Ajuste de Parametros de Modelos Histeret

8/19/2019 Ajuste de Parametros de Modelos Histeret

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o r d e l o s p a r á m e t r o s

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

nalfabeta

Desplazamiento (mm)

F u e r z a ( k g )

-40 -24 -8 8 24 40-40,000

-32,000

-24,000

-16,000

-8,000

0

8,000

16,000

24,000

32,000

40,000

No. de ciclos

F u e r z a ( K g )

0 2 4 6 8 10 12 14 1612,000

13,500

15,000

16,500

18,000

19,500

21,000

22,500

24,000

25,500

27,000

UNIVERSIDAD AUTONÓMA DE GUERRERO

UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA

COORDINACIÓN DE INVESTIGACIÓNY ESTUDIOS DE POSGRADO

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DEM A E S T R Í A EN C I E N C I A SÁ R E A: I N G E N I E R Í A S Í S M I C A.

P R E S E N T A:

ING. TOMÁS AMATECO REYES

Ajuste de Parámetrosde Modelos HisteréticosTeóricos


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RESUMEN

Los sismos intensos producen fuerzas en las estructuras que pueden provocar que losmateriales que las integran excedan su capacidad de carga, llegando a presentarcomportamiento no lineal. Por esta razón, es necesario estudiar analíticamente la respuestasísmica de sistemas estructurales inelásticos. En el presente trabajo se proponen tres procedimientos aplicando el método de mínimos cuadrados para el ajuste de parámetros demodelos analíticos, con base en el modelo de Ramberg–Osgood, al que se incorpora eldeterioro de resistencia y rigidez. Se desarrollan ecuaciones de movimiento y de energíaimpartida por sismo para el estudio de la respuesta de sistemas estructurales que contienen

disipadores de energía sísmica. Finalmente, se propone un índice de comportamiento paraevaluar la capacidad de los dispositivos para disipar la energía por sismo y reducir larespuesta sísmica máxima. De acuerdo con los resultados obtenidos, el modelo analítico yel procedimiento de ajuste propuestos, son capaces de predecir razonablemente la relaciónfuerza-desplazamiento de materiales metálicos sometidos a fuerzas cíclicas intensas.

ABSTRACT

The intense forces seismic in the structures can cause that the materials that integrate themexceed their load capacity, presenting non lineal behavior. For this reason, it is necessary tostudy the seismic response of inelastic structural systems analytically. In the present paper,three procedures of least-square for the adjustment of parameters of analytic models with base in the model of Ramberg–Osgood without degradation of material and withdegradation in the resistance and stiffness are applied. The movement equations and ofenergy input by seismic for the study of the response of structural systems with devicesdissipating energy, are developed. Finally, a behavior index to evaluate the capacity of thedevices to dissipate the energy for earthquake and to reduce the maxim response seismic,are proposed. Of agreement with the obtained results, the analytic model and the proposedadjustment procedure are able to predict reasonably the force-displacement relationship ofmetallic materials subjected to intense cyclic forces.


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DEDICATORIA

A la Sra. Gloria Valle Hernández, por todo su apoyo y comprensión como esposa,durante los años difíciles en que estuvo conmigo y que hicieron posible mis estudios demaestría.

A mi hijo, Edsel Gamaliel Amateco Valle, como estímulo para su superación.

A mi hermana, Lic. María Lucía Amateco Reyes, por su apoyo en los momentos másdifíciles de mis estudios.


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AGRADECIMIENTOS

En primer lugar deseo agradecer a mi asesor de tesis, el Dr. José Alberto EscobarSánchez, Investigador del Instituto de Ingeniería de la UNAM, por su asesoría ysupervisión durante el desarrollo de este trabajo que, con mucha paciencia e interés,contribuyó para que terminara satisfactoriamente. Muchas gracias por darme la libertad deexplorar y tratar de entender un tema muy interesante e importante para la ingenieríasísmica.

Al fallecido Profesor John Napier Dyer de León, destacado investigador del Instituto deIngeniería de la UNAM, quien participó en varios aspectos importantes para el desarrollode este trabajo y que se reflejaron en los tres artículos técnicos presentados en losCongresos Nacionales de Ingeniería Sísmica y Estructural en el período 2001-2004.

Agradezco sinceramente a los revisores de esta tésis, Dr. Esteban Rogelio GuintoHerrera, Dr. Roberto Arroyo Matus, Dr. Alberto Salgado Rodríguez y M. en C.Adelfo Morales Lozano, catedráticos de la Unidad Académica de Ingeniería, por las

observaciones, críticas y comentarios realizados.

De manera especial, agradezco el apoyo que me brindaron el Dr. Roberto Arroyo Matus yel Dr. Alberto Salgado Rodríguez. Particularmente, para hacer posible mi asistencia alXIII Congreso Nacional de Ingeniería Símica, así como al XIII y XIV Congreso Nacionalde Ingeniería Estructural, durante los años 2001, 2002 y 2004, respectivamente, donde presenté los resultados preliminares de este trabajo.

A toda la gente que confió en mí. Muchas gracias.


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CONTENIDO

RESUMEN i

ABSTRACT iDEDICATORIA iiAGRADECIMIENTOS iii

CONTENIDO iv

0. INTRODUCCIÓN 10.1 Objetivos y alcances 10.2 Organización de la tesis 1

I. ANTECEDENTES 3I.1.- Estudios previos 3

I.1.1.- Modelos histeréticos 6I.1.2- Estimación de parámetros 11I.1.3- Respuesta sísmica de modelos estructurales con disipadores de energía 14

II. MODELO DE RAMBERG–OSGOOD 16II.1 Modelo de Ramberg–Osgood sin deterioro 16

II.1.1 Energía disipada por ciclo histerético 20II.2 Modelo de Ramberg–Osgood con deterioro 24

II.2.1 Deterioro de resistencia 24II.2.2 Deterioro de rigidez 30II.2.3 Deterioro del endurecimiento por deformación 34II.2.4 Modelos combinados 35

II.2.4.1 Deterioro de resistencia y rigidez 36II.2.4.2 Deterioro en resistencia, rigidez y endurecimiento por deformación 37


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III.2 Revisión de los métodos de obtención de los parámetros 44III.2.1 Método de funciones de potencia 45III.2.2 Método de mínimos cuadrados lineales 46III.2.3 Método de mínimos cuadrados no lineales 51

III.2.3.1 Método de Dennis et al., de ajuste de mínimos cuadrados nolineales

52

III.3 Diferencia entre los métodos de mínimos cuadrados lineales y no lineales 54III.4. Ajuste de parámetros del modelo de Ramberg-Osgood con deterioro de rigidez

y resistencia

55

IV. INCLUSIÓN DEL MODELO DE RAMBERG – OSGOOD EN UNPROGRAMA DE ANÁLISIS NO LINEAL

59

IV.1 Introducción 59IV.2 Ecuación de movimiento de un sistema estructural de n grados de libertad con

disipadores de energía sujeto a excitación sísmica en la base de la estructura 59

IV.3 Índice de comportamiento del dispositivo metálico para disipar la energía

impartida

65

V. APLICACIONES 70V.1 Introducción 70V.2 Calibración de las curvas histeréticas de placas sometidas a cargas cíclicas 71

V.2.1. Caracterización de las curvas experimentales de una placa disipadora deenergía sin deterioro del material

73

V.2.1.1. Resultados del método de mínimos cuadrados lineales 73

V.2.1.2. Resultados del método de mínimos cuadrados no lineales 78V.2.2. Caracterización de las curvas experimentales de placas disipadoras de

energía con deterioro de resistencia y rigidez80

V.2.3 Respuesta sísmica histerética del modelo estructural con un disipador 87

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 91

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 94

APÉNDICE A.- CURVAS HISTERÉTICAS TEÓRICAS INICIALES 99APÉNDICE B.- LISTA DE TABLAS 101APÉNDICE C.- LISTA DE FIGURAS 102APÉNDICE D - PÁGINA PERSONAL DEL AUTOR 104


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0. INTRODUCCIÓN

Los sismos intensos producen fuerzas en las estructuras que pueden provocar que losmateriales que las integran excedan su capacidad de carga, llegando a presentarcomportamiento no lineal. Por esta razón, es necesario estudiar analíticamente la respuestasísmica de sistemas estructurales inelásticos. Para ello, se debe poder representarteóricamente el comportamiento histerético de los materiales, el cual se puede reproducir

mediante curvas teóricas cuya forma está gobernada por ciertos parámetros.

La determinación de estos parámetros resulta de gran importancia ya que, dependiendo delos valores que se les asignen, se podrá lograr una representación más realista delcomportamiento de los materiales y en consecuencia del de la estructura completa. Muchasveces la determinación de los parámetros que gobiernan estas curvas se obtienen por pruebay error, comparándolas con datos experimentales. Ante esta situación surge la necesidad decontar con un procedimiento matemático que permita determinar los parámetros que rigen

el comportamiento de materiales inelásticos.

0.1. Objetivos y alcances

El objetivo es desarrollar un modelo analítico simple para describir el comportamientohisterético de materiales no lineales y el ajuste de los parámetros que lo gobiernan.

Se proponen tres procedimientos empleando el método de mínimos cuadrados para el ajustede parámetros de modelos analíticos, con base en el modelo de Ramberg–Osgood al que seincorpora el deterioro de resistencia y rigidez. Se hace énfasis principalmente en la predicción de la respuesta de sistemas estructurales que contienen disipadores de energíasísmica. Además, contar con un modelo analítico capaz de reproducir el deterioro de losdisipadores, permitirá estimar la capacidad residual de disipación de energía para unsiguiente sismo y determinar cuándo sería necesario reemplazarlos.

0.2. Organización de la tesis

En el capítulo I se revisa la literatura sobre estudios previos de sistemas estructurales,modelos histeréticos, identificación de parámetros y la respuesta sísmica de modelosestructurales con disipadores de energía


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I. ANTECEDENTES

I.1 Estudios previos

El desempeño de una estructura sujeta a sismos se mejora mediante el incremento de sucapacidad de amortiguamiento. Este es causado por el comportamiento inelástico en lasconexiones viga-columna y en los elementos estructurales. Para desarrollar un

amortiguamiento significativo, el comportamiento puede producir daño en las conexiones.En el caso de un sismo de larga duración como el de 1985 en la ciudad de México, estedaño en las conexiones puede conducir al colapso de la estructura.

De acuerdo con la filosofía de diseño convencional, el diseño de estructuras se basa en proporcionar suficiente rigidez para limitar los desplazamientos a un valor aceptable. Así,la estructura de un edificio debe diseñarse para resistir las fuerzas laterales de viento y desismos “pequeños” permaneciendo elástica. Sin embargo, se diseñan y detallan los

elementos y conexiones estructurales para disipar energía por histeresis. Esto es, se permiteque la estructura sufra daño sin llegar al colapso cuando está sujeta a fuerzas laterales desismos moderados o severos. En consecuencia, para disipar la energía sísmica debendesarrollarse articulaciones plásticas que permitan incrementar el margen de seguridad anteel colapso de la estructura. Adicionalmente, el efecto de este diseño sobre la aceleración yel desplazamiento espectral, consiste en que, por ejemplo, para un periodo T2, laaceleración espectral aumenta, mientras que el desplazamiento espectral se reduce conrespecto a los valores correspondientes de aceleración y desplazamiento espectral de un

periodo T1, donde T1 es mayor que T2 (Kelly, 1997). Si bien, los métodos de diseño basados en esta filosofía son aceptables para considerar las necesidades económicas y de laseguridad de las vidas humanas, las articulaciones plásticas conducen a grandesdeformaciones y alta ductilidad de la estructura. Por lo tanto, se tiene que a mayorductilidad, se tendrá un mayor daño.

Los marcos resistentes a momento y los contra-venteados son los sistemas estructuralesmás empleados para resistir las fuerzas inducidas por sismo. Sin embargo, un marcoresistente a momento puede no tener una rigidez elástica suficiente para controlar lasdistorsiones y el daño no estructural bajo cargas de servicio y sismos menores (Jayakumar,1987). Por otro lado, un marco contra-venteado tiene excelentes propiedades de rigidezelástica y resistencia para controlar las distorsiones de entrepiso y resistir sismos menores.Sin embargo, los contraventeos pueden pandearse bajo fuerza cíclica a compresión y sufalla prematura puede conducir a una baja ductilidad y con ello un decremento drástico en


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Dispositivos metálicos de disipación de energía sísmica: Estos pueden ser elementosmetálicos que proporcionen una gran cantidad de amortiguamiento para disipar energía unavez que alcanzan su límite de carga. Por lo general, están instalados entre la estructura principal y un sistema de contra-venteo. Sin embargo, pueden colocarse en muros, juntasestructurales o conexiones. En todos lo casos anteriores, en forma separada del sistemaestructural.

Estos dispositivos son efectivos para mejorar la respuesta dinámica de las estructurasmediante la reducción de su respuesta ante excitaciones sísmicas y de viento. Puedenabsorber parte de la energía impartida por sismo a la estructura, minimizando la demandade disipación de energía en los elementos estructurales principales y, de esta manera,reducir los desplazamientos de entrepiso, así como el daño no estructural (Riley et al.,1999). Además, pueden diseñarse para proporcionar rigidez adicional a la estructura yreemplazarlos cuando sean dañados después de un sismo. Por lo general, estos dispositivosreducen en un intervalo de un 40 a 60 % la respuesta estructural en comparación con laestructura tradicional sin disipadores de energía (Zhou y Xiang, 2001). Sin embargo, su

aceptación en los proyectos estructurales depende de una buena documentación de sudesempeño y de la disponibilidad de lineamientos para evaluarlos y ensayarlos enlaboratorio. Actualmente, existen lineamientos de diseño para determinados tipos deestructuras que contienen estos dispositivos, sin embargo, están limitados en su aplicación(FEMA-273, 1997 y ATC-40,1996).

Los dispositivos pasivos de disipación de energía pueden dividirse en dispositivosdependientes del desplazamiento y dispositivos dependientes de la velocidad.

Dispositivos dependientes del desplazamiento. La respuesta es esencialmenteindependiente de la velocidad de la estructura y su efecto depende de sus desplazamientosrelativos. Generalmente, cuando se inserta un dispositivo pasivo disipador de energía, seadiciona rigidez y se incrementa el amortiguamiento de la estructura. Son esencialmentedispositivos en fluencia y disipan energía mediante fluencia o deslizamiento y producenciclos histeréticos basados en un ciclo de deslizamiento. Los dispositivos ADAS (Soong yDargush, 1997), son dispositivos basados en la fluencia de los metales. Existen también

disipadores por fricción y los marcos contra-venteados excéntricamente.

Los dispositivos dependientes del desplazamiento reducen las deflexiones cuando seadicionan a una estructura mediante la adición de rigidez, y en muchos casos, mediante laadición de amortiguamiento. La adición de rigidez incrementa el cortante basal total para lanueva estructura, pero las fuerzas en los elementos fuera del sistema lateral añadido pueden


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inducidas por desplazamiento en el marco si la estructura permanece elástica. Sin embargo,

si fluye, las fuerzas viscosas pueden adicionarse a las de fluencia. Generalmente, las fuerzasen los elementos fuera del sistema lateral añadido pueden reducirse debido a la reducciónde los desplazamientos. Las fuerzas en los elementos que son parte del sistema lateralañadido se incrementan, pero pueden reducirse debido a que la carga está fuera de fase.

Los dispositivos disipadores de energía operan de acuerdo con los principios como: fricción por deslizamiento, fluencia de materiales, deformación de materiales viscoelásticos y flujoen fluidos a través de orificios. Estos dispositivos pueden ser: de variación independiente yde variación dependiente:

Dispositivos de variación independiente. Poseen características de respuesta fuerza-desplazamiento que dependen o están en función de la amplitud del desplazamiento. Estosdispositivos, por lo general, presentan un comportamiento histerético estable y unmecanismo de disipación de energía independiente de la velocidad relativa o de lafrecuencia del movimiento. Entre ellos se incluyen los dispositivos de fricción y metálicos

(Riley et al., 1999).

Los dispositivos de fricción utilizan la fricción entre superficies deslizantes para disiparenergía. Generalmente exhiben un comportamiento rígido–plástico y su respuesta puedemodelarse mediante el modelo de fricción simple de Coulomb. Así, sus curvas fuerza-desplazamiento son ciclos histeréticos rectangulares. Estos dispositivos puedencaracterizarse mediante su amplitud de desplazamiento y su fuerza de deslizamiento. Paracrear fuerzas de fricción, puede utilizarse una variedad de mecanismos, incluyendo

deslizamiento o torsión entre superficies de metal.

Los dispositivos de fluencia metálica tienen la ventaja de presentar un comportamientohisterético estable de metales para absorber energía y emplean la flexión, el cortante, o ladeformación extensional en el intervalo plástico de los metales para mejorar elcomportamiento de la estructura con un incremento de rigidez y de la capacidad dedisipación de energía. Estos dispositivos exhiben un comportamiento histerético que puedeaproximarse como bilíneal o trilíneal y sus propiedades pueden permanecer estables

durante la vida útil de la estructura, sin embargo, ofrecen ciclos de trabajo limitados. Así,después de un gran evento sísmico pueden reemplazarse. Por otro lado, la respuesta nolineal de los dispositivos puede complicar el diseño estructural.

En este trabajo sólo se consideran los dispositivos disipadores metálicos, los cuales tienencomo base las propiedades del acero u otros metales para soportar muchos ciclos


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I.1.1 Modelos histeréticos

Durante un evento sísmico severo, las estructuras como los edificios y los puentes, sonexcitadas dinámicamente. Es deseable que ante altos niveles de excitación se deformenadecuadamente dentro del intervalo de comportamiento inelástico. Con esto, disiparán laenergía, de forma tal que sus componentes estructurales y las conexiones experimentaríanun comportamiento histerético estable.

Las deformaciones, resultantes del efecto combinado de las fuerzas gravitacionales ylaterales, se concentran en áreas de máxima fuerza interna conocidas como regionescríticas. En estructuras de edificios con alturas menores de 30 metros la acción combinadade altas fuerzas laterales y gravitatorias relativamente pequeñas pueden producir unadistribución de momentos de tal manera que las regiones críticas se concentren en losextremos de las trabes, columnas y uniones viga-columna. En estructuras con alturasmayores de 30 metros las deformaciones inelásticas pueden producirse cerca del centro delclaro de las trabes (Filippou et al., 1992)

Existen regiones críticas sujetas a flexión, a flexión combinada con cortante y sujetas aflexión combinada con fuerzas cortantes y axiales. Las fuerzas inducidas en las diferentesregiones críticas dependen del sistema estructural, el tipo de excitación de la estructura y larelación entre el claro y el espesor del elemento estructural. Dado que la respuesta sísmicade una estructura depende del comportamiento histerético de sus regiones críticas, esimportante caracterizar y modelar con precisión el fenómeno de histéresis mediante eldesarrollo de modelos analíticos adecuados.

Los modelos histeréticos pueden definirse en función de la relación fuerza-deplazamientode elementos estructurales, relación momento-curvatura de conexiones viga-columna, o bien, mediante alguna otra relación apropiada de acuerdo a la aplicación en estudio. En latabla I.1 se prensentan algunos modelos histeréticos propuestos por distintosinvestigadores. Estos modelos no pueden considerarse generales ni precisos. Cada uno puede aplicarse en casos específicos y es posible que lleguen a fallar en otros casos(Esmaeily-Ghasemabadi, 2001).

Un material cualquiera como el acero, no se comporta obligatoriamente conforme adeterminada definición matemática. Sin embargo, puede manifestar un comportamientoelástico bajo cierto nivel de esfuerzos y a temperaturas moderadas, un comportamientoviscoelástico ante vibraciones de alta frecuencia y bajas amplitudes, un comportamientoplástico no lineal bajo elevadas temperaturas y un comportamiento viscoplástico ante


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del comportamiento de la estructura con deterioro ante fuerzas cíclicas; o bien, son

suficientemente definidos matemáticamente para su empleo en análisis dinámicos (Gates,1977).

Tabla I.1. Especificaciones de algunos modelos histeréticos (Esmaeily-Ghasemabadi,

2001).

Parámetros controlados Comentarios Modelo Tipo

Degradaciónde rigidez

Estrechamiento Deteriorode

resistencia

Parámetrosadicionales

Versatilidad Complejidad

Curva

Clough L NO NO NO 0 B B

Fukada L SI NO NO 0 B B

Aoyama L NO SI SI 4 M A

Kustu L NO SI N0 4 M A

Tani L SI NO NO 2 A M

Takeda L SI NO NO 1 B M

Park C SI NO NO 2 A A

Iwan L NO SI NO 1 B M

Takayanagi L SI SI SI 3 M M

Muto L SI NO NO 0 B B

Atalay C SI SI NO 4 B A

Nakata C SI SI SI 6 A A


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La curva primaria de un modelo histerético se define como aquella relación fuerza-

desplazamiento obtenida incrementando desde cero la magnitud de la fuerza. Así, laexpresión algebraica más conocida que se utiliza como curva primaria es la relación deRamberg–Osgood (1943). Esta se complementa con la regla de Masing para obtener cicloshisteréticos. Masing (1926) obtuvo esta regla a partir de un estudio del comportamiento dela respuesta del material. En ella propuso un modelo histerético para la respuesta de estadotransitorio del sistema en términos de su comportamiento para fuerza inicial. Masingconsideró que un sistema consiste de una colección de elementos elastoplásticos, cada unode los cuales tiene la misma rigidez pero diferentes límites de fluencia. Así, si se proporciona la curva fuerza-desplazamiento para el sistema, las ramas de los ciclos dehistéresis son geométricamente similares a la curva primaria que está descrita por la mismaecuación básica pero escalada al doble.

Debido a que la relación de Ramberg-Osgood especifica el desplazamiento como unafunción de la fuerza, la determinación de las fuerzas a partir de desplazamientos requiere eluso de técnicas iterativas. Sin embargo, esta dificultad desaparece al diferenciar las

ecuaciones que definen las ramas ascendentes y descendentes de los ciclos de histéresis eintegrar numéricamente las ecuaciones resultantes.

Jennings (1963), con base en el modelo de Ramberg-Osgoog, presentó una relación generalfuerza-desplazamiento para sistemas de un grado de libertad. Su modelo es continuo, detransición suave y describe el comportamiento de la variación de fluencia entre los límitesde comportamiento lineal y elastoplástico.

Rosenblueth y Herrera (1964), intentaron establecer las curvas fuerza-desplazamiento oesfuerzo-deformación para estructuras y materiales con amortiguamiento histerético. Sumodelo proporcionó un grado equivalente de amortiguamiento viscoso, independiente de laamplitud y de la frecuencia bajo oscilaciones senoidales de estado transitorio. Emplearonla regla de Masing para obtener las curvas de carga y descarga. Su modelo condujo a uncomportamiento cercano al de los materiales viscoelásticos lineales.

El comportamiento estructural del modelo conceptual de elementos simples tipo Masing

fue interpretado por Herrera (1965) como una modelación de la combinación del modelo defricción de Coulomb y un elemento elástico lineal.

Un año después, Clough y Johnston (1966) presentaron un modelo histerético condegradación de rigidez, que consiste en una idealización del comportamiento histerético deestructuras de concreto En este modelo todas las líneas de descarga son controladas por el


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estructuras y no producen estimaciones adecuadas de las deformaciones. Sin embargo, son

más económicos en el costo de cómputo que los modelos refinados.

De acuerdo con Filippou et al . (1992), el análisis refinado y detallado de las regionescríticas de las estructuras es más sencillo si se emplean modelos globales que predigan lahistoria de fuerza de la región particular. Similarmente, el análisis global de las estructurasse facilita con el empleo de modelos locales más refinados para la estimación de parámetrosde un modelo simple. Así, en un análisis del comportamiento histerético de estructuras sedebe identificar y describir todas las fuentes de deformación y la interacción entre losdiferentes mecanismos. En consecuencia, será posible determinar la contribución de cadafuente de comportamiento inelástico para la respuesta local y global de la estructura.

La dependencia histórica de la ecuación de movimiento implica que las fuerzas no linealesno se expresen en forma de una función algebraica que involucre valores instantáneos delas variables de estado del sistema. Así, varios investigadores han realizado esfuerzos paradesarrollar modelos de fuerzas restauradoras histeréticas y técnicas de identificación de

tales sistemas. En consecuencia, debido a que el estudio de los sistemas dependientes de lahistoria es más complejo que el de excitaciones aleatorias, en el análisis de vibracionesaleatorias no lineales, los modelos para el comportamiento histerético se definenfrecuentemente en términos de variables de estado.

Uno de los modelos basados en este principio es el propuesto por Bouc (1967), formado por ecuaciones diferenciales para describir el comportamiento histerético de los materiales,con base en la ecuación de Volterra (Erlicher, 2003) de una fuerza restauradora histerética

w(t) y considerando un núcleo hereditario. Para ello consideró a w(t) definida mediantediferencias de tiempo internas no Newtonianas para no violar la condición de variaciónindependiente, de tal manera que se relacionara con la historia de desplazamiento.Posteriormente, Wen generalizó el modelo de Bouc (Wen, 1976, 1980) para aplicarlo en elanálisis de la respuesta estocástica de sistemas histeréticos.

Baber y Wen (1981) desarrollaron el modelo del comportamiento histerético para unsistema de un grado de libertad (gdl) con el proposito de definir la relación fuerza-

desplazamiento histerética en el que seleccionaron adecuadamente los parámetros paraobtener no linealidades del tipo de fluencia por endurecimiento o por ablandamiento. Wenmostró la capacidad del modelo de Bouc para caracterizar el comportamiento histeréticocurvilíneo para n = 1 (Wen, 1986) y además extendió el modelo para incluir degradación derigidez y / o resistencia de la fuerza restauradora.


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condiciones de los modelos de Ozdemir y de Wen se obtiene un comportamiento similar

con el modelo endócrino simple. Consecuentemente, se refiere a estos como modelosendócrinos. Sin embargo, el modelo de Wen presenta dos características no realistas queson inconsistentes con el comportamiento físico observado (Paparizos, 1986; Jayakumar,1987 y Peng, 1987). Estas características se denominan ciclos histeréticos posiblemente nocerrados y desplazamiento de las curvas histeréticas. Para minimizar la primeracaracterística Casciyati (1987) propuso una ecuación incluyendo una variable que controlael cierre del ciclo histerético. El modelo propuesto por Jayakumar (1987) es similar al deOzdemir y de Wen, pero elimina las inconsistencias y características no realistas de estosúltimos. Así, aplicó la regla de Masing a la curva primaria para obtener las curvas de cargay descarga. Adicionalmente, empleó la curva primaria para relacionar las fuerzas y lasdistorsiones de entrepiso.

Los modelos de Ozdemir y de Wen son endócrinos debido a su similitud en elcomportamiento de la respuesta cuasi-estática y de los modelos endócrinos que se empleanen el área de plasticidad. Estos modelos se han empleado en aplicaciones de dinámica

estructural, sin embargo, se han utilizado más ampliamente en el análisis de la respuesta desistemas histeréticos mediante el modelo de linealización equivalente. El modelo de Bouc-Wen ha tenido un mayor desarrollo que el modelo de Ozdemir, desde el original propuesto por Bouc con tres parámetros, aumentando a cuatro en la segunda y tercera versión delmismo. El modelo de Wen empleaba cuatro parámetros y aumentó a cinco en su segundaversión. A partir del modelo de Baber-wen (1981), pasando por los dos de Baber-Noori(1985 y 1986), el número de parámetros aumentó de 11, 12, hasta un máximo de 14,respectivamente. Lo que hace difícil establecer el valor de los mismos. Los modelos de

Foliente (1995) y de Sivaselvan y Reinhorn (2000) necesitan los valores de 13 y 14 parámetros, respectivamente. Estos modelos, junto con los de Baber-Wen y Baber-Noori,son los más complejos a la fecha. El aumento en el número de parámetros se debe a que sehan introducido para modelar la transición del estado de comportamiento elástico al plástico, el deterioro de resistencia y de rigidez, así como el estrechamiento de las curvashisteréticas.

De lo expuesto, puede concluirse que existen dos clases de modelos en el análisis de los

sistemas histeréticos curvilíneos:

Elementos distribuidos o ensamblados (Iwan, 1966), los cuales modelan elcomportamiento físico del sistema mediante el empleo de elementos estructuralesindividuales.


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propiedades matemáticas del modelo de Bouc-Wen, particularmente el núcleo hereditario y

el tiempo interno o intrínseco y revisó las principales modificaciones del modelo de Boucdurante los últimos 30 años. Adicionalmente estableció las condiciones correctas para elintervalo de valores admisibles de algunos parámetros del modelo de Bouc-Wen.

Un análisis de la respuesta de un sistema empleando el modelo de elementos distribuidos ylos modelos de ecuaciones diferenciales, indica que debe tenerse mucho cuidado al emplearestos últimos ya que pueden producir resultados indeseables e inconsistentes con elcomportamiento físico observado (Thyagarajan, 1990). En el caso del modelo de Wen, presenta dos características no realistas denominadas ciclos histeréticos posiblemente nocerrados y desplazamiento de las curvas histeréticas, mientras que en el caso del modelo deOzdemir, el empleo de valores negativos de los parámetros puede producir valores defuerza negativos o positivos muy grandes. Así, el criterio del ingeniero estructural esfundamental.

I.1.2 Estimación de parámetros Una vez establecido el modelo general de un sistema estructural en estudio, se estará encondiciones de ajustar los parámetros del mismo a los datos experimentales. La funciónmatemática relaciona las variables experimentales, que se consideran significativas con las pruebas realizadas, por medio de parámetros. Así, los modelos matemáticos reducen lainformación experimental y permiten la simulación de experiencias hipotéticas a partir de pocos datos experimentales. Por otro lado, los métodos de regresión son un conjunto de

técnicas matemáticas que tienen como fin establecer el valor de los parámetros del modeloy el intervalo de confianza de los mismos, así como evaluar la bondad del ajuste obtenido.El análisis de los resultados puede emplearse para verificar la teoría subyacente que haconducido a la expresión matemática final. La regresión es un caso particular de un tipo de problema más general, donde se buscan los valores de los parámetros que den lugar a lasmejores respuestas y que se denomina optimización.

En ocasiones, sólo se registra la respuesta sísmica de una estructura, sin embargo, no se

registra la excitación sísmica debido a la inadecuada instrumentación en la estructura o porun mal funcionamiento de los sensores durante el evento sísmico (Yuen, 2002). Cuando seregistran ambas, pueden emplearse técnicas de identificación de sistemas, basadas en eldominio del tiempo o en el de la frecuencia. Los primeros se basan en el procedimiento demínimos cuadrados, máximos y técnicas relacionadas. Los segundos emplean modelos deajuste para estimar la respuesta de la frecuencia característica Así se requieren métodos de


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simple no puede representar detalladamente un sistema y las medidas de vibración se

contaminan inevitablemente con ruido (Peng, 1987). Por esta razón, la técnica deidentificación debe estimar correctamente los parámetros del modelo y producir el mejorajuste ante posibles errores considerables del modelo o debido a la presencia de ruido(Macverry, 1979). Así la prueba de validez de un modelo histerético propuesto consiste en probarlo con datos reales de registros sísmicos.

El modelo de Ramberg-Osgood necesita de parámetros que dependen del material. Matseny Mcniven (1976) probaron en laboratorio un marco estructural de acero de un entrepisosujeto a excitaciones sísmicas. Calcularon los ciclos histeréticos con el modelo deRamberg–Osgood y concluyeron que se requieren dos series de los parámetros para predecir adecuadamente la respuesta en la historia del tiempo y los ciclos histeréticos.

Margetson (1981) modificó la ecuación de Ramberg-Osgood para representarempíricamente la curva esfuerzo unixial-deformación, suponiendo un comportamientoelástico lineal en la etapa de pre-fluencia y no lineal en la pos-fluencia. Su ecuación

necesita la determinación de un factor de normalización con dimensiones de esfuerzo y unexponente adimensional. Así, se requieren dos puntos para la evaluación de las constantesmencionadas. Uno es el punto de inestabilidad y el otro es un punto cercano a la fluencia.Con estos se obtiene una representación de la curva experimental. Una contribución muyimportante de su trabajo, es el desarrollo del método de mínimos cuadrados linealesaplicado al modelo de Ramberg-Osgood.

Los modelos de ecuaciones diferenciales de Ozdemir y de Wen se han empleado para

predecir el comportamiento de varios tipos de dispositivos aisladores sísmicos (Kikuchi yAiken, 1997; Chang y Makris, 2000) y de disipadores de energía. En estos modelos, los parámetros que controlan la forma del ciclo de histéresis son constantes que debendeterminarse al inicio del análisis. Ozdemir (1976) consideró que para el deterioro de losdisipadores, incluyendo el endurecimiento por deformación lineal y no lineal, las constantesdel material de su modelo pueden determinarse a partir del primer ciclo de histéresis,mientras que la constante de deterioro del material puede estimarse como el cambio totalde la fuerza de resistencia durante los ciclos ensayados. Fujita et al . (1990), realizó un gran

avance al mejorar el modelo de Ozdemir para incluir un procedimiento de actualización de parámetros.

Jayakumar (1987) determinó los parámetros de su modelo histerético mediante unaestimación óptima de los mismos a partir de datos experimentales. Su algoritmo involucrauna alternación continua entre el método de incrementos descendentes y el de Gauss-


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comportamiento elástico o inelástico, la segunda determinó los parámetros del modelo

histerético y la tercera identificó el ruido en los datos de entrada y salida. Para efectuar lasegunda etapa fue necesario proporcionar valores iniciales para dos de los parámetros delmodelo histerético, observando que si estos se suponían correctos, el método de mínimoscuadrados predijo los otros tres correctamente, en caso contrario, estos últimos no seestimaron correctamente. Así, para obtener una convergencia más rápida, emplearon los parámetros estimados con el método de mínimos cuadrados como valores iniciales en elmétodo de Gauss-Newton, obteniendo buenos resultados, sin embargo, requiere bastantecálculo iterativo.

Jansen (2000) determinó los valores equivalentes de los parámetros del modelo de Wen para un cojinete bilineal en el modelo de un puente, comparándolos con los obtenidosmediante una modelación del mismo cojinete en el programa DRAIN-2DX (Prakash yPowell, 1993 y Prakash et al., 1993) empleando un elemento bilineal. La comparaciónconsistió en la revisión de las curvas fuerza-desplazamiento de cada modelo generadasmediante una función de fuerza senoidal cuya amplitud correspondió a la máxima

alcanzada por el cojinete en el modelo del puente en el DRAIN-2DX cuando se le aplicó unsismo determinado. Los parámetros de rigidez los obtuvo mediante la variación de losvalores de los parámetros necesarios del modelo de Wen hasta obtener una adecuadacorrespondencia con las curvas fuerza-desplazamiento generadas por el modelo bilineal enel DRAIN-2DX . Adicionalmente, empleó la primera frecuencia obtenida del modelo del puente con cojinetes elastomericos en el DRAIN-2DX .

Moreschi (2000) determinó la respuesta sísmica de edificios de cortante con disipadores de

energía metálicos. Empleó el modelo de Wen para obtener curvas fuerza-desplazamiento delos disipadores, las cuales resultaron bilineales. Los parámetros del modelo los seleccionó para calibrar la respuesta predicha de los disipadores con la obtenida experimentalmente.Reconoció que conforme incrementó el número de disipadores de energía en la estructura,la representación bilineal fue ineficiente, desde el punto de vista de cómputo. Por lo que elsuponer un comportamiento bilineal sólo es una idealización y no la representaciónverdadera de dichos dispositivos disipadores, ya que en estos modelos no se considera pos-fluencia o el endurecimiento por deformación.

El modelo de Bouc-Wen pertenece a los modelos paramétricos. Al emplearlo en algunasaplicaciones de identificación paramétrica, con el procedimiento de identificaciónestructural adaptiva, a pesar de que se obtiene una buena predicción de los parámetros quedefinen la curva histerética, al menos uno presentó un error de hasta 17 %. Así, laestimación del modelo compensa su parametrización incorrecta En otros casos varios de


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Por otro lado, Ching et al. (2004) desarrollaron dos algoritmos de estimación Bayesiana en

tiempo real, denominados filtro de Kalman extendido (FKE) y filtro de partículas (FP)Estos fueron aplicados a sistemas dinámicos lineales y no lineales con variación en eltiempo. En este último, consideraron el modelo histerético de Bouc-Wen, incluyendo laincertidumbre de los parámetros. Así, obtuvieron resultados consistentes, observando que elalgoritmo FP fue mejor que el FKE debido a que este último puede producir resultadosinesperados. Concluyeron que un algoritmo apropiado de estimación y un modelo adecuadode identificación permiten una buena estimación Bayesiana.

De lo anterior, se observa que en las funciones matemáticas que reproducen teóricamente elcomportamiento histerético de los materiales, cuya forma está gobernada por ciertos parámetros, estos se determinan por prueba y error, comparándolos con los datosexperimentales o bien, en su defecto, mediante curvas representativas del comportamientofísico observado. Así, la determinación de estos parámetros resulta de gran importancia, yaque dependiendo de los valores que se les asignen, se podrá obtener una representación másrealista del comportamiento de los materiales y, en consecuencia, de la estructura completa.

I.1.3 Respuesta sísmica de modelos estructurales con disipadores de energía

Las técnicas para el análisis de vibración de estructuras complejas emplean modelos paraestudiar sus propiedades principales. Estos modelos pueden clasificarse en espaciales,modales y de respuesta. El primero es un modelo teórico donde las ecuaciones diferenciales pueden obtenerse mediante una variedad de métodos, siendo el método de rigidez y el de la

matriz de transición los más representativos, a su vez el método del elemento finito es unenfoque del método de rigidez. El modal es un modelo teórico obtenido mediante ladeterminación de propiedades dinámicas a partir de la medición de las funciones derespuesta en las frecuencia analíticas o experimentales, tales como frecuencias naturales,modos de vibrar y relaciones de amortiguamiento. El de respuesta es un modelo analítico oexperimental caracterizado mediante la relación de una respuesta de la estructura para unafuerza senosoidal.

En muchos problemas de análisis estructural, pocos de los elementos estructurales exhibencomportamiento no lineal. Un marco con disipadores de energía, en particular pertenece aesta clase de problemas donde la única fuente de no linealidad podría encontrarse a partirde la modelación de la no linealidad de estos dispositivos. De acuerdo con los métodos deOzdemir (1976) y de Moreschi (2000) para determinar la respuesta sísmica de modelosestructurales con disipadores de energía la introducción de algunos elementos no lineales


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rigidez de juntas complejas, deslizadores, cojinetes y en el amortiguamiento no lineal.

Ozdemir (1976) introdujo una técnica que explota esta información guardándola a nivelglobal, empleando la solución de las ecuaciones de equilibrio linealizadas. Su método tuvocomo base la observación de que si los grados de libertad son divididos en grupos lineales yno lineales, el vector de fuerza efectivo para los nodos internos de la parte lineal de laestructura es cero para la iteración k > 1. Así, si la no linealidad puede localizarse eidentificarse, entonces será posible una mejor definición del modelo estructural mediante ladefinición de modelos apropiados por separado para la no linealidad y para la estructuralineal. Consecuentemente, mediante la combinación de ambos modelos podrá obtenerse elmodelo de la estructura completa.

Los programas DRAIN-2D (Powell, 1973) y DRAIN-2DX (Prakash, et. al., 1993), se hanempleado para el análisis inelástico de modelos estructurales con disipadores de energía,tanto metálicos como de fricción. Estos programas pueden emplearse directamente si losdispositivos disipadores de energía exhiben comportamiento fuerza-desplazamiento bilineal, de lo contrario no pueden analizar con precisión los modelos estructurales quecontienen dichos dispositivos. Mientras que los programas DYNDIR (Gillies, 1979) yCANNY (Li., K.-N., 1992), contienen elementos estructurales que pueden modelar losdisipadores de energía, especialmente de fricción. Sin embargo, los modelos histeréticos deestos programas consideran la disipación de energía concentrada en las uniones viga-columna tanto de estructuras de concreto reforzado como de acero. En el programaSAP2000 (CSI, 1997) puede emplearse el concepto de no linearidad localizada siempre ycuando el análisis se limite a pequeñas deformaciones. Asi, es posible modelar conexionesviga-columna empleando una serie de elementos no lineales conocidos como Nllink con

características fuerza-desplazamiento muy simple (Mesic, 2003).

Los programas SAP2000, ZEUSNL (Elnhasai, et al., 2004) y ANSYS (Ansys Inc., 2004),son algunos de los programas de análisis no lineal que se emplean en la práctica profesionaly en la investigación. Cuentan con una interfaz más amigable, que considera la entrada dedatos mediante ventanas gráficas interactivas con una modelación simple de definir yvisualización gráfica de los resultados. Sin embargo, a excepción del ANSYS, algunostienen limitaciones en el análisis no lineal de modelos estructurales con disipadores de

energía. Adicionalmente, es necesario que efectúen la revisión de los posibles errores en losdatos de entrada y considerar la posibilidad de incrementar su capacidad de análisis.Finalmente, en la medida de lo posible, debían de ser capaces de considerar la estimación yel conocimiento de las incertidumbres introducidas en el análisis debido a las hipótesis de partida. Si bien estos programas pueden predecir la respuesta dinámica de estructuras condispositivos disipadores de energía es necesario desarrollar procedimientos analíticos y de


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II. MODELO DE RAMBERG - OSGOOD

II.1 Modelo de Ramberg-Osgood sin deterioro

En esta etapa se supone que la falla del material es de tipo frágil, debido a que no seconsidera el deterioro del material. A continuación se estudia la hipótesis de Masing y elmodelo de Ramberg-Osgood, modificado por Jennings, el cual no incluye el deterioro delmaterial. Adicionalmente se revisan las ecuaciones de energía impartida y lacorrespondiente a la pérdida de energía de un sistema de un grado de libertadcorrespondientes a este modelo histerético. Posteriormente se estudia el modelo de Ozdemirque toma en cuenta el deterioro en rigidez y resistencia de materiales no lineales.

Hipótesis de Masing; Un cuerpo metálico consiste de un sistema de elementos, cada unocon la misma rigidez elástica pero con diferente límite de fluencia (Masing, 1926).Adicionalmente, consideró que la curva fuerza-desplazamiento de cada elemento es de la

forma mostrada en la figura II.1

F

0 0 4 0 8 1 2 1 6 20

0.15

0.3

0.45

0.6

0.75

0.9

1.05

1.2

1.35

1.5


25/112

donde x es el desplazamiento y F es la fuerza restauradora, entonces las ramas de descarga

y recarga de los ciclos histeréticos para la respuesta de estado transitorio son similaresgeométricamente para la curva primaria y está descrita por la misma ecuación básica, peroescalada al doble.

Aplicando lo anterior a los ciclos histeréticos que describen la fuerza cíclica entre los puntos extremos superior ( xo, F o) e inferior (-xo, -F o), donde xo y F o son el desplazamiento yla fuerza característica. En la figura II.2 se muestra cada rama del ciclo histerético, la ramadescendente (descarga) está dada por:

02

,2

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− F F x x f oo (II.2)

y la rama ascendente (recarga) está dada por:

02,2 =⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ ++ oo F F x x f (II.3)

Figura II.2. Ciclo histerético para carga cíclica.

Para probar experimentalmente estas ecuaciones, Masing empleó cables de diferentetratamiento preliminar, que fueron extendidos plásticamente y después comprimidos. Los


26/112


27/112

n

y y y F F

F F

x x

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+= α (II.4)

donde α y n son parámetros que dependen del material; x y x y = x0 son el desplazamiento yel desplazamiento de fluencia, F y F y son la fuerza y la fuerza de fluencia del material,respectivamente. La ecuación (II.4) se puede escribir como:

n

o y F F

K F x ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡+= α (II.5)

donde el término (F/F o )n tiene unidades de longitud, F o es un parámetro con unidades de

fuerza diferente a la fuerza de fluencia y K y es la rigidez en la fluencia definida como

y

y

y

x

F K = (II.6)

x/xo

F / F o

0 0.4 0.8 1.2 1.6 20

0.15

0.3

0.45

0.6

0.75

0.9

1.05

1.2

1.35

1.5

n=1n=3n=5n=15n=25

n=51


28/112


29/112

regla de Masing reduce el endurecimiento cinemático para el modelo bilineal si se

proporcionan valores de F i mayores a la resistencia de fluencia.

x/xy

F / F y

-4 -2.4 -0.8 0.8 2.4 4-4

-3.2

-2.4-1.6

-0.8

0

0.8

1.6

2.4

3.2

4

321

x / xy = 3x / xy = 2x / xy = 1

Figura II.5. Relaciones de histéresis del modelo de Ramberg-Osgood.

La figura II.6 muestra una estructura de un gdl sujeta a una fuerza restauradora. Suecuación de movimiento está definida por:

g x M x P xC x M

•••••

−=++ )(

donde M es la masa de la estructura, x y x x ,•••

son la aceleración, velocidad ydesplazamiento de la masa, respectivamente. C es el coeficiente de amortiguamiento

viscoso, P(x) es la fuerza restauradora que para el caso lineal es P(x)=K x, y g x••

es la


30/112

velocidad y desplazamiento de la masa, la ( ´ ) indica la diferenciación con respecto a τ ,

donde τ = w t; x y es el desplazamiento de fluencia, mientras que λ es la escala a la que seafecta la excitación sísmica y g x

••

es la aceleración sísmica normalizada y adimensional.

Figura II.6. Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso.

Adicionalmente, Jennings (1963) obtuvo la ecuación de energía impartida E I , a un sistemade un gdl no lineal como:

∫∫ ⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

τ τ

τ τ η 0

2

0

2

24

2

1d

P

P

x

xd

x

x

x

x

P x

E

y y y y y y

I

Considerando la respuesta de la estructura anterior y el ciclo histerético descrito por lasecuaciones (II.9) y (II.10). Si se supone que eventualmente, la respuesta de la estructura puede ser de estado transitorio, durante la cual el ciclo histerético puede obtenerserepetidamente y en cada ciclo, la energía disipada está dada por:

∫


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∫∫

−

− +=

e

e

e

e

F

F

F

F

d dF dF

dx

x F dF dF

dx

x F E )()( (II.12)

donde ( xe , F e) y (- xe , - F e) son el desplazamiento y la fuerza de los puntos extremossuperior e inferior, respectivamente, del ciclo histerético. Estos se supone que están sobre lacurva primaria. Así, es posible obtener la ecuación adimensional de la energía (Jennings,1963).

1

1

1

2

1

+

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

n

y

e

y y

d

x

x

n

n x

F x

E α

(II.13)y

n

n

y

e

y y

d

x

x

n

n

n

x

F x

E

1

1

1

2

1

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛

+

−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ α

α (II.14)

Las ecuaciones (II.13) y (II.14) determinan la energía disipada en un ciclo histerético. En laecuación (II.13) la energía disipada por ciclo histerético para desplazamientos pequeños, es

proporcional a α y se aproxima a cero conforme⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y

e

x

xse eleve a las potencias n+1 _ ésimas.

Mientras que en la ecuación (II.14) la energía disipada para grandes desplazamientos es

proporcional a⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

y

e

x

x elevado a la potencia de entre 1 y 2, misma que se aproxima a 1

conforme n se incrementa. Adicionalmente, la influencia de α disminuye rápidamente.

La cantidad de energía histerética disipada, E h, del modelo de Ramberg-Osgood está dada

por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

m

m

y

y

h x

F

F

x E 1

1n

21

2 α

π


32/112

De acuerdo con Otani (1981), E h, es muy sensible al exponente n cuando α = 1. Así, el

modelo puede disipar la energía histerética, mientras el factor de ductilidad μ sea menorque 1.

II.2 Modelo de Ramberg-Osgood con deterioro

Para un material no lineal, la variación de las fuerzas y desplazamientos con respecto altiempo, modifica la ecuación (II.4) de la forma siguiente (Ozdemir, 1976):

n

ooo F

F

F

F

x

x

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+=

•••

α (II.16)

donde, x0 = x y y F 0 = F y, son el desplazamiento y la fuerza de fluencia,•

x y•

F son lasvariaciones del desplazamiento y de la fuerza con respecto al tiempo, definidas por:

dt dx x =

•

dt

dF F =

•

II.2.1 Deterioro de resistencia

Ozdemir (1976) introdujo el modelo de variación dependiente para determinar la curvafuerza-desplazamiento mediante ecuaciones diferenciales con la fuerza y el desplazamientode fluencia, F y , x y , el parámetro n del material y la constante de tiempo, τ . Expresando elmodelo de variación dependiente, mediante:

n

y y y F

S F

x

x

F

F

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

••

τ

1 (II.17)

donde S es una variable interna con las características de esfuerzo invertido y condimensiones de fuerza para incluir el endurecimiento del material. (S-F ) es una fuerzaefectiva que gobierna el término no lineal de la ecuación en cuestión. El valor de n puederestringirse a enteros impares. Así para n = 1, xy = xo y Fy = Fo, la ecuación (II.17) define el


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y x

x•

=τ

1

Se obtiene el modelo de variación independiente:

n

y y y y

F

S F

x

x

x

x

F

F

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −−=

•••

(II.18)

donde la variable S esta dada por la ecuación siguiente:

n

y y y F

S F

x

x

F

S

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.19)

La constante F y en la ecuación (II.18), determina la pendiente elástica mediante la relación

y

y

x

F , además de ser la frontera superior de F si α = 0 (esfuerzo de fluencia).

El deterioro es un problema dependiente de la historia en el tiempo y la degradación derigidez ocasiona menores consecuencias que el deterioro de resistencia debido a que, por

ejemplo, en el primer caso no necesita revisarse cuando se presenta una variación de laaceleración que previene la recuperación de la resistencia de la estructura con un intervalode desplazamiento asociado a la respuesta sísmica. Por otro lado, los sistemas de variaciónindependiente tienen un comportamiento caracterizado por endurecimiento en unadirección y ablandamiento en la otra, con un intervalo lineal entre ellas.

La ecuación que modela el comportamiento de un material definido por las ecuaciones(II.18) y (II.19), se puede modificar haciendo F y = F 0 y x y = xo, para obtener el modelo que

considera el deterioro de resistencia de un elemento estructural sometido a ciclos de fuerzaen el intervalo plástico, definido mediante las siguientes ecuaciones:

n

F

S F

x

x

x

x

F

F

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

•••

(II.20)


34/112

donde F * es la fuerza instantánea de fluencia con un valor inicial F 0 = F y. Este último tiene

el doble propósito anteriormente mencionado para la ecuación (II.18), mientras que

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

o F

F f

*es una función de la fuerza de fluencia. Definiendo las variables d , f , s y z de la

siguiente manera:

o x

xd =

(II.21)

o F

F f =

(II.21a)

0 F

S s =

(II.21b)

o F

F z

*=

(II.21c)

donde d es la relación del desplazamiento entre el desplazamiento característico, f es larelación de la fuerza entre la fuerza característica, s es la relación de la fuerza S entre lafuerza característica y z es la relación de la fuerza instantánea F* entre la fuerzacaracterística.

Las ecuaciones (II.20) a (II.20b) pueden escribirse en forma adimensional empleando lasecuaciones (II.21) a (II.21c) para obtener:

n

z

s f d d f ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= •••

(II.22)n

z s f d s ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= •• α (II.22a)

n

z

s f d z f z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

)( (II.22b)


35/112

d=x/xo

f = F /

F o

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.41.6

Figura. II.7. Influencia del deterioro de la resistencia de fluencia sobre la curva

fuerza-desplazamiento de fluencia unidireccional para α = 0.1, β = -.1 y n =5.

f = F / F o

0

0.6

1.2

1.8

2.4


36/112

d=x/xo

f = F /

F o

-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8 3-1.5

-1.2

-0.9

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.21.5

Figura. II.9. Ciclos blandos por endurecimiento elástico del material,

α = 0.1 , β = -.01 y n=5.

f = F / F o

0 9

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5


37/112

d=x/xo

f = F /

F o

-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8 3-1.5

-1.2

-0.9

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.21.5

Figura. II.11. Ciclos blandos del material elásto-plástico,

α = 0.01, β = -.01 y n=5.

f = F / F o

1 2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2


38/112

En las figuras II.9 a II.12 se muestran algunos ciclos histeréticos generados mediante las

ecuaciones (II.22) a (II.22b). En la figura II.9 se observan ciclos blandos caracterizados porel decrecimiento de la resistencia de fluencia para valores de β < 0, mientras que en lafigura II.10 se muestra los ciclos endurecidos caracterizados por el incremento de laresistencia de fluencia para valores de β > 0.

En las figuras II.11 y II.12 se muestran ejemplos de ciclos histeréticos blandos yendurecidos, generados para α > 0 y α < 0, respectivamente.

La función de desplazamiento fue de x(t) = 2.5 sen (2 π t) para las figuras II.9, II.10, II.11 yII.12, donde se observa un comportamiento similar al bilineal en las figuras II.9 y II.10, asícomo un comportamiento similar al elastoplástico en las figuras II.11 y II.12.

II.2.2 Deterioro de rigidez

A partir de las ecuaciones (II.21) a (II.21c), el modelo propuesto por Ozdemir (1976) para

la curva fuerza-desplazamiento de materiales en fluencia con deterioro en rigidez es:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

•••n

z

s f d d z f (II.23)

n

z

s f d s ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.23a)

n

z

s f d z g z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

)( (II.23b)

En la ecuación (II.21c), ahora F* se considera una variable interna con valor inicial de F * =

F 0 y en la ecuación (II.23b)

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ =

o F

F g z g

*)( .

En la figura II.13 se muestran las curvas fuerza-desplazamiento obtenidas con lasecuaciones (II.23) a (II.23b) para un desplazamiento incrementado monotónicamentemediante la función x(t)= t + 1 5 sen² π t observándose que el desplazamiento es tal que la


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x/xo

F / F

o

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

22.25

Figura II.13. Deterioro del módulo elástico (Fluencia unidireccional), α = 0.2,

β = -0.12 y n = 5.

F

/ F o

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.4

2.8


40/112

Cuando α = 0 y S = 0, el material no exhibe endurecimiento por deformación. Así, las

ecuaciones (II.23) a (II.23b) se reducen a:

[ ]⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= •••

n f d d z f

(II.24a)

[ ]n f d z g z ••

= )( (II.24b)

Estableciendo las condiciones iniciales:

F(0) = 0

x (0) = 0

F *(0) = F o

•∗ F = 0

El desplazamiento asociado con la resistencia de fluencia es:

** K

F

x

F

F x o

o

o =

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

La figura II.15 muestra los ciclos de histéresis obtenidos con las ecuaciones (II.23) a(II.23b) con α = 0 y S = 0, con un desplazamiento senoidal de x(t) =2.5 sen (2 π t).

Si se considera α como una función de F *, Se obtiene una pendiente constante en el estado plástico sobre un intervalo de F *. Ozdemir (1976) obtuvo varias curvas esfuerzo-

deformación empleando varias expresiones para α en términos de ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

o F F * y observó que la

degradación de rigidez es efectiva tanto en la rama de carga como de descarga.

i ió l l l l d d ió d d d l f ió ⎟ ⎞

⎜⎛ F *

l fi


41/112


42/112

II.2.3 Deterioro del endurecimiento por deformación

Empleando las ecuaciones (II.21) a (II.21c), el modelo de deterioro por endurecimiento pordeformación se plantea de la siguiente manera (Ozdemir, 1976):

n

z

s f d d f ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= •••

(II.25)

( )

n

m

z

s f d z s

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.25a)

n

z

s f d z h z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

)( (II.25b)

donde m es una variable interna y ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

o F

F h z h

*)( es una función decreciente de

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

= o F

F

z f

*

)(α .

La modificación de este modelo para m = 1 permite introducir una ecuación de evoluciónque gobierna la pendiente en el intervalo plástico.

f = F / F o

1 2

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.62


43/112

La figura II.17 muestra las curvas fuerza-desplazamiento obtenidas mediante la integración

numérica de las ecuaciones (II.25) a (II.25b) para el caso x/xo =2.5 sen z y h( α *) = -.184( α *)1/2 , donde α *(0) =0.15, mientras que h( α *) es una función de α * y su efecto se reflejaen la reducción gradual hasta cero de la pendiente en el intervalo plástico; mientras lasdemás propiedades permanecen constantes.

II.2.4 Modelos combinados

Una vez que se han modificado las propiedades del material y que se han identificado yaislado las constantes que gobiernan las propiedades del mismo. Además de que se hadefinido la evolución de cada una de las propiedades mediante la introducción deecuaciones diferenciales para determinar los valores instantáneos de las constantes delmaterial. Ahora, se pueden resumir los modelos de Ramberg-Osgood con deterioromediante las siguientes ecuaciones diferenciales:

n

F S F d d

F F ⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ −−=

•••

12

(II.26)

n

F

S F d

F

S ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

11

*α (II.26a)

donde F es la fuerza, F 1 es la resistencia de fluencia,o x

F 2 es el módulo elástico, y α*

determina la pendiente de la curva fuerza-desplazamiento mediante la siguiente relación.

*

*

1

2

2

α

α

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

F

F x

F

dx

dF

o

(II.27)

Reemplazando las ecuaciones (II.26), (II.26a) y (II.27) con una única ecuación deevolución, F 1, F 2 y α* se consideran como funciones de la variable interna S, tomando auna de ellas constante en el programa de aplicación de fuerzas cíclicas. Así, se obtiene:


44/112

II.2.4.1 Deterioro de resistencia y rigidez

El modelo que considera el deterioro de resistencia y rigidez puede obtenerse estableciendo

las siguientes condiciones: F ∗ (0)=F 0; F 2 = F 1 = F ∗ y ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

**

F

F oα α ; considerando constante

el endurecimiento por deformación, debido a que se supone un incremento constante de ladeformación. Así, aplicando las condiciones anteriores y sustituyendo las ecuaciones (II.21)a (II.21c) en las (II.28) a (II.28b), se obtiene:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

••••n

z

s f d d z f (II.29)

n

z

s f d s ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.29a)

n

z

s f d z z

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=

••

β (II.29b)

En las ecuaciones (II.29) a (II.29b) la resistencia de fluencia y el modulo elástico decrecencuando incursionan en el intervalo plástico, mientras la pendiente dF/dx permanececonstante.

f = F / F

o

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5


45/112

II.2.4.2 Deterioro en resistencia, rigidez y endurecimiento por deformación

Si se define α ∗ = α = constante, tal que:

n

z

s f d z s ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.30)

y, ahora, se reemplaza la ecuación (II.30) en la (II.29a), se obtiene el modelo que incorpora

el decrecimiento en la pendiente plástica, por lo tanto, la reducción de la pendiente en losintervalos elástico y plástico puede aproximarse como una constante. Así, obtenemos lassiguientes ecuaciones:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

•••n

z

s f d d z f (II.31)

n

z

s f d z s ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

•• α (II.31a)

n

z

s f d z z ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

β (II.31b)

Las ecuaciones (II.31) a (II.31b) definen las curvas fuerza-desplazamiento con deterioro de

resistencia, rigidez y endurecimiento por deformación.

II.2.4.3 Deterioro de endurecimiento por deformación y de resistencia

Al hacer F 2 = F 0 = constante; F 1 = F ∗ ; F ∗ (0)= F 0 y ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

o F

F α α * ; donde F ∗ es gobernada por

una ecuación diferencial, se obtiene las siguientes ecuaciones que definen el modelo condeterioro de endurecimiento por deformación y de resistencia, manteniéndose constante la

rigidez debido a que se supone una pendientedx

dF constante.

nf ⎤⎡


46/112

d=x/xo

f = F / F o

-3 -1.8 -0.6 0.6 1.8 3-1.5

-1.2

-0.9

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.21.5

Figura II.19. Deterioro de la resistencia, rigidez y del endurecimiento por

deformación, α = 0.1, β = -0.01 y n=5.

f =

F / F o

-0.9

-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5


47/112


48/112

La figura II.21 muestra las curvas fuerza-desplazamiento obtenidas con las ecuaciones

(II.33) a (II.33b), considerando el deterioro de rigidez y endurecimiento por deformación, pero manteniendo constante la resistencia, para una función de desplazamiento de x/xo = 2.5sen (2 π t) y los parámetros que en ella se indican.

II.2.5 Caracterización de curvas histeréticas de los disipadores de energía

II.2.5.1 Caracterización de curvas histeréticas de los disipadores de energíaconsiderando un endurecimiento por deformación lineal

En los ciclos histeréticos iniciales generados por pruebas de fuerza cíclica condesplazamientos controlados se observa un endurecimiento lineal del material. Así, sesupone que el trabajo de endurecimiento por deformación será lineal para todos los ciclosde fuerza y que la disminución de fuerzas máximas será lineal en los ciclos histeréticos, porlo que se puede suponer que el deterioro de la resistencia sea lineal; con estas suposiciones

pueden emplearse las ecuaciones (II.20) a (II.20b) como el modelo matemático en lasiguiente forma.

n

ooo F

S F

x

x

x

x

F

F ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

•••

* (II.34)

n

ooo F

S F

x

x

F

S

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −=

••

α (II.34a)

n

oooo F

S F

x

x

F

F f

F

F ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

••

** (II.34b)

donde F ∗ es la resistencia a la fluencia y ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

o F

F f

* es una constante por deterioro lineal. Para

simplificar el modelo histerético que se aplicará al sistema de placas, se puede sustituir lasecuaciones (II.21) a (II.21c) en las ecuaciones (II.34) a (II.34b) para obtener las siguientesecuaciones.

nf ⎤⎡•••


49/112

donde β =⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ =

o F

F f z f

*)( es una constante por deterioro lineal.

Observando las ecuaciones (II.35) a (II.35b), ahora sólo es necesario determinar lasconstantes, n, α y β , para definir el modelo histerético con endurecimiento pordeformación lineal.

II.2.5.2 Caracterización de curvas histeréticas considerando un endurecimiento por

deformación no linealDebido a que los ciclos histeréticos posteriores a los iniciales generados por pruebas defuerza cíclica con desplazamientos controlados se observa un endurecimiento que tiende aser gradualmente no lineal. Es necesario desarrollar un modelo que refleje estecomportamiento del material en cada ciclo de fuerza. El empleo de una ley deendurecimiento no lineal contribuye a reproducir la transición del estado decomportamiento elástico al plástico. De esta manera, definiendo la siguiente ecuación.

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

oo F

F

x

xS α

Posteriormente, esta expresión se emplea en las ecuaciones (II.34) a (II.34b). Estas últimasse integran numéricamente para obtener expresiones más generales. Entonces, elendurecimiento no lineal en cada ciclo de fuerza puede modelarse mediante las siguientes

ecuaciones.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

•••

* F

S F

x

x

x

x

F

F

ooo

(II.36)

n

oooo F

F

x

x

F

F

x

xS ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 21 α α (II.36a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

••

*

*

F

S F

x

x

F

F

oo

β (II.36b)


50/112

Observando las ecuaciones (II.37) a (II.37b), ahora sólo es necesario determinar las

constantes, n, α 1, α 2 y β , para definir el modelo histerético con endurecimiento pordeformación no lineal.

La figura II.22 muestra las curvas fuerza-desplazamiento para un disipador de energíaconsiderando endurecimiento por deformación lineal, mientras que en la figura II.23 seconsidera un endurecimiento por deformación no lineal. Estas curvas se obtuvieron con lasecuaciones (II.35) a (II.35b) y (II.37) a (II.37b), respectivamente, para los valores de los parámetros que se indican en ambas figuras y considerando las siguientes condiciones

iniciales, x = 0.8 sen t , F(0) = 0, S(0) = 0 y F*(0) = Fo. Así, el modelo histerético deOzdemir simplificado modela con precisión la no linealidad observada en las curvasexperimentales, así como la degradación de rigidez y resistencia.

En las ecuaciones (II.34) a (II.34b) y (II.36) a (II.36b), los valores de las constantes delmaterial F 0, x0, α , α 1, α 2 y n; pueden determinarse a partir del primer ciclo de histéresis;mientras que β puede estimarse como el cambio total de F ∗ durante los ciclos ensayados,usando la intersección de F en los ciclos de histéresis como una medida de la resistencia en

la fluencia, con las condiciones iniciales F(0) = 0, S(0) = 0, F ∗ = F 0 y empleando x(t) comola fuerza aplicada de variación monotónica senoidal.

A pesar de que originalmente el modelo histerético de Ozdemir (1976) se empleó para predecir las curvas fuerza-desplazamiento de disipadores de energía que trabajan a torsión.Este se emplea en forma modificada por las ecuaciones (II.35) a (II.35b) en el capítulo V, para determinar las curvas fuerza-desplazamiento de placas de acero que trabaja a flexión yque podrían funcionar como disipadores de energía. Las constantes del material n,α ,α

1,α

2y

β , se determinan por el método de mínimos cuadrados lineales que se desarrolla en elcapítulo III, aplicado al modelo de Ramberg-Osgood modificado que considera deterioro enresistencia y rigidez y endurecimiento por deformación lineal.

Finalmente, el mayor inconveniente del modelo de Ozdemir consiste en que pertenece a lacategoría de modelos endócrinos, debido a su similitud en el comportamiento de larespuesta cuasi-estática de los modelos endócrinos que se emplean en el área de plasticidad,

los cuales exhiben características no realistas que son inconsistentes con el comportamientofísico observado. Estas características no realistas se denominan ciclos histeréticos posiblemente no cerrados y desplazamiento de las curvas histeréticas. Para minimizar la primera característica puede incluirse una variable que controle el cierre del ciclohisterético (Casciyati, 1987). Así, para que no presenten los problemas anteriores, los

d l d i d l i l d b li l l d d bilid d d


51/112

Desplazamiento (pulgadas)

F u e r z a

( k i p s )

-1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura II.22. Generación de ciclos histeréticos mediante endurecimiento por

deformación lineal α = 0.10, β = -0.01 y n = 5.

F u e r z a ( k i p s )

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


52/112

III. AJUSTE DE PARÁMETROS DE CURVAS HISTERÉTICAS

EXPERIMENTALES

III.1 Introducción

La respuesta sísmica de la estructura completa depende del comportamiento histerético delas regiones críticas. Por lo tanto, es necesario desarrollar modelos analíticos adecuados para representar su comportamiento y en consecuencia definir algunos parámetros que

controlan su forma. Por lo general, estos parámetros se establecen empíricamente.

Al modelar el comportamiento histerético de los elementos estructurales sometidos afuerzas cíclicas, se emplean modelos definidos mediante un número reducido de parámetroscuando la flexión gobierna la respuesta y bastante mayor cuando además se consideracortante y la fuerza axial. En este caso, los parámetros son generalmente establecidos a partir de una serie de datos experimentales. Así, es necesario determinar los que definen larespuesta de un sistema histerético. Esto puede llevarse a cabo mediante la minimización de

la diferencia de los resultados experimentales con respecto a los obtenidos con el modelomatemático.

III.2 Revisión de los métodos de obtención de los parámetros

Existe una variedad de métodos teóricos que describen un amplio intervalo delcomportamiento viscoplástico de los materiales. Las ecuaciones constitutivas viscoplásticasderivadas de estas teorías involucran muchos parámetros, mismos que influyensignificativamente en el comportamiento de dichas ecuaciones. Los parámetros apropiadosdeben determinarse de tal manera que puedan representar adecuadamente elcomportamiento de los materiales.

Los modelos constitutivos pueden clasificarse como: los que contienen sólo variablesobservables (MVO), y los que contienen variables que describen el comportamiento interno

del material (MDCIM). Cada uno emplea su propio método para la identificación de parámetros. Sin embargo, la tecnología actual en las computadoras permite que todos los parámetros se identifiquen simultáneamente y los métodos de optimización se emplean paraencontrar los parámetros mediante ajustes continuos, hasta que proporcionen la mejorcaracterización de los datos experimentales.


53/112

Osgood (II.4) pertenece al modelo MVO, y puede expresarse en la forma del MDCIMempleando la teoría unificada (Furukawa et al., 1999).

Para propósitos prácticos de este trabajo, se revisa el método de funciones de potencia y semodifica un método basado en un ajuste por mínimos cuadrados que considera el modelode Ramberg-Osgood sin deterioro y se aplica un método de ajuste por mínimos cuadradosno lineales al mismo modelo histerético. Adicionalmente, se desarrolla un método de ajustede parámetros para el modelo de Ramberg-Osgood con deterioro de rigidez y resistencia.

III.2.1 Método de funciones de potencia

El principio fundamental de una función de potencia consiste en que en la relaciónesfuerzo-deformación unitaria, la deformación unitaria total, εtotal, puede ser dividida en una parte elástica, ε elástica, y en una inelástica, ε inelástica (Popov, 1963), esto es:

ε tota l = ε elástica + ε inelástica (III.1)

De acuerdo con la ecuación anterior y haciendo σ = x en la ecuación (II.5) se tiene que:

elástican

n

inlástica E

ε α σ

α ε =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = (III.2)

o r m a c i ó n u n

i t a r i a p l á s t i c a

0.0001

0.001

0.01

0.10.2 punto 2

Experimental Ajustada


54/112

El método de funciones de potencia se basa en la ecuación que representa una recta con pendiente n en escala log-log. Una aproximación razonable para representar analíticamenteel comportamiento de un material dúctil en el intervalo de comportamiento inelástico,consiste en tomar dos puntos alejados entre sí, por ejemplo el punto 1 en intervalo elásticoy un punto 2 en el intervalo inelástico (figura III.1), y así, calcular los valores de n y α con:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

12

12

loglog

loglog

elásticoelástico

inelásticoinelásticon

ε ε

ε ε (III.3)

y;

11 logloglog elásticoinelástico n ε ε α −= (III.4)

La principal desventaja de este método consiste en tener que ubicar adecuadamente los puntos 1 y 2, ya que en casos prácticos los datos experimentales no necesariamente siguenla trayectoria de esta línea. Para evitar este inconveniente, además de obtener mayor precisión en el cálculo de la curva esfuerzo-deformación, es necesario llevar a cabo unajuste por mínimos cuadrados como se describe a continuación.

III.2.2 Mínimos cuadrados lineales (MCL)

Se desarrolla un método basado en un ajuste por mínimos cuadrados para determinar, a partir de datos experimentales, los parámetros que gobiernan el comportamiento de

materiales inelásticos con base en la ecuación de Ramberg-Osgood. Este método ha sidocalibrado previamente (Amateco et al , 2001) y se ha empleado en la obtención de los parámetros que caracterizan las curvas de histéresis de placas de acero que trabajan comodisipadores de energía (Amateco et al , 2001; Escobar et al , 2002).

Se emplea el modelo de Ramberg-Osgood sin deterioro debido a que requiere pocos parámetros y representa suficientemente el comportamiento no lineal del material y en estaetapa se considera una falla frágil del mismo.

Haciendo δ p= x p en la ecuación (II.7) y desarrollando la misma en serie de Taylor, seobtiene.

( ) ( ) ( ) TOSFFF ppp∂∂∂ δ δ δ

δδ )( (III 5)


55/112


56/112


57/112

n

yi F

F −

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ = 1δ α (III.10)

En las tablas III.1 a III.4 se comparan los resultados obtenidos para ajustar los datosexperimentales de diferentes materiales. Se anotan los valores de los errores relativosobtenidos con el algoritmo de Margetson (1981), (casos denominados A y B), los obtenidosde aplicar el método de funciones de potencia, así como los que produce el método deajuste aquí propuesto. Se utilizan l

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Ajuste de Parametros de Modelos Histeret