Análise de Sistemas de Potência (ASP) Introdução ao estudo ... · Análise de Sistemas de Potência (ASP) ... 1 Nenhuma raiz da equação característica está no eixo imaginário

Análise de Sistemas de Potência (ASP)

Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 1 de 23

Introdução ao estudo de sistemas de potência

Representação fasorial • Aplicada a circuitos assintoticamente estáveis1, para o estudo do seu regime permanente senoidal.

• Correntes e tensões representadas por números complexos (amplitude e ângulo de fase).

• Freqüência considerada implicitamente.

t [rad]

g(t)

−φ

G

-G

ω

( ) ( )φω += tYty cosmax ( ) ( )tjeYty

ωRe2=

3 parâmetros: maxY – amplitude

ω – velocidade angular

φ – ângulo de fase

φφ

22

maxmax Ye

YY

j == representação fasorial de ( )ty ou a

transformada fasorial de ( )ty .

Y contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ .

1 Nenhuma raiz da equação característica está no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo.

A resposta natural tende a zero: ( ) 0lim =∞→ tynt

A resposta completa tende à resposta forçada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim



π/2 ω t [rad]

cos sen

Um ângulo de fase 2πφ −= , transforma a função cosseno

em seno:

−=

2cossen

πωω tt

+=

2sencos

πωω tt

α

g1(t) g2(t)

ω t [rad]

Defasagem é a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma velocidade

angular ω.

Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg

( )

−+= 2

122 cos

φ

αφωtGtg

A defasagem entre ( )tg1 e ( )tg 2 é

( ) ααφφφφ =−−=− 1121

( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα

( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα.



Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens]

Circuito linear

invariante em regime

permanente senoidal

( ) [ ]tjeVtv

ωRe2=

+

–

( ) [ ]tjeIti ωRe2=

( )Y

jZ1

=ω

( ) jXRI

VjZ +==

∆

ω

( )( )

jBGV

I

jZjY +===

∆

ωω

1

reatância

aresistênci

=

=

X

R

iasusceptânc

acondutânci

=

=

B

G

Resistor ( ) ( )tRitv = [ ]( )

[ ]( )

[ ]tj

ti

tj

tv

tjeIReIReV

ωωωRe2Re2Re2 ==

IRV = ( ) RjZ R =ω ( )R

jY R1

=ω

Indutor ( ) ( )tidt

dLtv = [ ]

( )

[ ]( )( )

( ) [ ]tjtj

ti

tj

tv

tjeILje

dt

dILeI

dt

dLeV

ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =

==

ILjV ω= com LX L ω= ( ) LjjZ L ωω = ( )L

jLj

jY L

ωωω

11−==

Capacitor ( ) ( )tvdt

dCti = [ ]

( )

[ ]( )( )

( ) [ ]tjtj

tv

tj

ti

tjeVCje

dt

dVCeV

dt

dCeI

ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =

==

VCjI ω= ⇔ Cj

IV

ω=

( )C

jCj

jZ C

ωωω

11−== ( ) CjjY C ωω =



Elemento Equações Relação de fase

Forma fasorial: ( ) [ ]tjeIti ωRe2=

( ) [ ]tjeVtv ωRe2= Diagrama fasorial Relação no tempo

( )tv

+

–

( )ti

R

( ) ( )φω += tVtv cosmax

( ) ( )φω += tIti cosmax

( )ti e ( )tv

em fase IRV =

I

φ

V

i(t)

v(t)

( )tv

+

–

( )ti

L


( )

−+=

2cosmax

πφωtIti

( )ti atrasada

de ( )tv de 90°

ILjV ω=

LX L ω= I

φ

V

i(t)

v(t)

( )tv

+

–

( )ti

C


( )

++=

2cosmax

πφωtIti

( )ti adiantada

de ( )tv de 90°

ICj

Vω

1=

CX C

ω

1=

I

φ

V

i(t)

v(t)



Associação de Impedâncias

Série

– –

V

+

–

1V+ I 2V+ +

1Z 2Z nZ

V

+

–

I

eqZ ≡

nV–

neq ZZZZ +++= …21

nnn

eq ZZZI

V

I

V

I

V

I

VVV

I

VZ +++=+++=

+++== ……

…21

2121LKT

Paralela

V

+

–

I

1Z 2Z nZV

+

–

I

eqZ≡

1I 2I nI

n

eq

ZZZ

Z111

1

21

+++

=

…

nn

n

eq

ZZZZ

V

Z

V

Z

V

V

III

V

I

VZ

111

1

2121

21

LKC

+++

=

+++

=+++

==

………



Potência complexa

+

)cos()( max φω += tVtv

)cos()( max θφω −+= tIti

-

)(tv

)(ti

φ

V

I

θ

Re

Im

φ2

maxVV =

θφ −=2

maxII

SISTEMA

Potência instantânea fornecida para o sistema:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax

( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen2

22cos1cos2

maxmaxmaxmax ++++= tIV

tIV

tp

( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp



0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente em fase com a tensão

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente atrasada de 90 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5Corrente adiantada de 90 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)

v(t)

i(t)

p(t)

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10Corrente atrasada de 30 graus

wt

v(t

), i

(t),

p(t

)v(t)

i(t)

p(t)



Potência ativa (eficaz, útil, que produz trabalho): valor médio da potência instantânea:

( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆TT

dttVItVIT

dttpT

P

0

0 22sensen22cos1cos

1)(

1 φωθφωθ

θcos VIP = [W]

Potência reativa: corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωωωωt+2φφφφ) da potência instantânea:

θθ sensenI VIVQ =∆ [var]

Convenção2: INDUTOR: “consome” potência reativa CAPACITOR: “gera” potência reativa

Potência aparente: obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q:

22

QPVIS +== [VA]

S

P

jQ

IV ∠−∠=θ

Característica INDUTIVA

S

P

jQ

IV ∠−∠=θ

Característica CAPACITIVA

2 Observar que a parcela representada pela potência reativa apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa.



Fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente:

θθ

coscos

===VI

VI

S

PFP

Potência complexa: obtida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente

jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos*

O ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ)

φ

V

I

θ

Re

Im

φφ VV

V ==2

max

θφθφ −=−= II

I2

max



Exercício Enade 2005

Fernando

Sticky Note

1500/sqrt(2)= aprox 1000



Sentido do fluxo de potência

+

-

V

I

αVV =

βII =

SISTEMA A

SISTEMA B

Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:

( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos*

900

:

:

<<

→

→

ψ

BA

BA

Q

P

18090

:

:

<<

→

→

ψ

BA

AB

Q

P

360270

:

:

<<

→

→

ψ

AB

BA

Q

P

270180

:

:

<<

→

→

ψ

AB

AB

Q

P

P [W]

Q [var]

βαψ −=

αVV =

βII =

Fernando

Sticky Note

Obedecem aos sinais do seno e do coseno



Fonte trifásica ideal

BNV

ANV+

+

N

CNV

+

ABV

BCV

CAV

+

– +

–

–

+

(opcional)

A

B

C

ABV

BCV

CAV

+

+ +

ABV

BCV

CAV

+

–

–

–

+

+

N

Conexão estrela Conexão triângulo.

ANV

ω CNV

BNV

ABVBCV

CAV



Tensões de fase e de linha

Tensões de Fase (φ):

ANV

ω CNV

BNV

CNBNAN VVV ;;

ABVBCV

CAV

ANV

ω

CNV

BNV

ABV

BCV

CAV

Tensões de Linha (L):

CABCAB VVV ;;

CACBBA VVV ;;

BAV

CBV

ACV

φVVL 3=

Fernando

Sticky Note

+30graus



Carga trifásica ideal

N

YZ

YZ

YZ

A

B

C

N

∆Z

∆Z

∆Z

A

B

C

Ligação estrela. Ligação malha ou triângulo.

Equivalência estrela/triângulo

YZZ 3=∆



Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados

1φ

2φ

3φ

1I

2I

3I

NI

NV 1

+

NV 2

+

NV 3

+

N

Sistema A

Sistema B

333

222

111

333

222

111

β

β

β

α

α

α

II

II

II

VV

VV

VV

NN

NN

NN

=

=

=

=

=

=

333

222

111

βαθ

βαθ

βαθ

−=

−=

−=

Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:

333322221111

*

33

*

22

*

11333 βαβαβαφφφ −+−+−=⋅+⋅+⋅=+= IVIVIVIVIVIVjQPS NNNNNN

Fator de potência médio:

φ

φ

3

3

médioS

PFP =

Fernando

Sticky Note

Genérico não só equilibrado!



Sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada

θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP ==

θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ ==

θφ

φ

φ cos3

3

3 ==S

PFP

LLL IVIVS 333 == φφ

( ) ( ) ( ) ( )

θθθ

θφωθφωθφωθ

φ

φ

cos33cos2

3cos32

1

12022cos12022cos22coscos32

1

1

0

3

VIPIV

IV

tttIVtp

mmmm

mm

====

=

−−+++−++−++=

=

A potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado3, através de tensões simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.

3 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões simétricas, é constante.

Fernando

Sticky Note

Configuração Estrela, pois Ilinha = I fase em módulo.

Fernando

Sticky Note

Reduz probelas de vibrações em máquinas CA!


Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 18 de 23

G1

G2

1 2 3 4

T1 T2

Y-Y Y-Y

• • • •

(a) Diagrama unifilar.

• • • •

• • • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • • • • • •

• • • • • • •

•

•

•

•

(b) Diagrama trifilar de impedância.

• • •

• • •

(c) Diagrama de impedância por fase (em pu).

Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e

Gerador 2

G1

G1

G1

G1

G2

G2

G2

G2

Linha de Transmissão



O sistema por unidade (pu) Na análise de sistemas de energia elétrica são utilizadas unidades relativas (pu). Justificativas:

• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos (evitando erros grosseiros) Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação.

• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.

• Tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade.

• Todas as grandezas possuem a mesma unidade (embora os valores de base sejam diferentes)

basevalor

atualvalor pu emvalor = (valor base = número real)

Para todo o sistema define-se a potência base:

basebase3

base3

base 33

φφφ

φ SSS

S =⇔= [MVA]

Tensão base, baseV , (tensão nominal do sistema na região de interesse):

base base base

base 33

φφ VVV

V LL =⇔= [kV]



Corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ (obtidas a partir da potência e da tensão de base)

base

base 3

base

base 3

base

base

base base 3

3

3

LLYL

V

S

V

S

V

SII

φ

φ

φ

φ====

base

base 3base base

33 L

L

V

SII

φ==∆

base 3

2base

base

base

base

φ

φ

S

V

I

VZ L

Y

Y == base 3

2base

base

base

base base 333φ

φ

S

V

I

VZZ L

Y

Y ===∆

Duas classes de grandezas de base:

• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que varia em função da tensão nominal da região em análise.

• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como tensão base na região em análise.

Mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z :

( ) ( )2 base

1 base1 basepu 2 basepu

Z

ZZZ = ( ) ( )

1 base 3

2 base 3

2

2 base

1 base 1 basepu 2 basepu

φ

φ

S

S

V

VZZ

L

L

=

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