Análise de ProjectosESAPL / IPVC

Tempo, Capital, Juro e Taxa de JuroJuros Simples e Juros Compostos

Capitalização e Factor de CapitalizaçãoDesconto e Factor de Actualização

As aplicações do rendimento

Rendimento Individual

Consumo

Poupança

Entesouramento

Investimento

Não Geram Rendimentos

Geram Rendimentos

Que conceito de Capital ?Vimos anteriormente que do conceito de Capital se podem ter várias ópticas, nomeadamente:

JurídicaFinanceiraEconómica ou Produtiva

Ainda que para os objectivos da disciplina a óptica mais importante seja a económica ou produtiva, no âmbito deste capítulo interessa-nos a óptica financeira.Capital será aqui, então, todo o conjunto de meios líquidos, cedidos durante um determinado espaço de tempo, produzindo uma certa remuneração para o seu possuidor ou proprietário.Transitoriamente é esta a noção de capital que nos interessa, ou seja, vista na perspectiva das aplicações dos rendimentos individuais, interessa-nos a poupança que é aplicada e que assim se torna produtiva (sob o ponto de vista financeiro).

TempoO tempo refere-se ao prazo durante o qual o capital é aplicado.Devemos analisá-lo numa base periódica, ou seja, sob um ponto de vista parcelar, dividido em espaços de tempo mais curtos ou mais longos – os espaços aos quais é referida a remuneração do capital.Cada um destes espaços é considerado como uma unidade de tempo e denomina-se período. Teremos pois períodos anuais, semestrais, trimestrais, etc.

Juro

O juro não é mais que a remuneração recebida, em contrapartida da cedência do capital.No fundo, é o preço de uso, temporário ou definitivo, do capital alheio.Representa o montante de valores líquidos criados por um dado capital.Na prática: dinheiro gera dinheiro.

Taxa de Juro

Considere-se um capital C aplicado num dado momento t;Ao fim de um período, no espaço que vai de t a t+1, esse capital vence juros (J);Esse juro faz com que o capital C sofra um acréscimo e se transforme, no momento t+1, em C+J.C+J é superior a C, uma vez que J>0.

t t + 1 … t + n

C C + J

t t + 1 … t + n

1 1 + i

Se considerarmos C=1, ao acréscimo de valor i que vai transformar o capital unitário inicial no capital 1+i, chamamos de Taxa de Juro. Ela é portanto o acréscimo sofrido por uma unidade de capital, aplicada durante uma unidade de tempo.

Taxa de Juro e CapitalizaçãoNa prática, a taxa de juro costuma ser referida a 100 unidades de capital, visto ser usual apresentá-la na forma de uma percentagem.Assim, dizer que uma taxa de juro é de 5% ao anosignifica que durante um ano 100 unidades de capital produzem 5 unidades do mesmo, sob a forma de juro.Note-se portanto que Juro e Taxa de Juro são conceitos distintos.O vencimento de juros, ou seja, o incremento do valor dum capital à medida que o tempo vai decorrendo, representa a Capitalização. A capitalização consiste assim num processo de acumulação de capital ou de produção de juros.

Desconto e Taxa de DescontoO desconto é o fenómeno inverso da capitalização e corresponde a uma redução do valor do capital durante um determinado espaço de tempo.Considerando o capital (C) no momento t, o desconto (D) constitui a redução desse capital durante o período compreendido entre t-1 e t.O desconto transforma o capital (C) referido a um dado momento t, num capital inferior (C-D), referido a um momento anterior ao dado (t-1). Note-se que D>0.

t t + 1 … t + n

C C + J

t - 1

C - D

À semelhança da taxa de juro, pode-se definir Taxa de Desconto (d) como sendo a redução sofrida por uma unidade de capital descontada durante uma unidade de tempo. Adiante veremos a extrema importância deste conceito na análise de investimentos

t t + 1 … t + n

1 1 + i

t - 1

1 - d

Valor Actual e Valor Acumulado

Considerando o momento 0 como o momento de referência (representando a data em que nos situamos para efeitos de cálculos) na contagem do tempo. Aí, o capital tem o valor C0.O capital C0 no decurso do tempo irá transformar-se no capital Ct que corresponderáao seu valor inicial acrescido do juro vencido no espaço de tempo entre 0 e t.Diz-se que Ct é o valor acumulado ou capitalizado de C0 no momento t.Diz-se que C0 é o valor actual, actualizado ou descontado no momento 0 do capital Ct.Normalmente designa-se por valor actual o valor do capital no momento de referência. Em contrapartida, o valor acumulado ou capitalizado será o valor dum capital num momento posterior ao momento de referência. Inversamente teremos o valor descontado.

0 t … t + n

C0Ct

C0

Jt

Regimes de CapitalizaçãoEntende-se por regime de capitalização o processo pelo qual se vai fazer a liquidação dos juros do capital aplicado.Os juros produzidos dependem de dois factores: eles são função do tempo e são função do capital.Esta ligação tempo / capital é responsável pela distinção entre dois processos de capitalização:

Um primeiro processo que pressupõe que o juro é dado apenas em função do tempo, isto é, para o mesmo capital inicial é constante o juro produzido em cada unidade de tempo: estamos perante o regime de juro simples;Um segundo processo que pressupõe que o juro é dado em função do tempo e do capital, ou seja, além do capital inicial o juro vencido em cada unidade de tempo passa imediatamente a vencer juros nas unidades de tempo posteriores: estamos perante o regime de juro composto.

Regime de Juro Simples

Os juros são excluídos do processo de capitalização após o vencimento.O capital que vence juros mantém-se constante.

0 … t

C0 C0

1

C0

2

C0

3

C0

j1 j2 j3 jt

Capital a vencer juros

Juros vencidos

tempo

Regime de Juro Composto

Os juros vencidos em cada momento são imediatamente incorporados no processo de capitalização.C1=C0+j1; C2=C1+j2; C3=C2+j3 … Ct=Ct-1+jt

0 … t

C0 Ct

1

C1

2

C2

3

C3

j1 j2 j3 jt

Capital a vencer juros

Juros vencidos

tempo

Juro SimplesNeste regime de juros, sendo constante o capital no início de cada período, é também constante o juro vencido em cada período.Como referimos, isto ocorre porque o juro vencido sai do processo de capitalização.Há portanto uma proporcionalidade directa entre o juro de qualquer período (j0) e o capital inicial (C0). É constante a relação j0/C0, qualquer que seja o período.Seja:

C0 =1t = 1j0 = juro produzido

Então j0=i ou j0/1=i. Mas como C0=1, podemos escrever

Neste caso, e como havíamos visto anteriormente, por definição j0=i (taxa de juro).

expressão que nos permite calcular, em regime de juro simples, a taxa de juro em função do capital e do juro periódico.

iCj

=0

0

Da expressão anterior podemos deduzir que:

Facilmente se depreende que o juro vencido durante t unidades de tempo será dado por:

Juro Simples (contin.)

iCj 00 =expressão que nos permite calcular o juro periódico vencido pelo capital C0 aplicado em regime de juro simples, à taxa de juro i.

tJjtiCtjt == 000 fazendo ou,

iCtJt 0= expressão do juro vencido durante t períodos, pelo capital C0 , à taxa de juro i.

Admitamos que o capital C0 foi aplicado no momento 0, em regime de juro simples, durante o prazo t e vencendo juros à taxa i:

Juro Simples (contin.)

que mesmo o é que oou

que temos

como mas

é isto )1(

322

C

0

00

00

000001

00000323

00000212

00101

iCtCC

iCtJjt

jtCC

jtCjjtCjCC

jCjjCjCCjCjjCjCC

jCjC

ot

t

t

ttt

+=

==

+=

+=+−+=+=

+=++=+=+=++=+=

+=+=

−

L

L Aquele capital vai sofrendo incrementos sucessivos de valor, à medida que os juros se vão vencendo. Não esqueçamos contudo que esses juros não entram no cálculo dos juros dos períodos subsequentes.

( )tiCCt 10 +=Fórmula geral de capitalização em regime de juros simples que permite relacionar o capital no momento 0 com o capital no momento t.

É possível provar que Jt = Ct – C0

Juro Simples (contin.)

0CCJ tt −=

Outras expressões interessantes:

tiCC t

10 +=

0

0

CtCCi t −=

0 CtJi t=

0

0

CiCCt t −=

0 CiJt t=

ou : dosubstituin

) 1( como mas , verdadena

0

000

0

tt

t

t

JCCiCtCitCC

iCtJ

+=+=+=

=

Juro CompostoAo contrário do que acontece em regime de juro simples, o juro produzido em cada período de capitalização não é constante.O juro vencido é integrado de forma contínua no processo de capitalização, tornando-se portanto crescente. O juro vencido num período também vence juro nos períodos seguintes.Admita-se que foi aplicado, em regime de juro composto, o capital C0 à taxa de juro i:

( ) tt iCC 10 +=

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ttttt iCiCjCC

iCiCjCC

iCiCjCC

iCiCCjCC

11

11

11

1

011

302323

201212

000101

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

+=+=+=

−−

L

Representa a fórmula geral de capitalização em regime de juro composto. Na sua forma directa permite calcular o capital acumulado em função do capital inicial, da taxa e do tempo.

Juro Simples vs. CompostoSão iguais os juros produzidos ao fim do primeiro período da taxa, em ambos os regimes de capitalização.Para aplicações em períodos inferiores ao da taxa, é superior o juro vencido em regime de juro simples.Para aplicações em períodos superiores ao da taxa é superior o juro vencido em regime de juro composto.

Capital acumulado – J. composto

Capital acumulado – J. simples

Capital inicial

1 2 tempo

C0

C1

0

Juro Composto (contin.)Outras expressões interessantes e úteis:

( )[ ] 1 1 0 −+= tt iCJ Expressão que permite determinar o juro acumulado, ou o juro

de t períodos em função do capital inicial e da taxa.

( ) iiCj tt 1 1

0 ⋅+= − Expressão que permite determinar o juro vencido no t-ésimo período.

( ) ( ) ( ) ttttt

t iCi

Ci

CC −+=+

=+

= 1 1

1 10

Expressão que permite calcular o capital inicial em função do capital acumulado ao fim de t períodos e da taxa de juro. Trata-se no fundo de calcular o valor actual de uma quantia futura (ao fim do tempo t) a uma determinada taxa de juro. Trata-se também, como antes se referiu, de calcular o valor descontado ou actualizado de um montante futuro.

Relação com a Análise de Investimentos

Como já referimos antes, os projectos objecto de investimento devem obedecer ao princípio económico que se traduz no máximo rendimento com o mínimo custo.Para isso é preciso um estudo prévio que consiste em determinar se a corrente de entradas (benefícios ou receitas) é superior à corrente de saídas (custos ou pagamentos). A assim não ser, o projecto deve ser rejeitado. Não esqueçamos que aqui estamos a assumir que os projectos são realizados com fins lucrativos.Normalmente, na execução de um projecto de investimento, a corrente de entradas produz-se em momentos de tempo distintos da corrente de saídas.Admitindo que A é o investimento inicial, C1, C2, C3, …, Cn são as saídas e B1, B2, B3, …, Bn são as entradas e n o período de vida do projecto, teremos então:

A

C1

C2 C3

Cn

B1B2 B3 Bn

t0 1 2 3

Mas o dinheiro tem um valor que é variável com o tempo:

Um Euro na mão hoje, vale mais que um Euro a ser recebido em qualquer momento no futuro.

Razões:

Porque esse Euro na mão tem, desde já, usos alternativos: consumo agora versus consumo mais tarde; oportunidades de poupança e de investimento, etc.Porque vivemos num mundo onde há risco e incerteza e, particularmente quando falamos de investimento, o risco e a incerteza aumentam à medida que o futuro se torna mais distante.Porque vivemos num mundo onde há inflação: muito provavelmente, o Euro de hoje tem maior poder de compra que o Euro do futuro.

Relação com a Análise de Investimentos (contin.)

Por conseguinte, não é igual que uma mesma quantidade de dinheiro esteja disponível ou tenha de ser paga numa data ou noutra.Para que isso seja possível, teremos de transformar essas quantidades em quantidades equivalentes. Teremos de as homogeneizar.Uma vez feito isso, será então possível fazer o estudo da rentabilidade de um projecto.Os procedimentos a seguir para conseguir esta homogeneização são precisamente os anteriormente estudados:

Os montantes presentes ou actuais podem ser projectados num determinado momento no futuro através do processo de capitalização, multiplicando-os pelo chamado Factor de Capitalização (FC):

A transformação de valores futuros em quantidades equivalentes no presente pode fazer-se mediante o processo de actualização, multiplicando-os pelo chamado Factor de Desconto (FD) ou factor de actualização:

Relação com a Análise de Investimentos (contin.)

niFC )1( +=

nn

ii

FD −+=+

= )1()1(

1

O significado da taxa iA taxa i incluída nos factores de capitalização e de desconto não tem agora que representar apenas uma taxa de juro, como tínhamos visto até aqui.A taxa i representa agora respectivamente a taxa de capitalização e a taxa de actualização ou desconto desejada para o projecto de investimento em causa.Ela deve portanto reflectir:

O Custo de Oportunidade do capital;A remuneração pretendida para o capital empregue;O risco associado ao investimento realizado;A inflação prevista para o período de vida do projecto;Etc.

O uso de Tabelas FinanceirasOs cálculos necessários à determinação de valores futuros ou de valores actuais (capitalização e actualização ou desconto) de um qualquer montante de capital, ao fim de um determinado período de tempo, podem ser facilmente realizados com o auxílio das chamadas Tabelas Financeiras.Aceda directamente a Tabelas Financeiras aqui, e consulte os próximos diapositivos para conhecer o seu modo de utilização.

O uso de Tabelas FinanceirasPor exemplo para calcular o valor futuro de 1000 €, ao fim de cinco anos, a uma taxa de capitalização de 2% ao ano, bastará encontrar na tabela o respectivo Factor de Capitalização, e multiplicá-lo pelo capital inicial:VF = 1.000 € x 1,10408 = 1.104,08 €

Não esqueça que deverá estar na folha de cálculo correspondente aos Factores de Capitalização.Situação semelhante poderia ser seguida para um caso de actualização, desde que devidamente colocados na folha dos Factores de Desconto.