ANÁLISE DO CONSUMO DA VIDA À FADIGA DO SISTEMA DE

ANCORAGEM DE UMA UNIDADE DE PRODUÇÃO DE PETRÓLEO

Mayara Barreto Santos

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Naval e Oceânica da

Escola Politécnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Carl Horst Albrecht, D. Sc.

Rio de Janeiro

Abril de 2016

iii

Santos

Santos, Mayara Barreto.

Análise do Consumo da Vida à Fadiga do Sistema de

Ancoragem de uma Unidade de Produção de Petróleo/ Mayara

Barreto Santos. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2016.

XI, 41 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Carl Horst Albrecht.

Projeto de Graduação – UFRJ/POLI/Engenharia Naval e

Oceânica, 2016.

Referências Bibliográficas: p. 38

1. Consumo da Vida à Fadiga. 2. Análise Dinâmica no

Domínio do Tempo. 3. Sistemas de Ancoragem de Plataformas de

Produção de Petróleo. I. Albrecht, Carl Horst. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia

Naval e Oceânica. III. Análise do Consumo da Vida à Fadiga do

Sistema de Ancoragem de uma Unidade de Produção de Petróleo.

iv

A Deus e à minha família.

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, porque Dele e por Ele e para Ele são todas as coisas; glória, pois, a Ele

eternamente. Sou grata pelo fôlego da vida e pela Sua misericórdia que se renova sobre

mim a cada novo dia.

Ao meu professor orientador Carl Albrecht, por ter sido o orientador mais

presente, amigo e comprometido que eu poderia ter.

Ao Laboratório de Métodos Computacionais e Sistemas Offshore (LAMCSO) da

COPPE/UFRJ, pela disponibilização do sistema SITUA/PROSIM para realização desse

projeto e à Petrobras, pela disponibilização dos dados usados no mesmo.

Aos meus pais Gilcinei e Elaine, que me amam e cuidam de mim; pelo

investimento e dedicação a cada dia. Vocês são os melhores, amo vocês.

À minha irmã Maria Carla, que é a melhor irmã que eu poderia ter; pela força e

por acreditar em mim em todas as empreitadas, pelo carinho e companheirismo.

À minha prima Nathália, pelo apoio e amizade de sempre; ao meu cunhado

Miguel, que me acolheu como um irmão mais velho; à minha vó e a todos os meus

familiares.

Aos meus amigos da igreja, que são irmãos que me cobrem com as suas orações.

À Brunna Fuoco, minha dupla durante todo o curso; que me coroa com a sua

amizade, lealdade e doçura durante esses cinco anos. Esse curso não seria o mesmo sem

você.

Aos meus amigos que me acompanharam durante todo o curso: Thaísa Cezar,

Ricardo Soares, Matheus Palanowski, Joice Carrara, Andressa Knupp, Rafaela Kneipp,

Alexander Kataoka e Larissa Moraes. Vocês fizeram dessa jornada tão exaustiva, uma

experiência muito mais divertida.

Ao Pedro Câmara Leal, que com sua habilidade em programação, me economizou

muitas horas na preparação dos dados para esse projeto.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.

Análise do Consumo da Vida à Fadiga do Sistema de Ancoragem de uma Unidade de

Produção de Petróleo.

Mayara Barreto Santos

Abril/2016

Orientador: Carl Horst Albrecht, D.Sc.

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Este trabalho pretende averiguar o consumo da vida à fadiga do sistema de ancoragem de

uma unidade de produção de petróleo em funcionamento na Bacia de Campos, através da

análise dos dados de movimentação medidos em campo. A verificação foi efetuada

através da simulação do comportamento dinâmico das linhas, quando submetidas aos

movimentos medidos em campo utilizando o programa SITUA/PROSIM. Foi obtido, a

partir das séries históricas de tração nas linhas de ancoragem e através de métodos de

contagem de ciclos, o consumo da vida à fadiga de cada linha. A aplicação final deste

estudo consiste em verificar se a vida útil das linhas considerada nos cálculos de projeto

se aproxima dos valores reais.

vii

Abstract of the Course Conclusion Project presented to the Department of Naval and

Oceanic Engineering of the Polytechnic School as a partial fulfillment of the requirements

for the degree of Bachelor in Naval and Oceanic Engineering (B.Sc.)

Analysis of Fatigue Life of Mooring System in an Oil Production Unit

Mayara Barreto Santos

April/2016

Advisor: Carl Horst Albrecht, D.Sc.

Course: Naval and Oceanic Engineering

This work aims to verify the consumption of fatigue life of mooring system of an oil

production unit operating in the Campos Basin, by analyzing the movement of data

measured in the field. The verification was performed by simulating the dynamic behavior

of the lines when subjected to movements measured in the field using the SITUA /

PROSIM. From historical tension series in mooring lines and through cycle counting

methods, it was obtained the consumption of fatigue life of each line. The final application

of this study is to verify whether the life of the lines considered in the design calculations

is closer to real values.

viii

Sumário

1. Introdução ................................................................................................................. 1

1.1. Contexto e Motivação ........................................................................................ 1

1.2. Objetivo ............................................................................................................. 2

2. Sistemas de Ancoragem ............................................................................................ 3

2.1. Configurações das linhas ................................................................................... 3

2.1.1. Ancoragem convencional ........................................................................... 3

2.1.2. Ancoragem Taut-leg ................................................................................... 3

2.1.3. Ancoragem vertical .................................................................................... 4

2.2. Tipos de sistemas de ancoragem ........................................................................ 5

2.2.1. Ancoragem com ponto único ...................................................................... 5

2.2.1.1. Ancoragem com turret ............................................................................ 6

2.2.1.2. CALM – Catenary Anchor Leg Mooring ............................................... 7

2.2.1.3. SALM – Single Anchor Leg Mooring .................................................... 8

2.2.2. Ancoragem distribuída ............................................................................... 9

2.3. Componentes dos sistemas de ancoragem ......................................................... 9

2.3.1. Amarras .................................................................................................... 10

2.3.2. Cabos de aço ............................................................................................. 11

2.3.3. Poliéster .................................................................................................... 12

2.3.4. Âncoras ..................................................................................................... 13

3. Fadiga ...................................................................................................................... 14

3.1. Acúmulo linear de danos ................................................................................. 14

3.2. Curva T-N para elos de amarras e cabos de aço .............................................. 16

3.3. Contagem de ciclos .......................................................................................... 18

4. Metodologia ............................................................................................................ 22

4.1. Dados de Entrada ............................................................................................. 22

4.2. Programa SITUA/Prosim ................................................................................. 23

4.3. Análise dos dados ............................................................................................ 24

4.4. Modelo Numérico ............................................................................................ 24

5. Resultados ............................................................................................................... 27

5.1. Tratamento dos dados ...................................................................................... 27

5.2. Consumo da Vida à Fadiga .............................................................................. 34

ix

5.3. Cálculo da vida à fadiga ................................................................................... 35

6. Conclusão e Trabalhos Futuros ............................................................................... 37

7. Referências .............................................................................................................. 38

8. Anexos ..................................................................................................................... 39

8.1. Anexo I ............................................................................................................ 39

x

Sumário de Figuras

Figura 1 - Bacia de Campos ............................................................................................. 1

Figura 2 - Ancoragem em Catenária e Ancoragem em Taut-Leg .................................... 4

Figura 3 - Ancoragem vertical em uma TLP .................................................................... 5

Figura 4 - Turret externo .................................................................................................. 6

Figura 5 - Turret interno ................................................................................................... 6

Figura 6 - Sistema CALM com ligação por meio de cabos.............................................. 7

Figura 7 - Sistema CALM com ligação por meio de estrutura fixa ................................. 7

Figura 8 - SALM com riser pré-tracionado ...................................................................... 8

Figura 9 - SALM com flutuação por meio de bóia........................................................... 8

Figura 10 - Ancoragem distribuída ................................................................................... 9

Figura 11 – Componentes da linha de ancoragem .......................................................... 10

Figura 12 - Elo com malhete (Stud link) ........................................................................ 11

Figura 13 - Elo sem malhete (Studless) .......................................................................... 11

Figura 14 - Elo Kenter .................................................................................................... 11

Figura 15 - Cabo de aço do tipo Spiral Strand Rope ...................................................... 12

Figura 16 - Cabo de aço do tipo Six/Multi Strand Rope ................................................ 12

Figura 17 – Curva S-N (Morawski – 2013) .................................................................... 15

Figura 18 - Espectro de amplitudes de ciclos de tensões (Ariduru – 2004) ................... 15

Figura 19 – Curva T-N para cada tipo de elo de amarras e cabos de aço. ...................... 17

Figura 20 – Método Rainflow - Analogia com gotas de chuva caindo do telhado ......... 18

Figura 21 - Parâmetros básicos relativos à fadiga (ASTM) ........................................... 19

Figura 22 - Exemplo de Contagem Rainflow (ASTM) .................................................. 20

Figura 23 - Movimentos da embarcação ........................................................................ 23

Figura 24 - Vista lateral do modelo ................................................................................ 25

Figura 25 - Vista superior do modelo ............................................................................. 25

Figura 26 - Visão tridimensional do modelo .................................................................. 26

Figura 27 - Linha de ancoragem em catenária convencional ......................................... 26

Figura 28 - Amarras de aço na parte superior das linhas................................................ 27

Figura 29 - Gráfico completo mês de Abril .................................................................... 30

Figura 30 - Gráfico completo mês de Maio .................................................................... 30

Figura 31 - Gráfico mês de Maio máximo 50% ............................................................. 31

Figura 32 - Gráfico mês de Maio máximo 10% ............................................................. 31

Figura 33 - Gráfico completo mês de Agosto ................................................................ 32

Figura 34 - Gráfico mês de Agosto máximo 50% .......................................................... 32

Figura 35 - Gráfico mês de Agosto máximo 10% .......................................................... 33

xi

Sumário de Tabelas

Tabela 1 – Valores de M e K de acordo ......................................................................... 17

Tabela 2 - Exemplo dos cálculos feitos em cada linha ................................................... 28

Tabela 3 - Exemplo dos cálculos feitos em cada linha na segunda tentativa ................. 34

Tabela 4 – Percentagem do consumo da vida à fadiga - Abril ....................................... 35

Tabela 5 - Percentagem do consumo da vida à fadiga - Maio ........................................ 35

Tabela 6 - Percentagem do consumo da vida à fadiga - Agosto..................................... 35

Tabela 7 - Percentagem do consumo da vida à fadiga em um ano ................................. 35

Tabela 8 - Danos acumulados por mês e por trimestre com tolerância de 5% da tração de

ruptura ............................................................................................................................. 36

Tabela 9 - Danos acumulados por mês e por trimestre com tolerância de 10% da tração

de ruptura ........................................................................................................................ 36

Tabela 10 – Cálculo da vida à fadiga - comparação dos resultados ............................... 36

1

1. Introdução

1.1. Contexto e Motivação

O objeto de estudo do presente projeto são as linhas de ancoragem de uma

plataforma de exploração de petróleo situada na bacia de Campos. A bacia sedimentar de

Campos, ilustrada na Figura 1, está compreendida entre as imediações da cidade de

Vitória (ES) e da cidade de Arraial do Cabo (RJ), em uma área de aproximadamente

100.000 km².

A bacia de Campos vem sendo explorada nos últimos 40 anos e algumas das

plataformas ali instaladas, atualmente, estão se aproximando do tempo de utilização para

o qual foram projetadas. Sendo assim, é válido verificar o tempo restante de

funcionamento dessas plataformas levando em conta o consumo da vida à fadiga das

linhas de ancoragem.

No presente trabalho, o enfoque será na estimativa da vida à fadiga das linhas de

ancoragem de uma plataforma que se encontra em funcionamento na bacia.

Figura 1 - Bacia de Campos

2

1.2. Objetivo

O objetivo deste trabalho é apresentar uma metodologia de verificação do

consumo da vida à fadiga das linhas de ancoragem baseada na análise dinâmica destas

linhas feita a partir dos movimentos reais medidos de uma plataforma de produção de

petróleo.

3

2. Sistemas de Ancoragem

Como já foi mencionado, o objeto de estudo deste projeto são as linhas de

ancoragem de uma plataforma de exploração de petróleo. As linhas de ancoragem são

usadas para manter a posição de uma unidade flutuante.

Essas linhas são estruturas esbeltas que podem estar dispostas em linhas retesadas,

em catenária ou tendões. Normalmente, são constituídas de amarras de aço, cabos de aço

ou cabos de poliéster.

2.1. Configurações das linhas

2.1.1. Ancoragem convencional

As linhas dispostas em forma de catenária, como na Figura 2(a), são chamadas de

ancoragem convencional. As linhas ancoradas são fixadas por âncoras de resistência

horizontal e o próprio segmento da linha que fica apoiado no fundo do mar contribui para

a força restauradora através do atrito com o fundo e do próprio peso. Esse tipo de

ancoragem requer grande raio de ancoragem, maior em comparação, por exemplo, do que

a ancoragem por linhas retesadas (taut-legs).

2.1.2. Ancoragem Taut-leg

A ancoragem Taut-leg, vista na Figura 2(b), é constituída por linhas retesadas com

ângulo de topo de aproximadamente 45° com a vertical, ou seja, as linhas não apresentam

trechos apoiados no leito marinho. Geralmente é utilizada em sistemas para grandes

profundidades, pois requer menor raio de ancoragem.

Nesse tipo de ancoragem, as âncoras devem resistir a carregamentos com

componentes horizontais e verticais. Para isso, utilizam-se outros recursos além das

âncoras convencionais, tais como, estacas de sucção, estacas torpedo e VLA (Vertical

Load Anchor).

4

Uma variação desse tipo de ancoragem, muito utilizado pela Petrobras, é a

ancoragem Semi-Taut-Leg. Trata-se de uma combinação da ancoragem Taut-leg e

ancoragem convencional. Usualmente, a parte mais inferior da linha é disposta em forma

de catenária e a parte mais superior, é retesada.

(a) (b)

Figura 2 - Ancoragem em Catenária e Ancoragem em Taut-Leg

2.1.3. Ancoragem vertical

Na ancoragem vertical (Figura 3), a disposição é dada por linhas que trabalham

como tendões verticais tracionados. Esses tendões dão alta rigidez ao sistema no plano

vertical, enquanto a rigidez no plano horizontal é reduzida.

Esse tipo de ancoragem é utilizado, comumente, em plataformas do tipo TLP

(Tension Leg Platform), bóias e monobóias.

5

Figura 3 - Ancoragem vertical em uma TLP

2.2. Tipos de sistemas de ancoragem

2.2.1. Ancoragem com ponto único

A ancoragem chamada Single Mooring System diferencia-se pelas linhas de

ancoragem se conectarem a um único ponto da embarcação. Esse tipo de configuração é

mais comum nas plataformas do tipo FPSO (Floating, Production, Storage and

Offloading) e FSO (Floating, Storage and Offloading), isso porque permite que a unidade

flutuante gire livremente ao redor das linhas, alinhando-se com a direção das cargas

ambientais e, portanto, reduzindo os esforços atuantes na mesma.

Neste sistema, podem-se distinguir três tipos de configuração predominantes:

ancoragem com turret (interno e externo), CALM (Catenary Anchor Leg Mooring) e

SALM (Single Anchor Leg Mooring).

6

2.2.1.1. Ancoragem com turret

Esse sistema caracteriza-se pela conexão das linhas de ancoragem a uma estrutura

em forma de torre (turret) que pode estar na popa, na proa (turret externo), como na Figura

4, ou internamente ao navio (turret interno), como na Figura 5. O casco da embarcação é

conectado ao turret por meio de rolamentos e assim, fica livre para se alinhar aos

carregamentos ambientais, sempre girando em torno do turret.

Figura 4 - Turret externo

Figura 5 - Turret interno

7

2.2.1.2. CALM – Catenary Anchor Leg Mooring

O sistema CALM consiste de uma bóia de grandes dimensões que suporta um

determinado número de linhas de ancoragem em catenária. A amarração entre a bóia e a

unidade flutuante é feita por meio de um cabo (Figura 6) ou através de uma estrutura fixa

(Figura 7).

É importante ressaltar que a bóia e a unidade flutuante tem respostas diferentes

sob influência das ondas. Isso faz com que esse sistema seja limitado em relação à

capacidade de suporte de cargas ambientais. Assim, em condições marítimas severas é

necessário desconectar a embarcação da bóia.

Figura 6 - Sistema CALM com ligação por meio de cabos

Figura 7 - Sistema CALM com ligação por meio de estrutura fixa

8

2.2.1.3. SALM – Single Anchor Leg Mooring

O sistema SALM pode utilizar um riser vertical com grande capacidade de

flutuação na superfície ou um riser pré-tracionado. Emprega-se um riser tubular

articulado, conectado à unidade através de uma forquilha rígida (Figura 8), ou ainda pode-

se empregar uma configuração alternativa com amarras ligadas a uma bóia que é acoplada

à unidade através de cabos (Figura 9).

Figura 8 - SALM com riser pré-tracionado

Figura 9 - SALM com flutuação por meio de bóia

9

2.2.2. Ancoragem distribuída

A ancoragem distribuída, também chamada de Spread Mooring, distingue-se pela

distribuição simétrica das linhas de ancoragem em torno da embarcação e é mais utilizada

em plataforma do tipo semi-submersível (Figura 10) devido ao fato desta ser menos

sensível à direcionalidade dos carregamentos ambientais.

Uma configuração especial de ancoragem distribuída foi desenvolvida pela

PETROBRAS para navios do tipo FPSO. Trata-se do sistema DICAS (Differentiated

Compliance Anchoring System). Este sistema se diferencia por utilizar linhas de

ancoragem com rigidezes distintas na proa e na popa do navio, o que proporciona um

alinhamento parcial do navio em relação às direções dos carregamentos ambientais mais

severos.

Figura 10 - Ancoragem distribuída

2.3. Componentes dos sistemas de ancoragem

As linhas de ancoragem podem ser compostas por um único segmento de um determinado

material ou por uma associação de segmentos de diferentes materiais (Figura 11).

10

Dentre os materiais comumente usados nas linhas de ancoragem, podem-se mencionar as

amarras, os cabos de aço e os cabos de materiais sintéticos, como o poliéster. Um componente

obviamente fundamental a esses sistemas é a âncora, que juntamente com os demais componentes

serão detalhados em seguida.

Figura 11 – Componentes da linha de ancoragem

2.3.1. Amarras

As amarras são formadas pela ligação consecutiva de elos de aço, que podem ser elos

com malhete (Stud link) ou sem malhete (Studless), como pode ser visto na Figura

12 e Figura 13. As mais usadas na ancoragem de plataformas são as de elos com malhete.

As amarras são classificadas de duas formas: de acordo com a resistência ao escoamento

do aço utilizado em sua fabricação e de acordo com a geometria, considerando o diâmetro nominal

da barra de aço utilizada para fabricar o elo.

As amarras destinadas a compor um sistema de ancoragem offshore são

geralmente separadas em categorias ou graus, que variam de resistência de acordo com a

tração de ruptura das mesmas (Graus 3, ORQ – Oil Rig Quality e 4) [1].

Existem muitos tipos de componentes utilizados para unir duas partes de corrente.

O mais comumente empregado é o elo kenter (Figura 14). As linhas de ancoragem devem

utilizar o menor número possível destes elos visto que sua durabilidade à fadiga é

sensivelmente menor à das correntes.

11

Figura 12 - Elo com malhete (Stud link)

Figura 13 - Elo sem malhete (Studless)

Figura 14 - Elo Kenter

2.3.2. Cabos de aço

Os principais tipos de cabo de aço aplicados na ancoragem de sistemas flutuantes

são o spiral strand (Figura 15) e o six strand (Figura 16) O primeiro tipo é mais comum

em unidades de perfuração devido ao seu fácil manuseio. Já o segundo tipo é empregado

com frequência em unidades de produção devido a sua resistência e durabilidade e ainda,

com torque balanceado, é melhor que o cabo six strand e pode ter uma durabilidade muito

grande quando é encapado com uma camada plástica.

12

Figura 15 - Cabo de aço do tipo Spiral Strand Rope

Figura 16 - Cabo de aço do tipo Six/Multi Strand Rope

A corrosão da trança metálica é um problema que ocorre frequentemente e pode

ser minimizado com o emprego de cabos galvanizados. No tocante à resistência dos

arames que formam o cabo, comumente são utilizados dois tipos: IPS - Improved Plow

Steel - ou EIPS - Extra Improved Plow Steel. O cabo com fios EIPS é mais resistente à

tração e indicado para unidades flutuantes.

2.3.3. Poliéster

Os cabos de materiais sintéticos são formados pela associação de fios trançados,

formando cordas agrupadas que dão origem aos núcleos que, dispostos em configurações

específicas, formam o cabo. Ordinariamente, apresentam um revestimento protetor

externo com a função de oferecer resistência à abrasão, garantindo a integridade estrutural

do mesmo.

Nas linhas de ancoragem, o cabo sintético mais utilizado é o poliéster. Três

construções de cabos são fabricadas. São elas: fios paralelos, sub-cabos paralelos e tipo

13

cabo de aço. Elas tem por objetivo manter as fibras posicionadas de tal modo que formem

pequenos ângulos em relação ao eixo do cabo.

A resistência específica e a rigidez específica de cabos de poliéster com as três

construções citadas são muito semelhantes. Considerando a mesma carga de ruptura, os

cabos de fibra de poliéster têm uma constante axial de mola consideravelmente mais baixa

do que a dos cabos de aço.

2.3.4. Âncoras

A âncora é o componente responsável pela fixação das linhas de ancoragem no

leito marinho. É necessário que a linha de ancoragem tenha um ponto de fixação no fundo

do mar, que transfira os esforços do sistema para o mesmo, para que a posição horizontal

desejada da unidade flutuante seja mantida.

O ponto de fixação ou ponto de ancoragem dependerá do tipo de sistema de

ancoragem utilizado visto que em alguns casos é necessário que a âncora resista a cargas

horizontais e verticais. Por exemplo, na ancoragem convencional, o mais comum é o uso

de âncoras de arraste, já na ancoragem taut-leg, o mais comum é o uso de âncora do tipo

VLA (Vertical Load Anchor) ou estacas, que resistem a cargas horizontais e verticais.

As estacas mais comuns são:

a) Estacas de sucção, ou estacas caixão, que são tubulões de grande diâmetro apoiado

no fundo e fechado no topo. Ao se retirar a água do seu interior cria-se uma

diferença de pressão que faz com que o tubulão se enterre.

b) Estacas torpedo, que são estacas propriamente ditas que são cravadas no fundo

por intermédio da força de gravidade. São abandonadas de uma altura de

aproximadamente 100m e a energia da queda faz com que a estaca atinja a

penetração necessária no solo.

14

3. Fadiga

Fadiga é uma falha mecânica decorrente da aplicação repetitiva de carregamentos

variáveis, sejam tensões ou deformações, que se caracteriza pela formação e propagação

paulatina de trincas que levam à ruptura e ao colapso súbito do componente. É importante

ressaltar que é possível que a falha do material ocorra quando submetido a uma tensão

baixa, porém aplicada repetidas vezes, quando comparada à tensão limite de escoamento

do material.

Visto que a fadiga é uma das principais causas de falhas mecânicas, um aspecto

importante no projeto de estruturas é o cálculo da vida à fadiga, ou seja, a estimativa do

tempo de funcionamento da estrutura até a falha. Para esse processo, dois conceitos

importantes serão abordados, a saber, contagem de ciclos e acúmulo linear de danos.

3.1. Acúmulo linear de danos

O modelo de acúmulo linear de danos, também conhecido como regra de

Palmgren-Miner [2], é utilizado, em conjunto com um método de contagem de ciclos,

para estimar a vida à fadiga de um elemento. Com esse modelo é possível estimar a

quantidade de blocos de carregamentos que podem ser aplicados antes da ocorrência da

falha.

Um recurso importante a ser apresentado é a curva S-N, na Figura 17 [3], onde S

é a amplitude de tensão e N é o número de ciclos até a falha. Sendo assim, sabem-se

quantos ciclos 𝑁𝑖 o material suportará até falhar, quando submetido a uma determinada

amplitude de tensão 𝑆𝑖.

15

Figura 17 – Curva S-N (Morawski – 2013)

Considerando um espectro de amplitudes de ciclos de tensões como na Figura 18

[4], tem-se uma sequência de 𝑘 blocos de amplitude constante onde cada bloco tem uma

amplitude 𝑆𝑖 e o número total de ciclos ocorrido 𝑛𝑖.

Figura 18 - Espectro de amplitudes de ciclos de tensões (Ariduru – 2004)

16

A razão entre o número total de ciclos 𝑛𝑖 de uma faixa de tensão 𝑆𝑖 e o número de

ciclos até a falha 𝑁𝑖 dessa mesma tensão é chamada de fração de dano 𝐷𝑖.

𝐷𝑖 =𝑛𝑖

𝑁𝑖 (1)

O dano total ao qual o elemento está sujeito é dado pela soma de todas as frações

de dano dos 𝑘 blocos.

𝐷 = ∑𝑛𝑖

𝑁𝑖

𝑘0 (2)

O tempo de operação até a falha é obtido calculando o inverso do dano acumulado.

𝑣𝑖𝑑𝑎 à 𝑓𝑎𝑑𝑖𝑔𝑎 =1

𝐷 (3)

A regra estabelece que a falha ocorrerá quando esse somatório for maior ou igual

a unidade.

𝐷 ≥ 1.0 (4)

3.2. Curva T-N para elos de amarras e cabos de aço

Para calcular o número de ciclos até a falha (N) são usadas as curvas T-N

específicas para cada tipo de elo das amarras de aço.

As curvas T-N (Figura 19) correlacionam a tração com o número máximo de ciclos

até a falha, baseadas em dados experimentais oriundos de testes de fadiga nos elos de

amarras. Sendo assim, para o caso de linhas de ancoragem o uso dessas curvas é o mais

adequado em comparação com as curvas S-N. Ela é apresentada a seguir, assim como a

equação que representa a curva [5].

𝑁 =𝐾

𝑅𝑀 (5)

Sendo:

𝑁 o número de ciclos até a falha;

𝑅 a razão entre a amplitude média de tração e a tração de ruptura;

𝑀 𝑒 𝐾 são valores disponibilizados pela American Petroleum Institute [6], como

pode ser visto na Tabela 1.

17

No caso de amarras e cabos de aço, para a tração de ruptura é usada a tração

mínima de ruptura (Minimum Breaking Load – MBL).

Tabela 1 – Valores de M e K de acordo

Fonte: Traduzido da API

Figura 19 – Curva T-N para cada tipo de elo de amarras e cabos de aço.

Fonte: Traduzido de Leal (2015)

Elo com malhete comum

Elo sem malhete comum

Componente

Elo Kenter e Baldt

Cabo de Aço tipo Six Strand Rope

Cabo de Aço tipo Spiral Strand Rope

18

3.3. Contagem de ciclos

Dentre os muitos métodos que podem ser utilizados para a contagem de ciclos,

um dos mais empregados é o método Rainflow. Essa denominação baseia-se na analogia

entre o trajeto das gotas de chuva ao caírem pelos telhados típicos japoneses, mostrado

na (b)

Figura 20(a), e o gráfico Amplitude de Tensão X Tempo na vertical, mostrado na

(b)

Figura 20(b). Considerando que pequenas reversões de carga em um ciclo de fadiga

com maior amplitude não afetam o dano acumulado assim como que um carregamento

pode ser caracterizado pela sua sequência de pontos extremos.

(a) (b)

Figura 20 – Método Rainflow - Analogia com gotas de chuva caindo do telhado

Será dada, então, uma breve explicação de como a contagem é feita, baseada na

publicação Standard Practices for Cycle Counting in Fatigue Analysis (Práticas Padrão

para a Contagem de Ciclos em Análise de Fadiga) da ASTM - American Society for

Testing and Materials [7].

Algumas terminologias devem ser definidas e são ilustradas na Figura 21:

i. Ciclo: variação do carregamento do mínimo para o máximo e para o mínimo

novamente;

19

ii. Mean crossing: o número de vezes que a história do carregamento cruza o nível

médio de carga com uma inclinação positiva (negativa ou ambos) tal como

especificado;

iii. Pico e vale – Peak e Valley: ponto de máximo e mínimo instantâneo,

respectivamente;

iv. Faixa – Range: diferença algébrica entre um vale e um pico subsequente (faixa

positiva) ou entre um pico e um vale subsequente (faixa negativa).

Figura 21 - Parâmetros básicos relativos à fadiga (ASTM)

As regras para o método são descritas a seguir:

Denota-se X como a faixa sob consideração, Y como a faixa anterior adjacente a X e S o

ponto de início da história da carga.

Procedimento de Contagem de Ciclos:

(1) Leia o próximo pico ou vale. Se não houver informação, vá para o passo (6);

(2) Se há menos de três pontos, volte ao passo (1). Forme as faixas X e Y usando os

três picos e vales mais recentes, caso não tenham sido descartados;

(3) Compare os valores absolutos dos caminhos X e Y:

(a) Se X < Y, vá para o passo (1).

(b) Se X ≥ Y, vá para o passo (4);

(4) Se a faixa Y contiver o ponto de início S, vá para o passo (5); caso contrário, conte

a faixa Y como um ciclo, descarte o pico e o vale de Y, e vá para o passo (2);

(5) Conte a faixa Y como um meio-ciclo, descarte o primeiro ponto (do pico ou do

vale) na faixa Y, mova o ponto de partida para o segundo ponto da faixa Y e vá

para o passo (2);

(6) Conte cada faixa não contada anteriormente como um meio-ciclo.

20

Na mesma publicação, é dado um exemplo para ilustrar esse processo e será

reproduzido a seguir (Figura 22):

(1) S= A; Y = | A-B |; X = | B-C | e X > Y. A faixa Y contém S, que é o ponto A. Conte

| A-B | como um meio-ciclo e descarte o ponto A; S = B.

(2) Y = | B-C |; X = | C-D | e X > Y. Y contém o S, nesse caso, o ponto B. Conte

|B-C | como um meio ciclo e descarte o ponto B; S = C.

(3) Y = | C-D |; X = | D-E | e X < Y.

(4) Y = | D-E |; X = | E-F | e X < Y.

(5) Y = | E-F |; X = | F-G | e X > Y. Conte | E-F | como um ciclo e descarte os pontos

E e F. Unir, em seguida, o ponto D ao ponto G para formar uma nova faixa.

(6) Y = | C-D |; X = | D-G | e X > Y. A faixa Y contém o ponto S, que está localizado

no ponto C. Conte | C-D | como um meio-ciclo e descarte o ponto C; S = D.

(7) Y = | D-G |; X = | G-H | e X < Y.

(8) Y = | G-H |; X = | H-I | e X < Y. Término da história da carga.

(9) Conte | D-G |, | G-H | e | H-I | como meio-ciclos.

(10) Fim da contagem.

Figura 22 - Exemplo de Contagem Rainflow (ASTM)

21

Os dois métodos descritos anteriormente, a saber, Palmgren-Miner e Rainflow são

usados em conjunto para estimar a vida à fadiga em estruturas onde a história é composta

de tensões de amplitude variável.

Em um carregamento no tempo de amplitude variável, utiliza-se o Rainflow para

decompor o carregamento em blocos de tensão de carga e com o número de ciclos de cada

bloco e suas respectivas amplitudes de tensão, forma-se um histograma das faixas de

tensão. Esse histograma é utilizado com a regra de Palmgren-Miner para estimar a vida

à fadiga da estrutura.

22

4. Metodologia

4.1. Dados de Entrada

Os dados utilizados nesse estudo foram fornecidos pela Petrobras e são

informações referentes a uma das suas plataformas de produção de petróleo em

funcionamento na Bacia de Campos. No caso desse estudo, trata-se de uma plataforma

do tipo FPSO.

Os dados são divididos em dois arquivos distintos: GPS e Octans. Em ambos os

arquivos, as informações são dadas para cada segundo do dia considerado, em cada mês.

O arquivo GPS fornece o posicionamento em função das coordenadas UTM Leste e UTM

Norte (UTM - Universal Transversa de Mercator1). No arquivo Octans, são dados os

movimentos da plataforma em cada um dos seis graus de liberdade. Além disso, foi

disponibilizado o calado da embarcação em cada dia.

Quanto aos movimentos da embarcação dados no arquivo Octans, todo corpo

rígido possui seis graus de liberdade. Três movimentos de translação em cada eixo (X, Y

e Z) e três movimentos de rotação em torno de cada eixo. No caso do navio, os

movimentos de translação são Surge, Sway e Heave, no sentido dos eixos X, Y e Z,

respectivamente e os movimentos de rotação são Roll, Pitch e Yaw, em torno dos eixos

X, Y e Z, respectivamente (Figura 23).

1 O sistema de coordenadas UTM baseia-se no plano cartesiano e usa o metro como unidade de

medida. O sistema não acompanha a curvatura da Terra e é dividido em 60 fusos. Como convenção, UTM

Norte equivale às coordenadas Norte-Sul (ordenadas) e UTM Leste, às coordenadas Leste-Oeste

(abscissas).

23

Figura 23 - Movimentos da embarcação

4.2. Programa SITUA/Prosim

Esses dados de posição e movimento são inseridos no programa SITUA/Prosim

[8]. O objetivo é, a partir do posicionamento e movimentos da plataforma, calcular as

trações em cada linha de ancoragem através de uma simulação no domínio do tempo.

O SITUA/Prosim é um programa desenvolvido para a Petrobras pelo LAMCSO –

Laboratório de Métodos Matemáticos e Sistemas Offshore – COPPE/UFRJ. Tem por

principal objetivo a simulação do comportamento de sistemas de produção de petróleo,

por meio de análises estáticas e dinâmicas não-lineares, no domínio do tempo. Essas

análises são feitas considerando a interação entre o comportamento do casco e das linhas

de ancoragem e risers. O programa emprega um modelo hidrodinâmico para analisar os

movimentos do casco e um modelo estrutural, através da formulação de elementos finitos,

para representar as linhas.

O programa Prosim usa modelo híbrido para calcular as forças no casco, ou seja,

combina as características positivas de mais de uma formulação para chegar a um

resultado que melhor descreva as condições físicas do problema.

Neste modelo híbrido são combinadas as seguintes formulações: forças de

primeira ordem da fórmula de Morison, especialmente as forças viscosas e de arraste; as

forças de Froude-Krylov e as forças de segunda ordem provenientes da teoria potencial,

incluindo efeitos de difração e radiação de ondas.

24

No caso em questão, como a posição e os movimentos da embarcação em função

do tempo já eram conhecidos, não foi necessário o uso de modelo hidrodinâmico para o

casco, pois o movimento foi imposto (Movimento Prescrito). Os dados disponibilizados

pela PETROBRAS foram tratados de forma adequada para que pudessem ser lidos pelo

SITUA/PROSIM, ou seja, foram verificados quanto à continuidade e transformados de

posição para deslocamento da embarcação.

4.3. Análise dos dados

Os dados disponíveis são referentes ao intervalo entre abril e novembro de 2014.

Para esse estudo, foram utilizados os dados de abril, maio e agosto. Os dados de junho e

julho não foram aproveitados devido ao grande número de falhas no arquivo. Entendam-

se falhas por ausência de dias computados nos arquivos: o mês de junho tem apenas

quinze dias devidamente registrados e o mês de julho, apenas dez dias. Sendo assim,

descartaram-se esses dados que são incompletos.

A partir da inserção das informações de posicionamento e movimentos no

programa Prosim, o dado de saída é o histórico de trações em cada linha de ancoragem.

De posse desse histórico, foi usado um algoritmo de acordo com o método Rainflow de

contagem de ciclos (ver Seção 3.3) para calcular o número de ciclos 𝑛𝑖 para cada bloco

de amplitude de tração.

4.4. Modelo Numérico

A análise efetuada pelo SITUA/PROSIM é baseada em um modelo numérico da

plataforma. Este modelo é apresentado a seguir:

25

Figura 24 - Vista lateral do modelo

Figura 25 - Vista superior do modelo

As Figura 24Figura 25apresentam as linhas de ancoragem em azul escuro e os

risers em azul claro. Como estamos interessados somente na simulação das trações nas

linhas de ancoragem, os risers não foram considerados na análise.

26

Figura 26 - Visão tridimensional do modelo

A Figura 26 apresenta uma visão geral tridimensional do sistema inteiro,

evidenciando as linhas de ancoragem em catenária convencional.

Figura 27 - Linha de ancoragem em catenária convencional

A Figura 27 apresenta a configuração em catenária convencional típica das linhas

de ancoragem desta unidade. Sendo os seguimentos superior e inferior de amarra grau

ORQ com 0.1-5 m de diâmetro nominal e o intermediário em cabo de aço “Six Strand”

com 0,127 m de diâmetro. A tração Máxima Axial (MBL – Minimum Break Load)

considerada para a amarra foi de 9937 kN.

27

5. Resultados

5.1. Tratamento dos dados

Os resultados obtidos, após a contagem de ciclos, são organizados na forma de

faixas de trações relacionadas com o número de ciclos em que essas trações ocorreram.

Os resultados são separados por cada linha de ancoragem. Os dados são divididos em 13

faixas de tração para cada uma das oito linhas de ancoragem, nesse caso.

Essas faixas de trações são amplitudes de variação da tração em cada linha. As

trações médias em cada linha são dados de saída do programa SITUA/Prosim e serão

descritas no Anexo I.

É importante esclarecer que para fins dos cálculos da tração na linha de ancoragem

foi considerada apenas a parte superior da linha, composta por amarras de aço como se

vê na Figura 28.

Figura 28 - Amarras de aço na parte superior das linhas

Então, é necessário calcular o número de ciclos até a falha para essa determinada

faixa de trações. Para os cálculos foi usada a relação da curva T-N mostrada na Figura

19, e a Tabela 1 que fornece os valores de M e K.

Visto que as linhas estudadas nesse projeto apresentam amarras do tipo Studless

(sem malhete), os valores retirados da tabela são:

𝑀 = 3.0

28

𝐾 = 316

Sendo assim, calcula-se o número de ciclos 𝑁 até a falha de acordo com a equação

(5).

Sendo 𝑅 a razão entre a amplitude de tração da faixa considerada e a tração de

ruptura (igual à tração MBL – Minimum Break Load, no caso da amarra). Para a amarra

em questão, a MBL é igual a 9937 kN.

Com o cálculo do número de ciclos 𝑁 até a falha, é possível calcular a fração do

dano 𝑛 𝑁⁄ em cada faixa de tração e, consequentemente, o somatório do dano em cada

linha.

Para exemplificar, a Tabela 2 mostra como foi organizado os cálculos relativos à

linha 1 no dia 01 de abril:

Tabela 2 - Exemplo dos cálculos feitos em cada linha

Tendo como exemplo a primeira faixa de tração da linha 1, foi feito o seguinte

procedimento com auxílio das fórmulas do Excel:

1) Faixa: 0 – 1.726 kN

2) Valor médio da faixa de tração: 0+1.726

2= 0.863 𝑘𝑁

3) 𝑅 =0.863

9937= 8.685𝑥10−5 𝑘𝑁

4) 𝑁 =316

(8.685𝑥10−5)3 = 4.824𝑥1014 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

29

5) 𝐹𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝐷𝑎𝑛𝑜: 𝑛

𝑁=

2233

4.824𝑥1014 = 4.629𝑥10−12 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠

Da mesma forma, foram calculadas as frações do dano para cada faixa de tração e

posteriormente foram somadas essas frações, resultando no dano total desta linha. Esse

valor está mostrado na coluna Soma n/N da Tabela 2.

Esse processo foi feito em todas as linhas a cada dia e ao considerar o mês inteiro,

calcula-se o dano total em cada linha. Porém, ao fazer esse procedimento para os três

meses, observou-se que em algumas linhas o dano era superior a 1, ou seja, de acordo

com esse resultado essa linha já teria falhado. Sabendo que essas linhas estão funcionando

normalmente, concluiu-se que existiam erros nos dados. Observando os dados de

posicionamento, especialmente no mês de maio, viu-se que em alguns dias aparecia um

deslocamento muito brusco da posição da plataforma, gerando faixas de trações

exorbitantes de até 800% em relação à tração de ruptura. Essa alteração não condiz com

a realidade e, provavelmente, se deve a erros no equipamento de GPS.

Com isso, viu-se a necessidade de filtrar os dados na intenção de desconsiderar

esses erros no movimento da embarcação. Sendo assim, a estratégia para o cálculo do

dano foi modificada. Foi usada uma fórmula condicional para que o dano só fosse

calculado se a amplitude de tração fosse uma determinada percentagem da tração de

ruptura.

Para definir essa percentagem máxima aceitável foram gerados gráficos para

melhor visualização da ocorrência dessas alterações. Serão apresentados os gráficos para

cada mês, considerando as amplitudes de tração em todas as linhas. Ressaltando que os

meses mais críticos são maio e agosto:

30

Figura 29 - Gráfico completo mês de Abril

Na Figura 29 referente ao mês de abril, vê-se que a maior ocorrência é de

amplitudes de tração em torno de 5% da tração de ruptura.

Figura 30 - Gráfico completo mês de Maio

A Figura 30 explicita que em alguns dias do mês de maio ocorreram amplitudes

de tração de mais de 800% da tração de ruptura. Como dito anteriormente, é provável que

tenha ocorrido um problema no equipamento de GPS que registrou um deslocamento

31

irreal da plataforma, visto que muito longo e repentino, que gerou essa variação exagerada

da amplitude de tração.

Para melhor observar a ocorrência, alterou-se o limite do gráfico.

Figura 31 - Gráfico mês de Maio máximo 50%

Figura 32 - Gráfico mês de Maio máximo 10%

A partir das Figura 31Figura 32, observa-se que a maior ocorrência fica em torno

de amplitudes de tração que representam até 10% da tensão de ruptura.

32

Figura 33 - Gráfico completo mês de Agosto

Figura 34 - Gráfico mês de Agosto máximo 50%

33

Figura 35 - Gráfico mês de Agosto máximo 10%

Da mesma forma, no mês de agosto a maior ocorrência fica em torno de

amplitudes de tração que representam até 10% da tensão de ruptura, como é visto nas

Figura 33Figura 34Figura 35.

Com isso, o dano será calculado considerando amplitudes de tração de

percentagem máxima de 5% e 10% da tensão de ruptura para não ter o risco de restringir

muito e desconsiderar alterações legítimas decorrentes de ventos ou ondas mais severas,

e também a título de comparação entre os dois resultados.

Para exemplificar, o cálculo será feito da forma mostrada na Tabela 3:

34

Tabela 3 - Exemplo dos cálculos feitos em cada linha na segunda tentativa

Com a inserção do cálculo da percentagem da amplitude de tração em relação à

tração de ruptura, a coluna 𝑛 𝑁⁄ é igual a zero se essa percentagem for maior que 5% ou

10% e, consequentemente, não contribui para o dano acumulado em cada linha.

Uma alternativa válida seria ter usado algum método de retirada dos elementos

discrepantes, chamados de Outliers 2 , ainda na entrada dos dados no programa

SITUA/Prosim. Assim, usando cálculos estatísticos, os dados de posicionamento com

comportamento diferente dos demais seriam identificados e retirados e os resultados

finais de faixas de trações seriam mais coerentes. Alguns métodos de retirada de Outliers

que podem ser citados são Score-Z e Pearson.

5.2. Consumo da Vida à Fadiga

O objetivo do trabalho é verificar, através do uso dos movimentos medidos de uma

plataforma real, o consumo da vida à fadiga da amarra de uma linha de ancoragem. Portanto, os

resultados serão apresentados na forma da quantidade percentual da vida total que foi consumida

no ano em estudo. Os resultados são mostrados para cada mês considerado nas Tabela 4Tabela 5,

Tabela 6 e o somatório do dano em um ano na Tabela 7. Assumindo que a falha ocorrerá quando

o dano D for igual a 1.0. Assim o consumo pode ser definido como sendo 𝐶 = 𝑛𝑁⁄ .

2 Outliers, que em livre tradução significa discrepantes, são pontos que não se encaixam na tendência geral

dos dados. Em outras palavras, apresentam valores muito maiores ou muito menores que os demais. São

causados por erros de execução ou de medida.

35

Tabela 4 – Percentagem do consumo da vida à fadiga - Abril

Tabela 5 - Percentagem do consumo da vida à fadiga - Maio

Tabela 6 - Percentagem do consumo da vida à fadiga - Agosto

Tabela 7 - Percentagem do consumo da vida à fadiga em um ano

5.3. Cálculo da vida à fadiga

A soma dos danos em cada linha considerando os três meses, resulta no dano total.

Esse resultado representa a porção da vida total consumida por trimestre de operação.

O cálculo da vida à fadiga será o inverso do dano acumulado em um ano:

𝑣𝑖𝑑𝑎 à 𝑓𝑎𝑑𝑖𝑔𝑎 =1

4 ∗ 𝐷𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒= 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑡é 𝑎 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎

Os resultados dos danos nas linhas em cada mês e por trimestre podem ser vistos

a seguir nas Tabela 8 Tabela 9:

36

Tabela 8 - Danos acumulados por mês e por trimestre com tolerância de 5% da tração de ruptura

Tabela 9 - Danos acumulados por mês e por trimestre com tolerância de 10% da tração de ruptura

Tabela 10 – Cálculo da vida à fadiga - comparação dos resultados

Como pode ser visto na Tabela 10, os resultados satisfazem a expectativa de tempo

de funcionamento para uma plataforma de produção de petróleo, visto que essas unidades

são projetadas para funcionar durante 25 anos, em média. Sendo assim, o sistema de

ancoragem deverá atender a esse mesmo tempo de serviço.

É possível observar também que para ambos os limites de proporção entre as

amplitudes de tração e a tração de ruptura, as linhas com maior consumo da vida à fadiga

e, consequentemente, menor vida à fadiga são as linhas 5, 6 e 7. Mostrando assim que

essas são as linhas mais solicitadas do sistema de ancoragem.

Pelos valores do dano em cada mês, vê-se que os maiores valores são referentes

aos meses de maio e agosto. No mês de agosto, por ser durante o inverno, já são esperados

ondas e ventos mais severos, que consequentemente resultam em maiores esforços de

tração nas linhas.

A constatação de possíveis erros no equipamento de GPS ressalta a importância

de investimentos constantes para que os equipamentos gerem dados cada vez mais

confiáveis.

37

6. Conclusão e Trabalhos Futuros

Com os resultados apresentados, o trabalho mostrou que é possível estimar a vida

à fadiga das linhas de ancoragem de uma unidade ancorada a partir dos movimentos

medidos do casco da mesma e de um modelo numérico calibrado destas linhas.

Com a avaliação contínua do consumo desta vida à fadiga pode-se estimar qual

linha está sendo mais solicitada e medidas de prevenção podem ser tomadas antes que um

acidente de rompimento de linha ocorra, evitando expor a unidade a um risco maior.

Como trabalho futuro pode-se propor a extensão da metodologia proposta por

mais meses com mais dados medidos a fim de verificar a variação do consumo da vida e

poder fazer uma previsão de falha.

38

7. Referências

[1] Albrecht, C. Algoritmos Evolutivos aplicados à Síntese e Otimização de Sistemas de

Ancoragem. Tese de D.Sc., Rio de Janeiro, Brasil: COPPE/UFRJ, 2005.

[2] Miner, Milton A. Cumulative Damage in Fatigue. Santa Monica, California, 1945.

[3] Morawski, Alexandre Persuhn. Estimação da Vida de Fadiga de Tubulações de

Transporte de Petróleo Sujeiras a Carregamentos Estocáticos. Projeto de Graduação.,

Espírito Santo, Brasil: UFES, 2013.

[4] ARIDURU, S. Fatigue Life Calculation by Rainflow Cycle Counting Method. Middle

East Technical University, 2004.

[5] Leal, Guilherme da Silva. Metodologia de Análise de Fadiga de Sistemas de

Amarração de um FPSO. Qualificação para Dissertação M.Sc., Rio de Janeiro, Brasil:

COPPE/UFRJ, 2015.

[6] API. RP 2SK, Design and Analysis of Stationkeeping Systems for Floating Structures,

3rd ed. American Petroleum Institute, 2005. Addendum, May 2008.

[7] ASTM E-1049. Standard practices for cycle counting in fatigue analysis. American

Society for Testing and Materials, 1985.

[8] PROSIM/SITUA. Simulação Numérica do comportamento de sistemas para

explotação de petróleo offshore. Manual Teórico. LAMCSO COPPE/UFRJ., Novembro

de 2006.

39

8. Anexos

8.1. Anexo I

40

41