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Dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em arco triarticulado de madeira sob a ótica do

projeto de revisão da NBR 7190 de 2011 Eder Leite de Brito, Mestrado pela Faculdade de Engenharia e Tecnologia da Universidade Federal de Mato Grosso, FAET – UFMT, Cuiabá – MT, ebph@hotmail.com Norman Barros Logsdon, Departamento de Engenharia Florestal, Faculdade de Engenharia Florestal, Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT, Logsdon@terra.com.br José Manoel Henriques de Jesus, Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Arquitetura Engenharia e Tecnologia, Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT, jmhenriques@terra.com.br Resumo: O objetivo desse artigo é verificar se o dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em arco de MLC, com tabuleiro superior, conduz a seções usuais, tanto de madeira serrada, como de MLC, e se é possível estabelecer um roteiro para simplificação nos cálculos do dimensionamento das peças da superestrutura da ponte, considerando os critérios estabelecidos pelo projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). Como parâmetro para o desenvolvimento do projeto da ponte a ser calculada foi adotado como referência as características geométricas da ponte sobre o Rio Claro no Município de Cuiabá – MT. Como conclusão verificou-se que o cálculo pode ser simplificado, pois as envoltórias dos esforços solicitantes obtidas definem um formato e a posição dos valores máximos, permitindo obter diretamente os valores máximos para dimensionamento e que todos os elementos da ponte, construídos de madeira serrada, possuem dimensões comerciais facilmente encontradas nas serrarias de Mato Grosso. Além disso, constatou-se ainda que as dimensões obtidas para o arco laminado dessa ponte, bem como seus elementos metálicos, são de fácil fabricação pela indústria brasileira, o que torna esse modelo de ponte bastante viável sob o ponto de vista técnico.

Palavras-chave: pontes de madeira, estrutura em arcos, linhas de influências. Elements designed from a wooden tri-articulated arch bridge from the perspective of

the revision project of NBR 7190 from 2011 Abstract: The aim of this paper is to verify if the sections of elements of the superstructure of a glulam arch bridge, with up road deck, are usual, both of lumber, as Glulam, and if it is possible to establish a simplified roadmap to design the superstructure elements of this bridge, considering the criteria set out by the NBR 7190 project review, from ABNT (2011). As a parameter to the bridge design, was adopted, as a reference, the geometrical characteristics of the bridge over the Rio Claro in the city of Cuiabá – MT. As a conclusion it was found that the design can be simplified, because the curves of maximum efforts obtained define the format and the position of the maximum values, providing directly the design maximum values. It was concluded too that all elements of the bridge, built of lumber, have commercial dimensions easily found in sawmills of Mato Grosso. In addition, it was noted that the dimensions obtained for the laminated arch of this bridge, as well as its metallic elements, are easy to manufacture by the Brazilian industry, what makes this bridge model quite feasible under the technical point of view.

Keywords: wooden bridges, glulam arches, influence lines.

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1. Introdução O Brasil é um país com dimensões continentais, são mais de 8,5 milhões de quilômetros quadrados de área, onde existem de acordo com o Departamento Nacional de Infra Estrutura de Transportes – DNIT, mais de 1,7 milhões de quilômetros de rodovias, dos quais apenas 10% são pavimentados, ou seja, são mais de 1,5 milhões de quilômetros de estradas vicinais. De acordo com Calil Júnior e Góes (2005), estima-se que 0,5% desse total constituem-se de pontes, assim sendo, tem-se cerca de 860 km de pontes em estradas pavimentadas e, algo em torno de 7.500 km de pontes em estradas vicinais no Brasil. Nas estradas vicinais, predominam-se as pontes em vigas para vãos até 7 metros e pontes treliçadas para vãos compreendidos entre 7 a 16 metros. Contudo, faz-se necessário o estudo em outras tecnologias, com outras tipologias construtivas, como as pontes em arco. Os estudos sobre pontes com estrutura em arcos, utilizando a Madeira Laminada Colada (MLC), como material estrutural ainda carece de avanços em nosso país. Essa técnica, já bastante utilizada em vários países, ganha destaque não só pela estética proporcionada por sua estrutura em forma de arcos, que permite que seja utilizada em zonas rurais e também em centros urbanos; como também pela possibilidade da utilização de madeira de reflorestamento na composição de suas peças, de espécies de baixa densidade e qualidade estrutural inferior, se comparadas com madeiras de alta resistência das florestas nativas do Brasil. Para Szücs (2006) atualmente, as peças estruturais em MLC são, em sua maioria, produzidas com madeira de floresta plantada, principalmente com a madeira de Pinus, que é abundante nos países do hemisfério norte, berço da MLC. A estrutura em forma de arcos em MLC para pontes apresenta a vantagem de possibilitar a transposição de rios e outros obstáculos em locais cujas características geográficas dificultam a construção de pilares e, além de eficiente pela excelente resistência mecânica e com pouco peso, o que diminui o tamanho das fundações, a estrutura é de rápida execução, possui baixo custo e pode ser uma ótima opção para locais de difícil acesso e pouca infraestrutura, pois a mesma pode ser construída em um local com recursos e posteriormente transportada e montada onde se deseja. Dessa forma, as pontes de madeira com estrutura em arcos atende aos requisitos de funcionalidade, segurança, economia e estética. 2. Materiais e Métodos Para o desenvolvimento dos roteiros de cálculo dos elementos da superestrutura da ponte em arco triarticulado, foi adotado como parâmetro de dimensionamento as características geométricas do Rio Claro, no Município de Cuiabá próximo à divisa com o Município de Chapada dos Guimarães, onde atualmente existe construída uma ponte em vigas de madeira serrada. Ilustra-se na Figura 1 o Rio Claro e a ponte existente.

Figura 1 - Ponte sobre o Rio Claro.

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O rio possui uma largura de aproximadamente 22 metros e a ponte existente possui um tabuleiro de 35 metros de comprimento, sendo a distância entre pilares de 20,34 metros e o tabuleiro dista 6,60 metros em relação ao nível do rio. A ponte em arco triarticulado a ser dimensionada possui tabuleiro superior com 24 m de comprimento, 22 metros de distância entre os apoios e 6 m de flecha dos arcos. Para o dimensionamento dos elementos da superestrutura da ponte, serão consideradas madeira serrada da classe D60 para tabuleiro, longarinas, transversinas e pilares e MLC de classe C30. Os esforços solicitantes serão obtidos através das LIs e os dimensionamentos dos elementos seguirão as determinações do projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). A Figura 2 ilustra a planta baixa e a vista lateral da Ponte a ser dimensionada.

Figura 2 - Planta baixa e vista lateral da ponte em arco a ser dimensionada.

3. Desenvolvimento do projeto Os elementos da superestrutura da ponte a serem dimensionados são o tabuleiro, as longarinas principais e secundárias, a transversina, o pilar mais solicitado e o arco triarticulado da ponte em estudo, com base no projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). 3.1 Tabuleiro Peças biapoiadas, submetidas a carregamento vertical perpendicular ao eixo principal da peça. O tabuleiro foi dimensionado para solicitação de flexão simples reta. Para cálculo inicial do tabuleiro, foram adotadas peças com dimensões de 30 cm de largura, 4 cm de espessura, 2 cm de revestimento e 1m de comprimento. A Figura 3 ilustra um corte transversal, evidenciando o tabuleiro da ponte.

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Figura 3 - Corte transversal da ponte em estudo.

Carregamentos permanentes considerados Peso próprio: Pp = γAp. V = 180 N Peso das ligações: PL = 3%Pp = 3%. 180 = 5,4 N Carregamento distribuído: Pg = 185,4 N m⁄ = 0,19 N/mm

Os esforços característicos devido ao carregamento permanente são: Vg = Pg.l

2= 0,19.1000

2= 95 N

Mg = Pg.l2

8= 0,19.1000²

8= 23.750 N. mm

ug = 5.Pg.l4

384EI= 5.0,19.10004

384.12005.1600000= 0,129 mm

Carregamentos variáveis considerados Área de superfície da peça: 0,30 m² Carga total: Pq = 5 �kN

m2� . 0,30(m2) = 1,5 kN Carregamento distribuído: Pq = 1,5 kN m⁄ = 1,5 N/mm

Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem considerados são: Vq = Pq.l

2= 1,5.1000

2= 750 N

Mq = Pq.l2

8= 1,5.1000²

8= 187.500 N. mm

uq = 5.Pq.l4

384EI= 5.1,5.10004

384.12005.1600000= 1,02 mm

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Impacto vertical Coeficiente de impacto (φ): φ = 1 + α

(40+L)

φ = 1 + 20(40+1) = 1,49

Os esforços característicos devido ao impacto vertical a serem considerados são: Vqi = (φ − 1). Vq = 0,49.750 = 367,50 N Mqi = (φ− 1). Mq = 0,49.187500 = 91.875 N uqi = (φ− 1). Uq = 0,49.1,02 = 0,5 mm Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud) Vd = 1,3Vg + 1,5�Vq + 0,75Vqi� = 1.661,94 N Md = 1,3Mg + 1,5�Mq + 0,75Mqi� = 415.484,38 N. mm ud,uti = Ug + 0,3�Uq + Uqi� = 0,59 mm Verificação da tensão normal σt2,d = Md

I. y ≤ ft0,d → σt2,d = 415.484,38

1600000. 20 ≤ 21 → σt2,d = 5,19 ≤ 21 Ok!

Verificação da tensão de cisalhamento τd = S.Vd

b.I≤ fv0,d → τd = 60000.1.661,94

300.1600000≤ 2,18 → τd = 0,21 ≤ 2,18 Ok!

Verificação da flecha de serviço uef = (1 + ∅). ud,util ≤ ulim → uef = (1 + 0,80). 0,59 ≤ l

300 →

uef = (1,8). 0,59 ≤ 1000300

→ uef = 1,06 ≤ 3,33 Ok! 3.2 Longarinas As longarinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes do tabuleiro e transmiti-las às transversinas. A ponte em estudo possui cinco longarinas, divididas em onze vãos: três vãos de 2,00 m de comprimento, nos encontros e no vão central da ponte, e os demais de 2,25 m de comprimento. As longarinas localizadas abaixo dos rodeiros, chamadas de longarinas principais, são as mais exigidas mecanicamente por receber diretamente as cargas dos veículos que passam sobre a ponte e são compostas por duas peças de 25x30 cm². As demais longarinas, chamadas de longarinas secundárias, que estão situadas nas extremidades e no centro do tabuleiro, possuem seção transversal de 20 cm x 30 cm, recebem apenas uma pequena parcela das cargas concentradas provenientes do veículo tipo que trafega sobre a ponte, tendo como carga variável o carregamento distribuído estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), correspondente à faixa do tabuleiro destinada ao transito de pessoas, e uma pequena parcela do carregamento móvel, oriunda da influência do veículo tipo. A Figura XX ilustra um corte transversal da ponte evidenciando as longarinas principais e secundárias da ponte em estudo.

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Figura 4 - Corte transversal evidenciando as longarinas.

Longarinas principais: Carregamento permanente Peso do tabuleiro (FTb): FTb = 600 N m⁄ = 0,6 N mm⁄ Peso da longarina (FLg): FLg = 1500 N/m = 1,5 N/mm Peso das peças de madeira (Pp): Pp = FTb + FLg = 2,1 N/mm Peso das ligações (PL): PL = 0,03Pp = 0,03.2,1 = 0,06 N/mm Carregamento distribuído (g): g = 2,16 N/mm

Os esforços característicos devido ao carregamento permanente são: Vg(no apoio) = Pg.l

2= 2,16.2250

2= 2.430,00 N

Mg(no centro) = Pg.l2

8= 2,16.2250²

8= 1.366.875 N. mm

ug(no centro) = 5.Pg.l4

384EI= 5.2,16.22504

384.12005.1,125.109= 0,06 mm

Carregamento variável: O estudo do carregamento variável das longarinas deve ser feito com a obtenção do trem-tipo sobre as longarinas, utilizando a LI de reação, do conjunto do tabuleiro, sobre a longarina em estudo. Quando o veículo trafega no centro do rodeiro, as cargas variáveis são depositadas integralmente nas longarinas principais, causando assim, as condições mais desfavoráveis para as mesmas. O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura 5.

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Figura 5 - Obtenção do trem-tipo para as longarinas principais.

A Figura 6 ilustra o carregamento variável para o cálculo do momento fletor e flecha máxima (a) e para o cálculo da força cortante (b).

Figura 6 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas principais.

Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem considerados para as longarinas principais são: Vq(no apoio) = q1.l

2+ P + Pb

l = 100708,75 N

Mq(no centro) = q1.l2

8+ P.l

4= 42586171 N. mm

uq(no centro) = 5.q1.l4

384EI+ P.l3

48EI= 1,33 mm

Impacto vertical φ = 1 + α

(40+L) = 1 + 20(40+2,25) = 1,474

Vqi = (φ − 1). Vq = 0,474.100708,75 = 47736 N

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Mqi = (φ− 1). Mq = 0,474.42586171 = 20185845 N uqi = (φ− 1). Uq = 0,474.1,67 = 0,79 mm Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud) Vd(no apoio) = 1,3Vg + 1,5�Vq + 0,75Vqi� = 207925 N Md(no centro) = 1,3Mg + 1,5�Mq + 0,75Mqi� = 88365270 N. mm ud,uti(no centro) = ug + 0,3�uq + uqi� = 0,80 mm Verificações da tensão normal σt2,d = Md

I. y ≤ ft0,d → σt2,d = 11,78 ≤ 21MPa Ok!

Verificação da tensão de cisalhamento τd = S.Vd

bt.I≤ fv0,d → τd = 2,08 ≤ 2,18 MPa Ok!

Verificação da flecha de serviço uef = (1 + ∅). ud,uti ≤ ulim → uef = 1,44 ≤ 7,5 mm Ok! Longarinas Secundárias: As longarinas secundárias foram analisadas separadamente e o dimensionamento feito com os valores encontrados para as longarinas das extremidades, que apresentaram valores mais desfavoráveis que a longarina secundária do centro da ponte. Carregamento permanente Peso do tabuleiro (FTb): FTb = 300 N m⁄ = 0,3 N mm⁄ Peso da longarina (FLg): FLg = 600 N/m = 0,6 N/mm Peso das peças de madeira (Pp): Pp = FTb + FLg = 0,9 N/mm Peso das ligações (PL): PL = 0,03. Pp = 0,03.0,9 = 0,03 N/mm Carregamento distribuído (g): g = 0,93 N/mm

Os esforços relativos ao carregamento permanente a serem considerados são: Vg = Pg.l

2= 0,93.2250

2= 1.046,25 N

Mg = Pg.l2

8= 0,93.2250²

8= 588.515,63 N. mm

ug = 5.Pg.l4

384EI= 5.0,93.22504

384.12005.45.107= 0,06 mm

Carregamento variável: Para as longarinas secundárias, a situação mais desfavorável ocorre quando o veículo tipo trafega ligeiramente deslocado do centro do rodeiro, transferindo dessa forma, uma parcela do carregamento variável proveniente do veículo tipo para as longarinas secundárias. O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura xx.

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Figura 7 - Obtenção do trem-tipo para as longarinas secundárias.

A Figura 8 ilustra o carregamento variável para o cálculo do momento fletor e flecha máxima (a) e para o cálculo da força cortante (b) das longarinas secundárias.

Figura 8 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas secundárias.

Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem considerados para as longarinas secundárias são: Vq(no apoio) = g1.l

2+ P + Pb

l= 1,1.2250

2+ 18750 + 18750.750

2250= 26238 N

Mq(no centro) = g1.l2

8+ P.l

4= 1,1.2250²

8+ 18750.2250

4= 11242969 N. mm

uq(no centro) = 5.g1.l4

384EI+ P.l3

48EI= 5.1,1.22504

384.12005.45.107+ 18750.22503

48.12005.45.107= 0,89 mm

Impacto vertical φ = 1 + α

(40+L) = 1 + 20(40+2,25) = 1,474

Vqi = (φ − 1). Vq = 0,474.26238 = 12437 N Mqi = (φ− 1). Mq = 0,474.11242969 = 5329168 N Uqi = (φ − 1). Uq = 0,474.0,89 = 0,42 mm

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Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud,uti) Vd( apoio) = 1,3Vg + 1,5�Vq + 0,75Vqi� = 54.710 N Md( centro) = 1,3Mg + 1,5�Mq + 0,75Mqi� = 23.624.838 N. mm ud,uti(no centro) = ug + 0,3�uq + uqi� = 0,46 mm

Verificações da tensão normal σt2,d = Md

I. y ≤ ft0,d → σt2,d = 7,88 ≤ 21 MPa Ok!

Verificação da tensão de cisalhamento τd = S.Vd

b.I≤ fv0,d → τd = 1,37 ≤ 2,18 MPa OK!

Verificação da flecha de serviço uef = (1 + ∅). ud,uti ≤ ulim → uef = 0,83 ≤ 7,5 mm Ok! 3.3 Transversinas As transversinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes das longarinas, principais e secundárias, e transmiti-las aos montantes. A ponte em estudo possui dez transversinas de 4 m de comprimento, que foram dimensionadas para a situação mais desfavorável, ou seja, transversinas que apoiam longarinas com vãos de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área de influência de 2,25 m de comprimento para cada transversina. Para o cálculo das transversinas foram adotadas vigas de madeira da classe D60, com 25 cm de base e 30 cm de altura. A Figura 9 ilustra o corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas.

Figura 9 - Corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas.

Uma rápida análise do esquema estático da transversina indica valores máximos do momento fletor no centro do vão ou sobre os apoios, valores máximos da força cortante à esquerda ou à direita do apoio, e valores máximos da flecha no centro do vão ou na extremidade do balanço. Assim, estes valores devem ser obtidos tanto para o carregamento permanente como para a carga móvel. Carregamentos atuantes nas transversinas Carregamento permanente: O carregamento permanente, proveniente do tabuleiro e das longarinas, atua como cargas concentradas nas transversinas e foi obtido para a área de

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influência do conjunto nas transversinas, separando o volume de madeira a ser considerado no cálculo do peso próprio do conjunto tabuleiro/longarina das extremidades, do centro e das principais. A Figura xx ilustra o volume de madeira a ser considerado nos três casos.

Figura 10 - Volume de madeira considerado para o cálculo do carregamento permanente nas transversinas.

O carregamento distribuído das transversinas e obtido considerando o peso próprio da peça mais o peso das ligações, que é estabelecido em 3% do peso de madeira. A Figura xx ilustra o carregamento permanente a ser considerado no cálculo das transversinas.

Figura 11 - Carregamento permanente das transversinas.

Carregamento variável: O estudo do carregamento variável das transversinas deve ser feito com a obtenção do trem-tipo sobre as transversinas, considerando o carregamento aplicado de forma indireta às transversinas. O carregamento da “linha das transversinas” é indiretamente aplicado às transversinas, mas utilizando LI de M ou LI de V, obtêm-se os esforços máximos. O carregamento pode ser aplicado diretamente porque as linhas de ajustes para carregamento indireto correspondem a aplicar a LI de reação em conjunto com a do esforço procurado. A situação mais desfavorável para o carregamento das transversina ocorre quando o eixo central do veículo tipo encontra-se sobre uma das transversina, nessa situação, os três eixos do veículo tipo encontram-se sobre a área de influência da transversina em estudo. É importante ressaltar que existe a possibilidade do trem-tipo mover-se lateralmente 25 cm, para a esquerda ou para direita, em decorrência da largura do rodeiro. A Figura 12 ilustra o carregamento na LI da transversina para obtenção dos esforços solicitantes.

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Figura 12 - Carregamentos para determinação do trem-tipo para as transversinas O trem tipo para o cálculo das transversinas é ilustrado na Figura 13.

Figura 13 - Trem-tipo para o cálculo das transversinas

O impacto vertical é função do coeficiente de impacto: φ = 1 + α

(40+L) → φ = 1 + 20(40+2,00) = 1,476

Para determinação da força cortante, carregou-se a LI de V, com os carregamentos permanentes, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as transversinas na posição que provocam máximos efeitos. Ressalta-se que o carregamento distribuído permanente das transversina refere-se ao peso próprio da mesma, sendo assim ele é carregamento direto, devendo ser multiplicado por toda a área da LI. A Figura 14 ilustra o carregamento da LI de V para obtenção da Força Cortante.

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Figura 14 - Carregamento da LI de V das transversinas.

A força cortante, positiva e negativa, devido ao carregamento permanente é: Vg+ = 2086.0,5 + 2781.0,5 + 0,77. (250 + 1000) = 3396 N Vg− = 2086. (−0,5) + 0,77. (−250) = −1235,5 N A força cortante, positiva e negativa, devido ao carregamento variável é: Vq+ = 0,69(500 + 140,625) + 11,25 (0,5+0,375)250

2+ 125000(2.0,125) = 32923 N

Vq− = 0,69. (−140,625) + 11,25 (−0,5−0,375)2502

+ 125000(−0,125) = −16953 N O valor de cálculo máximo da força cortante na transversina é obtido através da seguinte combinação de ações: Vd = 1,3Vg+ + Vg− + 1,5�Vq+ + 0,75(1− φ)Vq+� Vd = 1,3.3396− 1235,5 + 1,5(32923 + 0,75.0,476.32923) Vd = 70194 N

Para determinação do momento fletor máximo, carregou-se a LI de M com o carregamento permanente, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as transversinas na posição que provocam máximos efeitos. A Figura 15 ilustra o carregamento da LI de M para obtenção do momento fletor máximo.

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Figura 15 - Carregamento da LI de M para o cálculo do momento fletor máximo.

O momento fletor, positivo e negativo, devido ao carregamento permanente é: Mg+ = 0,77. 2000.500

2+ 2781.500 = 1776000 N. mm

Mg− = 2. �0,77. 1000.(−500)

2+ 2086. (−500)� = −2471000 N. mm

O momento fletor, positivo e negativo, devido ao carregamento variável é: Mq+ = 11,25. 2000.500

2= 5625000 N. mm

Mq− = 2. �11,25. 1000.(−500)

2� = −5625000 N. mm

O valor de cálculo máximo do momento fletor na transversina é obtido através da seguinte combinação de ações: Md = 1,3Mg

− + Mg+ + 1,5�Mg

− + 0,75(1 − φ)Mg−� = −12885988 N. mm

Segundo Logsdon (1982) o cálculo de LI de flechas pode ser transformado no cálculo de linhas elásticas, ou seja, a linha de influência de um deslocamento Δc, numa seção C, é a linha elástica da estrutura sob a carga unitária aplicada na seção C, com sentido e direção do deslocamento. O carregamento que produzirá flecha máxima pode ser obtido a partir do esboço da LI do deslocamento vertical (elástica para carga unitária aplicada na posição, direção e sentido do deslocamento desejado). A Figura 16 ilustra os carregamentos, permanente e variável, para o cálculo da flecha máxima na transversina.

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Figura 16 - Carregamento para o cálculo da flecha máxima na transversina.

De acordo com Logsdon (1989), uma maneira de se obter a flecha é através da aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, desprezando-se os deslocamentos produzidos pela força cortante (usual). Utilizando-se das Integrais de produtos de duas funções e da expressão u = 1

EI ∫M.���Mdx, tem-se para flecha de serviço no centro e nas extremidades os seguintes valores: ud,uti(no centro) = ug + 0,3�uq + uqi� = 0,0004 + 0,3. (0,28 + 0,13) = 0,12 mm ud,uti(no balanço) = ug + 0,3�uq + uqi� = 0,04 + 0,3. (1,11 + 0,53) = 0,53 mm Verificações da tensão normal σt2,d = Md

I. y ≤ ft0,d → σt2,d = 12885988

562,5.106150 ≤ 21 MPa → σt2,d = 3,44 ≤ 21 MPa Ok!

Verificação da tensão de cisalhamento τd = S.Vd

b.I≤ fv0,d → τd = 2812500.70194

250.562,5.106≤ 2,18 MPa → τd = 1,41 ≤ 2,18 MPa Ok!

Verificação da flecha de serviço No centro: uef = (1 + ∅). ud,uti ≤ ulim → uef = (1 + 0,80). 0,12 ≤ l

300

uef = 1,06 ≤ 6,67 mm Ok! No balanço: uef = (1 + ∅). ud,uti ≤ ulim → uef = (1 + 0,80). 0,53 ≤ l

150

uef = 0,95 ≤ 6,67 mm Ok!

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3.4 Pilares: Os pilares são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes das transversinas e transmiti-las aos arcos triarticulados. Os pilares da ponte em estudo foram dimensionados para a situação mais desfavorável, ou seja, considerando um afastamento de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área de influência de 2,25 m de comprimento para cada pilar, que deve ser dimensionado também para o maior comprimento de flambagem, correspondente aos pilares mais próximos dos apoios. O comprimento do pilar foi obtido geometricamente a partir da função quadrática y =−0,0495867x2 + 1,090909x que representa o arco da ponte em estudo. A Figura 17 ilustra o posicionamento dos pilares em relação ao arco da ponte.

Figura 17 - Posicionamento dos pilares em relação aos arcos.

A Tabela 2 apresenta o comprimento dos pilares da ponte em estudo, arredondados na primeira casa decimal.

Tabela 2 - Comprimento dos pilares Pilar P1 P2 P3 P4 P5 Comprimento (m) 5,6 3,6 2,1 1,2 0,6

Para o cálculo dos pilares, considerados biarticulados, foram adotadas peças de

madeira serrada da classe D60, com seção transversal quadrada de 25 cm de lado. Para As verificações de cálculo foram realizadas os elementos estruturais submetidos à compressão paralela às fibras.

Os pilares são os apoios das transversinas, dessa forma, o carregamento permanente atuante nos pilares é composto pela reação de apoio das transversinas acrescido do peso próprio dos mesmos. As cargas móveis atuantes foram obtidas através da LI de reação do conjunto sobre os pilares. O carregamento permanente a ser considerado no cálculo dos pilares é a reação de apoio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas e transversinas acrescido do peso próprio dos pilares. A Figura 18 ilustra o carregamento do conjunto a ser considerado para o cálculo da ação permanente nos pilares.

Figura 18 - Carregamento permanente dos pilares proveniente das transversinas.

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A ação de compressão existente em cada pilar proveniente do conjunto é: Pc = 2086 + 6258 + 2781

2+ 0,77.2000 = 11275 N

O peso próprio da peça é: PP = A. l. ρ = 0,252. 5,5.10000 = 3438 N O peso de madeira a ser considerado no cálculo dos pilares é: Pm = Pc + PP = 11275 + 3438 = 14713 N O peso das ligações a ser considerado é: PL = 0,03. Pm = 442 N O carregamento permanente a ser considerado no dimensionamento dos pilares é: Pp = Pm + PL = 14713 + 442 = 15155 N O estudo do carregamento variável nos pilares deve ser feito com a obtenção do trem-tipo, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. Pode ser obtido carregando-se a LI de reação dos pilares com as cargas provenientes das transversinas. A Figura 19 ilustra o carregamento na LI dos pilares para obtenção dos esforços solicitantes.

Figura 19 - Carregamentos para determinação do trem-tipo dos pilares.

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O valor da carga concentrada P é obtido através da soma da carga concentrada aplicada

pelas transversinas com o carregamento distribuído multiplicado por sua respectiva área na

LI de R dos pilares.

P = 125000 + 11,25. 500.0,52

= 126.407 N

Na hipótese de haver apenas pedestres ou veículos menores na ponte, o valor da carga P é

obtido multiplicando-se o carregamento distribuído pela área da LI.

P = 11,25. 3000.12

= 16875 N

O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:

φ = 1 + α(40+L) = 1 + 20

(40+2) = 1,476

Os esforços relativos ao impacto vertical são obtidos a partir dos esforços devidos à carga

móvel, como segue:

Pi = (φ− 1). Pv = 0,476.126407 = 60170 N

A força normal de cálculo é dada pela seguinte combinação de ações:

Nd = 1,3Pp + 1,5(P + 0,75Pi) = 1,3.15155 + 1,5(126407 + 0,75.60170)

Nd = 277004 N

Verificação quanto à ruptura

σcd = NdA

≤ fc0,d → σcd = 27700462500

≤ 21 MPa → σcd = 4,43 ≤ 21 MPa Ok!

Verificação quanto à estabilidade

σcd = NdA

≤ σcr,d → NdA

≤ π2.Ec0,dλ2

→ σcd = 27700462500

≤ 3,142.600277,592

MPa

σcd = 4,43 ≤ 9,84 MPa OK!

3.5 Arcos Os arcos são as peças responsáveis por receber todas as cargas da superestrutura da ponte, permanentes e variáveis, e transmiti-las às fundações. Todos os esforços internos obtidos nos arcos, tanto os provenientes de cargas permanentes quanto os de cargas variáveis, foram obtidos através das LIs dos esforços. Embora as cargas sejam transmitidas aos arcos de forma concentrada pelos pilares, o carregamento foi considerado distribuído ao longo dos arcos a fim de encontrar as situações mais desfavoráveis para a peça. Para a determinação das solicitações de cálculo, o arco em estudo foi dividido em dez seções além dos apoios, a fim de se encontrar a posição e os valores mais críticos para a estrutura. Foram escolhidos como seções para estudo os pontos de encontro dos pilares com os arcos, os pontos médios entre dois pilares, os apoios e o fecho do arco. Para o cálculo dos arcos foram adotadas peças de madeira laminada colada da classe C30, com seção transversal retangular de 60 cm de base por 100 cm de altura. Os arcos da ponte foram dimensionados como elementos estruturais submetidos à flexocompressão.

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Os carregamentos permanentes a serem considerados no cálculo dos arcos são o peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas, transversinas e pilares pertencentes à área de influência de cada arco, além do peso próprio dos mesmos e o peso das ligações. A Figura 20 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no dimensionamento dos arcos.

Figura 20 - Carregamento permanente dos arcos.

O estudo do carregamento variável nos arcos deve ser feito com a obtenção do trem-tipo para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. Como as LIs de reações são lineares, elas correspondem as linhas de união para carregamentos indiretos, assim sendo, pode-se analisar o carregamento como se as cargas fossem transmitidas diretamente do tabuleiro para os arcos. A Figura 21 ilustra o carregamento na LI de reação dos arcos para obtenção do trem tipo e dos esforços solicitantes.

Figura 21 - Trem tipo para o dimensionamento dos arcos

O impacto vertical é função do coeficiente de impacto: φ = 1 + α

(40+L) → φ = 1 + 20(40+22) = 1,323

Para determinação da força horizontal carregou-se a LI de H com o carregamento permanente e o trem tipo para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta, conforme ilustra a Figura 22.

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Figura 22 - LI de H do arco.

Os valores característicos para a força horizontal H devido aos carregamentos permanente e variável são: Hg = At. Fg = 10,167x11110 = 112955 N Hq = 1800.2.2,376 + 11250.2. (0,083 + 2,625) + +93750(0,917 + +2.0,792) = 303952 N O valor de cálculo da força horizontal H é obtido através da seguinte combinação: Hd = 1,3Hg + 1,5�Hq + 0,75(1 −φ)Hq� Hd = 1,3.112955 + 1,5(303952 + 0,75.0,323.303952) Hd = 713218 N Para determinação da força cortante, carregou-se as LIs de força cortante de todas as seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 23 ilustra a LI de força cortante no apoio, com os carregamentos permanente e variável, a qual apresentou maiores valores característicos para a força cortante.

Figura 23 - LI de V da seção com maior força cortante atuante (apoio).

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O valor característico para a força cortante no apoio são: VAg = At. Fg = 11x11110 = 122210 N VAq = 1800. (0,895 + 3,835) + 11250. (0,06 + 6,165 + 0,045) + 93750(0,955 + 0,886 +0,818) = 328340 N O valor de cálculo da força cortante no apoio A é obtido através da seguinte combinação de ações: VAd = 1,3VAg + 1,5�VAq + 0,75(1− φ)VAq� VAd = 1,3.122210 + 1,5(328340 + 0,75.0,323.328340) = 770694 N A Figura 24 ilustra a envoltória da força cortante devido à carga móvel para o arco em estudo.

Figura 24 - Envoltória de força cortante do arco.

A LI da força normal está em função da LI de força cortante e da LI da força horizontal. A Figura 25 ilustra a LI de N no apoio, com os carregamentos permanente e variável que provoca máximos efeitos. Figura 25 - LI de N da seção com maior força normal atuante (apoio)

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Os valores característicos para a força normal no apoio são: NA,g = At. Fg = −14981x11110 = −166439N NA,q = 1800. (−4,216− 1,381) + 11250. (−0,76 − 4,525 −−4,009− 0,09) + 93750(−0,92−0,954− 0,988) = −383951 N O valor de cálculo da força normal no apoio A é obtido através da seguinte combinação de ações: NA,d = 1,3NAg + 1,5�NAq + 0,75(1− φ)NAq� NA,d = 1,3. (−166439) + 1,5[(−383951) + 0,75.0,323. (−383951)] = −931816 N A Figura 26 ilustra a envoltória da força normal para o arco em estudo.

Figura 26 - Envoltória de força normal do arco

Para determinação do momento fletor, carregou-se as LIs de M de todas as seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 27 ilustra a LI de M que apresentou maiores valores característicos, com os carregamentos permanente e variável.

Figura 27 - LI da seção com maior momento fletor atuante.

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Os valores característicos, positivo e negativo, para o momento fletor na seção devido aos carregamentos permanentes são: Mg+ = At

+. Fg = 9262x11110 = 102900820 N. mm Mg− = At

−. Fg = −9,137x11,11 = −101,51 kN. m = −101.512.070 N. mm Mq+ = 1,8. (4,5 + 3,375) + 11,25. (0,375 + 0,984 + 0,028) + 93,75(1,5 + +2,062 + 1,125) =

469,237 kN. m = 469237500 N. mm Mq− = 1,8. (−1,359− 4,922) + 11,25. (−0,153− 2,578− 0,125) +

+93,75(−1,375− 1,187− 1) = −377,423 kN. m = −377.423.438 N. mm Os valores de cálculo do momento fletor na seção são obtidos através da seguinte combinação de ações: Md+ = 1,3Mg

+ + Mg− + 1,5�Mq

+ + 0,75(1− φ)Mq+�

Md+ = 906,626 kN. m = 906.626.090 N. mm

Md− = 1,3Mg

− + Mg+ + 1,5�Mq

− + 0,75(1− φ)Mq−�

Md− = −732,347 kN. m = −732.347.935 N. mm

A Figura 28 ilustra a envoltória de momento fletor para o arco em estudo.

Figura 28 - Envoltório de momento fletor do arco. As verificações das solicitações devem acontecer nas seções que apresentam maiores valores solicitações de cálculo. Como a força normal apresenta maior valor no apoio, que possui momento fletor nulo, as verificações foram feitas para a seção 5, que apresenta momento fletor máximo e foram verificadas a força normal e força cortante no apoio. Coeficientes kx e kcx kx = 0,5. �1 + βc�λrel,x − 0,3� + �λrel,x�

2� = 0,495

kcx = 1

kx+�(kx)2−�λrel,x�2

= 1,02

O esforço normal de cálculo na seção 5 é (Nd = 819637 N). A Verificação da estabilidade na seção 5 apresenta os seguintes valores:

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σNc,dkcx.fc0,d

+ σMx,dfc0,d

≤ 1 Onde, σNc,d = Nd

A= 819637

600000= 1,37 N/mm²

σMx,d = Mx,dIx−x

. yc1 = 9066260905.1010

. 500 = 9,07 N/mm

1,371,02.14,85

+ 9,0714,85

≤ 1 → 0,09 + 0,61 ≤ 1 → 0,70 ≤ 1 OK!

OBS. O Projeto de Revisão da Norma NBR 7190, da ABNT de 2011, estabelece que se λrel,x ≤ 0,30 e λrel,y ≤ 0,30, não se faz necessário a verificação da estabilidade. Porém, a verificação da estabilidade foi feita como exemplo didático.

Verificação da Tensão normal

�σNc,dfc0,d

�2

+ σMx,dfc0,d

≤ 1

� 1,3714,85

�2

+ 9,0714,85

≤ 1 → 0,0085 + 0,61 ≤ 1 → 0,6193 ≤ 1 OK! Verificação da tensão de cisalhamento τd = Vx,d.Sx−x

b.Ix−x≤ fv0,d

τd = 770694.75.106

600.5.1010≤ 2,3 → 1,93 ≤ 2,3 OK!

4. Conclusão A construção de pontes em arco com madeira laminada colada é uma alternativa a ser considerada, pois é possível se construir pontes de classe 45 com um volume relativamente pequeno de madeira. Para a situação exposta, a altura da seção transversal do arco foi inferior a 5% do vão a ser vencido e, todos os elementos da ponte, construídos de madeira serrada possuem dimensões comerciais, facilmente encontradas nas serrarias. Uma vantagem a ser considerada neste tipo de estrutura é a possibilidade da execução das pontes sem a necessidade de fundações dentro do rio. As dimensões obtidas para o arco laminado dessa ponte, bem como seus elementos metálicos, são de fácil fabricação pela indústria brasileira. Outro fator relevante é que para locais onde a diferença de cota entre o rio e o tabuleiro for pequena, existe a possibilidade da construção de pontes em arco triarticulado com tabuleiro inferior, o que torna este tipo de estrutura uma alternativa para as pontes do tipo “barragens” existente em toda região. Outro ponto de interesse é o formato das envoltórias, pois as envoltórias obtidas definem um formato e a posição dos valores máximos, permitindo obter diretamente os valores máximos para dimensionamento, sem a necessidade prévia de fazer várias LIs para traçar as envoltórias. A envoltória de forças cortantes é muito semelhante à observada em vigas simplesmente apoiadas, com máximo positivo no apoio esquerdo, diminuindo de maneira praticamente linear, até o apoio direito onde é nula. Já para os valores negativos observa-se o inverso, nulo no apoio esquerdo, crescendo de maneira praticamente linear, até o máximo no apoio direito. A envoltória de força normal, em arcos triarticulados nivelados e simétricos, é sempre de compressão e apresenta valores máximos nos apoios, com queda praticamente linear até a articulação central onde se observa seu valor mínimo. A envoltória de momentos fletores positivos (tração embaixo), em arcos triarticulados nivelados e simétricos, tem a forma aproximada de duas parábolas com momentos nulos nas articulações e máximos nos "quartos de vão" (no centro de cada lado do arco), o mesmo acontecendo para os momentos fletores negativos (tração encima).

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Assim, a verificação de flexocompressão deve ser feita nos "quartos de vão". A verificação de cisalhamento, na região dos apoios. 5. Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6120:1980. Cargas Para o Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-8681:1984. Ações e segurança nas estruturas. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-7188:1984. Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-7189:1985. Cargas móveis para projeto estrutural de obras rodoviárias. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-7187:1986. Projeto e execução de pontes de concreto armado e protendido. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR-6123:1988. Forças devidas ao vento em edificações. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7190:2011. Projeto de Estruturas de Madeira (Projeto de Revisão). Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8800: 2008. Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil. CALIL JÚNIOR, C. e GÓES, J. L. N. Programa Emergencial das Pontes de Madeira para o Estado de São Paulo. Revista Minerva, Vol. II, Nº 1, São Paulo, Jan. 2005. LOGSDON, N.B. Contribuição ao Estudo das Pontes de Madeira. Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil – Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo. São Carlos, 1982. LOGSDON, N. B. e JESUS, J. M. H. Madeiras e Suas Aplicações. Universidade Federal de Mato Grosso. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Edificações e Ambiental. Cuiabá, 2012.

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