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PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Tese de Doutorado
ANÁLISE DIMENSIONAL E
SIMULAÇÃO DA TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA EM
RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURAL
ADSORVIDO
RAFAEL P. SACSA DÍAZ
ABRIL DE 2012
RAFAEL P. SACSA DÍAZ
ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMULAÇÃO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA EM
RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURALADSORVIDO
Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Doutor em Ciências em EngenhariaMecânica
Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, ABRIL DE 2012
ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMULAÇÃO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA EM
RESERVATÓRIOS DE GÁS NATURALADSORVIDO
Esta tese foi julgada adequada para a obtenção do título de
DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (Orientador)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc.Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Maria Laura Martins Costa, D.Sc.Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Carlos Eduardo Leme Nóbrega, D.Sc.Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca – CEFET
Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D.Instituto Militar de Engenharia – PGED/IME
Sílvia da Costa Hirata, Ph.D.Universidade Lille I
Ao meu filho Bruno Rafael
Por existir.Minha obra de arte essencial, meu sopro de bênção.Luz de minha vida que me ajuda a ter fé,que me mostra esperança e amor apesar de tudo,e me encoraja a viver como se tivesse recebido umanova chance.
Agradecimentos
A Deus, pela oportunidade de aprender e crescer com as dificuldades, e pela força con-
cedida nesta caminhada.
Ao Leandro Alcoforado Sphaier, meu orientador, a quem serei sempre grato pela ge-
nerosidade com que me acolheu, pela orientação segura, por todos os esclarecimentos
que necessitei, pela imensa disponibilidade que me concedeu e, principalmente, pela
sua efetiva presença do início ao fim na realização dessa pesquisa.
Ao professor J. H. Carneiro de Araujo, pela força no momento preciso na época difícil.
A todos os colegas e professores do DEM pelos ensinamentos, que fazem parte da mi-
nha formação e da minha história.
Ao meu pai Prudencio, por resistir firme nestes tempos de infortúnio. Pela compreen-
são, apoio, amor e por acreditar em mim sem importar a distância.
À minha mãe, Maria, minha inspiração e base de toda a vida, e nesta fase, meu exemplo
de luta e coragem ao encarar a sua doença, que inevitavelmente dia a dia também en-
colhe minha vida. Elevo orações para Deus, e peço abençoe ela com um novo começo
e juntos todos possamos reescrever um novo fim.
v
Resumo
O armazenamento de Gás Natural (GN) na forma adsorvida (GNA) é uma alterna-
tiva atrativa em relação às atuais tecnologias de armazenamento, por utilizar pressões
até seis vezes menores que em Gás Natural Comprimido (GNC), e por não requerer
temperaturas criogênicas que são necessárias para Gás Natural Liquefeito (GNL). Ape-
sar das vantagens trazidas pelo GNA, os efeitos térmicos associados ao processo de ad-
sorção causam uma significativa redução na capacidade de armazenamento, que ainda
impede a aplicação comercial desta alternativa em grande escala. Portanto, existe uma
carência por estudos dedicados à solução deste problema térmico. Para tal, é essen-
cial que simulações para o cálculo da transferência de calor e massa nestas aplicações
sejam desenvolvidas.
Este trabalho apresenta modelos matemáticos para análise da transferência de ca-
lor e massa em processos de carga e descarga em reservatórios de GNA. Devido à
complexidade do problema considerado, sua solução depende de um número grande
de parâmetros. A fim de minimizar os esforços necessários, uma análise dimensional
do problema foi então proposta. Todo desenvolvimento foi feito de maneira formal,
utilizando o Teorema dos Pi de Buckinham. A análise dimensional permitiu a deter-
minação de grupos adimensionais relevantes ao problema em questão, gerando uma
contribuição relevante para a literatura.
Com os grupos adimensionais, versões normalizadas do problema foram obtidas,
e a simulação numérica de casos-teste baseados em um modelo unidimensional foi re-
alizada. As equações foram resolvidas utilizando o Método de Volumes Finitos com-
binado ao Método das Linhas Numérico. Os resultados foram comparados com dados
disponíveis na literatura, e posteriormente uma análise paramétrica foi realizada para
ilustrar como valores de grupos adimensionais influenciam os processos de carga e
descarga de GNA.
Palavras-chave: Transferência de Calor e Massa, Gás Natural, Adsorção Física,
Análise Dimensional
vi
Abstract
Storage of Natural Gas (NG) as adsorbed (ANG) is an attractive alternative com-
pared to current storage technologies, for use pressures up to six times lower than in
Compressed Natural Gas (CNG), and does not require cryogenic temperatures are re-
quired Liquefied Natural Gas (LNG). Despite the advantages brought by ANG, thermal
effects associated with the adsorption process causes a significant reduction in storage
capacity which still prevents the commercial application of this alternative to a large
scale. Therefore, there is a lack of studies devoted to the solution of thermal problem.
To this end, it is essential that the simulations for the calculation of the mass and heat
transfer in these applications are developed.
This work provides mathematical models for analyzing the mass and heat trans-
fer processes in load and discharge reservoirs of ANG. Due to the complexity of the
problem in question, the solution depends on a large number of parameters. In order
to minimize the effort required, a dimensional analysis of the problem was proposed.
All development was done in a formal way, using the Teorema of the Buckingham Pi.
The dimensional analysis allowed the determination of dimensionless groups relevant
to the issue at hand, creating an important contribution to the literature.
With the dimensionless groups, standardized versions of the problem were obtai-
ned, and numerical simulation of test-cases based on a one-dimensional model was
performed. The equations were solved using the finite volume method combined with
the Numerical Method of Lines. The results were compared with data available in the
literature, and then the parametric analysis was performed to illustrate how values of
dimensionless groups influencing the load processes and discharge of ANG.
Keywords: Heat and Mass Transfer, Natural Gas, Adsorption Physical, Analysis
Dimension.
vii
Sumário
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
Lista de Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii
Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Considerações preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 O processo de adsorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Revisão bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Materiais Adsorventes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Modelos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Modelagem física e matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Descrição do problema e modelo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Hipóteses simplificadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Balanços gerais de conservação de massa e energia . . . . . . . 26
2.3 Formulação multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 Fluxos de calor e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
viii
2.3.4 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.5 Formulações simplificadas sem difusão de massa na fase ad-
sorvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Formulação global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5.1 Conservação de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Conservação de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.3 Simplificação para Gás Natural Comprimido . . . . . . . . . . 47
2.6 Equações constitutivas para as concentrações . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Avaliação de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7.1 A relação volumétrica (capacidade de armazenamento) . . . . 49
2.7.2 Coeficiente de rendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.3 Relação entre V/V e CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.7.4 Eficiência de armazenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Análise dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1 Teorema dos Pi de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Determinação dos grupos Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Propriedades dos grupos Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Desenvolvimento preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Pressões e temperaturas características . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.2 Tempo de processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Dependência das concentrações na pressão e temperatura . . . 58
3.3 Formulação global isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Número de parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 Cálculo dos grupos adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Formulação global não-isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.1 Número de parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.2 Cálculo dos grupos adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Formulação unidimensional não-isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . 78
ix
3.5.1 Número de parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5.2 Cálculo dos grupos adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4. Formulações normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Parâmetros Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Outras quantidades adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Formulações adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.1 Formulação local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.2 Condições de contorno e iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.3 Formulação global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.4 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5 Formulação unidimensional sem difusão na fase adsorvida . . . . . . . 102
4.6 Simplificação das equações para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6.1 Formulação global para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6.2 Formulação local para GNC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Avaliação de desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5. Solução numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1 Forma conservativa em termos de temperatura e pressão . . . . . . . . 106
5.1.1 Cálculo das derivadas de concentração adimensionais . . . . . 108
5.2 Integração das equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.1 Aproximação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Regras de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.1 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4 Algoritmo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4.1 Sistema explícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Solução numérica do sistema discretizado . . . . . . . . . . . . 116
6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1 Propriedades e valores de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
x
6.2 Verificação e validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2.1 Análise de ordem da solução numérica . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2.2 Comparação com resultados anteriores . . . . . . . . . . . . . . 131
6.3 Análise da evolução temporal de quantidades médias . . . . . . . . . . 133
6.3.1 Processos de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3.2 Processos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4 Análise da distribuição espacial de pressão e temperatura . . . . . . . . 139
6.4.1 Processos de descarga à vazão constante . . . . . . . . . . . . . 139
6.4.2 Processos de carga à pressão de entrada constante . . . . . . . . 145
6.5 Análise da massa de gás armazenada e removida . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.1 Processos de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.2 Processos de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7. Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8. Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A. Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
A.1 Diferencial de entalpia para um gás qualquer . . . . . . . . . . . . . . . 171
B. Resultados adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.1 Análise de erro para demais casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.2 Distribuição radial de temperatura na descarga . . . . . . . . . . . . . . 177
B.3 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga . . . . . . . . . . 180
C. Cópia do artigo publicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
xi
Nomenclatura
ANP Agência Nacional de Petróleo.
BEN Balanço Energético Nacional.
CA Carvão Ativado.
CNTP Condições Normais de Temperatura e Pressão (00C, 1atm).
EPE Empresa de Pesquisa Energética.
GN Gás Natural.
GNA Gás Natural Adsorvido.
GNC Gás Natural Comprimido.
GNL Gás Natural Liquefeito.
GLP Gás Liquefeito de Petróleo.
GNLP GNL Pressurizado.
IUPAC União Internacional de Química Pura e Aplicada.
MVF Método de volumes finitos.
MLN Método das linhas numérico.
NTU Número de unidades de transferência.
RN Redes Neurais.
xii
Lista de Símbolos
A [m2] Área considerada
Ae [m2] Área externa da superfície do cilindro
Ai [m2] Área de entrada/saída do gás
b [Pa−1] Constante de equilíbrio, equação de Langmuir
Bi — Número de Biot
C [J/K] Capacidade térmica
Cs [J/K] Capacidade térmica da matriz adsorvente
Cw [J/K] Capacidade térmica da parede do reservatório
CR — Coeficiente de Rendimento
cl [J/kg.K] Calor específico da fase adsorvida
cpg [J/kg.K] Calor específico da fase gasosa a pressão constante
cs [J/kg.K] Calor específico da fase sólida
cw [J/kg.K] Calor específico da parede do reservatório
E [J] Energia total
Fo — Número de Fourier
g ′′′sor [kg/m3s] Taxa de adsorção
h [J/K] Coeficiente de transferência de calor
I [J] Entalpia (extensiva)
i [J/kg] Entalpia específica
ig [J/kg] Entalpia específica do gás
il [J/kg] Entalpia específica adsorvida
is [J/kg] Entalpia específica do sólido
isor [J/kg] Calor diferencial de adsorção
j ′′ [kg/(m2s)] Componente do vetor fluxo de massa
xiii
k [W/(m K)] Condutividade térmica
K [J] Energia cinética
K [W] Vazão de energia cinética
M∗g [kg/kg] Fração máxima de gás armazenado (gás comprimido)
M∗l [kg/kg] Fração máxima de gás adsorvido armazenado
m [kg] Massa
m [kg/s] Vazão mássica
m′′ [kg] Fluxo de massa
n — Vetor normal unitário
p [Pa] Pressão (poderá ser utilizado bar)
p0 [Pa] Pressão inicial
q [kg/kg] Quantidade adsorvida
qm [kg/kg] Quantidade adsorvida na monocamada (eq. de Langmuir)
q ′′ [kg/kg] Vetor fluxo de calor
Q [W] Vazão de calor
r [m] Coordenada radial
ri n [m] Raio interno (entrada) do reservatório
rex [m] Raio externo do reservatório
R [J/(Kmol.K)] Constante universal dos gases
Si [m2] Superfície entrada/saída
Se [m2] Superfície exterior
T [K] Temperatura (poderá ser utilizado ºC)
T0 [K] Temperatura inicial
t [s] Tempo
tc [s] Tempo de carga e descarga não-isotérmico
t f [s] Tempo de carga e descarga isotérmico
xiv
U [J] Energia interna total
U [W] Vazão de energia interna
u [J/kg] Energia interna específica
V [m3] Volume do reservatório
Vg [m3] Volume de gás
V0g [m3] Volume de gás na condição de referência
Vs [m3] Volume de sólido
Vg [m3] Volume vazio útil
Vδ [m3] Volume morto
Vp [m3] Volume das partículas
Vi [m3] Volume de vazio entre partículas
(V /V ) [m3/m3] Capacidade de armazenamento
vg [m/s] velocidade do gás
W [m] Comprimento do reservatório
W [W] Taxa de realização de trabalho
Letras Gregas
α [m2/s] Difusividade térmica
ρ [kg/m3] Massa específica
ρg [kg/m3] Concentração volumétrica da fase gasosa
ρl [kg/m3] Concentração volumétrica da fase adsorvida
ρs [kg/m3] Massa específica estrutural
ρg ,max [kg/m3] Valor máximo da massa específica do gás durante o processo
ρg ,min [kg/m3] Valor mínimo da massa específica do gás durante o processo
ρl ,max [kg/m3] Valor máximo da massa específica adsorvida durante o processo
ρl ,min [kg/m3] Valor mínimo da massa específica adsorvida durante o processo
xv
σ — Coeficiente na equação de Darcy
ε — Porosidade
ϕ — Correlação entre a entalpia media volumétrica e a de carga/descarga
γ — Parâmetro generalizado da condição de contorno
β — Coeficiente de expansão térmica
κ — Índice adiabático (κ= cp /cv )
Subscritos
b Leito poroso adsorvente
s Fase sólida
l Fase adsorvida
g Fase gasosa
0 Condição inicial
ad v Advectado
c Valor crítico
e Efetivo ou equivalente
i n Entrada
out Saída
max Valor máximo
min Valor mínimo
p Partícula
w Parede do reservatório
Superscritos
∗ Quantidade adimensional
+ Parâmetro modificado
xvi
′′ Por unidade de área
′′′ Por unidade de volume
xvii
Lista de Figuras
1.1 O processo de adsorção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Passos da adsorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Cilindro de GNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Diagrama esquemático do cilindro de armazenamento de GNA e sis-
tema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Tipos de poros: Fechado, aberto e sem-saída . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Esquema básico do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1 Volume de controle elementar e seus vizinhos. . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-
carga com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗
w = 10. . . . . . . . . 126
6.2 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-
carga com o tamanho da malha, para C∗s = 1 e C∗
w = 10. . . . . . . . . . 127
6.3 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga
com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗
w = 10. . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga
com o tamanho da malha, para C∗s = 1 e C∗
w = 10. . . . . . . . . . . . . . 130
6.5 Comparação de resultados com dados da literatura: pressão média. . . 132
6.6 Comparação de resultados com dados da literatura: perfis de temperatura.132
6.7 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗
w = 10. . . . . 134
6.8 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 1 e C∗
w = 10. . . . . 134
6.9 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗
w = 0. . . . . 135
6.10 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 1 e C∗
w = 0. . . . . . 135
6.11 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗
w = 10. . . . . . . 136
6.12 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 1 e C∗
w = 10. . . . . . . 137
6.13 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗
w = 0. . . . . . . 137
xviii
6.14 Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 1 e C∗
w = 0. . . . . . . . 138
6.15 Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗
w = 10. . 140
6.16 Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 1, C∗
w = 10. . 141
6.17 Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗
w = 1. . 142
6.18 Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 1, C∗
w = 1. . . 144
6.19aDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 10 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.19bDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 10 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.20aDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 10 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.20bDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 10 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.21aDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 1 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.21bDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 1 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.22aDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 1 e Bi = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.22bDistribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 1 e Bi = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.23 Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e
Biot para descarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.24 Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e
Biot para carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
B.1 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-
carga com o tamanho da malha, para C∗s = 1 e C∗
w = 0. . . . . . . . . . . 173
B.2 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na des-
carga com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗
w = 0. . . . . . . . . . 174
xix
B.3 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga
com o tamanho da malha, para C∗s = 10 e C∗
w = 0. . . . . . . . . . . . . . 175
B.4 Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga
com o tamanho da malha, para C∗s = 1 e C∗
w = 0. . . . . . . . . . . . . . 176
B.5 Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1,
Fo = 10 e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗s = 10 e C∗
w = 10. . . . . . . . 177
B.6 Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1,
Fo = 10 e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗s = 1 e C∗
w = 10. . . . . . . . . 178
B.7 Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1,
Fo = 10 e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗s = 10 e C∗
w = 1. . . . . . . . . 178
B.8 Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1,
Fo = 10 e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗s = 1 e C∗
w = 1. . . . . . . . . 179
B.9 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 10 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.10 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 10 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
B.11 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10,
C∗w = 1 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.12 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1,
C∗w = 1 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
xx
Lista de Tabelas
1.1 Meios de armazenamento de gás natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Diferentes modos de armazenamento de metano. . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Diferentes modelos de Isotermas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.1 Valores das variáveis relativas ao processo . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Valores das variáveis relativas ao adsorvente . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Valores das variáveis relativas ao reservatório e da convecção na su-
perfície externa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Valores das variáveis relativas ao adsorvato (gás e à fase adsorvida) . . 120
6.5 Valores das dimensões relativas ao reservatório . . . . . . . . . . . . . . 121
6.6 Valores para os grupos adimensionais calculados . . . . . . . . . . . . . 121
6.7 Valores para σ∗ calculados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.8 Valores para os parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.9 Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações. . . . 123
6.10 Valores de ordens calculadas para processos de descarga à vazão cons-
tante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.11 Valores das ordens calculadas para processos de carga à pressão de
entrada constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.12 Dados utilizados nas comparações com resultados da literatura. . . . . 131
xxi
Capítulo 1
Introdução
1.1 Considerações preliminares
Nos últimos anos, o tema ambiental estimulou novas pesquisas em busca de com-
bustíveis alternativos. Neste âmbito, ressalta-se o gás natural (GN)1. Existe grande
interesse pelo gás natural por ser um recurso natural ainda disponível em grandes quan-
tidades e ecologicamente mais atrativo devido à sua queima mais limpa. Todavia, para
que a sua utilização seja factível, é necessário que o GN seja armazenado de forma
segura, prática e econômica.
Muitos estudos têm sido realizados com objetivo de desenvolver formas melhores
e mais eficazes de transporte e armazenamento de GN. Na atualidade há dois méto-
dos principais de armazenamento de GN bem conhecidos: o Gás Natural Comprimido
(GNC), que tem a desvantagem de trabalhos em altas pressões (200 bar), requerem
reservatórios pesados para o transporte, e possuem custos elevados da compressão, e o
Gás Natural Liquefeito (GNL), que requer de temperaturas criogênicas como pode-se
observar na tabela 1.1. Nesta tabela a relação V/V é a capacidade de armazenamento
para as diversas alternativas de armazenamento e transporte de gás natural, é um pa-
1 O GN é definido como uma mistura de hidrocarbonetos. De acordo com a tese da origem orgânicados hidrocarbonetos, organismos aquáticos das bacias marinhas ou lacustres, vegetais carregados pelascorrentes fluviais, microrganismos que se encontravam nos sedimentos depositados, entre outros com-ponentes acumulados ao longo de milênios em certas situações geológicas, acabaram rearrumando-senuma espécie de hidrocarboneto primordial, o querogêneo, o qual foi transformado progressivamente,devido às condições de pressão e temperatura crescentes, até dar origem ao metano seco.
1
râmetro que caracteriza a eficiência de transporte, pode-se observar que no transporte
em estado líquido seu volume é reduzido em aproximadamente 600 vezes, de modo
que uma unidade de transporte de capacidade de 200 mil metros cúbicos armazena, na
verdade, 120 milhões de metros cúbicos de gás, mas requer instalações dedicadas para
liquefação e regaseificação nos pontos de envio e recepção.
Tab. 1.1: Meios de armazenamento de gás natural.
GNL GNLP GNC GNA GN
Temperatura (0C ) -160 -60 a -123 amb amb ambPressão (bar) 1 13 a 68 até 250 34-62 ambV/V 600 600 225 150-180 1
Uma das alternativas para se elevar a densidade energética volumétrica de um tan-
que combustível movido a gás natural seria através do seu armazenamento por lique-
fação. Porém, devido ao baixo valor da temperatura crítica do metano (191 K), que
é o principal componente do gás natural, não se pode liquefazer o GN à temperatura
ambiente. Embora a liquefação seja possível a temperaturas criogênicas, cerca de 150
K, a configuração do reservatório de armazenamento e o processo de carga não seriam
adequados para aplicação veicular [1]. Uma tecnologia relativamente nova vem sendo
considerado como uma alternativa promissora: O Gás Natural Adsorvido (GNA) que
apresenta maior densidade à pressão bem mais baixa que o GNC (35 bar e 40 bar), e
não exige a redução de temperatura extrema como o GNL. Uma tabela comparativa é
apresentada mostrando os diferentes modos de armazenamento (tabela 1.2 adaptada de
[2]).
Tab. 1.2: Diferentes modos de armazenamento de metano.
GNL GNC GNA Gás
Temperatura (K) 113 298 298 298Pressão (MPa) 0,1 20 3,5 0,1Densidade (g/cm3) 0,4 0,15 0,13 0,00065Densidade relativa 600 230 200 1
2
1.1.1 O processo de adsorção
A adsorção é um fenômeno físico-químico onde o componente de uma fase gasosa
ou adsorvida é transferido para a superfície de uma fase sólida.
A adsorção química, ocorre quando há uma interação química entre a molécula
do meio e a do sólido, o que altera a estrutura eletrônica da molécula, tornando-a
extremamente reativa. Ao contrário da adsorção física, as temperaturas deste processo
são elevadas. Este tipo de adsorção normalmente é irreversível [3].
Na adsorção física a interação entre as moléculas do meio e do sólido é fraca, com
ligações do tipo intermoleculares, baseadas em forças de Van der Wals, normalmente,
a adsorção física ocorre a baixas temperaturas, e rapidamente é reversível [4]. A mo-
lécula no meio possui movimentos de rotação, translação e vibração, porém, quando
ela é adsorvida, ela acaba ficando "presa"no sólido, fazendo com que o movimento de
translação dela seja limitado a somente o movimento da molécula sobre o sólido.
Os componentes que se unem à superfície são chamados adsorvatos, enquanto que
a fase sólida que retém o adsorvato é chamada adsorvente como é mostrado na figura
1.1 (retirada de [5]). A remoção das moléculas a partir da superfície (processo inverso)
é chamada dessorção [6]. A migração destes componentes de uma fase para outra tem
Fig. 1.1: O processo de adsorção.
como força motriz a diferença de concentrações entre o seio do fluido e a superfície do
adsorvente. Como o adsorvato concentra-se na superfície do adsorvente, quanto maior
3
for esta superfície, maior será a eficiência da adsorção. Por isso geralmente os adsor-
ventes são sólidos com partículas porosas [7]. Entre os adsorventes para Gás Natural,
os carvões microporosos pertencem a uma importante classe de materiais, sendo co-
nhecidos como carvão ativado (CA). A utilização de carvão ativado tem demonstrado
grande potencial para o armazenamento do gás na forma adsorvida. Dentre os sóli-
dos porosos utilizados na indústria, o CA é o mais versátil devido à sua elevada área
superficial e volume de microporos. Esta porosidade diferenciada é classificada pela
União Internacional de Química Pura e Aplicada (IUPAC) 2 segundo o tamanho em
macroporos maior que 50 nm, mesoporos entre 2 e 50 nm e microporos secundários
entre 0,8 e 2 nm e microporos primários menor que 0,8 nm.
Uma característica incomparável do carvão é a grande superfície interna localizada
dentro da rede de poros estreitos, onde a maior parte do processo de adsorção ocorre
e o tamanho e forma dos poros também influenciam na seletividade da adsorção. Em
torno de 1/3 da produção mundial de CA é de origem vegetal, sendo esta proporção
muito maior nos Estados Unidos da América e na Europa [8]. Sabe-se também que
um grande volume de microporos, altas áreas superficiais e diâmetros médios de poros
menores entre 8 e 20 Å tendem a favorecer o aumento da eficiência do adsorvente. A
literatura [9] reporta dois materiais desenvolvidos consideravelmente, o Busofit e as
fibras de Carvão Ativado, sendo este último composto de microporos, poucos meso-
poros e praticamente nenhum macroporo, acarretando numa taxa de empacotamento
maior que a do carvão ativado normal.
A cinética do processo de adsorção depende da velocidade relativa entre quatro
passos [10]:
1. Transporte (por convecção-difusão) do material (substância) a ser adsorvido (ad-
sorvato) para a camada adsorvida.
2. Transporte predominantemente por difusão da camada adsorvida até a entrada
dos poros do adsorvente (difusão externa).
3. Transporte através dos poros.2 International Union of Pure and Applied Chemistry.
4
4. Adsorção, ligação do adsorvato sobre a superfície de um adsorvente, podendo
envolver mecanismos como adsorção física, adsorção química, troca iônica, pre-
cipitação, e complexação.
A dessorção é o processo inverso destes quatro passos descritos.
A cinética da adsorção é importante já que controla a eficiência do processo. A
figura 1.2 mostra os quatro passos da adsorção (Adaptado de [10]).
Fig. 1.2: Passos da adsorção
1.2 Revisão bibliográfica
Uma área ativa de pesquisa e desenvolvimento em GNA é a de modelagem, simu-
lação e ensaios de ciclos de carga e descarga em vasos de armazenamento de GNA,
que visa o estudo dos fenômenos diretamente envolvidos no processo de confinamento
e utilização do gás, para a avaliação dos pontos críticos operacionais. Este é o assunto
principal do presente trabalho.
5
1.2.1 Materiais Adsorventes
Nesta seção são apresentados os trabalhos que estão associados aos materiais ad-
sorventes utilizados no processo de armazenamento de GNA.
Namvar et al. [11] apresentaram um estudo que descreve a preparação de carbono
ativado para o armazenamento de metano. Os autores desenvolveram um modelo por
Redes Neurais (RN) para correlacionar os parâmetros característicos do carbono ati-
vado. O modelo foi projetado utilizando as ferramentas do Matlab (toolboxes) que
fornecem a melhor resposta para a correlação dos parâmetros característicos do CA.
A capacidade de armazenamento de metano foi medida, resultando em 180 V/V 3 e o
erro relativo variou entre 0% e 20%. Os autores consideraram tais erros aceitáveis.
Um estudo teórico foi apresentado por Salehi et al. [12]. Este foi conduzido para
determinar exatamente a quantidade da adsorção e da dessorção do metano pelo car-
bono ativado granulado (CAG) sob circunstâncias físicas diferentes. Foram usados vá-
rios modelos de isotermas de adsorção para comparar com dados experimentais. Neste
trabalho, os resultados obtidos da comparação dos modelos das isotermas de adsorção,
mostram que as características físicas de carbonos ativados, o volume do microporo,
a densidade de empacotamento, e o tamanho do poro tem um papel importante na
quantidade de adsorção e dessorção do metano.
O trabalho inicial de Neto [13], apresentou-se uma análise teórico experimental de
ciclos de carga e descarga em um protótipo de vaso de armazenamento de gás natural
adsorvido em um leito de carvão ativado. Os dados experimentais foram comparados
com simulações obtidas com um modelo matemático proposto para prever o com-
portamento da pressão, temperatura média e massa de gás natural armazenada. Para
validação do modelo, os parâmetros de entrada (a densidade de empacotamento, o ca-
lor de adsorção, a porosidade do leito, a porosidade das partículas, calor específico
do sólido, do gás, do material, do recipiente, condutividade térmica e coeficiente de
transferência de calor por convecçaõ) foram calculados independentemente, através da
análise das características texturais da amostra de carvão utilizada e do levantamento3 Volume do gás armazenado nas CNTP por volume do reservatório.
6
de isotermas de equilíbrio de adsorção de metano. Também foram determinadas as
isotermas de adsorção do etano, propano e butano, constituintes do gás natural em me-
nores proporções, isto, para avaliação da influência da composição do GN na eficiência
do processo de armazenamento. O autor realizou testes com gás natural e simulações
com metano puro. Os resultados mostraram discrepâncias nas previsões do modelo,
conduzindo à conclusão de que é inadequado assumir que o gás natural apresenta com-
portamento semelhante ao de seu componente em maior proporção, o metano. A partir
deste fato, as simulações foram comparadas com dados experimentais usando metano
puro, observando-se boa concordância nos resultados. A pressão e a massa armaze-
nada foram preditas satisfatoriamente para a temperatura média dentro do recipiente,
apesar dos efeitos térmicos não precisamente levados em conta no modelo.
Ridha et al. [14] analisaram experimentalmente o comportamento térmico no arma-
zenamento de GNA sob a condição dinâmica de carga usando dois carbonos ativados
diferentes, que foram caracterizados em laboratório, provenientes da casca de coco e
ativados com vapor. O carbono ativado AC-L (local-made) mostrou ter melhor capa-
cidade de armazenamento isotérmico do que o AC-D (carbon ativado Darco) devido a
sua elevada estrutura porosa.
No trabalho de Pupier et al. [15], carbonos ativados foram usados para armaze-
nar o gás natural à pressão moderada (3.5 MPa), comparado ao de alta pressão (20
MPa) exigido para a tecnologia de gás natural comprimido. Assim, muitos estudos
foram direcionados à elaboração de materiais adsorventes apropriados para aperfei-
çoar a capacidade de armazenamento de metano. Não obstante, como o gás natural é
constituído de aproximadamente 95% de metano misturado com outros componentes,
uma deterioração importante do desempenho do armazenamento foi observada após
ciclos sucessivos de carga e descarga de um sistema de GNA. Os resultados experi-
mentais obtidos indicaram um grande impacto da composição do gás no desempenho
de um sistema de armazenamento de GNA. O valor exato do desempenho final depende
provavelmente da composição do gás natural, além disso, a estrutura microporosa do
carbono ativado também pode influenciar o resultado. A análise da cromatografia de
7
gás tomado na entrada do cilindro mostrou que os diferentes componentes contidos no
gás natural, obstruem lentamente os locais da adsorção do metano.
Biloe et al. [16] caracterizaram um novo material adsorvente para se atingir capa-
cidades de estocagem próximas de 150 V/V com grande coesão mecânica. Este novo
material é uma mistura de carbono superativado denominado PX-21 (Maxsorb) e gra-
fite natural expandido (ENG). Por meio de testes experimentais utilizando variações
de composição deste material, os autores obtiveram dados que resultaram numa capa-
cidade de descarga de metano numa faixa de 110-125 V/V sob condições isotérmicas
com condutividade térmica na faixa de 2-8 W/(m.K).
Posteriormente, Biloe et al. [17] apresentaram um estudo experimental e elabora-
ram um modelo teórico em duas dimensões para um sistema adsortivo com gás natural
através da implementação de um adsorvente compósito, constituído de um carvão ati-
vado e grafite natural expandido. Os autores buscaram melhorar as condições de trans-
ferência de calor e massa durante os processos de carga e descarga de metano puro em
um cilindro de armazenamento de 2 L de capacidade, utilizando um difusor interno
para distribuição radial de metano. A relação de equilíbrio de adsorção adotada foi
a de Dubinin-Astakhov. Os resultados mostraram que o carbono ativado deve ter um
comprimento médio de microporos de 1.5 nm a 2.5 nm para a carga e descarga, res-
pectivamente, e um potencial altamente microporoso. Os testes realizados mostraram
a necessidade do carbono ativado ser altamente permeável e altamente condutivo para
o processo de carga e descarga.
Martins et al. [18] desenvolveram um estudo teórico e experimental. Os gases
metano e etano, foram armazenados separadamente por adsorção em um cilindro de
armazenamento de 500 cm3 preenchido com uma amostra de 146.93 g de carvão ati-
vado NUCHAR NG. Foram feitas avaliações experimentais de adsorção em condições
não isotérmicas operando em processo de carga. O processo consistiu na alimentação
do gás no cilindro de armazenamento sob uma vazão constante, até uma determinada
pressão de carga pré-estabelecida. Os experimentos foram conduzidos, respectiva-
mente, para o metano (10.2 bar; 30.5 bar; 60.3 bar) e para o etano (10.1 bar; 30.1 bar),
8
e aplicaram-se diferentes pressões de carregamento na maior vazão (9.095 l/min). Para
a etapa de descarga foram empregadas as mesmas vazões de carregamento da etapa
de carga, e esta consistiu em retirar o gás armazenado sob uma vazão constante até à
pressão manométrica de 10.1 bar. As vazões aplicadas nos testes de carga e descarga
foram de 1.14 l/min, 5.13 l/min, 9.095 l/min. Nos testes experimentais mostrou-se que
é viável a utilização de adsorventes porosos no armazenamento dos gases componen-
tes do gás natural. Observou-se também que elevações da pressão de carga dos gases
componentes do GN de 10.1 bar para 30.1 bar conduziram a acréscimos da massa do
gás adsorvido, de cerca de 128% com o metano e 158% para o etano. Os valores das
quantidades adsorvidas são mais pronunciados no caso do etano, demonstrando assim
o seu maior caráter adsortivo. Dentro desta concepção, os autores desenvolveram um
modelo não isotérmico capaz de simular as operações de carga do metano nas pressões
de 10 bar a 60 bar. As simulações mostraram as evoluções da pressão e da temperatura.
Mantraga et al. [19] determinaram a capacidade máxima de estocagem adsortiva
de gás natural em carbono. Para tal, realizaram experimentalmente simulações mole-
culares de adsorção a fim de determinar a estrutura microporosa ótima do carbono. Os
autores consideraram que as simulações moleculares são mais reais, pois a afinidade
entre moléculas de metano e átomos de carbono é determinada por forças intramo-
leculares reais. Desenvolveram um modelo idealizado e consideraram as dimensões
moleculares de um espaço a ser ocupado por adsorção de GN entre duas camadas de
carbono. Conhecida a área transversal do espaço a ser ocupado, e mediante vários ci-
clos de descarga, conseguiram determinar qual o valor de distância entre as camadas
(altura com dimensão molecular) fornecia a melhor condição de descarga de metano.
Para condições isotérmicas, os autores conseguiram valores de capacidade de estoca-
gem da ordem de 209 V/V para carbono monolítico e 146 V/V para carbono peleti-
zado a 3,4 MPa. Para condições reais, as capacidades máximas de descarga de metano
registraram valores de 195 V/V e 137 V/V para carbono monolítico e peletizado res-
pectivamente.
No trabalho de Oliveira [20], avaliaram-se os efeitos cinéticos e de equilíbrio da
9
adsorção do gás metano em carvões ativados nacionais produzidos pelo laboratório de
Carvão Ativado da UFPB a partir do endocarpo do coco da baía, tendo sido usada uma
amostra comercial, denominada Mesh 10x35US, como referência. As operações do
processo adsortivo, para obtenção dos dados cinéticos e de equilíbrio, foram condu-
zidas em um sistema barométrico. A amostra comercial Mesh 10x35US apresentou
maior capacidade de adsorção, por unidade de massa, com 0,0642 g/g, seguida pela
amostra CAQ 91R com 0,0423 g/g sob pressão de 4 MPa e 301 K; sob pressão de 8
MPa, estas amostras conduziram a 0,1003 g/g e 0,0856 g/g, respectivamente. A amos-
tra EDK ¾ 750 apresentou maior capacidade volumétrica de adsorção (QV/Vads) e
capacidade de armazenamento de gás (QV/V), com 74,76 V/V e 116,24 V/V, respecti-
vamente, sob 8 MPa.
Posteriormente no trabalho Lozano-Castello et al. [2] os autores consideraram a
tecnologia de GNA, onde o gás é armazenado principalmente sob a forma adsorvida
em um sólido poroso a pressões moderadas (35 bar a 40 bar), é a alternativa de maior
potencial para substituição do GNC, com expectativas de se reduzir os gastos opera-
cionais inerentes ao processo de carregamento, permitindo também a flexibilidade de
projeto, configuração dos tanques combustíveis e aumento da segurança do sistema de
armazenamento.
Monge et al. [21] realizaram um estudo experimental do problema de armazena-
mento de metano em duas séries de fibras de carbono ativado. Wegrzyn e Gurevich [22]
comparam o GNA armazenamento com o CNG e o GNL, fornecendo uma previsão de
custos associados a cada tecnologia. O maior problema com gás natural adsorvido
é que o efeito do aquecimento de adsorção (e resfriamento) degrada a capacidade de
armazenamento.
Pupier et al. [15] realizaram um estudo experimental do efeito das operações de
carga e descarga no armazenamento de GNA. Outros estudos experimentais com fins
comparativos no armazenamento de metano usando carbono ativado seco e molhado
foram estudados por Perrin et al. [23], Perrin et al. [24] e por Zhou et al. [25], Zhou
et al. [26]. Esteves et al. [27] apresentaram resultados experimentais do equilíbrios
10
de adsorção de diversos compostos naturais do gás em um carbono ativado. Carvalho
et al. [28] pesquisou o uso dos carbonos ativados a partir do desperdício da cortiça para
componentes do GNA. A aplicabilidade de novos materiais para o armazenamento do
metano foi estudado por Duren et al. [29], usando simulações moleculares. A adsorção
do metano com diferentes carbonos ativados foram estudados experimentalmente por
Balathanigaimani et al. [30]. Recentemente, novos materiais para o armazenamento de
gás natural têm emergido; entre estes, as estruturas orgânicas metálicas (MOFs) foram
o assunto de inúmeras pesquisas (Duren et al. [29], Wood et al. [31], Wu et al. [32],
X.D. Dai et al. [33]).
1.2.2 Modelos numéricos
Nesta seção são apresentados os modelos numéricos encontrados na literatura sobre
a análise dos processos de carga e descarga em reservatórios de armazenamento gás
natural adsorvido, foi constatado que a literatura sobre este assunto é extensa e inclui
estudos numéricos e experimentais.
Santos et al. [34] apresentaram um estudo numérico para uma nova configuração
de reservatório de gás natural por adsorção. Os reservatórios tradicionais empregados
no armazenamento de GNA revelam limitações sérias para o uso em sistemas da carga
rápida por causa de sua má capacidade de dissipação do calor de adsorção. A fim de
eliminar os efeitos prejudiciais do calor de adsorção e tornar viável a carga rápida do
gás no cilindro, foi proposto um recipiente com diversos tubos no meio do carbono
ativado. O modelo considerou efeitos radiais desprezíveis, e o gás natural como sendo
composto de metano puro com características de gás ideal. O coeficiente de difusão
de massa efetiva foi considerado constante, e a temperatura dentro das partículas do
adsorvente foi assumida uniforme. Um código computacional, baseado no método de
volumes finitos foi desenvolvido para resolver as equações que descrevem a dinâmica
do processo de carga. Os resultados mostraram que o tempo da carga do sistema novo
pode variar de 50 a 200 s, dependendo da vazão mássica aplicada. Estes períodos de
tempo são considerados satisfatórios para condições de carga rápida. Uma vantagem
11
deste sistema novo é que não há nenhuma necessidade de adicionar acessórios em-
pregados nos tanques tradicionais como aletas, difusor (tubo perfurado) no centro do
tanque e um revestimento frio externo, que aumentariam a complexidade de projeto.
Os autores, através das simulações obtidas mostraram que uma diminuição da tem-
peratura na entrada do gás gera uma diminuição na temperatura média do leito e um
aumento na massa de gás adsorvida.
Os autores Neto et al. [35] realizaram um estudo numérico e experimental, apresen-
tando dados experimentais de testes de armazenamento de metano em carbono ativado
realizado em um protótipo de recipiente com pressões acima de 40 atm. Foi apre-
sentado também um modelo dinâmico para carga e descarga do recipiente de armaze-
namento baseado no modelo proposto por Mota et al. [36]. O modelo de simulação
usou os dados medidos experimentalmente como parâmetros de entrada obtendo uma
concordância razoável entre resultados experimentais e simulados.
No trabalho de Basumatary et al. [37], considerou-se uma matriz porosa homogê-
nea isotrópica de carbono ativado dentro de um cilindro de aço para adsorção de gás
natural, considerando o gás como metano puro. O fluxo de calor foi modelado usando
uma técnica de cálculo do volume médio com a formulação de Darcy-Brinkman que é
uma modificação da formulação de Darcy, os efeitos inerciais e viscosos são conside-
rados e dados por [38]. Para a solução numérica foi empregada a técnica de volumes
finitos resolvendo as equações de conservação de massa, conservação da quantidade
de movimento e conservação de energia. Os perfis de temperatura transientes foram
obtidos no leito poroso durante o processo de carga, e foi calculado a correspondente
adsorção de massa. Os autores executaram também estudos paramétricos para inves-
tigar os efeitos da temperatura de entrada do gás e a razão de carga à temperatura
máxima do leito, e o tempo requerido de carga do cilindro, os resultados mostraram
que estes efeitos têm pouca influência no aumento da temperatura do leito.
Um estudo teórico e experimental sobre o desempenho de uma nova fibra de car-
bono ativado, denominada Busofit (discos de fibra de carbono ativado), na estocagem
de metano foi apresentado por Vasiliev et al. [9]. O modelo teórico bidimensional con-
12
sidera as equações de conservação de energia em coordenadas cilíndricas, a equação de
continuidade, uma equação cinética de adsorção e a relação de Dubinin-Radushkevich.
Os autores consideraram pressão uniforme na entrada e saída durante os processos de
carga e descarga de GNA dentro da estrutura porosa, e também consideraram gás ideal
dentro dos macroporos. A troca de energia durante a expansão ou a compressão de
gás foi considerada insignificante, e a resistência da difusão de massa foi considerada
pequena. Ainda, apenas o escoamento na direção radial no interior do leito poroso foi
considerado. Para o aumento da quantidade de gás na descarga, os autores sugeriram a
utilização de um tubo de calor inserido no centro do cilindro para o controle térmico.
Com o novo material microporoso os autores registraram quedas de temperatura da
ordem de 25ºC dentro da camada adsorvente e obtiveram 150 V/V de capacidade de
estocagem de metano à pressão de 3.5 MPa.
Torres et al. [39] simularam numericamente o comportamento de um vaso de ar-
mazenamento de gás natural adsorvido a fim de avaliar o efeito do calor de adsorção
durante os ciclos de carga e descarga. Foram formulados dois modelos para os ciclos
de carga e descarga. No primeiro modelo, partiu-se de uma função que representa
o comportamento da pressão com o tempo e a solução do problema foi alcançada
resolvendo-se somente a equação da energia. Numa segunda abordagem, tanto a pres-
são como a temperatura foram consideradas como variáveis dependentes, de sorte que
as equações da conservação de massa e de energia foram resolvidas simultaneamente.
O escoamento do gás no meio poroso foi descrito pela Equação de Darcy e a adsorção
foi admitida como instantânea. O adsorvente considerado foi o carvão ativado mi-
croporoso, cuja relação de equilíbrio de adsorção pode ser expressa por uma equação
Virial. As variáveis dependentes a serem calculadas foram a massa específica do gás,
a pressão, a temperatura, e a concentração da fase adsorvida. O sistema de equações
algébrico-diferenciais parciais foi resolvido pelo solver gPROMS [40], por colocação
ortogonal sobre elementos finitos, tanto para variável tempo como para variável radial.
Os perfis de temperatura e a perda da capacidade em condições de operação dinâmica
de carga e descarga foram calculados numericamente. A perda de capacidade dinâ-
13
mica em condições moderadas de vazão de alimentação ou descarga variou de 15%
a 20% da capacidade em condições de operação isotérmica. A queda de temperatura
na descarga pode chegar a perto de 30ºC no centro do vaso. É mostrado ainda que a
capacidade térmica e o coeficiente de transferência de calor na superfície externa do
vaso são fatores importantes no desempenho dinâmico.
Um estudo que avalia o desempenho de uma unidade semipiloto de estocagem de
GNA foi apresentado por Souza [41]. No processo, o gás metano, representando o gás
natural, foi armazenado por adsorção em um cilindro preenchido com uma amostra
do carvão ativado NUCHAR NG da MeadWestvaco (Estados Unidos). Avaliou-se a
influência dos parâmetros operacionais, pressões, e vazões de carga e descarga. Os
efeitos de compressão e descompressão, transferência de massa na estrutura porosa e
interação adsortiva na superfície do sólido foram contabilizados mediante a elabora-
ção de um modelo não-isotérmico. A partir desta concepção foi possível representar
as evoluções dos perfis de pressão e temperatura durante as etapas de carga e descarga.
As operações semi-contínuas não-isotérmicas de carga e descarga foram realizadas se-
gundo a técnica barométrica, à temperatura ambiente de 297,65 K, na faixa de pressão
de carga de 10,1 bar a 65,2 bar. Os tempos de carga encontrados variaram entre 0,44%
e 13,24% do tempo total do ciclo de carga (4 horas), e a capacidade de armazenamento
volumétrica para uma operação de carga rápida foi de 55,93 V/V.
No trabalho de Lara [42] foi apresentado um modelo numérico bidimensional tran-
siente, desenvolvido para prever o comportamento dinâmico de um reservatório do
Gás Natural Adsorvido durante o processo de descarga de gás natural sob condições
reais. O modelo também consegue prever a influência de um dispositivo de controle
térmico na intensificação da quantidade de gás a ser retirada do reservatório. Como
dispositivo de controle térmico foi considerado um tubo de calor inserido no sentido
axial no centro do cilindro. O modelo permite analisar a influência da variação de ou-
tros parâmetros importantes na transferência de calor do sistema como o coeficiente
de transferência de calor por convecção na parede do cilindro, a condutividade térmica
efetiva do leito poroso e a capacidade térmica da parede do cilindro. Foram realizadas
14
simulações do processo de descarga em um cilindro de Gás Natural Adsorvido com
dimensões comerciais, obtendo-se resultados satisfatórios.
Mota [43] apresentou um modelo teórico para operações cíclicas de carga e des-
carga de gás natural por adsorção visando avaliar o desempenho do sistema de adsorção
através da influência de adsorção de outros hidrocarbonetos presentes no gás natural
como o etano, propano, n-butano e n-pentano para uma pressão de carga de 35 atm,
resultando em um tempo de descarga de quatro horas para o cilindro empregado (apro-
ximadamente 23 l de capacidade). Foi mostrado que para regiões de baixa pressão em
torno de 1,4 atm, os componentes mais pesados que o metano têm maior seletividade de
adsorção no carvão ativado, fazendo com que ficassem retidos no leito após o processo
de descarga. O acúmulo desses componentes reduz a eficiência dinâmica de adsorção,
segundo a definição de [44] através do número de ciclos de carga/descarga. Como al-
ternativa o autor propôs o emprego de um leito filtrante de carvão ativado instalado na
estação de abastecimento, que poderia ser facilmente regenerado pelo aquecimento do
leito.
Na investigação de Mota et al. [36] vários aspectos da dinâmica do sistema de
armazenamento do gás natural por adsorção empregando carvão ativado foram estuda-
dos. A carga rápida do sistema de armazenamento foi estudado e ênfase foi dada aos
efeitos térmicos e à hidrodinâmica do escoamento através do leito de carvão. Os auto-
res estudaram também a influência da resistência de difusão na dinâmica do processo
de carga e utilizaram uma equação de transporte por difusão apenas nas intrapartículas
que foi adicionada ao modelo computacional. Também foi discutido o processo de
descarga lenta e as soluções propostas para reduzir o efeito adverso de calor de adsor-
ção na capacidade de armazenamento, incluindo o armazenamento da energia térmica
in situ. Os autores observaram também que o efeito da resistência à difusão na carga
dinâmica é um assunto que recebe pouca atenção na literatura.
O trabalho de Mota et al. [45] apresentou um estudo numérico do processo de carga
de sistemas de armazenamento de GNA, com ênfase dada ao impacto da resistência de
difusão de massa dentro de partículas adsorventes. Além da cinética de adsorção e dos
15
efeitos térmicos, o modelo de simulação leva em consideração o transporte de massa
dentro do adsorvente e a hidrodinâmica de escoamento através do leito. Os autores
observaram que quando as resistências de difusão em partículas são significativas, a
pressão dentro do reservatório não segue a curva da carga. A ascensão inicial da pres-
são é governada pela hidrodinâmica do escoamento no leito. A maioria do enchimento
ocorre perto da pressão da carga nominal com uma taxa controlada pelo transporte de
difusão da intrapartícula. Mostrou-se também que o campo de temperatura dentro do
reservatório permanece quase uniforme durante uma descarga rápida [46]. Esta é uma
consequência da natureza praticamente adiabática do processo e da temperatura ser
dependente somente das condições dentro do reservatório. Por outro lado, quando a
duração da descarga é aumentada consideravelmente, a não uniformidade do campo de
temperatura é causada pela transferência térmica dos arredores ao leito.
Walton e LeVan [47] apresentaram um modelo matemático unidimensional para es-
tudar a influência dos efeitos não-isotérmicos e impurezas contidas no gás natural
durante os ciclos de armazenamento, e Zhou [48] empregou uma formulação consi-
derada simples para o armazenamento do GN. Embora a simulação e modelagem da
transferência de calor e massa seja uma característica importante no desenvolvimento
da tecnologia do GNA, a maioria dos estudos é focalizado na avaliação e desenvolvi-
mento de novos adsorventes para o armazenamento de gás natural.
Hirata et al. [49] apresenta um modelo numérico do processo de descarga lenta de um
cilindro de metano preenchido com material adsorvente. O modelo é resolvido pelo
método da transformada Integral, produzindo uma solução numérico-analítico híbrido
da equação de energia relacionado. Uma formulação unidimensional transiente não
linear é adotada, a qual inclui as capacidades térmicas do gás comprimido e adsorvido,
o efeito da capacidade térmica da parede do reservatório e a influência da compressibi-
lidade do gás. O balanço de massa global é empregado para determinar a evolução do
campo da pressão, assumida como espacialmente uniforme. Uma análise é executada
com dados numéricos e experimentais disponíveis na literatura, e a relativa importân-
cia de alguns termos da formulação da equação da energia é verificado. Finalmente,
16
as diferentes possibilidades para a redução do efeito adverso do calor de adsorção na
capacidade de armazenamento são propostos e investigados.
Os Modelos teóricos
Finalmente, a previsão da dinâmica dos ciclos de carga e descarga de um reser-
vatório de GNA tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores nos últimos anos.
Assim, autores como Mota et al. [36], Mota et al. [45], Mota [43], Barbosa Mota et al.
[50], Vasiliev et al. [9], Neto et al. [35], Basumatary et al. [37], Santos et al. [34],
publicaram trabalhos sobre modelagem de sistemas GNA considerando efeitos térmi-
cos ao longo de ciclos contínuos de carga e descarga. A modelagem normalmente
se baseia na formulação de balanços de massa e de energia para o sistema, com um
maior ou menor grau de detalhamento quanto aos fenômenos de transferência envol-
vidos. Não obstante, a estratégia de solução demanda a compreensão apropriada dos
mecanismos de transferência de calor e massa que ocorrem dentro dos reservatórios
de GNA. Por causa disto, um grande número de estudos considerando a modelagem
física e matemática do problema foram realizados.
Em função à pesquisa feita neste trabalho, os modelos matemáticos podem ser
classificados da seguinte forma:
• Os modelos globais, que envolvem o desenvolvimento temporal das equações
de conservação. Os trabalhos de alguns autores podem ser considerados dentro
deste tipo de formulação como Zhou [48] que apresenta dois modelos utilizando
a metodologia de parâmetros globais para um processo de descarga lenta em um
cilindro pressurizado para armazenamento de gás natural. da Silva e Sphaier [51]
também utiliza uma formulação global visando desenvolver grupos adimensio-
nais para transferência de calor e massa em armazenamento de GNA.
• Os modelos multidimensionais, que envolvem desenvolvimentos numéricos uni-
dimensionais (r,t) e bidimensionais (r,z,t), dentro deste tipo de formulação temos
autores como Vasiliev et al. [9] que utilizaram um modelo que leva em consi-
deração variações da temperatura nas direções radiais e axiais, as variações da
17
concentração de gás foram consideradas somente no sentido radial, e a isoterma
de Dubinin-Radushkevich foi adotada. Um outro estudo muldimensional é apre-
sentado por Hirata et al. [49], Barbosa Mota et al. [50] e Neto et al. [35] apesar
de considerarem um modelo similar ao de Mota et al. [36] nenhum efeito da di-
fusão da intra-partícula foi considerado. Outro modelo similar foi utilizado por
Basumatary et al. [37] neste estudo a condutividade térmica do meio adsorvente
permite variações com a temperatura.
• Os modelos multidimensionais que focalizam os estudos considerando a influên-
cia dos efeitos da difusão na capacidade de armazenamento. Dentro destes estu-
dos temos os autores Mota et al. [45], Mota et al. [52] e Santos et al. [34].
Apesar da relevância das formulações matemáticas previamente propostas na lite-
ratura, parece que todos são limitados no que diz respeito à normalização do problema.
De fato, nenhum estudo precedente encontrado na literatura apresenta uma discussão
nos grupos adimensionais relevantes à transferência de calor e massa no armazena-
mento de gás natural adsorvido. Observamos que os modelos apresentados na presente
pesquisa bibliográfica consideram modelos dimensionais e é importante salientar que
nenhum dos trabalhos analisados abordou um estudo focado em um modelo mate-
mático considerando uma formulação adimensionalizada. Neste contexto, o principal
foco deste trabalho é fornecer uma apresentação significativa dos parâmetros adimen-
sionais associados ao problema de transferência de calor e massa no armazenamento
de GNA.
1.3 Objetivos
Este trabalho tem como objetivo geral avaliar o desempenho de um sistema de
armazenamento e transporte de gás natural na sua forma adsorvida através da realiza-
ção de ciclos de carga e descarga. Para tanto pretende-se simular o comportamento dos
ciclos de carga e descarga de gás natural em um leito de carvão ativado através da reso-
lução de um modelo matemático localizado na sua formulação adimensional, por meio
18
da implementação de aplicativo computacional. Neste estudo a adimensionalização
coerente da formulação permitirá introduzir parâmetros característicos relevantes aos
processos de transferência de calor e massa, trazendo uma nova visão sobre a pesquisa
de GNA. Como objetivos específicos temos:
• Desenvolver um modelo multidimensional para a transferência de calor e massa
em reservatórios de GNA através da formulação adimensionalizada.
• Estender o estudo dos parâmetros adimensionais desenvolvidos em [51] visando
avaliar o papel das distribuições espaciais no coeficiente de rendimento para
diferentes valores dos parâmetros adimensionais.
• Avaliar as magnitudes dos parâmetros do modelo utilizando dados reais de cons-
trução e operação.
• Desenvolver uma análise dimensional do fenômeno de adsorção no processo de
carga e descarga de GN que permita encontrar relações entre as variáveis que
formam parâmetros adimensionais.
• Analisar o processo de carga e descarga de GN considerando diferentes configu-
rações, através de diferentes valores dos parâmetros adimensionais obtidos.
• Propor e implementar uma solução numérica utilizando o Método dos Volumes
Finitos.
1.4 Contribuições
A pesquisa aqui proposta apresenta uma metodologia nova para analisar a transfe-
rência de calor e massa no armazenamento de gás através da adsorção. O fundamento
envolvendo a metodologia compreende um conjunto de grupos adimensionais fisica-
mente significativos. O desenvolvimento de tais grupos, estão baseados no teorema
Pi de Buckingham [53], fornecendo grupos adimensionais relevantes com uma for-
mulação multidimensional inteiramente normalizada para descrever os mecanismos
de transporte envolvidos no armazenamento de GNA. Desta forma, a formulação é
19
resolvida numericamente e a solução é validada segundo os resultados previamente
publicados em [49].
São apresentados os resultados de um problema unidimensional de um caso-teste
ilustrando o efeito dos parâmetros adimensionais na operação de reservatórios de GNA.
Os grupos adimensionais e a análise dimensional tornaram-se neste trabalho uma con-
tribuição nova para a literatura associada com o armazenamento de GNA como uma
promissora alternativa oferecendo vantagens em relação ao GNC e o GNL, constituindo-
se assim, uma ferramenta para interpretar, avaliar e comparar resultados em situações
reais e práticas. Os resultados iniciais deste trabalho já geraram uma publicação em
periódico internacional [54] e outros trabalhos em congressos [55].
1.5 Organização do trabalho
O Capítulo 1 apresenta as considerações preliminares e objetivos deste trabalho.
No Capítulo 2 serão abordados os conceitos e fundamentos necessários para o desen-
volvimento da modelagem global e multidimensional para um melhor entendimento
dos processos de carga e descarga de GNA que será descrito ao longo desta tese. O
Capítulo 3, apresenta uma análise dimensional do fenômeno de adsorção no processo
de carga e descarga de GN visando introduzir parâmetros característicos relevantes aos
processos de transferência de calor e massa. No Capítulo 4 serão estudadas as variáveis
e parâmetros que governam o fenômeno permitindo encontrar relações entre as variá-
veis que formam parâmetros adimensionais visando avaliar o modelo desenvolvido, e
no Capítulo 5, serão apresentadoa a implementação da solução numérica. Finalmente,
no Capítulo 6 serão apresentados os resultados das simulações para avaliar a influência
dos parâmetros adimensionais sobre a solução, e as discussões serão lançadas para que
as devidas considerações finais possam ser tiradas no Capítulo 7.
20
Capítulo 2
Modelagem física e matemática
2.1 Descrição do problema e modelo físico
O problema do armazenamento de GNA envolve a transferência de calor e massa
dentro de um reservatório enchido com um adsorvente poroso (na forma particulada
ou monolítica), como exibido na figura 2.1. O reservatório tem um acesso comum
Fig. 2.1: Cilindro de GNA
com área Ai n para entrada de massa (durante a carga do cilindro) e saída (durante a
descarga do cilindro). Naturalmente, o sentido do fluxo de massa dependerá do tipo
de operações (carga ou descarga). Embora as paredes do reservatório sejam imper-
21
meáveis, pode haver transferência térmica para os arredores. Na entrada do cilindro,
tem-se somente gás, pois a fase adsorvida só será transformada em seu interior.
A Figura 2.2 mostra o modelo físico adotado para o reservatório de GNA em es-
tudo. Considera-se um reservatório cilíndrico de raio externo rex e comprimento W ,
com espessura de parede δw . Inicialmente, o sistema encontra-se em equilíbrio a uma
pressão p0 e temperatura T0. No instante t = 0, inicia-se a descarga (ou carga) do ci-
lindro com a saída (ou entrada) de gás pela abertura de raio ri n existente na origem
do sistema de coordenadas. A descarga do cilindro comumente ocorre com uma va-
Fig. 2.2: Diagrama esquemático do cilindro de armazenamento de GNA e sistema decoordenadas
zão mássica constante, enquanto a carga irá depender de uma diferença de pressões.
Considera-se que ocorre transferência de calor por convecção entre as paredes externas
do cilindro e o ambiente que se encontra a temperatura T0. A temperatura de entrada
do gás no reservatório é Ti n .
2.1.1 Hipóteses simplificadoras
Para que o modelo matemático seja concebido de forma mais simplificada, algumas
restrições e suposições são consideradas com base nas proposições verificadas em [46],
[56] e [17], tais como:
• As propriedades referentes ao gás natural são consideradas como sendo unica-
mente do metano. Isso se dá pela grande quantidade desse na composição do
22
GN [56];
• O metano assume o comportamento de um gás ideal devido a seu coeficiente
de compressibilidade (Z), na faixa de temperaturas e pressões consideradas, ser
próximo de 0.97 [17].
• Propriedades do gás como massa específica e viscosidade, além das propriedades
do material que constitui o reservatório são consideradas constantes na faixa de
temperatura e pressão abordadas [56];
• A lei de Fourier rege o fluxo de calor no bloco adsorvente. Para o processo de
descarga, a lei de Darcy determina o fluxo de massa no meio poroso [56];
• A convecção natural dentro do reservatório é desprezada [46].
• Não há transferência de calor por radiação devido às temperaturas relativamente
baixas presentes;
• Dentro do reservatório, o gás pode ser transportado por advecção e difusão; toda-
via, ao final da derivação das equações considera-se que o transporte por difusão
é desprezível ao lado da advecção;
2.2 Fundamentação teórica
2.2.1 Porosidade
Considera-se um reservatório preenchido na sua totalidade com um material poroso
particulado (ou monolítico). Tais materiais podem apresentar poros abertos e poros
fechados, enquanto que o volume vazio é subdividido em volume vazio útil (parcela
do volume total que pode ser ocupado pela fase gasosa), Vg , e volume morto (ou não
utilizável, representado pelos poros inacessíveis, ou seja os poros fechados e os poros
sem saída onde não há fluxo de gás), Vδ. A figura 2.3 mostra estes tipos de poros.
Então o volume V pode ser definido em uma forma geral como segue,
23
Fig. 2.3: Tipos de poros: Fechado, aberto e sem-saída
V = Vs + Vδ + Vg (2.1)
onde Vs é o volume do sólido, Vδ é o volume morto e Vg é o volume vazio útil total.
Sabemos que as partículas ou mesmo os adsorventes monolíticos podem ter macro,
meso e microporos interligados, então Vg pode ser subdividido em,
Vg = Vi + Vπ (2.2)
onde Vπ é o volume das intra-partículas e Vi é o volume vazio inter-partículas (nulo
para um material monolítico). substituindo na equação (2.1) temos que,
V = Vs + Vδ + Vi + Vπ = Vp + Vi (2.3)
onde Vp é o volume das partículas. Considerando que os espaços vazios são uniforme-
mente distribuídos no meio poroso a porosidade total (utilizável), ε, a porosidade do
leito (assumindo que o meio é composto de partículas porosas), εb , e a porosidade da
partícula (ou monolítico), εp , são definidas como,
ε = Vi +Vπ
V= Vg
V, εb = Vi
V, εp = Vπ
Vp(2.4)
24
Desta forma, para um material monolítico, εb = 0. A porosidade total está relacionada
com a porosidade do leito e da partícula como,
(1−ε) = (1−εb) (1−εp ) (2.5)
O volume estrutural da partícula (ou material monolítico), é definido como o volume
ocupado pela fração sólida sem os vazios, exceto os poros fechados, portanto a fração
estrutural pode ser escrito por,
Vs +Vδ
Vp= 1−εp (2.6)
2.2.2 Massa específica
Assumindo que a massa do sólido tem distribuição uniforme no meio, a massa
específica estrutural (chamada também de massa específica verdadeira), a qual inclui
os poros fechados e os poros sem saída, é definida como:
ρs = ms
Vs + Vδ(2.7)
Uma medida que está relacionada com o volume sólido e volume morto, é a massa
específica aparente, ρb , que inclui o vazio interparticular e os poros, é definida em
função do volume total,
ρb = ms
V= ρs (1−εb) (1−εp ) = ρs (1−ε) (2.8)
A concentração da fase gasosa é a massa específica do gás, ρg , e é definida pelo modo
convencional utilizando o volume da fase gasosa que é o volume vazio útil, Vg , como
segue
ρg = δmg
δVg, (2.9)
25
A concentração da fase adsorvida, ρl , é definida em termos do volume total,
ρl =δml
δV(2.10)
Desta forma, a massa de uma parcela infinitesimal de gás e gás adsorvido pode ser
escrita, respectivamente, assim:
δmg = ρg δVg = ερg δV (2.11)
δml = ρl δV (2.12)
2.2.3 Balanços gerais de conservação de massa e energia
O balanço geral de massa em um volume de controle, é dado por:
dm
dt= mad v (2.13)
onde m é a massa de gás contida no reservatório. Como não há variação na massa
do adsorvente, consideram-se apenas as variações das fases gasosa e adsorvida, as-
sim o termo de acúmulo de massa é compreendido pela fase gasosa fluida e pela fase
adsorvida,
dmg
dt+ dml
dt= mad v (2.14)
onde mad v representa a taxa de transferência líquida de massa para dentro do volume
de controle considerado.
Conforme a Primeira Lei da Termodinâmica, o balanço geral de energia para um
volume de controle (ou um sistema aberto) é dado pela equação abaixo:
dU
dt+ dK
dt= Q + W + Ead v (2.15)
26
Ead v = Uad v + Kad v (2.16)
onde U é a energia interna, K a energia cinética, Q é a taxa de fornecimento de calor
ao sistema, W é a taxa de realização de trabalho sobre o sistema e Ead v é a vazão de
energia líquida para dentro do sistema devido ao escoamento. Os termos de taxa de
realização de trabalho são dados por:
W = Ws + Wv , com Ws = Wn + Wt (2.17)
onde Ws é o trabalho total de forças de superfície (de contacto), Wv é o trabalho devido
às forças do corpo, Wn é o trabalho de escoamento e Wt é o termo de aquecimento por
atrito.
Desprezando os termos de aquecimento por dissipação de energia mecânica por
atrito:
Wt ≈ 0 (2.18)
e considerando que o efeito combinado de mudanças da energia cinética e potencial1
seja igualmente insignificante:
dK
dt≈ Kad v ≈ Wv ≈ 0 (2.19)
rearrumando os termos chegamos a:
dU
dt= Q +Uad v +Wn (2.20)
onde os dois últimos termos podem ser combinados para produzir o fluxo de entalpia
1 A taxa de variação de energia potencial pode ser calculada pela taxa de realização de trabalhodas forças de corpo (força conservativa gravitacional sendo desprezado pela baixa velocidade devido àpresença do meio poroso).
27
(fluxo de energia interna mais trabalho de escoamento):
Iad v = Uad v +Wn (2.21)
finalmente, produzindo:
dU
dt= Q + Iad v (2.22)
Finalmente, deve-se observar que não é incluído um termo de geração para o calor
de aquecimento ou resfriamento devido à mudança de fase associada à adsorção como
é feito em outros trabalhos sobre GNA. Este termo deve aparecer normalmente após o
desenvolvimento dos termos no balanço anterior.
2.3 Formulação multidimensional
2.3.1 Conservação de massa
Como na formulação global, o termo de acúmulo de massa é compreendido pela
fase gasosa fluida e pela fase adsorvida,
m =∫Vg
ρg dV +∫Vs
ρl dV =∫V
(ερg + ρl
)dV (2.23)
Considerando que a massa da substância armazenada pode ser transferida através da
fase gasosa e a fase adsorvida de forma independente, a vazão líquida em massa para
dentro do volume de controle é dada por
mad v = −∫S
(ρg v g + ρl v l
)·n dA = −
∫V
(∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )
)dV (2.24)
onde as velocidades levam em consideração a porosidade do meio, ou seja:
ρ v = ερg v g + ρl v l , com ρ = ερg + ρl (2.25)
28
Substituindo as relações anteriores na equação (2.13), o balanço de massa é escrito
na forma:
d
dt
∫V
(ερg + ρl
)dV = −
∫V
(∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )
)dV (2.26)
então, rearrumando as operações de integração e diferenciação:
∫V
(ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t+ ∇·(ρg v g ) + ∇·(ρl v l )
)dV = 0 (2.27)
desta forma, para um volume arbitrário, teremos:
ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t= −∇·(ρg v g ) − ∇·(ρl v l ) (2.28)
Definindo os vetores fluxo de massa medidos em termos da área total transversal ao
escoamento no meio poroso:
j ′′g = ρg v g , j ′′l = ρl v l (2.29)
Substituindo na equação (2.28) temos que,
ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t= −∇·( j ′′g ) − ∇·( j ′′l ) (2.30)
Note que a equação anterior considera o transporte de massa pelo movimento em am-
bas as fases adsorvida e gasosa.
29
2.3.2 Conservação de Energia
Os termos da equação (2.22) podem ser escritos em termos de um volume de con-
trole arbitrário V no reservatório, com uma superfície de contorno S:
Q = −∫S
q ′′·n dA = −∫V∇·q ′′ dV (2.31)
U =∫V
(εug ρg + ul ρl + us ρb
)dV (2.32)
Iad v = −∫V
[∇·
(ig j ′′g
)+ ∇·
(il j ′′l
)]dV (2.33)
Substituindo estes termos na equação (2.22):
d
dt
∫V
(εug ρg + ul ρl + us ρb
)dV = −
∫V∇·q ′′ dV+
−∫V
[∇·
(ig j ′′g
)+ ∇·
(il j ′′l
)]dV+
∫V
v g ·(∇p)dV (2.34)
E então rearrumando:
∫V
(ε∂
∂t(ug ρg ) + ∂
∂t(ul ρl ) + ∂
∂t(us ρb)+∇·q ′′+
+ ∇·(ig j ′′g ) + ∇·(il j ′′l )−v g ·(∇p)
)dV = 0 (2.35)
Para um volume arbitrário, é necessário ter:
ε∂
∂t(ug ρg )+ ∂
∂t(ul ρl )+ ∂
∂t(us ρb)+∇·q ′′ =−∇·(ig j ′′g )−∇·(il j ′′l )+v g ·(∇p) (2.36)
Introduzindo as relações de entalpia,
ρu = ρ i − p, (2.37)
d(ρg ug ) = ρg dig + ig dρg − dp (2.38)
d(ρs us) = ρs dus , (2.39)
d(ρl ul ) = d(ρl il ) = ρl dil + il dρl (2.40)
30
e substituindo na equação (2.36), é reescrita na forma:
ε
(ρg
∂ig
∂t+ ig
∂ρg
∂t− ∂p
∂t
)+
(ρl∂il
∂t+ il
∂ρl
∂t
)+ ρb
∂us
∂t+ ∇·q ′′ =
= − ig (∇· j ′′g ) − j ′′g ·(∇ig ) − il (∇· j ′′l ) − j ′′l ·(∇il )+v g ·(∇p) (2.41)
Utilizando a equação de conservação da massa multiplicada por ig :
ε ig∂ρg
∂t+ ig
∂ρl
∂t= − ig ∇·( j ′′g ) − ig ∇·( j ′′l ) (2.42)
Chega-se a:
ε
(ρg
∂ig
∂t− ∂p
∂t
)+
(ρl∂il
∂t+ (il − ig )
∂ρl
∂t
)+ ρb
∂us
∂t+ ∇·q ′′ =
− j ′′g ·(∇ig ) − (il − ig )∇·( j ′′l ) − j ′′l ·(∇il ) + v g ·(∇p) (2.43)
Rearrumando obtém-se:
ρb∂us
∂t+ ρg
(ε∂ig
∂t+ v g ·(∇ig )
)+ ρl
(∂il
∂t+ v l ·(∇il )
)=
− ∇·q ′′ + (ig − il )
(∂ρl
∂t+∇·( j ′′l )
)+
(ε∂p
∂t+ v g ·(∇p)
)(2.44)
usando a Lei de Fourier e as relações termodinâmicas abaixo:
q ′′ = −ke ∇T (2.45)
dus = cs dT, (2.46)
dil = cl dT, (2.47)
dig = cp g dT + 1
ρg(1−βg T )dp (2.48)
e introduzindo a definição do calor diferencial de adsorção [57] para formulação local:
isor = ig − il (2.49)
31
a equação (2.44) é reescrita na forma:
ρb cs∂T
∂t+ ρg cp g
(ε∂T
∂t+ v g ·(∇T )
)+ ρl cl
(∂T
∂t+ v l ·(∇T )
)=
−∇·(ke ∇T ) + isor
(∂ρl
∂t+∇·( j ′′l )
)+ βg T
(ε∂p
∂t+ v g ·(∇p)
)(2.50)
Rearrumando:
((ρb cs +ρl cl ) + ρg cp g ε
) ∂T
∂t+
(( j ′′g )cp g + ( j ′′l )cl
)·(∇T ) =
−∇·q ′′ + isor
(∂ρl
∂t+∇·( j ′′l )
)+ βg T ε
∂p
∂t+ 1
ρg(βg T −1) j ′′g ·(∇p) (2.51)
Introduzindo a capacidade térmica efetiva (por unidade de volume):
ρe ce = (ρb cs +ρl cl ) + ρg cp g ε (2.52)
onde, a capacidade térmica adsorvente por unidade de volume é dada por:
C′′′s = ρbcs (2.53)
e definindo a taxa de adsorção:
g ′′′sor = ∂ρl
∂t+∇·( j ′′l ) (2.54)
obtém-se:
ρe ce∂T
∂t+
(cp g j ′′g + cl j ′′l
)·(∇T ) = −∇·q ′′+
+ isor g ′′′sor + βg T ε
∂p
∂t+ (βg T −1)
j ′′g ·(∇p)
ρg(2.55)
finalmente, considerando a hipótese de gás ideal (βg = 1/T ), temos:
ρe ce∂T
∂t+
(cp g j ′′g + cl j ′′l
)·(∇T ) = −∇·q ′′+ isor g ′′′
sor + ε∂p
∂t. (2.56)
32
2.3.3 Fluxos de calor e massa
O fluxo de massa na fase gasosa j ′′g , pode ser escrito usando a Lei de Darcy, que
relaciona a velocidade ao gradiente de pressão [58]:
v g = − Ke
µ∇p (2.57)
de forma que se escreve:
j ′′g =−ρgKe
µ∇p (2.58)
De forma generalizada temos que:
v g =−σ∇p (2.59)
j ′′g =−ρg σ∇p (2.60)
onde σ pode depender do gradiente de pressão. Neste estudo, trabalharemos com um
valor constante de σ.
σ= Ke
µ, par a Dar c y (2.61)
σ=− 2
Θ+√Θ2 +4βρg‖∇p‖
, par a Er g un (2.62)
Alguns estudos [36, 45] também empregam a equação de Ergun:
v g =− 2∇p
Θ+√Θ2 +4βρg‖∇p‖
(2.63)
Θ= 150(1−εb)2µ/(4ε3bR2
p ) (2.64)
β= 1.75(1−εb)/(2ε3bRp ) (2.65)
33
onde Rp é o raio da partícula. A velocidade da fase adsorvida é devido à difusão
superficial (coeficiente Ds) e a fórmula proposta em [59, 60], pode ser empregada:
j ′′l =−Ds
τs∇ρl (2.66)
onde,
Ds =D0 exp
(−αs
isor
R T
)(2.67)
onde D0 = 14ν0λ
2s , ν0 é a frequência de vibração da molécula de adsorção normal à
superfície, αs é uma constante de aproximação linear e λ2s é o caminho livre médio de
superfície ou salto de distância.
Usando a Lei de Fourier para relacionar o fluxo de calor com o campo de tempera-
tura temos,
q ′′ =−ke ∇T (2.68)
no qual ke é a condutividade térmica efetiva do reservatório na presença de vazão de
gás. Nos trabalhos [36] e [45], esta condutividade térmica é expressa por:
ke = k0e +2γcpg Rpρl‖v g‖ (2.69)
onde a contribuição k0e é uma função da condutividade do gás, a relação da partícula-
condutividade do gás e da porosidade do leito (para um meio poroso),
k0e = kg f (ks/kg ,εb) (2.70)
onde o símbolo ks denota a condutividade efetiva de uma partícula de carbono, que
depende da porosidade εp da intra-partícula. Os valores usados em [36], são:
k0e = 1.2 W/(mK) γ= 0.3 Rp = 0.5 mm (2.71)
34
2.3.4 Condições de contorno
A seguir as condições de contorno, obtidos de um balanço de massa e energia na
interface, denotando Sex como a superfície exterior e Si n como a superfície da entrada
são apresentadas.
Superfície externa
As seguintes condições se aplicam em Sex :
( j ′′g + j ′′l )·n = 0, para r ∈ Sex (2.72)
(ig j ′′g + il j ′′l )·n + q ′′·n = h(T −T0) + ρw cw δw∂T
∂t, para r ∈ Sex (2.73)
onde h representa o coeficiente de transferência de calor que toma em consideração a
resistência convectiva na superfície exterior. O termo que inclui a derivada no tempo
representa o armazenamento de energia na parede do reservatório. A resistência desta
parede é assumida desprezível de forma que a temperatura da parede é igual a do
material adsorvente em contato com ela.
As equações acima são simplificadas utilizando a definição do calor de adsorção:
q ′′·n = h(T −T0)+ isor j ′′l ·n + ρw cw δw∂T
∂t, para r ∈ Sex (2.74)
onde δw é a espessura da parede do reservatório, que é considerada pequena e C′′w é a
relação da capacidade térmica da parede por unidade de área:
C′′w = ρw cw δw (2.75)
35
Superfície interna
Na entrada do reservatório (Si n), as seguintes condições aplicam-se:
−( j ′′g + j ′′l )·n = m′′i n , para r ∈ Si n (2.76)
−q ′′·n = h+i n(Ti n −T ), para r ∈ Si n (2.77)
onde, m′′i n é o fluxo de massa na entrada (componente normal). A condição de con-
torno da equação (2.77) é uma forma generalizada para a condição de contorno de
energia. Nessa equação, h+i n é o coeficiente de transferência de calor total que leva em
consideração a transferência de calor convectiva, assim como a variação de energia na
entrada/saída devido à transferência de massa, definido por:
h+i n = hi n + cp g
mi n
Ai n= hi n + cp g m′′
i n (2.78)
A equação (2.77) pode ser vista como uma condição de contorno geral (de 3º tipo)
que pode ser transformada em uma condição de contorno de Dirichlet, se h+i n →∞, ou
em uma condição de contorno de Neumann (isolado), se h+i n ≈ 0. As operações rápidas
de carga devem conduzir a grandes h+i n , aproximando a condição de temperatura pres-
crita na entrada, quando as operações de descarga podem conduzir a valores pequenos
de h+i n , aproximando a condição isolada. A equação (2.76) deve ser usada se a vazão
na entrada for conhecida; se, alternativamente, a pressão de entrada é conhecida, esta
circunstância deve ser substituída por:
p = pi n(t ), para r ∈ Si n (2.79)
Deve-se ressaltar que, se a pressão de entrada é especificada, m′′i n deve ser calculada
da equação (2.76). Para este tipo de condição, normalmente, em processos de carga
têm-se pi n = pmax, enquanto para descarga pi n = pmin.
Alternativamente, uma forma genérica para a condição de entrada/saída pode ser
36
escrita:
γp − (1−γ)( j ′′g + j ′′l )·n = γpi n(t )+ (1−γ)m′′i n (2.80)
constituindo uma forma generalizada para a conservação de massa na entrada, a con-
dição γ= 1 mostra ser usado quando a pressão de entrada é conhecida e γ= 0 quando
o fluxo de massa na entrada é conhecida.
2.3.5 Formulações simplificadas sem difusão de massa na fase adsorvida
Alguns casos particulares podem ser obtidos se hipóteses adicionais forem conside-
radas. Em especial, considerando que a vazão em massa por difusão na fase adsorvida
é insignificante, como apresentado em [54] as equações de transporte e condições de
contorno são reduzidas à:
ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t= −∇·( j ′′g ) (2.81)
ρe ce∂T
∂t+ j ′′g cp g ·(∇T ) = ∇·(ke ∇T )+ isor g ′′′
sor +ε∂p
∂t(2.82)
j ′′g ·n = 0, para r ∈ Sex (2.83)
q ′′·n = h(T −T0)+ρw cw δw∂T
∂t, para r ∈ Sex (2.84)
− j ′′g ·n = m′′i n , para r ∈ Si n (2.85)
−q ′′·n = h+i n(Ti n −T ), para r ∈ Si n (2.86)
Este caso particular é adotado por todos os estudos encontrados na literatura e será
considerado no restante deste estudo.
Formulação r − z − t
Os modelos numéricos com este tipo de formulação ([45], [9], [37]), desconside-
ram a dependência na coordenada angular, devido a simetria do problema. Com esta
consideração, desprezando o transporte de gás por difusão na fase adsorvida, chega-se
37
à seguinte formulação:
ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t= − 1
r
∂
∂r
(r j ′′g ,r
)− ∂
∂z
(j ′′g ,z
)(2.87)
ρe ce∂T
∂t+ cp g
(j ′′g ,r
∂T
∂r+ j ′′g ,z
∂T
∂z
)=
= 1
r
∂
∂r
(ke r
∂T
∂r
)+ ∂
∂z
(ke∂T
∂z
)+ isor
∂ρl
∂t+ε ∂p
∂t(2.88)
Diferentes condições de contorno podem ser utilizadas dependendo da configu-
ração de entrada/saída de gás no reservatório. Se um difusor (na forma de um tubo
perfurado de raio rex e comprimento L) for utilizado para a admissão de gás, como
descrito em [56], as condições de contorno são dadas por:
j ′′g ,r = m′′i n , para r = ri n , 0 ≤ z ≤ L, (2.89)
j ′′g ,r = 0, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.90)
j ′′g ,z = 0, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.91)
j ′′g ,z = 0, para z = L, ri n ≤ r ≤ rex , (2.92)
q ′′r = h+
i n(Ti n −T ), para r = ri n , 0 ≤ z ≤ L, (2.93)
q ′′r = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.94)
−q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.95)
q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para z = L, ri n ≤ r ≤ rex , (2.96)
onde é assumido que o coeficiente de transferência de calor h é uniforme em toda
superfície externa do reservatório. Os componentes dos fluxos de massa e calor são
dados por:
j ′′g ,r = −ρg σ∂p
∂r, j ′′g ,z = −ρg σ
∂p
∂z, (2.97)
q ′′r = −ke
∂T
∂r, q ′′
z = −ke∂T
∂z, (2.98)
38
lembrando que a condição de vazão prescrita (eq. (2.89)) pode ser substituída por uma
condição com a pressão de entrada/saída prescrita (eq. (2.79)) se este for o caso.
Outro tipo de configuração comum é quando o cilindro é inteiramente preenchido
com material adsorvente e a admissão de gás é feita na direção axial z. Para esta
configuração, as condições de contorno são dadas por:
j ′′g ,r = 0, para r = 0, 0 ≤ z ≤ L, (2.99)
j ′′g ,r = 0, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.100)
j ′′g ,z = m′′i n , para z = 0, 0 ≤ r ≤ ri n , (2.101)
j ′′g ,z = 0, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.102)
j ′′g ,z = 0, para z = L, 0 ≤ r ≤ rex , (2.103)
q ′′r = 0, para r = 0, 0 ≤ z ≤ L, (2.104)
q ′′r = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para r = rex , 0 ≤ z ≤ L, (2.105)
q ′′z = h+
i n(Ti n −T ), para z = 0, 0 ≤ r ≤ ri n , (2.106)
−q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para z = 0, ri n ≤ r ≤ rex , (2.107)
q ′′z = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para z = L, 0 ≤ r ≤ rex , (2.108)
Este tipo de formulação é utilizada por [9] que utilizaram um modelo que leva em
consideração variações da temperatura nas direções radiais e axiais. Outros estudos
com este tipo de formulação são apresentados por [37] e [45].
Formulação Unidimensional r − t
Se no caso que utiliza-se um difusor de gás, for considerado também que a trans-
ferência de calor nas extremidades z = 0 e z = L são pequenas em relação ao calor
trocado em r = rex , os gradientes de temperatura e pressão em z podem ser despre-
zados em relação os gradientes em r e chega-se a uma formulação simplificada, em
39
termos de r e t :
ε∂ρg
∂t+ ∂ρl
∂t= − 1
r
∂
∂r
(r j ′′g ,r
)(2.109)
ρe ce∂T
∂t+ cp g j ′′g ,r
∂T
∂r= 1
r
∂
∂r
(ke r
∂T
∂r
)+ isor
∂ρl
∂t+ε ∂p
∂t(2.110)
onde as condições de contorno são dadas por:
j ′′g ,r = m′′i n , para r = ri n , (2.111)
j ′′g ,r = 0, para r = rex , (2.112)
q ′′r = h+
i n(Ti n −T ), para r = ri n , (2.113)
q ′′r = h (T −T0)+ρw cw δw
∂T
∂t, para r = rex , (2.114)
Este tipo de formulação é comum para descarga de gás adsorvido durante o con-
sumo e é utilizada pelos autores Hirata et al. [49] assim como Mota et al. [46] e Mota
et al. [36] que foram trabalhos prévios de Mota [61]. Os autores Neto et al. [35] consi-
deraram um modelo similar ao de [36] e [48] também utiliza uma formulação similar
simples para gás natural armazenado.
2.4 Condições iniciais
As condições iniciais para a modelagem do processo de carga e descarga do reser-
vatório de GNA, independentes do tipo de formulação, são dadas em termos da pressão
e da temperatura,
T (t = 0) = T (t = 0) = T0, (2.115)
p(t = 0) = p(t = 0) = p0 (2.116)
No qual p0 = pmin para a carga e p0 = pmax para a descarga.
40
2.5 Formulação global
A fim de fornecer um modelo simplificado para o problema, uma formulação glo-
bal por parâmetros concentrados é também fornecida. Para possibilitar a formulação
de parâmetros concentrados do problema é definido a quantidade média volumétrica
através da seguinte formulação genérica,
f = 1
V
∫V
f dV (2.117)
Os valores médios de carga e descarga são definidos pela seguinte formulação genérica,
fi n = 1
Ai n
∫Ai n
f dA (2.118)
da mesma maneira, os valores médios na superfície impermeável do reservatório são
dados por:
fex = 1
Aex
∫Aex
f dA (2.119)
A aproximação clássica em parâmetros concentrados considera que para a carga e
descarga os valores médios que entram e saem são aproximadamente iguais à quanti-
dade média volumétrica contida no mesmo reservatório,
f ≈ fi n ≈ fex (2.120)
Nesta seção serão utilizados os valores médios volumétricos para a massa específica
média, entalpia específica média e energia interna específica média, como mostrado
41
nas equações a seguir respectivamente,
ρ = 1
V
∫VρdV= m
V(2.121)
ı = 1
m
∫Vρi dV= 1
ρV
∫Vρi dV (2.122)
u = 1
m
∫Vρu dV= 1
ρV
∫Vρu dV (2.123)
2.5.1 Conservação de massa
Para a formulação global, o volume de controle é o reservatório inteiro. Desta
forma, durante a carga ou descarga a vazão em massa líquida advectada para dentro do
reservatório é dada por:
mad v = mg =∫Ai n
ρg v g ·n dA ≈ (ρg vg )|i n Ai n (2.124)
Esta aproximação assume que a massa específica de gás assim como sua velocidade
são uniformes na área de entrada. A velocidade vg será positiva durante a carga e
negativa durante a descarga, e Ai n representa a área na superfície do domínio, por
onde ocorrem as entradas e saídas de massa para o cilindro.
Pela definição de massa específica média do gás e do gás adsorvido temos que,
mg = ε
∫Vρg dV≈ ερgV (2.125)
ml =∫Vρl dV≈ ρlV (2.126)
Como não há variação na massa do adsorvente, consideram-se apenas as variações
das fases gasosa e adsorvida, assim o termo de acúmulo de massa é compreendido pela
fase gasosa fluida e pela fase adsorvida,
(ε
dρg
dt+ dρl
dt
)V = (ρgυg )|i nAi n (2.127)
εdρg
dt+ dρl
dt= (ρgυg )|i n
Ai n
V(2.128)
42
Finalmente, a seguinte equação é obtida para o balanço de massa no reservatório,
εdρg
dt+ dρl
dt= mi n
V(2.129)
A equação anterior é aplicada em casos onde a vazão em massa mi n é conhecida.
Todavia, há casos em que a pressão de entrada é conhecida. Para estes casos é neces-
sário utilizar uma relação entre a vazão de entrada e uma diferença de pressão. Por
exemplo, uma relação simples que poderia ser aplicada é baseada na Lei de Darcy:
m′′i n = mi n
Ai n= ρg i nσ
rex − ri n(pi n − p) (2.130)
onde σ é uma constante que, entre outros fatores, pode depender da permeabilidade do
meio poroso.
2.5.2 Conservação de energia
Como só há movimento na fronteira do volume de controle na abertura do cilindro
Ai n , a taxa de trabalho realizada sobre o volume de controle é dada por,
W =∫Ai n
p vg dA≈ (pvg )|i nAi n (2.131)
A taxa de transferência líquida de energia interna devido à transferência de massa para
o volume de controle também só ocorre na abertura sendo,
Uad v =∫Ai n
ugρg vg dA≈ (ugρgυg )|i nAi n (2.132)
Nas equações anteriores W e Uad v podem ser combinados, resultando na vazão de
entalpia para dentro do reservatório
W + Uad v = ((p +ugρg )vg )|i nAi n = (igρg vg )|i nAi n = (ig mg )|i n (2.133)
43
A variação dos termos de acumulação de energia é igual à soma dos termos de trans-
ferência de energia associados aos processos de carga descarga e troca de calor con o
médio externo,
dU
dt= Q + (ig mg )|i n (2.134)
onde U é a soma das energias internas das três fases e a energia interna da parede do
reservatório, Uw
U = Ug + Ul + Us + Uw (2.135)
onde a energia de cada fase é escrita em termos de energias internas específicas, volume
de controle é dada por,
Ug = ε
∫V
ugρg dV≈ εug ρgV (2.136)
Ul =∫V
ulρl dV≈ ul ρlV (2.137)
Us = (1−ε)∫V
usρs dV≈ (1−ε)us ρsV = us ρbV (2.138)
Uw =∫
muw dm ≈ uw mw (2.139)
Substituindo na equação (2.134) resulta em
(ε
d
dt(ug ρg ) + d
dt(ul ρl ) + d
dt(us ρb)
)V + mw
duw
dt= Q + (ig mg )|i n (2.140)
Observando as equações anteriores e utilizando as seguintes relações termodinâmicas,
d(ρg ig ) = d(ρg ug ) + dp (2.141)
d(ρl il ) = d(ρl ul ) (2.142)
d(ρbis) = d(ρbus) (2.143)
44
a equação (2.140) pode ser também escrita em termos de entalpias assim:
(ε
d
dt(ıg ρg ) − ε
dp
dt+ d
dt(ıl ρl ) + d
dt(ıs ρb)
)V + mw
duw
dt= Q + (ig mg )|i n (2.144)
Expandindo as derivadas acima lembrando que ρs é constante e subtraindo a equação
da conservação da massa multiplicada pela entalpia do gás ig ,
(ερg
d ıg
dt− ε
dp
dt+ ρl
dıl
dt+ (ıl − ıg )
dρl
dt+ ρb
dıs
dt
)V+
+ mwduw
dt= Q + (ig |i n − ıg )mi n (2.145)
Introduzindo a definição do calor diferencial de adsorção [57], que é a diferença entre
a entalpia do gás e do gás adsorvido, para a formulação global:
ısor = ıg − ıl , (2.146)
Introduzindo também as relações termodinâmicas:
dıg = cp g dT + (1−βg T )1
ρgdp (2.147)
dıs = cs dT (2.148)
dıl = cl dT (2.149)
duw = cw dT (2.150)
Substituindo os calores específicos na equação (2.145) chega-se à seguinte relação,
(ερg cpg
dT
dt− εβg T
dp
dt+ ρl cl
dT
dt− ısor
dρl
dt+ ρbcs
dT
dt)
)V+
+ mw cwdT
dt= Q + (ıg |i n − ıg )mi n (2.151)
45
Logo chegamos a,
(ρe ce + mw cw
V
) dT
dt= Q
V+ εβg T
dp
dt+ ısor
dρl
dt+ (ıg |i n − ıg )
mi n
V(2.152)
onde ρe ce é a capacidade térmica efetiva (ou aparente) do meio poroso,
ρe ce = ρb cs + ρl cl + ρg cp g ε (2.153)
A transferência de calor total na superfície do reservatório inclui a troca com os arre-
dores na superfície impermeável (Aex) e na superfície de entrada/saída (Ai n):
Q = −∫As
h (T −T0) dA ≈ −h (T −T0)Aex − hi n (T −Ti n)Ai n (2.154)
onde h e hi n são os coeficientes de transferência de calor por convecção na superfí-
cie impermeável e na superfície de entrada/saída, respectivamente. Estes coeficientes
também poderiam incluir informações sobre as resistências internas de condução na
tentativa de melhorar a aproximação por parâmetros concentrados.
A diferença de entalpia ıg |i n − ıg pode também ser escrita em termos do calor
específico do gás:
ıg |i n − ıg = cp g (Ti n − T ) (2.155)
A equação da energia é então escrita como
(ρe ce + mw cw
V
) dT
dt= −h (T −T0)
Aex
V+
− hi n (T −Ti n)Ai n
V+ εβg T
dp
dt+ ısor
dρl
dt+ mi n
Vcp g (Ti n − T ) (2.156)
utilizando o coeficiente de transferência de calor modificado na entrada (eq. (2.78)), a
46
equação (2.156) é finalmente escrita como:
(ρe ce + mw cw
V
) dT
dt= h (T0 − T )
Aex
V+
+ h+i n (Ti n − T )
Ai n
V+ εβg T
dp
dt+ ısor
dρl
dt(2.157)
considerando a hipótese de gás ideal (βg = 1/T ), a equação da energia é reduzida para:
(ρe ce + mw cw
V
) dT
dt= h (T0 − T )
Aex
V+
+ h+i n (Ti n − T )
Ai n
V+ ε
dp
dt+ ısor
dρl
dt(2.158)
2.5.3 Simplificação para Gás Natural Comprimido
Considerando que a porosidade é igual a 100%, não há material adsorvente algum
no cilindro, e o problema é reduzido ao de carga e descarga em reservatórios de gás
natural comprimido (GNC). As equações de conservação governantes são reduzidas
para,
dρg
dt= mi n
V(2.159)
ρg cpg
dT
dt= h (T0 − T )
Aex
V+ h+
i n (Ti n − T )Ai n
V+ dp
dt(2.160)
2.6 Equações constitutivas para as concentrações
As concentrações ρg e ρl (ou ρg e ρl para a formulação global) podem ser ex-
pressas em termos de temperatura e pressão através da equação de estado para a fase
gasosa e de uma isoterma de adsorção (ou relação de equilíbrio) para a fase adsorvida.
Considerando um comportamento de gás ideal, a massa específica da fase gasosa é
escrita como,
ρg = ρg (T, p) = p
R T(2.161)
47
Tab. 2.1: Diferentes modelos de Isotermas.
Isoterma Equação
Langmuir q = q0(bP )
(1+bP )
Freundlich q = q0P 1/n
Unilan q = ln[ 1+bes P1+be−s P ] q0
2s
Toth q = q0bP
(1+(bP )t )1/t
Sips q = q0(bP )1/n
(1+(bP )1/n )
Jovanovich q = q0[1−exp(−bP )]
DR q = q0 exp(−( AE0
)2)
DS q = exp(− mx20 A2
1+2mδ2 A2 )[1+erf( x0
δp
2p
1+2mδ2 A2)]
q00
2p
1+2mδ2 A2
DRA q = q0 exp(−( AE0
)n)
Two-Term TVFM q = q01 exp(−( AE1
)2)+q02 exp(−( AE2
)2)1Onde A = RT ln( Ps
P ), P:Presão de operação, Ps: Pressão de saturação, qm:Concentração da fase adsorvida.
Deve-se notar que o coeficiente de expansão térmica também será calculado a partir da
equação de estado adotada.
A massa específica da fase adsorvida é escrita nos termos de uma relação de iso-
terma,
ρl = ρl (T, p) (2.162)
no qual a forma funcional pode depender do adsorvente selecionado. Por exemplo, a
isoterma de adsorção de Langmuir, adotada em diversos estudos [36, 45, 49], é dada
por
ρl
ρb= q = qm
b p
1+b p(2.163)
onde os coeficientes b e qm são dados por:
b = 1.0863×10−7 exp
(806
T
)(2.164)
qm = 55920T −2.3 (2.165)
48
onde q é a concentração da fase adsorvida (kg kg−1), p é a pressão (bar) e T a tempe-
ratura (K).
Há certamente relações mais elaboradas da isoterma para descrever a adsorção do
metano; a literatura reporta diversos estudos [12] como mostrado na tabela 2.1. Entre-
tanto, desde que a finalidade principal deste trabalho é apresentar grupos e formulações
adimensionais para a transferência de calor e massa, o modelo de Langmuir é empre-
gado pela simplicidade, sem invalidar os objetivos envolvidos nesta investigação.
2.7 Avaliação de desempenho
2.7.1 A relação volumétrica (capacidade de armazenamento)
A adsorção tem sido avaliada em uma base mássica com o objetivo de armazenar
gás, mas também deve ser medida numa base volumétrica comumente representada
por um parâmetro tradicional usado para medir a capacidade de armazenamento do
GN (V /V ), definida como
(V /V ) ≡ volume armazenado de gás em condições normaisvolume interno do reservatório
=V0
g
V, (2.166)
Este indicador de desempenho é utilizado em GNA pela primeira vez nos trabalhos
[62] e [44]. Variações na definição acima surgem uma vez que alguns autores adotam
como condições normais 0ºC e pressão atmosférica, enquanto outros adotam 25ºC (ou
outro valor da temperatura ambiente) e pressão atmosférica.
Como descrição prévia, em [17] mostram que a medida de desempenho do GNA
confinado num cilindro dependem das propriedades dos microporos do material ad-
sorvente e ao mesmo tempo das propriedades da transferência global de calor e massa
assim como da geometria do cilindro. Um material microporoso ideal garante princi-
palmente o processo de carga rápida e libera uma capacidade adequada de metano, que
neste trabalho fechou com 150 V/V, mas o trabalho experimental de [16] fornece capa-
cidades de armazenamento na faixa de 110-125 V/V baixo condições isotérmicas. Os
autores Monge et al. [21] utilizam a equação dada por [63] para calcular a capacidade
49
de armazenamento de metano, obtendo como resultado de experimentações realizadas
com duas amostras de fibras de carbono ativadas por diferentes processos, valores da
ordem 163 V/V correspondendo a uma capacidade útil de armazenamento de 143 V/V,
próximo dos 150 V/V, e compararam com os calculados por os autores [19] que avali-
aram o carbono ativado com metano puro obtendo uma capacidade de armazenamento
máxima teórica de 209 V/V a 3,4 MPa para carvão monolítico e 146 V/V para a forma
peletizada.
Muto et al. [64] apresenta um estudo experimental para determinar a capacidade
de armazenamento do metano (V/V) em carbon monolítico, estimado como o volume
de metano adsorvido por o volume de carbon monolítico, apresentam o valor de 140
V/Vs a 3.5 Mpa e 35ºC. No trabalho de Rios et al. [65] amostras de carbono ativado
obtidos de cascas de coco foram dispostos para ativação química com ácido fosfórico
como agente ativador para adsorção de metano, estes autores utilizam as medidas de
desempenho de [15], e foi observado que a capacidade de armazenamento de metano
apresenta o valor de 95 V/V a 303 K e 3.5 bar. Muitas outras pesquisas foram condu-
zidas para armazenamento de metano com carbon ativado simples com capacidades de
armazenamento entre 70 a 140 V/V a 25ºC e 3-4 MPa como reportados nos trabalhos
de [66], [21], [2] e [67].
2.7.2 Coeficiente de rendimento
A fim avaliar o desempenho do ciclo/processo (carga e descarga), o parâmetro CR,
introduzido por Mota et al. [36], mostra a razão da quantidade de metano carregado na
condição real e máxima (relação entre a variação total de massa segundo um processo
real e o processo isotérmico), entre as pressões internas inicial e final de carga, a uma
vazão mássica constante,
CR ≡ ∆mreal
∆misoth(2.167)
representando uma relação entre a quantidade real de gás entregada durante a descarga
(ou armazenado, durante a carga), ∆mreal, e a quantidade ótima que pode ser entregado
50
(ou armazenado), para o mesmo tempo de processo (carga/descarga), que ocorre na
operação isotérmica.
As massas real e ideal (isotérmica) armazenadas de GN podem ser escritas como,
∆mreal =∫ t f
0|mg |dt , ∆misoth =
∫ t f
0|mg |T dt , (2.168)
No qual t f é o tempo do processo (carga ou descarga), representando o tempo que
levará para o reservatório atingir a capacidade máxima, para uma operação isotérmica.
Naturalmente, tmax será o tempo que leva para o reservatório atingir a pressão final
(pmax para a carga, e pmin para a descarga).
Baseado nas pressões mínimas e máximas é definida a máxima capacidade de ar-
mazenamento,
∆mmax = (ε∆ρg + ∆ρl )V (2.169)
onde:
∆ρg = ρg ,max −ρg ,min (2.170)
∆ρl = ρl ,max −ρl ,min (2.171)
e
ρg ,max = ρg (pmax,T0), ρg ,min = ρg (pmin,T0) (2.172)
ρl ,max = ρl (pmax,T0), ρl ,min = ρl (pmin,T0) (2.173)
2.7.3 Relação entre V/V e CR
Pode-se mostrar que o parâmetro (V /V ) pode, alternativamente, ser calculado mul-
tiplicando e dividindo pela massa especifica da fase gasosa nas condições de referência
51
(ρ0g ) como segue,
(V /V ) =V0
gρ0g
Vρ0g
= mreal
m0(2.174)
onde a massa real de GN armazenado no reservatório (na extremidade da carga) é dada
por,
mreal = mmin + ∆mreal (2.175)
onde a quantidade mínima de GN contida no reservatório (para a operação isotérmica)
e a massa do GN gasoso que cabe no reservatório sob condições normais são dadas
por,
mmin = (ερg ,min + ρl ,min)V (2.176)
m0 = ρ0V (2.177)
Consequentemente, a relação (V /V ) pode ser escrita nos termos de CR,
(V /V ) = mmin + CR∆mmax
m0= mmin/∆mmax + CR
m0/∆mmax(2.178)
e seu valor máximo, correspondendo à operação da capacidade isotérmica em cheio,
pode ser calculada fazendo CR = 1:
(V /V )max = mmin + ∆mmax
m0= ερg ,max + ρl ,max
ρ0(2.179)
2.7.4 Eficiência de armazenamento
Finalmente um parâmetro determinado eficiência dinâmica de armazenamento é
definido pela razão:
η= (V /V )dinâmico
(V /V )max(2.180)
52
onde (V /V )max é o valor de (V /V ) para o caso isotérmico. Naturalmente, valor unitário
para η é só realizável numa razão infinita de descarga lenta, e valores pequenos de η
são obtidos em condições adiabáticas.
Utilizando as equações (2.178) e (2.179) pode-se escrever:
η = ερg ,min + ρl ,min +CR(ερg ,max + ρl ,max −ερg ,min − ρl ,min)
ερg ,max + ρl ,max(2.181)
53
Capítulo 3
Análise dimensional
A análise dimensional é baseado no fato que, em uma equação que lida com o
mundo real físico cada termo deve ter as mesmas dimensões. São procedimentos que
baseados na análise das variáveis e parâmetros que governam um fenômeno permi-
tem encontrar relações entre as variáveis que formam parâmetros adimensionais. O
problema físico fica então descrito, com o mesmo grau de fidelidade, por este novo
conjunto reduzido de parâmetros adimensionais. Ao serem menor o número de variá-
veis ou parâmetros, é possível organizar e expressar mas eficazmente os resultados.
Esta idéia é formalmente apresentada no teorema dos Pi de Buckingham [53].
O problema considerado neste estudo é o processo de carga ou descarga de um
reservatório, como mostrado na figura 3.1. Neste capítulo, o teorema dos Pi de Buc-
Fig. 3.1: Esquema básico do problema.
kingham será aplicado a este problema a fim de estabelecer grupos adimensionais re-
levantes para processo de carga e descarga em reservatórios de GNA.
54
Por meio do teorema acima citado, é possível reduzir o número de parâmetros ou
variáveis do qual depende um fenômeno físico, através da geração de grupos adimen-
sionais que envolvem estas variáveis. O teorema de Buckingham tem sido objeto de
numerosos estudos e podem ser citados os artigos apresentados por [68], [69], [70],
onde se podem encontrar diferentes desenvolvimentos matemáticos que conduzem à
demonstração do teorema.
Nas seções seguintes vamos enunciar o teorema, estabelecer um método para sua
aplicação e será apresentado a sua utilização em nosso presente problema. Casos mais
simples do problema serão analisados inicialmente, progredindo gradualmente para o
problema completo. Para facilitar a análise será considerado que Ti n = T0.
3.1 Teorema dos Pi de Buckingham
Dado um problema físico, no qual, se ζ é igual ao número de dimensões funda-
mentais necessárias para descrever as variáveis físicas e P1,P2, ...,Pn representam n
variáveis físicas na relação física:
ψ(P1,P2, ...,Pn) = 0 (3.1)
Então, a relação física pode ser reescrita como uma relação entre (n − ζ) produtos
adimensionais, chamados produtos Π,
ψ∗(Π1,Π2, ...,Πn−ζ) = 0 (3.2)
onde cada Π é um produto adimensional de um conjunto ζ de variáveis físicas mais
uma outra variável. A escolha das variáveis repetidas P1,P2, ...,Pn dever ser tal que
inclua todas as ζ dimensões usadas no problema. A variável dependente deve aparecer
em apenas um dos produtos Π.
55
3.1.1 Determinação dos grupos Π
Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue o roteiro descrito a
seguir:
• Adotar as dimensões básicas.
• Listar todas as n variáveis com suas dimensões.
• Definir o numero ζ de dimensões básicas independentes, necessárias para expri-
mir dimensionalmente todas as variáveis.
• O número de grupos Π que poderá ser formado é igual a (n - ζ).
• De entre as n grandezas, escolher ζ variáveis repetidas (que devem incluir todas
as dimensões básicas e não terem dimensões iguais entre si).
• Os grupos Π são formados como um produto das ζ variáveis repetidas, cada uma
elevada a um expoente desconhecido, e de uma das grandezas restantes elevada
a um expoente conhecido.
3.1.2 Propriedades dos grupos Π
• Se uma variável é adimensional, ela é automaticamente um grupo Π.
• Se quaisquer duas variáveis têm as mesmas dimensões, a sua relação é um grupo
Π.
• Qualquer grupo Π pode ser substituído por ele mesmo multiplicado por uma
constante numérica.
• Qualquer grupo Π pode ser substituído por qualquer potência dele próprio, in-
clusive Π−1.
• Qualquer grupo Π pode ser expresso como uma função dos outros grupos Π, ou
seja, Π1 = f (Π2).
56
Há inúmeras maneiras em que os parâmetros dimensionais podem ser combina-
dos, produzindo conjuntos adimensionais independentes de grupos-Π. Os parâmetros
empregados são baseados nas combinações que conduzem a grupos adimensionais tra-
dicionais e outros que podem facilmente ser interpretados e conduzidos a um problema
normalizado simples.
3.2 Desenvolvimento preliminar
3.2.1 Pressões e temperaturas características
Assumindo que ambos processos de carga e descarga partem de uma temperatura
inicial que esteja em equilíbrio com o exterior, a temperatura inicial para ambos os
casos é T0. A pressão mínima do reservatório (para a fase de gás) ocorre no início
do ciclo da carga (ou no extremo do ciclo da descarga). A pressão máxima ocorre
no extremo do ciclo de carga (ou no início do ciclo da descarga). Considerando o
comportamento do gás ideal, o mínimo e os valores máximos da concentração de gás
podem ser escritos como,
ρg ,max = pmax
R T0, ρg ,min = pmin
R T0, (3.3)
onde ρg ,max corresponde à concentração de gás no extremo do ciclo da carga, ou no
início do ciclo da descarga para a operação isotérmica. Para a operação não-isotérmica,
este valor máximo não será alcançado, e assim menos gás será armazenado no reser-
vatório. De forma similar, ρg ,min representa a concentração de gás no início do ciclo
da carga, ou na extremidade do ciclo da descarga para a operação isotérmica. Além
disso, para a operação não-isotérmica o valor de ρg ,min não pode ser alcançado durante
a descarga, resultando uma recuperação limitada do gás. Análogo às concentrações da
fase de gás, ao mínimo e aos valores máximos de concentrações fixadas da fase são
definidos em termos de pmin, pmax and T0,
ρl ,max = ρl (pmax,T0), ρl ,min = ρl (pmin,T0). (3.4)
57
Uma vez mais, alguns destes valores podem ser somente conseguidos sob uma ope-
ração isotérmica, pois os efeitos de aquecimento (durante a carga) e de resfriamento
(durante a descarga) agravam o armazenamento e a recuperação de gás. Baseado nos
valores mínimos e máximos para ρg and ρl , se define a seguinte relação,
ρmax = ερg ,max +ρl ,max, (3.5)
e naturalmente, a massa do gás que corresponde a esta quantidade é obtida usando o
volume do reservatório:
mmax =Vρmax, (3.6)
3.2.2 Tempo de processo
O tempo de processo é definido como sendo o tempo que a pressão média do re-
servatório atinge a pressão final do processo:
p(t f ) = p f (3.7)
onde p f = pmin para descarga e p f = pmax para carga.
3.2.3 Dependência das concentrações na pressão e temperatura
A fim de facilitar a aplicação do teorema dos Pi de Buckingham, expressamos
a dependência das concentrações na fase gasosa (ρg ) e adsorvida (ρl ) na pressão e
temperatura, utilizando Séries de Taylor em torno da pressão máxima e temperatura
inicial:
ρg (p,T ) =N−1∑n=0
M−1∑m=0
Φn,m
(pmax −p
pmax −pmin
)n (T −T0
T0
)m
, (3.8)
ρl (p,T ) =N−1∑n=0
M−1∑m=0
Λn,m
(pmax −p
pmax −pmin
)n (T −T0
T0
)m
, (3.9)
58
onde os coeficientes Φn,m e Λn,m são definidos em termos das derivadas de ρg e ρl :
Φn,m = (pmax −pmin)n T m0
n!m!
(∂n+mρg
∂pn∂T m
)p=pmax,T=T0
(3.10)
Λn,m = (pmax −pmin)n T m0
n!m!
(∂n+mρl
∂pn∂T m
)p=pmax,T=T0
(3.11)
onde a forma acima utilizada foi escolhida de modo que os coeficientes Φn,m e Λn,m
tenham todos a mesma unidade de ρg e ρl . Ainda, para que os somatórios acima sejam
de fatos Séries de Taylor, os limites N e M necessitam ser infinitos. Todavia, trabalha-
remos com a representação finita a fim de contabilizar os grupos adimensionais.
Com a forma acima escrita, as valores máximos de ρg e ρl tem que ser iguais ao
coeficiente para m = n = 0:
Φ0,0 = ρg ,max, Λ0,0 = ρl ,max. (3.12)
Para processos isotérmicos a dependência é reduzida a:
ρg (p) =N−1∑n=0
Φn
(pmax −p
pmax −pmin
)n
(3.13)
ρl (p) =N−1∑n=0
Λn
(pmax −p
pmax −pmin
)n
(3.14)
onde:
Φn = (pmax −pmin)n
n!
(∂nρg
∂pn
)p=pmax
, (3.15)
Λn = (pmax −pmin)n
n!
(∂nρg
∂pn
)p=pmax
(3.16)
e, novamente, os valores máximos de ρg e ρl são dados por:
Φ0 = ρg ,max, Λ0 = ρl ,max. (3.17)
59
3.3 Formulação global isotérmica
Considerando a formulação por parâmetros concentrados para uma versão isotér-
mica do problema analisado, as equações de transporte (2.129) e (2.158) são reduzidas
ao seguinte problema de valor inicial:
εdρg
dt+ dρl
dt= σpc (pi n − p) (3.18)
p(0) = p0 (3.19)
onde ρg = ρg (p) e ρl = ρl (p), e a vazão de entrada/saída foi escrita em termos de uma
pressão de entrada/saída pi n , seguindo a equação (2.130). Desta forma a relação entre
σpc e σ é dada por:
σpc = σAi n
V
ρg ,i n
rex − ri n(3.20)
Para processos de descarga p0 = pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga
p0 = pmin e pi n = pmax.
A solução deste problema é a evolução da pressão média p com o tempo. A relação
funcional para p é então escrita da seguinte forma:
ψ(p, t , pmax, pmin,σpc ,ε, ρg , ρl ) = 0 (3.21)
Todavia, para facilitar a análise, escrevemos a dependência nas concentrações em ter-
mos dos coeficientes Φ e Λ:
ψ(p, t , pmax, pmin,σpc ,ε,Φ,Λ) = 0 (3.22)
onde os vetores Φ e Λ contem todos os coeficientes das expansões em Série de Taylor:
Φ =(Φ0,Φ1,Φ2, . . . ,ΦN−1
)(3.23)
Λ =(Λ0,Λ1,Λ2, . . . ,ΛN−1
)(3.24)
60
apesar do caráter vetorial de Φ e Λ, contaremos estes como um único parâmetro para a
aplicação do teorema de Buckingham. Naturalmente, a análise dimensional fornecerá
dois parâmetro vetoriais relacionados a estas grandezas.
Seguindo o teorema de Buckingham, para este caso isotérmico temos três dimen-
sões fundamentais ou primárias, portanto ζ = 3. Estas são: a massa (M), o compri-
mento (L) e o tempo (T).
3.3.1 Número de parâmetros adimensionais
Da equação (3.22) determinam-se os parâmetros significativos que influenciam o
cálculo da pressão, para nosso problema temos 6+ 2 N variáveis então n = 6+ 2 N .
Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam a função da equação (3.22) ob-
temos a relação:
[p] = [pmax] = [pmin] = M
LT2, (3.25)
[t ] = T, (3.26)
[σpc ] = T
L2, (3.27)
[Φ] = [Λ] = M
L3. (3.28)
Escolhendo os parâmetros t , pmax e Φ0 = ρg ,max como o conjunto arbitrário de variá-
veis físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios
de GN adsorvido pode ser expressa em termos de n −ζ= 3+2 N parâmetros adimen-
sionais Π:
ψ∗(Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,1, . . . ,Π4,N−1,Π5,0, . . . ,Π5,N−1) = 0 (3.29)
61
sendo:
Π0 = ε, (3.30)
Π1 =Π1(t , pmax,ρg ,max, p), (3.31)
Π2 =Π2(t , pmax,ρg ,max, pmin), (3.32)
Π3 =Π3(t , pmax,ρg ,max,σpc ), (3.33)
Π4,n =Π4,n(t , pmax,ρg ,max,Φn), para n = 1,2, . . . , N −1 (3.34)
Π5,n =Π5,n(t , pmax,ρg ,max,Λn), para n = 0,1, . . . , N −1 (3.35)
onde ε é automaticamente incluído como um grupo Π pois esta grandeza já é adimen-
sional. Os grupos Π4,n e Π5,n representam os adimensionais associados à cada coefici-
ente Φn e Λn . Entretanto, na definição de Π4 não há sentido em calcular o parâmetro
adimensional para n = 0, pois Φ0 foi incluído como um dos parâmetros repetidos.
3.3.2 Cálculo dos grupos adimensionais
Grupo Π1
A relação funcional é expressado dimensionalmente, elevando as variáveis depen-
dentes a coeficientes. Desta forma o grupo Π1 é escrito como:
Π1 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [p] (3.36)
onde a,b, e c são expoentes a serem descobertos. Substituindo as dimensões primárias
(M0 L0 T0) em cada um dos parâmetros obtém-se:
Π1 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (M
LT2
)= M0 L0 T0 (3.37)
Como a equação anterior deve ser dimensionalmente homogênea, o lado esquerdo da
igualdade tem que ter a mesma dimensão que o lado direito da igualdade, por tanto
62
obtemos as seguintes series de equações:
M : b + c +1 = 0, (3.38)
L : −b −3c −1 = 0, (3.39)
T : a −2b −2 = 0. (3.40)
Resolvendo simultaneamente o sistema de equações acima determinam-se os valores
dos expoentes: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados na equação (3.37)
obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π1 = p
pmax. (3.41)
Utilizando o procedimento mostrado anteriormente, o teorema dos Pi de Buc-
kingham conduz à formação dos demais grupos adimensionais.
Grupo Π2
O grupo adimensional Π2 é obtido fazendo:
Π2 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [pmin] (3.42)
Π2 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (M
LT2
)= M0 L0 T0 (3.43)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados
temos:
Π2 = pmin
pmax(3.44)
63
Grupo Π3
O grupo adimensional Π3 é obtido fazendo:
Π3 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [σpc ] (3.45)
Π3 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (T
L2
)= M0 L0 T0 (3.46)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1 e c =−1. Substituindo estes resultados
obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π3 =σpc t pmax
ρg ,max. (3.47)
Grupos Π4
Os grupos adimensionais Π4,n são obtido fazendo:
Π4,n = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [Φn] (3.48)
Π4,n = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (M
L3
)= M0 L0 T0 (3.49)
Resolvendo o sistema de equações determinam-se os valores dos expoentes: a = 0,
b = 0 e c =−1. Substituindo estes resultados obtemos:
Π4,n = Φn
ρg ,max(3.50)
onde os parâmetros produzidos da relação acima só tem sentido para n > 0.
Grupos Π5
Os grupos adimensionais Π5,n são obtidos fazendo:
Π5,n = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [Λn] (3.51)
Π5,n = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (M
L3
)= M0 L0 T0 (3.52)
64
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c = −1. Substituindo estes resulta-
dos, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π5,n = Λn
ρg ,max. (3.53)
Relação entre os grupos Π
Uma vez que 3+2 N gruposΠ independentes foram calculados, combinações destes
são feitas para produzir um conjunto de 3+2 N parâmetros independentes que tenham
um significado físico mais relevante para a análise do problema. Isto pode ser feito,
pois como previsto pelo teorema de Buckingham, uma combinação de grupos Π irá
produzir um grupo Π. Naturalmente alguns dos próprios parâmetros Π serão direta-
mente utilizados, pois estes já se encontram em uma forma apropriada. O primeiro
adimensional modificado é a pressão adimensional:
p∗ = Π1 −Π2
1−Π2= p −pmin
pmax −pmin(3.54)
de forma a manter p∗ entre 0 e 1. A razão de pressão é dada diretamente de um dos
grupos Π:
p∗r = Π2 = pmin
pmax(3.55)
Observando o parâmetro Π5,n nota-se que para n = 0 temos:
Π5,0 = Λ0
ρg ,max= ρl ,max
ρg ,max= ρ∗
r . (3.56)
onde ρ∗r é a razão entre as concentrações máximas nas fases adsorvida e gasosa. Desta
forma, a combinação de Π5,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz um parâmetro com um
significado interessante:
Π0
Π5,0 + Π0= ερg ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ερg ,max
ρmax= M∗
g (3.57)
65
representando a fração de gás que é armazenado na fase gasosa (gás comprimido) em
relação ao total de gás armazenado no reservatório, à carga máxima. É interessante
observar também que uma combinação um pouco diferente produz outro parâmetro:
Π5,0
Π5,0 + Π0= ρl ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ρl ,max
ρmax= M∗
l , (3.58)
representando a fração de gás que é armazenada na fase adsorvida à carga máxima.
Todavia, M∗l e M∗
g não são independentes, uma vez que são complementares, sendo
relacionados por:
M∗g + M∗
l = 1. (3.59)
A variável σ∗pc , que pode ser interpretada como uma medida de tempo adimensio-
nal, também é definida em termos de grupos Π:
σ∗pc = Π3 (1−Π2) = σpc t (pmax −pmin)
ρg ,max(3.60)
Formas adimensionais para os coeficientes Φn e Λn também são introduzidas:
Φ∗n = Π4,n = Φn
ρg ,max, para n = 1,2, . . . , N −1, (3.61)
Λ∗n = Π5,n
Π5,0= Λn
ρl ,max, para n = 1,2, . . . , N −1, (3.62)
e finalmente, a relação de dependência definida pela equação (3.29) é re-escrita:
ψ∗(p∗, p∗r τ,M∗
g ,ρ∗r ,Φ∗
1 , . . . ,Φ∗N−1,Λ∗
1 , . . . ,Λ∗N−1) = 0 (3.63)
totalizando portanto 5+(N −1)+(N −1) = 3+2 N grupos adimensionais. Introduzindo
os coeficientes adimensionais nas Séries de Taylor para calcular as concentrações fina-
66
mente pode-se escrever:
ρ∗g = 1 +
N−1∑n=1
Φ∗n
(p∗)n (3.64)
ρ∗l = 1 +
N−1∑n=1
Λ∗n
(p∗)n (3.65)
de modo que a dependência funcional dada pela equação (3.63) possa ser finalmente
reescrita na forma:
ψ∗(p∗, p∗r σ
∗pc ,M∗
g ,ρ∗r , ρ∗
g , ρ∗l ) = 0 (3.66)
3.4 Formulação global não-isotérmica
Considerando a formulação por parâmetros concentrados para uma versão não-
isotérmica do problema analisado na seção anterior, o problema de valor inicial gover-
nante é dado pelas equações (2.129) e (2.158) e as condições iniciais:
p(0) = p0, T (0) = T0 (3.67)
onde ρg = ρg (p, T ) e ρl = ρl (p, T ), e, novamente, para processos de descarga p0 =pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga p0 = pmin e pi n = pmax. Todavia,
considerando a simplificação com Ti n = T0, a equação (2.158) pode ser escrita na
forma:
(ρe ce + C+
w
) dT
dt=
(hAex
V+ h+
i nAi n
V
)(T0 − T ) + ε
dp
dt+ ısor
dρl
dt(3.68)
lembrando que ρe ce é dado em função das capacidades térmicas específicas ρb cs , ρl cl
e ρg cp g , como mostra a equação (2.52). O parâmetro C+w representa a capacidade
térmica da parede do reservatório dividido pelo volume do mesmo:
C+w = mw cw
V(3.69)
67
A solução deste problema é a evolução da pressão e temperatura médias (p e T )
com o tempo. As relações funcionais para p e T são então escritas da seguinte forma:
ψp (p, t , pmin, pmax,σpc ,ε,Φ,Λ,T0,csρb ,C+w ,cl ,cpg , isor , H) = 0 (3.70)
ψT (T , t , pmin, pmax,σpc ,ε,Φ,Λ,T0,csρb ,C+w ,cl ,cpg , isor , H) = 0 (3.71)
onde H é dado por:
H = hAex
V+ h+
i nAi n
V, (3.72)
e Φ e Λ são matrizes de coeficientes Φn,m e Λn,m para n = 0,1, . . . , N − 1 e m =0,1, . . . , M −1.
Seguindo o teorema, sabe-se que temos quatro dimensões fundamentais ou primá-
rias, portanto ζ= 4. Estas dimensões são a massa (M), o comprimento (L), o tempo (T)
e a temperatura (Θ).
3.4.1 Número de parâmetros adimensionais
Das equações (3.70) e (3.71) determinam-se os parâmetros significativos que in-
fluenciam a solução do problema em questão. Para nosso problema temos 12+2 N M
variáveis físicas mais a pressão e a temperatura (variáveis dependentes), então n =14 + 2 N M . Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam as funções das
equações (3.70) e (3.71) obtemos as seguintes relações:
[T ] = [T0] = Θ (3.73)
[ρb cs] = [C+w ] = M
LT2Θ(3.74)
[cl ] = [cp g ] = L2
T2Θ(3.75)
[isor ] = L2
T2(3.76)
[H ] = M
LT3Θ(3.77)
68
onde os parâmetros não incluídos já tiveram as unidades apresentadas nas equações
(3.25)-(3.28).
Escolhendo os parâmetros t , pmax, ρg ,max e T0 como o conjunto arbitrário de variá-
veis físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios
de GN adsorvido pode ser expressa em termos de n−ζ= 10+2 M N grupos adimensi-
onais Π:
ψ∗p (Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,
Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.78)
ψ∗T (Π0,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,
Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π6,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.79)
onde os seis primeiros parâmetros são similares ao modelo isotérmico:
Π0 = ε, (3.80)
Π1 =Π1(t , pmax,ρg ,max, p), (3.81)
Π2 =Π2(t , pmax,ρg ,max, pmin), (3.82)
Π3 =Π3(t , pmax,ρg ,max,σpc ), (3.83)
Π4,n,m =Π4,n,m(t , pmax,ρg ,max,Φn,m), (3.84)
Π5,n,m =Π5,n,m(t , pmax,ρg ,max,Λn,m), (3.85)
onde as duas últimas relações valem para 0 ≤ n ≤ N − 1, 0 ≤ m ≤ M − 1, exceto a
relação para Π4,m,n , que não vale para o caso com m = 0 e n = 0 ao mesmo tempo,
pois Φ0,0 = ρg ,max é um dos parâmetros repetidos. Os demais parâmetros envolvem
69
quantidades relacionadas à temperatura:
Π6 =Π6(t , pmax,ρg ,max,T0, T ) (3.86)
Π7 =Π7(t , pmax,ρg ,max,T0,ρb cs) (3.87)
Π8 =Π8(t , pmax,ρg ,max,T0,Cw,+) (3.88)
Π9 =Π9(t , pmax,ρg ,max,T0,cl ) (3.89)
Π10 =Π10(t , pmax,ρg ,max,T0,cp g ) (3.90)
Π11 =Π11(t , pmax,ρg ,max,T0, isor ) (3.91)
Π12 =Π12(t , pmax,ρg ,max,T0, H) (3.92)
3.4.2 Cálculo dos grupos adimensionais
Grupo Π1
O grupo adimensional Π1 é obtido fazendo:
Π1 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [p] (3.93)
Π1 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.94)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c = 0 e d = 0. Substituindo estes
resultados temos:
Π1 = p
pmax. (3.95)
Grupo Π2
O grupo adimensional Π2 é obtido fazendo:
Π2 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [pmin] (3.96)
Π2 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.97)
70
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1 e c = 0. Substituindo estes resultados
temos:
Π2 = pmin
pmax. (3.98)
Grupo Π3
O grupo adimensional Π3 é obtido fazendo:
Π3 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [σpc ] (3.99)
Π3 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
T
L2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.100)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1 e c =−1. Substituindo estes resultados
obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π3 =σpc t pmax
ρg ,max. (3.101)
onde σpc pode assumir qualquer valor maior que zero.
Grupos Π4
Os grupos adimensionais Π4,n,m são obtidos fazendo:
Π4,n,m = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [Φn,m] (3.102)
Π4,n,m = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c (M
L3
)(Θ)d = M0 L0 T0Θ0 (3.103)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c =−1. Substituindo estes resultados
obtemos:
Π4,n,m = Φn,m
ρg ,max, (3.104)
lembrando que a relação acima não vale para m = n = 0.
71
Grupos Π5
Os grupos adimensionais Π5,n,m são obtidos fazendo:
Π5,n,m = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [Λn,n] (3.105)
Π5,n,m = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
L3
)= M0 L0 T0Θ0 (3.106)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0 e c = −1. Substituindo estes resulta-
dos, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π5,n,m = Λn,m
ρg ,max. (3.107)
Grupo Π6
O grupo adimensional Π6 é obtido fazendo:
Π6 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [T ] (3.108)
Π6 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d (Θ) = M0 L0 T0Θ0 (3.109)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = 0 e d =−1. Substituindo estes
resultados temos:
Π6 = T
T0. (3.110)
Grupo Π7
O grupo adimensional Π7 é obtido fazendo:
Π7 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [ρb cs] (3.111)
Π7 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.112)
72
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π7 = T0ρb cs
pmax(3.113)
Grupo Π8
O grupo adimensional Π8 é obtido fazendo:
Π8 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [C+w ] (3.114)
Π8 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.115)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π8 =T0 C+
w
pmax(3.116)
Grupo Π9
O grupo adimensional Π9 é obtido fazendo:
Π9 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [cl ] (3.117)
Π9 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
L2
T2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.118)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 1 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π9 =T0 cl ρg ,max
pmax(3.119)
73
Grupo Π10
O grupo adimensional Π10 é obtido fazendo:
Π10 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [cpg ] (3.120)
Π10 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
L2
T2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.121)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 1 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π10 =T0 cp,g ρg ,max
pmax. (3.122)
Grupo Π11
O grupo adimensional Π11 é obtido fazendo:
Π11 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [isor ] (3.123)
Π11 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
L2
T2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.124)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 1 e d = 0. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π11 =ρg ,max isor
pmax(3.125)
Grupo Π12
O grupo adimensional Π12 é obtido fazendo:
Π12 = [t ]a [pmax]b [ρg ,max]c [T0]d [H ] (3.126)
Π12 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT3Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.127)
74
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π12 = H t T0
pmax. (3.128)
Relação entre os grupos Π
Uma vez que 8+ 2 M N grupos Π independentes foram calculados, combinações
destes são feitas para produzir um conjunto de 8+ 2 M N parâmetros independentes
que tenham um significado físico mais relevante para a análise do problema. Natural-
mente alguns dos próprios parâmetros Π serão diretamente utilizados, pois estes já se
encontram em uma forma apropriada. A pressão (p∗) a e razão de pressões (p∗r ) já
foram definidas para o caso isotérmico, e são dadas diretamente pelas equações (3.54)
e (3.55). A temperatura adimensional é dada diretamente pelo parâmetro Π6:
T ∗ = Π6 = T
T0(3.129)
Observando o parâmetro Π5,n,m nota-se que para n = m = 0 temos:
Π5,0,0 =Λ0,0
ρg ,max= ρl ,max
ρg ,max= ρ∗
r . (3.130)
ρ∗r é a razão entre as concentrações máximas nas fases adsorvida e gasosa. Desta
forma, a combinação de Π5,0,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz o parâmetro M∗g que
é a fração de gás armazenado na fase gasosa em relação ao total de gás armazenado no
reservatório:
Π0
Π5,0,0 + Π0= ερg ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ερg ,max
ρmax= M∗
g (3.131)
e que uma combinação um pouco diferente produz o parâmetro M∗l que é a fração de
75
gás armazenada na fase adsorvida à carga máxima:
Π5,0,0
Π5,0,0 + Π0= ρl ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ρl ,max
ρmax= M∗
l , (3.132)
A variável σ∗pc pode ser interpretada como uma medida de tempo adimensional,
também é definida em termos de grupos Π:
σ∗pc = Π3 (1−Π2) = σpc t (pmax −pmin)
ρg ,max. (3.133)
A razão de capacidades térmica entre o adsorvente e a quantidade de gás armaze-
nada é dada por:
C∗s = Π7
Π10
1
Π5,0,0 + Π0= ρb cs
cp g ρmax(3.134)
onde o denominador significa a capacidade térmica do gás natural estando este em fase
gasosa.
Outra razão de capacidades térmicas definida envolve a capacidade térmica da pa-
rede do reservatório:
C∗w,+ = Π8
Π10
1
Π5,0,0 + Π0= C+
w
cp g ρmax(3.135)
A razão de calores específicos do GN adsorvido e gasoso também é um parâmetro:
c∗l g = Π9
Π10= cl
cp g
(3.136)
O calor de adsorção adimensional é definido como:
i∗sor = Π11
Π10= isor
cp g T0(3.137)
76
e o parâmetro ω é relacionado ao aquecimento provocado pela compressão do gás:
ω = 1−Π2
Π10= pmax −pmin
cp g T0ρg ,max(3.138)
onde é possível mostrar que, para gases ideais, este parâmetro é reduzido à:
ω= R
cpg
(1− pmin
pmax
)= R
cpg
(1−p∗
r
)(3.139)
O parâmetro H∗ corresponde à forma adimensional para o coeficiente que envolve
a transferência de calor por convecção com o ambiente:
H∗ = Π12
Π10
1
Π5,0,0 + Π0= H t
cp g ρmax(3.140)
Formas adimensionais para os coeficientes Φn,m e Λn,m também são introduzidas:
Φ∗n,m = Π4,n,m = Φn,m
ρg ,max, (3.141)
Λ∗n,m = Π5,n,m
Π5,0,0= Λn,m
ρl ,max, (3.142)
que são válidas para n = 0,1, . . . , N −1, e m = 0,1, . . . , M −1, exceto o caso com m =n = 0, onde Φ∗
n,m = 1 e Λ∗n,m = 1
Finalmente, as relações de dependência dadas pelas equações (3.78) e (3.79) são
re-escritas na forma:
ψ∗p (p∗, p∗
r σ∗pc ,M∗
g ,ρ∗r ,Φ∗
0,1, . . . ,Φ∗N−1,M−1,
Λ∗0,1, . . . ,Λ∗
N−1,M−1,C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.143)
ψ∗T (T ∗, p∗
r σ∗pc ,M∗
g ,ρ∗r ,Φ∗
0,1, . . . ,Φ∗N−1,M−1,
Λ∗0,1, . . . ,Λ∗
N−1,M−1,C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.144)
77
totalizando portanto 12+2(M N −1) = 10+2 N M grupos adimensionais. Introduzindo
os coeficientes adimensionais nas Séries de Taylor para calcular as concentrações fina-
mente pode-se escrever:
ρ∗g =
M−1∑m=0
N−1∑n=0
Φ∗n,m
(p∗)n (
T ∗−1)m (3.145)
ρ∗l =
M−1∑m=0
N−1∑n=0
Λ∗n,m
(p∗)n (
T ∗−1)m (3.146)
comΦ∗0,0 =Λ∗
0,0 = 1, de modo que a dependência funcional dada pelas equações (3.143)
e (3.144) possa ser finalmente reescrita na forma:
ψ∗p (p∗, p∗
r σ∗pc ,M∗
g ,ρ∗r , ρ∗
g , ρ∗l ,C∗
s ,C∗w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.147)
ψ∗T (T ∗, p∗
r σ∗pc ,M∗
g ,ρ∗r , ρ∗
g , ρ∗l ,C∗
s ,C∗w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,H∗) = 0 (3.148)
3.5 Formulação unidimensional não-isotérmica
Finalmente, esta seção apresenta a análise dimensional para o caso com depen-
dência espacial. A versão uni-dimensional do problema é selecionada, sendo dada
pelas equações (2.109) a (2.110) e as condições iniciais (2.111) onde, novamente, para
processos de descarga p0 = pmax e pi n = pmin, enquanto para processos de carga
p0 = pmin e pi n = pmax. As condições de contorno são dadas pelas equações (2.111),
(2.112), (2.113), e (2.114). Entretanto, para fazer a análise do problema, considerare-
mos o caso com pressão na entrada/saída especificada, ou seja:
p(ri n , t ) = pi n . (3.149)
Considerando a simplificação com Ti n = T0, a condição de contorno (2.113) pode
ser escrita na forma:
q ′′r = h+
i n(T0 −T ), para r = ri n , (3.150)
78
A solução deste problema é a evolução da distribuição de pressão e temperatura (p
e T ) com o tempo. As relações funcionais para p e T são então escritas da seguinte
forma:
ψp(p, t , pmin, pmax,σ,ε,Φ,Λ,
T0,csρb ,C′′w ,cl ,cpg , isor ,ke ,kb ,h,hi n ,r,ri n ,rex
) = 0, (3.151)
ψT(T, t , pmin, pmax,σ,ε,Φ,Λ,
T0,csρb ,C′′w ,cl ,cpg , isor ,ke ,kb ,h,hi n ,r,ri n ,rex
) = 0, (3.152)
onde Φ e Λ representam matrizes de coeficientes Φn,m e Λn,m , como descrito anteri-
ormente.
Seguindo o teorema, sabe-se que temos quatro dimensões fundamentais ou primá-
rias, portanto ζ= 4. Estas dimensões são a massa (M), o comprimento (L), o tempo (T)
e a temperatura (Θ).
3.5.1 Número de parâmetros adimensionais
Das equações (3.151) e (3.152) determinam-se os parâmetros significativos que
influenciam a solução do problema em questão. Para nosso problema temos 18+2 N M
variáveis físicas mais a pressão e a temperatura (variáveis dependentes), então n =20 + 2 N M . Escrevendo as dimensões dos parâmetros que formam as funções das
equações (3.151) e (3.152) obtemos as seguintes relações:
[σ] = L3 T
M, (3.153)
[C′′w ] = M
T2Θ, (3.154)
[r ] = [rex] = [ri n] = L, (3.155)
[kb] = [ke ] = ML
T3Θ, (3.156)
[h] = [hi n] = M
T3Θ. (3.157)
79
onde os parâmetros não incluídos já tiveram as unidades apresentadas nas equações
(3.25)-(3.28) e (3.73)-(3.77).
Escolhendo os parâmetros t , pmax, rex e T0 como o conjunto arbitrário de variáveis
físicas que são repetitivas, então a transferência de calor e massa em reservatórios de
GN adsorvido pode ser expressa em termos de n−ζ= 16+2 M N grupos adimensionais
Π:
ψ∗p (Π0,Π1,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,
Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.158)
ψ∗T (Π0,Π2,Π3,Π4,0,1, . . . ,Π4,N−1,M−1,
Π5,0,0, . . . ,Π5,N−1,M−1,Π6,Π7,Π8,Π9,Π10,Π11,Π12) = 0 (3.159)
onde os seis primeiros parâmetros são dados por:
Π0 = ε, (3.160)
Π1 =Π1(t , pmax,rex , p), (3.161)
Π2 =Π2(t , pmax,rex , pmin), (3.162)
Π3 =Π3(t , pmax,rex ,σ), (3.163)
Π4,n,m =Π4,n,m(t , pmax,rex ,Φn,m), (3.164)
Π5,n,m =Π5,n,m(t , pmax,rex ,Λn,m), (3.165)
onde as duas últimas relações valem para 0 ≤ n ≤ N −1, 0 ≤ m ≤ M −1. Os demais
80
parâmetros são dados por:
Π6 =Π6(t , pmax,rex ,T0,T ) (3.166)
Π7 =Π7(t , pmax,rex ,T0,ρb cs) (3.167)
Π8 =Π8(t , pmax,rex ,T0,C′′w ) (3.168)
Π9 =Π9(t , pmax,rex ,T0,cl ) (3.169)
Π10 =Π10(t , pmax,rex ,T0,cp g ) (3.170)
Π11 =Π11(t , pmax,rex ,T0, isor ) (3.171)
Π12 =Π12(t , pmax,rex ,T0,h), (3.172)
Π13 =Π13(t , pmax,rex ,T0,hi n), (3.173)
Π14 =Π14(t , pmax,rex ,T0,r ), (3.174)
Π15 =Π15(t , pmax,rex ,T0,ri n), (3.175)
Π16 =Π16(t , pmax,rex ,T0,kb), (3.176)
Π17 =Π17(t , pmax,rex ,T0,ke ), (3.177)
totalizando 16+2 M N parâmetros.
3.5.2 Cálculo dos grupos adimensionais
Grupo Π1
O grupo adimensional Π1 é obtido fazendo:
Π1 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [p] (3.178)
Π1 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
LT2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.179)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c = 0 e d = 0. Substituindo estes
resultados temos:
Π1 = p
pmax. (3.180)
81
Grupo Π2
O grupo adimensional Π2 é obtido fazendo:
Π2 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [pmin] (3.181)
Π2 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
LT2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.182)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c = 0 e d = 0. Substituindo estes
resultados temos:
Π2 = pmin
pmax. (3.183)
Grupo Π3
O grupo adimensional Π3 é obtido fazendo:
Π3 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [σ] (3.184)
Π3 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
TL3
M
)= M0 L0 T0Θ0 (3.185)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = 1, c = −2 e d = 0. Substituindo estes
resultados obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π3 = σ t pmax
r 2ex
. (3.186)
Grupos Π4
Os grupos adimensionais Π4,n,m são obtidos fazendo:
Π4,n,m = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [Φn,m] (3.187)
Π4,n,m = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c(
M
L3
)(Θ)d = M0 L0 T0Θ0 (3.188)
82
Calculando os expoentes, obtemos: a = −2,b = −1, c = 2 e d = 0. Substituindo estes
resultados obtemos:
Π4,n,m = r 2exΦn,m
pmax t 2. (3.189)
Grupos Π5
Os grupos adimensionais Π5,n,m são obtidos fazendo:
Π5,n,m = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [Λn,n] (3.190)
Π5,n,m = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
L3
)= M0 L0 T0Θ0 (3.191)
Calculando os expoentes, obtemos: a = −2,b = −1, c = 2 e d = 0. Substituindo estes
resultados obtemos:
Π5,n,m = r 2exΛn,m
pmax t 2. (3.192)
Grupo Π6
O grupo adimensional Π6 é obtido fazendo:
Π6 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [T ] (3.193)
Π6 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d (Θ) = M0 L0 T0Θ0 (3.194)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = 0 e d =−1. Substituindo estes
resultados temos:
Π6 = T
T0. (3.195)
83
Grupo Π7
O grupo adimensional Π7 é obtido fazendo:
Π7 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ρb cs] (3.196)
Π7 = (T)a(
M
LT2
)b (M
L3
)c
(Θ)d(
M
LT2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.197)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = −1, c = 0 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π7 = T0ρb cs
pmax(3.198)
Grupo Π8
O grupo adimensional Π8 é obtido fazendo:
Π8 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [C′′w ] (3.199)
Π8 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
T2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.200)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b =−1, c =−1 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π8 =T0 C′′
w
pmax rex(3.201)
Grupo Π9
O grupo adimensional Π9 é obtido fazendo:
Π9 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [cl ] (3.202)
Π9 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
L2
T2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.203)
84
Calculando os expoentes, obtemos: a = 2,b = 0, c = −2 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π9 = T0 cl t 2
r 2ex
(3.204)
Grupo Π10
O grupo adimensional Π10 é obtido fazendo:
Π10 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [cpg ] (3.205)
Π10 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
L2
T2Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.206)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 2,b = 0, c = −2 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π10 =T0 cp,g t 2
r 2ex
. (3.207)
Grupo Π11
O grupo adimensional Π11 é obtido fazendo:
Π11 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [isor ] (3.208)
Π11 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
L2
T2
)= M0 L0 T0Θ0 (3.209)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 2,b = 0, c = −2 e d = 0. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π11 = isor t 2
r 2ex
(3.210)
85
Grupo Π12
O grupo adimensional Π12 é obtido fazendo:
Π12 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [h] (3.211)
Π12 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
T3Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.212)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = −1 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π12 = h t T0
pmax rex. (3.213)
Grupo Π13
O grupo adimensional Π13 é obtido fazendo:
Π13 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [hi n] (3.214)
Π13 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
M
T3Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.215)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = −1 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π13 = hi n t T0
pmax rex. (3.216)
Grupo Π14
O grupo adimensional Π14 é obtido fazendo:
Π14 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [r ] (3.217)
Π14 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d (L) = M0 L0 T0Θ0 (3.218)
86
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = −1 e d = 0. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π14 = r
rex. (3.219)
Grupo Π15
O grupo adimensional Π15 é obtido fazendo:
Π15 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ri n] (3.220)
Π15 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d (L) = M0 L0 T0Θ0 (3.221)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 0, b = 0, c = −1 e d = 0. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π15 = ri n
rex. (3.222)
Grupo Π16
O grupo adimensional Π16 é obtido fazendo:
Π16 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [kb] (3.223)
Π16 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
LM
T3Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.224)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = −2 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π16 = kb t T0
pmax r 2ex
. (3.225)
87
Grupo Π17
O grupo adimensional Π17 é obtido fazendo:
Π17 = [t ]a [pmax]b [rex]c [T0]d [ke ] (3.226)
Π17 = (T)a(
M
LT2
)b
(L)c (Θ)d(
LM
T3Θ
)= M0 L0 T0Θ0 (3.227)
Calculando os expoentes, obtemos: a = 1,b = −1, c = −2 e d = 1. Substituindo estes
resultados, obtemos o seguinte grupo adimensional:
Π17 = ke t T0
pmax r 2ex
. (3.228)
Relação entre os grupos Π
Uma vez que 16+2 M N grupos Π independentes foram calculados, combinações
destes são feitas para produzir um conjunto de 16+2 M N parâmetros independentes
que tenham um significado físico mais relevante para a análise do problema. Natural-
mente alguns dos próprios parâmetros Π serão diretamente utilizados, pois estes já se
encontram em uma forma apropriada. A razão de pressões (p∗r ) já foi definida para
os casos anteriores e é dada diretamente pela equação (3.55). A temperatura e pressão
adimensionais são dadas por:
p∗ = Π1 −Π2
1−Π2= p −pmin
pmax −pmin(3.229)
T ∗ = Π6 = T
T0(3.230)
A razão entre Π5,0,0 e Π4,0,0 produz o parâmetro ρ∗r .
Π5,0,0
Π4,0,0= ρl ,max
ρg ,max= ρ∗
r . (3.231)
Desta forma, a combinação de Π4,0,0 e Π5,0,0 com a porosidade (Π0 = ε) produz o
88
parâmetro M∗g :
1
Π5,0,0/Π4,0,0 + Π0
= ερg ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ερg ,max
ρmax= M∗
g (3.232)
e uma combinação um pouco diferente produz o parâmetro M∗l :
Π5,0,0/Π4,0,0
Π5,0,0/Π4,0,0 + Π0
= ρl ,max
ρg ,max ε + ρl ,max= ρl ,max
ρmax= M∗
l , (3.233)
A variável σ∗ também é definida em termos de grupos Π:
σ∗ = Π3 (1−Π2)
Π0 (1−Π15)2= σ t (pmax −pmin)
ρg ,max. (3.234)
O significado dos parâmetros ρ∗r , M∗
g , M∗l e σ∗ foram explicados nas seções an-
teriores. A razão de capacidades térmica entre o adsorvente e a quantidade de gás
armazenada é dada por:
C∗s = Π7
Π10
1
Π5,0,0 + Π0Π4,0,0= ρb cs
cp g ρmax(3.235)
onde o denominador significa a capacidade térmica do gás natural estando este em fase
gasosa.
Outra razão de capacidades térmicas definida envolve a capacidade térmica da pa-
rede do reservatório:
C∗w,+ = Π8
Π10
(1−Π15)−1
Π5,0,0 + Π0Π4,0,0= C′′
w
cp g ρmax (rex − ri n)(3.236)
A razão de calores específicos do GN e o calor de adsorção adimensionais são
calculados da mesma forma que para a formulação global:
c∗l g = Π9
Π10= cl
cp g
(3.237)
i∗sor = Π11
Π10= isor
cp g T0(3.238)
89
e o parâmetro ω, relacionado ao aquecimento provocado pela compressão do gás, é
dado por:
ω = 1−Π2
Π4,0,0Π10= pmax −pmin
cp g T0ρg ,max(3.239)
Números de Biot são produzidos pelas seguintes combinações:
Bi = Π12
Π16 (1−Π15)= h (rex − ri n)
kb(3.240)
Bii n = Π13
Π16 (1−Π15)= hi n (rex − ri n)
kb(3.241)
e o Número de Fourier é dado por:
Fo = Π16
Π7 (1−Π15)2= αb t
(rex − ri n)2(3.242)
onde αb = kb/(ρb cs).
A razão de condutividades térmica k∗ é definida por:
k∗ = Π17
Π16= ke
kb(3.243)
e a razão de raios r ∗i n é dada por:
r ∗i n = Π15 = ri n
rex(3.244)
e o raio adimensional é definido da forma:
r ∗ = Π14 −Π15
1−Π15= r − ri n
rex − ri n(3.245)
de modo que o valor de r ∗ permaneça sempre entre 0 e 1.
Finalmente, as relações de dependência dadas pelas equações (3.158) e (3.159),
são re-escritas na forma:
90
ψ∗p (p∗, p∗
r ,σ∗,M∗g ,Π4,0,0, . . . ,Π∗
4,N−1,M−1,Π∗5,0,0, . . . ,Π∗
5,N−1,M−1,
C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,Bi,Bii n ,Fo,k∗,r ∗,r ∗i n) = 0 (3.246)
ψ∗T (T ∗, p∗
r ,σ∗,M∗g ,Π4,0,0, . . . ,Π∗
4,N−1,M−1,Π∗5,0,0, . . . ,Π∗
5,N−1,M−1,
C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,Bi,Bii n ,Fo,k∗,r ∗,r ∗i n) = 0 (3.247)
totalizando portanto 16+2 N M grupos adimensionais.
Finalmente, formas adimensionais para os coeficientes Φn,m e Λn,m são introduzi-
das:
Φ∗n,m = Π4,n,m
Π4,0,0= Φn,m
ρg ,max, (3.248)
Λ∗n,m = Π5,n,m
Π5,0,0= Λn,m
ρl ,max, (3.249)
que são válidas para n = 0,1, . . . , N −1, e m = 0,1, . . . , M −1, exceto o caso com m =n = 0, onde Φ∗
n,m = 1 e Λ∗n,m = 1 de modo que as concentrações finamente podem ser
escritas como:
ρ∗g =
M−1∑m=0
N−1∑n=0
Φ∗n,m
(p∗)n (
T ∗)m (3.250)
ρ∗l =
M−1∑m=0
N−1∑n=0
Λ∗n,m
(p∗)n (
T ∗)m (3.251)
comΦ∗0,0 =Λ∗
0,0 = 1, de modo que a dependência funcional dada pelas equações (3.246)
e (3.247) possa ser finalmente reescrita na forma:
ψ∗p (p∗, p∗
r σ∗,M∗
g ,Π4,0,0,Π5,0,0, ρ∗g , ρ∗
l ,
C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,Bi,Bii n ,Fo,k∗,r ∗,r ∗i n) = 0 (3.252)
91
ψ∗T (T ∗, p∗
r σ∗,M∗
g ,Π4,0,0,Π5,0,0, ρ∗g , ρ∗
l ,
C∗s ,C∗
w,+,c∗l g , i∗sor ,ω,Bi,Bii n ,Fo,k∗,r ∗,r ∗i n) = 0 (3.253)
92
Capítulo 4
Formulações normalizadas
Este capítulo tem o objetivo de estudar os parâmetros adimensionais visando ava-
liar o papel das distribuições espaciais no coeficiente de rendimento para diferentes
valores dos parâmetros adimensionais.
4.1 Parâmetros Adimensionais
O capítulo anterior introduziu diversos parâmetros adimensionais ligados ao pro-
blema de GNA. Neste capítulo, utilizaremos os parâmetros anteriores para adimensio-
nalizar as equações. Todavia, parâmetros auxiliares serão também definidos a fim de
facilitar o desenvolvimento.
Para os parâmetros que dependem do tempo, ao invés de trabalhar com parâmetros
variáveis, utilizamos o tempo de processo t f para redefinir os parâmetros Fo e σ∗:
Fo = αb t f
(rex − ri n)2(4.1)
σ∗ = σ
ε
∆p t f
(rex − ri n)2(4.2)
Um número de Biot modificado, definido em termos de h+i n é introduzido, seguindo
93
a mesma forma de Bii n
Bi+i n = h+i n (rex − ri n)
kb(4.3)
Definem-se também, coeficientes de transferência de calor adimensionais, similar
ao parâmetro H∗ introduzidos em [51]:
H∗ex = hAex t f
cpg Vρmax, (4.4)
H∗i n = h+
i n Ai n t f
cpg Vρmax. (4.5)
Pode-se mostrar que estes são relacionados aos parâmetros anteriores através de:
H∗ex = BiFoC∗
s K∗ex , (4.6)
H∗i n = Bi+i n FoC∗
s K∗i n , (4.7)
onde os parâmetros K∗ex e K∗
i n são razões geométricas, dadas por:
K∗ex = Aex(rex − ri n)
V, (4.8)
K∗i n = Ai n(rex − ri n)
V. (4.9)
4.2 Variáveis adimensionais
As variáveis dependentes e independentes associados ao problema são normaliza-
das introduzindo as seguintes formas adimensionais,
• Massa específica da fase gasosa:
ρ∗g = ρg
ρg ,max(4.10)
onde ρg ,max são os valores da massa específica da fase gasosa no final da carga
(ou início da descarga).
94
• Massa específica da fase adsorvida:
ρ∗l = ρl
ρl ,max(4.11)
onde ρl ,max é a massa específica máxima da fase adsorvida obtidas no fim da
carga (ou início da descarga).
• Pressão
p∗ = p −pmin
pmax −pmin= p −pmin
∆p(4.12)
lembrando que pmin = p0 é a pressão mínima da fase gasosa no início da carga
e no final da descarga medida à T0 e pmax é a pressão máxima da fase gasosa no
final da carga e, no início da descarga, medida à T0.
• Tempo
t∗ = t
t f(4.13)
onde t f , como discutido anteriormente, é o tempo de carga ou descarga para que
a pressão atinja o valor máximo (ou mínimo), isto é, p(t f ) = pmax para a carga
e p(t f ) = pmin para descarga. A definição de t∗ se faz necessária uma vez que
grupos adimensionais que dependem de t foram escritos em função de t f .
• Temperatura
T ∗ = T
T0(4.14)
onde T0 é o valor da temperatura no início do processo de carga ou descarga.
95
4.3 Outras quantidades adimensionais
Usando o comprimento de difusão (rex − ri n) para normalizar as coordenadas es-
paciais, o operador nabla adimensional é definido como:
∇∗ = (rex − ri n)∇ (4.15)
Com a adimensionalização adotada, os vetores fluxo de massa adimensionais são
definidos por:
j∗g =j ′′g t f
ρmax(rex − ri n), j∗l = j ′′l t f
ρmax(rex − ri n), (4.16)
o que implica em
ρ∗g v∗
g = ρg v g t f
ρmax(rex − ri n), ρ∗
l v∗l = ρl v l t f
ρmax(rex − ri n). (4.17)
Seguindo a mesmo forma, a vazão de entrada que aparece na formulação global,
na forma adimensional é dada por:
m∗i n = mi n t f
ρmaxV, (4.18)
e o fluxo de massa adimensional na entrada do reservatório é definido por:
j∗i n = m′′i n t f
ρmax(rex − ri n), (4.19)
de onde pode-se verificar que existe uma relação entre as últimas duas grandezas adi-
mensionais:
m∗i n = K∗
i n j∗i n . (4.20)
96
Com a definição de j∗i n pode-se relacionar Bii n com Bi+i n fazendo:
Bi+i n = Bii n +cp g m′′
i n (rex − ri n)
kb= Bii n + j∗i n
C∗s Fo
(4.21)
Utilizando a relação entre o fluxo de massa na fase gasosa e o gradiente de pressão,
chega-se também a seguinte relação entre estas grandezas na forma adimensional:
j∗g = − ρg σ∇p t f
ρmax(rex − ri n)= −M∗
g ρ∗g σ
∗∇∗p∗ (4.22)
De maneira similar, o fluxo de calor adimensional é relacionado com o gradiente de
temperatura adimensional através de:
q∗ = −k∗e ∇∗T ∗ (4.23)
Finalmente, uma quantidade de interesse é a massa armazenada adimensional, de-
finida como a razão entre a massa contida no reservatório em um dado instante, e o
máximo possível:
m∗ = m
mmax, (4.24)
onde mmax corresponde a massa armazenada para um processo isotérmico, ou seja:
mmax = (ερg ,max + ρl ,max)V, (4.25)
de modo que m∗ pode ser calculado por:
m∗ = M∗g ρ
∗g + M∗
l ρ∗l (4.26)
97
4.4 Formulações adimensionais
4.4.1 Formulação local
Introduzindo as variáveis dependentes e independentes na equação (2.30) e rearru-
mando teremos,
ερg ,max
ρmax
∂ρ∗g
∂t∗+ ρl ,max
ρmax
∂ρ∗l
∂t∗+∇∗· j∗g +∇∗· j∗l = 0 (4.27)
pode-se escrever também,
ερg ,max
ρmax
∂ρ∗g
∂t∗+ ρl ,max
ρmax
∂ρ∗l
∂t∗+ ∇∗· j∗ = 0 (4.28)
Introduzindo as variáveis dependentes e independentes na equação (2.56) e rearru-
mando teremos,
ρe ce
cpgρmax
∂T ∗
∂t∗+ ( j∗g +
cl
cpg
j∗l )·(∇∗T ∗) = csρb
ρmax cpg
kb t f
L2 cb ρb∇∗·(k∗∇∗T ∗)+
+ ρl ,max
ρmax
isor
T0 cpg
∂ρ∗l
∂t∗+ ε
∆p
ρg ,maxcpg T0
ρg ,max
ρmax
∂p∗
∂t∗(4.29)
e pode-se escrever também,
ρe ce
cpgρmax
∂T ∗
∂t∗+ ( j∗g +
cl
cpg
j∗l )·(∇∗T ∗) = csρb
ρmax cpg
kb t f
L2 cbρb∇∗·(k∗∇∗T ∗)+
+ ρl ,max
ρmax
isor
T0cpg
g ′′′sor +ε
∆p
ρg ,maxcpg T0
ρg ,max
ρmax
∂p∗
∂t∗(4.30)
Substituindo os parâmetros adimensionais, chega-se a forma adimensional para as
equações de transporte,
M∗g
∂ρ∗g
∂t∗+ M∗
l
∂ρ∗l
∂t∗+ ∇∗· j∗g +∇∗· j∗l = 0 (4.31)
C∗e∂T ∗
∂t∗+ ( j∗g + c∗l g j∗l )·(∇∗T ∗) = C∗
s Fo∇∗·q∗+M∗l i∗sor g∗
sor +M∗g ω
∂p∗
∂t∗(4.32)
98
onde,
C∗e = ρe ce
cpgρmax= M∗
gρ∗g + c∗l g M∗
l ρ∗l +C∗
s (4.33)
g∗sor =
∂ρ∗l
∂t∗+∇∗· j∗l (4.34)
Finalmente, fazendo a consideração que não há difusão na fase adsorvida, a versão
normalizada das equações de transporte para a formulação multidimensional é obtida:
M∗g
∂ρ∗g
∂t∗+ M∗
l
∂ρ∗l
∂t∗= −∇∗· j∗g (4.35)
(M∗g ρ
∗g + c∗l g M∗
l ρ∗l +C∗
s )∂T ∗
∂t∗+ j∗g ·(∇∗T ∗) =
= −FoC∗s ∇∗·q∗+M∗
l i∗sor
∂ρ∗l
∂t∗+M∗
gω∂p∗
∂t∗(4.36)
4.4.2 Condições de contorno e iniciais
Para o fluxo de massa desprezível na fase adsorvida, as condições de contorno na
superfície externa são simplificadas para
j∗·n = 0, para r ∈ Se , (4.37)
q∗·n = −k∗ (∇∗T ∗)·n = Bi(T ∗−1)+ C∗w
C∗s
1
Fo
∂T ∗
∂t∗, para r ∈ Se . (4.38)
Na entrada do cilindro as seguintes condições aplicam-se:
γp∗− (1−γ) j∗g ·n = γp∗i n + (1−γ) j∗i n , para r ∈ Si (4.39)
q∗·n = −k∗ (∇∗T ∗)·n = Bi+i n (T ∗−1), para r ∈ Si , (4.40)
A equação (4.39) é uma forma generalizada para a condição da conservação de massa
na entrada em que γ = 1 deve ser usada quando a pressão de entrada é conhecida e
γ= 0 quando a taxa de fluxo na entrada é conhecida.
99
As condições iniciais do problema são dadas em termos da pressão e da tempera-
tura,
p∗(t∗ = 0) = p∗0 , T ∗(t∗ = 0) = 1, (4.41)
com p∗0 = 0 para a carga e p∗
0 = 1 para a descarga.
4.4.3 Formulação global
Partindo das equações dimensionais (2.129) e (2.158), substituem-se as variáveis
adimensionais:
ε∆ρg
t f
dρ∗g
dt∗+ ∆ρl
t f
dρ∗l
dt∗= mg
V(4.42)
(ερg ,max cp gρ
∗g +ρl ,max clρ
∗l +ρb cs + mw cw
V
) T0
t f
dT ∗
dt∗=
= −h T0(T ∗−1)Aex
V−h+
i n T0(T ∗−1)Ai n
V+ ε
∆p
t f
dp∗
dt∗+ ısor
ρl ,max
t f
dρ∗l
dt∗(4.43)
onde Ti n/T0 = 1. Rearrumam-se os resultados anteriores na forma adimensional:
ερg ,maxV
mmax
dρ∗g
dt∗+ ρl ,maxV
mmax
dρ∗l
dt∗= mg t f
mmax(4.44)
(ερg ,max cpgρ
∗g + ρl ,max clρ
∗l + ρbcs + mw cw
V
) V
cpg mmax
dT ∗
dt∗=
= − hAex t f
cpg mmax(T ∗−1) − h+
i n Ai n t f
cpg mmax(T ∗−1)+
+ ∆p
ρg ,maxcpg T0
ερg ,maxV
mmax
dp∗
dt∗+ ısor
T0cpg
ρl ,maxV
mmax
dρ∗l
dt∗(4.45)
100
Finalmente, substituindo os parâmetros adimensionais, chega-se à forma adimensional
para as equações de transporte:
M∗g
dρ∗g
dt∗+ M∗
l
dρ∗l
dt∗= m∗
g (4.46)
(M∗gρ
∗g + c∗l g M∗
l ρ∗l +C∗)
dT ∗
dt∗= −H∗ (T ∗−1) + M∗
g ωdp∗
dt∗+M∗
l i∗sor
dρ∗l
dt∗(4.47)
onde C∗ representa as contribuições adicionadas das capacidades térmicas:
C∗ = C∗s + K∗
ex C∗w . (4.48)
e H∗ corresponde às contribuições de H∗ex e H∗
i n:
H∗ = H∗ex +H∗
i n . (4.49)
Os termos no lado direito da equação (4.47) representam uma competição entre di-
ferentes efeitos: transferência térmica do ambiente, aquecimento/resfriamento à com-
pressão e aquecimento/resfriamento devido à adsorção. A combinação destes parâme-
tros conduzirá a uma variação da temperatura, que pode ser diminuído ou aumentado
de acordo com a avaliação da relação da capacidade térmica.
4.4.4 Considerações finais
Observando o resultado da formulação normalizada, pode-se perceber claramente
que a introdução de grupos adimensionais fisicamente significativos facilita a análise.
É importante salientar que algumas formulações consideram efeitos adicionais, tais
como resistência da difusão de massa da intra-partícula ou difusão com a fase fixa (di-
fusão de superfície). Não obstante, isto não levanta nenhum obstáculo à análise e à
metodologia apresentada da normalização; quando os efeitos adicionais são introduzi-
dos na formulação, outros grupos adimensionais aparecem naturalmente.
101
4.5 Formulação unidimensional sem difusão na fase adsorvida
Como o principal objetivo deste trabalho foi de modelar o problema de gás natu-
ral adsorvido e desenvolver um conjunto de parâmetros adimensionais relevantes para
o problema, as simulações numéricas realizadas serão baseadas em um modelo ma-
temático simplificado, considerando-se apenas a dependência na coordenada radial,
e assumindo que os efeitos de difusão de massa na fase adsorvida são desprezíveis
(como feito em todos os estudos encontrados na literatura). Tais simplificações levam
à seguinte formulação matemática para o problema:
M∗g
∂ρ∗g
∂t∗+ M∗
l
∂ρ∗l
∂t∗= − 1
r ∗+ r ∗i n
∂
∂r ∗ ((r ∗+ r ∗i n) j∗g ,r ) (4.50)
(M∗
gρ∗g + c∗l g M∗
l ρ∗l +C∗
s
) ∂T ∗
∂t∗+ ( j∗g ,r )
∂T ∗
∂r ∗ =
=−FoC∗s
1
r ∗+ r ∗i n
∂
∂r ∗((r ∗+ r ∗
i n) q∗r
) + M∗l i∗sor
∂ρ∗l
∂t∗+ M∗
gω∂p∗
∂t∗(4.51)
para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, onde os componentes dos fluxos de massa e calor na direção radial são
dados por:
j∗g ,r =−M∗gρ
∗gσ
∗∂p∗
∂r ∗ (4.52)
q∗r =−k∗
e∂T ∗
∂r ∗ (4.53)
e r ∗ e r ∗i n são definidos como
r ∗ = r − ri n
rex − ri n, r ∗
i n = ri n
rex − ri n. (4.54)
As condições de contorno são dadas por:
j∗g ,r = 0, (4.55)
−k∗e∂T ∗
∂r ∗ = Bi(T ∗−1)+ C∗w
C∗s
1
Fo
∂T ∗
∂t∗, (4.56)
102
para r ∗ = 1, e
γp∗+ (1−γ) j∗g ,r = γp∗i n + (1−γ) j∗i n , (4.57)
k∗e∂T ∗
∂r ∗ = Bi+i n(T ∗−1), (4.58)
para r ∗ = 0, onde γ = 1 para processos com a pressão de entrada/saída especificada
e γ = 0 para processos onde a vazão é especificada. Para processos onde a vazão
é especificada, naturalmente, j∗i n < 0 corresponde a processos de descarga j∗i n > 0 a
processos de carga.
Para a formulação apenas em r -t os parâmetros K∗ex e K∗
i n são dados por:
K∗ex = 2rex
rex + ri n, (4.59)
K∗i n = 2ri n
rex + ri n, (4.60)
e, naturalmente K∗ex +K∗
i n = 2. Ainda, pode-se mostrar que r ∗i n pode ser calculado por:
r ∗i n = K∗
i n
2(1−K∗i n)
. (4.61)
Nos estudos de Mota et al. [36] e Hirata et al. [49], o processo de carga lenta com
vazão constante é simulado com uma formulação similar à acima disposta. Todavia a
simplificação que considera uma condição isolada de saída (Bi+i n = 0) é utilizada, e a
pressão é tratada como sendo espacialmente uniforme.
4.6 Simplificação das equações para GNC
4.6.1 Formulação global para GNC
Para gás natural comprimido (GNC), ε= 1, e os parâmetros adimensionais abaixo
são simplificados,
M∗g = 1, M∗
l = 0, C∗s = 0 (4.62)
103
Com as simplificações acima, as equações de transporte (4.46) e (4.47) adimensio-
nalizadas são reduzidas a,
dρ∗g
dt= m∗
g (4.63)
(ρ∗g +K∗
ex C∗w )
dT ∗
dt∗= −H∗ (T ∗−1) + ω
dp∗
dt∗(4.64)
4.6.2 Formulação local para GNC
Para GNC ε= 1, e os parâmetros adimensionais abaixo são simplificados,
M∗g = 1, M∗
l = 0, C∗s = 0 (4.65)
Com as simplificações acima, as equações de transporte (4.31) e (4.32) adimensiona-
lizadas são reduzidas a,
∂ρ∗g
∂t+ ∇∗· j∗g = 0 (4.66)
ρ∗g∂T ∗
∂t∗+ j∗g ·(∇∗T ∗) =−Fog ∇∗·q∗ + ω
∂p∗
∂t∗(4.67)
onde Fog é o número de Fourier para o metano puro, definido por:
Fog = kg t f
ρg ,max cp g (rex − ri n)2(4.68)
4.7 Avaliação de desempenho
Usando as variáveis normalizadas, o CR é escrito como,
CR = ∆m∗real
∆m∗max
(4.69)
104
onde as quantidades acima podem ser escritas em termos da massa armazenada adi-
mensional:
∆m∗real = m∗(p∗,T ∗)|t∗=1 −m∗(p∗,T ∗)|t∗=0, (4.70)
∆m∗max = m∗(p∗
T ,1)|t∗=1 −m∗(p∗T ,1)|t∗=0. (4.71)
Verifica-se então que o CR pode ser escrito em termos de,
CR = m∗(p∗,T ∗)|t∗=1 −m∗(p∗,T ∗)|t∗=0
m∗(p∗T ,1)|t∗=1 −m∗(p∗
T ,1)|t∗=0(4.72)
onde p∗T corresponde à variação da pressão para um processo isotérmico (ou seja, com
T ∗ = 1).
Sabemos que a relação (V /V ) pode ser escrita da seguinte forma,
(V /V ) = mmin + CR∆mmax
m0= mmin/∆mmax + CR
m0/∆mmax(4.73)
Definindo,
m∗min ≡ mmin
∆mmax(4.74)
m∗0 ≡ m0
∆mmax(4.75)
Chega-se a,
(V /V ) = m∗min +CR
m∗0
(4.76)
105
Capítulo 5
Solução numérica
Após a apresentação da formulação multi-dimensional normalizada (Capítulo 4)
utilizando os parâmetros adimensionais produzidos pela análise dimensional (Capítulo
3) resultados de simulações numéricas serão apresentados a fim de mostrar o efeito dos
grupos adimensionais sobre processos de carga e descarga de gás adsorvido. A análise
é feita considerando um reservatório cilíndrico longo com um difusor no centro, de
modo que processos de carga e descarga possam ser tratados de forma uni-dimensional.
Além disto, a difusão na fase adsorvida também é desprezada, como é feito em todos
os estudos encontrados na literatura. Com estas considerações o problema resultante
terá os campos de temperatura e pressão dependentes da coordenada radial e do tempo
como variáveis independentes, sendo dado pelas equações governantes (4.50) e (4.51)
e as condições de contorno (4.55), (4.56), (4.57) e (4.58).
5.1 Forma conservativa em termos de temperatura e pressão
A fim de resolver computacionalmente o modelo proposto, as equações são escritas
em termos das variáveis dependentes pressão e temperaturas adimensionais. Isto é
feito, naturalmente, escrevendo a massa específica adimensional ρ∗ em termos de p∗
106
e T ∗:
ρ∗ = ρ∗(p∗,T ∗) (5.1)
dρ∗ = ∂ρ∗
∂p∗ dp∗+ ∂ρ∗
∂T ∗ dT ∗ (5.2)
aplicada a ρ∗g
dρ∗g =
∂ρ∗g
∂p∗ dp∗ +∂ρ∗
g
∂T ∗ dT ∗ (5.3)
aplicada a ρ∗l
dρ∗l = ∂ρ∗
l
∂p∗ dp∗ + ∂ρ∗l
∂T ∗ dT ∗ (5.4)
Além disto, para aplicar a discretização por volumes finitos, as equações necessi-
tam ser escritas na forma conservativa. A equação de conservação de massa já está na
forma conservativa. A equação de energia pode ser escrita na forma conservativa como
mostrado abaixo:
C∗e∂T ∗
∂t∗+ ∇∗·( j∗g T ∗) = −Fo+∇∗·q∗ + M∗
l i∗sor
∂ρ∗l
∂t∗+ M∗
g ω∂p∗
∂t∗+ T ∗ ∂m∗
∂t∗(5.5)
onde C∗e é dado pela equação (4.33) e Fo+ é dado por:
Fo+ = FoC∗s (5.6)
O termo m∗ representa a concentração adimensional de metano em um ponto, cal-
culada diretamente da equação de conservação da massa:
∂m∗
∂t∗= M∗
g
∂ρ∗g
∂t∗+ M∗
l
∂ρ∗l
∂t∗= −∇∗· j∗g (5.7)
Em seguida, a equação de conservação de massa é reescrita em termos da tempe-
107
ratura e da pressão como segue,
γ1∂p∗
∂t∗+γ2
∂T ∗
∂t∗=−∇∗· j∗g (5.8)
e de forma similar escrevemos a equação da energia:
γ3∂p∗
∂t∗+γ4
∂T ∗
∂t∗=−Fo+∇∗·q∗−∇∗·( j∗g T ∗) (5.9)
onde os coeficientes γ são definidos por,
γ1 = M∗g
∂ρ∗g
∂p∗ +M∗l
∂ρ∗l
∂p∗ (5.10)
γ2 = M∗g
∂ρ∗g
∂T ∗ +M∗l
∂ρ∗l
∂T ∗ (5.11)
γ3 = M∗gω−M∗
l
∂ρ∗l
∂p∗ i∗sor −T ∗∂m∗
∂p∗ (5.12)
γ4 = C∗e −M∗
l
∂ρ∗l
∂T ∗ i∗sor −T ∗∂m∗
∂T ∗ (5.13)
Para o cálculo destes coeficientes é necessário calcular ρ∗g e ρ∗
l , assim como suas
derivadas, em função de T ∗ e p∗. A seção a seguir apresenta tal desenvolvimento.
5.1.1 Cálculo das derivadas de concentração adimensionais
Partindo da equação de estado dos gases ideais temos que,
ρg = p
R T(5.14)
e utilizando as definições das variáveis adimensionais:
ρ∗g = 1
T ∗
(p∗ ∆p
R T0ρg ,max+ pmi n
R T0ρg ,max
)= 1
T ∗
(p∗ ρg ,max −ρg ,min
ρg ,max+ ρg ,min
ρg ,max
)(5.15)
108
Desta forma, as derivadas de ρ∗g em relação à p∗ e T ∗ são calculadas, fornecendo:
∂ρ∗g
∂p∗ = 1
T ∗ρg ,max −ρg ,min
ρg ,max(5.16)
∂ρ∗g
∂T ∗ = − 1
T ∗2
(p∗ ∆p
R T0ρg ,max+ pmi n
R T0ρg ,max
)= −
ρ∗g
T ∗ (5.17)
Para o cálculo dos coeficientes da fase adsorvida utiliza-se a isoterma de Langmuir,
definida pela equação (2.163). Desta forma, em termos das variáveis adimensionais
tem-se:
q = ρl ,maxρ∗l
ρb= qm b P
1+b P(5.18)
onde os coeficientes qm e b são obtidos das relações (2.165) e (2.164), de modo
que suas derivadas dimensionais de q em relação à p e T são facilmente calculadas,
gerando:
∂q
∂p= qm b
(1+b p)2(5.19)
∂q
∂T=
p(
dqmdT (1+b p)+qm
dbdT
)(1+b p)2
(5.20)
Finalmente, as derivadas na forma adimensional são calculadas:
∂ρ∗l
∂p∗ = ρb∆p
ρl ,max
qm b
(1+b p)2(5.21)
∂ρ∗l
∂T ∗ = ρb T0
ρl ,max
p(
dqmdT (1+b p)+qm
dbdT
)(1+b p)2
(5.22)
5.2 Integração das equações
A metodologia numérica adotada aqui é a dos volumes finitos. É prática dos vo-
lumes finitos obter a aproximação numérica da equação diferencial a partir de sua
integração no volume de controle elementar conforme apresentado na figura 5.1. A
equação de conservação de massa e a equação de energia serão discretizadas utilizando
109
uma malha uniforme em coordenadas cilíndricas.
Fig. 5.1: Volume de controle elementar e seus vizinhos.
Antes de integrar as equações, adota-se a seguinte simplificação de notação. Como
todo o movimento de metano se dá pela advecção na fase gasosa, j∗ = j∗g . Desta forma,
daqui em diante será adotada esta relação. Integrando as equações (5.8) e (5.9) no
volume finito Vp com uma superfície vizinha ∆Sp e usando o teorema da divergência
temos,
∫∆VP
(γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)dV = −
∫∆SP
j∗·n dA (5.23)∫∆VP
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)dV = −Fo+
∫∆SP
q∗·n dA −∫∆SP
( j∗ T ∗)·n dA (5.24)
Para a formulação r -t , o volume finito e sua superfície de contorno são dados por,
∆VP = π (r ∗n
2 − r ∗s
2)L = 2πr ∗P ∆r ∗ L (5.25)
∆SP = ∆An +∆As (5.26)
no qual
∆An = 2πr ∗n L, ∆As = 2πr ∗
s L (5.27)
onde L é o comprimento adimensional do reservatório (no sentido de z). As coorde-
nadas tradicionais dos volumes finitos são empregadas, com o P que é o centro do
volume, o n a face (superior) norte e o s a face (mais baixa) sul. Uma malha uniforme
110
é considerada tal que,
∆r ∗ = 2(r ∗n − r ∗
P ) = 2(r ∗P − r ∗
s ) (5.28)
5.2.1 Aproximação das integrais
Aproximando as integrais utilizando aproximações de segunda ordem temos,
∫VP
f dV ≈ ( f )P ∆VP (5.29)∫SP
f dA ≈ ( f )n∆An + ( f )s∆As (5.30)
tais que os termos nas equações fornecem:
∫Ve
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)dV ≈
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)P
2πr ∗P ∆r ∗ L (5.31)∫
Ve
(γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)dV ≈
(γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)P
2πr ∗P ∆r ∗ L (5.32)∫
Se
q∗·n dA ≈ (q∗)n 2πr ∗n L − (q∗)s 2πr ∗
s L (5.33)∫Se
j∗·n dA ≈ ( j∗)n 2πr ∗n L − ( j∗)s 2πr ∗
s L (5.34)∫Se
T ∗ j∗·n dA ≈ ( j∗ T )n 2πr ∗n L − ( j∗ T )s 2πr ∗
s L (5.35)
Substituindo nas equações (5.23) e (5.24):
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)P
2πr ∗P ∆r ∗ L = −( j∗)n 2πr ∗
n L + ( j∗)s 2πr ∗s L (5.36)
(γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)P
2πr ∗P ∆r ∗ L = −Fo+ (q∗)n 2πr ∗
n L+
+ Fo+ (q∗)s 2πr ∗s L− ( j∗ T ∗)n 2πr ∗
n L + ( j∗ T ∗)s 2πr ∗s L (5.37)
111
e simplificando temos,
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)P= − (r ∗ j∗)n − (r ∗ j∗)s
r ∗P ∆r ∗(
γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)P= −Fo+ (r ∗q∗)n − (r ∗q∗)s
r ∗P ∆r ∗ −
− (r ∗ j∗ T ∗)n − (r ∗ j∗ T ∗)s
r ∗P ∆r ∗ (5.38)
Os fluxos de calor e massa (normais às faces do volume finito) são dados por:
q∗n = −
(k∗ ∂T ∗
∂r ∗
)n
q∗s = −
(k∗ ∂T ∗
∂r ∗
)s
(5.39)
j∗n = −M∗g
(ρ∗
g σ∗ ∂p∗
∂r ∗
)n
j∗s = −M∗g
(ρ∗
g σ∗ ∂p∗
∂r ∗
)s
(5.40)
5.3 Regras de interpolação
Usando diferenças finitas centradas de segunda ordem as derivadas espaciais nas
faces da célula são aproximadas por:
(∂ f
∂r ∗
)n≈ fN − fP
∆r ∗ ,
(∂ f
∂r ∗
)s≈ fP − fS
∆r ∗ , (5.41)
onde f é uma quantidade arbitrária.
Uma quantidade avaliada na face da célula é dada nos termos dos centros de célula:
fn ≈ fN + fP
2, fs ≈ fP + fS
2. (5.42)
Outras regras da interpolação são igualmente necessárias para as condições de con-
torno:
fP = ( fn + fs)/2 (5.43)
fn = 2 fP − fs = 2 fP − ( fS + fP )/2 = 3
2fP − 1
2fS (5.44)
fs = 2 fP − fn = fP − ( fN + fP )/2 = 3
2fP − 1
2fN (5.45)
112
5.3.1 Condições de contorno
As condições de contorno em coordenadas do volume finito para a superfície exte-
rior (r ∗ = 1) são dadas por,
j∗n = 0, q∗n = Bi(T ∗
n −1) + C∗w
C∗s Fo
∂T ∗n
∂t∗, (5.46)
que implica,
(∂p∗
∂r ∗
)n= 0 → p∗
N ≈ p∗P → p∗
n ≈ p∗P (5.47)
e, na superfície da entrada (r ∗ = 0):
γp∗s + (1−γ) j∗s = γp∗
i n + (1−γ) j∗i n , (5.48)
q∗s = Bi+i n (1−T ∗
s ), (5.49)
onde a equação (5.48) se reduz à forma abaixo para vazão especificada
j∗s = j∗i n , (5.50)
ou à seguinte forma para pressão especificada na entrada:
p∗s = p∗
i n (5.51)
5.4 Algoritmo computacional
A fim de construir uma implementação computacional da solução pelo método dos
volumes finitos, estabelecendo as relações, associando as coordenadas do volume finito
com uma variável computacional discreta i , tem-se:
P → i , N → i +1, S → i −1, (5.52)
113
e as equações discretizadas são escritas da seguinte forma geral,
(γ3∂p∗
∂t∗+ γ4
∂T ∗
∂t∗
)i= F m
i (t∗) (5.53)(γ1∂p∗
∂t∗+ γ2
∂T ∗
∂t∗
)i= F h
i (t∗) (5.54)
onde as funções de F carregam toda a informação da discretização. Estas são dadas
por:
F mi (t∗) = − (r ∗ j∗)n − (r ∗ j∗)s
r ∗P ∆r ∗ (5.55)
F hi (t∗) = −Fo+ (r ∗q∗)n − (r ∗q∗)s
r ∗P ∆r ∗ − (r ∗ j∗ T ∗)n − (r ∗ j∗ T ∗)s
r ∗P ∆r ∗ (5.56)
no qual r ∗P = r ∗
i = r ∗i n + (i −1/2)∆r ∗ e os fluxos (assim como T ∗ e p∗) nas faces da
célula podem assumir valores diferentes de acordo com a posição da célula, como é
dado abaixo:
• Superfície de entrada (i = 1), vazão prescrita:
q∗n = −k∗
n
T ∗i+1 −T ∗
i
∆r ∗ , q∗s = (Bi+i n)s (1−T ∗
s ), (5.57)
j∗n = −M∗g (ρ∗
g )nσ∗n
p∗i+1 −p∗
i
∆r ∗ , (5.58)
T ∗s = 1
2
(3T ∗
i −T ∗i+1
), j∗s = j∗i n , (5.59)
• Superfície de entrada (i = 1), pressão prescrita:
q∗n = −k∗
n
T ∗i+1 −T ∗
i
∆r ∗ , q∗s = (Bi+i n)s (1−T ∗
s ), (5.60)
j∗n = −M∗g (ρ∗
g )nσ∗n
p∗i+1 −p∗
i
∆r ∗ , (5.61)
j∗s = −M∗g (ρ∗
g )sσ∗s
p∗i −p∗
s
2∆r ∗ , (5.62)
T ∗s = 1
2
(3T ∗
i −T ∗i+1
), p∗
s = p∗i n , (5.63)
114
• Células internas (1 < i < I ):
q∗n = −k∗
n
T ∗i+1 −T ∗
i
∆r ∗ , q∗s = −k∗
s
T ∗i −T ∗
i−1
∆r ∗ , (5.64)
j∗n = −M∗g (ρ∗
g )nσ∗n
p∗i+1 −p∗
i
∆r ∗ , (5.65)
j∗s = −M∗g (ρ∗
g )sσ∗s
p∗i −p∗
i−1
∆r ∗ . (5.66)
• Superfície exterior (i = I ):
q∗n = Bi(T ∗
n −1) + C∗w
FoC∗s
∂T ∗n
∂t∗, q∗
s = −k∗s
T ∗i −T ∗
i−1
∆r ∗ , (5.67)
j∗n = 0, j∗s = −M∗g (ρ∗
g )sσ∗s
p∗i −p∗
i−1
∆r ∗ , (5.68)
T ∗n = 1
2
(3T ∗
i −T ∗i+1
), p∗
n = p∗i (5.69)
A fim de avaliar outras quantidades nas faces da célula (ρ∗g , σ∗ e k∗), dois tipos de
aproximações poderiam ser usados de 1a e 2a ordem respectivamente:
k∗s ≈ k∗(p∗
i−1/2,T ∗i−1/2) ou k∗
s ≈ 1
2
(k∗(p∗
i−1,T ∗i−1)+k∗(p∗
i ,T ∗i )
)(5.70)
k∗n ≈ k∗(p∗
i+1/2,T ∗i+1/2) ou k∗
n ≈ 1
2
(k∗(p∗
i+1,T ∗i+1)+k∗(p∗
i ,T ∗i )
)(5.71)
e, similarmente, para ρ∗g e σ∗:
(ρ∗g )s ≈ ρ∗
g (p∗i−1/2,T ∗
i−1/2) ou (ρ∗g )s ≈ 1
2
(ρ∗
g (p∗i−1,T ∗
i−1)+ρ∗g (p∗
i ,T ∗i )
)(5.72)
(ρ∗g )n ≈ ρ∗
g (p∗i+1/2,T ∗
i+1/2) ou (ρ∗g )n ≈ 1
2
(ρ∗
g (p∗i+1,T ∗
i+1)+ρ∗g (p∗
i ,T ∗i )
)(5.73)
σ∗s ≈ σ∗(p∗
i−1/2,T ∗i−1/2) ou σ∗
s ≈ 1
2
(σ∗(p∗
i−1,T ∗i−1)+σ∗(p∗
i ,T ∗i )
)(5.74)
σ∗n ≈ σ∗(p∗
i+1/2,T ∗i+1/2) ou σ∗
n ≈ 1
2
(σ∗(p∗
i+1,T ∗i+1)+σ∗(p∗
i ,T ∗i )
)(5.75)
115
No presente trabalho ambas aproximações são utilizadas; não obstante, a discretiza-
ção de 2a ordem do domínio exige duas vezes mais avaliações funcionais, e portanto
para o contorno a primeira opção será adotada sem comprometer a simulação, é claro
que também pode-se incluir um estudo mais elaborado considerando contornos de 2a
ordem no caso de focalizar o estudo na análise de ordem da solução numérica.
5.4.1 Sistema explícito
A fim de flexibilizar a solução numérica, é utilizado o método explícito. Este mé-
todo calcula o estado do sistema num tempo posterior ao estado atual do sistema,
enquanto que métodos implícitos encontram a solução resolvendo equações que en-
volvem ambos estados atual e posterior do sistema. O sistema explícito não exige uma
computação adicional, portanto pode-se resolver diretamente, oferece menos esforço
computacional para resolve-los, e são mais simples de serem implementados apesar
das restrições de estabilidade. Assim, o sistema (5.38) é escrito em uma forma alter-
nativa:
(∂p∗
∂t∗
)i= G p
i (t∗) (5.76)(∂T ∗
∂t∗
)i= GT
i (t∗) (5.77)
onde:
G pi (t∗) = γ2 F m
i (t∗) − γ4 F hi (t∗)
γ3γ2 −γ1γ4(5.78)
GTi (t∗) = γ1 F m
i (t∗) − γ3 F hi (t∗)
γ1γ4 −γ3γ2(5.79)
5.4.2 Solução numérica do sistema discretizado
O sistema implícito descrito pelas equações (5.53)-(5.56) ou sua forma explícita
descrita pelas equações (5.76)-(5.79) deve ser integrado no tempo adimensional para
completar a solução numérica. Isso poderia ser feito aplicando esquemas implícitos
ou explícitos tradicionais para integração no tempo. Entretanto, neste trabalho, uti-
116
lizamos as idéias do método das linhas, também utilizado em [71]. Neste método o
sistema discretizado é integrado analiticamente, fornecendo a solução analítica para
cada ponto da malha espacial. Estas soluções, se plotadas, gerariam linhas descre-
vendo a temperatura e pressão em cada ponto (daí o nome método das linhas). Apesar
da facilidade trazida por integração analítica, o problema resolvido neste trabalho é não
linear, e consequentemente, as equações discretizadas também são não-lineares, e não
admitem solução analítica. Para resolver tal problema, uma variação do método das
linhas, denominada Método das Linhas Numérico [72] é utilizada. Com este método
o sistema transformado é integrado utilizando um pacote dedicado à solução de siste-
mas de EDOs. Tais pacotes podem ser facilmente obtidos, sendo de domínio público
ou comercial, e a sua vantagem é que eles trabalham com uma precisão prescrita pelo
usuário, ajustando automaticamente, entre outros fatores, o passo no tempo, para aten-
der a precisão solicitada. Desta forma, não é preciso fazer uma análise de convergência
para a integração no tempo, uma vez que a precisão é prescrita pelo usuário.
Neste trabalho o programa Mathematica [73] foi utilizado para a solução numérica,
e a rotina NDSolve foi utilizada para integração do sistema de EDOs resultante da
discretização. A precisão prescrita para solução foi de 10−6 de erro relativo. O método
de solução também pode ser especificado para a rotina NDSolve.
117
Capítulo 6
Resultados e discussão
Os resultados das simulações reportam cálculos para dois processos diferentes: a
carga com pressão de entrada constante e a descarga com vazão de massa constante na
saída. Os casos simulados refletem situações reais. Ambos os casos levam em con-
sideração que, uma vez que a pressão crítica foi atingida, a vazão de massa deve ser
interrompida. Antes de apresentar os resultados das simulações para avaliar a influên-
cia dos parâmetros adimensionais sobre a solução, iremos determinar faixas para os
parâmetros adimensionais e apresentar também uma validação da solução numérica e
do modelo utilizado.
6.1 Propriedades e valores de parâmetros
A fim estabelecer valores realísticos para os parâmetros adimensionais obtidos, da-
dos usado em estudos precedentes foram empregados calculando valores numéricos.
Como a maioria de estudos na literatura examinada são focados principalmente em
aplicações com metano puro, valores particulares a este tipo de aplicações são apre-
sentados. Os dados de diferentes artigos foram selecionados, os quais são apresentados
nas tabelas a seguir. A tabela 6.1 apresenta valores de variáveis associadas ao processo
de carga ou descarga.
118
Tab. 6.1: Valores das variáveis relativas ao processo
Autor Amostra pmax pmin T0 t f
[MPa] [MPa] [K] [horas]da Silva e Sphaier [51] CA 4 0.10 298.15 4Neto et al. [35] CA WV1050 3.66 0.101 306.00 5Basumatary et al. [37] CA 3.5 0.10 298.15 0.111Barbosa Mota et al. [50] CA 3.54 0.14 293.15 4Do [74] PX21 4 0.10 298.15 4Mota et al. [36] CA G216 3.5 0.101 285.00 4Sircar et al. [75] PX21 4 0.10 298.15 0.083Chang e Talu [44] CA 2.1 0.166 291 3Mota et al. [45] CA G216 3.5 0.101 285.00 4
Já a tabela 6.2 apresenta dados de quantidades associadas ao material adsorvente,
enquanto a tabela 6.3 apresenta dados relativos ao material utilizado na construção do
reservatório, juntamente com o coeficiente de transferência de calor por convecção na
superfície externa no reservatório.
Tab. 6.2: Valores das variáveis relativas ao adsorvente
Autor ε cs ρs ρb
[Jkg−1K −1] [kg m−3] [kg m−3]
da Silva e Sphaier [51] 0.71 1052 2200.00 638Neto et al. [35] 0.592 1375 2333.33 280Basumatary et al. [37] 0.80 650 2400.00 480Barbosa Mota et al. [50] 0.45 1050 872.73 480Do [74] 0.71 1052 2200.00 638Mota et al. [36] 0.35 650 1576.92 410Sircar et al. [75] 0.88 1375 2333.33 280Chang e Talu [44] 0.50 1052 975.00 975Mota et al. [45] 0.3 650 1576.92 410
Deve-se observar que, entre os valores para o calor específico do material da parede
do reservatório apresentados na tabela 6.3, alguns encontram-se em função de ρw . Isto
foi feito pois nestas referências apenas os valores da capacidade térmica específica
(ρw cw ) da parede do reservatório são fornecidos.
119
Tab. 6.3: Valores das variáveis relativas ao reservatório e da convecção na superfícieexterna.
Autor cw ρw mw h[Jkg−1K −1] [kg m−3] [kg ] [W m−2K −1]
da Silva e Sphaier [51] 502.4 – 8.6 5Neto et al. [35] (3.92×106)/ρw – – 20Basumatary et al. [37] 500 7800 – 150Barbosa Mota et al. [50] (3.92×106)/ρw – – 5Do [74] 502.4 – 8.6 5Mota et al. [36] (3.92×106)/ρw – – 0Sircar et al. [75] (3.92×106)/ρw – – 20Chang e Talu [44] 502.4 7800 – –Mota et al. [45] (3.92×106)/ρw – – 0
A seguir, a tabela 6.4 apresenta os dados relativos ao adsorvato encontrados em
diferentes estudos na literatura. Observa-se que, como todos estudos utilizam o mesmo
tipo de gás, pouca variação é vista nas propriedades. Também é interessante mencionar
que todos os estudos vistos na literatura consideram que cl = cp g de modo que c∗l s = 1.
Todavia, ao verificar um estudo relativamente recente sobre propriedades de metano
[76], verifica-se que este não é o caso, de modo que é possível se ter cl valendo duas
vezes cp g ou mais.
Tab. 6.4: Valores das variáveis relativas ao adsorvato (gás e à fase adsorvida)
Autor cpg r = R/M isor cl
[Jkg−1K −1] [Jkg−1K −1] [k Jkg−1] [Jkg−1K −1]
da Silva e Sphaier [51] 2204 518 950 cp g
Neto et al. [35] 2450 518 975.31 cp g
Basumatary et al. [37] 2450 518 1215.71 cp g
Barbosa Mota et al. [50] 2450 518 1100 cp g
Do [74] 2204 518 1100 cp g
Mota et al. [36] 2450 518 1100 cp g
Sircar et al. [75] 2204 518 1045 cp g
Chang e Talu [44] 2450 518 1215 cp g
Mota et al. [45] 2450 518 1100 cp g
Finalmente, a tabela 6.5 apresenta as dimensões de diferentes reservatórios en-
contrados na literatura. Alguns dos trabalhos encontrados são baseados em modelos
120
globais, e fornecem apenas o volume do reservatório, como apresentado na tabela.
Tab. 6.5: Valores das dimensões relativas ao reservatório
Autor Ri Ro L ew V
[m] [m] [m] [m] [m3]
da Silva e Sphaier [51] – – – – 0.035Neto et al. [35] 0.0127 0.103 0.9 0.003 0.0299962Basumatary et al. [37] 0.015 0.15 0.8 0.02 0.0353429Barbosa Mota et al. [50] 0.005 0.10 0.74 0.005 0.023247Do [74] – – – – 0.035Mota et al. [36] 0.005 0.14 0.85 0.01 0.039288Sircar et al. [75] – – – – 0.0299962Chang e Talu [44] 0.1 0.13 0.74 0.0055 0.039288Mota et al. [45] 0.005 0.14 0.85 – 0.039288
Com os dados apresentados nas tabelas anteriores, os valores calculados para os
parâmetros adimensionais são calculados e então apresentados nas tabelas que seguem.
A tabela 6.6 e 6.7 apresentam os valores dos parâmetros adimensionais calculados para
diferentes estudos encontrados na literatura. Todavia, apenas dados dos estudos que
utilizam formulações com dependência espacial são apresentados.
Tab. 6.6: Valores para os grupos adimensionais calculados
Autor M∗l C∗
s C∗w Fo Bi isor K∗
i n
Mota et al. [45] 0.724 1.76 – 3.558 0 1.58 0.0690Mota et al. [36] 0.719 1.74 4.41 3.558 0.236 1.58 0.0690Neto et al. [35] 0.615 3.60 2.45 1.216 8.51 1.33 0.2195Basumatary et al. [37] 0.717 2.00 8.43 0.0097 145.7 1.65 0.1818Chang e Talu [44] 0.869 4.32 4.26 0.490 1.04 1.60 0.8696Barbosa Mota et al. [50] 0.824 3.81 3.44 3.17kb – – 0.0952Hirata et al. [49] 0.709 1.85 4.04 1.654 0.467 1.53 0.0690
Como pode ser observado, alguns parâmetros apresentam grande variação nos va-
lores, tais como os números de Fourier e de Biot, variando às vezes até mais que uma
ordem de magnitude. Isto é esperado, desde que estes parâmetros são baseados no
tempo de processo (Fo), que pode variar significativamente dependendo do tipo de
processo (carga ou descarga), e o coeficiente de transferência térmica (Bi), que pode
assumir valores muito diferentes de acordo com a taxa de aquecimento aplicado (ou
121
Tab. 6.7: Valores para σ∗ calculados
Autor σ∗ σ∗ com ∇p = 0
Mota et al. [45] 1.17×109 6.24×109
Mota et al. [36] 4.56×107 9.85×109
Neto et al. [35] 1.75×108 2.08×1011
Basumatary et al. [37] 3.62×106 2.07×109
Chang e Talu [44] 2.58×108 1.72×1011
Barbosa Mota et al. [50] 9.46×107 4.52×1010
Hirata et al. [49] 2.25×107 4.79×109
resfriamento). Os parâmetros restantes apresentam uma variação menor durante todos
os estudos analisados. O parâmetro que apresenta a variação menor é o calor adimen-
sional de adsorção. Não obstante, deve-se considerar que todos os estudos analisados
são relacionados aos componentes do gás natural que estão sendo fixados no carbono
ativado. Desde que o calor de adsorção pode depender dos pares adsorvato - adsor-
vente, isor poderia apresentar valores muito diferentes para outras combinações de gás
e de adsorventes.
Para os estudos que utilizam formulações globais, isto é, sem dependência espacial,
os valores dos parâmetros adimensionais calculados são apresentados na tabela 6.8
Tab. 6.8: Valores para os parâmetros adimensionais
Autor M∗l C∗
s H∗ isor
da Silva e Sphaier [51] 0.74652 5.13195 9.62968 1.44570Do [74] 0.74652 5.24705 11.91590 1.67396Sircar et al. [75] 0.51048 6.27410 1.19836 1.58266
como pode ser observado, o parâmetro que apresenta a maior variação entre os estudos
é H∗. Isto é esperado pois este parâmetro depende dos coeficientes de transferência de
calor por convecção e do tempo de processo, os quais podem variar muito.
6.2 Verificação e validação
Esta seção tem o objetivo de verificar a solução numérica e validar o modelo mate-
mático utilizado através de comparação com resultados disponíveis na literatura. Com
122
base nos dados apresentados na seção anterior, valores para os parâmetros adimensi-
onais foram escolhidos para as simulações realizadas. Enquanto alguns parâmetros
foram variados entres valores mínimos e máximos, outros foram mantidos constan-
tes. Os parâmetros isor e ω foram considerados constantes, pois as simulações feitas
neste trabalho não envolvem diferentes gases, nem diferentes adsorventes, e as pres-
sões mínima e máxima consideradas serão sempre 1 atm e 3.5 MPa. Os valores destes
são isor = 1.5 e ω = 0.224. Os parâmetros M∗l e K∗
i n também não apresentam muitas
variações, como visto na tabela 6.6. Valores médios aproximados foram então utili-
zados para estes: M∗l = 0.8, K∗
i n = 0.1. A tabela 6.9 apresenta um resumo dos valores
utilizados para os parâmetros adimensionais nas simulações que serão apresentadas a
partir deste ponto. Como pode-se observar na tabela 6.9, os parâmetros Bi e Fo foram
Tab. 6.9: Valores dos parâmetros adimensionais utilizados nas simulações.
parâmetro valor parâmetro valori∗sor 1.5 ω 0.224Fo 0.1 - 100 Bi 0 - 10M∗
l 0.8 K∗i n 0.1
C∗s 1 - 10 C∗
w 1 - 10Bii n 0 M∗
g 0.2
variados mais que os demais parâmetros. O caso com Bi = 0 naturalmente corresponde
a um caso onde o reservatório está isolado termicamente, devendo resultar em baixos
desempenhos para os processos de carga e descarga. Uma faixa maior é utilizada para
o número de Fourier, pois este parâmetro depende do tempo do processo de carga ou
descarga, e pode ser facilmente variado na prática.
Para todas as simulações realizadas o valor de Bii n , na entrada, foi considerado
zero, como feito em outros estudos.
6.2.1 Análise de ordem da solução numérica
A fim de verificar a implementação numérica da solução, simulações utilizando
diferentes malhas foram realizadas. Foram calculadas pressões e temperaturas para
diferentes valores da variável computacional discreta (imax) com variações de imax
123
= 10, 20, 40, 80 e 160. Uma vez que os valores de pressão e temperatura foram
obtidos para diferentes malhas, erros estimados para pressão e temperatura de uma
dada solução numérica foi calculado, fazendo:
εp =p∗∣∣
imax− p∗∣∣
2 imax
p∗∣∣2 imax
, (6.1)
εT =T ∗∣∣
imax− T ∗∣∣
2 imax
T ∗∣∣2 imax
, (6.2)
onde p∗∣∣imax
corresponde a pressão média calculada com uma malha de imax divisões e
p∗∣∣2 imax
corresponde à solução equivalente calculada para malha com 2 imax divisões.
O erro da temperatura é calculado de maneira análoga.
Os erros acima foram calculados utilizando os valores das médias espaciais de
pressão e temperatura a fim de se obter uma medida do erro que leve em consideração
a combinação do erro da solução numérica e do erro da integração numérica utilizada
para calcular as médias espaciais. Espera-se que ambos os erros sejam da ordem de
(∆r ∗)2, uma vez que a discretização espacial, e a integração numérica espacial utiliza-
das são de segunda ordem.
Para determinar a ordem numérica de uma solução de um determinado caso escre-
vemos |εp | e |εT | em função do tamanho da malha ∆r ∗, e fazemos um ajuste dos dados
obtidos na forma:
log10(|εp |) = aε,p log10(∆r ∗) + bε,p , (6.3)
log10(|εT |) = aε,T log10(∆r ∗) + bε,T , (6.4)
Os valores calculados para aε,p e aε,T correspondem a ordem calculada para as variá-
veis p∗ e T ∗, respectivamente.
A seguir, apresenta-se uma análise da variação dos erros |εp | e |εT | em função do
espaçamento da malha, assim como as ordens calculadas, para processos de descarga
à vazão constante e carga a pressão constante.
124
Descarga à vazão constante
A figura 6.1 apresenta a variação dos erros estimados |εp | e |εT | em função do
espaçamento da malha ∆r ∗, para C∗s = 10 e C∗
w = 10 em processos de descarga à va-
zão constante. Diferentes casos de Fo e Bi são apresentados em cada sub-figura. Em
cada uma destas, juntamente com os dados das soluções com as diferentes malhas,
são apresentados o ajuste utilizado para calcular a ordem do método. A fim de fa-
cilitar a interpretação gráfica da ordem obtida pelo ajuste dos dados, uma curva com
inclinação correspondente à segunda ordem (aε = 2) é traçada em todas as sub-figuras.
Analisando a figura 6.1, observa-se que o erro na p∗ apresenta melhor comportamento
para tempos pequenos, e piora para tempos elevados afastando-se da linha referencial
de segunda ordem. Para a temperatura um comportamento aparentemente de segunda
ordem é visto. Nas próximas figuras, uma análise similar é feita. Para as condições
C∗s = 1 e C∗
w = 10, a figura 6.2 mostra um melhor comportamento da p∗ e T ∗ quando o
Fo é elevado.
A tabela 6.10 apresenta a ordem de ∆r ∗ calculada para os diferentes casos apre-
sentados nas figuras anteriormente mencionadas. De forma resumida, na descarga,
apresenta problemas para a p∗ quando os tempos são elevados.
Tab. 6.10: Valores de ordens calculadas para processos de descarga à vazão constante.
ordemC∗
s C∗w Fo Bi T ∗(0.01) p∗(0.01) T ∗(0.1) p∗(0.1) T ∗(0.99) p∗(0.99)
10 10 0.1 0.1 1.39 1.36 1.71 1.69 1.94 3.0210 10 0.1 10 1.39 1.34 1.71 1.69 1.92 1.9410 10 10 0.1 1.90 1.91 2.02 2.16 2.02 -0.4610 10 10 10 1.90 1.90 1.98 1.95 1.99 0.151 10 0.1 0.1 1.12 0.61 1.48 0.90 1.96 1.791 10 0.1 10 1.12 0.59 1.48 0.89 1.95 1.641 10 10 0.1 1.83 1.83 1.95 1.96 1.99 1.101 10 10 10 1.83 1.83 1.94 1.94 2.00 1.79
125
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. 6.1: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗
s = 10 e C∗w = 10.
126
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
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-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. 6.2: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗
s = 1 e C∗w = 10.
127
Carga à pressão de entrada constante
Para os casos de carga à pressão de entrada constante, as figuras 6.3 e 6.4 apresen-
tam uma análise similar ao processo de descarga à vazão constante. Como observados
nestas figuras, a ordem de erro da pressão continua sendo pior para tempos próximos
de 1; todavia o comportamento é aparentemente melhor do que o observado para pro-
cessos de descarga. No entanto, ao analisar o comportamento da ordem de erro da
temperatura, observa-se que esta, em geral, apresenta uma pior evolução do erro para
tempos pequenos.
Finalmente, a tabela 6.11 apresenta a ordem de ∆r ∗ calculada para os diferentes
casos apresentados nas figuras anteriormente mencionadas. Como pode ser observado
no caso da T ∗ seu comportamento melhora quando o Fó, o Bi e os tempos são elevados.
Tab. 6.11: Valores das ordens calculadas para processos de carga à pressão de entradaconstante.
ordemC∗
s C∗w Fo Bi T ∗(0.01) p∗(0.01) T ∗(0.1) p∗(0.1) T ∗(0.99) p∗(0.99)
10 10 0.1 0.1 -0.45 0.36 0.37 0.43 0.19 0.8710 10 0.1 10 -0.94 0.28 1.64 0.32 2.52 0.8410 10 10 0.1 -0.18 0.14 2.17 -0.10 1.22 0.5910 10 10 10 -0.45 0.37 1.95 0.39 1.61 1.171 10 0.1 0.1 1.29 0.98 1.68 1.83 2.41 3.731 10 0.1 10 1.36 1.02 1.75 1.97 2.09 3.821 10 10 0.1 -0.87 0.23 1.10 0.29 1.67 0.991 10 10 10 -0.80 0.26 1.38 0.37 1.17 0.93
128
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. 6.3: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗
s = 10 e C∗w = 10.
129
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. 6.4: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗
s = 1 e C∗w = 10.
130
6.2.2 Comparação com resultados anteriores
Os primeiros resultados da simulação realizados tiveram o objetivo de analisar a
solução numérica proposta e a implementação computacional utilizada. Agora, para
completar o processo de verificação, os dados calculados com a solução do modelo
unidimensional proposto são comparados com resultados de um estudo na literatura
desenvolvido por [49], que apresenta dados numéricos de uma simulação de um pro-
cesso de descarga lenta à vazão constante. Deve-se salientar que os resultados apre-
sentados em [49] consideram uma distribuição de pressão uniforme, que conduz a
uma formulação mais simples com p = p(t ) somente. Ao contrário, a solução imple-
mentada neste trabalho permite a variação espacial da pressão, como descrito pelas
equações do modelo. Apesar destas diferenças, desde que uma situação de descarga é
considerada, a distribuição de pressão calculada deve apresentar pequenas inclinações,
e consequentemente ambas as formulações devem conduzir a resultados equivalentes.
Como um modelo matemático ligeiramente diferente foi usado na referência [49],
alguns ajustes foram exigidos para garantir que a física envolvida seja inalterada. Pri-
meiramente, o valor de σ∗ foi calculado de uma média usando os dados em [36], e o
valor de m∗i n (invariável no tempo) foi calculado para se assegurar de que a depleção
da pressão estivesse alcançada no fim do processo no tempo (isto é p∗ = 0 em t∗ = 1).
Finalmente, como a solução feita em [49] foi calculada para um cilindro maciço, o raio
interno foi ajustado a um valor pequeno (r ∗i n = 10−6). Os valores para os parâmetros
adimensionais usados na verificação podem ser encontrados na tabela 6.12.
Tab. 6.12: Dados utilizados nas comparações com resultados da literatura.
parâmetro valor parâmetro valorpmax 3.5 Mpa pmi n 0.1 MpaT0 293 K R 518 J/(kg K)c∗l g 2 k∗
e 1M∗
l 0.7 C∗s 2.0
i∗sor 1.5 C∗w 5.0
σ∗ 1×1010 M∗g 0.3
A figura 6.5 mostra os resultados da comparação entre a pressão média calculada e
131
a distribuição da pressão obtida de [49] (os pontos representam dados de [49]). Como
pode-se observar, há uma ótima concordância entre os resultados.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5p HMPaL
Fig. 6.5: Comparação de resultados com dados da literatura: pressão média.
Em seguida, a figura 6.6 apresenta uma comparação da distribuição espacial da
temperatura em vários instantes. As curvas apresentadas são separadas igualmente no
tempo, decrescendo de forma uniforme conforme t∗ aumenta, e a última corresponde
ao fim do processo de descarga (t∗ = 1). Os tempos intermediários correspondem
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*
-30
-20
-10
10
20T H°CL
Fig. 6.6: Comparação de resultados com dados da literatura: perfis de temperatura.
aos valores de t∗ = 1/8 , 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8 até 1. A condição inicial é
simplesmente T = T0 = 293 K e não precisa ser indicada, a malha utilizada foi de
i = 80. Nos resultados observa-se um acordo muito bom entre os diferentes dados. As
132
discrepâncias menores são consideradas; não obstante, estes são propenso a ocorrer
desde que o modelo das equações usadas no estudo atual são ligeiramente diferentes
do que a versão mais simples usada em [49]
6.3 Análise da evolução temporal de quantidades médias
Esta seção tem o objetivo de analisar o comportamento da evolução temporal da
pressão, temperatura e massa de gás armazenada, para diferentes configurações. Mé-
dias espaciais da pressão e temperatura adimensionais (p∗ e T ∗), assim como a massa
armazenada adimensional, m∗, são analisadas.
6.3.1 Processos de descarga
As figuras 6.7-6.10 mostram o comportamento da temperatura e pressão médias
(T ∗ e p∗), assim como da massa de gás no reservatório (m∗) para descarga à vazão
constante, para diferentes valores de C∗s , C∗
w , Fo e Bi. Como pode-se observar, para
valores elevados de C∗s e C∗
w a temperatura sofre uma queda quando o Bi é pequeno
(figura 6.7), e pode ser observado melhor este comportamento da temperatura nas fi-
guras 6.8, 6.9 e 6.10. A figura 6.10 mostra que eliminando o efeito da parede (C∗w = 0)
maior é a queda da temperatura e quando o Bi é pequeno. Por outro lado, devido ao
maior resfriamento do reservatório de gás, maior é a massa que fica retida neste. A
queda de temperatura devido aos efeitos térmicos reduz o volume de gás recuperado.
Os efeitos da capacidade térmica e o coeficiente de transferência de calor com o meio
externo determinam a temperatura do sistema.
133
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.7: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗
w = 10.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.8: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 1 e C∗
w = 10.
134
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.9: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 10 e C∗
w = 0.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.10: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para descarga com C∗s = 1 e C∗
w = 0.
135
6.3.2 Processos de carga
A seguir apresenta-se as figuras referidas às evoluções da temperatura e pressão
médias (T ∗ e p∗), assim como da massa de gás no reservatório (m∗) para processos
de carga à pressão de entrada constante. Pode-se observar um leve aumento da tempe-
ratura para valores elevados de C∗s e C∗
w quando o Fo é pequeno (conforme as figuras
6.11, 6.13). Quando C∗s = 1 e C∗
w = 10, um aquecimento rápido é observado quando
o Fo é pequeno conforme as figuras 6.12 e 6.14 que mostram um aquecimento inicial
rápido enquanto a massa de armazenamento diminui. A figura 6.14 mostra que eli-
minando o efeito da parede (C∗w = 0) e quando o Fo e o Bi são pequenos maior é a
elevação da temperatura. A temperatura elevada devido aos efeitos térmicos afeta de
forma desfavorável o processo de carga. Se o calor liberado durante o carregamento
não é removido do sistema, uma menor quantidade de gás é adsorvida.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.11: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗
w = 10.
136
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.12: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 1 e C∗
w = 10.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.13: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 10 e C∗
w = 0.
137
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
t*
T*,p
*,m
*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=10, Kin
*=0.1
m*
T*
p*
Fig. 6.14: Evolução de T ∗, p∗ e m∗ para carga com C∗s = 1 e C∗
w = 0.
138
6.4 Análise da distribuição espacial de pressão e temperatura
Esta seção apresenta os resultados obtidos para processos de carga e descarga, fo-
cando na variação das distribuições espaciais de temperatura e pressão para diferentes
instantes de tempo. Para os processos de descarga à vazão constante, utilizando os
valores dos parâmetros adimensionais escolhidos (em especial o alto valor de σ∗), o
campo de pressão é praticamente uniforme de modo que não faz muito sentido analisar
sua distribuição espacial. Portanto, para os processos de descarga, apenas a variação
espacial da temperatura é analisada.
6.4.1 Processos de descarga à vazão constante
Os resultados desta seção mostram a variação de temperatura com r ∗, considerando
Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10, Fo = 100, e Bi = 0.1 e Bi = 10 para diferentes valores de C∗s e
C∗w . Os casos com Bi = 1 não apresentam grandes diferenças dos casos com Bi = 0.1 e
Bi = 10, e foram colocados no apêndice B.2.
A figura 6.15 mostra as evoluções da temperatura radial para valores elevados de
C∗s = 10 e C∗
w = 10, observamos que na saída (em operações de descarga) o gás vem
acompanhado de um resfriamento para valores pequenos de Bi e Fo, e para processos
longos (Fo maiores) a temperatura vai aumentando até atingir a temperatura do ambi-
ente. Ao analisar o efeito dos valores de Bi sobre os perfis de temperatura, fica claro
que para maiores Bi maiores gradientes de temperatura são desenvolvidos no material,
especialmente para casos com menores valores de Fo. Além disto, observa-se também,
a medida que os valores de Fo são aumentados, maiores valores de Bi fazem com que
a temperatura ambiente seja atingida mais rapidamente.
Para valores menores de C∗s , como mostrado na figura 6.16, a temperatura dentro
do reservatório cai mais rapidamente, em função da menor capacidade de térmica do
adsorvente. Consequentemente, a temperatura de saída de metano do reservatório tam-
bém é mais baixa. Nestes casos, somente para valores ainda mais altos de Fo que a
temperatura atinge a temperatura ambiente no final do processo de descarga. Ao ana-
lisar a influência de Bi para estes casos, verifica-se que os gradientes de temperatura
139
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.15: Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗
w = 10.
ficam maiores ainda para os maiores valores de Bi quando comparados com o caso
anterior (com C∗s = 10).
140
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.16: Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 1, C∗
w = 10.
141
A figura 6.17 apresenta resultados para C∗w = 1 e C∗
s = 10. Como se pode observar,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.17: Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 10, C∗
w = 1.
um comportamento similar ao caso da figura 6.15 é visto. Todavia o efeito de ter C∗w
menor faz com que a parede apresente uma variação maior de temperatura, reduzindo
142
(moderadamente) os gradientes de temperatura no material. Além disto, como a parede
do reservatório tem uma capacidade térmica menor, menos energia é consumida por
esta, fazendo com que a temperatura média do reservatório seja menor que nos caos
com C∗w = 10. Todavia, esta redução é pequena.
Finalmente, a figura 6.18 mostra o casos com C∗w = 1 e C∗
s = 1. Como pode ser
visto, para valores menores de C∗s , o material adsorvente esfria mais durante a des-
carga, similar ao comportamento visto na figura 6.16. Todavia, como o caso da figura
6.18 também envolve um valor baixo para C∗w , a variação da temperatura da parede
também é maior, fazendo com que os gradientes no material adsorvente sejam me-
nores. Além disto, como menos energia é consumida pela parede (devida a menos
capacidade térmica), o material adsorvente fica ligeiramente mais frio que no caso
com C∗w = 10 e C∗
s = 1.
O campo de temperatura no reservatório pode ser utilizados com um indicador da
capacidade de descarga de gás que uma dada configuração terá, uma vez que quanto
mais baixa for a temperatura do reservatório menor será a capacidade de descarga de
metano. Isto ocorre pois à mais baixa temperatura o material adsorvente tem uma
tendência de reter mais metano na fase adsorvida. Desta forma, situações com maiores
temperaturas são mais favoráveis.
Um comportamento similar ao descrito na figura 6.15 é obtido quando Bi = 1 e
pode ser observado no Apêndice (figura B.8).
143
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.18: Distribuição radial de temperatura na descarga para C∗s = 1, C∗
w = 1.
144
6.4.2 Processos de carga à pressão de entrada constante
Agora analisa-se a variação dos perfis de temperatura e pressão media radial, con-
siderando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10, Fo = 100, e Bi = 0.1, Bi = 10. Os casos com Bi = 1
não apresentam grandes diferenças dos casos com Bi = 0.1 e Bi = 10, e foram colocados
no apêndice B.3.
As figuras 6.19a e 6.19b mostram as evoluções da pressão e da temperatura radial
para valores elevados de C∗s e C∗
w (C∗s = 10 e C∗
w = 10). Como se pode observar, o
gás vem acompanhado de um aquecimento para valores pequenos Fo, enquanto a pres-
são no meio do processo (t∗ = 0.5) é mais alta para valores mais altos de Bi. Quando
observamos a evolução do campo de temperatura, percebe-se que no instante inicial a
temperatura é uniforme (igual a ambiente) e a medida que o tempo passa, esta aumenta
devido ao processo de adsorção do gás. A medida que a pressão se aproxima do valor
máximo, menos gás é adsorvido e o aquecimento é reduzido. A partir deste instante
o reservatório começa a ser resfriado por trocar calor com o ambiente. Desta forma,
a temperatura mais alta no reservatório fica no interior deste e a mais baixa tende a
ficar próximo à parede externa do mesmo (r ∗ = 1). Todavia, deve-se lembrar que, por
mais que consideramos que Bii n = 0, o gás admitido no reservatório está a temperatura
ambiente (T ∗ = 1), de forma que, especialmente no início do processo de carga, a en-
trada do reservatório também seja um ponto de baixa temperatura. Naturalmente, para
valores elevados de Fo a temperatura se aproxima à temperatura de entrada (mesma
que a temperatura ambiente).
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
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T*
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
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=0.8, Cs*
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=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
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=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.19a: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 10e Bi = 0.1.
As figuras 6.20a e 6.20b apresentam resultados para C∗w = 10 e C∗
s = 1. Como se
pode observar, para valores pequenos de C∗s , isto é, para menor a capacidade térmica
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
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=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
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=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
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=0.1
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=10, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
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Fig. 6.19b: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 10e Bi = 10.
do reservatório, a temperatura se eleva e ainda mais, especialmente para Fo pequeno.
Como mencionado anteriormente, há uma tendência dos pontos de baixa temperatura
147
ficarem na parede do reservatório (r ∗ = 1) e na entrada do mesmo (r ∗ = 0); entretanto,
para r ∗ = 0 as baixas temperaturas só são vistas para tempos menores (e naturalmente
para valores menores de Fo). Outro fato interessante que pode ser claramente obser-
vado para o caso com Fo = 0.1 (tanto para Bi = 0.1 quanto para Bi = 10) é que o máximo
de temperatura é deslocado para direita (em torno de r ∗ = 0.6). Isto ocorre devido ao
efeito advectivo, pois o gás frio (à temperatura ambiente) entra no reservatório empur-
rando o gás mais quente em direção à parede externa do mesmo.
As distribuições de pressão e temperatura radiais para C∗s = 10 e C∗
w = 1 podem
ser observadas nas figuras 6.21a e 6.21b. Como pode ser visto, quando C∗s é elevado
(C∗w = 10) não há muita diferença entre os casos com C∗
w = 10 e C∗w = 1, de modo que
as figuras 6.21a e 6.21b se assemelham aos resultados das figuras 6.19a e 6.19b.
Para valores pequenos de C∗s = 1 e C∗
w = 1 como mostrados nas figuras 6.22a e
6.22b, um comportamento similar ao visto no caso com C∗s = 1 e C∗
w = 10 (figuras 6.20a
e 6.20b) é visto. Todavia, no caso com C∗w = 1, a parede externa do reservatório va-
ria mais a temperatura (devido a sua menor inércia térmica), de modo que menores
gradientes se desenvolvam próximos à parede externa. Para estes casos observa-se
também que o aumento da temperatura do reservatório é maior do que visto num caso
equivalente com C∗w maior.
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=1, Cw*
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=1, Cw*
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Fig. 6.20a: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 10e Bi = 0.1.
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=10, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
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=10, Fo=100, Bi=10, Kin*
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Fig. 6.20b: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 10e Bi = 10.
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
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Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
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=0.1
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=0.1
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Fig. 6.21a: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 1e Bi = 0.1.
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=10, Cw*
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
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=0.1
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=10, Cw*
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=0.1
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=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
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Fig. 6.21b: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 1e Bi = 10.
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
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r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
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r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
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t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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r *
T*
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=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
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0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=0.1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.22a: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 1e Bi = 0.1.
153
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=10, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. 6.22b: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 1e Bi = 10.
154
6.5 Análise da massa de gás armazenada e removida
Após ter verificado o modelo matemático e a implementação computacional da
solução, os resultados da simulação para o problema do caso de teste são realizados
ilustrando o efeito de variar os parâmetros adimensionais na operação do reservatório
do gás adsorvido. Para analisar a influência dos parâmetros adimensionais sobre a
quantidade de massa removida ou armazenada, optou-se por observar o efeito que os
grupos adimensionais têm sobre a quantidade de massa contida no reservatório, na
forma adimensional, m∗. Para processos de carga, quanto mais m∗ se aproxima de 1,
mais eficiente é o processo, pois mais gás consegue ser armazenado. Já em processos
de descarga, quanto menor for o valor de m∗, maior será a eficiência do processo,
pois mais gás é removido do reservatório. Todavia, só seria possível atingir valores
de m∗ = 0 se a pressão final do reservatório fosse 0 Pa. Desta forma, mesmo para um
processo isotérmico, m∗ = 0 não será atingido a menos que pmin = 0 Pa.
6.5.1 Processos de descarga
A seguir apresenta-se as curvas Biot-m∗-Fo para os processos de carga e descarga
considerando Bi = 0.1, Bi = 1 e Bi = 10, para valores de C∗s = 1, C∗
s = 10 e C∗w = 1,
C∗w = 10. A figura 6.23 mostra a variação de gás recuperado com Biot para diferentes
valores do número de Fourier. Como se pode observar, menos gás é recuperado para
valores menores de Bi e Fo. O limite do número de Biot se aproxima ao isolamento
térmico, e portanto, representa a pior condição, já que quase nenhum calor é trocado
com o ambiente. No outro limite, percebe-se que o aumento do número de Biot indefi-
nidamente não tem vantagem uma vez que a quantidade de gás recuperado tende a um
valor constante. Os valores mais elevados de Fourier podem geralmente ser obtidos
por processos mais longos de descarga, indicando assim que os processos mais lentos
pode levar à recuperação de gás com maior eficácia. Como se pode observar, maiores
quantidades de gás recuperado são obtidos para maiores valores de C∗s . Isso acontece
porque o material adsorvente é mais suscetível às variações de temperatura, obtendo-se
temperaturas mais baixas para menores valores de C∗s .
155
0 20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=1, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=1, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
Fig. 6.23: Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e Biotpara descarga.
156
6.5.2 Processos de carga
A figura 6.24 mostra os resultados para operações de carga, se pode observar que
menos gás é adsorvido para valores menores de Bi e Fo. Os valores mais elevados de
Fourier podem geralmente ser obtidos por processos mais longos de carga, indicando
que os processos mais lentos pode levar à adsorção de gás com maior eficácia. Maiores
quantidades de gás adsorvido são obtidos para maiores valores de C∗s .
0 20 40 60 80 1000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=1, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=10, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=1, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
0 20 40 60 80 1000.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Fo
m*
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=10, Kin
*=0.1
Bi=10Bi=1Bi=0.1
Fig. 6.24: Variações da massa adimensional em função dos números de Fourier e Biotpara carga.
Os resultados apresentados nesta seção mostram uma boa imagem inicial de como
cada um dos parâmetros analisados podem influenciar as operações de carga e descarga
de gás adsorvido em reservatórios. No entanto, é importante salientar que com a me-
todologia dos grupos adimensionais pode-se analisar os problemas de armazenamento
de gás adsorvido com maior eficácia.
157
Capítulo 7
Considerações finais
Este trabalho apresentou um estudo teórico para análise da transferência de calor
nos processos de carga e descarga em reservatórios de Gás Natural Adsorvido (GNA).
Inicialmente, um modelo matemático foi desenvolvido para descrever a evolução dos
campos de pressão e temperatura na operação de processo de carga e descarga de gás.
Uma formulação multidimensional (ou local) foi apresentada, e uma versão simplifi-
cada que considera propriedades uniformes no reservatório (global) também foi des-
crita. As formulações consistem em duas equação acopladas para o transporte de massa
e energia no reservatório, assim como duas equações constitutivas para descrever as
concentrações de GN nas fases comprimidas (gasosa) e adsorvida. Naturalmente, a
formulação multidimensional também necessita condições de contorno e ambas as for-
mulações precisam de condições iniciais.
Observando as formulações, nota-se que um número grande de parâmetros dimen-
sionais é necessário para analisar o problema. A fim de minimizar os esforços, otimi-
zando o estudo da transferência de calor e massa do problema, uma análise dimensional
dos modelos em questão é proposta. A análise é feita de maneira formal, utilizando o
Teorema dos Pi de Buckinham. O desenvolvimento é conduzido partindo de um mo-
delo simplificado isotérmico por parâmetros concentrados (global) e progredindo até o
modelo não-isotérmico com dependência espacial. A análise dimensional do problema
gerou uma contribuição relevante para literatura, resultando em um artigo publicado no
158
periódico International Journal of Thermal Sciences. Os grupos adimensionais foram
reorganizados em formas tradicionalmente utilizadas, e outras novas para a literatura,
porém com um significado físico relevante. Entre os grupos adimensionais que afetam
o problema estão, a razão de pressão p∗r , a razão geométrica r ∗
i n , razões de capacidades
térmicas C∗s e C∗
w , uma razão de calores específicos c∗l g , a fração máxima armazenada
na forma adsorvida M∗l , o calor de adsorção adimensional i∗sor , um parâmetro asso-
ciado ao aquecimento por compressão ω, um parâmetros associado à dependência do
fluxo de massa no meio poroso com o gradiente de pressão σ∗, assim como parâmetros
tradicionais encontrados em problemas de difusão como números de Biot Bi e Bii n e
o número de Fourier, Fo. Para proceder com as simulações as magnitudes dos gru-
pos adimensionais foram calculadas utilizando dados reais de construção e operação,
obtidos de diferentes estudos disponíveis na literatura.
Para poder avaliar o papel dos grupos adimensionais obtidos na transferência de ca-
lor e massa em processos de carga e descarga de gás adsorvido, uma solução numérica
para um caso unidimensional foi proposta. A solução é baseada no Método dos Volu-
mes Finitos, em combinação com o Método das Linhas Numérico, de modo que, ao
invés de aplicar os esquemas tradicionais (implícitos e explícitos) de integração tem-
poral, utiliza-se uma rotina numérica com controle de erro para resolver sistemas de
EDOs acoplados resultante da discretização espacial. A implementação numérica foi
feita no programa Mathematica, e a rotina utilizada para a solução do sistema de EDOs
foi a NDSolve. Para verificar a implementação numérica, diferentes configurações fo-
ram simuladas, e diferentes malhas foram utilizadas para cada caso, de forma que a
evolução do erro da solução com o tamanho da malha pudesse ser acompanhada. Com
base nesta informação uma análise de ordem foi conduzida, a fim de verificar a ordem
numérica obtida em cada caso. Em geral, as ordens calculadas ficaram coerentes com a
ordem da discretização utilizada (segunda ordem), de modo que a implementação nu-
mérica pôde ser considerada coerente. Em seguida, para validar o modelo utilizado e
a solução proposta, comparações com resultados disponíveis na literatura foram feitas,
mostrando que os resultados estão de acordo com estudos presentes na literatura.
159
Após a verificação do modelo e solução numérica, uma análise paramétrica foi
apresentada, a fim de avaliar a influência de parâmetros adimensionais sobre a evolu-
ção dos campos de temperatura e pressão no reservatório. Também foram analisados
a evolução da temperatura e pressão médias no reservatório, e a quantidade de massa
de GN armazenada no mesmo. Em geral, percebeu-se que para números de Fourier
(Fo) elevados, os processos tendem ao caso isotérmico, onde o armazenamento e recu-
peração de GNA é máximo na carga e descarga. Isto significa que quanto mais longo
os processos, ou quanto maior for a capacidade do material adsorvente difundir calor,
melhor será o desempenho de um reservatório de GNA. Verificou-se também que nú-
meros de Biot (Bi) elevados melhoram os processos de carga e descarga; todavia, a
melhora dos processos com Bi não são tão efetivas para valores pequenos de Fo. Em
relação a capacidade térmica do material, verificou-se que quando maior for Cs mais
massa pode ser armazenada e recuperada pois menor é a tendência da temperatura do
reservatório elevar-se.
Entre os comentários finais é importante salientar que embora as formulações de-
senvolvidas, no presente trabalho, sejam orientadas para o armazenamento de gás na-
tural, poderiam similarmente ser empregados para o armazenamento da adsorção de
outros gases. Para tal, bastaria utilizar diferentes isotermas de adsorção e eventual-
mente diferentes equações de estado (Beattie-Bridgeman, Benedict-Webb-Rubin ou
Virial), além das diferentes propriedades termofísicas, o qual passa como sugestão
para futuros desenvolvimentos. Nesta mesma linha, pode-se incluir um estudo mais
elaborado de gás natural, tratando o GN como multi-componente ao invés de metano
puro. Ainda como sugestão de trabalhos futuros está a solução numérica do modelo
bi-dimensional (r -z-t); realizar um levantamento de diferentes isotermas de adsorção
para diferentes componentes de GN, e analisar a utilização das diferentes isotermas e
calor de adsorção variável em modelos uni-dimensionais para GNA; adicionar a for-
mulação e avaliar a influência dos efeitos da difusão na capacidade de armazenamento;
estudar o parâmetro temporal como medida de desempenho, e utilizando a metodolo-
gia da formulação normalizada determinar os tempos característicos de relaxação da
160
pressão e da temperatura para realizar verificações de desempenho em problemas de
armazenamento de gás adsorvido; analisar a influência da parede do reservatório atra-
vés das variações do coeficiente de transferência de calor por convecção no perfil da
temperatura radial; adicionar a formulação utilizando controle térmico interno fazendo
uso de aletas-tubos de intercâmbio de calor no seio do material adsorvente para avaliar
a eficiência do sistema para carga e descarga de GNA. Embora a literatura apresente
sugestões para melhorar a capacidade de armazenamento de sistemas de GNA, o con-
trole térmico de um reservatório de adsorção não foi ainda completamente explorada.
161
Capítulo 8
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170
Apêndice A
Derivações
A.1 Diferencial de entalpia para um gás qualquer
Introduzindo o calor específico da fase gasosa e derivando i = i (T, p) temos que,
di = ∂i
∂T|p dT + ∂i
∂p|T dp (A.1)
onde o primeiro termo na equação acima é o calor específico a pressão constante,
∂i
∂T|p = cpg (A.2)
O segundo termo pode ser obtido a partir da relação di = T ds +υdp, e resulta em
∂i
∂p|T = T
∂s
∂p+ υ (A.3)
pela equação de Gibbs na equação dµ = T ds −p dυ chegamos à seguinte relação ter-
modinâmica,
∂s
∂p|T = − ∂υ
∂T|p (A.4)
logo substituindo na equação (A.3),
∂i
∂p|T = −T
∂υ
∂T|p + υ (A.5)
171
Somando os dois termos e aplicando a definição de coeficiente de expansão térmica
β= 1υ∂υ∂T |p , chega-se a seguinte forma para a equação (A.1)
dig = cpg dT + 1
ρgdp − βT
1
ρgdp (A.6)
172
Apêndice B
Resultados adicionais
As figuras a seguir apresentam a variação dos erros estimados |εp | e |εT | em função
do espaçamento da malha ∆r ∗, para valores de C∗s = 1 e 10 eliminando o efeito da
parede do reservatório em processos de carga à pressão constante e descarga à vazão
constante. Diferentes casos de Fo e Bi são apresentados em cada sub-figura. Em cada
uma destas são apresentados o ajuste utilizado para calcular a ordem do método.
B.1 Análise de erro para demais casos
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=1, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. B.1: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗
s = 1 e C∗w = 0.
173
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin
*=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-8
-6
-4
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*=0.8, Cs
*=10, Cw
*=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin
*=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. B.2: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na descarga como tamanho da malha, para C∗
s = 10 e C∗w = 0.
174
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. B.3: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗
s = 10 e C∗w = 0.
175
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=0.1, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=0.1, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
p*H0.99Lp*H0.10Lp*H0.01L2a ord.
-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0
-6
-5
-4
-3
-2
-1
log10HDr *L
log 1
0HÈΕÈL
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=0, Fo=10, Bi=10, Kin*
=0.1
T*H0.99LT*H0.10LT*H0.01L2a ord.
Fig. B.4: Variação do erro estimado da pressão e temperatura médias na carga com otamanho da malha, para C∗
s = 1 e C∗w = 0.
176
B.2 Distribuição radial de temperatura na descarga
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.5: Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗
s = 10 e C∗w = 10.
177
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.6: Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗
s = 1 e C∗w = 10.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.7: Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗
s = 10 e C∗w = 1.
178
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.8: Verificação de ordem para descarga, considerando Fo = 0.1, Fo = 1, Fo = 10e Fo = 100, Bi = 1, para valores C∗
s = 1 e C∗w = 1.
179
B.3 Distribuição radial de pressão e temperatura na carga
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.9: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 10e Bi = 1.
180
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=10, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.10: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 10e Bi = 1.
181
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=10, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.11: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 10, C∗
w = 1e Bi = 1.
182
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=0.1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=1, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=10, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r *
p*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
r *
T*
Ml*
=0.8, Cs*
=1, Cw*
=1, Fo=100, Bi=1, Kin*
=0.1
t*=1
t*=0.5
t*=0
Fig. B.12: Distribuição radial de pressão e temperatura na carga para C∗s = 1, C∗
w = 1 eBi = 1.
183
Apêndice C
Cópia do artigo publicado
184