Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 1 de 23
Introdução ao estudo de sistemas de potência
Representação fasorial • Aplicada a circuitos assintoticamente estáveis1, para o estudo do seu regime permanente senoidal.
• Correntes e tensões representadas por números complexos (amplitude e ângulo de fase).
• Freqüência considerada implicitamente.
t [rad]
g(t)
−φ
G
-G
ω
( ) ( )φω += tYty cosmax ( ) ( )tjeYty
ωRe2=
3 parâmetros: maxY – amplitude
ω – velocidade angular
φ – ângulo de fase
φφ
22
maxmax Ye
YY
j == representação fasorial de ( )ty ou a
transformada fasorial de ( )ty .
Y contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ .
1 Nenhuma raiz da equação característica está no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo.
A resposta natural tende a zero: ( ) 0lim =∞→ tynt
A resposta completa tende à resposta forçada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim
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π/2 ω t [rad]
cos sen
Um ângulo de fase 2πφ −= , transforma a função cosseno
em seno:
−=
2cossen
πωω tt
+=
2sencos
πωω tt
α
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
Defasagem é a diferença entre os ângulos de fases de duas funções do tipo senoidal de mesma velocidade
angular ω.
Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg
( )
−+= 2
122 cos
φ
αφωtGtg
A defasagem entre ( )tg1 e ( )tg 2 é
( ) ααφφφφ =−−=− 1121
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα
( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα.
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Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens]
Circuito linear
invariante em regime
permanente senoidal
( ) [ ]tjeVtv
ωRe2=
+
–
( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( )Y
jZ1
=ω
( ) jXRI
VjZ +==
∆
ω
( )( )
jBGV
I
jZjY +===
∆
ωω
1
reatância
aresistênci
=
=
X
R
iasusceptânc
acondutânci
=
=
B
G
Resistor ( ) ( )tRitv = [ ]( )
[ ]( )
[ ]tj
ti
tj
tv
tjeIReIReV
ωωωRe2Re2Re2 ==
IRV = ( ) RjZ R =ω ( )R
jY R1
=ω
Indutor ( ) ( )tidt
dLtv = [ ]
( )
[ ]( )( )
( ) [ ]tjtj
ti
tj
tv
tjeILje
dt
dILeI
dt
dLeV
ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =
==
ILjV ω= com LX L ω= ( ) LjjZ L ωω = ( )L
jLj
jY L
ωωω
11−==
Capacitor ( ) ( )tvdt
dCti = [ ]
( )
[ ]( )( )
( ) [ ]tjtj
tv
tj
ti
tjeVCje
dt
dVCeV
dt
dCeI
ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =
==
VCjI ω= ⇔ Cj
IV
ω=
( )C
jCj
jZ C
ωωω
11−== ( ) CjjY C ωω =
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Elemento Equações Relação de fase
Forma fasorial: ( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( ) [ ]tjeVtv ωRe2= Diagrama fasorial Relação no tempo
( )tv
+
–
( )ti
R
( ) ( )φω += tVtv cosmax
( ) ( )φω += tIti cosmax
( )ti e ( )tv
em fase IRV =
I
φ
V
i(t)
v(t)
( )tv
+
–
( )ti
L
( ) ( )φω += tVtv cosmax
( )
−+=
2cosmax
πφωtIti
( )ti atrasada
de ( )tv de 90°
ILjV ω=
LX L ω= I
φ
V
i(t)
v(t)
( )tv
+
–
( )ti
C
( ) ( )φω += tVtv cosmax
( )
++=
2cosmax
πφωtIti
( )ti adiantada
de ( )tv de 90°
ICj
Vω
1=
CX C
ω
1=
I
φ
V
i(t)
v(t)
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Associação de Impedâncias
Série
– –
V
+
–
1V+ I 2V+ +
1Z 2Z nZ
V
+
–
I
eqZ ≡
nV–
neq ZZZZ +++= …21
nnn
eq ZZZI
V
I
V
I
V
I
VVV
I
VZ +++=+++=
+++== ……
…21
2121LKT
Paralela
V
+
–
I
1Z 2Z nZV
+
–
I
eqZ≡
1I 2I nI
n
eq
ZZZ
Z111
1
21
+++
=
…
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
VZ
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=+++
==
………
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Potência complexa
+
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
-
)(tv
)(ti
φ
V
I
θ
Re
Im
φ2
maxVV =
θφ −=2
maxII
SISTEMA
Potência instantânea fornecida para o sistema:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen2
22cos1cos2
maxmaxmaxmax ++++= tIV
tIV
tp
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp
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0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10Corrente em fase com a tensão
wt
v(t
), i
(t),
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5Corrente atrasada de 90 graus
wt
v(t
), i
(t),
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5Corrente adiantada de 90 graus
wt
v(t
), i
(t),
p(t
)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6-5
0
5
10Corrente atrasada de 30 graus
wt
v(t
), i
(t),
p(t
)v(t)
i(t)
p(t)
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Potência ativa (eficaz, útil, que produz trabalho): valor médio da potência instantânea:
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆TT
dttVItVIT
dttpT
P
0
0 22sensen22cos1cos
1)(
1 φωθφωθ
θcos VIP = [W]
Potência reativa: corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωωωωt+2φφφφ) da potência instantânea:
θθ sensenI VIVQ =∆ [var]
Convenção2: INDUTOR: “consome” potência reativa CAPACITOR: “gera” potência reativa
Potência aparente: obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q:
22
QPVIS +== [VA]
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica CAPACITIVA
2 Observar que a parcela representada pela potência reativa apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa.
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Fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente:
θθ
coscos
===VI
VI
S
PFP
Potência complexa: obtida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente
jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos*
O ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ)
φ
V
I
θ
Re
Im
φφ VV
V ==2
max
θφθφ −=−= II
I2
max
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Exercício Enade 2005
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Sentido do fluxo de potência
+
-
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA A
SISTEMA B
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:
( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos*
900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
P [W]
Q [var]
βαψ −=
αVV =
βII =
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Fonte trifásica ideal
BNV
ANV+
+
N
CNV
+
ABV
BCV
CAV
+
– +
–
–
+
(opcional)
A
B
C
ABV
BCV
CAV
+
+ +
ABV
BCV
CAV
+
–
–
–
+
+
N
Conexão estrela Conexão triângulo.
ANV
ω CNV
BNV
ABVBCV
CAV
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Tensões de fase e de linha
Tensões de Fase (φ):
ANV
ω CNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABVBCV
CAV
ANV
ω
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
Tensões de Linha (L):
CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
φVVL 3=
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Carga trifásica ideal
N
YZ
YZ
YZ
A
B
C
N
∆Z
∆Z
∆Z
A
B
C
Ligação estrela. Ligação malha ou triângulo.
Equivalência estrela/triângulo
YZZ 3=∆
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Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados
1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+
NV 2
+
NV 3
+
N
Sistema A
Sistema B
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:
333322221111
*
33
*
22
*
11333 βαβαβαφφφ −+−+−=⋅+⋅+⋅=+= IVIVIVIVIVIVjQPS NNNNNN
Fator de potência médio:
φ
φ
3
3
médioS
PFP =
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Sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada
θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP ==
θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ ==
θφ
φ
φ cos3
3
3 ==S
PFP
LLL IVIVS 333 == φφ
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos2
3cos32
1
12022cos12022cos22coscos32
1
1
0
3
VIPIV
IV
tttIVtp
mmmm
mm
====
=
−−+++−++−++=
=
A potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado3, através de tensões simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma das fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.
3 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões simétricas, é constante.
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Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 18 de 23
G1
G2
1 2 3 4
T1 T2
Y-Y Y-Y
• • • •
(a) Diagrama unifilar.
• • • •
• • • •
• • •
• • •
• • •
• • •
• • • • • • •
• • • • • • •
•
•
•
•
(b) Diagrama trifilar de impedância.
• • •
• • •
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu).
Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e
Gerador 2
G1
G1
G1
G1
G2
G2
G2
G2
Linha de Transmissão
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Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 19 de 23
O sistema por unidade (pu) Na análise de sistemas de energia elétrica são utilizadas unidades relativas (pu). Justificativas:
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos (evitando erros grosseiros) Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação.
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.
• Tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade.
• Todas as grandezas possuem a mesma unidade (embora os valores de base sejam diferentes)
basevalor
atualvalor pu emvalor = (valor base = número real)
Para todo o sistema define-se a potência base:
basebase3
base3
base 33
φφφ
φ SSS
S =⇔= [MVA]
Tensão base, baseV , (tensão nominal do sistema na região de interesse):
base base base
base 33
φφ VVV
V LL =⇔= [kV]
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Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 20 de 23
Corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ (obtidas a partir da potência e da tensão de base)
base
base 3
base
base 3
base
base
base base 3
3
3
LLYL
V
S
V
S
V
SII
φ
φ
φ
φ====
base
base 3base base
33 L
L
V
SII
φ==∆
base 3
2base
base
base
base
φ
φ
S
V
I
VZ L
Y
Y == base 3
2base
base
base
base base 333φ
φ
S
V
I
VZZ L
Y
Y ===∆
Duas classes de grandezas de base:
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão base, que varia em função da tensão nominal da região em análise.
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas em função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, utilizados como tensão base na região em análise.
Mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z :
( ) ( )2 base
1 base1 basepu 2 basepu
Z
ZZZ = ( ) ( )
1 base 3
2 base 3
2
2 base
1 base 1 basepu 2 basepu
φ
φ
S
S
V
VZZ
L
L
=