Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de EstadoEstado

DICA Para informações adicionais, consulte

Capítulo 5 do Benjamin Kuo

1.1. Introdução: Introdução: Palavras chave e tópicosPalavras chave e tópicos

•Variáveis de estado

•Diagrama de estado

•Matriz de transição de estado

•Equação de transição de estado

• Equação característica

•Autovalor

•Auto vetor

•Transformação de Similaridade

•Decomposição

•Controlabilidade

•Observabilidade

Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de Estado Estado Objetivos deste Objetivos deste capítulo:capítulo:

•

•Apresentar os métodos básicos de variáveis de estado, e de equações de estado.

• Transformações de similaridade serão apresentadas, para facilitar o projeto de sistemas de controle.

Análise por Variáveis de Análise por Variáveis de Estado Estado Objetivo deste Objetivo deste capítulo, (cont.)capítulo, (cont.)

•Será estabelecida a relação entre a abordagem convencional de funções de transferência e de variáveis de estado.

•Finalmente será definido os conceitos de observabilidade e controlabilidade

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Representação matricial e ou 2. Representação matricial e ou vetorial de equações de estado vetorial de equações de estado e de saídae de saída

)](),..(),(),..(),(),...([)(

111 twtwtututxtxfdt

tdxvpni

i

)](),..(),(),..(),(),...([)( 111 twtwtututxtxgty vpnjj

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Representação matricial e ou 2. Representação matricial e ou vetorial de equações de estadovetorial de equações de estado

)()()()(

)()()()(

tHwtDutCxty

tEwtButAxdt

tdx

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado2. Matriz de Transição de Estado

• Matriz de transição de estado é definida como sendo a matriz que satisfaz:

)()(

tAxdt

tdx

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado2. Matriz de Transição de Estado

• Matriz de transição de estado é definida como sendo a matriz que satisfaz:

)()(

tAxdt

tdx

)()(

tAdt

td

• Por exemplo :

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

)()(

tAdt

td

• Se x(o) é o estado inicial pata t=0 então

)0()()( xttx

• Que é a solução para a equação de estado diferencial linear homogênea pata t>=0

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

)0()()(

)()()(

1xAsIsX

ou

sAXoxssX

• Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da equação de estado tem-se

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

])[()(

tan

0)0(])[()(

11

11

AsILt

topor

txAsILtx

•Ou ainda

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

...!3!2

0),0()(

3322

tAtAAtIe

e

tparaxetx

At

At

•Um método alternativo de se resolver a equação de estado homogênea é ter (supor) como solução:

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

Ate•É fácil de supor que

é solução da equação de estado homogênea, pois

AtAt

Aedt

de

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado2. Matriz de Transição de Estado 2. Matriz de Transição de Estado (cont)(cont)

• portanto

...!3!2

)(

)(

3322

tAtAAtIt

e

et At

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado33. Significância da Matriz de . Significância da Matriz de Transição de EstadoTransição de Estado

• A Matriz de transição de estado representa a resposta livre do sistema .

•Ela governa a resposta do sistema quando excitado pela condição inicial somente

• E ainda, a matriz de transição de estado (t) define a transição dos estados da condição inicial t=0 até t, quando as entradas são zero.

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado44. Propriedades da Matriz de . Propriedades da Matriz de Transição de EstadoTransição de Estado

• 1. (0) = I ( matriz identidade )

• 2. (t) = (-t)

• 3. (t2- t1) (t1- t0) = (t2- t0)

• 4. [(t)]k= (kt)

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado. Equação de Transição de Estado

• A equação de transição de estado é definida como sendo a solução da equação de estado homogênea

)()()()(

tEwtButAxdt

tdx

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.

•No domínio de Laplace

)]()([)()0()()( 11 seWsBUAsIxAsIsX

•Ou no domínio do tempo

t

tdEwButxttx

ou

seWsBUAsILxAsILtx

0

1111

0)()()()0()()(

)])()([)(()0()()(

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.

•No domínio de Laplace

)]()([)()0()()( 11 seWsBUAsIxAsIsX

•Ou no domínio do tempo

t

tdEwButxttx

ou

seWsBUAsILxAsILtx

0

1111

0)()()()0()()(

)]()([)()0()()(

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.

•Se no entanto a condição inicial for t0, então

t

to

ttdEwButtxtttx 000 )]()()[()()()(

Análise por Variáveis de EstadoAnálise por Variáveis de Estado55. Equação de Transição de Estado, . Equação de Transição de Estado, cont.cont.

•A equação de saída será em função da condição inicial e do vetor de entrada, substituindo-se x(t) na equação de saída

t

tttHwtDudEwButC

txttCty

0

0

00

)()()]()()[(

)()()(