Análise Numérica - Integração

Analise NumericaIntegracao

Renato Martins Assuncao

DCC - UFMG

2012

Renato Martins Assuncao (DCC - UFMG) Analise Numerica 2012 1 / 1

Introducao

Calcular integrais e uma tarefa rotineira em engenharia, aparecendoem quase todo problema que exige algum calculo mais sofisticado.

Diferente de outras operacoes matematicas, integracao de funcoesnao e simples.

Por exemplo, somos capazes de derivar quase qualquer funcao, pormais complicada que seja.

Integracao e uma historia completamente diferente.


Revisao de calculo

Integral de f (x) nointervalo [a, b]:∫ b

af (x)dx

Interpretacao geometrica:a integral e igual a area(com sinal) entre o eixo xe o grafico da funcao f (x).


Revisao de calculo

Para se obter a integral devemos encontrar uma primitiva F (x).

Isto e, encontrar uma funcao F (x) tal que F ′(x) = f (x) para todox ∈ [a, b].

Assim, ∫ b

af (x)dx = F (b)− F (a).

Por exemplo,

∫x2dx =

x3

3+ C e portanto

∫ b

ax2dx =

b3

3− a3

3.


Achando uma primitiva

Achar a primitiva F (x) =

∫ x

af (u)du nao e tarefa simples.

Nao existe um metodo geral que forneca a primitiva F (x) parauma funcao arbitraria f (x).

O que nos temos sao algumas regras de integracao que podem nosauxiliar em alguns casos.


Regras de integracao

Conhecemos alguns casos simples:∫xadx =

xa+1

a + 1∫sen(x)dx = − cos(x)∫

exdx = ex

Usamos propriedades basicas:∫[f (x) + g(x)]dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

cf (x)dx = c

∫f (x)dx


Tecnicas de integracao

Usamos algumas tecnicas de integracao.Substituicao de variaveis

Calcular

∫x2(x3 + 1)5dx

Substituımos

u = x3 + 1

du = 3x2dx1

3du = x2dx

Portanto ∫x2(x3 + 1)5dx =

1

3

∫u5du

=1

3·

u6

6+ C

=1

18u6 + C

=1

18(x3 + 1)6 + C



Integracao por partes:

∫udv = uv −

∫vdu.

Calcular

∫x sec2(x)dx .

Tome u = x e dv = sec2(x).

Entao du = dx e v = tan(x), e assim∫x sec2(x)dx = x tan(x)−

∫tan(x)dx

= x tan(x)− (− ln | cos(x)|) + C

= x tan(x) + ln | cos(x)|+ C .



Integrais envolvendo potencias de funcoes trigonometricas podemser manipuladas usando identidades trigonometricas ate reduzi-lasa uma forma simples.∫

cos3(x)sen4(x)dx =

∫cos2(x)sen4(x) cos(x)dx

=

∫(1− sen2(x))sen4(x) cos(x)dx

=

∫(sen4(x)− sen6(x) cos(x)dx

=

∫(sen4(x) cos(x)dx −

∫sen6(x) cos(x)dx

=1

5sen5(x)− 1

7sen7(x) + C



Se uma integral contem uma raiz da seguinte forma√

a2 ± x2,√

x2 − a2, entao umasubstituicao trigonometrica pode ser util.

Por exemplo, integrar

∫dx

x2√

4− x2.

Tome

x = asenθ = 2senθ

dx = 2 cos θdθ√4− x2 = 2 cos θ

Entao ∫dx

x2√

4− x2=

∫2 cos θdθ

(4sen2θ)(2 cos θ)

=1

4

∫dθ

sen2θ

=1

4

∫csc2 θdθ

= −1

4cot θ + C

= −1

4·√

4− x2

x+ C



Fracoes parciais: se uma integral envolve uma razao entrepolinomios de x podemos reescreve-lo como soma de funcoes maissimples.

Por exemplo,∫x − 1

3x2 − 14x + 15dx =

∫ [−1/2

3x − 5+

1/2

x − 3

]dx

e usamos que ∫1

x − adx = log |x − a|+ C .


Muito ou pouco?

Parece uma enorme quantidade de tecnicas.

Tao grande que conseguimos resolver qualquer integral.

Longe disso: so conseguimos resolver algumas poucas integrais.

Nao conseguimos obter primitivas na maioria das integrais queaparecem em problemas mais praticos.


Inexistencia de primitiva

Nao se trata de incompetencia ou de continuar buscando certasintegrais.

Podemos provar matematicamente que, mesmo se nosrestringirmos apenas as funcoes dadas por formulas, nem todas asfuncoes admitem uma primitiva que tambem seja escrita comocombinacao (finita) de funcoes elementares!


Integrar e difıcil

A integral existe e e bem definida.

Voce pode ate desenhar o grafico da funcao e ter uma ideia daarea sob a curva.

No entanto, algumas funcoes simples nao possuem uma solucaoanalıtica (uma formula) para expressar esta area sob a curva.


Exemplo

Em calculos deprobabilidade, e muitocomum precisarmoscalcular uma integral doseguinte tipo:∫ b

ae−x2

dx

Podemos tracar o grafico da funcao gaussiana f (x) = e−x2, mas nao

existe formula para a primitiva.


Problema com dados empıricos

Em engenharia, muitas vezes queremos calcular a integral de f (x)num intervalo [a, b] mas conhecemos a funcao f (x) apenas emalguns pontos.

Por exemplo, suponha que queremos calcular a area total de umlago.

Vamos representar o contorno do lago com duas funcoes f (x) eg(x).


Area de um lago

Represente a partesuperior do contorno comof (x) e a parte inferiorcomo g(x).

Entao a area do lago e igual a integral∫ b

a[f (x)− g(x)]dx .

Note que f (x)− g(x) e o comprimento do segmento de retavertical conectando os extremos do lago em x .


Medindo y(x) = f (x)− g(x)

Medimos y(x) numconjunto de 12 pontos aolongo do eixo x .

Plotamos y(x) versus xnum grafico (ao lado).

Podemos interpolarmentalmente y(x) e teruma ideia da integraldesejada∫ x11

x0

y(x)dx


Integracao numerica

Assim, existem dois motivos para procurarmos uma aproximacao

numerica para a integral

∫ b

af (x)dx :

Impossibilidade de obter uma primitiva para a integral de f (x).

Desconhecimento de f (x) exceto em alguns pontos x0, x1, . . . , xn.

Nesta parte do curso, vamos aprender algumas tecnicas deintegracao numerica.


Integracao numerica

Outro nome (antigo) paraintegracao numerica equadratura.

O nome parece serresultado da ideia deaproximar uma area(=integral) por pequenosquadrados.


Formula geral

Todas os metodos de integracao (ou quadratura) numericaaproximam a integral de f (x) por uma soma:∫ b

af (x)dx ≈

n∑i=1

wi f (xi ),

Veja que formamos uma soma ponderada de n valores de f (x).

A funcao f (x) e avaliada APENAS nos pontos (ou nos) x1, . . . , xn.

Os pesos wi nao precisam somar 1 nem ser positivos.


Definicao de integral

∫ b

a

f (x)dx

Escolhe-se n + 1 pontosa = x0, x1, . . . , xn = b epontos ci em cadaintervalo [xi−1, xi ]

Some as areas dosretangulos de basehi = xi − xi−1 e alturaf (ci ).

Aumente o numero n de pontos fazendo os retangulos cada vezmenores.

A integral e definida como o limite desta soma de areas deretangulos cada vez menores.


Definicao de integral

Isto e ∫ b

af (x)dx = lim

n→∞

n∑i=1

f (ci )(xi − xi−1),

Supondo que n e grande o suficiente, podemos aproximar a integralsimplesmente por esta soma de areas de retangulos:∫ b

af (x)dx ≈

n∑i=1

f (ci )(xi − xi−1),

Em princıpio, esta aproximacao e valida para qualquer pontoci ∈ [xi−1, xi ] mas algumas escolhas sao mais comuns.


Integral de x2 em [0, 2]

a = 0, b = 2

n = 4

0 = x0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2

Tres escolhas para o ponto ci

No inıcio do intervalo: ci = xi−1

No final do intervalo: ci = xi

No meio do intervalo: ci = (xi−1 + xi )/2


Aproximacao pela esquerda

Figura: Animacao em http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann sum.


Aproximacao pela direita



Aproximacao pelo meio



Formulas

Divida [a, b] em n subintervalos (cada um de comprimento h =b − a

n), e sejam xi = a+ih, i =

0, . . . , n os pontos finais destes subintervalos.

Regra do ponto final esquerdo:∫ b

af (x)dx ≈ Ln(f ) =

n∑i=1

hf (xi−1),

ou seja, pesos sao todos iguais, wi = h, e os nos sao pontos finais esquerdos.Regra (analoga) do ponto final direito:∫ b

af (x)dx ≈ Rn(f ) =

n∑i=1

hf (xi ).

Regra do ponto medio:∫ b

af (x)dx ≈ Mn(f ) =

n∑i=1

hf

(xi−1 + xi

2

).

Novamente todos pesos iguais, mas os nos nos pontos medios.

Embora todos metodos convergem para a integral limite de Riemann, eles fazem isto em

taxas diferentes! A regra do ponto medio e geralmente muito mais acurada – apesar dos tres

metodos aproximarem o integrando por uma constante em cada subintervalo.


Retangulo → Trapezio

Uma aproximacao que costuma ser melhor e aproximar a pequenaarea no intervalo [xi−1, xi ] por um trapezio ao inves de umretangulo.

Aproximacao

por

retangulos

Aproximacao

por

trapezios


Regra do trapezio

Pontos extremos dos intervalos:

a = x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn−1 < xn = b.

Area do trapezio =

f (xi ) + f (xi+1)

2· (xi+1 − xi )

Integral e aproximadamente igual a soma das areas desses trapezios.


Regra do trapezio

Quando o espacamento entre os pontos for constante, terminamoscom formulas muito simples.

Seja h = x1 − x0 = x2 − x1 = . . . = xn − xn−1.

Como o trapezio com base [xi−1, xi ] tem areah · (f (xi ) + f (xi−1))/2, a soma das areas dos trapezios e igual

h

2[(f (x0) + f (x1)) + (f (x1) + f (x2)) + . . .+ (f (xn−2) + f (xn−1)) + (f (xn−1) + f (xn))].

Excetuando o 1o e ultimo termos, todos os outros aparecem duasvezes na soma. A area total dos trapezios fica igual a

h

2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + . . .+ 2f (xn−1) + f (xn)].


Regra do trapezio

Assim, a formula e muito simples:

h

2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + . . .+ 2f (xn−1) + f (xn)] =

h

2

n∑i=0

wi f (xi ).

Cada um dos pontos recebe um peso wi :

wi = 1 se xi = x0 = a ou xn = b.

wi = 2 se xi nao for um dos pontos extremos.


Exemplo - Regra do trapezio

Sabemos que a derivada da funcao arctan e 1/(1 + x2)

Assim, sabemos que

∫ 1

0

1

1 + x2dx = arctan(1)− arctan(0) =

π

4

Vamos usar a regra do trapezio dividindo o intervalo [0, 1] usando11 pontos x0 = 0, x1 = 0.1, . . . , x11 = 1 e portanto, usamos n = 10subintervalos com h = 0.1:

π

4≈

0.1

2{f (0) + 2f (0.1) + 2f (0.2) + . . .+ 2f (0.9) + f (1)}

onde f (x) = 1/(1 + x2)

Temos π = 4× Integral

Usando 5 casas decimais, encontramos π ≈ 3.1400 errando naterceira casa decimal.


Metodo de Simpson

Um metodo ainda melhor e o de Simpson.

Sua ideia e usar DOIS subintervalos e aproximar a funcao f (x) poruma parabola neste intervalo.

A parabola deve passar pelos pontos (xi−1, f (xi−1)), (xi , f (xi )), e(xi+1, f (xi+1)).

Vamos supor agora que temos 2n intervalos e portanto 2n + 1pontos:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < x2n−2 < x2n−1 < x2n = b.


Metodo de Simpson

Simpson aproximando a funcao f (x) no intervalo [a, b] com umaparabola usando os subintervalos [a,m] e [m, b].


Encontrando o polinomio

A parabola que passa pelos pontos (xi−1, f (xi−1)), (xi , f (xi )), e(xi+1, f (xi+1)) pode ser apresentada na forma de um polinomio deLagrange:

p(x) =(x − xi )(x − xi+1)

(xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1)f (xi−1) +

(x − xi−1)(x − xi+1)

(xi − xi−1)(xi − xi+1)f (xi )

+(x − xi−1)(x − xi )

(xi+1 − xi−1)(xi+1 − xi )f (xi+1).

Se h = x1 − x0 = x2 − x1 = . . . = x2n − x2n−1 entao∫ xi+1

xi−1

f (x)dx ≈ h

3[f (xi−1) + 4f (xi ) + f (xi+1)].

Veja como e simples esta formula!!


Encontrando a regra

A integral no intervalo [a, b] e aproximada pela soma das areas dasparabolas ajustadas em cada um dos n pares de intervalossucessivos.

Somando sobre todos estes n pares de intervalos teremos:

∫ b

af (x)dx =

n∑i=1

∫ x2i

x2i−2

f (x)dx ≈n∑

i=1

h

3[f (x2i−2) + 4f (x2i−1) + f (x2i )]

=h

3[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + . . .+ 4f (x2n−1) + f (x2n)]

=h

3

[f (x0) + 4

n∑i=1

f (x2i−1) + 2

n−1∑i=1

f (x2i ) + f (x2n)

],

onde h =b − a

2n.


Regra de Simpson

h

3{y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . .+ 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n}

Chamada tambem de regra de 1/3 de Simpson.

Em geral, ela fornece resultados mais precisos que as outras regras,mais simples, que aprendemos ate agora.


Exemplo

Vamos recalcular 4

∫ 1

0

1

1 + x2dx = arctan(1)− arctan(0) = π

Usaremos 10 intervalos, como antes.

Temos

2(y2 + y4 + y6 + y8) = 6.33731529

4(y1 + y3 + y5 + y7 + y9) = 15.7246294,

E entao∫ 1

0

1

1 + x2dx ≈

0.1

3(1.0000 + 6.33731529 + 15.7246294 + 0.5000),

ou seja,

π = 4

∫ 1

0

1

1 + x2dx ≈ 3.14159263,

que difere de pi apenas na 8a casa decimal.


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