Alexandre Suaide

Ed. Oscar Sala

sala 246

ramal 7072

Introdução às Medidas em Física Bloco I, 5a Aula (12/04/2005)

http://dfn.if.usp.br/~suaide/fap0152

Consolidando o conceito de incertezas

Instrumentos de medição possuem limitações– Alguns instrumentos são mais recomendados

que outros para efetuar uma certa medidaEx: micrômetro é mais adequado que uma régua

para medir espessura de uma folha de papel

– Incerteza instrumentalNenhum instrumento possui precisão infinita

– Incerteza: em geral, metade da menor divisão (cuidado com o paquímetro!)

Consolidando o conceito de incertezas

Em alguns casos, o objeto a ser medido é construído de forma mais precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida– Ex: medir o comprimento de uma folha de sulfite

com uma régua plásticaO instrumento é um fator limitante.

Consolidando o conceito de incertezas

Em outros casos, o objeto a ser medido é construído de forma menos precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida– Ex: medir a altura de uma mesa com a trena. As

flutuações na altura da mesa são maiores que a precisão da trena.

Qual é a altura da mesa?

Consolidando o conceito de incertezas

O instrumento é preciso, o objeto tem dimensões razoavelmente precisas mas há dificuldades experimentais para realizar as medidas– Ex: como medir o tamanho da mesa utilizando o

método de triangulação. Nesse caso, a dificuldade em alinhar o transferidor é o fator mais importante

– Ex: medir o diâmetro de um fio usando difração: como definir onde está o mínimo na figura de difração?

Consolidando o conceito de incertezas

Muitas vezes a medida em questão é feita de forma indireta– Ex: triangulação: a medida do comprimento da

mesa depende do tamanho da base bem como do ângulo que deve ser medido

Nesse caso, o tamanho da mesa depende de duas medidas experimentais, ambas com suas respectivas incertezas. Qual é a incerteza na medida final?

– Ex: difração: medida do diâmetro de um fio Nesse caso, o diâmetro depende da distância do fio ao

anteparo, bem como à distância do centro da figura de difração aos seus mínimos

Quando medidas são compatíveis entre si?

Deve-se estimar a incerteza de uma medida– A incerteza de uma medida x pode ser escrita como

sendo x (ou x, como representado em vários livros)

Intervalo de confiança– Significa o intervalo onde o experimentador espera

que o valor verdadeiro de uma medida esteja situado.

– Duas medidas são compatíveis quando os seus intervalos de confiança [x-x, x+x] se superpõem.

Exemplo: tabela FIO da apostilapág. 46

Quais medidas são compatíveis entre si?

Quais medidas são compatíveis com o valor nominal fornecido pelo fabricante?

Como estimar a incerteza?

Incertezas estão sempre presentes– Limitações instrumentais...– Método de medida...– Precisão da grandeza a ser medida...

Muitas situações diferentes...– Em muitos casos, várias das situações mostradas

estão presentes ao mesmo tempo. O que fazer?

Tipos de incerteza

Instrumental e/ou devido à metodologia– Aquelas devida à precisão do instrumento é

método utilizado para realizar a medida direta de uma grandeza

Estatística– Incerteza devido à repetição de uma mesma

medida

Sistemática– Aquelas onde a medida é desviada em uma única

direção, tornando os resultados viciados

Incertezas instrumentais

Em geral é a metade da menor divisão– Cuidado com instrumentos que possuem nônio

(ex: paquímetro) onde a incerteza é a menor divisão do mesmo

– Em alguns casos, onde a definição do ponto do objeto a ser medido torna-se obscura (ex: onde definir o mínimo da figura de difração) pode-se considerar a incerteza instrumental maior que a menor divisão do instrumento de medida.

Incertezas estatísticas

O que acontece se eu repito a mesma medida, de forma independente, de um objeto?– Pode ser que cada medida apresente um valor

diferente.– Nesse caso, a medida é a média de todas as

medidas efetuadas– A incerteza pode ser estimada como a diferença

entre o maior e menor valor, dividido por 2. Na verdade essa técnica, em geral, superestima a

incerteza estatística

Qual é a incerteza de uma medida?

Suponha que o experimentador realize várias medidas do tamanho de uma mesa com uma régua. – Incerteza instrumental: Linstr = 0,5 mm– Incerteza estatística: Lestat

– Caso um tipo de incerteza seja dominante, pode-se desprezar a outra

22estatinstr LLL

Incertezas sistemáticas

Aquelas que falseiam a medida– Ex: uma régua onde o primeiro mm está faltando e o

experimentador não percebe. Todas as medidas serão 1 mm menor do que deviam

– Ex: uma balança descalibrada

Esse tipo de incerteza, em geral, só é percebida quando um resultado difere do esperado.

Deve-se procurar avaliar o método experimental, bem como a confiabilidade dos instrumentos utilizados. Uma vez detectado esse tipo de erro, as medidas devem ser corrigidas ou refeitas.

... e no caso de medidas indiretas?

O que ocorre quando uma grandeza é medida de forma indireta?– Ex: triangulação, L = BC·tan()

Nesse caso, tanto BC como possuem incertezas Como calcular L?

– Nós fizemos alguns exercícios intuitivos, como obter graficamente DL traçando retas com e , bem como BC-BC e BC+BC

Como que a incerteza de uma medida afeta a outra?

L = BC·tan() Como que o erro de afeta

L?– L é uma função de tan()

Como uma variação de afeta a função tangente?

– Depende de quanto a função varia em torno do ângulo .

Deve-se estudar a derivada da função em relação à variável de interesse

Teoria de erros

Teoria na qual estuda-se o comportamento dos erros de medidas, como eles influenciam outras medidas, bem como propagá-los no caso de uma medida indireta.

Propagação de erros– Método para calcular a incerteza de uma medida

indireta

Propagação de erros: fórmula geral

Seja uma grandeza G, dependente de duas variáveis, A e B. O valor da incerteza em G, G, pode ser expressa em termos das incertezas em A e B (A e B, respectivamente) através da fórmula:

22

BB

GA

A

GG

Derivada parcial de G em relação

à A

Não conte aos matemáticos puristas mas a derivada parcial nada mais é do que a derivada comum onde todo o resto da

equação pode ser considerado constante

Vamos fazer um exemplo simples

Medida do diâmetro de um fio por difração

Somente D e Lk possuem incerteza

kL

Dkb 2

22

kk

LL

bD

D

bb

Como calcular as derivadas

Suponha que todo o resto da expressão é uma constante....

kkk L

k

D

D

L

k

L

Dk

DD

b

22

2

2

1 222

kk

k

kkk L

Dk

L

LDk

L

Dk

LL

b

Vamos fazer um exemplo simples

Medida do diâmetro de um fio por difração

Somente D e Lk possuem incerteza

kL

Dkb 2

2

2

22222

kkk

kk

LL

DkD

L

kL

L

bD

D

bb

22

k

k

L

L

D

D

b

b

Professor, eu preciso fazer esse montão de derivadas e contas toda vez?

A rigor deve-se sempre calcular as derivadas Na prática, com o tempo, desenvolve-se

técnicas que simplificam a nossa vida Dois casos muito comuns:

– Soma e subtração– Multiplicação e divisão

Dois casos comuns

Soma e subtração– A incerteza da soma (ou

subtração) é a raiz da soma dos quadrados das incertezas individuais

Multiplicação e divisão– A incerteza percentual do

produto (ou divisão) é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais individuais

22

ou ,

BAC

BACBAC

22

ou ,

B

B

A

A

C

C

B

ACABC

Você lembra?

Lembra no caso da triangulação e difração que estávamos sempre avaliando as incertezas percentuais? – Nesse caso, para simplificar, nós mostramos que

a incerteza percentual devido a uma das medidas é muito pequena em relação a outra.

Isso facilita a vida na hora de fazer as contas

Atividades da aula de hoje

Leiam a apostila da página 40 à 49 Olhem os relatórios anteriores de vocês. Revejam as perguntas

que foram feitas. Tentem avaliar a razão de cada um dos itens pedidos

Responder as questões Q1-47 à Q1-53 Refazer a análise de dados da parte de triangulação

– Calcular L e L, usando formalmente o calculo dos erros e comparar com os resultados apresentados no relatório.

Entregar relatório até sexta-feira.

Leituras interessantes– Fundamentos da Teoria de Erros, J. H. Vuolo