ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA DE PONTE EM VIGA ... · anÁlise paramÉtrica de superestrutura de ponte em viga contÍnua silvano cunha da silva projeto de graduaÇÃo submetido

ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA

DE PONTE EM VIGA CONTÍNUA

Silvano Cunha da Silva

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia Civil da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte

dos requisitos necessários à obtenção do título de

Engenheiro.

Orientadores:

Ricardo Valeriano Alves

Flávia Moll de Souza Judice

Rio de Janeiro

Setembro de 2016

ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA DE PONTE EM VIGA CONTÍNUA


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO

RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.

Examinado por:

______________________________________________

Prof. Ricardo Valeriano Alves

D. Sc., EP/UFRJ (Orientador)

______________________________________________

Prof.ª Flávia Moll de Souza Judice

D. Sc., EP/UFRJ (Orientadora)

______________________________________________

Prof.ª Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro

D. Sc., UFF

______________________________________________

Prof. Mauro Henrique Alves de Lima Júnior

D.Sc., EP/UFRJ

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

SETEMBRO de 2016

ii

Silva, Silvano Cunha da

Análise Paramétrica de Superestrutura de Ponte em Viga Contínua/ Silvano Cunha da Silva – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2016.

XIV, 300p.: il.; 29,7

Orientador(es): Ricardo Valeriano Alves , Flávia Moll de Souza Judice

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola politécnica/ Engenharia Civil, 2016.

Referências Bibliográficas: p. 148

1. Análise Estrutural 2. Superestrutura de Pontes 3. Análise Preliminar 4. Pré-dimensionamento. I. Alves, Ricardo Valeriano, “et al” II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Engenharia Civil. III. Análise Paramétrica de Superestrutura de Ponte em Viga Contínua.

iii

Agradecimentos

Agradeço, em primeiro lugar, a Deus, “Porque d’Ele e por Ele, e para Ele, são

todas as coisas; glória, pois, a Ele Eternamente” (Romanos 11.36). Diante da

dificuldade e das mais diversas experiências, com “mão forte, e braço estendido; o seu

amor dura para sempre” (Salmos 136.12), me ajudando, direcionando, dando força e

alegria, mostrando sua presença, amizade e fidelidade em todos os momentos.

Aos meus pais, pelo apoio, participação e incentivo desde o despertar do

desejo pela graduação até a sua concretização. Sonhando, sorrindo, chorando e

triunfando sobre tantas dificuldades e tropeços.

À minha avó materna Esther, “in memoriam”, por ser vital na formação do meu

caráter, sendo modelo de generosidade, sabedoria, amor e companheirismo nesta

jornada.

Aos professores orientadores Ricardo Valeriano Alves e Flávia Moll de Souza

Judice por sua dedicação, sabedoria, paciência e conhecimento compartilhado nas

salas de aula e em todo o processo de desenvolvimento deste trabalho.

Aos professores e colegas de curso que, isolados ou em conjunto, fizeram

parte da minha formação acadêmica.

À professora Mayra Soares Pereira Lima Perlingeiro e ao professor Mauro

Henrique Alves de Lima Júnior pelo carinho e por acolher o convite de participar da

banca examinadora.

À minha noiva, Shalomí da Costa Lacerda, pela compreensão, carinho e ajuda

nos momentos de dificuldade, e por celebrar a cada nova conquista.

Aos amigos Gisele, Tássia, Natália, Marcela e Diogo, por serem pessoas

fundamentais durante o difícil caminhar até este momento.

A todos, meus sinceros agradecimentos.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica / UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.

Análise Paramétrica de Superestruturas de Ponte em Viga Contínua


Setembro/2016

Orientadores: Ricardo Valeriano Alves, Flávia Moll de Souza Judice

Curso: Engenharia Civil

Este trabalho apresenta uma análise paramétrica da superestrutura de ponte em viga

contínua com seção celular. Descreve as características e propriedades gerais de

pontes, sistemas estruturais e principais carregamentos considerados neste tipo de

estrutura, entre eles: peso próprio, sobrecarga permanente, carga móvel e variação de

temperatura. Desenvolve ferramentas para a obtenção das principais solicitações,

apresentando o procedimento utilizado, os resultados obtidos e sua forma de

aplicação. Ganham destaque as principais seções transversais de análise, que são:

S4, S5, S10 e S15. São confeccionados ábacos para determinação das solicitações

nas principais seções transversais da superestrutura e, por fim, apresenta-se um

exemplo numérico, baseado no estudo desenvolvido, seguido de verificação e

comparação com um modelo computacional, atestando a confiabilidade do estudo

desenvolvido.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fuifilment of the

requirement for the degree of Civil Engineer.

Parametric Analyses of Bridge Superstructures on Continuous Beam


September/2016

Advisors: Ricardo Valeriano Alves, Flávia Moll de Souza Judice

Course: Civil Engineering

This paper presents a parametric analysis of the bridge superstructure in continuous

beam with cell section. It describes the general characteristics and properties of

bridges, structural systems and main loadings considered in this type of structure,

including: own weight, permanent overhead, moving load and temperature variation.

Develops tools for obtaining the main requests, with the procedure used, the results

and their application form. Are highlighted the main cross-section analysis, which are:

S4, S5, S10 and S15. Abacuses are made to determine the requests of the main

transverse sections of the superstructure and, finally, shows a numerical example,

based on the study carried out, followed by scanning and comparison with a computer

model, confirming the reliability of the study developed.

vi

Sumário

1 Introdução ....................................................................................................... 1

1.1 Motivação ...................................................................................................................... 1

1.2 Objetivo ......................................................................................................................... 1

1.3 Organização do Texto ................................................................................................... 2

2 Concepção ...................................................................................................... 3

2.1 Elementos Constituintes de uma Ponte ........................................................................ 6

2.2 Critérios de Classificação das Pontes ........................................................................... 7

2.2.1 Finalidade .............................................................................................................. 7

2.2.2 Material .................................................................................................................. 7

2.2.3 Sistema Estrutural ................................................................................................. 8

3 Carregamentos ............................................................................................. 15

3.1 Ações Permanentes .................................................................................................... 15

3.1.1 Peso Próprio Estrutural ....................................................................................... 15

3.1.2 Sobrecarga Permanente ..................................................................................... 16

3.2 Ações Variáveis ........................................................................................................... 17

3.2.1 Carga Móvel ........................................................................................................ 17

3.3 Temperatura ................................................................................................................ 20

4 Modelo Simplificado Via Método das Forças ................................................. 21

4.1 Modelo de Análise ....................................................................................................... 21

4.2 Aplicação do Método das Forças ................................................................................ 24

4.2.1 Método da Carga Unitária ................................................................................... 24

4.2.2 Solicitações Externas no Sistema Principal ........................................................ 27

5 Estudo Paramétrico ....................................................................................... 36

5.1 Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente .......................................... 39

5.1.1 Determinação do Peso Próprio Estrutural ........................................................... 40

5.1.2 Determinação da Sobrecarga Permanente ......................................................... 40

5.2 Análise da Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente ........................ 42

5.2.1 Relação Entre Solicitações de Momento Fletor nas Seções de Estudo ............. 47

5.2.2 Solicitações de Momento Fletor .......................................................................... 49

5.2.3 Solicitações de Cortante...................................................................................... 56

5.2.4 Reações de Apoio ............................................................................................... 59

5.3 Ação Devida a Carga Móvel ........................................................................................ 61

5.3.1 Coeficiente de Impacto ........................................................................................ 61

5.3.2 Trem Tipo de Flexão ........................................................................................... 63

5.3.3 Linha de Influência .............................................................................................. 65

5.3.4 Solicitações de Momento Fletor .......................................................................... 91

5.3.5 Solicitações de Cortante.................................................................................... 111

5.3.6 Reações de Apoio ............................................................................................. 121

5.4 Ação Devido à Temperatura ..................................................................................... 126

5.4.1 Solicitações de Momento Fletor ........................................................................ 129

5.4.2 Solicitações de Cortante.................................................................................... 131

5.4.3 Reação de Apoio ............................................................................................... 132

6 Exemplo Numérico ...................................................................................... 135

6.1 Solicitações de Peso Próprio e Sobrecarga Permanente ......................................... 135

6.2 Solicitações de Carga Móvel ..................................................................................... 140

6.3 Solicitações de Temperatura ..................................................................................... 147

6.4 Avaliação do Exemplo Numérico .............................................................................. 149

7 Considerações Finais .................................................................................. 152

Referências Bibliográficas:........................................................................................ 155

vii

Apêndice A – Diagramas de momento fletor e cortante em função de λ e λb:........... 156

Apêndice B – Ordenada e seção de inflexão, momento no primeiro vão: ................. 164

Apêndice C – Curvas/Linhas de tendência de momento fletor na seção S4: ............ 174

Apêndice D – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S5: ................. 181

Apêndice E – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S10: ................ 188

Apêndice F – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S15: ................ 195

Apêndice G – Curvas/Linhas de tendência cortante a esquerda na seção S10: ....... 202

Apêndice H – Curvas/Linhas de tendência reação de apoio em B: ........................... 209

Apêndice I – Ordenadas da linha de influência para o cortante na seção S10 a direita e a esquerda: ............................................................................................................... 216

Apêndice J – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S4, carga móvel: ............................................................................................................. 222

Apêndice K – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S5, carga móvel: ............................................................................................................. 229

Apêndice L – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor na seção S10, carga móvel: 236

Apêndice M – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor positivo na seção S15, carga móvel: ............................................................................................................. 250

Apêndice N – Curvas/Linhas de tendência do cortante à direita e à esquerda da seção S10, ação da carga móvel: ....................................................................................... 257

Apêndice O – Curvas/Linhas de tendência da reação de apoio em B, ação da carga móvel 285

Apêndice P – Gradiente de Temperatura: ................................................................. 299

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Sistema estrutural em viga celular em concreto ........................................................ 3

Figura 2.2 - Sistema estrutural em viga celular em aço ................................................................ 4

Figura 2.3 – Sistema estrutural em treliça metálica ...................................................................... 4

Figura 2.4 – Sistema estrutural em arco de concreto ................................................................... 4

Figura 2.5 – Sistema estrutural em arco metálico......................................................................... 4

Figura 2.6 – Sistema estrutural em arco metálico com superfície de rolamento intermediária .... 5

Figura 2.7 – Sistema estrutural em sistema pênsil ....................................................................... 5

Figura 2.8 – Sistema estrutural em pórtico ................................................................................... 5

Figura 2.9 – Sistema estrutural estaiado ...................................................................................... 5

Figura 2.10 – Elementos constituintes de uma ponte ................................................................... 6

Figura 2.11 – Sistema estrutural em laje ...................................................................................... 8

Figura 2.12 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada.................................................................... 8

Figura 2.13 – Sistema estrutural em sequência de vigas bi-apoiadas ......................................... 9

Figura 2.14 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada com balanços ............................................ 9

Figura 2.15 – Sistema estrutural em viga hiperestática com balanços ......................................... 9

Figura 2.16 – Sistema estrutural em viga hiperestática sem balanços ......................................... 9

Figura 2.17 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção aberta ................. 10

Figura 2.18 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção fechada .............. 10

Figura 2.19 – Sistema estrutural em pórtico ............................................................................... 11

Figura 2.20 – Sistema estrutural em arco: a) superfície de rolamento superior; b) superfície de

rolamento inferior; c) superfície de rolamento intermediária ............................................... 12

Figura 2.21 – Sistema estrutural pênsil ....................................................................................... 13

Figura 2.22 – Sistema estrutural estaiado, disposição de cabos: a) tipo leque; b) tipo harpa; c)

tipo semi-harpa (híbrido) ..................................................................................................... 14

Figura 2.23 – Sistema estrutural estaiado, configurações típicas das torres (ou pilones) ......... 14

Figura 3.1 – Barreira “New Jersey” ............................................................................................. 16

Figura 3.2 – Disposição de cargas TB-450 ................................................................................. 17

Figura 3.3 – Diagrama de distribuição de temperatura ao longo da altura da peça ................... 20

Figura 4.1 – Modelo de análise ................................................................................................... 21

Figura 4.2 – Comprimento equivalente para o balanço .............................................................. 22

Figura 4.3 – Gráfico �� .................................................................................... 23

Figura 4.4 – Modelo de análise simétrico ................................................................................... 23

Figura 4.5 – Sistema principal para o método das forças ........................................................... 24

Figura 4.6 – Modelo simplificado via método das forças ............................................................ 24

Figura 4.7 – Efeitos de um momento unitário e de um carregamento qualquer ......................... 24

Figura 4.8 – Diagrama de momentos da carga unitária e do carregamento qualquer ............... 25

Figura 4.9 – Diagrama momento-rotação e tensão-deformação ................................................ 25

Figura 4.10 – Diagrama de ação da carga unitária ..................................................................... 26

ix

Figura 4.11 – Associação das soluções para integrais do método das forças ........................... 27

Figura 4.12 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga

distribuída uniforme ............................................................................................................. 28

Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme,

hiperestático X1 ................................................................................................................... 28

Figura 4.14 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme,

hiperestático X2 ................................................................................................................... 29

Figura 4.15 – Diagrama final de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme ......... 30

Figura 4.16 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga

concentrada no meio dos vãos ........................................................................................... 31

Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão,

hiperestático X1 ................................................................................................................... 31

Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão,

hiperestático X2 ................................................................................................................... 32

Figura 4.19 – Deformada e rotações relativas para ação de momentos nos extremos ............. 32

Figura 4.20 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos,

hiperestático X1 ................................................................................................................... 33

Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos,

hiperestático X2 ................................................................................................................... 33

Figura 4.22 – Diagrama de momentos fletores, efeito de gradiente de temperatura,

hiperestático X1 ................................................................................................................... 34

Figura 5.1 - Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �� = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9 ..... 36

Figura 5.2 – Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �� = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9 37

Figura 5.3 – Diagrama de cortante em � para �� = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9........................... 37

Figura 5.4 – Diagrama de cortante em � para �� = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9 ...................... 38

Figura 5.5 – Seções de décimos de vão ..................................................................................... 39

Figura 5.6 – Seção transversal ................................................................................................... 39

Figura 5.7 – Seção transversal aproximada típica (dimensões em m) ....................................... 40

Figura 5.8 – Espessura de pavimentação ................................................................................... 41

Figura 5.9 – Ordenada ��. 1º�ã�(+) versus � para �2 = 15,0� ......................................... 43

Figura 5.10 – Seção ��. 1º�ã�(+) versus � para �2 = 15,0� ............................................ 44

Figura 5.11 – Relação �#4��. 1º�ã�(+) versus �, para �2 = 15,0� ................................. 45

Figura 5.12 – Relação �#5��. 1º�ã�(+) versus �, para �2 = 15,0� ................................. 45

Figura 5.13 – Diagrama de momentos fletores para �2 = 15,0� e � = 0,7e relação:

a) �� = 0; b) �� = 0,10; c) �� = 0,20; d) �� = 0,30 (valores em � ∙ �). ............................ 46

Figura 5.14 – Relação �#10�#0 versus �, para �2 = 15,0� ................................................... 48

Figura 5.15 – Relação �#15�#4 versus �, para �2 = 15,0� ................................................... 49

Figura 5.16 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �� = 0,15 ...................................... 52

Figura 5.17 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �� = 0,15 ......................... 53

Figura 5.18 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �� = 0,15...................... 54

x

Figura 5.19 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �� = 0,15 ....................... 55

Figura 5.20 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �� = 0,15 ............................ 57

Figura 5.21 – Solicitações de cortante seção S10 à direita ........................................................ 58

Figura 5.22 – Reações de apoio do modelo de análise .............................................................. 59

Figura 5.23 – Reação de apoio &', �� = 0,15 .......................................................................... 60

Figura 5.24 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão, em planta .................... 63

Figura 5.25 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão e apenas com carga de

multidão, corte transversal .................................................................................................. 64

Figura 5.26 – Trem-tipo de flexão ............................................................................................... 64

Figura 5.27 – Linhas de influência de momento fletor: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15

............................................................................................................................................. 65

Figura 5.28 – Linhas de influência de cortante: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15 ....... 66

Figura 5.29 – Ordenadas na seção S4 da linha de influência da seção S4 ............................... 72

Figura 5.30 – Ordenadas na seção S5 da linha de influência da Seção S4 .............................. 73

Figura 5.31 – Ordenadas na seção S15 da linha de influência da seção S4 ............................. 74

Figura 5.32 – Ordenadas no balanço da linha de influência da seção S4, �� = 0,15 ................ 75

Figura 5.33 – Ordenadas na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4 . 77

Figura 5.34 – Orientação para as funções das ordenadas ......................................................... 77

Figura 5.35 – Linha de influência de momentos da seção S4 .................................................... 92

Figura 5.36 – Gráfico ��. #4 versus �2 .................................................................................. 95

Figura 5.37 – Gráfico ��(). #4 versus �2 para �� = 0,15 .......................................................... 96

Figura 5.38 – Linha de Influência de momento fletor da seção S5............................................. 98

Figura 5.39 – Gráfico ��. #5 versus �2 ................................................................................ 100

Figura 5.40 – Gráfico ��(). #5 versus �2, para �� = 0,15 ....................................................... 101

Figura 5.41 – Linha de Influência da seção S10 ....................................................................... 103

Figura 5.42 – Gráfico ��(). #10 versus �2, para �� = 0,15 ..................................................... 105

Figura 5.43 – Gráfico ��. #10 versus �2, para �� = 0,15 .................................................... 106

Figura 5.44 – Linha de influência da seção S15 ....................................................................... 107

Figura 5.45 – Gráfico ��. #15 versus �2, para �� = 0,15 .................................................... 110

Figura 5.46 – Gráfico ��(). #15 versus �2 .............................................................................. 111

Figura 5.47 - Gráfico *#10.��. +(� versus �2, �� = 0,15 ....................................................... 117

Figura 5.48 - Gráfico *#10.�(). +(� versus �2, �� = 0,15 ........................................................ 118

Figura 5.49 - Gráfico *#10.��. �� versus �2, �� = 0,15 ....................................................... 119

Figura 5.50 - Gráfico *#10.�(). �� versus �2, �� = 0,15 ........................................................ 120

Figura 5.51 - Gráfico &'.�� versus �2, �� = 0,15 ................................................................. 123

Figura 5.52 - Gráfico &'.�() versus �2, �� = 0,15 .................................................................. 125

Figura 5.53 – Linearização da ação de temperatura ................................................................ 126

Figura 5.54 – Trapézios para avaliação das variáveis b(y) e T(y) ............................................ 127

Figura 5.55 – Distribuição simplificada genérica de temperatura ............................................. 128

Figura 5.56 – Distribuição linearizada equivalente da temperatura .......................................... 128

xi

Figura 5.57 – Decomposição em trapézios ............................................................................... 129

Figura 5.58 – Curva de momento fletor versus � por ação de temperatura ............................. 131

Figura 5.59 – Diagrama de cortante e momento por ação de temperatura .............................. 131

Figura 5.60 – Cortante à esquerda, por ação de temperatura .................................................. 132

Figura 5.61 – Reação de apoio em B versus �2 ....................................................................... 134

Figura 6.1 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �) ............................................................................................................................... 151

Figura 6.2 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �) ............................................................................................................................... 151

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Ordenadas do diagrama de distribuição da temperatura ...................................... 20

Tabela 5.1 – Solicitações de momento fletor nas seções S4, S5, S10 e S15 ............................ 51

Tabela 5.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �� = 0,15 ...... 52

Tabela 5.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �� = 0,15 ...... 53

Tabela 5.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �� = 0,15 .. 54

Tabela 5.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �� = 0,15 .... 55

Tabela 5.6 – Solicitações de cortante na seção S10 .................................................................. 56

Tabela 5.7 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda, para �� = 0,15 ........ 57

Tabela 5.8 – Reações de Apoio &, e &' ................................................................................... 59

Tabela 5.9 – Linhas de tendência de reação de apoio &' para �� = 0,15 ................................. 60

Tabela 5.10 – Coeficiente de impacto, � = 0,7 ........................................................................... 62

Tabela 5.11 – Linhas de influência da seção S4: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 = 15,0�;

d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................................ 67

Tabela 5.12 – Linhas de influência da seção S10: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 =15,0�; d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................... 68

Tabela 5.13 – Linhas de Influência da seção S15: a) �2 = 10,0�; b) �2 = 13,0� ; c) �2 =15,0�; d) �2 = 18,0� ; e) �2 = 20,0� ............................................................................... 69

Tabela 5.14 – Ordenadas linha de influência, momento fletor da seção S4 .............................. 72

Tabela 5.15 – Constantes C, na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4

............................................................................................................................................. 76

Tabela 5.16 – Ordenadas na seção S4 para linha de influência de momentos fletores em S4 . 76

Tabela 5.17 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de

influência de momento fletor em S4 .................................................................................... 78

Tabela 5.18 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para

linha de influência de momento fletor em S4 ...................................................................... 79


influência de momento fletor em S5 .................................................................................... 80


linha de influência de momento fletor em S5 ...................................................................... 81


influência de momento fletor em S10 .................................................................................. 82


linha de influência de momento fletor em S10 .................................................................... 83


influência de momento fletor em S15 .................................................................................. 84


linha de influência de momento fletor em S15 .................................................................... 85

xiii

Tabela 5.25 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para o cortante a direita ............... 86

Tabela 5.26 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço

esquerdo .............................................................................................................................. 87

Tabela 5.27 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, pontos de

estudo .................................................................................................................................. 87


direito ................................................................................................................................... 87

Tabela 5.29 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, balanço

esquerdo .............................................................................................................................. 88

Tabela 5.30 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, pontos de

estudo .................................................................................................................................. 88


direito ................................................................................................................................... 88

Tabela 5.32 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à direita . 89

Tabela 5.33 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à esquerda

............................................................................................................................................. 90

Tabela 5.34 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor na seção S4 ..................... 92

Tabela 5.35 – Envoltória de momentos fletores na seção S4 (� = 0,7 e �� = 0,15) .................. 94

Tabela 5.36 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para ação da carga

móvel ................................................................................................................................... 95

Tabela 5.37 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �� = 0,15 . 96

Tabela 5.38 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor na seção S5 ..................... 97

Tabela 5.39 – Envoltória de momentos fletores na seção S5 (� = 0,7 e �� = 0,15) .................. 99

Tabela 5.40 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 .......................... 100

Tabela 5.41 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �� = 0,15 101

Tabela 5.42 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor da seção S10 ................. 102

Tabela 5.43 – Envoltória de momentos fletores na seção S10 (� = 0,7 e �� = 0,15) .............. 104

Tabela 5.44 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 105

Tabela 5.45 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �� = 0,15106

Tabela 5.46 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor da seção S15 ................. 107

Tabela 5.47 – Envoltória de momentos fletores na seção S15 (� = 0,7 e �� = 0,15) .............. 109

Tabela 5.48 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �� = 0,15110

Tabela 5.49 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S15 ....................... 111

Tabela 5.50 - Ordenadas de cortante à direita da seção S10 .................................................. 112

Tabela 5.51 - Ordenadas de cortante à esquerda da seção S10 ............................................. 112

Tabela 5.52 - Solicitações de cortante à direita da seção S10 ................................................. 114

Tabela 5.53 - Solicitações de cortante à esquerda da seção S10 ............................................ 116

Tabela 5.54 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 117

xiv

Tabela 5.55 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10 para �� = 0,15 ........................................................................................................................................... 118

Tabela 5.56 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda na seção S10, para �� = 0,15 ........................................................................................................................... 119

Tabela 5.57 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda na seção S10, para �� =0,15 .................................................................................................................................... 120

Tabela 5.58 – Reações máximas e mínimas do Apoio em B, para a ação da carga móvel

(�� = 0,15) ......................................................................................................................... 121

Tabela 5.59 - Linhas de tendência de reação máxima de apoio em B, para �� = 0,15 ........... 123

Tabela 5.60 - Linhas de tendência de reação mínima de apoio em B, para �� = 0,15 ............ 125

Tabela 5.61 – Desenvolvimento da integração da temperatura para seção transversal.......... 128

Tabela 5.62 – Solicitação de momento fletor por ação da temperatura ................................... 130

Tabela 5.63 – Solicitação de cortante à esquerda .................................................................... 132

Tabela 5.64 – Reações de apoio em B, � = 0,7 ....................................................................... 133

Tabela 5.65 – Linhas de tendência de reação de apoio em B, por ação de temperatura ....... 134

Tabela 6.1 – Opções para transposição ................................................................................... 135

Tabela 6.2 – Resumo das solicitações de peso próprio e sobrecarga permanente ................. 139

Tabela 6.3 – Resumo Solicitações carga móvel, momento fletor ............................................. 146

Tabela 6.4 – Resumo solicitações temperatura, momento fletor .............................................. 148

Tabela 6.5 – Comparativo entre o estudo desenvolvido e o modelo computacional ............... 149

1

1 Introdução

A concepção de um projeto de ponte inicia-se com a necessidade de se

transpor algo, seja um rio, um vale, uma via, ou algum obstáculo que impeça a

passagem. Ao se deparar com este determinado obstáculo em que a solução seja

executar uma ponte para a sua transposição, inicia-se o processo de estudo de

viabilidade, com a escolha do sistema estrutural ideal para a situação, ou seja, a

solução estrutural mais viável.

Os projetistas que possuem “know-how” para a execução destas estruturas,

em sua maioria, baseiam-se em projetos já realizados ou pontes já construídas. São

considerados métodos construtivos e soluções estruturais adotadas há décadas,

tecnologias consagradas ou novas etc. Observa-se que o projeto considerado ideal à

realidade moderna pode não se apresentar como a solução indicada para um

determinado obstáculo se o mesmo projeto fosse concebido no passado, ou até

mesmo no futuro. Mesmo assim, ainda se utilizam métodos e projetos antigos como

subsídio para novas concepções.

1.1 Motivação

Diante da situação apresentada, percebe-se que a inexperiência do jovem

engenheiro torna-se um enorme empecilho no ingresso ao cálculo estrutural de

pontes. Essa constatação motivou o desenvolvimento do trabalho aqui apresentado,

que busca fornecer subsídios confiáveis para o pré-dimensionamento de

superestruturas de pontes.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é analisar a superestrutura de uma ponte típica em

viga contínua com seção celular e desenvolver ferramentas que forneçam uma análise

preliminar rápida, apresentando as principais solicitações dimensionantes para as

ações usuais. Desta forma, tornando mais ágil o processo de pré-dimensionamento de

uma superestrutura típica de ponte com três vãos e balanços extremos em concreto

armado.

2

1.3 Organização do Texto

O trabalho é subdividido basicamente em três etapas. A primeira consiste na

apresentação da metodologia usada, carregamentos considerados, premissas

adotadas e descrição dos processos de cálculo a serem utilizados. A segunda etapa é

a análise do modelo proposto para o trabalho, apresentando os resultados obtidos e

as verificações necessárias. Por fim, na terceira etapa é realizado um exemplo com a

utilização deste método para o pré-dimensionamento do modelo proposto, seguido da

verificação em modelo computacional.

Os capítulos descritos a seguir abordam os assuntos tratados ao longo deste

estudo. São eles:

− Capítulo 2: Este capítulo descreve os pontos relevantes para a concepção de

pontes, apresentando os elementos constituintes, critérios de classificação e

principais sistemas estruturais de pontes;

− Capítulo 3: Apresenta e descreve os carregamentos atuantes nas pontes, suas

definições, critérios de análise e procedimentos;

− Capítulo 4: Descreve o modelo simplificado via método das forças de forma

sucinta;

− Capítulo 5: Propõe um estudo paramétrico Ilustrado a partir do desenvolvimento

do método das forças, fornecendo os meios de análise do modelo proposto para

este trabalho. Determina as ferramentas de análise da superestrutura da ponte

em viga contínua;

− Capítulo 6: Apresenta um exemplo numérico com a aplicação das ferramentas

elaboradas para a análise do modelo;

− Capítulo 7: Apresenta a conclusão do trabalho e sugere novas propostas para

prosseguimento do estudo.

3

2 Concepção

Conforme descrito por PFEIL (1979) [1], uma ponte pode ser definida como:

“obra destinada à transposição de obstáculos à continuidade do leito normal de uma

via, tais como rios, braços de mar, vales profundos, outras vias, etc. Quando a ponte

tem por objetivo a transposição de vales, outras vias ou obstáculos em geral não

constituídos por água é, comumente, denominada viaduto”.

Como descrito por Bridge Engineering Handbook (2000) [2], “planejamento e

concepção de pontes é parte arte e parte compromisso, por se tratar de um

significante aspecto da engenharia estrutural. É a manifestação da capacidade de

criação, aliada com a imaginação, inovação e exploração de ideias”.

Ainda segundo [2], “a importância do conceito de análise na etapa de

planejamento de uma ponte não pode ser descrita de forma fácil.” Deparando-se com

um obstáculo (rio, vale ou outras vias), idealiza-se a sua transposição por uma ponte.

Neste ponto, visualizar e imaginar a ponte para que ela tenha uma funcionalidade e

um desempenho ótimo é de extrema importância. Determinar os fatores que tornem a

solução econômica e segura, durante sua execução e funcionamento, é um caminho

árduo. Trata-se de um complexo problema de engenharia, onde muitas considerações

e aspectos são levados em conta, tais como: sistema estrutural, dimensões, materiais,

fundações, aspecto visual, ambiente e muitos outros fatores. Em suma, o processo de

elaboração de uma solução estrutural consiste na investigação e desenvolvimento

destes pontos para se determinar a melhor solução.

Um exemplo da necessidade de análise preliminar das possibilidades

estruturais é apresentado nas ilustrações das Figuras 2.1 a 2.9 [3], onde um mesmo

obstáculo pode ser transposto por inúmeros sistemas estruturais.

Figura 2.1 - Sistema estrutural em viga celular em concreto

4

Figura 2.2 - Sistema estrutural em viga celular em aço

Figura 2.3 – Sistema estrutural em treliça metálica

Figura 2.4 – Sistema estrutural em arco de concreto

Figura 2.5 – Sistema estrutural em arco metálico

5

Figura 2.6 – Sistema estrutural em arco metálico com superfície de rolamento intermediária

Figura 2.7 – Sistema estrutural em sistema pênsil

Figura 2.8 – Sistema estrutural em pórtico

Figura 2.9 – Sistema estrutural estaiado

6

Através das Figuras 2.1 à 2.9 pode-se observar a importância do processo de

concepção de uma ponte, para um mesmo obstáculo é possível a utilização dos mais

variados sistemas estruturais. As considerações a serem feitas e os estudos a serem

realizados para que a solução adotada seja condizente com as condições do terreno,

disponibilidade de materiais e máquinas, qualidade de mão de obra disponível nos

arredores da construção e outros fatores, podem determinar o sucesso ou a falha total

da concepção da ponte.

Este capítulo irá descrever sucintamente os principais sistemas estruturais de

pontes, os materiais empregados, seus campos de aplicação, etc.

2.1 Elementos Constituintes de uma Ponte

As pontes podem se dividir em três partes principais: infraestrutura,

mesoestrutura e superestrutura.

A Figura 2.10 apresenta um esquema dos elementos estruturais constituintes

de uma ponte.

Figura 2.10 – Elementos constituintes de uma ponte

7

A superestrutura é a parte da estrutura composta por lajes, vigas principais e

secundárias (também chamadas transversinas). É o elemento que recebe diretamente

as ações provenientes de cargas móveis e sobrecargas atuantes na superfície da

ponte.

A mesoestrutura é a parte da ponte que tem como finalidade transmitir as

ações recebidas da superestrutura para a infraestrutura, juntamente com as ações da

pressão do vento e de cursos d’água em movimento. Constituem a mesoestrutura da

ponte: pilares, aparelhos de apoio e vigas de coroamento, quando existirem.

Infraestrutura é a parte da ponte que tem como finalidade receber as ações da

mesoestrutura e transmiti-las para o solo em que a obra está implementada. A

infraestrutura é constituída dos blocos, sapatas, estacas, tubulões, blocos de

coroamento de estacas, etc.

2.2 Critérios de Classificação das Pontes

As estruturas de pontes podem ser classificadas quanto a:

• Finalidade

• Material de construção

• Sistema Estrutural

2.2.1 Finalidade

Segundo a finalidade, as pontes podem ser rodoviárias, ferroviárias, ou para

pedestres, geralmente chamadas de passarelas. Ainda existem as estruturas típicas

de pontes destinadas ao suporte de tubulações para água, esgoto, gás, óleo, pistas de

aeroportos e até para vias navegáveis (ponte canal).

2.2.2 Material

Quanto ao material, as pontes podem ser de madeira, de pedra, de concreto

armado, concreto protendido ou metálicas. As pontes podem ainda ser do tipo mista,

quando utilizam mais de um material predominante para a sua construção.

8

2.2.3 Sistema Estrutural

Quanto ao sistema estrutural, as pontes podem ser em laje, em vigas de alma

cheia, em treliça, em quadros rígidos, em arcos, estaiadas ou pênseis.

Os sistemas estruturais fundamentais são os de:

• Vigas: onde os elementos portantes estão sob flexão;

• Arcos: onde os elementos portantes (arcos) estão sob compressão;

• Sistema de cabos: onde os elementos portantes estão tracionados.

2.2.3.1 Sistema Estrutural em Laje

São superestruturas constituídas simplesmente por lajes apoiadas ou

contínuas. Geralmente são utilizadas para pequenos vãos e possuem uma relação

espessura/vão variando de 1/15 a 1/20, para as soluções em concreto armado, e até

1/30, para soluções em concreto protendido.

A Figura 2.11 mostra esquematicamente uma ponte em laje com um único vão.

Figura 2.11 – Sistema estrutural em laje

2.2.3.2 Sistema Estrutural em Viga

No sistema de vigas sob flexão, tem-se usualmente estruturas isostáticas ou

hiperestáticas. Nos sistemas isostáticos, as vigas são bi-apoiadas, conforme

apresentado na Figura 2.12 [4]. Este é o sistema utilizado normalmente no caso de

vigas pré-moldadas. O mesmo sistema bi-apoiado pode ser adotado em

superestruturas com sequência de vãos, como ilustrado na Figura 2.13 [4].

Figura 2.12 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada

9

Figura 2.13 – Sistema estrutural em sequência de vigas bi-apoiadas

Outra alternativa, bastante utilizada, é a viga bi apoiada com balanços

extremos. Esse sistema permite empregar vão central maior devido à redução do

momentos fletores positivos. Além disso, os apoios são mais econômicos do que

encontros. A Figura 2.14 [4] apresenta um caso típico deste sistema.

Figura 2.14 – Sistema estrutural em viga bi-apoiada com balanços

Tem-se ainda o sistema estrutural hiperestático com vigas executadas “in loco”

e que difere das vigas bi-apoiadas por possuir vínculo com os vãos anteriores e

posteriores. Algumas vantagens de sua utilização são: no deslocamento do diagrama

de momentos fletores auxiliando na redução das solicitações; segurança adicional

gerada a partir da redundância de vínculos. Excepcionalmente, quando da ausência

de espaço hábil para a concretagem no local, dificuldade de escoramento e/ou

cronograma apertado, opta-se por vigas pré-moldadas que após o seu

posicionamento, são unidas entre si, tornando-as uma viga hiperestática. Este sistema

estrutural é ilustrado nas Figuras 2.15 [4] e 2.16 [4].

Figura 2.15 – Sistema estrutural em viga hiperestática com balanços

Figura 2.16 – Sistema estrutural em viga hiperestática sem balanços

10

Os exemplos apresentados de sistema estrutural em viga podem se apresentar

com seções transversais abertas e fechadas.

As vigas de seção aberta podem ser compostas por vigas moldadas “in loco”

(duas ou múltiplas vigas), vigas pré-moldadas com posterior execução da superfície de

rolamento e vigas mistas aço/concreto. Exemplos destas seções transversais são

ilustradas na Figura 2.17 [4].

Figura 2.17 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção aberta

As vigas de seção fechada apresentam seção celular, que representa o objeto

de estudo deste trabalho. Estas possuem características que se destacam para

situações particulares, como por exemplo as pontes curvas, que garantem o aumento

da rigidez à torção em comparação às vigas de seção aberta. Além disso, apresentam

boa estética, permitem melhor distribuição transversal das cargas e maior resistência

as solicitações de compressão nos apoios.

Exemplos destas vigas de seção fechada são apresentados na Figura 2.18 [4],

com possibilidades em concreto e aço/concreto.

Figura 2.18 – Seções transversais do sistema estrutural em vigas de seção fechada

11

2.2.3.3 Sistema Estrutural em Pórtico

Nesse sistema a superestrutura é consolidada a mesoestrutura em uma

ligação monolítica, não havendo a utilização de aparelhos de apoio. Sua utilização

torna-se conveniente em situações onde os pilares são esbeltos. A ligação monolítica

entre superestrutura e mesoestrutura reduz o comprimento de flambagem do pilar (bi-

engastado) e gera rigidez superior ao sistema pilar e viga. Tem como ponto positivo

para situações de difícil acesso a característica de manutenção mínima por não

possuir apoio entre viga e pilar. A Figura 2.19 [4] ilustra este sistema estrutural.

Figura 2.19 – Sistema estrutural em pórtico

2.2.3.4 Sistema Estrutural em Arco

É o sistema estrutural mais antigo que se tem conhecimento, seu

funcionamento baseia-se em arcos que trabalham sob compressão, garantindo maior

aproveitamento da alta resistência à compressão do concreto. Isto ocorre por seu

projeto ser baseado nas linhas de pressão de compressão provenientes da carga

permanente. Podem ser projetadas com superfície de rolamento superior,

intermediária ou inferior, como ilustrado na Figura 2.20.

12

a)

b)

c)

Figura 2.20 – Sistema estrutural em arco: a) superfície de rolamento superior; b) superfície de rolamento inferior; c) superfície de rolamento intermediária

2.2.3.5 Sistema Estrutural Pênsil

Neste sistema o tabuleiro é sustentado por cabos metálicos verticais

atirantados, ligados a dois cabos catenários que se unem às torres de sustentação e

aos blocos de ancoragem. A transferência de ações ocorre pelo efeito de tração nos

cabos que comprimem as torres de sustentação e transferem os esforços para o solo.

Uma particularidade deste sistema estrutural é, que quando sujeito a grandes

cargas de vento, o tabuleiro pode apresentar movimentos que geram desconforto e

falta de segurança para o tráfego. Devido a isto, a superestrutura deve apresentar

grande rigidez à torção, a fim de diminuir estes efeitos. A Figura 2.21 ilustra os

elementos que constituem este sistema estrutural.

13

Figura 2.21 – Sistema estrutural pênsil

2.2.3.6 Sistema Estrutural Estaiado

O sistema estrutural estaiado é semelhante ao pênsil. A principal diferença

deve-se à forma de conexão dos cabos às torres, ou Pilones. No sistema pênsil, os

cabos passam livremente através das torres e no sistema estaiado estes são

ancorados.

Este sistema estrutural é formado por um vigamento de grande rigidez à torção

apoiado nos encontros e nas torres de ancoragem. Possui cabos distribuídos

longitudinalmente, denominados estais, fixados ao vigamento e às torres de

ancoragem.

As torres podem ser projetadas com uma esbeltez considerável. Pela

distribuição e disposição dos cabos e sua geometria, as solicitações transferidas para

as torres são de compressão, que devido à boa resistência à compressão do concreto,

permite transferir maiores solicitações com seções menores. As principais formas de

disposição de cabos são ilustradas na Figura 2.22 [4] e as configurações típicas para

as torres são apresentadas na Figura 2.23 [4].

14

a)

b)

c)

Figura 2.22 – Sistema estrutural estaiado, disposição de cabos: a) tipo leque; b) tipo harpa; c) tipo semi-harpa (híbrido)

Figura 2.23 – Sistema estrutural estaiado, configurações típicas das torres (ou pilones)

15

3 Carregamentos

De acordo com a NBR 7187(2003) [5], as ações que provocam o surgimento

de esforços nas estruturas classificam-se como permanentes e variáveis.

Carga permanente é aquela cuja intensidade pode ser considerada com

atuação constante ao longo da vida útil da construção e carga variável aquela que

possui um caráter transitório, ou seja, é um carregamento que pode ou não ocorrer.

3.1 Ações Permanentes

Estas ações compreendem, entre outras:

• Cargas provenientes do peso próprio dos elementos estruturais;

• Cargas provenientes do peso da pavimentação, dos trilhos, dos

dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos guarda-

rodas, dos guarda-corpos e de dispositivos de sinalização;

• Empuxos de terra e de líquidos;

• Forças de protensão;

• Deformações impostas, isto é, provocadas por fluência e retração do

concreto, por variações de temperatura e por deslocamentos de apoios.

3.1.1 Peso Próprio Estrutural

O carregamento de peso próprio estrutural corresponde ao peso dos elementos

estruturais que compõem a superestrutura. Sua ação no modelo de análise consiste

em uma carga uniforme distribuída longitudinalmente na ponte.

O carregamento de peso próprio é definido como o produto da área da seção

transversal (m2) pelo peso específico do concreto armado. A NBR 7187(2003) [5], em

seu item 7.1.1, especifica que, para a avaliação das cargas devidas ao peso próprio

dos elementos estruturais, o peso específico deve ser tomado igual a 25 kN/m3 para

concreto armado ou protendido.

Usualmente, utilizam-se mísulas nas vigas em regiões próximas aos apoios.

Estas mísulas são comumente representadas como um carregamento linearmente

distribuído. Para os fins deste trabalho, serão desconsideradas as mísulas, adotando-

se seção constante em toda a extensão da ponte.

16

3.1.2 Sobrecarga Permanente

Dentre as ações permanentes são consideradas como sobrecargas

permanentes as ações provenientes da pavimentação, recapeamento, barreiras

laterais e guarda-corpos. Estas ações são consideradas como sobrecargas por não

serem componentes das pontes com função estrutural.

3.1.2.1 Pavimentação

A carga de pavimentação é determinada a partir da espessura da

pavimentação, de valor igual a 5 cm. Devendo-se adotar inclinação do pavimento em

2%, para fins de escoamento da água na superfície de rolamento. A NBR 7187(2003)

especifica ainda, que o material utilizado deve possuir peso específico mínimo de 24

kN/m3, sendo prevista uma carga adicional de 2,0 kN/m2 para um possível

recapeamento.

3.1.2.2 Guarda-Rodas

A carga proveniente do guarda-rodas corresponde a uma carga distribuída

constante ao longo ponte, em ambos os lados da seção. Este carregamento é definido

a partir da seção transversal típica de uma barreira lateral New-Jersey. A seção

transversal é ilustrada na Figura 3.1 [6].

Figura 3.1 – Barreira “New Jersey”

O produto da área transversal pelo peso específico do concreto armado,

considerando as dimensões da Figura 4.06, fornecem:

, = 0,230�. (1)

/01 = 0,230�. × 5 � �3⁄ ≅ 5,80 � �⁄ (2)

Desta forma, a carga total devida à barreira lateral é de:

/01 = 2 × 5,80 = 11,60 � �⁄ (3)

17

3.2 Ações Variáveis

Estas ações compreendem, entre outras:

• As cargas móveis;

• As cargas de construção;

• As cargas de vento;

• O empuxo de terra provocado por cargas móveis;

• A pressão da água em movimento;

• O efeito dinâmico do movimento das águas;

• As variações de temperatura.

3.2.1 Carga Móvel

De acordo com a NBR 7188(2013) [7], “a carga móvel rodoviária padrão TB-

450 é definida por um veículo tipo de 450 kN, com seis rodas, P = 75 kN, três eixos de

cargas afastados entre si de 1,5m, com área de ocupação de 18,0 m², circuncidada

por uma carga uniformemente distribuída constante de p = 5,0 kN/m²”.

A Figura 3.2 [7] ilustra a carga padrão TB-450.

Figura 3.2 – Disposição de cargas TB-450

18

3.2.1.1 Coeficiente de Impacto

O coeficiente de impacto da carga móvel, definido pela NBR 7188(2013) [7] no

seu item 5.1.2, é dado por:

7 = 89* ∙ 8 : ∙ 89, (4)

onde: CIV é o coeficiente de impacto vertical;

CNF é o coeficiente de numero de faixas;

CIA é o coeficiente de impacto adicional.

3.2.1.2 Coeficiente de Impacto Vertical

As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o

dimensionamento de todos os elementos estruturais pelo coeficiente de impacto

vertical CIV, obtendo-se os valores Q e q para dimensionamento dos elementos

estruturais.

O coeficiente de impacto vertical assumirá os valores de:

89* = 1,35, para estruturas com vão menor do que 10,0m 89* = 1 + 1,06 ∗ < .=>?@AB=C, para estruturas com vão entre 10,0 m e 200,0 m

onde: �(� é o vão, em metros, para o cálculo de CIV, conforme o tipo de estrutura,

sendo: �(� é usado para estruturas de vão isostático, para vãos contínuos é usada a

média aritmética dos vãos. �(� é o comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço;

Para estruturas com vãos acima de 200,0 m deve ser realizado estudo

específico para a consideração da amplificação dinâmica e definição do coeficiente de

impacto vertical.

19

3.2.1.3 Coeficiente do Número De Faixas

As cargas móveis características devem ser ajustadas pelo coeficiente do

número de faixas do tabuleiro CNF, conforme descrito a seguir:

8 : = 1 − 0,05 ∗ () − 2) > 0,9 (5)

onde:

n é o número de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um

tabuleiro transversamente contínuo. Acostamentos e faixas de segurança

não são faixas de tráfego da rodovia.

Este coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estruturais

transversais ao sentido do tráfego (lajes, transversinas, etc.).

3.2.1.4 Coeficiente de Impacto Adicional

Os esforços das cargas móveis devem ser majoradas nas regiões de juntas

estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais a uma

distância horizontal, normal à junta, inferior a 5,0 m para cada lado da junta ou

descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforços das cargas

móveis majoradas pelo coeficiente de impacto adicional, definido como:

89, = 1,25 , para obras em concreto ou mistas;

89, = 1,15 , para obras em aço.

20

3.3 Temperatura

O carregamento representado pelo efeito da temperatura em uma edificação é

especificado pela NBR 6118(2014) [8], em seus itens 11.4.2.1 e 11.4.2.2, para

variações uniformes ou não uniformes de temperatura. Em “elementos estruturais em

que a temperatura possa ter distribuição significativamente diferente da uniforme,

devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais

precisos, pode ser considerada uma variação linear entre os valores de temperatura

adotados, desde de que esta variação entre uma face e outra não seja inferior a 5ºC”.

O efeito da temperatura nas pontes se dá de forma não uniforme e sua análise

é trabalhosa e requer dados precisos do comportamento estrutural diante desta ação.

A NBR 6118(2014) [8], por sua vez, não fornece subsídios para avaliação da

variação não-uniforme de temperatura. Por esse motivo, adotar-se-ão os

procedimentos para avaliação da distribuição não-uniforme de temperatura prescritos

na antiga norma NBR 7187(1987) [9].

De acordo com NBR 7187(1987) [9], em seu item 7.1.9, deve ser considerada

ao longo da altura de cada seção transversal, a distribuição de temperatura definida na

Figura 3.3 [9], conforme os valores fornecidos na Tabela 3.1.

Figura 3.3 – Diagrama de distribuição de temperatura ao longo da altura da peça

Tabela 3.1 – Ordenadas do diagrama de distribuição da temperatura

21

4 Modelo Simplificado Via Método das Forças

A análise será realizada através da utilização do Método das Forças. Este

método considera os três grupos de condições básicas da análise estrutural, sendo

eles: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade (continuidade interna e

compatibilidade com os vínculos externos) e condições impostas pelas leis

constitutivas dos materiais que compõem a estrutura. Formalmente, o método das

forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidas

pelo modelo estrutural na seguinte ordem:

• Condições de Equilíbrio;

• Condições sobre o comportamento dos materiais (leis constitutivas);

• Condições de compatibilidade.

Na prática a metodologia utilizada, segundo MARTHA (2010) [10], é: "Somar

uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de equilíbrio, mas não

satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura original, para na

superposição restabelecer as condições de compatibilidade".

A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, uma

estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de

vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os

momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são

denominados hiperestáticos.

4.1 Modelo de Análise

O modelo de análise consistirá em uma ponte de seção celular com três vãos e

balanços em suas extremidades, onde são apoiadas as placas de transição. A Figura

4.1 ilustra o modelo.

Figura 4.1 – Modelo de análise

onde:

�F é o comprimento da placa de transição; �G é o comprimento do balanço; �H��3 é o comprimento dos vãos laterais; �. é o comprimento do vão central.

22

Adotando-se as cargas atuantes sobre a placa de transição iguais às dos

balanços, pode-se considerar um comprimento equivalente para o balanço, �IJ@, que

resulte no mesmo momento negativo sobre o apoio da extremidade, conforme

ilustrado na Figura 4.2 [4]:

Figura 4.2 – Comprimento equivalente para o balanço

Os momentos ilustrados na Figura 4.2 podem ser obtidos por meio de:

�G = −�2 ∙ �G ∙ K�G + �FL (6)

�IJ@ = −�2 ∙ K�IJ@L. (7)

Igualando as Eq. (6) e (7), têm-se:

−�2 ∙ �G ∙ K�G + �FL = −�2 ∙ K�IJ@L.

�IJ@ = M�G ∙ K�G + �FNL (8)

Adotando-se a respectiva expansão em Série de Taylor truncada no primeiro

grau:

�IJ@ ≅ �G + �FN2 (9)

Pode-se observar uma boa aproximação da expressão anterior a partir do

gráfico apresentado na Figura 4.3 [4]:

23

Figura 4.3 – Gráfico �IJ@ �FO �� G �FO

A partir da consideração de um modelo simétrico, onde os vãos laterais e os

balanços extremos possuam valores proporcionais ao vão central, pode-se adotar o

modelo ilustrado na Figura 4.4.

Figura 4.4 – Modelo de análise simétrico

A relação entre os vãos é dada por:

�G = �IJ@�H = �IJ@� ∙ �. (10)

� = �H� = �3� (11)

24

4.2 Aplicação do Método das Forças

Aplicando o método das forças ao modelo de análise e adotando hiperestáticos

para o momento nos apoios centrais, tem-se o sistema principal descrito na Figura 4.5:

Figura 4.5 – Sistema principal para o método das forças

Os extremos em balanço constituem uma estrutura isostática. Sua influência no

modelo de análise pode ser substituída pela atuação do momento correspondente a

atuação da carga na estrutura.

Para uma carga distribuída uniforme o momento será dado por:

�GPN = � ∙ �[email protected] (12)

Desta forma, o modelo se resume a (Figura 4.6):

Figura 4.6 – Modelo simplificado via método das forças

4.2.1 Método da Carga Unitária

O método da carga unitária consiste na aplicação de uma força, ou momento,

ou carregamento qualquer, a uma estrutura isostática para determinar a deformação, a

rotação relativa e o momento fletor correspondentes.

Exemplificando através da ação e dos efeitos (deformada e rotação relativa) de

um momento unitário e um carregamento qualquer tem-se (Figura 4.7 [4]):

Figura 4.7 – Efeitos de um momento unitário e de um carregamento qualquer

25

O diagrama de momentos fletores para a carga unitária e para o carregamento

qualquer é (Figura 4.8 [4]):

Figura 4.8 – Diagrama de momentos da carga unitária e do carregamento qualquer

O diagrama momento-rotação e tensão-deformação, superpondo-se os efeitos

do carregamento qualquer aos da carga unitária, é ilustrado na Figura 4.9 [4].

Figura 4.9 – Diagrama momento-rotação e tensão-deformação

A partir da equivalência entre o trabalho realizado pela carga unitária para a

rotação decorrente do carregamento qualquer e a correspondente energia de

deformação, tem-se:

�Q ∙ R = S TU ∙ V ∙ +��W@XN (13)

Sendo:

�Q = 1 (14)

TU = �Q9 Y (15)

26

Z = T[ = �[ ∙ 9 Y (16)

Logo:

R = \ ]�Q ∙ �[ ∙ 9. ∙ (Y. ∙ +,)+�^_`>

_`= (17)

Como:

]Y. ∙ +,^ = 9 (18)

Tem-se assim a expressão para determinação de uma rotação decorrente de

um carregamento qualquer:

R = \ �Q ∙ �[ ∙ 9 +�_`>_`= (19)

onde:

� é o momento proveniente de solicitações externas;

�Q é o momento proveniente da carga unitária; [ é o módulo de elasticidade; 9 é a inércia.

Traçando os diagramas de ação da carga unitária nas posições dos

hiperestáticos (Figura 4.10 [4]) definidos no item 4.2 e sendo:

�H = aH ∙ �QH (20)

�. = a. ∙ �Q. (21)

Figura 4.10 – Diagrama de ação da carga unitária

As rotações são expressas por:

RH= = \�QH ∙ �=[ ∙ 9 +� (22)

27

R.= = \�Q. ∙ �=[ ∙ 9 +� (23)

RHH = \�QH ∙ �QH[ ∙ 9 +� (24)

R.H = \�Q. ∙ �QH[ ∙ 9 +� (25)

RH. = \�QH ∙ �Q.[ ∙ 9 +� (26)

R.. = \�Q. ∙ �Q.[ ∙ 9 +� (27)

Sendo as cargas consideradas para o projeto de pontes, basicamente, cargas

distribuídas uniformes ou cargas pontuais, os momentos fletores gerados limitam-se a

funções lineares e parabólicas. As soluções para as integrais tornam-se a associação

de gráficos lineares ou parabólicos, que são resumidamente (Figura 4.11 [4]):

Figura 4.11 – Associação das soluções para integrais do método das forças

4.2.2 Solicitações Externas no Sistema Principal

Solicitações externas são os carregamentos atuantes na estrutura. Para este

trabalho, as solicitações externas consideradas são os carregamentos provenientes

das ações de: peso próprio e sobrecarga permanente (carga distribuída uniforme),

variação não uniforme de temperatura e carga móvel (carga pontual e carga

distribuída uniforme concomitantes).

A atuação destas solicitações externas pode ocorrer de forma isolada ou

associada a outro carregamento. Será apresentada a metodologia de análise para

cada tipo de ação de forma isolada. Para se obter o efeito final do carregamento, caso

de ações concomitantes, basta somar os valores encontrados em cada caso isolado.

Ou seja, para a ação de peso próprio, que consiste numa carga distribuída uniforme

no sentido longitudinal da ponte, o efeito final será determinado pela associação

28

(soma) dos efeitos isolados para os balanços extremos e para a carga distribuída

uniforme atuando em todos os vãos da ponte.

4.2.2.1 Ação de Carga Distribuída Uniforme

Considerando-se atuantes, nos três vãos da ponte, cargas distribuídas

uniformes, como ilustrado na Figura 4.12 [4], as equações de compatibilidade

fornecem:

Figura 4.12 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga distribuída uniforme

A Figura 4.13 [4] mostra a associação da carga distribuída uniforme e do

hiperestático X1.

[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0 (28)

Figura 4.13 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme, hiperestático X1

29

Solucionando-se as integrais, obtém-se:

13b�H ∙ �H.8 ∙ �H + �. ∙ �..8 ∙ �.c + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (29)

A associação da carga distribuída uniforme e do hiperestático X2 está ilustrada

na Figura 4.14 [4].

[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0 (30)

Figura 4.14 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme, hiperestático X2


13b�. ∙ �..8 ∙ �. + �3 ∙ �3.8 ∙ �3c + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (31)

Resolvendo o sistema de equações formado pela Eq. (29) e pela Eq. (31),

obtêm-se os hiperestáticos de X1 e X2.

d2(�H + �.) �.�. 2(�. + �3)e ∙ faHa.g = −14 h�H ∙ �H3 + �. ∙ �.3�. ∙ �.3 + �3 ∙ �33i

faHa.g = −116(�H + �.)(�. + �3) − 4�.. d2(�. + �3) −�.−�. 2(�H + �.)e h�H ∙ �H3 + �. ∙ �.3�. ∙ �.3 + �3 ∙ �33i

faHa.g =jklkm−2�H ∙ �H3(�. + �3) + �. ∙ �.3(�. + 2�3) − �3 ∙ �. ∙ �3316(�H + �.)(�. + �3) − 4�..−2�3 ∙ �33(�H + �.) + �. ∙ �.3(�. + 2�H) − �H ∙ �. ∙ �H316(�H + �.)(�. + �3) − �.. nko

kp (32)

30

O diagrama final de momentos fletores pode então ser representado por

(Figura 4.15 [4]):

Figura 4.15 – Diagrama final de momentos fletores, ação de carga distribuída uniforme

Sendo a proposta neste trabalho ter os vãos laterais com comprimentos

relacionados ao vão central, tem-se:

�H = �3 = �� (33)

�. = � (34)

Com as cargas:

�H = �. = �3 = � (35)

Logo, a expressão para os hiperestáticos toma a forma:

aH = a. = − (1 + �3)4(3 + 2�) � ∙ �. (36)

31

4.2.2.2 Ação de Carga Concentrada no Meio dos Vãos

Para a ação de cargas concentradas no meio dos vãos, as equações de

compatibilidade fornecem (Figura 4.16 [4]):

Figura 4.16 – Deformada, rotações relativas e momentos fletores para ação de carga concentrada no meio dos vãos

A Figura 4.17 [4] ilustra a associação da carga distribuída uniforme e do

hiperestático X1, Eq. (28).

[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0

Figura 4.17 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão, hiperestático X1


qH ∙ �H.16 + q. ∙ �..16 + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (37)

A Figura 4.18 [4] mostra a associação da carga distribuída uniforme e do


[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0

32

Figura 4.18 – Diagrama de momentos fletores, ação de carga concentrada no meio do vão, hiperestático X2


q. ∙ �..16 + q3 ∙ �3.16 + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (38)

Resolvendo o sistema de equações formado pelas Eq. (37) e (38) e

considerando as expressões (33) e (34), obtêm-se os hiperestáticos de X1 e X2.

aH = −3�(2qH ∙ �.(1 + �) + q.(1 + 2�) − q3 ∙ �.)8(4�. + 8� + 3) (39)

a. = −3�(2q3 ∙ �.(1 + �) + q.(1 + 2�) − qH ∙ �.)8(4�. + 8� + 3) (40)

4.2.2.3 Ação de Momentos nos Extremos

Para o caso de extremos em balanço os efeitos das cargas sobre estes trechos

podem ser estudados a partir da análise de momentos aplicados nos apoios extremos,

conforme esquema a seguir (Figura 4.19 [4]):

Figura 4.19 – Deformada e rotações relativas para ação de momentos nos extremos

A Figura 4.20 [4] ilustra a associação da carga distribuída uniforme e do


[ ∙ 9(RH= + RHH + RH.) = 0

33

Figura 4.20 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos, hiperestático X1


�^ ∙ �H6 + aH3 (�H + �.) + a.6 �. = 0 (41)

A associação da carga distribuída uniforme e do hiperestático X2 está ilustrado

na Figura 4.21 [4], Eq. (32).

[ ∙ 9(R.= + R.H + R..) = 0

Figura 4.21 – Diagrama de momentos fletores, ação de momentos nos extremos, hiperestático X2


�r ∙ �36 + aH6 �. + a.3 (�. + �3) = 0 (42)

Resolvendo o sistema de equações e considerando as Eq. (33) e (34):

aH = −2�^ ∙ �(1 + �) − �r ∙ �(4�. + 8� + 3) (43)

a. = −2�r ∙ �(1 + �) − �^ ∙ �(4�. + 8� + 3) (44)

34

4.2.2.4 Efeitos de Gradiente de Temperatura

Para atuação de gradiente de temperatura, as rotações no sistema principal

são definidas a partir da análise de deformações de um trecho elementar de viga bi

apoiada, como ilustrado a seguir (Figura 4.22 [4]):

Figura 4.22 – Diagrama de momentos fletores, efeito de gradiente de temperatura,

hiperestático X1

As rotações devidas ao efeito do gradiente de temperatura (rotações negativas)

são:

RH= = − ∆t2uv ∙ �(1 + �H) (45)

R.= = − ∆t2uv ∙ �(1 + �3) (46)

Pelas equações de compatibilidade, tem-se:

RH= + RHH + RH. = 0 (47)

RH= + aH \�QH ∙ �QH[9 +� + a. \�QH ∙ �Q.[9 +� = 0 (48)

− ∆t2uv ∙ �(1 + �H) + aH3 (�H� + �)[9 + a.6 �[9 = 0 R.= + R.H + R.. = 0 (49)

R.= + aH \�Q. ∙ �QH[9 +� + a. \�Q. ∙ �Q.[9 +� = 0 (50)

− ∆t2uv ∙ �(1 + �3) + aH6 �[9 + a.3 (�3� + �)[9 = 0

35

A partir da consideração:

�H = �3 = � (51)

E resolvendo o sistema de equações, tem-se:

aH = a. = 3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ∆tu (1 + �)(3 + 2�) (52)

4.2.2.5 Ação de Carga Móvel Rodoviária

Para a análise dos efeitos devidos a carga móvel rodoviária, faz-se o uso das

linhas de influência correspondentes as seções de análise.

Através da linha de influência das seções de análise, posiciona-se a carga

móvel nos trechos que possuem as maiores ordenadas conforme a solicitação que se

deseja obter.

36

5 Estudo Paramétrico

Este capítulo apresenta a proposição de uma forma ágil para a estimativa das

solicitações relativas a cada carregamento com base no vão central e nas relações

adotadas para os vãos laterais e balanços extremos de uma ponte hiperestática de

três vãos.

Para fins de pré-dimensionamento, o procedimento comumente adotado na

maioria das situações, consiste em obter as solicitações de momento máximo positivo

(vão central), e de momento máximo negativo (apoios intermediários), cortante

máximo e reação máxima de apoio. Porém, ao se analisar o comportamento para

diferentes relações de � (variação de 0,2 a 1,0) pode-se observar que, para

determinados valores, a solicitação máxima de momento positivo não ocorre no vão

central, e sim, no vão lateral.

A partir de um modelo simples e aplicando apenas a carga de peso próprio

estrutural e sobrecarga permanente, torna-se possível visualizar esta particularidade

ao variar a relação �.

Para fins de exemplificação, pode-se visualizar esta particularidade adotando o

comprimento vão central igual a 15,0m, os valores de 0,7 e 0,9 para a relação �, os

valores de 0 e 0,10 para a relação �G e a atuação de um carregamento constante

uniforme em toda a extensão da superestrutura. A Figura 5.1 ilustra os diagramas de

momento fletor para estes dois valores de relação �, ambos com a relação �G = 0.

a)

b)

Figura 5.1 - Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �G = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9

37

A Figura 5.2 ilustra os diagramas de momento fletor para dois valores de

relação �, ambos com a relação �G = 0,10.

a)

b)

Figura 5.2 – Diagrama de momentos fletores em � ∙ � para �G = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9

Quanto à análise do cortante, pode-se encontrar a mesma particularidade.

Para determinados valores de relação �, o valor de cortante máximo é encontrado no

vão lateral. As Figuras 5.3 e 5.4 apresentam os resultados obtidos para o cortante.

Tomou-se como referência as mesmas características (vãos e carregamentos) do

exemplo anterior.

a)

b)

Figura 5.3 – Diagrama de cortante em � para �G = 0: a) � = 0,7; b) � = 0,9

38

a)

b)

Figura 5.4 – Diagrama de cortante em � para �G = 0,10: a) � = 0,7; b) � = 0,9

No apêndice A são apresentados os diagramas de momentos fletores e de

cortantes para outros valores de relações adotadas para os vãos laterais e balanços

extremos, tornando possível observar que, para diferentes combinações de � e �G, a

ocorrência desta particularidade é visível para valores diferentes de � ao se aumentar

o valor de �G.

Com base nas tabelas A.1 a A.8, pode-se observar a ocorrência do valor

máximo de momento fletor nos vãos laterais a partir da relação � = 0,8 para a situação

de �G = 0, e para a relação � = 1,0 isto ocorre para a situação de �G = 0,20. Para o

valor de �G = 0,30, o valor de momento máximo fletor ocorre no vão central, não

apresentando a particularidade descrita anteriormente, porém, as solicitações de

momento fletor negativo no apoio intermediário e extremo apresentam-se com valores

muito elevados. Este comportamento mostra a importância de se buscar uma melhor

relação � que torne a distribuição das solicitações ao longo da ponte mais consistente.

Isto levará a uma relação “ótima” para o pré-dimensionamento e evitará que, na

elaboração do projeto definitivo, não sejam necessários muitos ajustes.

Diante deste fato, torna-se mais clara a necessidade de avaliação do vão

lateral juntamente com o vão central. Isto irá trazer maior confiabilidade quanto à

ordem de grandeza da solicitação de momento fletor máximo e cortante máximo para

a superestrutura.

A Figura 5.5 ilustra as relações definidas no item 4.1 deste trabalho e a divisão

do modelo de análise em décimos de vão.

39

Figura 5.5 – Seções de décimos de vão

A análise do modelo consistirá na avaliação das seções usuais de pré-

dimensionamento, S10 e S15. Adicionalmente, far-se-á um estudo sobre os vãos

laterais a fim de se buscar a seção de ocorrência do máximo momento fletor. Por fim,

buscar-se-á determinar em que situação existe a ocorrência de momento fletor (no vão

lateral) superior ao momento da seção S15.

5.1 Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente

Conforme ilustrado na Figura 5.6, é considerada a forma básica usual de seção

transversal com duas faixas de rolamento e duas faixas de acostamento.

Figura 5.6 – Seção transversal

Para fins de pré-dimensionamento, são adotadas aproximações com intuito de

generalizar os procedimentos de cálculo. Assim, as lajes superior e inferior serão

consideradas com espessuras constantes (sem mísulas). A seção aproximada típica e

suas dimensões encontram-se ilustradas na Figura 5.7.

40

Figura 5.7 – Seção transversal aproximada típica (dimensões em m)

5.1.1 Determinação do Peso Próprio Estrutural

A determinação do carregamento de peso próprio é dada pela área da seção

transversal multiplicada pelo peso específico do concreto. Desta forma, chega-se á:

/ww = xK�yz ∙ �N{,|L + K2 × �}(ℎ@?�P − �N{,| − �N{,?L + K�� ∙ �N{,?L� × ��X��zI�X (53)

A partir da Eq. (53), pode-se determinar o carregamento de peso próprio ao

longo do comprimento da ponte, tal como mostrado a seguir:

�yz = 12,00�; �N{,| = 0,25�; �} = 0,35�; ℎ@?�P = 1,50�; �� = 6,50�; �N{,? = 0,15�; ��X��zI�X = 25,0� �3⁄

/ww = �(12,00 × 0,25) + (2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)) + (6,50 × 0,15)� × 25,0

/ww = 118,6 � �⁄

5.1.2 Determinação da Sobrecarga Permanente

As cargas consideradas neste estudo como sobrecarga permanente são:

• Pavimentação

• Barreira lateral.

O valor a ser considerado para a barreira lateral já foi determinado no item

3.1.2.2, sendo um valor usual para qualquer natureza de projeto de superestrutura.

41

5.1.2.1 Determinação da Pavimentação

A carga proveniente do pavimento é determinada pelo produto da espessura

média do pavimento pelo seu peso específico. A Figura 5.8 ilustra o valor de

espessura considerado para a análise.

Figura 5.8 – Espessura de pavimentação

A carga de pavimentação é determinada por:

/FP@ = �FP@ ∙ K�F?|�P.H + �F?|�P..L2 ∙ �FP@ (54)

De acordo com a Figura 5.8 e fazendo-se o uso de (56), chega-se a:

�F?|�P.H = 0,05�;�F?|�P.. = 0,16�;�FP@ = 11,20�

�FP@ = 24,00� �3⁄ ;/zIFP@ = 2,00� �.⁄ /FP@ = �FP@ ∙ K�F?|�P.H + �F?|�P..L2 ∙ �FP@ = 11,20 × (0,05 + 0,16)2 × 24,00 = 28,2� /�

/zIFP@ = �FP@ ∙ /zIFP@ = 11,20 × 2,00 = 22,4� /�sendo:

�FP@ é a largura da seção transversal com pavimento asfáltico;

�F?|�P.H é a espessura da pavimentação na borda da via;

�F?|�P.. é a espessura da pavimentação no ponto central da via;

�FP@ é o peso específico da pavimentação;

/zIFP@ é a carga de repavimentação.

42

5.2 Análise da Ação Devida ao Peso Próprio e Sobrecarga Permanente

A avaliação do momento máximo no primeiro vão possui dois pontos principais:

o valor da solicitação de momento em relação ao momento da seção S15, e a posição

(seção) de sua ocorrência.

O processo para se determinar o valor de momento máximo no primeiro vão

consiste na utilização das definições e expressões determinadas no capítulo 4.

O estudo realizado consistiu na avaliação das solicitações da superestrutura da

ponte para valores de �. entre 10,0 e 20,0m (incremento de 1,0m), � entre 0,2 e 1,0

(incremento de 0,02), e �G entre 0 e 0,3 (incremento de 0,05). Através destas relações,

busca-se encontrar o valor ideal para a relação entre vão central, vãos laterais e

balanços extremos.

Como citado anteriormente, o primeiro passo é a avaliação deste momento no

primeiro vão e a posição de sua ocorrência.

O procedimento adotado para a determinação da posição de momento máximo

inicia-se com a definição da função correspondente ao cortante para o primeiro vão,

referido ao cortante à direita do apoio A. A Eq. (57) apresenta a expressão:

*(�)Hº@ãX = *̂ ,�?z − /wwA�XGw ∙ � (55)

sendo:

*(�)Hº@ãX é o cortante no 1º vão;

*̂ ,�?z é o cortante à direita no apoio A;

/wwA�XGw é a carga de peso próprio e sobrecarga permanente;

� é a ordenada no sentido longitudinal do 1º vão.

A partir da integração da Eq. (55) e do valor correspondente ao momento na

seção S0 (momento devido ao balanço extremo), tem-se a função correspondente ao

momento ao longo do 1º vão.

\*(�)Hº@ãX+� = \K*̂ ,�?z − /wwA�XGw ∙ �L+� = *̂ ,�?z ∙ � − /wwA�XGw ∙ � ∙ �2 + 8 (56)

A constante 8 é determinada pela ordenada � = 0, o que corresponde ao valor

do momento do balanço extremo. Logo:

8 = �G,IJ@ (57)

43

Sendo assim, a expressão para o momento passa a ser:

�(�)Hº@ãX = *̂ ,�?z ∙ � − /wwA�XGw ∙ �.2 + �G,IJ@ (58)

A posição de ocorrência do momento máximo é a mesma em que o cortante se

torna nulo. Desta forma, a partir da expressão do cortante para o 1º vão e igualando-o

a zero, determina-se esta posição. A expressão para � toma a forma:

� = *̂ ,�?z/wwA�XGw (59)

Este estudo limita-se a valores de �. variando entre 10,0 e 20,0 m. Com o

intuito de exemplificar o procedimento de análise, será considerado o valor de �. = 15,0�, além das propriedades e carregamentos da seção transversal de estudo.

Os cálculos e valores encontrados para os demais valores de comprimento de vão

central, �., são apresentados no apêndice B.

Realizando o cálculo da ordenada de ocorrência do momento fletor máximo em

função de � e para as diferentes relações de �G adotadas para o estudo, tem-se o

gráfico ilustrado na Figura 5.9.

Figura 5.9 – Ordenada ��P_.Hº@ãX(A) versus � para �. = 15,0�

44

Como visto no gráfico da Figura 5.9, a posição de ocorrência deste momento

máximo no primeiro vão possui diferentes ordenadas ao longo da superestrutura.

Logo, tratar deste fenômeno a partir da sua posição se tornará um processo

trabalhoso e extenso, pois para cada combinação de relação � e �G será obtida uma

posição diferente.

Desta forma, realizando-se a transformação da ordenada de posição do

momento máximo no primeiro vão para a seção de análise correspondente, pode-se

encontrar uma expressão que traga agilidade e uma análise rápida para qualquer

relação adotada.

O gráfico ilustrado na Figura 5.10 traz a seção correspondente à ordenada de

momento máximo no primeiro vão para as diferentes relações de � e �G.

Figura 5.10 – Seção ��P_.Hº@ãX(A) versus � para �. = 15,0�

Pode-se concluir, através do gráfico apresentado, que o ponto correspondente

ao momento máximo possui uma tendência a ocorrer entre as seções S4 e S5; para

valores de λ maiores que 0,7.

Visando investigar a proximidade da magnitude dos momentos fletores das

seções S4 e S5 com o momento máximo no 1º vão, foram plotados os gráficos

45

�� P_.Hº@ãX(A)O versus λ e ��B ��P_.Hº@ãX(A)O versus λ, ilustrados nas Figuras 5.11 e

5.12, respectivamente

Figura 5.11 – Relação �� P_.Hº@ãX(A)O versus �, para �. = 15,0�

Figura 5.12 – Relação ��B ��P_.Hº@ãX(A)O versus �, para �. = 15,0�

46

Os gráficos apresentados nas Figuras 5.11 e 5.12 apresentam uma alternância

do posicionamento das curvas. Para o gráfico da relação de momento fletor na seção

S4 sobre o momento máximo no 1º vão, as curvas que apresentam esta relação mais

próxima da unidade são as de �G entre 0 e 0,2. Para o gráfico da relação de momento

fletor na seção S5 sobre o momento máximo no 1º vão, as curvas que se apresentam

mais próximas da unidade são as de �G entre 0,2 e 0,3. Isto ocorre pelo deslocamento

do ponto de momento máximo com o aumento da relação �G.

A Figura 5.13 ilustra, através de modelos computacionais, o deslocamento do

ponto de momento fletor máximo para �. = 15,0� e relação λ = 0,7 com incrementos

de 0,10 para a relação �G.

a)

b)

c)

d)

Figura 5.13 – Diagrama de momentos fletores para �. = 15,0� e � = 0,7e relação: a) �G = 0; b) �G = 0,10; c) �G = 0,20; d) �G = 0,30 (valores em � ∙ �).

47

Através dos diagramas ilustrados na Figura 5.13 é observado que para λb = 0,

o ponto de ocorrência de momento máximo encontra-se antes da seção S4. Para a

relação λb = 0,10 o ponto de momento máximo é praticamente na seção S4. Quanto a

relação λb = 0,30, mesmo que não ocorra momento positivo, pode-se observar que o

ponto de inflexão da curva encontra-se sobre a seção S5.

Logo, a partir da Figura 5.11 pode-se concluir que a seção S4 representa

razoavelmente bem a seção de máximo momento fletor no 1º vão, apresentando

relação �� P_.Hº@ãX(A)O próxima da unidade para valores de λ maiores do que 0,65 e

�G inferiores a 0,2, admitindo-se um erro de 5%.

De acordo com a Figura 5.12, admitindo-se um erro de 5%, nota-se que a

relação ��B ��P_.Hº@ãX(A)O aproxima-se da unidade para valores de λ maiores do que

0,75 e �G com valores entre 0,2 e 0,3.

5.2.1 Relação Entre Solicitações de Momento Fletor nas Seções de Estudo

Um dimensionamento eficiente é aquele onde não ocorrem exageros, escassez

ou ambos em diferentes instantes de execução de uma tarefa. Correlacionando esta

visão com as estruturas de pontes, um dimensionamento eficiente seria empregar

peças com características e propriedades que atendam às possíveis condições de

solicitação da estrutura. Isto conduz ao pensamento de que, determinando-se a

solicitação devida a um dado carregamento, aplicando-se os fatores de ponderação

desta solicitação, determinando-se a armadura necessária (para o caso de concreto

armado) e verificando-se quanto a fadiga da peça estrutural, seja a forma eficiente de

se dimensionar a peça. Afinal, passa-se por todos os principais pontos da concepção

da estrutura.

No entanto, através de análises mais amplas, encontram-se outros fatores que

podem e são de extrema importância para este dimensionamento eficiente. Um destes

fatores é a relação entre o vão central e o lateral, que pode gerar uma distribuição das

solicitações de forma mais eficiente, gerando peças mais enxutas com necessidade de

uma menor quantidade de material.

As seções de análise deste trabalho são: S4, S5, S10 e S15. A seção S0 tem

sua importância por representar o efeito do balanço extremo na superestrutura, as

seções S4 e S5 foram descritas no item anterior, a seção S10 é referente a solicitação

48

de momento fletor negativo e a seção S15 é referente a solicitação de momento fletor

positivo.

Desta forma, ao se determinar a relação entre as seções S0 e S10, solicitações

de momentos fletores negativos, e para as seções S4, S5 e S15, solicitações de

momentos fletores positivos, pode-se encontrar uma relação que seja a mais eficiente

quanto à distribuição das solicitações ao longo da superestrutura.

Tomando-se, novamente, como exemplo o valor de �. = 15,0�, a relação

entre momentos fletores característicos nas seções S0 e S10 é mostrada na Figura

5.14.

Figura 5.14 – Relação ��H= ��=� versus �, para �. = 15,0�

A partir do gráfico da Figura 5.14, pode-se observar a influência das relações

entre o vão central e o lateral, e principalmente, a relevância do balanço extremo. Para

a curva que representa �G = 0,15, observa-se que o momento negativo na seção S10

é de, aproximadamente, 3,2 vezes superior ao da seção S0, para � = 0,5,

apresentando uma queda ao se aproximar de valores superiores de �, chegando a

cerca de 2,2 para � = 1,0.

49

Para um mesmo valor de �, por exemplo � = 0,7, ainda é possível observar a

grande influência do balanço extremo nesta relação. Para �G = 0,05, o momento na

seção S10 torna-se 5,2 vezes superior ao momento na seção S0, enquanto para �G = 0,3, esta relação reduz para aproximadamente 1,2.

A Figura 5.15 ilustra a relação entre momentos fletores positivos nas seções

S4 e S15.

Figura 5.15 – Relação ��HB �� versus �, para �. = 15,0�

Novamente, pode-se observar, a influência do balanço extremo na relação

entre as solicitações de momentos fletores positivos nos 1º e 2º vãos.

5.2.2 Solicitações de Momento Fletor

As solicitações de momento fletor são obtidas a partir dos procedimentos

descritos no item 4.2.2. O carregamento de peso próprio estrutural consiste em uma

carga constante distribuída ao longo da superestrutura. Tomando-se por base os

valores de �. = 15,0�, � = 0,7, �G = 0,15 e o carregamento de peso próprio estrutural

e sobrecarga permanente, apresenta-se, a seguir, o processo de cálculo das

solicitações de momento fletor em função do vão central, �..

50

A partir da Eq. (9) e do comprimento usual da placa de aproximação

recomendado pelo DNIT [11], obtém-se para o comprimento do balanço extremo:

�FN = 4,0� (60)

�IJ@ = �G + �FN2 (61)

�IJ@ = �G ∙ �H + �FN2 = �G ∙ � ∙ �. + �FN2 = 0,15 × 0,7 × 15,0 + 4,02 (62)

�IJ@ = 3,58� (63)

A carga correspondente ao peso próprio estrutural e sobrecarga permanente é:

/FFA|XG = 180,9 � �� Determinado o comprimento do balanço extremo e a partir da Eq. (12), o

momento devido ao balanço extremo será:

�GPN = /FFA|XG ∙ �[email protected] = 180,85 × 3,575.2 = 1156� ∙ � (64)

Sendo o modelo de análise simétrico, com �H = �3, para se determinar os

hiperestáticos devidos à carga constante distribuída, faz-se o uso da Eq. (36). Desta

forma, obtém-se:

aH.� = a..� = − (1 + �3)4(3 + 2�)/FFA|XG ∙ �..

aH.� = a..� = − (1 + 0,73)4(3 + 2 × 0,7) × 180,85 × 15,0.

aH.� = a..� = −3105� ∙ � (65)

Ainda devido à simetria, os momentos fletores nos extremos do modelo de

análise, referentes ao balanço, possuem o mesmo valor. Desta forma, o hiperestático

devido ao balanço extremo é obtido a partir das Eq. (43) e (44). Logo:

aH.� = a..� = −2�GPN ∙ �(1 + �) − �GPN ∙ �(4�. + 8� + 3)

aH.� = a..� = −2 × 1155,68 × 0,7 × (1 + 0,7) − 1155,68 × 0,7(4 × 0,7. + 8 × 0,7 + 3)

aH.� = a..� = −183,9� ∙ � (66)

51

O hiperestático final é a soma dos efeitos isolados, logo:

aH = a. = aH.� + aH.� = −3105 − 183,9� �

aH = a. = −3289� ∙ � (67)

A partir dos hiperestáticos, determinam-se as solicitações referentes às seções

estudadas. A Tabela 5.1 apresenta os valores obtidos para 10,0� < �. < 20,0�.

Tabela 5.1 – Solicitações de momento fletor nas seções S4, S5, S10 e S15

Ampliando os resultados, obtêm-se as curvas de momento fletor versus vão

central correspondentes a cada valor da relação � em função de �G. A Figura 5.16

exemplifica a curva de solicitação de momento fletor na seção S4 e a Tabela 5.2

apresenta as respectivas linhas de tendência para a solicitação de momento fletor

nesta seção, para �G = 0,15.

No Apêndice C são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S4 versus

vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras C.1 a C.7) e apresentadas as

respectivas linhas de tendência (Tabelas C.1 a C.7).

É possível notar que, para valores de � reduzidos, os momentos fletores na

seção S4 se aproximam de zero ou até mesmo, invertem o sinal. Nesses casos, não

havendo momento fletor positivo, a linha de tendência de momentos fletores positivos

será indicada constante e igual a zero.

52

Figura 5.16 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,15

Tabela 5.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,15

� Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 5,0909 × �.. − 120,48 × �. + 702,58 0,7 ��(A) = 4,5792 × �.. − 20,37 × �. − 194 0,8 ��(A) = 7,2541 × �.. − 23,023 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 10,199 × �.. − 25,635 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08

A Figura 5.17 ilustra as curvas de momento fletor na seção S5 versus vão

central para os diversos valores de λ, com λG = 0,15, e a Tabela 5.3 traz as

respectivas linhas de tendência.

53

No Apêndice D são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S5 versus

vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras D.1 a D.7) e apresentadas as

respectivas linhas de tendência (Tabelas D.1 a D.7).

Figura 5.17 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �G = 0,15

Tabela 5.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,6402 × �.. − 43,928 × �. + 285,1 0,7 ��B(A) = 3,7578 × �.. − 15,968 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,4996 × �.. − 17,928 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,4986 × �.. − 19,837 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68

54

Similarmente, foram traçadas as curvas momento fletor na seção S10 versus

vão central para distintos valores de λ, fixando-se o valor de λG.

A Figura 5.18 mostra a curva momento fletor na seção S10 versus vão central,

para λG = 0,15 e a Tabela 5.4 traz as respectivas linhas de tendência.

No Apêndice E são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S10

versus vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras E.1 a E.7) e

apresentadas as respectivas linhas de tendência (Tabelas E.1 a E.7).

Figura 5.18 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,15

Tabela 5.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��(�) 0,5 ��H=(�) = −12,652 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −12,985 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,641 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,635 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −15,977 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −17,678 × �.. + 10,851 × �. + 72,34

55

A Figura 5.19 apresenta as curvas correspondentes às linhas de tendência de

momento fletor na seção S15, com λb = 0,15 e a Tabela 5.5 traz as respectivas linhas

de tendência.

No Apêndice F são ilustradas as curvas de momento fletor na seção S15

versus vão central para valores de �G entre 0 e 0,30 (Figuras F.1 a F.7) e

apresentadas as respectivas linhas de tendência (Tabelas F.1 a F.7).

Figura 5.19 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,15

Tabela 5.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��(A) 0,5 ��HB(A) = 9,9538 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,6207 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,9647 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,9715 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,6293 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34

56

5.2.3 Solicitações de Cortante

As solicitações de cortante são obtidas a partir dos procedimentos descritos no

item 4.2.2 e a partir dos hiperestáticos obtidos no item 5.2.2 e de procedimentos de

análise estrutural são obtidos os valores referentes ao cortante nas seções de estudo.

Tomando-se, novamente, como base os valores de �. = 15,0�, � = 0,7, �G = 0,15 e o carregamento de peso próprio estrutural e sobrecarga permanente, são

obtidas as solicitações de cortante para a superestrutura.

A Tabela 5.6 apresenta os valores de cortante obtidos para 10,0� ≤ �. ≤20,0�; na seção S10.

Tabela 5.6 – Solicitações de cortante na seção S10

De forma semelhante às solicitações de momento fletor, obtêm-se os valores

de cortante para as diferentes relações � e �G.

As curvas referentes ao cortante na seção S10 à esquerda, para �G = 0,15, são

ilustradas na Figura 5.20, e as respectivas linhas de tendência são apresentadas na

Tabela 5.7.

Para valores de �G entre 0 e 0,30, são ilustradas as curvas *�H=.I|J versus �. e

as respectivas linhas de tendência no Apêndice G deste trabalho.

57

Figura 5.20 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,15

Tabela 5.7 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda, para �G = 0,15 � Cortante a esquerda seção S10, ��.�� 0,5 *�H=.I|J = −73,432 × �. + 176,90,6 *�H=.I|J = −78,006 × �. + 160,090,7 *�H=.I|J = −84,255 × �. + 148,160,8 *�H=.I|J = −91,57 × �. + 139,260,9 *�H=.I|J = −99,609 × �. + 132,371,0 *�H=.I|J = −108,17 × �. + 126,9

58

Para o cortante à direita na seção S10, o valor da solicitação independe da

relação �G e da relação �, este valor está relacionado apenas ao valor do vão central.

Desta forma, a curva correspondente ao cortante na seção S10 a direita será única,

para qualquer relação adotada entre os vãos e o balanço extremo.

A Figura 5.21 ilustra a curva de cortante a direita para a seção S10.

Figura 5.21 – Solicitações de cortante seção S10 à direita

A linha de tendência correspondente à curva de cortante na seção S10 a direita

será:

*�H=.�?z.� = 90,425 × �. (68)

59

5.2.4 Reações de Apoio

As reações de apoio são obtidas a partir dos procedimentos descritos nos itens

4.2.2 e 5.2.2. A Figura 5.22 ilustra as reações de apoio do modelo de análise proposto.

Figura 5.22 – Reações de apoio do modelo de análise

Tomando-se como base os valores λ = 0,7, λ = 0,15 e o carregamento de

peso próprio estrutural e sobrecarga permanente, obtêm-se as reações de apoio &^ e &¡ apresentadas na Tabela 5.8.

Tabela 5.8 – Reações de Apoio &^ e &¡

Nota-se, da Tabela 5.8, que as reações de apoio de maior magnitude ocorrem

no apoio central. Para fins de análise, apresenta-se, na Figura 5.23, a curva referente

a reação &¡, para λ = 0,15. As respectivas linhas de tendência são mostradas na

Tabela 5.9.

As curvas e as linhas de tendência referentes à reação de apoio em B para

valores de �G entre 0 e 0,30, são apresentadas no Apêndice H.

60

Figura 5.23 – Reação de apoio &¡ , �G = 0,15

Tabela 5.9 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,15 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 159,28 × �. − 176,90,6 &¡ = 164,55 × �. − 160,090,7 &¡ = 171,31 × �. − 148,160,8 &¡ = 179,01 × �. − 139,260,9 &¡ = 187,35 × �. − 132,371,0 &¡ = 196,15 × �. − 126,9

61

5.3 Ação Devida a Carga Móvel

A ação da carga móvel é transitória, podendo atuar sobre a superestrutura ou

não. Desta forma, a sua atuação combinada à do peso próprio e sobrecarga

permanente pode ampliar ou aliviar a solicitação na superestrutura.

Como visto para a ação das cargas de origem permanente, as seções que

possuem maior importância são: S4, S5, S10 e S15. Com base nesta informação, o

estudo da ação da carga móvel será aplicado apenas para estas seções.

O procedimento para avaliação do comportamento estrutural da superestrutura

da ponte baseia-se na linha de influência para as solicitações de momento fletor e

cortante. Por se tratar de um pré-dimensionamento, trata-se a ação da carga móvel

por aproximação a partir das ordenadas da LI e a partir das definições e relações pré-

fixadas (λ, λ eL.).

Por se tratar de um modelo de análise unifilar, torna-se necessário transformar

o carregamento correspondente ao veículo tipo em um trem tipo com cargas

concentradas e distribuídas.

A antiga NB-6 (1982) [12] permite homogeneizar a carga distribuída do trem-

tipo. Isto consiste em considerar a carga de multidão, de 5,0 kN/m2, também sob a

área do veículo, descontando-se a resultante do produto da carga de multidão pela

área de ocupação do veículo do peso total do veículo-tipo. Desta forma, a carga

concentrada, por roda, do veículo-tipo homogeneizado passa a ser:

q¦ = 450,00� − �5,0 � �.⁄ × (3 × 8)�.�6��+� = 60 � ��+�⁄ (69)

A atuação da carga em meia pista também desperta solicitação de torção.

Desta forma, devem-se considerar dois trens tipo: de flexão, cargas verticais

concentradas e distribuídas, e de torção, torques concentrados e distribuídos. Neste

trabalho será abordado para a análise apenas a atuação do trem tipo de flexão.

5.3.1 Coeficiente de Impacto

Tomando-se, valores de L. = 15,0m, λ = 0,7, λ = 0,15 e S15, demonstra-se a

seguir o procedimento de cálculo para a determinação do coeficiente de impacto.

O coeficiente de impacto vertical é dado por:

62

�?@ = �H + �. + �33 (70)

�?@ = λ ∙ �. + �. + λ ∙ �.3 = 0,7 × 15,0 + 15,0 + 0,7 × 15,03 = 12,0�

89* = 1 + 1,06 × ¨ 20�?@ + 50© (71)

89* = 1 + 1,06 × ¨ 2012,0 + 50© = 1,34

O coeficiente do número de faixas é:

8 : = 1 − 0,05 × ( : − 2) (72) 8 : = 1 − 0,05 × (2 − 2) = 1,00

Como a distância da seção S15 à descontinuidade estrutural é superior a 5,0

m, este coeficiente não se aplica, logo o seu valor será de:

89, = 1,0 (73)

A Tabela 5.10 apresenta os coeficientes de impacto para outros valores de �.,

para λ = 0,7:

Tabela 5.10 – Coeficiente de impacto, � = 0,7

63

5.3.2 Trem Tipo de Flexão

A partir da carga móvel já homogeneizada, ao carregar-se um trecho genérico

da superestrutura (sem consideração do coeficiente de impacto), têm-se duas

situações a serem consideradas: veículo-tipo associado à carga de multidão e carga

de multidão apenas.

A Figura 5.24 ilustra, em planta, os cortes correspondentes às situações de

seção carregada com e sem o veículo-tipo. A Figura 5.25 ilustra as situações

transversalmente.

Figura 5.24 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão, em planta

64

Figura 5.25 – Trecho carregado com veículo-tipo e carga de multidão e apenas com carga de

multidão, corte transversal

Define-se o trem-tipo longitudinal para análise de flexão da seção integral (duas

almas):

qyy = 60,00 � ��+�⁄ × 2 ��+� �(��⁄ = 120,0 � �(��⁄ �yy = 5,00 � �.⁄ × K2�F?|�P + 2�P�X|�L

�yy = 5,00 × (2 × 3,60 + 2 × 2,00) = 56,0� /�

O trem-tipo de flexão para análise é mostrado na Figura 5.26.

Figura 5.26 – Trem-tipo de flexão

65

5.3.3 Linha de Influência

Segundo Süssekind (1981) [13], linha de influência é a representação gráfica

ou analítica do valor deste efeito, na seção S de análise, produzida por uma carga

concentrada unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura.

Para a ação de carga móvel, torna-se necessário obter as linhas de influência

das seções S4, S5, S10 e S15, para os efeitos de momento fletor e cortante. Com a

variação do comprimento de �., para uma mesma seção, a linha de influência possui

diferentes valores para as ordenadas. Desta forma, o procedimento necessário é obter

todas as LI para todas as combinações possíveis de �, �G��., para a determinação

dos efeitos da carga móvel.

Considerando-se o intervalo aceitável de � para este estudo paramétrico

conforme definido no item anterior, item 5.2.1, as linhas de influência a serem

esboçadas e que serão válidas estão compreendidas dentro deste intervalo.

Para exemplificação, toma-se o valor de �. = 15,0�. Para os valores de � = 0,7 e �G = 0,15, são ilustrados nas Figuras 5.27 e 5.28 as linhas de influência de

momento fletor e cortante para as seções S4, S10 e S15, respectivamente.

a)

b)

c)

Figura 5.27 – Linhas de influência de momento fletor: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15

66

a)

b)

c)

Figura 5.28 – Linhas de influência de cortante: a) seção S4; b) seção S10; c) seção S15

Com o uso de programas computacionais, a obtenção ou o traçado da linha de

influência de uma seção qualquer de uma estrutura hiperestática torna-se um

processo simples. A visualização do ponto de aplicação da carga móvel para se

encontrar os valores de momentos fletores e cortantes máximos torna-se visual,

identificando-se facilmente as maiores ordenadas.

As Tabelas 5.11 a 5.13, respectivamente, apresentam as linhas de influência

para as seções S4, S10 e S15, referente aos valores de �.: 10,0; 13,0; 15,0; 18,0; e

20,0 m. A relação entre os vãos laterais foi fixada em � = 0,7 e a relação do balanço

extremo em �G = 0,15.

67

Tabela 5.11 – Linhas de influência da seção S4: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�

a)

b)

c)

d)

e)

68

Tabela 5.12 – Linhas de influência da seção S10: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�

a)

b)

c)

d)

e)

69

Tabela 5.13 – Linhas de Influência da seção S15: a) �. = 10,0�; b) �. = 13,0� ; c) �. = 15,0�; d) �. = 18,0� ; e) �. = 20,0�

a)

b)

c)

d)

e)

70

A consideração dos vãos laterais e dos balanços extremos com comprimentos

relacionados ao vão central, e consequente geração de modelo simétrico, garante uma

singularidade que torna fácil a obtenção das ordenadas máximas e mínimas para

qualquer valor de �., desde que seja mantida fixa a relação �.

Admitindo-se o modelo dividido em décimos de vão, obtêm-se as relações

seguintes para as seções S4 e S5:

ª�+>«��0,4 × �H = 8>«�� (74)

ª�+>«�B0,5 × �H = 8>«�B (75)

onde C é uma constante para qualquer valor de �., mantendo-se � constante.

Substituindo �H por � ∙ �., chega-se a:

ª�+>«��0,4 × � × �. = 8>«�� ª�+>«�B0,5 × � × �. = 8>«�B (76)

Devido à proporcionalidade inserida pela relação �, as ordenadas, para

diferentes valores de vão central, �., podem ser obtidas graficamente. Em sequência,

por regressão linear, são obtidas as funções correspondentes às ordenadas para o

intervalo de estudo definido.

A proporcionalidade existente é demonstrada a seguir para as seções S4, S10

e S15.

Com base na Eq. (74) e fixando � = 0,7, tem-se que o ponto de ordenada

máxima, para o momento fletor na seção S4, é igual a:

�. = 10,0� → 1,46800,4 × 0,7 × 10,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®

�. = 13,0� → 1,90840,4 × 0,7 × 13,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®

�. = 15,0� → 2,20190,4 × 0,7 × 15,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®

�. = 18,0� → 2,64230,4 × 0,7 × 18,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®

�. = 20,0� → 2,93590,4 × 0,7 × 20,0 = 0,5243 = 8�|�.`=,®

71

Similarmente, para o momento fletor na seção S10:

�. = 10,0� → −0,91820,4 × 0,7 × 10,0 = 0,3279 = 8�|�.`=,®

�. = 13,0� → −1,19360,4 × 0,7 × 13,0 = −0,3279 = 8�|H=.`=,®

�. = 15,0� → −1,37730,4 × 0,7 × 15,0 = −0,3279 = 8�|�.`=,®

�. = 18,0� → −1,65270,4 × 0,7 × 18,0 = −0,3279 = 8�|�.`=,®

�. = 20,0� → −1,83640,4 × 0,7 × 20,0 = −0,3279 = 8�|H=.`=,®

E para o momento fletor na seção S15:

�. = 10,0� → 1,64770,4 × 0,7 × 10,0 = 0,5884 = 8�|HB.`=,®

�. = 13,0� → 2,13600,4 × 0,7 × 13,0 = 0,5884 = 8�|H=.`=,®

�. = 15,0� → 2,47160,4 × 0,7 × 15,0 = 0,5884 = 8�|HB.`=,®

�. = 18,0� → 2,96590,4 × 0,7 × 18,0 = 0,5884 = 8�|�.`=,®

�. = 20,0� → 3,29550,4 × 0,7 × 20,0 = 0,5884 = 8�|H=.`=,®

Desta forma, ao se traçar a linha de influência para diferentes valores de � para

um valor fixo de �., torna-se possível obter a curva “��+�)�+��” e sua função

correspondente.

Para fins de exemplificação, apresenta-se a linha de influência de momento

fletor para a seção S4 admitindo-se �. constante e igual a 15,0 m. Os valores obtidos

das ordenadas nas seções S4, S5, S14 e S15 são apresentados na Tabela 5.14.

72

Tabela 5.14 – Ordenadas linha de influência, momento fletor da seção S4

A Figura 5.29 apresenta, graficamente, as ordenadas na seção S4 da linha de

influência de momentos fletores nesta mesma seção para valores de � entre 0,50 e

1,00, com �. = 15,0�.

Figura 5.29 – Ordenadas na seção S4 da linha de influência da seção S4

A partir da linearização dos valores, encontra-se a equação que satisfaz os

demais valores de �.

Y¯z��_>«.�� = 2,9016� + 0,1661 (77)

A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9999,

obtido através de planilha (Excel).

73

De forma semelhante, a ordenada na seção S5 da linha de influência de

momentos fletores na seção S4 é apresentada na Figura 5.30, para valores de � entre

0,50 e 1,00, com �. = 15,0�.

Figura 5.30 – Ordenadas na seção S5 da linha de influência da Seção S4

A partir da linearização dos valores, encontra-se a equação que satisfaz os

demais valores de �.

Y¯z��B_>«.�� = 2,2205� + 0,1855 (78)



Similarmente, a Figura 5.31 apresenta as ordenadas na seção S15 da linha de

influência de momentos fletores na seção S4, para � entre 0,50 e 1,00, �. = 15,0�.

74

Figura 5.31 – Ordenadas na seção S15 da linha de influência da seção S4

Pode-se assim, através da linearização dos valores, encontrar a equação que

satisfaça os demais valores de �.

Y¯z��HB_>«.�� = 0,2245� + 0,6713 (79)



Em relação ao balanço extremo, devido ao estudo se basear na relação λ que

é variável, o cálculo da constante, além de levar em conta a variabilidade do

comprimento do balanço, deve considerar o valor correspondente à metade da placa

de aproximação. Desta forma, a constante C para o balanço extremo é dada por:

ª�+>«��_¡PN�FN2 + 0,4 × � × �G × �. = 8>«��_¡PN (80)

Para a relação �G = 0, a placa de aproximação se apoia no encontro e não é

incluída na análise da superestrutura. Logo, a Eq. (80) é válida para valores de �G

diferentes de zero.

Desta forma, para a seção do balanço extremo, as ordenadas da linha de

influência da seção S4, para �G = 0,15, são ilustradas na Figura 5.32.

75

Figura 5.32 – Ordenadas no balanço da linha de influência da seção S4, �G = 0,15

Logo, a partir da linearização dos valores, a equação que satisfaz os demais

valores de � é:

Y¯z�¡PN_>«.�� = −0,9098� − 1,1874 (81)

A confiabilidade da expressão pode ser verificada pelo valor de &. = 0,9999.

Das Figuras 5.29 a 5.32, nota-se que o coef. angular da reta é uma constante,

para cada seção de análise, dada pela relação entre a ordenada da linha de influência

e �. Assim, pode-se reescrever a expressão (74) da forma que se segue:

8>« = ±/v0,4 × �H = ª�+>«0,4 × � × �. (82)

Exemplificando o procedimento através das ordenadas para o momento fletor

positivo na seção S4, fixando �. = 15,0� e calculando para os valores de �

pertencentes ao intervalo definido anteriormente, têm-se os respectivos valores de

constante 8 apresentados na Tabela 5.15.

76

Tabela 5.15 – Constantes C, na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4

Reorganizando a expressão (76) e de posse das constantes determinadas,

pode-se ampliar o cálculo para os diferentes valores de �.. A Tabela 5.16 apresenta

os valores para cada combinação possível de �. e �.

Tabela 5.16 – Ordenadas na seção S4 para linha de influência de momentos fletores em S4

A partir da determinação da constante C referente a diferentes valores de � e

de �., torna-se possível traçar a curva ª�+�)�+��. para diversos valores de �.

Graficamente, isto representa a ordenada na seção S4 da linha de influência de

momentos nesta mesma seção.

77

A Figura 5.33 ilustra as curvas ª�+�)�+� versus �..

Figura 5.33 – Ordenadas na seção S4, para linha de influência de momentos fletores em S4

Aplicando o mesmo procedimento de regressão linear utilizado para as curvas

da Figura 5.33, obtêm-se as respectivas linhas de tendência para determinação da

ordenada na seção S4, para a linha de influência de momento fletor em S4.

� = 0,5 → Y¯z��_>«.�� = 0,1074 × �.; &. = 1,0 (83)

� = 0,6 → Y¯z��_>«.�� = 0,1272 × �.; &. = 1,0 (84)

� = 0,7 → Y¯z��_>«.�� = 0,1468 × �.; &. = 1,0 (85)

� = 0,8 → Y¯z��_>«.�� = 0,1661 × �.; &. = 1,0 (86)

� = 0,9 → Y¯z��_>«.�� = 0,1852 × �.; &. = 1,0 (87)

� = 1,0 → Y¯z��_>«.�� = 0,2042 × �.; &. = 1,0 (88)

O procedimento para as demais linhas de influência e seções consiste nas

mesmas etapas de cálculo.

As linhas de tendência referentes as ordenadas da linha de influência dos

momentos fletores seguem a orientação ilustrada na Figura 5.34.

Figura 5.34 – Orientação para as funções das ordenadas

78

As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nos balanços extremos

para linha de influência de momento fletor em S4 são apresentadas na Tabela 5.17.

Tabela 5.17 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos para linha de influência de momento fletor em S4

� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹�� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´��

0,5

0,05 ª�+ = −0,0131 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0006 × �. − 0,05

0,10 ª�+ = −0,0263 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,05

0,15 ª�+ = −0,0394 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,05 0,20 ª�+ = −0,0526 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0025 × �. − 0,05

0,25 ª�+ = −0,0657 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,05 0,3 ª�+ = −0,0789 × �. − 1,0517 ª�+ = −0,0038 × �. − 0,05

0,6

0,05 ª�+ = −0,0155 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0008 × �. − 0,0519

0,10 ª�+ = −0,031 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,0519 0,15 ª�+ = −0,0465 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0519

0,20 ª�+ = −0,062 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,0519 0,25 ª�+ = −0,0775 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,0519

0,3 ª�+ = −0,093 × �. − 1,0338 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,0519

0,7

0,05 ª�+ = −0,0179 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0009 × �. − 0,0531

0,10 ª�+ = −0,0357 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,0531

0,15 ª�+ = −0,0536 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0028 × �. − 0,0531 0,20 ª�+ = −0,0715 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0037 × �. − 0,0531

0,25 ª�+ = −0,0894 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,0531

0,3 ª�+ = −0,1072 × �. − 1,0211 ª�+ = −0,0056 × �. − 0,0531

0,8

0,05 ª�+ = −0,0201 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0011 × �. − 0,0535

0,10 ª�+ = −0,0403 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0021 × �. − 0,0535

0,15 ª�+ = −0,0604 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0032 × �. − 0,0535 0,20 ª�+ = −0,0806 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0043 × �. − 0,0535

0,25 ª�+ = −0,1007 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,0535 0,3 ª�+ = −0,1209 × �. − 1,0074 ª�+ = −0,0064 × �. − 0,0535

0,9

0,05 ª�+ = −0,0224 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0012 × �. − 0,0536

0,10 ª�+ = −0,0449 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0024 × �. − 0,0536 0,15 ª�+ = −0,0673 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0036 × �. − 0,0536

0,20 ª�+ = −0,0898 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0048 × �. − 0,0536 0,25 ª�+ = −0,1122 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,006 × �. − 0,0536

0,3 ª�+ = −0,1347 × �. − 0,9977 ª�+ = −0,0072 × �. − 0,0536

1,0

0,05 ª�+ = −0,0247 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,0533

0,10 ª�+ = −0,0493 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,0533 0,15 ª�+ = −0,074 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,004 × �. − 0,0533

0,20 ª�+ = −0,0987 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0053 × �. − 0,0533 0,25 ª�+ = −0,1233 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0533

0,3 ª�+ = −0,148 × �. − 0,9867 ª�+ = −0,008 × �. − 0,0533

79

As linhas de tendência correspondentes às ordenadas nas seções S4, S5, S14,

S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S4 são apresentadas na

Tabela 5.18.

Tabela 5.18 – Linhas de tendência das ordenadas nas seções S4, S5, S14, S15 e S25 para linha de influência de momento fletor em S4

� � ³´µ�¶·µ·

S4

0,50 ª�+ = 0,1074 × �.

0,60 ª�+ = 0,1272 × �.

0,70 ª�+ = 0,1468 × �.

0,80 ª�+ = 0,1661 × �.

0,90 ª�+ = 0,1852 × �.

1,00 ª�+ = 0,2042 × �.

S5

0,50 ª�+ = 0,0859 × �.

0,60 ª�+ = 0,1013 × �.

0,70 ª�+ = 0,1163 × �.

0,80 ª�+ = 0,1311 × �.

0,90 ª�+ = 0,1456 × �.

1,00 ª�+ = 0,16 × �.

S14

0,50 ª�+ = −0,0408 × �.

0,60 ª�+ = −0,0386 × �.

0,70 ª�+ = −0,0367 × �.

0,80 ª�+ = −0,035 × �.

0,90 ª�+ = −0,0334 × �.

1,00 ª�+ = −0,032 × �.

S15

0,50 ª�+ = −0,0375 × �.

0,60 ª�+ = −0,0357 × �.

0,70 ª�+ = −0,0341 × �.

0,80 ª�+ = −0,0326 × �.

0,90 ª�+ = −0,0312 × �.

1,00 ª�+ = −0,03 × �.

S25

0,50 ª�+ = 0,0046 × �.

0,60 ª�+ = 0,0064 × �.

0,70 ª�+ = 0,0084 × �.

0,80 ª�+ = 0,0104 × �.

0,90 ª�+ = 0,0124 × �.

1,00 ª�+ = 0,0145 × �.

80




� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹�� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´��

0,5

0,05 ª�+ = −0,0102 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0008 × �. − 0,0626

0,10 ª�+ = −0,0203 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,0626

0,15 ª�+ = −0,0305 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0626 0,20 ª�+ = −0,0407 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,0626

0,25 ª�+ = −0,0509 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,0626 0,3 ª�+ = −0,061 × �. − 0,8138 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,0626

0,6

0,05 ª�+ = −0,0119 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,001 × �. − 0,065

0,10 ª�+ = −0,0238 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,065 0,15 ª�+ = −0,0356 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0029 × �. − 0,065

0,20 ª�+ = −0,0475 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,065 0,25 ª�+ = −0,0594 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0049 × �. − 0,065

0,3 ª�+ = −0,0713 × �. − 0,7922 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,065

0,7

0,05 ª�+ = −0,0136 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0012 × �. − 0,0664

0,10 ª�+ = −0,0272 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,0664

0,15 ª�+ = −0,0407 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0035 × �. − 0,0664 0,20 ª�+ = −0,0543 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,0664

0,25 ª�+ = −0,0679 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,0664

0,3 ª�+ = −0,0815 × �. − 0,7757 ª�+ = −0,007 × �. − 0,0664

0,8

0,05 ª�+ = −0,0152 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0013 × �. − 0,0669

0,10 ª�+ = −0,0304 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,0669

0,15 ª�+ = −0,0456 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,004 × �. − 0,0669 0,20 ª�+ = −0,0607 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,0669

0,25 ª�+ = −0,0759 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0669 0,3 ª�+ = −0,0911 × �. − 0,7592 ª�+ = −0,008 × �. − 0,0669

0,9

0,05 ª�+ = −0,0168 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0015 × �. − 0,067

0,10 ª�+ = −0,0336 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,003 × �. − 0,067 0,15 ª�+ = −0,0504 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0045 × �. − 0,067

0,20 ª�+ = −0,0672 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,006 × �. − 0,067 0,25 ª�+ = −0,084 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,0075 × �. − 0,067

0,3 ª�+ = −0,1008 × �. − 0,7465 ª�+ = −0,009 × �. − 0,067

1,0

0,05 ª�+ = −0,0183 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0017 × �. − 0,0667

0,10 ª�+ = −0,0367 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0033 × �. − 0,0667 0,15 ª�+ = −0,055 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,005 × �. − 0,0667

0,20 ª�+ = −0,0733 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,0667 0,25 ª�+ = −0,0917 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,0083 × �. − 0,0667

0,3 ª�+ = −0,11 × �. − 0,7333 ª�+ = −0,01 × �. − 0,0667

81



Tabela 5.20.


� � ³´µ�¶·µ·

S4

0,50 ª�+ = 0,0842 × �.

0,60 ª�+ = 0,0991 × �.

0,70 ª�+ = 0,1135 × �.

0,80 ª�+ = 0,1276 × �.

0,90 ª�+ = 0,1415 × �.

1,00 ª�+ = 0,1552 × �.

S5

0,50 ª�+ = 0,1074 × �.

0,60 ª�+ = 0,1266 × �.

0,70 ª�+ = 0,1454 × �.

0,80 ª�+ = 0,1639 × �.

0,90 ª�+ = 0,1821 × �.

1,00 ª�+ = 0,2 × �.

S14

0,50 ª�+ = −0,051 × �.

0,60 ª�+ = −0,0483 × �.

0,70 ª�+ = −0,0459 × �.

0,80 ª�+ = −0,0437 × �.

0,90 ª�+ = −0,0418 × �.

1,00 ª�+ = −0,04 × �.

S15

0,50 ª�+ = −0,0469 × �.

0,60 ª�+ = −0,0446 × �.

0,70 ª�+ = −0,0426 × �.

0,80 ª�+ = −0,0408 × �.

0,90 ª�+ = −0,0391 × �.

1,00 ª�+ = −0,0375 × �.

S25

0,50 ª�+ = 0,0058 × �.

0,60 ª�+ = 0,008 × �.

0,70 ª�+ = 0,0105 × �.

0,80 ª�+ = 0,013 × �.

0,90 ª�+ = 0,0155 × �.

1,00 ª�+ = 0,0181 × �.

82




� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹�� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´��

0,5

0,05 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0016 × �. − 0,1252

0,10 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0031 × �. − 0,1252

0,15 ª�+ = 0,0141 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0047 × �. − 0,1252 0,20 ª�+ = 0,0188 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0063 × �. − 0,1252

0,25 ª�+ = 0,0235 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0078 × �. − 0,1252 0,3 ª�+ = 0,0282 × �. + 0,3756 ª�+ = −0,0094 × �. − 0,1252

0,6

0,05 ª�+ = 0,0062 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0019 × �. − 0,1299

0,10 ª�+ = 0,0125 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0039 × �. − 0,1299 0,15 ª�+ = 0,0187 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0058 × �. − 0,1299

0,20 ª�+ = 0,0249 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0078 × �. − 0,1299 0,25 ª�+ = 0,0312 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0097 × �. − 0,1299

0,3 ª�+ = 0,0374 × �. + 0,4156 ª�+ = −0,0117 × �. − 0,1299

0,7

0,05 ª�+ = 0,0079 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0023 × �. − 0,1328

0,10 ª�+ = 0,0158 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0046 × �. − 0,1328

0,15 ª�+ = 0,0237 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,007 × �. − 0,1328 0,20 ª�+ = 0,0316 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0093 × �. − 0,1328

0,25 ª�+ = 0,0395 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0116 × �. − 0,1328

0,3 ª�+ = 0,0474 × �. + 0,4514 ª�+ = −0,0139 × �. − 0,1328

0,8

0,05 ª�+ = 0,0096 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0027 × �. − 0,1338

0,10 ª�+ = 0,0193 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0054 × �. − 0,1338

0,15 ª�+ = 0,0289 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,008 × �. − 0,1338 0,20 ª�+ = 0,0385 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0107 × �. − 0,1338

0,25 ª�+ = 0,0482 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0134 × �. − 0,1338 0,3 ª�+ = 0,0578 × �. + 0,4816 ª�+ = −0,0161 × �. − 0,1338

0,9

0,05 ª�+ = 0,0115 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,003 × �. − 0,1341

0,10 ª�+ = 0,0229 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,006 × �. − 0,1341 0,15 ª�+ = 0,0344 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0091 × �. − 0,1341

0,20 ª�+ = 0,0459 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0121 × �. − 0,1341 0,25 ª�+ = 0,0573 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0151 × �. − 0,1341

0,3 ª�+ = 0,0688 × �. + 0,5096 ª�+ = −0,0181 × �. − 0,1341

1,0

0,05 ª�+ = 0,0133 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0033 × �. − 0,1333

0,10 ª�+ = 0,0267 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0067 × �. − 0,1333 0,15 ª�+ = 0,04 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,01 × �. − 0,1333

0,20 ª�+ = 0,0533 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0133 × �. − 0,1333 0,25 ª�+ = 0,0667 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,0167 × �. − 0,1333

0,3 ª�+ = 0,08 × �. + 0,5333 ª�+ = −0,02 × �. − 0,1333

83



Tabela 5.22.


� � ³´µ�¶·µ·

S4

0,50 ª�+ = −0,0315 × �.

0,60 ª�+ = −0,0419 × �.

0,70 ª�+ = −0,053 × �.

0,80 ª�+ = −0,064 × �.

0,90 ª�+ = −0,077 × �.

1,00 ª�+ = −0,0896 × �.

S5

0,50 ª�+ = −0,0352 × �.

0,60 ª�+ = −0,0468 × �.

0,70 ª�+ = −0,0592 × �.

0,80 ª�+ = −0,0722 × �.

0,90 ª�+ = −0,0859 × �.

1,00 ª�+ = −0,1 × �.

S14

0,50 ª�+ = −0,102 × �.

0,60 ª�+ = −0,0966 × �.

0,70 ª�+ = −0,0918 × �.

0,80 ª�+ = −0,0875 × �.

0,90 ª�+ = −0,0836 × �.

1,00 ª�+ = −0,8 × �.

S15

0,50 ª�+ = −0,0937 × �.

0,60 ª�+ = −0,0893 × �.

0,70 ª�+ = −0,0852 × �.

0,80 ª�+ = −0,0815 × �.

0,90 ª�+ = −0,0781 × �.

1,00 ª�+ = −0,075 × �.

S25

0,50 ª�+ = 0,0115 × �.

0,60 ª�+ = 0,0157 × �.

0,70 ª�+ = 0,0204 × �.

0,80 ª�+ = 0,0253 × �.

0,90 ª�+ = 0,0303 × �.

1,00 ª�+ = 0,0353 × �.

84




� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹�� ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´��

0,5

0,05 ª�+ = 0,0016 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0016 × �. + 0,1252

0,10 ª�+ = 0,0031 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0031 × �. + 0,1252

0,15 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0047 × �. + 0,1252 0,20 ª�+ = 0,0063 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0063 × �. + 0,1252

0,25 ª�+ = 0,0078 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0078 × �. + 0,1252 0,3 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,1252 ª�+ = 0,0094 × �. + 0,1252

0,6

0,05 ª�+ = 0,0021 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0021 × �. + 0,1429

0,10 ª�+ = 0,0043 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0043 × �. + 0,1429 0,15 ª�+ = 0,0064 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0064 × �. + 0,1429

0,20 ª�+ = 0,0086 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0086 × �. + 0,1429 0,25 ª�+ = 0,0107 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0107 × �. + 0,1429

0,3 ª�+ = 0,0129 × �. + 0,1429 ª�+ = 0,0129 × �. + 0,1429

0,7

0,05 ª�+ = 0,0028 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0028 × �. + 0,1593

0,10 ª�+ = 0,0056 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0056 × �. + 0,1593

0,15 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1593 0,20 ª�+ = 0,0112 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0112 × �. + 0,1593

0,25 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1593

0,3 ª�+ = 0,0167 × �. + 0,1593 ª�+ = 0,0167 × �. + 0,1593

0,8

0,05 ª�+ = 0,0035 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0035 × �. + 0,1739

0,10 ª�+ = 0,007 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,007 × �. + 0,1739

0,15 ª�+ = 0,0104 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0104 × �. + 0,1739 0,20 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0139 × �. + 0,1739

0,25 ª�+ = 0,0174 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0174 × �. + 0,1739 0,3 ª�+ = 0,0209 × �. + 0,1739 ª�+ = 0,0209 × �. + 0,1739

0,9

0,05 ª�+ = 0,0042 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0042 × �. + 0,1877

0,10 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0084 × �. + 0,1877 0,15 ª�+ = 0,0127 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0127 × �. + 0,1877

0,20 ª�+ = 0,0169 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0169 × �. + 0,1877 0,25 ª�+ = 0,0211 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0211 × �. + 0,1877

0,3 ª�+ = 0,0253 × �. + 0,1877 ª�+ = 0,0253 × �. + 0,1877

1,0

0,05 ª�+ = 0,005 × �. + 0,2 ª�+ = 0,005 × �. + 0,2

0,10 ª�+ = 0,01 × �. + 0,2 ª�+ = 0,01 × �. + 0,2 0,15 ª�+ = 0,015 × �. + 0,2 ª�+ = 0,015 × �. + 0,2

0,20 ª�+ = 0,02 × �. + 0,2 ª�+ = 0,02 × �. + 0,2 0,25 ª�+ = 0,025 × �. + 0,2 ª�+ = 0,025 × �. + 0,2

0,3 ª�+ = 0,03 × �. + 0,2 ª�+ = 0,03 × �. + 0,2

85



Tabela 5.24.


� � ³´µ�¶·µ·

S4

0,50 ª�+ = −0,0105 × �.

0,60 ª�+ = −0,0144 × �.

0,70 ª�+ = −0,0187 × �.

0,80 ª�+ = −0,0234 × �.

0,90 ª�+ = −0,0283 × �.

1,00 ª�+ = −0,0336 × �.

S5

0,50 ª�+ = −0,0117 × �.

0,60 ª�+ = −0,0161 × �.

0,70 ª�+ = −0,0209 × �.

0,80 ª�+ = −0,0261 × �.

0,90 ª�+ = −0,0316 × �.

1,00 ª�+ = −0,375 × �.

S14

0,50 ª�+ = 0,11 × �.

0,60 ª�+ = 0,1143 × �.

0,70 ª�+ = 0,1182 × �.

0,80 ª�+ = 0,1217 × �.

0,90 ª�+ = 0,1247 × �.

1,00 ª�+ = 0,128 × �.

S15

0,50 ª�+ = 0,1562 × �.

0,60 ª�+ = 0,1607 × �.

0,70 ª�+ = 0,1648 × �.

0,80 ª�+ = 0,1685 × �.

0,90 ª�+ = 0,1719 × �.

1,00 ª�+ = 0,175 × �.

S25

0,50 ª�+ = −0,0115 × �.

0,60 ª�+ = −0,0173 × �.

0,70 ª�+ = −0,0245 × �.

0,80 ª�+ = −0,033 × �.

0,90 ª�+ = −0,0424 × �.

1,00 ª�+ = −0,0529 × �.

86

A análise em função do cortante consiste no mesmo procedimento utilizado

para o momento fletor.

Para compreender o comportamento da linha de influência de cortante ao

longo da superestrutura, traça-se, com relação � e �G fixas, a linha de influência para

diferentes valores de vão central. Os valores utilizados para este procedimento foram:

10,0; 13,0; 15,0; 18,0; e 20,0 metros. Fixadas as relações � = 0,7 e �G = 0,15, os

resultados obtidos são apresentados na Tabela 5.25.

Tabela 5.25 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para o cortante a direita

Observando-se os resultados obtidos, torna-se notório que, independente do

valor adotado para o vão central, que ao se fixar a relação � as ordenadas dos pontos

de estudo são iguais, com exceção do balanço. Desta forma, ao se definir as

ordenadas para cada valor de relação �, determina-se a ordenada para qualquer valor

adotado de vão central.

Quanto ao balanço extremo, por se tratar de um estudo que toma como base

aproximações que facilitem o cálculo para obter valores aproximados aos reais, serão

determinadas as ordenadas referentes a todas as relações �G deste estudo para os

mesmos valores de vão central utilizados na Tabela 5.25. A partir das ordenadas

obtidas, serão determinadas as linhas de tendência referentes aos demais valores de

vão central.

As Tabelas 5.26 a 5.28 apresentam os valores encontrados de ordenada para

o cortante a direita da seção S10 para a relação � = 0,7, respectivamente ao balanço

esquerdo, aos pontos de estudo e ao balanço direito do modelo de análise. O

apêndice I apresenta os valores encontrados para as ordenadas em função de todas

as relações � em relação ao cortante à direita e a esquerda.

87

Tabela 5.26 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço esquerdo

Tabela 5.27 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, pontos de estudo

Tabela 5.28 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço direito

As Tabelas 5.29 a 5.31 apresentam os valores encontrados de ordenada para

o cortante a esquerda da seção S10 para a relação � = 0,7, respectivamente ao

balanço esquerdo, aos pontos de estudo e ao balanço direito do modelo de análise.

88

Tabela 5.29 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, balanço esquerdo

Tabela 5.30 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a esquerda, pontos de estudo

Tabela 5.31 – Ordenadas linha de influência na seção S10 para cortante a direita, balanço direito

Sendo apenas as ordenadas dos balanços extremos variáveis em função do

comprimento do vão central e das relações � e �G, serão determinadas apenas as

linhas de tendência referentes aos balanços. Através de regressão linear obtêm-se as

respectivas funções.

As Tabelas 5.32 e 5.33 apresentam as linhas de tendência das ordenadas em

função do comprimento do vão central para o cortante a direita e a esquerda,

respectivamente.

89

Tabela 5.32 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à direita

� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹��.��.µ»´.¼ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´�.��.µ»´.¼

0,5

0,05 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0784 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0784

0,10 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0846 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0846 0,15 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0908 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0908

0,20 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,0971 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,0971 0,25 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,1034 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,1034

0,3 ª�+ = 0,0024 × �. − 0,1096 ª�+ = −0,0024 × �. + 0,1096

0,6

0,05 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,0867 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,0867

0,10 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,095 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,095

0,15 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1032 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1032 0,20 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1114 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1114

0,25 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1196 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1196 0,3 ª�+ = 0,0027 × �. − 0,1276 ª�+ = −0,0027 × �. + 0,1276

0,7

0,05 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,096 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,096

0,10 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1064 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1064

0,15 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1166 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1166 0,20 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1268 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1268

0,25 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,137 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,137 0,3 ª�+ = 0,0029 × �. − 0,1472 ª�+ = −0,0029 × �. + 0,1472

0,8

0,05 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1009 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1009

0,10 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1134 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1134 0,15 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1257 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1257

0,20 ª�+ = 0,003 × �. − 0,138 ª�+ = −0,003 × �. + 0,138 0,25 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1503 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1503

0,3 ª�+ = 0,003 × �. − 0,1626 ª�+ = −0,003 × �. + 0,1626

0,9

0,05 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1072 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1072

0,10 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1216 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1216 0,15 ª�+ = 0,0032 × �. − 0,1363 ª�+ = −0,0032 × �. + 0,1363

0,20 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1504 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1504 0,25 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1651 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1651

0,3 ª�+ = 0,0031 × �. − 0,1795 ª�+ = −0,0031 × �. + 0,1795

1,0

0,05 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1127 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1127

0,10 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1294 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1294

0,15 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1462 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1462 0,20 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1627 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1627

0,25 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1794 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1794 0,3 ª�+ = 0,0033 × �. − 0,1962 ª�+ = −0,0033 × �. + 0,1962

90

Tabela 5.33 – Linhas de tendência das ordenadas dos balanços extremos, cortante à esquerda

� �² ³´µ�¶·µ·.£·¸. ¹��.��.��.¼ ³´µ�¶·µ·.£·¸. º»´�.��.��.¼

0,5

0,05 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,7449 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0392

0,10 ª�+ = −0,0232 × �. + 0,8033 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0424 0,15 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,8636 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0454

0,20 ª�+ = −0,0232 × �. + 0,9222 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0485 0,25 ª�+ = −0,0233 × �. + 0,9824 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0517

0,3 ª�+ = −0,0232 × �. + 1,0408 ª�+ = 0,0012 × �. − 0,0549

0,6

0,05 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,6407 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0344

0,10 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,7011 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0376 0,15 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,7615 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0409

0,20 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,8219 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0441 0,25 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,8822 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0474

0,3 ª�+ = −0,0197 × �. + 0,9426 ª�+ = 0,0011 × �. − 0,0506

0,7

0,05 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,5656 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0306

0,10 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,6271 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,034

0,15 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,688 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0373 0,20 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,7498 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0406

0,25 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,8107 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0439 0,3 ª�+ = −0,0171 × �. + 0,8722 ª�+ = 0,0009 × �. − 0,0471

0,8

0,05 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,5091 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0274

0,10 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,5712 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0307 0,15 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,6332 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0342

0,20 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,6953 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0375

0,25 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,7573 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0408 0,3 ª�+ = −0,0152 × �. + 0,8193 ª�+ = 0,0008 × �. − 0,0442

0,9

0,05 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,4648 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0247

0,10 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,5273 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0282 0,15 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,5896 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0315

0,20 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,6527 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0349 0,25 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,716 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0382

0,3 ª�+ = −0,0136 × �. + 0,7782 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0416

1,0

0,05 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,4285 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0226

0,10 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,4918 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0259

0,15 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,5551 ª�+ = 0,0006 × �. − 0,0292 0,20 ª�+ = −0,0126 × �. + 0,6214 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0325

0,25 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,6818 ª�+ = 0,0007 × �. − 0,0359 0,3 ª�+ = −0,0124 × �. + 0,7451 ª�+ = 0,0006 × �. − 0,0392

91


5.3.4.1 Solicitações de Momento Fletor Seção S4

A partir das ordenadas das linhas de influência, obter as máximas solicitações

de carga móvel consistirá no posicionamento da carga pontual no ponto de maior

ordenada, de acordo com a solicitação desejada, e em conjunto com a carga de

multidão. As seções consideradas para análise são: S4, S5, S10 e S15.

O procedimento de cálculo, para a parcela concentrada da carga móvel,

consiste basicamente na multiplicação da ordenada obtida para a seção de análise

pelo valor da carga pontual do trem tipo longitudinal de flexão. Para fins de pré-

dimensionamento a carga concentrada que compõe o trem tipo longitudinal será

multiplicada por 2,5 e aplicada em um único ponto, este procedimento busca corrigir a

diferença entre a aplicação das 3 cargas concentradas distantes em 1,5 m e a

aplicação das três cargas concentradas em um único ponto. Este procedimento visa

facilitar os cálculos e verificar se, para o pré-dimensionamento, este fator encontra-se

satisfatório e fornecendo valores próximos a aplicação das três cargas concentradas

que compõem o trem tipo.

Quanto à carga de multidão, será considerada a ordenada da seção de análise

como a altura de um triângulo de base �, sendo � o valor do vão relativo à ordenada

considerada. Em seguida, faz-se a multiplicação da área do triângulo formado pelo

valor da carga de multidão e pelo fator 0,95 que busca compensar a aproximação feita

ao considerar a linha de influência como um triângulo.

Utilizando-se das funções apresentadas no item 5.3.3, o primeiro passo é

determinar as ordenadas da linha de influência referentes ao ponto de análise.

Tomando-se como base a seção S4 e as expressões (85) a (90) para determinar a

solicitação de momento fletor na seção S4 (��), o cálculo da ordenada referente ao

ponto da seção S4 é descrito a seguir. Para as demais ordenadas dos pontos

necessários para o cálculo do momento fletor, os valores serão apresentados na

Figura 5.86 (para a relação � = 0,7 e �G = 0,15).

A partir da Eq. (85):

Y¯z��_>«.�� = 0,1468 × �. = 0,1468 × 15,0 = 2,202

As demais ordenadas são apresentadas na Tabela 5.34.

92

Tabela 5.34 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor na seção S4

O modelo unifilar da Figura 5.35, com as mesmas relações entre vãos pode

atestar a confiabilidade dos cálculos anteriores.

Figura 5.35 – Linha de influência de momentos da seção S4

A parcela de momento fletor referente à carga concentrada é dada por:

��_w(A) = ª�+>«��_�� ∙ 2,5qyy = 2,2020 × 2,5 × 120 = 661� ∙ � (89)

93

Em relação à carga de multidão, tem-se:

��_J(A) = ¨ª�+>«��_�� ∙ �H2 + ª�+>«��_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95= ¨2,2020 × 10,52 + 0,1260 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = 650� ∙ �

(90)

A solicitação de momento fletor positivo na seção S4 devido à ação da carga

móvel é:

��(A) = ��_w(A) + ��_J(A) = 661 + 650 = 1311� ∙ � (91)

Para se determinar o momento fletor negativo da envoltória para a seção S4,

utilizam-se as ordenadas do balanço extremo e da seção S14, regiões que possuem

ordenadas negativas para a linha de influência. Para o balanço, a ordenada

considerada é a do ponto extremo, maior valor negativo, e a ordenada da seção S14 é

considerada por se tratar da seção mais próxima do ponto de ordenada máxima no

vão central. Em sequência, é realizado o mesmo procedimento descrito para o

momento fletor positivo, onde os triângulos formados possuem como base os

comprimentos do balanço extremo e do vão �..

Assim:

��_w(�) = ª�+>«��_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = −1,8251 × 2,5 × 120 = −548� ∙ � (92)

��_J(�) = bª�+>«��_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«��_�H� ∙ �.2 c ∙ �yy × 0,95 (93)

��_J(�) =¾¿¿Àª�+>«��_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â

2 + ª�+>«��_�H� ∙ �.2 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95

��_J(�) = b−1,8251 ∙ (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,5505 ∙ 15,02 c × 56,0 × 0,95

��_J(�) = −393� �

A solicitação de momento fletor negativo na seção S4 devido à ação da carga

móvel é:

��(�) = ��_w(�) + ��_J(�) = −548 − 393 = −941� ∙ � (94)

94

Finalmente, para a seção S4, com relação entre vão lateral e vão central igual

a 0,7 (� = 0,7) e relação entre balanço extremo e vão lateral igual a 0,15 (�G = 0,15), a

envoltória de solicitação de momento fletor é dada por:

��(A) = 7 × 1311 = 1,34 × 1311 = 1757� ∙ �

��(�) = 7 × (−941) = 1,34 × (−941) = −1261� ∙ �

Estendendo-se este cálculo para os demais valores de �. adotados neste

estudo, chega-se a envoltória de momentos fletores indicada na Tabela 5.35.

Tabela 5.35 – Envoltória de momentos fletores na seção S4 (� = 0,7 e �G = 0,15)

A partir dos valores obtidos, torna-se possível traçar graficamente as curvas da

Figura 5.36 que corresponde às solicitações na seção S4 provenientes da ação da

carga móvel em função do vão central �., para diversos valores de � entre 0,5 e 1,0.

A Tabela 5.36 apresenta as linhas de tendência para cálculo da solicitação de

momento fletor positivo na seção S4 para diversos valores de �.

95

Figura 5.36 – Gráfico ��P_.�� versus �.

Tabela 5.36 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para ação da carga móvel � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��.�� 0,5 ��.�� = 2,011 × �.. + 43,497 × �. 0,6 ��.�� = 2,1772 × �.. + 69,136 × �. − 108,29 0,7 ��.�� = 3,0875 × �.. + 77,88 × �. − 102,98 0,8 ��.�� = 4,1568 × �.. + 85,671 × �. − 91,33 0,9 ��.�� = 5,3353 × �.. + 93,887 × �. − 81,763 1,0 ��.�� = 6,6393 × �.. + 102,26 × �. − 73,033

O momento fletor negativo da envoltória é diretamente ligado ao valor adotado

para a relação �G. Logo, para cada valor desta relação existirá uma curva

correspondente.

A Figura 5.37 ilustra as curvas de momento fletor negativo na seção S4 versus L., para �G = 0,15. A Tabela 5.37 apresenta as respectivas linhas de tendência.

96

Figura 5.37 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,15

Tabela 5.37 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S4, �Æ»¶.�� 0,5 ��?�.�� = −1,4579 × �.. − 21,89 × �. − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9321 × �.. − 38,528 × �. − 419,12 0,7 ��?�.�� = −0,9803 × �.. − 39,792 × �. − 436,96 0,8 ��?�.�� = −1,0556 × �.. − 40,524 × �. − 455,28 0,9 ��?�.�� = −1,1205 × �.. − 41,98 × �. − 470,25 1,0 ��?�.�� = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05

O Apêndice J ilustra as curvas e as linhas de tendência de momento fletor

negativo na seção S4 para valores de �G entre 0 e 0,30.

Um fato interessante que se torna visível através dos gráficos do Apêndice J, é

a influência do balanço extremo ao se aumentar a relação �. Visualmente é perceptível

uma mudança no comportamento das curvas, ou uma mudança quanto a magnitude

das solicitações ao se aumentar a relação �G.

Para a relação �G = 0 a curva correspondente ao menor valor de � (0,5)

apresenta os maiores valores de solicitação para todos os valores possíveis de �..

Para a relação �G = 0,05, as curvas para os diferentes valores de � são praticamente

97

coincidentes, ou seja, para uma relação do balanço extremo da ordem de 5% do

comprimento do vão lateral, a grandeza das solicitações tem, aproximadamente,

mesmo valor. Para a relação �G = 0,10, observa-se que, ao contrário do ocorrido para

o valor de �G = 0, a relação � = 1,0 apresenta os maiores valores de solicitação para

um mesmo comprimento de vão central.

Desta forma, pode-se comprovar e destacar a importância e influência do

comprimento adotado para o balanço extremo da superestrutura.

5.3.4.2 Solicitações de Momento Fletor na Seção S5

Para a determinação das curvas de solicitação de momentos fletores para a

seção S5, será utilizado o mesmo procedimento abordado para a seção S4,

apresentado no item anterior.

As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S5, para � = 0,7

e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.38.

Tabela 5.38 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor na seção S5

O modelo da Figura 5.38 ratifica os valores da Tabela 5.38.

98

Figura 5.38 – Linha de Influência de momento fletor da seção S5

A parcela referente à carga concentrada, do momento fletor positivo ��B(A), é:

��B_w(A) = ª�+>«�B_�B ∙ 2,5qyy = 2,1810 × 2,5 × 120 = 654� � (95)


��B_J(A) = ¨ª�+>«�B_�B ∙ �H2 + ª�+>«�B_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95= ¨2,1810 × 10,52 + 0,1575 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = 653� �

(96)


móvel é dada por:

��B(A) = ��B_w(A) + ��B_J(A) = 654 + 653 = 1307� ∙ � (97)

Para o momento fletor negativo da envoltória para a seção S5:

��B_w(�) = ª�+>«�B_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = −1,3862 × 2,5 × 120 = −416� ∙ � (98)

��B_J(�) = bª�+>«�B_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�B_�H� ∙ �.2 c ∙ �yy × 0,95 (99)

��B_J(�) =¾¿¿Àª�+>«�B_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â

2 + ª�+>«�B_�H� ∙ �.2 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95

��B_J(�) = b−1,3862 ∙ (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,6885 ∙ 15,02 c × 56,0 × 0,95

��B_J(�) = −407� ∙ �

99


móvel é dada por:

��B(�) = ��B_w(�) + ��B_J(�) = −416 − 407 = −823� ∙ � (100)

Assim, para a seção S5 com � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de solicitação de

momento fletor fornece:

��B(A) = 7 × 1307 = 1,34 × 1307 = 1751� ∙ �

��B(�) = 7 × (−823) = 1,34 × (−823) = −1103� ∙ �

Estendendo-se este cálculo para os demais valores de �. adotados neste

estudo, tem-se (Tabela 5.39):


A Figura 5.39 ilustra a curva de momento fletor positivo para a seção S5 em

relação ao valor do vão central �., para diferentes valores de relação �. A Tabela 5.40

apresenta as linhas de tendência correspondentes a cada valor da relação � para se

obter a solicitação de momento fletor positivo na seção S5.

100

Figura 5.39 – Gráfico ��P_.�B versus �.

Tabela 5.40 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÉÊ.ËB 0,5 ��P_.�B = 2,0325 × �22 + 43,497 × �2 0,6 ��P_.�B = 2,1975 × �22 + 68,924 × �2 − 108,48 0,7 ��P_.�B = 3,106 × �22 + 77,295 × �2 − 102,9 0,8 ��P_.�B = 4,1709 × �22 + 84,737 × �2 − 91,179 0,9 ��P_.�B = 5,3401 × �22 + 92,567 × �2 − 81,62 1,0 ��P_.�B = 6,626 × �22 + 100,47 × �2 − 72,929

O valor referente ao momento fletor negativo da envoltória é diretamente ligado

ao valor adotado para a relação �G. Logo, para cada valor desta relação existirá uma

curva correspondente.

A Figura 5.40 ilustra as curvas de momento fletor negativo na seção S5 versus L., para �G = 0,15. A Tabela 5.41 apresenta as respectivas linhas de tendência.

101

Figura 5.40 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,15

Tabela 5.41 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,77,25 × �22 − 17,069 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,255 × �22 − 31,742 × �2 − 310,21 0,7 ��?�.�B = −1,2727 × �22 − 32,191 × �2 − 323,7 0,8 ��?�.�B = −1,3134 × �22 − 32,335 × �2 − 337 0,9 ��?�.�B = −1,3434 × �22 − 33,052 × �2 − 347,21 1,0 ��?�.�B = −1,3727 × �22 − 33,986 × �2 − 353,99

O Apêndice K ilustra as curvas e as linhas de tendência de momento fletor

negativo na seção S5, para valores de �G entre 0 e 0,30.

De forma semelhante ao momento fletor na seção S4, um fato interessante que

se torna visível através dos gráficos do Apêndice K, é a influência do balanço extremo

ao se aumentar a relação �.

Para a relação �G = 0 a curva correspondente ao menor valor de � (0,5)

apresenta os maiores valores de solicitação para todos os valores possíveis de �..

Entre as curvas para as relações �G = 0,05 e �G = 0,05 ocorre a alternância da posição

das curvas, ou seja, para uma relação do balanço extremo entre 5% e 10%, a

grandeza das solicitações tem, aproximadamente, mesmo valor. Para a relação

102

�G = 0,15, observa-se que, ao contrário do ocorrido para o valor de �G = 0, a relação � = 1,0 apresenta os maiores valores de solicitação para um mesmo comprimento de

vão central.

Desta forma, pode-se comprovar e destacar a importância e influência do

comprimento adotado para o balanço extremo da superestrutura.


A determinação da solicitação de momento fletor na seção S10 também

consiste no procedimento já descrito para as seções S4 e S5. A análise desta seção

fornece o momento fletor negativo máximo para a superestrutura. A única diferença no

procedimento se resume no posicionamento da carga concentrada do trem tipo

longitudinal, que de acordo com a linha de influência, deve ser posicionada no ponto

da seção S14, ponto de ordenada máxima.

As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S10, para � = 0,7 e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.42.

Tabela 5.42 – Ordenadas da linha de Influência de momento fletor da seção S10

A Figura 5.41 ilustra a linha de influência da seção S10.

103

Figura 5.41 – Linha de Influência da seção S10

A parcela referente à carga concentrada, do momento fletor negativo ��H=(�), é

dada por:

��H=_w(�) = ª�+>«�H=_�H� ∙ 2,5qyy = −1,3770 × 2,5 × 120 = −413� ∙ � (101)


��H=_J(�) = bª�+>«�H=ÎÏ ∙ �H2 + ª�+>«�H=ÎÐÑ ∙ �.2 + ª�+>«�H=ÒÓÔÕÖ× ∙ �G.IJ2 c ∙ �yy × 0,95 (102)

��H=_J(�) = b−0,8880 × 10,52 + −1,3770 × 15,02 + −0,2378 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 c× 56,0 × 0,95 = −820� ∙ �


móvel é obtida por:

��H=(�) = ��H=_w(�) + ��H=_J(�) = −413 − 820 = −1233� ∙ � (103)

O momento fletor positivo na seção S10 é:

��H=_w(A) = ª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = 0,8069 × 2,5 × 120 = 242� ∙ � (104)

��H=_J(A) = bª�+>«�H=_¡PN ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (105)

��H=_J(A) =¾¿¿Àª�+>«�H=_¡PN ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â

2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 ÃÄÄÅ ∙ �yy × 0,95

��H=_J(A) = b0,8069 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 0,3060 × 10,52 c × 56,0 × 0,95

��H=(A) = 162� ∙ �

104


móvel é obtida por:

��H=(A) = ��H=_w(A) + ��H=_J(A) = 242 + 162 = 404� ∙ � (106)

Finalmente, para a seção S10, onde � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de

solicitação de momento fletor é dada por:

��H=(�) = 7 × 1233 = 1,34 × (−1233) = −1652� ∙ �

��H=(A) = 7 × 404 = 1,34 × 404 = 541� ∙ �

Estendendo-se este cálculo para os demais valores adotados de �. neste

estudo chega-se aos momentos solicitantes apresentados na Tabela 5.43.


A partir dos dados obtidos, torna-se possível traçar graficamente a curva que

corresponde às solicitações de momento fletor negativo provenientes da ação da

carga móvel para a seção S10. Os valores dos momentos fletores negativos e

positivos são diretamente ligados ao valor adotado para a relação �G.

As Figuras 5.42 e 5.43 ilustram, para λ = 0,15, a curva de momento fletor

negativo e positivo, respectivamente, para a seção S10 em relação ao valor do vão

central �., para diferentes valores de relação �. As Tabelas 5.44 e 5.45 apresentam,

para λ = 0,15, as linhas de tendência correspondentes a cada valor da relação � para

se obter a solicitação de momento fletor negativo e positivo na seção S10.

105

O Apêndice L ilustra as curvas e as linhas de tendência de momentos fletores

negativos e positivos na seção S10, para valores de �G entre 0 e 0,30.

Figura 5.42 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,15

Tabela 5.44 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, MÈÌÍ.ËH= 0,5 ��?�.�H= = −4,3075 × �.. − 41,985 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6565 × �.. − 61,085 × �. + 120,7 0,7 ��?�.�H= = −3,9993 × �.. − 56,703 × �. + 94,786 0,8 ��?�.�H= = −4,4536 × �.. − 52,961 × �. + 73,558 0,9 ��?�.�H= = −4,99883 × �.. − 51,616 × �. + 60,992 1,0 ��?�.�H= = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402

106

Figura 5.43 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,15

Tabela 5.45 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2445 × �.. + 7,7347 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2192 × �.. + 14,738 × �. + 170,82 0,7 ��P_.�H= = 0,4057 × �.. + 17,292 × �. + 192,18 0,8 ��P_.�H= = 0,6472 × �.. + 19,556 × �. + 213,72 0,9 ��P_.�H= = 0,9241 × �.. + 22,115 × �. + 233,64 1,0 ��P_.�H= = 1,2365 × �.. + 24,785 × �. + 251,10

O gráfico ilustrado na Figura L.1, referente ao momento fletor mínimo para a

relação �G = 0, apresenta a curva para a relação � = 1,0 fora do padrão demonstrado

para os outros valores de �, isto ocorre devido à ordenada de maior valor, para esta

relação, estar no vão lateral. Este novo posicionamento gera um valor maior, em

módulo, para a parcela referente a carga concentrada, como apresentado na Figura

L.1.

107


A determinação da solicitação de momento fletor na seção S15 segue a

mesma sequência de cálculo demonstrada para a seção S4. A análise desta seção

fornece o momento fletor positivo para a superestrutura, que pode, ou não, ser o

máximo para a superestrutura. A diferença está no posicionamento da carga

concentrada do trem tipo longitudinal, que é aplicada na seção S15, pois apresenta

maior ordenada positiva.

As ordenadas correspondentes à linha de influência da seção S15, para � = 0,7 e �G = 0,15, são apresentadas na Tabela 5.46.

Tabela 5.46 – Ordenadas da linha de influência de momento fletor da seção S15

A Figura 5.44 ilustra a linha de influência da seção S15 obtido do modelo

computacional.

Figura 5.44 – Linha de influência da seção S15

108

A parcela referente à carga concentrada do momento fletor positivo ��HB(A), será:

��HB_w(A) = ª�+>«�HB_�HB ∙ 2,5qyy = 2,4720 × 2,5 × 120 = 742� ∙ � (107)


��HB_J(A) = bª�+>«�HB_¡PN½|J ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�HBÎÐÏ ∙ �.2 + ª�+>«�HB_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 c ∙ �yy × 0,95 (108)

��HB_J(A) =¾¿¿Àª�+>«�HB_¡PN½|J ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â

2 + ª�+>«�HB_�HB ∙ �.2

+ ª�+>«�HB_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø× �yy × 0,95

��HB_J(A) = b0,2853 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 2,4720 × 15,02+ 0,2853 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56 × 0,95 = 1041� ∙ �


móvel é dada por:

��HB(A) = ��HB_w(A) + ��HB_J(A) = 742 + 1041 = 1783� � (109)

O momento fletor negativo da envoltória na seção S15 fornece:

��HB_w(�) = ª�+>«�HB_�B ∙ 2,5qyy = −0,3135 × 2,5 × 120 = −94,1� ∙ � (110)

��HB_J(�) = ¨ª�+>«�HB_�B ∙ �H2 + ª�+>«�HB_�.B ∙ �32 © ∙ �yy × 0,95 (111)

��HB(�) = ¨−0,3135 × 10,52 + −0,3765 × 10,52 © × 56,0 × 0,95 = −193� �


móvel é dada por:

109

��HB(�) = ��HB_w(�) + ��HB_J(�) = −94,1 − 193 = −287� � (112)

Logo, para a seção S15, onde � = 0,7 e �G = 0,15, a envoltória de solicitação

de momento fletor é:

��HB(A) = 7 × 1783 = 1,34 × 1783 = 2389� ∙ �

��H=(A) = 7 × (−287) = 1,34 × (−287) = −385� ∙ �

A Tabela 5.47 apresenta os momentos fletores na seção S15 para vãos

centrais entre 10,0 e 20,0 m.


A partir dos dados obtidos, torna-se possível traçar graficamente a curva que

corresponde às solicitações de momento fletor positivo provenientes da ação da carga

móvel para a seção S15. Sendo a solicitação diretamente relacionada ao valor do

balanço extremo, faz-se necessário traçar a curva correspondente para cada relação �G. A Figura 5.45 ilustra a curva de momento fletor positivo na seção S15 versus �. e a

Tabela 5.48 apresenta as linhas de tendência para diferentes valores de �, para �G = 0,15.

110

Figura 5.45 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,15

Tabela 5.48 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,15 � Momento fletor positivo seção S15, MÈÉÊ.ËHB 0,5 ��P_.�HB = 5,6345 × �22 + 64,61 × �2 + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6266 × �22 + 96,74 × �2 − 162,87 0,7 ��P_.�HB = 4,8498 × �22 + 94,847 × �2 − 121,18 0,8 ��P_.�HB = 5,0772 × �22 + 92,712 × �2 − 82 0,9 ��P_.�HB = 5,2612 × �22 + 91,795 × �2 − 52,91 1,0 ��P_.�HB = 5,4255 × �22 + 91,325 × �2 − 29,584

As curvas e linhas de tendência correspondentes ao momento fletor positivo na

seção S15, para valores de �G entre 0 e 0,30, são apresentadas no Apêndice M.

A Figura 5.44 apresenta a curva correspondente ao momento fletor negativo da

envoltória e a Tabela 5.49 as linhas de tendência para cada caso de análise deste

estudo.

111

Figura 5.46 – Gráfico ��?�.�HB versus �.

Tabela 5.49 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S15 � Momento fletor negativo seção S15, MÈÌÍ.ËHB 0,5 ��?�.�HB = −0,4166 × �22 − 4,7385 × �2 0,6 ��?�.�HB = −0,5883 × �22 − 10,69 × �2 + 21,671 0,7 ��?�.�HB = −1,0378 × �22 − 12,279 × �2 + 8,7717 0,8 ��?�.�HB = −1,4499 × �22 − 19,138 × �2 + 27,801 0,9 ��?�.�HB = −2,0697 × �22 − 24,229 × �2 + 29,832 1,0 ��?�.�HB = −2,8259 × �22 − 29,8 × �2 + 31,456


O procedimento para determinar a máxima solicitação de cortante consiste no

mesmo princípio demonstrado para a solicitação de momento fletor. A partir da linha

de influência de cortante da seção de análise, determinada no item 5.3.3, posiciona-se

o trem-tipo de flexão sobre a ordenada de maior valor referente à solicitação desejada.

As ordenadas positivas são utilizadas para calcular a solicitação máxima e ordenadas

negativas para a solicitação mínima.

112

Tomando-se como base o valor de vão central �. = 15,0� e as relações � = 0,7 e �G = 0,15, a partir das linhas de tendência definidas nas Tabelas 5.32 e 5.33,

as ordenadas da linha de influência da seção S10 para o cortante à direita e à

esquerda são apresentadas nas Tabelas 5.50 e 5.51, respectivamente.

Tabela 5.50 - Ordenadas de cortante à direita da seção S10

Tabela 5.51 - Ordenadas de cortante à esquerda da seção S10

A parcela referente à carga concentrada para o cortante máximo à direita

(*�H=.�P_.�?z), é dado por:

*�H=.�P_.�?z_w = ª�+>«�H=_�H=.�?z ∙ 2,5qyy = 1,0 × 2,5 × 120 = 300� (113)


*�H=.�P_.�?z_J = ¨ª�+>«�H=_�B ∙ �H2 + ª�+>«�H=_�H= ∙ �.2 + ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 © ∙ �yy × 0,95 (114)

113

*�H=.�P_.�?z_J =¾¿¿Àª�+>«�H=_�B ∙ (� ∙ �.)2 + ª�+>«�H=_�H= ∙ �.2

+ ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø× �yy × 0,95

*�H=.�P_.�?z_J = b0,0766 × (0,7 × 15,0)2 + 1,00 × 15,02+ 0,0712 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56 × 0,95 = 427�

A solicitação de cortante a direita máxima na seção S10 devida à ação da

carga móvel é:

*�H=.�P_.�?z = *�H=.�P_.�?z_w + *�H=.�P_.�?z_J = 300 + 427 = 727� (115)

Para a solicitação mínima de cortante à direita da seção S10, tem-se para a

carga concentrada:

*�H=.�?�.�?z_w = ª�+>«�H=_�.B ∙ 2,5qyy = −0,0784 × 2,5 × 120 = −23,5� (116)


*�H=.�?�.�?z = bª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=_�.B ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (117)

*�H=.�?�.�?z = b−0,0731 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + −0,0784 × (0,7 × 15,0)2 c × 56,0× 0,95 = −28,8�

A solicitação de cortante à direita mínima na seção S10, devida à ação da

carga móvel, é:

*�H=.�?�.�?z = *�H=.�?�.�?z_w + *�H=.�?�.�?z_J = −23,5 − 28,8 = −52,3� (118)

114

Sendo assim, para a seção S10, com a relação entre o vão lateral e o vão

central igual a 0,7 (� = 0,7) e relação entre o balanço extremo e o vão lateral igual a

0,15 (�G = 0,15), a envoltória de solicitação de cortante à direita é dada por:

*�H=.�P_.�?z = 7 × 727 = 1,34 × 727 = 974�

*�H=.�?�.�?z = 7 × (−52,3) = 1,34 × (−52,3) = −70,1�

Estendendo-se este cálculo para valores de vão central �. entre 10,0 e 20,0 m,

chega-se aos esforços apresentados na Tabela 5.52.

Tabela 5.52 - Solicitações de cortante à direita da seção S10

Quanto ao cortante máximo à esquerda (*�H=.�P_.I|J), a parcela referente à

carga concentrada é:

*�H=.�P_.I|J_w = ª�+>«�H=_¡PN½|J ∙ 2,5qyy = 0,4315 × 2,5 × 120 = 129� (119)


*�H=.�P_.I|J_J = bª�+>«�H=ÒÓÔÙÚÛ ∙ �G.IJ2 + ª�+>«�H=ÎÜÑ ∙ �32 c ∙ �yy × 0,95 (120)

*�H=.�P_.I|J_J =¾¿¿¿Àª�+�9#10_'�W[� ∙ Ý�� 2� + � ∙ �� ∙ �2Þ

2 + ª�+�9#10_#24 ∙ (� ∙ �2)2ÃÄÄÄÅ × �tt × 0,95

115

*�H=.�P_.I|J_J = b0,4315 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 + 0,0249 × (0,7 × 15,0)2 c × 56 × 0,95= 48,0�

A solicitação de cortante a esquerda máxima na seção S10 devido à ação da

carga móvel será:

*�H=.�P_.I|J = *�H=.�P_.I|J_w + *�H=.�P_.I|J_J = 129 + 48,0 = 177� (121)

Para a solicitação mínima de cortante à esquerda para a seção S10, tem-se,

para a carga concentrada:

*�H=.�?�.I|J_w = ª�+>«�H=_�H= ∙ 2,5qyy = −1,0 × 2,5 × 120 = −300� (122)


*�H=.�?�.I|J = ¨ª�+>«�H=_�H= ∙ �H2 + ª�+>«�H=_�HB ∙ �.2 + ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ �G.IJ2 © ∙ �yy × 0,95 (123)

*�H=.�?�.I|J =¾¿¿Àª�+>«�H=_�H= ∙ (� ∙ �.)2 + ª�+>«�H=_�HB ∙ �.2

+ ª�+>«�H=_¡PNr?z ∙ Á�F 2� + � ∙ �G ∙ �.Â2 Ø ∙ �yy × 0,95

*�H=.�?�.I|J = b−1,0 × (0,7 × 15,0)2 + −0,1218 × 15,02+ −0,0238 × (2,0 + 0,7 × 0,15 × 15,0)2 © × 56,0 × 0,95 = −330�

A solicitação de cortante a esquerda mínima na seção S10, devida à ação da

carga móvel, é dada por:

*�H=.�?�.I|J = *�H=.�?�.I|J_w + *�H=.�?�.I|J_J = −300 − 330 = −630� � (124)

Sendo assim, para a seção S10 com relação entre vão lateral e vão central

igual a 0,7 (� = 0,7) e relação entre balanço extremo e vão lateral igual a 0,15 (�G =0,15), a envoltória de solicitação de cortante à esquerda é:

*�H=.�P_.I|J = 7 × 177 = 1,34 × 177 = 237�

*�H=.�?�.I|J = 7 × (−630) = 1,34 × (−630) = −844�

116

Estendendo-se este cálculo para valores de �., chega-se aos esforços

solicitantes apresentados na Tabela 5.53.

Tabela 5.53 - Solicitações de cortante à esquerda da seção S10

A partir dos resultados obtidos, são traçadas as curvas correspondentes ao

cortante à direita e à esquerda da seção S10, e bem como suas respectivas linhas de

tendência.

As Figuras 5.47 e 5.48 apresentam as curvas referentes ao cortante à direita

máximo e mínimo, respectivamente, para a seção S10 com a relação �G = 0,15. As

Tabelas 5.54 e 5.55 apresentam as linhas de tendência para o cortante à direita

máximo e mínimo, respectivamente, para cada relação � adotada.

117

Figura 5.47 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,15

Tabela 5.54 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante máximo a direita seção S10, ��.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,542 × �. + 412,91 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,225 × �. + 437,65 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,057 × �. + 447,44 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,189 × �. + 454,66 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,509 × �. + 461,02 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22

118

Figura 5.48 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,15

Tabela 5.55 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante mínimo a direita seção S10, �Æ»¶.��.µ»´ 0,5 *�?�.�H=.�?z = −0,0905 × �. − 42,874 0,6 *�?�.�H=.�?z = −0,592 × �. − 45,522 0,7 *�?�.�H=.�?z = −1,3863 × �. − 49,933 0,8 *�?�.�H=.�?z = −2,3418 × �. − 53,751 0,9 *�?�.�H=.�?z = −3,1378 × �. − 62,721 1,0 *�?�.�H=.�?z = −4,0448 × �. − 72,185

As Figuras 5.49 e 5.50 apresentam as curvas referentes ao cortante à

esquerda, máximo e mínimo, respectivamente, para a seção S10 com a relação �G = 0,15. As Tabelas 5.56 e 5.57 apresentam as linhas de tendência respectivas para

119

o cortante à esquerda, máximo e mínimo, respectivamente, da seção S10 para �G = 0,15.

Figura 5.49 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,15

Tabela 5.56 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda na seção S10, para �G = 0,15 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ��.Æ·ß.�� 0,5 *�P_.�H=.I|J = −10,246 × �. + 425,27 0,6 *�P_.�H=.I|J = −8,6817 × �. + 381,29 0,7 *�P_.�H=.I|J = −7,3683 × �. + 347,79 0,8 *�P_.�H=.I|J = −6,3534 × �. + 322,56 0,9 *�P_.�H=.I|J = −5,4596 × �. + 302,34 1,0 *�P_.�H=.I|J = −4,7489 × �. + 286,21

120

Figura 5.50 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,15

Tabela 5.57 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda na seção S10, para �G =0,15

� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ��.Æ»¶.��0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,627 × �. − 408,96 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,289 × �. − 427,86 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,197 × �. − 435,64 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,424 × �. − 441,89 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,828 × �. − 447,82 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,383 × �. − 452,87

121

Os gráficos e linhas de tendência obtidos para os demais valores de relação λ

são apresentados no Apêndice N.

5.3.6 Reações de Apoio

As reações de apoio podem ser determinadas a partir dos valores encontrados

para o cortante à direita e à esquerda. São, a seguir, apresentadas apenas as reações

do apoio B, visto que este é o apoio com reação de maior módulo.

O procedimento consiste em determinar a diferença entre os cortantes à direita

e à esquerda. Adotando, para exemplificação, o mesmo valor de vão central e

relações � e �G utilizados para a determinação do cortante, tem-se, para a reação

máxima:

&¡.�P_ = *�H=.�P_.�?z − *�H=.�?�.I|J (125) &¡.�P_ = 976 − (−869) = 1845�

Quanto à reação mínima:

&¡.�?� = *�H=.�?�.�?z − *�H=.�P_.I|J (126) &¡.�?�.� = −70,3 − (238) = −308�

Ampliando para os demais valores de �., chega-se a Tabela 5.58.

Tabela 5.58 – Reações máximas e mínimas do Apoio em B, para a ação da carga móvel (�G = 0,15)

122

A partir dos resultados obtidos, são traçadas as curvas correspondentes à

reação de apoio em B e obtêm-se suas respectivas linhas de tendência.

A Figura 5.51 mostra a curva referente à reação máxima do apoio B e a Tabela

5.59 apresenta as respectivas linhas de tendência, para �G = 0,15.

123

Figura 5.51 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,15

Tabela 5.59 - Linhas de tendência de reação máxima de apoio em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,17 × �. + 821,87 0,6 &¡.�P_ = 60,514 × �. + 865,51 0,7 &¡.�P_ = 62,254 × �. + 883,08 0,8 &¡.�P_ = 64,613 × �. + 896,55 0,9 &¡.�P_ = 67,337 × �. + 908,83 1,0 &¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09

Quanto a reação mínima do apoio B para a ação da carga móvel, observa-se

que devido a esta reação ser em função dos cortantes mínimo a direita e máximo a

esquerda, torna-se muito mais expressiva a influência do balanço extremo nas

solicitações da superestrutura.

124

A solicitação de cortante é determinada pelo posicionamento da carga

concentrada no ponto da linha de influência que possui maior ordenada, para a

solicitação de *�H=.�?�.�?z com relação λ = 0,20 e �. = 10,0�, a ordenada obtida no

balanço é igual a -0,0992 (vide Tabela 5.26) e em comparação com a ordenada da

seção S25 para a mesma linha de influência (conforme Tabela 5.27, ��+ = −0,0784),

a carga concentrada do trem tipo deve ser posicionada no balanço.

Partindo de outras relações, como exemplo λ = 0,10 e �. = 18,0� para *�H=.�?�.�?z, a carga concentrada deverá ser posicionada na seção S25, visto que esta

seção possuirá ordenada superior a obtida para o balanço. A Tabela 5.26 apresenta a

ordenada do balanço igual a −0,0528 e para a seção S25, Tabela 5.27, a ordenada é

igual a −0,0784. Devido a este fato, o cortante apresenta um comportamento atípico

ao se aumentar o valor do vão central, este comportamento reflete sobre a

determinação das reações de apoio em B.

Para fins de entendimento do comportamento descrito do cortante, vide Figuras

N.8 à N.21 do Apêndice N.

A Figura 5.52 ilustra a curva referente à reação de apoio mínima em B e a

Tabela 5.60 apresenta as respectivas linhas de tendência, para λ = 0,15.

125

Figura 5.52 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,15

Tabela 5.60 - Linhas de tendência de reação mínima de apoio em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,337 × �. − 468,15 0,6 &¡.�?� = 8,0897 × �. − 426,81 0,7 &¡.�?� = 5,982 × �. − 397,72 0,8 &¡.�?� = 4,0116 × �. − 376,31 0,9 &¡.�?� = 2,3218 × �. − 365,06 1,0 &¡.�?� = 0,7041 × �. − 358,39

Os gráficos e linhas de tendência obtidos para a reação de apoio em B

referentes aos demais valores de relação λ e λG são apresentados no Apêndice O.

126

5.4 Ação Devido à Temperatura

Aplicando-se os procedimentos já descritos no item 3.2.2 referentes à

avaliação da distribuição não-uniforme de temperatura, prescritos pela antiga norma

NBR 7187(1987), a linearização da variação não-uniforme de temperatura é

estabelecida conforme a ilustração da Figura 5.53.

Figura 5.53 – Linearização da ação de temperatura

Segundo ALVES (2016) [4], analisando-se uma fibra na profundidade y, têm-se

as seguintes expressões para deformação, tensão e momento fletor resultante por

variação não-uniforme de temperatura:

Z = v ∙ t(Y) (127)

T = [ ∙ v ∙ t(Y) (128)

� = \ T ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = \ [ ∙ v ∙ t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚ

àÖ (129)

Admitindo-se uma variação linear de temperatura, com gradiente G, têm-se as

seguintes expressões para deformação, tensão e momento resultante:

Z̅ = v ∙ â ∙ Y (130)

TU = [ ∙ v ∙ â ∙ Y (131)

�Q = \ TU ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = \ [ ∙ v ∙ â ∙ Y. ∙ +,^ = [ ∙ v ∙ â ∙ 9 (132)

Por equivalência de efeitos de flexão, determina-se o gradiente de temperatura:

127

� = �Q (133)

\ [ ∙ v ∙ t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ = [ ∙ v ∙ â ∙ 9 (134)

â = ã t(Y) ∙ �(Y) ∙ Y ∙ +YàÚàÖ 9 (135)

As expressões referentes a �(Y) e t(Y) podem ser escritas a partir da seção

em trapézio com bases iguais a B1 e B2 e distâncias em relação à mesma origem de

y1 e y2 (Figura 5.54). Para fins de descrição do cálculo, pode-se descrever da

seguinte forma:

�(Y) = 'H ∙ (Y − Y.) + '. ∙ (YH − Y)(YH − Y.) (136)

t(Y) = tH ∙ (Y − Y.) + t. ∙ (YH − Y)(YH − Y.) (137)

Figura 5.54 – Trapézios para avaliação das variáveis b(y) e T(y)

Realizando a integração da Eq. (135) com base nas Eq. (136) e (137), obtém-

se:

\ t(Y)�(Y)Y+YàÚàÖ = (YH − Y.)12 �((YH + Y.)((tH'. − t.'H) + tH'H(3YH + Y.) + t.'.(YH + 3Y. (138)

Admitindo-se uma distribuição simplificada genérica (Figura 5.55) para uma

seção celular e utilizando a Eq. (138), da integração chega-se ao valor de ∆T

apresentado na Tabela 5.61.

128

Figura 5.55 – Distribuição simplificada genérica de temperatura

Tabela 5.61 – Desenvolvimento da integração da temperatura para seção transversal

A Figura 5.56 ilustra a distribuição linearizada equivalente da temperatura na

seção transversal, determinando-se as temperaturas superior, t|, e inferior, t?.

Figura 5.56 – Distribuição linearizada equivalente da temperatura

A determinação da temperatura nas fibras superior e inferior é obtida a partir

das Eq. (139) e (140).

129

t| = Y|9 \� ∙ t ∙ Y ∙ +Y ≅ Y|9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (139)

t? = Y?9 \� ∙ t ∙ Y ∙ +Y ≅ −Y?9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (140)

Logo, a variação de temperatura e o gradiente de temperatura são expressos

por:

∆t = t| − t? = u9 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (141)

â = ∆tu = 19 ä��(10Y| − 15Y? − 2) + 10�|(12Y| − 1)80 å (142)

Nas expressões (141) e (142), as dimensões estão em metros.

Utilizando a decomposição da seção transversal em trapézios, tal como Ilustra

a Figura 5.57, pode-se obter o cálculo das propriedades geométricas da seção

transversal.

Figura 5.57 – Decomposição em trapézios

O Apêndice P apresenta o desenvolvimento dos cálculos para determinação de

∆T para a seção transversal de estudo.

Conforme apresentado no Apêndice P, pode-se tomar æt = 6,93°8.


A partir da determinação da variação de temperatura e do gradiente de

temperatura, obtém-se os hiperestáticos referentes à ação da carga de temperatura.

A análise deste efeito na superestrutura encontra-se dependente das

propriedades do material e da seção transversal. Utilizando-se è�� = 30,0�q�, e a

expressão para determinação do módulo de elasticidade expressa pela NBR

6118(2014), tem-se:

130

[ = v½ ∙ 5600éè�� (143) v½ = 1,0 → /��)(±��/)�(�

[ = 1,0 × 5600 × é30,0 = 30672,46�q�

Desta forma, a Eq. (52) fornece:

aH = a. = 3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ∆tu (1 + �)(3 + 2�) aH = a. = 3 × 30672 × 103 × 1,420 × 10�B × 6,931,50 (1 + 0,7)(3 + 2 × 0,7)

aH = a. = 2332� ∙ � (144)

Uma vez que os balanços extremos não promovem qualquer impedimento aos

deslocamentos da superestrutura, também não interferem na determinação dos

hiperestáticos. Desta forma, a análise referente à ação da temperatura é função,

unicamente, da relação �. Portanto, basta determinar a solicitação referente aos

valores de � dentro do intervalo de estudo que para qualquer valor de �., a solicitação

terá o mesmo valor.

A Tabela 5.62 apresenta os valores obtidos para os momentos fletores

solicitantes decorrentes da variação não-uniforme de temperatura e a Figura 5.58

ilustra a curva correspondente às solicitações na seção transversal.

Tabela 5.62 – Solicitação de momento fletor por ação da temperatura

131

Figura 5.58 – Curva de momento fletor versus � por ação de temperatura

O momento fletor devido a ação da temperatura é obtido também pela

equação:

��I�F = 301,02 × � + 2117,2 (145)


As solicitações de cortante, de forma semelhante às solicitações de momento

fletor, são obtidas a partir dos hiperestáticos determinados para a ação da

temperatura.

O cortante à direita da seção S10 é sempre nulo. Desta forma tem-se para a

seção S10 apenas o cortante à esquerda.

A Figura 5.59 ilustra o cortante e o momento por ação de temperatura.

Figura 5.59 – Diagrama de cortante e momento por ação de temperatura

132

A Tabela 5.63 apresenta o cortante à esquerda da seção e a Figura 5.60 ilustra

a curva VËH=.ëìí versus λ, para L. = 15,0m.

Tabela 5.63 – Solicitação de cortante à esquerda

Figura 5.60 – Cortante à esquerda, por ação de temperatura

A função referente à solicitação de temperatura (cortante) na seção S10 à

esquerda é:

*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 (146)

5.4.3 Reação de Apoio

As reações de apoio, de forma semelhante às solicitações de momento fletor,

são obtidas a partir dos hiperestáticos determinados para a ação da temperatura.

Após procedimentos de análise estrutural, determina-se a expressão para a

reação de apoio em B [3].

133

&¡.�I�F = −3[ ∙ 9 ∙ v ∙ ætu ∙ � (1 + �)�(3 + 2�) (147)

Tomando como base �. = 15,0, � = 0,7 e as propriedades definidas no item

5.4, tem-se:

&¡.�I�F = −3 × 30672,46 × 103 × 1,420 × 10�B × 6,931,50 × 15,0 (1 + 0,7)0,7 × (3 + 2 × 0,7) &¡.�I�F = −222�

Ampliando para os demais valores de vão central, obtém-se as reações de

apoio em B, apresentadas na Tabela 5.64.

Tabela 5.64 – Reações de apoio em B, � = 0,7

A partir dos resultados, traçam-se as curvas correspondentes aos diferentes

valores de relação �. A Figura 5.61 ilustra a curva reação de apoio em B versus

comprimento do vão central.

134

Figura 5.61 – Reação de apoio em B versus �.

A Tabela 5.65 apresenta as linhas de tendência para a determinação da reação

de apoio em B, para as relações entre vão central e vão lateral (�).

Tabela 5.65 – Linhas de tendência de reação de apoio em B, por ação de temperatura � Reação de apoio em B, ¢£.î�Æï 0,5 &¡.�I�F = 1,5079 × �.. − 67,109 × �. + 968,6 0,6 &¡.�I�F = 1,2765 × �.. − 56,812 × �. + 819,97 0,7 &¡.�I�F = 1,1097 × �.. − 49,388 × �. + 712,82 0,8 &¡.�I�F = 0,9834 × �.. − 43,767 × �. + 631,69 0,9 &¡.�I�F = 0,8843 × �.. − 39,354 × �. + 568 1,0 &¡.�I�F = 0,8042 × �.. − 35,791 × �. + 516,58

135

6 Exemplo Numérico

A aplicação numérica, apresentada a seguir, supõe um obstáculo cuja

transposição se faz por meio de uma ponte. Admitindo-se que o vale possui 50,0 m de

comprimento, são apresentadas na Tabela 6.1 três possibilidades para transposição

do vão.

Tabela 6.1 – Opções para transposição

Opção 1 Opção 2 Opção 3 �.(�) 15,0 17,0 20,0 � 1,0 0,8 0,7 �G 0,15 0,25 0,1

Comprimento

Total 49,50 m 51,00 m 50,80 m

Como apresentado neste estudo, as seções a serem analisadas são: S4, S5,

S10 e S15. As seções S4 e S5 apresentam, em alguns casos, os mesmos valores de

solicitação, porém, como apresentado no item 5.2 deste trabalho, de acordo com a

relação adotada para o balanço extremo, o valor de solicitação com maior módulo

pode ocorrer em uma ou outra seção. Desta forma, é determinado o valor

correspondente às duas seções.

A ponte em estudo deverá apresentar duas faixas de rolamento e duas faixas

de acostamento, tal como o caso deste trabalho.

6.1 Solicitações de Peso Próprio e Sobrecarga Permanente

As solicitações referentes ao peso próprio e sobrecarga permanente são

obtidas a partir das linhas de tendência determinadas para cada relação.

Para a primeira opção de vão central e relações tem-se:

�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela C.4

(Apêndice C), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

��(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08 = 13,41 × 15,0. − 28,212 × 15,0 − 188,08

��(A) = 2406� ∙ �

136

Para a solicitação de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela D.4

(Apêndice D), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68 = 12,75 × 15,0. − 21,702 × 15,0 − 144,68

��B(A) = 2399� ∙ �

Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela E.4

(Apêndice E), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

��H=(�) = −17,678 × �.. + 10,851 × �. + 72,34 = −17,678 × 15,0. + 10,851 × 15,0 + 72,34

��H=(�) = −3742� ∙ �

Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela F.4

(Apêndice F), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34 = 4,9281 × 15,0. + 10,851 × 15,0 + 72,34

��HB(A) = 1344� ∙ �

Para a segunda opção de vão central e relações tem-se:

�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25



fornece:

��(A) = 6,0262 × �.. − 38,371 × �. − 191,86 = 6,0262 × 17,0. − 38,371 × 17,0 − 191,86

��(A) = 897� ∙ �



fornece:

��B(A) = 5,5434 × �.. − 29,879 × �. − 149,4 = 5,5434 × 17,0. − 29,879 × 17,0 − 149,4

��B(A) = 945� ∙ �

137



fornece:

��H=(�) = −14,232 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 = −14,232 × 17,0. + 12,581 × 17,0 + 62,904

��H=(�) = −3836� ∙ �



fornece:

��HB(A) = 8,3741 × �.. + 12,581 × �. + 62,904 = 8,3741 × 17,0. + 12,581 × 17,0 + 62,904

��HB(A) = 2697� ∙ �

Para a terceira opção de vão central e relações tem-se:

�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10



fornece:

��(A) = 4,8763 × �.. − 13,58 × �. − 194,0 = 4,8763 × 20,0. − 13,58 × 20,0 − 194,0

��(A) = 1485� ∙ �



fornece:

��B(A) = 3,9907 × �.. − 10,645 × �. − 152,08 = 3,9907 × 20,0. − 10,645 × 20,0 − 152,08

��B(A) = 1231� �



fornece:

��H=(�) = −13,73 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 = −13,73 × 20,0. + 4,028 × 20,0 + 57,543

��H=(�) = −5354� ∙ �

138



fornece:

��HB(A) = 8,8766 × �.. + 4,028 × �. + 57,543 = 8,8766 × 20,0. + 4,028 × 20,0 + 57,543

��HB(A) = 3689� �

Seguindo o mesmo procedimento utilizado para as solicitações de momento

fletor, obtêm-se as solicitações de cortante e reações de apoio em B.

Para a primeira opção de vão central e relações, tem-se:

�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

Para a solicitação de cortante na seção S10 à esquerda, utiliza-se a Tabela

G.4 (Apêndice G), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

*�H=.I|J = −108,17 × �. + 126,9 = −108,17 × 15,0 + 126,9 = −1496�

Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a Eq. (70), que

fornece:

*�H=.�?z = 90,425 × �. = 90,425 × 15,0 = 1356�

A reação de apoio em B é obtida a partir da Tabela H.4 (Apêndice H).

&¡ = 196,15 × �. − 126,9 = 196,15 × 15,0 − 126,9 = 2815�


�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25



fornece:

*�H=.I|J = −88,173 × �. + 181,72 = −88,173 × 17,0 + 181,72 = −1317�

Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a expressão

(70), que fornece:

*�H=.�?z.� = 90,425 × �. = 90,425 × 17,0 = 1537�

139


&¡ = 170,3 × �. − 181,72 = 170,3 × 17,0 − 181,72 = 2713�

Para a terceira opção de vão central e relações, tem-se:

�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10



fornece:

*�H=.I|J = −85,172 × �. + 127,19 = −85,172 × 20,0 + 127,19 = −1576�

Para a solicitação de cortante na seção S10 à direita, utiliza-se a expressão

(70), que fornece:

*�H=.�?z = 90,425 × �. = 90,425 × 20,0 = 1808�


&¡ = 174,1 × �. − 127,19 = 174,1 × 20,0 − 127,19 = 3355�

Em resumo, as solicitações devidas à ação do peso próprio e sobrecarga

permanente para as três opções são apresentadas na Tabela 6.2.

Tabela 6.2 – Resumo das solicitações de peso próprio e sobrecarga permanente Opção1 Opção2 Opção3��(A)� ∙ � 2406 897 1485��B(A)� ∙ � 2399 945 1231��H=(�)� ∙ � -3742 -3836 -5354��HB(A)� ∙ � 1344 2697 3689*�H=.I|J� -1496 -1317 -1576*�H=.�?z� 1356 1537 1808&¡� 2815 2713 3355

140

6.2 Solicitações de Carga Móvel

De forma semelhante utilizam-se as expressões e linhas de tendência

determinadas no item 5.3 para encontrar as solicitações referentes a ação da carga

móvel.


�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

Para a solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a Tabela 5.36. A

função apresentada fornece:

��(A) = 6,6393 × �.. + 102,26 × �. − 73,033 = 6,6393 × 15,0. + 102,26 × 15,0 − 73,033

��(A) = 2955� ∙ �

Para a envoltória de solicitação de momento fletor na seção S4, utiliza-se a

Tabela J.4 (Apêndice J), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função

apresentada fornece:

��(�) = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05 = −1,1887 × 15,0. − 43,687 × 15,0 − 481,05

��(�) = −1404� �



��B(A) = 6,626 × �.. + 100,47 × �. − 72,929 = 6,626 × 15,0. + 100,47 × 15,0 − 72,929

��B(A) = 2925� ∙ �


Tabela K.4 (Apêndice K), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função


��B(�) = −1,3727 × �.. − 33,986 × �. − 353,99 = −1,3727 × 15,0. − 33,986 × 15,0 − 353,99

��B(�) = −1173� ∙ �

Para a solicitação de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela L.4

(Apêndice L) que se refere a �G = 0,15. A função apresentada fornece:

��H=(�) = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402 = −5,5985 × 15,0. − 57,391 × 15,0 + 52,402

��H=(�) = −2068� ∙ �

141


Tabela L.11 (Apêndice L), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função


��H=(A) = 1,2365 × �.. + 24,785 × �. + 251,10 = 1,2365 × 15,0. + 24,785 × 15,0 + 251,10

��H=(A) = 901� ∙ �

Para a solicitação de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela M.4

(Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada

fornece:

��HB(A) = 5,4255 × �.. + 91,325 × �. − 29,584 = 5,4255 × 15,0. + 91,325 × 15,0 − 29,584

��HB(A) = 2561� ∙ �


Tabela 5.49. A função apresentada fornece:

��HB(�) = −2,8259 × �.. − 29,8 × �. + 31,456 = −2,8259 × 15,0. − 29,8 × 15,0 + 31,456

��HB(�) = −1051� ∙ �


�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25



��(A) = 4,1568 × �.. + 85,671 × �. − 91,33 = 4,1568 × 17,0. + 85,671 × 17,0 − 91,33

��(A) = 2566� ∙ �




��(�) = −1,3832 × �.. − 66,015 × �. − 441,01 = −1,3832 × 17,0. − 66,015 × 17,0 − 441,01

��(�) = −1963� ∙ �



��B(A) = 4,1709 × �.. + 84,737 × �. − 91,179 = 4,1709 × 17,0. + 84,737 × 17,0 − 91,179

��B(A) = 2555� ∙ �

142




��B(�) = −1,5701 × �.. − 51,702 × �. − 326,04 = −1,5701 × 17,0. − 51,702 × 17,0 − 326,04

��B(�) = −1659� ∙ �

Para a solicitação mínima de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela

L.6 (Apêndice L). A função apresentada fornece:

��H=(�) = −4,5044 × �.. − 53,953 × �. + 74,654 = −4,5044 × 17,0. − 53,953 × 17,0 + 74,654

��H=(�) = −2144� ∙ �


Tabela L.13, que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada

fornece:

��H=(A) = 0,7942 × �.. + 31,568 × �. + 207,1 = 0,7942 × 17,0. + 31,568 × 17,0 + 207,1

��H=(A) = 973� ∙ �

Para a solicitação de máximo momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela

M.6 (Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada

fornece:

��HB(A) = 5,2091 × �.. + 95,288 × �. − 84,846 = 5,2091 × 17,0. + 95,288 × 17,0 − 84,846

��HB(A) = 3040� ∙ �



��HB(�) = −1,4499 × �.. − 19,138 × �. + 27,801 = −1,4499 × 17,0. − 19,138 × 17,0 + 27,801

��HB(�) = −717� ∙ �


�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10



��(A) = 3,0875 × �.. + 77,88 × �. − 102,98 = 3,0875 × 20,0. + 77,88 × 20,0 − 102,98

��(A) = 2690� ∙ �

143




��(�) = −0,9318 × �.. − 28,3 × �. − 445,39 = −0,9318 × 20,0. − 28,3 × 20,0 − 445,39

��(�) = −1384� ∙ �

Para a solicitação máxima de momento fletor na seção S5, utiliza-se a Tabela

5.40. A função apresentada fornece:

��B(A) = 3,106 × �.. + 77,295 × �. − 102,9 = 3,106 × 20,0. + 77,295 × 20,0 − 102,9

��B(A) = 2685� ∙ �




��B(�) = −1,2335 × �.. − 23,426 × �. − 330,16 = −1,2335 × 20,0. − 23,426 × 20,0 − 330,16

��B(�) = −1292� ∙ �

Para a solicitação mínima de momento fletor na seção S10, utiliza-se a Tabela

L.3 (Apêndice L). A função apresentada fornece:

��H=(�) = −3,9882 × �.. − 56,28 × �. + 94,32 = −3,9882 × 20,0. − 56,28 × 20,0 + 94,32

��H=(�) = −2627� ∙ �


Tabela L.10 (Apêndice L), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função


��H=(A) = 0,3892 × �.. + 12,291 × �. + 195,82 = 0,3892 × 20,0. + 12,291 × 20,0 + 195,82

��H=(A) = 597� ∙ �

Para a solicitação máxima de momento fletor na seção S15, utiliza-se a Tabela

M.3 (Apêndice M), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada

fornece:

��HB(A) = 4,8235 × �.. + 93,846 × �. − 120,08 = 4,8235 × 20,0. + 93,846 × 20,0 − 120,08

��HB(A) = 3686� ∙ �



144

��HB(�) = −1,0378 × �.. − 12,279 × �. + 8,7717 = −1,0378 × 20,0. − 12,279 × 20,0 + 8,7717

��HB(�) = −652� ∙ �

A partir das linhas de tendência encontradas no item 5.3.8, determina-se as

solicitações de cortante à direita e à esquerda.


�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à direita na seção S10,

utilizam-se as Tabela N.4 e N.11 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao

valor da relação �G = 0,15. A função apresentada fornece:

*�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22 = 36,008 × 15,0 + 466,22 = 1006�

*�H=.�?�.�?z = −4,0448 × �. − 72,185 = −4,0448 × 15,0 − 72,185 = −133�

Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,

utilizam-se as Tabelas N.18 e N.25 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao


*�H=.�P_.I|J = −4,7489 × �. + 286,21 = −4,7489 × 15,0 + 286,21 = 215�

*�H=.�?�.I|J = −34,383 × �. − 452,87 = −34,383 × 15,0 − 452,87 = −969�


�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25


utilizam-se as Tabelas N.6 e N.13 (Apêndice N), respectivamente, que se refere ao


*�H=.�P_.�?z = 35,443 × �. + 458,57 = 35,443 × 17,0 + 458,57 = 1061�

*�H=.�?�.�?z = −1,4969 × �. − 78,652 = −1,4969 × 17,0 − 78,652 = −104�

Para a solicitação de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,

utilizam-se as Tabelas N.20 e N.27 (Apêndice N), que se refere ao valor da relação �G = 0,25. A função apresentada fornece:

*�H=.�P_.I|J.� = −5,2261 × �. + 394,21 = −5,2261 × 17,0 + 394,21 = 305�

*�H=.�?�.I|J.� = −29,494 × �. − 442,94 = −29,494 × 17,0 − 442,94 = −944�

145


�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10


utilizam-se as Tabelas N.3 e N.10 (Apêndice N), que se refere ao valor da relação �G = 0,10. A função apresentada fornece:

*�H=.�P_.�?z = 35,003 × �. + 445,86 = 35,003 × 20,0 + 445,86 = 1146�

*�H=.�?�.�?z = −1,6332 × �. − 43,077 = −1,6332 × 20,0 − 43,077 = −75�

Para as solicitações de cortante máximo e mínimo à esquerda na seção S10,

utilizam-se as Tabelas N.17 e N.24 (Apêndice N), respectivamente, que se referem ao


*�H=.�P_.I|J = −7,6453 × �. + 312,99 = −7,6453 × 20,0 + 312,99 = 160�

*�H=.�?�.I|J = −27,178 × �. − 435,14 = −27,178 × 20,0 − 435,14 = −979�

A partir das linhas de tendência encontradas no item 5.3.9, determina-se as

reações de apoio em B.


�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

Para as reações de apoio máximas e mínimas em B, utilizam-se as Tabelas

O.4 e O.11 (Apêndice O), respectivamente, que se referem ao valor da relação �G = 0,15. A função apresentada fornece:

&¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09 = 70,391 × 15,0 + 919,09 = 1975�

&¡.�?� = 0,7041 × �. − 358,39 = 0,7041 × 15,0 − 358,39 = −348�


�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25



146

&¡.�P_ = 64,937 × �. + 901,51 = 64,937 × 17,0 + 901,51 = 2005�

&¡.�?� = 3,7292 × �. − 472,86 = 3,7292 × 17,0 − 472,86 = −410�


�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10



&¡.�P_ = 62,181 × �. + 881 = 62,181 × 20,0 + 881 = 2125�

&¡.�?� = 6,0121 × �. − 356,07 = 6,0121 × 20,0 − 356,07 = −236�

Em resumo, as solicitações devidas à ação da carga móvel são apresentadas

na Tabela 6.3:

Tabela 6.3 – Resumo Solicitações carga móvel, momento fletor Opção1 Opção2 Opção3��(A)� ∙ � 2955 2566 2690��(�)� ∙ � -1404 -1963 -1384��B(A)� ∙ � 2925 2555 2685��B(�)� ∙ � -1173 -1659 -1292��H=(�)� ∙ � -2068 -2144 -2627��H=(A)� ∙ � 901 973 597��HB(A)� ∙ � 2561 3040 3686��HB(�)� ∙ � -1051 -6717 -652*�H=.�P_.�?z� 1006 1061 1146*�H=.�?�.�?z� -133 -104 -75*�H=.�P_.I|J� 215 305 160*�H=.�?�.I|J� -969 -944 -979&¡.�P_� 1975 2005 2125&¡.�?�� -348 -410 -236

147

6.3 Solicitações de Temperatura

As solicitações devidas à ação de temperatura são obtidas pelas linhas de

tendência determinadas no item 5.4.1, para momento fletor, e no item 5.4.2, para o

cortante. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.


�. = 15,0�; � = 1,0; �G = 0,15

A partir da Eq. (145), a solicitação de momento fletor é dada por:

��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 1,0 + 2117,2

��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2418� �

O cortante, a partir da Eq. (146), é dado por:

*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 1,0. − 826,27 × 1,0 + 621,5

*�H=.I|J = 162�

A reação de apoio em B, a partir da Tabela 5.65, é dada por:

&¡.�I�F = 0,8042 × �.. − 35,791 × �. + 516,58

&¡.�I�F = 0,8042 × 15,0. − 35,791 × 15,0 + 516,58 = 161�


�. = 17,0�; � = 0,8; �G = 0,25


��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 0,8 + 2117,2

��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2358� ∙ �


*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 0,8. − 826,27 × 0,8 + 621,5

*�H=.I|J = 195�


&¡.�I�F = 0,9834 × �.. − 43,767 × �. + 631,69

&¡.�I�F = 0,9834 × 17,0. − 43,767 × 17,0 + 631,69 = 172�

148


�. = 20,0�; � = 0,7; �G = 0,10


��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 301,02 × � + 2117,2 = 301,02 × 0,7 + 2117,2

��H=.�I�F = ��HB.�I�F = 2328� ∙ �


*�H=.I|J = 367,08 × �. − 826,27 × � + 621,5 = 367,08 × 0,7. − 826,27 × 0,7 + 621,5

*�H=.I|J = 223�


&¡.�I�F = 1,1097 × �.. − 49,388 × �. + 712,82

&¡.�I�F = 1,1097 × 20,0. − 49,388 × 20,0 + 712,82 = 167�

Em resumo, as solicitações devidas a ação da temperatura para as opções são

apresentadas na Tabela 6.4:

Tabela 6.4 – Resumo solicitações temperatura, momento fletor Opção1 Opção2 Opção3��H=.�I�F = ��HB.�I�F(� ∙ �) 2418 2358 2328*�H=.I|J(� ) 162 195 223&¡.�I�F(� ) 161 172 167

149

6.4 Avaliação do Exemplo Numérico

A partir das expressões determinadas no capítulo 5, obter as solicitações para

a superestrutura de pontes hiperestáticas de três vãos tornou-se um processo simples.

Pela definição de poucas variáveis, pode-se chegar à ordem de grandeza das

solicitações baseadas nestes parâmetros.

Para fins de avaliação do estudo desenvolvido, a Tabela 6.5 apresenta a

variação entre as solicitações obtidas a partir das ferramentas criadas neste estudo

em relação ao modelo computacional.

Tabela 6.5 – Comparativo entre o estudo desenvolvido e o modelo computacional

Com base no item anterior e avaliando-se as solicitações obtidas para as três

opções de transposição do vale proposto, são observados alguns pontos que possuem

relevância para o estudo.

A primeira opção proposta demonstra a situação em que o momento fletor

máximo, devido a ação do peso próprio e sobrecarga permanente, ocorre numa seção

150

diferente da S15 (meio do vão central). O momento fletor na seção S4 se apresenta

1,8 vezes superior ao encontrado para a seção S15.

A segunda opção, ainda se tratando da ação de peso próprio e sobrecarga

permanente, é a que apresenta uma melhor distribuição dos momentos comparada às

demais. Esta opção apresenta o menor valor de momento fletor na seção S10 e ainda

uma melhor disposição das solicitações de momento fletor para a superestrutura, além

de ser a que possui o menor módulo.

A terceira opção, para peso próprio e sobrecarga permanente, apresenta o

maior valor em módulo para a solicitação de momento fletor mínimo na seção S10.

Comparado às demais opções, apresenta um valor 1,4 vezes maior,

aproximadamente. Esta opção, ainda apresenta o momento fletor na seção S15

superior ao da seção S4 em 2,5 vezes

Quanto à ação da carga móvel, as solicitações obtidas para as três opções

apresentadas não possuem uma variação expressiva. Quanto a este carregamento, há

de se destacar que para a solicitação de momento fletor mínimo na seção S10, os

valores encontrados para as três opções possuem uma variação em torno de 20% do

valor encontrado no modelo computacional. Isto sugere que os fatores multiplicadores

adotados podem ser alterados para esta solicitação de forma que forneça um valor

mais próximo do valor real.

A ação da temperatura, muitas vezes esquecida para a análise preliminar e

para o pré-dimensionamento, apresenta solicitações expressivas. Combinada às

demais ações pode resultar, como no caso da seção S15, em um aumento expressivo

da solicitação para esta seção.

Tratando-se ainda da ação de temperatura, ocorre uma variação do valor

encontrado no FTool ao obtido pelo estudo desenvolvido em torno de 13%. A análise

quanto a ação de temperatura é diretamente ligada as propriedades da seção

(inércia). Para a realização do estudo foi desconsiderada a utilização de mísulas na

seção transversal, esta aproximação adotada gera uma inércia diferente da real e que

resultou nesta variação encontrada nos resultados.

Para fins de ilustração, a Figura 6.1 apresenta um modelo computacional com

a consideração das mísulas no modelo e a Figura 6.2 apresenta a um modelo

computacional sem a consideração das mísulas.

151

Figura 6.1 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �)

Figura 6.2 – Modelo computacional com mísulas da opção 1, ação de temperatura (valores em � ∙ �)

A partir das Figuras 6.1 e 6.2 é observado que, ao comparar o resultado obtido

no estudo com um modelo computacional de mesmas propriedades, os valores

encontram-se praticamente iguais. Desta forma, conclui-se que a variação encontrada

nos resultados do estudo em relação ao valor real é unicamente devida a retirada das

mísulas.

No geral, as solicitações obtidas para a ação da temperatura, com objetivo de

análise preliminar, apresentaram-se satisfatórias quanto a ordem de grandeza das

solicitações.

152

7 Considerações Finais

A concepção da estrutura de uma ponte consiste, basicamente, em definir: o

sistema estrutural (viga, arco, treliça, estaiada, pênsil etc.), o método construtivo

(moldado in loco, pré-moldado, balanço sucessivo etc.), a forma de ligação entre a

superestrutura e a mesoestrutura (apoiado, aporticado etc.), a forma da seção

transversal (aberta, celular, viga mista) e os materiais empregados (concreto armado,

concreto protendido ou aço). Estas definições dependem, obviamente, de fatores

variados, tais como considerações econômicas, ambientais, de ocupação urbana,

entre outros.

Dentre as diversas possibilidades de solução, destaca-se o caso, bastante

representativo, das pontes em viga contínua com três vãos, com ou sem balanços nos

extremos. Visando este tipo de sistema estrutural desenvolveu-se, neste trabalho, uma

metodologia para a análise simplificada, com boa precisão, baseada em expressões

algébricas para as principais solicitações dimensionantes, considerando-se os

carregamentos usuais. Embora o desenvolvimento algébrico seja relativamente

extenso, os resultados puderam ser resumidos na forma gráfica de ábacos, em função

de proporções entre os vãos, a partir dos quais tem-se indicações das principais

solicitações.

O desenvolvimento das expressões algébricas para cálculo das principais

solicitações utilizou-se do método das forças, considerando-se a situação simplificada

de viga contínua com “inércia” constante. Na prática, as vigas costumam apresentar

alargamento de espessura, ou mesmo altura maior junto dos apoios, e o modelo mais

apropriado deve considerar este fato. No entanto, conforme demonstrado por meio de

alguns exemplos, a consideração de “inércia” constante, mesmo que não represente

exatamente a realidade, resulta em avaliações que podem ser consideradas como

uma boa aproximação para efeito de pré-dimensionamento. Além disso, a

possibilidade de “visualização” rápida da magnitude das principais solicitações em

função da proporção entre vãos proporciona uma “ferramenta” de grande interesse

prático.

Como exemplo de aplicação da metodologia, foram determinadas as

solicitações de pontes com comprimento total variando entre 20,0 m (�. = 10,0�; � =0,5; ��G = 0) e 72,0 m (�. = 20,0�; � = 1,0; ��G = 0,30), expressas em função de

poucas variáveis. Foram consideradas as ações de peso próprio estrutural, sobrecarga

permanente, carga móvel e o efeito de variação não-uniforme de temperatura. Os

153

resultados foram comparados com a análise estrutural em modelo de viga contínua via

FTOOL, demonstrando a eficiência da metodologia.

Com base nestes exemplos, pode-se detectar de forma clara a faixa de

proporções que resultam em momento fletor positivo no vão lateral superior ao obtido

no vão central, considerando-se a ação de diversos carregamentos. Esta indicação é

de grande interesse prático e deve ser um balizador importante na concepção de uma

estrutura em viga contínua.

Foi possível, ainda, avaliar a influência do balanço extremo na distribuição das

solicitações ao longo da superestrutura. Por exemplo, a relação entre o momento fletor

negativo na seção S10 e na seção S0, para peso próprio e sobrecarga permanente,

pode apresentar uma diferença expressiva em função dos comprimentos dos

balanços. Para � = 0,6, a relação entre o momento fletor na seção S10 e o momento

fletor na seção S0 varia de 1,4 (para �G = 0,3) a 5,3 (para �G = 0,05). Tratando-se da

relação entre o momento fletor nas seções S15 e S4, como apresentado na Figura

5.15, para � = 0,8 esta relação varia de 0,8 (para �G = 0) a 7,6 (para �G = 0,3). Isto

indica que a adoção de um pequeno balanço no extremo da ponte pode interferir de

forma significativa na distribuição das solicitações na superestrutura.

As solicitações de peso próprio e sobrecarga obtidas a partir dos ábacos

propostos mostraram-se satisfatórias, com valores praticamente idênticos àqueles

obtidos da análise estrutural.

Para a ação da carga móvel, os resultados obtidos também foram consistentes.

O estudo das ordenadas da linha de influência apontou indicadores, como a proporção

entre ordenadas, que possibilitou o uso de fatores multiplicadores que aproximaram as

respostas da análise preliminar com as obtidas do modelo estrutural.

A consideração de variação não-uniforme de temperatura consiste em uma

ação nem sempre considerada com a devida atenção, tanto na literatura técnica,

quanto na prática do projeto. Neste trabalho, demonstra-se como esta ação pode ser

linearizada e analisada de forma simplificada, porém com boa precisão. Os resultados

obtidos revelam que a variação não-uniforme de temperatura apresentam valores de

solicitações significativos e que não devem ser desconsiderados.

Para fins elucidativos, apresentou-se o exemplo de uma ponte hiperestática

com 50,0 m de comprimento. A partir das relações entre os vãos central, lateral e

balanços, foram propostas três soluções alternativas. O pré-dimensionamento aqui

desenvolvido tornou possível avaliar de forma expressa a magnitude das solicitações

principais, conduzindo à definição da solução mais adequada para o projeto.

154

Como sugestões para trabalhos futuros, recomendam-se:

• Consideração de vigas com “inércia” variável; • Consideração de estruturas construídas em balanços sucessivos; • Estudo de superestruturas com dois vãos simétricos, típicos de

travessias em passagem superior rodoviária; • Automatização da metodologia em linguagem de programação.

155

Referências Bibliográficas:

[1] PFEIL, W., 1979, Pontes em Concreto armado. 2ª ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora.

[2] CHEN, W., DUAN, L., 2000, Bridge Engineering Handbook. 1ª ed. New York, Washington, D.C. CRC Press.

[3] MICHELL, E., An empirical rough order of magnitude cost function for bridges

structures. Disponível em: http://hotrails.net/2014/09/an-empirical-rough-order-of-magnitude-cost-function-for-bridge-structures/. Acesso em: 7 set. 2016, 23:45:00.

[4] ALVES, R. V., 2016, Pontes I. Notas de aula do curso de Pontes I, Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

[5] ABNT, 2003, NBR 7187 - Projeto de Pontes de Concreto Armado e de Concreto

Protendido - Procedimento, 2ª ed., Rio de Janeiro.

[6] DNIT, 2009, Norma DNIT 109 – Obras Complementares – Segurança no

Tráfego Rodoviário – Projeto de Barreiras de Concreto – Procedimento, Rio de Janeiro.

[7] ABNT, 2013, NBR 7188 - Carga Móvel Rodoviária e de Pedestres em Pontes,

Viadutos, Passarelas e outras Estruturas, 2ª ed., Rio de Janeiro.

[8] ABNT, 2014, NBR 6118 - Projeto de Estruturas de Concreto Armado, 3ª ed., Rio de Janeiro.

[9] ABNT, 1987, NBR 7187 - Projeto de Pontes de Concreto Armado e de Concreto

Protendido - Procedimento, 1ª ed., Rio de Janeiro.

[10] MARTHA, L. F., 2010, Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos, 1ª ed. Rio de Janeiro, RJ. Editora Campus/Elsevier.

[11] DNER, 1996, DNER-698 - Manual de Projeto de Obras-de-arte Especiais, Rio de Janeiro.

[12] ABNT, 1982, NB-6 – Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de

Pedestre, Rio de Janeiro.

[13] SÜSSEKIND, J. C., 1981, Curso de Análise Estrutural – Volume I, 6ª ed. Rio de Janeiro. Editora Globo.

156

Apêndice A – Diagramas de momento fletor e cortante em função de λ e λ :

Tabela A.1– Diagrama de Momento Fletor, �G = 0 � = DMF

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

157

Tabela A.2 – Diagrama de cortante, �G = 0

� = DEC

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

158

Tabela A.3 – Diagrama de momento fletor, �G = 0,10

� = DMF

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

159

Tabela A.4 – Diagrama de cortante, �G = 0,10

� = DEC

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

160


� = DMF

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

161


� = DEC

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

162


� = DMF

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

163


� = DEC

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

164

Apêndice B – Ordenada e seção de inflexão, momento no primeiro vão:

Figura B.1 – Gráfico posição Mmax

(+) no 1º vão versus � e seção Mmax

(+) no 1º vão versus �, �. = 10,0�

165



(+) no 1º vão versus �, �. = 11,0�

166



(+) no 1º vão versus �, �. = 12,0�

167

Figura B.4 – Gráfico posição Mmax(+)

no 1º vão versus � e seção Mmax(+)

no 1º vão versus �, �. = 13,0�

168




169




170




171




172




173




174

Apêndice C – Curvas/Linhas de tendência de momento fletor na seção S4:

Figura C.1 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0

Tabela C.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0,3391 × �.. 0,6 ��(A) = 2,5767 × �.. 0,7 ��(A) = 5,1139 × �.. 0,8 ��(A) = 7,9448 × �.. 0,9 ��(A) = 11,064 × �.. 1,0 ��(A) = 14,468 × �..

175

Figura C.2 – Solicitações de momento fletor na seção S4, �G = 0,05

Tabela C.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 2,5676 × �.. − 7,0341 × �. − 187,26 0,7 ��(A) = 5,0545 × �.. − 6,7901 × �. − 194 0,8 ��(A) = 7,868 × �.. − 7,6743 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 10,968 × �.. − 8,5451 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 14,35 × �.. − 9,4041 × �. − 188,08

176


Tabela C.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 3,9451 × �.. − 62,8 × �. + 215,79 0,7 ��(A) = 4,8763 × �.. − 13,58 × �. − 194 0,8 ��(A) = 7,6378 × �.. − 15,349 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 10,68 × �.. − 17,09 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 13,998 × �.. − 18,808 × �. − 188,08

177


Tabela C.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 5,0909 × �.. − 120,48 × �. + 702,58 0,7 ��(A) = 4,5792 × �.. − 20,37 × �. − 194 0,8 ��(A) = 7,2541 × �.. − 23,023 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 10,199 × �.. − 25,635 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 13,41 × �.. − 28,212 × �. − 188,08

178


Tabela C.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��.�(A) = 0 0,6 ��(A) = 1,621 × �.. − 43,852 × �. + 286,96 0,7 ��(A) = 5,0247 × �.. − 55,242 × �. + 29,278 0,8 ��(A) = 6,7169 × �.. − 30,697 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 9,5261 × �.. − 34,18 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 12,587 × �.. − 37,617 × �. − 188,08

179


Tabela C.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 0 0,7 ��(A) = 7,2631 × �.. − 157,97 × �. + 848,48 0,8 ��(A) = 6,0262 × �.. − 38,371 × �. − 191,86 0,9 ��(A) = 8,6609 × �.. − 42,726 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 11,529 × �.. − 47,021 × �. − 188,08

180


Tabela C.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S4 para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S4, ��(A) 0,5 ��(A) = 0 0,6 ��(A) = 0 0,7 ��(A) = 3,8661 × �.. − 102,9 × �. + 664,34 0,8 ��(A) = 8,0255 × �.. − 140,04 × �. − 568,51 0,9 ��(A) = 7,6034 × �.. − 51,271 × �. − 189,89 1,0 ��(A) = 10,236 × �.. − 56,425 × �. − 188,08

181

Apêndice D – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S5:

Figura D.1 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S5, �G = 0

Tabela D.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,5932 × �.. 0,7 ��B(A) = 4,177 × �.. 0,8 ��B(A) = 7,0374 × �.. 0,9 ��B(A) = 10,168 × �.. 1,0 ��B(A) = 13,564 × �..

182

Figura D.2 – Solicitações de momento fletor positivo seção S5, �G = 0,05

Tabela D.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B.�(A) = 0 0,6 ��B(A) = 2,4802 × �.. − 35,023 × �. + 89,697 0,7 ��B(A) = 4,1304 × �.. − 5,3227 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,9776 × �.. − 5,9759 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 10,094 × �.. − 6,6123 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 13,473 × �.. − 7,234 × �. − 144,68

183


Tabela D.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 3,5362 × �.. − 81,52 × �. + 463,59 0,7 ��B(A) = 3,9907 × �.. − 10,645 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,7983 × �.. − 11,952 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,8705 × �.. − 13,225 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 13,202 × �.. − 14,468 × �. − 144,68

184


Tabela D.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 1,6402 × �.. − 43,928 × �. + 285,1 0,7 ��B(A) = 3,7578 × �.. − 15,968 × �. − 152,08 0,8 ��B(A) = 6,4996 × �.. − 17,928 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 9,4986 × �.. − 19,837 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,75 × �.. − 21,702 × �. − 144,68

185


Tabela D.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 3,813 × �.. − 33,718 × �. − 53,271 0,8 ��B(A) = 6,0812 × �.. − 23,904 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 8,9778 × �.. − 26,449 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 12,117 × �.. − 28,936 × �. − 144,68

186


Tabela D.6 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,25 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 5,5749 × �.. − 112,74 × �. + 559,07 0,8 ��B(A) = 5,5434 × �.. − 29,879 × �. − 149,4 0,9 ��B(A) = 8,3083 × �.. − 36,061 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 11,303 × �.. − 36,17 × �. − 144,68

187


Tabela D.7 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S5 para �G = 0,30 � Momento Fletor Positivo Seção S5, ��(A) 0,5 ��B�(A) = 0 0,6 ��B(A) = 0 0,7 ��B(A) = 4,375 × �.. − 113,74 × �. + 720,09 0,8 ��B(A) = 5,2242 × �.. − 46,879 × �. − 61,745 0,9 ��B(A) = 7,4901 × �.. − 39,674 × �. − 146,94 1,0 ��B(A) = 10,308 × �.. − 43,404 × �. − 144,68

188

Apêndice E – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S10:

Figura E.1 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0

Tabela E.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��(�) 0,5 ��H=(�) = −12,716 × �.. 0,6 ��H=(�) = −13,09 × �.. 0,7 ��H=(�) = −13,8 × �.. 0,8 ��H=(�) = −14,861 × �.. 0,9 ��H=(�) = −16,286 × �.. 1,0 ��H=(�) = −18,085 × �..

189

Figura E.2 – Solicitações de momento fletor negativo na seção S10, �G = 0,05

Tabela E.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10 para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��(�) 0,5 ��H=(�) = −12,709 × �.. + 1,1303 × �. + 45,212 0,6 ��H=(�) = −13,078 × �.. + 1,5501 × �. + 51,671 0,7 ��H=(�) = −13,782 × �.. + 2,014 × �. + 57,543 0,8 ��H=(�) = −14,836 × �.. + 2,5162 × �. + 62,904 0,9 ��H=(�) = −16,251 × �.. + 3,0518 × �. + 67,818 1,0 ��H=(�) = −18,04 × �.. + 3,617 × �. + 72,34

190



191



192



193



194



195

Apêndice F – Curvas/Linhas de tendência momento fletor na seção S15:

Figura F.1 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0

Tabela F.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��(A) 0,5 ��HB(A) = 9,8902 × �.. 0,6 ��HB(A) = 9,5161 × �.. 0,7 ��HB(A) = 8,8061 × �.. 0,8 ��HB(A) = 7,7451 × �.. 0,9 ��HB(A) = 6,3203 × �.. 1,0 ��HB(A) = 4,5212 × �..

196

Figura F.2 – Solicitações de momento fletor positivo na seção S15, �G = 0,05

Tabela F.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��(A) 0,5 ��HB(A) = 9,8972 × �.. + 1,1303 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,5277 × �.. + 1,5501 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,8237 × �.. + 2,014 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,7702 × �.. + 2,5162 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,3546 × �.. + 3,0518 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,5664 × �.. + 3,617 × �. + 72,34

197



198


Tabela F.4 – Linhas de tendência de Momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��(A) 0,5 ��HB(A) = 9,9538 × �.. + 3,3909 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,6207 × �.. + 4,6504 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 8,9647 × �.. + 6,042 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 7,9715 × �.. + 7,5485 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,6293 × �.. + 9,1555 × �. + 67,818 1,0 ��HB(A) = 4,9281 × �.. + 10,851 × �. + 72,34

199


Tabela F.5 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15 para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��(A) 0,5 ��HB(A) = 10,003 × �.. + 4,5212 × �. + 45,212 0,6 ��HB(A) = 9,7021 × �.. + 6,2005 × �. + 51,671 0,7 ��HB(A) = 9,0881 × �.. + 8,056 × �. + 57,543 0,8 ��HB(A) = 8,1476 × �.. + 10,065 × �. + 62,904 0,9 ��HB(A) = 6,8696 × �.. + 12,207 × �. + 67,818 1,0 ��HB.A) = 5,2446 × �.. + 14,468 × �. + 72,34

200



201



202

Apêndice G – Curvas/Linhas de tendência cortante a esquerda na seção S10:

Figura G.1 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0

Tabela G.1 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0 � Cortante a esquerda seção S10, ��.��.¼ 0,5 *�H=.I|J.� = −70,644 × �.0,6 *�H=.I|J.� = −76,071 × �.0,7 *�H=.I|J.� = −83,011 × �.0,8 *�H=.I|J.� = −90,916 × �.0,9 *�H=.I|J.� = −99,477 × �.1,0 *�H=.I|J.� = −108,51 × �.

203

Figura G.2 – Solicitações de cortante na seção S10 à esquerda, �G = 0,05

Tabela G.2 – Linhas de tendência de cortante na seção S10 à esquerda para �G = 0,05 � Cortante a esquerda seção S10, ��.�� 0,5 *�H=.I|J = −74,45 × �. + 136,210,6 *�H=.I|J = −79,246 × �. + 118,760,7 *�H=.I|J = −85,722 × �. + 106,230,8 *�H=.I|J = −93,268 × �. + 96,7960,9 *�H=.I|J = −101,54 × �. + 89,4231,0 *�H=.I|J = −110,34 × �. + 83,498

204



205



206



207



208



209

Apêndice H – Curvas/Linhas de tendência reação de apoio em B:

Figura H.1 – Reação de apoio &¡, �G = 0

Tabela H.1 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0 � Reação de Apoio ¢£.¼ 0,5 &¡ = 161,07 × �.0,6 &¡ = 166,5 × �.0,7 &¡ = 173,44 × �.0,8 &¡ = 181,34 × �.0,9 &¡ = 189,9 × �.1,0 &¡ = 198,93 × �.

210

Figura H.2 – Reação de apoio &¡, �G = 0,05

Tabela H.2 – Linhas de tendência de reação de apoio &¡ para �G = 0,05 � Reação de Apoio ¢£ 0,5 &¡ = 164,37 × �. − 136,210,6 &¡ = 169,24 × �. − 118,760,7 &¡ = 175,77 × �. − 106,230,8 &¡ = 183,36 × �. − 96,7960,9 &¡ = 191,67 × �. − 89,4231,0 &¡ = 200,49 × �. − 83,498

211



212



213



214



215



216

Apêndice I – Ordenadas da linha de influência para o cortante na seção S10 a direita e

a esquerda:

Tabela I.1 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, balanço

esquerdo

217

Tabela I.2 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, pontos de

estudo

218

Tabela I.3 – Ordenadas da linha de influência do cortante a direita na seção S10, balanço

direito

219

Tabela I.4 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, balanço

esquerdo

220

Tabela I.5 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, pontos de

estudo

221

Tabela I.6 – Ordenadas da linha de influência do cortante a esquerda na seção S10, balanço

direito

222

Apêndice J – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S4,

carga móvel:

Figura J.1 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0

Tabela J.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,3466 × �22 − 16,524 × �2 0,6 ��?�.�� = −1,0164 × �22 − 22,313 × �2 + 41,091 0,7 ��?�.�� = −0,9901 × �22 − 20,188 × �2 + 29,851 0,8 ��?�.�� = −0,9659 × �22 − 18,313 × �2 + 20,62 0,9 ��?�.�� = −0,9346 × �22 − 16,859 × �2 + 14,386 1,0 ��?�.�� = −0,9054 × �22 − 15,688 × �2 + 9,9123

223

Figura J.2 – Gráfico ��?�.�� versus �. para �G = 0,05

Tabela J.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S4, MÈÌÍ.Ë� 0,5 ��?�.�� = −1,3589 × �22 − 7,2785 × �2 − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9201 × �22 − 18,092 × �2 − 438,76 0,7 ��?�.�� = −0,9245 × �22 − 16,989 × �2 − 453,01 0,8 ��?�.�� = −0,9431 × �22 − 15,664 × �2 − 466,26 0,9 ��?�.�� = −0,9477 × �22 − 14,988 × �2 − 476,61 1,0 ��?�.�� = −0,9507 × �22 − 14,669 × �2 − 482,99

224



225


Tabela J.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S4, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S4, �Æ»¶.�� 0,5 ��?�.�� = −1,4579 × �.. − 21,89 × �. − 505,06 0,6 ��?�.�� = −0,9321 × �.. − 38,528 × �. − 419,12 0,7 ��?�.�� = −0,9803 × �.. − 39,792 × �. − 436,96 0,8 ��?�.�� = −1,0556 × �.. − 40,524 × �. − 455,28 0,9 ��?�.�� = −1,1205 × �.. − 41,98 × �. − 470,25 1,0 ��?�.�� = −1,1887 × �.. − 43,687 × �. − 481,05

226



227



228



229

Apêndice K – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor negativo na seção S5,

carga móvel:

Figura K.1 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0

Tabela K.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,6842 × �22 − 20,655 × �2 0,6 ��?�.�B = −1,2695 × �22 − 27,912 × �2 + 51,365 0,7 ��?�.�B = −1,2367 × �22 − 25,244 × �2 + 37,306 0,8 ��?�.�B = −1,209 × �22 − 22,874 × �2 + 25,792 0,9 ��?�.�B = −1,1713 × �22 − 21,103 × �2 + 18,026 1,0 ��?�.�B = −1,1318 × �22 − 19,61 × �2 + 12,39

230

Figura K.2 – Gráfico ��?�.�B versus �., para �G = 0,05

Tabela K.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,6941 × �22 − 5,7078 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,2437 × �22 − 15,976 × �2 − 325,4 0,7 ��?�.�B = −1,227 × �22 − 14,723 × �2 − 336,04 0,8 ��?�.�B = −1,2237 × �22 − 13,399 × �2 − 345,42 0,9 ��?�.�B = −1,2078 × �22 − 12,653 × �2 − 352,08 1,0 ��?�.�B = −1,188 × �22 − 12,173 × �2 − 355,51

231



232


Tabela K.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S5, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S5, MÈÌÍ.ËB 0,5 ��?�.�B = −1,7725 × �22 − 17,069 × �2 − 392,53 0,6 ��?�.�B = −1,255 × �22 − 31,742 × �2 − 310,21 0,7 ��?�.�B = −1,2727 × �22 − 32,191 × �2 − 323,7 0,8 ��?�.�B = −1,3134 × �22 − 32,335 × �2 − 337 0,9 ��?�.�B = −1,3434 × �22 − 33,052 × �2 − 347,21 1,0 ��?�.�B = −1,3727 × �22 − 33,986 × �2 − 353,99

233



234



235



236

Apêndice L – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor na seção S10, carga

móvel:

Momentos Fletores mínimos:

Figura L.1 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0

Tabela L.1 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −3,6628 × �.. − 41,31 × �. 0,6 ��?�.�H= = −2,7705 × �.. − 56,691 × �. + 108,08 0,7 ��?�.�H= = −2,681 × �.. − 51,171 × �. + 78,515 0,8 ��?�.�H= = −2,6043 × �.. − 46,331 × �. + 54,448 0,9 ��?�.�H= = −2,5098 × �.. − 43,641 × �. + 38,382 1,0 ��?�.�H= = −2,3948 × �.. − 47,94 × �. + 26,044

237

Figura L.2 – Gráfico ��?�.�H= versus �., para �G = 0,05

Tabela L.2 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,05 � Momento Fletor Negativo Seção S10, ��?�.�H= 0,5 ��?�.�H= = −4,2963 × �.. − 41,537 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6456 × �.. − 60,382 × �. + 119,82 0,7 ��?�.�H= = −3,9824 × �.. − 55,883 × �. + 93,961 0,8 ��?�.�H= = −4,4301 × �.. − 52,055 × �. + 72,883 0,9 ��?�.�H= = −4,9571 × �.. − 50,607 × �. + 60,442 1,0 ��?�.�H= = −5,5594 × �.. − 56,299 × �. + 51,986

238



239


Tabela L.4 – Linhas de tendência de momento fletor negativo na seção S10, para �G = 0,15 � Momento Fletor Negativo Seção S10, MÈÌÍ.ËH= 0,5 ��?�.�H= = −4,3075 × �.. − 41,985 × �. + 8,9919 0,6 ��?�.�H= = −3,6565 × �.. − 61,085 × �. + 120,7 0,7 ��?�.�H= = −3,99993 × �.. − 56,703 × �. + 94,786 0,8 ��?�.�H= = −4,4536 × �.. − 52,961 × �. + 73,558 0,9 ��?�.�H= = −4,9883 × �.. − 51,616 × �. + 60,992 1,0 ��?�.�H= = −5,5985 × �.. − 57,391 × �. + 52,402

240



241



242



243

Momentos fletores máximos:

Figura L.8 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0

Tabela L.8 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2065 × �.. + 4,6575 × �. 0,6 ��P_.�H= = 0,2539 × �.. + 8,4777 × �. − 13,023 0,7 ��P_.�H= = 0,4034 × �.. + 10,738 × �. − 13,828 0,8 ��P_.�H= = 0,5931 × �.. + 12,933 × �. − 13,299 0,9 ��P_.�H= = 0,8151 × �.. + 15,207 × �. − 12,625 1,0 ��P_.�H= = 1,0685 × �.. + 17,48 × �. − 11,726

244

Figura L.9 – Gráfico ��P_.�H= versus �., para �G = 0,05

Tabela L.9 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,2107 × �.. + 2,5782 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2162 × �.. + 6,612 × �. + 178,59 0,7 ��P_.�H= = 0,384 × �.. + 7,3468 × �. + 199,13 0,8 ��P_.�H= = 0,5979 × �.. + 7,8252 × �. + 218,85 0,9 ��P_.�H= = 0,8421 × �.. + 8,5488 × �. + 236,78 1,0 ��P_.�H= = 1,1163 × �.. + 9,3112 × �. + 252,06

245



246



247


Tabela L.12 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S10, para �G = 0,20 � Momento Fletor Positivo Seção S10, ��P_.�H= 0,5 ��P_.�H= = 0,274 × �.. + 8,4095 × �. + 179,09 0,6 ��P_.�H= = 0,2543 × �.. + 15,926 × �. + 169 0,7 ��P_.�H= = 0,4603 × �.. + 18,764 × �. + 190,3 0,8 ��P_.�H= = 0,726 × �.. + 21,296 × �. + 211,94 0,9 ��P_.�H= = 1,0322 × �.. + 24,154 × �. + 231,97 1,0 ��P_.�H= = 1,3775 × �.. + 27,118 × �. + 249,56

248



249



250

Apêndice M – Curvas/Linhas de tendência para momento fletor positivo na seção S15,

carga móvel:

Figura M.1 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0

Tabela M.1 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6091 × �.. + 63,261 × �. 0,6 ��P_.�HB = 4,6089 × �.. + 94,309 × �. − 179,81 0,7 ��P_.�HB = 4,813 × �.. + 91,862 × �. − 140,95 0,8 ��P_.�HB = 5,0151 × �.. + 89,221 × �. − 104,85 0,9 ��P_.�HB = 5,1682 × �.. + 87,721 × �. − 78,703 1,0 ��P_.�HB = 5,2971 × �.. + 86,658 × �. − 58,131

251

Figura M.2 – Gráfico ��P_.�HB versus �., para �G = 0,05

Tabela M.2 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,05 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,612 × �.. + 63,716 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6024 × �.. + 95,19 × �. − 160,93 0,7 ��P_.�HB = 4,8094 × �.. + 92,886 × �. − 119,2 0,8 ��P_.�HB = 5,0162 × �.. + 90,357 × �. − 80,246 0,9 ��P_.�HB = 5,1741 × �.. + 88,978 × �. − 51,376 1,0 ��P_.�HB = 5,3086 × �.. + 88,057 × �. − 28,337

252


Tabela M.3 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,10 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6203 × �.. + 64,156 × �. − 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6107 × �.. + 95,959 × �. − 161,82 0,7 ��P_.�HB = 4,8235 × �.. + 93,846 × �. − 120,08 0,8 ��P_.�HB = 5,0382 × �.. + 91,517 × �. − 80,996 0,9 ��P_.�HB = 5,2053 × �.. + 90,346 × �. − 51,981 1,0 ��P_.�HB = 5,3513 × �.. + 89,652 × �. − 28,781

253


Tabela M.4 – Linhas de tendência de momento fletor positivo na seção S15, para �G = 0,15 � Momento Fletor Positivo Seção S15, ��P_.�HB 0,5 ��P_.�HB = 5,6345 × �.. + 64,61 × �. + 17,984 0,6 ��P_.�HB = 4,6266 × �.. + 96,74 × �. − 162,87 0,7 ��P_.�HB = 4,8498 × �.. + 94,847 × �. − 121,18 0,8 ��P_.�HB = 5,0772 × �.. + 92,712 × �. − 82 0,9 ��P_.�HB = 5,2612 × �.. + 91,795 × �. − 52,91 1,0 ��P_.�HB = 5,4255 × �.. + 91,325 × �. − 29,584

254



255



256



257

Apêndice N – Curvas/Linhas de tendência do cortante à direita e à esquerda da seção

S10, ação da carga móvel:

Figura N.1 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0

Tabela N.1 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0 � Cortante máximo a direita seção S10, ��.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,664 × �. + 405 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,359 × �. + 428,22 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,181 × �. + 436,61 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,281 × �. + 442,51 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,564 × �. + 447,57 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,044 × �. + 451,36

258

Figura N.2 - Gráfico *�H=.�P_.�?z versus �., �G = 0,05

Tabela N.2 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10, para �G = 0,05 � Cortante máximo a direita seção S10, ��.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,497 × �. + 411,09 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,166 × �. + 435,14 0,7 *�H=.�P_.�?z = 34,983 × �. + 444,24 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,069 × �. + 450,82 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,348 × �. + 456,51 1,0 *�H=.�P_.�?z = 35,813 × �. + 460,91

259


Tabela N.3 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,10 � Cortante máximo a direita seção S10, ��.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,514 × �. + 412 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,187 × �. + 436,4 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,003 × �. + 445,86 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,113 × �. + 452,73 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,406 × �. + 458,74 1,0 *�H=.�P_.�?z = 35,882 × �. + 463,53

260


Tabela N.4 - Linhas de tendência de cortante máximo à direita na seção S10 para �G = 0,15 � Cortante máximo a direita seção S10, ��.Æ·ß.µ»´ 0,5 *�H=.�P_.�?z = 36,542 × �. + 412,91 0,6 *�H=.�P_.�?z = 35,225 × �. + 437,65 0,7 *�H=.�P_.�?z = 35,057 × �. + 447,44 0,8 *�H=.�P_.�?z = 35,189 × �. + 454,66 0,9 *�H=.�P_.�?z = 35,509 × �. + 461,02 1,0 *�H=.�P_.�?z = 36,008 × �. + 466,22

261



262



263



264

Figura N.8 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0

Tabela N.8 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,8618 × �. − 19,44 0,6 *�H=.�?�.�?z = −1,267 × �. − 26,5 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,8072 × �. − 33,697 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,4558 × �. − 41,229 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,213 × �. − 49,161 1,0 *�H=.�?�.�?z = −4,0801 × �. − 57,328

265

Figura N.9 - Gráfico *�H=.�?�.�?z versus �., �G = 0,05

Tabela N.9 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,05 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,5064 × �. − 29,337 0,6 *�H=.�?�.�?z = −1,0814 × �. − 34,032 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,6117 × �. − 42,259 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,258 × �. − 50,477 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,0156 × �. − 59,191 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,8726 × �. − 68,142

266


Tabela N.10 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,10 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = −0,193 × �. − 35,687 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,9625 × �. − 36,947 0,7 *�H=.�?�.�?z = −1,6332 × �. − 43,077 0,8 *�H=.�?�.�?z = −2,2872 × �. − 51,453 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,0554 × �. − 60,338 1,0 *�H=.�?�.�?z = −3,9189 × �. − 69,503

267


Tabela N.11 - Linhas de tendência de cortante mínimo a direita na seção S10, para �G = 0,15 � Cortante mínimo a direita seção S10, �Æ»¶.��.µ»´ 0,5 *�?�.�H=.�?z = −0,0905 × �. − 42,874 0,6 *�?�.�H=.�?z = −0,592 × �. − 45,522 0,7 *�?�.�H=.�?z = −1,3863 × �. − 49,933 0,8 *�?�.�H=.�?z = −2,3418 × �. − 53,751 0,9 *�?�.�H=.�?z = −3,1378 × �. − 62,721 1,0 *�?�.�H=.�?z = −4,0448 × �. − 72,185

268


Tabela N.12 - Linhas de tendência de cortante mínimo à direita na seção S10, para �G = 0,20 � Cortante mínimo a direita seção S10, *�H=.�?�.�?z 0,5 *�H=.�?�.�?z = 0,1924 × �. − 48,152 0,6 *�H=.�?�.�?z = −0,2341 × �. − 55,089 0,7 *�H=.�?�.�?z = −0,9201 × �. − 61,788 0,8 *�H=.�?�.�?z = −1,9495 × �. − 64,567 0,9 *�H=.�?�.�?z = −3,05 × �. − 69,268 1,0 *�H=.�?�.�?z = −4,1934 × �. − 75,423

269



270



271

Figura N.15 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0

Tabela N.15 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ��.Æ·ß.�� 0,5 *�H=.�P_.I|J = 0,4201 × �. + 9,477 0,6 *�H=.�P_.I|J = 0,4923 × �. + 10,296 0,7 *�H=.�P_.I|J = 0,574 × �. + 10,702 0,8 *�H=.�P_.I|J = 0,6523 × �. + 10,951 0,9 *�H=.�P_.I|J = 0,7259 × �. + 11,106 1,0 *�H=.�P_.I|J = 0,7969 × �. + 11,197

272

Figura N.16 - Gráfico *�H=.�P_.I|J versus �., �G = 0,05

Tabela N.16 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,05

� Cortante máximo a esquerda seção S10, ��.Æ·ß.�� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −10,649 × �. + 359,68 0,6 *�H=.�P_.I|J = −9,0518 × �. + 312,99 0,7 *�H=.�P_.I|J = −7,7761 × �. + 277,98 0,8 *�H=.�P_.I|J = −6,8069 × �. + 251,36 0,9 *�H=.�P_.I|J = −5,9714 × �. + 230,39 1,0 *�H=.�P_.I|J = −5,3184 × �. + 213,01

273


Tabela N.17 - Linhas de tendência de cortante máximo a esquerda da seção S10, para �G = 0,10 � Cortante máximo a esquerda seção S10, ��.Æ·ß.�� 0,5 *�H=.�P_.I|J = −10,449 × �. + 391,99 0,6 *�H=.�P_.I|J = −8,9297 × �. + 347,11 0,7 *�H=.�P_.I|J = −7,6453 × �. + 312,99 0,8 *�H=.�P_.I|J = −6,6643 × �. + 286,92 0,9 *�H=.�P_.I|J = −5,8097 × �. + 266,34 1,0 *�H=.�P_.I|J = −5,1392 × �. + 249,52

274



275



276



277



278

Figura N.22 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0

Tabela N.22 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G = 0

� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ��.Æ»¶.�� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,688 × �. − 405 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,347 × �. − 424,11 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,229 × �. − 432,15 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,446 × �. − 438,6 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,838 × �. − 444,72 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,377 × �. − 449,96

279

Figura N.23 - Gráfico *�H=.�?�.I|J versus �., �G = 0,05

Tabela N.23 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,05 � Cortante mínimo a esquerda seção S10, ��.Æ»¶.�� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,605 × �. − 408,05 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,267 × �. − 426,86 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,166 × �. − 434,63 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,39 × �. − 440,85 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,789 × �. − 446,78 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,326 × �. − 451,89

280


Tabela N.24 - Linhas de tendência de cortante mínimo à esquerda da seção S10, para �G =0,10

� Cortante mínimo a esquerda seção S10, ��.Æ»¶.�� 0,5 *�H=.�?�.I|J = −24,613 × �. − 408,51 0,6 *�H=.�?�.I|J = −25,275 × �. − 427,35 0,7 *�H=.�?�.I|J = −27,178 × �. − 435,14 0,8 *�H=.�?�.I|J = −29,402 × �. − 441,36 0,9 *�H=.�?�.I|J = −31,804 × �. − 447,3 1,0 *�H=.�?�.I|J = −34,338 × �. − 452,43

281



282




283




284



285

Apêndice O – Curvas/Linhas de tendência da reação de apoio em B, ação da carga

móvel

Figura O.1 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0

Tabela O.1 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,352 × �. + 810 0,6 &¡.�P_ = 60,706 × �. + 852,33 0,7 &¡.�P_ = 62,41 × �. + 868,77 0,8 &¡.�P_ = 64,727 × �. + 881,11 0,9 &¡.�P_ = 67,402 × �. + 892,28 1,0 &¡.�P_ = 70,42 × �. + 901,32

286

Figura O.2 - Gráfico &¡.�P_ versus �., �G = 0,05

Tabela O.2 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,05 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,102 × �. + 819,13 0,6 &¡.�P_ = 60,433 × �. + 862 0,7 &¡.�P_ = 62,15 × �. + 878,87 0,8 &¡.�P_ = 64,459 × �. + 891,67 0,9 &¡.�P_ = 67,138 × �. + 903,28 1,0 &¡.�P_ = 70,138 × �. + 912,8

287


Tabela O.3 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,10 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,128 × �. + 820,51 0,6 &¡.�P_ = 60,462 × �. + 863,75 0,7 &¡.�P_ = 62,181 × �. + 881 0,8 &¡.�P_ = 64,515 × �. + 894,1 0,9 &¡.�P_ = 67,21 × �. + 906,04 1,0 &¡.�P_ = 70,22 × �. + 915,96

288


Tabela O.4 - Linhas de tendência de reação de apoio máxima em B, para �G = 0,15 � Reação de apoio máxima em B, ¢£.Æ·ß 0,5 &¡.�P_ = 61,17 × �. + 821,87 0,6 &¡.�P_ = 60,514 × �. + 865,51 0,7 &¡.�P_ = 62,254 × �. + 883,08 0,8 &¡.�P_ = 64,613 × �. + 896,55 0,9 &¡.�P_ = 67,337 × �. + 908,83 1,0 &¡.�P_ = 70,391 × �. + 919,09

289



290



291



292

Figura O.8 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0

Tabela O.8 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = −1,282 × �. − 28,917 0,6 &¡.�?� = −1,7593 × �. − 36,797 0,7 &¡.�?� = −2,3812 × �. − 44,399 0,8 &¡.�?� = −3,1081 × �. − 52,18 0,9 &¡.�?� = −3,9388 × �. − 60,267 1,0 &¡.�?� = −4,877 × �. − 68,525

293

Figura O.9 - Gráfico &¡.�?� versus �., �G = 0,05

Tabela O.9 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,05 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 10,142 × �. − 389,02 0,6 &¡.�?� = 7,9704 × �. − 347,02 0,7 &¡.�?� = 6,1644 × �. − 320,24 0,8 &¡.�?� = 4,5489 × �. − 301,83 0,9 &¡.�?� = 2,9558 × �. − 289,58 1,0 &¡.�?� = 1,4458 × �. − 281,16

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Tabela O.13 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,25 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 9,5592 × �. − 542,53 0,6 &¡.�?� = 7,6443 × �. − 511,26 0,7 &¡.�?� = 5,67,32 × �. − 489,73 0,8 &¡.�?� = 3,7292 × �. − 472,86 0,9 &¡.�?� = 1,7044 × �. − 461,72 1,0 &¡.�?� = −0,3558 × �. − 451,62

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Tabela O.14 - Linhas de tendência de reação de apoio mínima em B, para �G = 0,30 � Reação de apoio mínima em B, ¢£.Æ»¶ 0,5 &¡.�?� = 8,8648 × �. − 578,18 0,6 &¡.�?� = 6,9361 × �. − 550,11 0,7 &¡.�?� = 4,8326 × �. − 530,95 0,8 &¡.�?� = 2,8431 × �. − 517,16 0,9 &¡.�?� = 0,8055 × �. − 509,47 1,0 &¡.�?� = −1,1029 × �. − 505,46

299

Apêndice P – Gradiente de Temperatura:

Determinação do Gradiente de temperatura:

• Caso 1:

��z = 12,00�;�� = 6,50�;�N{,| = 0,25�;�N{,? = 0,15�;�} = 0,35�;ℎ@ = 1,50�; uH = 0; #H = 0; 9�,H = 0

Áreas dos trapézios: ,H = ��z ∙ �N{,| = 12,00 × 0,25 = 3,00�.,. = 2�}Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L = 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15) = 0,77�. ,3 = �� ∙ �N{,? = 6,50 × 0,15 = 0,975�.Centro geométrico dos trapézios:

YH = ��z ∙ �N{,|��z + ��z = 12,00 × 0,2512,00 + 12,00 = 0,125�

Y. = 2�}Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L2�} + 2�} = 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)2 × 0,35 + 2 × 0,35 = 0,55�

Y3 = �� ∙ �N{,?�� + �� = 12,00 × 0,1512,00 + 12,00 = 0,075�

Inércia dos trapézios:

9G,H = 4 ∙ ��z ∙ �N{,|312 − ,H ∙ YH. = 4 × 12,00 × 0,25312 − 3,00 × 0,125. = 0,0156��

9G,. = 4(2�}) ∙ Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L312 − ,. ∙ Y..

9G,. = 4 × 2 × 0,35 × (1,50 − 0,25 − 0,15)312 − 0,77 × 0,55. = 0,0776��

9G,3 = 4 ∙ �� ∙ �N{,?312 − ,3 ∙ Y3. = 4 × 6,50 × 0,15312 − 0,975 × 0,075. = 0,0018��

Altura acumulada: u. = uH + �N{,| = 0 + 0,25 = 0,25�u3 = u. + Kℎ@ − �N{,| − �N{,?L = 0,25 + (1,50 − 0,25 − 0,15) = 1,35�u� = u3 + �N{,? = 1,35 + 0,15 = 1,50�Momentos de 1ª ordem: #. = #H + ,H(uH + YH) = 0 + 3,00 × (0 + 0,125) = 0,3750�3#3 = #. + ,.(u. + Y.) = 0,3750 + 0,77 × (0,25 + 0,55) = 0,9910�3#� = #3 + ,3(u3 + Y3) = 0,9910 + 0,975 × (1,35 + 0,075) = 2,38�3Momentos de 2ª ordem:

300

9�,. = 9�,H + 9G,H + ,H(uH + YH). = 0 + 0,0156 + 3,00 × (0 + 0,125). = 0,0625��9�,3 = 9�,. + 9G,. + ,.(u. + Y.). = 0,0625 + 0,0776 + 0,77 × (0,25 + 0,55). = 0,6329��9� = 9�,3 + 9G,3 + ,3(u3 + Y3). = 0,6329 + 0,0018 + 0,975 × (1,35 + 0,075). = 2,6146��A partir disto: , = ,H + ,. + ,3 = 4,75�.

Y| = #, = 2,384,75 = 0,502�; Y? = u − Y| = 1,50 − 0,502 = 0,998�9 = 9� − , ∙ Y|. = 1,418��

A partir das Eqs. (143) e (144) determina-se a variação de Temperatura e o

gradiente de temperatura:

∆t = 1,501,418 ä6,50 × (10 × 0,502 − 15 × 0,998 − 2) + 10 × 12,0 × (12 × 0,502 − 1)80 å∆t = 6,95º8

â = 11,418 ä6,50 × (10 × 0,502 − 15 × 0,998 − 2) + 10 × 12,0 × (12 × 0,502 − 1)80 å â = 4,63 º8 ��

Tabela P.1 – Propriedades geométricas da seção transversal

Na tabela P.1 têm-se as seguintes notações:

,? → Á��ö��)+�)±��±��éø(�( YG,? → ù(±â)ö(�+��+�±��éø(�(��ö±(��ö�)±��/��é±�(ö� 9? → 9)é�ö(�+�±��éø(�(ö��W�çã�� u�,? → ,W±��ö�W�+�+�±��éø(��)±��(��( #�,? → ��)±�+�1ª��+��W�+� 9�,? → ��)±�+�2ª��+��W�+� , → Á��+�#�çã�t��)��W; Y|, Y? → ù(±â)ö(�#��(��9)è��(��8�)±��â��é±�(ö�+�#�çã� 9 → 9)é�ö(�+�#�çã�t��)��W

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ANÁLISE PARAMÉTRICA DE SUPERESTRUTURA DE PONTE EM VIGA ... · anÁlise paramÉtrica de superestrutura de ponte em viga contÍnua silvano cunha da silva projeto de graduaÇÃo submetido