Análise do Equilíbrio Parcial Marshalliano

Para o estudo de equilíbrio parcial competitivo de mercado, devem ser definidas as características iniciais de uma economia de mercado:(i) A existência de propriedade de todos os bens e todas as possibilidades de

produção da economia. Essa característica é importante porque associa a economia de mercado à propriedade privada e também garante a ausência de externalidades;

(ii) As firmas são, portanto, propriedade de indivíduos. Pode-se denotar por θij a parcela da firma j de propriedade do indivíduo i.

(iii) Todos os agentes são tomadores de preço.

Com essas características, o equilíbrio competitivo deverá ser definido a partir do atendimento a três condições:

(i) Todas as firmas estejam maximizando os seus lucros, dadas as restrições tecnológicas (conjunto de produção) e econômicas (preços – custos) (ver condição (1));

(ii) Todos os consumidores estejam maximizando sua utilidade com a restrição orçamentária associada (ver condição (2));

(iii) Haja balanceamento de mercado, ou seja, que a quantidade demandada seja igual à quantidade produzida mais a dotação inicial dos bens (ver condição (3)).

O Equilíbrio Parcial Competitivo

( )

( )

(3) ,...,1 todopara

(2) *.*.*..

max

(1) 0)(..

.*max

11

1

Llyx

yppxpts

xu

ygts

yp

J

j

ljl

I

i

li

j

J

j

ijii

ii

j

j

=+=

+≤

≤

∑∑

∑

==

=

ω

θω

Na condição (1), o vetor yj denota a quantidade de produtos (valores positivos) e insumos (valores negativos) da firma j para cada bem l, portanto, yj é formado por l bens, yj=(yj1,...,yjL), sendo que alguns serão liquidamente produtos (e, portanto, assumirão valores positivos) e outros, liquidamente insumos (assumindo valores negativos). p* é o vetor de preços de equilíbrio. Como o vetor yj terá alguns elementos positivos e outros negativos, o resultado do produto do vetor linha p* pelo vetor coluna yj representa o lucro da empresa j. g(y) assumirá valores negativos sempre que estiver fora da fronteira de produção e valor 0 quando estiver na fronteira de produção, ou seja, quando o nível efetivamente produzido menos o que seria produzido na fronteira de produção for negativo, g(y) será negativo. Se for igual, zerá 0, se for maior, está fora das possibilidades de produção. (Por favor, não deixem de ler e examinar o apêndice 1 para um resumo sobre conjunto de produção.)

Na condição (2), o vetor xi denota o consumo do agente i de cada bem l, xi=(xi1,..., xiL), enquanto ωi será o vetor de dotações iniciais do agente i ωi=(ωi1,..., ωiL). Repare que o agente poderá deter ações das empresas j, representadas por θij, ou seja, a parcela da firma j pertencente ao indivíduo i, que, na condição 2, multiplica os lucros da firma j. Logo, a renda do consumidor é uma função dos preços de mercado.

A condição (3) remete à necessária igualdade entre as demandas e as ofertas. O lado direito da equação representa a soma do consumo do bem l para todos os indivíduos i e a parte direita a disponibilidade total do bem l, seja ela derivada de um estoque anterior (repare que ωl = Σiωli, ou seja, a soma das dotações iniciais do bem l de cada um dos indivíduos i). No entanto, essa igualdade deve ser válida para cada bem l e, por isso, se expressa l=1,...,L.

No equilíbrio parcial, algumas características devem ser adicionadas àquelas que fizeram parte de nossa primeira definição. Em primeiro lugar, a análise se limita a um bem ou a um conjunto de bens que constitui apenas uma pequena parte da economia. Essa simplificação deve ser levada ao nível do agente econômico e requerer que os bens envolvam apenas uma pequena parcela do dispêndio total do indivíduo de tal maneira que os efeitos renda sejam desprezíveis

ou suficientemente pequenos para garantir a inclinação negativa da curva de demanda. Em segundo lugar, deve-se supor que mudanças nos preços desses bens analisados em equilíbrio parcial não afetem os preços dos demais bens. A consequência da primeira hipótese é que se pode tratar a análise do equilíbrio parcial como de dois bens, um bem l, e o numerário, que seria uma mercadoria composta de todos os demais bens da economia (ver equação (4)). Por simplificação, deixaremos que o preço do numerário seja normalizado em 1.

( )

.0)0( e 0 todopara 0)( e 0)(

vezes,duas veldiferenciá e ntesuperiorme limitado é )(

)4()(,

''' =><>

+=

vxxvxv

xv

mxvmxu

iiiii

i

iiiii

Pelas hipóteses adotadas, a renda derivada de outros firmas fora desse mercado não deverá ser afetada. Assim, deve-se entender que a dotação de numerário é um dado para cada consumidor e que independerá do resultado do mercado em questão. Ademais, adotaremos a hipótese simplificadora de que os consumidores não serão dotados de unidades do bem x, e, portanto, todo bem x é fruto de produção.

Mais que isso, deixaremos m assumir valores negativos após o processo de maximização, evitando assim, problemas de solução de canto.

No caso das empresas, entenderemos que elas utilizam a mercadoria composta numerário para produzir unidades de x. Trata-se, portanto, de um processo de maximização de lucros com um único insumo. A quantidade de numerário para produzir uma unidade do bem x pela firma j deverá ser representado por cj(qj), sendo qj a quantidade do bem x produzida pela

firma j..

Lembre-se, o resultado da condição (1) é representado por:

( )( )

( )

( )

( ) CMg

y

yg

pp

yy

y

yg

y

yg

p

p

Logo

ly

ygp

y

L

ygypL

l

j

lk

lk

l

j

k

j

l

k

l

j

l

l

jj

=

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

=

≤∂

∂+=

∂

∂

+=

:então insumo, sendo e produto sendo com bens dois de caso Em

todopara ,0

.

λ

λ

Deve-se assumir uma função custo diferenciável duas vezes sendo cj’(qj) >0 e cj’’(qj) >0. Nesse caso, estamos pensando no curto prazo, em que há um insumo fixo, não apresentado e que os rendimentos decrescentes advêm da ação de um insumo variável, mantendo um outro constante.

Assim, podemos entender o problema de maximização do consumidor a partir de (2) como:

( )( ) )'2(**..

)(max

**

1

,

−+≤+

+

∑=

jjj

J

j

ijmiii

iii

qcqpxpmts

xvm

θω

Entendendo que a restrição se sustenta com igualdade para qualquer escolha, então:

( )( )

( )( )**

1

,

**

1

,

**

**

jjj

J

j

ijmiii

jjj

J

j

ijmiii

qcqpxpm

qcqpxpm

−++−=

⇒−+=+

∑

∑

=

=

θω

θω

Então, substituindo na função utilidade:

( ) ( )( ) )5(**max **

1

, jjj

J

j

ijmiiii qcqpxpxv −++− ∑=

θω

Obtém-se:

)6(0 para igualdade com*,)(' >≤ iii xpxv

O problema de maximização do firma será resolvido a partir de:

( ) ( )( ) )7(0 para igualdade com'*

*max

>≤

−=

jj

jjj

qqcp

qcqpqπ

Portanto, as equações de equilíbrio podem ser reescritas:

∑∑ =

>≤

>≤

J

j

j

I

i

i

iii

jj

qx

xpxv

qcp

)'3(

)'2(0 para igualdade com*)('

)'1(0q para igualdade com)('* j

Portanto, uma vez tendo obtido a garantia de que (1’) e (2’) são atendidas, resta saber se (3’) será atendida. Algumas considerações sobre a agregação do lado direito da equação (1’) e do lado esquerdo da equação (2’) devem ser tecidas.

)(' ii xv

p

xi

)(' ii xv

)(' kk xv

xi xi xkxi+xk

Gráfico 1 – demanda individual Gráfico 2 – demanda agregada

Repare que pela característica de vi‘’(xi)<0, a curva de demanda individual será decrescente no gráfico 1. Deve-se também considerar que ele encosta no eixo e, portanto, é limitado e fechado, dado que vi(xi)=0. Assim, contanto que p seja suficiente baixo, haverá demanda. A demanda agregada, x(p), é definida como a soma horizontal das demandas individuais. Ela é contínua e não crescente em p>0.

)( px

p

qi

( )jj qc '

qi qiqk qj+qk

Também dadas as hipóteses afirmadas acima para a função custos, ela será crescente. A agregação será a partir da soma horizontal das curvas de custos.

Sabendo-se que (i) a curva de oferta agregada é crescente , (ii) a demanda agregada é decrescente, (iii) ambas são contínuas e (iv) o valor máximo do bem l para algum consumidor i é maior do que o custo marginal mínimo para alguma firma j, ou seja,

Gráfico 3 – oferta individual da firma Gráfico 4 – oferta agregada

max

)8()('min)('max jjii qcxv >

Haverá uma alocação de equilíbrio de mercado parcial.

( )jj qc '

( )kk qc ' q(p)

Definição 1: Uma alocação econômica (x1,..., xI, q1,..., qJ) é a especificação de um vetor de

consumo xi є Xi para todo consumidor i=1,...I e um vetor de produção yj єYj para cada

empresa j=1,...J. A alocação será factível se a soma das demandas individuais for menor ou

igual a soma das dotações iniciais com a produção para cada bem l=1,...L.

Definição 2: O equilíbrio de mercado em equilíbrio parcial será definido como uma alocação

(x1*,..., xI

*, q1*,..., qJ

*) e um vetor de preços p*=(p*,1) em que as condições (1’), (2’) e (3’) são

atendidas.

O caso tradicional, em que os pressupostos colocados são todos atendidos, é apresentado na figura 5. Não há caso em que, sendo (i) as demandas individuais sejam estritamente decrescentes, (i) as funções de custos individuais das empresas estritamente crescentes, (iii) ambas contínuas e (iv) válida a condição (8), não haja uma alocação de equilíbrio.

A figura 6 mostra a inexistência de equilíbrio com quantidades positivas quando a condição (8) é violada e a figura 7 mostra a possibilidade de inexistência de equilíbrio caso haja descontinuidade das funções de demanda ou oferta agregadas.

A figura 8 mostra a existência de equilíbrio caso haja retornos constantes, ou seja, caso os custos marginais sejam constantes. É relevante adicionar que, embora o equilíbrio esteja garantido pelas características presentes nas demandas individuais, a existência de retornos constantes não permite definir uma alocação de equilíbrio, já que o equilíbrio é compatível para diferentes níveis individuais de produção de cada empresa, ou seja, diferentes (q1,..., qJ), ainda que os mesmos (x1,..., xI), ou seja, todo consumidor consumirá exatamente a mesma quantidade do bem l em cada uma das alocações. Assim, ainda que haja equilíbrio, podemos falar de múltiplas alocações de equilíbrio.

q(p)

)( px

x*=q*

p*

Gráfico 5 – Equilíbrio de mercado Gráfico 6 – violação da condição 8

p

x,q

x,q

p

Gráfico 7 – ausência de continuidade

x*=q*

p*

Gráfico 8 – sem estrita convexidade, o caso de retornos constantes

Eficiência de um Mercado

Definição 3: A alocação (x1,..., xI,q1,..., qJ) será eficiente de Pareto se não há alocação alternativo (x1’,..., xI’,q1’,..., qJ’) tal que ui(xi’)≥ ui(xi) para todo i=1,...I e ui(xi’)> ui(xi) para pelo menos um i.

u1

u2

A figura 9 apresenta o conjunto de possibilidades de utilidade, para o conjunto de alocações factíveis que atendem aos requisitos da definição 1. Reparem que a alocação X, no interior da figura, apresenta os níveis de utilidade (u1,u2) para, respectivamente, os consumidores 1 e 2. Na figura podem ser encontradas alocações alternativas que aumentam os níveis de utilidade para ambos os agentes. A alocação Y, por exemplo, apresenta uma melhora para o agente 2, ainda que o agente 1 se mantenha no mesmo nível de utilidade. Diz-se que há uma melhora pareteana e a alocação X não é eficiente de Pareto. Já a alocação Z não permite uma melhora pareteana. Não há como melhorar ninguém, sem que o outro seja prejudicado. Z é uma alocação eficiente de Pareto.

X

u1

u2

Gráfico 9 – Conjunto de possibilidades de utilidade

Y

Z

u2'

u1*

u2*

Alocação eficiente de Pareto

A alocação ótima de Pareto é uma noção que está associada a um tipo de eficiência: a alocativa. Isso significa que, com o conhecimento das empresas associado a sua tecnologia, com as preferências dos consumidores tal como definidas, não há como se melhorar ninguém, sem piorar outro. Isso significa que a troca de posições levará à perda de bem-estar para pelo menos uma pessoa.

As funções de utilidade quase-lineares geram um conjunto de possibilidades de produção bastante específico. Sabe-se que a utilidade de cada agente é definida como:

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )**

1

, **,

,

jjj

J

j

ijmiiiiii

iiiii

qcqpxpxvmxu

mxvmxu

−++−=

+=

∑=

θω

Como consequência, o conjunto de possibilidades de utilidade será formado por:

( ) ( ) ( ) ( ) )9(,:,...,1

1

−+≤ ∑∑∑=

J

j

jjm

I

i

ii

I

i

iiiI qcxvmxuuu ω

Deve-se reparar, no entanto, que, não importa qual seja a distribuição do inicial do numerário ωm=Σi ωm i desde que as quantidades individuais de xi e qj não se alterem, o nível de utilidade total (ou seja a fronteira de possibilidades) não se altera. Portanto, a transferência de numerário entre um consumidor e outro implica em retirada de utilidade de um consumidor e concessão para outro consumidor. No entanto, variações nas unidades consumidas e produzidas implicam um deslocamento paralelo da fronteira de possibilidades de utilidade. Veja o caso de dois consumidores em que, a partir de (9):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )10(122112

221121

uqcxvxvu

qcxvxvuu

jjm

jjm

−−++=

⇒−++=+

∑

∑

ω

ω

u1

u2

-1

O gráfico 10 apresenta o conjunto de possibilidades de utilidade de equilíbrio parcial com o equivalente ao deslocamento paralelo de sua fronteira que pode ser determinado pelo aumento da dotação inicial total ou pelo aumento das quantidades produzidas ou consumidas do bem l.

Em uma alocação factível fora do equilíbrio, há a possibilidade de deslocamento da fronteira alterando o consumo do bem x uma vez que vi‘(xi)/p ≠ 1, que é a u[lidade marginal da renda. No caso da alocação de equilíbrio, sabe-se que para todo consumidor vi‘(xi)/p = 1. A única maneira de deslocar a fronteira é um aumento social da dotação inicial de numerário.

Gráfico 10 – Conjunto de possibilidades de utilidade para equilíbrio parcial.

Pode-se, alternativamente, pensar em solucionar o problema de maximizar a utilidade total descrita em (9), sujeita à condição de equilíbrio (3’)

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

)13(0

)12('0'

)11('0'

..

max

1

1,...,,...,

1

1

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑∑

∑ ∑

∑∑

=⇒≤−=∂

∂

≤⇒≤+−=∂

∂

≤⇒≤+=∂

∂

−−−+=

=

−+

=

=

jiji

jjjj

j

iiii

i

ji

J

j

jjm

I

i

ii

ji

J

j

jjm

I

i

ii

qqxx

qxqxL

qcqcq

L

xvxvx

L

qxqcxvL

qxts

qcxv

J

I

µ

µµ

µµ

µω

ω

As equações (11), (12) e (13) atingem as mesmas condições das equações (1’), (2’) e (3’), indicando que as condições de equilíbrio coincidem com o ótimo social. Reparem que isso acontecerá para qualquer distribuição das dotações iniciais.

A partir da comparação entre os resultados do máximo social e do equilíbrio de mercado, pode-se afirmar o primeiro teorema do bem estar para o equilíbrio parcial.

Proposição 1: (Primeiro Teorema do Bem-Estar) Se a alocação (x1*,..., xI

*, q1*,..., qJ

*) e um vetor de preços p*=(p*,1) constituem um equilíbrio competitivo, então, (x1

*,..., xI*, q1

*,..., qJ*) é uma

alocação pareteana.

Reparem que o estabelecimento social da fronteira coincide com o equilíbrio competitivo, indicando que ele está em uma fronteira pareteana. O primeiro teorema do bem estar indica que o sistema de trocas leva a um tipo de eficiência em que a alocação de recursos não pode ser melhorada por pelo menos um critério. De alguma maneira, é um retorno aos condicionantes de Adam Smith que afirma as qualidades da mão invisível. Nesse caso, a mão invisível leva ao bem comum entendido como uma posição em que ninguém possa ser melhorado, sem prejudicar pelo menos uma pessoa.

É importante ressaltar que o critério de eficiência de Pareto não tem nenhum julgamento sobre as características distributivas, ou seja, não se realiza nenhum julgamento sobre a qualidade das distintas posições pareteanas. Assim, uma alocação em que um indivíduo fica com todos os bens e outro com nenhum é uma alocação pareteana, uma vez que ninguém pode ser melhorado sem piorar o outro.

O segundo teorema do bem-estar também não apresenta esse tipo de julgamento, mas propões que, de acordo com o julgamento que se pretenda fazer, há um equilíbrio de mercado resultantes, desde que se façam as alocações iniciais corretamente.

Proposição 2: (Segundo Teorema do Bem-Estar): Para toda alocação ótima de Pareto, (u1*,...,uI*), há um sistema de transferência de numerário (T1,...,TI), satisfazendo a Σ Ti=0, tal que o equilíbrio competitivo alcançado a partir das dotações iniciais (ωm1+T1,..., ωmI+TI) alcança precisamente as utilidades (u1*,...,uI*).

Como se afirmou anteriormente, as transferências de dotação inicial não alteram a fronteira pareteana e, mais importante, não alteram as quantidades do bem x que cada consumidor irá consumir e que cada firma irá produzir. Assim, a única diferença que ocorrerá é a quantidade final de numerário que cada consumidor deterá. Logo, trata-se de um caminho sobre as diferentes posições na fronteira de possibilidades de utilidade. Isso significa que qualquer ponto dessa fronteira poderá ser atingido desde que transferências de dotação sejam feitas, o que confirma o segundo teorema do bem-estar.

Bem-Estar em Equilíbrio Parcial

q,x

p

q*=x*

p*

c

v

O

Uma importante consequência do equilíbrio de mercado será maximizar a utilidade social. Sabe-se, até o momento, que um equilíbrio parcial de mercado, como o expresso pelo gráfico 11, é ótimo de Pareto, porque maximiza uma função de bem-estar social. Sabe-se que a figura 11 também expressa a soma horizontal das curvas de demanda a partir de x(p) e que o ponto v expressa o preço de reserva para um consumidor i. Dessa maneira, o bem-estar gerado pela primeira unidade de consumo será (v-p), visto que, caso não tivesse consumido a primeira unidade, esse consumidor cujo preço de reserva é v teria ficado com a quantidade de numerário que pagou para obter a primeira unidade do bem, ou seja, p. A partir da primeira unidade, as unidades adicionais de consumo representadas pela demanda agregada x(p) podem ser fruto da expansão intensiva (quando do próprio consumidor) ou extensiva (quando representada pela entrada de novos consumidores). Todas atenderão, no entanto, à característica de comparação entre o valor do numerário e o preço de reserva do consumidor individual que está aumentando seu consumo. Pode-se então artumentar que o triângulo vOp* representa to total de benefício excedente gerado ao consumidor.

Gráfico 11 – equilíbrio de mercado

x(p)

Reparem que, no caso do equilíbrio parcial, o excedente e a escolha independem da distribuição de renda.

O excedente do consumidor é representado na equação (14):

( ) )14()(.

)(.)(

pxpxvEC

pxpdppxEC

i

I

i

i

v

p

−=

=−=

∑

∫

q(p)

No entanto, o excedente do consumidor não é o único benefício gerado nesse mercado. Deve-se perceber que os consumidores detinham uma determinada quantidade de renda, Σωmi , antes de ingressar no mercado e que parte de sua renda também foi gerada a partir da produção de bem l para ser vendido no mercado. Assim, os consumidores que são especializados na produção do bem l, ou seja, cuja demanda é menor do que a oferta do bem l, puderam incrementar suas rendas a partir da produção desses bens. Esses consumidores ganharam numerário representado pelo somatório dos lucros das empresas j.

Sabe-se que a curva de oferta agregada é o somatório horizontal das curvas de custos marginais e que a integral dessas curvas representa o total de custos variáveis. Logo, o excedente do produtor gerado será representado pela receita p.q(p) subtraída dos custos variáveis, ou seja, pelo triângulo cOp* ou pela equação (14):

( ) )15(. j

J

j

j qcqpEP ∑−=

Somando-se (13 e (14), obtém-se o bem-estar social W:

( ) ( ) )16(j

J

j

ji

I

i

i qcxvEPECW ∑∑ −=+=

A análise do equilíbrio parcial deixa claro o efeito de mudanças na quantidade de transações sobre o bem estar social. Reexaminemos a equação (10) que estabelece o limite do conjunto de possibilidades de utilidade para dois consumidores. Ela guarda a mesma relação estabelecida no gráfico 13 e na equação (16), tornando o bem-estar global uma função inversa dos custos e direta do somatório dos níveis de utilidade individuais.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) )17(

122112

m

j

jji

i

i

i

i

j

jjm

qcxvu

uqcxvxvu

ω

ω

+−=

⇒−−++=

∑∑∑

∑

Como a dotação inicial é fixa, mudanças em (16) e (17) serão fruto somente da variação das unidades produzidas e serão exatamente iguais. A partir de (16), temos:

( ) ( )

( )

( ) )19('*

como e

)18()('

:empresas as todasa comum é (q)c' e 'p como

''

dxcpdW

dqdx

dqqcdxpdW

xv

dqqcdxxvdW

j

j

i

i

j

j

i

i

ii

jj

j

jii

i

i

−=

=

−=

=

⇒−=

∑∑

∑∑

∑∑

x(p)

q(p)

q,x

dS

A variação da equação (19) é apresentada no gráfico 14 que apresenta a variação do excedente marshalliano para o caso de equilíbrio parcial. Logo, a partir de (19), o excedente total pode ser definido pela equação (20) , em que S0=ωmi. (ver gráfico 15)

Gráfico 14 – Variação do Excedente Marshalliano

( ) ( ) ( )( ) )20('0

0 dxscspSxWx

∫ −+=

x(p)

q(p)

q,xq=x

( ) ( )( )dxscspx

∫ −0

'

Gráfico 15 – Excedente total.

Pelo gráfico 15, percebe-se que a posição de equilíbrio, q*=x*, é aquela que gera o maior excedente possível. Qualquer quantidade acima ou abaixo reduzirá o excedente total.

q*=x*

Uma política frequente é o uso de impostos sobre os produtos ou o valor da transação. Os impostos sobre o valor da transação são conhecidos como impostos ad valorem (equação 21), enquanto os impostos sobre a quantidade transacionada são conhecidos como impostos sobre quantidade (equação 22). Um imposto sobre o valor é o ICMS, enquanto um imposto sobre a quantidade são as taxas que incorrem no momento de alguma viagem. Esses impostos criam um diferencial entre a quantia paga pelo consumidor e a quantia recebida pelo produtor.

q,x

)22()(')(

)21()(')(

tqctp

tqctp

+=

=

A aplicação de impostos gera distorções sobre a quantidade transacionada. Isso pode ser observado no gráfico 16, em que existe um imposto sobre a quantidade. Percebe-se que o excedente do consumidor é reduzido para o triângulo acima de p(t) e o excedente do produtor, ao triângulo abaixo de c’. O retângulo branco é definido como a quantia que vai para o governo e o triângulo vermelho como a perda global ou o peso morto da carga tributária. Esse excedente não vai para ninguém, simplesmente desaparece porque se reduz a quantidade comercializada.

v

p(t)

c'

Perda global

Gráfico 16 – Variação do Excedente Marshalliano em caso de aplicação de imposto sobre quantidade

O segundo teorema do bem estar afirmou que para qualquer ponto na fronteira de possibilidades de utilidade (gráfico 17), ou seja, qualquer alocação ótima de Pareto pode ser alcançada como equilíbrio de um mercado competitivo a partir de uma redistribuição da dotação inicial que, no caso do equilíbrio parcial é representada pelos ωmi. Assim, tanto a alocação W, quanto a alocação W’, podem ser alcançados redistribuindo a quantidade inicial de numerário entre os consumidores.

O exame da aplicação de impostos sobre as transações parece resultar em algo diferente, ou seja, no deslocamento da fronteira de possibilidades de utilidade. Uma conclusão normativa da teoria é, portanto, que redistribuição do excedente parece ser mais eficiente sob o ponto de vista pareteano do que a imposição de taxas sobre os produtos ou valores transacionados.

u1

u2

W

W’

Deslocamento da fronteira de possibilidades de utilidade fruto da imposição de taxas

Gráfico 17 – efeitos dos impostos

Efeito de uma redistribuição das dotações

Livre Entrada e Equilíbrio de Longo Prazo em Equilíbrio

Parcial

Até o momento, considerou-se o número de firmas, e suas respectivas tecnologias, como dadas. Pode-se pensar, agora, em uma situação em que qualquer empresa poderá entrar ou sair da indústria e que todas elas terão acesso à melhor tecnologia possível. Trata-se da hipótese de livre

entrada.

Definição 4 (equilíbrio de longo prazo): Dada uma função de demanda agregada x(p) e uma função custos comum a todas as empresas c(q), sendo c(0)=0, um triplo (p*,q*,J*) é o equilíbrio se:

entrada) livre de (condição 0*)(**)(

oferta)(demanda ***)()(

lucros) de omaximizaçã()(*max soluciona*)(0q

=−

==

−≥

qcqpiii

qJpxii

qcqpqi

O preço de equilíbrio de longo prazo deve igualar a demanda com a oferta de longo prazo, em que a oferta de longo prazo toma em consideração as condições de entrada e saída. Se as firmas – todas com o melhor conhecimento sobre c(q) – obtêm lucro positivo, então, irão aumentar sua produção. Se as firmas obtiverem lucro 0, permanecerão com sua produção no exato nível em que seus custos igualam ao preço.

No caso de retornos crescentes, o crescimento da produção será indefinido até atingirem individualmente a demanda de mercado. Nesse caso, estaríamos caminhando para a situação de monopólio que não está em estudo.

Suponha a situação de retornos constantes. Para preços superiores a c, na figura 11, a oferta da firma individual será infinita. Para preços inferiores a c, sua oferta será igual a 0 (condição (i) da definição 4). Para preços iguais a c, o consumo será maior do que 0 e, portanto, a condição (ii) da definição 4 requer que q*>0. No entanto, J* e q* são indeterminados, dado que, para qualquer nível de produção, haverá vários J e q que atendem as condições (i) e (ii). Assim, pelas condições (i) e (ii) haverá equilíbrio de mercado (figura 12), mas esse equilíbrio não terá número de empresas definido.

c

x,q

p

Figura 11 – Correspondência de Oferta da Empresa, retornos constantes

x(p)

p=c Q(p)

Figura 12 – Demanda de mercado e equilíbrio de longo prazo, retornos constantes

Voltemo-nos para o caso de retornos decrescentes de escala, conforme a figura 13. Ao preço p, a firma ofertará uma quantidade q. Isso atrairá, no entanto, a entrada de novas firmas, ou seja, havendo oportunidade para lucro a produção da indústria tende a infinito. Logo, o preço cairá até que não haja oportunidade para lucro até que o preço chegue a c(0), em que a produção será igual a 0. Isso significa que o equilíbrio ocorrerá quando Q(p)=0.

q(p)

x,q

p

q

c(0)

Figura 13 – Correspondência de Oferta da Empresa, retornos decrescentes

≤

>∞=

)0('0

)0(')(

cpse

cpsepQ

x,q

x(p)

Figura 14 – Demanda de mercado e equilíbrio de longo prazo, retornos decrescentes

Para a ocorrência de equilíbrio, é necessário que haja um nível de produção estritamente positivo em que o custo seja mínimo, ou seja, que haja uma escala mínima ótima estritamente positiva. Isso significa a ocorrência, em determinado trecho, de retornos crescentes de escala que serão superados, a partir de determinado momento, por retornos decrescentes de escala. Na figura 14, para preços superiores a cmin, o lucro será positivo, levando a curva de oferta da indústria a ser infinita. Para preços inferiores a cmin, não se atende o requisito (i) da definição e a opção é produzir 0. Para preços iguais a cmin, a produção será q.

x,q

pq(p)=c’(q)

cmin

Figura 15 – Curva de Oferta da Empresa, com escala mínima ótima estritamente positiva

x,q

J

cmin Q(p)

Figura 16 – Correspondência de Oferta da Indústria, com escala mínima ótima estritamente positiva

Apêndices

Apêndice 1 – Conjuntos de possibilidades de produção

y1

y2

Reparem no gráfico 1a, a área pintada representa o conjunto de produção. Nele, o bem 1 aparece liquidamente como insumo, assumindo valores negativos, enquanto o bem 2 aparece como produto, assumindo valores positivos. O limite da figura pertence ao conjunto de produção e pode ser conhecido como conjunto de produção. A figura 1b estabelece a mesma relação, agora, já tratando o insumo 1 com valores positivos. A tangente à fronteira de produção é conhecida como produto marginal do bem 1 para a produção do bem 2, ou seja, a taxa em que você transforma unidades do insumo em produto.

A figura 1c mostra a relação entre dois insumos de produção. O limite do conjunto é uma curva de nível que denota o conjunto de combinações de 1 e 2 para a produção de uma quantidade fixa de um terceiro bem. A esta curva denominados isoquanta e sua inclinação de taxa marginal de substituição técnica, ou seja a taxa em que se substitui um insumo por outro, mantendo a produção constante. Figura 1a – Relação entre

insumo e produto

Figura 1b – Relação entre insumo e produto.

y1

y1

Figura 1c – Relação entre dois insumos, mantendo produção constante

y2

y2y3

y2

y1

A figura 1d mostra a relação entre dois produtos e é denominado de conjunto de possibilidades de produção. A inclinação da fronteira é denominada taxa marginal de transformação. Ela mostra o quanto você deve abrir mão da produção do bem 1 para produzir uma unidade adicional do bem 2.

Produto marginal

Produto marginal

Tx. Marginal de subst. técnica

Taxa marginal de transformação.

Figura 1d – Relação entre dois produtos, mantendo a quantidade de insumos constante

Apêndice 2

Famílias e Firmas

O objetivo dos modelos de mercado competitivo é mimetizar, em um nível de abstração elevado, o funcionamento de uma economia de mercado, baseada na divisão do trabalho. Uma economia com divisão do trabalho atenderá a duas características: especialização e descentralização.

A especialização requer que o consumidor, ou, em termos gerais, as famílias produzam mais do que para auto-consumo, ou seja, que a produção de determinados bens gere um excedente a ser colocado à venda no mercado. Esse excedente é o objeto de averiguação da teoria da firma. Logo, a firma nada mais é do que a unidade familiar especializada.

A descentralização é obtida quando o consumo familiar não é atendido somente pelo auto-consumo. Nesse sentido, a renda gerada pela venda dos produtos da firma deve ser utilizada para a compra de outros produtos. A condição 2 expressa justamente essa possibilidade, pois torna a renda do consumidor (da família) uma função de sua ação como produtora. Logo, a renda familiar é uma função dos preços, como também expresso pelo vetor de preços incluído na condição 2.

Na verdade, é interessante observar como, no geral, pode-se formular uma trajetória na direção da maior divisão do trabalho, na medida em que a ação das famílias se torna, cada vez mais, especializada, e elas se tornam, cada vez mais, dependentes de produção realizada por outros. Assim, no século XVIII era comum que grande parte dos alimentos utilizados na cozinha fosse produzido na unidade familiar, enquanto hoje isso é cada vez mais raro. Da mesma maneira, parte da vestimenta era produzida nas residências pelas mães, enquanto agora, quase a totalidade é comprada externamente.

Nesse sentido, a participação da mulher no mercado de trabalho é mais um passo desse caminho. Ao participar do mercado de trabalho a mulher reduz sua produção para auto-consumo familiar e incrementa a especialização da unidade familiar que passa a direcionar não só o resultado do trabalho masculino, mas também do trabalho feminino ao mercado.

Não deixa de ser intrigante, nesse caso, o fato de a produção para auto-consumo não ser contabilizada na soma das riquezas produtivas, pelas contas nacionais. Será isso expressão da trajetória da teoria econômica?