Variáveis Aleatórias Contínuas

Profª. JanineDisciplina: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Seja X uma v.a. contínua.

Uma variável aleatória pode assumir qualquer valor fracionário dentro de um intervalo definido de valores.

A proporção da área incluída ou frequência relativa entre dois pontos quaisquer, abaixo da curva de probabilidade, identifica a probabilidade de que a v.a. selecionada assuma um valor entre tais pontos.

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Ou seja:

∫=≤≤b

a

dxxfbXaP )()(

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Para que f(x) seja uma função de distribuição de probabilidade (fdp) legítima, deve satisfazer às duas condições a seguir:

a)

b)f(x) de gráfico do abaixo área a é que 1, dx f(x) ∫

∞

∞

=

xos todos para,0 ≥f(x)

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Proposição: Seja X uma variável contínua X com f.d.p. f(x) então, definimos:

Valor Esperado:

Variância:

Desvio Padrão:

dxxfxXEX ∫∞

∞−

⋅== )()(µ

222 ))(()()( XEXEXVX −==σ

2Xσσ =

dxxfxXE ∫∞

∞−

⋅= )()( 22

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Principais Características:

1)Para cada média e desvio padrão existe uma curva diferente.

2)O ponto mais alto da curva está na média.

3)A curva é simétrica em relação a média: o lado esquerdo é igual ao lado direito.

4)O desvio padrão determina a largura da curva.

5)A área total abaixo da curva é igual a 1 ou 100%.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

O gráfico de f(x) é:

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Se quisermos calcular a probabilidade indicada na figura, devemos fazer:

Que representa um relativo grau de dificuldade.

Usaremos então a notação:

Seja X~N, definimos:

e2π

1=b)≤X≤P(a ∫

b

a

-

2

1-

dxσ

σ

μx

²

)²(

²) ,(N: σµ X

-X:σ

μZ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A vantagem dessa curva padronizada consiste em definir parâmetros para qualquer escala de medida que você utilizar.

Z é chamada de variável normal reduzida, Normal Padronizada ou Variável Normalizada.

Z tem E(Z)=0 e VAR(Z)=1.

Assim, podemos usar:

(0,1)N: Z²),(N: ⇒σµX

( )∞-∞e

2π

1=f(z) 2

1-

<<²

zz

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A variável Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média. Como as curvas são simétricas em relação a média.

Como para X dado a área a ser encontrada depende de μ e δ². Então é vantagem usar a variável Normalizada e encontrar essas as probabilidades por meio de valores tabelados.

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Tabela: Área sob a curva normal padronizada

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Exemplo 1: (Como usar a tabela).

Seja X: N(100, 25). Calcule:a) P(100 ≤ X ≤ 106);b) P(89 ≤ X ≤ 107);c) P(112 ≤ X ≤ 116);d) P(X ≥ 108);

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Exemplo 2:

O tempo que um motorista leva para reagir às luzes de freio em um veículo em desaceleração é crucial para evitar colisões traseiras. O artigo “Fast-Rise Brake Lamp as a Collision-Prevention Device ” (Ergonomics, 1993, p. 391-395) sugere que o tempo de reação de uma respostas no trânsito a um sinal de frenagem com luzes de freio convencionais pode ser modelado com uma distribuição normal de média 1,25 segundo e desvio padrão de 0,46 segundo. Qual é a probabilidade de que o tempo de reação esteja entre 1,00 e 1,75 segundos?

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

forneceãopadronizaçAxPporbuscamos

reaçãodetempooxpormosrepresentaSe

).75,100,1(

,

≤≤

460

251751

460

251001

751001

,

,,

,

,,

, ,,

−≤≤−≤≤

Z

sesomenteesex

( ) ( ) )54,0()09,1(09,154,075,100,1

:

09,154,0

−Φ−Φ=≤≤−=≤≤

≤≤−

ZPxP

Assim

ZsejaOu

( ) 5675,02946,08621,075,100,1 =−=≤≤= xP

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

Outras distribuições contínuas:

Distribuição Uniforme Contínua: é aquela em que todos os elementos têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Distribuição Exponencial: é frequentemente usada para modelar a distribuição dos tempos entre a ocorrência de eventos sucessivos, tais como clientes chegando em uma unidade de atendimento, chamadas em uma central telefônica (X: tempo decorrido até que o 1º evento ocorra).