D

Integracion de funciones

vectoriales

En esta seccion se exponen dos alternativas para definir la integral de una funcionde variable real con valores en un espacio normado completo. La primera de ellasproporciona una ilustracion interesante del teorema de extension de aplicacionesuniformemente continuas 3.26 Se comienza definiendo una integral elemental sobre elespacio vectorial de las funciones escalonadas, y luego se extiende a las funciones queson lımite uniforme de estas funciones. Esta es una clase de funciones bastante ampliaque incluye a las continuas, y a otras muchas que no lo son, como las escalonadas ylas de variacion acotada.

Otra vıa para definir la integral consiste en extender directamente la integral deRiemann definiendola como lımite, cuando exista, de sumas de Riemann asociadasa particiones cada vez mas finas. Igual que en el caso de las funciones con valoresreales, la demostracion de que las funciones continuas son integrables se basa en lacontinuidad uniforme, pero el no poder considerar sumas superiores e inferiores haceque ahora el razonamiento sea algo mas complicado.

Una vez que se ha definido la integral de una funcion continua con valores en unespacio normado completo se demuestra, en la forma usual, el teorema fundamentaldel calculo que se necesita para obtener la formula integral del resto en el desarrollode Taylor de funciones con valores en espacios normados completos.

D.1. Integracion de funciones regladas

Definicion D.1 Sea (F, ‖ ‖) un espacio normado y h : [a, b] → F . Si existe unasubdivision p ∈ P([a, b]), p = (x0 < x1 < · · ·xm) tal que h es constante en cadaintervalo abierto (xi−1, xi) se dice que h es escalonada y que p es una subdivisionadmisible para h. Si f : [a, b] → F es lımite uniforme de una sucesion de funcionesescalonadas hn : [a, b] → F se dice que f es reglada.

El conjunto de puntos de discontinuidad D(f) de una funcion reglada f es numerable.En efecto, en las condiciones de la definicion anterior, cada hn es continua excepto

414

Lecciones de Analisis Matematico II G. Vera

en los puntos de un conjunto finito D(hn), y aplicando el teorema 3.31, se obtieneque D(f) ⊂ ∪nD(hn) es numerable.

En lo que sigue E([a, b], F ) denotara el subespacio de l∞([a, b], F ) formado porlas funciones escalonadas y E([a, b], F ) su clausura en l∞([a, b], F ) para la norma

‖f‖∞

= sup{‖f(t)‖ : t ∈ [a, b]}

Segun la definicion D.1 el conjunto de las funciones regladas f : [a, b] → F esE([a, b], F ). En virtud de la siguiente proposicion, el subespacio vectorial de lasfunciones continuas C([a, b], F ) ⊂ l∞([a, b], F ) esta contenido en E([a, b], F ).

Proposicion D.2 Toda funcion continua f : [a, b] → F es reglada, es decir,

C([a, b], F ) ⊂ E([a, b], F )

Dem: Si f : [a, b] → F es continua, en virtud de 3.14, f([a, b]) es acotado y por lo tan-to f ∈ l∞([a, b], F ). Por otra parte, como f es uniformemente continua, (vease 3.24)dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si s, t ∈ [a, b] y |s− t| < δ entonces ‖f(t) − f(s)‖ < ǫ.

Sea p = (a = x0 < x1 < · · · < xm = b) una subdivision tal que ∆(p) =max{xk − xk−1 : 1 ≤ k ≤ m} < δ. La funcion escalonada hǫ : [a, b] → F definidapor

h(a) = f(a), h(t) = f(xk) si t ∈ (xk−1, xk]

verifica ‖f(t) − hǫ(t)‖ < ǫ para todo t ∈ [a, b], es decir, ‖f − hǫ‖∞ ≤ ǫ y quedaprobado que f ∈ l∞([a, b], F ) es adherente a E([a, b], F ).

Sea h : [a, b] → F una funcion escalonada y p = (a = x0 < x1 < · · · < xm = b)una subdivision admisible para h. Si vk es el valor constante de h en (xk−1, xk),se define S(h, p) =

∑m

k=1(xk − xk−1)vk. Es facil comprobar que si q ∈ P([a, b]) es

otra subdivision admisible para h entonces S(h, p) = S(h, q). Este hecho permiteformular la siguiente definicion

Definicion D.3 Si h : [a, b] → F es escalonada y p ∈ P([a, b]) es una subdivisionadmisible para h, se define

∫ b

a

h(t)dt = S(h, p) =m

∑

i=1

(xk − xk−1)vk

donde p = (x0 < x1 < · · · < xm) y vk es el valor constante de h en (xk−1, xk),

Observese que en la definicion de la integral∫ b

ah(t)dt no intervienen los valores de

h en los puntos xk.

Lema D.4 Si en E([a, b], F ) se considera la norma ‖h‖∞

= sup{‖h(t)‖ : t ∈ [a, b]},

entonces la integral I : E([a, b], F ) → F , I(h) =∫ b

ah(t)dt, es una aplicacion lineal

continua de norma ‖I‖ ≤ (b − a).

415

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Dem: La linealidad de la integral es inmediata:Es evidente que

∫ b

aαh(t)dt = α

∫ b

ah(t)dt. Por otra parte, si h1,h2 ∈ E([a, b], F )

es claro que existe una subdivision p ∈ P([a, b]) que es admisible para h1 y para h2.Entonces p es admisible para h = h1 + h2 y por lo tanto

∫ b

a

h(t)dt = S(h, p) = S(h1, p) + S(h2, p) =

∫ b

a

h1(t)dt +

∫ b

a

h2(t)dt

Finalmente, si p ∈ P([a, b]) es admisible para la funcion escalonada h, en virtud dela desigualdad triangular ‖S(h, p)‖ ≤ S(‖h‖ , p), luego

∥

∥

∥

∥

∫ b

a

h(t)dt

∥

∥

∥

∥

≤

∫ b

a

‖h(t)‖ dt ≤

∫ b

a

‖h‖∞

dt = (b − a) ‖h‖∞

Es decir ‖I(h)‖ ≤ (b− a) ‖h‖∞

para todo h ∈ E([a, b), F ), luego I es una aplicacionlineal continua de norma ‖I‖ ≤ (b − a).

Proposicion D.5 Si el espacio normado (F, ‖ ‖) es completo, la integral de las fun-ciones escalonadas I : E([a, b], F ) → F , se puede extender a una (unica) aplicacionlineal continua

I : E([a, b], F ) → F

de norma ‖I‖ ≤ (b − a). (El espacio E([a, b], F ) se considera con la norma de laconvergencia uniforme ‖f‖

∞= sup{‖f(t)‖ : t ∈ [a, b]}).

Dem: En virtud de D.4 la aplicacion lineal I es continua y por lo tanto uniformemen-te continua. Como F es completo, aplicando el teorema de extension de aplicacionesuniformemente continuas (vease 3.26) se obtiene una unica extension uniformemen-te continua I : E([a, b], F ) → F . Segun este teorema, para cada f ∈ E([a, b], F ) laextension viene dada por

I(f) = lımn

I(hn)

donde hn es cualquier sucesion de funciones escalonadas que converge uniformementehacia f (e.d. en la norma ‖ ‖

∞). Utilizando este hecho y la linealidad de I sobre el

espacio de las funciones escalonadas, se comprueba facilmente que I una aplicacionlineal.

Por otra parte, si f ∈ E([a, b], F ) y hn es una sucesion de funciones escalonadascon lımn ‖f − hn‖∞ = 0, se verifica ‖f‖

∞= lımn ‖hn‖∞. Como I(f) = lımn I(hn),

en virtud del lema D.4 se obtiene ‖I(f)‖ = lımn ‖I(hn)‖ ≤ lımn(b − a) ‖hn‖∞ =

(b − a) ‖f‖∞

, luego I es una aplicacion lineal continua de norma ‖I‖ ≤ (b − a).

La proposicion anterior permite definir la integral de una funcion reglada y enparticular de una funcion continua

Definicion D.6 Si (F, ‖ ‖) es completo, y f ∈ E([a, b], F ) es una funcion reglada

se define∫ b

af(t) = I(f) donde I es la unica extension lineal continua de la integral

elemental I(h) =∫ b

ah(t)dt definida sobre las funciones escalonadas.

416

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nota: En virtud de la definicion, la integral es una aplicacion lineal continua sobreE([a, b], F ). Por lo tanto, si fn : [a, b] → R es una sucesion de funciones regladasque converge uniformemente hacia la funcion f : [a, b] → F ( que necesariamente esreglada), se cumple:

∫ b

a

f(t)dt = lımn

∫ b

a

fn(t)dt

Proposicion D.7 Si (F, ‖ ‖) es completo y f : [a, b] → F es reglada se verifica

a)∥

∥

∥

∫ b

af(t)dt

∥

∥

∥≤

∫ b

a‖f(t)‖ dt;

b)∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt +

∫ b

cf(t)dt si a ≤ c ≤ b.

Dem: a) Si hn es una sucesion de funciones escalonadas que converge uniformementehacia f , en virtud de la desigualdad

| ‖f(t)‖ − ‖hn(t)‖ | ≤ ‖fn(t) − f(t)‖ ≤ ‖fn − f‖∞

la sucesion de funciones escalonadas reales ‖hn(t)‖ converge uniformemente haciala funcion real ‖f(t)‖, luego, en virtud de la nota que sigue a D.6 se cumple

∫ b

a

‖f(t)‖ dt = lımn

∫ b

a

‖hn(t)‖ dt

Pasando al lımite en la desigualdad∥

∥

∥

∫ b

ahn(t)dt

∥

∥

∥≤

∫ b

a‖hn(t)‖ dt valida para todo

n ∈ N se obtiene∥

∥

∥

∫ b

af(t)dt

∥

∥

∥≤

∫ b

a‖f(t)‖ dt.

b) El resultado es inmediato en el caso particular de las funciones escalonadas. Elcaso general se deduce de este considerando una sucesion de funciones escalonadasque converge uniformemente hacia f . .

D.2. Definicion general de la integral de Riemann

La integral de Riemann para funciones f : [a, b] → F con valores en un espa-cio normado completo (F, ‖ ‖) se puede definir tomando como base las sumas deRiemann, pero la teorıa no es tan satisfactoria como en el caso finito dimensionalF = R

n, pues propiedades basicas como D.14 ya no son ciertas: Pueden existirfunciones integrables tales que ‖f‖ no sea integrable o tales que el conjunto de suspuntos de discontinuidad no sea de medida nula. Sin embargo los resultados requeri-dos para obtener la formula integral del resto en el desarrollo de Taylor, son bastantemodestos: Basta demostrar la integrabilidad de las funciones continuas y obtener, enel marco de estas funciones, los resultados imprescindibles para obtener el teoremafundamental del calculo D.11.

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Definicion D.8 Una funcion f : [a, b] → F con valores en un espacio normado(F, ‖ ‖) se dice que es integrable Riemann si existe v ∈ F verificando: Para cadaǫ > 0 existe pǫ ∈ P([a, b]) tal que si p ∈ P([a, b]), es mas fina que pǫ entonces todasuma de Riemann asociada a p verifica ‖Σ(f , p, η) − v‖ < ǫ.

En este caso la integral∫ b

af(t)dt es el unico v ∈ F que cumple esta condicion.

Teorema D.9 Si (F, ‖ ‖) es completo, toda funcion continua f : [a, b] → F es in-tegrable Riemann.

Dem: Para cada δ > 0 se define el modulo de continuidad uniforme:

ω(δ) = sup{‖f(s) − f(t)‖ : s, t ∈ [a, b], |s − t| < δ}

Como f es uniformemente continua en el compacto [a, b], dado ǫ > 0 existe δǫ > 0tal que ‖f(s) − f(t)‖ < ǫ siempre que s, t ∈ [a, b] con |s − t| < δǫ. Entonces esclaro que 0 < δ < δǫ ⇒ 0 ≤ ω(δ) ≤ ω(δǫ), es decir, lımδ → 0 ω(δ) = 0.Comenzamos demostrando:

[α] : p, q ∈ P([a, b]), p ⊂ q, y ∆(p) < δ ⇒ ‖Σ(f , p) − Σ(f , q)‖ ≤ ω(δ)(b− a).

Si p = (t0 < t1 < t2 < · · · tm), y j ∈ {1, 2, · · ·m}, sea qj la subdivision que q

induce en [tj−1, tj]. Si sk son los puntos de qj , consideramos la suma

vj = (tj − tj−1)f(tj−1) − Σ(f , qj) =∑

k

(sk − sk−1)(f(tj−1) − f(sk−1))

Como sk−1 ∈ [tj−1, tj ], se cumple |sk−1 − tj−1| ≤ |tj − tj−1| ≤ ∆(p) ≤ δ, luego

‖f(tj−1) − f(sk−1)‖ ≤ ω(δ)

y en virtud de la desigualdad triangular,

‖vj‖ ≤ ω(δ)∑

k

(sk − sk−1) = ω(δ)(tj − tj−1)

Teniendo en cuenta que Σ(f , q) = Σmj=1Σ(f , qj), resulta

Σ(f , p) − Σ(f , q) =m

∑

j=1

[(tj − tj−1)f(tj−1) − Σ(f , qj)] =m

∑

j=1

vj

luego

‖Σ(f , p) − Σ(f , q)‖ ≤

m∑

j=1

‖vj‖ ≤

m∑

j=1

ω(δ)(tj − tj−1) = ω(δ)(b − a)

Finalmente, utilizamos [α] para demostrar que f es integrable: Sea pn ∈ P([a, b])una sucesion tal que δn = ∆(pn) tiende hacia 0, y pn ⊂ pn+1 para cada n ∈ N.La sucesion un = Σ(f , pn) es de Cauchy pues, en virtud de [α]

m ≥ n ⇒ ‖Σ(f , pn) − Σ(f , pm)‖ ≤ ω(δn)(b − a)

418

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y la sucesion ω(δn) tiende hacia 0. Como F es completo, la sucesion un es conver-gente y solo queda por verificar que el lımite u = lımn un cumple los requisitos dela definicion D.9. En efecto, dado ǫ > 0 existe n ∈ N tal que

2(b − a)ω(δn) + ‖un − u‖ < ǫ

Si p ∈ P([a, b]) es mas fina que pn, se cumple ∆(p) ≤ ∆(δn), luego toda suma deRiemann Σ(f , p, η) asociada a p verifica

‖Σ(f , p, η) − Σ(f , p)‖ ≤ (b − a)ω(δn)

Por otra parte, usando otra vez [α] se obtiene

‖Σ(f , p) − Σ(f , pn)‖ ≤ (b − a)ω(δn)

luego, en virtud de la desigualdad triangular

‖Σ(f , p, η) − u‖ ≤ ‖Σ(f , p, η) − Σ(f , p)‖ + ‖Σ(f , p) − Σ(f , pn)‖ + ‖Σ(f , pn) − u‖ ≤

≤ 2(b − a)ω(δn) + ‖un − u‖ < ǫ

Proposicion D.10 Si (F, ‖ ‖) es completo y f : [a, b] → F es continua se verifica

a)∥

∥

∥

∫ b

af(t)dt

∥

∥

∥≤

∫ b

a‖f(t)‖ dt;

b)∫ b

af(t)dt =

∫ c

af(t)dt +

∫ b

cf(t)dt si a ≤ c ≤ b.

Dem: Sea pn ∈ P([a, b]) una sucesion de subdivisiones tal que δn = ∆(pn) tiendehacia 0, y pn ⊂ pn+1 para cada n ∈ N. Segun la demostracion de D.9 se verifica

∫ b

a

f(t)dt = lımn

Σ(f , pn);

∫ b

a

‖f(t)‖ dt = lımn

Σ(‖f‖ , pn)

En virtud de la desigualdad triangular ‖Σ(f , pn)‖ ≤ Σ(‖f‖ , pn), y pasando al lımitese obtiene a). Para demostrar b) podemos suponer que c ∈ pn para cada n ∈ N.En este caso si p′n, y p′′n son las subdivisiones que pn induce en [a, c] y en [c, b]respectivamente, se verifica

∫ b

a

f(t)dt = lımn

Σ(f , pn);

∫ c

a

f(t)dt = lımn

Σ(f , p′n);

∫ d

c

f(t)dt = lımn

Σ(f , p′′n)

Es claro que Σ(f , pn) = Σ(f , p′n)+Σ(f , p′′n), y pasando al lımite se obtiene el resultado.

Teorema D.11 Sea f : [a, b] → F una funcion continua con valores en un espacionormado completo (F, ‖ ‖). Entonces la funcion g : [a, b] → F definida por g(x) =∫ x

af(t)dt es derivable en [a, b] y g′(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b] (en a y b se

consideran las derivadas laterales correspondientes).

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Dem: La demostracion es analoga a la del caso de funciones con valores reales.Fijado x0 ∈ [a, b], dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si t ∈ [a, b] y |t − x0| < δ secumple ‖f(t) − f(x0)‖ < ǫ. Supongamos que a < x0 < b, y sea x ∈ [a, b] tal que|x − x0| < δ, y x > x0. En virtud de la proposicion D.10 b)

∥

∥

∥

∥

g(x) − g(x0)

x − x0

− f(x0)

∥

∥

∥

∥

=1

x − x0

∥

∥

∥

∥

∫ x

x0

f(t)dt −

∫ x

x0

f(x0)dt

∥

∥

∥

∥

y aplicando la desigualdad D.10 a) se obtiene

∥

∥

∥

∥

g(x) − g(x0)

x − x0

− f(x0)

∥

∥

∥

∥

≤1

x − x0

∫ x

x0

‖f(t) − f(x0)‖ dt ≤ ǫ

donde la ultima desigualdad se obtiene teniendo en cuenta que para todo t ∈ [x0, x] secumple ‖f(t) − f(x0)‖ < ǫ. Queda demostrado ası que g es derivable por la derechaen x0 con g′

d(x0) = f(x0). Analogamente se demuestra que g es derivable por laizquierda en x0 con g′

i(x0) = f(x0) y con ello queda demostrado el teorema.

Corolario D.12 [Regla de Barrow] Si (F, ‖ ‖) es completo y g : [a, b] → F esderivable con derivada continua se verifica

g(b) − g(a) =

∫ b

a

g′(t)dt

Dem: Como g′ es continua, segun el teorema D.11, la funcion h(x) =∫ x

ag′(t)dt

es derivable y h′(x) = g′(x) para todo x ∈ [a, b]. En virtud del corolario 4.9 ladiferencia g(x)−h(x) es constante. Su valor constante es g(a)−h(a) = g(a), luegog(x) − h(x) = g(a) para todo x ∈ [a, b]. Con x = b se obtiene el resultado.

Corolario D.13 [Integracion por partes] Si (F, ‖ ‖) es completo y las funcionesf : [a, b] → F , ϕ : [a, b] → R son derivables con derivada continua, se verifica

ϕ(b)f(b) − ϕ(a)f(a) =

∫ b

a

ϕ′(t)f(t)dt +

∫ b

a

ϕ(t)f ′(t)dt

Dem: En virtud de 4.5 ii) la funcion g(t) = ϕ(t)f(t) es derivable y su derivada esg′(t) = ϕ′(t)f(t) + ϕ(t)f ′(t). Como g′ es continua, con el corolario D.12 se obtiene elresultado.

Proposicion D.14 Si f : [a, b] → Rn es integrable, y ‖ ‖ es una norma sobre R

n

entonces la funcion ‖f‖ tambien es integrable y

∥

∥

∥

∥

∫ b

a

f(t)dt

∥

∥

∥

∥

≤

∫ b

a

‖f(t)‖ dt

420

Lecciones de Analisis Matematico II G. Vera

Dem: La integrabilidad de ‖f‖ se puede demostrar usando el teorema de Lebesgueque asegura que una funcion acotada g : [a, b] → R es integrable Riemann si y solosi el conjunto de sus puntos de discontinuidad, denotado D(g), tiene medida nula(vease 10.24). Como los conjuntos D(fi) tienen medida nula se sigue que D(‖f‖) ⊂D(f1) ∪ D(f2) ∪ · · · ∪ D(fn) tambien tiene medida nula y por lo tanto ‖f‖ esintegrable. Con el lema 4.13 podemos conseguir una sucesion pk ∈ P([a, b]), dondecada pk es mas fina que pk−1, tal que

∫ b

a

f(t)dt = lımk

Σ(f , pk) y

∫ b

a

‖f(t)‖ dt = lımk

Σ(‖f‖ , pk)

En virtud de la desigualdad triangular ‖Σ(f , pk)‖ ≤ Σ(‖f‖ , pk) y usando la conti-nuidad de la norma se obtiene

∥

∥

∥

∥

∫ b

a

f(t)dt

∥

∥

∥

∥

= lımk

‖Σ(f , pk)‖ ≤ lımk

Σ(‖f‖ , pk) =

∫ b

a

‖f(t)‖ dt.

Ejercicio D.15 Compruebe que la definicion de la integral dada en D.8 es con-sistente con la dada en D.6 Es decir, toda funcion reglada es integrable segun ladefinicion D.8 y las dos definiciones de integral dan el mismo valor.

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