um conjunto de técnicas que tem como base a linguagem
escrita. O domínio das competências, tais como, resumir, tirar apontamentos e
sublinhar, requer que elas sejam ensinadas, em algum momento do percurso escolar.
A mesma autora refere que Marlan chamou “círculo virtuoso” à simbiose entre o
domínio linguístico e o sucesso escolar. Se forem despendidos esforços e tempo na
21
promoção do desenvolvimento da linguagem, as aprendizagens em todas as áreas
curriculares serão favorecidas. Se houver cuidado em dar a atenção necessária à
linguagem nos conteúdos disciplinares, o desenvolvimento da linguagem será muito
favorecido pelos contextos e objectivos dessas disciplinas.
Valentin e Sam (2004), a propósito do estudo das funções das estruturas
semânticas dos problemas em alunos com aptidão para identificar as operações
correctas, referem que, à semelhança de alguns estudos internacionais, os alunos
apresentam uma maior capacidade para resolver problemas orientados para a adição, do
que os que implicam a multiplicação, porque o vocabulário usado nos enunciados é
mais susceptível de ser interpretado, uma vez que o vocabulário “ganhou”,
“acrescentou”, “juntou-se”, etc., sugerem o avolumar de algo, surgindo associado ao
algoritmo da adição. Além disso, os alunos resolvem mais eficazmente os problemas
que não envolvem afirmações relacionais, como por exemplo, problemas relacionados
com outros problemas já resolvidos. Estes autores verificaram que há uma tendência,
por parte dos alunos, para seleccionarem a operação de adição, quando não conseguem
identificar a opção correcta para o problema. Citando Dellarosa, Kintsch, Reusser e
Weimer, referem, ainda, que muitos alunos fracassam na resolução aritmética dos
problemas, devido à falta de conhecimentos linguísticos, tais como o conhecimento de
vocabulário diversificado, o estabelecimento de relações entre as palavras, etc. Assim,
os autores referem que, segundo Shalin, as estruturas semânticas dos problemas
influenciam o seu processo de resolução e solução. Por outras palavras, os alunos
reagem de forma diferente a problemas de diferentes estruturas semânticas. Por
exemplo, e segundo Christou e Philippou referidos por Valentin e Sam (2004), as
estruturas da adição foram sempre mais populares entre os alunos que as estruturas da
multiplicação, porque o vocabulário usado aponta no sentido da escolha da adição.
Os autores deste estudo referem que Carpenter e Moser mostraram que, em
crianças mais novas, as estratégias adoptadas para a subtracção são fortemente
influenciadas pela estrutura semântica dos problemas básicos. As crianças efectuavam
operações com materiais e ao nível oral, utilizando estratégias para resolver cada
situação, atendendo a um modelo de estrutura semântica.
Indicadores de dificuldades na compreensão de textos
Muitas vezes, a dificuldade com a linguagem escrita e o desenvolvimento da
linguagem, segundo Malta (2003), leva os alunos a desistirem de superar as suas
22
dificuldades de leitura, sobretudo no que respeita a textos matemáticos, concluindo, na
maioria das vezes, que o problema é do texto. No entanto, devido ao insuficiente
exercício de leitura e da falha na capacidade de interpretação/compreensão do texto
pela criança, não é possível identificar o que está a ser lido, com conhecimentos
adquiridos. Os alunos não foram capazes de descobrir, ainda, que a compreensão de um
texto invulgar é o resultado de um processo de construção, processo no qual se
constroem objectos mentais que vão dar significados aos novos conceitos que estão a
ser apresentados.
Em suma, a principal causa da dificuldade de compreensão e redacção reside no
facto de os alunos não lidarem frequentemente com a leitura, obrigando-os a
desenvolver por si uma organização de raciocínio e de armazenamento de informação.
A autora fomenta a defesa do aprender a ler, porque só deste modo poderá ser
promovido o desenvolvimento das capacidades de leitura e expressão em Matemática,
abrindo, assim, caminho para a compreensão de conteúdos matemáticos.
Para Amor (2003), quanto mais o saber é dado ao aluno na forma de um
discurso acabado, abstractizante, menos ele participa da sua construção e menos se
apropria dos instrumentos linguísticos que lhe permitam transformar os dados
sensoriais da sua experiência concreta em pensamento conceptual. A organização do
saber, no espaço pedagógico, anda a par com os modelos de comunicação que o
regulam. O aluno deve, por isso, ter a oportunidade de procurar a informação,
interpretando os textos, de forma a compreender e a decodificar a mensagem neles
contida, promovendo o seu desenvolvimento cognitivo.
Para Sim-Sim (1998), a estrutura interna da construção linguística pode funcionar para
o ouvinte como um factor de dificuldade, no processo de compreensão. O grau de
dificuldade de compreensão é avaliado tendo em atenção o tempo que o sujeito
necessita para processar a frase e, simultaneamente, através da correcção e da
interpretação atribuída ao enunciado.
Para Sequeira, citado em Magalhães (2006), a compreensão é a percepção de
algo, a retenção do seu significado, a capacidade de relacionar com factos
anteriormente adquiridos e usar essa informação numa situação nova. É algo que é
construído no espírito e que é armazenado, na memória, de modo acessível, para
consulta rápida. Para desenvolver a compreensão é importantíssimo o método de fazer
perguntas que exige uma actividade construtiva.
23
De acordo com os estudos de Kintsch e Van Dijk, citado em Sá (2004), o
processo de compreensão de textos encontra-se dividido em várias fases, que se
aplicam quer ao texto escrito quer ao oral. Segundo os autores, começa-se pela análise
perceptiva do texto, conduzindo à identificação do código fonémico, no caso da
oralidade e à identificação dos grafemas, no caso da escrita. A partir desta etapa, a
compreensão processa-se exactamente do mesmo modo, para os dois casos, oral e
escrita. De seguida, procede-se à identificação das palavras, feita com recurso ao léxico
da língua; a análise sintáctica do discurso, que facilita a sua estrutura linguística,
traduzida sob a forma de frases, exigindo o recurso aos conhecimentos de gramática da
língua; a análise semântica do discurso, que permite o acesso ao conteúdo conceptual e
proposicional, ou seja, que torna evidente os conceitos tratados e as ideias apresentadas,
exigindo o recurso à memória semântica e ao conhecimento do mundo pelo sujeito, de
acordo com as suas experiências; a análise pragmática, que possibilita a determinação
do tópico/tema do discurso e que demanda a intervenção de outros elementos,
nomeadamente, o conhecimento do mundo e o conhecimento da estrutura típica de
diferentes tipos de discurso, e de elementos mais directamente ligados àquela situação
de comunicação, tal como as expectativas do receptor do discurso em relação a este
contexto extra-linguístico; e, a análise funcional do discurso, que permite ao receptor
decidir as finalidades com que este foi produzido e agir em conformidade. Todos os
procedimentos efectuados ao longo destas fases exigem o recurso à memória de longo
prazo, tendo como principal propósito a compreensão dos textos pelo sujeito. A
propósito das fases descritas, a autora refere que, apesar de, em termos teóricos, as
fases serem descritas separadamente, elas desenvolvem-se de forma interactiva,
misturando-se umas com as outras.
Sá (2004) refere que a leitura e a compreensão compreendem aspectos
linguísticos, através da identificação das palavras, tanto ao nível do léxico como ao
nível da morfologia; a identificação da estrutura sintáctica do texto e aspectos
cognitivos, isto implica fazer uma análise semântica do texto, de modo a ter acesso ao
seu conteúdo conceptual e proposicional, isto é, ao seu sentido; fazer a sua análise
pragmática, que permite encontrar o seu tema e as ideias mais importantes nele
apresentadas; fazer a análise funcional do texto, para permitir determinar a sua
finalidade.
24
Língua Portuguesa e Matemática: competências transversais
A actual reorganização curricular, instituída pelo Decreto-Lei n.º 6/2001, de 18
de Janeiro, assume como objectivo estratégico a garantia de uma educação de base para
todos. Este programa concedeu especial ênfase nos domínios da Língua Portuguesa e da
Matemática, tendo como finalidade uma maior qualidade das aprendizagens, no âmbito
destas áreas curriculares.
Tendo por referência Fiske, Stubbs e Vigotsky, Menezes et al (2001) afirmam
que a Matemática e a Língua Portuguesa constituem dois pilares basilares da educação
de qualquer jovem. Esta é uma asserção que recolhe a quase unanimidade das opiniões,
já que ambas as disciplinas configuram instrumentos fundamentais de comunicação e
de pensamento. As pessoas pensam e comunicam utilizando uma determinada língua,
como, no nosso caso, o Português, e várias linguagens, como a da Matemática.
A ideia previamente definida e vulgarmente aceite é a de que o aluno, ao longo
do 1.º ciclo, deve desenvolver as capacidades de leitura, de escrita e de saber contar,
aprendizagens importantes que constam dos programas escolares. Estes princípios
orientadores vão de encontro e reforçam a ideia, anteriormente referida sobre a
importância destas duas disciplinas a nível do currículo do 1.º ciclo do EB.
Neste sentido, também Óscar Lopes (1970) confere definidamente uma relação
entre a Matemática e a Língua Portuguesa, quando afirma:
A lógica linguística e a lógica matemática não são duas lógicas diferentes, mas
dois graus ou usos (variavelmente eficazes) duma mesma lógica cuja
identificação se está progressivamente fazendo desde há dois milénios e meio,
pelo menos. Essa identificação, que é ao mesmo tempo construção recíproca,
vai-se lentamente impondo, quer no plano científico, quer no plano literário,
quer no plano didáctico. A lógica imanente à linguagem corrente quando
correctamente usada é extraordinariamente complicada (p.39).
Na perspectiva de Machado (1991), existe, entre a Matemática e a Língua
Portuguesa, uma relação de impregnação mútua. A impregnação revela-se, segundo o
autor, por meio de:
um paralelismo nas funções que desempenham, uma complementaridade nas
metas que perseguem, uma imbricação nas questões básicas relativas ao ensino
de ambas. É necessário reconhecer a essencialidade dessa impregnação e tê-la
como fundamento para a proposição de acções que visem a superação das
dificuldades com o ensino da matemática (p.10).
25
A Matemática e a língua materna constituem, segundo o autor, condição de
possibilidade de conhecimento em qualquer ramo, sendo responsáveis pela produção
dos próprios instrumentos que poderão usar, linguagem e pensamento.
No sentido de averiguar o grau de transversalidade que se pode encontrar entre a
Língua Portuguesa e a Matemática, Valadares (2003) teve necessidade de proceder ao
cruzamento entre as competências essenciais/situações de aprendizagem das duas
disciplinas, tendo, para tal, recorrido ao resultado de um estudo documental sobre as
Competências Essenciais do EB definidas pelo DEB/ME. Segundo a autora citada, o
Quadro 2.1 apresentado no Anexo 3 representa o estudo da transversalidade da Língua
Portuguesa com a Matemática. A autora pôde concluir, sem dúvida alguma, que pela
adequação e articulação entre as competências essenciais da Língua Portuguesa e da
Matemática, é evidente não só a possibilidade como a necessidade da sua
transversalidade. Está claro que o desenvolvimento das competências essenciais da
Matemática radica no desenvolvimento das competências essenciais da Língua
Portuguesa e delas dependem. Para esta autora, as situações de aprendizagem propostas
não só facultam como até apontam práticas relacionadas com os vários domínios da
Língua Portuguesa, nomeadamente, a leitura, a compreensão do oral, a expressão oral e
escrita e o funcionamento da língua, intensificando, assim, a ideia de que “A Língua
Portuguesa é o eixo central do currículo” (p.63).
Do estudo levado a cabo por esta autora, sobre as possibilidades de
transversalidade da Língua Portuguesa, assomam alguns dados conclusivos acerca das
opiniões veiculadas pelos docentes inquiridos do 2.º e 3.º ciclos do EB. Estes revelam
dois aspectos merecedores de uma importante reflexão: “sustentam que o nível de
desenvolvimento em Língua Portuguesa influencia a aprendizagem das outras
disciplinas e, paralelamente, atestam as enormes dificuldades reveladas pelos alunos, a
nível da sua competência linguística” (Valadares, 2003, p.76).
Óscar Lopes (1970) sugere a necessidade de cooperação entre professores de
Língua Portuguesa e de Matemática, desde o nível mais elementar até ao nível mais
elevado. Segundo este autor existe uma espécie de fosso entre as duas disciplinas,
criando dificuldades à didáctica da Língua Portuguesa e também à Matemática. Aponta
um erro muito enraizado: a oposição das Humanidades Clássicas às Humanidades
Modernas, ou Científicas. Refere que a gramática e a lógica formal tiveram a sua
origem juntas; mas, segundo o autor, a lógica ressurgiu, enquanto a gramática escolar
ainda não.
26
Prosseguindo, o autor afirma que:
A coexistência escolar necessária destas duas disciplinas básicas, que são a
Língua Portuguesa e a Matemática, evidencia que se não pode ser minimamente
culto sem, por meio de adequados exercícios formais, passar a graus superiores
de espontaneidade no uso da linguagem corrente; e sem, por outro lado, adquirir
estruturas de formalização racional, nalguns casos já imanentes à fala de todos
os dias mas dificilmente manipuláveis se a ela nos confinarmos (p.12).
Também o estudo levado a cabo por Menezes et al (2001) aponta para a
necessidade de articular a Matemática com a Língua Portuguesa tendo em atenção dois
níveis essenciais: o de estimular o trabalho colaborativo entre professores, podendo
contribuir, deste modo, para a construção de outra cultura profissional; e, o de fomentar
na sala de aula e nas duas disciplinas um trabalho de integração e complementaridade de
conhecimentos.
A Linguagem Dado o papel da linguagem na comunicação e na difusão das aprendizagens
escolares, para Sim-Sim, Duarte e Ferraz (1997) o desenvolvimento linguístico é factor
primordial no crescimento do sujeito. Para além do domínio implícito da língua, as
aprendizagens escolares, especialmente “o domínio da leitura e da escrita, dão origem a
formas de apreensão do conhecimento que mobilizam um conjunto de processos
cognitivos conducentes à consciencialização do conhecimento já implícito e à análise e
explicitação de regras, estratégias e técnicas que devem ser objecto de um ensino
sistematizado, rigoroso e cuidado por parte da escola” (p.36).
Linguagem e cognição são dois termos que, segundo Rebelo (2005), aparecem
constantemente associados. No entanto, as relações entre ambas são analisadas de modo
diferente, conforme o quadro teórico em que se apresentam.
Do ponto de vista de Piaget (1978), a característica mais peculiar da
humanidade não é a linguagem, mas a capacidade cognitiva superior que permite o
pensamento conceptual. A linguagem não estrutura o pensamento, mas é o pensamento
que dirige a própria linguagem. O desenvolvimento do pensamento começa no
indivíduo, alcançando, depois, o social. O indivíduo passa pelo pensamento autista,
seguindo a linguagem egocêntrica, até atingir o pensamento lógico, tornando
socializada a linguagem. Segundo este autor, parte-se do pensamento autístico não-
verbal para a fala socializada e para o pensamento lógico, através do pensamento e da
27
fala egocêntricos. À medida que as actividades da criança se tornam mais complexas, a
fala egocêntrica vai-se tornando adaptada para resolver problemas. Este processo é
desencadeado pelas acções da criança, pelos objectos com os quais vai lidando no seu
dia-a-dia, que representam a realidade e dão forma aos seus processos mentais.
Por sua vez, Vigotsky (2005) refere que tanto a fala como o pensamento têm a
sua origem na fala social, passando pela fala egocêntrica até chegar à fala interior, que
se vai estruturando gradualmente, sendo caracterizada como pensamento reflexivo.
Luria (1987) refere que para clarificar uma ideia, o melhor é procurar escrever,
expressar esta ideia em forma escrita. É exactamente por esse motivo que a linguagem
escrita, representando como que um trabalho sobre o meio e uma forma de enunciação,
possui tão grande importância na formação do pensamento. Este autor afirma que não é
apenas a linguagem oral que pode influenciar a escrita, mas a escrita também pode agir
sobre a oral. Assim, o indivíduo que possui um bom desenvolvimento da linguagem
escrita, transferirá as regras desta linguagem para a oral, falando, deste modo, como
escreve.
Para Vigotsky (2005), a comunicação humana prevê uma atitude generalizada,
constituindo um estádio avançado de desenvolvimento do significado da palavra. Apenas
são possíveis as formas mais elevadas da comunicação humana, porque o pensamento do
homem reflecte uma realidade conceptual. É por esta razão que certos pensamentos não
podem ser comunicados às crianças, mesmo que elas estejam familiarizadas com as
palavras necessárias. Pode ainda faltar-lhes o conceito adequado que, por si só, assegura
o seu pleno entendimento. A frequente dificuldade demonstrada pelas crianças na
aprendizagem de uma nova palavra é devida ao conceito que a palavra refere e não ao
som da mesma.
A Comunicação A ligação da Matemática à Língua Portuguesa, segundo Menezes et al (2001), é
extraordinariamente importante em contextos escolares, sobretudo no EB, uma vez que
ambas as disciplinas possuem aspectos comuns, nomeadamente a competência da
comunicação que as abarca transversalmente. É com base neste pressuposto que a
articulação da Matemática e da Língua Portuguesa faz todo o sentido. Assim, o factor
comunicação constitui um elemento fundamental para estabelecer a ponte entre a
Matemática e a Língua Portuguesa. Ambas as disciplinas merecem especial destaque
28
em qualquer sistema educativo, dado o seu papel imprescindível na formação dos
jovens, uma vez que elas promovem instrumentos para pensar e para comunicar.
A comunicação, no caso da Matemática, é, para os autores referidos, uma das
grandes competências que se espera que os alunos tenham desenvolvido no final do
Ensino Básico, a par das capacidades de resolver problemas, de raciocinar e de
interpretar a realidade com recurso às ferramentas conceptuais. A comunicação, entre os
alunos, tanto oral como escrita, representa um aspecto relevante a ser incrementado na
sala de aula e pelo professor, por facilitar o desenvolvimento de capacidades, de atitudes
e de conhecimentos.
A importância dada à comunicação, nos programas escolares de Matemática, é
ponto assente. É referida a relevante e estreita dependência entre os processos de
estruturação do pensamento e a linguagem, visando a promoção de actividades que
estimulem e impliquem a comunicação oral e escrita, de modo a que os alunos sejam
incitados a verbalizar os seus raciocínios, explicando, discutindo, confrontando
processos e resultados.
Menezes et al. (2001) afirmam que, de acordo com Almiro e Menezes, os
professores, tanto de Matemática como de Língua Portuguesa, têm chamado a atenção
para as grandes dificuldades dos alunos ao nível da comunicação, tanto no que se refere
à oralidade como à escrita. Porque, como aponta Stubbs, também citado por aqueles
autores, todo o ensino assenta na comunicação. O processo de ensino/aprendizagem
confunde-se com a própria comunicação, tornando-se, por essa razão, importante a
problematização de formas de actuação dos professores, muito particularmente de
Matemática e de Língua Portuguesa.
Segundo Shield e Swinson, referidos em Mamede (2002), a comunicação oral
tem um papel notório, na medida em que ajuda as crianças a clarificar o pensamento e a
estimular a compreensão. As crianças, quando comunicam, aprendem e são encorajadas
a representar, a falar, a ouvir, a ler e a escrever, tornando as suas aprendizagens mais
significativas. Ainda a respeito da comunicação oral, a autora refere a necessidade de os
alunos utilizarem uma linguagem adequada, de modo a que desenvolvam as suas
capacidades de argumentação matemática. De modo semelhante se passa com a
comunicação escrita, pois o facto de o aluno escrever sobre Matemática, facilitar-lhe-á o
acesso ao conhecimento e compreensão dos conteúdos matemáticos. Segundo a autora,
as tarefas de carácter não rotineiro, onde podem ser exploradas diversas estratégias de
resolução, são mais susceptíveis de promover a comunicação. São também o tipo de
29
tarefas onde as interacções assumem um papel relevante. Pois, poder interagir com os
colegas pode facilitar a construção do conhecimento, a aprendizagem de outras formas
de pensar e a clarificação do seu pensamento.
Também Ponte e Serrazina (2000) se referem ao aspecto da comunicação como
um importante processo matemático, transversal a todos os outros. Através de
comunicação, num dado grupo é possível a partilha de ideias matemáticas, tornando-se
acessível a sua alteração, consolidação e aprofundamento por cada indivíduo. Por outro
lado, a comunicação permite perceber o conhecimento matemático, tendo em
consideração as ideias dos outros e a interacção que possa existir. A comunicação das
nossas ideias permite que elas se tornem objectos de reflexão, discussão e refinamento.
É um passo fundamental na organização e clarificação do pensamento. A compreensão
das ideias e argumentos matemáticos torna-se mais facilitada, quando são articulados
oralmente ou por escrito.
Segundo os referidos autores, o programa de matemática, contemplado nas
normas do NCTM (2000), deve usar a comunicação, de forma a promover a
compreensão da Matemática, de modo a que todos os alunos: organizem e consolidem o
seu pensamento matemático para comunicar com os outros; expressem as suas ideias
matemáticas de modo coerente e claro para os colegas, professores e outras pessoas;
alarguem o seu conhecimento matemático, considerando o pensamento e as estratégias
dos outros; usem a linguagem matemática como um meio de expressão matemática
precisa, conforme Anexo 11.
Ponte e Serrazina (2000) afirmam que todos os alunos necessitam de pôr à prova
as suas ideias na aula de matemática para mostrar que são compreendidos e para
convencer os colegas e o professor. A interacção com os outros é um óptimo
instrumento de análise e aperfeiçoamento das ideias matemáticas. O facto de um aluno
tentar convencer outro colega da validade de um resultado, justificando e
argumentando, terá um impacto maior do que teria a leitura de uma página do seu
manual escolar. Assim, a defesa de uma ideia confere a noção de apropriação e de maior
envolvimento na actividade matemática.
Os mesmos autores declaram que os alunos começam por pensar as ideias
matemáticas por meio da língua natural. Aos poucos vão sendo integrados aspectos da
linguagem matemática. Muitas vezes, os alunos apercebem-se que determinados termos
são usados tanto por uma como por outra, com diferentes significados. É importante
perceber que os alunos só poderão desenvolver a sua competência no uso da linguagem
30
matemática a partir da linguagem natural. Este facto atesta a importância do processo de
compreensão/interpretação de textos, expressões, palavras e/ou enunciados na língua
materna como factor de sucesso na área de matemática.
De acordo com o DEB (2001), pode concluir-se que, quer ao nível da
formulação/resolução de problemas, quer ao nível das investigações matemáticas,
podemos considerar a comunicação como elemento fundamental para a concretização
deste tipo de actividades. A comunicação é utilizada na matemática de forma a que os
alunos possam, através da oralidade, da escrita, da leitura, interpretação e compreensão
de enunciados, resolver as tarefas requeridas pelo professor na sala de aulas.
Relativamente à resolução de problemas, é referido no DEB (2001) que este tipo
de trabalho constitui, em matemática, um contexto universal de aprendizagem e deve,
por isso, estar sempre presente, associada ao raciocínio e à comunicação e integrada
naturalmente nas diversas actividades.
No que se respeita às actividades de investigação, o mesmo documento refere
que os alunos exploram uma situação aberta, procuram regularidades, fazem e testam
conjecturas, argumentam e comunicam por escrito as suas conclusões. Qualquer tema
da matemática pode proporcionar ocasiões para a realização de actividades de natureza
investigativa. Este tipo de actividades também é favorável à ligação da matemática com
outras áreas do currículo (DEB, 2001), nomeadamente, a Língua Portuguesa. São
referidos no Anexo 11 aspectos gerais e específicos da Língua Portuguesa e da
Matemática.
Nas actividades de investigação, Martins, Maia, Menino, Rocha e Pires (2002)
referem que a competência de comunicação é excessivamente desenvolvida, pois o
ambiente de trabalho em que decorrem as actividades, possibilita que os alunos
“levantem questões, formulem hipóteses, exprimam ideias e negoceiem o significado
das palavras” (p.67). Deste modo, os alunos tornam claros os pensamentos matemáticos,
valorizando mais a Matemática e contribuindo para uma melhor compreensão da
mesma.
Segundo Mamede (2002), os problemas não rotineiros constituem desafios para
os alunos, na medida em que estes podem utilizar várias estratégias e métodos de
resolução. A resolução de problemas proporciona aos alunos momentos enriquecedores
na sala de aula, sendo privilegiadas a descoberta, a exploração e as interacções. Deste
modo, para esta autora, a comunicação e as interacções revelam-se aspectos importantes
no contexto de resolução de problemas.
31
Assim, esta autora defende, de acordo com o NCTM que:
a comunicação desempenha um papel importante na construção de elos de
ligação entre as noções informais e intuitivas das crianças e a linguagem
abstracta e simbólica da Matemática, mas assume também um papel
fundamental na construção de relações entre as representações físicas,
pictóricas, simbólicas, verbais e mentais das ideias matemáticas (p.115).
Martins et al. (2002) afirmam que, num estudo de actividades não rotineiras,
sobre a resolução de problemas e actividades de investigação, Chamoso e Rawson
verificaram que:
os alunos trabalharam de forma similar ao de um matemático ou investigador
quando confrontado com uma situação – primeiro observaram, explicaram o que
observaram e conjecturaram uma fórmula geral que depois comprovaram.
Assim, os alunos resolveram as tarefas recorrendo a processos próprios de uma
investigação, ou seja, foram construindo, experimentando, apoiando afirmações,
divergindo, perguntando, deduzindo, corrigindo, comprovando, explicando,
dirigindo a acção para outros, respondendo de uma forma crítica, justificando as
afirmações produzidas, fazendo suposições, formulando hipóteses e conjecturas,
generalizando… os autores registaram ainda outras particularidades, ajudando a
perceber melhor um ambiente de aula em que se trabalham investigações. A
professora quando solicitada para esclarecer dúvidas ou ajudar a ultrapassar uma
dificuldade, geralmente “devolvia” a questão para ser vista de outra perspectiva,
estimulando a comunicação e fomentando a qualidade dos registos escritos e
orais (p.71 e 72).
A respeito da comunicação oral, Mamede (2002) refere que, segundo Bassarear
e Pimm, é absolutamente interessante a sensibilização dos alunos para a utilização de
uma linguagem rigorosa e sucinta na transformação de informação. Uma das formas de
o conseguir consiste na estimulação do aluno para efectuar descrições de actividades ou
objectos, de modo a que estas possam ser compreendidas, de maneira correcta, por
alguém que esteve ausente. Relativamente à comunicação escrita, os autores citados
afirmam que escrever sobre a Matemática torna a aprendizagem dos alunos mais
facilitada, na medida em que encoraja à reflexão e à clarificação de ideias, promove e
fomenta nos alunos a compreensão do tema em estudo.
A comunicação é, segundo Menezes (2000), um processo fundamental da
actividade matemática que envolve professores e alunos, na sala de aula. Pela sua
natureza, a comunicação adopta um estatuto de transversalidade relativamente a outros
32
processos matemáticos, como é o caso da resolução de problemas. Neste sentido, a
comunicação não poderá desempenhar apenas um papel particularmente instrumental no
ensino e na aprendizagem da Matemática, porque o facto de falar não é suficiente. A
comunicação é a essência do ensino e da aprendizagem da Matemática escolar.
Menezes (2000), citando Brendefur e Frykholm, afirma que estes autores propõem
quatro modos de comunicação matemática: comunicação unidireccional; comunicação
contributiva; comunicação reflexiva; e comunicação instrutiva. No entanto, de todas, a
comunicação instrutiva, é considerada a mais adequada para fomentar na sala de aula,
uma vez que permite que o curso da experiência seja alterado como resultado da
conversação. Distingue-se dos outros modos por possuir uma dimensão metacognitiva.
De acordo com o projecto desenvolvido, Menezes (2000), os elementos
fundamentais que determinam a mudança das práticas comunicativas dos professores
são a valorização da comunicação como processo fundamental da actividade
matemática, associada à valorização da resolução de problemas. Assim, a resolução de
problemas assumiu uma importância relevante, como consequência da problematização
que os professores fizeram das suas práticas, emergindo como uma fonte de
dificuldades e de desafios.
Devido à transversalidade da comunicação no processo didáctico, uma
transformação a este nível tem grande influência em quase todos os outros domínios da
actividade instrutiva. Assim, a concordância dos professores com uma nova concepção
de comunicação matemática tem implicações na aprendizagem da Matemática e
consequências do seu lugar no currículo. A realização continuada de tarefas
problemáticas nas aulas, leva-os a avançar para novos padrões e modos de comunicação
de natureza mais interactiva (Menezes, 2000).
Resultados de estudos de investigação Matemática/Língua Portuguesa
Num estudo realizado, Malta (2003) pretende dar maior ênfase à importância da
linguagem no processo de aprendizagem em matemática. Analisar a necessidade do
“aprender a ler” e a expressar-se de forma organizada; ler no sentido mais amplo
possível, no sentido de adquirir conhecimentos a partir de fontes de registo,
nomeadamente, livros, textos ou meios de registo de conhecimentos que venham a ser
criados, sem a interferência directa de um explicador ao vivo. A autora aponta a
necessidade de os alunos desenvolverem as suas capacidades de leitura em Matemática
e de expressão do próprio raciocínio, proporcionando-lhes a compreensão e a utilização
33
de resultados matemáticos. Refere, também, que a actuação do professor deverá ser
consistente com o material didáctico, mas também incluir a promoção de actividades
que auxiliem ou mesmo obriguem o aluno a desenvolver a sua capacidade de leitura de
um texto matemático, com a finalidade de desenvolver a capacidade de aquisição de
conhecimentos matemáticos de forma autónoma.
Santos-Wagner (2001) refere a importância e a necessidade de utilizar diferentes
moldes para comunicar pensamentos e argumentos matemáticos. Esta preocupação
encontra-se directamente relacionada tanto com os assuntos compreendidos pelos
alunos como com aqueles assuntos que demonstram as suas dificuldades de
compreensão. Para a autora é importante que os alunos saibam comunicar, expressar e
articular, não só o que compreenderam, mas também no que sentem dificuldades em
entender durante as etapas envolvidas nos processos de aprender, ensinar e avaliar os
conceitos matemáticos. Assim, reconhece a importância de desenvolver uma literacia
matemática, isto é, proporcionar aos alunos oportunidades de se tornarem alfabetizados
em Matemática, aptos para argumentarem e para comunicarem as suas ideias e
pensamentos sobre os diversos conceitos explorados na Matemática escolar. Segundo a
autora, é importante fornecer tarefas aos alunos, que os auxiliem no desenvolvimento e
na melhoria da comunicação verbal, escrita e esquemática sobre os diversos conceitos
matemáticos explorados na sala de aulas.
A incorporação, apenas, do processo comunicativo de falar, esquematizar,
escrever, e registar o que se pensa, o que se sente e o que se entende, evidencia
inúmeras potencialidades. Alunos e professores possuem habilidades comunicativas
diferentes e podem desenvolver ao máximo todas as habilidades e potencialidades de
comunicação, se forem estimulados a trabalhar com todas elas de forma estável,
aprazível e integrada no processo educativo. Portanto, segundo a autora, é necessária a
exploração de todas as possíveis combinações do ciclo de comunicação que podem
ocorrer em sala de aula através do uso da fala, da leitura, da escrita, da exposição oral de
ideias lidas em textos didácticos ou exploradas em tarefas escolares, nomeadamente,
resolução de problemas e actividades de investigação, entre outras. Na sala de aulas,
deve ser propiciado um ambiente em que o professor e alunos sintam confiança,
motivação e desejo de aprender, de ensinar, de comentar, de analisar, de reagir, de
apreciar, de criticar e de comunicar com os outros. Neste sentido, urge a descoberta de
formas de estimulação e desenvolvimento das várias formas de discurso, de registos
34
feitos por professores e alunos, acerca de pensamentos, ideias e argumentos, em aulas
de Matemática.
Para esta autora, a capacidade de raciocinar, sobre a informação disponível é
crucial na tomada de decisões e é estimulada pelo acesso a fontes de informação
diversificadas e a pontos de vista não forçosamente convergentes. Por outro lado o
acesso à informação nunca foi tão fácil e tão rápido. É nesta perspectiva que a escola
nos surge como o interlocutor privilegiado para “ensinar” a transformar a informação
disponível em conhecimento, mediante o desenvolvimento das potencialidades
literácitas de cada aluno. Na promoção destas há que contemplar, por um lado, o
desenvolvimento das capacidades cognitivas individuais e, por outro, o acesso a
competências instrumentais, essenciais à obtenção de conhecimento via estudo (Santos-
Wagner, 2001).
Para Matos e Serrazina (1996), tanto explicar, como expor, têm um papel
importante no ensino da Matemática. Cabe ao professor o papel de explicador,
proporcionando aos alunos maior confiança no seu trabalho. O facto de os alunos
comunicarem com os outros, permite-lhes trabalhar no refinar e clarificar do que
compreendem e facilitará a aprendizagem se tiverem que explicar o que aprenderam a
mais alguém. Pedir aos alunos para explicarem por escrito o seu raciocínio e as suas
descobertas permite-lhes melhorar a sua capacidade de comunicação oral e escrita. Por
outro lado, este aspecto serve de reflexão sobre o que acabaram de explorar.
Para estes autores e segundo o consignado no NCTM compreender que
representar, discutir, ler, escrever e ouvir Matemática representam uma parte essencial
da aprendizagem e da utilização da Matemática.
Num estudo levado a cabo por Proudfit, referido por Leitão e Fernandes (1997)
a investigadora concluiu que ensinar os alunos a pensar sobre os processos de resolução
parece não ter ajudado na melhoria dos seus desempenhos. No entanto, atesta que a fase
crítica do processo de resolução de problemas não se encontra ao nível da habilidade
para ler, mas ao nível da compreensão, uma vez que a maioria dos erros resultava da
dificuldade de compreensão.
Figueiredo e Palhares (2005), referem a importância do desenvolvimento da
língua materna, particularmente ao nível da leitura, interpretação e compreensão de
qualquer enunciado, qualquer texto do quotidiano que seja colocado aos alunos, tanto na
sala como fora dela. Referem que a correlação existente entre os níveis de Língua
Portuguesa e a resolução de problemas de processo é muito alta. Isto justifica o que se
35
acabou de dizer: quanto mais alto o nível a Língua Portuguesa, maior é a capacidade do
aluno na resolução de problemas, admitindo que é a maior capacidade de ler, interpretar
e compreender os enunciados dos problemas, que explica o facto. Assim, pelo domínio
da língua materna, os alunos estarão aptos a resolver actividades matemáticas com
maior sucesso.
A hipótese básica, levantada por Machado (1991), era a de que a língua materna
deveria associar-se verdadeiramente aos processos de ensino da Matemática, não apenas
no que concerne à leitura dos enunciados, mas fundamentalmente como causa elementar
na construção dos conceitos, na apreensão das estruturas lógicas da argumentação e na
elaboração da própria linguagem matemática. O autor citado afirma que todas as
tentativas, mesmo as mais simples, de aprendizagem da Matemática prevêem um
conhecimento da língua materna, ainda que seja apenas na sua forma oral, uma vez que
proporciona a compreensão do significado dos objectos envolvidos ou das normas que
possibilitam a execução dos trabalhos propostos. Este aspecto poderá ser entendido
como uma verdadeira relação de complementaridade, de intercâmbio, e não apenas
como uma prestação de serviços por parte da Matemática.
A superação das dificuldades do ensino passa pelo reconhecimento da
essencialidade da impregnação mútua entre a língua materna e a Matemática e, em
consequência, da absoluta necessidade da utilização inicial das noções intuitivas,
aproximadas, imprecisas, mas fecundas e significativas, descortinadas através do
recurso à língua (Machado, 1991, p.157). Neste sentido, e seguindo o mesmo fio
condutor, Ponte e Serrazina (2000) afirmam que a Língua Portuguesa é a base de todo o
pensamento, incluindo o pensamento matemático.
A importância da resolução/formulação de problemas e actividades de investigação
em Matemática
De acordo com o Programa do 1º Ciclo do EB, os objectivos basilares do ensino
da Matemática constam do desenvolvimento das capacidades de raciocinar, de
comunicar e de resolver problemas. Segundo este documento, a resolução de problemas
é uma actividade fundamental, já que promove o desenvolvimento do raciocínio e da
comunicação, colocando os alunos numa postura activa de aprendizagem, criando a
oportunidade da construção de noções matemáticas, como resposta às investigações
levantadas, nomeadamente, de exploração e de descoberta de novos conceitos, na sua
aplicação a situações novas.
36
A ênfase posta na temática da resolução de problemas nos actuais programas de
matemática, ao nível do 1º Ciclo do EB é certamente devida ao facto de se tratar de
uma actividade que proporciona aos alunos o desenvolvimento do raciocínio, ajudando-
os na resolução de problemas do quotidiano. Mas também porque, através da
compreensão, os alunos estarão aptos a aplicar o que aprenderam a situações novas,
verificando, assim, os conhecimentos. Uma das principais finalidades da Matemática no
EB é, por isso, permitir que os alunos possam desenvolver as suas capacidades e a sua
competência na resolução de problemas.
Segundo Afonso e Gabriel (2001), a relevância que assume a resolução de
problemas, neste ciclo de escolaridade, vem ao encontro das competências essenciais
para a Educação Básica, no ensino da Matemática (ME, 1999). Neste documento, pode
ler-se que a resolução de problemas “constitui um contexto universal de aprendizagem”
e que, por isso, deve estar sempre presente, associada ao raciocínio e à comunicação e
integrada naturalmente nos diversos tipos de actividades” (p.8).
No que diz respeito aos Standards, (NCTM, 2000) referidos em Afonso e
Gabriel (2001), a resolução de problemas deveria ser o suporte do currículo de
Matemática. Assim sendo, é considerado um propósito de extrema importância no
ensino da Matemática e parte integral de toda a actividade matemática. A resolução de
problemas constitui um processo que atravessa todo o programa e fornece o contexto
em que os conceitos devem ser aprendidos e as competências desenvolvidas.
De acordo com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM),
também citado em Afonso e Gabriel (2001), considera-se que através da aprendizagem
da resolução de problemas, são adquiridos pelos alunos, meios de pensamento, hábitos
de persistência, curiosidade e confiança em situações não familiares, que os tornarão
aptos a resolver situações fora do contexto de sala de aula de Matemática.
Afonso e Gabriel (2001) defendem que, a resolução de problemas é uma
temática de tal ordem importante que não pode funcionar como uma parte isolada do
programa, mas de forma completamente integrada na aprendizagem matemática. Estes
autores referem que o ensino da resolução de problemas permite dotar os alunos da
competência de aprender a aprender, tornando-os autónomos e responsáveis pelos seus
trabalhos. Assim, será desenvolvido nos alunos o hábito de procurar as respostas às
questões que vão surgindo no seu quotidiano.
A importância da resolução de problemas, no processo ensino/aprendizagem de
Matemática, segundo Garcia (1989), excede amplamente a importância da resolução de
37
exercícios, porque esta prática induz os alunos à mecanização de certos algoritmos e ao
decorar da matéria. Na resolução de problemas, o aluno não só consolida
conhecimentos, mas também inter-relaciona esses conhecimentos, desenvolvendo o
raciocínio e a criatividade, e muito particularmente, a compreensão e aplicação da
Matemática a situações concretas. Promove-se, deste modo, o gosto pela Matemática.
Para Borralho (2004), a aprendizagem da resolução de problemas é um
propósito firme, reconhecido como uma das finalidades mais consideráveis da
Matemática escolar. Pode ver-se, segundo este autor, definido este aspecto, em
publicações importantes, ao nível das orientações curriculares para o ensino básico,
nomeadamente na Agenda for Action, Curriculum and Evaluation Standards for School
Mathematics e nos Principles and Standards for School Mathematics do NCTM (1989).
Também em Portugal se tem verificado preocupações neste sentido, mais
concretamente através do CNEB (2001), que aponta para o desenvolvimento, entre
outras, das seguintes competências gerais: pesquisar; seleccionar e organizar
informação para a transformar em conhecimento mobilizável; e adoptar estratégias
adequadas à resolução de problemas e à tomada de decisões. Todas estas competências
mantêm uma relação directa com a actividade de resolução de problemas.
O CNEB (2001), a nível das competências específicas, revela de modo explícito
que o realce da Matemática escolar não está na aquisição de conhecimentos isolados e
no domínio de regras e técnicas, mas na capacidade de utilizar a Matemática na
resolução de problemas, no raciocínio e na comunicação.
Neste sentido, Borralho (2004) afirma que a resolução de problemas é parte
integrante de toda a aprendizagem da Matemática, proporcionando aos alunos a
construção de novo conhecimento, a aplicação e a adaptação a uma variedade de
estratégias apropriadas e a reflexão sobre os processos matemáticos envolvidos.
Para Moreira (1989), bastaria a resolução de problemas ser uma actividade
estimulante e desafiadora, para fundamentar a sua inclusão nos currículos. Resolver
problemas é, porém, muito mais do que isso. Esta autora refere que, tanto a resolução
como a formulação de problemas têm constituído a base do crescimento do corpo de
conhecimentos matemáticos. Há a salientar, de acordo com a autora, três perspectivas
sobre a resolução de problemas: (1) ensinar conceitos, técnicas, regras, etc, para
resolver problemas no futuro; (2) ensinar a resolver problemas, passando pelo ensino
sistemático de técnicas e de estratégias gerais e específicas para a resolução de
problemas; (3) ensinar, através da resolução de problemas, proporcionando sempre uma
38
abordagem problemática de situações muito amplas e abertas que conduzam à
formulação de novos e diferentes problemas, para cuja resolução é necessário construir
conceitos, desenvolver estratégias e adquirir técnicas.
Para Mesquita e Paradinha (1989), a implementação da actividade de resolução
de problemas na sala de aula pretende o desenvolvimento, entre outras, da capacidade
de encontrar estratégias, testá-las, reformulá-las, descobrir relações, estimar e mesmo
formular novos problemas.
Estudar as atitudes dos alunos, relativamente à resolução de problemas,
pesquisar que tipos de problemas os alunos gostam e têm mais facilidade em resolver,
saber até que ponto os alunos se encontram aptos a resolver problemas são algumas
questões que Garcia (1989) acha pertinente dar resposta, tendo como finalidade uma
melhor adequação desta prática junto dos alunos.
O documento do DEB (2001) refere que os alunos deverão ter a oportunidade de
se envolver em variados tipos de experiências de aprendizagem. A resolução de
problemas, as actividades de investigação matemática, a formulação de problemas, a
realização de projectos e jogos e outros constituem desafios para os alunos e devem
integrar as suas experiências. Ao se envolverem na resolução destas actividades, os
alunos terão oportunidade de explorar situações abertas, de encontrar regularidades, de
fazer e testar conjecturas, argumentando e comunicando as suas conclusões oralmente
ou por escrito.
Mamede (2002), citando Bassarear, refere que este autor na resolução de
problemas distingue dois tipos fundamentais de capacidades que devem ser estimuladas
e desenvolvidas nos alunos: (1) a capacidade de comunicar consigo mesmo perante um
problema, possibilitando o desenvolvimento de estratégias de resolução que considere
fazerem sentido na busca da solução; (2) a capacidade do aluno comunicar com os
outros, partilhando as suas observações e soluções encontradas, mas também
compreendendo as observações e soluções apresentadas pelos outros.
Esta abordagem à resolução de problemas, no âmbito do ensino da Matemática,
pressupõe a concepção e a definição de problema e de resolução de problemas. Segundo
Fonseca (1997), estes termos são compreendidos, de forma distinta, entre professores e
investigadores, conforme as suas concepções, experiências e conhecimentos. Vale
(1997) defende, por sua vez, que a resolução de problemas é uma metodologia de
ensino-aprendizagem da Matemática e não apenas um simples conteúdo de Matemática.
É uma actividade elementar, particularmente no ensino básico, pelo carácter transversal
39
que esta assume perante as restantes áreas curriculares e pelo propósito do
desenvolvimento das capacidades dos alunos.
Tendo por base referências de alguns autores, Fonseca (1997) afirma que para
Pólya ter um problema implica o envolvimento na busca consciente de algum acto
adequado capaz de dar resposta, ainda que esta não seja prontamente alcançada. Para
Mason, a resolução de problemas é considerado um empreendimento que visa a
resolução ou a reformulação de questões não estruturadas, sem que haja, para tal, uma
técnica específica. Já Lester encara a resolução de problemas como uma série de actos
agregados e implementados para o desempenho de uma tarefa. Mayer afirma que a
resolução de problemas exige uma sequência de operações mentais e tem como
principal propósito a descoberta da passagem de uma situação a outra situação pelo
“resolvedor”.
Na maioria das vezes, a resolução dos problemas de processo não envolve a
aplicação directa de um algoritmo, mas a utilização de estratégias de resolução de
problemas a que Vale e Pimentel (2004, p.24) fazem referência: a) Descobrir um
padrão/Descobrir uma regra ou lei de formação – esta estratégia centra-se em certos
passos do problema e a solução é encontrada por generalizações de soluções específicas;
b) Fazer tentativas/Fazer conjecturas – nesta estratégia tem que se “adivinhar” a
solução, segundo os dados do problema, e confirmar ou não as condições do problema;
c) Trabalhar do fim para o princípio – nesta estratégia começa-se pelo fim ou pelo
que se quer provar; d) Usar dedução lógica/Fazer eliminação – nesta estratégia
encaram-se todas as hipóteses e vai-se eliminando, uma a uma, aquelas que não são
possíveis; e) Reduzir a um problema mais simples/Decomposição/Simplificação –
esta estratégia implica resolver um caso particular de um problema. Normalmente,
aparece associada à estratégia de descoberta de um padrão; f) Fazer uma
simulação/Fazer uma experimentação/Fazer uma dramatização – esta estratégia
consiste em utilizar objectos, criar um modelo ou fazer uma dramatização que traduza o
problema a ser resolvido; g) Fazer um desenho, diagrama, gráfico ou esquema – um
desenho vale mais do mil palavras; h) Fazer uma lista organizada ou fazer uma
tabela - utiliza-se como estratégia de resolução ou simplesmente para representar,
organizar e guardar informação.
Sempre que se aborda a questão da resolução de problemas, conforme Fernandes
(1989), apreende-se com alguma facilidade que o modelo utilizado no processo de
ensino/aprendizagem é praticamente sempre o mesmo, ou seja, o modelo de Pólya. Este
40
modelo descreve quatro fases a seguir aquando da resolução de um problema:
compreender, planear, executar e avaliar. Estas fases permitem que a ênfase da
resolução de problemas não seja apenas a resolução de uma mera actividade, mas que
proporcione a cada aluno a compreensão, antes de tudo, do enunciado matemático. O
professor desempenha aqui um papel relevante, fornecendo o apoio necessário aos
alunos, neste tipo de tarefa. Antes de entrar na resolução de problemas, é fundamental a
discussão de possíveis estratégias de resolução. Nesta fase, é essencialmente necessária
a leitura do enunciado e a sua discussão, de forma a que o significado das palavras, das
frases e/ou das expressões seja compreendido pelos alunos. De seguida, e para que a
compreensão seja generalizada, é importante que seja promovida uma discussão com
base em questões relacionadas com o enunciado, de modo a poderem ser esclarecidos
aspectos úteis na resolução do problema. Um outro aspecto realmente interessante é
pedir aos alunos que sugiram as estratégias mais apropriadas à resolução do problema,
pois, ao fazê-lo, os alunos estão a desenvolver e a generalizar a sua compreensão. Ao
desenvolver estes aspectos - leitura, interpretação, reconhecimento do significado das
palavras - prevê-se que os alunos identifiquem estratégias e sugiram pistas prováveis de
resolução.
Na fase seguinte da resolução de problemas, as dificuldades que vão surgindo
devem ser superadas através da intervenção e ajuda do professor, que tem aqui um papel
de moderador. Assim, poderão ser desenvolvidas as seguintes actividades: observação
dos alunos e colocação de questões acerca do trabalho que estão a desenvolver; fornecer
pistas e sugestões que permitam ao aluno a utilização de estratégias mais apropriadas à
resolução de problemas. Este desempenho poderá proporcionar uma nova formulação
das questões da fase anterior, para que se torne mais facilitada a resolução de
problemas.
Após a resolução de problemas, é fundamental a discussão e análise do trabalho
realizado, da forma como foi feito e como poderia ter sido feito. Assim, poder-se-ão
discutir as soluções descobertas e pedir aos alunos para indicar e discutir as estratégias
usadas na resolução do problema.
Um dos resultados mais proveitosos da resolução de problemas é tentar
relacionar o problema que foi resolvido com outros do mesmo tipo, aplicando os
conhecimentos adquiridos a situações concretas.
41
É importante que os alunos se vão familiarizando com as fases enumeradas por
Pólya, porque estas podem facilitar-lhes a resolução dos problemas, desenvolvendo-lhes
as capacidades propostas nas referidas fases.
De uma forma abreviada, Vale e Pimentel (2004), das fases previstas por Pólya
na resolução de problemas, destacam as seguintes: ler e compreender o problema. Deve
ser lida toda a informação, identificados todos os dados e as condições da situação
apresentada, analisadas e discutidas todas as palavras, expressões e condições, ou seja,
devem ser identificados os dados principais do problema, facilitando a interpretação e a
compreensão pretendidas, de modo a permitir a decodificação dos dados necessários à
resolução do problema. No processo de resolução de problemas, ler e compreender o
problema implica, assim, a exploração da mensagem contida no enunciado.
Serrazina, Vale, Fonseca e Pimentel (2002) afirmam que a resolução de
problemas e as investigações matemáticas têm muitos pontos comuns, proporcionando
actividades que envolvem processos complexos de pensamento. É importante
apresentar, aos alunos, propostas de trabalho interessantes, que envolvam conceitos
matemáticos fundamentais e onde os alunos tenham oportunidades para experimentar,
discutir, formular, conjecturar, generalizar, provar, comunicar as suas ideias e tomar
decisões. A resolução de problemas permite aos alunos entenderem melhor o
ensino/aprendizagem da Matemática e a própria Matemática.
Do trabalho desenvolvido em (O trabalho investigativo nas aprendizagens
iniciais da matemática), Martins, Maia, Menino, Rocha e Pires (2002) concluíram o
seguinte:
quando se dá maior relevo ao envolvimento dos alunos com o trabalho
matemático que estão a efectuar, em vez do conteúdo ou tema matemático, o
professor coloca a tónica essencial num processo activo e aglutinador que faz
emergir uma noção de actividade matemática totalmente distinta do trabalho
rotineiro desenvolvido em algumas aulas de matemática. Esta actividade
matemática surge de propostas abertas em que os percursos são negociados
pelos intervenientes; a definição destes percursos faz crescer, nos alunos, o
espírito de iniciativa e autonomia, a persistência e a criatividade. Neste contexto,
a competência de comunicação é extraordinariamente desenvolvida, o ambiente
em que decorre o trabalho possibilita que os alunos levantem questões,
formulem hipóteses, exprimam ideias e negoceiem o significado das palavras.
Os alunos clarificam o seu pensamento matemático, dando assim valor à
matemática e contribuindo para o desenvolvimento de saberes que permitam
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uma melhor compreensão conceptual da matemática e o desenvolvimento de
capacidades de ordem superior (p.67).
Os autores referem que as actividades de investigação matemática são
actividades abertas, comprometendo os alunos num envolvimento em terreno
desconhecido, ao recolherem dados, detectarem diferenças, reconhecerem regularidades
e padrões, estabelecerem analogias e sobretudo permitirem-lhes um sentido de
investigação e descoberta. Este tipo de exploração garante a formulação de conjecturas,
a argumentação e a demonstração, actividades fundamentais na Matemática. Além
destes aspectos, a comunicação é altamente desenvolvida, neste contexto, permitindo
desenvolver nos alunos, ao longo da escolaridade, a capacidade de argumentação, com
evidência e firmeza. As tarefas de exploração e de investigação possibilitam aos alunos
a construção de pequenas cadeias de raciocínio dedutivo, baseando-se em evidências
empíricas e em factos previamente aceites. Permitem, também, a elaboração sistemática
de conjecturas, podendo ser discutidas com base na argumentação consistente. Esta
capacidade de argumentação é desenvolvida nos alunos, quando estes são estimulados a
fazer conjecturas, quando lhes é proporcionado tempo para procurarem evidências que
as apoiem ou contestem, e quando são obrigados a explicar e a justificar as suas ideias.
As investigações matemáticas são situações/tarefas mais abertas, menos
estruturadas, que, na maioria das vezes, podem não ter uma solução única, exigindo que
o aluno percorra os passos do investigador, de modo a chegar a algum resultado.
Para Vale e Pimentel (2004), as investigações matemáticas proporcionam
experiências de excepcional riqueza para o pensamento, nomeadamente “a descoberta
de padrões, a elaboração, teste, refutação ou prova de conjecturas e o estabelecimento
de generalizações” (p.37).
Pirie, citado em Vale e Pimentel (2004), afirma que numa tarefa de investigação
os dados são desconhecidos para os alunos, não sendo esperada uma resposta correcta.
Assim, os alunos terão de explorar as possibilidades, conjecturar e convencer-se a si
próprios e aos outros da legitimidade das suas descobertas. Quer isto dizer que, quando
os alunos fazem conjecturas, eles têm de as justificar, se for esse o caso, para as provar.
No documento, Currículo Nacional do ensino Básico (DEB, 2001) está previsto
que os alunos explorem situações abertas, procurem regularidades, façam e testem
conjecturas, argumentem e comuniquem as suas conclusões, quer oralmente, quer
através da escrita.
43
Com base em Stevenson, Vale e Pimentel (2004, p.37) apresentam três fases
relativas às investigações matemáticas: a) Fase indutiva – nesta fase, prevê-se uma
exploração inicial, de modo a tomar contacto com a proposta e a ter uma ideia precisa
sobre a questão central. De seguida é feita uma sistematização e organização dos dados
com vista ao seu relacionamento, levando à procura de um padrão ou regularidade
nesses dados. Por fim é feita a testagem do padrão em mais dados e a formulação de
uma conjectura; b) Fase dedutiva – nesta fase, prevê-se a argumentação com vista à
justificação da conjectura feita e a demonstração dessa conjectura. c) Fase criativa –
nesta fase, prevê-se a procura de extensões da questão em estudo.
Referindo-se à formulação de problemas, Matos e Serrazina (1996) afirmam que
para Mason, “o facto de um aluno ser desafiado a formular o seu próprio problema
proporciona condições de um maior envolvimento e, consequentemente, um maior
entusiasmo na sua resolução” (p.144). Assim, nas aulas, os alunos devem ter muitas
oportunidades, tanto para formular problemas como para observar o professor a
formular problemas. Citando Schwartz, os mesmos autores referem que a formulação de
problemas é importante e desenvolve nos alunos o gosto de explorar e analisar
conjecturas, facilitando uma atitude crítica e de investigação, componentes muito
importantes da sua educação.
Martins et al. (2002), acerca da natureza das investigações na aula de
Matemática, referem que o documento português, DEB, utiliza expressões como
desenvolvimento de modelos matemáticos; actividades de exploração, investigação e
descoberta; formulação de conjecturas, discussão e comunicação; argumentação e
prova; construção de conceitos; resolução e formulação de problemas. A este propósito,
referem que para Silver, a formulação de problemas é caracterizada como uma
actividade de ensino de cunho investigativo. Referem, ainda, a importância da
formulação de problemas da parte dos alunos, considerando-a uma componente vital da
resolução de problemas, uma vez que, ao formular um problema poder-se-á partir de
uma questão não muito bem definida, ou conduzir a outras questões e, deste modo, os
alunos já estão a iniciar uma investigação.
Palhares (1997) refere que para Pólya a experiência do aluno em termos
matemáticos não poderia estar completa, se este não resolver um problema inventado
por ele próprio. No entanto, só muito recentemente a questão da formulação de
problemas tem sido abordada e despertado interesse na comunidade educativa. Palhares
(1997) fazendo referência a Ernest, Silver e Schwartz, afirma que existem diversas
44
recomendações para a introdução da formulação de problemas na sala de aula. Os
autores citados afirmam que este tipo de actividade assume particularmente
preocupações ideológicas e pedagógicas, por considerarem existir uma ligação entre a
formulação de problemas e a actividade criativa ou excepcional capacidade matemática;
actividade que favorece o ensino orientado para a pesquisa; actividade que constitui um
aspecto relevante da actividade matemática; meio de melhorar a resolução de
problemas; meio que permite observar a capacidade matemática dos alunos; e, meio de
melhorar as atitudes dos alunos face à Matemática.
Palhares (1997) sugere diversas estratégias para a formulação de problemas,
tendo por referência alguns autores. Afirma que, para Walter e Brown, uma das
estratégias terá como ponto de partida a questão: “E se em vez disso?” e ainda
“Aceitando os dados”. Pólya e Palhares partilham um ponto comum, a formulação de
problemas a partir de problemas anteriormente resolvidos. Neste sentido, Palhares
(1997) aponta estratégias de “Variação de um problema” e a “Recontextualização”.
A propósito da “Recontextualização”, Palhares (1997) refere que esta estratégia
foi usada inicialmente com alunos do 1.º ciclo, mas que poderá aplicar-se também nos
outros níveis de ensino. Segundo este autor, podem ser formulados novos problemas
com base em problemas já resolvidos, a partir da identificação de alguma característica,
fixando essa característica e envolvendo-a em novo contexto.
Na formulação de problemas, segundo Palhares (1997), o indivíduo é
denominado de formulador, ou seja, a pessoa que inventa o problema para si ou para os
outros. Tal como já foi referido, o formulador poderá inventar o problema, partindo de
uma situação ou de outro problema.
Para Vale e Pimentel (2004), a formulação de problemas facilita aos alunos a
invenção de problemas, usando a sua própria linguagem e de acordo com as próprias
vivências e contextos dos mesmos. Estas autoras referem que, para Pólya, é essencial a
variação de um problema, quando estamos envolvidos com este tipo de trabalho.
Poderão ser criados novos problemas por meio da decomposição e recomposição, da
analogia, da particularização e generalização, conforme já fora referido anteriormente.
Resumo
Neste capítulo, fez-se uma análise das orientações curriculares e programáticas
das disciplinas de Matemática e Língua Portuguesa, ao nível do 1.º ciclo do EB, em
geral, e do 4.º ano de escolaridade, em particular. Fez-se, por outro lado, uma leitura dos
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principais estudos publicados sobre a problemática, tema desta investigação. Face aos
estudos a que se teve acesso, é ainda reduzida a bibliografia, tanto a nível nacional
como internacional, sobre a importância de conhecimentos em língua materna e o
ensino e a aprendizagem da Matemática.
No entanto, a grande maioria dos autores, Figueiredo e Palhares (2005),
Menezes et al. (2001), Valadares (2003), Machado (1991), defende que o sucesso, na
aprendizagem desta disciplina, está intimamente relacionado com o domínio
consolidado das competências em língua materna, as quais são consideradas
indispensáveis à interpretação, compreensão e resolução de problemas. Neste mesmo
sentido apontam documentos oficiais do Ministério da Educação, nomeadamente, a
Organização Curricular e Programas – Ensino Básico 1.º Ciclo -4.ª edição (2004), e o
Currículo Nacional de Ensino Básico – Competências Essenciais (2001), onde se
chama a atenção para a transversalidade da Língua Portuguesa no ensino e
aprendizagem das restantes disciplinas. Neste campo, a comunicação, tanto oral como
escrita, constitui um factor essencial para estabelecer a ligação entre a Matemática e a
Língua Portuguesa, por permitir o clarificar do pensamento e a estimulação da
compreensão. É neste sentido que em resolução de problemas, nomeadamente, de
processo, a comunicação assume especial relevância no ensino e na aprendizagem da
Matemática, como defendem Mamede (2002), Matos e Serrazina (1996), Martins et al.
(2002), Menezes (2000).
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CAPÍTULO III - Metodologia de investigação
No presente capítulo efectua-se a descrição da metodologia adoptada neste
estudo. Faz-se referência ao contexto da investigação, à construção de instrumentos para
a recolha e análise de dados, à calendarização da investigação e ainda às fases da
intervenção pedagógica.
Opções Metodológicas
Nesta investigação foi privilegiada uma abordagem de natureza qualitativa, uma
vez que se pretendeu uma observação detalhada e uma compreensão pormenorizadas de
um contexto educativo. Optou-se, assim, por realizar um estudo de caso. Vale (2004)
refere que, apesar do estudo de caso constituir uma metodologia de abordagem
aparentemente simples, na realidade reveste-se de grande complexidade, garantindo os
ambicionados critérios de qualidade. Este tipo de investigação exige um “intenso e/ou
prolongado contacto” com a realidade que se pretende estudar, reflectindo o “dia-a-dia
dos indivíduos, grupos, sociedades e organizações” (Vale, 2004, p.177).
Cohen e Manion (1990) referem que o investigador, que utiliza o estudo de caso,
observa as características de uma unidade, de uma criança, de um grupo, de uma turma,
de uma escola ou de uma comunidade. Neste estudo foram sujeitos quatro casos
constituídos, cada um, por um par de alunos do 4.º ano de escolaridade. A investigadora
foi o principal instrumento de recolha de dados.
Yin (1989) refere que o estudo de caso é uma inquirição empírica que investiga
um fenómeno actual num contexto da vida real, quando o limite entre o fenómeno e o
contexto não se apresenta de forma clara e onde são usadas diversas fontes de
evidências. O caso é especializado no modo e na capacidade de lidar com uma completa
variedade de evidências, nomeadamente, documentos, artefactos, entrevistas e
observações.
Vale (2004) refere que Yin e Ponte defendem a mesma opinião a de que o
estudo de caso é adequado para responder às questões “como” e “porquê”, uma vez que,
as respostas a estas questões explicativas se verificam e ocorrem ao longo de um
período de tempo.
Ponte (1994) aponta três características fundamentais de um estudo de caso: (a)
trata-se de um tipo de pesquisa com um forte cunho descritivo. Neste estudo, o
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investigador não pretende alterar a situação, mas compreendê-la tal como ela é. O
estudo de caso pode ter um profundo alcance analítico, interrogando a situação,
confrontando-a com outras situações já conhecidas e com teorias existentes, podendo,
assim, gerar novas teorias e novas questões de investigação; (b) este tipo de
investigação não é experimental. Geralmente, apela-se a este tipo de investigação
quando não se tem controlo sobre os acontecimentos, não sendo possível, portanto,
manipular as potenciais causas do comportamento dos participantes; (c) trata-se de uma
investigação de natureza empírica e baseia-se fortemente em trabalho de campo ou em
análise documental.
São cada vez mais comuns os estudos de caso de natureza qualitativa, também
designados por naturalistas, conforme Bogdan e Biklen (1994), ao citarem Guba e Wolf,
porque o investigador frequenta os locais em que ocorrem os fenómenos nos quais está
interessado, recaindo os dados recolhidos sobre os comportamentos naturais
observados. Os resultados de um estudo de caso podem ser dados a conhecer de
diversas maneiras, incluindo textos escritos, comunicações orais ou registos em vídeo.
No entanto, o seu relato assume com frequência a forma de uma narrativa cujo objectivo
é contar uma história que acrescente algo de significativo ao conhecimento existente e
seja tanto quanto possível interessante e iluminativa. Este aspecto é consequência da
própria natureza do estudo de caso: chamar a atenção para o que há de interessante,
original e surpreendente na situação estudada, objectivo que pode ser muito bem servido
por um relato narrativo; desde que se salvaguardem a descrição metodológica e a
apresentação dos dados, sem os quais não se pode falar de relatos de trabalhos
científicos.
Contexto da Investigação
A escola do 1.º ciclo do EB onde foi implementado o estudo insere-se numa
zona urbana. Apesar de recente, o edifício já vai tendo dificuldade em dar resposta às
necessidades, por falta de vaga, pois conta com 236 alunos. A escola encontra-se
equipada com pouco material para a Matemática e em mau estado de conservação. Em
virtude de haver professores, desta escola, a frequentar o Programa de Formação
Contínua em Matemática, a instituição de Ensino Superior responsável pelo programa
no distrito disponibilizou material diversificado que pode ser requisitado por todas as
escolas do 1.º ciclo do Agrupamento.
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As actividades lectivas desenvolvem-se em horário normal, sendo o almoço
assegurado pelo refeitório da EB2.3.
A professora A professora da turma lecciona há vinte e oito anos e está nesta escola há três,
altura em tomou conta da turma onde foi implementado o estudo. Concluiu, em 1998, o
curso de Complemento de Formação que a habilitou com a licenciatura em ensino de
Inglês Precoce.
Refere o gosto pelo ensino e pelo contacto com as crianças. Gosta de se
envolver em projectos, juntamente com os seus alunos, por considerar que são
actividades enriquecedoras e motivadoras no processo de ensino/aprendizagem. Nesta
fase de escolaridade considera fundamental que os alunos façam uma boa
aprendizagem da leitura, análise e interpretação de textos, pois delas dependem e estão
comprometidas todas as restantes áreas curriculares. Por isso, nas suas aulas, dá mais
importância ao reconto de um texto ou de uma história, à resolução de problemas e a
aspectos referentes a problemas actuais, nomeadamente, a cidadania, o civismo, entre
outros que se encontram com eles implicados. Apesar de dar prioridade à Língua
Portuguesa, colocando-a em primeiro lugar, relativamente às outras áreas de estudo,
reconhece que é à Matemática que mais tempo dedica, por apreciar o ensino desta
disciplina. Considera possível que todos aprendam Matemática, desde que cada aluno
aprenda a gostar e a apreciar a Matemática. Na aprendizagem da Matemática, considera
relevante o raciocínio, o saber seguir passos para chegar a uma conclusão e também a
parte técnica. Considera que, mais do que as explicações do professor, é importante
uma boa compreensão das situações. Por essa razão considera pertinente a comunicação
das experiências da aprendizagem na Matemática pelos alunos, pois ao partilhar as suas
ideias com os outros, estão a interiorizar os conceitos e a aprender Matemática.
Refere haver uma relação muito forte entre as áreas de Língua Portuguesa e de
Matemática, muito particularmente no aspecto da interpretação e compreensão do texto
lido, pois só se pode entender o que é pedido, após uma boa leitura. Por essa razão,
considera que é sobretudo ao nível da resolução de problemas que a Matemática exige
maior domínio da Língua Portuguesa, estabelecendo sobre esta primordial influência.
Alunos participantes O presente estudo foi implementado numa turma do 4.º ano de escolaridade do
1.º ciclo do EB, porque é um ano em que, à partida, os alunos já são capazes de ler
49
fluentemente, são mais autónomos na interpretação/compreensão de textos e a
resolução de problemas é uma actividade fortemente implementada na sala de aula. A
turma é constituída por 24 alunos e estão juntos desde o 1.º ano. Este aspecto constituiu
uma razão sólida que esteve na base desta selecção. Existem na turma 15 rapazes e 9
raparigas. Todos os alunos estão incluídos na idade padrão.
A turma inclui alguns casos de alunos com algumas dificuldades de
aprendizagem; no entanto, segundo a professora, a maior parte tem bom
aproveitamento em todas as áreas curriculares disciplinares, sendo um grupo bastante
homogéneo, dado o interesse pelo estudo e pela aprendizagem em geral.
No que concerne ao comportamento, a turma é sossegada e disciplinada.
De acordo com a professora, desde muito cedo, os alunos foram habituados à
resolução de problemas, por constituir uma actividade fundamental da Matemática e
por poder abarcar todos os conteúdos matemáticos ao nível do programa. Geralmente,
os problemas propostos são resolvidos através da utilização dos quatro algoritmos e
relacionados com os conteúdos constantes do programa do 4.º ano. Muito recentemente,
os manuais escolares começaram a introduzir problemas não rotineiros, nomeadamente
problemas de processo que vão sendo resolvidos com algum agrado por parte dos
alunos. No que concerne às investigações matemáticas e à formulação de problemas, os
alunos não tiveram, ainda, oportunidade de experimentar, embora, segundo a professora
da turma, sejam actividades apelativas e previstas para curto prazo.
Os pares do estudo Foram seleccionados quatro pares para o estudo. A selecção de cada par foi
definida de acordo com alguns critérios e indicadores. Os critérios prenderam-se com a
conjugação do desempenho dos alunos a Língua Portuguesa e Matemática e também
com o facto dos alunos poderem ser bons informantes. Dos quatro pares seleccionados,
apenas dois elementos são do sexo feminino, porque existem em menor número na
turma. Das nove raparigas, apenas uma delas revela dificuldades de aprendizagem em
todas as áreas de estudo, sendo as restantes boas alunas. Assim, optou-se por
seleccionar a Marta e a Filipa que se encontravam dentro dos parâmetros pretendidos.
A selecção dos pares de estudo foi efectuada com a ajuda da professora da turma, por
ser a pessoa que melhor conhecia os alunos. Além dos critérios previamente definidos,
o processo de selecção dos pares desenvolveu-se, um pouco, de forma aleatória, uma
vez que havia nesta turma muitos casos parecidos com os que foram escolhidos.
50
Foram seleccionados pares com as seguintes características:
O primeiro par – tipo A - devia ter bom aproveitamento nas duas áreas de
estudo, Língua Portuguesa e Matemática;
O segundo par – tipo B – pelo menos um dos elementos devia ter
aproveitamento razoável em Matemática;
O terceiro par – tipo C – pelo menos um dos elementos devia ter
aproveitamento académico razoável nas duas áreas, Língua Portuguesa e Matemática;
O quarto par – tipo D – pelo menos um dos elementos devia ter aproveitamento
razoável em Língua Portuguesa.
O par do tipo A foi constituído pelo Rodolfo e pela Marta. Demonstram muito
interesse pela aprendizagem e muita responsabilidade, são alunos muito comunicativos
e obtêm um bom nível de aquisição de conhecimentos e desempenho em todas as áreas
curriculares, nomeadamente na Língua Portuguesa e na Matemática.
O par do tipo B foi constituído pelo Ricardo e pelo Rui Pedro. O primeiro aluno
demonstra dificuldades na aquisição de conhecimentos e de desempenho em Língua
Portuguesa e Matemática. O Rui Pedro apresenta sintomas de dislexia, evidenciando
dificuldades em Língua Portuguesa. Porém, consegue acompanhar de forma razoável
nas restantes áreas.
O par do tipo C foi constituído pelo Diogo e pelo Alexandre. O Diogo é
considerado um aluno médio que revela bastante interesse pelo estudo. É responsável e
comunicativo, gosta de tirar as dúvidas que constituem um entrave ao seu
conhecimento. O Alexandre é um aluno pouco comunicativo e com desempenho escolar
a tender para o fraco.
O par do tipo D foi constituído pela Filipa e pelo Pedro Miguel. São alunos
organizados e empenhados nos trabalhos. O Pedro possui um cálculo bom mental, mas é
razoável em Língua Portuguesa. A Filipa é uma aluna muito aplicada no estudo; é
concentrada, comunicativa e tem bom aproveitamento escolar.
Optou-se pelo trabalho em pares visto que parece ser o ideal para trabalhar as
tarefas propostas. Assim, nenhum dos elementos terá a possibilidade de se “encostar” e
ficar de fora sem trabalhar. Num grupo pequeno, segundo Leitão e Fernandes (1997),
cada elemento pode dar o seu contributo com maior facilidade, permitindo uma maior
aptidão para resolver problemas. As tarefas de resolução/formulação de problemas e as
investigações matemáticas proporcionam momentos de discussão, de troca de opiniões e
ideias, aquando da sua execução, promovendo um ambiente propício à observação e ao
51
estudo. O trabalho de grupo fomenta a comunicação, por parte dos alunos menos
comunicativos ou com dificuldades.
Instrumentos para recolha de dados
Ao iniciar uma investigação interessa averiguar o modo como se coloca e
elabora o problema a estudar, uma vez que são estes os pressupostos que dão forma aos
caminhos a percorrer. Os princípios metodológicos, embora sejam uma parte importante
para a investigação, não são a principal preocupação do investigador. A presença do
investigador como principal instrumento de recolha de dados (observação participante),
a entrevista, o questionário, os documentos, o registo áudio e vídeo e as notas de campo
são os modos privilegiados de recolher dados numa investigação qualitativa, como
defendem Cohen e Manion (1990); Bogdan e Biklen (1994) e Vale (2004).
Segundo Flick (2005), “O método apropriado para a colecta de dados visuais
tem de ser escolhido com base na própria pesquisa: a questão da investigação, o terreno
a observar, as pessoas que nele são decisivas” (p.162).
No Quadro 3.1 (Anexo 13) são apresentados os vários instrumentos para a
recolha de dados utilizados neste estudo.
As tarefas Numa primeira etapa, foi feita uma recolha/selecção e adaptação de um grande
conjunto de tarefas que visavam a resolução de seis problemas, a resolução de três
actividades de investigação matemática e a formulação de dois problemas. De todos os
tipos de problemas referenciados por Charles e Lester (1986), o presente estudo
tenciona incidir mais na resolução de problemas de processo, por ser uma actividade
que não emprega processos mecanizados ou limitados a um só tipo de estratégia e por
considerar que este tipo de problema é uma mais valia, a nível de raciocínio, para todos
os alunos envolvidos na sua resolução. Na resolução dos problemas de processo, o
aluno, tendo em conta os dados do problema e o que pretende saber, poderá partir de um
desenho, de uma tabela, usar a dedução lógica, descobrir um padrão, etc., para ajudar na
sua resolução. Estes problemas, segundo Fonseca (1997, p.48), podem não estar
relacionados com os conteúdos programáticos ou podem não necessitar da sua
utilização directa. Muitas vezes resolvem-se através de conhecimentos elementares de
aritmética e/ou geometria.
52
Todos os problemas recolhidos são problemas de processo, necessitando, para a
sua resolução da aplicação de uma estratégia adequada. Foram usadas, porque são
tarefas mobilizadoras da vertente lúdica da aprendizagem da Matemática, ao nível da
resolução/formulação de problemas e de investigações matemáticas que despertam, nos
alunos, interesses e empenhos intrínsecos, menos usuais em trabalho de sala de aula.
A maioria destas tarefas foi usada no âmbito do Programa de Formação
Contínua em Matemática para Professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico de Viana do
Castelo e de Braga (Vale et al 2006; Palhares e Gomes 2006). Todas as tarefas
utilizadas no estudo foram recolhidas, pela investigadora, tendo, algumas delas, sido
submetidas a posteriores alterações por sugestão de outros professores, por se
adequarem melhor aos alunos envolvidos e, sobretudo, por se prever que melhor
responderiam às questões apresentadas. Esta escolha foi, também, muito ponderada e
discutida com a professora da turma, por ser a pessoa mais indicada e que melhor
conhecia os alunos. A professora da turma manifestou, desde sempre, uma vontade
expressa de colaboração no estudo a desenvolver com os seus alunos na sala de aulas, o
que facilitou, também, esta investigação. Depois de analisadas e seleccionadas as tarefas
conjuntamente com a professora da turma, a mesma fez questão que estas fossem
desenvolvidas dentro do horário normal traçado para a turma, no âmbito da disciplina de
Matemática.
Certas decisões tomadas tiveram por base a observação de alguns documentos
dos alunos, nomeadamente, trabalhos realizados no caderno escolar, que revelavam,
ainda que de forma muito superficial, algumas experiências, hábitos de trabalho, etc.
Procedeu-se à análise e validação das tarefas, por parte de professores de várias
universidades que as consideraram adequadas ao nível de ensino pretendido e para o
estudo em questão.
Durante esta etapa da investigação houve o cuidado de contactar com a turma,
para que esta se fosse ambientando à presença da investigadora, evitando quaisquer
situações de constrangimentos e deixando ao critério dos alunos a sugestão de algumas
actividades. Explicitou-se, também, o interesse e a disponibilidade em preparar e
discutir com os alunos as actividades propostas.
Numa segunda etapa, procedeu-se à implementação de tarefas introdutórias. Este
tipo de tarefas serviu de base para o desenvolvimento das tarefas seguintes, porque
predispuseram um ambiente de confiança e favorável ao conhecimento/relacionamento
53
entre a investigadora e a turma em geral e os pares em particular, de modo a permitir o
desenvolvimento do trabalho sem grandes percalços.
Houve o cuidado de situar todos os alunos, relativamente ao contexto da
investigação e intervenção dos mesmos, de modo a que tendo conhecimento dos
propósitos e da realidade do estudo, todo o trabalho fosse levado mais a sério.
Foram constituídos doze pares, contando já com os pares de estudo, permitindo,
assim, a participação de todos os alunos. Das tarefas introdutórias, Anexo 14,
constaram quatro situações problemáticas e uma investigação matemática.
Na primeira sessão referente às tarefas introdutórias, não foi feito,
propositadamente, qualquer tipo de recolha de dados a não ser a observação
participante. A investigadora limitou-se a observar o desenrolar do trabalho dos
diferentes pares da turma, por considerar que o primeiro contacto com os alunos
permitia o conhecimento de aspectos importantes para o estudo, nomeadamente ritmos
de trabalho de cada par, observações e comentários feitos às tarefas apresentadas e,
sobretudo, expressões momentâneas relativas ao contacto com as tarefas aquando da
sua resolução. Também não foi efectuado qualquer registo áudio e vídeo, durante as
três primeiras sessões. Foram tiradas, apenas, algumas notas de campo e feita uma
observação participante aos pares do estudo. Os diálogos recolhidos foram possíveis,
porque os pares de estudo apresentavam ritmos de trabalho distintos.
Após as tarefas introdutórias, foi feita a implementação das tarefas efectivas no
âmbito do estudo: seis problemas de processo, três investigações matemáticas e duas
situações para formulação de problemas (Anexos 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 e 22).
Em todas as tarefas seleccionadas e aplicadas, quer as introdutórias quer as
efectivas no âmbito do estudo, era pedido para explicar ou descrever, por escrito, o
raciocínio usado, porque Luria (1987) defende que para clarificar uma ideia, o melhor é
procurar escrevê-la, expressá-la em forma escrita, explicando, por essa razão, a grande
importância atribuída à linguagem escrita na formação do pensamento.
Todas as tarefas desenvolvidas com os alunos contaram com a participação da
professora da turma, que orientou os oito pares de alunos não envolvidos directamente
no estudo. A investigadora, por sua vez, trabalhou com os quatro pares seleccionados
para o estudo, apesar de dar apoio aos restantes alunos no caso de lhe ser solicitada
ajuda.
54
Questionários O questionário constitui, segundo Ghiglione e Matalon (2001), um instrumento
rigorosamente normalizado. Para estes autores são as primeiras questões que permitem
estabelecer uma relação entre entrevistador/entrevistado e permitem também às pessoas
inquiridas o conhecimento do estilo geral do questionário, o tipo de respostas que se
espera e o tema que vai ser abordado.
Na primeira etapa da investigação, foi aplicado, um questionário, à professora
da turma, contendo um conjunto de tópicos relacionados com o tema do estudo, sendo a
principal finalidade, a recolha da maior quantidade de informação possível. Foram
focados vários aspectos, desde questões relativas ao percurso escolar da professora, o
seu envolvimento em projectos e questões relacionadas com a educação em geral e com
o ensino/aprendizagem dos alunos na área da Matemática. Além destes aspectos gerais,
houve a preocupação de recolher informação de carácter mais pessoal, nomeadamente o
gosto, as preferências, no âmbito do ensino/aprendizagem da Matemática. Outra
questão que mereceu grande atenção foi a de inquirir acerca dos hábitos de trabalho na
sala de aulas, bem como, o hábito de desenvolver actividades relacionadas com a
resolução de problemas com os alunos da turma. Nesta circunstância, o propósito foi o
de relacionar a Língua Portuguesa, utilizando-a como instrumento na resolução de
problemas, especificamente na parte da interpretação e compreensão de enunciados
matemáticos, com a finalidade de obtenção de melhores resultados na área da
Matemática.
Estes questionários tiveram como principal finalidade conhecer as
contextualizações diárias, em família e na escola, procurando, assim, informação
quanto aos gostos, preferências e perspectivas futuras dos alunos. Pretendeu-se
compreender a relação dos alunos com a aprendizagem da Matemática, mais
concretamente, na resolução de problemas, bem como, inquirir os mesmos, acerca da
influência que a Língua Portuguesa possa ter no ensino/aprendizagem da Matemática.
Observação participante As observações representam a melhor técnica de recolha de dados, porque
possibilitam comparar aquilo que o sujeito diz ou não, com aquilo que ele faz. Vale
(2004) afirma que para Lincoln e Guba, as observações maximizam a habilidade do
investigador para apreender motivos, crenças, preocupações, interesses,
comportamentos inconscientes, etc., além de permitirem apreender o facto nos seus
55
próprios termos e a sua cultura no ambiente natural. Utilizou-se a observação
naturalista e participante sempre que a investigadora procedeu à realização das mesmas
actividades dos pares de estudo (Cohen e Manion, 1990). Para tal, Bogdan e Biklen
(1994) apontam a necessidade da discrição do investigador, de modo a que este possa
ser integrado com maior facilidade no ambiente de estudo. À medida que as relações
entre investigadora e alunos se foram desenvolvendo, o que não foi muito difícil, talvez
por a investigadora ser também uma professora da escola, à qual estavam, de certo
modo, habituados, a investigadora foi assumindo a sua participação nas actividades
propostas, ainda que de uma forma moderada.
Este instrumento para a recolha de dados foi usado em todas as sessões de
intervenção pedagógica em simultâneo com outros instrumentos, por permitir obter
informação não disponibilizada através do uso de outras técnicas, pois houve
necessidade de comparar o que os alunos diziam, com aquilo que faziam.
Documentos escritos dos alunos Para Yin (1989), os documentos escritos constituem uma fonte de recolha de
dados, particularmente importantes por permitirem confirmar inferências sugeridas por
outras fontes de dados. Nesta investigação foram analisados especialmente os
documentos escritos da realização das tarefas pelos pares de estudo com o objectivo de
perceber o grau de autonomia e desempenho dos alunos nas tarefas propostas. Também
se pretendeu analisar aspectos referentes à comunicação matemática, nomeadamente os
registos, por escrito, dos raciocínios usados e as estratégias implementadas na resolução
das tarefas.
Registo áudio e vídeo No processo inicial do estudo foi feita a recolha de dados, pretendia-se conhecer
a turma e os pares de observação, e tentar que a investigadora se desse a conhecer aos
alunos proporcionando momentos de confiança. Foi necessário complementar este
material recolhido com outro tipo de dados, nomeadamente, registos nos cadernos
escolares e outros dados considerados pertinentes para a investigação. Para se poder
verificar mais qualidade e mais fiabilidade, relativamente à recolha de dados, foi
importante que houvesse, também, associado a todo este processo descritivo, um registo
áudio e vídeo das actividades desenvolvidas no âmbito deste estudo. Estes instrumentos
permitiram registar as atitudes, gestos e outro tipo de comportamento que não seria
possível, apenas, através dos registos escritos. Nas últimas oito sessões, procedeu-se ao
56
registo áudio e vídeo dos pares de estudo, dos seus desempenhos aquando da resolução
das tarefas propostas, dos procedimentos utilizados para permitir dar respostas às tarefas
efectuadas, bem como o registo das conclusões, por parte dos alunos, na resolução
dessas tarefas.
Notas de campo Houve também o cuidado de fazer o registo de algumas notas de campo,
consideradas de interesse para o estudo. A maior parte das notas de campo foram
obtidas no momento da exposição e consecução das tarefas propostas na sala de aulas,
em que a preocupação era a de captar o maior número de informação possível, através
de acções, gestos, atitudes e de conversas observadas.
Entrevistas No que concerne às entrevistas, Bogdan e Biklen (1994) mencionam que estas
podem constituir a estratégia dominante para a recolha de dados ou podem ser
utilizadas em conjunto com a observação participante, análise de documentos e outras
técnicas. Estes autores referem ainda que em todas estas situações, a entrevista é usada
na recolha de dados descritivos na linguagem do próprio sujeito, facultando ao
investigador o desenvolvimento intuitivo de uma ideia sobre o modo como os sujeitos
interpretam o mundo.
Após terem terminado todas as tarefas propostas do estudo, foi efectuada aos
pares de alunos, ouvidos separadamente, uma entrevista (Anexo 42), com a finalidade
de recolher informações acerca do trabalho desenvolvido no âmbito do estudo. Foi
efectuada também uma entrevista à professora da turma (Anexo 41), que teve como
principal finalidade saber se ocorreram transformações nos alunos relativamente à
Resolução de Problemas e quais as circunstâncias que contribuíram para essas
transformações.
Análise dos dados
De acordo com Bogdan e Biklen (1994) a análise de dados é um processo de
busca e de organização sistemático de transcrições de entrevistas, notas de campo e de
outros materiais que foram sendo acumulados, com o objectivo de aumentar a própria
compreensão desses mesmos materiais. A análise envolve o trabalho com os dados, a
sua organização, divisão em unidades manipuláveis, síntese, procura de padrões,
57
descoberta dos aspectos importantes e do que deve ser aprendido e a decisão sobre o
que vai ser transmito aos outros.
A análise de dados resultou de um processo contínuo, uma vez que esta foi
sendo feita à medida que se fazia a recolha de dados, foi por isso indutiva. Esta análise
pode permitir a reformulação de objectivos e problemáticas à medida que o estudo se
desenvolve, havendo a oportunidade de categorizar e agrupar os dados de modo a poder
interpretá-los. As categorias e os padrões surgiram a partir dos dados recolhidos, tais
como as grelhas de desempenho e das dificuldades dos alunos na resolução de
problemas, bem como as competências manifestadas em Língua Portuguesa e
Matemática aquando da sua resolução. Os primeiros contactos com os alunos
proporcionaram a verificação de certos gostos e preferências relativas à resolução de
problemas, úteis no avançar do estudo, e, por essa razão, também estes aspectos foram
tidos em consideração e registados.
A partir dos questionários aplicados aos alunos, da preparação das actividades
com a professora da turma, do registo de notas de campo, foram efectuadas transcrições
e analisadas cuidadosamente. O questionário efectuado à professora ajudou a conhecer
melhor a realidade da turma e dos pares do estudo. A análise dos questionários teve por
base a descrição objectiva do conteúdo manifesto na comunicação, porque este tipo de
análise baseia-se em objectivos descritivos e classificatórios e procura defender o
trabalho de inferências incoerentes.
Concluída a recolha dos dados, foi feita uma análise precisa, tendo partido da
leitura atenta e minuciosa de todo o material recolhido. De seguida, todo este material
foi categorizado e agrupado de forma a facilitar a sua interpretação.
Neste estudo foi feita uma análise para cada par de alunos, tendo em
consideração o seu desempenho e a sua evolução ao longo das tarefas propostas, tendo
sido destacadas as competências manifestadas e as dificuldades detectadas em Língua
Portuguesa e Matemática ao longo da resolução das tarefas. Além desta análise,
procurou-se estabelecer comparações entre os pares, porque, deste modo, os dados
foram inter-relacionados e adquiriram mais significado para o estudo. Foi, assim,
possível detectar as competências manifestadas por tarefa, verificando em que medida
uma dada tarefa foi capaz ou não de contribuir para a mobilização de competências.
No Anexo 6 podem verificar-se os protótipos dos quadros que serviram para o
registo dos resultados da análise de dados. O Quadro A permitiu o registo das respostas
dadas ao questionário aplicado a cada par de estudo; o Quadro B permitiu o registo e a
58
comparação das respostas dadas ao questionário pelos pares de estudo; o Quadro C
permitiu o registo das competências manifestadas por cada par na Língua Portuguesa e
na Matemática; o Quadro D permitiu o registo das dificuldades reveladas por cada par
na Língua Portuguesa e na Matemática; o Quadro E permitiu o registo das respostas
dadas à entrevista pelos pares de estudo; o Quadro F permitiu o registo da comparação
das respostas à entrevista; o Quadro G permitiu o registo e a comparação das respostas
dadas à entrevista e ao questionário pelos pares de estudo.
De forma a tornar perceptíveis as competências e as dificuldades manifestadas
por cada par aquando da resolução das tarefas propostas, foi necessária uma leitura
cuidadosa dos registos de observação, das transcrições das gravações áudio e vídeo das
intervenções pedagógicas e respectivas descrições. A análise de dados efectuada
pressupôs a consulta do Programa do 1.º Ciclo do Ensino Básico e do Currículo
Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais (M.E., 2001).
Os desempenhos dos alunos foram agrupados em quatro níveis (Anexo 12,
Quadro 3.2):
Nível 1 – Não domina os conteúdos em Língua Portuguesa e em Matemática;
Nível 2 – Domina os conteúdos em Língua Portuguesa e Matemática com ajuda;
Nível 3 – Domina bem os conteúdos em Língua Portuguesa e em Matemática;
Nível 4 – Domina perfeitamente os conteúdos em Língua Portuguesa e em Matemática.
O Nível 1 representa um nível fraco. Não se verifica o domínio dos conteúdos
enumerados no Quadro 3.2, quer na área de Língua Portuguesa quer na área de
Matemática. O Nível 2 representa um nível razoável. Os alunos dominam, embora com
ajuda, os conteúdos de Língua Portuguesa e de Matemática. O Nível 3 representa um
nível bom. Verifica-se um bom domínio dos conteúdos de Língua Portuguesa e de
Matemática. O Nível 4 representa um nível excelente. Verifica-se um domínio perfeito
dos conteúdos de Língua Portuguesa e de Matemática na Resolução de Problemas.
De modo análogo, no Quadro 3.3 foram listadas as dificuldades detectadas nos
pares ao longo da resolução das tarefas (Anexo 12 - A).
Calendarização da investigação
Este estudo desenvolveu-se em quatro fases. Na primeira fase foi feita a Revisão
de Literatura e decorreu nos meses de Julho, Agosto e Setembro de 2006. Na segunda
fase, que decorreu nos meses de Setembro e Outubro de 2006, procedeu-se à preparação
da Intervenção Pedagógica. Foi efectuado o contacto com a professora e com a turma e
59
aplicados os questionários. Foi feita a recolha/selecção das tarefas do estudo e o pedido
de opiniões sobre as tarefas recolhidas. Com a ajuda da professora da turma, foram
seleccionados e formados os pares de estudo, bem como as tarefas a desenvolver ao
longo do estudo. Na terceira fase, que decorreu nos meses de Novembro e Dezembro de
2006, Janeiro e Fevereiro de 2007, efectuou-se a Intervenção Pedagógica.
No Quadro 3.4 (Anexo 13) são apresentadas as quatro etapas da fase de
intervenção pedagógica. Foram necessárias três sessões para a implementação das
tarefas introdutórias e contacto com os pares de estudo; três sessões para a resolução de
problemas; três sessões para as investigações matemáticas e duas sessões para a
formulação de problemas.
A intervenção pedagógica desenvolveu-se em quatro etapas distintas. Na
primeira etapa, a investigadora iniciou o contacto com a turma em geral e os pares de
estudo em particular. Foram aplicados questionários aos alunos e à professora da turma.
Foram implementadas as tarefas introdutórias do estudo, das quais constaram três
tarefas de resolução de problemas e uma investigação matemática. Enquanto os alunos
resolveram as tarefas propostas, a investigadora observou os pares de estudo e fez o
registo de algumas notas de campo. Na segunda etapa, os alunos resolveram seis
problemas de processo. Nestas sessões, a investigadora fez a recolha de dados através
de gravações áudio e vídeo, do registo de notas de campo e da observação participante.
Na terceira etapa da intervenção pedagógica, os alunos resolveram tarefas de
investigação. Também nestas sessões se procedeu à observação participante, a
gravações áudio e vídeo e foi feito o registo de notas de campo, aquando da execução
das tarefas de investigação. Na última etapa, os alunos foram confrontados com duas
situações que os levavam à formulação de problemas. Foram apresentados elementos
necessários, constantes dos Anexos 21 e 22, para que os alunos construíssem eles
mesmos os seus próprios enunciados. Tal como aconteceu com a resolução de
problemas e com as actividades de investigação matemáticas, também nestas sessões se
fizeram gravações áudio e vídeo, registo de notas de campo e observação participante
da parte da investigadora. Na quarta fase, que decorreu nos meses de Janeiro, Fevereiro,
Março, Abril e Maio de 2007, foi efectuada a análise e a interpretação dos dados e
elaborado o relatório do estudo.
No Quadro 3.5, Anexo 13 são apresentadas as fases do estudo, o
desenvolvimento das actividades realizadas em cada uma dessas fases e a
calendarização correspondente.
60
CAPÍTULO IV - Intervenção Pedagógica
Neste capítulo é feita a apresentação dos pares participantes, das tarefas
introdutórias a implementar numa fase precedente do estudo e, por fim, são
apresentadas as tarefas efectivas no âmbito do estudo e os desempenhos demonstrados
pelos pares.
Apresentação dos pares participantes
Par A: Rodolfo e Marta Estes alunos, ambos com nove anos de idade, estão juntos, nesta escola, há
quatro anos. Gostam de frequentar a escola, sem a qual, no futuro, não poderiam
exercer as profissões de bióloga, no caso da Marta, e professor, no caso do Rodolfo.
Os tempos livres são ocupados com a prática de desportos, música e inglês. Na
escola, para além do estudo, da atenção “à explicação da professora”, gostam de brincar
com os amigos. A escola proporciona-lhes múltiplas aprendizagens e a preparação para
uma boa profissão no futuro. Marta refere manifestar dificuldades na escola, já o seu
colega acha o contrário, sente “poucas dificuldades na escola”. Consideram importante
a aprendizagem da Matemática, sobretudo para resolver problemas e aprender a contar.
Enquanto, o Rodolfo coloca a Matemática em primeiro e Estudo do Meio em último
lugar no quadro das suas preferências, a Marta coloca primeiro Estudo do Meio e
depois a Matemática. Refere que “a Matemática exige muito esforço e atenção para não
errar” nos “problemas de contas”, embora se sinta um pouco mais à vontade com os
“problemas de barras”, apresentados nos manuais escolares. Afirmam que para
aprender bem a Matemática, é fundamental “ouvir com muita atenção a explicação da
professora” e Marta acrescenta, ainda, que é necessário “treinar”. Preferem o trabalho
de grupo ao trabalho individual, porque permite a ajuda entre colegas, a troca de
opiniões e aprendem melhor.
Consideram importante a Língua Portuguesa na aprendizagem da Matemática,
referindo que para haver sucesso na Matemática é indispensável o domínio da Língua
Portuguesa. Antes de tudo, é preciso saber ler e escrever, compreender a leitura desse
texto e saber falar.
61
Par B: Ricardo e Rui Pedro Incluídos na idade padrão, nove anos, estão juntos, nesta escola, há quatro anos.
Quando não têm escola ficam em casa com a família (tias e avós) e nos tempos livres
“jogam à bola, vêem televisão”. Para além da escola, desenvolvem actividades de
desporto e música. Ambos referem o costume das brincadeiras com os amigos, como é
o caso do “futebol e das corridas de bicicletas”. No futuro, estes alunos querem ser
desportistas: “profissional de andebol”, no caso do Ricardo, e “futebolista”, no caso do
Rui Pedro.
Têm poucas expectativas relativamente à escola e nada alterariam nela se isso
fosse possível. O Rui Pedro afirma que se pudesse deixar a escola ficaria em casa, por
outro lado, acha que se não estudar “fica sem emprego”. O Ricardo não define muito
bem a sua posição relativamente à escola, mas conclui que na escola “aprendemos a
escrever, a ler e a fazer contas”. Ambos afirmam sentir dificuldades a vários níveis, mas
é sobretudo a Língua Portuguesa e a Matemática que mais os preocupam. O Rui Pedro
relaciona a aprendizagem da Matemática com profissões a desempenhar no futuro,
manifesta o gosto pela resolução de “problemas de gráficos” e não gosta de efectuar
“contas de dividir”. Considera que aprende melhor a Língua Portuguesa e que sente
mais dificuldades na Matemática, já que para aprender Matemática “é preciso
compreender”. A sua disciplina preferida é Expressão Plástica. O Ricardo não percebe
nem define muito bem o que é necessário para aprender Matemática na escola, mas
coloca-a em primeiro lugar na lista das suas preferências e refere que evidencia
dificuldade em Língua Portuguesa.
O Rui Pedro acha que é bom trabalhar em grupo, o colega prefere trabalhar
sozinho. Sem especificar muito, os dois concordam que o domínio da Língua
Portuguesa é importante na aprendizagem da Matemática, porque “precisam ler e
perceber as coisas”.
Par C: Diogo e Alexandre Estes alunos têm nove anos de idade e sempre frequentaram esta escola. Quando
não têm escola, o Alexandre fica no ATL e o seu colega, em casa sozinho ou com os
avós. Desenvolvem actividades de ginástica e música extra-aulas e nos tempos livres, o
Diogo gosta de “ler ou jogar qualquer coisa”.
Gostam muito da escola e das brincadeiras com os amigos. Além disso, o Diogo
gosta de “jogar voleibol e playstation” e o Alexandre prefere “jogar às escondidinhas”.
62
Afirmam sentir-se bem na escola, embora o Alexandre refira que quando sente
dificuldades, nem sempre é assim. Diogo quer ser engenheiro de informática ou
arquitecto, já o colega “gostaria de ser dono de um café”. Nenhum deles indica a
Matemática como disciplina preferida. Ocupa, em ambos os casos, o 3.º lugar na lista
das suas preferências. Para eles, a escola é interessante, porque se aprendem e ensinam-
se muitas coisas novas. Enumeram dificuldades a vários níveis e nas várias disciplinas,
considerando sentir dificuldades em tudo um pouco. Na Matemática, o Diogo prefere
resolver “contas de dividir e de subtrair” e não gosta nada de resolver problemas. O seu
colega prefere “fazer contas, utilizando as barras”. Apesar de referirem algumas
dificuldades na aprendizagem da Matemática, reconhecem a sua importância no ensino.
São muito vagos no que se refere à importância da aprendizagem da Matemática, mas
estão conscientes de que para aprender Matemática é necessário “praticar os problemas
e contas”, em ambos os casos, trabalhando em grupo. Ambos concordam que para
haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa, porque
através desta área são capazes de interpretar os enunciados dos problemas e de ler os
exercícios.
Par D: Filipa e Pedro Miguel Têm nove anos de idade e frequentam esta escola há quatro anos. Nos tempos
livres, a Filipa fica na casa dos avós e o colega realiza outras actividades,
nomeadamente, a piscina e o inglês.
Gostam da escola e das actividades desenvolvidas na turma. Além do estudo, a
Filipa associa a escola aos amigos e o seu colega, à sua disciplina preferida - Expressão
Plástica. Sentem-se bem na escola, embora quando o Pedro não sabe “a matéria toda”
sente-se menos bem. Frequentam a escola por gosto, porque aprendem “muitas coisas”
que vão fazer falta no futuro. Segundo a Filipa não há grandes dificuldades a registar,
mas o seu colega refere que o grau de dificuldade se relaciona com o facto de “as
matérias” serem ou não mais fáceis. Filipa coloca a Matemática em último lugar na lista
de preferências, porque não gosta da disciplina, nem de resolver problemas. O Pedro
coloca a Matemática logo a seguir a Expressão Plástica. Refere que, apesar das
dificuldades evidenciadas na disciplina, “por vezes é divertida”. Tal como a sua colega,
também não aprecia a resolução de problemas.
Estão conscientes de que a Matemática é indispensável nos seus currículos, por
lhes proporcionar um bom cálculo mental e por suporem que lhes será muito útil no
63
futuro. Para aprender Matemática é fundamental gostar dela, estar muito atento,
“perceber o ensino da professora”, tudo isto acompanhado de muito estudo. Gostam de
trabalhar em grupo, por se poderem ajudar uns aos outros, facilitando as suas
aprendizagens. Consideram que o domínio da Língua Portuguesa é muito importante no
ensino/aprendizagem da Matemática, e para haver sucesso nesta última “é preciso saber
ler e compreender os exercícios”.
Resumo Todos os alunos envolvidos têm nove anos de idade. Os alunos dos pares A, C e
D manifestam gosto pela escola, porque lhes proporciona múltiplas aprendizagens,
prepara-os para o futuro e aprendem coisas novas. Pelo contrário, o Par B revela poucas
expectativas relativamente à escola. Praticamente todos os alunos referem sentir
dificuldades na escola, embora uns mais que outros e a vários níveis.
Apenas o Rodolfo (Par A) e o Ricardo (Par B) colocam a Matemática em
primeiro lugar na lista das suas preferências, os restantes alunos revelam preferência por
outras disciplinas. Ao que parece, uma das razões que se encontra na base destas
escolhas prende-se com o facto de os alunos considerarem a Matemática muito
trabalhosa, exigir muito esforço, atenção e necessitar de uma prática exaustiva dos
problemas e das contas.
Todos os alunos, com excepção do Ricardo (Par B), preferem o trabalho de
grupo, porque lhes permite a troca de ideias e opiniões, no seu entender um aspecto
muito importante na aprendizagem. O Ricardo refere que gosta mais de trabalhar
individualmente.
Todos os alunos responsabilizam a Língua Portuguesa pela aprendizagem da
Matemática, valorizando, assim, o seu carácter transversal, ao nível da leitura, da
interpretação/compreensão dos enunciados matemáticos. Referem que antes de tudo, é
necessário compreender o que lhes é pedido, pelo que o domínio da Língua Portuguesa
é, assim, fundamental neste sentido.
Tarefas introdutórias
As tarefas introdutórias serviram de base para o desenvolvimento das tarefas
seguintes. Estas predispuseram um ambiente favorável ao conhecimento e
relacionamento dos alunos e investigadora, de modo a permitir o desenvolvimento do
trabalho sem grandes percalços. Houve o cuidado de situar todos os alunos,
64
relativamente ao contexto da investigação e intervenção dos mesmos, de modo a que
tendo conhecimento dos propósitos e da realidade do estudo, o resultado do trabalho
fosse levado mais a sério.
Foram constituídos doze pares, contando já com os pares de estudo, permitindo,
assim, a participação de todos os alunos. Das tarefas introdutórias contam-se quatro
situações problemáticas e uma investigação matemática, constante do Anexo 14.
Tarefas efectivas no âmbito do estudo
Em todas as tarefas realizadas foi necessário, por parte da investigadora,
efectuar a leitura e a exploração dos enunciados. Esta proposta foi sugerida pela
professora titular da turma, tendo sido acatada por todos. No final de cada tarefa
realizada procedia-se à sua correcção e discussão das várias conclusões encontradas
pelos grupos.
Resolução de problemas
No dia 22 de Novembro de 2006, após a hora do almoço, das 13.30 às 15.30
horas, os alunos trabalharam nas tarefas 8 e 13, constantes do Anexo 15.
No dia 29 de Novembro de 2006, na parte da tarde, das 13.30 às 15.30 horas, os
alunos executaram as tarefas 9 e 11, constantes do Anexo 16.
No dia 6 de Dezembro de 2006, no mesmo horário das sessões anteriores, os
alunos realizaram as tarefas 12 e 17, constantes do Anexo 17.
Par A: Rodolfo e Marta
Tarefa 8 Breves instantes decorridos após a leitura e exploração da tarefa 8, Rodolfo, por
cálculo mental, apresentou correctamente a resposta da primeira questão do problema.
Em contrapartida, quando solicitado a registar por escrito o seu raciocínio, este processo
decorreu mais lentamente e, inicialmente, mais complicado.
Quando confrontado com a tarefa, o par dialogava entre si, de forma frequente e
amiudada, fazendo-o em voz baixa, com moderação e sempre na perspectiva do
consenso.
R – Deixa-me ver os dados do problema…
Entretanto, os dois alunos voltaram a ler o enunciado do problema, explorando
os dados fundamentais para a sua resolução.
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M – Os caracóis estão separados entre si 50 metros… e vão em linha recta! R – Vão na mesma direcção! Um caracol anda 3 metros e o outro 2… Claro que por dia fazem 5 metros! M – Registamos então os 5 metros no primeiro dia. Podemos continuar a registar assim até chegarmos aos 50 metros. Enquanto falava, Rodolfo desenhava, com o dedo na mesa, o caminho a efectuar
por cada caracol. Fazendo de conta que cada mão era um caracol, foi levando uma ao
encontro da outra, simulando o percurso dos caracóis. Rapidamente o par identificou
uma possível estratégia, o registo no papel dos cálculos referentes ao caminho
percorrido, por dia, por ambos os caracóis. No entanto, para responder à segunda
questão da tarefa, para saber quantos metros tinha andado cada caracol, teve
necessidade de um esquema, esboçando um segmento de recta, dividido em 50 partes,
supostamente iguais. Avançava três partes para o caracol que percorria 3 metros por dia
e duas para o que percorria apenas 2 metros, conforme a Figura 3 do Anexo 23.
M – O caracol que faz 3 metros por dia andou 30 metros e o outro 20. I – Explica como pensaste! M – Conto como se fosse a tabuada do 3. Como foram precisos 10 dias para se encontrarem, faço 3 vezes 10 que dá 30… R – É isso mesmo! Para o outro caracol é a mesma coisa, mas como só anda 2 metros, diz-se a tabuada do 2. 2 vezes 10 dá 20 metros. Efectuados os cálculos, Rodolfo colocou a seguinte questão: “Posso representar
o que disse através de um desenho?”. A investigadora respondeu-lhe afirmativamente.
No entanto, o par teve necessidade de usar a régua graduada, comparando-a ao
segmento de recta traçado, para se certificar dos metros que avançava cada caracol,
porque os resultados obtidos não correspondiam aos cálculos anteriormente efectuados.
M – Já percebi! Temos de começar a contar do zero e o que conta não são os tracinhos dos centímetros, mas o espaço que vai de uma a outra marcação. Após algum treino foi interiorizado o conceito de medição, que proporcionou
aos alunos alcançar uma solução correcta para a tarefa.
R – Já terminámos! I – Já explicaram os vossos raciocínios? M – Ainda não. R – Estamos a tentar… I – Não esqueçam de que é muito importante fazê-lo! Na questão “explica como pensaste”, o par referiu oralmente que ao resolver o
problema, os registos efectuados e o raciocínio seguido, eram a prova dos seus
pensamentos e modos de proceder. Limitou-se a esta breve explicação, concluindo que
ao escrever o que quer que fosse estava a repetir-se.
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Tarefa 13 Relativamente à primeira questão da tarefa, o par conseguiu enumerar duas
possibilidades distintas, utilizando, como era solicitado, três filas com quatro meninos
cada.
M – As filas têm de ser linhas rectas! R – Então três filas podem ser representadas por um triângulo que também tem três lados. M – Isso mesmo. Agora desenham-se os meninos de cada fila ou sobre cada lado do triângulo. R – Começamos pelos ângulos, onde colocamos um menino! I – Porque procedes assim? R – Porque o menino que se coloca em cada ângulo é contado duas vezes! I – O que queres dizer com isso? R – Contamos assim, 1, 2, 3, 4. Agora, 1 (referente ao 4), 2, 3 e 4. Logo os meninos dos ângulos são contados duas vezes.
Além desta figura, Marta apresentou ainda outra possibilidade também correcta
parecida com a letra T, afirmando que para obter estas respostas foi necessário
experimentar várias vezes até conseguirem estes resultados.
Na segunda questão da tarefa, também indicaram duas possibilidades de dispor
os alunos em quatro filas de quatro meninos, num total de doze meninos.
M – Para as quatro filas pensámos no quadrado que tem o mesmo número de lados. R – Depois de fazer o primeiro exemplo, este agora já não custa tanto. I – Porquê? R – Volta-se a repetir o mesmo raciocínio. Começa-se pelos ângulos e depois vão-se preenchendo o lado do quadrado com os doze meninos. Embora se tenha verificado um raciocínio bastante perspicaz na resolução das
duas primeiras questões, não foram capazes de indicar uma única possibilidade de
dispor o mesmo número de alunos, por seis filas, cada uma com quatro meninos, apesar
de terem experimentado outras figuras geométricas, nomeadamente o hexágono, por
também ter seis lados. Não explicaram como pensaram, porque segundo o par, a
representação e a resolução das tarefas, por si só explicam como foram realizadas.
Tarefa 9 Os alunos começaram por “rabiscar” sobre o enunciado do problema, tentando
combinar os sabores possíveis. De seguida, fizeram o registo escrito das prováveis
maneiras de comprar o sorvete.
A estratégia, inicialmente, utilizada foi a elaboração de uma lista com os sabores
combinados e não repetidos. Depois foram aperfeiçoando o trabalho, tendo elaborado
um diagrama, por lhes facilitar a resolução da tarefa.
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M – Esgoto todas as possibilidades com o morango e depois passo ao sabor seguinte. R – Com o morango dá para fazer 4 gelados diferentes. M – Professora que fazemos agora com o morango? I – Se esgotaste todas as possibilidades, avança para o sabor seguinte! M – Então é o ananás. R – Já experimentei e consegui mais três gelados diferentes. M – Boa. Agora com a banana só dá para fazer dois gelados diferentes. Sobram estes dois, que também os podemos juntar: chocolate e limão. Acabámos. R – Pode-se comprar 10 gelados diferentes.
O par prosseguiu o seu trabalho com a questão seguinte, mas agora com três
bolas de sabores diferentes. Continuou o mesmo raciocínio, utilizando também a
estratégia adoptada anteriormente.
Assim, foram juntando os sabores por ordem da sua disposição dos vários
sabores no enunciado.
M – Agora é mais difícil! I – Porquê? M – Porque é mais complicado fazer combinações com mais bolas. I – O número de sorvetes agora será maior ou menor? Porquê? R – É menor porque em vez de dois sabores, temos de agrupar três, logo as possibilidades são menos. I – Vamos então verificar se isso é mesmo assim! Concluíram o trabalho obtendo oito sorvetes de sabores diferentes, tendo
procedido, também, organizadamente. Parece que a ideia pré-concebida, poder fazer
menos sorvetes com três sabores, terá influenciado o par na resolução desta questão,
porque não insistiu muito mais, dando por terminada a tarefa. Por fim, explicaram que
para resolverem este problema foi necessária a elaboração de uma lista dos possíveis
sabores, prestando muita atenção para não repetir os sabores já registados.
Tarefa 11 Inicialmente os vocábulos, números e algarismos, provocaram nos alunos uma
certa confusão. No entanto, após devidamente esclarecidos pela investigadora, através
de questões relativas ao enunciados, tentaram a resolução da tarefa, recusando a
estratégia mais evidente e mais fácil, a escrita dos números de 1 a 500 e consequente
contagem dos algarismos, descartando a hipótese sugerida pela investigadora, por ser
um processo muito demorado e cansativo.
M – Contar os algarismos dá muito trabalho. Vamos tentar fazer de outra maneira… R – Contamos de 1 a 9 porque só têm um algarismo. Depois de 10 a 99 têm dois e a partir de 100 são três algarismos. M – Podemos multiplicar 99 por 2. Dá 198. I – Achas que são 198 algarismos?
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M – São… I – Então os números de 1 a 99 têm todos dois algarismos? R – Ah… pois. De 1 a 9 têm só 1 algarismo. I – Poderão, então, continuar os cálculos que estavam a fazer? R – Não.
I – Como é que poderão fazer? M – Vamos por partes. De 1 a 9 são 9 algarismos. Agora de 10 a 99, temos de ver quanto números são e multiplicamos por dois algarismos… R – De 100 para a frente são três algarismos. Multiplica-se por 3. M – O melhor é escrevermos os números, se não nunca mais acabamos!
Embora estivesse no caminho certo, o par ficou um pouco confuso com os
cálculos efectuados, apercebendo-se de que faltava qualquer coisa para que os
resultados surgissem de forma clara e correcta. Apesar de tudo, o par manteve a sua
posição inicial, não contar os algarismos após o seu registo, persistindo nos cálculos que
tinha encetado. Não fosse o tempo escassear, possivelmente o par teria resolvido a
tarefa pela estratégia seleccionada, devido ao seu empenho e persistência na procura da
solução.
Tarefa 12 Rodolfo leu o enunciado em voz alta, enquanto Marta, muito divertida, embora
concentrada na actividade, efectuava trajectórias com o barco de uma para a outra
margem do rio. Logo iniciaram a tarefa e após três tentativas, Rodolfo referiu:
“Descobri! Já sei quem vai passar em primeiro lugar”.
I – Então diz lá quem é o primeiro a fazer a travessia? R – Como diz no enunciado o barco é pequeno para três pessoas, mas pode levar duas! I – Poderão atravessar o pai e um filho? São duas pessoas… M – Não, porque o barco apenas pode levar um adulto ou duas crianças. R – Quem atravessa primeiro são os dois filhos. Um fica na outra margem e o outro vai buscar o pai. I – Quem vai atravessar agora? R – Desta vez é o pai que atravessa sozinho e o filho espera pela próxima viagem. Entretanto, a Marta ia registando o número de travessias até então efectuadas,
mantendo-se muito atenta para não deixar nada por registar.
I – Ainda falta uma pessoa e agora? M – Pois! Agora o filho que está junto do pai vai buscar o irmão do outro lado… I – No barco cabem os dois filhos? R – O barco só não pode com duas pessoas no caso de um deles ser o adulto. M – Registei cinco travessias: primeira – atravessaram os filhos; segunda – regressou um dos filhos; terceira – atravessou o pai; quarta – regressou o filho; quinta – atravessaram os dois filhos. I – Agora expliquem os vossos raciocínios! R – Só poderia ser desta maneira, porque o barco era muito pequeno e nele só cabiam duas crianças, um adulto e uma criança ou um adulto apenas. Também podia ir apenas uma criança, mas isso não complica a situação.
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Como o barco podia ser deixado na outra margem, não havia problema. Primeiro
passavam as crianças; uma delas regressava para ir buscar o pai que tinha de viajar
sozinho porque o barco não podia com um adulto mais uma criança; depois regressava o
filho que tinha feito a primeira viagem para ir buscar o irmão.
I – E se tivessem que ir buscar o dono do barco? M – Iam repetir-se as mesmas viagens! I – E se o dono fosse uma criança? R – Ah! Resolvia-se rapidamente. Era preciso apenas mais duas travessias!
A investigadora colocou estas duas últimas questões que não faziam parte do
enunciado, para ver até que ponto os alunos estavam ou não atentos ao problema.
Tarefa 17 O enunciado desta tarefa parece ter despertado alguma “graça” no par. À medida
que iam fazendo uma leitura atenta, após a exploração do problema, parece terem
descoberto de imediato a estratégia de resolução.
I – Quantas canções sabia a Ana antes de ir para as aulas de canto? M – Já sabia quatro.
R – No final da primeira semana sabia cinco. Mais uma que na semana anterior. M – Na segunda semana sabia sete. Mais duas que na semana passada. Na terceira mais três… R – Temos de seguir esta sequência até ao final das quinze semanas. Já sei! Aprende sempre mais uma canção por semana. De semana para semana acrescentamos mais uma.
I – No final da quarta semana, quantas canções sabia a Ana? M – Sabia 14 músicas, porque são as 10 da terceira semana mais quatro desta!
Os alunos continuaram este ritmo até ao final das quinze semanas, obtendo um
total de cento e vinte e quatro canções. Ao explicarem o raciocínio usado referiram que
seguiram uma sequência e para isso foi importante a descoberta do número de canções
aprendidas pela Ana de semana para semana. Como aprendia sempre mais uma que na
semana anterior, “foi fácil” porque apenas foi necessário efectuar as somas.
Resumo do Par A Estes dois alunos efectuaram um bom trabalho em conjunto. Estabeleceram
diálogos entre si, confrontaram e discutiram opiniões e comunicaram as suas
descobertas, dando, assim, origem a um excelente desempenho. A comunicação entre
ambos proporcionou um controle bastante bom das situações com que se depararam e
com as tarefas que foram resolvendo. Cooperando habilmente na procura da solução e
na identificação das estratégias adequadas para a resolução das tarefas. Este par parece
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ter consolidado os conceitos matemáticos envolvidos na resolução das tarefas.
Manifestaram muito interesse e entusiasmo na resolução das tarefas, porque foram
sempre muito persistentes no trabalho por eles desenvolvido.
Revelaram muita capacidade de expressão oral, utilizando sempre um
vocabulário adequado à situação. No entanto, ao nível da expressão escrita,
particularmente da explicitação dos raciocínios usados, foram menos perspicazes e
cuidadosos, parecendo não lhe atribuir muita importância.
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Tarefa 8 Inicialmente, este par manifestou um pleno alheamento, no que se refere à
escolha da estratégia para a resolução do problema. Quando finalmente se decidiu,
optou pela tentativa e erro. Durante alguns minutos procuraram em vão a resposta a uma
questão que não chegou a ser compreendida.
Foi sugerida, pela investigadora, nova leitura do enunciado e colocadas questões
a propósito da tarefa, de modo a facilitar o começo do seu trabalho. Este processo
decorreu de forma lenta e com muita insegurança.
RP – Mas… então é 3 metros mais 2 metros? I – Bem, esses dados poderão ser o ponto de partida, para o que te é pedido… RP – Sendo assim é fácil! É sempre 5 metros por dia!...
R – Um dia é igual a 5 metros. No segundo dia também é igual a 5 metros. Agora é sempre assim até ao fim!
Os dois alunos foram efectuando o registo dos seus raciocínios, sem que na
realidade houvesse resultados concretos, uma vez que se limitaram, apenas, a efectuar
as somas das parcelas 3 com 2.
Na expressão oral davam a entender que estavam a seguir um raciocínio
correcto; no entanto, a escrita não correspondia exactamente ao que lhes era solicitado.
Atendendo aos pormenores explicitados, o par não foi capaz de iniciar a segunda
questão da tarefa 8, nem tão pouco explicar os raciocínios utilizados.
Tarefa 13 Embora tenham sugerido duas possibilidades, uma delas não estava correcta, por
não ser considerada fila. A outra figura foi apresentada em forma de triângulo. Na
segunda questão da tarefa, indicaram apenas uma possibilidade em forma de quadrado;
no entanto, não foram capazes de concluir este grupo de questões, uma vez que acharam
que não seria possível a última disposição.
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R – Esta última não se pode fazer, pois não? I – Claro que é possível! E se voltasses a experimentar… RP – Até já riscámos a folha toda a tentar…
Como este par é pouco persistente, não é capaz de se empenhar durante muito
tempo numa tarefa. Devido às dificuldades que vão surgindo, desiste com muita
facilidade do seu trabalho. Este par é pouco comunicativo, não discute entre si o
trabalho que vai implementando, nem propicia um ambiente de colaboração mútua,
porque trabalha ainda muito individualmente. Resulta um ritmo de trabalho monótono,
sem “voracidade” e empenho nas tarefas propostas. Limita-se a ouvir a discussão, as
sugestões e as hipóteses levantadas pelos outros pares, de forma a recolher pistas para
iniciar o seu trabalho.
Tarefa 9 Algum tempo após terem iniciado a resolução da tarefa, o Rui Pedro perguntou
em voz alta: “O que é um sorvete?”. Além desta palavra, desconhecia, também, o
significado de “gelataria”. A investigadora explicou-lhes que ambas as palavras se
encontravam relacionadas, procurando atribuir sinónimos às palavras consideradas
difíceis. Assim, sorvete significava gelado e gelataria, palavra da mesma família de
gelado, significava loja onde se vendem os gelados.
Após o devido esclarecimento destas duas palavras, ainda restavam dúvidas ao
nível da macroestrutura do texto, muito particularmente no que concerne à compreensão
da mensagem. O par mantivera-se inactivo, calado e não fazia a menor ideia de como
começar a resolver a tarefa.
R – Podemos desenhar os sorvetes? I – É uma das estratégias possíveis, mas, talvez mais demorada… R – Não importa, nós gostamos desta.
Como foram ouvindo “aqui e ali” algumas achegas, desenharam sorvetes,
utilizando uma cor para cada sabor, combinando, assim, as cores que haviam definido,
anteriormente, para cada sabor.
Levou muito tempo para terminarem a primeira questão do problema, mas
quando o fizeram, Ricardo ficou muito admirado e feliz por terem conseguido.
Na segunda questão, deram seguimento à mesma estratégia, o desenho dos
sorvetes, parecendo muito confiantes e muito preocupados em não repetir os sabores,
obtendo no final oito maneiras diferentes de comprar os sorvetes.
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Este par não se preocupou em explicar, por escrito, como resolveram a tarefa,
apesar de terem sido incitados a fazerem-no.
Tarefa 11 Estes alunos pareceram pouco à vontade com o vocabulário presente neste
enunciado. “algarismos e número” foram consideradas a mesma palavra,
particularmente pelo Rui Pedro que colocou a seguinte questão:
RP – Como é que a Maria ia escrever os números de 1 a 500 e já escreveu 501?
R – Pois, então já acabou… I – As palavras “números e algarismos” são distintas. Por exemplo: o número 23 tem dois algarismos, já o número 9 tem apenas um algarismo. R – E 100 tem três algarismos,… RP – Já percebi.
Tendo levado muito tempo para concluir a tarefa anterior, o par viu-se, de certo
modo, limitado pela falta de tempo para dedicar a este problema. Por essa e outras
razões já anteriormente abordadas, o par acatou a sugestão dada pela investigadora, que
constava no registo escrito dos números necessários para obter 501 algarismos.
I – Será que é necessário escrever os números até 500? R – Eu vou escrever os números todos! I– E tu Rui Pedro? RP – Ainda não sei! Mas ali fala em 501 algarismos… I – A Maria parou quando escreveu 501 algarismos e não quando escreveu o número 501.
O par continuava com dúvidas e confuso e, por isso, escreveu no caderno os
números de 1 a 500. No entanto, quando foi contar o número de algarismos registados,
perdeu-se na contagem. Uma vez mais o par não demonstrou qualquer vontade de
explicar, quer oral quer por escrito como resolveu o problema, porque o facto de
terminar, para este par, já é muito importante.
Tarefa 12 Iniciaram os seus trabalhos um tanto inseguros, sem saber muito bem em que
lhes poderia facilitar o material que lhes fora entregue anteriormente.
R – Para que é isto que nos entregou? I – Este material poderá ajudar-vos a resolver o vosso problema. R – Mas como? Não estou a perceber! I – Já leram o enunciado? R – Já. I – Então, digam lá de que fala o enunciado! RP – De pessoas que queriam atravessar um rio, mas não havia ponte… I – Qual foi o transporte utilizado para conseguir o que pretendiam? R – O transporte!? Quem os levou? I – Exactamente.
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R – O barco. I – Então aqui temos o barco, o rio que queriam atravessar e as três pessoas… R – O pai é o triângulo? I – Sim. Porque são diferentes as figuras fornecidas? RP – Para não fazermos confusão com as pessoas! I – Isso mesmo! Quantas pessoas querem atravessar para a outra margem? RP – Três. I – E quantas pessoas podem ir de cada vez no barco? RP – O barco é pequeno… Mas pode levar duas! I – Que pessoas podem fazer a travessia juntas? R – Não percebo!
I – O barco pode levar duas pessoas, certo? (Os dois acenaram com a cabeça, mostrando afirmativamente que isso seria possível). Poderão atravessar o pai e um dos filhos? R – Está a perguntar se pode levar duas pessoas? I – Já se sabe que sim. É possível atravessar o pai juntamente com um dos filhos? RP – Não. O barco pode levar duas pessoas, mas essas pessoas são crianças! R – E o pai? I – Pois, é o que se pretende saber… Entretanto, fazendo várias tentativas arrastando o barco de uma para a outra
margem, o Rui Pedro referiu o seguinte: “Na primeira viagem vão os dois filhos, como
já tínhamos visto; na segunda viagem, um dos filhos regressa; na terceira viagem vai o
pai sozinho; na quarta viagem vai o filho buscar o irmão; e, na quinta viagem
atravessam os dois filhos”. O Ricardo ficou surpreendido com o raciocínio do colega e
perguntou-lhe: “Como descobriste?”. O colega riu-se e explicou: “Não vês que é a única
hipótese! É parecido com o problema da balança que fizemos há algum tempo com a
professora”. Esta descoberta proporcionou momentos de discussão e explicitação das
ideias, desenvolvendo um aspecto fundamental na Matemática, a comunicação.
I – Quantas travessias foram feitas? R – Enquanto o Rui Pedro falava, eu contei cinco!
Muito entusiasmado e depois de ter compreendido o que o colega lhe tinha
explicado, o Ricardo repetiu o mesmo, mas agora, por palavras suas: “Primeiro foram
os dois filhos. Um dos filhos fica na outra margem e o outro regressa e vai buscar o pai.
Como os dois não cabem no barco, vai o pai e fica o filho. De seguida, o filho vai
buscar o outro filho, que fazem juntos a última viagem. E também fizeram a primeira”.
Sem darem pela conta estavam a explicar os raciocínios utilizados na resolução
do problema. Na fase de explicar os raciocínios, o Rui Pedro, apenas referiu: “Seguimos
este raciocínio porque é o que é possível fazer. De outro modo, ou não poderiam
atravessar ou o barco afundava.
Apesar do início ter estado um tanto comprometido pela insegurança
manifestada por ambos os elementos, o par muito satisfeito foi capaz de explicar o
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raciocínio seguido na resolução da tarefa, facto que se registou pela primeira vez, desde
o início do estudo, ou seja apenas na décima tarefa realizada.
Tarefa 17 Feita a exploração da tarefa, da parte da investigadora e alunos da turma,
conforme o Anexo 17, este par não tinha ainda compreendido o que se pretendia com
este enunciado. Não foi capazes de reagir com a euforia que se verificara nos outros
alunos, por isso, foi-lhes pedido que resumissem e apresentassem oralmente o objectivo
do enunciado. Como não manifestaram muita vontade de falar, a investigadora pediu-
lhes que fizessem nova leitura do enunciado. De seguida, foram-lhes colocadas
novamente as mesmas questões, às quais foram respondendo, embora com muita
insegurança.
Como reforço positivo, a investigadora elogiou as respostas dadas, alertando
para a necessidade de efectuar uma leitura exaustiva dos enunciados matemáticos, de
modo a poderem ser interpretados e compreendidos todos os dados, facto que não se
evidenciava neste par.
Algum tempo depois, o Rui Pedro propôs um esquema organizado, partindo das
canções que a Ana já sabia antes de aprender canto, as que aprendeu na primeira
semana, na segunda e na terceira. O Ricardo teve dificuldade em acompanhar o
raciocínio do colega, por isso, sugeriu um outro esquema que havia traçado. Mais uma
vez se evidencia, neste par, a pouca capacidade de trabalho de grupo, porque não são
proporcionados momentos de discussão e de colaboração, mas apresentadas sugestões
individuais, forçando um ou outro elemento a aceitá-las como válidas.
I – Quantas canções sabia a Ana ao fim da quarta semana? R – Dez mais quatro que dá catorze. RP – Assim é muito confuso! Eu fiz esta lista com as quinze semanas e fui somando sempre mais uma canção por semana… R – Ah! Tens razão. Assim é mais fácil. Também eu vou fazer esse esquema!
Na fase de exploração “alguém” referiu que todas as semanas a Ana aprendia
mais uma canção que na semana anterior, facilitando, assim, a resolução da tarefa. É
que este par manifesta algumas dificuldades na descoberta da estratégia adequada,
devido à pouca importância atribuída à fase inicial da resolução de problemas, a leitura,
interpretação e compreensão do enunciado. Assim, ao número de canções aprendidas
em cada semana, foram adicionando sempre mais uma até chegar à décima quinta
semana, em que obteriam um total de 124 canções aprendidas, se não tivessem errado a
soma. Na décima terceira semana, adicionaram 14 às 95 canções, dando-lhes um total
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de 104. Rui Pedro efectuou todos os cálculos sozinho, contando pelos dedos o número
de canções aprendidas de semana para semana.
Tendo terminado a tarefa, o Rui Pedro disse: “Professora, no final das quinze
semanas, a Ana sabia 119 canções!”. No entanto, a investigadora pediu-lhes para
conferirem os cálculos.
R – Este quatro, não é um quatro, mas um nove. Como ficou mal fechado, nós pensávamos que era um quatro. Não foi possível perceber se realmente era um nove mal feito ou se erraram a
soma, por parecerem muito convictos de que era um nove mal desenhado. O importante
é que descobriram o erro e conseguiram corrigi-lo.
Quando solicitados a explicar como fizeram, os alunos referiram oralmente que
após terem descoberto o número de canções que a Ana aprendia de semana para
semana, foi só adicionar os resultados até à décima quinta semana.
Resumo do Par B Estes alunos, inicialmente, mostraram dificuldade em trabalhar em conjunto,
porque, um dos elementos do par era muito individualista. Apesar de tudo, constituíam
um par homogéneo em comportamento e desempenho. Esta atitude foi-se alterando com
o evoluir das tarefas, mas mesmo assim o desempenho que resultou poderia ter sido
mais positivo. A grande dificuldade deste par manifestou-se ao nível da
interpretação/compreensão dos enunciados matemáticos, tendo feito pouco uso da
leitura das tarefas propostas. Revelaram dificuldade na utilização dos conceitos
matemáticos envolvidos e, sobretudo, na procura e selecção das estratégias para a
resolução dos problemas. Mostraram dificuldade na expressão oral e na expressão
escrita, pelo que a explicação dos raciocínios usados muito raramente foi cumprida. A
propósito da explicitação dos raciocínios usados, os alunos pareceram indiferentes,
pouco motivados, provavelmente porque não estavam habituados a fazê-lo.
Na maioria das vezes, estes alunos procuravam as ideias dos pares vizinhos para
iniciar a resolução das suas tarefas, mostrando-se pouco confiantes nas suas
capacidades. Quando terminavam uma tarefa, demonstravam muita satisfação por a
terem conseguido resolver.
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Par C: Diogo e Alexandre
Tarefa 8 Apesar de terem conhecimento dos dados e do que era pretendido, a distância
entre os caracóis, o número de metros percorridos por um e por outro caracol era causa
de confusão. Também começaram por registar as somas de 3 metros com 2 metros até
atingirem os 50 metros, mas, para concretizar a tarefa houve necessidade de recorrer à
representação, por desenho, do percurso que separava os dois caracóis. Após terem
dividido o segmento de recta em 50 partes iguais, estes alunos manifestaram algumas
dúvidas na contagem do percurso realizado por cada caracol.
D – Um, dois, três… num dia, o caracol anda até aqui! I – Quantos metros percorre afinal esse caracol? D – Este? (apontando com o dedo) 3 metros… I – Mas tu contas apenas 2 metros! D – Não percebo… I – Então para onde vai o caracol? D – 1, 2, 3. Para aqui…
I – Para aí? Repara 1, 2, 3. (contava enquanto riscava com o lápis no segmento de recta traçado)
Entretanto, Diogo solicitou, sem êxito, a ajuda do seu colega de grupo que se
mantivera sempre calado, até então.
I – Quantos espaços terás de contar no caso do caracol que percorre 3 metros por dia? D – Espaços ou tracinhos?! Neste contexto, o recurso à régua graduada permitiu clarificar as dúvidas que
surgiram no âmbito das medições, uma vez que o par contava apenas os traços do
segmento de recta e não os espaços relativos ao percurso percorrido e por isso aos
centímetros.
D - Nesse caso conto sempre três espaços do lado esquerdo (caracol que percorre 3 metros por dia) e dois espaços do lado direito (caracol que percorre 2 metros por dia). I – Isso mesmo! Para resolver a segunda questão da tarefa foi necessário solicitar novamente
ajuda da investigadora; no entanto, esta, depois de colocar algumas questões apercebeu-
se de que os alunos não compreenderam a questão. Então, foram aconselhados a ler de
novo o enunciado e, só com muita ajuda, conseguiram resolver a tarefa.
Tarefa 13 Para resolver esta tarefa, o par solicitou diversas vezes ajuda da investigadora.
De início, os alunos não compreendiam o enunciado do problema, uma vez que o
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mesmo apresenta várias questões, umas referentes a uns dados e outras referentes a
outros dados. Após a interpretação e esclarecimento dos dados do enunciado, este par
ainda colocou outras questões a propósito da tarefa.
D – Como posso fazer três filas de quatro meninos, sendo eles nove meninos? I – Experimenta primeiro fazer o registo dos nove meninos… D – O Alexandre já fez este registo! Pode ser assim? I – É um bom começo. Agora têm de contar os meninos…
Entretanto, Diogo desenhou um triângulo, por ter três lados, o mesmo número de
filas do enunciado. De seguida, foi dispondo os meninos no triângulo, primeiro, um em
cada vértice da figura, depois nos lados, até perfazer o número de meninos pedidos no
enunciado.
Na questão seguinte, o par adoptou a mesma estratégia utilizada anteriormente,
desenhando desta vez um quadrado, também sugerido, num tom baixo, pelo Alexandre.
D – Agora é mais difícil! São 12 meninos… (proferia enquanto esboçava o desenho de um quadrado) I – Agora preenche-o com fizeste com o triângulo! D – Começo por colocar um menino em cada canto do quadrado. Depois, como ainda faltam muitos meninos, vou distribui-los pelos lados do quadrado. I – Já tens os meninos todos dispostos? D – Ainda faltam quatro. Vou apertar um bocado estes… (referia-se aos meninos que já estavam registados) Conseguimos! Foi motivo de grande alegria para o par o facto de ter conseguido dar resposta a
estas questões. Os alunos continuaram a trabalhar, no entanto, tal como nos pares
anteriores não foram capazes de resolver a última questão.
Tarefa 9 Para resolver a primeira questão desta tarefa, os alunos atribuíram uma cor a
cada sabor e foram combinando os vários sabores, utilizando apenas as cores.
I – De quantas maneiras diferentes pode o José comprar o sorvete? D – Encontramos 19 maneiras diferentes. I – Como é que contaram 19? D – Fomos combinando o morango e depois passamos ao sabor seguinte.
I – Quantos sorvetes diferentes se podem comprar, utilizando o morango e outro?
D – Quatro. I – E agora com o ananás, vais conseguir mais ou menos? D – Mais.
Entretanto, o Alexandre, que era menos falador e que até então se tinha limitado
a ouvir a conversa, interveio muito rapidamente: “Menos. Então não vês que agora a
lista é mais pequena e esgota mais rapidamente as possibilidades?”
D – Ah, pois é.
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Apesar de se mostrarem um pouco confusos foram verificando o trabalho
efectuado, eliminando os sabores repetidos.
Na questão seguinte resolveram mudar de estratégia por acharem que as cores os
baralhavam muito. Passaram a registar por escrito: morango + ananás + banana, num
total de oito maneiras diferentes.
Tarefa 11 As palavras “algarismos e números” suscitaram algumas dúvidas, porque para
estes alunos tinham significado idêntico.
D – É muito confuso! I – Repara, a Maria parou quando tinha escrito 501 algarismos e não quando escreveu o número 501! D – Depois de escrever os números, a Maria contou-os todos até obter 501 algarismos? I – Claro… D – Então já percebi!
Como não lhes ocorreu outra estratégia possível, escreveram os números até 200
e foram contando os algarismos registados.
D – Assim dá mais trabalho, mas é mais fácil! I – Não poderia ser resolvido de outra maneira? D – Poder, até podia. Mas são precisos muitos cálculos…É muita confusão.
A – Assim, só contamos os algarismos e até facilita para contar os números pares.
Embora tenha terminado a primeira questão desta tarefa, este par não obteve a
solução do problema, porque efectuou mal as contagens, dando-lhe resultados
parecidos, mas incorrectos.
Aproveitaram os números escritos e contaram também os números pares
solicitados na questão seguinte; no entanto a falta de tempo não lhes permitiu efectuar
novas contagens e detectar o erro.
Os alunos concluíram oralmente que, apesar do trabalho do registo de todos
aqueles números, não implicou a utilização de tantos cálculos, facilitando a resolução da
tarefa e a obtenção das respostas com maior rapidez.
Tarefa 12 Os alunos tiveram algumas dificuldades em iniciar a resolução da tarefa, porque
mesmo após a exploração da tarefa, ainda havia algumas dúvidas na
interpretação/compreensão do enunciado e na identificação da estratégia adequada para
a resolução do problema.
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D – Este enunciado é muito complicado! I – Porquê? D – Porque parece uma história e não um problema! I – É por isso que não consegues resolvê-lo? D – É que não sei muito bem por onde começar. I – Porque não utilizas o material que te forneci?
O par, entretanto, começou a manusear o material, tentando fazer travessias,
levando um e outro, mas sem muito empenho no trabalho que realizava. Experimentava
novas travessias mas sempre sem êxito.
I – Quem vai fazer a travessia em primeiro lugar? D – O primeiro a fazer a travessia é o adulto! I – E quem vai buscar os filhos? D – Pois… Não dá. Já sei, vai o pai e um filho! I – Quantas pessoas podem ir no barco de uma só vez? D – Pode levar até duas… I – Em que caso é que vão duas?
Entretanto, consultando o enunciado do problema, Diogo respondeu: “Quando
forem duas crianças”. A investigadora voltou a insistir: “Então o pai e o filho poderão ir
juntos?”. Alexandre que tinha estado calado a ouvir a conversa, acenou com a cabeça,
num gesto de negação. Então, incitado a falar, Alexandre disse o seguinte: “O adulto
tem de ir sozinho, mas as crianças podem ir juntas!”. Diogo concordou com o colega e,
embora inseguro, arriscou nova resposta: “Já sei. Vão as crianças!”. De forma a testar o
aluno, a investigadora perguntou-lhe: “E o pai?”. Diogo nem teve tempo para pensar,
respondeu prontamente: “Não dá!”. “Mas não dá porquê? Quantas pessoas podem ir no
barco?” perguntou-lhe a investigadora. Diogo referiu que o barco podia levar duas
crianças ou um adulto, mas era incapaz de pensar qual das pessoas atravessava em
primeiro lugar, por essa razão a investigadora voltou a questionar o par, conforme o
Quadro 1 do Anexo 17.
D – A primeira travessia é feita com as duas crianças e o adulto espera pela vez dele.
I – E quando é que é a vez dele? D – Só vejo uma solução. Uma das crianças atravessa e a outra vai buscar o pai.
I –E depois atravessam os dois de uma só vez? D – Não, os dois juntos não cabem no barco. Agora é o pai que faz a viagem e depois o filho que já se encontra do outro lado do rio vem buscar o outro.
Conforme iam resolvendo a tarefa, o Diogo esboçava um esquema no papel,
utilizando setas como ponto de partida. Segundo este aluno, este esquema permitia
saber o número de travessias efectuadas, conforme a Figura 4 do Anexo 24.
Como os segmentos traçados dispunham de setas em ambos os sentidos, a
investigadora perguntou-lhe: “Afinal de onde sai o barco?”. Diogo olhou para a
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investigadora e apontando para a sua esquerda disse: “Sai daqui!”. “Então por que razão
é que as setas têm dois sentidos?”, perguntou-lhe a investigadora. Um pouco hesitante,
o aluno pegou na borracha e apagou a seta do seu lado esquerdo, mas verificou que em
baixo o esquema também tinha de ser rectificado, mas não percebeu logo qual das setas
estava a mais. Então perguntou: “Onde tenho de apagar?”. A investigadora pediu que
reparasse de onde saía o barco e logo verificou que era da direita para a esquerda,
apagando a seta do lado direito.
“De acordo com o teu desenho e com o que indicam as setas, qual é o ponto de
partida e o ponto de chegada?”, perguntou-lhe a investigadora. Diogo sorriu e
respondeu: “Agora pensando bem, parecia que o barco partia e regressava, mas não
mostrava exactamente quantas travessias eram precisas para que todos passassem para o
outro lado do rio”.
Verificou-se alguma dificuldade na compreensão e interpretação dos dados,
tendo sido bastante lenta a descoberta da estratégia adequada para resolver a tarefa.
Enquanto o Diogo é um aluno muito curioso e empenhado no trabalho, colocando as
mais variadíssimas questões para tirar as suas dúvidas, o Alexandre permanece,
praticamente sempre calado, não sendo possível averiguar se foi ou não possível a
compreensão do problema.
Para este par, o material fornecido pela investigadora constituiu um poderoso
instrumento de auxílio na resolução da tarefa. Foi importante o manusear do material, o
empurrar do barco de um lado para o outro, colocando e tirando as pessoas, de modo a
encontrar a solução ideal para este problema.
Por fim, o par referiu que foram necessárias cinco travessias para que todos
passassem para a outra margem. Como o barco era pequeno e só dava para um adulto,
uma criança ou duas crianças de cada vez, todas as viagens efectuadas foram
indispensáveis.
Tarefa 17 Os alunos começaram por registar o número de canções que a Ana sabia antes
das aulas de canto. Logo por baixo registaram o número das canções que sabia no final
da primeira, segunda e terceira semanas. Descobriram que da primeira para a segunda e
da segunda para a terceira semana, a Ana aprendia mais uma canção. Deste modo,
foram adicionando sempre mais um ao número das canções aprendidas na semana
anterior.
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I – Quantas canções aprendeu a Ana desde que foi para as aulas de canto? D – Na primeira semana aprendeu mais uma além das que já sabia. Na segunda semana aprendeu mais duas e na terceira semana aprendeu mais três. I – Se continuar este ritmo, quantas canções saberá a Ana no final da quarta semana? D – A Ana saberá … (apontando para o resultado) mais quatro! I – E no final da sétima semana? D – Isso é muito complicado, temos de fazer as contas primeiro!
O facto de se avançarem três semanas, já tornou a situação mais complicada,
conforme referiu o Diogo. O lógico para estes alunos era continuar a sequência até
então seguida, caso contrário não era muito viável.
Enquanto efectuavam os cálculos da quarta para a quinta semana, o Diogo ia
referindo em voz alta: “Para saber o número de canções da sétima semana é preciso
saber primeiro o resultado da quinta e da sexta semanas”.
D – Na quinta semana, a Ana sabe 19 canções e na sexta, sabe… (conta pelos dedos mais 6) 25 canções. Agora é que é possível saber quantas saberá no final da sétima semana. 25 mais 7 são 32. Na sétima semana, a Ana sabe 32 canções! I – Na sétima semana ou no final da sétima semana? D – Parece-me a mesma coisa, não?! É uma questão de Português! I – Que faz todo o sentido e que pode alterar, por vezes, alguns dados e, até mesmo, alguns resultados. Isto se não for feita uma interpretação adequada dos enunciados. D – É por isso que muitas vezes é difícil descobrir que tipo de conta temos de utilizar (referia-se às quatro operações básicas).
Seguiram o mesmo raciocínio até ao final, obtendo um total de 124 canções. Ao
explicarem os raciocínios utilizados, referiram que o mais difícil, neste tipo de
problemas, é descobrir o início. Depois, é só contar, como foi o caso. Referiram também
que, não se podia “pular” as semanas, porque era necessário saber, desde o início, as
quantidades certas.
Resumo do Par C Diogo e Alexandre, de início, mostraram ser um par pouco equilibrado. Não
eram estabelecidos diálogos entre si, porque o Alexandre permanecia alheio a todo o
tipo de trabalho, deixando “nas mãos” do seu colega o poder de decisão, de resolução e
prestação de trabalhos. Diogo viu-se obrigado a mudar esta situação, tendo, para tal,
exigido a participação e colaboração do colega nas tarefas. A partir desse momento,
foram trocadas impressões entre si, mas sempre em voz baixa. Esta atitude
comprometeu, de certo modo, o desempenho do par. No entanto, para o final das
tarefas, o desempenho do Alexandre melhorou.
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Parece ter havido, por parte destes alunos, a consolidação de alguns conceitos
matemáticos, embora tenham mostrado também algumas falhas ao nível dos
conhecimentos já adquiridos.
Mostraram muitas dificuldades em se exprimirem, tanto oralmente como por
escrito. Apenas explicaram, por escrito, os raciocínios usados nas duas últimas tarefas,
embora tenham sido lembrados a fazê-lo. Raramente terminaram as tarefas, quer devido
às dificuldades enumeradas quer devido ao ritmo de trabalho lento que possuíam.
Par D: Filipa e Pedro Miguel
Tarefa 8 Demoraram a iniciar a tarefa, porque não compreendiam o enunciado. Após a
exploração do conteúdo e compreensão de todas as palavras foi possível o começo.
I – De quantos caracóis nos fala o enunciado? F – Dois. I – Quantos metros os separam? F – 50 metros. I – Como estão dispostos os dois caracóis?
PM – Estão assim (apontando para o esboço efectuado na folha). Frente a frente e em linha recta.
I – O que significa ir em linha recta? F – Que não mudam de direcção, não? (respondeu com algumas dúvidas). I – Podemos aceitar a resposta. Quantos metros percorre cada caracol? PM – Um três metros e o outro dois. I – Os dois juntos quantos metros percorrem por dia? PM – Já sei. Num dia os dois caracóis percorrem cinco metros.
F – Para descobrirmos quantos dias são precisos para se encontrarem, basta ir registando cinco metros por dia e quando percorrerem 50 metros, encontram-se.
PM – Eu tinha feito várias multiplicações para nada. I – Na resolução de qualquer problema é muito importante a sua leitura e compreensão, para prosseguir o trabalho! F – Já terminei. Os caracóis encontram-se ao fim de dez dias. I – Agora é preciso saber quantos metros andou cada caracol. Será que percorreram ambos o mesmo número de metros? PM – Não. O caracol mais rápido andou mais.
Foi-lhes sugerido o desenho de um segmento de recta, registando os metros
percorridos por um e por outro caracol. No entanto, quando tiveram de contar os metros
percorridos pelos caracóis, não contavam os espaços (centímetros), mas os tracinhos
que registaram no segmento, ou seja, as marcações dos centímetros e por isso, os
resultados não lhes dava certo.
PM – Professora, afinal como pode ser isto!? I – Deixa-me ver os teus registos! Afinal, quantos metros percorre, por dia, este caracol? (disse apontando para o caracol que percorre três metros por dia) PM – Este anda 3 metros!
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I – Mas tu registaste apenas dois! PM – Como? Eu contei, um, dois, três. Calha aqui…
A investigadora mostrou-lhes a régua graduada e pediu para que medissem a
largura do caderno. Responderam correctamente à resposta, percebendo que o que
contava eram os espaços (centímetros) e não os traços, como haviam feito no segmento
de recta.
Efectuaram nova contagem, dando trinta metros, no caso do caracol que andava
três metros por dia e vinte metros no outro caso.
Foi dada a resposta à questão, mas não explicaram como procederam.
Tarefa 13 Também este grupo teve necessidade de desenhar as figuras geométricas com o
mesmo número de lados das filas dos meninos. De seguida dispôs todos os meninos
solicitados no enunciado nos lados das figuras desenhadas.
PM – As filas são linhas rectas, por isso é fácil! Vamos colocar os meninos sobre os lados do triângulo e do quadrado!
F – Têm de estar mais afastados. PM – Não está muito direitinho, mas continuam a ser filas… O par deteve-se alguns minutos na última questão, experimentando outras
figuras geométricas, sobretudo o hexágono, seis lados, tal como o número de filas
pedido.
F – Professora, o outro não é possível fazer! I – Porque dizes isso?
F –Já desenhamos várias figuras com seis lados, mas ao colocarmos lá os meninos, não dá certo! I – Vou dar-vos uma pista. Vocês desenharam a primeira figura com três filas, agora têm que desenhar uma com o dobro das filas! F – Mas como? Um hexágono tem seis filas! PM – E cada fila tem quatro meninos? F – Não. Não dá… I – É por isso que eu sugiro que olhem para o vosso primeiro esquema.
Embora não tenham resolvido a questão em falta, o Pedro chegou a sugerir o
desenho de uma estrela de modo a dispor os doze meninos referidos na tarefa. Por fim,
o par deu a resposta ao problema, mas não explicou, por escrito, os raciocínios usados.
Tarefa 9 Para resolverem a tarefa, os alunos traçaram o seguinte diagrama, constante da
Figura 5, Anexo 25.
F – Já terminámos! Podes conferir? I – De quantas maneiras pode o menino comprar o sorvete? F – 10 maneiras diferentes.
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PM - Este esquema não permite que sejam repetidos os sabores já registados, porque estamos atentos e quando temos dúvidas verificamos para não repetir.
I – E agora com três sabores? PM – Vamos começar, mas já sabemos que dá menos gelados! I – Porquê? PM – Porque vamos fazer grupos de três e são mais elementos. I- Mas o número de sabores é o mesmo! PM – O melhor é tentar, para ver o resultado!
Para efectuar a questão seguinte, os alunos continuaram com o mesmo esquema,
mas, a certa altura ficaram muito confusos, não conseguindo saber quantos sorvetes
ainda poderiam combinar. Decidiram, então, elaborar uma grelha com os sabores
possíveis. Assim, marcando uma cruz nos vários sabores, conseguiram seis sorvetes
diferentes, dando por terminada a tarefa.
I - Já descobriram quantos sorvetes se podem comprar agora? PM – Já temos seis hipóteses de comprar sorvetes, utilizando apenas o morango e outros… I – Então vai dar um número maior ou menor de gelados? PM – Para já só temos seis… Apesar de terem experimentado outras hipóteses acabavam por repetir os
sabores, por isso deram por concluída a tarefa. Registaram por escrito as suas respostas,
mas, apesar de terem sido lembrados, não explicaram como pensaram.
Tarefa 11 As dificuldades na compreensão do enunciado retiveram, por alguns minutos, os
alunos. As palavras “números e algarismos” foram motivo de grande confusão gerada
na resolução desta tarefa.
A investigadora explicou-lhes que “números e algarismos” possuem no
enunciado significados diferentes. Enquanto a palavra “números” se refere aos números
de 1 a 500, “algarismos” refere-se ao número de “símbolos” representados ou escritos.
O par manifestou dificuldades que se registaram ao nível da interpretação
ambígua das palavras. Exigiu, por isso, maior atenção e concentração, da parte dos
resolvedores desta tarefa.
Os alunos começaram por agrupar os números de 1 a 9, de 10 a 99 e de 100 a
500.
PM – É preciso contar os números de 10 a 99 e multiplicar por dois algarismos! F – Já temos 9 algarismos que é o resultado de 1 a 9. Depois soma-se o resultado dessa multiplicação. PM – 90 vezes 2 que dá 180. Agora de 100 até ao número necessário para obter 501 algarismos. I – Estão a caminhar para a solução…
85
F – Podemos começar com os números de 100 a 200. Depois multiplicamos por três algarismos… Seguiram um raciocínio correcto e adequado, mas erraram os cálculos referentes
à tarefa, porque se perderam nas contagens efectuadas.
Finalmente o par explicou que foi contando os números de 1 a 9, de 10 a 99 e de
100 a 200. Assim, juntou aos 9 algarismos, 180, resultado de 90 algarismos vezes 2. Por
fim, multiplicou 101 por 3, dando 303 algarismos. Depois foi fazendo aos poucos, por
tentativa, até chegar aos 501 algarismos escritos.
Tarefa 12 Além do material de apoio de que dispunham, os alunos desenharam no papel,
um rio e traçaram as travessias efectuadas, de modo a que todos passassem para a outra
margem do rio.
I – Quem é que atravessa primeiro? PM – As duas crianças atravessam e o pai fica. I – O que acontece depois? PM – Uma criança fica do lado de lá do rio e a outra vai buscar o pai! I – Quantas travessias foram feitas até então? PM – Duas viagens. Mas agora o pai vai fazer a terceira. F – Ao todo são necessárias cinco viagens, porque o menino regressa e vai buscar o irmão. Foram os dois meninos que atravessaram mais vezes o rio! I- Já agora quantas viagens fez cada filho? PM – Não dá para saber. I – Porquê? As figuras que vos dei e que representam as pessoas são todas iguais? PM – Não. Então, se eu mantiver sempre o mesmo filho (representado pelo quadrado) no barco, (ao mesmo tempo ia fazendo as travessias de novo) ele faz três viagens, enquanto o outro (rectângulo) faz uma como o pai (triângulo).
Na explicação dos raciocínios usados, os alunos acharam que o desenho, por si
só, não era suficiente, acabando por repetir o que haviam dito mas agora por escrito.
“Primeiro foram os dois filhos e acabou a primeira viagem; depois uma criança ficou na
outra margem e a outra foi buscar o pai, é a segunda viagem; na terceira viagem, o pai
foi para a outra margem; depois o filho foi buscar o irmão, fazendo a quarta viagem; e,
por fim, na quinta viagem, os dois filhos foram para a beira do pai. Realizaram-se cinco
travessias e não podia ser de outra maneira, porque no barco só cabiam as duas crianças
de uma vez ou o pai”.
Tarefa 17 Os alunos leram atentamente o problema e rapidamente iniciaram a sua
resolução. Na figura 6, Anexo 26, pode observar-se a estratégia usada pelo par.
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O par foi muito perspicaz na descoberta da sequência das canções aprendidas de
semana para semana, por isso efectuaram, aparentemente sem qualquer dificuldade, a
tarefa proposta com recurso a uma tabela.
I – Porque razão elaboraram este esquema? PM – Porque representa as quinze semanas de que fala o problema. I – Quantas canções sabia a Ana antes das aulas de canto? PM – Já sabia 4 canções, por isso, na primeira semana registei 4, mais uma que dá 5 canções. Na segunda semana juntei mais duas canções e deu 7. Na terceira semana juntei mais três e deu 10. Fui seguindo este raciocínio até ao final das quinze semanas. F – Assim, torna-se mais fácil ver quantas canções é que a Ana aprendeu em cada semana. PM – Temos de seguir essa sequência até à décima quinta semana! Cada semana tem um número que corresponde à semana. I – O que querem dizer com isso? PM – Na primeira semana mais uma canção nova; na segunda semana mais duas canções novas; na terceira mais três e assim, por aí fora até chegar ao final das quinze semanas. Conforme a explicação efectuada oralmente, “eu descobri como era possível
realizar esta tarefa, encontrando a sequência; então, cada semana aumentava mais uma
canção”; o par também procedeu ao registo escrito, dando assim por finalizada a tarefa,
referindo que descobriram a sequência, por isso foi fácil resolver o problema. Em cada
semana aumenta uma canção, assim, apenas juntaram o número que correspondia à
semana, com o número anterior.
Resumo do Par D Ao longo de todas as tarefas, este par mostrou ter um desempenho constante.
Discutiu e comunicou entre si as suas descobertas, permitindo-lhes o confronto de
opiniões. Estes alunos complementavam-se, porque a Filipa liderava ao nível da Língua
Portuguesa, conseguindo uma boa interpretação/compreensão dos enunciados; enquanto
o Pedro Miguel liderava na Matemática, porque sempre demonstrou um bom cálculo
mental e um bom raciocínio matemático. Os diálogos estabelecidos eram efectuados em
voz baixa e de forma moderada, manifestando muito entusiasmo pelas tarefas
desenvolvidas.
Parece terem consolidado os conceitos matemáticos envolvidos na resolução das
tarefas, respondendo sempre com muita calma e com alguma segurança.
Mostraram dificuldade ao nível da expressão escrita, particularmente dos
raciocínios usados na resolução dos problemas. Apesar de terem sido incitados a
explicar, por escrito os passos seguidos, estes alunos limitavam-se a dar uma resposta
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semelhante àquela a que estavam habituados nos problemas que implicam a utilização
dos algoritmos.
Actividades de investigação matemática
No dia 8 de Janeiro de 2007, das 9.00 às 10.30 horas iniciou-se a investigação
matemática, tarefa 24, “Quadrados de dominó”, constante do Anexo 18.
No dia 12 de Janeiro de 2007, das 11.00 às 12.00 horas efectuou-se a segunda
investigação matemática, tarefa 25, “Xs no geoplano”, constante do Anexo 19.
No dia 16 de Janeiro de 2007, das 14.00 às 15.30 horas efectuou-se a terceira
investigação matemática, tarefa 26, “Guardanapos”, constante do Anexo 20.
Par A: Rodolfo e Marta
Tarefa 24 Em contacto com os dominós os alunos questionavam-se o que iriam fazer e que
tipo de actividade matemática iam desenvolver com este material.
M – Os quadrados de dominós conseguidos são para registar no papel? R – Claro! (disse apontando para o enunciado). M – Isto é divertido!
Os alunos manifestaram muito entusiasmo aquando da realização da tarefa,
porque “brincavam” enquanto trabalhavam.
M – Isto é mesmo fácil! Já construímos vários quadrados de dominó. R – Não te esqueças de registar! M – Já registei o quadrado de dominós com 7, 6 e 5 pintas de lado. R – Regista também este de quatro! M – Eu gosto mais de construir os quadrados que registar…
O manuseamento das peças de dominós proporcionou, aos alunos, um ambiente
lúdico, característico do jogo. Resultou num trabalho agradável, completamente
diferente daquele a que estavam habituados na aula de Matemática. O empenho era tal
que preferiam fazer os quadrados de dominó que registá-los no papel.
M – Estava a construir um quadrado de dominó com 9 pintas e acabei por construir este de 8… R – Às vezes também acontece isso comigo. Ando à procura de uma peça e encontro outra… M – Podemos repetir os quadrados de dominós? I – Tentem construir com outros números… M – Já construímos quadrados de dominós diferentes, mas as mesmas somas dos lados… I – Têm efectuado o registo dos quadrados de dominó? R – Registámos 12. I – Qual foi o quadrado de dominó que conseguiram com a soma dos lados mais baixa? R – Foi o quadrado com duas pintas! I – Já experimentaram fazer o quadrado de dominós com a soma igual a 1?
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M – Não é possível! I – Porquê? M – As peças não servem. Passa sempre do 1. Foram efectuando descobertas, registando os resultados encontrados, através de
uma competição agradável e construtiva.
I – Acabaram de dar resposta à segunda questão… R – O que acabámos de dizer é resposta?! Podemos escrever o que dissemos? I – Podem e também podem pensar na questão seguinte… R – “E o máximo?” M – Deixa ver… Foi o quadrado com a soma igual a 14. I – Acham que é possível a construção de mais quadrados de dominó? R – Talvez… I – Quantos fizeram? M – 13. Este par preocupou-se em registar correctamente, com régua e lápis os
quadrados de dominós que haviam efectuado, tendo gasto mais tempo que o previsto. O
valor máximo encontrado por este par foi o quadrado de dominó com a soma igual a 14.
Tarefa 25 Tal como na tarefa anterior, o trabalho de Matemática realizado com o auxílio de
materiais é mais susceptível de desenvolver o gosto e melhorar o desempenho dos
alunos. O contacto com o geoplano proporcionou uma atitude mais positiva
relativamente ao modo como os alunos estão habituados a ver a Matemática.
M – Eu faço o X no geoplano e tu registas. R – Empresta-me a tua régua! M – Neste geoplano, podemos fazer muitos Xs… R - Desde que os elásticos se cruzem, já temos um X. M – Já podes começar a registar, porque repara, cada quadradinho é um X. R – Há 16 Xs iguais. Mas também podemos fazer Xs utilizando as medidas do rectângulo… M – Mas para não misturar tudo, o melhor é fazer primeiro com quadrados. R – Concordo. M – Agora o quadrado vai ser maior, com dois preguinhos de cada lado. Regista estes quatro! Dá para fazer mais dois assim e mais dois assim… R – Esses não são repetidos? M – Não. São todos diferentes. O melhor é fazer primeiro o registo dos quatro quadrados. Noutro geoplano registas mais dois; noutro mais dois e depois no último só registas o que falta. R – Já podes continuar… M – Agora é um X grande. Ainda rebenta os elásticos… Pode-se fazer mais quatro Xs. R – Vou registar um em cada ponteado. M – O outro X ocupa o geoplano todo… só podemos fazer um! R – Utilizando o quadrado podemos fazer 30 Xs. Foi o único par de alunos a descobrir que a partir do rectângulo também se pode
fazer uma grande quantidade de Xs.
M – Agora com o rectângulo… O mais pequeno é o de 1 por 2. Que confusão! Não posso colocar tantos elásticos, porque depois não os consigo contar…
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R – Na primeira fila podemos fazer 3 Xs como esse. Porque não multiplicas por 4? M – É verdade. Podemos fazer 12 Xs na horizontal e 12 Xs na vertical. São 24 Xs. R – Não vou registá-los todos. Vou registar um e coloco igual a 24. M – Com um rectângulo maior… 1 por 4. Podemos fazer a mesma coisa. Multiplicamos! 2 vezes 4 dá 8. 8 Xs horizontais e 8 verticais dá 16. R – Registei como o anterior… M – Agora ainda podemos fazer mais 4 Xs assim e mais 4 Xs assim que são 8. R – Ainda é possível fazer mais algum X? M – Se crescermos ao rectângulo… 2 por 4. Dá mais um, dois, três. Na vertical mais um, dois, três. São 6. Os dois alunos registaram os Xs no papel ponteado e procederam à contagem
dos Xs possíveis.
R – Tantos Xs… Com o rectângulo dá mais Xs! M – Conta os Xs que registaste! R – No total? 30 Xs a partir do quadrado e 54 Xs a partir do rectângulo. Os alunos contaram 84 Xs. Definiram o X como algo que divide quer o
quadrado quer o rectângulo em quatro partes. No caso do quadrado resultaram
triângulos iguais e no caso do rectângulo resultaram quatro triângulos diferentes.
Tarefa 26 Este par mostrou-se muito cauteloso, apontando como é possível resolver as
investigações matemáticas de “muitas maneiras”, acrescentando que “os resultados
podem também ser variados”.
R – Depende das molas que nós tivermos… M – E também das que quisermos gastar. R – Este problema pode ser resolvido de muitas maneiras… M – Os resultados podem também ser variados… O melhor é fazer de várias maneiras! R – Vamos começar por 1 guardanapo – 1 mola; 6 guardanapos - 6 molas; 10 guardanapos – 10 molas… M – É a mesma coisa que multiplicar o número de guardanapos por uma mola. Dá sempre o número de guardanapos… R – Estás a complicar Marta! M – Quando multiplicas qualquer número por 1, resulta sempre no próprio número. R – Não estava a perceber o que querias dizer. Vamos registar da maneira como disseste! A Marta não avançou sem que o seu colega mostrasse a sua concordância,
porque é um par que demonstra muita capacidade de discussão e de partilha de opiniões.
M – 1 guardanapo pode gastar duas molas; 6 guardanapos – 12 molas, por aí fora… R – Ao multiplicar por 2, encontramos o dobro das molas.
O Rodolfo seguiu o raciocínio e fez questão de completar a ideia lançada pela
colega.
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M – Agora podemos gastar 3 molas para cada guardanapo… R – São muitas molas! Não precisa de tantas… M – Depende do tamanho dos guardanapos, por isso vamos multiplicar por 3. R – 1 guardanapo – 3 molas; 6 guardanapos – 18 molas; 10 guardanapos – 30 molas; 15 guardanapos – 45 molas; 17 guardanapos – 51 molas e 20 guardanapos - 60 molas. São molas a mais! M – Está bem vamos poupar as molas! 1 mola para dois guardanapos; 3 molas para 6 guardanapos; 5 molas para 10 guardanapos; 8 molas para 15 guardanapos; 9 molas para 17 guardanapos e 10 molas para 20 guardanapos. É uma diferença muito grande de molas…
Segundo estes alunos, por meio do desenho, foi encontrada a solução ideal,
porque como referem esta não implica a utilização de muitas molas, de acordo com a
Figura 7 do Anexo 27.
M – Continuamos? R – Prefiro desta maneira. Assim não são precisas tantas molas!
Este par concluiu com uma curiosidade. Os alunos observaram que quando os
guardanapos representam números pares, o número de molas é sempre metade dos
guardanapos e quando os guardanapos representam números ímpares, o número de
molas é sempre metade mais uma que o número de guardanapos.
Resumo do Par A Estes alunos efectuaram um bom trabalho em conjunto e mostraram um
desempenho estável ao longo das tarefas desenvolvidas. Demonstraram boa capacidade
de expressão oral, comunicando entre si as ideias e as hipóteses levantadas, na procura
da solução. Evidenciaram muito entusiasmo e participação activa nas tarefas, porque,
segundo estes alunos é muito aprazível manusear os materiais de apoio da Matemática,
como foi o caso dos dominós e do geoplano.
Foi o único par que conseguiu descobrir os Xs em rectângulos, tendo os
restantes ficado apenas pelos Xs resultantes do quadrado.
Na última tarefa, apresentaram o resultado da actividade de investigação
matemática de diversas maneiras, propondo, assim, resultados variados. No entanto, a
solução ideal para este par foi aquela que implicou a utilização do número mínimo de
molas.
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Tarefa 24 Estes alunos manifestaram dificuldades na compreensão do enunciado da tarefa
e na construção de quadrados de dominó.
R – Não percebo o que é para fazer!
91
I – Já leram o enunciado? R – Não. Ouvimos a tua leitura! I – O que se falou a propósito da leitura dos enunciados? RP – É preciso ler muitas vezes…
Inicialmente utilizaram seis peças de dominós para fazer um quadrado. Como
cada peça é rectangular a concepção que possuíam era a de que iam resultar rectângulos
em vez de quadrados.
R – O dominó tem a forma de um rectângulo… I – Quantas peças são necessárias para fazer um quadrado? R – Seis peças! RP – No meio também é um quadrado… I – Apenas vão utilizar quatro peças. R – Como? É complicado! I – Porquê? R – Porque há muitas peças diferentes! RP – Podemos começar por um número qualquer? I – Por qual querem começar? PR – Pelo número 5, que já tenho duas peças. R – Pois deste lado conto 5 pintas e deste também conto 5… RP – Olha outra para juntar a essas… R – Assim há três lados com 5 pintas. RP – Encontrei a outra! R – É divertido! Ultrapassada a fase das explicações e concretizações com o próprio material, os
alunos construíram alguns quadrados de dominó, manifestando bastante entusiasmo
pela actividade desenvolvida. No entanto, revelaram dificuldades na representação em
papel dos quadrados de dominó construídos. Tiveram que seguir com a ajuda do dedo as
peças já desenhadas e as que faltava desenhar, pois este trabalho implicava alguma
abstracção.
R – Já consegui fazer sozinho um quadrado de 6 e outro de 4 pintas. I – Quantos quadrados fizeram? RP – Fizemos 6. I – Acham possível fazer mais algum? RP – Acho que sim.
Relativamente à primeira questão, este par referiu que havia conseguido
construir oito quadrados de dominó.
Quanto às duas últimas questões, pareceu que estes alunos não tinham
compreendido o que era pretendido, porque um dos elementos questionou o par vizinho,
sobre o que era o valor mínimo e o valor máximo. Este par ficou apenas pela construção
de seis quadrados de dominó, mas não efectuou qualquer registo por escrito sobre as
questões propostas.
92
Tarefa 25 Antes de iniciar a tarefa, estes alunos exploraram o geoplano, construindo
diversas figuras geométricas, casas e outras figuras.
R – Consegui encontrar um X no quadrado maior do geoplano… Estiquei o elástico desta ponta até esta e depois do outro lado e fiz um X.
RP – Então é isso que temos de fazer? R – Os outros também estão a fazer assim… e depois desenham no papel dos pontinhos. Um pouco guiados pelo trabalho efectuado pelos pares vizinhos, estes alunos
manifestaram muito entusiasmo pela tarefa desenvolvida. Disputaram, positivamente,
entre si diferentes construções de Xs.
RP – Eu também consigo fazer muitos Xs. Olha neste quadradinho também faço um X… já está! R – O melhor é fazer o X e depois passá-lo para o papel dos pontinhos, assim, podemos ver no fim quantos Xs fizemos. RP – Eu já desenhei. Estes elásticos são muito grandes para estes Xs pequenos e saltam fora… R – Dobra-os e já não saltam! Mas se calhar não é preciso usar os elásticos, porque no geoplano há muitos Xs iguais ao que desenhámos. RP – O melhor é contá-los. 1, 2, 3, 4,… São 15 e com o que já desenhámos são 16. Já encontrámos 17 Xs. É muito fácil! R – É mesmo fácil… Já encontrei outro! Este quadrado (2 por 2) que cabe dentro do grande também dá um X. E não está repetido… RP – Acho que não é possível fazer mais nenhum… R – Eu também acho, porque se fizéssemos outros eram repetidos. Este par encontrou, apenas, 18 Xs no geoplano. No entanto, não se preocupou
em responder à questão, nem procurou definir o X.
Tarefa 26 Este par manifestou muitas dificuldades em iniciar a investigação matemática
como se tem verificado também em outras situações.
RP – Como vamos começar? R – O melhor é desenhar uma corda com os guardanapos a secar… RP – Deve ser mais fácil…
R – Para pendurar 1 guardanapo a senhora Rosa vai gastar 2 molas. 1 mola de cada lado. No segundo guardanapo vai gastar mais duas; no terceiro mais duas molas; no quarto mais duas; no quinto mais duas e no sexto mais duas molas. RP – 6 guardanapos vezes 2 molas dá 12 molas… Após terem calculado o número de molas para pendurar seis guardanapos, os
alunos deram a seguinte resposta: “A Dona Rosa precisa de 2 molas para cada pano”.
Este tipo de resposta descontextualizada e o modo hesitante como procederam levou a
crer que os alunos não tinham compreendido o texto apresentado.
R – Preciso de desenhar outra corda para pendurar mais 10 guardanapos… RP – Precisas de uma corda maior! R – Agora a senhora Rosa vai pendurar 20 guardanapos e vai meter duas molas em cada guardanapo.
93
RP – São 2 molas vezes 10 guardanapos, dá 20.
Não concluíram a tarefa, porque conforme aumentou o número de guardanapos,
o grau de dificuldade tornou-se maior. Ao nível dos conceitos matemáticos também
manifestaram dificuldades, porque eram 10 guardanapos vezes duas molas e não 2
vezes o 10.
Resumo do Par B Estes alunos mostraram dificuldade na interpretação/compreensão dos
enunciados das tarefas desenvolvidas, tendo manifestado, por essa razão, dificuldade em
iniciar a sua resolução. Necessitaram da ajuda da investigadora, particularmente ao
nível da exploração e explicação das tarefas, bem como na utilização dos materiais,
dominós e geoplano. Mostraram-se hesitantes e evidenciaram pouca segurança nas suas
capacidades em todas as actividades de investigação matemática.
Após a fase das “dúvidas”, os alunos foram capazes de estabelecer diálogos
entre si, porque o entusiasmo evidenciado proporcionava a discussão e a partilha de
opiniões. Este aspecto da comunicação teve maior relevância, neste par, durante a
realização das actividades de investigação matemática. Embora não tenham terminado
as tarefas, evidenciaram muita satisfação no decurso das mesmas, porque a descoberta
era, para estes alunos, algo de admirável.
Par C: Diogo e Alexandre
Tarefa 24 Também estes alunos manifestaram algumas dificuldades na compreensão do
texto. Pelo facto de as peças de dominós terem forma rectangular, também este par
considerou difícil a construção de quadrados.
D – Como é que os quadrados têm de ter as mesmas somas se são peças diferentes? I – Antes de tudo é necessário construir um quadrado… D – As peças são rectangulares! I – Repara! Para se construir um quadrado são precisas quatro peças. D – Ah! Fica um espaço aberto no meio que também é um quadrado. I – Pretendem construir um quadrado em que a soma de todos os lados seja nove, por exemplo (dizia enquanto procurava as peças com esse valor para exemplificar). D – Isto é difícil! I – Porquê? D – Porque às vezes as pintas não servem para o outro lado. I – É necessário procurar o mesmo número de pintas para fazer quadrados de dominó.
94
Consideraram extremamente difícil encontrar o mesmo número de pintas para
cada lado.
D – Quantos quadrados é para fazer? I – No enunciado pede para construir o maior número possível! D – O maior número possível?! Como é que eu sei que é o maior número?... I – Isso só vais saber depois de construíres os quadrados! D – Já construímos um de nove pintas! I – Então agora vão registar no papel. D – Oh! Não… A – É mais fácil desenhar que construir os quadrados. É só copiar!
Ao contrário de outros pares de alunos, este considerou mais complicado a
construção de quadrados de dominó com as peças dos dominós que o seu registo no
papel.
I – Porque estão a repetir os quadrados com as mesmas somas? D – Porque é o que diz no enunciado! I – O que diz o enunciado? D – “que a soma das pintas em cada lado sejam as mesmas”. I – Isso realmente diz. Mas o que significa isso? D – Que os quadrados tenham todos as mesmas somas. I – Não. Que os lados dos quadrados tenham as mesmas somas. D – Foi o que dissemos… I – Então só é possível construir quadrados com o valor das somas igual a 9 e a 12? A – Não sei, mas estes conseguimos fazê-los. I – Têm de construir quadrados de dominó em que a soma das pintas de cada lado seja a mesma mas com números diferentes. Por exemplo: com 5 pintas, com 6, com 7, etc. D – Ah! Não tinha compreendido assim! Pensei que fosse sempre as mesmas pintas!
Estes alunos compreenderam que os quadrados de dominó tinham de ter todos a
mesma soma, por essa razão construíram, apenas, quadrados com as somas iguais a 9 e
a 12.
A – Vamos fazer um quadrado com 15 pintas! D – Não sei se dá! A – Vamos procurar… O par manifestou sempre muita insegurança e pouca capacidade de inferir, no
que respeita às possibilidades de construção de outros quadrados de dominó com somas
diferentes.
D – 6 mais 5 dá 11. 11 mais 4 dá 15. Deste lado dá. A – Pois 6 mais 6 dá 12 e 12 mais 3 dá 15. Temos o outro lado. D – Este lado tem de ser igual a esse. Já temos 3. Faltam 12 pintas. A – Vê se este dá! D – Dá 15. A – Vamos copiar este que é diferente dos outros!
95
Os alunos revelaram muita dificuldade na junção das peças de modo a obter os
lados dos quadrados com o mesmo número de pintas. No entanto, quando conseguiam
construir um novo quadrado de dominó, manifestavam muita satisfação.
D – Se deu para fazer este também dá para fazer com 16 pintas. A – 6 mais 6 igual a 12. Para chegar a 16 ainda faltam 4. D – São precisas peças com muitas pintas. A – Assim já dá. Já tenho 16 deste lado e 16 deste. Só faltam dois lados. D – Então estou a ver que é possível! I – Registaram os quadrados que conseguiram construir? D – Registámos 7, porque foi os que conseguimos até agora. I – Vejam a questão: “Quantos quadrados consegues fazer? A – Não sabemos. Só fizemos 7. D – Ainda há muitos mais? I – O que acham? A – Não deve ser possível fazer muitos mais! I – Porquê? A – Já foi difícil fazer estes. I – Relativamente à questão seguinte, o que acham? D – “Qual é o valor mínimo da soma?” I – O que significa mínimo? D – Menos. A – Menos somas? I – Menos pintas de lado. D – O de menos pintas é o 9. I – Acham possível fazer somas menores que 9? D – Hum! Não sabemos, porque não experimentámos! I – E qual foi o máximo? A – Máximo é mais. D – Maior! Foi o 16. I – Acham possível fazer quadrados de dominó em que a soma das pintas em cada lado sejam maiores que o 16? D – Ainda não tentámos! Os alunos foram pouco ágeis, demonstrando pouca capacidade de lidar com este
tipo de material. No entanto, a dificuldade mais acentuada esteve no raciocínio, porque
manifestaram pouca perspicácia a esse nível.
Tarefa 25 Como havia, apenas, um geoplano para cada par, os alunos tiveram de encontrar
uma forma de trabalhar conjuntamente com o material. Assim, enquanto um trabalhou
no geoplano, o outro registou no papel, invertendo, de seguida, as posições.
A – Eu trabalho com os elásticos no geoplano e tu desenhas os Xs que eu encontrar. D – Não, uma vez cada um… Tu encontras um e eu encontro outro. Eu também gosto de trabalhar no geoplano!
Perante o geoplano, os alunos ficaram tão empolgados que até se esqueceram da
tarefa. Construíram triângulos sobrepostos fazendo de conta que eram árvores, telhados
96
de casas com antenas, etc., tendo sido necessário chamar à atenção dos alunos para
voltarem ao trabalho.
D – Podemos fazer muitos Xs iguais ao que já fizemos… A – Vais precisar de muitos elásticos. Não sei se chegam estes! D – Fazemos até onde der e o resto contamos… Até aqui temos 10! Agora contamos os quadrados que ainda faltam. A – O que estás a fazer é a mesma coisa que estávamos a fazer com os elásticos? D – Fazemos de conta que temos elásticos. Olha ia dar outro X, mais outro, mais outro, … até 6. A – Pensei que não fosse dessa maneira… D – No papel é que convém fazer os Xs todos para sabermos quantos conseguimos fazer. A – Tive uma ideia! Este quadrado grande também dá para fazer um X. Olha vê! D – Está bem. Não estiques mais já vi que dá. O elástico é pequeno de mais para fazer esse X.
Por estarem pouco habituados a trabalhar com o geoplano, tiveram receio que os
elásticos rebentassem.
D – Descobri mais quatro, porque aumentei o tamanho dos quadrados. Estás a ver? Até conseguimos fazer! Conforme realizavam a tarefa, foram sentindo muita satisfação pelos resultados
obtidos. No entanto, não responderam por escrito a nenhuma das questões colocadas.
Tarefa 26 Nesta tarefa os alunos desenharam um estendal com cinco cordas. Na primeira
corda penduraram seis guardanapos; na segunda, penduraram dez guardanapos; na
terceira, penduraram quinze; na quarta, penduraram 17; e na quinta, penduraram vinte
guardanapos.
A – Este problema não é complicado! Os guardanapos são pequenos, por isso chega muito bem uma mola para cada guardanapo. D – Até pensaste bem, porque eu ia utilizar mais molas, mas realmente não vale a pena. Para pendurar 6 guardanapos é preciso 6 molas; para pendurar 10 guardanapos é preciso 10 molas, … A – É sempre o mesmo número de guardanapos e de molas. D – Podemos fazer este esquema: 6 guardanapos – 6 molas; 10 guardanapos – 10 molas; 15 guardanapos – 15 molas; 17 guardanapos – 17 molas; 20 guardanapos – 20 molas. Estes alunos encontraram uma forma simples de colocar os guardanapos a secar,
sem precisarem de efectuar grandes cálculos.
Resumo do Par C Estes alunos mostraram ter dificuldade na interpretação/compreensão dos
enunciados das tarefas, tendo condicionado, de certo modo, a execução e conclusão das
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mesmas. Revelaram também alguma dificuldade na construção de quadrados com as
peças dos dominós, porque, segundo estes alunos, só era possível construir rectângulos.
Solicitaram, com alguma frequência, a ajuda da investigadora para
esclarecimento das dúvidas que surgiram, nomeadamente na tarefa 24, pois os alunos
demonstraram alguma insegurança na construção dos quadrados de dominó, bem como
no potencial das suas capacidades.
Evidenciaram maior facilidade ao nível da comunicação e confronto de opiniões,
discutindo entre si as possibilidades para a resolução das tarefas.
Demonstraram bastante interesse e entusiasmo na execução das actividades de
investigação matemática, porque proporcionaram o manuseamento de materiais
adequados e inovadores, para estes alunos, na Matemática.
Relativamente à última tarefa, os alunos optaram por uma forma simples de
colocar os guardanapos a secar, dispondo de uma mola para cada guardanapo.
Par D: Filipa e Pedro Miguel
Tarefa 24 Após a leitura e explicação do que se pretendia, o par iniciou, prontamente o seu
trabalho, com muito gosto e empenho.
F- Podemos começar por um número qualquer? I – Sim. F – Então, vamos começar pelo quadrado de 5 pintas de cada lado! PM – Terminei agora o quadrado com 8 pintas. F – Também terminei o quadrado de 5 pintas. I – Vejo que compreenderam bem o que se pretende no enunciado…
Rapidamente, o par colocou mãos à obra e construiu quadrados de dominó com
uma facilidade enorme.
PM – Quantos registaste? F – Registei seis e tu? PM – Também seis… I – Até agora qual foi o quadrado construído com o valor mínimo da soma de cada lado? PM – Com o menor número? I – Sim. F – O quadrado com 3 pintas. I – Acham possível construir dominós com somas mais baixas? PM – Hum… Não sei. Talvez… F – Temos de experimentar! Manifestaram grande empenho no trabalho e muita perspicácia ao nível dos
raciocínios e do cálculo mental.
PM – Registaste 11 quadrados de dominós?
98
F – Sim, mas dois são repetidos… PM – Também contam os repetidos? F – Devem contar, porque são diferentes dos outros… PM – Fizemos quadrados de 5, 8, 7, 6, 4, 3, 10, 11 e 12 pintas… F – Vamos fazer agora com 13 pintas! É possível… só me falta um dominó! PM – Treze! Vê se este dá! F – Tem de ser uma peça com muitas pintas! Para arranjar a soma igual a 13. Estas são muito pequenas (dizia enquanto remexia as peças do dominó). PM – É esta peça. Tem 5 pintas de um lado e três do outro… F – 13! 5 mais 3 dá 8 e 8 mais 5 dá 13. PM – Vamos registar mais este!
Revelaram boa destreza no manuseamento das peças de dominós e muita
autonomia na realização do trabalho proposto.
PM – Vamos tentar mais outro? F – Está cada vez mais difícil… I – Como vai o vosso trabalho? PM – Já fizemos mais três quadrados de dominós: com 14, 15 e 16 pintas… I – Acham que é possível construir mais algum quadrado de dominó? F – Não. I – Porquê? F – Tenho 6 e 4 e para dar 17 é preciso um 7 e o máximo é 6. I – Isso quer dizer o quê? F – Que o máximo é 16, o 17 já não dá. I – E o mínimo? F – É 3. I – Acham? Não conseguem fazer com somas mais pequenas que essa? F – Não. I – Já tentaram? PM – Já uma vez… mas vamos experimentar outra vez. F – 2… PM – Precisamos de um dominó com pintinhas de 1 e 1. F – Dá. I – Já tentaram construir um quadrado de dominó com a soma dos lados igual a 1? PM – Não é possível! I – Tens a certeza? PM – Já quisemos fazer um, mas não foi possível… I – Então qual foi o valor mínimo da soma que conseguiram? F – O quadrado de duas pintas… I – Vão tentar fazer mais? PM – Vamos! Isto é divertido!
Por fim, o par deu a seguinte resposta: “Conseguimos fazer 17 quadrados, mas
alguns são repetidos e não fizemos o quadrado de dominós com 9 pintas. O valor
mínimo conseguido foi o quadrado de duas pintas de cada lado. O valor máximo
conseguido foi o quadrado de 16 pintas. Tentámos fazer com 17, mas não foi possível”.
Tarefa 25 Os alunos identificaram todos os Xs possíveis de construir a partir de quadrados.
No entanto, não identificaram outros Xs a partir do rectângulo.
PM – A partir do quadrado, 1 por 1, há muitas possibilidades de fazer Xs.
99
F – Pois há. Podemos fazer o mesmo número de quadrados, 16 Xs. O melhor é fazer um X de cada vez, porque com muitos elásticos é difícil de contar. PM – Com o quadrado seguinte… F – Espera, ainda não registei tudo. PM – Com o quadrado de 2 por 2 é possível fazer 4 Xs. Talvez … até mais… F – E estes quadrados do meio, já os contaste? PM – Pois não. Ah! Ainda há estes dois de cada lado… Assim, é possível fazer 9 Xs. É melhor registar um quadrado destes em cada geoplano para que se possam ver melhor! F – Foi o que eu fiz. Acho que podemos passar ao quadrado maior! PM – Espera! Faltam estes dois… F – Eu já sei quantos Xs é possível fazer… Cada vez são menos. PM – Ocupam mais espaço, é por isso. F – Claro. Quantos Xs consegues fazer? Eu consegui… PM – Não digas, deixa-me ver também a mim. São quatro? F – Foi o que pensei. PM – Não registes uns por cima dos outros que fica confuso! Desenha um de cada vez no geoplano, porque é muito mais fácil de contar! F – Não tenho espaço para os outros… PM – Agora faltam poucos… Já fizemos quase todos. F – Quantos faltam ainda? PM – Olha, parece que só falta o X do quadrado grande. Não é possível fazer mais nenhum.
Este par de alunos deu por concluído o seu trabalho, referindo que foram
encontrados 30 Xs no geoplano e definiu o X como algo que divide o quadrado em
quatro partes iguais.
Tarefa 26 Nesta tarefa, os alunos desenharam uma corda para cada situação: para pendurar
6, 10, 15, 17 e 20 guardanapos. Antes de efectuarem o desenho da corda e dos
respectivos guardanapos, os alunos conversaram sobre a forma como os haviam de
pendurar sem que fossem necessárias muitas molas.
F – Não é preciso uma mola para cada guardanapo, porque são muito pequenos… PM – É verdade. Uma mola pode muito bem segurar dois…
Começaram por representar os guardanapos, colocando uma mola entre eles,
mas os guardanapos das pontas não ficam esticados tal como os outros, porque a mola
segura sempre no canto superior direito. Assim, para seis guardanapos foram usadas
cinco molas. Este critério foi seguido, deste modo, com todos os guardanapos. O
número de molas usadas é sempre um número inferior em uma unidade relativamente
ao número de guardanapos.
PM – Podemos continuar a mesma ideia, uma mola para dois guardanapos… F – Assim, nem é preciso desenhar os guardanapos. Dá sempre menos uma mola que os guardanapos pendurados. PM – Nós já sabemos disso, mas no enunciado pede para registar. Também não custa nada. É só seguir o mesmo padrão.
100
Para finalizar efectuaram os registos do seguinte modo: “Para 10 guardanapos –
9 molas; para 15 guardanapos – 14 molas; para 17 guardanapos – 16 molas; e, para 20
guardanapos – 19 molas”. De seguida, registaram conforme pensaram: “Quando pedem
um número qualquer de guardanapos, as molas são sempre menos uma. Mas há várias
maneiras de fazer. Por exemplo, se eu juntar todos os guardanapos, só é preciso uma
mola, mesmo que sejam muitos”.
Resumo do Par D Estes alunos mostraram bastante facilidade na interpretação/compreensão dos
enunciados das tarefas propostas, porque efectuaram uma leitura cuidada e atenta de
todas as actividades. Os alunos evidenciaram muita perspicácia na resolução da tarefa
24 ao nível dos raciocínios usados e do cálculo mental. Enumeraram 17 quadrados de
dominó e foi o único par de estudo a descobrir o valor mínimo e o valor máximo das
somas dos quadrados de dominó. Embora tenham trabalhado com perseverança na
tarefa 25, foram encontrados apenas 30 Xs no geoplano. Este par não se lembrou que
também poderia ter conseguido outros Xs a partir de rectângulos. De acordo com estes
alunos, o X divide o quadrado em quatro partes iguais. Na tarefa 26, os alunos usaram
uma mola para dois guardanapos. Assim, o número de molas usadas é sempre um
número inferior (- 1) relativamente ao número de guardanapos.
Este par mostrou uma boa capacidade de expressão oral, ao nível da discussão e
confronto de ideias e opiniões e de expressão escrita dos registos efectuados e
procedimentos usados na resolução das tarefas.
Formulação de problemas
No dia 31 de Janeiro de 2007, das 9.00 às 10.30 horas foi apresentada, aos
alunos, a primeira situação para a formulação de um problema, tarefa 27, conforme
consta do Anexo 21.
No dia 1 de Fevereiro de 2007, das 14.00 às 15.30 horas foi apresentada, aos
alunos, a última situação de formulação de problemas, tarefa 28, do Anexo 22.
101
Par A: Rodolfo e Marta
Tarefa 27 Como se tratava de uma tarefa nova, o par manifestou alguma dificuldade em
iniciá-la. Observou atentamente o gráfico e decidiu atribuir o valor de 15 euros a cada
relógio representado.
R – Esta situação vai passar-se numa loja e cada relógio custa 15 euros. M – 15 euros parece-me pouco! Na segunda-feira o dono da loja ganha pouco dinheiro… R – Não interessa, porque nos outros dias já ganha mais. Olha que 15 euros é o preço deles… M – Como se vai chamar o dono da loja? Já sei! Senhor João. Agora é só fazer o enunciado… R – É a coisa mais difícil! Não sei por onde começar… M – É como fazer um texto… com perguntas. R – Dizes isso, mas eu só estou habituado a responder a essas perguntas, quando resolvo os problemas. M – Eu também.
O adiamento do trabalho sobre a tarefa mostra como estes alunos se sentem
pouco à vontade com a formulação de problemas, uma vez que, conforme referem no
diálogo anteriormente apresentado, não estão habituados a realizar actividades deste
género nas aulas de Matemática.
O par começou por sugerir ideias soltas, pequenas frases, embora com
irregularidades na construção frásica e só depois é que começou a escrever o enunciado.
M – Vamos começar assim: Na sua loja de relógios, o senhor João… R – É melhor assim: O senhor João, na sua loja de relógios,… M – Pouca diferença faz. Ele vendeu cada um por 15 euros. R – Temos que dizer que vendeu 16 relógios numa semana. M – Mas isso já se sabe… Podemos fazer esta pergunta: Em que dia ganhou mais? R – E em que dia ganhou menos? E quanto ganhou nessa semana? M – E se metêssemos uma ratoeira pelo meio? Podíamos dizer que o senhor João não teve muito lucro e que aumentou o preço dos relógios para o triplo! R - Para o triplo?! É muito dinheiro! Um relógio não custa tanto dinheiro! M – Então baixamos ao preço dos relógios, deixa de ser 15 euros… R – Menos lucro tem nessa semana…
Tal como é referido por Vale e Pimentel (1997), a formulação de problemas
confronta os alunos com uma situação extremamente pertinente. Os alunos, ao
inventarem o enunciado dos problemas, estão a usar a própria linguagem, as suas
vivências e os contextos dos mesmos.
Estes aspectos assumem bastante relevância no diálogo estabelecido entre
ambos, nomeadamente ao nível dos preços usuais dos relógios, reconhecimento do
102
baixo lucro usufruído pelo dono da loja ao longo da semana e reconhecimento do preço
excessivo ao praticar o triplo do preço anterior.
R – Está bem, mantemos o triplo do preço!... E acaba o problema? M – Podemos complicar um bocado fazendo esta pergunta: Quanto dinheiro ganhou o senhor João em 4 semanas? R – Já chega de perguntas! Assim, o problema já fica bem. M – Deixa lá ver se as respostas estão todas aqui no gráfico! R – Vamos mas é juntar as questões todas e escrever o texto! Os dois alunos reuniram as ideias e as frases que haviam registado anteriormente
e formularam o seguinte problema (Texto 1, Anexo 28).
Palhares (1997) refere que uma das estratégias possíveis da formulação de
problemas é a “Recontextualização”, por permitir a formulação de novos problemas
com base em problemas anteriormente resolvidos. Este aspecto encontra-se bem assente
na última frase do enunciado formulado por este par: Explica como pensaste. Por força
do hábito na resolução de problemas, também estes alunos sofreram influências de
outros problemas resolvidos.
Tarefa 28 Esta tarefa pareceu menos estranha a estes alunos. Por um lado, porque se
tratava de uma tarefa de cariz mais rotineiro, podendo ser resolvida através dos
algoritmos da adição e da subtracção; por outro, já não era algo novo, era a segunda
tarefa referente à formulação de problemas.
Verificou-se, quer nesta tarefa quer na tarefa anterior, uma vontade expressa de
complicar os enunciados, através das palavras “ratoeira”, “vamos complicar mais”, etc.
Este aspecto pode estar relacionado com as concepções que os alunos possuem acerca
da resolução de problemas e da dificuldade que manifestam quando são confrontados
com este tipo de actividades.
R – Podemos dizer que eles são todos irmãos e que foram pesar-se. M – Para tornar a situação mais difícil, podemos usar o quarteirão em vez de 25 Kg. R – Sem dizermos quanto pesa o Nuno, dizemos que pesa menos 16 Kg que a Marta. Isto confunde um bocado… M – É para ser difícil de resolver… Também podemos dizer que o João é mais pesado 12 Kg que o Nuno. R - A primeira questão do problema é: Qual é a massa total dos três irmãos? Tens alguma sugestão, Marta? M – Vamos fazer uma pergunta enganosa: O João pesa tanto como a Marta e o Nuno juntos? R – Não sei se será boa ideia… É melhor pedir para dizer quem é o mais pesado e o mais leve. M – Sim, sim…
103
Os alunos construíram o texto a partir das ideias e das frases registadas, com
correcção ortográfica e frásica. No entanto, resultou um enunciado muito denso, porque
a pontuação não foi respeitada, particularmente ao nível dos parágrafos (Texto 2, Anexo
28).
Os alunos voltaram a terminar com a frase chave: Explica como pensaste.
Passaram a valorizar o aspecto da explicação, da descrição dos passos seguidos na
resolução de um problema, e, porque também compreenderam que o facto de explicar
os raciocínios usados ajuda na compreensão dos conteúdos matemáticos.
Resumo Estes alunos efectuaram um bom trabalho em conjunto e mostraram um
desempenho sólido nas tarefas desenvolvidas. Demonstraram boa capacidade de
expressão oral e escrita, sempre adequadas ao contexto e ao objectivo comunicativo,
utilizando, para tal, um vocabulário rico e diversificado.
Na primeira tarefa, os alunos demonstraram pouco à vontade com a situação,
porque, ao que parece, não estão habituados a formular problemas. Embora tenham
revelado capacidade de interpretação do gráfico apresentado, o trabalho solicitado
pressupunha um processo inverso àquele a que estavam habituados, criação do texto e
formulação de questões relacionadas com a resposta dada. Os dois alunos adicionaram
outros conceitos matemáticos, de modo a “complicar” a resolução das tarefas,
nomeadamente a aplicação do triplo no enunciado do problema.
A segunda tarefa pareceu ser mais simples, já que os alunos mostraram mais
facilidade na formulação do problema. Em ambas as tarefas, os alunos sugeriram ideias,
proferiram frases soltas, ordenaram as frases e formularam os problemas, escrevendo os
textos referentes às figuras observadas.
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Tarefa 27 Estes alunos manifestaram muitas dificuldades em compreender o que se
pretendia com a tarefa e em organizar as ideias e as frases do enunciado.
R – Este relógio para que serve? I – Para atribuir um número. Esse número vai indicar quanto vale o símbolo representado no gráfico. R – Mas, os relógios já estão representados no gráfico… I – Mas se tu pretenderes, também podes alterar o valor do gráfico. Por exemplo, o relógio representado no gráfico, relativamente a segunda-feira, em vez de valer 1 poderá valer 10. Então, na terça-feira, em vez de 4 pode ler-se 40. Compreendeste o exemplo?
104
R - Já percebi… Então vamos atribuir o número 40. RP – É um número grande… Vamos arranjar um mais pequeno!
Estes alunos entraram em consenso quanto ao número escolhido. No entanto,
quando formularam o problema não tiveram este dado em consideração e escreveram
conforme o que observavam no gráfico.
RP – Numa loja de relógios, numa semana venderam-se 16 relógios. R – Agora vamos falar dos relógios que se venderam nos dias da semana. Na segunda-feira vendeu-se um relógio; na terça 4 relógios; na quarta 6 relógios; na quinta 3 relógios; e, na sexta 2 relógios… RP – A pergunta principal do problema é: “Numa semana quantos relógios foram vendidos? R – Professora, já fizemos o problema… I – Queres dizer que já formulaste o problema? R – Sim, é isso. I – Lê então o enunciado! Ricardo fez a leitura do enunciado, onde se verificavam algumas falhas ao nível
da acentuação gráfica das palavras, da construção frásica e da pontuação.
I – Reparem bem no que observam… RP – Na segunda- feira vendeu-se 1 relógio, na terça venderam-se 4, na quinta venderam-se 6, na quinta venderam-se 3 e na sexta venderam-se 2 relógios… I – Então porque repetem a ideia no enunciado que formularam? R – Nós fizemos o problema… RP – Fizemos o texto do problema. R – Sim. Fizemos o texto como aparece nos livros dos problemas… I – Não querem reformular o vosso enunciado? R – Podemos acrescentar outra pergunta: “E em três semanas?”
Procederam, de seguida, à formulação escrita do problema, conforme o Texto 3
do Anexo 29.
Tarefa 28 Nesta tarefa, os alunos foram mais ágeis, provavelmente por se tratar da segunda
tarefa deste género e porque a imagem apresentada é mais comum.
RP – Tive uma ideia! Somamos o peso dos três meninos… R – Para quê? RP – Para depois perguntarmos quanto pesa cada um! R – 25 mais 53 mais 41 dá … 119.
RP – Agora podemos dar algumas pistas mas não dizemos o peso certo de cada menino. Para a Marta em vez de 25 Kg, dizemos que pesa um quarteirão… R – Para 53 e 41 não há nenhuma palavra certa… RP – Mas podemos dizer que o João pesa mais 28 Kg que a Marta. Assim, é preciso pensar! E o Nuno pesa menos 12 Kg de que o João! R – Estás mesmo a tornar as coisas complicadas!... RP – A última pergunta: “Quanto pesa cada menino?” Apesar de algumas incorrecções, sobretudo na pontuação do texto, o par foi
capaz de formular o problema de forma concisa (Texto 4, Anexo 29).
105
Resumo Estes alunos mostraram dificuldade em interpretar aquilo que viam,
particularmente o gráfico e a imagem apresentados para a formulação de problemas.
Não compreenderam, de imediato, o que se pretendia através do gráfico fornecido. No
entanto, a investigadora conversou e elucidou os alunos, no sentido de ser possível a
iniciação da tarefa. Na segunda tarefa evidenciaram maior agilidade na sua resolução.
Os dados apresentados pareceram mais simples, tendo contribuído para uma melhoria
no seu desempenho.
Par C: Diogo e Alexandre
Tarefa 27 Este par de alunos decidiu atribuir a cada relógio a quantia de 30 euros. Iniciou
com uma frase chave: “Um relojoeiro vendeu ao longo da semana os relógios que estão
representados na tabela; sabendo que:” Além da leitura e interpretação do conteúdo, esta
frase apela à observação do gráfico, um dos propósitos deste tipo de tarefa.
D – Cada relógio é equivalente a 30 euros, quanto dinheiro ganhou ao longo da semana? A – Podemos perguntar em que dia se vendeu mais e menos relógios. D – Também podemos perguntar qual é o dia em que se venderam metade dos relógios da quarta-feira. A – Essa é muito fácil! D – Para confundir, vamos perguntar quantos relógios se venderam ao longo da semana, 24, 10 ou 14? A – Não acho boa ideia, porque não dá nenhuma dessas opções. D – Mas às vezes, há problemas que fazem estas perguntas para ver se estamos atentos!... O enunciado efectuado surgiu de forma organizada, com frases curtas e directas
(Texto 5, Anexo 30), sendo necessário o recurso à tabela para responder às questões
propostas. No entanto, os alunos aproveitaram pouco o valor atribuído a cada relógio,
tendo-se desviado um pouco dos propósitos iniciais.
Tarefa 28 Nesta tarefa, os alunos seguiram a mesma ideia da formulação anterior. Também
iniciaram com a frase: “Cada menino pesa os pesos representados na balança”. A partir
desta frase, colocaram diversas questões.
D – Em primeiro lugar queremos saber quanto pesam os três meninos juntos. A – Quantos quilos pesam os três meninos juntos? D – Pode ser. Vamos escrevendo estas perguntas para não esquecermos…
Podemos perguntar, quanto pesam o João e o Nuno juntos? E quanto pesam o Nuno e a Marta juntos? A – Vou arranjar uma pergunta mais difícil de responder! Se o João emagrecer 4 quilos com que peso fica?
106
D – Essa é muito fácil! Se o João se pesar juntamente com a Marta quanto assinalava a balança?
A – Se o Nuno engordar 5 quilos e pesar-se com o João e a Marta, quantos é que assinalava a balança?
Estes alunos partiram do princípio que a imagem se manteria visível enquanto o
resolvedor estivesse a resolver o problema, por isso colocaram questões directas e que
só podem ser respondidas mediante a observação das imagens (Texto 6, Anexo 30).
Resumo Na formulação de problemas, estes alunos tiveram um desempenho muito
interessante. Foram muito práticos e objectivos na criação dos textos/enunciados para
as figuras apresentadas. Resultaram enunciados simples, mas de fácil acesso a quem
quer que os fosse resolver. Também este par teve a preocupação de tornar os enunciados
mais complicados, para dificultar a sua resolução.
Demonstraram capacidade de comunicação oral e escrita, ao nível da discussão e
comunicação das suas descobertas, tendo-o feito com maior agilidade que o habitual.
Par D: Filipa e Pedro Miguel
Tarefa 27 Inicialmente o par atribuiu o número 16 ao relógio representado no gráfico. Pelo
que se pode observar através dos dados fornecidos, estão representados, no gráfico, 16
relógios, o que leva a crer que os alunos não tenham compreendido o que se pretendia
ao sugerirem o valor de cada símbolo.
Na consecução da tarefa, este par foi extremamente persistente, tendo formulado
quatro vezes o mesmo problema, porque considerava que para ser resolvido o enunciado
devia ser muito claro.
PM – Vamos fazer de conta que isto se passou numa loja de relógios… Temos de dizer quantos relógios se venderam.
F – Para quê? O gráfico já diz quantos relógios se venderam neste dias da semana. PM – Tens razão… Mas a frase fica melhor se dissermos que na loja se venderam 16 relógios em vez de venderam-se relógios. Porque também sabemos o que se vendeu na loja… F – Podíamos era dizer que na semana seguinte se venderam outro número diferente de relógios…
PM – O dobro? F – Podíamos continuar e dizer que na terceira semana se venderam a terça parte da segunda… Que achas?
PM – Ainda podíamos sugerir uma quarta semana… O quádruplo da terceira. F – Mais não. Ficava muito confuso! PM – Uma parte já está pronta, mas ainda faltam as perguntas…
F – Essa é a parte mais fácil… Qual foi a semana que se venderam menos relógios?
107
PM – E mais… Qual foi a semana que se venderam mais relógios? F – A última pergunta é: Quantos relógios se venderam durante as quatro semanas?
Apesar de não terem dado a devida importância ao valor do símbolo, os alunos
foram capazes de formular o problema com a imaginação e a organização necessárias
para este tipo de actividades (Texto 7, Anexo 31).
Tarefa 28 Tal como aconteceu com os pares anteriores, também este par teve mais
facilidade na formulação deste problema. As imagens sugerem, aos alunos, somas e
diferenças e permitem relacionar os números, tornando-se um processo mais acessível
na formulação das questões.
Também este par associou o desenho das balanças ao gráfico apresentado na
sessão anterior. As questões colocadas estão directamente relacionadas com as imagens
e só poderão ser resolvidas, caso se esteja em contacto directo com as imagens.
Apresentaram a seguinte frase: Cada menino pesa o peso indicado na balança. A
partir desta frase formularam diversas questões.
F- Podemos inventar muitas perguntas relacionadas com as imagens. Por exemplo: Quanto pesa a Marta e o João? E o João e o Nuno? PM – E os três juntos? É melhor escrever estas perguntas, porque depois precisamos delas e não nos lembramos… F – Outra pergunta pode ser: Qual é a diferença entre a Marta e o João? Entre o Nuno e a Marta e entre o João e o Nuno? PM – Podemos terminar e fazer estas perguntas: Quem pesa mais e quem pesa menos?
A partir das questões formuladas oralmente, o par organizou o texto 8, constante
do Anexo 31.
Resumo Na tarefa 27, os alunos depararam-se com uma situação nova, tendo conturbado
um pouco a execução da actividade. Ao que parece os alunos não chegaram a
compreender muito bem o valor do símbolo indicado ao lado do gráfico, porque o
número atribuído não foi utilizado ao longo da formulação do problema. Na tarefa 28,
os alunos demonstraram mais segurança e mais familiaridade, facilitando, assim, a
formulação do problema.
Estes alunos trocaram ideias, confrontaram opiniões e formularam os problemas
com alguma moderação e agilidade. Adicionaram novos conceitos matemáticos e
108
mostraram o seu conhecimento em situações perfeitamente adequadas aos dados
apresentados, especialmente os conceitos de dobro, a terça parte e de quádruplo.
109
CAPÍTULO V - Análise dos dados
Neste capítulo, é feita a análise dos questionários aplicados aos pares do estudo e
a análise do desempenho dos pares. De seguida, é feita a análise comparativa do
desempenho dos pares nas tarefas desenvolvidas.
Análise dos questionários aplicados aos pares de estudo
Com base nos questionários aplicados aos pares de estudo, pode dizer-se que as
respostas dadas, pela maioria dos alunos, foram muito semelhantes (Anexo 10 - A).
Análise do desempenho dos pares nas tarefas
Par A: Rodolfo e Marta
Competências manifestadas. Ao longo da realização das tarefas efectivas, no
âmbito do estudo, o par manifestou, em todas as tarefas várias competências em Língua
Portuguesa e Matemática2 (Quadro 5.1).
Competências manifestadas em Língua Portuguesa
Competências manifestadas na Matemática
-aptidão para ler fluentemente, permitindo a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -reconhecer os domínios lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da oralidade e da escrita; -exprimir-se de forma confiante, clara e audível, com adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo; -usar estratégias de raciocínio verbal na resolução de problemas; -aptidão para escrever com a devida correcção ortográfica, enunciados relacionados com as figuras apresentadas; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas; -discutir e comunicar oralmente com os outros as suas descobertas.
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; -aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos. -aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 5.1 – Competências manifestadas pelo Par A
2 - Algumas das competências enumeradas foram retiradas do C.N.E.B.-C.E (2001), tendo sido adaptadas outras.
110
Além das competências, acima enumeradas, o par manifestou, ainda, outras,
conforme Anexo 40.
Níveis de desempenho nas tarefas. Este par revelou sempre muita segurança e
determinação na resolução das tarefas propostas, manifestando à vontade com as
situações com que foi confrontado.
Nas tarefas 8, 12, 17, 24, 25, 26, 27 e 28, o par obteve um nível de desempenho
excelente (Anexos 33, 33-A e 33-B). Manifestou alguma facilidade na resolução das
tarefas propostas, porque, de acordo com os indicadores do quadro de desempenho,
apresentado no Anexo 12, manteve-se sempre muito atento aos enunciados dos
problemas e à leitura dos mesmos, estando consciente de que deles dependia a sua
resolução. Foi capaz de compreender e interpretar os textos, quer orais, quer escritos, de
forma a resolver adequada e correctamente os problemas, efectuando a aplicação e a
adaptação de estratégias apropriadas e diversificadas. Utilizou meios de pensamento e
raciocínios perfeitamente hábeis, perspicazes e criativos, tendo resolvido rapidamente as
tarefas. Manifestou um bom domínio dos conteúdos, ao nível do 4.ºano de escolaridade,
muito particularmente no que diz respeito aos conceitos de linha curva/recta e de
segmento de recta, utilizados na resolução da tarefa 8. Além disso, mostrou boa
capacidade para identificar figuras geométricas e algumas das suas propriedades,
dominando e procedendo à associação dos conteúdos matemáticos envolvidos. Concluiu
exaustivamente todas as tarefas, tendo manifestado muito interesse e empenho na sua
execução, bem como uma grande capacidade de confronto e discussão de ideias entre si.
Apesar de não ter efectuado, por escrito, a explicação do raciocínio utilizado na
resolução do problema (tarefa 8), fê-lo oralmente. Este par considerou a comunicação
escrita uma repetição do trabalho e da comunicação oral anteriormente realizados. Estes
comportamentos, por parte do par devem-se ao facto de, ainda, não terem sido criados
hábitos nesse sentido.
Este par manifestou muita capacidade para estruturar as ideias e as frases
(tarefas 27 e 28), tanto ao nível oral como escrito, de enunciados matemáticos, através
de uma escrita legível e correcção ortográfica do vocabulário relacionado com as figuras
apresentadas. Evidenciou, também, ao nível da escrita de enunciados um bom
conhecimento lexical (vocabulário específico/terminologia), morfológico (formas e
111
modificações das palavras), sintáctico (combinação das palavras na frase e das frases no
discurso) e semântico (significação das palavras).
Tudo leva a crer que o bom domínio das competências enumeradas em Língua
Portuguesa seja responsável pelos níveis de desempenho obtidos em Matemática, por
este par. Sim-Sim (1998) refere que, pela leitura, o leitor reconstrói o significado do
texto. Ler fluentemente, tal como fez este par, permite uma decodificação automática,
uma maior capacidade na obtenção de informação e maior facilidade na compreensão
do texto. Para esta autora, o nível de compreensão também depende do conhecimento
prévio que o leitor possui sobre um determinado assunto e um determinado tipo de
texto. Este par poderá enquadrar-se perfeitamente nesta situação, porque, além de
explorar devidamente o texto, é também detentor de uma vasta gama de conhecimentos,
ou seja, possui uma enciclopédia pessoal extremamente rica.
O trabalho desenvolvido por este par, em todas as tarefas, permitiu a
manifestação de capacidades de efectivar inferências, de discussão e de comunicação
das descobertas realizadas, reflectindo sobre os processos matemáticos envolvidos.
A propósito cabe referir que Figueiredo e Palhares (2005) apontam para a
existência de uma correlação alta entre os níveis de Língua Portuguesa e a resolução de
problemas de processo. Esta correlação verifica-se no desenvolvimento da língua
materna, muito particularmente ao nível da leitura, interpretação e compreensão de
enunciados. Os autores referem que, quanto mais alto for o nível em Língua Portuguesa,
maior é a capacidade do aluno na resolução de problemas, porque a capacidade de ler,
interpretar e compreender os enunciados influencia positivamente o desempenho na
disciplina de Matemática. Foi muito provavelmente, o que aconteceu com este par.
Embora tivesse iniciado as tarefas 9 e 13 muito bem e com bom raciocínio
matemático, resolvendo rápida e correctamente a primeira parte, não foi, porém, capaz
de as concluir. Na primeira tarefa, havendo cinco sabores diferentes, o par, apenas,
reconheceu oito maneiras de combinar os gelados com bolas de três sabores. Este
resultado parece estar relacionado com as concepções iniciais do par, relativamente ao
número possível de gelados com três sabores diferentes, já que considerou que quanto
maior fosse o número de sabores a combinar, menor seria o número de gelados. Na
tarefa 13, apesar de efectuar leituras fluentes, reveladoras de compreensão do
enunciado, não foi capaz de dispor os doze meninos em seis filas de quatro cada uma. O
par tentou estratégias variadas, nomeadamente o desenho de figuras geométricas com o
mesmo número de filas pretendido na tarefa, mas não conseguiu dominar os conceitos
112
espaciais e topológicos, relativamente à disposição dos pontos. Lovell (1988), citando
Piaget, refere que os conceitos espaciais resultam de acções internas e que a disposição
de uma série de objectos, na mente, não corresponde a imaginar esses objectos já
organizados, mas organizar essa série operacionalmente, ou seja, por pensamento
lógico. Isto só é possível, porque as acções ou pensamentos internos se apresentam de
forma reversível, podendo ser organizados de diferentes maneiras. Quando executou a
tarefa, o par nomeou facilmente as propriedades de figuras geométricas, lados e
ângulos. Nestas tarefas, o par não procedeu à comunicação e explicação escrita dos
raciocínios usados, embora o tenha feito oralmente, de forma confiante, clara e audível,
com adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo. Este par demonstrou sempre
muita capacidade de comunicação. Os níveis de desempenho relativos à parte que
realizaram foram excelentes.
No que diz respeito à tarefa 11, o par manifestou grandes dificuldades na sua
resolução, porque o processo de interpretação e compreensão do enunciado foi
demorado, tanto ao nível da micro como da macroestrutura do texto. As palavras
“números” e “algarismos” usadas no enunciado dificultaram a sua compreensão e a sua
resolução, apesar da persistência e empenho manifestados pelo par. O nível de
desempenho obtido nesta tarefa foi razoável. Tal como refere Pirie, citada por Vale e
Pimentel (2004), o importante não é tanto a solução, mas o caminho percorrido até à
solução, desde que esse caminho tenha aspectos correctos, como aconteceu com este
par. Tudo leva a crer que o desempenho, nesta tarefa, ao nível da resolução e da
solução, foi influenciado pela débil interpretação/compreensão do enunciado, porque tal
como refere Castro (2000), quanto maior for a capacidade no reconhecimento das
palavras escritas, mais facilitada será a compreensão. Analogamente, Sim-Sim (1998)
refere que, para haver reconhecimento do significado de um texto ou discurso, é
fundamental o domínio de uma organização estrutural da frase. Na estrutura da frase, o
encadeamento das palavras atende a uma determinada disposição sequencial. Para haver
compreensão e produção de frases é inevitável a capacidade de estabelecer relações
entre palavras ou agrupamentos naturais de palavras que atendem a uma estrutura
hierárquica. Tudo indica que tenha sido isto que aconteceu aqui com este par.
Com o desenrolar das tarefas, notou-se neste par uma certa evolução ao nível da
expressão e comunicação escrita dos raciocínios. Ao nível da resolução de problemas, o
par manteve-se constante, sempre excelente, desde o início da sua resolução. Na
formulação de problemas, também não foi possível verificar se houve ou não evolução,
113
porque apenas foram aplicadas duas tarefas neste âmbito, o que não permitiu tirar
conclusões.
Globalmente, o nível de desempenho obtido por este par na resolução das tarefas
foi excelente.
Dificuldades evidenciadas em Língua Portuguesa. O par revelou dificuldades,
em quase todas as tarefas, ao nível da comunicação escrita, especificamente na
demonstração/exposição dos raciocínios e procedimentos usados, na resolução (tarefas
8, 13, 9 e 11). Estas dificuldades ficaram a dever-se, sobretudo, ao débil hábito neste
campo. O par está ainda muito preso à resolução de exercícios rotineiros, que não
fomentam a discussão e a comunicação escrita dos passos seguidos na sua resolução.
O par evidenciou dificuldades em estabelecer relações de significado entre as
palavras “números” e ”algarismos” (tarefa 11), considerando-as sinónimas, o que lhe
dificultou a resolução da tarefa. Este par não foi capaz, além disso, de estabelecer
relações semânticas entre palavras. Esta dificuldade generalizou-se ao nível da micro e
da macroestrutura do enunciado, não permitindo, deste modo, a compreensão do sentido
global do texto e, consequentemente, a resolução da tarefa. Apesar da persistência e
empenho do par, a compreensão e a retenção da informação, a partir do enunciado, não
foi possível. O insuficiente conhecimento de vocabulário parece ter constituído, neste
caso, um obstáculo à compreensão do enunciado, situação que vai de encontro ao que
defende Sim-Sim (1998) no que se refere à quantidade e à diversidade do vocabulário
como meio facilitador da compreensão de um texto.
O par manifestou ainda alguma dificuldade na utilização adequada dos sinais de
pontuação, na escrita do enunciado matemático (tarefa 28). Resultou, por essa razão, um
enunciado bastante compacto e com frases longas, dificultando a sua compreensão.
Como referem Martins, Sardinha e Nunes (1992), na linguagem falada ocorre a
entoação, por meio da expressividade do que é transmitido e de alterações do tom de
voz, enquanto que na escrita, a entoação é substituída pelos sinais de pontuação, sem os
quais não seria fácil a compreensão do sentido de um texto ou discurso.
A nível da comunicação escrita, demonstração/exposição escrita dos raciocínios
e procedimentos usados na resolução das tarefas, verificou-se, por parte do par
superação nas dificuldades evidenciadas. No entanto, no que toca à formulação de
problemas, tal superação não se pôde verificar, porque, como foi referido, apenas foram
realizadas duas tarefas.
114
Dificuldades evidenciadas em Matemática. O par revelou dificuldades ao
nível da comunicação/explicação escrita dos seus raciocínios (tarefas 8, 13, 9 e 11). Não
porque não tivesse resolvido os problemas, mas porque parece ter sido algo
“preguiçoso” na explicação, por escrito, dos seus raciocínios. Embora tenha resolvido a
tarefa 8 com alguma facilidade, apresentou algumas dificuldades na aplicação de
conceitos, particularmente ao nível das medições, que, no entanto, foram ultrapassadas
com a ajuda da régua graduada.
Este par, embora tivesse efectuado uma boa leitura e boa apreensão do sentido
global do enunciado (tarefa 13), não foi capaz de resolver a tarefa. Considerou que a
disposição não seria possível, devido provavelmente à dificuldade sentida ao nível da
percepção visual e do pensamento divergente. Na segunda questão da tarefa 9, o par
indicou, apenas, parte das possibilidades de resolução da tarefa. Tal como foi referido
anteriormente, para este par o aumento do número de sabores diminuía a possibilidade
de os combinar. A dificuldade em superar ideias pré-concebidas terá contribuído,
provavelmente, para que este par desse a tarefa por finalizada, sem ter sido
suficientemente persistente na sua realização. Dificuldades de percepção visual,
intimamente relacionados com os aspectos geométricos e espaciais e, provavelmente,
não explorada de modo suficiente com os alunos. Apresentou, também, alguma
dificuldade na interpretação/compreensão do gráfico fornecido (tarefa 27). Formulou o
problema, repetindo os dados observados no gráfico. No entanto, depois de
devidamente esclarecido, foi capaz de transformar a informação.
Influência da Língua Portuguesa na Matemática. Tudo indica, neste estudo,
observar-se uma relação profunda entre o domínio da Língua Portuguesa e a
aprendizagem da Matemática. Tendo por base o desempenho deste par, na resolução das
tarefas, poder-se-á concluir que a Língua Portuguesa influencia directamente o
ensino/aprendizagem da Matemática, ao nível da interpretação/compreensão dos
enunciados, porque, através de uma leitura cuidada e atenta, uma interpretação e
compreensão adequadas dos enunciados propostos, ao nível da oralidade e da escrita,
obteve bons resultados. O empenho na leitura das tarefas proporcionou a obtenção de
resultados excelentes, mesmo na realização de actividades pouco habituais na sala de
aula da parte do par. Este aspecto apresenta-se bem definido nas tarefas resolvidas pelos
alunos, porque, geralmente, as dificuldades sentidas ao nível das competências
enumeradas em Língua Portuguesa constituíram (ou não) um factor de maior facilidade
115
na resolução das actividades propostas. A propósito, Valadares (2003) refere a
importância da Língua Portuguesa como instrumento de apropriação e propagação do
conhecimento em todas as disciplinas, nomeadamente da Matemática. Figueiredo e
Palhares (2005) indicam que o domínio da Língua Portuguesa proporciona aos alunos a
resolução de actividades matemáticas com maior sucesso. Sim-Sim (1998), Castro
(2000) e Leitão e Fernandes (1997) também apontam no sentido de que a Língua
Portuguesa influencia a aprendizagem da Matemática. No entanto, detectaram-se
aspectos relacionados com a Matemática e independentes da Língua Portuguesa que
influenciaram o desempenho nas tarefas. Por exemplo, facilidade do par em se
convencer de que estava no caminho correcto e por isso não foi suficientemente
persistente. Se o tivesse sido, talvez concluísse algumas tarefas com mais qualidade.
Avaliação das tarefas pelos alunos. Estes alunos referiram, na entrevista final
(Quadro 1, Anexo 43), que gostam da Matemática, porque, segundo o Rodolfo,
desenvolve o raciocínio. Embora ambos tenham respondido que, na Matemática,
gostavam mais de fazer contas, não foram unânimes quanto ao que de que não gostam.
O Rodolfo não gosta de resolver problemas “difíceis”, enquanto a Marta diz não gostar
de efectuar leituras de números. Esta aluna gostou mais de trabalhar as actividades de
investigação matemática, nomeadamente, a construção de quadrados de dominó,
“porque foi divertido mexer naquele material e fazer aquelas contas que nunca tinha
feito antes, a não ser no quadrado mágico”. Já o seu colega preferiu a resolução de
problemas de processo, tendo apreciado todos em geral, porque “tínhamos de pensar
como se faziam e encontrar uma estratégia de resolução”.
Estes alunos referiram gostar de resolver problemas. O Rodolfo, porém, tudo
depende dos problemas, se são fáceis ou difíceis. Marta acha “divertido pensar o
raciocínio dos problemas e também ter de os interpretar”. Consideram que, para ter um
bom desempenho em resolução de problemas, é fundamental a interpretação dos
enunciados. No que concerne à explicação escrita dos raciocínios usados, tal como foi
detectado, Rodolfo respondeu que às vezes é difícil de fazer, acrescentando que, nas
vezes em que não o fez, talvez tenha sido por preguiça, como, de facto, tinha parecido.
Também Marta considerou que tal tarefa não é “muito fácil”, mas considera que deve
ser feita. “Se se sabe fazer o problema também o sabe explicar. A explicação ajuda-nos
a compreender o nosso raciocínio”, o que confirma o defendido por Luria (1987) e
Ponte e Serrazina (2000).
116
Os dois alunos referiram que existe uma relação entre a Língua Portuguesa e a
Matemática, na medida em que para saber Matemática é preciso saber Língua
Portuguesa. Ambos concordaram que a Língua Portuguesa promove conhecimentos em
outras áreas de estudo, nomeadamente na Matemática, porque segundo Rodolfo, “se não
soubermos ler e interpretar bem, não conseguimos resolver os problemas”, confirmando
o defendido por Valadares (2003), Figueiredo e Palhares (2005), Sim-Sim (1998),
Castro (2000) e Leitão e Fernandes (1997).
Resumo
O par resolveu a maioria das tarefas propostas com bastante facilidade. Para tal,
efectuou leituras atentas dos enunciados, confrontou e discutiu frequentemente as suas
opiniões e os seus raciocínios. Efectuou interpretações/compreensões adequadas,
porque, em caso de dúvidas, recorreu à leitura e explorava de novo os dados do
enunciado, manifestando sempre muito interesse e empenho. Usou sempre um
vocabulário rico, fluente, contextualizado e de acordo com as situações. Este par foi
sempre muito comunicativo, oralmente. O entusiasmo e a boa disposição manifestados
na resolução das tarefas propostas contribuíram para a obtenção de níveis de
desempenho excelentes. O par conseguiu quase sempre manifestar as competências
enumeradas ao nível da Matemática e da Língua Portuguesa. Dominou bem os
conteúdos relativos ao 4.º ano de escolaridade, bem como os conceitos matemáticos
presentes nas tarefas. No entanto, apesar de estar bastante à vontade no que se refere à
verbalização dos raciocínios usados, tendo-o feito com bastante expressividade e
qualidade, não registou, por escrito, as suas conclusões, por considerar que estaria a
repetir-se. Parece, porém, dever-se ao facto de não estar habituado a fazê-lo. O
desempenho deste par aponta no sentido de haver uma relação entre o domínio da
Língua Portuguesa e a aprendizagem da Matemática. O bom domínio da primeira
influenciou positivamente o ensino/aprendizagem da segunda, ao nível da
interpretação/compreensão de enunciados matemáticos, bem como da sua construção.
À medida que foram sendo resolvidas as tarefas, verificou-se no par uma
evolução ao nível da comunicação escrita dos raciocínios usados. Neste sentido, as
dificuldades inicialmente apresentadas neste âmbito também foram superadas. Devido
ao reduzido número de tarefas de formulação de problemas apresentadas, não foi
possível, porém, verificar a sua evolução.
117
Par B: Ricardo e Rui Pedro Competências manifestadas. Ao longo da realização das tarefas efectivas, no
âmbito do estudo, este par manifestou várias competências em Língua Portuguesa e em
Matemática (Quadro 5.2). Além destas competências, o par manifestou, ainda, outras,
conforme Anexo 40 – A.
Competências manifestadas em Língua Portuguesa
Competências manifestadas na Matemática
-aptidão para efectuar leituras fluentes; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos. -aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 5.2 – Competências manifestadas pelo Par B
Níveis de desempenho nas tarefas. Durante a realização das tarefas de
resolução de problemas, o Par B revelou muita insegurança e pouca determinação,
manifestando pouco à vontade com as situações com que foi confrontado.
Demonstraram, inicialmente, pouca capacidade de trabalhar em conjunto e pouca
sintonia nos trabalhos efectuados, muito particularmente devido ao individualismo
revelado pelo Ricardo. Não houve, com muita frequência, confronto de opiniões, nem
discussão de ideias capazes de fomentar o diálogo entre ambos, no sentido de resolver
as tarefas.
Nas tarefas 8, 13, 9, 11, 26 e 27, o nível de desempenho obtido foi fraco,
conforme se pode verificar pelos Anexo 35, 35-A e 35-B. O par não manifestou as
competências necessárias em Língua Portuguesa, ao nível da exploração, interpretação e
compreensão dos enunciados. Nenhuma das tarefas enumeradas foi concluída na
totalidade. Na tarefa 8, porque os alunos estiveram muito presos à ideia de resolução do
problema pela aplicação dos algoritmos, o que dificultou a selecção da estratégia
adequada. As restantes tarefas (13, 9, 11 e 26) também não foram concluídas, porque,
no primeiro caso, o par achou que não era possível dar resposta à última questão. No
entanto, parece que isto aconteceu devido à percepção visual do par. Deu por terminada
a tarefa 9, faltando ainda duas combinações de sabores. Este resultado parece ter sido
118
influenciado pelos resultados obtidos pelos pares vizinhos. Na tarefa 11, o par errou a
contagem dos algarismos e, por ser pouco persistente, não fez nova contagem. Tudo
leva a crer que a incompreensão e falta de segurança na tarefa 26 estejam relacionadas
com a desistência da mesma. Nas tarefas 9 e 11, além das dificuldades apresentadas na
Matemática, este par também foi confrontado com dificuldades ao nível do
conhecimento de vocabulário. Mostrou ser pouco diversificado, na medida em que não
foi fácil a descoberta do sentido das palavras desconhecidas, bem como o
estabelecimento de relações de significado entre elas. Em todas estas tarefas não foi
dada qualquer explicação oral ou escrita dos raciocínios usados. Apesar do interesse e
empenho verificados na realização da tarefa 27, os alunos revelaram dificuldade em
interpretar o gráfico apresentado, formulando um enunciado muito maçudo, com pouca
correcção ortográfica e com frases mal estruturadas e repetidas. Ao que parece, a
formulação de problemas não é uma tarefa muito frequente na sala de aula razão pela
qual o par teve alguma dificuldade em realizar esta tarefa.
Nas tarefas 12 e 17, 24, 25 e 28, o par foi um pouco mais comunicativo, assim
enriquecendo o seu trabalho conjunto. Apesar da insegurança inicial, manifestada nas
tarefas 12 e 17, conseguiu resolvê-las, demonstrando, pelo facto, uma grande satisfação.
Os níveis de desempenho obtidos foram razoáveis, a tender para o fraco. Também
nestas tarefas, o par não explicou, quer oralmente quer por escrito, os seus raciocínios.
Machado (1991) defende que todas as tentativas de aprendizagem da
Matemática pressupõem o conhecimento da Língua Portuguesa, ainda que seja, apenas,
na sua forma oral, porque permite a compreensão do significado dos objectos
envolvidos ou das normas que possibilitam a execução dos trabalhos propostos. Tal é o
que parece ter acontecido com este par. Tudo indica que o frágil domínio da Língua
Portuguesa seja responsável, em grande parte, pelos fracos resultados obtidos, porque o
par manifestou muitas dificuldades na interpretação/compreensão dos enunciados
matemáticos, no conhecimento de vocabulário usado, no estabelecimento de relações de
significado entre as palavras e ao nível da comunicação e expressão oral e escrita.
Com o desenrolar das tarefas, notou-se, neste par, evolução ao nível do trabalho
em conjunto, nomeadamente em atitudes e comportamentos que propiciaram o
estabelecimento da comunicação, confronto e discussão de ideias. Na resolução de
problemas, o par tornou-se mais receptivo e consciente da selecção e da utilização de
estratégias de resolução. Inicialmente considerava que os problemas eram resolvidos,
119
apenas, por meio da aplicação de um dos quatro algoritmos das operações básicas. Além
disso, este par tornou-se mais autónomo e confiante nas suas capacidades.
Globalmente, o nível de desempenho obtido por este par, na resolução das
tarefas, foi fraco.
Dificuldades evidenciadas em Língua Portuguesa. Este par manifestou
dificuldade na resolução de todas as tarefas, porque também manifestou dificuldade ao
nível da interpretação/compreensão dos enunciados matemáticos. O débil domínio da
Língua Portuguesa, ao nível da leitura, do conhecimento lexical, morfológico, sintáctico
e semântico, terá influenciado o seu desempenho na área da Matemática. As
dificuldades verificaram-se, sobretudo, na interpretação do vocabulário usado nos
enunciados, no conhecimento de vocabulário activo pouco diversificado, na inter-
relação entre os raciocínios, motivada pelas várias questões apresentadas em cada
tarefa, na compreensão de enunciados complexos (enunciados que exigem mais que
uma operação e mais que um raciocínio) tal como os que foram propostos e na
compreensão de enunciados de problemas mais abertos que implicam a investigação. O
vocabulário usado neste tipo de problemas é impreciso, parecendo pouco favorável, por
não determinar a operação necessária à resolução dos mesmos. Pelo contrário, os
enunciados dos problemas tradicionais possuem vocabulário que induz à sua resolução,
conforme o exemplo seguinte. Na fruteira havia 15 maçãs. Comeram-se 10. Quantas
sobraram? O verbo usado - “comeram-se” - determina a operação a utilizar na resolução
do problema. Subentende-se que, na fruteira, ficaram menos maçãs, ajudando-se, assim,
na selecção do algoritmo.
Nas tarefas 9, 11, 12, 24, 25 e 26, o par defrontou-se com dificuldades, ao nível
da interpretação/compreensão dos enunciados. Demonstrou pouca capacidade em lidar
com vocabulário de uso menos corrente, como foi o caso de “sorvetes” e “gelataria”
(tarefa 9). Defrontou-se também com problemas de estabelecimento de relações entre as
palavras “números” e “algarismos” (tarefa 11), já que, para ambos, estas palavras eram
sinónimos. Apesar das insistências da investigadora, o par continuou a achar impossível
a concretização da tarefa. Inicialmente, não se apercebeu da utilidade do material
distribuído para a execução da tarefa 12. Depois, manifestou dificuldade em saber qual
das três personagens fazia a travessia em primeiro lugar, porque recorreu, com pouca
frequência, ao enunciado, não sendo feita uma leitura minuciosa e atenta, de modo a
interpretá-lo e a compreendê-lo completamente. Só depois de elucidado, procedeu a
120
uma análise pormenorizada do enunciado. O par teve, então, a oportunidade de resolver
e de explicar, tanto oralmente como por escrito, os diferentes passos utilizados na
resolução da tarefa. Embora tivessem persistido as dificuldades ao nível da Língua
Portuguesa (tarefas 24, 25 e 26), este par conseguiu alguma evolução ao nível da
comunicação oral, discutindo entre si as ideias que foram surgindo ao longo da
execução das actividades de investigação matemática. No entanto, continuou pouco
comunicativo ao nível da comunicação escrita.
O par manifestou dificuldade na estruturação de ideias e na construção de frases
(tarefa 27), passando pela ausência de conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e
semântico ao nível da escrita de textos, conforme se pode observar no Anexo 35-B. O
enunciado formulado apresentou uma caligrafia pouco legível e com pouca correcção
ortográfica, ao nível do vocabulário relacionado com a figura. Além disso, não foram
devidamente utilizados os sinais de pontuação, pelo que a formulação do problema
surgiu um tanto compacta e com ideias repetidas.
Além das dificuldades enumeradas em Língua Portuguesa, na maioria das vezes,
quando surgia um obstáculo à execução das tarefas, o par era pouco persistente e
desistia com facilidade, porque manifestava pouca autonomia no trabalho proposto e
pouca confiança nas suas capacidades. Estas razões terão contribuído, também, para o
desempenho entre o fraco e o razoável em quase todas as tarefas de resolução de
problemas.
Neste par, verificou-se, sobretudo, uma evolução ao nível de atitudes e
comportamentos, relativos ao trabalho conjunto. Ambos os elementos do par se foram
tornando mais comunicativos entre si, mostraram maior capacidade de confronto,
discussão e partilha de ideias, tendo contribuído para uma melhoria no desempenho das
tarefas, o que confirma o defendido por Mamede (2002). No início, o par ficava à espera
que alguém efectuasse a leitura e explorasse os enunciados; ultimamente, consciente da
utilidade da leitura, já recorria mais ao enunciado.
Dificuldades evidenciadas na Matemática. Este par apresentou, em todas as
tarefas, uma acentuada dificuldade de iniciativa e de procura de estratégias adequadas à
sua resolução, agravada pelo facto de ser um par pouco coeso e pouco comunicativo.
Verificou-se, apenas, um registo escrito dos seus raciocínios, apesar de os alunos serem
constantemente incitados a fazê-lo. Na grande maioria das vezes, o par não chegou a
concluir as tarefas. Quando o fazia, era necessária muita ajuda, quer da investigadora,
121
quer dos seus colegas da turma. Manifestou pouca capacidade de raciocínio, pouca
criatividade relativamente à compreensão e aplicação da Matemática a situações
concretas. Nas tarefas 8, 9, 13 e 17, este par evidenciou dificuldades, na descoberta da
estratégia adequada à resolução do problema, como aliás aconteceu com os restantes
problemas de processo, mostrando pouca capacidade de partilha de opiniões, de
discussão e comunicação das ideias que iam surgindo, não tendo concluído a tarefa 8.
Mesmo depois de ter sido esclarecido acerca do significado das palavras (tarefa 9), o par
demorou a iniciar a resolução da tarefa, porque teve dificuldade em seleccionar a
estratégia adequada. Apesar de ter resolvido as duas primeiras questões (tarefa 13), o
par foi pouco persistente e empenhado, tendo considerado que tal disposição não seria
possível, presumivelmente devido à dificuldade evidenciada ao nível da percepção
visual e do pensamento divergente. Depois de ter descoberto, com a ajuda de “alguém”,
a sequência das canções aprendidas de semana para semana (tarefa 17), o trabalho
tornou-se mais facilitado. O par conseguiu explicar, oralmente, a forma como havia
procedido, embora de forma muito sucinta e elementar. Na tarefa 11, o par foi pouco
persistente. Errou a contagem dos números e não se preocupou em corrigi-la.
Manifestou, por outro lado, dificuldade no cálculo mental e no raciocínio
(tarefas 24, 25 e 26). Não dominou os conceitos matemáticos envolvidos na resolução
das tarefas de investigação matemática e continuou a evidenciar pouca capacidade de
comunicação escrita. Demonstrou, ainda, dificuldades na interpretação/compreensão do
gráfico apresentado (tarefa 27). A esta dificuldade, junta-se a fraca capacidade de
aplicação e de associação de novos conceitos matemáticos, necessários à formulação do
problema. Além de mais comunicativos entre si, os alunos tornaram-se mais autónomos
e mais responsáveis pelo trabalho proposto. Por outro lado, tomou consciência de que os
problemas podem ser resolvidos de forma diferente da que estavam habituados.
Influência da Língua Portuguesa na Matemática. Tendo por base os
resultados obtidos por este par, pode-se afirmar de novo, que o desempenho, na área da
Matemática, foi seguramente condicionado pelo reduzido número de competências
manifestadas em Língua Portuguesa. Constituíram obstáculos ao desempenho dos
alunos, a dificuldade manifestada ao nível da interpretação/compreensão dos
enunciados, o conhecimento de vocabulário pouco diversificado e o estabelecimento de
relações de significado entre as palavras, como defendem Figueiredo e Palhares (2005),
Valadares (2003), Sim-Sim (1998) e Sá (2004).
122
O recurso pouco frequente à leitura não permitiu a compreensão dos enunciados
das tarefas. O par foi seguindo, um pouco, os raciocínios dos pares vizinhos, ou
recorreu à ajuda da investigadora, ao nível do léxico usado, da morfologia e da sintaxe
dos enunciados. O fraco recurso à leitura deve estar relacionado com a educação
recebida ao nível da Língua Portuguesa, particularmente quanto aos seus hábitos de
leitura, confirmando estudos realizados por Malta (2003). Tudo indica, também, que
este par associa a Matemática aos números e não à leitura de enunciados, dispensando,
por isso, pouco tempo a esta actividade e à interpretação dos mesmos. Com efeito,
partia imediatamente para a resolução dos problemas, embora sem êxito, porque não
compreendia aquilo que lhe era pedido nos enunciados. A extensão e a complexidade
dos enunciados, ao nível da exigência de mais que uma operação, de mais que um
raciocínio na resolução de uma tarefa, influenciou directamente o desempenho do par na
resolução de problemas, porque não foi capaz de interpretar várias questões
interdependentes e em simultâneo. Como possível explicação estará o facto de o par
estar habituado a questões mais directas, que não exigem grande relacionação entre elas.
Este aspecto vem de encontro ao defendido por Valentim e Sam (2004), quando
observam que os alunos resolvem mais facilmente os problemas que não envolvem
afirmações relacionais, isto é, que uma dada resposta depende de uma outra resposta
anterior. Por depender muito da ajuda da investigadora, na interpretação e compreensão
dos problemas, o par não desenvolveu a parte cognitiva. Para tal, seria importante que o
par procurasse a informação, interpretando os enunciados, compreendendo e
decodificando a mensagem neles contida, conforme defende Amor (2003). Além dos
aspectos mencionados, também a ambiguidade de interpretação do vocabulário de
certos enunciados e a sua construção tenham contribuído para o desempenho entre o
fraco e o razoável do par, como refere Sim-Sim (1998).
Avaliação das tarefas pelos alunos. Estes alunos referiram que gostam da
Matemática. Para Ricardo, é a sua disciplina preferida, “porque é divertido fazer contas”
e “ajuda-nos a puxar pelo raciocínio”. Na Matemática, gostam mais de fazer contas e
menos de resolver problemas. O Ricardo preferiu resolver as tarefas de Formulação de
Problemas, porque, de acordo com a entrevista, como sente mais dificuldades a
“Português”, pode “exercitar e ficar mais esperto nessa disciplina”. O seu colega gostou
mais das investigações matemáticas, “porque é divertido e interessante” e porque foi a
primeira vez que trabalhou com o jogo do dominó, na aula de Matemática.
123
Os alunos admitiram que, na resolução de problemas, sentem dificuldades,
devido, sobretudo, à pouca importância atribuída à leitura do enunciado e à fraca
capacidade para interpretar e compreender os problemas. O Rui Pedro sente
“dificuldades nos problemas que têm ‘ratoeiras’, isto é, “aqueles que uma pessoa pensa
que é uma coisa e não é”. Referiu ainda que lhe foi muito difícil ter de explicar os
raciocínios usados, porque tinha de escrever aquilo que pensava. O Ricardo, por sua
vez, referiu que foi muito fácil, mas não o fez por falta de tempo. No entanto, a
explicação por escrito dos raciocínios não foi feita, por a tal não estarem habituados,
nem por terem de explicar algo que não tinha sido compreendido.
Ambos consideraram que é muito importante dominar a Língua Portuguesa para
aprender Matemática, “porque para resolvermos o problema temos de ter um bom
Português”. Além disso, concordaram, plenamente, que a leitura, a interpretação e a
compreensão dos enunciados matemáticos ajudam na resolução dos problemas.
Resumo
Este par manifestou dificuldades na resolução da maioria das tarefas propostas,
porque falhou a interpretação/compreensão dos enunciados. Os enunciados extensos e
complexos que exigiam mais que uma operação e mais que um raciocínio, a pouca
capacidade para estabelecer relações de significado entre as palavras, a gama reduzida
de vocabulário activo, o conhecimento de vocabulário pouco diversificado conduziram
a uma deficiente interpretação/compreensão de textos. Tais dificuldades limitaram, de
certo modo, a manifestação de diversas competências matemáticas, nomeadamente a
selecção de estratégias adequadas à resolução de problemas e o domínio de conceitos
matemáticos envolvidos na execução das tarefas. Revelou, igualmente, dificuldades na
comunicação oral e escrita dos raciocínios usados. A gama restrita de vocabulário do
par impediu o confronto, a partilha de ideias entre si, a discussão e comunicação aos
outros das suas descobertas. O nível de desempenho obtido foi fraco, embora tivesse
resolvido de forma razoável algumas tarefas. As competências descritas, ao nível da
Matemática e da Língua Portuguesa, foram manifestadas algumas vezes. Mostrou
conhecer os conteúdos referentes ao 4.º ano de escolaridade, bem como alguns
conceitos presentes nas tarefas. As atitudes e o comportamento do par parecem ter
condicionado também os níveis de desempenho. Entre os níveis de desempenho a
Língua Portuguesa e a Matemática, parece haver uma forte conexão, na medida em que
o desempenho nesta última disciplina foi condicionado pelo débil desempenho dos
124
alunos na Língua Portuguesa, ao nível da leitura, da interpretação e da compreensão dos
enunciados matemáticos, bem como da sua construção. O par fracassou na resolução
dos problemas, devido à falta de conhecimentos linguísticos: vocabulário pouco
diversificado, compreensão reduzida do vocabulário activo, estabelecimento de relações
entre as palavras, construção e compreensão frásica e consequentemente a compreensão
textual. Isto vai de encontro ao defendido por Valentim e Sam (2004). Verificou-se,
contudo, uma evolução do par ao nível do trabalho em conjunto, na comunicação oral e
no confronto e discussões de ideias entre si. O par tornou-se mais consciente, na procura
e selecção de estratégias adequadas à resolução, uma vez que, inicialmente, considerava
que tal só era possível por meio da aplicação dos algoritmos das quatro operações
básicas. Algumas dificuldades foram sendo superadas, à medida que iam sendo
resolvidas as tarefas. Compreenderam e referiram, na entrevista, que a leitura e a
interpretação/compreensão dos enunciados constituem instrumentos importantíssimos
na resolução de problemas. Por essa razão, no final do estudo, manifestou maior
interesse e entusiasmo pelas actividades referidas.
Par C: Diogo e Alexandre Competências manifestadas. Ao longo da realização das tarefas efectivas, no
âmbito do estudo, o par manifestou várias competências em Língua Portuguesa e
Matemática (Quadro 5.3). Além destas competências, o par manifestou, ainda, outras,
conforme Anexo 40 - B.
Competências manifestadas em Língua Portuguesa
Competências manifestadas na Matemática
-retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos. -aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões; -aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 5.3 – Competências manifestadas pelo Par C
125
Níveis de desempenho nas tarefas. Durante a realização das tarefas, este par
teve comportamentos e atitudes muito díspares. Enquanto um era curioso e interessado,
o outro era o oposto, dificultando, assim, o trabalho conjunto. Foi um par pouco
autónomo e pouco responsável, necessitando de ajuda constante, por parte da
investigadora, na leitura e interpretação dos enunciados, de modo a permitir a sua
compreensão. Demonstrou pouca capacidade de iniciativa e poucos hábitos de leitura.
Das seis tarefas de resolução de problemas apresentadas a este par, apenas duas
foram completamente concluídas (tarefas 12 e 17). O par não procedeu à comunicação
por escrito dos raciocínios usados nas tarefas 8, 13, 9 e 11; não conseguiu resolver a
última questão do problema (tarefa 13), provavelmente devido à dificuldade da
percepção visual e do pensamento divergente; deu por terminada a tarefa 9, sem que
esta estivesse de facto concluída, porque, em vez de oito combinações, eram possíveis
dez; no entanto, por influência de concepções de outros pares, não se empenhou e não
foi suficientemente persistente. Na tarefa 11, o par errou os cálculos efectuados e por ser
pouco persistente, não se empenhou devidamente em fazer nova contagem.
Nas tarefas de investigação matemática (tarefas 24, 25 e 26), o par foi um pouco
mais autónomo. No entanto, o par ainda sentiu necessidade de solicitar ajuda, porque
não compreendia os enunciados. Este par esteve mais seguro nas tarefas 27 e 28.
Revelou, porém, algumas dificuldades ao nível da concordância entre o sujeito e o
verbo, e ao nível da correcção ortográfica.
O nível de desempenho obtido nas tarefas foi razoável, embora em certas
situações a tender para o fraco, conforme se pode observar no quadro de desempenho,
constante dos Anexos 37, 37-A e 37-B.
Apesar de se ter mantido o nível de desempenho nas tarefas, verificou-se, no par,
evolução ao nível da comunicação, confronto e discussão de ideias. Tornou-se mais
autónomo e mais consciente da necessidade de recorrer à leitura dos enunciados, como
forma fundamental para a compreensão do problema e como meio de chegar à solução.
Globalmente, o nível de desempenho obtido por este par, na resolução das
tarefas, foi razoável.
Dificuldades evidenciadas em Língua Portuguesa. O par manifestou diversas
dificuldades, nomeadamente na interpretação/compreensão dos enunciados.
As palavras “números” e “algarismos” (tarefa 11) foram consideradas
sinónimas, tendo suscitado muitas dúvidas no par, aquando da resolução do problema.
126
Referiu que o enunciado da tarefa 12 “parecia uma história”, por este ser um pouco mais
extenso do que o habitual. Revelou dificuldade de interpretação/compreensão do
enunciado, porque não se empenhou devidamente na leitura do mesmo e não lhe
dispensou o tempo necessário. Não valorizou o material anteriormente fornecido. Por
essa razão, demorou a encontrar a primeira pista referente à primeira travessia, tendo-se
observado, mesmo, alguma dificuldade em iniciar a tarefa. Manifestou muita
dificuldade na comunicação oral e escrita dos raciocínios usados na resolução dos
problemas de processo; apenas foi capaz de o fazer nas duas últimas tarefas, embora
tenha sido, constantemente, alertado para a sua importância, no processo matemático.
Nas tarefas 24, 25 e 26, o par foi um pouco mais autónomo e mais activo. No
entanto, continuou a revelar muita dificuldade ao nível da comunicação escrita dos
raciocínios usados ou do simples registo solicitado.
Nas tarefas 27 e 28, o par revelou maior capacidade de organização de trabalho
conjunto, mas deparou-se com a dificuldade no que respeita às regras elementares de
concordância, sobretudo entre o sujeito e o verbo na escrita do enunciado, bem como ao
nível da escrita legível, com correcção ortográfica do vocabulário relacionado com a
figura apresentada.
Houve alguma superação das dificuldades, sobretudo no estabelecimento de
diálogo entre os elementos do par, tornando-se mais activos e mais empenhados no
trabalho. Contrariamente ao que foi observado no início do estudo, a discussão de ideias
permitiu a partilha de saberes e uma participação mais activa no trabalho.
Dificuldades evidenciadas na Matemática. Este par revelou pouca capacidade
de iniciativa e mostrou-se pouco à vontade na selecção das estratégias adequadas à
resolução de todos os problemas de processo. Este aspecto constituiu um verdadeiro
entrave à resolução das tarefas. É importante salientar que, inicialmente, este par se
debateu com o problema da falta de apoio de um dos elementos. A determinada altura,
Diogo exigiu a participação do colega que, até então, se mantivera calado e
desinteressado.
O par evidenciou algumas lacunas, ao nível do domínio de conceitos matemáticos,
especificamente os conceitos de medição. Demonstrou dificuldade na interpretação da
divisão do próprio segmento de recta (tarefa 8), na medida em que não relacionava a
distância diária percorrida por cada caracol com uma parte, mas apenas com os seus
extremos. Manifestou, ainda, dificuldade na discussão com os outros e na comunicação
127
das suas descobertas, condicionando, de certo modo, o interesse e empenho pela tarefa.
Manifestou dificuldade em proceder organizadamente. Na tarefa 9, o par esteve pouco à
vontade com a combinação dos diferentes sabores dos gelados, sem que estes se
repetissem. A selecção das estratégias usadas, o desenho, condicionou, de certo modo, a
execução da tarefa, porque o modo como o fizeram proporcionou algumas repetições.
Se o par tivesse elaborado uma lista organizada, não haveria, certamente, tanta confusão
e os resultados teriam sido diferentes. Também na tarefa 11, a estratégia usada foi muito
demorada, uma vez que o par foi registando, por escrito, e contando, ao mesmo tempo,
os algarismos registados. O facto de não ter concluído a tarefa deve-se, sobretudo, à
falta de persistência e de confiança no trabalho, porque esteve a um passo da solução.
Embora tenha manifestado persistência e empenho na execução da tarefa 13, o
par não concluiu a última questão, porque considerou que não era possível efectuá-la. A
dificuldade evidenciada, neste caso, situa-se ao nível da percepção visual e pensamento
divergente.
A maior dificuldade (tarefa 24) registou-se ao nível do raciocínio e do cálculo
mental. A construção dos quadrados de dominó pressupunha que o par fosse perspicaz e
mais activo. Pelo contrário, manifestou pouca segurança na compreensão do que era
pretendido.
Influência da Língua Portuguesa na Matemática. O par manifestou
dificuldades, a vários níveis: na leitura, dado o insuficiente exercício da mesma,
conduziu à falha na compreensão do texto. Não foi feita a identificação do conteúdo da
mensagem, com conhecimentos adquiridos, conforme o defendido por Malta (2003); na
interpretação/compreensão dos enunciados, dada a sua extensão e a complexidade, uma
vez que exigiam mais que uma operação e mais do que um raciocínio; na retenção de
informação a partir dos enunciados, uma vez que o par não recorria o necessário à
leitura; no conhecimento de vocabulário pouco diversificado, na dificuldade da
descoberta do sentido das palavras e no estabelecimento de relações entre elas.
O par estranhou, a nível visual, os enunciados longos, comparando-os a
“histórias”. E o facto de possuírem mais que uma questão e por vezes inter-ligadas, foi
motivo de apreensão. Isto mostra que o par está habituado a questões mais directas e, de
certa forma, isoladas, ou pelo menos não inter-relacionadas.
Este par manifestou muita insegurança ao nível da interdependência e inter-
relação entre os raciocínios, tendo bloqueado, completamente, em algumas situações.
128
Para resolver tal bloqueio, a investigadora utilizou questionários de interpretação oral,
discussão de ideias sobre o significado das palavras, sobre a descoberta do sentido das
palavras desconhecidas e a explicitação do vocabulário de uso menos corrente. Em
todas as tarefas propostas o par manifestou pouca autonomia e pouca capacidade de
exploração textual, exigindo um apoio permanente nesta área, de modo a poder resolver
as tarefas. A resolução, pelo par, foi iniciada impreterivelmente, após esta fase de
esclarecimento.
Ao que tudo indica, as dificuldades evidenciadas na Língua Portuguesa
condicionaram o desempenho do par na Matemática, porque revelou muita dificuldade
em iniciar o trabalho atempadamente e em seleccionar as estratégias adequadas à
resolução das tarefas. Também estes aspectos apontam no sentido de haver uma nítida
influência do domínio da Língua Portuguesa no ensino/aprendizagem da Matemática.
Além disto, houve outros aspectos ligados à Matemática, nomeadamente o cálculo
mental, a percepção visual e o pensamento divergente, que não dependem da Língua
Portuguesa e que influenciaram o desempenho a Matemática.
Avaliação das tarefas pelos alunos. Nas suas entrevistas, os alunos referiram
que gostam da Matemática, porque desperta o raciocínio e “ajuda a resolver os
problemas”. Esta opinião é partilhada pela mãe de Alexandre, para quem é “a disciplina
mais importante”. Os alunos referiram gostar de fazer contas. Alexandre, todavia,
referiu que “dividir por números decimais é muito difícil”. Diogo afirmou que não gosta
de resolver problemas. Apesar disso, referiu que gostou de resolver os problemas de
processo, “porque foram divertidos, tivemos de dizer o que pensávamos e de escolher
uma estratégia para desenvolver a resposta”. Alexandre preferiu a formulação de
problemas, por serem “actividades fáceis e por ser uma actividade nova na
Matemática”.
Referiram que a resolução de problemas é uma actividade fundamental na
Matemática, pois é divertida, embora difícil. Por essa razão, consideraram que
manifestaram algumas dificuldades devidas à leitura e à compreensão dos enunciados.
Relativamente à comunicação dos raciocínios usados, Diogo considerou fácil, “porque
se soubesse fazer o problema, sabia explicar o raciocínio”, pelo contrário o Alexandre
achou tal actividade muito difícil.
Concordaram que para entenderem a Matemática têm, antes de tudo, de saber
Língua Portuguesa, ao nível “da leitura, da compreensão e interpretação de textos,
129
porque “se não se souber ler, não se consegue resolver os problemas”. Para se resolver
um problema é preciso saber ler e compreender muito bem o enunciado.
Resumo
Este par manifestou, inicialmente, pouca capacidade de cooperação no trabalho
conjunto, pela não participação de um dos elementos. No entanto, esta situação foi-se
alterando com o desenrolar das tarefas.
Durante a realização das tarefas de resolução de problemas, o par revelou
bastante insegurança, devido à dificuldade manifestada na interpretação/compreensão
dos enunciados matemáticos e, sobretudo, à pouca capacidade de retenção de
informação, a partir dos enunciados escritos, por não se ter empenhado, devidamente, na
leitura dos mesmos. Assim, a execução da maioria das tarefas só foi possível graças a
ajudas que lhe foram proporcionadas nesse sentido. Demonstrou, também, muitas
dificuldades ao nível da comunicação oral e sobretudo da comunicação escrita dos
raciocínios usados.
Este par manifestou algumas competências ao nível da Língua Portuguesa e da
Matemática e conseguiu identificar alguns conceitos envolvidos. No entanto, por vezes,
foi pouco persistente no trabalho, tendo, por isso mesmo, obtido níveis de desempenho
razoáveis, mas com a ajuda proporcionada.
O desempenho deste par aponta no sentido de haver uma afinidade entre as duas
áreas envolvidas - Língua Portuguesa e Matemática. Tudo indica que o início atribulado
das tarefas foi devido essencialmente à pouca capacidade do par na
interpretação/compreensão dos enunciados. Este aspecto não permitiu também a
selecção rápida das estratégias adequadas à resolução dos problemas.
O par tornou-se mais responsável e mais consciente da necessidade da
exploração dos enunciados, através de uma leitura atenta e cuidada. À medida que
decorria o estudo, verificou-se maior capacidade de diálogo entre ambos e mais
interesse pelo trabalho proposto.
Verificou-se alguma superação nas dificuldades, ao nível da comunicação entre
ambos, o que facilitou o trabalho conjunto.
130
Par D: Filipa e Pedro Miguel Competências manifestadas. Ao longo da realização das tarefas efectivas, no
âmbito do estudo, o par manifestou várias competências em Língua Portuguesa e
Matemática (Quadro 5.4). Além destas competências, o par manifestou, ainda, outras,
conforme Anexo 40 - C.
Competências manifestadas em Língua Portuguesa
Competências manifestadas na Matemática
-aptidão para ler fluentemente, permitindo a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -reconhecer os domínios lexical, morfológico, sintáctico, semântico e pragmático ao nível da oralidade e da escrita; -usar estratégias de raciocínio verbal na resolução de problemas; -aptidão para escrever com a devida correcção ortográfica, enunciados relacionados com as figuras apresentadas; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas; -discutir e comunicar oralmente com os outros as suas descobertas.
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos. -aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões; -aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 5.4 – Competências manifestadas pelo Par D
Níveis de desempenho nas tarefas. Este par demonstrou sempre muito
interesse e empenho nos trabalhos desenvolvidos, discutindo entre si as suas ideias e as
suas descobertas, cooperando persistentemente no trabalho conjunto, na procura da
solução. Ao longo da realização das tarefas, este par revelou bastante segurança e
determinação na sua resolução, manifestando à vontade com as situações com que se foi
confrontado.
Inicialmente, o par pareceu conferir função prioritária aos cálculos, partindo
muito rapidamente para a procura das soluções, sem se preocupar com a exploração dos
enunciados, como foi o caso da tarefa 8. Tal exigiu, por isso, maior apoio da parte da
investigadora. No entanto, este par apercebeu-se imediatamente da importância da
leitura e das suas implicações, na resolução das tarefas. Apesar de não se ter verificado
qualquer explicação, tanto oralmente como por escrito nas três primeiras tarefas, a partir
131
da quarta, o par já foi capaz de explicar, oralmente e por escrito, os procedimentos e
raciocínios usados, mantendo-se assim até ao final das tarefas propostas. Assim, o nível
de desempenho obtido nas tarefas 8, 13, 9, 11, 12, 17, 25, 27 e 28 foi bom, conforme se
pode verificar nos quadros de desempenho, constantes dos Anexos 39, 39-A e 39-B. A
estratégia usada na resolução da tarefa 11 foi muito trabalhosa, porque o par contou os
números de 1 a 9; contou os números de 10 a 99 e multiplicou por 2; contou os números
de 100 a 200 e multiplicou por 3; por último, fez tentativas até chegar aos 501
algarismos. Foi o par que chegou mais perto da solução do problema. Nas tarefas de
formulação de problemas, manifestou muito interesse e empenho na sua realização, na
cooperação do trabalho em conjunto para a sua execução e, sobretudo, foi muito
persistente na realização das tarefas, a contar pelo número de vezes que formulou os
problemas. Nas restantes tarefas (24 e 26), os níveis de desempenho obtidos foram
excelentes, conforme se vê no Anexo 39-A. Aquando da realização das tarefas 24, 25 e
26, o par manifestou muita satisfação, porque na sua consecução utilizou material de
apoio que lhe proporcionou momentos agradáveis de aprendizagem da Matemática, por
envolverem uma vertente lúdica.
A tomada de consciência de que uma leitura atenta e cuidada dos enunciados
garante uma maior facilidade na resolução das tarefas propostas, constituiu um aspecto
importante, na evolução do trabalho deste par. Também ao nível da
explicitação/demonstração escrita dos raciocínios, houve uma evolução positiva. O par
compreendeu que, afinal, as respostas elaboradas não explicitavam os passos seguidos
na resolução dos problemas. Alterou, por isso, os seus procedimentos a partir da quarta
tarefa.
Globalmente, o nível de desempenho obtido por este par, na resolução das
tarefas, foi bom.
Dificuldades evidenciadas em Língua Portuguesa. Inicialmente, o par
manifestou dificuldade na interpretação/compreensão do enunciado da tarefa 8, porque
a leitura e a interpretação do enunciado não foi devidamente trabalhada, no sentido de
uma boa compreensão da tarefa. No entanto, esta situação alterou-se à medida que foi
resolvendo as restantes tarefas, dado que tomou consciência da necessidade de efectuar
uma boa leitura para uma boa compreensão do problema, bem como para a selecção da
estratégia adequada à sua resolução.
132
Também teve dificuldade na decodificação e descoberta do significado das
palavras “números” e “algarismos” (tarefa 11). O desconhecimento do vocabulário
apresentado condicionou, de algum modo, a interpretação e a compreensão, bem como a
escolha da estratégia e a resolução da tarefa. Isto vem de encontro ao que foi defendido
por Castro (2000).
Nas tarefas 8, 13 e 9, manifestou dificuldade na comunicação oral e escrita dos
raciocínios usados. No final de cada uma destas tarefas, o par apresentou por escrito
uma resposta ao problema, conforme estava habituado na resolução dos problemas
rotineiros, em que usa as quatro operações básicas. Explicar os raciocínios usados,
pareceu não ser muito habitual neste par.
Houve superação nas dificuldades, sobretudo, ao nível do recurso frequente à
leitura e exploração dos enunciados matemáticos. Verificou-se, uma preocupação maior
em recorrer à leitura dos enunciados, perante dúvidas que iam surgindo.
Verificou-se que os níveis de desempenho obtidos nas tarefas de investigação
matemática foram superiores aos das restantes, porque foram as actividades que mais
cativou o par e pelas quais manifestou mais agrado e por essas razões, talvez se tenha
empenhado mais.
Dificuldades evidenciadas na Matemática. O par manifestou dificuldade na
aplicação de conceitos, ao nível das medições. No entanto, esta situação foi ultrapassada
com a ajuda da régua graduada. O par sentiu necessidade de desenhar figuras
geométricas (tarefa 13), procurando aquelas em que o número de lados fosse igual ao
número de filas, para lhes facilitar a disposição dos meninos pelas filas correspondentes.
Não terminou, porém, a tarefa, devido, provavelmente às dificuldades sentidas ao nível
da percepção visual e do pensamento divergente. Pedro Miguel chegou, todavia, a
sugerir a disposição em forma de estrela. Na resolução da tarefa 11, foram evidenciadas
algumas dificuldades ao nível do cálculo mental e cálculo escrito, pois o par errou os
cálculos efectuados.
Verificou-se superação de dificuldades ao nível do desenvolvimento da
capacidade de encontrar estratégias, de testá-las, de reformulá-las e de aplicá-las a
situações concretas, porque o par manifestou sempre muita capacidade de raciocínio e
apresentou quase sempre um bom cálculo mental. Além disso, ambos os elementos do
par foram sempre muito aplicados na realização do trabalho.
133
Influência da Língua Portuguesa na Matemática. O recurso frequente à
leitura dos enunciados das tarefas proporcionou, a este par, maior autonomia na sua
resolução. A agilidade manifestada em Língua Portuguesa parece ter contribuído
positivamente para a resolução das tarefas. Com efeito, sempre que surgia alguma
dúvida ou dificuldade, o par tentava superá-la, fazendo-o com recurso à leitura do
enunciado. Na primeira tarefa, este par manifestou alguma insegurança e dificuldades
em resolvê-la, necessitando de ajuda constante, da parte da investigadora, porque não
deu a importância devida ao enunciado.
Os níveis de desempenho obtidos nas tarefas melhoraram significativamente, a
partir do momento em que o par leu, interpretou e compreendeu os enunciados. O
domínio da Língua Portuguesa influenciou o desempenho do par na resolução das
tarefas. A nível do léxico, mostrou possuir um variado e amplo vocabulário activo, o
que lhe permitiu uma melhor compreensão dos enunciados. Apesar da extensão e
ambiguidade na interpretação dos enunciados, o par manteve-se atento e, ao nível da
micro-análise, procurou decompor o que lhes era pedido dentro das questões, mesmo no
que se refere a frases mais complexas.
Na formulação de problemas, procurou, através de frases curtas, mas
organizadas, expor as suas ideias. Fê-lo exaustivamente, até ficarem claras e precisas.
Daí a preocupação em refazer o primeiro enunciado pela quarta vez. Deste modo, o par
mostrou ter conhecimento dos domínios morfológicos e sintácticos, quer ao nível da
interpretação/compreensão dos enunciados, quer da sua escrita.
Avaliação das tarefas pelos alunos. Estes alunos referiram gostar da
Matemática, porque podem fazer actividades divertidas, usando materiais, além de se
aprender a contar os números e a dividi-los, entre outros aspectos. Pedro Miguel referiu
gostar mais de trabalhar as actividades de investigação matemática, embora não tenha
ainda muita prática, porque só agora começou a fazê-lo. Gostou menos de resolver
problemas de processo, “porque são os mais difíceis”, não sabendo muito bem explicar
porquê. Filipa referiu que gosta mais de fazer contas e menos de “reduções”.
A tarefa preferida deste par foi a construção de quadrados de dominó, “porque é
divertido usar material na Matemática”. Referiram que gostam de resolver problemas,
mas, na opinião de Pedro Miguel, “os mais fáceis são aqueles que se fazem com contas;
os de processo são muito difíceis, por causa das estratégias que temos que usar”. A sua
134
colega pensa exactamente o contrário: nos problemas de processo é que “é divertido
descobrir as respostas, porque parece um jogo de adivinhar”.
Os dois alunos referiram que foi muito difícil explicar por escrito os raciocínios
usados na resolução dos problemas. No entanto, a Filipa não soube explicar a razão,
enquanto o Pedro Miguel referiu que “foi quase como dizer o problema”.
Ambos concordaram que para aprenderem Matemática é importante saber ler,
escrever e interpretar o enunciado. Referiram ainda que se fizerem uma leitura bem feita
e uma interpretação adequada do enunciado, terão mais facilidades na resolução do
problema.
Resumo
Este par estabeleceu entre si uma interacção frequente, discutindo e
confrontando as ideias e as suas descobertas, na procura da solução das tarefas.
Inicialmente, manifestou alguma dificuldade na interpretação/compreensão dos
enunciados, mas foi superada com o recurso frequente à leitura e à análise dos mesmos.
O empenho no trabalho e a boa disposição estiveram sempre presentes ao longo da
resolução das tarefas, tendo contribuído para a obtenção global do nível bom.
Evidenciou dificuldades, sobretudo, ao nível dos conceitos de medição, na
comunicação e explicitação escrita dos raciocínios usados na resolução dos problemas
de processo e na interpretação/compreensão dos enunciados das primeiras tarefas. Além
de manifestar todas as competências enumeradas no Quadro 5.4, o par conseguiu, quase
sempre, manifestar outras competências, tanto em Língua Portuguesa, como em
Matemática e dominar os conteúdos do 4.º ano de escolaridade.
O desempenho deste par, na resolução das tarefas, aponta no sentido de haver
uma ligação forte entre o desempenho em Língua Portuguesa ao nível da leitura,
interpretação/compreensão e o desempenho em Matemática na resolução das tarefas.
Este par registou evoluções na leitura, na interpretação/compreensão dos
enunciados, na explicitação/demonstração escrita dos raciocínios e no desenvolvimento
da capacidade de encontrar estratégias de resolução de problemas.
Todas as dificuldades evidenciadas pelo par foram sendo superadas à medida
que se iam desenrolando as tarefas.
135
Análise comparativa do desempenho dos pares nas tarefas
Competências manifestadas nos vários tipos de tarefas Destacaram-se os pares A e D pelos bons desempenhos prestados na resolução
das tarefas propostas. No entanto, foi o primeiro par que, mais e melhores
competências, manifestou, tanto em Língua Portuguesa como Matemática. Porém, o
par D não esteve tão distante assim. Estes pares eram compostos por elementos com
bons e razoáveis aproveitamentos escolares, tanto em Língua Portuguesa como em
Matemática. Assim, os pares que foram bons em Língua Portuguesa, também foram
bons em Matemática. No entanto, no par D, verificou-se algo curioso. Neste par, o
elemento com aproveitamento razoável em Língua Portuguesa e bom em Matemática
foi quase sempre muito persistente. Por isso, quando revelava dificuldades na resolução
de alguma tarefa, esforçava-se por melhorar, como foi o que aconteceu com a
formulação do problema pela quarta vez.
Os pares B e C manifestaram menos competências que os pares anteriores,
obtendo, também, níveis de desempenho inferiores. No entanto, atendendo a que estes
pares eram compostos por elementos com aproveitamento escolar inferior, não é de
estranhar tal facto. Nestes pares, os elementos, com melhor aproveitamento a Língua
Portuguesa, ajudaram os mais fracos na resolução das tarefas de Matemática.
Tendo em conta os pares usados e as tarefas realizadas no âmbito da
resolução/formulação de problemas e tarefas de investigação matemática, poder-se-á
concluir que, ter bom domínio e bom desempenho em Língua Portuguesa, é essencial
para ser bom em Matemática. Tal facto não será verificado, certamente, relativamente à
realização de exercícios matemáticos que não implicam a leitura e a interpretação de
enunciados. No sentido de superar tais dificuldades, é fundamental o confronto dos
alunos com tarefas de resolução de problemas, desde o nível mais elementar. A
Matemática passa um pouco pela realização de exercícios rotineiros e mecanizados,
como por exemplo: Completa conforme o exemplo. Neste exercício não há
oportunidade de ler, interpretar e compreender enunciados.
Tarefas de resolução de problemas. Estas tarefas proporcionaram, aos pares A
e D, a exteriorização de competências diversas em Língua Portuguesa: aptidão para ler
fluentemente, permitindo a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; aptidão para interpretar e
136
compreender enunciados orais e escritos; reconhecer os domínios lexical, morfológico,
sintáctico e semântico ao nível da oralidade e da escrita. Proporcionaram, ainda, ao Par
A, a aptidão para se exprimir de forma confiante, clara e audível, com adequação ao
contexto e ao objectivo comunicativo.
Nos pares B e C foram exteriorizadas as competências seguintes: aptidão para
efectuar leituras fluentes; retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos.
Ao nível da Matemática, proporcionaram aos pares A e D a exteriorização de
competências diversas: capacidade de usar a matemática para analisar e resolver
situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; predisposição para procurar
entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim
como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; aptidão para
identificar figuras geométricas e identificar algumas das suas propriedades;
compreensão de conceitos matemáticos. Nos pares B e C, proporcionaram a
exteriorização das competências seguintes: capacidade de usar a matemática para
analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; aptidão para
identificar figuras geométricas e identificar algumas das suas propriedades;
compreensão de conceitos matemáticos.
Tarefas de investigação matemática. Ao nível da Língua Portuguesa, estas
tarefas proporcionaram, a todos os pares, a exteriorização das mesmas competências
enumeradas na resolução de problemas.
Na Matemática, proporcionaram, também a todos os pares, a exteriorização da
seguinte competência: aptidão para realizar investigações que recorram a dados de
natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de
conclusões.
Tarefas de formulação de problemas. Estas tarefas proporcionaram, aos pares
A e D, a exteriorização de competências diversas em Língua Portuguesa: aptidão para
escrever, com correcção ortográfica, enunciados relacionados com as figuras
apresentadas; reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; aptidão para
estruturar ideias e frases; aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e
regras gramaticais básicas; discutir e comunicar oralmente com os outros as suas
descobertas. Ao par B, proporcionaram, apenas, o reconhecimento de técnicas básicas
137
de organização textual; a aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e
regras gramaticais básicas. Ao par C, proporcionaram o reconhecimento de técnicas
básicas de organização textual; aptidão para estruturar ideias e frases; a aptidão para
respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
Na Matemática, proporcionaram, aos pares A, C e D, as competências
seguintes: aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados
das interpretações feitas; aptidão para formular problemas, a partir de situações
matemáticas. Ao par B, proporcionaram, apenas, a aptidão para formular problemas a
partir de situações matemáticas.
Análise comparativa das dificuldades evidenciadas A grande maioria das dificuldades detectadas nos pares relacionou-se com a
interpretação/compreensão dos enunciados dos problemas, porque também
manifestaram dificuldade no conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico,
ao nível da interpretação/compreensão de enunciados orais e escritos. Além disso, os
pares B e C recorreram com pouca frequência à leitura dos enunciados dos problemas,
não conseguindo superar as dificuldades evidenciadas na compreensão das tarefas. Os
aspectos de compreensão de textos são referidos por Sequeira (1990), Castro (2000) e
Luria (1987) como um processo cognitivo de busca de sentidos que exige uma enorme
acção da memória. Estes autores defendem que o processo de compreensão está ligado à
percepção dos significados das palavras, bem como à decodificação das regras
sintácticas da sua combinação, sendo fundamental, para tal, o conhecimento de uma
gama alargada de vocabulário.
Todos os pares evidenciaram diversas dificuldades, nomeadamente no
estabelecimento de relações de significado entre as palavras “números e algarismos”; na
comunicação escrita, ao nível da demonstração/exposição dos raciocínios usados na
resolução das tarefas; na capacidade para medir; na percepção visual e no pensamento
divergente; e em ultrapassar ideias pré-concebidas na Matemática. Provavelmente, tais
dificuldades são devidas ao facto de os pares estarem habituados a outro tipo de trabalho
na aula de Matemática, nomeadamente exercícios pouco diversificados e pouco
exigentes a nível cognitivo. Por vezes, os materiais e recursos usados não serão os mais
indicados para despertar, nos alunos, o gosto pela Matemática, persistindo as
concepções não fundamentadas e irreais relativamente à disciplina. A falta de hábitos
138
de comunicação na Matemática e de explicação dos raciocínios poderão ter constituído
aspectos limitadores na expansão das ideias dos pares ao nível da escrita.
Todavia, este tipo de dificuldades poderá ser ultrapassado com recurso
frequente à leitura, como meio de alargar o conhecimento de vocabulário activo. Além
disso são resolvidos, ainda, problemas relacionados com a interpretação ambígua da
parte dos mesmos. Devido às dificuldades apresentadas e à solicitação da parte dos
pares B e C, foi feita a exploração oral dos enunciados, como forma de superar algumas
das dificuldades de interpretação e compreensão dos textos.
Tarefas de resolução de problemas. Todos os pares de estudo evidenciaram
dificuldades na resolução das tarefas (8, 13, 11 e 9). A maior dificuldade (tarefa 8)
verificou-se ao nível da medição do segmento de recta, utilizado como estratégia para a
sua resolução. Além disso, os pares B, C e D também manifestaram muita insegurança
na selecção da estratégia adequada. Inicialmente, o trabalho conjunto foi, para o Ricardo
(Par A) e para o Alexandre (Par C) um obstáculo. Estes elementos eram muito
individualistas, não gostavam de partilhar, nem confrontar as suas opiniões com os seus
colegas. À medida que se foram desenrolando as sessões, esta situação foi tomando
outro rumo. Tanto o Ricardo como o Alexandre foram-se tornando mais sociáveis,
passando a conferir maior relevância ao trabalho conjunto.
Nenhum dos pares foi capaz de resolver a última questão da tarefa 13, devido a
dificuldades de percepção visual e pensamento divergente. A tarefa 11 parece ter sido
complexa, porque nenhum dos pares foi capaz de a resolver, devido talvez à confusão
gerada pelo vocabulário e à interpretação ambígua do enunciado por eles efectuada. De
modo semelhante, na tarefa 9, os pares B e C manifestaram dificuldade ao nível das
competências em Língua Portuguesa, sobretudo ao nível da interpretação/compreensão
do vocabulário usado. No entanto, também os outros pares, na segunda questão,
apresentaram, apenas, oito possibilidades de combinar os sabores dos gelados, quando
efectivamente eram dez. Esse facto ficou a dever-se a ideias pré-concebidas dos pares,
relativamente ao item, anteriormente, resolvido.
Todos os pares evidenciaram dificuldades na comunicação escrita dos
raciocínios usados na resolução das tarefas, uma vez que nenhum deles procedeu ao seu
registo escrito, nas três primeiras tarefas.
Tudo indica que as razões que estiveram na base das dificuldades manifestadas,
particularmente pelos pares B e C, se encontram relacionadas com a
139
interpretação/compreensão dos enunciados, devido ao fraco recurso à leitura e análise
dos dados dos problemas, à forma “agarrada” da resolução de problemas, através das
quatro operações básicas (tarefa 8). Muito raramente valorizaram a leitura dos
enunciados como recurso fundamental na resolução das tarefas. Na maioria das
situações, os enunciados eram extensos, ficando os alunos bastante apreensivos,
relativamente à sua compreensão, na medida em que não possuíam hábitos de leitura,
nem sendo alargado o seu vocabulário activo. Por estas razões, ofereciam, muito
frequentemente, resistência à leitura, exigindo, sobretudo o Par C, a presença da
investigadora, na compreensão dos enunciados, na construção frásica e na exploração
do vocabulário. Por outro lado, o fraco domínio, a nível lexical, no enunciado também
constituiu razão de entrave à resolução de tarefas. As expressões “números inteiros de 1
a 500” e “parou exactamente depois de escrever 501 algarismos” pareceram aos alunos
completamente opostas e despropositadas, porque a maioria considerou que as palavras
números e algarismos eram sinónimas. Não ocorrendo outra estratégia, a maioria dos
pares efectuou o registo dos números e foi contando os algarismos. O Par D foi o que
esteve mais próximo da solução, mas uma maior dificuldade na contagem dos
algarismos dos números de 100 a 200, não permitiu que estes alunos concluíssem a
tarefa com sucesso. De modo semelhante, o vocabulário “sorvete” e “gelataria” (tarefa
9) limitou, de certo modo, a resolução pelo Par B. Este par foi, manifestamente, pouco
activo, tentando sempre inteirar-se do conteúdo dos pares vizinhos. A segunda questão
desta tarefa não foi concluída na totalidade, apesar de os pares considerarem que o
tinham conseguido. Nos dois últimos enunciados, os alunos não foram capazes de
estabelecer relações de significado entre as palavras, porque não dominavam os
conceitos de relações semânticas, tanto no que se refere a sinónimos/antónimos, como à
formação de palavras, como foi o caso de “gelataria”.
Além disso, os alunos consideraram os enunciados complexos, porque exigiam
mais do que uma operação e mais do que um raciocínio. A interdependência e inter-
relação entre as questões dos enunciados exigiam muita atenção e concentração dos
pares, na realização do trabalho. Como se tratam de pares pouco persistentes (B e C),
acabavam, na maioria das vezes, por desistir das tarefas.
Tudo indica que a razão pela qual os pares não procederam, na sua maioria, à
comunicação escrita dos raciocínios usados na resolução das tarefas, se deve
essencialmente ao facto de não terem sido implementados, na sala de aula, hábitos e
treinos nesse sentido. É que, geralmente, os alunos estão habituados a actividades que
140
implicam pouco esforço a nível cognitivo, como seja, por exemplo, dar resposta aos
problemas resolvidos.
Tarefas de investigação matemática. Durante a realização das tarefas 24, 25 e
26, o par que evidenciou maior dificuldade ao nível da Língua Portuguesa, foi o B,
persistindo as mesmas dificuldades na interpretação/compreensão dos enunciados e no
conhecimento lexical. Apesar das frases que constituíam os enunciados serem mais
curtas, as questões eram mais vagas e mais abertas, tendo causado alguns entraves à sua
resolução, particularmente, pelo par referido. Na sua maioria, as questões propostas
continuaram a ser diversas em cada enunciado, o que não facilitou o trabalho do par,
pelas mesmas razões. Este aspecto pode ter dificultado o desempenho de alguns pares
mais adaptados a questões semelhantes.
Tanto o Par B como o Par C evidenciaram dificuldades na comunicação escrita
dos raciocínios usados ou nos simples registos efectuados. Entretiveram-se com o
material fornecido, nomeadamente, os dominós e o geoplano, e não se preocuparam
com os restantes itens das tarefas. As prováveis razões que levaram os alunos a
proceder deste modo parecem estar relacionadas com o seu reduzido contacto com este
tipo de materiais, na aula de Matemática, e à pouca capacidade de associação da
aprendizagem da Matemática a situações lúdicas.
No que se refere ao trabalho dos outros pares, foi interessante observar os seus
empenhos e a satisfação com que o fizeram.
Tarefas de formulação de problemas. Este tipo de tarefas constituiu uma
novidade para todos os pares. Na primeira tarefa manifestaram alguma estranheza pelo
facto de se depararem com a solução do problema, em vez do enunciado. Porém, logo se
adaptaram, com alguma facilidade, à realização do trabalho inverso do habitual -
formular problemas em função de uma solução.
Ao nível da Matemática, o Par B foi o que mais dificuldades evidenciou na
interpretação/compreensão do gráfico apresentado (tarefa 27), e na capacidade de
aplicação e associação de outros conceitos matemáticos. Ao nível da Língua
Portuguesa, evidenciou dificuldades, sobretudo, na estruturação de ideias e das frases,
na escrita ortográfica e na capacidade de usar a escrita como substituto do oral.
A estranheza e as dúvidas surgidas, inicialmente, são devidas, provavelmente, ao
facto de os pares não estarem habituados a este tipo de tarefas.
141
CAPÍTULO VI – Conclusões
Neste capítulo, são dadas as respostas às questões formuladas no início do
estudo. De seguida, são apresentadas algumas limitações do estudo, recomendações
para futuras investigações e tecidas considerações finais.
Respostas às questões da investigação
O presente estudo teve como principal objectivo analisar a relação entre a
Língua Portuguesa e a aprendizagem da Matemática, nos aspectos fundamentais da
interpretação e compreensão de enunciados de problemas, ao nível da
resolução/formulação de problemas e de actividades de investigação matemática. Este
problema foi desdobrado em três conjuntos de questões:
1- Como se caracteriza o desempenho de alunos do 4.º de escolaridade, na
resolução de problemas? Que competências manifestam? Como evoluíram
essas competências ao longo do estudo?
O desempenho dos pares de alunos, na resolução de problemas, dependeu muito,
não só do nível de competências manifestadas na área da Matemática, dos conceitos
envolvidos na resolução das tarefas, mas também e essencialmente das competências
manifestadas na área de Língua Portuguesa. Neste sentido, os pares de estudo que
recorreram, com frequência, à leitura dos enunciados, que deles fizeram uma
interpretação/compreensão adequada e dominaram com facilidade o vocabulário usado,
tanto oral como escrito, apresentaram maior facilidade e melhor desempenho na
resolução dos problemas. Estes pares eram constituídos por alunos com razoáveis e
bons desempenhos em Língua Portuguesa. Pelo contrário, os outros pares, porque não
deram a devida atenção à leitura, dela não fizeram uso na interpretação/compreensão
dos enunciados, não compreenderam o vocabulário, porque este era reduzido e pouco
diversificado, obtiveram níveis de desempenho inferiores. Estes pares eram constituídos
por alunos com desempenhos razoáveis e fracos em Língua Portuguesa.
Os pares manifestaram diversas competências em Língua Portuguesa: leitura
fluente, compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados; retenção de
informação, a partir de enunciados orais e escritos; interpretação e compreensão de
enunciados orais e escritos; reconhecimento de aspectos lexicais, morfológicos,
142
sintácticos e semânticos, ao nível do oral e do escrito; expressão confiante, clara e
audível, com adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo; uso de estratégias de
raciocínio verbal, na resolução de problemas; discussão e comunicação oral das
descobertas; escrita ortográfica; utilização de técnicas básicas de organização textual;
estruturação de ideias e frases; respeito pelas regras gramaticais elementares de
concordância.
Na Matemática, os pares manifestaram as seguintes competências: uso da
Matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e
comunicar; entendimento da estrutura de um problema e desenvolvimento dos
processos de resolução, análise dos erros cometidos e ensaio de estratégias alternativas;
identificação de figuras geométricas e algumas das suas propriedades; realização de
investigações com recurso a dados de natureza quantitativa, envolvendo recolha e
análise de dados e elaboração de conclusões; leitura e interpretação de tabelas e gráficos
e comunicação dos resultados das interpretações feitas; e formulação de problemas, a
partir de situações matemáticas. Nalgumas tarefas, nem todos os conceitos foram
completamente identificados, devido, em grande parte, a ideias pré-concebidas, a
dificuldades na percepção visual, em usar pensamento divergente e a concepções que os
pares possuíam acerca dos enunciados e da disciplina em geral.
Todas as competências enumeradas foram completamente manifestadas por dois
pares com bom desempenho. Manifestaram, eventualmente, outras competências:
comunicação escrita dos raciocínios usados na sua resolução; estabelecimento de
relações de significado entre as palavras e descoberta, num contexto, do sentido de
palavras desconhecidas; reconhecimento de vocabulário diversificado e de estruturas
gramaticais e sintácticas; decifração automática de enunciados matemáticos, localização
de informação em material escrito e apreensão do significado global de um texto. Além
disso, observou-se confronto de ideias dentro de cada par. Raramente foi possível,
porém, o confronto de ideias entre pares, por falta de tempo; realização de inferências e
formulação de conclusões lógicas; atribuição de sentido a problemas numéricos e
reconhecimento das operações necessárias à sua resolução. Algumas vezes, discutiram
com outros e comunicaram descobertas e ideias matemáticas, oralmente, utilizando
linguagem não ambígua e adequada à situação.
Os outros pares, com desempenho inferior, apenas manifestaram algumas destas
competências, quer em Língua Portuguesa quer em Matemática. Revelaram muitas
dificuldades na interpretação/compreensão dos enunciados das tarefas propostas, tendo
143
sido necessário muito apoio, ao nível da Língua Portuguesa, para que fosse possível a
sua resolução, totalmente ou em parte.
As razões que contribuíram para que as competências manifestadas pelos
primeiros não tivessem sido manifestadas pelos segundos prendem-se, sobretudo, com a
dificuldade na selecção da estratégia adequada, na maioria das tarefas. Os pares
estranharam o facto de não usarem directamente os algoritmos das operações básicas, na
resolução das tarefas. Por outro lado, algumas destas dificuldades surgiram, porque os
pares não foram capazes de explorar a leitura dos enunciados das tarefas, apresentando-
se pouco persistentes a este nível. Não foram capazes de interpretar e compreender
inteiramente os enunciados, devido à sua falta de vocabulário activo e passivo. A
atenuação destas dificuldades ficou a dever-se, sobretudo, à exploração das tarefas da
parte da investigadora, permitindo, assim, que os pares realizassem os seus trabalhos,
ainda que de uma forma menos completa.
À medida que o estudo se foi desenrolando, as competências foram evoluindo,
sendo mais notórias nos dois pares com melhor desempenho. Foi dada maior atenção à
leitura e aos conteúdos dos enunciados das tarefas. Isto permitiu-lhes uma melhor
interpretação/compreensão do trabalho realizado, bem como maior capacidade de
comunicação, nomeadamente de expressão/demonstração dos raciocínios usados na sua
resolução. A instituição da comunicação escrita dos raciocínios pelos pares foi um
processo lento. No entanto, tornou-se uma competência sólida, no que se refere à sua
utilização. Isto mostra que os pares foram adquirindo novos hábitos de trabalho, com a
realização do estudo. Devido a certos comportamentos e atitudes dos pares, como, por
exemplo, o interesse e empenho na realização das tarefas, o confronto de ideias com as
dos outros, a cooperação no trabalho em conjunto na procura da solução, a persistência
na resolução da tarefa e a confiança no desenvolvimento das tarefas, permitiu-lhes,
também, a manifestação e a evolução das competências ao longo do trabalho. Nos pares
com desempenhos inferiores a evolução foi lenta. No entanto, verificou-se uma
mudança de atitudes relativamente ao trabalho de grupo e à resolução das tarefas.
2- Que dificuldades manifestam os mesmos alunos, ao nível da
interpretação/compreensão de enunciados matemáticos, quando resolvem
problemas? Que dificuldades manifestam em Matemática? Como justificar
e ultrapassar estas dificuldades?
144
Na maioria das vezes, os pares manifestaram dificuldades na interpretação e
compreensão de enunciados, em diferentes domínios da língua. Além disso,
manifestaram dificuldades que resultaram, particularmente, do pouco cuidado na leitura
dos enunciados dos problemas. A sua educação em Língua Portuguesa, nomeadamente
quanto a hábitos de leitura, é insuficiente. Frequentemente, os pares associaram a
Matemática aos números e não à leitura dos enunciados. Partiram, por isso,
imediatamente para a resolução do problema, sem antes o terem lido e analisado
devidamente, fenómeno já observado por Pólya, citado em Vale e Pimentel (2004).
Verificou-se, ainda, que o vocabulário activo dos alunos era pouco diversificado,
uma vez que não foram capazes de reconhecer algum, nem conseguiram, a nível
semântico, estabelecer relações de significado que lhes permitissem descobrir o sentido
global do texto matemático.
Em enunciados um pouco mais extensos do que o habitual, os pares
manifestaram dificuldades no conhecimento sintáctico, nomeadamente, na compreensão
de frases complexas, tanto em orações coordenadas (presentes na maioria das tarefas de
resolução de problemas), como em subordinadas (presentes apenas numa tarefa). Este
aspecto constituiu um efectivo obstáculo à compreensão dos textos. A nível visual, os
alunos estranharam o texto longo, ficando bastante apreensivos.
As dificuldades manifestadas no domínio morfológico estiveram mais
relacionadas com as tarefas de formulação de problemas, sobretudo na estruturação das
ideias e das frases, na flexão das palavras e na relação que as mesmas estabelecem com
outras dentro de uma frase, bem como no estabelecimento de regras elementares de
concordância entre as palavras. Manifestaram, ainda, dificuldade ao nível dos sinais
auxiliares da escrita, concretamente, a utilização adequada dos sinais de pontuação.
Contrariamente ao vocabulário que induzia à resolução e à selecção da operação
básica nos problemas rotineiros (através de certas expressões e verbos, como “vendeu,
comeu, ganhou, distribui, etc.”) o vocabulário usado na resolução de problemas de
processo não permitiu aos alunos esta comodidade, porque a estrutura semântica dos
enunciados é muito diferente. Além disso, o facto de os enunciados possuírem mais do
que uma questão, obrigava os alunos a que estivessem muito concentrados, para não se
dispersarem. Este aspecto constituiu, igualmente, outra dificuldade, porque, ao que tudo
indica, os alunos estão habituados a questões mais directas e pouco ou nada inter-
relacionadas. Deste modo, os enunciados que exigiam mais que um tipo de operação e
145
mais que um raciocínio foram considerados complexos, uma vez que foi difícil a
resolução de questões em simultâneo.
Em Matemática, a maioria dos pares manifestou dificuldades em ultrapassar
ideias pré-concebidas sobre a resolução de problemas, visto implicar, automaticamente,
a aplicação de uma ou várias das quatro operações básicas. Esta associação constituiu,
assim, um entrave à resolução dos problemas de processo apresentados, para os quais os
alunos tiveram de seleccionar estratégias adequadas de resolução, tais como o desenho,
o digrama, lista organizada, tabela. A resolução de problemas exige a utilização de
conhecimentos e o domínio de técnicas e por isso, frequentemente, surge associada a
sinónimo de dificuldade. Por estas razões, os alunos receiam não ser capazes de efectuar
trabalhos nesse domínio, considerando, na maioria das vezes, tratar-se de um trabalho
de difícil concretização. Além disso, ao resolverem problemas, os alunos estão a
abordar, transversalmente, as áreas da Língua Portuguesa e da Matemática. Esta
situação exige tanto conhecimentos numa área como noutra. Foram registadas, em
algumas tarefas, dificuldades ao nível da percepção visual e do pensamento divergente,
bem como no cálculo mental e na capacidade para medir, provavelmente, por falta de
resolução de tarefas do mesmo tipo nas aulas de Matemática. Inicialmente, todos os
pares de estudo manifestaram dificuldade na comunicação, nomeadamente na
demonstração e explicitação escritas dos raciocínios usados, por serem hábitos pouco
frequentes na sala de aula. No entanto, com o decorrer das sessões, verificou-se uma
evolução. Foram encorajados, por isso, a explicar, por escrito, os seus raciocínios e a
reflectirem sobre o que foi feito. Ao procederem deste modo, os alunos tiveram a
oportunidade de desenvolver competências metacognitivas, porque estiveram em
contacto com tarefas complexas de pensamento, como são as explicações dos passos
dos problemas de processo. Os alunos tornaram-se, assim, mais conscientes da
necessidade deste tipo de trabalho, na resolução de problemas, passando a dar-lhe a
importância devida. Este aspecto foi observado na formulação de problemas, quando no
final da tarefa, os pares com melhor desempenho escreveram: “Explica como pensaste”.
Também na entrevista final (Anexo 41), a professora da turma referiu que, após o
estudo, lhe pareceu que os alunos se tinham tornado mais conscientes dos métodos
usados e da apresentação das respostas.
Tais dificuldades ficam a dever-se ao fraco domínio da Língua Portuguesa, ao
nível da comunicação oral e escrita e do funcionamento da língua. Os pares com bom
desempenho em Língua Portuguesa foram capazes de ultrapassar as dificuldades que,
146
eventualmente, foram surgindo. Pelo contrário, os pares com desempenhos inferiores
não ultrapassaram tais dificuldades, por falta de conhecimentos relacionados com a
Língua Portuguesa. A gama reduzida e pouco diversificada de vocabulário dos pares; a
pouca capacidade para efectuar leituras atentas e para reter a informação dos
enunciados, através da sua adequada interpretação e compreensão; o fraco
conhecimento linguístico, nos vários domínios, e a fraca aptidão para distinguir
significante de significado; a dificuldade em estabelecer relações semânticas entre
palavras e processos de formação de palavras constituíram as principais razões que
impediram a obtenção de melhores desempenhos em Matemática por estes pares.
A maioria das dificuldades manifestadas em Matemática teriam sido superadas
se os pares conseguissem uma melhor compreensão dos enunciados, uma vez que não
se pode resolver o que não se compreende. A educação para a literacia, referida em
Sardinha (2005), é um aspecto fundamental para ultrapassar as dificuldades
manifestadas na resolução das tarefas. Neste sentido, a criação de hábitos de leitura
poderá proporcionar atitudes de persistência no trabalho de leitura, no conhecimento de
uma gama mais diversificada de vocabulário no desenvolvimento da comunicação oral e
escrita, bem como na interpretação/compreensão de enunciados matemáticos. É
importante, ainda, que os alunos contactem, em Matemática, com tipos diversificados
de problemas, para ultrapassarem algumas das dificuldades manifestadas.
3- Como caracterizar a influência da Língua Portuguesa na resolução de
problemas de Matemática, explorados pelos mesmos alunos do 4.ºano de
escolaridade do 1.º ciclo do EB?
Dois pares obtiveram níveis de desempenho excelente e bom, porque tiveram
bastante facilidade na leitura, interpretação e compreensão dos enunciados das tarefas,
o que os ajudou na sua resolução. Contrariamente, os outros pares apresentaram
grandes dificuldades ao nível da Língua Portuguesa, obtendo níveis de desempenho
inferiores, tal como já haviam observado Figueiredo e Palhares (2005), entre outros
autores. As dificuldades manifestadas pareceram ser devidas à insuficiente educação
em Língua Portuguesa, no que diz respeito à leitura dos enunciados. O recurso pouco
frequente à leitura dos enunciados dificultou a sua interpretação/compreensão
adequada. Foi, contudo, ao nível do domínio lexical que mais se agravou o problema. A
gama reduzida de vocabulário activo não permitiu a interpretação e compreensão
147
adequadas, impedindo a manifestação de várias competências matemáticas, ao nível da
selecção e utilização das estratégias de resolução, bem como o domínio de conceitos
envolvidos na sua resolução. As tarefas de resolução de problemas e investigações
matemáticas exigiram momentos de interacção e de diálogo entre os alunos. No
entanto, as falhas ao nível da comunicação oral impediram esse confronto, bem como a
partilha de ideias entre si, a discussão e a comunicação com os outros das suas
descobertas.
Os enunciados dos problemas de processo e de tarefas de investigação
matemáticas apresentam uma estrutura diferente dos problemas tradicionais. Os
primeiros, para poderem ser resolvidos, exigiram aos alunos uma maior capacidade de
leitura, interpretação e compreensão. Por serem enunciados mais extensos que os
habituais, a sua compreensão foi mais demorada, porque exigiu mais esforço, mais
concentração e mais tempo para resolver os problemas. Isto quer ao nível da
macroestrutura semântica do enunciado (sentido global), quer ao nível microestrutural
(vocabulário, expressões e frases). Quanto mais simples e directas forem as questões,
maior facilidade têm os alunos na sua resolução, o que vai de encontro ao defendido
por Valentim e Sam (2004). É que, não havendo bom domínio da Língua Portuguesa,
dificilmente os alunos poderão resolver problemas que exigem relacionação entre
questões. A ambiguidade, ao nível da interpretação e construção dos enunciados, e ao
nível dos signos linguísticos, terá confundido os raciocínios dos alunos. Foi o caso de
“números e algarismos”, tomados como sinónimos.
Poder-se-á, então, concluir, que os aspectos referidos caracterizam a influência
da Língua Portuguesa no desempenho dos alunos na resolução das tarefas. Tal com já
haviam defendido Valadares (2003), Menezes et al. (2001) e Sim-Sim et al. (1997): para
os enunciados matemáticos serem compreendidos é fundamental, antes de mais, o
domínio da Língua Portuguesa.
No sentido de ajudar os alunos a melhorar os seus desempenhos em Matemática,
seria importante que, desde cedo, contactem com tarefas do tipo das utilizadas no
estudo. O domínio gradual das técnicas apropriadas e o desenvolvimento da leitura
possibilitarão, aos alunos, uma maior facilidade e confronto com os enunciados escritos.
A formação de atitudes mais positivas da parte dos alunos, a realização de tarefas mais
apelativas e um ensino mais direccionado para a resolução de problemas poderão,
certamente, contribuir para fomentar o gosto pela resolução de problemas.
148
Limitações do estudo e recomendações para investigações futuras
Ao longo deste trabalho foram surgindo algumas limitações de natureza diversa,
as quais restringiram, de certo modo, o desenvolvimento normal do estudo.
Em primeiro lugar, foi muito difícil conciliar o trabalho de investigadora com o
trabalho de professora titular de turma. Por o estudo ter sido implementado numa escola
com número reduzido de recursos humanos, as saídas da investigadora para trabalhar
com a turma de estudo estiveram bastante comprometidas, porque não havia professor
substituto para tomar conta da sua turma. Esta investigação dependeu, por isso, sempre
mais das oportunidades que iam surgindo, do que das disponibilidades da investigadora
e da professora da turma.
Outra limitação foi o facto de haver um tempo limite para trabalhar com a turma
de estudo. Por solicitação da professora, a investigadora teve de cumprir o horário
estabelecido para a área da Matemática. Isto implicou que, em alguns dias, houvesse
mais tempo para a resolução das tarefas propostas e noutros dias menos. Assim, na
maioria das vezes, as conclusões e discussões foram efectuadas de forma muito rápida e
sucinta, por falta de tempo. Deste modo, não foi possível dar à comunicação a
importância devida, conforme se reivindica nos programas escolares de Matemática.
Estes apontam para actividades que estimulem e impliquem a comunicação oral e
escrita, incitando os alunos à verbalização dos seus raciocínios, explicando, discutindo,
confrontando processos e resultados. Por isso, seria importante que em investigações
futuras, esta questão fosse mais desenvolvida, pois alguns alunos manifestaram
dificuldade na comunicação oral e escrita, podendo ter sido induzida pela insuficiente
exploração da comunicação.
A falta de hábitos de trabalho conjunto, verificada, inicialmente, em dois pares
de alunos, dificultou o prosseguimento normal do estudo, uma vez que se perdeu algum
tempo com o período de adaptação.
Outro aspecto a ter em consideração foi a duração do estudo. O tempo de
exploração das tarefas, cerca de três meses, não foi suficiente para verificar se os alunos
consolidaram efectivamente as competências enumeradas. Se o estudo tivesse sido
desenvolvido ao longo de um ano lectivo, os resultados seriam, possivelmente,
diferentes. Assim, seria pertinente o aprofundamento desta questão. Os resultados do
estudo talvez fossem diferentes, se em vez destas tarefas tivessem sido aplicadas outras
e se a constituição dos pares fosse diferente. Em virtude de o estudo ter sido
implementado por alguém estranho à turma - a investigadora – pode ter influenciado no
149
desempenho e nos resultados obtidos. Apesar da presença da professora da turma, há,
contudo, modos de actuar e de desenvolver as tarefas que podem não ser os mesmos, em
cada situação. Por outro lado, a presença sempre pronta da investigadora, no sentido de
auxiliar os alunos na interpretação da tarefa, pode ter contribuído para que eles se
tivessem esforçado menos, pois a ajuda estava próxima.
Sendo a resolução de problemas uma actividade fundamental nos programas
escolares e na disciplina de Matemática, no 1.º ciclo do EB, e dadas as dificuldades
manifestadas por alguns alunos, considera-se ser de todo o interesse a implementação
do seu estudo, em crianças mais novas, nomeadamente, no 2.º e 3.º anos de
escolaridade. Tal implementação permitirá o desenvolvimento de competências tanto
em Língua Portuguesa como em Matemática. Além disso, integra todas as áreas de
estudo, dando origem, e promovendo, assim, a interdisciplinaridade. Nesta altura, os
alunos são já capazes de efectuar leituras fluentes, permitindo a decodificação,
interpretação e compreensão dos textos lidos. No entanto, este estudo poderá adequar-
se, também, ao 1.º ano de escolaridade, desenvolvendo-se, todavia, ao nível do oral, por
estes alunos não dominarem ainda a leitura e a escrita.
Por terem sido aplicadas, apenas, duas tarefas, no âmbito da formulação de
problemas, e terem sido bastante apreciadas pelos alunos, seria interessante propor a
continuação da sua exploração, procurando estudar mais pormenorizadamente a relação
da Língua Portuguesa e da Matemática, com base em enunciados criados pelos alunos.
Considerações finais
Em exercício de funções, no 1.º ciclo do EB, com uma licenciatura em Ensino
Básico na variante de Português e Francês, familiarizada com leituras e interpretações
de textos, fazer uma pós-graduação em Ensino e Aprendizagem da Matemática e
desenvolver um estudo de investigação nesta área, foi sem dúvida um desafio. Desafio,
porém, que se tornou extremamente enriquecedor, na medida em que permitiu encarar e
perspectivar de uma maneira diferente o ensino e a aprendizagem da Matemática. Este
trabalho possibilitou, assim, a nível profissional e pessoal uma relação pedagógica mais
segura com a Matemática. O encontro entre as duas áreas – Língua Portuguesa e
Matemática - apesar de, à primeira vista, distintas, complementam-se e inter-
relacionam-se, conforme se pôde verificar ao longo do estudo. Tratou-se, portanto, de
uma experiência altamente valiosa, a continuar e a integrar profissionalmente.
150
No que respeita ao tema do estudo, é de salientar a estreita relação da Língua
Portuguesa com a Matemática, na resolução e formulação de problemas e tarefas de
investigação matemática, da qual dependem as aprendizagens significativas dos alunos.
É fundamental, por isso, que o ensino-aprendizagem englobe aspectos, tanto de uma
área como de outra, ajustados às necessidades e realidades. Por essas razões, considera-
se que o professor não é apenas um meio de transmissão de saberes, mas um agente
pedagógico capaz de criar situações e contextos de ensino e de aprendizagem em que a
comunicação em geral assume papel preponderante.
A Língua Portuguesa não é uma área isolada, está presente em todas as outras
áreas de estudo. No 1.º ciclo, deve dar-se prioridade a aspectos que favoreçam e
estimulem o enriquecimento linguístico e cultural dos alunos, condição indispensável
ao desenvolvimento de competências diversificadas, nas várias áreas, e à obtenção de
melhores níveis de desempenho e sucesso escolar.
Como princípio que tem sido afirmado e continua válido, em Portugal, todo o
professor é professor de Português. Desde logo, no ensino e aprendizagens da sua
especialidade, mas também nos processos de comunicação oral e escrita que estabelece
e fomenta, e de interacção pedagógica que põe em prática e desenvolve nas suas aulas.
Concluído este estudo e face aos resultados obtidos é de defender que o ensino e
aprendizagem da Matemática no 1. ciclo do EB deve integrar novas dinâmicas de sala
de aula, novas tarefas, novas metodologias, de modo a que os alunos desenvolvam
melhor compreensão sobre a Matemática, mas também a apliquem a situações do
quotidiano.
Foi o que a investigadora fez e mostrou ser válido durante o estudo. É o que a
professora fará ao longo da sua prática profissional.
151
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157
ANEXOS
158
ANEXO 1
Pedido de autorização ao Conselho Executivo
Ao
Conselho Executivo
No âmbito de um trabalho de Mestrado subordinado ao tema “A importância da
Língua Portuguesa na aprendizagem da Matemática no 1.º ciclo”, pretendia autorização
para efectuar este estudo na EB1 de …, onde me encontro a leccionar.
Neste contexto pretendia recolher dados na turma do 4.º ano de escolaridade da
professora …, de forma a investigar como estes alunos aprendem Matemática quando
colocados perante tarefas de resolução de problemas e o modo como a Língua
Portuguesa pode auxiliar os alunos na resolução dessas tarefas.
Gostaria ainda de manifestar a minha disponibilidade para eventuais
esclarecimentos caso haja necessidade.
Grata pela atenção.
Anabela Mâncio Costa
Viana do Castelo, 9 de Outubro de 2006
159
ANEXO 2
Ex. mo Sr. ou Sr. ª
Em virtude de a turma do 4.º A ter sido escolhida para ser objecto de uma
actividade na área da matemática, no âmbito de um trabalho de Mestrado subordinado
ao tema “A importância da língua portuguesa na aprendizagem da matemática no 1.º
ciclo”, pretendia que me fosse concedida autorização para efectuar a recolha dos dados
necessários, utilizando, para o efeito, gravações vídeo e áudio.
Nestas aulas os alunos terão oportunidades de desenvolver actividades relativas
à resolução/formulação de problemas e investigações matemáticas, integradas no
Currículo para este ano de escolaridade.
Os dados recolhidos serão utilizados exclusivamente a título particular, estando
limitados, apenas, ao estudo em questão.
Caso necessitem de esclarecer alguma questão, por favor queira contacta-me e
colocar as questões que considere pertinentes.
Grata pela atenção.
Anabela Mâncio Costa
Viana do Castelo, 9 de Outubro de 2006
Autorizo
Não autorizo
Nome do aluno: _________________________________________________________
Encarregado de Educação: _________________________________________________
160
ANEXO 3
Língua
Portuguesa
Matemática
Competências
essenciais
Situações da
aprendizagem
Competências
essenciais
Situações de
aprendizagem
* Capacidade de compreensão de discursos/textos diversos. * Capacidade de usar a leitura como forma de aprendizagem. * Capacidade para produzir textos com diferentes objectivos comunicativos, adequados à situação e ao destinatário.
* Exercícios de compreensão do oral, envolvendo respostas orais ou escritas. * Tomada de notas a partir de exposições orais. * Realização de tarefas, envolvendo a compreensão de instruções para a acção. * Treino de identificação e realce da informação relevante num determinado contexto. * Actividades de elaboração de relatos de experiências, visitas de estudo, etc. * Actividades envolvendo a elaboração de respostas a questionários. * Treino de elaboração de
Números e Cálculo
* Aptidão para dar sentido a problemas numéricos, para reconhecer as operações necessárias à sua resolução e para explicar os métodos e os raciocínios que foram usados. Geometria * Aptidão para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas através da análise e comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar raciocínios.
* Transcrição de mensagens matemáticas da língua materna para a linguagem simbólica e vice-versa. * Treino da compreensão de enunciados orais e escritos, distinguindo o essencial.
* Construção de enunciados de problemas. * Descrição de processos utilizados na resolução de problemas, exprimindo-se correctamente, oralmente ou por escrito. Compreensão de conceitos: * Identificação de um polígono como uma região do plano cuja fronteira é uma linha poligonal fechada. * Distinção entre polígono convexo e polígono não convexo.
161
* Capacidade de compreensão de discursos/textos diversos.
exposições orais sobre temas previamente abordados. * Participação em debates assumindo papéis diversos. * Audição de exposições sobre diferentes assuntos, com a finalidade de responder a perguntas. * Realização de tarefas envolvendo a compreensão de instruções para a acção.
* Aptidão para formular argumentos válidos, recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente. Estatística e Probabilidades * A compreensão das noções de moda, média aritmética e mediana, bem como a aptidão para determiná-las e para interpretar o que significam em situações concretas.
Aplicação de conceitos: * Selecção de polígonos, entre várias figuras planas, justificando a escolha. * Descrição de processos de construção de sólidos geométricos. * Audição de exposições sobre o assunto para apropriação dos conceitos de: moda, média e mediana. * Tomada de notas a partir de exposições orais. * Realização de tarefas envolvendo a compreensão de instruções para a acção.
Quadro 2.1 – Transversalidade da Língua Portuguesa e da Matemática. Valadares
(2003, p.55 – 56).
162
ANEXO 3 – A
Significado
Mecanismo de
projecção
Sequência de
sons
Quadro 1.1 – Processo da língua oral.
Significado
Mecanismo de projecção
Sequência de sons
Mecanismo de transcrição
Sinal gráfico
Quadro 1.2 - Processo da língua escrita.
163
ANEXO 4
Guião do questionário aplicado à professora da turma
Dados da professora
-há quanto tempo é professora -formação inicial -envolvimento em projectos
Preocupações com a aprendizagem
dos alunos
-conteúdos prioritários na Matemática -tipo de actividades a que dá maior importância -no 1.º ciclo que importância atribui à Matemática
Relação com a Matemática
-gosta de ensinar Matemática -como são propostas as actividades aos alunos: individualmente ou grupo -tipo de tarefas propostas -aspectos relevantes no ensino/aprendizagem da Matemática -competências valorizadas
Relação da Matemática com a Língua Portuguesa
-influência da Língua Portuguesa no ensino/aprendizagem da Matemática -actividades matemáticas que exigem maior domínio da língua portuguesa -relação do sucesso na matemática e domínio da língua portuguesa.
Questionário
1) Há quanto tempo é professora?
2) Qual a sua formação inicial?
3) Porque escolheu esta profissão?
4) Envolve-se com frequência em projectos?
5) Que considera fundamental que os alunos aprendam nesta fase da escolaridade?
6) A que aspectos considera dar mais importância nas suas aulas?
7) Se tivesse de escalonar as áreas de aprendizagem do 1.º ciclo, como procederia?
8) Com que área considera que ocupa mais tempo?
9) Gosta de ensinar Matemática?
10) Que aspectos considera mais importantes na aprendizagem da Matemática?
11) Na Matemática, os alunos trabalham individualmente ou em grupo?
12) Ensina como gostaria ou identifica algumas restrições?
13) Considera haver uma sequência no ensino/aprendizagem da Matemática?
14) Considera importante que os seus alunos comuniquem as suas experiências de aprendizagem na
Matemática?
15) Que considera mais importante nas orientações curriculares relativas ao ensino da Matemática?
16) Que aspectos valoriza na aprendizagem dos seus alunos nesta área?
17) Considera existir alguma relação entre a Matemática e a Língua Portuguesa? De que tipo?
18) Considera necessário o domínio da Língua Portuguesa no ensino/aprendizagem da Matemática? Em
que aspectos?
19) Que tipo de actividades matemáticas exigem um maior domínio da Língua Portuguesa? Porquê?
164
Questões Respostas
1 -Há 28 anos.
2 -Magistério. Conclui em 1998 o complemento de formação: Licenciatura
em ensino de Inglês Precoce.
3 -Por gostar de estar em contacto com crianças.
4 -Sim.
5 - Que façam uma boa aprendizagem de leitura, análise e interpretação, pois
delas dependem e comprometem todas as áreas curriculares.
6 -Recontar um texto ou história, resolução de problemas, conversação sobre
os problemas actuais: cidadania, civismo, etc.
7 -Português > Matemática > Estudo do Meio > Expressão Plástica.
8 -Talvez a Matemática.
9 -Muito.
10 -O raciocínio, o saber seguir passos para chegar a uma conclusão e a parte
técnica.
11 -Há momentos que trabalho das duas maneiras.
12 -Sim, mas com a possibilidade de poder usar mais material que a escola não
possui.
13 -Há com certeza. Quando se aprende o milhar, já se aprendeu a centena…
14 -É importante. Partilhando o conceito adquirido à sua maneira ajuda-os a
compreenderem melhor aquilo que aprendem.
15 -Desenvolver o cálculo mental, técnicas de cálculo e a resolução de
problemas.
16 -Capacidade de resolver problemas ou procurar soluções de ajuda.
17 -A Língua Portuguesa está relacionada com todas as áreas. Na leitura e
compreensão de textos.
18 -No aspecto da interpretação do texto lido. Só lendo muito bem e muitas
vezes se pode entender o que se pede.
19 -Eu considero todas as actividades, no entanto, a resolução de problemas
exige um maior domínio da língua.
165
ANEXO 5
Guião do questionário aplicado aos alunos
Dados do aluno
-profissão dos pais -frequência do jardim-de-infância -frequência nesta escola -ocupação dos tempos livres -actividades organizadas desenvolvidas -futura profissão
Relação com a escola
-actividades preferidas na escola -importância da escola -frequência na escola por gosto ou obrigação
Relação com a Matemática
-lugar atribuído à Matemática -preferências na Matemática -actividades consideradas mais importantes na Matemática -dificuldades na Matemática -competências manifestadas na Matemática -aspectos importantes a ter em consideração na aprendizagem da Matemática -preferência de trabalho (individual/trabalho de grupo)
Relação da Matemática com a Língua Portuguesa
-influência da Língua Portuguesa no ensino/aprendizagem da matemática -importância da Matemática e da Língua Portuguesa no currículo do 1.º ciclo -relação do sucesso na Matemática e domínio da Língua Portuguesa.
Questionário efectuado aos alunos
1) Qual é a profissão dos teus pais? 2) Frequentaste o jardim-de-infância? 3) Sempre frequentaste esta escola? 4) Onde ficas quando não há escola? 5) Que gostas mais de fazer nos tempos livres? 6) Desenvolves actividades organizadas? 7) Que profissão gostarias de vir a ter? 8) Que gostas mais de fazer na escola? 9) Achas que andar na escola é importante? Porquê? 10) Gostas da disciplina de Matemática? Porquê? 11) O que gosta mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos? 12) Achas importante aprender Matemática? Porquê? 13) Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem da Matemática? Porquê? 14) Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia? 15) Na Matemática preferes trabalhar individualmente ou em grupo? 16) Na tua opinião o que é preciso para aprender bem Matemática? 17) Gostas de resolver problemas? Porquê? 18) Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou Língua Portuguesa? Porquê? 19) Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o ensino/aprendizagem da Matemática? Em que aspectos? 20) Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas
com esta afirmação? Porquê? Data: _________________________________________________________ Nome: ________________________________________________________
166
ANEXO 6
Par A
Questionário Questões
Aluno A Aluno B
11 12 13 14 16 17 18 19 20 21
Quadro A - Respostas dadas pelos alunos ao questionário
Pares de estudo Questões
Par A Par B Par C Par D
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Quadro B – Comparação das respostas dadas pelos pares de estudo
Par A
Tarefas Competências manifestadas na
Língua Portuguesa
Competências manifestadas
na Matemática
8, 13, 9, 11, 12
e 17
24, 25 e 26
27 e 28
Quadro C – Competências manifestadas pelo par
167
Par A
Tarefas Dificuldades reveladas na Língua Portuguesa
Dificuldades reveladas na Matemática
8, 13 e 9
11
27
Quadro D – Dificuldades reveladas pelo par
Par Questões
Aluno A Aluno B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Quadro E – Respostas dadas na entrevista por cada par
Pares de estudo Questões
Par A Par B Par C Par D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Quadro F – Comparação das respostas dadas na entrevista pelos pares de estudo
168
Questionário Entrevista
Par A
Par B
Par C
Par D
Quadro G – Respostas comparativas dadas pelos pares ao questionário e à entrevista
169
ANEXO 7
Par A: Rodolfo e Marta
Par A Questões
Rodolfo Marta
11- Gostas da disciplina de Matemática? 12- O que gosta mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos? 13- Achas importante aprender Matemática? Porquê? 14- Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem da Matemática? Porquê? 15- Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia? 16- Na Matemática preferes trabalhar individualmente ou em grupo? 17- Na tua opinião o que é preciso para aprender bem Matemática? 18- Gostas de resolver problemas? Porquê? 19- Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou Língua Portuguesa? Porquê? 20- Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o ensino / aprendizagem da Matemática? Em que aspectos? 21- Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?
-Sim. -Gosto mais de algoritmos; gosto menos de resolver problemas. -Sim. Para resolver os problemas do quotidiano. -Algumas facilidades. Porque aprendo bem. -Primeiro. -Em grupo. -Ouvir atentamente a explicação da professora. -Nem por isso. É complicado. -A Língua Portuguesa. Porque precisamos dela para ler, falar -Sim. Porque a leitura faz falta para compreender a pergunta de Matemática. -Concordo. Porque se não se fizer uma boa leitura e interpretação dos textos, não se pode ter bons resultados nas outras disciplinas.
-Mais ou menos. -Gosto de resolver problemas de barras (manual escolar). Gosto menos de problemas de contas. -Sim. Para fazer contas, contar… -Algumas dificuldades. Porque é difícil. -Terceiro. Depois de Estudo do Meio e de Língua Portuguesa. -Em grupo com os amigos. -É preciso ouvir a explicação e treinar. -Não muito. É difícil. -As duas. Porque ambas são precisas. -Sim. Sobretudo na leitura. -Concordo. Porque ler, compreender, falar e escrever permitem ter bons resultados na Matemática.
Quadro A – Respostas dadas pelo Par A ao questionário
170
ANEXO 8
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Par B Questões
Ricardo Rui Pedro
11- Gostas da disciplina de Matemática? 12- O que gosta mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos? 13- Achas importante aprender Matemática? Porquê? 14- Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem da Matemática? Porquê? 15- Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia? 16- Na Matemática preferes trabalhar individualmente ou em grupo? 17- Na tua opinião o que é preciso para aprender bem Matemática? 18- Gostas de resolver problemas? Porquê? 19- Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou Língua Portuguesa? Porquê? 20- Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o ensino / aprendizagem da Matemática? Em que aspectos? 21- Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?
-Gosto muito. -Gosto mais de fazer contas. Nada. -Sim. Porque aprende-se a fazer contas… -Sim. -Colocaria em primeiro lugar. -Gosto mais de trabalhar sozinho. -É preciso aprender mais Português para aprender a fazer as outras coisas. -Gosto. Porque é importante. -Considero mais importante a Língua Portuguesa. Porque precisamos de perceber as outras coisas. -Sim. -Eu concordo com esta afirmação.
-Gosto. -Problemas de gráficos. Gosto menos de contas de dividir. -Sim. Porque em algumas profissões é preciso Matemática. -Sim. -Em segundo lugar. -Em grupo. -É preciso compreender. -Gosto mais ou menos. É um bocado difícil. -Língua Portuguesa. Porque assim não sabia Matemática e Estudo do Meio. -Sim. Porque assim se não soubesse ler não sabia Matemática e Estudo do Meio. -Sim. Pelas mesmas razões.
Quadro A – Respostas dadas pelo Par B ao questionário
171
ANEXO 9
Par C: Diogo e Alexandre
Par C Questões
Diogo Alexandre
11- Gostas da disciplina de Matemática? 12- O que gosta mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos? 13- Achas importante aprender Matemática? Porquê? 14- Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem da Matemática? Porquê? 15- Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia? 16- Na Matemática preferes trabalhar individualmente ou em grupo? 17- Na tua opinião o que é preciso para aprender bem Matemática? 18- Gostas de resolver problemas? Porquê? 19- Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou Língua Portuguesa? Porquê? 20- Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o ensino / aprendizagem da Matemática? Em que aspectos? 21- Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?
-Assim, assim. -Contas de dividir e de subtrair. Gosto menos de problemas. -Acho, porque é essencial na escola. -Sim, alguma dificuldade. -Colocaria em terceiro lugar. -Gosto mais de trabalhar em grupo. -Acho que é preciso estar com muita atenção e gostar dela. -Não. É difícil. -A Língua Portuguesa. Porque para saber Matemática temos primeiro de saber ler. -Sim. Na leitura dos exercícios. -Sim concordo.
-Gosto. -Gosto de fazer contas. Gosto menos… -Sim. Sem Matemática não sabíamos nada. -Tenho dificuldades. -Colocaria em terceiro, mas gosto da maneira que a minha professora me ensina. -Em grupo com os colegas. -Estudar muita Matemática e fazer muitas contas. -Não. -Matemática. Porque sem a Matemática não sabíamos nada. -Não. -Sim.
Quadro A – Respostas dadas pelo Par C ao questionário
172
ANEXO 10
Par D: Filipa e Pedro Miguel
Par D Questões
Filipa Pedro Miguel
11- Gostas da disciplina de Matemática? 12- O que gosta mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos? 13- Achas importante aprender Matemática? Porquê? 14- Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem da Matemática? Porquê? 15- Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia? 16- Na Matemática preferes trabalhar individualmente ou em grupo? 17- Na tua opinião o que é preciso para aprender bem Matemática? 18- Gostas de resolver problemas? Porquê? 19- Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou Língua Portuguesa? Porquê? 20- Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o ensino / aprendizagem da Matemática? Em que aspectos? 21- Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?
-Não muito. -Gosto mais de fazer contas. Gosto menos de problemas. -Acho que sim. Porque vamos precisar dela no futuro. -Só tenho um bocadinho de facilidade. Porque é difícil. -Eu colocaria a Matemática em último lugar, mas por vezes é divertida. -Eu gosto mais de trabalhar em grupo. -Eu penso que devo estar atenta e sobretudo estudar. -Não, porque é difícil. -A Língua Portuguesa. Para perceber os exercícios da Matemática, o Português é essencial. -Sim. Para saber ler bem os exercícios e percebê-los. -Sim. Eu concordo perfeitamente.
-Sim. -Gosto de escrever números romanos. Gosto menos de fazer problemas. -Sim. Para ter um cálculo mental bom e fazer contas difíceis. -Tenho alguma facilidade. -Colocaria a Matemática em segundo lugar. -Gosto mais de trabalhar a Matemática com os colegas. -É preciso muito gosto e perceber o ensino da professora. -Só de alguns, outros são muito difíceis. -A Língua Portuguesa. Porque aprender a ler é fundamental. -Sim. Em muitos aspectos. -Sim.
Quadro A – Respostas dadas pelo Par D ao questionário
173
ANEXO 10 - A
Análise dos questionários aplicados aos pares de estudo
No que concerne à relação dos alunos com a aprendizagem da Matemática, em
resposta à questão, “Na tua opinião, o que é preciso para aprender bem Matemática?”,
todos foram de opinião que esta disciplina era algo de muito sério, porque envolvia
muitos cuidados, particularmente “aprender mais Português” a atenção, o esforço, o
gosto, a compreensão e estudo.
Na questão, “Se tivesses que atribuir um lugar à Matemática, qual ocuparia?”, a
maioria dos alunos colocou a Matemática nos 1.º e 2.º lugar.
Na questão, “O que gostas mais de fazer na Matemática? E o que gostas menos?
Porquê?”, a maioria dos alunos referiu que gostava mais de fazer contas (operações
aritméticas) e que não gostavam nada de resolver problemas, por serem muito difíceis e
trabalhosos. Note-se que, na primeira sessão de trabalho com a investigadora, todos
referiram que gostavam muito de resolver problemas.
Na questão, “Achas importante aprender Matemática? Porquê?”, todos os alunos
referiram que aprender Matemática é realmente muito importante para a resolução de
problemas do quotidiano, para saber contar e fazer as contas e, como refere o Pedro
Miguel (Par D), “desenvolve o cálculo mental”. Quase todos os alunos associam a
aprendizagem da matemática às profissões a desempenhar no futuro.
Na questão, “Consideras que tens dificuldades ou facilidades na aprendizagem
da Matemática? Porquê?”, apesar das concepções que possuem sobre a disciplina, quase
todos os alunos referiram ter alguma facilidade na aprendizagem da Matemática.
Apenas o Alexandre (Par C) referiu ter dificuldades.
Na questão, “Na Matemática, preferes trabalhar individualmente ou em grupo?”,
todos referiram preferir o trabalho de grupo, excepto o Ricardo (Par B), que disse
preferir trabalhar sozinho. Refira-se, a propósito que, no início da resolução das tarefas,
em particular das introdutórias, este aluno teve muitas dificuldades em adaptar-se ao
trabalho com o seu par. Ao longo porém, do período de observação foi-se tornando mais
receptivo às opiniões e sugestões do colega.
Na questão, “Consideras que o domínio da Língua Portuguesa pode influenciar o
ensino/aprendizagem da Matemática? Em que aspectos?”, todos os alunos, à excepção
de um, que não respondeu, responderam afirmativamente, indicando vários aspectos,
desde a leitura dos enunciados e dos exercícios à sua compreensão.
174
Na questão, “Qual das disciplinas é mais importante para ti, Matemática ou
Língua Portuguesa? Porquê?”, quase todos os alunos indicaram a Língua Portuguesa,
porque é através dela que estabelecemos a comunicação, que efectuamos a leitura e a
escrita, indispensáveis na aprendizagem da Matemática, bem como de qualquer outra
disciplina. Alexandre (Par C), porém, referiu que “a Matemática é mais importante,
porque precisamos dela todos os dias, sem ela não conseguiríamos fazer nada”. Ao
considerar a Matemática importante, o aluno mostra que é influenciado pela opinião de
sua mãe e associa o grau de dificuldade sentida com a valorização da disciplina.
Na questão, “Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da
Língua Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?”, todos os alunos
responderam afirmativamente, argumentando que, antes de tudo, é preciso saber ler,
escrever, interpretar e compreender os textos matemáticos. O Alexandre (Par C), apesar
de ter respondido de forma afirmativa à questão, revelou, todavia, algumas dúvidas
acerca da compreensão das questões que lhe foram colocadas anteriormente.
175
ANEXO 11
Competências essenciais (ME, 2001) refere aspectos gerais e específicos da
competência matemática e de língua portuguesa que os alunos devem desenvolver:
Aspectos gerais de Língua Portuguesa
• Ser rigoroso na recolha e observação de dados linguísticos e objectivos na
procura de regularidades linguísticas e na formulação de generalizações
adequadas para as captar (cger 1 e 2);
• Transformar informação oral e escrita em conhecimento (cger 6);
• Usar estratégias de raciocínio verbal na Resolução de Problemas (cger 1 e 7);
• Exprimir-se oralmente e por escrito de uma forma confiante, autónoma e criativa
(cger 3, 9 e 10).
Aspectos específicos da Língua Portuguesa
• Familiaridade com o vocabulário e as estruturas gramaticais; conhecimento
de chaves linguísticas e não linguísticas para a identificação de objectivos
comunicativos;
• Capacidade de se exprimir de forma confiante, clara e audível, com
adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo;
• Conhecimento de vocabulário diversificado e de estruturas sintácticas de
complexidade crescente;
• Capacidade para decifrar de forma automática cadeias grafemáticas, para
localizar informação em material escrito e para apreender o significado
global de um texto curto;
• Conhecimento de técnicas básicas de organização textual;
• Capacidade de usar o conhecimento da língua como instrumento na
aprendizagem da leitura e da escrita;
• Conhecimento de regras gramaticais básicas.
Aspectos gerais da Matemática
• Desenvolver a capacidade de usar a matemática para analisar e resolver
situações problemáticas, para raciocinar e comunicar, assim como a auto-
confiança necessária para fazê-lo;
176
• A predisposição para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar situações
problemáticas, pensar de maneira lógica;
• O gosto e a confiança pessoal em realizar actividades intelectuais que envolvem
raciocínio matemático e a concepção de que a validade de uma afirmação está
relacionada com a consistência da argumentação lógica;
• A aptidão para discutir com outros e comunicar descobertas e ideias
matemáticas através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e
adequada à situação;
• Compreensão das noções de conjectura, teorema de demonstração, assim como
das consequências do uso de diferentes definições;
• A predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e a aptidão
para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros
cometidos e ensaiar estratégias alternativas;
• A aptidão para dar sentido a problemas numéricos e para reconhecer as
operações que são necessárias à sua resolução, assim com para explicar os
métodos e o raciocínio que foram usados;
• A compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e
amplitude, assim como e a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes
conceitos na resolução e formulação de problemas.
Aspectos específicos da Matemática
• A aptidão para dar sentido a problemas numéricos e para reconhecer as
operações que são necessárias à sua resolução, assim como para explicar os
métodos e o raciocínio que foram usados;
• A compreensão dos conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e
amplitude, assim como a aptidão para utilizar conhecimentos sobre estes
conceitos na resolução e formulação de problemas;
• A compreensão do processo de medição e a aptidão para fazer medições e
estimativas em situações diversas do quotidiano utilizando instrumentos
apropriados;
• A aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados
das interpretações feitas;
177
• A aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza
quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de
conclusões.
De acordo com o NCTM (2000), no âmbito deste estudo, na Matemática devem
considerar-se as seguintes normas:
Norma 1: A matemática como resolução de problemas
Usar a resolução de problemas como forma de abordagem para investigar e
compreender o conteúdo matemático
Formular problemas a partir de situações do quotidiano e de situações
matemáticas
Desenvolver e aplicar estratégias para resolver uma grande variedade de
problemas
Verificar e interpretar resultados no quadro proposto pelo problema original
Adquirir confiança para usar a matemática significativamente.
Norma 2: A matemática como comunicação
Relacionar materiais físicos, figuras e diagramas com as ideias matemáticas
Reflectir e clarificar o seu próprio pensamento sobre ideias e situações
matemáticas
Relacionar a linguagem comum com a linguagem matemática e com os símbolos
Compreender que representar, discutir, ler, escrever e ouvir matemática constitui
uma parte vital da aprendizagem e do uso da matemática
Formular conclusões lógicas
Usar modelos, factos conhecidos, propriedades e relações para explicar o seu
raciocínio
Justificar as suas respostas e processos usados para obter a solução.
Norma 4: Conexões matemáticas
Estabelecer conexões entre o conhecimento conceptual e o conhecimento
processual
Relacionar, umas com as outras, diferentes representações de conceitos e
procedimentos
Reconhecer relações entre diferentes tópicos da matemática
Aplicar a matemática a outras áreas do currículo
178
Usar a matemática na vida quotidiana.
Norma 14: Demonstração e o raciocínio
Reconhecer a demonstração e o raciocínio com aspectos fundamentais da
matemática
Fazer e investigar conjecturas matemáticas
Desenvolver e avaliar argumentos e justificações matemáticas
Seleccionar e usar vários tipos de raciocínio e métodos de justificação.
179
ANEXO 12
Quadro de desempenho dos alunos nas tarefas
Níveis de
desempenho
Indicadores
Nível
1
Não domina os conteúdos em Língua Portuguesa aos níveis de:
-leitura fluente dos enunciados matemáticos, tendo em conta a pontuação e as estruturas
gramaticais do texto;
-interpretação de questões orais relativas aos enunciados das tarefas;
-interpretação/compreensão de enunciados matemáticos;
-localização e retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
-recepção e decifração da mensagem;
-descoberta do sentido das palavras desconhecidas;
-estabelecimento de relações de significado entre palavras;
-conhecimento de vocabulário diversificado;
-compreensão, expressão e articulação daquilo que compreendem;
-compreensão, expressão e articulação das dificuldades que manifestam;
-expressão oral e escrita;
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de
enunciados;
-apreensão global da ideia do texto;
-discussão e comunicação das suas descobertas;
-explicação e descrição oral dos raciocínios usados na resolução de problemas;
-explicação e descrição escrita dos raciocínios usados na resolução de problemas;
Não domina os conteúdos matemáticos aos níveis de:
-conceitos matemáticos envolvidos;
-capacidade para procurar um sentido na interpretação das ideias;
-recolha e selecção de estratégias adequadas e diversificadas para a resolução de problemas;
-capacidades para inferir e comparar;
-cálculo mental;
-raciocínio matemático;
-explicitação oral/escrita dos passos seguidos para efectuar os cálculos;
Atitudes manifestadas:
-interesse e empenho na realização das tarefas;
-confronto de ideias com as dos outros;
-cooperação no trabalho em conjunto na procura da solução;
-persistência na resolução da tarefa;
-confiança no desenvolvimento das tarefas.
180
Nível
2
Domina com ajuda os conteúdos em Língua Portuguesa aos níveis de:
-leitura fluente dos enunciados matemáticos, tendo em conta a pontuação e as estruturas
gramaticais do texto;
-interpretação de questões orais relativas aos enunciados das tarefas;
-interpretação/compreensão de enunciados matemáticos;
-localização e retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
-recepção e decifração da mensagem;
-descoberta do sentido das palavras desconhecidas;
-estabelecimento de relações de significado entre palavras;
-conhecimento de vocabulário diversificado;
-compreensão, expressão e articulação daquilo que compreendem;
-compreensão, expressão e articulação das dificuldades que manifestam;
-expressão oral e escrita;
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de
enunciados;
-apreensão global da ideia do texto;
-discussão e comunicação das suas descobertas;
-explicação e descrição oral dos raciocínios usados na resolução de problemas;
-explicação e descrição escrita dos raciocínios usados na resolução de problemas;
Domina com ajuda os conteúdos matemáticos aos níveis de:
-conceitos matemáticos envolvidos;
-capacidade para procurar um sentido na interpretação das ideias;
-recolha e selecção de estratégias adequadas e diversificadas para a resolução de problemas;
-capacidades para inferir e comparar;
-cálculo mental;
-raciocínio matemático;
-explicitação oral/escrita dos passos seguidos para efectuar os cálculos;
Atitudes manifestadas:
-interesse e empenho na realização das tarefas;
-confronto de ideias com as dos outros;
-cooperação no trabalho em conjunto na procura da solução;
-persistência na resolução da tarefa;
-confiança no desenvolvimento das tarefas.
181
Nível
3
Domina bem os conteúdos em Língua Portuguesa aos níveis de:
-leitura fluente dos enunciados matemáticos, tendo em conta a pontuação e as estruturas
gramaticais do texto;
-interpretação de questões orais relativas aos enunciados das tarefas;
-interpretação/compreensão de enunciados matemáticos;
-localização e retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
-recepção e decifração da mensagem;
-descoberta do sentido das palavras desconhecidas;
-estabelecimento de relações de significado entre palavras;
-conhecimento de vocabulário diversificado;
-compreensão, expressão e articulação daquilo que compreendem;
-compreensão, expressão e articulação das dificuldades que manifestam;
-expressão oral e escrita;
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de
enunciados;
-apreensão global da ideia do texto;
-discussão e comunicação das suas descobertas;
-explicação e descrição oral dos raciocínios usados na resolução de problemas;
-explicação e descrição escrita dos raciocínios usados na resolução de problemas;
Domina bem os conteúdos matemáticos aos níveis de:
-conceitos matemáticos envolvidos;
-capacidade para procurar um sentido na interpretação das ideias;
-recolha e selecção de estratégias adequadas e diversificadas para a resolução de problemas;
-capacidades para inferir e comparar;
-cálculo mental;
-raciocínio matemático;
-explicitação oral/escrita dos passos seguidos para efectuar os cálculos;
Atitudes manifestadas:
-interesse e empenho na realização das tarefas;
-confronto de ideias com as dos outros;
-cooperação no trabalho em conjunto na procura da solução;
-persistência na resolução da tarefa;
-confiança no desenvolvimento das tarefas.
182
Nível
4
Domina perfeitamente os conteúdos em Língua Portuguesa aos níveis de:
-leitura fluente dos enunciados matemáticos, tendo em conta a pontuação e as estruturas
gramaticais do texto;
-interpretação de questões orais relativas aos enunciados das tarefas;
-interpretação/compreensão de enunciados matemáticos;
-localização e retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
-recepção e decifração da mensagem;
-descoberta do sentido das palavras desconhecidas;
-estabelecimento de relações de significado entre palavras;
-conhecimento de vocabulário diversificado;
-compreensão, expressão e articulação daquilo que compreendem;
-compreensão, expressão e articulação das dificuldades que manifestam;
-expressão oral e escrita;
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de
enunciados;
-apreensão global da ideia do texto;
-discussão e comunicação das suas descobertas;
-explicação e descrição oral dos raciocínios usados na resolução de problemas;
-explicação e descrição escrita dos raciocínios usados na resolução de problemas;
Domina perfeitamente os conteúdos matemáticos aos níveis de:
-conceitos matemáticos envolvidos;
-capacidade para procurar um sentido na interpretação das ideias;
-recolha e selecção de estratégias adequadas e diversificadas para a resolução de problemas;
-capacidades para inferir e comparar;
-cálculo mental;
-raciocínio matemático;
-explicitação oral/escrita dos passos seguidos para efectuar os cálculos;
Atitudes manifestadas:
-interesse e empenho na realização das tarefas;
-confronto de ideias com as dos outros;
-cooperação no trabalho em conjunto na procura da solução;
-persistência na resolução da tarefa;
-confiança no desenvolvimento das tarefas.
Quadro 3.2 – Níveis de desempenho dos alunos
Legenda: 1- Fraco; 2- Razoável; 3- Bom; 4- Excelente.
183
ANEXO 12 - A
Grelha das dificuldades dos alunos em resolução de problemas
Língua Portuguesa Matemática
-Confrontar opiniões próprias com as de outros;
-Descobrir, num contexto, o sentido de palavras
desconhecidas;
-Apreender o sentido global de um texto;
-Levantar hipóteses acerca do conteúdo de textos, a
partir de alguns dados;
-Estabelecer relações de significado entre palavras
(sinonímia, antonímia);
-Substituir palavras por outras com valor idêntico
ou contrário;
-Verificar a regra geral e as excepções mais
frequentes do género e do número;
-Comunicar oralmente com progressiva autonomia
e clareza;
-Exprimir-se por iniciativa própria, no âmbito da
turma para organização, gestão e avaliação do
trabalho, do tempo e dos conteúdos das
aprendizagens; para expor e justificar opiniões,
pedir esclarecimentos.;
-Interpretar enunciados de natureza diversificada
nas suas realizações verbal e não verbal;
-Reter informação a partir de um enunciado oral ou
escrito;
-Responder a questionários;
-Escrever e descrever os raciocínios usados;
-Ler com fluência de modo a compreender e
decodificar o conteúdo dos enunciados;
-Efectuar uma leitura tendo em atenção os sinais de
pontuação existentes;
-Usar os sinais de pontuação num enunciado
escrito.
-Numa recta graduada, dado o número
correspondente a um ponto, atribuir o número
correspondente a outro ponto;
-Procurar estratégias diferentes para efectuar um
cálculo;
-Explicitar oralmente e representar por escrito os
passos seguidos ao efectuar os cálculos;
-Utilizar material de apoio não estruturado e
estruturado, régua, geoplano;
-Representar linhas rectas/linhas curvas;
-Domínio dos quatro algoritmos;
-Ordenar números em sequências crescentes e
decrescentes;
-Reconhecer lados paralelos nas figuras
geométricas;
-Reconhecer ângulos nas figuras geométricas;
-Utilizar estratégias de resolução de problemas:
descobrir um padrão, trabalhar do fim para o
princípio, fazer um esquema ou um desenho, fazer
uma lista organizada, reduzir a um problema mais
simples, formular e testar uma conjectura;
-Percepção visual;
-Ler e interpretar o gráfico;
-Superar ideias pré-concebidas;
-Ser persistente;
-Ser autónomo.
Quadro 3.3 – Dificuldades reveladas pelos pares
184
ANEXO 13
Instrumentos para recolha de dados Descrição
Tarefas Problemas de processo, investigações matemáticas e
formulação de problemas.
Questionários Estruturados à professora e aos pares de estudo no início do
estudo.
Documento escritos dos alunos Resolução das tarefas propostas.
Notas de campo Registo escrito de observações feitas.
Registo áudio e vídeo Gravação das aulas em que foram resolvidas as tarefas
propostas.
Entrevistas Estruturadas no final da execução das tarefas aos alunos e à
professora.
Quadro 3.1 - Síntese descritiva dos instrumentos para recolha de dados
Fases da Intervenção Pedagógica
1.ª
etapa
Contacto com a
turma e pares
de estudo
- Aplicação de questionários;
-Resolução de tarefas introdutórias ou experimentais
(três tarefas de resolução de problema, uma tarefa de
investigação matemática.
- Observação participante e registo de algumas notas
de campo.
3
sessões
2.ª
etapa
Resolução de
problemas
- Resolução de problemas de processo;
- Registo de notas de campo;
- Gravações áudio e vídeo;
- Observação participante.
3
sessões
3.ª
etapa
Actividades de
investigação
- Resolução de problemas abertos;
- Gravações áudio e vídeo;
- Registo de notas de campo;
- Observação participante.
3
sessões
4.ª
etapa
Formulação de
problemas
- Formulação de problemas;
- Gravações áudio e vídeo;
- Registo de notas de campo;
- Observação participante.
2
sessões
Quadro 3.4 - Fases da intervenção pedagógica
185
Calendarização do estudo
Fases do estudo
Desenvolvimento das actividades
Calendarização
1.ª Fase
- Revisão de Literatura. -Julho, Agosto e Setembro
de 2006.
2.ª Fase
Preparação das
actividades e da
Intervenção Pedagógica
- Contacto com professora e com a turma;
- Construção de instrumentos;
- Aplicação de questionários à professora e
aos alunos da turma;
- Selecção dos grupos de observação;
- Selecção das tarefas a desenvolver.
- Setembro e Outubro de
2006.
3.ª Fase
Intervenção Pedagógica
- Implementação de tarefas introdutórias;
- Implementação das tarefas efectivas
(resolução de problemas, investigações
matemáticas e formulação de problemas);
- Observação dos pares de alunos envolvidos
no estudo;
- Registo áudio e vídeo da resolução das
tarefas;
- Entrevistas aos pares de alunos e à
professora da turma.
-Novembro, Dezembro de
2006.
-Janeiro e Fevereiro de
2007.
4.ª Fase
Análise dos dados e
elaboração do relatório
- Análise e interpretação dos dados;
- Elaboração do relatório do estudo.
-Janeiro, Fevereiro, Março,
Abril e Maio de 2007.
Quadro 3.5 – Calendarização do estudo
186
ANEXO 14
Tarefas introdutórias
Na primeira sessão, propositadamente, foi feita apenas observação participante.
A investigadora limitou-se a observar o desenrolar do trabalho dos diferentes pares da
turma, por considerar que o primeiro contacto com os alunos permitia começar a
conhecer aspectos importantes para o estudo, nomeadamente ritmos de trabalho de cada
par, observações e comentários feitos às tarefas apresentadas e, sobretudo, expressões
momentâneas relativas ao contacto com as tarefas aquando da sua resolução.
Também, durante as tarefas introdutórias não foi efectuado qualquer registo
áudio e vídeo, foram tirados, apenas, alguns apontamentos e feita uma observação
participante aos pares do estudo. A recolha dos diálogos foi possível, porque os pares
de estudo apresentavam ritmos de trabalho distintos.
1.ª sessão
No dia 2 de Novembro de 2006 procedeu-se ao início do estudo na sala de aula.
Após o intervalo da manhã, os alunos dispuseram-se em grupos de dois elementos e
foram confrontados com as tarefas seguintes:
Tarefa 20
No aniversário do Manuel, doze pessoas cumprimentam-se com um aperto
de mão. Quantos apertos de mão são trocados na festa se todos se
cumprimentarem uns aos outros?
Explica o teu raciocínio, utilizando palavras e/ou desenhos.
Tarefa 21
Os alunos da turma B estão encarregados de organizar as mesas para um
lanche da escola. Há cinco mesas quadradas que são todas do mesmo tamanho. As
mesas devem estar dispostas de modo que todos os lados se toquem
completamente. De que diferentes maneiras podem as mesas ser arranjadas?
Explica o teu raciocínio, utilizando palavras e/ou desenhos.
187
Exploração das tarefas
Tarefa 20
-De que comemoração fala o problema?
-Quantas pessoas foram à festa de aniversário do Manuel?
-Como se cumprimentam essas pessoas?
-Quantos apertos de mão são necessários para que todos se
cumprimentem?
Tarefa 21
-De que fala o texto?
-De que estão encarregados os alunos da turma B?
-Quantas mesas há disponíveis?
-Qual a forma dessas mesas?
-As mesas têm o mesmo tamanho ou tamanho diferente?
-Como devem estar dispostas as mesas?
-De que diferentes maneiras se podem dispor as mesas?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
Antes de iniciarem os trabalhos propostos, todos os pares haviam referido
manifestamente o gosto pela resolução de problemas, tendo-se verificado, portanto, por
parte dos mesmos, bastante interesse e empenho aquando da realização das tarefas. No
entanto, quando responderam ao questionário, alguns elementos dos pares referiram
não gostar de resolver problemas. Esta contradição nas respostas parece dever-se ao
facto de os alunos quererem agradar a investigadora, uma vez que ia desenvolver com
eles um trabalho nesse âmbito.
Para a resolução das tarefas 20 e 21, dois problemas de processo, houve
necessidade de explicar o que é um problema de processo, bem como as estratégias
utilizadas na sua resolução. Fez-se, ainda, referência às fases sugeridas por Pólya,
sobretudo, no que se refere à leitura dos enunciados dos problemas, de modo a permitir
que todos sejam capazes de compreender e interpretar os dados contidos nesses
mesmos enunciados e foram colocadas questões de interpretação relativas aos
enunciados.
Dos quatro pares de estudo, apenas um não foi capaz de resolver correctamente
a tarefa 20.
Na tarefa 21, os pares foram confrontados com o problema da falta de tempo,
uma vez que o segundo período da manhã tem somente a duração de uma hora. Para o
188
efeito, foram utilizadas, por todos os alunos, cinco unidades do material multibásico
que serviram para representar as mesas, de modo a facilitar o trabalho pretendido. A
utilização do material multibase fomentou o interesse pela resolução da tarefa.
Na resolução desta tarefa, o Par A (Rodolfo e Marta) sugeriu diversas
estratégias, nomeadamente o desenho, a procura de um padrão e a tabela.
Demonstraram grande capacidade de organização a nível de trabalho em conjunto,
propondo e discutindo, entre ambos, as estratégias mais adequadas para a resolução do
problema. Revelaram igualmente muita perspicácia e rapidez na execução da tarefa; no
entanto, não foram capazes de explicar por escrito os seus raciocínios, embora o tenham
feito oralmente. Foi dada a resposta ao problema como se fosse apenas esse o objectivo
pretendido. Na tarefa 21, o Par A (Rodolfo e Marta) desenhou ao pormenor com régua
e lápis, mas apesar da atitude positiva face à tarefa, apenas indicou onze maneiras
diferentes de dispor as mesas.
Embora tenha sugerido uma das estratégias possíveis, o desenho, o Par B
(Ricardo e Rui Pedro) não chegou a concluir a tarefa 20. Estes alunos demonstraram
muita insegurança e pouca capacidade de lidar com este tipo de tarefa. Revelaram
pouco à vontade em contacto com a tarefa, resultando, mesmo, um certo
constrangimento, por parte de ambos. Neste par de estudo, não foram proporcionados
momentos de discussão, porque os alunos revelaram-se pouco comunicativos e
sentiram-se pouco à vontade com esta situação nova. Pelos seus registos pode
constatar-se que o trabalho em conjunto não é sólido, uma vez que cada qual tem a sua
forma de pensar e de agir, efectuando registos diferentes e dessincronizados, quer na
tarefa 20 quer na tarefa 21. Nesta última, o par apresentou, apenas, seis maneiras de
dispor as mesas; no entanto, nem todas estavam correctas, verificando-se novamente a
falta de sintonia entre ambos, ao nível do trabalho de grupo. Também este par não se
preocupou em explicar o raciocínio, nem oralmente nem por escrito.
No Par C (Diogo e Alexandre) verificou-se pouca partilha de opiniões, porque o
Alexandre manifestou-se muito reservado, pouco comunicativo e pouco participativo
nas tarefas. Apesar de tudo, Diogo manteve-se sempre muito interessado e conseguiu
chegar a uma resposta. Na tarefa 21, este par conseguiu fazer o registo de doze
possibilidades diferentes de dispor as mesas. Uma vez mais foi ignorada a explicação
escrita do raciocínio na resolução das tarefas propostas.
Relativamente à tarefa 20, o Par D (Filipa e Pedro Miguel), efectuou um
esquema, onde representou doze pessoas, atribuindo a cada uma o respectivo número
189
de apertos de mão que tinha de dar. De seguida, elaboraram uma lista onde foram
representados sessenta e seis apertos de mão. Na tarefa 21, o par anotou catorze
possibilidades diferentes de dispor as mesas e divertiu-se nesta descoberta. Também
este par não se preocupou com a explicação do raciocínio usado. Aliás este problema
foi observado em todos os pares de estudo, o que mostra que os alunos não têm por
hábito explicar os passos da resolução dos problemas.
Terminada a resolução da tarefa 20, foi efectuada a dramatização dos apertos de
mão. Este processo permitiu uma melhor compreensão da tarefa, sobretudo para
aqueles que sentiram mais dificuldades na adopção de uma estratégia adequada e para
os que não a tinham concluído. Além da dramatização, foram sugeridas outras
estratégias, nomeadamente os desenhos ou esquemas, listas organizadas, padrão e
outras.
2.ª sessão
No dia 9 de Novembro, também no segundo período da manhã, foi apresentada
a tarefa seguinte:
Tarefa 5
Um futebolista jogou 5 épocas na mesma equipa. Durante essas épocas
marcou 75 golos. Em cada temporada marcou mais quatro golos que na
temporada anterior. Quantos golos marcou em cada temporada?
Explica como pensaste.
Antes do recreio, a professora da turma deixou as mesas organizadas e os
grupos orientados para que não houvesse perda de tempo, logo que se chegasse à sala.
Foi feita apenas a leitura da tarefa, deixando ao critério de cada par a exploração
conveniente da mesma, porque a investigadora achou pertinente para o estudo a recolha
de dados referente à resolução da tarefa, sem ter sido explorado o enunciado do
problema.
Par A: Rodolfo e Marta
Inicialmente, este par andou um pouco perdido, porque manifestou dificuldades
de compreensão do enunciado. Tendo ouvido a leitura feita pela investigadora, achou
190
que era o suficiente e partiu logo para o trabalho, esquecendo-se de um pormenor muito
importante para a resolução do problema, a leitura atenta e compreensão do enunciado.
Foi solicitado aos alunos que lessem novamente o enunciado do problema de modo a
que estes pudessem descobrir uma forma de o resolver. Por essa razão, à medida que
surgia alguma dúvida, o par procurava, atentamente no enunciado do problema, alguma
pista que o ajudasse na compreensão dos dados. A partir desse momento foi o par que
mais interesse deu ao enunciado, porque tomou consciência da importância da leitura
na resolução dos problemas. Este processo facilitou a resolução da tarefa proposta com
bastante tempo de avanço relativamente aos restantes pares de estudo.
M – É 75 a dividir por 5. R – (hesitante) É melhor fazermos uma grelha… M – Começamos por 15. I – Atenção que no final das épocas o futebolista tinha marcado 75 golos! M – Vamos tirar 4 ao 15! R – Se tirarmos ainda é pior… M – Vamos ler melhor o problema! R – É impossível dividir. M – Vou tentar de outra maneira… R – Bem, eu acho que é de menos! M – Vamos tentar então 75 menos 4 que dá 71. R – Porque estás a fazer o algoritmo? Eu ainda acho que é de “vezes”.
Entretanto, os dois alunos voltaram a experimentar a multiplicação e a divisão,
mas esquecendo-se do pormenor mais importante, a leitura e interpretação do problema
de modo a permitir a sua compreensão.
M – Vamos mas é fazer a minha conta! Então, 4 vezes 4 são 16 e se tirar 16 a 75 dá 59. Estes 59 foram os golos da primeira época, agora tenho que somar mais quatro na segunda época. Depois mais quatro até chegar à quinta época. À medida que o trabalho se foi desenrolando, os alunos foram tomando
consciência da importância da leitura na resolução dos problemas. Por essa razão,
sempre que surgia alguma dúvida, o par procurava, atentamente no enunciado do
problema, alguma pista que o ajudasse na compreensão dos dados. Este processo
facilitou a resolução da tarefa proposta com bastante tempo de avanço relativamente
aos restantes pares de estudo.
Para resolver a tarefa 5, este par desenhou a tabela, de acordo com a figura que
se segue.
191
Figura 1 – Resolução da tarefa 5 pelo Par A
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Este par, mal olhou para o enunciado da tarefa proposta, logo começou a
efectuar algoritmos de papel e lápis. Revelou muitas dificuldades na interpretação e
compreensão do enunciado, porque também não foi capaz de dispensar o tempo
necessário para a leitura do problema, acabando por não chegar a conclusão alguma.
R – Vamos multiplicar 75 por 5 para facilitar e dá 375. RP – Huum… R – Afinal é de dividir e dá 15 golos em cada época (referia sem convicção alguma). I – Reparem que o futebolista marcou mais quatro golos que na temporada anterior! Como é que conseguem 75 golos no final?
Estes dois alunos não perceberam a observação feita pela investigadora e
continuaram a somar quatro com quinze, obtendo no final cento e trinta e nove golos.
Apesar de ter sido pedido a estes alunos que lessem novamente o enunciado do
problema, como forma de melhorar a sua compreensão, esta sugestão não foi acatada
pelo par. Isto leva a crer que existe, ainda, uma barreira ou “fosso” como refere Lopes
(1970), entre a Língua Portuguesa e a Matemática, porque os alunos continuam a
separar as letras e os números. A leitura é algo que deve ser desenvolvido na disciplina
de Língua Portuguesa e as “contas” na Matemática. O conceito de interdisciplinaridade
192
ainda não foi completamente estabelecido no processo de ensino/aprendizagem, porque
ainda estão muito patentes as separações de conteúdos de uma e de outra área de
estudo.
Par C: Diogo e Alexandre
Este par revelou algumas dificuldades de compreensão do enunciado da tarefa
5, nomeadamente ao nível do vocabulário, mas foi devidamente esclarecido pela
investigadora, através das questões sobre o enunciado. No entanto, uma vez
compreendidos os dados do problema, os alunos conseguiram chegar a uma conclusão,
tendo utilizado, para tal, a estratégia de resolução do fim para o princípio.
D – Temporadas e épocas é a mesma coisa? I – Neste caso podem considerar-se sinónimas… D – Dos 75 golos marcados na quinta época, subtraem-se 4 golos. Assim, já sabemos que na quarta época esse jogador marcou 71 golos.
O par continuou este raciocínio até chegar à primeira época em que o jogador
tinha marcado 49 golos. Subtraíram sempre o número 4, referente aos golos, e depois
para verificar a resposta, partiu do número 49 e foi adicionando 4, num total de 5
épocas.
Devido ao comportamento reservado e pouco comunicativo do Alexandre, a sua
participação no trabalho de grupo era muito reduzida ou quase nula. Diogo, que
efectuava os cálculos em voz alta, exigiu a participação do colega, pedindo-lhe que
pensasse com ele. A atitude passiva do Alexandre foi melhorando pouco a pouco,
porque o Diogo estimulava-o a trabalhar, solicitando e exigindo a sua participação no
trabalho. Esta mudança de atitude perante o trabalho contribuiu para um melhor
desempenho nas tarefas desenvolvidas.
D – Já terminámos! I – Muito bem. Agora a última questão… D – Eu nem acredito que consegui resolver este problema! Embora não tivessem terminado a tarefa conforme haviam referido, por faltar
ainda a explicação escrita do raciocínio usado, Diogo manifestou um grande
contentamento e satisfação, porque o facto de resolver o problema era para ele um
grande passo. É importante acreditar que realmente a Matemática é para todos e não
apenas para alguns. Esta alegria deliberada representou, não só para o Diogo mas
também para os restantes pares de estudo, um incentivo para a resolução de problemas.
193
Par D: Filipa e do Pedro Miguel
Este par registou, por escrito, os dados fundamentais na resolução da tarefa:
Jogou 5 épocas; marcou 75 golos nessas 5 épocas; em cada época marcou mais 4 golos
que na época anterior; quantos golos marcou em cada temporada? Estes registos
explicitam a capacidade de lidar com este tipo de situações, resumindo os dados
principais e, por fim, a pergunta a que devem dar resposta.
PM – Se tirarmos 4 aos 75 golos, obtém-se 71 golos… F – Já sabemos quantos golos marcou na quarta época. Vamos continuar a tirar 4! PM – A palavra temporada significa o mesmo que a palavra época?
Os dois alunos ficaram um pouco confusos, no que se refere ao vocabulário do
enunciado, mas rapidamente resolveram a questão.
F – No futebol utilizam-se as duas palavras, vamos mas é continuar! O resultado desta subtracção é 67. PM – Estes 67 golos referem-se a que temporada? F – É a terceira temporada. Repara, já subtraímos duas vezes… PM – Vou registar para não esquecer! Depois tiramos novamente 4 e dá 63. Esta é a segunda temporada. F – 63 menos 4 dá 59. Serão estes os golos marcados na primeira temporada? PM – Deve ser, porque à bocado fiz a subtracção: 75 menos 59 e deu-me 16. Foi o número de vezes que nós subtraímos o 4. Após terem concluído a tarefa, os alunos apenas deram a resposta, referindo o
número de golos marcados em cada temporada, não respondendo à questão “explica
como pensaste”.
Esta sessão permitiu chegar a uma conclusão plausível. Por mais que os alunos
manifestem aptidão para efectuar uma leitura fluente no sentido de tornar facilitada a
apreensão global de um texto e a sua compreensão, se estes não forem persistentes na
procura do sentido das palavras e na interpretação dos dados, a resolução de problemas
continuará a ser um acto estranho e muito complexo. Isto mostra que os alunos, antes
de tudo, devem ser ensinados a ler, a interpretar e a explorar os enunciados
matemáticos como forma de preparação para a sua resolução, tal como Pólya
preconizara. Assim, a importância atribuída à leitura do problema possibilita o
desenvolvimento da capacidade de aquisição de conhecimentos sem intermediários,
bem como uma melhor compreensão do enunciado matemático.
Relativamente à questão, explica com pensaste, a comunicação representa aqui
uma mais valia. Como já foi referido, anteriormente, no capítulo II da revisão de
bibliografia, são vários os autores que consideram fundamental o aspecto da
comunicação na Matemática. Neste sentido, a capacidade de expressar com clareza o
194
raciocínio, permite, não só, o desenvolvimento da capacidade de entender os resultados
matemáticos, mas sobretudo, o desenvolvimento da capacidade de raciocínio,
proporcionando uma melhor compreensão na Matemática.
É posição unânime que todos os alunos desenvolvam as suas capacidades de
argumentação matemática, via oral ou escrita, por este processo permitir maior
facilidade no acesso ao conhecimento e compreensão dos conteúdos matemáticos.
Nas tarefas de carácter não rotineiro, conforme as apresentadas aos alunos,
podem explorar-se diversas estratégias de resolução e são mais susceptíveis de
promover a comunicação. Neste sentido, a interacção com os colegas pode facilitar a
aprendizagem de outras formas de pensar, a clarificação do seu pensamento e a
construção do conhecimento, como parece ter acontecido com os pares B e C. Através
da comunicação é possível a partilha de ideias matemáticas, consolidação e
aprofundamento dos conteúdos trabalhados. Por esta razão é contemplado nos
programas de Matemática, o factor comunicação, de forma a promover a compreensão
matemática, proporcionando a todos os alunos expressarem as suas ideias matemáticas
clara e coerentemente.
3.ª sessão
No dia 16 de Novembro, no turno da tarde, das 13.30 às 15.30 horas,
desenvolveu-se a terceira sessão, onde foram distribuídas, aos alunos da turma, mais
duas tarefas introdutórias, a tarefa seguinte:
Tarefa 6
O Joaquim e a Joana foram visitar uma quinta. O Joaquim contou 60 patas.
A Joana contou 24 cabeças. Os animais da quinta eram só vacas e galinhas,
descobre quantas vacas e quantas galinhas viram os dois amigos.
Explica com pensaste.
Nesta tarefa procedeu-se à leitura e exploração da tarefa, de modo a permitir
uma maior facilidade na interpretação pelos pares, através de questões colocadas sobre
o enunciado da tarefa, conforme o quadro que se segue.
195
Exploração da tarefa
Tarefa 6
-De que fala o texto?
-Como se chamam as personagens do texto?
-Onde foram o Joaquim e a Joana?
-O que fez o Joaquim?
-O que fez a Joana?
-Que espécies de animais viram eles?
-Quantas vacas viram eles? E quantas galinhas?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
Par A: Marta e Rodolfo
Para resolverem a tarefa 6 foi necessário fazer várias tentativas de modo a
encontrar o resultado correcto.
M – São 24 cabeças, logo são 24 animais. As vacas têm 4 patas e as galinhas têm duas patas! R – Vamos fazer por tentativa e erro!
O grupo foi seleccionando os números que lhes pareceram mais prováveis,
afirmando que começaram por 12 e foram descendo até encontrarem o número certo de
vacas e de galinhas.
R – Deu-nos 6 vacas e 18 galinhas… M – Se multiplicarmos 6 vacas pelo número de patas que são 4, o resultado é 24. Do mesmo modo, se multiplicarmos 18 galinhas por 2 que é o número de patas, dá 36 patas. Somando 24 com 36, dá precisamente 60 patas. R – Agora se queremos ver se o número de cabeças corresponde, é preciso somar 6 vacas com 18 galinhas que dá 24 cabeças ou animais.
O par referiu oralmente que necessitou de efectuar várias tentativas para chegar
a esta conclusão, no entanto não explicou, por escrito, os passos desta resolução.
Par B: Ricardo e Rui Pedro
Embora tenha andado um pouco perdido, traçou uma estratégia diferente dos
restantes grupos de observação. Efectuou uma lista organizada dos animais,
nomeadamente das galinhas, das vacas e das respectivas patas. Começou por referir que
duas patas correspondem a uma galinha e assim sucessivamente até chegar às 36 patas
correspondentes a 18 galinhas. A par desta lista, o grupo, elaborou outra relativa às
vacas. Assim, 4 patas correspondiam a uma vaca e foi seguido este raciocínio até chegar
196
às 6 vacas, conforme se pode observar na figura seguinte:
Figura 2 – Resolução da tarefa 6 pelo Par B
Apesar de ter apresentado uma forma diferente de resolver o problema e de ter
sido incitado a explicar o raciocino usado, este par não deu importância alguma a esta
questão.
Par C: Diogo e Alexandre
Seguiu o seguinte raciocínio: 24 animais a dividir por 4 patas dá 6 vacas; 24
animais a dividir por 2 patas dá 12 galinhas. Concluiu então que, dos 24 animais, 6 eram
vacas e 12 eram galinhas.
Este raciocínio foi bastante rápido, quase intuitivo; no entanto, o par revelou
muitas dificuldades em prosseguir a resolução da tarefa.
D – Mas 6 vacas mais 12 galinhas dá 18 animais! Então para chegar a 24 ainda faltam 6 animais… Como é que eu sei agora, se vão ser vacas ou galinhas? I – Certamente pelo número de patas…
197
D – Mas, mesmo assim continuo a não saber o número de vacas e o número de galinhas!...
A dada altura, o grupo bloqueou por completo, não conseguindo prosseguir a
resolução da tarefa, porque, embora estivesse consciente do número de animais, as 60
patas dos animais faziam-lhe muita confusão. Principalmente o Diogo continuou a
insistir que o problema não lhe fornecia os dados necessários para conseguirem resolvê-
lo.
As dificuldades detectadas parecem ser devidas essencialmente à pouca
capacidade de ler e compreender os dados do enunciado. O par não foi capaz de
perceber que o número de vacas e de galinhas dependia dos números 24 e 60. Apesar de
ter descoberto o número de animais existentes, não foi capaz de relacionar estes animais
com as 60 patas.
Par D: Filipa e Pedro Miguel
Fez várias tentativas até encontrar a solução do problema. Começou por
multiplicar 12 por 2 e 12 por 4. A soma dos dois produtos deu 72. Então, rapidamente
compreenderam que havia 12 patas a mais.
F – Vamos partir o número 24 a meio. Agora multiplicamos 12 por 2 que dá 24 e multiplicamos, também, 12 por 4 que dá 48. Então 24 e 48 juntos dá 72. PM – Mas como só há 60 patas, é preciso tentar outro número. É que ainda há 12 patas a mais. F – Então, pegámos no número 17 e fazemos a mesma coisa. Primeiro multiplicamos 17 por 2 e depois 17 por 4. Mas… ainda não foi desta vez, porque 34 mais 28 dá 62. Ainda temos 2 patas a mais. PM – Vamos tentar de novo!... Experimentamos 18 vezes 2 e 6 vezes 4. Encontramos a solução… Se somarmos 36 patas e 24 patas dá 60 patas… F – Também se somarmos 18 animais e 6 animais, o resultado é 24 animais ou cabeças como diz o problema.
À medida que surgia alguma dúvida, o par procurava atentamente o seu
esclarecimento no enunciado do problema. Na resolução desta tarefa foi o par que mais
interesse deu à leitura do enunciado, justificando-se, de certo modo, a facilidade com
que foi capaz de lidar com o problema.
Relativamente à tarefa seguinte, uma investigação matemática, achou-se por bem
que fosse resolvida em simultâneo pelo grande grupo. Até porque nenhum dos alunos
presentes refere ter conhecimento da resolução de uma actividade deste género.
Aproveitou-se para explorar o “novo” conceito e conversar sobre aspectos referentes às
investigações matemáticas, bem como as fases previstas por Vale e Pimentel (2004),
para a sua resolução.
198
Tarefa 23
Descobre relações interessantes na tabuada do 5.
Exploração da tarefa
Tarefa 23
-O que são relações?
-Como terminam os produtos?
-Os produtos são números pares ou números ímpares?
-Como aparecem registados os produtos?
-Qual é a sequência dos números?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
Embora a proposta fosse feita a todos os alunos da turma, apenas dois dos pares
de estudo arriscaram algumas sugestões.
A Marta do Par A disse: “é uma contagem de números de cinco em cinco,
terminando em zero ou cinco. Quanto aos produtos, começa por um número ímpar,
logo de seguida é um número par e assim sucessivamente até ao final, terminando com
um número par”.
A Filipa do Par D referiu o seguinte: “esta tabuada começa e acaba com o
número 5. Em 5 vezes 2 e 5 vezes 3, os produtos iniciam por 1; em 5 vezes 4 e 5 vezes
5, os produtos iniciam por 2; em 5 vezes 6 e 5 vezes 7, os produtos iniciam por 3; em 5
vezes 8 e 5 vezes 9, os produtos iniciam por 4. Tal começou, também acaba com o
número 5”.
Não havendo novos dados, a investigadora sugeriu que adicionassem os
produtos de modo a que pudessem fazer novas descobertas, explicando como deveriam
proceder. No entanto, nenhum dos alunos foi capaz de apresentar o resultado da
sugestão lançada.
O Rodolfo do Par A, repetindo a ideia da Filipa, explicou que: “Nesta tabuada,
verifica-se dois produtos começados por 1; dois produtos começados por 2; dois
produtos começados por 3; dois produtos começados por 4 e dois produtos começados
por 5, o primeiro e o último”. Em diálogo sugeriram que fossem descobertas novas
relações, quer na tabuada do 5, quer nas restantes outras, como trabalho de casa.
199
ANEXO 15
Tarefa 8
Dois caracóis estão distanciados entre si 50 metros, frente a frente. Cada
caracol decide ir em linha recta ao encontro do outro. Um caracol anda três metros
por dia e o outro anda dois metros por dia. Ao fim de quantos dias se encontram?
Quantos metros andou cada caracol?
Explica como pensaste.
Tarefa 13
Estavam nove meninos no recreio a brincar juntos.
A professora viu que estavam em três filas mas que cada fila tinha quatro
meninos…
Como é isto possível?
Agora estão a brincar 12 meninos e a professora vê quatro filas de quatro
meninos e depois vê seis filas de quatro meninos.
Explica como pensaste, usando palavras e/ou desenhos.
Exploração das tarefas de resolução de problemas
Tarefa 8
-De que animais nos fala o texto? -Quantos metros separa os dois caracóis? -Como se encontram dispostos os caracóis? -O que decide fazer cada caracol? -Quantos metros percorre por dia cada caracol? -Seguindo este ritmo, ao fim de quantos dias se encontram os caracóis? -Terão percorrido o mesmo número de metros? -Quantos metros andou cada caracol?
Tarefa 13
-Onde se passa a história de que nos fala o texto? -Quantos meninos estavam a brincar juntos? -Quantas filas viu a professora? -Quantos meninos havia em cada fila? -Como é isto possível? -Quantos meninos estão agora a brincar? -Quantas filas vê agora a professora? -Quantos meninos tem cada fila? -Como é isto possível? -Quantas filas vê a professora de seguida? -Quantos meninos tem cada fila? -Como é isto possível?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
200
ANEXO 16
Tarefa 9
O José foi comprar um sorvete com duas bolas de sabores diferentes.
Quando chegou à gelataria verificou que havia 5 sabores: morango, ananás,
banana, chocolate, limão. De quantas maneiras diferentes pode o José comprar o
sorvete?
Afinal o José decidiu comprar um sorvete com três bolas de sabores
diferentes. De quantas maneiras diferentes pode o José comprar o sorvete?
Explica como pensaste.
Tarefa 11
A Maria decidiu escrever por ordem crescente os números inteiros de 1 a
500. Entretanto teve de ir jantar e parou exactamente depois de escrever 501
algarismos.
Qual o último número que a Maria escreveu?
Quantos números pares escreveu a Maria?
Explica como resolveste.
Exploração das tarefas de resolução de problemas
Tarefa 9
-De que fala o problema? -O que foi o José comprar? -O que verificou o José quando chegou à gelataria? -Com duas bolas de sabores diferentes, de quantas maneiras diferentes pode o José comprar o gelado? -O que decidiu fazer afinal o José? -Com três bolas de sabores diferentes, de quantas maneiras diferentes pode o José comprar o gelado?
Tarefa 11
-O que decidiu fazer a Maria? -O que interrompeu a actividade da Maria? -Quantos algarismos escreveu ela? -Qual foi o último número que a Maria escreveu? -Quantos números pares escreveu? -O que é um algarismo? -O que é um número?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
201
ANEXO 17
Tarefa 12
Era uma vez um pai e dois filhos que queriam atravessar um rio que não tinha
qualquer ponte. Então viram um homem com um barco a remos.
O homem emprestou-lhes o barco dizendo-lhes que nele só cabem duas
crianças ou um adulto de cada vez. Era um barco pequeno e fácil de remar por
uma só criança se fosse preciso.
O dono do barco teve pena deles e ainda lhes disse que poderiam deixar o
barco na outra margem.
Como é que o pai e os filhos fizeram para passar o rio num barco tão
pequeno?
Quantas travessias foram feitas?
Usa o material para resolveres o problema.
Explica o teu raciocínio.
Podes usar palavras e/ou desenhos.
Tarefa 17
Quando a Ana resolveu aprender canto, já sabia quatro canções. Ao fim da
primeira semana de aulas de canto, já sabia cinco canções. No final da segunda
semana, sabia sete e no final da terceira semana sabia dez. Se continuar a aprender
a este ritmo, quantas canções saberá a Ana ao fim de quinze semanas?
Explica o teu raciocínio.
202
Exploração das tarefas de resolução de problemas
Tarefa 12
-De que fala o problema?
-Que queriam eles fazer?
-Como atravessaram o rio se não havia ponte?
-Quantas pessoas podia levar o barco?
-O barco pode levar o pai e um filho?
-O barco pode levar os dois filhos de uma só vez?
-O que lhes disse o dono do barco?
-Como fizeram pai e filhos para passar o rio num barco tão pequeno?
-Quantas travessias foram necessárias?
Tarefa 17
-De que fala o problema?
-Quantas canções sabia a Ana quando resolveu aprender canto?
-E no final da primeira semana de canto?
-Quantas canções aprendeu nessa semana?
-No final da segunda semana, quantas canções sabia?
-Quantas canções aprendeu a mais que na semana anterior?
-No final da terceira semana, quantas canções sabia a Ana?
-Nesta semana, quantas canções aprendeu a mais que na semana
anterior?
-Se este ritmo se mantiver, quantas canções saberá a Ana no final da
décima quinta semana?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
203
ANEXO 18
Tarefa 24
A dona Rosa vai pôr a secar muitos guardanapos.
Ajuda a dona Rosa a descobrir quantas molas são necessárias para
pendurar 6 guardanapos.
Agora, quantas serão precisas para pendurar 10, 15, 17 e 20 guardanapos?
Regista conforme pensaste.
Exploração da tarefa de investigação matemática
Tarefa 24
-Como se chama a personagem do problema?
-O que vai ela fazer?
-O que te pede o enunciado?
-Quantas molas serão necessárias para pendurar os guardanapos
referidos?
-Gastar-se-á o mesmo número de molas ou o número de molas
varia conforme o número de guardanapos?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
204
ANEXO 19
Tarefa 25 Constrói o maior número possível de quadrados de dominó, em que a soma
das pintas em cada lado sejam as mesmas.
Regista o que conseguiste.
Quantos quadrados consegues fazer?
Qual é o valor mínimo da soma?
E o máximo?
Exploração da tarefa de investigação matemática
Tarefa 25
-Que te pede para fazer este enunciado?
-O que são quadrados de dominó?
-O que é preciso para fazer um quadrado de dominó?
-Quantos quadrados será possível construir?
- Qual será o valor mínimo da soma do quadrado?
-Qual será o valor máximo da soma do quadrado?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
205
ANEXO 20
Tarefa 26 Todos os alunos vão fazer Xs no geoplano.
Quantos Xs apareceram no geoplano?
És capaz de definir o que é um X?
Exploração da tarefa de investigação matemática
Tarefa 26
-Como se faz um X no geoplano?
-A partir de que figuras se poderá construir um X no geoplano?
-Quantos Xs consegues fazer no geoplano?
- O que é um X?
Quadro 1 – Questões colocadas aos alunos
206
ANEXO 21
Tarefa 27 - Formulação de problemas
5ª feira
2ª feira
3ª feira
4ª feira
6ª feira
= ______
Quantidade de Relógios
Dia da Semana
207
ANEXO 22
Tarefa 28 – Formulação de problemas
208
ANEXO 23
Figura 3 – Resolução da tarefa 8 pelo Par A
209
ANEXO 24
Figura 4 – Resolução da tarefa 12 pelo Par
210
ANEXO 25
Figura 5 – Resolução de parte da tarefa 9 pelo Par D
211
ANEXO 26
Figura 6 – Resolução da tarefa 17 pelo Par D
212
ANEXO 27
Figura 7 – Resolução da tarefa 26 pelo Par A
213
ANEXO 28
Texto 1 –Formulação do problema (tarefa 27) pelo Par A
Texto 2 – Formulação do problema (tarefa 28) pelo Par A
214
ANEXO 29
Texto 3 – Formulação do problema (tarefa 27) pelo Par B
Texto 4 – Formulação do problema (tarefa 28) pelo Par B
215
ANEXO 30
Texto 5 – Formulação do problema (tarefa 27) pelo Par C
Texto 6 – Formulação do problema (tarefa 28) pelo Par C
216
ANEXO 31
Texto 7 – Formulação do problema (tarefa 27) pelo Par D
Texto 8 – Formulação do problema (tarefa 28) pelo Par D
217
ANEXO 32
Par A
Tarefas Competências manifestadas em Língua
Portuguesa
Competências manifestadas em
Matemática
8, 13, 9, 11, 12 e
17
-aptidão para ler fluentemente, permitindo a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -reconhecer os domínios lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da oralidade e da escrita; -exprimir-se de forma confiante, clara e audível, com adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo; -usar estratégias de raciocínio verbal na resolução de problemas; -discutir e comunicar oralmente com os outros as suas descobertas.
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos: vértices, linha recta/curva, segmento de recta, tabuadas e os algoritmos (multiplicação, subtracção, adição e divisão).
24, 25 e 26
Foram manifestadas as competências enumeradas nas tarefas de resolução de problemas.
-aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões.
27 e 28
-aptidão para escrever com a devida correcção ortográfica, enunciados relacionados com as figuras apresentadas; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
-formular problemas a partir de
situações matemáticas.
Quadro C– Competências manifestadas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
Par A
Tarefas Dificuldades reveladas na Língua Portuguesa
Dificuldades reveladas na Matemática
8, 13 e 9
-demonstração/exposição escrita dos raciocínios usados na resolução das tarefas.
-aplicação de conceitos de medição; -ao nível da percepção visual; -em superar ideias pré-concebidas.
11
-interpretação/compreensão do enunciado, porque manifestaram dificuldades no vocabulário, números e algarismos; -demonstração/exposição escrita dos raciocínios usados na resolução das tarefas.
27 -Interpretar/compreender o gráfico. Quadro D – Dificuldades reveladas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
218
ANEXO 33
Quadro de desempenho na resolução de problemas - Par A
Tarefas Indicadores
8 13 9 11 12 17
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
4 4 4 3 4 4
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
4 4 4 2 4 4
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
4 4 4 1 4 4
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
4 4 4 2 4 4
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
4 4 4 2 4 4
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
4 4 4 3 4 4
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 4 4 4 2 4 4
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 4 4 4 1 4 4
-manifestou facilidade na descoberta do sentido das palavras desconhecidas; 4 4 4 2 4 4
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
4 4 4 2 4 4
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
4 4 4 3 4 4
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 4 4 4 3 4 4
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas;
4 4 4 3 4 4
-manifestou total interesse e empenho na realização da tarefa, porque recorreu com frequência ao enunciado, de modo a compreender todos os dados;
4 4 4 4 4 4
-confrontou ideias entre si; 4 4 4 3 4 4
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução (enquanto Rodolfo traçava as viagens efectuadas, Marta registava o número das mesmas);
4 4 4 3 4 4
-manifestou persistência no trabalho; 4 4 - 4 4 4
-identificou sempre estratégias adequadas para a resolução das tarefas; 4 3 4 1 4 4
-manifestou bom cálculo mental; 4 - 4 1 - 4
-manifestou bom raciocínio; - 2 4 2 4 4
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 4 4 3 - 4
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 4 4 3 - 4
-explicou o raciocínio usado oralmente; 3 3 3 - 4 4
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 3 - 4 4
Quadro 3 – Desempenho dos alunos na resolução de problemas Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
219
ANEXO 33 –A
Quadro de desempenho nas tarefas de investigação matemática - Par A
Tarefas Indicadores
24 25 26
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
4 4 4
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
4 4 4
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
4 4 4
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
4 4 4
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
4 4 4
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
4 4 4
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 4 4 4
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 4 4 4
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
4 4 4
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
4 4 4
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 4 4 4
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas; 4 4 4
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente na execução das tarefas;
4 4 4
-confrontou ideias próprias com as de outros; 4 4 4
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 4 4 4
-capacidade de usar as fases previstas nas actividades de investigação matemática; 4 4 4
-manifestou bom cálculo mental; 3 4 4
-manifestou bom raciocínio; 3 4 4
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 4 4 4
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 4 4 4
-explicou o raciocínio usado oralmente; 4 4 4
-explicou o raciocínio usado por escrito. 2 3 4
Quadro 4 – Desempenho dos alunos nas actividades de investigação matemática
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
220
ANEXO 33 - B
Quadro de desempenho na formulação de problemas - Par A
Tarefas Indicadores
27 28
-capacidade de interpretação/compreensão das figuras (gráfico) apresentadas; 3 4
-domínio de conceitos matemáticos envolvidos; 3 4
-capacidade de aplicação e associação de novos conceitos matemáticos; 4 4
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da escrita de textos; 4 4
-estruturação das ideias e das frases; 4 3
-utilização devida dos sinais de pontuação em situações de Formulação de Problemas; 3 1
-capacidade de escrita legível com correcção ortográfica do vocabulário relacionado com as figuras apresentadas;
4 4
-capacidade de usar a escrita como substituto do oral; 4 4
-capacidade de respeitar as regras elementares de concordância; 4 4
-capacidade de usar frases complexas para exprimir sequências e relações; - -
-manifestou total interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente no seu desenvolvimento e na sua conclusão;
4 4
-cooperou no trabalho de grupo na execução da tarefa; 4 4
-manifestou capacidade de confronto de ideias e opiniões. 4 4
Quadro 5 – Desempenho dos alunos na formulação de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
221
ANEXO 34
Par B Tarefas Competências manifestadas na
Língua Portuguesa Competências manifestadas na Matemática
8, 13, 9, 11, 12 e 17
-aptidão para efectuar leituras fluentes; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos;
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos: vértices, linha recta/curva, segmento de recta, tabuadas e os algoritmos (multiplicação, subtracção, adição e divisão).
24, 25 e 26
Foram manifestadas as competências enumeradas nas tarefas de resolução de problemas.
-aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões;
27 e 28
-reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
-formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 1 – Competências manifestadas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
Par B Tarefas Dificuldades reveladas na Língua
Portuguesa Dificuldades reveladas na Matemática
8 -pouco comunicativos entre si. -estratégia adequada (tarefas 9, 13 e 17).
9, 11, 12, 24, 25 e 26
-interpretação/compreensão dos enunciados em geral e dos enunciados (tarefa 9 e 11) devido à dificuldade ao nível do vocabulário: sorvetes e gelataria; números e algarismos.
-erraram a contagem dos números e não corrigiram por serem pouco persistentes (tarefa 11); -percepção visual (tarefa 13); -conceitos envolvidos e na comunicação escrita dos raciocínios usados.
27
-estruturação de ideias, construção frásica, erros ortográficos abundantes e má utilização dos sinais de pontuação.
-interpretação/compreensão do gráfico.
Quadro 2 – Dificuldades reveladas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
222
ANEXO 35
Quadro de desempenho na resolução de problemas - Par B
Tarefas Indicadores
8 13 9 11 12 17
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
2 1 2 1 1 2
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
1 1 1 1 2 2
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
1 1 1 1 2 2
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
1 1 1 1 2 2
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
1 1 1 1 2 2
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
1 1 1 1 2 1
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 1 1 1 1 2 2
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 1 1 1 1 1 2
-manifestou facilidade na descoberta do sentido das palavras desconhecidas; 1 1 1 1 1 2
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
1 1 1 1 1 2
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
1 1 1 1 1 2
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 2 2 2 2 2
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas;
1 1 1 2 2 1
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque recorreu com frequência ao enunciado, de modo a compreender todos os dados;
1 1 1 2 3 2
-confrontou ideias entre si; 1 1 1 2 2 1
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 1 1 1 2 2 2
-manifestou persistência no trabalho; 1 1 1 1 2 2
-identificou sempre estratégias adequadas para a resolução das tarefas; 1 2 2 2 2 3
-manifestou bom cálculo mental; 2 - - 1 - 2
-manifestou bom raciocínio; - 2 1 1 2 2
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 2 - 2 - 2
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 - - 2 - 2
-explicou o raciocínio usado oralmente; 1 1 1 1 2 2
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 1 1 2 1
Quadro 3 – Desempenho dos alunos na resolução de problemas Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
223
ANEXO 35 - A
Quadro de desempenho nas actividades de investigação matemática - Par B
Tarefas Indicadores
24 25 26
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
1 1 1
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
1 1 1
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
1 2 1
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
1 2 1
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
1 2 1
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
2 2 2
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 1 2 2
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 1 2 2
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
1 2 2
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
1 1 1
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 2 2 2
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas; 1 1 2
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente na execução das tarefas;
2 3 2
-confrontou ideias próprias com as de outros; 2 2 2
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 2 2 2
-capacidade de usar as fases previstas nas actividades de investigação matemática; 2 2 2
-manifestou bom cálculo mental; 1 2 1
-manifestou bom raciocínio; 1 2 1
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 2 1
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 1 1
-explicou o raciocínio usado oralmente; 2 2 2
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 1
Quadro 4 – Desempenho dos alunos nas actividades de investigação matemática
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
224
ANEXO 35 -B
Quadro de desempenho na formulação de problemas - Par B
Tarefas Indicadores
27 28
-capacidade de interpretação/compreensão das figuras (gráfico) apresentadas; 1 3
-domínio de conceitos matemáticos envolvidos; 2 3
-capacidade de aplicação e associação de novos conceitos matemáticos; 1 2
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da escrita de textos; 1 3
-estruturação das ideias e das frases; 1 3
-utilização devida dos sinais de pontuação em situações de Formulação de Problemas; 1 2
-capacidade de escrita legível com correcção ortográfica do vocabulário relacionado com as figuras apresentadas;
1 3
-capacidade de usar a escrita como substituto do oral; 1 3
-capacidade de respeitar as regras elementares de concordância; 2 3
-capacidade de usar frases complexas para exprimir sequências e relações; - -
-manifestou total interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente no seu desenvolvimento e sua conclusão;
2 4
-cooperou no trabalho de grupo na execução da tarefa; 2 3
-manifestou capacidade de confronto de ideias e opiniões. 2 3
Quadro 5 – Desempenho dos alunos na formulação de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
225
ANEXO 36
Par C
Tarefas Competências manifestadas na Língua Portuguesa
Competências manifestadas na Matemática
8, 13, 9, 11, 12 e 17
-aptidão para efectuar leituras fluentes; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos;
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos: vértices, linha recta/curva, segmento de recta, tabuadas e os algoritmos (multiplicação, subtracção, adição e divisão).
24, 25 e 26
Foram manifestadas as competências enumeradas nas tarefas de resolução de problemas.
-aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões;
27 e 28
-reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas.
-aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 1 – Competências manifestadas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
Par C
Tarefas Dificuldades reveladas na Língua Portuguesa
Dificuldades reveladas na Matemática
8, 13, 9, 11, 12 e 17
-interpretação/compreensão dos enunciados; -vocabulário pouco diversificado.
-pouca autonomia; -comunicação escrita dos raciocínios.
24, 25 e 26 -comunicação dos raciocínios. 27 e 28 -regras elementares de concordância;
incorrecções ortográficas.
Quadro 2 – Dificuldades reveladas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
226
ANEXO 37
Quadro de desempenho na resolução de problemas - Par C
Tarefas Indicadores
8 13 9 11 12 17
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
1 1 1 1 1 2
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, permitindo-lhes a resolução das tarefas;
2 2 1 1 1 2
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
2 2 2 1 2 2
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
1 1 1 1 1 2
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
2 2 2 2 2 2
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
2 2 2 2 1 2
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 2 2 2 2 1 2
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 2 2 2 1 1 2
-manifestou facilidade na descoberta do sentido das palavras desconhecidas; 2 2 2 1 2 2
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
2 2 2 2 2 2
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
2 2 2 2 2 2
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 2 2 2 2 2 2
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas;
1 2 3 2 2 2
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque recorreu com frequência ao enunciado, de modo a compreender todos os dados;
1 2 2 2 2 2
-confrontou ideias entre si; 1 2 3 2 2 2
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 1 2 3 2 2 2
-manifestou persistência no trabalho; 2 2 2 2 2 2
-identificou sempre estratégias adequadas para a resolução das tarefas; 2 2 - 2 2 3
-manifestou bom cálculo mental; 2 - - - - -
-manifestou bom raciocínio; 2 1 1 1 2 3
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 2 - 1 - -
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 2 - 1 - -
-explicou o raciocínio usado oralmente; 1 1 1 1 2 3
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 1 1 2 3
Quadro 3 – Desempenho dos alunos na resolução de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
227
ANEXO 37 -A
Quadro de desempenho nas actividades de investigação matemática - Par C
Tarefas Indicadores
24 25 26
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
1 2 3
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
3 2 3
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
3 2 3
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
2 2 3
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
2 2 3
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
3 2 2
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 3 2 3
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 4 2 3
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
2 2 2
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
2 2 3
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 2 2 2
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas; 3 2 3
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente na execução das tarefas;
2 3 3
-confrontou ideias próprias com as de outros; 2 2 2
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 2 3 3
-capacidade de usar as fases previstas nas actividades de investigação matemática; 3 3 3
-manifestou bom cálculo mental; 2 3 3
-manifestou bom raciocínio; 1 3 3
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 2 2 3
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 2 2 3
-explicou o raciocínio usado oralmente; 3 2 3
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 1
Quadro 4 – Desempenho dos alunos nas actividades de investigação matemática
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
228
ANEXO 37 – B
Quadro de desempenho na formulação de problemas - Par C
Tarefas Indicadores
27 28
-capacidade de interpretação/compreensão das figuras (gráfico) apresentadas; 3 3
-domínio de conceitos matemáticos envolvidos; 3 2
-capacidade de aplicação e associação de novos conceitos matemáticos; 3 2
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da escrita de textos; 2 2
-estruturação das ideias e das frases; 2 2
-utilização devida dos sinais de pontuação em situações de Formulação de Problemas; 2 3
-capacidade de escrita legível com correcção ortográfica do vocabulário relacionado com as figuras apresentadas;
3 1
-capacidade de usar a escrita como substituto do oral; 2 2
-capacidade de respeitar as regras elementares de concordância; 1 1
-capacidade de usar frases complexas para exprimir sequências e relações; - -
-manifestou total interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente no seu desenvolvimento e sua conclusão;
3 3
-cooperou no trabalho de grupo na execução da tarefa; 3 3
-manifestou capacidade de confronto de ideias e opiniões. 3 3
Quadro 5 – Desempenho dos alunos na formulação de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
229
ANEXO 38
Par D Tarefas Competências manifestadas na Língua
Portuguesa Competências manifestadas na Matemática
8, 13, 9, 11, 12 e 17
-aptidão para ler fluentemente, permitindo a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados; -retenção de informação a partir de enunciados orais e escritos; -aptidão para interpretar e compreender enunciados orais e escritos; -reconhecer os domínios lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da oralidade e da escrita; -usar estratégias de raciocínio verbal na resolução de problemas;
-capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; -predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; -aptidão para identificar figuras geométricas e identificação de algumas das suas propriedades; -compreensão de conceitos matemáticos: vértices, linha recta/curva, segmento de recta, tabuadas e os algoritmos (multiplicação, subtracção, adição e divisão);
24, 25 e 26
Foram manifestadas as competências enumeradas nas tarefas de resolução de problemas.
-aptidão para realizar investigações que recorram a dados de natureza quantitativa, envolvendo a recolha e análise de dados e a elaboração de conclusões;
27 e 28
-aptidão para escrever com a devida correcção ortográfica, enunciados relacionados com as figuras apresentadas; -reconhecimento de técnicas básicas de organização textual; -aptidão para estruturar ideias e frases; -aptidão para respeitar as regras elementares de concordância e regras gramaticais básicas; -discutir e comunicar oralmente com os outros as suas descobertas;
-aptidão para ler e interpretar tabelas e gráficos e para comunicar os resultados das interpretações feitas; -formular problemas a partir de situações matemáticas.
Quadro 1 – Competências manifestadas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
Par D Tarefas Dificuldades reveladas na Língua
Portuguesa Dificuldades reveladas na Matemática
8 e 11 -interpretação/compreensão dos enunciados e do vocabulário usado, números e algarismos.
-aplicação de conceitos de medição; -comunicação oral e escrita dos raciocínios (tarefa 8); -cálculo mental e escrito, porque os entre os números 100 e 200 há 101 algarismos e não 100.
9 e 13 -percepção visual; -comunicação oral e escrita dos raciocínios (tarefa 9).
Quadro 2 – Dificuldades reveladas pelo par em Língua Portuguesa e Matemática
230
ANEXO 39
Quadro de desempenho na resolução de problemas - Par D
Tarefas Indicadores
8 13 9 11 12 17
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
2 3 4 3 4 4
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
2 3 4 3 4 4
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
2 3 4 2 4 4
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
2 3 4 3 4 4
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
2 3 4 2 4 4
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
2 3 4 2 4 4
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 2 3 4 2 4 4
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 2 3 4 2 4 4
-manifestou facilidade na descoberta do sentido das palavras desconhecidas; 2 3 4 2 4 4
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
2 3 4 3 4 4
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
2 3 4 3 4 4
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 2 3 4 3 4 4
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas;
2 3 4 3 4 4
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque recorreu com frequência ao enunciado, de modo a compreender todos os dados;
2 3 4 3 4 4
-confrontou ideias entre si; 2 3 4 3 4 4
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 2 3 4 3 4 4
-manifestou persistência no trabalho; 2 3 4 4 4 4
-identificou sempre estratégias adequadas para a resolução das tarefas; 2 3 4 4 4 4
-manifestou bom cálculo mental; - - - 1 4 4
-manifestou bom raciocínio; 2 3 4 2 4 4
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 1 3 - 3 4 4
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; - 3 3 3 4 4
-explicou o raciocínio usado oralmente; 1 1 1 2 3 4
-explicou o raciocínio usado por escrito. 1 1 1 2 3 4
Quadro 3 – Desempenho dos alunos na resolução de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
231
ANEXO 39 – A
Quadro de desempenho em actividades de investigação matemática - Par D
Tarefas Indicadores
24 25 26
-efectuou uma leitura fluente, de acordo com a pontuação e estruturas gramaticais, permitindo-lhes a compreensão e decodificação do conteúdo dos enunciados;
4 3 4
-reteve informação a partir de enunciados orais e escritos, tendo-lhes permitido a resolução das tarefas;
4 3 4
-manifestou familiaridade com o vocabulário usado e com as estruturas gramaticais e sintácticas, porque interpretaram e compreenderam os enunciados dos problemas;
4 4 4
-efectuou uma interpretação/compreensão adequadas dos enunciados escritos, porque em caso de dúvidas, exploravam de novo os dados do enunciado;
4 3 4
-manifestou conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da compreensão de enunciados;
4 4 4
-manifestou capacidade de expressão, adequada ao contexto e ao objectivo comunicativo, utilizando sempre um vocabulário rico;
4 3 4
-manifestou capacidade de conhecimento de vocabulário diversificado; 4 4 4
-estabeleceu relações de significado entre as palavras; 4 4 4
-manifestou capacidade para decifrar automaticamente os enunciados, localizando a sua informação escrita e apreensão do significado global do texto;
4 4 4
-manifestou capacidade para interpretar enunciados de natureza diversificada, a nível oral e escrito;
4 3 4
-respondeu a questionários a propósito dos enunciados dos problemas; 4 3 4
-manifestou capacidade de discutir com os outros e comunicação das suas descobertas; 4 3 4
-manifestou interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente na execução das tarefas;
4 4 4
-confrontou ideias próprias com as de outros; 4 3 4
-cooperou no trabalho de grupo na procura da solução; 4 4 4
-capacidade de usar as fases previstas nas actividades de investigação matemática; 4 3 4
-manifestou bom cálculo mental; 4 3 4
-manifestou bom raciocínio; 4 3 4
-dominou os conceitos matemáticos envolvidos; 4 3 3
-associou os conceitos matemáticos envolvidos; 4 3 3
-explicou o raciocínio usado oralmente; 4 4 3
-explicou o raciocínio usado por escrito. 4 3 4
Quadro 4 – Desempenho dos alunos nas actividades de investigação matemática
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente.
232
ANEXO 39 – B
Quadro de desempenho em formulação de problemas - Par D
Tarefas Indicadores
27 28
-capacidade de interpretação/compreensão das figuras (gráfico) apresentadas; 2 3
-domínio de conceitos matemáticos envolvidos; 3 4
-capacidade de aplicação e associação de novos conceitos matemáticos; 4 4
-conhecimento lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da escrita de textos; 4 3
-estruturação das ideias e das frases; 4 2
-utilização devida dos sinais de pontuação em situações de formulação de problemas; 2 3
-capacidade de escrita legível com correcção ortográfica do vocabulário relacionado com as figuras apresentadas;
3 3
-capacidade de usar a escrita como substituto do oral; 3 3
-capacidade de respeitar as regras elementares de concordância; 3 3
-capacidade de usar frases complexas para exprimir sequências e relações; - -
-manifestou total interesse e empenho na realização da tarefa, porque foi persistente no seu desenvolvimento e sua conclusão;
4 4
-cooperou no trabalho de grupo na execução da tarefa; 4 4
-manifestou capacidade de confronto de ideias e opiniões. 4 4
Quadro 5 – Desempenho dos alunos na formulação de problemas
Legenda: 1 – Fraco; 2 – Razoável; 3 – Bom; 4 – Excelente
233
ANEXO 40
Na maioria das vezes Algumas vezes
Língua
Portuguesa
*aptidão para estabelecer relações de
significado entre as palavras e para
descobrir, em contexto, o sentido de
palavras desconhecidas;
* o reconhecimento de vocabulário
diversificado e de estruturas gramaticais
e sintácticas;
* a aptidão para decifrar
automaticamente enunciados
matemáticos, para localizar informação
em material escrito e para apreender o
significado global de um texto.
*aptidão para explicar por escrito os
raciocínios usados e o reconhecimento
da utilidade dos sinais de pontuação
num enunciado escrito. Embora tenha
confrontado ideias entre si, raramente
foi possível confrontá-las com as dos
outros pares, por falta de tempo.
Matemática
*aptidão para efectivar inferências e para
formular conclusões lógicas;
*aptidão para dar sentido a problemas
numéricos e para reconhecer as
operações que são necessárias à sua
resolução e desenvolvimento do
raciocínio, de meios de pensamento,
criatividade, compreensão e aplicação da
matemática a situações concretas.
*aptidão para discutir com outros e
comunicar descobertas e ideias
matemáticas, através do uso de uma
linguagem oral, não ambígua e
adequada à situação;
* compreensão de conceitos
matemáticos, nomeadamente os
números ímpares/ímpares e
capacidade para medir.
Quadro 1 - Competências manifestadas pelo Par A
234
ANEXO 40 – A
Algumas vezes Raramente
Língua
Portuguesa
*aptidão para ler fluentemente, o que lhe
permitiu a compreensão e decodificação
do conteúdo dos enunciados; o
reconhecimento dos domínios lexical,
morfológico, sintáctico e semântico ao
nível da oralidade e da escrita;
*reconhecimento de vocabulário
diversificado e de estruturas gramaticais
e sintácticas;
*aptidão para escrever com a devida
correcção ortográfica, enunciados
relacionados com as figuras
apresentadas;
*aptidão para estruturar ideias e frases;
e, aptidão para confrontar ideias entre si.
*aptidão para usar estratégias de
raciocínio verbal, na resolução de
problemas;
*aptidão para discutir e comunicar
oralmente com os outros as suas
descobertas;
*aptidão para se exprimirem de forma
confiante, clara e audível, com
adequação ao contexto e ao objectivo
comunicativo;
*aptidão para decifrar
automaticamente os enunciados
matemáticos, para localizar
informação em material escrito e para
apreender o significado global de um
texto curto.
Matemática
*predisposição para procurar entender a
estrutura de um problema e para
desenvolver processos de resolução, para
analisar os erros cometidos e ensaiar
estratégias alternativas;
*aptidão para efectivar inferências;
* aptidão para ler e interpretar tabelas e
gráficos e para comunicar os resultados
das interpretações feitas.
*Aptidão para comunicar oralmente
ou por escrito os raciocínios usados na
resolução de problemas.
Quadro 2 - Competências manifestadas pelo Par B
235
ANEXO 40 – B
Algumas vezes Raramente
Língua Portuguesa
*aptidão para efectuar uma leitura fluente de modo a compreender e decodificar o conteúdo dos enunciados; *reconhecimento de vocabulário diversificado e de estruturas gramaticais e sintácticas; *aptidão para reconhecer os domínios lexical, morfológico, sintáctico e semântico ao nível da oralidade e da escrita; *reconhecimento da utilidade dos sinais de pontuação, num enunciado escrito; a aptidão para escrever com a devida correcção ortográfica e utilizar vocabulário relacionado com as figuras apresentadas; *aptidão para estabelecer relações de significado entre as palavras e para descobrir, num contexto, o sentido de palavras desconhecidas.
*aptidão para exprimir-se de forma confiante, clara e audível, com adequação ao contexto e ao objectivo comunicativo; *discussão e comunicação oral com os outros das suas descobertas, devido à falta de tempo.
Matemática
*aptidão para desenvolver o raciocínio, de meios de pensamento, criatividade, compreensão e aplicação da matemática a situações concretas; * capacidade de usar a matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar; *aptidão para discutir com outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas através do uso de uma linguagem oral, não ambígua e adequada à situação; *predisposição para procurar entender a estrutura de um problema e para desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; *aptidão para efectivar inferências e para formular conclusões lógicas.
*aptidão ao nível da demonstração e explicitação dos raciocínios utilizados na resolução de problemas; *aptidão para fazer medições, utilizando instrumentos apropriados.
Quadro 3 - Competências manifestadas pelo Par C
236
ANEXO 40 – C
Na maioria das vezes Algumas vezes
Língua
Portuguesa
*reconhecimento de vocabulário
diversificado e de estruturas gramaticais
e sintácticas;
* aptidão para exprimir-se de forma
confiante, clara e audível, com
adequação ao contexto e ao objectivo
comunicativo;
*reconhecimento da utilidade dos sinais
de pontuação num enunciado escrito;
*decifração automática de enunciados
matemáticos, para localizar e reter
informação em material escrito e para
apreender o significado global do texto.
Matemática
*aptidão para efectivar inferências e para
formular conclusões lógicas;
* predisposição para raciocinar
matematicamente;
*aptidão para discutir com outros e
comunicar descobertas e ideias
matemáticas, através do uso de uma
linguagem oral, não ambígua e adequada
à situação;
*aptidão para desenvolver processos de
resolução, assim como para analisar os
erros cometidos e ensaiar estratégias
alternativas;
*compreensão do processo de medição,
utilizando instrumentos apropriados;
desenvolver o raciocínio, meios de
pensamento, criatividade e compreensão
e aplicação da Matemática a situações
concretas.
*aptidão ao nível da demonstração e
explicitação dos raciocínios utilizados
na resolução de problemas.
Quadro 4 - Competências manifestadas pelo Par D
237
ANEXO 41
Guião da entrevista à professora da turma
Opinião sobre as actividades propostas
-tarefas introdutórias; -tarefas de resolução de problemas;
-actividades de investigação matemática; -tarefas de formulação de problemas.
Expectativas referentes às reacções dos alunos
às tarefas
-comportamentos esperados dos alunos em contacto com as tarefas; -valorização da comunicação oral e escrita na Matemática, na explicação dos raciocínios usados.
Atitudes e comportamentos após a
implementação das tarefas
-registaram-se mudanças de atitudes e comportamentos nas aulas de Matemática; -manifestação de vontade de resolver tarefas semelhantes às apresentadas no estudo.
Quadro 1 – Guião da entrevista
Entrevista feita à professora no final da intervenção pedagógica
1) Como caracteriza a fase das tarefas
introdutórias?
-Foi agradável. Permitiu um melhor
conhecimento entre investigadora e
alunos, facilitando o trabalho seguinte.
2) Qual a sua opinião acerca das tarefas
propostas de resolução de
problemas?
-As tarefas foram muito apropriadas e
diversificadas. Foi uma óptima ideia trazer
problemas de processo, para confrontar os
alunos com situações diferentes.
3) Qual a sua opinião acerca das
actividades de investigação
matemática desenvolvidas?
-Foram muito interessantes, porque
permitiram o manuseamento de materiais
diferentes na aula de Matemática.
4) Qual a sua opinião acerca das tarefas
propostas de formulação de
problemas?
-Que foram poucas, ou seja, concluí
também que os alunos têm bastante
dificuldade nessas tarefas e que é
necessário repeti-las.
5) Quais as expectativas relativamente
aos alunos aquando da resolução das
tarefas propostas?
-Que os alunos conseguissem resolvê-las
com mais rapidez e que não
manifestassem tantas dúvidas.
238
6) Considera importante a comunicação
oral e escrita dos raciocínios usados
na resolução dos problemas?
-Muito importante. Porque o aluno dessa
forma mostra o seu raciocínio, os passos
que deu.
7) Após a resolução das tarefas, no
âmbito deste estudo, registaram-se
mudanças de atitudes ou de
comportamentos dos alunos nas
aulas de Matemática? Quais?
-Parece-me que os alunos se tornaram
mais conscientes dos métodos, da
apresentação das respostas.
8) Os alunos manifestaram vontade de
resolver alguma tarefa semelhante à
do estudo? Que tipo de tarefa?
-Na verdade os alunos gostavam de
continuar a resolução de tarefas no âmbito
do estudo.
Quadro 2 - Entrevista à professora da turma
239
ANEXO 42
Guião da entrevista efectuada aos pares de estudo
Relação com a Matemática
-gostas de Matemática e porquê; -que gostas mais de fazer na Matemática e que gostas menos.
Relação do aluno com a aprendizagem da
Matemática
-gostas de resolver problemas; -consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas e porquê; -o que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de problemas.
Avaliação dos trabalhos efectuados
-qual das tarefas apreciaste mais: resolução de problemas, actividades de investigação matemática, formulação de problemas e porquê; -qual das tarefas apreciaste menos e porquê; -o que achaste ter de explicar por escrito os raciocínios usados em resolução de problemas; -concordas com a afirmação e porquê: Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa.
Quadro 1 – Guião da entrevista aos alunos
Entrevista efectuada aos alunos no final da resolução das tarefas
1) Gostas da disciplina de Matemática? Porquê?
2) O que gostas mais e o que gostas menos de fazer na Matemática?
3) Gostas de resolver problemas?
4) Consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas?
Porquê?
5) O que pensas que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de
problemas?
6) Das actividades realizadas no âmbito deste estudo, qual foi a que mais gostaste
de fazer? Porquê?
7) Qual delas gostaste menos?
8) Foi fácil explicar por escrito os raciocínios usados na resolução de problemas?
9) Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua
Portuguesa. Concordas com a afirmação? Porquê?
240
ANEXO 43
Par Questões
Rodolfo Marta
Gostas da disciplina de Matemática? Porquê?
Sim. Porque desenvolve o raciocínio.
Gosto, mas prefiro Estudo do Meio, porque gosto de história.
O que gostas mais e o que gostas menos de fazer na Matemática?
Gosto mais de fazer contas e menos de resolver problemas difíceis.
Gosto mais de fazer contas e gosto menos de fazer leituras de números.
Gostas de resolver problemas? Gosto, mas depende dos problemas.
Gosto. É divertido pensar o raciocínio dos problemas e interpretá-los.
Consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas? Porquê?
Às vezes tenho dificuldades, outras não. Porque…
Talvez um bocado de dificuldade.
O que pensas que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de problemas?
Saber ler, interpretar e compreender os problemas.
Interpretar e compreender os enunciados é muito importante, para poder resolvê-los.
Das actividades realizadas no âmbito deste estudo, qual foi a que mais gostaste de fazer? Porquê?
Gostei mais de resolver problemas, porque tínhamos de encontrar uma estratégia.
Gostei dos quadrados de dominó, porque foi divertido mexer naquele material e fazer aquelas contas que nunca tinha feito, a não ser no quadrado mágico.
Qual delas gostaste menos? De resolver alguns problemas mais difíceis.
Talvez, de alguns problemas.
Foi fácil explicar por escrito os raciocínios usados na resolução de problemas?
Foi fácil, mas às vezes não o fazia por preguiça.
Não achei muito fácil, mas acho que se deve fazer. Se se sabe fazer o problema, também se sabe explicar. A explicação ajuda-nos a compreender o nosso raciocínio.
Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com a afirmação? Porquê?
Sim, porque se não soubermos ler e interpretar bem, não conseguimos resolver os problemas.
Sim. Se não lermos muito bem e se não compreendermos, não somos capazes de resolver a Matemática.
Quadro 1 – Respostas dadas na entrevista pelo Par A
241
ANEXO 43 – A
Par Questões
Ricardo Rui Pedro
Gostas da disciplina de Matemática? Porquê?
É a minha disciplina preferida. Porque é divertido fazer contas.
Sim. Porque gosto de fazer exercícios, resolver problemas, etc.
O que gostas mais e o que gostas menos de fazer na Matemática?
Gosto mais de fazer contas e menos de resolver alguns problemas.
Gosto mais de fazer contas, mas não gosto nada de contas de dividir.
Gostas de resolver problemas? De resolver alguns… Gosto. Para chegar à solução.
Consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas? Porquê?
Um bocado de dificuldade, por não ler muito bem o texto.
Tenho dificuldades em certos problemas que têm “ratoeiras”, aqueles que uma pessoa pensa que é uma coisa e não é.
O que pensas que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de problemas?
È preciso saber bem Português. É preciso saber Língua Portuguesa.
Das actividades realizadas no âmbito deste estudo, qual foi a que mais gostaste de fazer? Porquê?
Gostei da formulação de problemas. Porque como tenho mais dificuldades a Português, posso exercitar e ficar mais esperto nessa disciplina.
Investigações matemáticas, porque é divertido e interessante e porque foi a primeira vez que trabalhei.
Qual delas gostaste menos? Gostei de todas. De todas.
Foi fácil explicar por escrito os raciocínios usados na resolução de problemas?
Foi fácil, mas não tive tempo. É difícil porque temos de escrever o que pensamos.
Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com a afirmação? Porquê?
É importante ler bem, interpretar e compreender os problemas para os poder fazer.
Sim. Sem saber ler e interpretar não se podem resolver os problemas de Matemática.
Quadro 2 – Respostas dadas na entrevista pelo Par B
242
ANEXO 43 – B
Par Questões
Diogo Alexandre
Gostas da disciplina de Matemática? Porquê?
Gosto. É fundamental para desenvolver o raciocínio.
Gosto, porque ajuda a resolver os problemas e a minha mãe diz que é a disciplina mais importante.
O que gostas mais e o que gostas menos de fazer na Matemática?
Gosto mais de fazer contas e menos dos problemas.
Gosto mais de fazer contas, mas não gosto de contas de dividir por números decimais.
Gostas de resolver problemas? Gosto dos problemas de processo.
Gosto mas alguns são difíceis.
Consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas? Porquê?
Às vezes tenho alguma dificuldade em compreender os enunciados.
Umas vezes facilidade, outras não.
O que pensas que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de problemas?
É preciso ler bem, entender e compreender os enunciados.
Ler os problemas.
Das actividades realizadas no âmbito deste estudo, qual foi a que mais gostaste de fazer? Porquê?
Dos problemas de processo, porque são divertidos. Tínhamos de dizer o que pensávamos e escolher uma estratégia para os resolver.
Formulação de problemas, porque a partir dos desenhos foi fácil.
Qual delas gostaste menos? Gostei de todas. Gostei de tudo.
Foi fácil explicar por escrito os raciocínios usados na resolução de problemas?
Achei fácil, porque se soubesse fazer o problema, sabia explicar o raciocínio.
Foi difícil.
Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com a afirmação? Porquê?
Sim. É fundamental desenvolver a leitura e interpretar para compreendermos o problema de Matemática.
Sim, porque a leitura faz falta para resolver o problema.
Quadro 3 – Respostas dadas na entrevista pelo Par C
243
ANEXO 43 – C
Par Questões
Filipa Pedro Miguel
Gostas da disciplina de Matemática? Porquê?
Gosto. Há actividades que são divertidas, que se usam materiais.
Gosto. Porque é uma disciplina que se aprende a contar os números, a dividi-los, etc.
O que gostas mais e o que gostas menos de fazer na Matemática?
Gosto mais de contas e menos de reduções.
Gosto mais de fazer investigações matemáticas e menos de problemas de processo.
Gostas de resolver problemas?
Gosto um bocado dos problemas de processo. É divertido descobrir as respostas.
Gosto mais ou menos. Alguns problemas são muito difíceis.
Consideras que tens facilidade ou dificuldade na resolução de problemas? Porquê?
Em alguns tenho dificuldade, outros não, porque temos de escolher uma estratégia para os resolver.
Em alguns tenho facilidade, noutros não.
O que pensas que é necessário para ter um bom desempenho em resolução de problemas?
Ter um bom cálculo mental.
Ter bom conhecimento da Língua Portuguesa.
Das actividades realizadas no âmbito deste estudo, qual foi a que mais gostaste de fazer? Porquê?
Gostei das actividades de investigação, porque gosto de usar material.
Gostei dos quadrados de dominó. Foi muito divertido fazer mesmo sem ter muita prática, porque só agora comecei a fazer este trabalho.
Qual delas gostaste menos?
Gostei de tudo.
De alguns problemas de processo que foram muito complicados.
Foi fácil explicar por escrito os raciocínios usados na resolução de problemas?
É difícil. Não sei…
Foi difícil, porque explicar é quase como dizer o problema.
Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua Portuguesa. Concordas com a afirmação? Porquê?
Sim. Ler e interpretar os enunciados ajuda na resolução dos problemas.
Sim. É preciso interpretar a leitura para saber fazer o problema.
Quadro 4 – Respostas dadas na entrevista pelo Par D
244
ANEXO 44
Comparação de respostas dadas pelos pares ao questionário e à entrevista
1.ª Questão: Gostas da disciplina de Matemática?
Questionário Entrevista
Par A Sim; Mais ou menos. Sim; Gosto, mas gosto mais de Estudo do Meio.
Par B Gosto muito; Gosto. Gosto. É a minha disciplina preferida; Sim.
Par C Assim, assim; Gosto. Gosto; Gosto.
Par D Não muito; Sim. Gosto; Gosto.
Quadro 1
2.ª Questão: O que gostas/gostaste mais e menos de fazer em Matemática?
Questionário Entrevista
Par A Gosto mais de algoritmos; de problemas de barras; gosto menos de resolver problemas.
Gostei mais de resolver problemas, porque tínhamos de encontrar uma estratégia; gostei das investigações matemáticas, dos quadrados de dominó.
Par B Gosto mais de fazer contas; problemas de gráficos; gosto menos de contas de dividir.
Gostei mais da formulação de problemas; gostei mais das investigações matemáticas, porque é divertido.
Par C Gosto mais de fazer contas; gosto menos de resolver problemas.
Gostei mais dos problemas de processo, porque tínhamos de encontrar uma estratégia; gostei mais da formulação de problemas.
Par D Gosto mais de fazer contas; de fazer números romanos; gosto menos de resolver problemas.
Gostei mais das actividades de investigação matemática, sobretudo dos quadrados de dominó; Gostei das investigações matemáticas, de construir quadrados de dominó.
Quadro 2
3.ª Questão: Gostas de resolver problemas?
Questionário Entrevista
Par A Gosto mais ou menos. É um bocado difícil; Não muito. É difícil.
Gosto, mas depende dos problemas; Gosto.
Par B Gosto. Porque é importante; Gosto mais ou menos. É um bocado difícil.
Gosto, mas às vezes são difíceis; gosto para chegar à solução.
Par C Não. É difícil; Não. Gosto mais de resolver problemas de contas; Gosto, mas alguns são difíceis.
Par D Não, porque é difícil; só de alguns, outros são muito difíceis.
Gosto de problemas de processo; Gosto, mas alguns problemas são difíceis.
Quadro 3
245
4.ª Questão: Para haver sucesso na Matemática é fundamental o domínio da Língua
Portuguesa. Concordas com esta afirmação? Porquê?
Questionário Entrevista
Par A Concordo. Porque se não se fizer uma boa leitura e interpretação dos textos, não se pode ter bons resultados nas outras disciplinas; Concordo. Porque ler, compreender, falar e escrever permitem ter bons resultados na Matemática
Sim, porque se não soubermos ler e interpretar bem, não conseguimos resolver os problemas; Sim, porque se não lermos muito bem, se não compreendermos, não conseguimos resolver os problemas.
Par B Eu concordo com esta afirmação; Sim. É importante, porque faz falta ler e interpretar para saber fazer o problema; Sim. Sem saber ler e interpretar não se pode resolver problemas.
Par C Sim concordo; Sim. Sim. Para resolver um problema é preciso saber ler para compreender o problema; Sim, porque a leitura faz falta para resolver o problema.
Par D Sim. Eu concordo perfeitamente; Sim. Sim, para ler e interpretar os enunciados; Sim, porque se soubermos fazer isso tudo, achamos fácil resolver problemas.
Quadro 4
