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ELEMENTOS DE LGEBRA LINEAR
CAPTULO 5
MATRIZ MUDANA DE BASE
Definio: Seja V um espao vetorial e consideremos duas de suas
bases }v,...,v,v{B n21= e
}u,...,u,u{C n21= . Podemos escrever os vetores da base C como
combinao linear
da base B. Ento existem escalares Ka ij , tais que:
+++=
+++=
+++=
nnn2n21n1n
n2n222112
n1n2211111
va...vavau..................................
va...vavau
va...vavau
:S 2 . A matriz
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa............
a...aa
a...aa
P
chamada deMatriz mudana da base B para C, e denotada por BC]M[P
= .
OBS: Na matriz mudana de base
=
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
............
a...aa
a...aa
P , as colunas representam as
coordenadas de cada vetor da base C em relao a base B , ou
seja,
=
=
=
nn
n2
n1
Bn
2n
22
12
B2
1n
21
11
B1
a
...
a
a
]u[,...,
a
...
a
a
]u[,
a
...
a
a
]u[ . A matriz mudana de base sempre
inversvel.
Exemplo (1): Sejam )}0,1(),1,1{(B = e )}3,4(),2,1{(C = duas
bases do 2. Determine a
matriz de mudana da base B para a base C.
Soluo: Para determinar BC]M[P = , temos que escrever os vetores
da base C como combinao
linear da base B. Ento:
+=
+=
)0,1(d)1,1(c)3,4(
)0,1(b)1,1(a)2,1(:S . Vamos obter dois sistemas
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lineares:
=
+=
a2
ba1e
=
+=
c3
dc4. Resolvendo os sistemas vamos obter
=
==
11
32
db
ca]M[P BC . Note que, na combinao linear S os escalares
esto em linha e na matriz P eles esto em colunas.
Teorema (1): Seja V um espao vetorial de dimenso n. Sejam B e C
duas bases de V e P a matriz
de mudana da base B para C. Ento:
a) BPC t =
b) C]P[B 1t =
Teorema (2): Seja V um espao vetorial e B, C e D, trs de suas
bases. Seja BC]M[P = a matriz de
mudana da base B para C e CD]M[Q = a matriz de mudana da base C
para D.
Ento, a matriz de mudana de B para D CDBC ]M[]M[QP = .
Teorema (3): Seja V um espao vetorial e B e C, duas de suas
bases. Seja BC]M[P = a matriz de
mudana da base B para C e .Vv Ento:
a) B1
C ]v[P]v[ =
b) CB ]v[P]v[ =
Exemplo (2): Sejam }t2,2{C += uma base de )(P2 e
=
10
22P a matriz mudana da
base B para a base C. Determine a base B.
Soluo: Pelo teorema (1) temos que C]P[B 1t = . Ento,
=
11
0)P( 2
11t e escrevemos
os vetores da base C, tomando apenas os coeficientes dos
polinmios e dispondo-os como
linhas de uma matriz. Assim:
=
=
10
01
12
02
11
0B 2
1
, ou seja, a base B a
base cannica de )(P2 , isto , }t,1{B = .
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claro que o teorema (1) nos ajuda muito, mas poderamos resolver
este problema
usando a definio da matriz mudana da base de B para C , a qual
constituda dos
escalares, quando escrevemos cada vetor da base C com combinao
linear dos vetores
da base B. Seja, ento, a base }tbb,taa{B 1o1o ++= . Assim:
+++=+
+++=
)tbb(1)taa(2t2)tbb(0)taa(22
1o1o
1o1o
+++=+
+=+
t)bta2()ba2(t12ta2a2t02
11oo
1o
==
==
0aa20
1aa22
11
o0e
=+=
=+=
1bba21
0bba22
111
oo0. Portanto, a base }t,1{B = .
Exemplo (3): Sejam )}1,1(),2,1{(B = uma base do 2 e
=
3531
32
31
P a matriz de mudana
da base B para a base C. Determine as coordenadas do vetor
)3,2(v = em relao a
base C.
Soluo: Vamos aplicar o teorema (3), onde B1
C ]v[P]v[ = . Primeiro determinamos as
coordenadas do vetor v em relao a base B. Ento:
)1,1(b)2,1(a)3,2( +=
+=
=
ba23
ba2
=
=
31
35
B
b
a]v[ e
=
11
25P 1 . Assim:
=
31
35
C 11
25]v[
=
2
9]v[ C
Igualmente ao exemplo (2), poderamos resolver este problema
usando a definio da
matriz mudana da base de B para C e a definio de coordenadas de
um vetor. Seja a
base )}d,c(),b,a{(C = . Ento:
=+=
=+=
)3,1()1,1()2,1()d,c(
)1,0()1,1()2,1()b,a(
3
5
3
231
31
. Assim,
)}3,1(),1,0{(C = . Escrevendo as coordenadas do vetor )3,2(v =
em relao a base
C, teremos: )3,1()1,0()3,2( +=
+=
=
33
2
=
2
9]v[ C
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Exerccios Propostos
1) Sejam )}1,1(),0,1{(B = , )}2,3(),1,2{(C = e D, trs base do 2.
Seja
=
31
02Q a
matriz de mudana da base C para a base D. Determine a matriz de
mudana da base B para a
base D. Quem a base D?
Resp:
=
64
35]M[ BD e )}6,9(),4,1{(D =
2) Determine a matriz mudana da base }t21,t3,2{B 2++= para a
base
}t3,tt2,t1{C 22 +++= . Resp:
==
2
1
2
1
47
413
BC
0
021
1
]M[P
3) Sejam B a base cannica do espao )(M 2x2 e
=
85
32A . Sabendo que a matriz de
mudana da B para a base C
=
1100
0110
0012
0001
P , determine as coordenadas de A em
relao a base C. Quem a base C?
Resp:
=
4
12
7
2
]A[ C e
=
10
00,
11
00,
01
10,
00
21C
4) No 3 , consideremos as bases }g,g,g{Ce}e,e,e{B 321321 ==
relacionadas da seguinte
forma:
++=
++=+=
3213
3212
311
ee2eg
eee2geeg
. Sabendo que
=
1
52
]v[ B so as coordenadas do vetor v em
relao a base B, determine C]v[ . Resp:
=
3
1
3
]v[ c
5) Sejam )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(Ce)}1,1,1(),2,4,3(),1,2,1{(B
== . Verifique que a matriz
de mudana da base B para a base C pode ser determinada por t1BC
]BC[]M[P== .
