Amostragem - UFBA · Objetivos da aula de hoje: Estudar o comportamento de sinais amostrados; Apresentar o Teorema da amostragem; Discutir a respeito do efeito da sobreposic¸ao espectral.˜

Amostragem

ENGC33: Sinais e Sistemas II

Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA

16 de janeiro de 2016

Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 30

Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao

3 Amostragem de sinais de tempo contınuo

4 Reconstrucao de sinais de tempo contınuo

5 Comentarios Finais


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao





Apresentacao

Objetivos da aula de hoje:

Estudar o comportamento de sinais amostrados;

Apresentar o Teorema da amostragem;

Discutir a respeito do efeito da sobreposicao espectral.


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao





RevisaoSinais amostrados

Dado um sinal x(t) e um intervalo T , podemos definir:

x [n] = x(nT ).

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1

0

1

2

3

4Sinal original

t


RevisaoSinais amostrados

Dado um sinal x(t) e um intervalo T , podemos definir:

x [n] = x(nT ).

−15 −10 −5 0 5 10 15−2

−1

0

1

2

3

4Sinais original e amostrado

n


IntroducaoRepresentacao de sinais contınuos atraves de suas amostras

E facil notar que x1[n] = x1(nT ), x2[n] = x2(nT ) e x1[n] = x2[n].

0 T-T 2T 3T-2T-3T

x1(t)

x2(t)

Sob quais condicoes e possıvel reconstruir x1(t) a partir de umsinal amostrado?



E facil notar que x1[n] = x1(nT ), x2[n] = x2(nT ) e x1[n] = x2[n].

0 T-T 2T 3T-2T-3T

x1(t)

x2(t)

Sob quais condicoes e possıvel reconstruir x1(t) a partir de umsinal amostrado?



Para T ′ = T/2, x1[n] = x1(nT ′), x2[n] = x2(nT ′).

Neste caso: x1[n] 6= x2[n].

0 2T'-2T' 4T' 6T'-4T'-6T'

x1(t)

x2(t)

A frequencia de amostragem, ws = 2π/T , determina a faixa defrequencia que pode ser observada pelo sinal amostrado.





0 2T'-2T' 4T' 6T'-4T'-6T'

x1(t)

x2(t)

A frequencia de amostragem, ws = 2π/T , determina a faixa defrequencia que pode ser observada pelo sinal amostrado.





0 2T'-2T' 4T' 6T'-4T'-6T'

x1(t)

x2(t)

Estudaremos o comportamento de um sinal amostrado no domınioda frequencia.


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao





Amostragem de sinais de tempo contınuoAmostragem via trem de impulsos

Considere um sinal qualquer em tempo contınuo x(t).

Considere um trem de impulsos em tempo contınuo:

p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Podemos construir um sinal amostrado xp(t) dado por

xp(t) = x(t)p(t) =∞∑

n=−∞x(t)δ(t − nT ) =

∞∑n=−∞

x(nT )δ(t − nT ).

0 T-T 2T 3T-2T-3T

xp(t)=x(t)p(t)



Seja x(t) um sinal qualquer em tempo contınuo comF{x(t)} = X (jω).

Seja xp(t) = x(t)p(t) com

p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Quem e F{xp(t)} = Xp(jω)?

De maneira analoga ao caso em tempo discreto, sabemos que

Xp(jω) =1

2π

∫ ∞−∞

X (jθ)P(j(ω − θ))dθ.





p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Quem e F{xp(t)} = Xp(jω)?

De maneira analoga ao caso em tempo discreto, sabemos que

Xp(jω) =1

2π

∫ ∞−∞

X (jθ)P(j(ω − θ))dθ.



Exemplo 4.8 (Oppenheim)

Calcular F{p(t)} = P(jω) dado

p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Serie de Fourier de tempo contınuo (SFTC):

x(t) =∞∑

k=−∞

ak ejkω0T ,

ak =1T

∫ T/2

−T/2x(t)e−jkω0tdt .

Relacao TFTC - SFTC:

X (jω) = 2π∞∑

k=−∞

akδ(ω − kω0).



Exemplo 4.8 (Oppenheim)

Calcular F{p(t)} = P(jω) dado

p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Serie de Fourier de tempo contınuo (SFTC):

x(t) =∞∑

k=−∞

ak ejkω0T ,

ak =1T

∫ T/2

−T/2x(t)e−jkω0tdt .

Relacao TFTC - SFTC:

X (jω) = 2π∞∑

k=−∞

akδ(ω − kω0).





p(t) =∞∑

n=−∞δ(t − nT ).

Temos

Xp(jω) =1

2π

∫ ∞−∞

X (jθ)P(j(ω − θ))dθ

=2π2π

∫ ∞−∞

X (jθ)∞∑

k=−∞

1Tδ(ω − θ − kωs)dθ

=1T

∞∑k=−∞

X (j(ω − kωs)).



Seja x(t) um sinal limitado em banda - X (jω) = 0 para |ω| > ωM .

O espectro do sinal amostrada sera replicado nos multiplos dafrequencia de amostragem.



Teorema da amostragemSeja x(t) um sinal limitado em banda com X (jω) = 0 para |ω| > ωM .Entao x(t) e determinado unicamente por suas amostras x(nT ),n = 0,±1,±2, ... se ωs > 2ωM onde

ωs =2πT.

Se o sinal x(t) e limitado em banda, entao ele pode serreconstruıdo a partir de xp(t) = x(t)p(t).

Em outras palavras, necessitamos apenas de x(nT ) parareconstruir x(t).

A frequencia ωn = 2ωM e chamada frequencia de Nyquist.




ωs =2πT.







ωs =2πT.







ωs =2πT.







ωs =2πT.

Se ωs < 2ωM ocorre sobreposicao espectral (alias ).

Se nao ocorre sobreposicao espectral, x(t) pode ser recuperadopor meio de um filtro passa baixas H(jω).




ωs =2πT.






ωs =2πT.




Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao





Reconstrucao de sinais de tempo contınuoCaso ideal

Sabemos que o sinal amostrado e dado por

xp(t) =∞∑

n=−∞x(nT )δ(t − nT ).

A resposta ao impulso do filtro ideal h(t) e dada por

h(t) =T sen(ωc t)

πt.

Desta maneira chega-se a

xr (t) = xp(t) ∗ h(t)

=∞∑

n=−∞x(nT )h(t − nT )

=∞∑

n=−∞x(nT )

T sen(ωc(t − nT ))

π(t − nT ).




xp(t) =∞∑

n=−∞x(nT )δ(t − nT ).


h(t) =T sen(ωc t)

πt.


xr (t) = xp(t) ∗ h(t)

=∞∑


=∞∑

n=−∞x(nT )


π(t − nT ).




xp(t) =∞∑

n=−∞x(nT )δ(t − nT ).


h(t) =T sen(ωc t)

πt.


xr (t) = xp(t) ∗ h(t)

=∞∑


=∞∑

n=−∞x(nT )


π(t − nT ).



Considerando o caso ideal com ωc = ωs/2 temos

xr (t) =∞∑

n=−∞

x(nT )T sen(ωs/2(t − nT ))

π(t − nT )


Reconstrucao de sinais de tempo contınuoSobreposicao espectral (alias)

Seja x(t) = cos(ω0t) com w0 = ws/6, w0 = 2ws/6, w0 = 4ws/6 ew0 = 5ws/6.


Reconstrucao de sinais de tempo contınuoSobreposicao espectral (alias)

Seja x(t) = cos(ω0t) com w0 = ws/6, w0 = 2ws/6, w0 = 4ws/6 ew0 = 5ws/6.


Amostragem de sinais de tempo contınuoAmostragem via sustentador (retentor) de ordem zero

Neste caso, o sinal e mantido constante entre as amostras.

0 T-T 2T 3T-2T-3T

xp(t)=x(t)p(t)

0 T-T 2T 3T-2T-3T

x(t)





Neste caso, o sinal e mantido constante entre as amostras.

A transformada da funcao retangular em tempo contınuo:

h0(t) ={

1, 0 ≤ t ≤ T0, caso contrario

e dada por

H0(jω) = e−jωT/2 2sen(ωT/2)ω

.

0 T-T 2T 3T-2T-3T

xp(t)=x(t)p(t)

0 T-T 2T 3T-2T-3T

x(t)



Para reconstruir o sinal original, deve-se passar pelo filtro

Hr (jω) = ejωT/2 H(jω)ω2sen(ωT/2)

.

sendo H(jω) um filtro passa-baixas ideal.


Reconstrucao de sinais de tempo contınuoInterpolacao com funcoes retentoras

Resposta em frequencia para o retentor de ordem zero

HROZ (jω) = e−jωT/2 sen(ωT/2)ω/2

.

Resposta em frequencia para o retentor de primeira ordem

HROZ (jω) =1T

[sen(ωT/2)

ω/2

]2

.


Sumario

1 Apresentacao

2 Revisao





Comentarios Finais

Nesta aula foram apresentados alguns conceitos de amostragem.

Na proxima aula discutiremos sobre:

Aspectos praticos da amostragem.


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