Embed Size (px)
Citation preview
“ANÁLISE DE PLACAS CIRCULARES AXISSIMÉTRICAS
PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS”
MARCOS DAIAN FIGUEIREDO DA SILVA SARAIVA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
(MODALIDADE – ARTIGO CIENTÍFICO)
NATAL-RN
2016
U F R N
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
MARCOS DAIAN FIGUEIREDO DA SILVA SARAIVA
ANÁLISE DE PLACAS CIRCULARES AXISSIMÉTRICAS PELO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Artigo Científico, submetido ao Departamento
de Engenharia Civil da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do Título de
Bacharel em Engenharia Civil.
Orientadora: Profª Dra. Fernanda Rodrigues
Mittelbach.
NATAL/RN, 30 DE MAIO DE 2016.
DEDICATÓRIA
“A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na
vitória propriamente dita.”
Mahatma Gandhi
Aos meus pais, irmãos e amigos.
AGRADECIMENTOS
Ao criador, por me dar forças suficientes a superar dificuldades enfrentadas durante
essa caminhada.
Aos meus pais, Alda Maria Figueiredo da Silva e José Gilvan Saraiva, exemplo de
vida para mim.
Aos mestres do Departamento de Engenharia Civil por me proporcionar о
conhecimento não apenas racional, mas а manifestação do caráter е afetividade da educação
no processo deformação profissional.
Agradeço aos meus amigos por tornar minha estadia em Natal mais prazerosa.
À minha grande amiga e querida professora orientadora, Fernanda Rodrigues
Mittelbach, por todo carinho, dedicação, motivação e ajuda durante o período de realização
deste trabalho.
À Universidade, pelo ambiente criativo е amigável que proporciona.
A todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação.
Marcos Daian Figueiredo da Silva Saraiva
1
RESUMO
Título: Análise de placas circulares axissimétricas pelo Método dos Elementos Finitos
Autor: Marcos Daian Figueiredo da Silva Saraiva
Orientadora: Fernanda Rodrigues Mittelbach
Departamento de Engenharia Civil - UFRN
Natal, Maio de 2016
A análise do comportamento das estruturas por meio de métodos numéricos, em especial pelo
Método dos Elementos Finitos (MEF), vem sendo cada vez mais empregada, tanto pela
dificuldade de se resolver analiticamente algumas formulações, como também pela
praticidade e precisão na aproximação dos resultados obtidos por eles. Desta maneira, o
presente estudo tem por finalidade o desenvolvimento da análise numérica de placas
circulares axissimétricas, com ou sem furos, em termos de deslocamentos e esforços internos,
baseada no MEF, bem como elaborar um código computacional e comparar os resultados
obtidos com os advindos da teoria das placas com simetria de revolução com a finalidade de
validá-lo.
Palavras-chave: Método dos Elementos Finitos; Placas circulares axissimétricas.
ABSTRACT
Title: Finite Element Method in circular plates
Author: Marcos Daian Figueiredo da Silva Saraiva
Supervisor: Fernanda Rodrigues Mittelbach
Department of Civil Engeneering - UFRN
Natal, May 2016
The structure analysis using numerical methods, especially the Finite Element Method
(FEM), are being increasingly used due the difficulty to obtain some response of analytical
formulations, as well as the convenience and accuracy in approximating the results atteined
by them. Thus, the present study aims at the development of numerical analysis of
axisymmetric circular plates, with and without holes, in terms of displacement and internal
forces based on FEM, developing a computer code, and comparing the results with those
coming from theory of plates with symmetry of revolution, with the purpose to validate it.
Keywords: Finite Element Method; Axisymmetric circular plates.
2
1. INTRODUÇÃO
No que concerne ao estudo da estrutura e seu dimensionamento, a determinação da
linha de deflexão proporciona a análise das deformações excessivas da estrutura como um
todo.
Para isso, surgem diversas teorias que possibilitam o estudo da estrutura, entretanto,
com um grau de dificuldade bastante elevado, devido ao uso, geralmente, de equações
diferenciais.
Hoje em dia, a facilidade e praticidade oferecidas pela programação proporcionaram o
uso de formulações numéricas na resolução dos mais variados sistemas estruturais. Dentre os
métodos numéricos, podemos destacar o Método dos Elementos Finitos (MEF) por ser
amplamente utilizado devido à sua fácil manipulação e sua rápida convergência de resultados.
Azevedo (2003) afirma que o MEF surgiu da necessidade de soluções numéricas,
através do uso da computação, que possibilitassem a redução do elevado grau de
complexidade observado nas soluções analíticas do sistema.
Ainda segundo o autor, atualmente, uma gama de softwares que utilizam a teoria do
MEF para a resolução de problemas de engenharia encontra-se à disposição, estando sua
aplicação conectada a diversas áreas do ramo, como a determinação de valores aproximados
de deslocamentos, tensões e deformações. Deste modo, para que o uso dos diversos
programas não se dê de forma equivocada, é necessário o conhecimento dessa teoria.
Nesse contexto, a pesquisa teve como objetivo o desenvolvimento de um código
computacional para análise de cálculo de placas circulares axissimétricas através do MEF,
sendo obtidas, assim, as deflexões transversais na superfície média da placa e os esforços
internos. Para efeito de validação, os resultados gerados são comparados aos resultados
analíticos do modelo existentes para tais estruturas.
2. REVISÃO DA LITERATURA
2.1. Teoria das placas circulares com simetria de revolução
Rodrigues (2009) descreve um sólido axissimétrico ou de revolução como sendo
aquele que apresenta uma seção transversal relacionada a um eixo de revolução, através do
qual a estrutura pode ser gerada rotacionando tal eixo em 360°. Dessa forma, se além da
geometria, a distribuição do material, também as ações atuantes apresentarem simetria de
revolução, o comportamento do sistema será considerado axissimétrico.
Normalmente, as placas apresentam uma solução de deslocamento em termos de duas
variáveis ortogonais ao plano, contudo, para placas circulares sujeitas a solicitações
3
axissimétricas, a solução analítica de deslocamento abordada apresenta apenas uma variável,
no caso a coordenada radial r da placa (TIMOSHENKO, 1959).
Devido à forma circular da estrutura, aliada à axissimetria do sistema, convenciona-se
a utilização das coordenadas polares na resolução do problema analítico.
Assim, a equação diferencial para placas circulares axissimétricas, para q = q(r) e w =
w(r), assume o seguinte aspecto (TABORDA E VILLAÇA, 1998):
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟{𝑟
𝑑
𝑑𝑟[1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟(𝑟
𝑑𝑤
𝑑𝑟)]} =
𝑞
𝐷 ( 2.1 )
Onde:
r é a variável na direção do raio;
q é a taxa de carregamento transversal à superfície média da placa;
w é o deslocamento transversal à superfície média da placa, e;
D é a rigidez à flexão da placa.
Ainda de acordo com Taborda e Villaça (1998), por conta da axissimetria da estrutura,
apenas os momentos fletores Mr e Mϴ, bem como o esforço cortante Qr não são anulados. As
expressões para tais esforços solicitantes são dadas a seguir:
𝑀𝑟 = −𝐷(𝑑2𝑤
𝑑𝑥2+𝜈
𝑟
𝑑𝑤
𝑑𝑟)
𝑀𝛳 = −𝐷 (𝜈𝑑2𝑤
𝑑𝑥2+1
𝑟
𝑑𝑤
𝑑𝑟)
𝑄𝑟 = −𝐷𝑑
𝑑𝑟(𝑑2𝑤
𝑑𝑥2+𝜈
𝑟
𝑑𝑤
𝑑𝑟)
A figura 2.1 ilustra os esforços internos representados num elemento infinitesimal de
placa circular. Os vetores Mθr, Mrθ e Qθ são nulos, devido à condição de axissimetria.
Figura 2.1 – Esforços internos.
Fonte: Paulo Bezerra
4
De acordo com Bezerra (2013), a resolução da equação da linha elástica para placa
circular pode ser feita mediante análise das condições de contorno geométricas e mecânicas
da estrutura. Tal modelo é válido para placas com e sem furo na sua região central.
2.2. Método dos Elementos Finitos
Assan (2003) e Soriano (2003) afirmam que o MEF parte da premissa de haver a
divisão do domínio de integração, contínuo, em um número finito de regiões denominadas
elementos finitos, formando uma malha ou rede. Os pontos de intersecção de tais elementos
recebem o nome de nós.
A precisão dos resultados, bem como a capacidade de processamento do programa
computacional utilizado, influenciam no dimensionamento da rede de elementos finitos.
Quanto maior a precisão exigida, mais elementos finitos serão necessários, sendo a
quantidade de elementos limitada pela capacidade de processamento em questão.
A formulação do método está baseada num funcional de energia, no presente trabalho
o princípio dos trabalhos virtuais para a mecânica dos sólidos deformáveis, bem como pela
forma variacional direta do método de Rayleight-Ritz ou através do Método de Galerkin.
2.3. Princípio dos Trabalhos Virtuais
A formulação numérica das equações do método dos elementos finitos, para o presente
trabalho, está fundamentada no Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV).
O PTV para corpos deformáveis enuncia que se um sistema estrutural em equilíbrio
for submetido a um campo de deslocamentos virtuais cinematicamente admissível (ou seja,
compatível com as vinculações do sistema e mantendo a continuidade interna) o trabalho
virtual das forças que sobre ele atuam (forças externas) é igual ao trabalho virtual das forças
internas. Assim:
𝛿𝑤𝑒 = 𝛿𝑤𝑖 ( 2.2 )
Onde 𝛿we representa o trabalho virtual devido às forças externas, e δwi representa o
trabalho virtual devido às forças internas.
De forma geral, para um sólido qualquer no espaço definido pelas coordenadas
cartesianas x, y, e z, os trabalhos virtuais externo e interno são dados pelas seguintes
expressões:
𝛿𝑤𝑒 = ∫ (𝜌𝑥𝛿𝑢 +𝑆
𝜌𝑦𝛿𝑣 + 𝜌𝑧𝛿𝑤)𝑑𝑆 + ∫ (𝐵𝑥𝛿𝑢 + 𝐵𝑦𝛿𝑣 + 𝐵𝑧𝛿𝑤)𝑉
𝑑𝑉 ( 2.3 )
)
5
𝛿𝑤𝑖 = ∫ (𝜎𝑥𝛿휀𝑥 + 𝜎𝑦𝛿휀𝑦 + 𝜎𝑧𝛿휀𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛿𝛾𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛿𝛾𝑦𝑧)𝑑𝑉𝑉
onde:
ρx, ρy, ρz – componentes das forças de superfície que atuam na região de contorno do
sólido onde são prescritas forças;
Bx, By, Bz – componentes das forças de volume (peso próprio, por exemplo);
σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz – componentes de tensão;
δu, δv, δw – variações das componentes de deslocamento (u, v, w) segundo x, y, z;
δεx, δεy, δεz, δγxy, δγxz, δγyz – variações das componentes de deformação.
As relações deformação-deslocamento fornecem:
𝛿휀𝑥 = 𝛿 (𝜕𝑢
𝜕𝑥)
𝛿휀𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑣
𝜕𝑦)
𝛿휀𝑧 = 𝛿 (𝜕𝑤
𝜕𝑧)
𝛿𝛾𝑥𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑣
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝑦)
𝛿𝛾𝑥𝑧 = 𝛿 (𝜕𝑤
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝑧)
𝛿𝛾𝑦𝑧 = 𝛿 (𝜕𝑤
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝑧)
Tais equações serão reajustadas, atendendo ao sistema de coordenadas adotado, bem
como às hipóteses simplificadoras e às solicitações consideradas no modelo.
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1. Formulação numérica
A modelagem numérica foi desenvolvida através do método dos elementos finitos
(MEF), baseado no princípio dos trabalhos virtuais (PTV), considerando um elemento
retilíneo representado na figura 3.1. Dessa forma, a formulação para o sistema estrutural do
presente trabalho consiste na utilização de um elemento finito unidimensional (devido às
características axissimétricas) composto por dois nós, com dois graus de liberdade cada,
sendo eles o deslocamento perpendicular ao eixo radial da placa (v) e a rotação (θ) que
compreende o ângulo entre o eixo radial da placa e a tangente à curva de deflexão.
( 2.4 )
)
( 2.3 )
)
6
Figura 3.1 – Elemento finito genérico.
Fonte: Autoria própria
3.2. Hipóteses básicas:
1 – Admite-se que a placa em estudo é delgada e com comportamento linear físico e
geométrico;
2 – Linhas retas, normais à superfície média antes da deformação, permanecem retas,
normais à superfície média e inalteradas em seu comprimento após a deformação (hipótese de
Kirchhoff).
3 – A tensão normal σz (na direção normal à superfície média) é pequena em relação
às demais tensões normais e pode ser desprezada.
3.3. Relação tensão-deslocamento
As componentes de tensão na placa, σr e σ, são dadas por:
𝜎𝑟 =𝐸
1−𝜈2(휀𝑟 + 𝜈휀𝜃)
𝜎𝜃 =𝐸
1 − 𝜈2(휀𝜃 + 𝜈휀𝑟)
E, por definição, os esforços solicitantes, por unidade de comprimento, são descritos
da seguinte forma:
𝑁𝑟 = ∫ 𝜎𝑟𝑑𝑧
ℎ
2
−ℎ
2
𝑁𝜃 = ∫ 𝜎𝜃𝑑𝑧ℎ
2−ℎ
2
𝑀𝑟 = ∫ 𝜎𝑟𝑧𝑑𝑧
ℎ
2
−ℎ
2
𝑀𝜃 = ∫ 𝜎𝜃𝑧𝑑𝑧
ℎ
2
−ℎ
2
( 3.2 )
( 3.1 )
7
3.4. Relação deformação-deslocamento
Utilizando-se da hipótese de Kirchoff (exclui as componentes de deformação
referentes ao cisalhamento) e considerando o elemento retilíneo, tem-se as componentes de
deformação εr e ε:
휀𝑟 =𝑑𝑢
𝑑𝑟− 𝑧
𝑑2𝑣
𝑑𝑟2
휀𝜃 =𝑢
𝑟−𝑧
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟
3.5. Relação esforços-deslocamento
Substituindo (3.3) em (3.1) obtém-se o valor das tensões em função dos
deslocamentos, que podem ser substituídos em (3.2), resultando na relação entre esforços
solicitantes e deslocamentos, conforme ilustrado a seguir:
𝑁𝑟 = 𝐶 (𝑑𝑢
𝑑𝑟+ 𝜈
𝑢
𝑟)
𝑁𝜃 = 𝐶 (𝑢
𝑟+ 𝜈
𝑑𝑢
𝑑𝑟)
𝑀𝑟 = −𝐷 (𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+𝜈
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟)
𝑀𝜃 = −𝐷(𝜈𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+1
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟)
Sendo C e D as rigidezes extensional e flexional, respectivamente, definidas por:
𝐶 =𝐸ℎ
1−𝜈2
𝐷 =𝐸ℎ3
12(1 − 𝜈2)
3.6. Trabalho virtual interno
O trabalho virtual interno δwi, quando relacionado ao sistema de coordenadas polares
e com os parâmetros em função desse sistema de coordenadas, apresenta a seguinte
expressão:
𝛿𝑤𝑖 = ∫ (𝜎𝑟𝛿휀𝑟 + 𝜎𝜃𝛿휀𝜃)𝑑𝑉𝑉 ( 3.6 )
Tomando a espessura da placa h, adotando dV=rdrdzd e integrando em de 0 a 2π
(uma revolução), temos que:
𝛿𝑤𝑖 = 2𝜋 ∫ ∫ (𝜎𝑟𝛿휀𝑟 + 𝜎𝜃𝛿휀𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝑧ℎ
2−ℎ
2𝑙
( 3.7 )
( 3.5 )
( 3. 3 )
( 3.4 )
8
Dessa forma, substituindo (3.2), (3.3) e (3.4) em (3.7), o trabalho virtual interno pode
ser escrito em função dos deslocamentos:
𝛿𝑤𝑖 = 2𝜋 ∫ {𝐶 [(𝑟𝑑𝑈
𝑑𝑟+ 𝜈𝑈)
𝛿𝑑𝑈
𝑑𝑟+ (𝜈
𝑑𝑈
𝑑𝑟+𝑈
𝑟) 𝛿𝑈] + 𝐷 [(𝑟
𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+ 𝜈
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+
𝑙
(𝜈𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+1
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑𝑣
𝑑𝑟]} 𝑑𝑟 ( 3.8 )
3.7. Trabalho virtual externo:
O trabalho virtual externo δwe, quando relacionado ao sistema de coordenadas polares,
assim como às solicitações expostas na figura (3.1) e às hipóteses simplificadoras, apresenta a
seguinte expressão:
𝛿𝑤𝑒 = 2𝜋 [∫ (𝑞𝑠𝛿𝑈 + 𝑞𝑡𝛿𝑣)𝑟𝑑𝑟𝑙+ 𝑟 (𝑁𝛿𝑈 + 𝑄𝛿𝑣 +𝑀
𝛿𝑑𝑣
𝑑𝑟)| 𝑎0] ( 3.9 )
Figura 3.1 – Solicitações externas.
Fonte: Autoria própria
3.8. Simplificação do problema
Nos modelos adotados, a placa não sofre a ação de solicitações axiais ao raio, o que
possibilita a simplificação das equações de trabalho virtual, desprezando as parcelas
correspondentes a tais esforços solicitantes.
Referente ao trabalho virtual interno, todas as parcelas associadas ao deslocamento
radial u, podem ser desprezadas, uma vez que tal deslocamento ocorre devido à solicitação
externa nessa mesma direção. Assim,
𝛿𝑤𝑖 = 2𝜋 ∫ 𝐷 [(𝑟𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+ 𝜈
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+ (𝜈
𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+1
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑𝑣
𝑑𝑟]
𝑙𝑑𝑟 ( 3.10 )
Analogamente, o trabalho virtual externo pode ser escrito da seguinte maneira:
𝛿𝑤𝑒 = 2𝜋 (∫ 𝑞𝑡𝛿𝑣𝑟𝑑𝑟𝑙) ( 3.11 )
Onde:
qt corresponde à taxa de carregamento transversal à superfície média da placa;
9
Com isso, aplicando-se o princípio dos trabalhos virtuais, obtém-se a seguinte equação:
∫ 𝐷 [(𝑟𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+ 𝜈
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+ (𝜈
𝑑2𝑣
𝑑𝑟2+1
𝑟
𝑑𝑣
𝑑𝑟)𝛿𝑑𝑣
𝑑𝑟]
𝑙𝑑𝑟 = (∫ 𝑞𝑡𝛿𝑣𝑟𝑑𝑟𝑙
) ( 3.12 )
3.9. Funções de deslocamento
A função de deslocamento é aproximada, para cada elemento finito, por funções ditas
de forma, polinomiais ao longo do raio, denominadas 𝑣, que dependem dos deslocamentos
nodais dos elementos.
Dessa forma, baseado em Araújo (2015), a função de forma polinomial deve
apresentar um grau de liberdade inferior ou igual ao número de graus de liberdade presente no
elemento finito, facilitando a convergência dos resultados do MEF. Deste modo, adota-se uma
função do tipo cúbica para a função aproximada 𝑣.
𝑣 = ∅1(𝑟)𝑣1 + ∅2(𝑟)𝜃1 + ∅3(𝑟)𝑣2 + ∅4(𝑟)𝜃2 ( 3.13 )
Onde,
Φ representa a função de forma, descrita por:
∅𝑖 = 𝑎𝑖𝑟3 + 𝑏𝑖𝑟
2 + 𝑐𝑖𝑟 + 𝑑𝑖 ( 3.14 )
Sendo ai, bi, ci, e di constantes determinadas para um elemento finito bi-engastado, com nó
inicial em uma coordenada ro e nó final em ro+λ (λ corresponde ao comprimento do elemento
finito);
v1 é o deslocamento transversal do nó inicial do elemento finito;
1 é a rotação do nó inicial do elemento finito;
v2 é o deslocamento transversal do nó final do elemento finito;
2 é a rotação do nó final do elemento finito;
A formulação do problema visa reescrever a equação (3.12) em forma matricial, a
partir das funções de forma, descritas em (3.14), resultando em:
[𝑘]{𝑣} = {𝑓} (3.15)
Sendo que:
k representa a matriz de rigidez local da estrutura;
v representa o vetor local dos deslocamentos e rotações da estrutura;
f representa o vetor local com dos termos independentes da estrutura.
Para que isso ocorra, as funções aproximativas de deslocamento, e suas respectivas
derivadas, devem ser representadas em função de um parâmetro nodal constante
(deslocamento nodal) associado a uma função de forma:
𝑑𝑣
𝑑𝑟= ∑𝑣𝑖
𝑑∅
𝑑𝑟𝑖; 𝑑2𝑣
𝑑𝑟2= ∑𝑣𝑖
𝑑2∅
𝑑𝑟2𝑖; 𝛿𝑣 = ∑𝛾𝑗∅𝑗;
𝛿𝑑𝑣
𝑑𝑟= ∑𝛾𝑗
𝑑∅
𝑑𝑟𝑗; 𝛿𝑑2𝑣
𝑑𝑟2= ∑𝛾𝑗
𝑑2∅
𝑑𝑟2𝑗
10
Dessa maneira, fazendo-se as devidas considerações, obtém-se a seguinte equação
advinda de (3.12):
∑{𝐷 ∫ [(𝑟𝑑2∅
𝑑𝑟2𝑖+ 𝜈
𝑑∅
𝑑𝑟𝑖)𝑑2∅
𝑑𝑟2𝑗+ (𝜈
𝑑2∅
𝑑𝑟2𝑖+1
𝑟
𝑑∅
𝑑𝑟𝑖)𝑑∅
𝑑𝑟𝑗] 𝑑𝑟
𝑙}
⏟ [𝑘]
𝑣𝑖𝑒⏟{𝑣}
= ∫ 𝑞∅𝑗𝑟𝑑𝑟𝑙⏟ {𝑓}
( 3.16 )
A partir da equação acima, a determinação dos elementos da matriz de rigidez e do
vetor de forças é realizado, para cada elemento finito, ao longo do seu comprimento λ,
levando-se em consideração a integração partindo de um raio inicial pequeno, designado ro, já
que, ao centro, a função torna-se indeterminada. Não serão descritos os elementos que
compõem a matriz e o vetor, uma vez que as expressões resultam muito extensas.
3.10. Parâmetros e sistema de equações globais
Uma vez obtidos os parâmetros locais da matriz de rigidez e o vetor de termos
independentes, parte-se para a determinação dos parâmetros globais da estrutura, através da
superposição das contribuições de cada elemento, conforme ilustrado a seguir:
Figura 3.2 – Representação esquemática do sistema de equações.
Fonte: Autoria própria
Com isso, conhecendo a matriz de rigidez global K e o vetor de termos independentes
F, os parâmetros nodais podem ser determinados através da resolução do sistema linear de
equações. A sua resolução é feita por meio do método de Gauss, impondo-se, anteriormente,
as devidas condições de contorno cinemáticas no sistema que dependem do tipo de vinculação
da estrutura.
Para a determinação dos esforços internos, utiliza-se a equação (3.4) referente ao
momento fletor radial, Mr, e angular, Mθ, por meio de resolução numérica de derivadas
(Diferença Finita). Além disso, considera-se a primeira derivada do deslocamento igual à
rotação.
11
Raio = 1 m;
10 divisões no
comprimento;
q = 1000 N/m2;
Espessura da placa:
0,01m
E = 210 GPa
3.11. Representação do erro
O erro de uma solução numérica pode ser representado de maneira exata, caso haja
solução analítica para tal. Deste modo, utilizando a solução analítica para este modelo de
placas, pode-se determiná-lo através do erro relativo ou absoluto.
No presente trabalho, optou-se pelo emprego do erro relativo através da porcentagem, como
indicado na equação (3.18), cujo valor de a representa o deslocamento ou esforço analíticos e
numéricos obtidos.
𝐸𝑟𝑒𝑙(%) = (|𝑎𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜−𝑎𝑀𝐸𝐹|
𝑎𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜) 𝑥100 ( 3.18 )
3.12. Código computacional
Com base na formulação numérica apresentada anteriormente, pôde-se implementar
um código computacional baseado na linguagem de programação FORTRAN 95.
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Serão apresentados três exemplos utilizando uma seção de placa constituída por um
material homogêneo, isotrópico, próximo às características do aço, alterando, entre eles, as
condições de vinculação (placa circular com borda simplesmente apoiada ou engastada), e
presença ou não de furo, obtendo, assim, os valores de deslocamento e esforços nodais.
4.1. Placa apoiada, sem furo, com carregamento superficial uniformemente
distribuído
Para este modelo, foi aplicada a placa indicada na Figura (4.1), cujas condições de
vinculação consideradas são as de rotação nula no centro (proveniente da axissimetria do
sistema), e de deslocamento nulo na borda apoiada.
Figura 4.1 – Placa simplesmente apoiada
FONTE: Autoria própria
12
De início, foi aplicado um número total de dois elementos, obtendo-se, para o
deslocamento máximo, um erro percentual relativo ao modelo teórico bastante pequeno, na
ordem de 0,12%, porém, optou-se por construir a curva de deflexão com o total de dez
elementos finitos, o que permitiu um melhor traçado da linha de deflexão.
Para o caso da determinação dos esforços internos, fez-se necessária a divisão em cem
elementos, uma vez que para dez, o erro relativo se mostrou bastante elevado. Dessa forma, as
Tabelas (4.1) e (4.2) expõem o resultados analítico e numérico para deslocamentos e esforços,
além do erro relativo para ambos.
Tabela 4.1 – Resultados obtidos de deslocamento para placa simplesmente apoiada.
Raio (m) vanalítico (m) vMEF (m) Erel (%)
0,00 3,3125x10-03 3,3125x10-03 3,0189x10-04
FONTE: Autoria própria
Tabela 4.2 – Resultados obtidos de esforços internos para placa simplesmente apoiada.
Raio
(m)
Mr teórico
(Nm/m)
Mr MEF
(Nm/m)
Erel (%) Mθteórico
(Nm/m)
MθMEF
(Nm/m) Erel (%)
0,00 206,25 206,20 2,61x10-02 206,25 206,22 1,34x10-02
1,00 0,00 1,87 - 87,5 88,1 6,36x10-01
FONTE: Autoria própria
Os resultados referentes à comparação entre os deslocamentos numéricos e analíticos
encontram-se descritos no gráfico 4.1, onde, pelo MEF chega-se a um valor máximo de
deslocamento ocorrente no centro da placa, coincidindo com o encontrado através da análise
analítica, correspondente a 3,3125x10-03m.
Gráfico 4.1 – Comparação dos resultados analítico e numérico para a deflexão do exemplo 4.1
FONTE: Autoria própria
0,00E+00
5,00E-04
1,00E-03
1,50E-03
2,00E-03
2,50E-03
3,00E-03
3,50E-03
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Des
loca
men
to (
m)
Raio (m)
Teórico MEF
13
Raio = 1 m;
10 divisões no
comprimento;
q = 1000 N/m2;
Espessura da placa:
0,01m
E = 210 GPa
A seguir, os diagramas de momentos fletores radial e angular são apresentados nos
Gráficos 4.2 e 4.3, respectivamente.
Gráfico 4.2 – Comparação dos resultados analítico e numérico para o momento fletor radial
FONTE: Autoria própria
Gráfico 4.3 – Comparação dos resultados analítico e numérico para o momento fletor angular
FONTE: Autoria própria
4.2. Placa engastada, sem furo, com carregamento superficial uniformemente
distribuído
Figura 4.2 – Placa engastada
FONTE: Autoria própria
0
50
100
150
200
250
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Mo
men
to M
r (N
m/m
)
Raio (m)
Mr teórico Mr MEF
0
50
100
150
200
250
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Mo
men
to M
teta
(N
m/m
)
Raio (m)
Mteta teórico Mteta MEF
14
Neste modelo, representado na Figura (4.2), assim como no Exemplo (4.1), utilizou-
se, inicialmente, duas divisões do domínio, resultando numa convergência com erro relativo
de 0,49% para o deslocamento máximo.
Contudo, pelo mesmo motivo do exemplo anterior, a curva foi traçada para dez
elementos finitos, cujos resultados são mostrados na seguinte tabela:
Tabela 4.3 – Resultados obtidos de deslocamento para placa engastada.
Raio (m) vanalítico (m) vMEF (m) Erel (%)
0,0000 8,1250x10-04 8,1251x10-04 1,1323x10-03
FONTE: Autoria própria
Os resultados para os esforços deste exemplo são obtidos mediante divisão do domínio
em cem elementos finitos, pela mesma razão do exemplo anterior. Na Tabela 4.4, pode-se
observar os resultados alcançados relativos aos esforços internos.
Tabela 4.4 – Resultados obtidos de esforços internos para placa simplesmente apoiada.
Raio
(m)
Mr teórico
(Nm/m)
Mr MEF
(Nm/m)
Erel (%) Mθteórico
(Nm/m)
MθMEF
(Nm/m) Erel (%)
0,00 81,25 81,20 6,15x10-02 81,25 81,23 2,44x10-02
1,00 -125,00 -123,13 1,50 -37,5 -36,94 1,50
FONTE: Autoria própria
De acordo com o exposto, o Gráfico (4.4) mostra o comportamento da linha de
deflexão da placa, verificando-se máximo deslocamento no centro da estrutura, e uma
diminuição do erro relativo, com o aumento do número de elementos finitos.
Gráfico 4.4 – Comparação dos resultados analítico e numérico para o exemplo 4.2
FONTE: Autoria própria
0,00E+00
2,00E-04
4,00E-04
6,00E-04
8,00E-04
1,00E-03
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Des
loca
men
to (
m)
Raio (m)
Analítico MEF
15
Os diagramas de momentos fletores radial e angular são apresentados nos Gráficos 4.5
e 4.6, respectivamente.
Gráfico 4.5 – Comparação dos resultados analítico e numérico para o momento fletor radial
FONTE: Autoria própria
Gráfico 4.6 – Comparação dos resultados analítico e numérico para o momento fletor angular
FONTE: Autoria própria
4.3. Placa engastada, com furo, com carregamento superficial uniformemente
distribuído
Para este caso, adota-se um furo de raio b na placa, cujo engastamento está presente no
lado interno, conforme Figura (4.3).
Figura 4.3 – Placa engastada com furo
FONTE: Autoria própria
-150
-100
-50
0
50
100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Mo
men
to M
r (N
m/m
)
Raio (m)
Mr Teórico Mr MEF
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Mo
men
to M
teta
(N
m/m
)
Raio (m)
Mteta teórico Mteta MEF
16
Raio = 4 m;
Raio do furo= 2 m;
10 divisões no comprimento;
q = 1000 N/m2;
Espessura da placa: 0,01m;
E = 210 GPa.
Para efeito de comparação, utiliza-se o estudo de Taborda e Villaça (1998) - onde é
determinado o máximo valor de deslocamento, na extremidade da placa - uma vez que o
resultado analítico para esta situação é de difícil resolução.
Dessa forma, empregando-se um conjunto de dez elementos finitos, mantendo, assim,
o padrão dos exemplos anteriores, os resultados obtidos são agrupados na Tabela (4.5):
Tabela 4.5 – Resultados obtidos para placa engastada com furo.
Raio (m) VTaborda (m) vMEF (m) Erel (%)
4,0000 1,1435x10-01 1,1433x10-01 1,3439x10-02
FONTE: Autoria própria
De acordo com o comportamento da linha elástica desempenhada no Gráfico
(4.7), observa-se um deslocamento máximo na extremidade da placa, e mínimo no
engaste, onde se verifica, também, rotação nula, conforme esperado.
Gráfico 4.7 – Resultado numérico para o exemplo 4.3
FONTE: Autoria própria
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
1,20E-01
1,40E-01
2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4
Des
loca
men
to (
m)
Raio (m)
MEF
17
5. CONCLUSÃO
A partir dos resultados obtidos neste trabalho, observa-se que o código computacional
elaborado em linguagem FORTRAN95, utilizando a formulação do Método dos Elementos
Finitos, apresenta bom desempenho quando comparado à teoria das placas com simetria de
revolução.
Com o aumento da rede de elementos finitos, observa-se um aumento na precisão dos
resultados, embora que, para uma pequena rede, os resultados já sejam satisfatórios.
O refinamento maior da malha para a determinação do momento fletor no centro da
placa se justifica pelo fato de esse ser um ponto de difícil representação, uma vez que a
coordenada radial assume valor nulo e as expressões dos momentos apresentarem termos com
o fator 1
𝑟, de difícil aferição numérica.
Dessa forma, percebe-se que o uso dos métodos numéricos, em especial o MEF, é uma
saída que pode substituir o emprego de teorias de elevada complexidade, contudo, com a
cautela de discretizá-lo corretamente, levando em consideração os ajustes necessários, para,
assim, obter os mais precisos resultados.
Como sugestões de continuidade do trabalho realizado, apresentamos a análise de
linhas de influência pela ação de uma carga concentrada no centro da placa, bem como
carregamento em anel. Além disso, sugerimos o emprego de cargas dinâmicas na formulação
do modelo.
6. REFERÊNCIAS
ARAÚJO, F. A. Notas de aula da disciplina Introdução ao Método dos Elementos
Finitos. Natal, 2015.
ASSAN, A. E. Métodos dos Elementos Finitos: Primeiros Passos – 2ª Ed. – Campinas:
Editora da Unicamp, 2003.
AZEVEDO, A. F. M. Método dos Elementos Finitos. Porto, 2003.
BEZERRA, P. H. A. Análise de Estruturas de Superfície Delgadas Axissimétricas via
Método dos Elementos Finitos com Utilização de Elemento Retilíneo. Natal, 2013.
MITTELBACH, F. R. Método das Diferenças Finitas Energéticas na Análise de
Reservatórios Cilíndricos. Rio de Janeiro, 2002.
MITTELBACH, F. R. Notas de aula – Princípio dos Trabalhos Virtuais. Natal, 2013.
RODRIGUES, C. Y. C. Análise de Estruturas Axissimétricas. Lisboa, 2009.
18
SORIANO, H. L. Método de Elementos Finitos em Análise de Estruturas. São Paulo:
Editora da Universidade de São Paulo, 2003.
TABORDA, L. F.; VILLAÇA, S. F. Notas de aula - Teoria das Placas. Rio de Janeiro,
1998.
TIMOSHENKO, S. P., WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of Plates and Shells - 2ª ed. -
New York: McGraw-Hill, 1959.
VICENTE, W. M. Análise de Tensões em Placas Circulares Utilizando Elementos Finitos
Axissimétricos. Itajubá, 2009
