Variáveis Aleatórias Contínuas - ime.usp.brgiapaula/Aula%206-VAs-Cont%EDnuas-MAE… · propriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumas aplicações. MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)

Variáveis Aleatórias Contínuas

Bacharelado em Economia - FEA - Noturno

1o Semestre 2016

Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula

MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1o Semestre 2016 1 / 52

Objetivos da Aula

Sumário

1 Objetivos da Aula

2 Exemplos de Distribuições Contínuas

3 Variáveis Aleatórias Contínuas

4 Esperança

5 Variância

6 Função de Distribuição Acumulada

7 Outras Distribuições


Objetivos da Aula

Objetivos da Aula

Variáveis Contínuas

O objetivo principal desta aula é apresentar alguns formas dedistribuições de variáveis aleatórias contínuas, discutir as principaispropriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumasaplicações.


Exemplos de Distribuições Contínuas

Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância





Distribuição Uniforme

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

1 2 3 4 5



Distribuição Triangular

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)



Distribuição Normal

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)



Distribuição Log-Normal

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x

f(x)



Distribuição Exponencial

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)



Distribuição Qui-Quadrado

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

x

f(x)



Distribuição de Gumbel

−4 −3 −2 −1 0 1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

f(x)



Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância






Definição

Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindovalores num intervalo de números reais, é denominada variávelaleatória contínua.




Definição


Exemplos

altura de um adulto




Definição


Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro




Definição


Exemplos

altura de um adulto


temperatura mínima diária




Definição


Exemplos

altura de um adulto



saldo em aplicações financeiras




Definição


Exemplos

altura de um adulto




ganho de peso após dieta




Definição


Exemplos

altura de um adulto




ganho de peso após dieta

distância percorrida




Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade.





A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade. Em termos matemáticos





A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatóriaX é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual àunidade. Em termos matemáticos

∫ +∞

−∞

f (x)dx = 1.





Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notaçãoX ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X édefinida por





Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notaçãoX ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X édefinida por

f (x) = 1

4 1 ≤ x ≤ 5,0 c.c.



Descrição de f (x)

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

1 2 3 4 5





A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base∆ = 4 e altura h = 1

4 .






4 . Logo, a área total fica dada por







A = ∆× h = 4 × 14= 1.







A = ∆× h = 4 × 14= 1.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

A





A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral





A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela soluçãoda integral

∫ 5

1

14

dx =14

∫ 5

1dx

=14

x |51

=14(5 − 1)

=44= 1.




Probabilidade de eventos

A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b].





A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b]. Em termos matemáticos





A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva nointervalo [a, b]. Em termos matemáticos

P(a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)dx .




Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 1

4 .





4 .Essa área fica dada por






B = ∆× h = 1 × 14= 0, 25.






B = ∆× h = 1 × 14= 0, 25.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

B





A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral





A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pelasolução da integral

∫ 2

1

14

dx =14

∫ 2

1dx

=14

x |21

=14(2 − 1)

=14= 0, 25.


Esperança

Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância




Esperança

Esperança

Definição

A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por


Esperança

Esperança

Definição

A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X ficadada por

µ = E(X ) =

∫ +∞

−∞

xf (x)dx .


Variância

Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância




Variância

Variância

Definição

A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por


Variância

Variância

Definição


Var(X ) = E[X − µ]2

= E(X 2)− µ2,


Variância

Variância

Definição


Var(X ) = E[X − µ]2

= E(X 2)− µ2,

em que

E(X 2) =

∫ +∞

−∞

x2f (x)dx .


Variância


Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniformeno intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = 1

(b−a) paraa ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.


Variância


Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniformeno intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = 1

(b−a) paraa ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.

x

f(x)

a b


Variância


Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].


Variância



Esperança

A esperança de X fica dada por

E(X ) =

∫ b

a

x(b − a)

dx =a + b

2.


Variância



Esperança


E(X ) =

∫ b

a

x(b − a)

dx =a + b

2.

Variância

A variância de X fica dada por

Var(X ) =

∫ b

a

x2

(b − a)dx

︸︷︷︸

E(X 2)

−[E(X )]2 =(b − a)2

12.


Função de Distribuição Acumulada

Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância





Função de distribuição acumulada

Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Tcontínua é definida por




Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória Tcontínua é definida por

F (x) = P(T ≤ x) =∫ x

−∞

f (t)dt .





A função de distribuição acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ U[a, b] é dada por





A função de distribuição acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ U[a, b] é dada por

F (x) =

0 x < a,x−ab−a a ≤ x < b,1 x ≥ b.



Descrição de F (x)

a b

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F(x

)


Outras Distribuições

Sumário

1 Objetivos da Aula



4 Esperança

5 Variância







Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidadede X é definida por





Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidadede X é definida por

f (x) =

4x 0 ≤ x ≤ 1/2,4(1 − x) 1/2 < x ≤ 1,

0 c.c.



Descrição de f (x)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

0.0 0.5 1.0




Área total

A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2.




Área total

A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por




Área total


A =∆× h

2=

1 × 22

= 1.




Área total


A =∆× h

2=

1 × 22

= 1.0.

00.

51.

01.

52.

0

x

f(x)

0.0 0.5 1.0

A





A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é






B =12− 1/4 × 1

2

=12− 1

8=

38.






B =12− 1/4 × 1

2

=12− 1

8=

38.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

B

A





Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b].





Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãotriangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então






f (x) =

2(x−a)(b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,

2(b−x)(b−a)(b−c) c < x ≤ b,

0 c.c.






f (x) =

2(x−a)(b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,

2(b−x)(b−a)(b−c) c < x ≤ b,

0 c.c.

x

f(x)

a c b




Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].





Esperança


E(X ) =a + b + c

3.





Esperança


E(X ) =a + b + c

3.

Variância


Var(X ) =a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc

18.





Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial deparâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidadede X é definida por






f (x) = λe−λx ,






f (x) = λe−λx ,

em que x > 0.



Descrição de f (x) para λ = 3

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)




Área total

A área total sob a curva é calculada através da integral




Área total

A área total sob a curva é calculada através da integral

∫ +∞

0λe−λxdx = λ

∫ +∞

0e−λxdx = 1.





A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo epode ser calculada pela integral






A =

∫ 2

1λe−λxdx

= e−λ − e−2λ.






A =

∫ 2

1λe−λxdx

= e−λ − e−2λ.

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

A




Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuiçãoexponencial de parâmetro λ > 0.





Esperança


E(X ) =1λ.





Esperança


E(X ) =1λ.

Variância


Var(X ) =1λ2 .





A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ Exp(λ) fica dada por





A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatóriaT ∼ Exp(λ) fica dada por

F (x) =

0 x ≤ 0,1 − e−λx x > 0.



Descrição de F (x) para λ = 1

0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F

(x)





Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ evariância σ2, a função densidade de probabilidade de X é definida por






f (x) =1

σ√

2πe−

1σ

2 (x−µ)2,






f (x) =1

σ√

2πe−

1σ

2 (x−µ)2,

para −∞ < x , µ < +∞ e σ > 0.






f (x) =1

σ√

2πe−

1σ

2 (x−µ)2,

para −∞ < x , µ < +∞ e σ > 0. Notação: X ∼ N(µ, σ2).



Descrição de f (x) de uma N(0,1).

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)




Padronização

Se X ∼ N(µ, σ2) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então




Padronização


P(X ≤ x) = P(

Z ≤ x − µ

σ

)

,




Padronização


P(X ≤ x) = P(

Z ≤ x − µ

σ

)

,

ou seja, todos os cálculos podem ser feitos pela normal padrão.



Distribuição N(0,1)

Cálculo de probabilidades

Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculadapela diferença






P(X ≤ 1)− P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.






P(X ≤ 1)− P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

A





Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média.





Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar ofato da distribuição ser simétrica na média. Assim,






P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.






P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

A




Cálculo de percentil

Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? PeloR podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).




Cálculo de percentil

Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? PeloR podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

f(x)

0 a

A



Descrição de F (x) para N(0,1)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

F

(x)


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