1

Amostragem de Conglomerados em Um Único Estágio – Conglomerados de

Tamanhos Diferentes• Notação:– População:

1 2 i M. . . . . .

XiT é o total do cluster i;

Ni é o tamanho do cluster i;

é a média do cluster i.

iX

iN

jijiT XX

1

Xij valor da variável de interesse do elemento j e cluster i.

2

Amostra: a amostra de cluster consiste de todos os elementos de cada um dos m cluster selecionados aleatoriamente a partir dos M cluster da população.

1 2 i m. . . . . .

ix

xiT é o total do cluster i;

ni é o tamanho do cluster i;

é a média do cluster i.

Unidade primárias: são os clusters;Unidades secundárias: são os elementos da população dentro dos clusters;

A amostra de cluster é uma amostra aleatória simples de clusters.

3

A média populacional geral () (isto é, o valor médio de X das unidades secundárias) é:

M

ii

M

iiT

M

ii

M

i

N

jij NXNX

i

1111 1

Interpretação: razão do total dos valores XiT para o total dos valores Ni.

Estimação: desejamos estimar a partir de uma amostra de conglomerados.

m

ii

m

iiTc nxx

11

A qual é a razão da soma dos totais de clusters para a soma dos tamanhos de clusters, na amostra de clusters selecionada.

4

Variância de pode ser estimada a partir da amostra por:

cx

2

2

11 ci

m

i

ic xx

N

n

mm

MmMxVar

E se N for desconhecido, ele pode ser substituído pelo estimador Mn/m, onde n é o tamanho efetivo da amostra, obtendo-se:

2

2

11 ci

m

i

ic xx

n

n

mM

mmMxVar

(amostragem sem reposição)

cc xVartxCI .:%95;..

5

Estimação do total geral XT

cT

cT

xVarNxVar

xNx2

6

Exemplo:

Trata-se de avaliar o rendimento dos alunos da primeira série do primeiro grau, na rede de ensino público de certa localidade.

A partir da relação das 3500 turmas existentes, foram preparados conglomerados (clusters), juntando turmas de diferentes escolas, com o objetivo de agrupar alunos o mais possível diferentes no que se refere ao rendimento (necessidade dos conglomerados serem heterogêneos).

Os conglomerados foram formados com 5 turmas de, aproximadamente, 150 alunos, supondo uma base de 30 alunos por turma. Na população temos 700 clusters.

Deseja-se observar uma amostra de 1500 alunos.

Considerando:

dosconglomera 10150/1500 Nmn

Prob(cluster) = 10/700 = 0,014286

7

Conglomerados da amostra

Número de alunosni

Soma dos escoresXiT

1 162 1004,4

2 170 952,0

3 145 1015,0

4 151 830,5

5 160 960,0

6 162 793,8

7 145 855,5

8 148 947,2

9 171 1214,1

10 178 1032,4

Total 1592 9604,9

8

Estimativa do rendimento médio por aluno

m

ii

m

iiTc nxx

11

033,61592/9,9604 cx

9

Estimativa da variância da média de conglomerado

2

2

11 ci

m

i

ic xx

n

n

mM

mmMxVar

Conglomerados

1 0,1018 0,0104 0,1670 0,0279 0,00029 2 0,1068 0,0114 -0,4330 0,1875 0,002138 3 0,0911 0,0083 0,9670 0,9351 0,007761 4 0,0948 0,0090 -0,5330 0,2841 0,002557 5 0,1005 0,0101 -0,0330 0,0011 1,11E-05 6 0,1018 0,0104 -1,1330 1,2837 0,01335 7 0,0911 0,0083 -0,1330 0,0177 0,000147 8 0,0930 0,0086 0,3670 0,1347 0,001158 9 0,1074 0,0115 1,0670 1,1385 0,013093

10 0,1118 0,0125 -0,2330 0,0543 0,000679 TOTAL 0,041184

10

5133,6 ;5526,5

212368,0.262,2033,6:

212368,00451,0

0451,0041184,0110700

1010700

IC

xDP

xVar

c

c

Distribuição t de Student com 10-1 = 9 graus de liberdade

11

Estimativa do coeficiente de variação da média de conglomerado

Indica a precisão da média e o padrão é que ele seja inferior a 10%.

0352,0

033,6

212368,0

c

cc x

xDPxCV

Exercício:

Estimar o total geral XT.

12

Estimação de uma proporção

• Notação– X é uma variável de interesse de estudo. Por

exemplo: 1) proporção de famílias com casa própria e 2) proporção de domicílios com pelo menos um automóvel.

– Xij = 1 se o elemento j do conglomerado i tem o atributo em estudo;

– Xij = 0 se o elemento j do conglomerado i não tem o atributo em estudo;

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População:

XiT é a quantidade de elementos que possui o atributo ou a característica em estudo no conglomerado i.

PN

X

PN

XX

XX

M

i

M

iiT

X

ii

iTi

N

jijiT

i

i

1

1

1

A proporção de elementos que possuem o atributo ou a característica no conglomerado i.

A proporção de elementos que possuem o atributo ou a característica na população.

O total de elementos que possuem o atributo ou a característica no conglomerado i.

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Estimador:

Proporção na amostra

m

ii

m

iiT

c

n

xp

1

1

xiT é a quantidade de elementos que possuem o atributo no conglomerado i.

Ni é o tamanho (a quantidade de registros, casos) no conglomerado i selecionado.

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Variância da proporção da amostra

m

ici

ic pp

n

n

mM

mmMpVar

1

22

1

n é a quantidade total de registros, casos ou observações na amostra selecionada.

pi é a proporção amostral de elementos com o atributo no conglomerado i selecionado.

cc pDPpCI .96,1:%95;..

cc pVarpDP

16

Conglomerados da amostra

Número de alunosni

Número de alunos que compram

lanchexiT

1 162 50

2 170 63

3 145 47

4 151 48

5 160 68

6 162 59

7 145 36

8 148 45

9 171 71

10 178 75

Total 1592 562

Exemplo:No exemplo anterior observou-se, também, o número de alunos que compram lanche, cujos resultados foram:

17

Estimativa da proporção dos alunos que compram lanche

Estimativa da variância da proporção dos alunos que compram lanche

3530,01592

562

1

1

m

ii

m

iiT

c

n

xp

m

ici

ic pp

n

n

mM

mmMpVar

1

22

1

18

Conglomerados da amostra

1 162 50 0,101759 0,010355 0,308642 0,001969 0,0000203884 2 170 63 0,106784 0,011403 0,370588 0,000309 0,0000035214 3 145 47 0,09108 0,008296 0,324138 0,000834 0,0000069177 4 151 48 0,094849 0,008996 0,317881 0,001234 0,0000111053 5 160 68 0,100503 0,010101 0,425000 0,005182 0,0000523404 6 162 59 0,101759 0,010355 0,364198 0,000125 0,0000012949 7 145 36 0,09108 0,008296 0,248276 0,010970 0,0000910057 8 148 45 0,092965 0,008642 0,304054 0,002397 0,0000207175 9 171 71 0,107412 0,011537 0,415205 0,003868 0,0000446212

10 178 75 0,111809 0,012501 0,421348 0,004669 0,0000583738 Total 0,0003102866

018433,00003398,0

0003398,0000310286,0110700

1010700

c

c

pDP

pVar

19

8910,3169;0,3

018433,0.96,13530,0:%95;..

.96,1:%95;..

CI

pDPpCI cc