Amortização

MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOSGESTÃO PÚBLICA

AMORTIZAÇÃO

CAPITALIZAÇÃO E AMORTIZAÇÃO

Um sistema de amortização nada mais é do que um plano de pagamento de uma dívida contraída. Esses planos de pagamento podem assumir muitas formas. Nos diversos planos de pagamento possíveis, cada prestação costuma incluir:

juro do período que é calculado sobre o saldo da dívida no início do período; e/ou amortização do principal que correspondente ao pagamento parcial ou integral do principal da dívida.

Exemplos de aplicação de sistemas de amortização:

Compras a prestação. Empréstimos em bancos para pagamento em parcelas periódicas. Empréstimos do sistema financeiro da habitação para compra da casa própria. Financiamento de automóveis, e outros.

Quando contraímos uma dívida, devemos saldá-la por meio do pagamento do valor atual ou valor principal (ou capital) e dos juros contratados, em certo prazo estipulado. O pagamento deste principal é chamado AMORTIZAÇÃO.

O termo amortização é utilizado em financiamentos, que consiste em prestações pagas periodicamente (em geral mensalmente) reduzindo o Saldo Devedor - SD (dívida) do financiamento. Através da amortização, o valor total da dívida cai, de forma que ao longo do financiamento as prestações tendem a diminuir, pois a parcela referente à amortização do saldo devedor diminui.

No mercado brasileiro são utilizados basicamente três sistemas de amortização do saldo devedor dos financiamentos:

SAC - Sistema de Amortização Constante. SAF – Sistema de Amortização Francês ou Tabela Price. SACRE - Sistema de Amortização Crescente – Somente utilizado pela Caixa Econômica Federal.

O que difere um sistema de amortização de outro é, basicamente, a maneira como são obtidas a parcelas. Elas podem ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo compostas por duas partes: juros e amortização.

Existem outros sistemas de amortização. São eles:

SAA - Sistema de Amortização Americano SAM - Sistema de Amortização Misto PLA - Plano Livre de Amortização

DEFINIÇÕES – Termos de uso corrente no mercado financeiro:

Mutuante ou credor - aquele que dá o empréstimo. Mutuário ou devedor - aquele que recebe o empréstimo. Amortização (A) - ação de saldar uma dívida por meio de parcelas periódicas, constantes ou não. Prazo de carência - período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira

amortização.

GESTÃO PÚBLICA – MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS – 1/2014 Página 2

Parcela de amortização - corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado.

Prazo de amortização - é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações.

Segundo as práticas habituais no mercado, os empréstimos classificam-se em: curto prazo médio prazo longo prazo

Os empréstimos de curto e médio prazo caracterizam-se, normalmente por serem saldados em até 3 anos. Acima de 3 anos, os empréstimos são considerados de longo prazo. Os empréstimos de longo prazo são de grande importância, pois existem vários sistemas de amortizar o empréstimo.

Prestação (PMT) - é a soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um dado período.

Prazo total de financiamento - é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização. Saldo Devedor (SD) - é o estado da dívida, ou seja, do débito, em um determinado instante de tempo. Período de amortização (n) - é o intervalo de tempo existente entre as duas amortizações.

1 SISTEMAS DE AMOTIZAÇÃO CONSTANTE - SAC

Esse sistema é amplamente utilizado no Brasil, principalmente nos financiamentos imobiliários e no setor produtivo. As características do SAC são:

O Valor amortizado é constante. Prestações e os juros decrescentes. Taxa de juro incide sobre o saldo devedor do período anterior (geralmente é mensal).

CÁLCULO DAS PRESTAÇÕES NO SAC

Para calcular a primeira prestação, temos que calcular o valor amortizado e os juros:

1- Valor amortizado (A) - Para calcular o valor constante da amortização, basta dividir o saldo devedor inicial pelo período n.

2- Juros (J) - Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período anterior.

3- Parcelas (PMT) - As parcelas serão a soma dos juros com o valor a ser amortizado.

SAC SEM PRAZO DE CARÊNCIA

No final do primeiro período, logo depois de contrair a dívida, a primeira parcela deve ser paga.

Exemplo – Um imóvel de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 parcelas a uma taxa de 10% ao ano. Construir o plano de amortização no SAC. Quanto foi pago de juros e quanto foi amortizado na primeira parcela?


(a) Parcela fixa de amortização.

(b) Cálculo dos juros pago no final do 1º período de amortização.

(c) Cálculo da 1ª PMT paga.

Logo, no final do 1º período a prestação a ser paga é de R$ 30.000,00, sendo que esta prestação contém o valor amortizado (R$ 20.000,00), mais o valor dos juros (R$ 10.000,00)

Para calcular a prestação do 2º período, a taxa deve incidir sobre o saldo devedor imediatamente anterior, isto é:

Saldo Devedor anterior = 80.000 Juros = = 80.000 x 0,10 = 8.000,00 Amortização constante = 20.000,00 Prestação = = 20.000,00 + 8.000,00 = 28.000,00

Elaborando uma tabela, temos o plano de amortização. Podemos observar que pagaremos R$ 30.000,00 de juros

PLANO DE AMORTIZAÇÃOPeríodo SD Amortização (A) Juros (J) PMT = A + J

0 100.000,00 -- -- --1 100.000 – 20.000 = 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,002 80.000 – 20.000 = 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,003 60.000 – 20.000 = 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,004 40.000 – 20.000 = 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,005 20.000 – 20.000 = 0,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00

Total ---- 100.000,00 30.000,00 130.000,00

Observe que a amortização é constante e as prestações e os juros decrescem à medida que a dívida vai sendo quitada.

SAC COM PRAZO DE CARÊNCIA E PAGAMENTO DE JUROS

Durante o período de carência é feito apenas o pagamento dos juros, não havendo nenhuma amortização.

Exemplo – Considere o exemplo anterior com 3 meses de carência. Um imóvel de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 parcelas a uma taxa de 10% ao ano. Quanto foi pago de juros e quanto foi amortizado na primeira parcela?

(a) Parcela fixa de amortização.

(b) Cálculo dos juros pago no final do 1º período de amortização após o término da carência.


(c) Cálculo da 1ª PMT paga no final do 1º período de amortização após o término da carência.

A primeira prestação a ser paga logo após o término do período de carência é de R$ 30.000,00. Durante o período de carência, pagamos apenas os juros, no valor de R$ 10.000,00.

Observe no plano de amortização abaixo que pagaremos R$ 50.000,00 de juros, R$ 20.000,00 a mais do que no sistema sem o prazo de carência, visto no exemplo anterior.

PLANO DE AMORTIZAÇÃOPeríodo SD Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 -- -- --1 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,002 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,003 80.000,00 20.000,00 10.000,00 30.000,004 60.000,00 20.000,00 8.000,00 28.000,005 40.000,00 20.000,00 6.000,00 26.000,006 20.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,007 0,00 20.000,00 2000,00 22.000,00

Total ---- 100.000,00 50.000,00 150.000,00

Observe que a amortização é constante e as prestações e os juros decrescem à medida que o saldo devedor vai sendo quitado.

2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU TABELA PRICE - SAF

As principais características desse sistema são:

O valor amortizado é crescente Prestações constantes. Juros decrescentes. Taxa de juros é usualmente nominal (a taxa do financiamento é anual, mas capitalizada mensalmente).

O fato das prestações serem fixas facilita os cálculos para o usuário, porém os juros pagos no início são altos, se comparados com o sistema SAC. Além disso, o valor a ser amortizado é muito pequeno. O pagamento de juros acaba elevando o montante da dívida de forma significativa em função do tempo.

Esse sistema é muito utilizado nos financiamentos em geral, como

na compra de carros, de eletrodomésticos, empréstimo pessoal, ou seja, utilizado na compra a prazo de bens de consumo (crédito direto ao consumidor), etc..

Este sistema seria ideal para um financiamento imobiliário se não existissem os indexadores da prestação (índices: TR, TJLP, INCC, CUB, IGPM, etc). A parcela de amortização da dívida é mais baixa no inicio do financiamento e cresce ao longo do contrato. Este financiamento é ideal para pagamento de veículos e crediário em geral que tem prazo curto e a prestação é fixa, mas, pode ser inadequado para financiamentos em longo prazo que contenham um indexador.

A utilização do Sistema Price por parte do credor (aquele que fornece o crédito) pode ser identificado pelo consumidor, se o vendedor utiliza uma tabela de fatores para calcular o valor das parcelas fixas.


As prestações do sistema SAF são dadas pela seguinte fórmula:

(I)

onde significa : “a n-cantoneira i” e

(II)

O valor da prestação PMT, dada pela fórmula ( I ) é facilmente calculada com ajuda da TABELA I, no fim desta apostila, que fornecem diretamente o valor de .

TABELA PRICE SEM PRAZO DE CARÊNCIA

Exemplo - Um imóvel de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 parcelas a uma taxa de 10% ao ano. Quanto foi pago de juros e quanto foi amortizado na primeira parcela?

(a) Cálculo da prestação (fixa)

= = = 26.379,75

Temos então, 5 prestações iguais de R$ 26.379,75.

O valor 0,2637975 é um valor tabelado para o período n = 5 períodos e uma taxa i = 10% a.a . Por isso .

(b) Cálculo dos juros pago na 1ª PMT

A parte da parcela referente aos juros nela auferidos é calculada com base no período anterior, em função da taxa combinada, ou seja, a taxa de juros sempre incide sobre o saldo devedor anterior ao período em questão.

Onde: = são os juros pagos em uma referida parcela no período n. = saldo devedor do período anterior. = taxa de juros combinada.

Assim, = 100.000 x 0,10 = 10.000


inaSDPMT

1

.

n

n

in ii

ia

)1.(

1)1(

Os juros pagos no final do 1º período foram de R$ 10.000,00.

(c) Cálculo do valor amortizado na 1ª PMTToda parcela PMT é formada por uma parte referente à amortização e outra parte referente aos juros, ambas pagas em um período específico, ou seja, uma parcela (PMT) é a soma entre uma parcela de amortização (A) e uma parcela de juro (J).

Onde: = é a parcela paga no período n = amortização referente ao período n = juros pagos no período n

Assim,

26.379,75 = + 10.000 = 26.379,75 – 10.000 = 16.379,75

Logo, o valor amortizado no primeiro período foi de 16.379,75

Este processo segue analogamente para os períodos seguintes, mas lembrando que os juros incidem sempre no saldo devedor do período anterior.

O saldo devedor do período em questão é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior e o valor amortizado do período em questão.

A planilha de amortização fica da seguinte forma:


0 100.000,00 -- -- --1 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,752 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,753 45.783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,754 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,755 0,00 23.981,58 2.398,16 26.379,74

Total -- 100.000,00 31.898,74 131.898,74

Observe que o saldo devedor diminui, assim como os juros. Já os valores amortizados aumentam. Na última linha da planilha, podemos constatar que pagamos R$ 31.898,74 de juros. No sistema SAC, pagamos R$ 30.000,00 de juros.

O saldo devedor do 2º período ( ), por exemplo, é igual a R$ 65.602,53.= 83.620,25 - 18.017,72 = 65.602,53

TABELA PRICE COM PRAZO DE CARÊNCIA E PAGAMENTO DE JUROS

Durante a carência o mutuário paga apenas os juros devidos.

Exemplo anterior



0 100.000,00 -- -- --1 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,002 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,003 83.620,25 16.379,75 10.000,00 26.379,754 65.602,53 18.017,72 8.362,03 26.379,755 45,783,03 19.819,50 6.560,25 26.379,756 23.981,58 21.801,45 4.578,30 26.379,757 -- 23.981,58 2.398,16 26.379,74

Total -- 100.000,00 51.898,74 151.898,74

Observe que pagaremos R$ 51.898,74 de juros, R$ 20.000,00 a mais do que no sistema sem o prazo de carência.

INFORMAÇÕES ADICIONAIS A RESPEITO DO SAC E TABELA PRICE

Os bancos têm apontado os seguintes argumentos a favor desse sistema SAC de amortização

No SAC, o valor das prestações tende a decrescer com o decorrer do tempo, caso não haja índices muito elevados de atualização monetária;

A maioria dos bancos exige que o valor da prestação inicial comprometa no máximo entre 20% e 30% do valor da renda líquida familiar do financiamento. Dessa forma, como os valores das parcelas são decrescentes, ajustam-se, de forma mais adequada, à curva de atualização salarial, diminuindo o risco de inadimplência;

O saldo devedor desse sistema, comparando ao tradicional Sistema Price, decresce mais rapidamente, minimizando distorções do tipo em que temos a sensação de que o saldo devedor nunca diminui;

Dependendo das condições do contrato, a prestação inicial no SAC chega a ser 30% mais cara do que a prestação inicial do Sistema Price. Contudo, num contrato de 120 meses, à taxa de juros compostos de 1% ao mês, com correção monetária projetada constante de 0,25% ao mês, a partir da prestação de número 50, o valor da parcela no SAC será igual ao Sistema Price, e a última prestação do Sistema Price será 70% mais cara do que a do SAC.

3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO SACRE (APENAS PRA FINS DE CONHECIMENTO)

Sistema exclusivo da Caixa Econômica Federal, desenvolvido com o objetivo de permitir uma amortização mais rápida, reduzindo a parcela de juros sobre o saldo devedor. Neste sistema, a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos sistemas SAC e SAF, comprometem no máximo 25% da renda. Na verdade, esse sistema é o SAC um pouco modificado.

As principais características são:

Amortização decrescente Prestações decrescentes Juros decrescentes

No SACRE, o valor da parcela de amortização é maior do que a parcela do SAC e SAF, o que proporciona uma redução mais rápida do saldo devedor.Outras características:


O cálculo das prestações é feito uma vez por ano nos dois primeiros anos do contrato, ou trimestralmente a partir do terceiro ano.

O valor das 12 primeiras parcelas é fixo. Após este período, a prestação será recalculada para os próximos 12 meses.

O cálculo da primeira prestação é feito é feito como no SAC (dividimos o valor financiado pelo número total de parcelas e depois somamos o valor dos juros calculados sobre o saldo devedor).

O saldo devedor é reajustado mensalmente pela TR – Taxa Referencial. O valor dos juros será calculado sobre esse saldo atualizado. Uma vez obtido o valor dos juros, este é descontado do valor da prestação fixa, e encontramos a parcela de amortização, que irá diminuir o saldo devedor existente a cada período.

Após o pagamento da 12ª parcela, recalculamos o valor da prestação em cima do saldo devedor existente. Esta nova prestação vigorará pelos próximos 12 meses.

O prazo máximo de financiamento pelo SACRE é de 20 anos para imóveis de classe média e 25 anos para imóveis populares.

Neste caso, se o mutuário puder e quiser bancar prestações mais "pesadas" no início do financiamento pode optar pelo SACRE. Para os mutuários que desejarem efetuar pagamentos com parcelas mais baixas, o SAF e SAC são as melhores alternativas. Todos os casos, porém, admitem o uso do FGTS para pagamento da dívida.

O valor das amortizações e da primeira parcela é calculado como no SAC. O valor da segunda parcela é igual à primeira, o que permite uma maior amortização se comparado ao SAC.

TABELA COMPARATIVA ENTRE O SACRE E O PRICE

O sistema SACRE foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado logo no início do contrato, especialmente se comparado ao Price. A prestação inicial, no SACRE, pode comprometer até 30% da renda, enquanto no sistema Price o comprometimento inicial da renda é de até de 25%. No entanto ao longo do contrato, verifica-se que a partir de determinado período de recálculo, o valor da prestação do sistema SACRE começa a diminuir, enquanto o do sistema Price aumenta.

Vejamos um exemplo de financiamento feito com ambos os sistemas. O exemplo abaixo é fornecido inteiramente pela Caixa Econômica Federal. Os cálculos não serão apresentados por se tratar de um longo exercício.

Dados do financiamento:

Valor Financiado R$ 50.000,00Taxas de juros 10,5% a.a = 0,875% a.mPrazo 180 mesesTR 1,006 ao mêsRenda exigida – Price R$ 2.384,26Renda exigida – SACRE R$ 2.210,80Comprometimento de renda inicial Price 25%Comprometimento de renda inicial SACRE 30%

No quadro abaixo, temos a evolução das prestações até o final do contrato. O valor das prestações é válido para os próximos 12 meses, incluindo o do recálculo.

SACRE PRICE

Nº daPrestação

PMT% de

aumento% da renda

PMT % da renda% de

aumentoDiferença na PMT

em % SACRE/PRICE

1 715,28 -- 30,00% 552,7 25,00 % -- 29,42 %13 739,88 3,44% 31,03 % 597,01 27,00 % 8,02% 23,93 %25 763,91 3,25% 32,04 % 645,00 29,17 % 8,04% 18,44 %


37 787,15 3,04% 33,01 % 696,99 31,53 % 8,06% 12,94 %49 809,30 2,81% 33,94 % 753,37 34,08 % 8,09% 07,42 %61 830,05 2,56% 34,81 % 814,57 36,85 % 8,12% 01,90 %73 849,04 2,29% 35,61 % 881,10 39,85 % 8,17% 3,64 %85 865,85 1,98% 36,32% 953,55 43,13% 8,22% 9,20%97 880,03 1,64% 36,91% 1032,64 46,71% 8,29% 14,78%109 891,03 1,25% 37,37 % 1119,29 50,63 % 8,39% 20,40 %121 898,24 0,81% 37,67 % 1214,75 54,95 % 8,53% 26,05 %133 900,94 0,30% 37,79 % 1320,87 59,75 % 8,74% 31,79 %145 898,23 -0,30% 37,67 % 1440,87 65,17 % 9,08% 43,80 %157 888,90 -1,04% 37,28% 1581,86 71,75 % 9,79% 43,80 %169 870,31 -2,09% 36,50 % 1770,04 80,06 % 11,90% 50,83 %180 870,31 0,00% 36,50 % 1770,04 80,06 % 0,00% 50,83 %

% prestação 21,67% 220,25%% prestação maior 25,96% 220,25%

ALGUMAS INFORMAÇÕES DA TABELA ACIMA

No sistema SACRE, as 12 primeiras parcelas foram de R$ 715,28 e no Price de R$ 552,70. As 12 últimas parcelas no SACRE foram de R$ 870,31, e no Price, de R$ 1770,04

Observando a coluna do lado, de % de renda (nível de comprometimento da renda do mutuário), a primeira prestação equivale a 30% da renda do mutuário no sistema SACRE, enquanto na Price compromete 25%.

Observando a quinta coluna, de % de comprometimento da renda na tabela Price, o nível inicial era de 25%, mais suave que na SACRE, que era de 30%. Porém, no final do contrato este nível já está em 80,06%.

A tabela Price é mais suave de pagar no início do financiamento, pois a prestação é menor e a renda mínima exigida também. Isso pode deixar o mutuário com tendência a querer esta tabela. Mas o nível de comprometimento de renda na tabela Price vai aumentando, chegando a 80%.

A prestação da Price fica mais alta que a do SACRE. A prestação inicial da SACRE supera a da Price em 29,42%. Mas no final, a prestação do SACRE é menor, ficando em torno da metade da prestação da Price.

Logo, é muito mais arriscado comprar na tabela Price, porque se a renda do mutuário não aumentar, certamentehaverá dificuldades para pagar a dívida.

No quadro abaixo, segue um comparativo entre características dos três sistemas de amortização acima.

COMPARATIVO SAC SACRE SAFPRESTAÇÕES Decrescentes Decrescentes ConstantesAMORTIZAÇÕES Constantes Decrescentes CrescentesJUROS Decrescentes Decrescentes DecrescentesVANTAGEM SD diminui mais

rapidamente em relação ao Price

SD diminui mais rapidamente em relação ao Price ou SAC

PMT inicial menor em relação ao SAC ou SACRE

DESVANTAGEM PMT inicial maior PMT inicial maior SD diminui mais lentamente em relação ao SAC ou SACRE

4 SISTEMA AMERICANO

Neste sistema, a devolução do valor emprestado, ao final da carência, é feita numa única parcela. Os juros podem ser pagos pelo devedor de duas formas:


Durante a carência ou Capitalizados no principal.

JUROS PAGOS NA CARÊNCIA

Exemplo - Um imóvel de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 parcelas a uma taxa de 10% ao ano.


0 100.000,00 -- -- --1 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,002 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,003 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,004 100.000,00 -- 10.000,00 10.000,005 --- 100.000,00 10.000,00 110.000,00

Total -- 100.000,00 50.000,00 150.000,00

JUROS CAPITALIZADOS NO SALDO DEVEDOR

Não há pagamento de juros no período de carência. Os juros são capitalizados no saldo devedor, período por período. No final do prazo o devedor pagará, numa única parcela, o valor do empréstimo mais os juros.

Tomando o exemplo anterior:PLANO DE AMORTIZAÇÃO

Período SD Amortização Juros Prestação0 100.000,00 -- -- --1 110.000,00 -- 10.0002 121.000,00 -- 11.0003 133.100,00 -- 12.1004 146.410,00 -- 13.1005 -- 146.410,00 14.641 161.051,00

Total -- 100.000,00 61.051,00 161.051,00

EXERCÍCIOS

1- Um carro no valor de R$ 40.000,00 é comprado, sem entrada, para ser pago em 8 meses, com carência de 2 meses, à base de 10% a.m. de juros, capitalizados durante a carência. Sabendo que o financiamento foi feio pelo SAC, monte o plano de amortização.

2- Um empréstimo de R$ 15.000,00 pelo Sistema Francês de Amortização deve ser pago em 8 meses, sem carência, à taxa de 4% a.m de juros. Construa uma tabela de amortização.

3- Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o dívida será amortizada em 4 parcelas, construir a planilha usando o SAC.

4- Um banco empresta R$ 20.000,00 a um cliente, nas seguintes condições:

carência de 3 meses; pagamento de juros durante a carência; taxa mensal de 7% para financiamento; Sistema Francês de Amortização. 6 parcelas.


Taxa de IOF (Imposto sobre Operações Financeiras) de 5%, pagos somente no ato do empréstimo.Construa o plano de amortização para esse caso.

5- Suponha um empréstimo de R$ 4.000,00 à taxa de 3% a.m, durante 7 meses. Construa uma tabela de amortização pelo Sistema Americano,

(a) com juros capitalizados no saldo devedor.(b) Juros pagos na carência.

6- Suponha um empréstimo de R$ 50.000,00 `a taxa de 5% a.a., a serem pagos em 5 prestações. Construa o plano de amortização pelo SAF, mas com prazo de carência de 3 meses e pagamento de juro.

TABELA I – AMORTIZAÇÃO

VALORES DE

Período 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%

1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 1,07000 1,08000 1,09000 1,10000

2 0,50751 0,51505 0,52261 0,53020 0,53780 0,54544 0,55309 0,56077 0,56847 0,57619

3 0,34002 0,34675 0,35353 0,36035 0,36721 0,37411 0,38105 0,38803 0,39505 0,40211

4 0,25628 0,26262 0,26903 0,27549 0,28201 0,28859 0,29523 0,30192 0,30867 0,31547

5 0,20604 0,21216 0,21835 0,22463 0,23097 0,23740 0,24389 0,25046 0,25709 0,26380

6 0,17255 0,17853 0,18460 0,19076 0,19702 0,20336 0,20980 0,21632 0,22292 0,22961

7 0,14863 0,15451 0,16051 0,16661 0,17282 0,17914 0,18555 0,19207 0,19869 0,20541

8 0,13069 0,13651 0,14246 0,14853 0,15472 0,16104 0,16747 0,17401 0,18067 0,18744

9 0,11674 0,12252 0,12843 0,13449 0,14069 0,14702 0,15349 0,16008 0,16680 0,17364

10 0,10558 0,11133 0,11723 0,12329 0,12950 0,13587 0,14238 0,14903 0,15582 0,16275

11 0,09645 0,10218 0,10808 0,11415 0,12039 0,12679 0,13336 0,14008 0,14695 0,15396

12 0,08885 0,09456 0,10046 0,10655 0,11283 0,11928 0,12590 0,13270 0,13965 0,14676

13 0,08241 0,08812 0,09403 0,10014 0,10646 0,11296 0,11965 0,12652 0,13357 0,14078

14 0,07690 0,08260 0,08853 0,09467 0,10102 0,10758 0,11434 0,12130 0,12843 0,13575

15 0,07212 0,07783 0,08377 0,08994 0,09634 0,10296 0,10979 0,11683 0,12406 0,13147

16 0,06794 0,07365 0,07961 0,08582 0,09227 0,09895 0,10586 0,11298 0,12030 0,12782

17 0,06426 0,06997 0,07595 0,08220 0,08870 0,09544 0,10243 0,10963 0,11705 0,12466

18 0,06098 0,06670 0,07271 0,07899 0,08555 0,09236 0,09941 0,10670 0,11421 0,12193

19 0,05805 0,06378 0,06981 0,07614 0,08275 0,08962 0,09675 0,10413 0,11173 0,11955

20 0,05542 0,06116 0,06722 0,07358 0,08024 0,08718 0,09439 0,10185 0,10955 0,11746

21 0,05303 0,05878 0,06487 0,07128 0,07800 0,08500 0,09229 0,09983 0,10762 0,11562

22 0,05086 0,05663 0,06275 0,06920 0,07597 0,08305 0,09041 0,09803 0,10590 0,11401

23 0,04889 0,05467 0,06081 0,06731 0,07414 0,08128 0,08871 0,09642 0,10438 0,11257

24 0,04707 0,05287 0,05905 0,06559 0,07247 0,07968 0,08719 0,09498 0,10302 0,11130

25 0,04541 0,05122 0,05743 0,06401 0,07095 0,07823 0,08581 0,09368 0,10181 0,11017

26 0,04387 0,04970 0,05594 0,06257 0,06956 0,07690 0,08456 0,09251 0,10072 0,10916

27 0,04245 0,04829 0,05456 0,06124 0,06829 0,07570 0,08343 0,09145 0,09973 0,10826

28 0,04112 0,04699 0,05329 0,06001 0,06712 0,07459 0,08239 0,09049 0,09885 0,10745

29 0,03990 0,04578 0,05211 0,05888 0,06605 0,07358 0,08145 0,08962 0,09806 0,10673

30 0,03875 0,04465 0,05102 0,05783 0,06505 0,07265 0,08059 0,08883 0,09734 0,10608

31 0,03768 0,04360 0,05000 0,05686 0,06413 0,07179 0,07980 0,08811 0,09669 0,10550

32 0,03667 0,04261 0,04905 0,05595 0,06328 0,07100 0,07907 0,08745 0,09610 0,10497

33 0,03573 0,04169 0,04816 0,05510 0,06249 0,07027 0,07841 0,08685 0,09556 0,10450

34 0,03484 0,04082 0,04732 0,05431 0,06176 0,06960 0,07780 0,08630 0,09508 0,10407

35 0,03400 0,04000 0,04654 0,05358 0,06107 0,06897 0,07723 0,08580 0,09464 0,10369

36 0,03321 0,03923 0,04580 0,05289 0,06043 0,06839 0,07672 0,08534 0,09424 0,10334

37 0,03247 0,03851 0,04511 0,05224 0,05984 0,06786 0,07624 0,08492 0,09387 0,10303

38 0,03176 0,03782 0,04446 0,05163 0,05928 0,06736 0,07580 0,08454 0,09354 0,10275

39 0,03109 0,03717 0,04384 0,05106 0,05876 0,06689 0,07539 0,08419 0,09324 0,10249

40 0,03046 0,03656 0,04326 0,05052 0,05828 0,06646 0,07501 0,08386 0,09296 0,10226


41 0,02985 0,03597 0,04271 0,05002 0,05782 0,06606 0,07466 0,08356 0,09271 0,10205

42 0,02928 0,03542 0,04219 0,04954 0,05739 0,06568 0,07434 0,08329 0,09248 0,10186

43 0,02873 0,03489 0,04170 0,04909 0,05699 0,06533 0,07404 0,08303 0,09227 0,10169

44 0,02820 0,03439 0,04123 0,04866 0,05662 0,06501 0,07376 0,08280 0,09208 0,10153

45 0,02771 0,03391 0,04079 0,04826 0,05626 0,06470 0,07350 0,08259 0,09190 0,10139

46 0,02723 0,03345 0,04036 0,04788 0,05593 0,06441 0,07326 0,08239 0,09174 0,10126

47 0,02677 0,03302 0,03996 0,04752 0,05561 0,06415 0,07304 0,08221 0,09160 0,10115

48 0,02633 0,03260 0,03958 0,04718 0,05532 0,06390 0,07283 0,08204 0,09146 0,10104

49 0,02591 0,03220 0,03921 0,04686 0,05504 0,06366 0,07264 0,08189 0,09134 0,10095

50 0,02551 0,03182 0,03887 0,04655 0,05478 0,06344 0,07246 0,08174 0,09123 0,10086


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