ANÁLISE NUMÉRICA DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS EM LAJES …web.set.eesc.usp.br/static/data/producao/2003ME_RicardoHenrique... · Ricardo Henrique Dias ANÁLISE NUMÉRICA DE PAVIMENTOS

Ricardo Henrique Dias

ANLISE NUMRICA DE PAVIMENTOS DE EDIFCIOS EM LAJES NERVURADAS

Dissertao apresentada Escola de Engenharia de So Carlos da Universidade de So Paulo, como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas.

Orientador: Prof. Associado Joo Batista de Paiva

So Carlos

2003

Este trabalho dedico minha me, Elza,

exemplo de luta e perseverana.

AGRADECIMENTOS

Agradeo ao professor orientador Joo Batista de Paiva, pela amizade e compreenso; pelos

valiosos esclarecimentos, e pelo direcionamento indispensvel ao desenvolvimento do

trabalho.

Ao professor Jos Samuel Giongo, pelas trocas de idias, correes e sugestes, e pela

amizade.

Ao CNPq, pela bolsa de estudo nos anos iniciais do mestrado.

Aos amigos da ps-graduao: Clayton de Castro, Humberto Correia Lima, Fernando

Menezes Filho, Ricardo Carrazedo, Andrei Merlin, Gustavo Tristo, Andr Branco e em

especial ao Rodrigo Delalibera, pelo apoio dado durante o desenvolvimento deste trabalho.

Aos funcionrios do Departamento de Engenharia de Estruturas, em especial Rosi

Rodrigues e Maria Nadir Minatel.

Aos meus pais Jos e Elza, irmos Alessandra e Rodrigo, e minha querida Ligia, pela

compreenso nesses anos, e pelos incentivos nos momentos difceis. Aos meus tios Jlio e

Lurdes, e a minha av Augusta, pelo apoio durante o curso de graduao.

Aos Engenheiros e Professores Antonio Carlos Peralta, Jorge Silka Pereira e Rogrio Gomes

de Carvalho, pelas oportunidades e contribuies dadas ao meu desenvolvimento

profissional, que tambm se refletiram neste trabalho.

A todos que de alguma maneira contriburam para que este trabalho fosse desenvolvido.

E a Deus, acima de tudo, minha gratido infinita.

RESUMO

DIAS, R. H. (2003). Anlise numrica de pavimentos de edifcios em lajes nervuradas.

Dissertao (Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo,

So Carlos, 2003.

Este trabalho verifica, por meio de anlises numrico-paramtricas de lajes nervuradas, o

quanto a desconsiderao (ou a considerao de maneira simplificada) da excentricidade

existente entre os eixos das nervuras e o plano mdio da capa influencia nos resultados de

deslocamentos e esforos atuantes nas peas que compem estes sistemas. Foram

apresentados os conceitos tericos relativos cada modelo de clculo permitido pelas

normas tcnicas, e foram realizadas anlises considerando variaes nos seguintes

parmetros: relao entre a altura da capa e a altura total da laje nervurada; relao entre a

distncia entre os eixos das nervuras e a distncia entre os pontos de apoio, e espaamento

entre os eixos das nervuras. Os diferentes modelos mecnicos foram analisados utilizando o

Mtodo dos Elementos Finitos, por meio do programa computacional ANSYS 5.5,

considerando-se um comportamento elstico-linear para o material concreto armado. Foram

relacionados aspectos importantes a serem observados na escolha do modelo adequado, de

acordo com os parmetros analisados, para serem aplicados nos escritrios de clculo.

Verificou-se a necessidade da considerao da excentricidade, seja por modelo realista, ou

por modelos simplificados, para a obteno de resultados numricos mais prximos do

comportamento da estrutura real.

Palavraschave: lajes nervuradas elsticas; enrijecedores excntricos; Mtodo dos Elementos

Finitos; Concreto Armado - estruturas.

ABSTRACT

DIAS, R. H. (2003). Numerical analysis of building floors in ribbed slabs. Dissertao

(Mestrado) Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo, So Carlos,

2003.

This work verifies, through parametric-numerical analysis of slabs stiffened with ribs, how

much the disregard (or regard in a simplified way) of the existent eccentricity between the

axis of the ribs and the medium plan of the plate influences on the results of displacements

and acting efforts over the parts wich make the system. The theorical concepts related to

each model of calculation allowed through technical codes have been presented, and,

analysis have been made considering variations in the following parameters: relation

between plate height and total height of the waffle slab; relation of distance between the axis

of the ribs and the distance between the supporting points, and the gap between the axis of

the ribs. Different mechanical models have been analysed using the Finite Element Analysis,

through the computer program ANSYS 5.5, considering an elastic-linear behaviour for the

reinforced concrete material. Important aspects have been disclosed and should be carefully

looked into for an adequate model choice, according to the analysed parameters to be applied

in the design's offices. The need for eccentricity consideration has been verified, be it by

using a realistic model or by simplified models, for close numerical results gathering of the

real structural behaviour.

Keywords: Stiffened elastic slabs; eccentric stiffeners; Finite Element Analysis; Reinforced

concrete - structures.

SUMRIO

RESUMO 07

ABSTRACT 09

CAPTULO 1 - APRESENTAO DO TRABALHO 15

1.1 INTRODUO AO CAPTULO 1 15

1.2 OBJETIVOS 18

1.3 TCNICAS E MTODOS EMPREGADOS 19

1.4 SNTESE DOS CAPTULOS 20

CAPTULO 2 A ANLISE DE LAJES NERVURADAS UTILIZANDO PROCESSOS SIMPLIFICADOS 21 2.1 INTRODUO AO CAPTULO 2 21

2.2 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS CONVENCIONAIS E SEM

VIGAS POR ANALOGIA DE PLACA 22

2.2.1 A Teoria Clssica das Placas Delgadas Istropas e Orttropas 26

2.2.2 O conceito de espessura equivalente 29

2.2.2.1 Definio da largura colaborante da seo "T" 31

2.2.3 Os parmetros elsticos do concreto armado na Teoria da Placa Orttropa

Equivalente 36

2.2.4 Simulao dos pilares nos Modelos de Teoria da Placa Orttropa Equivalente 41

2.2.5 Processos e Mtodos de clculo aplicando a Teoria de Placa Orttropa Equivalente 42

2.3 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS CONVENCIONAIS E SEM

VIGAS POR ANALOGIA DE GRELHA 43

2.3.1 O funcionamento estrutural das grelhas 45

2.3.2 O processo de Analogia de Grelha aplicado s lajes nervuradas 45

2.3.2.1 As propriedades geomtricas das barras da grelha 46

2.3.2.2 Os parmetros elsticos do concreto na Analogia de Grelha 47

2.3.2.3 Carregamento da grelha 49

2.3.2.4 Considerao da vinculao dos pilares nos modelos de Analogia de Grelha 50

2.3.3 Processos e mtodos de anlise de grelhas 52

2.4 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS SEM VIGAS POR MTODOS

ELSTICOS DE PRTICOS VIRTUAIS 53

2.4.1 O Mtodo dos Prticos Mltiplos para o clculo dos esforos 58

2.4.1.1 Caractersticas geomtricas dos elementos do Prtico Mltiplo 59

2.4.1.2 Os parmetros elsticos do concreto armado no Processo de Prticos Mltiplos 60

2.4.1.3 Combinaes de tramos carregados e descarregados 60

2.4.1.4 Determinao dos esforos nos Prticos Mltiplos 61

2.4.1.5 Distribuio dos esforos calculados segundo o Mtodo de Prticos Mltiplos do

projeto de reviso da NBR6118/2000 62

2.4.2 O Mtodo dos Prticos Equivalentes para o clculo dos esforos 62

2.4.2.1 O pilar equivalente 66

2.4.2.2 A rigidez da laje nervurada no modelo de Prticos Equivalentes 69

2.4.2.3 Combinaes de tramos carregados e descarregados 73

2.4.2.4 Os parmetros elsticos do concreto armado no Mtodo dos Prticos Equivalentes 75

2.4.2.5 Determinao dos esforos nos Prticos Equivalentes 75

2.4.2.6 Distribuio dos momentos fletores entre as faixas de laje 77

2.4.3 O Mtodo dos Prticos Virtuais para o clculo dos deslocamentos elsticos 78

CAPTULO 3 - A ANLISE DE LAJES NERVURADAS CONSIDERANDO A EXCENTRICIDADE NERVURAS-CAPA DE FORMA MAIS REALISTA 85 3.1 INTRODUO AO CAPTULO 3 85

3.2 REVISO BIBLIOGRFICA 86

3.3 A CONSIDERAO DA EXCENTRICIDADE DE FORMA MAIS REALISTA NESTE TRABALHO 97

CAPTULO 4 - OS MODELOS MECNICOS EM MEF APLICADOS ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS 101 4.1 INTRODUO AO CAPTULO 4 101 4.2 OS ELEMENTOS FINITOS UTILIZADOS NAS ANLISES NUMRICAS 103 4.3 OS MODELOS MECNICOS APLICADOS NESTE TRABALHO 111 4.4 VERIFICAO DA VALIDADE DOS MODELOS EM MEF APLICADOS NESTE TRABALHO 121 4.5 COMENTRIOS SOBRE OS RESULTADOS DAS MODELAGENS DOS EXEMPLOS DA BIBLIOGRAFIA 189

CAPTULO 5 - EXPERIMENTAO NUMRICO-PARAMTRICA DE LAJES NERVURADAS 191 5.1 INTRODUO AO CAPTULO 5 191 5.2 DESCRIO DAS EXPERIMENTAES NUMRICO-PARAMTRICAS 192

5.2.1 Variao da relao altura total da capa (hf) pela altura total da laje (h), mantendo os

outros fatores de anlise fixos 192

5.2.2 Variao da relao espaamento entre os eixos das nervuras (a1) pela distncia entre

os apoios (l), mantendo os outros fatores de anlise fixos 199

5.2.3 Variao do espaamento entre os eixos das nervuras, com distncia entre os pontos de

apoio ajustada a um nmero fixo de nervuras por lado 216

5.3 RESULTADOS DAS EXPERIMENTAES 221

5.3.1Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao da relao hf/h 226

5.3.2 Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao da relao a1/l 293

5.3.3 Resultados apresentados nas modelagens das lajes com variao do espaamento entre os eixos das nervuras 377

CAPTULO 6 - CONSIDERAES FINAIS E CONCLUSES 439

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 449

CAPTULO 1 APRESENTAO DO TRABALHO

1.1 INTRODUO AO CAPTULO 1

A anlise estrutural de pavimentos de edifcios por meio de mtodos

numricos constitui-se, atualmente, em rotina nos escritrios de projeto. O clculo e

detalhamento com o auxlio de softwares praticamente imprescindvel, devido

principalmente ao ritmo imposto pelos contratantes do projeto estrutural e a necessidade de

avaliar as diversas possibilidades de sistemas procurando, dessa forma, a de melhor

viabilidade econmica.

Ao tratar-se de pavimentos de edifcios, estudos j foram feitos buscando

identificar a soluo estrutural que gere maior economia global.

Nos edifcios de vrios pisos as lajes so responsveis por elevada parcela do

consumo de concreto. Utilizando-se lajes macias nos pavimentos esta parcela chega

usualmente a quase dois teros do volume total da estrutura. Assim, mostraram a necessidade

do estudo dos critrios de escolha dos tipos de lajes a serem empregados nos edifcios de

vrios pisos tendo em vista a obteno de solues tcnicas e economicamente otimizadas.

BOCCHI JNIOR (1995) indicou que essa necessidade de racionalizao na

construo civil com a minimizao dos custos e prazos vem fazendo das lajes nervuradas

uma opo cada vez mais difundida.

Em uma anlise de custos ALBUQUERQUE (1998) mostrou que um

pavimento em laje nervurada convencional (juntamente com vigas) utilizando caixotes de

polipropileno foi o mais econmico dentre as diversas alternativas estudadas, apresentando

uma reduo de 15,15% no custo total da estrutura.

Anlise Numrica de Pavimentos de Edifcios em Lajes Nervuradas

16

A empresa ATEX do Brasil, produtora de caixotes de polipropileno, fez um

estudo comparativo de consumo de materiais atravs da anlise de cinco lajes simplesmente

apoiadas, nervuradas e macias de espessura equivalente em inrcia flexo, utilizando

como processo de clculo a Teoria de Placa para ambos os sistemas, atravs de tabelas.

Concluiu que, em mdia, a utilizao das lajes nervuradas como soluo resulta em uma

economia de 28,8% no consumo de concreto e 38,4% no consumo de ao, em comparao

com a laje macia.

Alm do critrio economia, outros que pesam na escolha das lajes

nervuradas como soluo estrutural para pisos de pavimentos so a liberdade arquitetnica

(j que permitem grandes vos) e a simplificao na execuo da obra, em termos de formas

e escoramentos, quando aplicado em sistemas sem vigas, de acordo com a Figura 1.1, onde

v-se a simplificao na execuo de formas.

FIGURA 1.1: Simplificao na execuo de formas com o uso de lajes nervuradas

As lajes nervuradas tiveram origem em 1854, conforme LIMA et al. [200?],

quando um fabricante ingls de gesso e cimento chamado William Boutland Wilkinson

obteve a patente, na Inglaterra, de um sistema que j demonstrava o domnio dos princpios

bsicos de funcionamento do concreto armado ao dispor barras de ao nas regies

tracionadas das vigas. Wilkinson percebeu que a rigidez da laje podia ser aumentada por

meio da insero de vazios utilizando-se moldes de gesso regularmente espaados e


17

separados por nervuras, aonde barras de ao eram colocados na sua poro inferior no meio

do vo e subiam para a parte superior da viga nas proximidades dos apoios. A laje possua

um vo de aproximadamente 4 m em cada direo e uma malha de barras de ao era

colocada na parte inferior da camada de concreto de 4 cm de espessura que cobria as

nervuras, conforme a Figura 1.2. interessante verificar que Joseph Monier (1823-1906)

considerado inventor do concreto armado, a partir de sua patente obtida em 1867, mas

certo que j em 1850 vrias pessoas, em diferentes partes do mundo, construam peas em

concreto armado, inclusive o prprio Monier.

FIGURA 1.2: Laje nervurada patenteada por Wilkinson, na Inglaterra, em 1854

[LIMA et al. [200?]]

O sistema nervurado, conforme citado em FRANCA & FUSCO (1997),

uma evoluo natural das lajes macias, pois resultam da eliminao da maior parte do

concreto abaixo da linha neutra, o que permite o aumento econmico da espessura total das

lajes pela criao de vazios em um padro rtmico de arranjo ou com a utilizao de material

inerte, que no colabora com a resistncia da laje. Com isso tem-se um alvio do peso

prprio da estrutura e um aproveitamento mais eficiente dos materiais, ao e concreto, j que


18

a mesa de concreto resiste aos esforos de compresso e a armadura os de trao, sendo que

a nervura de concreto faz a ligao mesa-alma.

Segundo o projeto de reviso da Norma Brasileira Registrada NBR

6118/2000 - Projeto de Estruturas de Concreto, lajes nervuradas so as moldadas no local

ou com nervuras pr-moldadas, cuja zona de trao constituda por nervuras entre as quais

pode ser colocado material inerte. Neste trabalho sero tratadas apenas as lajes nervuradas

moldadas no local, em concreto armado.

Usualmente, para as lajes nervuradas, tm-se painis apoiados em vigas mais

rgidas que as nervuras, num sistema chamado de convencional. Contudo, podem tambm

serem utilizadas nos pisos de lajes sem vigas.

Pelo uso cada vez mais crescente destes sistemas de lajes nervuradas,

convencionais ou sem vigas, v-se a necessidade de um claro entendimento das diversas

possibilidades de anlise estrutural, comparando os processos simplificados com os mais

especializados em busca de resultados mais prximos da realidade.

Assim, com a alta capacidade de processamento atualmente disponvel pelos

computadores comea a ser vivel a considerao de fatores usualmente negligenciados nas

anlises, buscando os resultados mais prximos possveis do comportamento real dessas

estruturas.

Um dos fatores usualmente desconsiderados nas anlises numricas, ou

considerados de forma simplificada, nos escritrios de clculo estrutural, a excentricidade

existente entre os eixos das nervuras e o plano mdio da placa. O problema desta interao

placa-viga, que j aparece nos pavimentos convencionais de concreto armado (sistemas laje

macia apoiadas em vigas) ainda mais importante nos sistemas de lajes nervuradas devido

ao grande nmero de nervuras que participam na rigidez global da estrutura e que, dessa

forma, no devem ter sua contribuio subestimada pela desconsiderao das

excentricidades.

1.2 OBJETIVOS

Visando contribuir para o aprimoramento da anlise estrutural de lajes

nervuradas este trabalho tem como objetivos principais:

- apresentar uma reviso bibliogrfica relativa a cada soluo estrutural

aproximada permitida anlise de lajes nervuradas convencionais e sem vigas pelas normas


19

tcnicas, descrevendo as caractersticas fundamentais dos processos, bem como as vantagens

e desvantagens frente a solues mais realistas;

- apresentar um estudo numrico amplo sobre a interao placa-viga no

clculo estrutural de lajes nervuradas, aplicando o Mtodo dos Elementos Finitos,

considerando como fator principal de anlise a excentricidade existente entre o eixo da

nervura e o plano mdio da placa e sua influncia nos deslocamentos e esforos. O estudo

numrico avaliar principalmente a influncia das variveis nmero de nervuras por lado,

espaamento entre as nervuras e altura das nervuras em relao altura da placa;

- apresentar uma comparao entre os resultados de esforos e

deslocamentos apresentados pelas teorias de clculo simplificadas (Teoria da Placa

Orttropa Equivalente e Teoria de Grelha) e modelos mais realistas (com elementos finitos

que consideram a excentricidade na formulao), buscando determinar o quanto as

simplificaes influenciam na anlise estrutural das lajes nervuradas.

1.3 TCNICAS E MTODOS EMPREGADOS

Os modelos de clculo adotados anlise de lajes nervuradas sero aplicados

a exemplos numricos de lajes enrijecidas por nervuras e resolvidos por meio do Mtodo dos

Elementos Finitos, utilizando-se o software ANSYS 5.5.

O Mtodo dos Elementos Finitos, ou MEF, constitui-se no mtodo numrico

mais utilizado na anlise estrutural, visto que capaz de ser aplicado aos diversos tipos de

estruturas, apresentando resultados bastante satisfatrios. Alm disso, o uso de um software

comercial na anlise ressalta a condio de que os resultados obtidos neste trabalho podem

ser obtidos tambm pelos projetistas de estruturas, j que existem no mercado diversos

programas computacionais comerciais que disponibilizam a opo da considerao da

excentricidade da viga em relao placa, objetivo primordial deste trabalho.

Os elementos finitos utilizados sero elementos de viga bidimensional,

elementos de viga tridimensional aplicados de forma concntrica e excntrica em relao ao

plano das placas e finalmente elementos de casca tridimensional.

Em todos os modelos aplicados neste trabalho so vlidas as seguintes

condies:

- os materiais das lajes nervuradas so elsticos, homogneos e istropos;

- as deformaes transversais por cisalhamento so negligenciadas;


20

- a anlise de primeira ordem geomtrica, ou seja, desconsideram-se

grandes deslocamentos;

- todos os carregamentos so aplicados ortogonalmente ao plano mdio da

placa;

- os enrijecedores so prismticos e tm pelo menos uma simetria de seo

transversal.

1.4 SNTESE DOS CAPTULOS

Este trabalho foi dividido em seis captulos conforme comentrios:

Neste Captulo 1 apresenta-se uma introduo ao tema por meio de uma

viso geral dos assuntos tratados neste trabalho, os motivos de interesse, os objetivos a serem

atingidos e os mtodos e tcnicas empregados.

No Captulo 2 procuram-se detalhar os mtodos simplificados de anlise de

lajes nervuradas permitidas pelas normas, descrevendo as caractersticas essenciais dos

processos e mtodos, bem como as vantagens e desvantagens frente a solues mais

realistas.

No Captulo 3 apresentam-se as formas de considerao da excentricidade

nos modelos em Mtodo dos Elementos Finitos aplicados neste trabalho, descrevendo-se

tambm experimentaes numricas anteriores encontradas na reviso bibliogrfica que

apresentam resultados comparativos entre modelos simplificados e modelos realistas.

No Captulo 4 descrevem-se as caractersticas dos modelos mecnicos em

Mtodo dos Elementos Finitos adotados anlise das lajes nervuradas deste trabalho. So

apresentadas as caractersticas dos elementos finitos utilizados e procede-se a uma

verificao da validade dos modelos atravs da aplicao dos mesmos exemplos

anteriormente resolvidos em diversos artigos encontrados na bibliografia.

No Captulo 5 apresenta-se a experimentao numrica visando avaliar a

influncia das variveis nmero de nervuras por lado, espaamento entre as nervuras e altura

das nervuras em relao altura da placa nos resultados de deslocamentos e esforos,

aplicando-se os modelos adotados neste trabalho. Os resultados so comparados e os erros

avaliados.

No Captulo 6 discutem-se as concluses e consideraes finais. Alm disso,

faz-se sugestes para a continuao do trabalho e aprofundamento dos tpicos de anlise

envolvidos.

CAPTULO 2 A ANLISE DE LAJES NERVURADAS

UTILIZANDO PROCESSOS SIMPLIFICADOS

2.1 INTRODUO AO CAPTULO 2

A anlise estrutural de lajes nervuradas por processos simplificados , at os

dias de hoje, muito difundida nos escritrios de clculo. Os modelos adotados podem ser

resolvidos atravs de softwares facilmente disponveis: anlise de grelha, anlise de prtico

plano e tabelas de clculo de lajes macias.

Contudo, o comportamento desta estrutura no bem definido quando da

considerao das simplificaes.

Como mostrado em BOCCHI JNIOR (1995) as lajes nervuradas

apresentam um comportamento elstico intermedirio entre placa e grelha. Assim, as normas

tcnicas permitem que, alm do clculo dos esforos solicitantes e deslocamentos segundo a

teoria das placas, pode-se faz-lo segundo a teoria das grelhas. Contudo o autor indica, em

um estudo comparativo entre os resultados obtidos para esforos solicitantes e

deslocamentos empregando-se a teoria das placas, por meio de tabelas [PINHEIRO (1993)],

e teoria das grelhas, por meio do programa GPLAN3 [CORRA & RAMALHO (1987)], que

nem sempre os valores obtidos pelos dois processos so compatveis. Para uma laje quadrada

de 6,48 m de lado, com distncia entre nervuras a < 50 cm, obteve discrepncias entre os

valores de momentos fletores da nervura de at 18% entre os dois processos.

A anlise estrutural das lajes nervuradas por processos simplificados, a fim

de obter-se tanto os deslocamentos quanto os esforos solicitantes, pode ser realizada por

meio de modelagem destas como estruturas bidimensionais, planas, elsticas, considerando a

excentricidade entre mesa e nervura de forma implcita, das seguintes maneiras:


22

- Analogia de Placa ou Teoria da Placa Orttropa Equivalente: considerao

da inrcia da seo T para a obteno de uma espessura equivalente de laje macia,

constante, para lajes nervuradas convencionais e sem vigas;

- Analogia de grelha: considerao da inrcia da seo T, onde mesa e

alma trabalham juntas num sistema linear de grelha, para lajes nervuradas convencionais e

sem vigas;

- Processo dos Prticos Mltiplos proposto pela NB1/1978: considerao da

espessura equivalente para o clculo da laje nervurada em modelo de prtico plano

considerando a interao laje-pilar, para lajes nervuradas sem vigas, com capitis ou bacos

junto aos pilares;

- Processo dos Prticos Equivalentes proposto pelo Cdigo American

Concrete Institute ACI-318: considerao ou da espessura equivalente, ou das sees reais

para o clculo da laje nervurada como modelo de prtico plano mais refinado, substituindo o

pilar por um pilar equivalente, aplicvel a lajes nervuradas sem vigas com capitis ou bacos

junto aos pilares.

2.2 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS

CONVENCIONAIS E SEM VIGAS POR ANALOGIA DE PLACA

Um dos mtodos mais populares de anlise de lajes nervuradas sob flexo

conhecido como Teoria da Placa Orttropa Equivalente, ou Analogia de Placa, originalmente

desenvolvido apenas para um material elstico ideal (logo, tratando-se de concreto armado,

vemos a sua validade apenas na fase elstica do concreto).

A filosofia do mtodo converter a placa enrijecida por nervuras em uma

placa macia, de espessura constante, equivalente em comportamento laje nervurada.

Assim, a flexo geral do sistema de placa enrijecida por nervuras computada utilizando-se

algum mtodo convencional e os resultados so superposies daqueles obtidos da flexo

local dos enrijecedores e painis de laje.

De acordo com KENNEDY & EL-SEBAKHY (1982) as constantes elsticas

de uma estrutura orttropa equivalente podem ser tomadas como semelhantes quelas que

geram o comportamento flexo e toro de uma laje nervurada justificando, assim, o uso

da teoria. Concluram que a Teoria da Placa Orttropa aplicada sob a resoluo de Sries de

Fourier pode ser utilizada com confiana para estimar o comportamento elstico de lajes

nervuradas.


23

DEB & BOOTON (1987) indicaram que a substituio da laje nervurada por

uma laje macia equivalente, apesar de menos preciso do que um modelo em que o sistema

de placa enrijecida por nervuras tratado como elementos de placas e vigas interagindo

adequadamente pode ser prefervel, especialmente em uma anlise no-linear fsica, em

termos de economia de processamento computacional, bem como na simplicidade de entrada

de dados. Concluram que as formulaes orttropas podem ser consideradas precisas na

estimativa de deslocamentos e tenses para uma placa enrijecida submetida a carregamento

uniformemente distribudo, podendo a mxima tenso no enrijecedor ser esperada como 20%

a favor da segurana quando os enrijecedores so pouco espaados.

Tambm conforme AJDUKIEWICZ & STAROSOLSKI1 apud

BARBIRATO (1997) os mtodos baseados na analogia de placas proporcionam resultados

satisfatrios no que refere-se ao comportamento da estrutura.

DEB et al. (1991) indicaram que uma premissa comum nas teorias de placa

orttropa aplicadas a placas com enrijecedores ortogonais assumir a ausncia de toro nos

enrijecedores, o que pode ocasionar resultados errneos quando os enrijecedores no

estiverem razoavelmente prximos. Tambm demonstraram que a Teoria da Placa Orttropa

Equivalente no vlida para a anlise de laje submetida a carregamento concentrado,

verificando-se uma grande superestimativa das tenses nos enrijecedores quando da

aplicao da teoria, reafirmando o que foi observado por CLARKSON2 apud DEB et al.

(1991).

De acordo com MUKHOPADHYAY (1992) e PALANI et al. (1992) este

modelo no consegue evoluir para uma soluo satisfatria do problema. A mesma opinio

compartilhada em SHEIKH & MUKHOPADHYAY (1992).

BEDAIR (1997) acrescenta que aparecem dificuldades se os enrijecedores

no so idnticos nas duas direes ou no igualmente espaados, o que faz com que a

espessura resultante no seja uniforme, ou haja a necessidade de mudana das dimenses em

planta da laje.

ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) verificaram, experimentalmente, que

o comportamento de uma laje nervurada em modelo reduzido foi significativamente

diferente do comportamento da respectiva laje macia equivalente. Verificaram que a laje

1 AJDUKIEWICZ, A.B.; STAROSOLSKI, W. (1990). Reinforced concrete slab-column

structures. Amsterdam, Elsevier. 2 CLARKSON, J. (1962). The behaviour of deck stiffening under concentrated loads. Trans. R. Inst.

Naval Arch. 140,57-65.


24

macia equivalente rompeu-se com uma carga 60% menor que a carga de ruptura da laje

nervurada correspondente.

Neste trabalho, visando utilizar o processo, em adio s condies bsicas

na formulao da equao diferencial de uma placa orttropa (ou preferencialmente istropa,

se as nervuras forem idnticas em forma e espaamento nas duas direes ortogonais), as

condies seguintes devem ser adotadas e/ou verificadas:

a) o nmero de nervuras deve ser grande o suficiente, cinco ou mais por

lado, conforme ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), para que a estrutura real possa ser

substituda por uma idealizada e com propriedades contnuas. Outros autores apresentaram

parmetros mais especficos em relao ao nmero de nervuras: HOPPMANN et al. (1956)

compararam entre resultados tericos (pela Teoria da Placa Orttropa) e experimentais nos

deslocamentos e deformaes, encontrando os resultados mais prximos entre eles na

relao a1/l = 0,071, sendo a1 = espaamento entre os centros dos enrijecedores e l =

dimenso do lado analisado da laje, de acordo com a Figura 2.1; DEB et al. (1991)

encontraram diferenas de 5 a 10% nos deslocamentos e tenses na placa, a favor da

segurana, utilizando uma relao a1/l = 0,067 para placa submetida a carga uniformemente

distribuda. Dessa forma, h indcios de que a relao em torno destes valores a mais

adequada. Neste trabalho esta investigao ser complementada;

l

a1

FIGURA 2.1: Espaamento entre as nervuras

b) o plano neutro em qualquer das duas direes ortogonais coincide com o

centro de gravidade da seo total na correspondente direo.

SAPOUNTZAKIS & KATSIKADELIS (2000) acrescentaram que para o

uso da Teoria da Placa Orttropa Equivalente necessrio que a relao entre a rigidez do

enrijecedor e a rigidez da placa (ou laje) no seja to grande, o que caracterizaria uma

predominncia da ao das vigas.

Conforme a Norma Brasileira de Concreto Armado, mesmo considerando as

lajes nervuradas como elementos estruturais complexos, estas podem ser calculadas como


25

elementos de placa dando-lhes assim o mesmo tratamento das lajes macias, observando-se

para isso algumas condies, enumeradas a seguir:

a) Segundo a NB1/1978 - Projeto e Execuo de Estruturas de Concreto

Armado, tem-se:

- a distncia livre entre nervuras no deve ultrapassar 100 cm;

- a espessura das nervuras no deve se inferior a 4 cm e da mesa no deve ser

menor que 4 cm, nem que 1/15 da distncia livre entre nervuras, garantindo-se dessa forma a

exeqabilidade adequada de sua concretagem e o eventual alojamento de tubulaes de

distribuio de energia eltrica;

- o apoio das lajes deve ser feito ao longo de uma nervura;

- nas lajes armadas numa s direo so necessrias nervuras transversais

sempre que haja aes concentradas a distribuir ou quando o vo terico for superior a 4 m,

exigindo-se duas nervuras no mnimo se o vo ultrapassar 6 m. De acordo com FIORIN

(1998), as nervuras transversais devem possuir praticamente a mesma altura das

longitudinais, e apresentar a mesma seo transversal de armadura inferior destas, enquanto

na parte superior deve-se colocar pelo menos 40% da armadura inferior;

- em nervuras com espessura inferior a 8 cm no permitido colocar

armadura de compresso na face oposta mesa;

Alm destas prescries contidas no item 6.1.1.3, tem-se outras da

NB1/1978 para tratar-se a laje nervurada como placa:

- a resistncia da mesa flexo dever ser verificada como laje apoiada nas

bordas sempre que a distncia livre entre nervuras superar 50 cm ou houver carga

concentrada no painel entre nervuras;

- as nervuras sero verificadas ao cisalhamento como vigas se a distncia

livre entre nervuras ultrapassar 50 cm, e como laje em caso contrrio;

- nas lajes armadas em uma s direo deve-se colocar uma armadura de

distribuio, na mesa de compresso, de 0,9 cm2/m ou 1/5 da armadura principal;

- os estribos, quando necessrios, no devem ter espaamento maior que 20

cm, nem dimetro maior que 1/8 da largura das nervuras.

b) Segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000, tem-se:

- a espessura da mesa, quando no houver tubulaes horizontais embutidas,

deve ser maior ou igual a 1/15 da distncia entre nervuras, e no menor que 3 cm; o valor

mnimo absoluto deve ser de 4 cm quando existirem tubulaes embutidas de dimetro

mximo de 12,5 mm;


26

- a espessura das nervuras no deve ser inferior a 5 cm;

- no permitido o uso de armadura de compresso em nervuras de

espessura inferior a 8 cm;

- para lajes com espaamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60

cm devem ser dispensadas a verificao da flexo da mesa e para a verificao do

cisalhamento da regio das nervuras permite-se a considerao dos critrios de laje;

- para lajes com espaamento entre eixos de nervuras entre 60 cm e 110 cm

exige-se a verificao da flexo da mesa e as nervuras sero verificadas ao cisalhamento

como vigas;

- para lajes nervuradas com espaamento entre eixos de nervuras maior que

110 cm a mesa deve ser projetada como laje macia, apoiada na grelha de vigas, respeitando-

se os seus limites mnimos de espessura.

Alm das condies contidas no item 13.1.4.2, o projeto de reviso da

NBR6118/2000 indica que, havendo necessidade de estribos, estes no devem ter

espaamento superior a 20 cm.

De acordo com o EUROCODE (1992) uma laje nervurada pode ser tratada

como laje macia quando:

- as nervuras possurem rigidez suficiente toro;

- a distncia entre as nervuras no ultrapassar 150 cm;

- a espessura da mesa for maior ou igual a 5 cm ou 4 cm (quando existir

bloco de fechamento permanente entre as nervuras), ou maior de 1/10 da distncia livre entre

nervuras.

2.2.1 A Teoria Clssica das Placas Delgadas Istropas e Orttropas

A resoluo de um elemento de placa de espessura constante submetido a

nveis baixos de tenses perpendiculares ao plano mdio, delgado e sofrendo pequenos

deslocamentos, segundo o mtodo clssico da elasticidade, feita atravs da integrao da

equao diferencial de equilbrio de Lagrange, proposta em 1816, que possibilita o clculo

dos esforos solicitantes e dos deslocamentos para um ponto qualquer no interior da placa

istropa, mostrada na Eq. 2.1:

D

q)(g

y

w

yx

w2

x

w4

4

22

4

4

4 +=

+

+

(2.1)


27

sendo:

)12.(1

E.hD

2

3

= = rigidez da placa flexo (2.2)

E: mdulo de deformao longitudinal do material;

h: altura da laje;

: coeficiente de Poisson do material;

(g + q): ao aplicada perpendicularmente ao plano da placa, no ponto

considerado, no interior da placa;

w: deslocamento medido perpendicularmente ao plano da laje.

x,y: eixo de coordenadas ortogonais para o plano mdio da placa.

O sistema de coordenadas do elemento de placa dado na Figura 2.2.

h/2

Z

X

Y

B

C

A

O dxdy

FIGURA 2.2: Sistema de coordenadas de um elemento de placa

Para que o problema seja resolvido necessrio que se aplique s bordas as

condies de contorno conforme o tipo de vinculao, sendo os clssicos:

a) nas bordas simplesmente apoiadas, perpendiculares ao eixo Ox, tem-se

que os deslocamentos w sero nulos e, se no houver momentos prescritos, mx tambm ser

nulo

w = 0 e 0y

w.

x

w2

2

2

2=

+

(2.3)

b) nas bordas perfeitamente engastadas, perpendiculares ao eixo Ox, tem-se

que os deslocamentos w sero nulos e o giro x, no sendo prescrito, dever ser nulo ao

longo dessa borda

w = 0 e 0xw ==

x (2.4)


28

c) nas bordas livres, perpendiculares ao eixo Ox, as reaes de apoio rx e os

momentos fletores mx ao longo desse apoio devero ser nulos

0yx

w).(2

x

w2

3

3

3=

+

(2.5)

0y

w.

x

w2

2

2

2=

+

(2.6)

As equaes para as bordas perpendiculares ao eixo Oy so as mesmas das

demonstradas, alterando-se apenas as variveis x e y.

Aps a integrao da equao diferencial tem-se o deslocamento ortogonal

ao plano em qualquer ponto da placa. Conhecidos os deslocamentos podem ser obtidos os

momentos, esforos cortantes e reaes, atravs de combinaes apropriadas de derivadas da

funo de deslocamento. As tenses podem ser determinadas a partir dos momentos e

esforos cortantes.

A espessura constante pedida na teoria, para as lajes nervuradas, obtida

atravs do clculo da chamada espessura equivalente, que ser posteriomente apresentado.

Para uma placa macia equivalente orttropa, no caso em que a forma ou o

espaamento entre as nervuras forem diferentes nas duas direes ortogonais, dada uma

distribuio de carga e para conhecidas condies de contorno, os deslocamentos, momentos

e cortantes so determinados pela integrao da equao diferencial seguinte, de acordo com

TIMOSHENKO & WOINOWSKY-KRIEGER (1959):

y)P(x,y

w.D

yx

w2.H.

x

w.D

4

4

y22

4

4

4

x =+

+

(2.7)

onde:

Dx e Dy = rigidezes flexo nas duas direes ortogonais;

2.H = rigidez total toro, soma das rigidezes toro nas direes x e y,

ou seja, Dxy e Dyx, e as rigidezes acopladas D1 e D2, que representam a contribuio da flexo

para a toro da placa.

Assim, tem-se:

2.H = (Dxy + Dyx + D1 + D2) (2.8)

onde:

Dxy e Dyx = rigidezes toro nas direes x e y, sendo:

12

G.hD D

3

yxxy == (2.9)

D1 e D2 = contribuio da flexo na toro da placa enrijecida, sendo:


29

)1.(12

.hE.D D

2

3cs

21

== (2.10)

O termo de rigidez 2.H, segundo BARES & MASSONNET (1968), pode

tambm ser escrito na forma:

yx D.D.2. 2.H = (2.11)

onde:

yx

21yxxy

D.D.2

DDDD +++= (2.12)

O valor de tem um valor limite superior igual a 1 para uma placa

verdadeiramente istropa, onde H = Dx = Dy e um limite inferior igual a 0 para uma grelha

com os elementos desprovidos de rigidez toro, ou seja, nesse caso H = 0.

Entretanto, para o caso de um enrijecedor torcional, geralmente aplicados em

pisos de pontes flexveis, por exemplo, tem-se H2 > (Dx.Dy), e conseqentemente > 1.

Para aplicaes prticas, de acordo com BARES & MASSONET (1968),

tem-se:

x

sxx S

E.ID = (2.13)

y

syy S

E.ID = (2.14)

onde:

Isx e Isy = momentos de inrcia nas sees das nervuras com respeito aos

eixos neutros nas direes x e y, respectivamente;

Sx e Sy = espaamento das nervuras.

2.2.2 O conceito de espessura equivalente

Em JI3 et al. apud BARBIRATO (1997) v-se que a determinao da laje

macia de rigidez equivalente laje nervurada baseia-se no conceito de espessura

equivalente.

3 JI, X.; CHEN, S. et al. (1985). Deflection of waffle slabs under gravity and in-plane loads. In:

SABNIS, G., ed. Deflections of concrete structures. Detroit, ACI. P.283-295. (ACI SP-66).


30

O processo consiste em considerar a espessura equivalente como a espessura

de uma placa uniforme que tenha o mesmo comportamento flexo que uma laje nervurada,

de acordo com a Figura 2.3.

b1

laje macia equivalente

heq

a1 = bf

material inerte

bf

a1

b2 bw

hf

h

FIGURA 2.3: Processo de espessura equivalente macia para uma laje nervurada istropa

A espessura equivalente da laje pode ser calculada considerando a

equivalncia do momento de inrcia flexo, pela frmula:

1/3

1eq a

12.Ih

= (2.15)

sendo:

heq: espessura da laje macia equivalente;

a1: distncia entre eixos de nervuras;

I: momento de inrcia flexo da seo transversal T, sem a considerao

da fissurao, e em relao ao eixo baricntrico horizontal.

Alm desse processo, diferentes espessuras equivalentes podem tambm ser

obtidas utilizando equivalncia em momento de fissurao ou em mdulo de resistncia.

Na anlise estrutural deve-se sempre atentar para os valores de peso prprio

da laje nervurada, que no so os mesmos apresentados pela laje macia de espessura

equivalente em inrcia flexo.

A laje equivalente considerada istropa se as nervuras forem igualmente

espaadas nas duas direes, e orttropa em caso contrrio.


31

Em um estudo das caractersticas dos deslocamentos de lajes nervuradas de

concreto armado JI3 et al. apud ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) testaram uma laje

nervurada em modelo reduzido, em concreto armado, sob carga transversal e compararam os

resultados da rigidez no campo elstico no-fissurado (estdio I) com aqueles obtidos pelo

Mtodo dos Elementos Finitos e pelo conceito de espessura equivalente. Concluram que o

Mtodo da Espessura Equivalente conduz a uma superestimativa da rigidez toro e a uma

subestimativa dos deslocamentos. Para compensar este fato sugeriram que a espessura

equivalente fosse reduzida em aproximadamente 20%. Agindo todo o carregamento de

servio, estando o concreto no campo elstico fissurado (estdio II), sugeriram que a rigidez

efetiva fosse estimada como 40% da rigidez inicial, ou seja, daquela estando o concreto no

campo elstico no-fissurado (estdio I).

ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), em testes realizados com modelos de

laje nervurada, confirmaram a melhora de resultados com a reduo da espessura em 20%

para o concreto no campo elstico. Concluram, entretanto, que estimativas melhores da

rigidez no campo elstico fissurado do concreto, quando da atuao da carga total, so

obtidas assumindo-se uma reduo de 25% da rigidez inicial.

Neste trabalho haver modelos (para lajes nervuradas de concreto armado)

utilizando a espessura da laje macia equivalente sem qualquer reduo na espessura, e os

resultados apresentados por estes sero comparados com os modelos utilizando as

consideraes de ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000), reduzindo-se 20% da espessura da

laje macia equivalente, nas anlises elsticas consideradas.

2.2.2.1 Definio da largura colaborante da seo T

Para o clculo do momento de inrcia do elemento de barra de seo integral

T torna -se necessrio definir a largura colaborante da mesa de concreto. Na laje nervurada

deve ser considerada a seo T pelo fato de que a mesa tem a funo de solidarizar as

nervuras, compatibilizando assim os deslocamentos. Dessa forma a mesa participa da rigidez

da laje, em composio com a nervura.

De acordo com a teoria elementar de vigas (assumindo que as sees planas

permanecem planas depois da flexo da viga) a tenso normal x para um ponto com

coordenadas (y,z) dada pela Eq. 2.16, no qual implica uma tenso constante na direo y.


32

z.I

M

y

yx = (2.16)

sendo:

My = momento fletor atuante na viga;

Iy = momento de inrcia flexo da viga;

z = distncia da fibra ao centro de gravidade da seo homognea.

Conforme LEONHARDT & MNNIG (1978) surge, ao longo da juno da

laje com a viga, uma fora cortante V desconhecida que atua cisalhando no plano e que

solicita a laje como chapa, conforme a Figura 2.4.

A partir das tenses introduzidas pela fora cortante V que determina-se a

largura colaborante (ou largura efetiva).

Assim, no caso de sees de viga T (ou associao de viga e largura

colaborante de laje), os deslocamentos longitudinais nas partes da mesa distantes da nervura

(na direo y) defasam daqueles prximos nervura devido ao da transmisso da tenso

de cisalhamento no plano da placa para o enrijecedor (atuao da fora cortante V). Esta

defasagem resulta na distribuio no-uniforme de tenses axiais ou longitudinais, de acordo

com a Figura 2.5.

Foras cisalhantes no plano da laje (V) entre mesa e alma

colaborao da laje flexo ( b)

colaborao da laje comochapa ( s) a qual

solicitada pelas foras cortantes

b

bw

l/2

s

FIGURA 2.4: Colaborao da laje em uma viga T

[LEONHARDT & MNNIG (1978)]


33

b4bw

hf

x (0)x (y) x (y)

z

y

b1

FIGURA 2.5: Distribuio de tenso x na mesa de uma viga T

[TENCHEV (1995)]

Este fennemo chamado de defasagem de cisalhamento (ou shea r lag).

Se a largura da mesa grande a Eq. 2.16 ir subestimar significativamente a tenso na

interseo nervura-mesa. Entretanto, ainda possvel obter um valor correto para a mxima

tenso usando uma largura efetiva de mesa b1, da seguinte forma:

= 4b

0 y(y)x (0)x 1 d.

1b

(2.17)

A Eq. 2.17 de uso pouco prtico se x desconhecida e, pela dificuldade

de aplicao, no ser utilizada neste trabalho.

Uma formulao alternativa dada por:

b1 = .b4 (2.18)

sendo:

b1 = largura efetiva;

b4 = largura construda da mesa;

= coeficiente de defasagem de cisalhamento (ou shear lag).

O problema da considerao da largura colaborante tem sido estudado por

diversos pesquisadores, visando-se determinar os valores adequados para .

TENCHEV (1995) efetuou um estudo paramtrico da distribuio de tenses

em vigas orttropas considerando diversas condies de contorno e sees transversais, alm

do caso de placas finas enrijecidas por nervuras, o que o caso de lajes nervuradas. Utilizou

no Mtodo dos Elementos Finitos um modelo bidimensional e estabeleceu uma frmula

emprica para o coeficiente de shear lag utilizado no clculo da largura efetiva

colaborante da seo T.


34

WANG & RAMMERSTOFER (1996) apresentaram um processo

empregando o Mtodo de Faixas Finitas para a previso da largura colaborante em placas

enrijecidas sujeitas flexo, onde interpolaram o comportamento da estrutura na direo

longitudinal por funes harmnicas e na direo transversal por funes polinomiais,

assumindo na resoluo a Teoria Clssica das Placas. Encontraram resultados satisfatrios

com a teoria proposta. Afirmaram que, para carregamento concentrado, a idealizao das

nervuras por um modelo de viga resulta em erros relativamente grandes, sendo necessrio

que se aplique na anlise da placa enrijecida submetida a esse carregamento um modelo de

placa bidimensional para o enrijecedor.

A largura colaborante da mesa pode ser determinada tambm seguindo as

normas tcnicas brasileiras, com a nomenclatura de acordo com a Figura 2.6 sendo, sem

dvida, o mtodo mais utilizado nos escritrios brasileiros de clculo estrutural:

a) segundo a NB1/1978, que pede:

0,10.a b1 8.hf 0,5.b2

bf = 2.b1 + bw (2.19)

onde:

a = l para tramo simplesmente apoiado;

a = 0,75.l para tramo com momento fletor numa s extremidade;

a = 0,60.l para tramo com momento nas duas extremidades;

a = 2.l para tramo em balano;

l: comprimento do tramo;

b2: distncia livre entre as nervuras;

b1: aba da seo T.

b) segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000, que pede:

0,10.a b1 0,5.b2

bf = 2.b1 + bw 0,10.a + bw (2.20)

onde:

a = l para tramo simplesmente apoiado;

a = 0,75.l para tramo com momento fletor numa s extremidade;

a = 0,60.l para tramo com momento nas duas extremidades;


35

a = 2.l para tramo em balano;

l: comprimento do tramo;

b2: distncia livre entre as nervuras;

b1: aba da seo T.

b4b3

b3

bf

bwb4

b1

bf

b2 bw

FIGURA 2.6: Nomenclaturas para a determinao da largura da mesa colaborante segundo a

NBR6118

Neste trabalho sero aplicados apenas modelos utilizando as consideraes

do projeto de reviso da NBR6118/2000 para o clculo da largura colaborante. Na maioria

dos casos aplica-se a considerao b1 = 0,5. b2.

Conforme LEONHARDT & MNNIG (1978), pelo desenvolvimento das

trajetrias de compresso na laje, pode-se verificar que prximo a um apoio extremo a

largura colaborante da laje menor que para o meio do vo. Assim, a mesma depende do

afastamento do apoio. Contudo, para as experimentaes numricas deste trabalho ser

considerada uma largura colaborante nica para toda a extenso da nervura. O projeto de

reviso da NBR6118/2000 permite o clculo de uma largura colaborante nica para todas as

sees de uma viga contnua desde que ela seja calculada a partir do trecho de momentos

positivos onde resulte mnima.

Logo, tendo a largura colaborante bf pelo processo citado, o momento de

inrcia da seo integral em relao ao centro de gravidade da pea pode ser determinado

dividindo-se a seo transversal em retngulos.

Dessa forma, separando a mesa de concreto da nervura a fim de ter-se duas

sees retangulares conforme a Figura 2.7, tem-se:


36

z cg

hf

h

b f

bw

FIGURA 2.7: Diviso da seo transversal T em sees retangulares

( ) ( )2

fcgfw

3fw

2f

cgff f3

f fy 2

hhz.h -h .b

12hh.b

2h

hh..hb12.hb

I

+

+

++= z

(2.21)

onde:

Iy = momento de inrcia flexo da seo transversal T;

zcg = ordenada do centride da seo T, medido a partir da face inferior da

nervura, dada por:

( )

( )fwff

ffff

2fw

cg hh.b.hb

.h.bhh2

h2

hh.b

z+

++

= (2.22)

Agora, tendo o momento de inrcia, pode-se calcular a espessura equivalente

da laje e, com ela, os esforos e deslocamentos por processo simplificado.

2.2.3 Os parmetros elsticos do concreto na Teoria da Placa Orttropa

Equivalente

a) Mdulo de deformao longitudinal do concreto

Conforme a norma NB1/1978, tem-se que as anlises elsticas devem ser

feitas utilizando-se:

Ecs = 0,9.Ec [MPa] (2.23)

sendo:

Ec = 6600.(fck + 3,5)1/2 [MPa] (2.24)

Ecs: mdulo de elasticidade secante do concreto;

Ec: mdulo de elasticidade tangente do concreto;

fck: resistncia caracterstica do concreto compresso.


37

Segundo o projeto de reviso da NBR6118/2000 o mdulo de elasticidade a

ser utilizado nas anlises elsticas de projeto, especialmente para a determinao de esforos

solicitantes e verificao de estados limites de servio, deve ser o mdulo secante, dado por:

Ecs = 0,85.Ec [MPa] (2.25)

sendo:

Ec = 5600.(fck)1/2 [MPa] (2.26)




A considerao de apenas 85% do mdulo de elasticidade tangente do

concreto uma forma de compensar os efeitos da deformao lenta nas peas de concreto.

Assim, neste trabalho ser aplicado o mdulo de elasticidade secante

proposto pelo projeto de reviso da NBR6118/2000, sem redues, quando da anlise das

lajes nervuradas pela Teoria da Placa Orttropa Equivalente nos modelos sem reduo da

espessura da laje macia equivalente e naquele com as redues propostas por ABDUL-

WAHAB & KHALIL (2000).

Estes pesquisadores apresentaram processo alternativo na determinao da rigidez da laje slida equivalente e que envolve com mais preciso o comportamento do

concreto armado e de seus estados elstico no-fissurado (estdio I) e elstico fissurado

(estdio II), aplicando-se laje nervurada um mdulo de elasticidade longitudinal chamado

de mdulo efetivo. O processo e suas formulaes so apresentados abaixo, contudo no

foram utilizados neste trabalho devido necessidade da verificao da linha neutra em cada

nervura em um processamento inicial, bem como o clculo das reas de armadura durante a

anlise, o que foge dos objetivos do trabalho.

O processo criado baseia-se no conceito de disco elementar inicialmente

proposto para placas perfuradas. Para placas e lajes com disposio quadrada de buracos

sujeitas a um uniforme campo de tenso assumiram que uma distoro uniforme ocorria e,

dessa forma, apenas uma nica clula (ou buraco) precisava ser considerada na formulao

que relacionava o mdulo de elasticidade do concreto e o respectivo mdulo efetivo do

concreto. Comparando o comportamento de um disco elementar com um disco sem buraco,

chegaram ao mdulo de elasticidade efetivo, Ee, dado pela expresso:

( )( )

( ) ( )+==

1.11.1

EE

Rcs

e

(2.27)

onde, de acordo com a Figura 2.8, tem-se:


38

=

1

w1

aba

.785,0 (2.28)

Assumiram ento que a placa nervurada podia ser considerada formada por

uma srie de discos elementares conectados, cada disco tendo a forma de uma placa circular

com um buraco no centro, de acordo com a Figura 2.8.

A soluo para a laje nervurada foi obtida pelos autores para os campos

elstico no-fissurado do concreto (estdio I) e elstico fissurado (estdio II), demonstrados

na Figura 2.9. A presena de armadura no concreto foi considerada pelos autores na

formulao, j que contribuem no enrijecimento da laje.

As

a1

bwb2

FIGURA 2.8: Clula quadrada da laje nervurada e Disco Elementar Equivalente

[ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000)]

Estdio II

Estdio I

M

x

d

x.Ecs

a1/2

linha neutra

a1/2

As

a1/2a1/2

As

x.Ecs

Mlinha neutra

hdx

FIGURA 2.9: Discos Elementares Equivalentes submetidos flexo nos estdios I e II

[ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000)]


39

As formulaes para cada estdio, determinadas pelos autores do artigo, so

apresentadas abaixo.

- Campo elstico no-fissurado do concreto

Para um disco elementar de concreto armado submetido a um momento

fletor uniforme radial no campo elstico no-fissurado (ou estdio I), de acordo com a Figura

2.9, assumiram que ocorre uma distoro uniforme. A altura da linha neutra x n a seo

transformada dada por:

K2.h Kh

x 2

++= (2.29)

onde:

( )

.Ra-1 .m.2.A

K 1

s = (2.30)

sendo:

As = rea da armadura de trao;

m = coeficiente modular = Es/Ecs;

R = Ee/Ecs

Ee = mdulo de elasticidade efetivo do concreto.

Das consideraes das foras internas, calcula-se o brao de alavanca do

momento, la, dado por:

( ) ( )( ) ( )

x.32

x-dK..3x-h3.

x-dK..3x-h2. l

2

23

a ++

+= (2.31)

O mdulo de elasticidade efetivo E et obtido atravs do equacionamento

da relao entre a rotao do contorno externo do disco elementar de concreto armado com

aquela de um disco slido homogneo com a mesma espessura h. Assim, tem-se:

3

a2

e

et

h

l.x.6EE

= (2.32)

onde:

Ee=R.Ecs

- Campo elstico fissurado do concreto

Aps o aparecimento da primeira fissura assumiram que a resistncia do

concreto submetido trao podia ser negligenciado, conforme Figura 2.9. A altura da linha

neutra determinada por:

( )[ ]4.dKK.K.21

x ++= (2.33)


40

Como antes, atravs do equacionamento da relao entre a rotao do

contorno externo para um disco slido equivalente com aquela obtida pelo disco elementar

de concreto armado, o mdulo de elasticidade efetivo E et para uma laje macia de concreto

armado no campo elstico fissurado (estdio II) dado por:

( )22

e

et

-112.

3x

-d.x.6

EE

= (2.34)

onde:

Ee=R.Ecs

b) Mdulo de deformao transversal do concreto

De acordo com a NB1/1978, tem-se que o mdulo de deformao transversal

do concreto obtido admitindo-se o coeficiente de Poisson = 0,20, resultando:

Gc = 0,4.Ecs = 2376.(fck + 3,5)1/2 [MPa] (2.35)

onde:

Gc: mdulo de elasticidade transversal do concreto.

No projeto de reviso da NBR 6118/2000 tem-se que o mdulo de

deformao transversal do concreto tambm calculado adotando = 0,20, resultando:

Gc = 0,4.Ecs = 1904.(fck)1/2 [MPa] (2.36)

onde:


Apesar da orientao da norma muitos autores recomendam valores menores

para o mdulo de deformao transversal.

LEONHARDT & MNNIG (1978) sugeriram dividir o mdulo de

deformao transversal do concreto por 100, j que as microfissuras no concreto, que

existem mesmo a pea estando no Estdio I, j reduzem a sua rigidez toro.

TAKEYA (1985) sugeriu adotar Gc = 0,15.Ecs. (2.37)

Props esta reduo, porm, em modelos de grelha que simulavam lajes

lisas, argumentando que essa reduo em pisos de concreto armado interessante por levar

em conta a fissurao de maneira geral. Aqui essa reduo ser testada para verificar os

efeitos no comportamento do modelo em laje macia com espessura equivalente.

Assim, nos modelos de Teoria da Placa Orttropa Equivalente sero

aplicados o mdulo de elasticidade transversal sugerido por TAKEYA (1985), nos modelos

sem reduo da espessura da laje equivalente. Com isso haver um aumento nos momentos

fletores atuantes na placa, e conseqentemente uma diminuio nos momentos volventes.


41

Nos modelos com espessura reduzida conforme ABDUL-WAHAB & KHALIL (2000) ser

considerado o valor de Gc integral.

2.2.4 Simulao dos pilares nos modelos de Teoria da Placa Orttropa

Equivalente

De acordo com CORRA (1991) a vinculao dos pilares no plano do

pavimento de edifcios pode ser considerada de forma simplificada atravs da colocao de

um n no centro do apoio, impedindo-se a os graus de liberdade ou ento associando ao

mesmo vnculos deformveis atravs da considerao do pilar de forma tridimensional,

processo que ser utilizado nas modelagens deste trabalho, de acordo com a Figura 2.10. Os

pilares, quando da anlise de pavimentos intermedirios, sero lanados com a altura

duplicada e considerados engastados na base fornecendo, dessa forma, um adequado

coeficiente de mola, explicitado posteriormente.

Na modelagem da laje nervurada pela Teoria de Placa necessrio, pelos

fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos, que as placas em torno do n do pilar

concorram para ele. Assim, em algumas geometrias, um ajuste por meio de elementos finitos

triangulares poder sempre ser efetuado, conforme a Figura 2.10.

y

z

xp-

dire

ito d

uplo

elementos de casca triangulares junto aos pilares elementos de casca

quadrangulares

FIGURA 2.10: Ajuste dos elementos de placa junto aos pilares

Ainda de acordo com CORRA (1991) quando o pilar tiver grande

dimenso em planta ser simulado por meio de trs ns: um no centro do pilar, do qual sair

a barra segundo o eixo z com a seo geomtrica real do pilar e com a altura duplicada; e

mais dois ns, cada um prximo s faces do pilar. Interligando os ns sero lanados


42

elementos finitos de viga tridimensional, no plano x-y, de rigidez infinita, que pode ser

verificado na Figura 2.11.

y

x

trechos rgidossimulando pilares de grande dimenso

FIGURA 2.11: Trecho rgido para pilares de grande dimenso em planta

2.2.5 Processos e mtodos de clculo aplicando a Teoria da Placa Orttropa

Equivalente

Determinada a espessura equivalente, a laje nervurada pode ser calculada

como se fosse uma placa em uma anlise elstica.

A integrao da equao diferencial de equilbrio das placas delgadas

apresentada anteriormente, para as lajes retangulares pode ser feita de vrias formas:

a) tabelas montadas por Czerny e Bares onde utilizaram o processo de

Diferenas Finitas o que, como mostrado em SILVANY (1995), no caso de placas com

formas no-regulares, com aberturas e distribuio de aes complexas, no so de aplicao

prtica;

b) aplicao direta dos mtodos numricos como o Processo das Diferenas

Finitas, Mtodo dos Elementos Finitos ou Mtodo dos Elementos de Contorno, utilizando

softwares como auxlio.

Neste trabalho ser aplicado o Mtodo dos Elementos Finitos atravs do

software ANSYS 5.5, onde as placas sero discretizadas por elementos de casca plana e os

pilares simulados por elementos de barra tridimensionais.

Aps calculados os momentos e os esforos cortantes por faixa de um metro,

na laje macia equivalente, nas duas direes, esses valores devem ser multiplicados pelo

valor da largura colaborante bf, verificando-se em seguida o cisalhamento e a flexo, tanto na

mesa quanto nas nervuras, ao tratar-se do dimensionamento.


43

2.3 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS

CONVENCIONAIS E SEM VIGAS POR ANALOGIA DE GRELHA

A complexidade e as limitaes dos mtodos clssicos da elasticidade

aplicados na Teoria de Placas fizeram pesquisadores buscarem outros mtodos para a

determinao de esforos e deslocamentos em lajes macias.

Segunto o Cdigo ACI-435 (1989) Marsh, em 1904, substituiu uma laje

macia uniformemente carregada por uma malha de vigas que se cruzavam. Contudo, em sua

modelagem, negligenciou os momentos torores da placa, gerando assim um erro de 25%

nos momentos fletores para uma placa simplesmente apoiada.

Posteriormente a teoria foi modificada por Marcus numa tentativa de levar

em conta os momentos torores desprezados por Marsh. Dessa forma, introduziu fatores de

modificao no clculo dos momentos fletores e deslocamentos, relacionando condies de

vinculao e caractersticas geomtricas.

Em 1952 foi apresentado por Ewell, Okubo e Abrams um mtodo

denominado Mtodo de Analogia de Grelha. Nesse processo desenvolvido a influncia do

momento toror pde ser considerada de maneira direta e imediata. A placa macia foi

inicialmente dividida em faixas nas direes ortogonais escolhidas e, posteriormente,

substitudas por vigas equivalentes, com as mesmas propriedades de flexo e toro. Nestas,

foram calculados os esforos e deslocamentos, fazendo-se a compatibilizao de momentos

torores e fletores por ns, ou pontos de cruzamento das vigas da grelha, conforme Figura

2.12.

A placa macia e a grelha devem ser tais que, quando submetermos as duas

estruturas ao mesmo carregamento elas se deformaro de maneira idntica, e os esforos em

qualquer barra da grelha sero iguais s resultantes das tenses na seo transversal da

posio da laje que a barra representa.

Indicou que o processo foi utilizado pioneiramente em computador por

Lightfoot e Sawko, em 1959. A facilidade computacional do processo d-se principalmente

porque a tcnica trabalha com elementos lineares, ou elementos de barra, onde a resoluo

da estrutura resulta em um problema simples de anlise matricial: o problema de grelhas.

Dessa forma, o alto grau de hiperestaticidade e deslocabilidade das grelhas no um

empecilho para a anlise quando do uso de computadores.

Algumas diferenas de comportamento fsico entre placas macias e grelhas

existem, contudo, e so enumeradas abaixo:


44

- o equilbrio da laje d-se com a igualdade entre os momentos torores

atuantes nas duas direes; na grelha equivalente no h princpio fsico ou matemtico para

que isso ocorra;

- o momento fletor da laje, em qualquer direo, depende tanto da curvatura

naquela direo quanto da curvatura na direo ortogonal; no elemento de barra o momento

fletor somente proporcional prpria barra.

BARBOZA (1992) mostra, contudo, comparando-se os resultados obtidos

com a analogia de grelha e com o mtodo dos elementos finitos, que a analogia oferece

resultados satisfatrios para lajes macias. Assim, espera-se resultados ainda melhores ao

analisar-se lajes nervuradas por este processo devido maior semelhana geomtrica entre

ambos estrutura real e modelo mecnico, em um modelo tridimensional.

(c) deslocamento devido ao momento no plano l-o-m

(b) substituio das faixas pelas vigas

(a) diviso da placa em faixas

M

p

nm

lo

viga equivalente 2-2

32

1

C

AB

CB

A

3

12

faixa de laje 2-2

AB

C

CB

A

32

1

32

1

FIGURA 2.12: Analogia de grelha aplicada lajes macias

[ACI-318-89]

Mas, de acordo com SHEIKH & MUKHOPADHYAY (1992), a modelagem

de placas enrijecidas atravs de sistemas de grelhas tm fracassado na evoluo de uma

soluo genrica satisfatria.


45

2.3.1 O funcionamento estrutural das grelhas

A grelha, quando tratada como estrutura plana, recebe aes solicitantes

perpendicularmente ao seu plano. Na anlise desses elementos esto envolvidos trs esforos

internos, de acordo com a Figura 2.13: o esforo cortante normal ao plano da grelha, o

momento fletor normal ao eixo da barra e o momento toror axial barra. Com isso, tm-se

ento trs deformaes, conjugadas aos esforos internos.

Ao determinar-se os esforos solicitantes e deslocamentos de uma laje

nervurada segundo a teoria das grelhas a estrutura como um todo deve resistir s aes, j

que as vigas no so tratadas de forma independente.

A

A

P

Seo A-A

Mt

M

V

FIGURA 2.13: Esforos solicitantes na barra de uma grelha plana

Assim, para que o clculo seja econmico, preciso considerar que a

transferncia das aes ocorra no plano da estrutura o que, com eficincia, s ocorre se as

nervuras tiverem rigidezes semelhantes. Dessa forma, se as nervuras de uma direo forem

mais rgidas que as da outra direo elas absorvero maiores parcelas de esforos solicitantes

e a transmisso dos mesmos ocorrer apenas em uma direo, o que foge da teoria

econmica das grelhas.

2.3.2 O processo de Analogia de Grelha aplicado lajes nervuradas


46

Para a aplicao do processo s lajes nervuradas torna-se evidente que as

mesmas j so um conjunto de vigas e, assim, tem-se a prpria malha equivalente, onde as

barras tero seo transversal T devido a mesa de concreto. Sero ento concentradas nas

vigas as rigidezes toro e flexo da placa.

De acordo com TANAKA & BERCIN (1998) implicitamente considera-se a

excentricidade existente entre o eixo da nervura e o plano mdio da placa atravs das

translaes de eixos no clculo das inrcias das sees transversais compostas. Nesta

aproximao, segundo os pesquisadores, a dificuldade est na determinao da largura

colaborante, aquela hipottica representao da placa na viga, o mesmo problema

encontrado para o clculo da espessura da laje macia equivalente em comportamento uma

laje nervurada demonstrado anteriormente.

Para que se tenha um modelo de grelha que expresse tanto o comportamento

da estrutura (laje nervurada) quanto do material (concreto armado) algumas consideraes

tambm devem ser feitas na concepo da grelha quanto s propriedades geomtricas da

seo e parmetros do concreto.

2.3.2.1 As propriedades geomtricas das barras da grelha

a) Momento de Inrcia flexo das barras da grelha Para a determinao dos esforos, considerando a seo integral de concreto

em um clculo elstico, as nervuras da laje devem ser consideradas como sees T, com

largura colaborante da laje, e a inrcia a flexo das mesmas ser calculada como j

demonstrado anteriormente, ou seja, neste trabalho haver modelos utilizando as

consideraes do projeto de reviso da NBR6118/2000.

b) Momento de Inrcia toro das barras da grelha

As tores que ocorrem na maioria das grelhas so esforos advindos da

compatibilidade de deformaes haja visto que, medida que se reduz a rigidez toro da

barra de grelha, os momentos de toro tambm so reduzidos at que, para um limite

terico de rigidez nula toro, tem-se tambm momentos de toro nulos. Dessa forma,

geralmente, nos pisos de edifcios em grelha surgem esforos de toro meramente oriundos

da compatibilidade das deformaes. Verifica-se tambm ser possvel a ocorrncia de uma

situao em que h equilbrio com toro nula, no caso de baixa rigidez toro ou no caso

de tolerar-se plastificaes, conforme SUSSEKIND (1985).


47

A norma brasileira NBR 6118/1978 permite desprezar os momentos de

toro de compatibilidade para o clculo das peas no Estado Limite ltimo j que a tem-se

a barra fissurada e, dessa forma, a mesma tem inrcia toro muito reduzida.

Do item 14.5.7.2 do projeto de reviso da NBR 6118/2000 v-se que, de

maneira aproximada, pode-se reduzir a rigidez toro das vigas (exceto em peas curtas)

por fissurao utilizando-se 15% da rigidez elstica.

J SUSSEKIND (1985) recomendou considerar como inrcia toro, para

elementos de concreto fissurados, 20% da inrcia It da seo homognea, constituindo-se

num valor tolervel para a considerao da inrcia toro de compatibilidade.

Ambas as recomendaes conduzem a valores reduzidos de toro, e so

satisfatrias.

SUSSEKIND (1985) e LEONHARDT & MNNIG (1978) apresentaram o

momento de inrcia toro da seo bruta para sees compostas por retngulos, de acordo

com a teoria da elasticidade, para elementos retangulares onde h >> b, calculado pela

seguinte expresso:

).h(b.31

I in

1i

3it

== (2.38)

onde:

bi: menor dimenso da poro i da seo transversal;

hi: maior dimenso da poro i da seo transversal.

LEONHARDT & MNNIG (1978) apresentaram tambm uma tabela com

valores mais especficos de inrcia toro para sees retangulares de acordo com a relao

entre as dimenses da seo transversal.

Neste trabalho a inrcia toro das peas sero calculadas de acordo com

LEONHARDT & MNNIG (1978), na Eq. 2.38, contudo utilizando apenas 15% dessa

inrcia bruta, de acordo com o projeto de reviso da NBR6118/2000, supondo-se a

fissurao das peas (mesmo na anlise elstica, j que este um recurso satisfatrio para

simular o comportamento do material concreto armado tambm em servio).

2.3.2.2 Os parmetros elsticos do concreto armado na Analogia de Grelha

a) Mdulo de deformao longitudinal do concreto

Segundo o projeto de reviso da NBR 6118/2000:


48

Ecs = 0,85.Ec [MPa] (2.39)

sendo:

Ec = 5600.(fck)1/2 [MPa] (2.40)




O valor do mdulo de elasticidade secante do concreto pode ainda ser

reduzido para se considerar os efeitos da fissurao, como foi aplicado em BOCCHI

JNIOR (1995), que considerou apenas 70% do valor do mdulo em suas anlises.

TAKEYA (1985) indicou que a reduo do mdulo de elasticidade

interessante, porm complexo de quantificar, j que parte da laje pode trabalhar no Estdio I

e parte no Estdio II, alm de ocorrer o efeito da retrao e da deformao lenta do concreto.

Neste trabalho, nos modelos de Analogia de Grelha, sero aplicados o

mdulo de elasticidade secante proposto pelo projeto de reviso da NBR6118/2000, sem

redues.

b) Mdulo de deformao transversal do concreto

De acordo com projeto de reviso da NBR6118/2000:

Gc = 0,4.Ecs = 1904.(fck)1/2 [MPa] (2.41)

onde:


Apesar da orientao da norma muitos autores recomendam valores menores

para o mdulo de deformao transversal.

TAKEYA (1985) sugeriu adotar Gc = 0,15.Ecs. (2.42)

J BOCCHI JNIOR (1995) indicou que, j levando em conta a diminuio

da inrcia toro da pea, a diminuio do mdulo de deformao transversal devido a

fissurao no torna-se necessrio.

Contudo, nos modelos de Analogia de Grelha deste trabalho sero aplicados

o mdulo de elasticidade transversal sugerido por TAKEYA (1985), para simular melhor o

material concreto armado, mesmo nas anlises elsticas.


49

2.3.2.3 Carregamento da grelha

Todo o carregamento da grelha pode ser aplicado diretamente nos ns da

estrutura atravs do processo de rea de influncia, conforme a Figura 2.14:

Qi = (g + q).Ai (2.43)

sendo:

Qi : carga nodal aplicada grelha no n;

(g + q) : carga total atuante na laje;

Ai : rea de influncia do n i.

l/2l/2 l/2l/2

l/2l/2

l/2l/2

i

eixos das nervuras

FIGURA 2.14: rea de influncia para o clculo de carga nodal em grelhas

Porm, interessante considerar todas as aes atuantes na laje nervurada

como uniformemente distribudas ao longo das barras da grelha, conforme Figura 2.15, o que

representa melhor a forma dos diagramas de momentos fletores das nervuras.


50

eixo

da

nerv

ura

rea de influnciacarga uniformesobre a nervura

FIGURA 2.15: Carga uniformemente distribuda sobre as nervuras

Assim, pode-se imaginar a laje nervurada como constituda de vrias lajes

menores apoiadas nas nervuras, onde as aes sero distribudas como reaes de apoio s

nervuras.

Neste trabalho as cargas distribudas uniformemente sobre a laje nervurada,

nos modelos de grelha, sero lanadas uniformemente distribudas ao longo das nervuras.

2.3.2.4 Considerao da vinculao dos pilares nos modelos de Analogia de

Grelha

Quando um modelo de grelha plana processado por meio de softwares

apropriados para tal sistema possvel considerar a influncia das rigidezes dos pilares por

meio da introduo de constantes de mola aos ns dos apoios da grelha equivalente,

conforme Figura 2.16.

a) rigidez do pilar s deformaes axiais:

A grandeza da deformao na direo axial do pilar pequena e,

conseqentemente, pouco significativa, podendo ser desprezada nas anlises do pavimento.

Assim, pode ser considerada uma rea elevada de seo transversal nos pilares nas anlises.


51

x

yz

i

Kz,i: rigidez do pilar deformao axial

Kx,i: rigidez do pilar flexo segundo a direo x

Ky,i: rigidez do pilar flexo segundo a direo y

FIGURA 2.16: Representao das constantes de mola aplicadas ao apoio de uma grelha

b) rigidez do pilar flexo:

As rigidezes do pilar devem ser avaliadas tanto na direo x quanto na

direo y, e so incorporadas no n contido na barra da grelha, na direo correspondente,

respectivamente obtendo-se Kx e Ky, quando o software para anlise de grelha permitir a

introduo automtica das constantes de mola no n vinculado.

Neste trabalho, quando da considerao dos pilares, os mesmos sero

lanados de forma mais realista, associando-se grelha barras referentes aos pilares

formando um conjunto tridimensional, j que o sistema ser analisado atravs de barras

tridimensionais no ANSYS 5.5. Os pilares sero lanados com a altura duplicada e

considerados engastados na base, de acordo com a Figura 2.17 fornecendo, dessa forma, um

adequado coeficiente de mola de valor:

K = (2.Ecs.I)/l (2.44)

sendo:

K: constante de mola do pilar;

Ecs: mdulo de elasticidade secante longitudinal do concreto;

I: momento de inrcia flexo da seo no eixo considerado;

l: altura do p-direito.


52

p-d

ireito

dup

lo

x

z

y

FIGURA 2.17: Considerao dos pilares nos modelos de grelha deste trabalho

De acordo com CORRA (1991) os pilares de grande dimenso sero

modelados utilizando-se trs ns no plano XY do pavimento em grelha, criando-se dessa

forma dois trechos rgidos no mesmo plano (ou barras de alta inrcia flexo) modelados

pelo elemento de barra tridimensional disponvel no ANSYS 5.5. Ligando o n central ao n

da base do pilar ser utilizado novamente o elemento de barra tridimensional, contudo tendo

as caractersticas reais do pilar, ao longo do seu eixo, de acordo com a Figura 2.18.

trechos rgidos

barra com as caractersticas reais do pilar, mas com o dobro da altura

FIGURA 2.18: Caractersticas da modelagem dos pilares de grande dimenso

2.3.3 Processos e mtodos de anlise de grelhas

Tendo as caractersticas geomtricas e parmetros do concreto a anlise da

grelha plana, sem os pilares no modelo, pode ser feita por diversos mtodos e processos.


53

Um dos processos mais utilizados a Anlise Matricial, que pode ser

encontrada em diversos programas computacionais de grelha plana.

Neste trabalho, contudo, ser aplicado o Mtodo dos Elementos Finitos, pelo

ANSYS 5.5, onde as nervuras sero discretizadas por elementos finitos de viga

tridimensional, assim como os pilares. Na verdade ser um modelo onde a laje nervurada

simulada por barras, como uma grelha, mas em conjunto com os pilares, o que confere ao

modelo caractersticas de prtico tridimensional.

2.4 ANLISE ESTRUTURAL DE LAJES NERVURADAS SEM VIGAS

POR MTODOS ELSTICOS DE PRTICOS VIRTUAIS

Alm dos sistemas convencionais de piso de lajes nervuradas, ou seja,

aqueles com a existncia de vigas mais rgidas no conjunto, tem-se tambm sistema especial,

sem vigas.

Esse sistema aliado a piso em nervuras pode ser verificado na Figura 2.19.

FIGURA 2.19: Laje nervurada sem vigas

[NAWY (1995)]

Em algumas lajes desse sistema podem ser colocadas vigas de borda com a

funo de diminuir os momentos fletores nas lajes e deslocamentos, constituindo-se num

apoio de contorno, absorvendo tambm a toro e a puno al geradas. Outra vantagem da

utilizao das vigas nas bordas do pavimento a formao de prticos para resistir s aes

laterais, quando conectadas a pilares.


54

Esse tipo de sistema estrutural apresenta grande versatilidade quanto ao

projeto arquitetnico, j que a inexistncia de vigas permite uma maior liberdade na

disposio de cmodos no pavimento.

Como nas lajes sem vigas tem-se o apoio diretamente no pilar necessrio

que neste sistema com pavimento em laje nervurada a regio em torno dos pilares seja

macia, tendo capitis (engrossamento dos pilares) ou bacos (engrossamento de lajes

macias ou, neste caso, lajes macias de espessura constante embutidas na laje nervurada).

Dessa forma, as regies macias tero dupla finalidade: absorver os momentos negativos que

surgem no entorno dos pilares internos e resistir ao efeito de puncionamento que ocorre

nessa regies, junto aos pilares.

A puno, que deve ser verificada nas lajes lisas nervuradas, o fenmeno

de perfurao devido s altas tenses de cisalhamento, provocadas por foras concentradas

ou agindo em reas pequenas.

A verificao da puno, em vrias normas, baseada no mtodo da

superfcie de controle, ou seja, consiste no clculo de uma tenso nominal de cisalhamento

na superfcie a verificar. Tendo esse valor e o da resistncia do concreto pode-se fazer a

verificao. Este , por exemplo, o processo utilizado no projeto de reviso da

NBR6118/2000 que considera como superfcies crticas as seguintes, de acordo com a Figura

2.20:

a) permetro C, do pilar ou da carga concentrada, onde verifica-se a tenso

de compresso diagonal do concreto;

b) permetro C, afastado 2.d do pilar ou da carga concentrada, sendo d a

altura til da laje na regio considerada, verificando-se a capacidade de ligao a puno

associada resistncia trao diagonal;

c) permetro C, utilizado quando necessrio colocar armadura transversal,

afastado 2.d da ltima armadura transversal, sendo d a altura til da laje no trecho

considerado.


55

(b) macio com armadura transversal

(a) macio sem armadura transversal

C"

2d2d

C'

C

FIGURA 2.20: Permetros de controle da puno segundo o projeto de reviso da

NBR6118/2000

Como pode-se observar, caso o concreto no resista ao efeito de

puncionamento torna-se necessrio distribuir armaduras de puno radialmente ao pilar,

podendo as barras estarem inclinadas para atravessar a zona tracionada ortogonalmente em

relao s tenses de trao.

A ruptura por puncionamento d-se segundo uma superfcie tronco-

piramoidal com inclinao de 30 a 35 graus, sendo brusca e sem aviso prvio, conforme a

Figura 2.21:

linha de ruptura por puno30 a 35 graus

FIGURA 2.21: Ruptura por Puno

Verifica-se, assim, que a regio macia em torno dos pilares, nos sistemas

sem vigas, deve abranger em planta a regio de altas concentraes de fora cisalhante.

TESORO (1991) afirmou que os pavimentos em lajes nervuradas sem vigas

devem ser analisados da maneira mais realista possvel em conjunto com os pilares. Assim,


56

complementou que pouco serve empregar mtodos que resolvem perfeitamente a laje se

estes no contemplarem adequadamente o clculo dos pilares.

Quanto aos processos de determinao dos esforos solicitantes e

deslocamentos o projeto de reviso da NBR6118/2000 afirma que o clculo de lajes lisas (ou

lajes sem vigas apoiadas diretamente sobre pilares) deve ser realizado mediante emprego de

procedimento numrico adequado, citando: mtodo das diferenas finitas, mtodo dos

elementos finitos ou mtodo dos elementos de contorno. Como mostrado em

ALBUQUERQUE (1998), a existncia de softwares que possibilitam a anlise estrutural

pelos mtodos dos elementos finitos e a sua confiabilidade fizeram com que o mesmo fosse o

mais difundido para o clculo das lajes lisas.

Em casos particulares, quando os pilares estiverem dispostos em filas

ortogonais de maneira regular e com vos pouco diferentes o projeto de reviso da

NBR6118/2000 permite o clculo dos esforos por processo elstico aproximado que

consiste em adotar, em cada direo ortogonal, prticos mltiplos num processo de anlise

bidimensional. Pede, porm, que se assim for procedida a anlise sejam ento estudadas

cuidadosamente as ligaes das lajes com os pilares, com especial ateno nos casos de

assimetria de forma e de carregamento, devendo ser obrigatria a considerao dos

momentos de ligao entre laje e pilares extremos.

Um mtodo mais refinado de clculo do que o dos Prt

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