analisa numerik2

8/19/2019 analisa numerik2

1/105

BAB I

PENDAHULUAN

Analisis numerik adalah studi algoritma untuk memecahkan masalah

dalam matematika kontinu (sebagaimana dibedakan dengan matematika

diskret)

Salah satu tulisan matematika terdini adalah tablet Babilonia YBC

7289, yang memberikan hampiran numerik seksagesimal dari ,

panang diagonal dari persegi satuan!

"emampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu

menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam

pertukangan kayu dan konstruksi!

#nalisis numerik melanutkan tradisi panang perhitungan praktis

matematika ini! Seperti hampiran orang Babilonia terhadap ,

analisis numerik modern tidak mencari a$aban eksak, karena a$aban

eksak dalam praktiknya tidak mungkin diperoleh! Sebagai gantinya,

kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh

pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan!

#nalisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang rekayasa dan

ilmu%ilmu &isis, namun pada abad ke%2', ilmu%ilmu hayati dan senimulai mengadopsi unsur%unsur komputasi ilmiah! ersamaan di&erensial

biasa muncul dalam pergerakan benda langit ( planet, bintang dan

galaksi! ptimisasi muncul dalam pengelolaan porto&olio! #labar

https://id.wikipedia.org/wiki/Algoritmahttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Seksagesimalhttps://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Planethttps://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttps://id.wikipedia.org/wiki/Galaksihttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Matematika_diskrethttps://id.wikipedia.org/wiki/Seksagesimalhttps://id.wikipedia.org/wiki/Rekayasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial_biasahttps://id.wikipedia.org/wiki/Planethttps://id.wikipedia.org/wiki/Bintanghttps://id.wikipedia.org/wiki/Galaksihttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Algoritma


2/105

linear numerik sangat penting dalam psikologi kuantitati&! ersamaan

di&erensial stokastik dan rantai *arko+ penting dalam mensimulasikan

sel hidup dalam kedokteran dan biologi

Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali

tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang

dicetak! Seak pertengahan abad ke%2, sebagai gantinya, komputer

menghitung &ungsi yang diperlukan! -amun algoritma interpolasi

mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk

memecahkan persamaan di&erensial!

BAB II

PEMBAHASAN

#! engertian #nalisa -umerik

*etode #nalisis -umerik adalah teknik%teknik yang digunakan

untuk mem&ormulasi kan masalah matematis agar dapat diselesaikan

dengan operasi perhitungan! "emampuan untuk dapat menghitung sisi

segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah

penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi!

https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteranhttps://id.wikipedia.org/wiki/Biologihttps://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttps://id.wikipedia.org/wiki/Interpolasihttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensialhttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensialhttps://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear_numerikhttps://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan_diferensial_stokastik&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rantai_Markov&action=edit&redlink=1https://id.wikipedia.org/wiki/Kedokteranhttps://id.wikipedia.org/wiki/Biologihttps://id.wikipedia.org/wiki/Fungsihttps://id.wikipedia.org/wiki/Interpolasihttps://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_diferensial


3/105

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan

dengan berbagai metode yang memiliki kendala%kendala! *etode yang

digunakan antara lain.

*etode #nalitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas pada

masalah sederhana! Sedangkan *asalah real yang komplek dan

non linier tidak dapat diselesaikan!


4/105

*etode /ra&ik, metode ini digunakan Sebagai pendekatan

penyelesaian yang kompleks! "endalanya bah$a metode ini 0idak

akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan $aktu!

"alkulator dan Slide 1ules, enyelesaian numerik secara

manual! Cara ini cukup lama dan mungkin bisa teradi kesalahan

pemasukan data!

Penggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai

kelemahan%kelemahan metode yang ada sebelumnya! apat dipahami

pula ba$a pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi

digambarkan dalam persamaan matematika! ersamaan ini sulit

diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian

pendekatan numerik! engan metode numerik, manusia terbebas dari

hitung menghitung manual yang membosankan ! Sehinggga $aktu

dapat lebih banyak digunakan untuk tuuan yang lebih kreati&, seperti

penekanan pada &ormulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak

terebak dalam rutinitas hitung menghitung!

#nalisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang rekayasa dan

ilmu%ilmu &isis, namun pada abad ke%2', ilmu%ilmu hayati dan seni

mulai mengadopsi unsur%unsur komputasi ilmiah! ersamaan di&erensial

biasa muncul dalam pergerakan benda langit (planet, bintang dan


5/105

galaksi! ptimisasi muncul dalam pengelolaan porto&olio! #labar linear

numerik sangat penting dalam psikologi kuantitati&! ersamaan

di&erensial stokastik dan rantai *arko+ penting dalam mensimulasikan

sel hidup dalam kedokteran dan biologi

Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali

tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang

dicetak! Seak pertengahan abad ke%2, sebagai gantinya, komputer

menghitung &ungsi yang diperlukan! -amun algoritma interpolasi

mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk

memecahkan persamaan di&erensial!

Manfaat Mempelajari Metode Numerik

*an&aat mempelaari metode numerik diharapkan mahasis$a mampu.

'! *ampu menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran dan

geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak

mungkin dipecahkan secara analitis!

2! *engetahui secara singkat dan elas teori matematika yang

mendasari paket program!

3! *ampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang

dihadapi pada masalah rekayasa!


6/105

4! *etode numerik cocok untuk menggambarkan ketang guhan

dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa

yang tidak dapat ditangani secara analitis!

5! *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari

masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket program

yang bersekala besar!

6! *enyediakan sarana memperkuat pengertian matematika

mahasis$! "arena salah satu kegunaannya adalah

menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menadi operasi%

operasi matematika yang mendasar!

Metode analitik disebut juga metode seati karena memberikan solusi

seati (eact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang

memiliki galat (error) sama dengan nol Sayangnya, metode analitik

hanya unggul untuk seumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan

yang memiliki ta&siran geometri sederhana serta bermatra rendah!

adahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanar

serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit! #kibatnya nilai praktis

penyelesaian metode analitik menadi terbatas!

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan

sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik!

*etode numerik adalah teknik yang digunakan untuk mem&ormulasikan


7/105

persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi

perhitunganaritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi)! *etode

artinya cara, sedangkan numerik artinya angka! :adi metode numerik

secara hara&iah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka%

angka!

erbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik

terletak pada dua hal! ertama, solusi dengan menggunakan metode

numerik selalu berbentuk angka! Bandingkan dengan metode analitik

yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk &ungsi matematik

yang selanutnya &ungsi mateamtik tersebut dapat

die+aluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka!

"edua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang

menghampiri atau mendekati solusi seati sehingga solusi numerik

dinamakan uga solusi hampiran (approomation) atau solusi

pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita

inginkan! Solusi hampiran elas tidak tepat sama dengan solusi seati,

sehingga ada selisih antara keduanya!


8/105

Pengenalan Metode Numerik

'29'' *ulai kembali akti+itas perkuliahan yang sebelumnya masih

dibingungkan dengan kon+ersi mata kuliah akibat dari perubahan

kurikulum di green campus! Semangat yang tak pernah pudar setiap

hari datang ke kampus untuk menimbah ilmu baru di semester 3 ini

dengan tanpa meninggalkan semangat bermain 0# yang masih

melekat meski sudah sebulan kami (teman sekelas) tidak bertemu .)

;ari pertama perkuliahan ini merupakan debut a$al kami di semester 3

ini, ;ari itu kami dikenalkan dengan *ata "uliah #pa itu *etode -umerik> e&inisi dan rinsip *etode

-umerik serta emakaian *etode -umerik!

http://bugspin.blogspot.co.id/2011/09/pengenalan-metode-numerik.htmlhttp://bugspin.blogspot.co.id/2011/09/pengenalan-metode-numerik.html


9/105


10/105

1 Definisi Metode Numerik

*etode -umerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahan%

permasalahan yang di&ormulasikan secara matematik dengan cara

operasi hitungan (arithmetic)!

Mengapa Harus Metode Numerik ?

#lasan pemakaian metode numerik ini karena tidak semua

permasalahan matematis atau perhitungan matematis dapat diselesaikan

dengan mudah! Bahkan dalam prinsip matematik, suatu persoalan

matematik yang paling pertama dilihat adalah apakah persoalan itu

memiliki penyelesaian atau tidak!

:adi, :ika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin

diselesaikan dengan metode matematis (analitik) maka kita dapat

menggunakan metode numerik sebagai elternati+e penyelesaian

persoalan tersebut!

! Prinsip"Prinsip Metode Numerik

• igunakan ika metode analitik tidak dapat digunakan lagi


11/105

• *etode -umerik merupakan pendekatan untuk mendapatkan

pemecahan masalah yang dapat dipertanggung a$abkan secara

analitik

• endekatannya merupakan analisis matematis

• *etode -umerik terdiri atas algoritma%algoritma yang dapat

dihitung secara cepat dan mudah

• "arena berasal dari alogaritma pendekatan, maka *etode

-umerik ini akan memakai iterasi (pengulangan)• -ilai kesalahan merupakan hal paling utama untuk mengetahui

seberapa baik metode yang digunakan!

# Pemakaian Metode Numerik

emakaian *etode -umerik biasanya dilakukan untuk menyelesaikan

persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan denganmenggunakan metode analitik, yaitu .

'! *enyelesaikan persamaan non linier

2! *enyelesaikan persamaan simultan

3! *enyelesaikan di&&erensial dan integral

4! =nterpolasi dan 1egresi

5! *enyelesaikan persamaan di&&erensial


12/105

6! *asalah multi +ariable untuk menentukan nilai optimal yang tak

bersyarat


engan mempelaari metode numerik kita diharapkan bisa .

'! Bisa menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran serta

geometri yang rumit, yang ada di masalah rekayasa tidak

mungkin dipecahkan dengan cara analitis!

2! *emahami secara singkat serta elas teori matematika yang


3! Bisa merancang program sendiri disesuaikan dengan

permasalahan yang dihadapi dalam masalah rekayasa!

4! *etode numerik cocok buat melukiskan ketangguhan serta

keterbatasan komputer saat menangani masalah rekayasa yang

tak dapat ditangani secara analitis!

5! *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) atas

masalah rekayasa yang menadi bagian atas paket program yang

bersekala besar!


13/105

6! *enghadirkan sarana memperkuat pengertian matematika!

"arena salah satu kegunaannya yaitu menyederhanakan

matematika yang lebih tinggi sebagai operasi%operasi

matematika yang mendasar

Thanks to: bloggersragen | url:

http://www.bloggersragen.om/!"##/"$/pengantar%metode%numerik%

seara%umum.html

Pengertian Metode Numerik

*etode -umerik adalah teknik%teknik yang digunakan untuk

mem&ormulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan

operasi perhitungan!

$ujuan Metode Numerik


14/105

Sebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukan

dengan berbagai metode yang memiliki kendala%kendala! *etode yang

digunakan antara lain.

• Metode Analitik , Solusi ini sangat berguna namun terbatas

pada masalah sederhana! Sedangkan *asalah real yang komplek

dan non linier tidak dapat diselesaikan!

• Metode %rafik , metode ini digunakan Sebagai pendekatan

penyelesaian yang kompleks! "endalanya bah$a metode ini

0idak akurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan $aktu!

• &alkulator dan Slide 'ules, enyelesaian numerik secara

manual! Cara ini cukup lama dan mungkin bisa teradi kesalahan

pemasukan data!

enggunaan metode numerik diharapkan dapat mengatasi berbagai

kelemahan%kelemahan metode yang ada sebelumnya! apat dipahami

pula ba$a pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi

digambarkan dalam persamaan matematika! ersamaan ini sulit

diselesaikan dengan model analitik sehingga diperlukan penyelesaian

pendekatan numerik! engan metode numerik, manusia terbebas dari

hitung menghitung manual yang membosankan ! Sehinggga $aktu

dapat lebih banyak digunakan untuk tuuan yang lebih kreati&, seperti


15/105

penekanan pada &ormulasi problem atau interpretasi solusi dan tidak

terebak dalam rutinitas hitung menghitung


engan mempelaari metode numerik diharapkan mahasis$a mampu.

• *ampu menangani sistem persamaan besar, "etaklinieran dan

geometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak

mungkin dipecahkan secara analitis!

• *engetahui secara singkat dan elas teori matematika yang


• *ampu merancang program sendiri sesuai permasalahan yang

dihadapi pada masalah rekayasa!

• *etode numerik cocok untuk menggambarkan ketang guhan

dan keterbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa

yang tidak dapat ditangani secara analitis!

• *enangani galat (error) suatu nilai hampiran (aproksimasi) dari

masalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket

program yang bersekala besar!

• *enyediakan sarana memperkuat pengertian matematika

mahasis$! "arena salah satu kegunaannya adalah


16/105

menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menadi

operasi%operasi matematika yang mendasar

Metode Analitik (ersus Metode Numerik

*etode analitik disebut uga metode seati karena memberikan solusi

seati (eact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang

memiliki galat (error) sama dengan nol Sayangnya, metode analitik

hanya unggul untuk seumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan

yang memiliki ta&siran geometri sederhana serta bermatra rendah!

adahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali nirlanar

serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit! #kibatnya nilai praktis

penyelesaian metode analitik menadi terbatas!

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan

sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik!

*etode numerik adalah teknik yang digunakan untuk mem&ormulasikan

persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi

perhitunganaritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi)! *etode

artinya cara, sedangkan numerik artinya angka! :adi metode numerik

secara hara&iah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka%angka!


17/105

erbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik

terletak pada dua hal! ertama, solusi dengan menggunakan metode

numerik selalu berbentuk angka! Bandingkan dengan metode analitik

yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk &ungsi matematik

yang selanutnya &ungsi mateamtik tersebut dapat

die+aluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka!

"edua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang

menghampiri atau mendekati solusi seati sehingga solusi numerik

dinamakan uga solusi hampiran (approomation) atau solusi

pendekatan, namun solusi

hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan! Solusi hampiran elas

tidak tepat sama dengan solusi seati, sehingga ada selisih antara

keduanya! Selisih inilah yang disebut dengan galat (error)!

Pemodelan Matematik dan Peme)a*an Masala* 'eka+asa

emodelan matematik diperlukan untuk membantu menyelesaikan

permasalahan rekayasa (permasalahan riil)! /ambaran tahapan

pemrosesan masalah rekayasa yang secara analitis sulit diselesaikan


18/105

selanutnya diba$a ke bentuk model matematik dan diselesaikan

secara matematis, alabar atau statistik dan komputasi!

#pabila telah diperoleh penyelesaian matematik proses selanutnya

mengimplementasikan hasil matematis ke masalah rekayasa sbb.

Dalam menangani masalah rekayasa(masalah riil) perlu

melakukan :

• *emba$a permasalahan rekayasa kedalam teori matematika

(model matematika)

• *odel matematika yang diperoleh diselesaikan dengan cara

matematika yaitu digunakan komputasi, statistika dan

matematika yang disebut dengan alat pemecah masalah!


19/105

• ;asil dari pemecah masalah masih berupa nilai numeris

atau gra&ik

• ;asil numeris yang diperoleh diimplementasikan kembali ke

permasalah semula (masalah rekayasa) sehingga dapat

dipublikasikan sesuai dengan permasalahan yang dimaksud!

0ahap%0ahap *emecahkan ersoalan Secara -umerik yang dilakukan

dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik,

yaitu.

'! Pendefinisian masala* (apa yang diketahui dan apa yang

diminta)!

2! Pemodelan, ersoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam

persamaan matematika

3! Pen+eder*anaan model, *odel matematika yang dihasilkan

dari tahap sebelumnya mungkin saa terlalu kompleks, yaitu

memasukkan banyak peubah (+ariable) atau parameter! Semakin

kompleks model matematikanya, semakin rumit

penyelesaiannya! *ungkin beberapa andaian dibuat sehingga

beberapa parameter dapat diabaikan! *odel matematika yang

diperoleh dari penyederhanaan menadi lebih sederhana

sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh!


20/105

4! ,ormulasi numerik , Setelah model matematika yang sederhana

diperoleh, tahap selanutnya

5! adalah mem&ormulasikannya secara numerik

6! Pemrograman, 0ahap selanutnya adalah meneremahkan

algoritma ke dalam program komputer

7! dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang

dikuasai!

8! -perasional, ada tahap ini, program komputer dialankan

dengan data ui coba sebelum data yang sesungguhnya!

9! E(aluasi, Bila program sudah selesai dialankan dengan data

yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi!

=nterpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya

dengan prinsip dasar dan hasil%hasil empirik untuk menaksir

kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menalankan

kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih

baik!

Desain Algoritma

#lgoritma adalah merupakan sederetan(se@uence) langkah logika yang

diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti

pemecahan masalah!


21/105

&lgoritma yang baik mempunyai sejumlah kriteria berikut :

• Setiap langkah harus determinestik!

• roses harus berakir setelah seumlah berhingga langkah!

• ;asil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menalani

algoritma tersebut!

• Suatu algoritma tidak boleh berakhir terbuka!

• #lgoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan

apapun!

Bagan Alir . flo/)*art0

Bagan alir merupakan pernyataan +isual atau gra&is suatu algoritma!

Bagan alir menggunakan deretan blok dan anak panah, yang

masing%masing menyatakan operasi atau langkah tertentu dalam

algoritma! #nak panah menyatakan urutan bagaimana seharusnya

operasi dialankan!

Manfaat Bagan Alir

• ipakai untuk menyatakan dan mengkomunikasikan

algoritma!

• apat membantu dalam perencanaan, menyelesaikan keru$etan!

• *engkomunikasikan logika program!


22/105

• *erupakan $ahana yang menarik untuk mem+isualisasikan

beberapa struktur yang mendasar yang diterapkan dalam

pemrograman "omputer!

Peranan &omputer dalam Metode Numerik

"omputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode

numerik! ;al ini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode

numerik adalah berupaoperasi aritmetika seperti penumlahan,

perkalian, pembagian, plus membuat perbandingan! Sayangnya, umlah

operasi aritmetika ini umumnya sangat banyak

dan berulang, sehingga perhitungan secara manual sering menemukan!*anusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapat membuat


23/105

kesalahan dalam melakukannya! alam hal ini, komputer berperanan

mempercepat proses perhitungan tanpa membuat kesalahan!

enggunaan komputer dalam metode numerik antara lain untuk

memprogram! ?angkah%langkah metode numerik di&ormulasikan

menadi program komputer! rogram ditulis dengan bahasa

pemrograman tertentu, seperti A101#-, #SC#?, C, C, B#S=C,

dan sebagainya!

Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan! i

pasaran terdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat

digunakan! Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah *ath?ab,

*athCad, *aple, *athematica, ureka, dan sebagainya! Selain itu,

terdapat uga library yang berisi rutin%rutin yang siap digabung dengan

program utama yang ditulis pengguna, misalnya =*S? (=nternational

*athematical and Statistical ?ibrary) *ath?ibrary yang berisi ratusan

rutin%rutin metode numerik! Selain mempercepat perhitungan numerik,

dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi

yang teradi akibat perubahan beberapa parameter! Solusi yang

diperoleh uga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubahubah

nilai parameter!


24/105

"emauan komputer digital telah membuat bidang metode numerik

berkembang secara dramatis! 0idak ada bidang matematika lain yang

mengalami kemauan penting secepat metode numerik! 0entu saa

alasan utama penyebab kemauan ini adalah perkembangan komputer

itu sendiri, dari komputer mikro sampai

komputer Cray, dan kita melihat perkembangan teknologi komputer

tidak pernah berakhir! 0iap generasi baru komputer menghadirkan

keunggulan seperti $aktu, memori, ketelitian, dan kestabilan

perhitungan! ;al ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas!

0uuan utama penelitian itu adalah pengembangan algoritma

numerik yang lebih baik dengan meman&aatkan keunggulan komputer

semaksimal mungkin! Banyak algoritma baru lahir atau perbaikan

algoritma yang lama didukung oleh komputer!

Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini

adalah perhitungan D$aktu nyataE (real time computing), yaitu

perhitungan keluaran (hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara

simultan dengan e+ent pembangkitan data tersebut, sebagaimana yang

dibutuhkan dalam mengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir,

memandu pesa$at udara atau roket dan sebagainya! "arena itu,


25/105

kecepatan perhitungan dan kebutuhan memori komputer adalah

pertimbangan yang sangat penting! :elaslah bah$a kecepatan tinggi,

keandalan, dan &leksibilitas komputer memberikan akses untuk

penyelesaian masalah praktek! Sebagai contoh, solusi sistem persamaan

lanar yang besar menadi lebih mudah dan lebih cepat diselesaikan

dengan komputer! erkembangan yang cepat dalam metode numerik

antara lain ialah penemuan metode baru, modi&ikasi metode yang sudah

ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untuk

proses perhitungan baku, pengkaian galat, dan penghilangan ebakan

yang ada pada metode!

Peredaan Metode Numerik dengan Analisis Numerik

Fntuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan

metode untuk memperoleh hasil yang diinginkanG kita uga perlu

mengetahui apakah metode tersebut memang memberikan solusi

hampiran, dan seberapa bagus hampiran itu ! ;al ini melahirkan kaian

baru, yaitu analisis numerik!

*etode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda!

*etode adalah algoritma, menyangkut langkah%langkah penyelesaian

persoalan secara numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan


26/105

matematika untuk menganalisis metode! alam analisis numerik, hal

utama yang ditekankan adalah analisis galat dan kecepatan kon+ergensi

sebuah metode! 0eorema%teorema matematika banyak dipakai dalam

menganalisis suatu metode! i dalam perkuliahan ini, kita akan

memasukkan beberapa materi analisis numerik seperti galat metode dan

kekon+ergenan metode! 0ugas para analis numerik ialah

mengembangkan dan menganalisis metode numerik! 0ermasuk di

dalamnya pembuktian apakah suatu metode kon+ergen, dan

menganalisis batas%batas galat solusi numerik!0erdapat banyak sumber

galat, diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistem aritmetik

komputer, dan kondisi yang digunakan untuk menghentikan proses

pencarian solusi! Semua ini harus dipertimbangkan untuk menamin

ketelitian solusi akhir yang dihitung!

Materi Metode Numerik

endahuluan *etode -umerik

/alat

Solusi ersamaan -on%?inier

• ersamaan -on%?inier

• *etode Biseksi

• *etode 1egula Aalsi


27/105

• *etode Sekan

• *etode =terasi 0itik 0etap

• *etode -e$ton H 1aphson

Solusi ersamaan ?inier Simultan

• Sistim ersamaan ?inier

• *etode liminasi /auss!

• *etode /auss%:ordan!

• =terasi /auss%Seidel!

=nterpolasi

• engertian =nterpolasi

• olinomial (linier dan kuadrat)

• ?agrange

• =nterpolasi -e$ton H Selisih hingga

• -e$ton H Selisih bagi

=ntegrasi -umerik

• engertian =ntegrasi

• *etode mpat ersegi anang!

• *etode 0itik 0engah

• 0rapesium


28/105

• Simpson

• "$adratur /auss

Thank 'ou So Muh to: (airu) el Said

| https://*airu)elsaid.wordpress.om/!"#"/#"/#+/metode%numerik%"#%

pengantar%metode%numerik/,more%!-!+

#t least, saya uga sertakan do$nload materi *etode -umerik.

http.$$$!4shared!com&ile-n*pA'materiI*etodeI-umerik!htm

l

an buku yang recommended lah (tapi saya belum beli .


29/105

11 Mengapa Menggunakan Analisa Numerik

0idak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat

diselesaikan dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan

menggunakan perhitungan biasa! Contohnya dalam persoalan yang

melibatkan model matematika yang sering muncul dalam berbagai

disiplin ilmu pengetahuan, bidang &isika, kimia, ekonomi, atau pada

persoalan rekayasa! Seringkali model matematika tersebut muncul

dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit! *odel matematika yang

rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode

analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusinya! Sebagai

contoh, perhatikan sekumpulan persoalan matematik berikut dan

bagaimana cara menyelesaikannya>

a! 0entukan akar H akar persamaan polinom

''2'5'225!'4!23 23467 =+−−++− . . . . . .

b! 0entukan harga yang memenuhi persamaan

65'7

)2'2(cos

'8!27

2'5

−+=− −

.

. .

.e .

c! ;itung integral

∫ '

sind.

.

.

Contoh H contoh diatas memperlihatkan bah$a kebanyakan

persoalanmatematik tidak dapat diselesaikan dengan metodeanalitik! *etode analitik disebut uga metode seati karena


30/105

memberi solusi seati atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi

yang memiliki galat ( error ) sama dengan nol! *etode analitik

seringkali hanya unggul untuk seumlah persoalan yang memiliki

ta&siran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam

dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit!

#kibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menadi

terbatas!

Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi

persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik

Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk

mem&ormulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan

dengan operasi perhitungan aritmatik biasa ( tambah, kurang, kali

dan bagi )! Secara hara&iah metode numerik memiliki arti sebagai

cara berhitung dengan menggunakan angka H angka! *etode

numerik yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung

merupakan alternati& yang baik dalam menyelesaikan persoalan H

persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah banyak yang

mena$arkan program H program numerik sebagai alat bantu

perhitungan!

alam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan

H persoalan perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan

dan metode yang baik .


31/105

Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat

theorem analisa matematika yang dapat digunakan untuk

menyelesaiakan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis

( metode analitik ) yang digunakan adalah ppenyelesaian ecat

yang harus digunakan! enyelesaian ini menadi acuan bagi

pemakaian metode pendekatan!

Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin

diselesaiakan secara matematis ( analitik ) karena tidak ada

theorema analisa matematika yang dapat digunakan , maka

dapat digunakan metode numerik!

Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai

kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat

menyaikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunkana

metode%metode simulasi!

1! Prinsip 2 prinsip Metode numerik

*etode numerik berangkat dari pemikiran bah$a permasalahan

dapat diselesaikan menggunakan pendekatan H pendekatan yang

dapat dipertanggunga$abkan secara analitik! *etode numerik ini

disaikan dalam bentuk algoritma % algoritma yang dapat dihitung

secara cepat dan mudah!

endekatan yang digunakan dalam metode numrik merupakan

pendekatan analisis matematis! Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saa pemakaian gra&is


32/105

dan teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan

dalam pemakaian metode numerik! *engingat algoritma yang

dikembangkan dalam metode numrik merupakan algoritma

pendekatan, maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah

iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan! engan kata lain,

perhitungan dalam metode numerik adalah perhitungan yang

dilakukan berulang%ulang untuk terus H menerus memperoleh hasil

yang mendekati nilai penyelesaian eact!

engan menggunakan metode pendekatan semacam ini , tentukan

bah$a setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error

( nilai kesalahan )! alam analisa metode numerik, kesalahan ini

menadi penting artinya! "arena kesalahn dalam pemakaian

algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar

, dimana tentunya kesalahan ini tidak diharapkan! Sehingga

pendekatan metode analitik selalu membahas tingkat kesalahan dan

tingkat kecepatan proses yang akan teradi!

erbedaan utama antara metode numerik dan metode analitik

*etode -umerik *etode #nalitik

'! Solusi selalu berbentuk angka '! Solusi biasanya dalam bentuk

&ungsi matematik yang

selanutnya dapat die+aluasi

untuk menghasilkan nilai dalam


33/105

bentuk angka

2! iperoleh solusi yang

menghampiri solusi seati

sehingga solusi numerik

dinamakan juga solusi

*ampiran3 solusi pendekatan

2! iperoleh solusi seati

ersoalan H persoalan yang biasa diangkat dalam metode numerik

adalah.

*enyelesaiakan persamaan non linier

*enyelesaiakan persamaan simultan dan multi +ariabel

*enyelesaiakan di&erensial dan integral

=nterpolasi dan regresi

*asalah multi +ariabel untuk menentukan nilai optimal yang

tidak bersyarat1# $a*ap 2 ta*ap meme)a*kan persoalan se)ara Numerik

#da enam tahap yang dilakukan dalam pemecahan persoalan dunia

nyata dengan metode numerik

'! emodelan 4! emrograman

2! enyederhanaan model 5! perasional

3! Aormulasi numerik 6! +aluasi


34/105

BAB II

M-DEL MA$EMA$I&A

*odel matematika secara luas dapat dide&inisikan sebagai perumusanatau persamaan yang mengekspresikan &eature pokok dari sistem atau

proses &isis dalam istilah matematis! alam penalaran yang sangat

umum , model matematis dapat dinyatakan sebagai suatu hubungan

&ungsional yang berbentuk

eubah tak bebas J & ( peubah bebas, parameter, &ungsi

pemaksa ) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!( 2! ' )

peubah tak bebas . suatu karakteristik yang biasanya

mencerminkan keadaan atau perilaku sistem

peubah bebas . dimensi, seperti $aktu dan ruang, sepanang

mana perilaku sistem sedang ditentukan

parameter . pencerminan si&at H si&at atau komposisi sistem

&ungsi pemaksa . pengaruh eksternal yang bekera padanya

kspresi matematis yang sebenarnya dari persamaan 2! ' dapat berkisar

dari suatu hubungan alabar sederhana sampai himpunan persamaandi&erensial besar yang rumit! Sebagai contohnya perhatikan model

matematis dari hukum kedua -e$ton dalam persamaan

F = m.a

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!( 2! 2 )

ersamaan 2!2 mempunyai seumlah ciri yang khas dari model

matematis di dunia &isik


35/105

'! persamaan tersebut menggambarkan suatu proses atau sistem

biasa dalam istilah H istilah matematis!

2! ersamaan tersebut menyatakan suatu idealisasi dan

penyedderhanaan dari keadaan yang sebenarnya! Yakni rincian

yang sederhana dari proses almiah diabaikan dan perhatian

dipusatkan pada mani&estasi yang penting!

3! ersamaan tersebut memberikan hasil yang dapat direproduksi,

sehingga dapat dipakai untuk tuuan peramalan!

Contoh 2!'

ernyataan masalah . seorang penerun payung dengan massa 68!'

gram melompat keluar dari pesa$at! /unakan persamaan

[ ]t me

gmt / )(')( −−=

untuk menghitung kecepatan ( +elocity ) sebelum

parasutnya terbuka! "oe&isien hambat c kira H kira sama dengan '2!5

gramdetenyelesaian . emasukan parameter H parameter ke dalam persamaan

[ ]t me

gmt / )(')( −−=

*enghasilkan .

K'L5!'2

)'!68(98)( )'!685!'2( t et / −=

det't cmdet'/

2

4

6

'

∞

,

'64,

2777,

3564,

4487,

5339,


36/105

J

K'L,5339)( '8355, t et / −−=

*enurut model tersebut, penerun itu melau dengan cepat! "ecepatan

sebesar 4487, cm det dicapai setelah ' detik! Setelah $aktu yang

cukup lama, dicapai kecepatan konstanta ( dinamakan kecepatan akhir )

sebesar 5339, cm det! ersamaan

[ ]t me

gmt /

)(')(

−−=

disebut

penyelesaian analitis atau eksak! Sayang sekali terdapat banyak model

matematika yang tidak dapat diselesaikan secara eksak! alam

kebanyakan kasus H kasus seperti itulah alternati&nya adalah

mengembangkan suatu penyelesaian numerik yang menghampiri

( mengakprosimasi ) penyelesaian yang eksak!

enyelesaian -umerik

ernyataan masalah . lakukan komputasi yang sama seperti contoh di

atas namun gunakan persamaan

[ ]t me

gmt /

)(')(

−−=

untuk menghitung

kecepatan dengan pertambahan $aktu sama dengan 2 detik!

enyelesaian . pada saat memulai perhitungan (

' =t ), kecepatan

penerun payung sama dengan nol! engan memakai in&ormasi ini dan


37/105

nilai H nilai parameter dari contoh maka persamaan

[ ]t me

gmt / )(')( −−=

dapat digunakan untuk menaksir kecepatan pada

detik 2' =+it

mdet6,'92)K(',68

5,'28,9L =−+=/

Fntuk selang (inter+al) berikutnya dari (tJ2 sampai 4 detik ), komputasi

diulang dengan hasil

mdet,322)K6,'9(',685,'28,9L6,'9 =−+=/

"omputasi dilanutkan dengan cara sama untuk memperoleh nilai H

nilai tambahan

det't mdet'/

2

4

6

'

∞

,

'9,6

32,

39,85

47,97

53,39


38/105

;asil% hasilnya dilukiskan dalam /ambar 2!' bersamaan dengan

penyelesaian eksak! apat dilihat bah$a secara cermat metode numerik

mencakup segi H segi utama dari penyelesaian eksak! 0etapi karena

digunakan ruas H ruas garis lururs untuk mengaproksimasi suatu &ungsi

melengkung yang kontinu maka terdapat ketidakcocokan antara kedua

hasil tersebut! Satu cara untuk meminimumkan ketidakcocokan yang

demikian adalah dengan menggunakan selang komputasi yang lebih

kecil! *isalnya dengan menerapkan pada masalah penerun payung

diatas dengan selang ' detik akan menghasilkan galat yang lebih kecil,

karena lintasan ruas%ruas garis lurus lebih dekat ke penyelesaian

sebenarnya!

BAB III

AP'-&SIMASI DAN %ALA$

#1 &ekeliruan 4 &esala*an perumusan dan &etidakpastian

Data

Walau sumber kesalahan di bawah ini secara langsung

GAMBAR 2.1


39/105

tak dihubungkan dalam metode numerik, dampak dari

kesalahan ini cukup besar.

Kekeliruan.

Kesalahan brutokekeliruan.

!ahun awal penggunaan komputer, komputer sering kali

gagal pakai "malfunction).

#ekarang kekeliruan ini dihubungkan dengan

ketidaksempurnaan manusian$a.

Kekeliruan dapat ter%adi pada sembaranglangkah proses pemodelan matematika dan dapat

mengambil bagian terhadap semua komponen kesalahan

lainn$a. &a han$a dapat dicegah oleh pengetahuan $ang

baik tentang prinsip dasar dan berhati'hatilah dalam

melakukan pendekatan dan mendesain solusi untuk

masalah anda.

Biasan$a tak dianggap dalam pembahasan metode

numerik. &ni ter%adi, karena kesalahan bruto sampai tara(

tertentu tak dapat dihindari. !api tentu sa%a pasti ada

cara untuk memperbaiki keadaan ini.

Misaln$a) kebiasaan pemrograman $ang baik, seperti

$ang dibahas dalam bab 2, sangat berguna untuk

mengurangi kekeliruan pemrograman. #ebagai tambahan,terdapat %uga cara'


40/105

cara sederhana untuk memeriksa apakah suatu

metode numerik tertentu beker%a secara sempurna.

Kesalahan Perumusan.

Kesalahan perumusan model dihubungkan dengan

pen$impangan $ang dapat dianggap berasal dari model

matematika $ang tak sempurna.

*ontoh) (akta bahwa hukum +ewton kedua tak

menghitung e(ek relatiistik. &ni tak mengurangi

kela$akan solusi pada contoh sebelumn$a, karenakesalahan'kesalahan ini adalah minimal pada skala waktu

dan ruang dari seorang pener%un pa$ung.

Anggap bahwa tahanan udara bukan proporsi linier

terhadap kecepatan %atuh seperti dalam persamaan

tetapi merupakan sebuah (ungsi kuadrat kecepatan. Kalau

hal ini benar, baik

kedua solusi analitis maupun numerik $ang diperoleh

dalam bab 1 hasiln$a men%adi salah

karena kesalahan perumusan.

Ketidakastian !ata.

Kesalahan'kesalahan seringkali masuk ke dalam suatu

analisis karena ketidakpastian data -sika $ang mendasari

suatu model.Misaln$a kita ingin mengu%i model pener%un pa$ung


41/105

dengan loncatan'loncatan berulang $ang dibuatn$a,

mengukur kecepatan orang tersebut setelah interal waktu

tertentu.

Ketidakpastian $ang men$ertai pengukuran'pengukuran

ini tak diragukan, karena pener%un akan %atuh lebih

cepat selama beberapa loncatan daripada loncatan

lainn$a. Kesalahan'

kesalahan ini dapat memunculkan ketidak akuratan dan

ketidak presisian. ika instrumen kita menaksir terlalu rendah atau

terlalu tinggi terhadap kecepatan, kita menghadapi

suatu alat $ang tak akurat atau men$impang.

/ada keadaan lainn$a, %ika pengukuran tinggi dan rendah

secara acak, kita akan berhadapan dengan sebuah

pertan$aan mengenai kepresisian.

Kesalahan'kesalahan pengukuran dapat dikuanti-kasikan

dengan meringkaskan data dengan

satu atau lebih statistik $ang dipilih $ang membawa

seban$ak mungkin in(ormasi mengenai si(at'si(at data

tertentu.

#tatistik $ang deskripti( ini keban$akan sering dipilih

untuk men$atakan "10 letak pusat distribusi data, dan

"20 tingkat pen$ebaran data. al demikian memberikan


42/105

suatu ukuran pen$impangan dan ketidakpresisian.

#! Analisis %alat

Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan $ang

menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan

seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi se%atin$a.

#emakin kecil galatn$a, semakin teliti solusi numerik $ang

didapatkan.

+ilai se%ati " true alue 0 ampiran "aproksimasi0 3 Galat

Misalkan

∧

a adalah nilai hampiran terhadap nilai se%atin$a a ,

maka selisih

∧

−= aaε

ε

disebut Galat. ika tanda Galat " positi( atau negati( 0 tidak

dipertimbangkan , maka Galat mutlak

∧−= aaε

4kuran galatε

kurang bermakna karena tidak menceritakan

seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai se%atin$a.

4ntuk mengatasi interpretasi nilai galat tersebut , maka galat


43/105

harus dinormalkan terhadap nilai se%atin$a. Gagasan ini

melahirkan apa $ang dinamakan galat relatif.

Galat Relati( dide-nisikan sebagai

a 0

ε ε =

Atau dalam persentase

M' .a

0

ε ε =

Karena galat dinormalkan terhadap nilai se%ati, maka galat

relati( tersebut dinamakan %uga relati( se%ati. 5alam praktek

ketika kita tidak mengetahui nilai se%ati a, karena itu galatε

sering dinormalkan terhadap solusi hampirann$a, sehingga

galat relati(n$a dinamakan galat relati( hampiran

∧=a

0&

ε ε

#alah satu tantangan metode numerik adalah menentukan

taksiran galat tanpa mengetahui nilai se%atin$a. Misaln$a,

metode numerik tertentu memakai pendekatan secara iterasi

untuk menhitung %awaban. 5alam pendekatan $ang demikian,

suatu aproksimasi sekarang dibuat berdasarkan aproksimasi


44/105

sebelumn$a. /roses ini dilakukan secara berulang , atau

secara iterasi dengan maksud secara beruntun menghitung

aproksimasi $ang lebih dan lebih baik. adi, persen galat

relati( )

M'sekarangiaproksimas

sebelumnyaiaproksimas%sekarangiaproksimas×=aε

Komputasi diulang sampai

sa ε ε <

+ilai sε

menentukan ketelitian solusi numerik. #emakin kecil

nilai sε

semakin teliti solusin$a.

#oal

1. Misalkan nilai se%ati 167 dan nilai hampiran 7.777.

hitunglah galat, galat mutlak, dan galat relati(

hampiran.

2. /rosedur iterasi sebagai berikut

6)3( 3' +−=+ r r . . r 6,

1, 2, 7, ...

5! =

dan sε

6.66661

#umber 4tama Galat +umerik


45/105

#ecara umum terdapat dua sumber utama pen$ebab galat

dalam perhitungan numerik

1. Galat pembulatan " round'o8 error 0

2. Galat /emotongan " truncation error 0

#elain kedua galat ini, terdapat sumber galat lain )

1. Galat eksperimental , galat $ang timbul dari data $ang

diberikan, misaln$a karena kesalahan pengukuran,

ketidaktelitian alat ukur dan sebagain$a.

2. Galat pemrograman. Galat $ang terdapat di dalamprogram sering dinamakan dengan bug. 5an proses

penghilangan galat dinamakan debugging.

## Algoritma

#lgoritma merupakan rentetan langkag H langkah logika yang

diperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahan

masalah!Ciri H ciri suatu algoritma yang baik

'! #ksi yang dilaksanakan harus dirinci secara elas untuk tiap

kasus! ;asil akhir tidak boleh tergantung kepada yang

mengalami algoritma

2! roses algoritma harus selalu berakhir setelah seumlah

berhingga langkah tidak boleh berakhir terbuka ( oppen H

ended )


46/105

3! #lgoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan yang

lebih banyak!

Cara pembuatan algoritma'! Alo$ chart ( diagram alir )

2! "ode psudo ( menggunakan kalimat H kalimat yang kata%

katanya sudah punya aturan H aturan tertentu )

#5 Hitungan Langsung dan $ak Langsung

a! ;itungan langsung

;itungan melalui serangkaian operasi hitung untuk memperoleh

hasil

b! ;itungan 0ak langsung ( hitungan iterasi )Solusi diperoleh dengan melakukan pengulangan pada suatu

perhitungan langsung dimulai dengan suatu tebakan a$al untuk

memperoleh suatu nilai hampiran sebagai perbaikan atas nilai

tebakan a$al sampai diperoleh nilai hampiran yang diinginkan!

Soal 3!2 . /unakan tebakan a$al

' = .untuk menghitung

2

)2(' ' ii

. . .

+=+

untuk

,!!!2,',=i


47/105

BAB "

ME#$!E PEN%URUN% &BRA'KE#IN% ME#($!)

#alah satu masalah $ang sering ter%adi pada bidang ilmiah

adalah masalah untuk mencari akar'akar persamaan

berbentuk ("90 6 :::::::."10

;ungsi ( di sini adalah (ungsi atau persamaan tak linear. +ilai 9

96 $ang memenuhi "10 disebut akar persamaan (ungsi

tersebut. #ehingga 96 di sini menggambarkan (ungsi tersebut

memotong sumbu'9 di 9 96.

/ersamaan atau (ungsi ( dapat berbentuk sebagai berikut)

Persamaan ala*ar atau olinomial

("90 pn"90 an9n 3 an'19n'1 3 : 3 a19 3 a6

::::::::::::."20


48/105

Persamaan transenden


49/105

perkiraan sebelumn$a. 5engan melakukan se%umlah prosedur

iterasi $ang dianggap cukup, akhirn$a didapat hasil perkiraan

$ang mendekati hasil eksak "hasil $ang benar0 dengan

toleransi kesalahan $ang dii%inkan. Metode iterasi mempun$ai

keuntungan bahwa umumn$a tidak sangat terpengaruh oleh

merambatn$a error pembulatan.

".+ L$KALISASI AKAR

=okasi akar persamaan tak linear diselidiki untukmemperoleh tebakan awal, $aitu)

Metode %rafik.

4ntuk memperoleh taksiran akar persamaan ("90 6 ialah

dengan membuat gra-k (ungsi itu dan mengamati dimana

ia memotong sumbu 9. !itik ini, $ang men$atakan harga 9

untuk ("90 6, memberikan suatu pendekatan kasar dari

akar tersebut.

*ontoh >.1. /endekatan Gra(ik.

Gunakan pendekatan gra(ik untuk memperoleh suatu akar

persamaan dari ("90 e'9 ? 9.

#olusin$a adalah sebagai berikut)


50/105

, f&-)

6,6

6,>

6,@

1,6666,@1

6,26

'6,6C1

Gambar >.1

Gambar >.1. &lustrasi pendekatan gra-k untuk

memecahkan persamaan al%abar dan transendental.

Gra-k ("90 e'9 ? 9 terhadap 9. Akar sesuai dengan

harga 9 dimana

("90 6, $aitu titik dimana (ungsi memotong sumbu 9.


51/105

/emeriksaan secara isual mengenai plot memberikan

taksiran kasar 6,C. arga sebenarn$a adalah

6,C@1>72:

!eknik gra-k praktis digunakan, dan dapat memberikan

taksiran akar secara kasar, tapi tidak presisi.

&a dapat digunakan sebagai tebakan awal dalam

metode numerik.

&nterpretasi gra-k penting untuk memahami si(at'

si(at (ungsi dan dapat memperkirakan %ebakan padametode numerik, seperti terlihat pada gambar >.2 di

bawah ini.

Gambar >.2 memperlihatkan se%umlah cara dimana

akar bisa berada dalam interal $ang di%elaskan oleh

suatu batas bawah a dan batas atas b.

Gambar >.2b memperlihatkan kasus dmana sebuah

akar tunggal dikurung oleh harga'harga positi( dan

negati( dari ("90.


52/105

Gambar >.2

Gambar >.2. &lustrasi se%umlah cara $ang umum bahwa

sebuah akar bisa ter%adi dalam sebuah interal $ang

di%elaskan oleh batas bawah a dan batas atas b. Bagian

"a0 dan "c0 menun%ukkan bahwa bila ("a0 dan ("b0

mempun$ai tanda $ang sama, tidak akan ada akar'akar

atau akar dalam %umlah genap pada interal. Bagian "b0


53/105

dan "d0 menun%ukkan bahwa bila (ungsi mempun$ai

tanda $ang berbeda pada kedua titik u%ung, akan

terdapat akar dalam %umlah gan%il pada interal. !etapi

gambar >.2d, dimana ("a0 dan ("b0 berlawanan

tanda terhadap sumbu 9, memperlihatkan 7 akar

$ang berada di dalam interal. 4mumn$a %ika ("a0 dan

("b0 mempun$ai tanda $ang berbeda akan terdapat

akar $ang %umlahn$a gan%il dalam interal.

#eperti ditun%ukkan oleh gambar >.2 a dan c, %ika ("a0dan ("b0 mempun$ai tanda $ang sama, tidak terdapat

akar'akar atau akar $ang %umlahn$a genap berada

diantara harga'harga itu.

Meskipun generalisasi ini biasan$a benar, namun

terdapat kasus'kasus dimana hal itu tak dapat

dipegang.

Misaln$a akar ganda. .7b0 bisa men$alahi prinsip

ini.


54/105

Gambar >.7. &lustrasi beberapa perkecualian terhadap

kasus'kasus umum $ang ditun%ukkan dalam gambar

>.2. "a0 Akar ganda $ang ter%adi sewaktu (ungsi

men$inggung sumbu 9. 5alam hal ini, walaupun titik'

titik u%ungn$a berlawanan tanda, terdapat akar'akar

dalam %umlah genap untuk interal tersebut. "b0 ;ungsi

diskontinu dimana titik'titik u%ung tanda $ang

berlawanan %uga mengurung akar'akar dalam %umlah

genap.

#trategi khusus dibutuhkan untuk penentuan akar'akar


55/105

dalam kasus ini. #ebagai contoh (ungsi $ang

mempun$ai akar ganda adalah persamaan kubik

("90 "9 ? 20 "9? 20 "9 ? >0. /erhatikan bahwa 9 2

membuat kedua suku polinomial itu sama dengan 6.

adi 9 2 disebut sebuah akar ganda.

'ara #a*ulasi

+ilai'nilai (ungsi pada interal $ang diminati dihitung

dengan membagi interal tersebut men%adi sub interal

? sub interal, dan nilai'nilai tersebut ditulis dalambentuk tabulasi. ika pada suatu interal nilai (ungsi

berubah tanda, maka pada interal tersebut ada akar.

Lokasi Akar Untuk Persamaan Polinomial

/ersamaan polinomial mempun$ai bentuk umum sbb.

("90 pn"90 an9n 3 an'19n'1 3 : 3 a19 3 a6

::::::::."70

ika pn"90 6, maka persamaan tersebut mempun$ai

tepat n akar, antara lain akar bilangan real dan %uga

termasuk akar bilangan kompleks. Akar bilangan

kompleks selalu muncul berpasangan.


56/105

4ntuk melokasikan akar'akar real, digunakan beberapa

aturan)

"a0 aturan tanda koe-sien

"i0 akar real positi(

u ban$akn$a pergantian tanda pada

koe-sien ai dari pn"90

np ban$akn$a akar real positi(

maka berlaku) np D u ">0

u ? np 6, 2, >, @, :"ii0 akar real negati(

ban$akn$a pergantian tanda pada koe-sien

ai dari pn"'90

ng ban$akn$a akar real negatie, maka

berlaku)

ng D

.........................................................................."C0

? ng 6, 2, >, @, :

"b0 batas interal akar

n

k

nk a

ar maks

'

'≤≤

+=

maka semua akar real pn"90 terletak pada interal E'

r, rF.


57/105

#ebuah (ungsi berdasarkan %enisn$a akan berubah

tanda di sekitar suatu harga akar.

!eknik ini dinamakan metode akoladi "bracketing

method0, karena dibutuhkan 2 tebakan awal untuk

akar.

#esuai naman$a, tebakan tersebut harus dalam

kurungH atau berada pada kedua sisi nilai akar.

".. Metode Ba/idua &Biseksi)./ada teknik gra-k sebelumn$a, terlihat bahwa ("90

berganti tanda pada kedua sisi $ang berlawanan dari

kedudukan akar. /ada umumn$a, kalau ("90 n$ata "real0

dan kontinu dalam interal dari 9l hingga 9u, serta ("9l0

dan ("9u0 berlainan tanda, $akni)

("9l0 ("9u0 D 6

Maka terdapat sekurang'kurangn$a 1 akar n$ata

diantara 9l dan 9u.

dengan penempatan sebuah interal dimana (ungsi

tersebut bertukar tanda.

=alu penempatan perubahan tanda "tentun$a harga

akar0 ditandai lebih teliti dengan cara membagi

interal tersebut men%adi se%umlah subinteral.

#etiap subinteral itu dicari untuk menempatkan


58/105

perubahan tanda. /roses tersebut diulangi dan

perkiraan akar diperhalus dengan membagi subinteral

men%adi lebih halus lagi.

Metode Bagidua "biseksi0, disebut %uga pemotongan

biner "binar$ chopping0, pembagian 2 "interal

haling0 atau metode BolIano.

=etak akarn$a kemudian ditentukan ada di tengah'

tengah subinteral dimana perubahan tanda ter%adi.

/roses ini diulangi untuk memperoleh taksiran $angdiperhalus.

#tep 1) /ilih taksiran terendah 9l dan tertinggi 9u

untuk akar agar (ungsi berubah tanda

sepan%ang interal. &ni dapat diperiksa dengan)

("9l0 ("9u0 D 6.

#tep 2 ) !aksiran pertama akar 9r ditentukan oleh)

2

ul . . .r +

=

#tep 7 ) Buat ealuasi $ang berikut untuk

menentukan subinteral, di dalam mana akar

terletak)


59/105

a. ika ("9l0 ("9r0 D 6, akar terletak pada

subinteral pertama, maka 9u 9r, dan

lan%utkan ke step 2.

b. ika ("9l0 ("9r0 J 6, akar terletak pada

subinteral kedua, maka 9l 9r, dan

lan%utkan ke step 2.

c. ("9l0 ("9r0 6, akar 9r, komputasi selesai.

*ontoh Metode Bagidua.

Gunakan Bagidua untuk menentukan akar dari ("90 e'9 ' 9.

5ari gra-k (ungsi tersebut "gambar >.10 terlihat bahwa

harga akar terletak diantara 6 dan 1.

Karenan$a interal awal dapat dipilih dari 9l 6

hingga 9u 1. 5engan sendirin$a,

taksiran awal akar terletak di tengah interal tersebut)

5,2

' =+= .r

!aksiran ini menun%ukkan kesalahan dari "harga

sebenarn$a adalah 6,C@1>72:0)

t 6,C 6,6@1>72


60/105

atau dalam bentuk relati()


61/105

M8,''M'67'4329,

567'4329,== .t

dimana indeks t menun%ukkan

bahwa kesalahan diacu terhadap harga sebenarn$a.

=alu)

("60 ("6,C0 "10 "6,16@C70 6,16@C7

$ang lebih besar dari nol, dengan sendirin$a tak ada

perubahan tanda ter%adi antara 9l dan 9r.

Karena itu, akar terletak pada interal antara 9 6,C dan 1,6.

Batas bawah dide-nisikan lagi

75,2

'5, =+

= .r

!aksiran ini menun%ukkan kesalahan dari "harga sebenarn$a

adalah 6,C@1>72:0)

t 6,C 6,6@1>72

atau dalam bentuk relati()

("6,C0 ("6,C0 '6,676 D 6

Karenan$a akar terletak diantara 6,C dan 6,C)

9u 6,C

5an iterasi seterusn$a

".0. Metode Re/ula 1alsi &1alse Position).


62/105

)()(

))((

'

'

. * . *

. . . * . .

u

uu

ur −−

−=

5isebut %uga metode interpolasi linier.

/en%elasan gra(ikn$a adalah sebagai berikut)


63/105

/en%elasan gra-k dari metode Regula ;alsi. #egitiga serupa

$ang digunakan untuk menurunkan rumus buat metode

tersebut adalah $ang diarsir.

*ontoh Metode Regula ;alsi.

Gunakan Regula ;alsi untuk menentukan akar

dari ("90 e'9

' 9. Akar sesungguhn$a

6,C@1>72.

9l 6 dan 9u 1.

&terasi pertama)

9l 6 ("9l0 1

9u 1 ("9u0 '6,@7212

6'27,'632'2,

)')(632'2,(' =

−−−−

−=r .

M8M'567'4329,

6'27,567'4329,=

−= .t

&iterasi ke'2

("9l0 ("9r0 '6,66L

akar pada subinteral &. 9r di batas atas

berikutn$a

9l 6 ("9l0 1

63


64/105

572'79,'632'2,

)6'27,)(78,(6'27, =

−−−−

−=r .

9u 6,@12

("9u0 '6,66L

M8,7M'572'79,

6'27,572'79,=

−= .t

Kesalahan untuk Regula ;alsi berkurang lebih cepat

daripada Bagidua disebabkan rancangan $ang lebih e-sien

untuk penempatan akar dalam Regula ;alsi.

/erbandingan t pada metode Bagidua dan Regula ;alsi untuk

64


65/105

("90 e'9 ? 9

/ada Bagidua, interal antara 9l dan 9u muncul semakin

kecil selama komputasi. &nteral, 92 9u ? 9l 2,

merupakan ukuran error untuk pendekatan ini.

/ada Bagidua, hal di atas tak ter%adi, karena salah satu

tebakan awal kondisin$a tetap selama komputasi, sedangkan

tebakan lainn$a konergen terhadap akar.

/ada contoh metode regulasi (alsi di atas, 9l tetap pada 6,

sedangkan 9u konergen terhadap akar. 5idapat, interal

tak mengkerut, tapi agak mendekati suatu harga konstan.

".0.+.2e*akan ada Metode Re/ula 1alsi.

*ontoh >.C. Bagidua lebih baik dari Regula ;alsi.

Gunakan Bagidua dan Regula ;alsi untuk menempatkan akar

di antara 9 6 dan 1,7 untuk)

("90 916 ? 1.

5engan Bagidua, didapat)

Itera -l ,u ,r 3 t34 3 a341 6 1,7 6,@C 7C2 6,@C 1,7 6,C 2,C 77,77 6,C 1,7 1,17C 17,L 1>,7> 6,C 1,17C 1,6C@2C C,@ ,C 6,C 1,6C@2C 1,61C@2C 1,@ >,6

#etelah C iterasi, t D 2N.

Kemudian dengan Regula ;alsi, didapat)

65


66/105

Iteras -l ,u ,r 3 t34 3 a341 6 1,7 6,6>76 6,@2 6,6>76 1,7 6,1L1@ L1,L >L,17 6,1L1@ 1,7 6,2@2L 7, 76,

> 6,2@2L 1,7 6,77L11 @@,2 22,7C 6,77L11 1,7 6,>6LL C,2 1,1#etelah C iterasi, t D @6N.

uga a D t

!ern$ata dengan Regula ;alsi, a tern$ata meleset. =ebih %elas

terlihat dalam gra(ik)

Gra-k dari ("90 916 ? 1, menun%ukkan konergensi metode

66


67/105

Regula ;alsi $ang lambat

!erlihat, kura men$alahi per%an%ian $ang mendasar

Regula ;alsi, $akni %ika ("9l0 lebih mendekati 6 dibanding

("9u0, sehingga akan lebih dekat ke 9l daripada ke 9u

Karena bentuk (ungsi $ang sekarang, kebalikann$a tentu %uga

benar.


68/105

menggunakan satu titik awal, dan mendekatin$a dengan

memperhatikan kemiringan pada titik tersebut. #ecara

geometri metode ini menggunakan garis lurus sebagai

hampiran (ungsi pada suatu selang, dengan menggunakan

suatu nilai 9i sebagai tebakan awal $ang diperoleh dengan

melokalisasi akar'akar dari ("90 terlebih dahulu, metode ini

paling ban$ak digunakan untuk menarik akar'akar dari

persamaan ("90 6 dengan asumsi ("90, (O"90, (OO"90 kontinu

dekat satu akar p. akar dari persamaan adalah titik potong

garis singgung pada titik "9i, ("9i00

( )

( )ii

ii . *

. * . .

N' −=

+

5imana i 6,1,2,7, :

#$arat (O"9i0 P 6

(O"9i0 6 maka garis singgung se%a%ar sumbu 9

Al/oritma Metode Ne5ton Rason

Masukan) ("90, (O"90, 96 "tebakan awal0, ε "criteria

penghentian0, M "maksimum iterasi

Keluaran ) akar

=angkah'langkah&terasi

68


69/105

ika (O"960 6, proses gagal, stop

( )

( )N

. *

. * . .baru −=

1.

baru akar)stopdan (maka, =≤

−ε

baru

baru

.

. . jika

2.

7. 96 9baru

>. &terasi) & i 3 1

C. ika iterasi & Q M kembali ke langkah 2

@. /rosesn$a konegen atau diergen

".".+ Iterasi N6R untuk menentukan

n &

l

gani -1,#

genap -,

∈≠>

&

&

Ambil + 2

andaikan bahwa AJ6 suatu bil real dan misal 96 J 6

adalah tebakan awal untuk &

69


70/105

barisan

{ } ∞=k k .

2

''

−− += k .

k

.

&

p .

dide(enisikan dengan rumus rekursi( sebagai

berikut)

k .

.lim∞→

akar barisan

{ } ∞=k k . konergen ke

&

$aitu ) &

Bukti ) AJ6

Missal 9

&

2 A

2 ? A 6, ("90 6 maka ("90 92 ' A

7


71/105

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

2)(

2

'

22

22

2

22

22

2

N

. & .

. g

.

&

. . g

.

& . . g

.

& . . . g

.

& . . . . g

.

& . . . g

. *

. * . . g

+=

+=

+=

+−=

+−−=

−−=

−=

;"90 92'A

;O"90 29

5e(enisi (ungsi iterasi +ewton Rapson

7'


72/105

( )

,!!!3,2,',2

'

'

'

=

+

=

=

−

−

−

2 p

& p

p

. g .

k

k

k

k k

Atau

".7. Metode Secant.

Masalah $ang didapat dalam metode +ewton'Raphson

adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama,

$akni (O"90. #ehingga dengan %alan pendekatan

( ) ( ) ( )

'

'N−

−

−−

≈nn

nn

. .

. * . * . *

)()(

)()('

'

'

−

−

−−−

−=+ii

iiiiii

. * . *

. . * . * y . .

Men%adi

/ersamaan di atas memang memerlukan 2 taksiran

awal 9, tetapi karena ("90 tidak membutuhkan

perubahan tanda diantara taksiran maka #ecant bukan

metode Alokade.

72


73/105

Gambar C.7

!eknik ini serupa dengan teknik +ewton'Raphson dalam arti

bahwa suatu taksiran akar diramalkan oleh ekstrapolasi

sebuah garis singgung dari (ungsi terhadap sumbu 9. !etapi

metode #ecant lebih menggunakan di(erensi daripada

turunan untuk memperkirakan kemiringanslope

73


74/105

".7.+ Per*edaan Metode Secant dan Re/ula 1alsi.

/ersamaan di metode #ecant maupun Regula ;alsi identik suku demi suku.

Keduan$a menggunakan 2 taksiran awal untuk menghitung

aproksimasi slope (ungsi $ang digunakan untuk berpro$ek terhadap

sumbu 9 untuk taksiran baru akar.

/erbedaann$a pada harga awal $ang digantikan oleh taksiran baru.

5alam Regula ;alsi, taksiran terakhir akar menggantikan harga

asli mana sa%a $ang mengandung suatu harga (ungsi dengan tanda

$ang sama seperti ("9r0. #ehingga 2 taksiran senantiasa mengurung

akar.

#ecant mengganti harga'harga dalam deretan $ang ketat, dengan

harga baru 9i31 menggantikan 9i, dan 9i menggantikan 9i'1.

#ehingga 2 harga terkadang dapat terletak pada ruas akar $ang sama.

/ada kasus tertentu ini bisa diergen.

/ada gambar gra-k di bawah ini disa%ikan penggunaan metode Regula

;alsi dan #ecant untuk

menaksir akar ("90 ln 9, dimulai dari harga 91 9i'1 6,C dan

9u 9i C,6)

Gambar C.7.1

/erbandingan metode Regula ;alsi dan #ecant. &terasi pertama "a0 dan "b0


75/105

untuk iterasi kedua metode adalah identik. !etapi pada iterasi kedua "c0

dan "d0, titik $ang dipakai berbeda.

Gambar C.7.2

".8. Akar %anda.

#atu akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah (ungsimen$inggung sumbu 9.

Misal akar dobel dihasilkan dari)

("90 "9 ' 70"9 ' 10"9 ' 10

atau dengan pengalian suku'suku)

("90 97 ' C92 3 9 ' 7

/ersamaan diatas memiliki akar dobel, karena 1 akar 9 membuat kedua

suku dalam persamaan itu sama dengan nol. #ecara gra-k, ini sesuai

dengan kura $ang men$entuh sumbu 9 secara tangensial pada akar

dobel. &ni dapat dilihat pada gambar C.>a di bawah ini pada

9 1.


76/105

Gambar C.>

Gambar C.> *ontoh akar ganda $ang men$inggung sumbu 9. /erhatikan

bahwa (ungsi tak memotong sumbu pada kedua sisi akar ganda genap "a0

dan "c0, sedangkan ia memotong sumbu untuk kasus gan%il "b0 "E*A1LF

hal. 1C0.

Akar tripel untuk kasus dimana satu harga 9 membuat 7 suku dalamsuatu persamaan men%adi nol, misal)

("90 "9 ? 70"9 ? 10"9 ? 10"9 ? 10

atau dengan pengalian suku'suku)

("90 9> ? @97 3 1292 ? 169 3 7

Kesulitan 9an/ ditim*ulkan oleh akar /anda:

asil dari metode Akolade berkurang keperca$aann$a dengan adan$aken$ataan bahwa (ungsi tak berubah tanda pada akar ganda genap.

/ada metode !erbuka, ini bisa men$ebabkan diergensi.

!ak han$a ("90 tapi %uga (O"90 menu%u nol pada akar.

/ada metode +ewton'Raphson dan #ecant, dimana keduan$a

mengandung turunan "atau taksiran0 di bagian pen$ebut pada

rumusn$a, ter%adi pembagian dengan nol %ika solusi konergen sangat

mendekati akar.

Menurut Ralston dan RabinowitI ERA=1LF, ("90 selalu mencapai nol

sebelum (O"90. #ehingga kalau pemeriksaan nol untuk ("90 disertakan dalam


77/105

program, maka komputasi berhenti sebelum (O"90 mencapai nol.

Metode +ewton'Raphson dan #ecant konergen secara linier "bukan

kuadratik0, konergen untuk akar'akar ganda "Ralston dan RabinowitI

ERA=1LF0.

#oal A.

1. !entukan batas selang akar dari )

•

2)( 2 +−= . . . P

•

3)( 3 −+= . . . P

2. !entukan lokasi akar

•

.

. . P ε

+=)(

•

3452)( 234 −++−= . . . . . P

7. !entukan akar

25)( . . * . −= ε di dalam selang "6,10 dan

'!=ε dengan

metode Bagi 5ua dan Regula ;alsi

>. !ahun 122C =eonardo da /issa mencari akar persamaa

2'2)( 23 =−++= . . . . * dan menemukan 9 1.7@LL6L16 tidak

seorangpun tahu cara =eonardo menemukan niai ini. Gunakan metode

Bagidua dan metode Regula ;alsi untuk menemukan akar persamaa

=eonardo dalam selang " 1, 1.C 0 dan %uga metode +ewton Raphson,

' = .

dan metode #ecant

' = .,

5!'' = .. 4ntuk semua metode

6'−=ε

C. 5apatkah metode +ewton'Raphson digunakan memecahkan

•

)( = . * %ika

3')( * =

•

)( = . * %ika

( ) 2'3)( −= . . * dan tebakan awal

4 = .. MengapaS

@. Gunakan metode +ewton'Raphson untuk menghitung

4')47(

sampai enam

angka bena.


78/105

. Misalkan

. . * cos)( = .

• !entukan prosedur iterasi +ewton Raphsonn$a.

• ika kita ingin menghitung akar

23π = ., dapatkah kita gunakan

tebakan awal

3 =

. Mengapa S

L. Masalah ) gunakan pendekatan gra-s untuk menentukan koe-sien

hambatan c $ang diperlukan oeh pener%un pa$ung dengan massa m

@L.1 kg agar mempun$ai kecepatan >6 m det setelah %atuh bebas untuk

waktu t 16 detik. *atatan ) percepatan $ang disebabkan graitasi ) ,L

m det

2

.Masalah ini dapat dipecahkan dengan cara menentukan akar persamaan

dengan memakai parameter t16, g.L, >6, dan [email protected]

4)'()'!68(8!9

)( ')'!68( −−= − e

*

. Gunakan metode bagi dua untuk memecahkan masalah pada no. L

16.!entukan akar ? akar real dari

32 7!!42!6!2)( . . . . * +−+−=

• #ecara gra-s

• 5engan memakai metode bagi dua untuk menemukan akar'akar

persamaan. Gunakan terkaan awal 6.> dan 6.@, serta iterasikan

sampai taksiran galataε

berada dibawah

M'= sε

11.!entukan akar ? akar riil dari

5432 66!7!8429824)( . . . . . . * +−+−+−=

secara gra-s dan dengan metode bagidua samapai

M'= sε

dengan

tebakan awal >.C dan C

12.!entukan akar ? akar riil dari

32 74!33!'697!2'34!9)( . . . . * −+−=secara

gra-s dan memakai metode regula (alsi dengan nilai

sε

$ang berpadanansamapi dengan dua angka bena.


79/105

17.!entukan akar ? akar riil dari .

. . *

6'!')( −=

secara analitis, gra-s dan

memakai tiga iterasi dari metode Regua ;alsi, dengan tebakan awal 1.C

dan 2.

1>.!entukan akar ? akar persamaan .e . −−

dengan metode +ewton Raphson "

= .0 dan metode #ecant "

' =− .dan

,' = .0

1C.!entukan akar ? akar riil berikut dengan metode +ewton raphson

•

5!27!'9!)( 2 ++−= . . . * " tebakan awal 7.1 0

•

. . . * sin5'!)( −=" tebakan awal 2.6 0

1@.!entukan akar riil dari .

. . *

6'!')( −=

dengan menggunakan tiga iterasi

metode #ecant dan tebakan awal

5!'' =−i .dan

!2' = . hitung hampiran

galat setelah iterasi $ang kedua dan ketiga

1.!entukan akar riil dari

326''9!5)( . . . . * +−+−=

• #ecara gra-s

• Metode Bagi 5ua " tebakan awal 2.C dan 7.C 0

• Metode /osisi /alsu " tebakan awal 2.C dan 7.C 0

• Metode +ewton Raphson " tebakan awal 7.C 0

• Metode #ecant " tebakan awal

5!2' =−i

dan

5!3' = .0

1L.!entukan akar riil dari

98)( 3 −= . . * dengan metode #ecant sampai

M'= sε

1.Gunakan baik metode +ewton Rapson $ang baku maupun $ang

dimodi-kasi untuk menghitung akar ganda dari

32573)( . . . . * +−+−=

dengan tebakan awal 6

26.!entukan akar dari

32

775!35!'2)( . . . . * +−−=


80/105

• #ecara gra-s

• 5engan menggunakan metode paling e-sien sampai

M'= sε

#oal.B

1. 5ari metode ? metode $ang telah ada , temukanlah metode mana $ang

lebih cepat atau e-sien dalam mendapatkan akar ? akar persamaan .

2. !emukanlah persamaan dan perbedaan ? perbedan dari metode ? metode

$ang telah dipela%ari.

7. !emukan kasus masalah dalam bidang ilmu tertentu $ang dapat

diselesaikan dengan metode ? metode dalam menentukan akar ? akar

persamaan diatas.


81/105

BAB I;

SIS#EM PERSAMAAN LINIER

Bentuk 4mum )

mnmnmm

nn

nn

b .a .a .a

b .a .a .a

b .a .a .a

=+++

=+++

=+++

!!!

!

!

!!!

!!!

22''

22222'2'

''2'2'''

Bentuk Matriks

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

!!

!!!!

!

!

'

2222'

''2''

m .

.

.

!

2

'

mb

b

b

!

2

'

Metode ? metode untuk mendapatkan #olusi #/= )

1. liminasi Gauss

2. liminasi Gauss ? ordan

7. 5ekomposisi =4

>. acobi

C. Gauss #eidel

A. !ekomosis LU

ika terdapat matriks A non singular maka dapat di(aktorkan diuraikan

dikomposisikan men%adi matriks #egitiga Bawah = " =ower 0 dan matriks #egitiga

atas 4 " 4pper 0.

A =4

mnm

n

n

aa

aaaaaa

!!

!!!!

!!

'

2222'

''2''

'!!

!!!!

!'!'

'

2'

ml

l

mn

n

n

u

uuuuu

!!

!!!!

!!

222

''2''

/en$elesaian #/= A9 b dengan metode =4

b y

3. yb .

b &.

===

=→=

?

misalnya ?F

?F#


82/105

4ntuk mendapatkan nilain y y y y ,!!!!!!!!,, 32'" pen$ulihan ma%u 0

b y =?

'!!

!!!!

!'

!'

'

2'

ml

l

m y

y

y

!

2

'

mb

b

b

!

2

'

4ntuk mendapatkan nilain . . . . ,!!!!!!!!,, 32' " pen$ulihan mundur 0

y3. =

mn

n

n

u

uu

uuu

!!

!!!!

!

!

222

''2''

m .

.

.

!

2

'

m y

y

y

!

2

'

5ua Metode untuk men$atakan A dalam = dan 4 )

+. Metode LU %auss

=angkah ? langkah /embentukan = dan 4 dari Matriks Aa. +$atakan A &A

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

!!

!!!!

!

!

'

2222'

''2''

'!!

!!!!

!'

!'

mnm

n

n

aa

aaa

aaa

!!

!!!!

!

!

'

2222'

''2''

b. liminasikan matriks A di ruas kanan men%adi matriks segitiga atas 4

c. #etelah proses liminasi gauss selesai pada matriks A " elemen'elemendibawah diagonal utama adalah nol 0. Matriks & men%adi matriks l dan

matriks A men%adi matriks 4

#oal .

!entukan solusi dari )

762

2542

234

32'

32'

32'

=++=+−−

−=−+

. . .

. . .

. . .


83/105

. Metode Reduksi 'rout

Karena =4 A maka hasil perkalian =4 dapat ditulis

=

+++++

33323'

23222'

'3'2''

332332'33'2232'23''33'

23'32'22'22'''2'

'3'2''

aaa

aaa

aaa

uul ul ul ul ul

uul uul ul

uuu

!in%au untuk Matriks 797

5ari kesamaan diatas diperoleh

'''' au = '2'2 au = '3'3 au =

''

2'2'2'''2'

u

al aul =→=

5st.......

B. &terasi acobi dan #eidel

mnmnmm

nn

nn

b .a .a .a

b .a .a .a

b .a .a .a

=+++

=+++=+++

!!!

!

!

!!!

!!!

22''

22222'2'

''2'2'''

&terasi acobi

''

)(

'

)(

2'2''

'

!!!

a

.a .ab .

k

nn

k

k −−−=+

22

)(

2

)(

'2'2'

2

!!!

a

.a .ab .

k

nn

k

k −−−=+

mn

k

nmn

k

mmk

na

.a .ab .

)(

''

)(

''' !!! −−+ −−−=

&terasi #eidel

''

)(

'

)(

2'2''

'

!!!

a

.a .ab .

k

nn

k

k −−−=+

22

)(

'

)'(

'2'2'

2

!!!

a

.a .ab

.

k

nn

k k −−−

=

++


84/105

mn

k

nmn

k

mmk

na

.a .ab .

)(

''

)'(

''' !!! −−+

+ −−−=

5engan k 6, 1, 2, ....

4ntuk menghitung kekonergenan atau berhentin$a iterasi digunakan galat

relatie

ε <−+

+

)'(

)()'(

k

i

k

i

k

i

.

. .

i 1, 2, 7, ....n

#$arat cukup iterasi konergen ) 5ominan secara diagonal.

∑≠=

>i j j

ijij aa,'

i 1, 2, 7, ... n

Agar iterasi konergen , cukup dipenuhi s$arat ini. ika dipenuhi pasti

konergen. Kekonergenan %uga ditentukan oleh pemilihan tebakan awal.

*ontoh )

−−−

5'2

'84

3'4

3'4 +−>

'48 +>−

'25 +−>

Kekonergenan iterasi #eidel lebih cepat karena langsung menggunakan nilai

baru.

#oal A.

1. #elesaikan #/= berikut dengan iterai acobi dan #eidel


85/105

a.

),,(),,(

34

'5

'82

3

2

'

32'

32'

32'

=

=++−=+−

=−+

. . .

. . .

. . .

. . .

b.

)2,2,'(),,(

'552

2'84

74

==++−−=+−

=+−

) y .

) y .

) y .

) y .

2. ;aktorkan matriks A dan B dengan metode =4 lalu pecahkan sistem Bx = c

−−

−=

62'

542

'34

&

−

−=

''

'22

'''

B

=

'

5

'

7. #elesaikan sistem persamaan berikut dengan metode =4

'

522

'4

=++−=++

=−+

) y .

) y .

) y .

>. 5iberi sistem persamaan linier A9b dengan A dan b sebagai berikut

−−

−

=

2'46

'224

8452

'32'

&

−=

4

2

8

'

b

a. !entukan solusi dengan metode iterasi acobi

b. !entukan solusi dengan metode iterasi #eidel

c. !entukan solusi dengan metode =4

C. #elesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Reduksi *rout

346

223

'292

238

=+++

=−++=−−+=+++

w ) .

w ) y .

w ) y .

w ) y .

#oal B

5apatkah sistem persamaan inier berikut

a.

824

635

=−=+

y .

y .

b.

486

635

−=−−=+ y .

y .

c.

2637

'45

952

=−−=−−

=−+

) y .

) y .

) y .

5iselesaikan dengan metode iterasi acobi dan iterasi seidelS Mengapa S


86/105

BAB ;

IN#ERP$LASI !AN EKS#RAP$LASI

7.+ Interolasi

&nterpolasi dapat digunakan untuk menghitung prakiraan nilai $ang terletak

dalam rentangan titik'titik data, "*hapra, 160. Bentuk interpolasi $ang

paling ban$ak digunakan adalah interpolasi polinom orde n.Bentuk umum persamaan polinom orde n adalah sebagai berikut)

,!!!!!)( 332

2' ≠+++++= nn

n a .a .a .a .aa . *

.................................."110

4ntuk n31 titik data han$a terdapat satu polinom orde n atau kurang $ang

melalui sebuah titik. Misal polinom orde "10 terdapat 2 titik data dengan

gra-k garis lurus, dan polinom orde 2 terdapat 7 titik data dengan gra-k

berbentuk parabol. 5i dalam operasi interpolasi ditentukan suatu

persamaan polinom orde n $ang melalui n31 titik data $ang kemudian

digunakan untuk menentukan suatu nilai di antara titik'titik data tersebut.

a. Interolasi Linier

&nterpolasi linier merupakan bentuk interpolasi $ang paling sederhana,

$ang han$a membutuhkan dua titik data.

("910

("90 *("960

A 5B


87/105

6 1

Karena segitiga AB* sebangun dengan segitiga A5 maka

&4

45

&B

B6

=

sehingga

( )

( ) )'2!!!!!!!!!(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)()()()(

)()()()(

)()()()(

'

''

'

''

'

'

'

. . . . . * . * . * . *

. . . .

. * . * . * . *

. .

. * . *

. .

. * . *

−−−+=

−−−

=−

−−

=−−

rumus umum interpolasi linier polinom orde &

'

' )()(

. .

. * . *

−−

$aitu gradien garis melalui 2 titik.

#emakin kecil interal atau titik data maka hasil perkiraan semakin baik.

*. Interolasi kuadrat

&nterpolasi kuadrat membutuhkan 7 titik data, dan persamaan

polinomn$a ditulis sebagai berikut)

))(()()( '2'2 . . . .b . .bb . * −−+−+=........................................."170

)(2 . *

merupakan polinom orde dua sehingga (

Documents

analisa numerik2