Campus I – João PessoaDisciplina: Análise de Circuitos

1. Números Complexos

Introdução Circuitos CC → somas algébricas de Circuitos CA → como se somam tensões e correntes senoidais? Aplicação de números complexos a formas de onda senoidais para determinar somas algébricas; Um número complexo pode ser representado por:

o Um sistema de eixos cartesianos = eixo real + eixo imaginário;o Um ponto em um plano = forma retangular;o Um raio vetor a partir da origem = forma polar;

O símbolo j (ou algumas vezes

Forma Retangular Representação → (C = X +jY)

Exercícios Ex01 – Represente os seguintes nú

a. C = 3 + j4b. C = 0 – j6

Forma Polar

Representação → (C = Z ⁄ θanti-horário a partir do eixo real

Figura

João Pessoa Curso Técnico Integradonálise de Circuitos

Aula 02 – Álgebra Complexa

somas algébricas de tensões e correntes;como se somam tensões e correntes senoidais?

Aplicação de números complexos a formas de onda senoidais para determinar somas algébricas;Um número complexo pode ser representado por:

sistema de eixos cartesianos = eixo real + eixo imaginário;Um ponto em um plano = forma retangular;Um raio vetor a partir da origem = forma polar;

(ou algumas vezes i) é usado para denotar a parte imaginária

Y)

Figura 1 - Forma retangular de um número complexo

Represente os seguintes números no plano complexo:

θ ) , Z = ( + ) é o módulo e θ é o ângulo medido no sentido a partir do eixo real positivo;

Figura 2 - Forma polar de um número complexo

1

Técnico Integrado em Eletrônica Profª: Rafaelle Feliciano

Aplicação de números complexos a formas de onda senoidais para determinar somas algébricas;

Forma retangular de um número complexo

é o ângulo medido no sentido

Para ângulos medidos no sentido horário, o Números complexos com sinal negativo = nº complexo OPOSTO ao complexo positivo, se (

θ ), então (-C = Z ⁄ θ±180o)

Figura

Exercícios Ex02 – Represente os seguintes números no plano complexo:

a. C = 5 ⁄ 30o

b. C = 7 ⁄ -120o

Conversão entre as duas formas Retangular para polar

Z = ( + ) e = Polar para retangular= . e = .Exercícios Ex03 – Converta os números complexos abaixo para a forma polar:

a. C = 3 + j4b. C = -6 + j3

Ex04 – Converta os números complexos abaixo para a forma retangular:a. C = 10 ⁄ -45o

b. C = 10 ⁄ 230o

Definições

Por definição: = √−1 Então, = . = − ; = E, = . = = −

Para ângulos medidos no sentido horário, o ângulo tem sinal negativo (-θ);úmeros complexos com sinal negativo = nº complexo OPOSTO ao complexo positivo, se (

Figura 3 – Efeito de um sinal negativo sobre a forma polar

Represente os seguintes números no plano complexo:

Conversão entre as duas formas

Converta os números complexos abaixo para a forma polar:

Converta os números complexos abaixo para a forma retangular:

1 = −1= . = 1; = . = …

2

úmeros complexos com sinal negativo = nº complexo OPOSTO ao complexo positivo, se (C = Z ⁄

Complexo Conjugado

Número complexo obtido quando se troca o sisinal do ângulo (forma polar);

a. C = 2 + j3 → ∗ =b. C = 2 ⁄ 30o → ∗ =

Inverso ou Recíproco

Inverso ou recíproco de um

=Operações matemáticas com complexos Adição

Subtração

+ = ( +

− = ( − - =

Número complexo obtido quando se troca o sinal da parte imaginária (forma retangular) ou o sinal do ângulo (forma polar);

= 2 − 3= 2/−30

Figura 4 – Exemplos de complexos conjugados

m número complexo é 1 dividido pelo complexo;

ou = /

Operações matemáticas com complexos

= +

+ ) + ( + )= +

= +

− ) + ( − )= +

3

nal da parte imaginária (forma retangular) ou o

4

Multiplicação

a. Forma Retangular

b. Forma Polar

Divisão

a. Forma Retangular

b. Forma Polar

Exercícios Ex05 – Efetue as seguintes operações:

a. (C1 = 2+j4) + (C2 = 3+j)b. (C1 = 3+j3) - (C2 = -2+j5)c. (C1 = 2+j3) . (C2 = 5+j10)d. ( = 5/20 ) x ( = 10/30 )

e. ( = 50/0 ) x (C2 = j6)

f. (C1 = 1+j4) ÷(C2 = 4+j5)g. ( = 15/10 ) ÷ ( = 2/7 )

= +

. = ( − ) + ( + ) X = +

. = ( . )/( + )( = / ) x ( = / )

= ++= ++ . −− = ( + ) + ( − )+

= // = /( − )

( = / ) ÷ ( = / )

2. Fasores

Introdução A adição de tensões e correntes senoidais é necessária quando analisamos circuitos CA; Método longo → traçar as duas formas de

algebricamente as ordenadas em cada ponto (figura 3);

Figura

Método mais rápido → uso de vetor radial girante com módulo (comprimento) constante e extremidade fixa na origem (

Fasor → É um número complexo associado a uma onda seno de fase deslocada tal que seu módulo é o valor eficaz (rms)seno de fase deslocada (forma polar)

o Forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal

Figura

A adição de tensões e correntes senoidais é necessária quando analisamos circuitos CA;→ traçar as duas formas de onda senoidais no mesmo gráfico e somar

algebricamente as ordenadas em cada ponto (figura 3);

Figura 5-- Adição ponto a ponto de duas formas de onda senoidais

→ uso de vetor radial girante com módulo (comprimento) constante e extremidade fixa na origem (FASOR);

→ É um número complexo associado a uma onda seno de fase deslocada tal que seu valor eficaz (rms) da tensão ou corrente, e seu ângulo é o ângulo de fase da onda

(forma polar);Forma fasorial de uma tensão ou corrente senoidal (freqüência não é representada)

= ⁄ = ⁄

Figura 6 - Representação fasorial de ondas senoidais

5

A adição de tensões e correntes senoidais é necessária quando analisamos circuitos CA;onda senoidais no mesmo gráfico e somar

→ uso de vetor radial girante com módulo (comprimento) constante e

→ É um número complexo associado a uma onda seno de fase deslocada tal que seu te, e seu ângulo é o ângulo de fase da onda

(freqüência não é representada)

o Álgebra de fasores (vetorial) só pode ser aplicada a formas de onda de mesma freqüência;

o Por razões práticas, se usam valores rms e não valores de pico na análise de circuitos CA, portanto, o módulo do fasorrepresenta;

o Diagrama de Fasoresenvolvidos na álgebra vetorial em t = 0s;

Para adicionar duas funções senoidais de tensão ou corrente, fazfasorial e calcula-se a soma usando álgebra de números complexos;

o Resultado pode ou não ser transformado para obter uma função no domínio do tempo;

o Fasor é uma constante complexa e a senóide é uma função real do tempo, portanto;

Exercícios Ex01 (Boylestad, pg.432) –

for 60Hz:a. = 10 30⁄b. = 115 −70⁄

Ex02 (Boylestad, pg.432) – Calcule a tensão de entrada no circui

= 50 (377 + 30 )

Ex03 (Boylestad, pg.441) –sabendo que:

Ex04 (Boylestad, pg.441) – Escreva as expressões a seguir na forma de fasores:

a. √2(100) ( + 30

Álgebra de fasores (vetorial) só pode ser aplicada a formas de onda de mesma

Por razões práticas, se usam valores rms e não valores de pico na análise de circuitos o módulo do fasor é definido igual ao valor rms da função senoidal

Diagrama de Fasores → Representação (módulos e posições relativas) dos fasores envolvidos na álgebra vetorial em t = 0s;

Para adicionar duas funções senoidais de tensão ou corrente, faz-se a conversão para a forma se a soma usando álgebra de números complexos;

Resultado pode ou não ser transformado para obter uma função no domínio do

Fasor é uma constante complexa e a senóide é uma função real do tempo, portanto;

3/30 ≠ 3√2 ( + 30 )Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a freqüência

Calcule a tensão de entrada no circuito abaixo, se

e = 30 (377 + 60 )

Determine a expressão senoidal para a corrente i

Escreva as expressões a seguir na forma de fasores:

0 )

+

vb

-

+ va -+ein

-

6

Álgebra de fasores (vetorial) só pode ser aplicada a formas de onda de mesma

Por razões práticas, se usam valores rms e não valores de pico na análise de circuitos rms da função senoidal que

ão (módulos e posições relativas) dos fasores

conversão para a forma

Resultado pode ou não ser transformado para obter uma função no domínio do

Fasor é uma constante complexa e a senóide é uma função real do tempo, portanto;

Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a freqüência

to abaixo, se:

Determine a expressão senoidal para a corrente is no circuito abaixo,

Escreva as expressões a seguir na forma de fasores:

7

b. 100 ( − 90 )c. 42 (377 + 0 )d. 6 10 ( )

Ex05 (O’Malley, pg.359) – Se duas correntes correspondem aos fasores = 10 0⁄ mA e = 7 30⁄ mA, qual o ângulo e o valor rms da corrente total que é a soma dessas correntes?

Ex06 (O’Malley, pg.359) – Um motor síncrono solicita uma corrente de 9 A de uma fonte de 240V, 60 Hz. Um motor de indução em paralelo solicita 8 A. Se a corrente do motor síncrono está adiantada da tensão aplicada de 20o e a corrente do motor de indução está atrasada dessa tensão de 30o, qual a corrente total solicitada da fonte?

Fontes: BOYLESTAD, R. L. – Introdução à Análise de Circuitos, 2004, 10ª edição, Ed. Prentice-HallO’MALLEY, J. – Análise de Circuitos, 1994. 2ª edição, Ed. McGraw-Hill