Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.1) 3 Distribuição e Densidade de Probabilidade

Albertazzi.Variáveis Aleatórias Contínuas. (3.1)

33Distribuição e Densidade de Probabilidade


variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias

• São funções definidas sobre os elementos de um espaço amostral– ex: soma de dois dados, cotação do Dollar, precipitação diária de

chuva em uma cidade, limite de resistência de uma peça, etc• Podem ser

– discretas– contínuas

• Convenção:– variáveis aleatórias: X, Y, ... (letras maiúsculas)– valores possíveis das variáveis aleatórias: x, y, ... (minúsculas)


variáveis aleatórias discretasvariáveis aleatórias discretas

• A função que atribui a probabilidade a cada valor possível de uma variável aleatória discreta é denominada distribuição de probabilidade

f(x) = P(X = x)• exemplo:

– dado honesto: f(x) = 1/6, para x=1, 2, 3, 4, 5 ou 6– como seria f(x) para a soma de dois dados?

• Propriedades:

0)( xf Xtodos

xf 1)(


função distribuição (acumulada)função distribuição (acumulada)

• A função distribuição acumulada de uma variável aleatória X associa a cada valor possível de X a probabilidade deste valor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)

F(x) = P(X x)

• exemplo:

x

f(x)

1

0,50

2 3 4 5

0,25x

F(x)

1

1,00

2 3 4 5

0,50


média e variância de uma distribuição média e variância de uma distribuição calculada a partir de sua distribuição de calculada a partir de sua distribuição de

probabilidadesprobabilidades

• Média (ou valor esperado)

• Variância

xtodos

xExfx )()(.

xtodos

xfx )(.)( 22


– Assumem valores reais f(x) = função densidade de probabilidade

a b

x

f(x)

b

a

dxxfbXaP )()(0)( xXP

variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas


variáveis aleatórias contínuasvariáveis aleatórias contínuas

– Propriedades:

a b

x

f(x)

)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP

xxf ,0)(

1)( dxxf


função probabilidade acumuladafunção probabilidade acumulada– A função probabilidade acumulada de uma variável aleatória X associa

a cada valor possível de X a probabilidade deste valor ser menor ou igual a x. Denota-se F(x)

x

dfxXPxF )()()(

)()(

xfdx

xFd

)()()( aFbFbXaP

a bx

f(x)

a bx

F(x)1,00

F(b)

F(a)


média e variância de uma VA contínuamédia e variância de uma VA contínua

• Média (ou valor esperado)

)()( xEdxxfx

2222 )()()( dxxfxdxxfx

• Variância


Distribuição de probabilidade uniforme ou Distribuição de probabilidade uniforme ou retangularretangular

1 2 3 4 5 6

probabilidade

1/6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/6

)

Lançamento de um dado


Distribuição de probabilidade triangularDistribuição de probabilidade triangular

1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0

probabilidade (1/36)

2

4

6

Média de dois dados


Distribuição de probabilidade triangularDistribuição de probabilidade triangular

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 2 dados

Pro

ba

bil

ida

de

(1/3

6)


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

ba

bil

ida

de

(1/6

)Lançamento de um dadoLançamento de um dado


0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

M édi a d e 2 d ado s

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/36

)

Média de dois dadosMédia de dois dados


0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Pro

ba

bil

ida

de

(1

/21

6)

Média de três dadosMédia de três dados


0

2 0

4 0

6 0

8 0

10 0

12 0

14 0

16 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Pro

ba

bil

ida

de

(1

/12

96

)Média de quatro dadosMédia de quatro dados


0

50 0

100 0

150 0

200 0

250 0

300 0

350 0

400 0

450 0

500 0

0 1 2 3 4 5 6 7


Pro

ba

bil

id

ad

e (

1/46

65

6)

Média de seis dadosMédia de seis dados


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 8 dados

Pro

ba

bil

ida

de

(1

/16

796

16

)Média de oito dadosMédia de oito dados


Curva normalCurva normal

pontos de inflexão

assíntotaassíntota

média

desvio padrão


distribuição normal (ou gaussiana)distribuição normal (ou gaussiana)

• Observada no século XVIII: “curva normal de erros”

xexfx

2

2

2

)(

2

1)(

- +

f(x) Ponto de inflexão


distribuição normal (ou gaussiana)distribuição normal (ou gaussiana)

x

dexF

2

2

2

)(

2

1)(

Função probabilidade acumulada:

Não pode ser integrada de forma explícita.É calculada numericamente e tabelada.

Problema:

para cada valor de e seria necessária uma tabela diferente!

Solução: distribuição normal padronizada.


= 2 = 0

= 1 = 0

= 2 = 3

3XY

2

3X

Z

X30

f(x)

30

f(y)

30

f(z)

variável distribuição


distribuição normal padronizadadistribuição normal padronizada

• Mudança de variável para que = 0 e 2 = 1

X

Z

z

dezF

2/2

2

1)(

zezfz

2

2

2

1)(

F(z) é tabelado


)(1)( zFzF

1 - F(z)

z

propriedade para uso da tabela:propriedade para uso da tabela:

F(-z)

F(-z) = ?

0-z


exemplo:exemplo:

Calcule a probabilidade de um VA com distribuição normal com = 3 e = 2 apresentar valores entre 2 e 5.

= 2 = 3

30 2 5

50,02

322

z

)()( 25 zFzFP

00,12

355

z

)50,0(1)50,0( FF

0.53280.6915]-[1-0.8413)]50,0(1[)00,1( FFP


distribuição uniformedistribuição uniforme

contráriocaso

xxf

,0

,,1

)(

ex: erro de arredondamento de um mostrador digital

2

22

12

1

f(x)

1


distribuição triangulardistribuição triangular

efeito do arredondamento na diferença entre duas indicações digitais

f(x)

2

22

24

1

2


valor esperadovalor esperado

• Definição: o valor esperado (ou esperança ou valor médio) de uma função de uma variável aleatória (VA) é dado por:

dxxfxgxgE )()()]([


propriedades do valor esperadopropriedades do valor esperado

• caso particular: g(X) = X

xXE )(

22 )(])[( xx XVarXE

• caso particular 2: g(X) = (X - x)2


bXEabaXE )()(

)()( 2 XVarabaXVar

• outros casos de interesse:

ba XbaX

222XbaX a

propriedades do valor esperadopropriedades do valor esperado


propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variância

• Seja X1, X2, ... , Xk VA com média Xi

k

iXikk

kk

iaXEaXEaXEa

XaXaXaE

12211

2211

)(...)()(

)...(

• Exemplo:

3213213232 XXXXXX



• Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com variância 2Xi

k

ixiikk

kk

aXVaraXVaraXVara

XaXaXaVar

1

2222

221

21

2211

)(...)()(

)...(

• Exemplos:

222232 321321

94 XXXXXX

22

2121 XXXX 22

2121 XXXX



• Seja X1, X2, ... , Xk VA independentes e com variância 2Xi

)(...)()(

)],...,,([2

2

2

21

2

1

21

kk

k

XVarX

gXVar

X

gXVar

X

g

XXXgVar

2

2

22

12

2

2

2/ 2121

1XXXX X

X

X

• Exemplo:


propriedades do valor esperado e variânciapropriedades do valor esperado e variânciaSeja X1, X2, ... , Xk VA independentes, todas com média e var. 2

kk

kkk

kkkkX XEXEXEXE111

12

11

1

...

)(...)()()(

kkkkk XXX

k

XXXX 1

21

1121 ...

...

k

XVarXVarXVarXVar

kk

kkk

kkkkX

22212121

12

11

12

2222

222

...

)(...)()()(

kX


covariânciacovariância

• Definição: covariância entre X1 e X2

21

2121

.).(

)])([(),cov(

21

2121

XX

XXXX

XXE

XXEXX

X1

X2

021XX

X1

X2

021XX

X1

X2

021XX

X2

021XX

X1


correlaçãocorrelação• Quando dividida pelos respectivos desvios-padrão de cada variável, a covariância é

normalizada e recebe o nome de “Coeficiente de correlação”

21

21

21 .)().(

),cov(

21

21

XX

XXXX

XVarXVar

XX

1121

XX


correlaçãocorrelação

• Se X1 e X2 são VA independentes, então X1X2 = X1X2 = 0

k

jjiji

jikk

kk

XXaaXVara

XVaraXVaraXaXaXaVar

2

2

2221

212211

),cov(2)(

...)()()...(

• Se X1, X2, ... , Xk são dependentes, então:

X1X2 = X1X2 = 0


verificação de normalidadeverificação de normalidade

• Uma distribuição é normal?Escores normais: conjunto de “n” valores que dividem a distribuição

normal idealizada em “n+1”faixas com igual probabilidade e organizados em ordem crescente

exemplo: n=4

0,2 0,20,20,20,2

-0,84 -0,25 0,25 0,84

F(-0,84) = 0,20F(-0,25) = 0,40F(0,25) = 0,60F(0,84) = 0,80



• Roteiro:1 - Calcule e a partir dos dados experimentais2 - Ordene os dados de forma crescente3 - Obtenha os escores normais sendo “n” o número de dados

experimentais4 - Plote o i-ésimo valor experimental versus o i-ésimo escore normal5 - Se o gráfico resultante se aproxima de uma reta esse indica que a

distribuição dos dados é próxima da normalNormalmente 15 n 20, embora seja comum n > 20, mas não se

recomenda n < 15


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-1 -0.5 0 0.5 1

Escores normais

Va

lore

s d

a v

ari

áve

lP EN Val

0.2 -0.842 -150.4 -0.253 -50.6 0.253 60.8 0.842 16

-5, 16, 6, -15

-15, -5, 6, 16

valores

valores ordenados



• Exemplos:

distribuição normal distribuição uniforme

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

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