CCÁÁLCULO NUMLCULO NUMÉÉRICORICO

PROF. CARLOS EDUARDOPROF. CARLOS EDUARDO

PROF. ANTÔNIO RAFAELPROF. ANTÔNIO RAFAEL

CONTECONTEÚÚDO PROGRAMDO PROGRAMÁÁTICOTICO

� ERROS E CONVERSÃO DE BASES

� ZEROS DE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

E TRANSCEDENTES:

MÉTODO DA BISSEÇÃO

MÉTODO DE NEWTON

MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR - MIL

CONTECONTEÚÚDO PROGRAMDO PROGRAMÁÁTICOTICO

� INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE E

DE NEWTON

� INTEGRAÇÃO:

REGRA DOS TRAPÉZIOS

1º REGRA DE SIMPSON

2º REGRA DE SIMPSON

ALGUNS LIVROSALGUNS LIVROS OBJETIVO DA AULAOBJETIVO DA AULA

� IDENTIFICAR AS FASES DE

MODELAGEM E OS POSSÍVEIS ERROS

� COMPREENDER A REPRESENTAÇÃO

BINÁRIA E COMO VALORES DECIMAIS

SÃO REPRESENTADOS EM UM

COMPUTADOR

CAUSAS DE ERROS� DIVISÕES INEXATAS

� NÚMEROS IRRACIONAIS

� ABANDONO DE CASAS DECIMAIS

ERROS NAS APROXIMAERROS NAS APROXIMAÇÇÕES ÕES NUMNUMÉÉRICASRICAS

� ERROS NA FASE DA MODELAGEM

� ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO

� ERROS ABSOLUTOS

� ERROS RELATIVOS

TIPOS DE ERROS TIPOS DE ERROS

ERROS NA FASE DA ERROS NA FASE DA MODELAGEM MODELAGEM

PROBLEMA FÍSICO

MODELO MATEMÁTICO

SOLUÇÃO

MODELAGEM

RESOLUÇÃO

EXEMPLOEXEMPLO DE ERRO NA FASE DE ERRO NA FASE DA MODELAGEM DA MODELAGEM

QUAL A INTENSIDADE DA FORÇA DE UM OBJETO DE 5 kg EM QUEDA LIVRE? CONSIDERE QUE ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE SEJA APROXIMADAMENTE 9,8 m/s2.

P m.g=

��

ERROS NA FASE DE ERROS NA FASE DE RESOLURESOLUÇÇÃOÃO

OCORREM ATRAVÉS DE ALGUMA

APROXIMAÇÃO REALIZADA PELO

COMPUTADOR DEVIDO A RESTRIÇÕES

DE REPRESENTAÇÃO, TAIS COMO:

NÚMEROS IRRACIONAIS E ALGUNS

RACIONAIS.

e 2π

ERRO DE TRUNCAMENTO

SÃO ERROS PROVENIENTES DA UTILIZAÇÃO DE PROCESSO QUE DEVERIAM SER INFINITOS OU MUITO GRANDES PARA A DETERMINAÇÃO DE UM VALOR, E QUE, POR RAZÕES PRÁTICAS, SÃO TRUNCADOS.

2 3 4

1 3 3 3 30

3 10 10 10 10= + + + + +⋯

10,333

3= …

ERROS ABSOLUTOS ERROS ABSOLUTOS

QUANDO SE SUBSTITUI UM VALOR X

POR OUTRO APROXIMADO DEFINE-SE

COMO ERRO ABSOLUTO A DIFERENÇA:

x

Ae x x= −

ERROS RELATIVOS ERROS RELATIVOS

ERRO RELATIVO TEM POR OBJETIVO

DAR UMA IDÉIA AO GRAU DE UMA

INFLUÊNCIA DO ERRO, NO VALOR

DESEJADO, QUE SE DENOTA POR:

AR

x x ee

x x

−= =

EXEMPLOEXEMPLO

CONSIDERE O VALOR COMO

“VALOR EXATO”. VAMOS CALCULAR O

ERRO COMETIDO NO CÁLCULO DO

COMPRIMENTO DAS CIRCUNFERÊNCIAS:

3,141592π=

a) ππππ = 3,14, raio = 4 mb) ππππ = 3,141, raio = 20 m

RESOLURESOLUÇÇÃO DO ITEM AÃO DO ITEM A

ERRO ABSOLUTO:

3,141592 3,14

r 4

π= π=

=

= −

= −

=

A

A

A

e x x

e 25,132736 25,12

e 0,012736

x 2 r

x 2 3,141592 4

x 25,132736

= π

= ⋅ ⋅

=

x 2 r

x 2 3,14 4

x 25,12

= π

= ⋅ ⋅

=

Ae x x= −

RESOLURESOLUÇÇÃO DO ITEM AÃO DO ITEM A

ERRO RELATIVO:

x 25,132736

x 25,12

=

=

−=R

x xe

x

R

R

25,132736 25,12e

25,132736

e 0,000506

−=

=

RESOLURESOLUÇÇÃO DO ITEM BÃO DO ITEM B

ERRO ABSOLUTO:

3,141592 3,141

r 1000

π= π=

=

A

A

A

e x x

e 6.283,184 6.282

e 1,184

= −

= −

=

x 2 r

x 2 3,141592 1000

x 6.283,184

= π

= ⋅ ⋅

=

x 2 r

x 2 3,141 1000

x 6.282

= π

= ⋅ ⋅

=

Ae x x= −

RESOLURESOLUÇÇÃO DO ITEM BÃO DO ITEM B

ERRO RELATIVO:

x 6.283,184

x 6.282

=

=

AR

x x ee

x x

−= =

AR

R

R

ee

x

1,184e

6.283,184

e 0,0001884

=

=

=

COMO UM COMPUTADOR COMO UM COMPUTADOR

REPRESENTA OS NREPRESENTA OS NÚÚMEROS MEROS

INTERNAMENTE?INTERNAMENTE?

VAMOS ESTUDAR A CONVERSÃO DECIMAL-BINÁRIA, E VICE-VERSA.

0 1 2 3-3 -2 -1

BASE

Um número N qualquer pode ser descrito numa base ββββ de acordo com a seguinte expressão polinomial:

m m 1 1m m 1 1 o

1 21 2 n n

N a a ... a a

a a ... a

−

−

− −

− − − −

= β + β + + β +

+ β + β + + β

EXEMPLO DE BASE

( )10N 142,12=

( )2N 110=

TRANSFORME PARA BASE BINÁRIA

( )10N 26=

TRANSFORME PARA BASE BINÁRIA

( )10N 26=

26 20 13 2

61 23 2

11

0

201

( ) ( )10 2N 26 11010= =

TRANSFORME PARA BASE BINÁRIA

( )10N 0,625=

( ) ( )10 2N 26 0,101= =

0,625 0,250 0,500

x 2 x 2 x 2

1,250 0 ,500 1,000

PONTO FLUTUANTE

TODO DIA UTILIZAMOS CALCULADORAS

E NEM IMAGINAMOS QUE ELAS PODEM

COMETER ERROS E COMO ELES

ACONTECEM. AS CALCULADORAS USAM

A REPRESENTAÇÃO EM ARITMÉTICA DE

PONTO FLUTUANTE.

PONTO FLUTUANTE

EXEMPLO.

( ) e1 2 3 tF , d d d . . .d= ± β

Considere o número (0,00021456)10, vamos representá-lo em uma máquina com as seguintes características

ββββ = 10, t = 4 e 9 e 9− ≤ ≤

A FORMA NORMALIZADA É:30,21456.10−

COM A MANTISSA TEM APENAS 4 DIGITOS, VEM:

30,2145.10−

300-5412+

ExpSEMANTISSASM

PONTO FLUTUANTE

EXEMPLO. Considere o número (21,004567)10, vamos representá-lo em uma máquina com as seguintes características

ββββ = 10, t = 4 e 9 e 9− ≤ ≤

A FORMA NORMALIZADA É:20,21004567.10−

COM A MANTISSA TEM APENAS 4 DIGITOS, VEM:

20,2100.10−

200-0012+

ExpSEMANTISSASM

Represente o número (-26,625)10 em

uma máquina digital com as seguintes

características β = 2, t = 4 e -8 < e < 8.

EXEMPLO

OVERFLOW E UNDERFLOWO conjunto de números dos números reais é infinito, entretanto, sendo o sistema de ponto flutuante limitado, logo não é possível representar todos os números.

Dois fatores geram causam esta limitação� o intervalo dos expoentes � a quantidade de elementos na mantissa

Considere uma máquina em que t = 4, β = 2 e -2 ≤ exp ≤ 2, represente os seguintes valores (0,00001)2 e (10000)2 nesta máquina.

??100010

EXPSEMANTISSASM

UNDERFLOW

??100010

EXPSEMANTISSASM

OVERFLOW

??100010

EXPSEMANTISSASM

RECADOS

�ATIVIDADE COMPLEMENTAR NO AVA

�BONS ESTUDOS