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Luiz Affonso Guedes affonso/DCA1108/aulas/variaveis_  · PDF file Variáveis Aleatórias •Definição: – Dado um espaço de probabilidade descrito por (S,P), uma variável aleatória

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Processos Estocsticos

Luiz Affonso Guedes

Sumrio Probabilidade Variveis Aleatrias Funes de Uma Varivel Aleatria Funes de Vrias Variveis Aleatrias Momentos e Estatstica Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocsticos Anlise Espectral Filtragem e Predio Estocstica Processos Markovianos

Variveis Aleatrias

Como devemos descrever um experimento aleatrio? Uma boa forma seria associar cada experimento

com valores numricos.

A

Reais, Inteiros,...

Variveis Aleatrias

Definio: Dado um espao de probabilidade descrito por

(S,P), uma varivel aleatria (v.a.) sobre esse espao uma funo sobre S.

X(A) = f(A)

Varivel aleatria uma funo dos eventos, no uma varivel.

Variveis Aleatrias

Exemplos: Seja o Experimento probabilstico de se lanar

dois dados. Ento seu espao amostral : S = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (2,1), (2,2), ..., (6,6)} X(e) V.A. correspondendo a soma dos valores de

cada face. Y(e) V.A. par ou mpar, caso a soma d par ou

mpar, respectivamente.

Variveis Aleatrias

1/36par12(6,6)...

1/36mpar3(2,1)...

1/36mpar3(1,2)1/36par2(1,1)P(e)Y(e)X(e)e

Espao de X(e) {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ,12)Espao de Y(e) {par, mpar)

1/36122/36113/36104/3695/3686/3675/3664/3653/3642/3631/362P(X)X(e)

18/36mpar18/36parP(Y)Y(e)

P(X=7) = 1/6

Variveis Aleatrias

S

e

X(e)X(e)

P(X)

Variveis Aleatrias

V.A. Discretas quando os valores da varivel formam um conjunto enumervel.

V.A. Contnuas quando os possveis resultados do experimento so representados por infinitos valores em um intervalo contnuo. Exemplos: temperatura, tempo, valor de tenso.

Funes de Probabilidade de V.A. Distribuio: a funo acumulativa de

uma v.a.: Fx(X) = P{X x}, definida para cada x no

intervalo de infinito a +infinito. Densidade: a derivada da funo

distribuio. f(X) = dF(X)/dX

Exemplo: Jogar uma moeda, X(cara) = 1, X(coroa) = 2.

Grfico de Fx(X) e de sua derivada f(X).

Funes de Probabilidade de V.A. Exemplo: Jogar um dado,

X(i=nmero da face) = 2.i Grfico de Fx(X). P(X

Funes Distribuio e Densidade

Propriedades: F(X) uma funo no decrescente; F(-00) = 0 ; F(+00) = 1; P(a

Esperana Matemtica de V.A.

Colocao de um problema: Seja um jogo de dado, sendo que expresso

pela seguinte V.A.:- Quais so suas chances no jogo?

-306

-105

04

+53

+102

+151

GanhoFace

Esperana Matemtica de V.A.

Esperana para V.A. Discretas: E[X(e))] = eSX(e)P(e)ou em termos de um conjunto enumervel, E[X] = i=1... {xiP[X=xi]}

E[X] = x1P(x1) + x2P(x2) + ... + xnP(xn) Desde que i=1... P(xi) = 1, E[X]

basicamente uma mdia ponderada

Esperana Matemtica de V.A.

Propriedade da linearidade: E[X+Y] = E[X] + E[Y] E[cX] = c.E[X]

E[X1+ X2+ ... +Xn] = E[X1] + E[X2] + ... + E[Xn]

Esperana Matemtica de V.A.

Exemplos: Uma loteria vende 100 bilhetes a R$1,50, cada.

Sendo que o prmio de R$100,00. Qual a sua esperana de ganho se voc jogou 1, 2,10 ou 100 bilhetes?

Se os nmeros das faces de um dados so a prpria v.a., qual a esperana ao se lanar um dado?

Esperana Matemtica de V.A.

Esperana para V.A. Contnuas:E[X] = - , x f(x) dxf(X=x) dX P(X= x), interpretao

Exemplo: f(x) = 2x, para 0x 0,5;

= -(2/3)x+(4/3), para 0,5x 2,0 e= 0, para os outros valores.

Obtenha o grfico e E[X].

Esperana Matemtica de V.A.Exemplo: Uma loteria d 200 prmios de R$5,00, 20 de R$25,00 e 5 de R$100,00. Admitindo-se que sejam emitidos e vendidos 10.000 bilhetes, qual seria o preo justo par um bilhete?Exemplo: Uma moeda, viciada de modo que P(cara)=3/4 e P(coroa)=1/4, lanada 3 vezes. Seja X a v.a. que representa o nmero de caras ocorrido. Ache a distribuio e a mdia de X.

Funes de uma Varivel Aleatria

Seja X uma v.a. discreta definida em um espao amostral S, g(.) uma funo real e Y= g(X). Ento: P[Y=y] = x:g(x)=y P[X=x] E[g(X)] = xg(x)P[X=x]. E o caso contnuo?

X

Yy

x1 x2 x3

Funes de uma Varivel Aleatria

Varincia: Denotada por 2(X), a varincia de uma v.a. X

definida matematicamente por: 2(X) = E[(X- E[X])2], E[X] = m, valor mdio de X Interpretao para varincia. Mostrar que:

2(X) = E[X2] (E[X])2

O que significa: E[X2]?

Funes de uma Varivel Aleatria

Varincia: 2(X) = i=1... {(xi-E[X])2 P[X=xi]} 2(X) = - , (xi-E[X])2 f(x) dx Como calcular varincia? Se Y= a X, qual o valor de 2(Y)? Desvio Padro : raiz quadrada da varincia

(X)

Funes de uma Varivel Aleatria

Momentos de V.A. A esperana de g(X) = Xk denominada momento

de ordem k da v.a. X, para k= 1, 2, 3, ... E[X] primeiro momento de X. 2(X) segundo momento menos o quadrado do

primeiro momento. E(Xk) = i=1... {(xi)k P[X=xi]} E(Xk) = - , (xi)k f(x) dx

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. A funo geradora de momentos da v.a. X,

definida matematicamente por: x(t) = E(etX), para todo t em que a esperana seja finita.

x(t) = i=1... {(et xi) P[X=xi]} x(t) = - , (etx) f(x) dx

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. Exemplo: Seja X uma V.A. discreta que assume os valores

1,2,...,2n, com probabilidades: P[X=2n] = 1/2n

E[X] = ?

Exemplo: Seja X uma V.A. que assume os valores zero e um, com probabilidades iguais a (1-p) e p, respectivamente.

x(t) = E[etX] = 1 - p + p et, - < t <

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. Exemplo: Seja uma V.A. com densidade de

probabilidade fx(x) = e-x, para x0, onde uma constante positiva. Definir a funo geradora de momentos de X.

x(t) = E[etX] = - , etX e-X dx = /(-t) A integral s finita para os valores de t tais que 0

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. Por que x(t) denominada de funo geradora de

momentos? x(t) = - , (etx) f(x) dx , funo geradora de momentos d (x(t))/dt = - , (xetx) f(x) dx ,1a derivada em t Esta derivada no ponto ZERO: d (x(0))/dt = - , (x) f(x) dx = E[X]

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. Por que x(t) denominada de funo geradora de

momentos? x(t) = - , (etx) f(x) dx , funo geradora de momentos d 2(x(t))/dt2 = - , (x2etx) f(x) dx ,2a derivada em t Esta segunda derivada no ponto ZERO: d 2(x(0))/dt2 = - , (x2) f(x) dx = E[X2]

Funes de uma Varivel Aleatria

Funes Geradoras de Momento de V.A. Generalizao

x(t) = - , (etx) f(x) dx , funo geradora de momentos dn(x(0))/dtn = - , (xn) f(x) dx = E[Xn]

Ento, tendo-se uma funo geradora de momentos de uma v.a., pode-se obter todos os momentos dessa v.a.

Funes de uma Varivel Aleatria

Mapeamento entre funes de v.a.S

e

X(e)

Y(e)

P(Y)

Y(e)=g(X)

X(e)

P(X)

??

Funes de uma Varivel Aleatria

Mapeamento entre funes de v.a. Para Y = g(X) ser uma v.a., a funo g(X) deve

ter as seguintes propriedades: Seu domnio deve incluir a imagem da v.a. X. Os eventos {g(X) = } devem ter probabilidade

zero. Y = g(X) X = g-1(Y)

Funes de uma Varivel Aleatria

X

Yy

x1 x2 x3

Mapeamento entre funes de v.a. Y = g(X) X = g-1(Y) Caso de funo no decrescente:

P(xX x+dx) = P(y Y y+dy) P(X x) = P(Y y) g(x) y1 para x x1 Fx(x) = Fy(y) d(Fx(x))/dy= d(Fy(y))/dy fy(y)= fx(x).dx/dy fy(y)= fx(g 1 (x)) .dx/dy

Funes de uma Varivel Aleatria Mapeamento entre funes de v.a.

Y = g(X) X = g-1(Y) Caso de funo no decrescente:

fy(y)= fx(x).dx/dy= fx(g 1 (x)) .dx/dy

Exemplo: Y = aX + b ; a>0 fx(X) = uniforme entre 0 e 1.

X

Y

b

fx(x)

X

1

1 Yb

fy(y)

1/a

a+b

Funes de uma Varivel Aleatria Mapeamento entre funes de v.a.

Y = g(X) X = g-1(Y) Caso de funo no crescente:

fy(y)= - fx(x).dx/dy = fx(g 1 (x)) .|dx/dy|

Exemplo: Y = - aX + b ; a>0 fx(X) = uniforme entre 0 e 1.

Funes de uma Varivel Aleatria Mapeamento entre funes de v.a.

Y = g(X) X = g-1(Y) Caso geral de funo:

fy(y)= fx(x1).|dx1/dy| + fx(x2).|dx2/dy| + ... Opera-se em cada trecho onde a funo no crescente ou no

decrescente. Exemplo:

Y = aX2; a>0 fx(X) = uniforme entre 1 e 1. fx(X) = -X+1; 0

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