ANÁLISE DE SEGUNDA ORDEM: COMPARAÇÃO DAS ANÁLISES BIDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS EM MODELOS ESTRUTU RAIS DE

AÇO

Ricardo Ficanha1, Ricardo Fabeane2, Zacarias M. Chamberlain. Pravia3

Resumo Os efeitos de segunda ordem são considerados na análise de estruturas de aço através do método de comprimento efetivo de flambagem (coeficiente K). Os estudos e normas internacionais preconizam como método base o uso da análise de segunda ordem (P∆ e Pδ), seja através da análise direta ou pelo método das amplificações de esforços. Essa proposta foi inclusa na norma americana ANSI AISC360, primeiramente na versão de 2005 e confirmou-se como o método de referência a ser usado na versão 2010. No presente trabalho, o conceito de comprimento efetivo de flambagem foi revisado por métodos numéricos e estendido para estruturas em 3D, comparando-os com resultados de análises em 2D. Modelos típicos de edifícios simétricos e não simétricos, seja no plano ou em 3D, foram analisados pelo método de análise de estabilidade elástica. Os resultados foram avaliados entre as análises realizadas em 2D e 3D. Palavras chaves: Estruturas de aço, sistemas irregulares, efeitos de segunda ordem

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A evolução da engenharia vem possibilitando construção de estruturas de aço cada vez mais complexa, com diversas irregularidades dimensionais e de cargas na concepção, requerendo um estudo específico para a análise do edifício. Uma grande quantidade de estruturas, não somente construções referencias arquitetônicas assim como edifícios industriais são projetados sem nenhuma simetria, seja dimensional ou no carregamento.

As referencias normativas e os trabalhos científicos são carentes de informações precisas sobre o comportamento de uma estrutura irregular analisada em modelo tridimensional. Assim, inúmeras considerações são feita durante o projeto sem que o responsável saiba o que realmente é correto considerar.

Segundo Chen at al. (1982, 1991, 1994), um grande esforço de pesquisa em quantidade e qualidade tem sido desenvolvido nas últimas quatro décadas sobre o comportamento não-linear de estruturas de aço.

Canela (2010) apresenta analises sísmicas não lineares em edifícios industriais sem simetria, com o procedimento da força equivalente porém com a necessidade de um estudo mais aprofundado sobre o tema, assim como o objetivo deste trabalho, onde os

1 Engenheiro Mecânico mestrando do PPGEng da UPF – Setor de Engenharia METASA S/A –

ficanha.ricardo@gmail.com 2 Engenheiro Civil mestrando do PPGEng da UPF – Setor de Orçamento METASA S/A –

ricardo.fabeane@gmail.com 3 D. Sc., Professor Titular FEAR/UPF – zacarias@upf.br

resultados aprimorados resultam em uma aproximação mais realista possível para consideração no modelo estrutural. Todo o procedimento será detalhado e especificado para também considerar a análise do comportamento torcional da estrutura. As considerações sísmicas são prescritas para direções globais, perpendiculares as fachadas da estrutura, deixando situações que podem vir a ser as criticas de fora da análise. A torção em uma edificação pode ocorrer devido a falta de simetria dimensional e irregularidades das cargas que agem na estrutura.

Até o ano de 2005, o único método definido em norma técnicas era o método do comprimento efetivo de flambagem, largamente conhecido como coeficiente de flambagem k. Baseado na análise de estabilidade no plano, considerando as condições de contorno de barras isoladas, ou a rigidez das conexões de extremidade, considerados em estruturas de quadro (sem travamento vertical).

O estudo da não linearidade em análise foi impulsionado pelo advento do desenvolvimento computacional, facilitando e transformando análises de segunda ordem viáveis pelo reduzido tempo relativo necessário. A norma americana AISC360:05 apresenta um modelo de cálculo inovador sendo este o método da análise direta (DAM), onde considera o fator k=1 para todas as barras da estrutura, pois os efeitos das imperfeições são simulados com a inclusão de cargas horizontais fictícias (denominadas na norma ABNT NBR8800:2008 como cargas nocionais). Para estruturas planas também é conhecido o método da amplificação dos esforços da análise de primeira ordem (FOM).

Os métodos simplificado para a amplificação dos esforços para uma barra articulada e estruturas rígidas foram expostas por Lemessurier (1976, 1977).

Tanto a norma AISC360 versão 2005 como a norma AISC360 versão de 2010 não apresentam comentários e indicações de como o profissional deve proceder para interpretação dos resultados apresentados na análise de segunda ordem. Tampouco a norma brasileira ABNT NBR800:2008 não tem citação sobre o assunto.

A situação apresentada por Silvestre e Camotin (2007) torna inapropriado o método FOM para vigas de cobertura inclinadas, indicando a consideração do primeiro modo de flambagem elástica para determinação do comportamento da estrutura quanto ao sensibilidade ao deslocamento horizontal.

A norma europeia Eurocode EC3-EM (2005) afirma que se o primeiro modo de flambagem global for superior a 10, não é necessário as considerações dos efeitos de segunda ordem na estrutura, pois assim a estrutura apresenta a mínima estabilidade necessária para atender as solicitações durante a vida útil. Os efeitos localizados não servem como base para a classificação da estrutura como estável.

A equação 1, apresenta a relação entre a carga crítica suportada pelo sistema estrutural com a carga aplicada.

Ed

crcr F

F=α (1)

onde: FCr = carga crítica associada a flambagem global elástica FEd = carga aplicada no sistema estrutural

2. ANÁLISE LINEAR DE FLAMBAGEM

Consiste na determinação de uma solução de autovalor, a qual através das equações de equilíbrio sobre a deformada, iterativamente define o fator crítico resistente, fator considerado sobre a carga aplicada. Os modos de flambagem não fornecem uma deformação em função de uma carga, mas sim o valor limite resistente da estrutura (carga crítica).

A maioria dos programas computacionais comerciais ou livres já apresenta o método da análise linear de flambagem elástica, porém esta opção não é de conhecimento dos profissionais e assim não utilizado. Como exposto no item anterior, com esta análise é possível obter um parâmetro para a tomada de decisão sobre a utilização ou não dos efeitos gerados pelos efeitos de segunda ordem, conforme indicação do Eurocode (2005).

Embora não apresente valores de deformações reais para utilização nas verificações de projeto, os modos resultantes da análise linear de flambagem possibilitam a verificação do comportamento da estrutura como um todo, evidenciando possíveis pontos de baixa rigidez estrutural que pode ser reduzido com o uso de um sistema de travamento.

Na análise linear de flambagem de edifícios industriais o modo crítico de torção global pode ser verificado, enquanto em uma análise dos efeitos de segunda ordem os deslocamentos verificados são os deslocamentos apresentados nas direções principais, podendo geral uma interpretação inadequada para o sistema.

3. ANÁLISES ILUSTRATIVAS

Para apresentar os comportamentos estruturais de segunda ordem, foram selecionados dois modelos com características de regularidades diferentes, uma estrutura regular e outra estrutura irregular.

O primeiro modelo é apresentado na Figura 1, onde as vigas são soldadas aos pilares apresentando conexões rígidas, com 3 níveis, distancia entre pórticos de 6m e 8m. O modelo foi analisado no plano e tridimensionalmente, com análise de segunda ordem pelo método da análise direta (DAM), também considerando o método de primeira ordem e flambagem global elástica. Na Figura 2 pode ser visto o modelo com o carregamento vertical e horizontal provocada pelo vento.

Figura 1 - Modelo estrutural regular

Figura 2 - Modelo regular com carregamento

Figura 3 - Primeiro modo de flambagem global elástica 67,4=crα

Os resultados para análises de segunda ordem DAM e FOM são apresentados na Tabela 1. Ilustrando que o modelo tridimensional é mais conservativo que o modelo plano, em ambos os casos a análise de primeira ordem se comportam sem grande diferenças de resultados. O modo crítico de flambagem é o primeiro e que apresenta 4,67 que é menor que o limitante 10, significa que a estrutura apresenta grande não-linearidade, e em análise a figura apresentada do primeiro modo chega-se a conclusão que o primeiro modo de flambagem global é de deslocamento lateral.

Tabela 1 – Resultados da análise para o edifício regular

Nível Modelo 2D Modelo 3D

(mm) Δ2/ Δ1 FOM Δ2/ Δ1 FOM

(DAM) B2 (DAM) B2

3000 1,08 1,04 1,06 1,07

6000 1,08 1,04 1,09 1,07

9000 1,09 1,03 1,08 1,06

O segundo modelo considerado para análise é referente a um edifício industrial

real, que apresenta geometria irregular entre os níveis para apoio dos equipamentos. O edifício apresenta dimensão retangular na base de 22,2m de largura por 29,9m de comprimento, altura da coluna externa de 20,8m e nível da cumeeira de 22,7m, com cinco plataformas intermediárias distribuídas irregularmente utilizadas para apoio dos equipamentos e acessos para manutenção.

Figura 4 - Modelo de estrutura irregular

Figura 5 - Cargas nocionais aplicadas somente na elevação externa

Figura 6 - Cargas nocionais aplicadas em todos os nós dos níveis

Primeiro modo de flambagem (α=6.59) Segundo modo de flambagem (α=7.60)

Terceiro modo de flambagem (α=8.36) Quarto modo de flambagem (α=8.54)

Figura 7 – Primeiros modos de flambagem para estrutura irregular Apenas no 13° modo de flambagem global é evidenciado um modo de

flambagem caracterizado por deslocamento lateral, com valor de α=12,49, sendo para o Eurocode (2005) desnecessária a consideração dos efeitos de segunda ordem, porém quando utilizado o conceito de relação entre deslocamentos de analise de segunda ordem e de primeira ordem do AISC 360:10, é necessária a redução da rigidez do material para consideração dos efeitos de segunda ordem, pois para o nó 1308 do nível 18800mm a relação apresentada é de 2,45, maior que 1,7 (limite do AISC 360:10).

Tabela 2 – Deslocamentos das análises de primeira e segunda ordem com cargas nocionais da Figura 5 (Ux2* é o deslocamento de segunda ordem)

Elevação Ux1 Ux2 Ux1* Ux2* Ux2*/U x1*

mm mm mm mm mm

Nó 20 6000 1,38 1,84 1,38 1,84 1,33

Nó 606 11500 1,76 2,24 0,37 0,39 1,06

Nó 1311 15400 1,74 2,20 -0,01 -0,03 2,45 Nó 1308 18800 1,62 2,07 -0,12 -0,13 1,06

Nó 6 21840 1,41 1,86 -0,20 -0,21 1,02

Tabela 3 – Deslocamentos das análises de primeira e segunda ordem com cargas nocionais da Figura 6

(Ux2* é o deslocamento de segunda ordem)

Elevação Ux1 Ux2 Ux1* Ux2* Ux2*/U x1*

mm mm mm mm mm

Nó 20 6000 1.35 1.81 1.35 1.81 1.34

Nó 606 11500 1.73 2.21 0.38 0.41 1.07

Nó 1311 15400 1.76 2.23 0.03 -0.01 0.39

Nó 1308 18800 1.62 2.08 -0.14 -0.14 1.06

Nó 6 21840 1.40 1.85 -0.23 -0.23 1.02

Quando as cargas são aplicadas em todos os nós das colunas de todos os níveis, a relação entre deslocamentos das análises de segunda e de primeira ordem a relação é inferior a 1,0, sem significado. Os demais deslocamentos são considerados similares, conforme apresentados nas Tabelas 2 e 3.

No modelo com irregularidades geométricas em que a presença de elementos com uma extremidade livre é existente, a convergência de resultados não é alcançada para a análise de segunda ordem, portanto estes elementos secundários foram retirados do modelo e consideradas as ações dos mesmos na estrutura.

A única maneira de considerar as respostas de deslocamentos para modelos tridimensionais irregulares é o uso comum da verificação quanto a sensibilidade lateral da estrutura e a flambagem global da estrutura, assim o funcionamento da estrutura é

definido e possibilita a correta interpretação para devida escolha do sistema estrutural necessário.

4. CONCLUSÃO

Sistemas estruturais irregulares requerem cuidados especiais do responsável técnico, devido ao seu comportamento quando em serviço, simulado em modelos tridimensionais.

Os métodos proposto nas normas de estruturas de aço foram desenvolvidos com bases teóricas e estudos de modelos regulares no plano, basicamente, pelo comportamento de deslocamento lateral. Quando o edifício de aço é irregular geometricamente ou com carregamentos não simétricos as normas não são completas e não apresentam diretrizes para esta situação.

A alternativa considerada prudente é da consideração dos efeitos da segunda ordem elástica juntamente com a análise de flambagem global, chegando a uma interpretação única para cada modelo estrutural estudado.

Percebe-se a necessidade da consideração dos resultados da análise linear de flambagem global na norma nacional ABNT NBR8800:2008, definindo as prescrições necessárias para a correta interpretação do responsável técnico em classificar a estrutura.

O caso apresentado requer aprofundado estudo teórico e experimental para que os resultados possam ser levados em consideração em qualquer sistema estrutural que se configurar.

5. REFERÊNCIAS

American Institute of Steel Construction , AISC (2010). Specification for structural steel buildings (AISC 360-10), American Institute of Steel Construction, Chicago.

Canela, G.G.,(2010), Nonlinear seismic analysis of industrial steel structures with

Irregularities, Ph.D. Thesis, Universitat Politecnic da Catalunya. Chen W, Lui E. (1991) Stability design of steel frames. Boca Raton: CRC Press. Chen W, Toma S. (1994) Advanced analysis of steel frames: theory, software and

applications. Boca Raton: CRC Press. Comité Européen de Normalisation (CEN), (2005). Eurocode 3: Design of steel

structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings (EN 1993-1-1). Brussels.

Lemessurier, WM.J.,(1976) A practical method of second order analysis Part 1 – Pin Jointed Systems, Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 89-96.

Lemessurier, WM.J.,(1977) A practical method of second order analysis Part 2 – Rigid

Frames, Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 49-67. Lui, E.M., Chen, W.F., (1984) Simplified approach to the analysis and design of

columns with imperfections. Engineering Journal /AISC, Second Quarter, 99-117.

Geschwindner, L. F., (2002) A Practical Look at Frame Analysis, Stability and

Leaning Columns, 2000 T. R. Higgins Award Paper, AISC Engineerinfg Journal.

Silvestre,N., Camotin, D., (2007) Elastic Buckling and Second-order Behavior of

pitched-roof steel frames. Journal of Constructional Steel Research, (63) 804-818. Statler, D.E., Ziemian, R.D., Robertson, L.E., (2011) The Natural Period as indicator

of second-order effects, Proceedings of the Annual Stability Conference Structural Stability Research Council Pittsburgh, Pennsylvani.