EN 2706- Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Prof. Marat Rafikov Centro de Engenharia, Modelagem e

Ciências Sociais Aplicadas (CECS) E-mail: marat.rafikov@ufabc.edu.br

EN2706 - Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares

Recomendação: Instrumentação e Controle

Ementa:

1. Apresentação de sistemas dinâmicos lineares multivariáveis.

2. Descrição por equações de estado.

3. Extração dos autovalores e autovetores.

4. Estudo de estabilidade local e global.

5. Critérios de estabilidade de Lyapunov.

6. Linearização de sistemas dinâmicos não-lineares.

7. Matriz de transição de estados.

8. Observabilidade.

9. Controlabilidade.

Monteiro, L.H.A. Sistemas Dinâmicos. 2-a Edição. São Paulo:

Editora Livraria da Física, 2006.

Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. 5-a Edição. São

Paulo: Pearson & Prentice Hall, 2010.

Zill, D.G. Equações diferenciais com aplicações em

modelagem. São Paulo: Thomson, 2003.

Bibliografia

Extração dos autovalores e autovetores

Sistemas lineares Se as funções f são iguais a 0 para todos os valores de t, então, o sistema é homogêneo. Caso contrário, sistema é não-homogênio.

Extração dos autovalores e autovetores Forma matricial de um sistema linear

onde

Extração dos autovalores e autovetores Princípio da superposição Seja um conjunto de vetores solução do sistema homogêneo

Então a combinação linear

onde são constantes arbitrárias, é também uma solução.

Extração dos autovalores e autovetores Dependência e independência linear Definição.

Seja um conjunto de vetores solução do sistema

homogêneo no intervalo I. Dizemos que o conjunto é linearmente

dependente no intervalo se existirem constantes

não todas nulas,de tal forma que

para todo t no intervalo. Se o conjunto de vetores não for

linearmente dependente no intervalo, ele será chamado

linearmente independente.

Extração dos autovalores e autovetores Critério para independência linear de soluções Sejam

n vetores solução do sistema homogêneo no intervalo I. Então o

conjunto de vetores solução será linearmente independente no

intervalo, se e somente se o wronskiano

para todo t no intervalo.

Extração dos autovalores e autovetores Solução geral do sistema homogêneo Conjunto fundamental de soluções Todo conjunto vetores solução linearmente

independentes do sistema homogêneo no intervalo I é chamado

conjunto fundamental de soluções no intervalo.

Teorema.

Seja um conjunto fundamental de vetores solução

do sistema homogêneo no intervalo I. Então, a solução geral do

sistema no intervalo é

Onde são constantes arbitrárias.

Extração dos autovalores e autovetores Sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes

(1) onde A é uma matriz nxn de constantes.

Podemos procurar a solução desta equação na forma

(2) Calculando a derivada de (2), temos

(3)

Levando (2) e (3) na (1), obtemos

(4)

Extração dos autovalores e autovetores Depois de dividir ambos os membros por e rearranjar,

obtemos

(5)

Uma vez que

a equação (5) é equivalente a

(6)

A equação matricial (5) é equivalente às equações algébricas

Extração dos autovalores e autovetores Para que o sistema (6) tenha solução não trivial, devemos ter

= 0 (8)

A equação polinomial (8) é chamada equação característica da

matriz A, e suas soluções são os autovalores de A. Uma solução K

não trivial de (6) correspondente a um autovalor é chamada

autovetor de A.

Uma solução do sistema homogêneo (1) é então

AXX (1) Para um sistema de dimensão 2 temos:

2

1

x

xX ,

2221

1211

aa

aaA (2)

A equação característica:

02221

1211

aa

aa (3)

Calculando determinante, obtemos:

0)( 211222112211

2 aaaaaa (4) Dependendo das raízes de (4) existem 3 casos de soluções

1) As raízes reais, distitas. 2) As raízes reais, iguais. 3) As raízes complexas, conjugadas:

j (5)

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais distintas

Sejam n autovalores reais distintos da matriz de

coeficientes A e sejam os autovetores

correspondentes. Então, a solução geral da (1) será dada por

Da solução fica claro que o ponto de equilíbrio trivial é estável se

todos os autovalores são negativos.

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais distintas Exemplo 1. Resolver

Solução. Determinamos autovalores e autovetores da matriz de coeficientes. Da equação característica

obtemos:

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais distintas Para autovalor

o sistema (7) tem forma

de onde podemos encontrar o seguinte autovetor

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais distintas As duas soluções linearmente independentes do sistema dado são

e a solução geral do sistema é

O diagrama de fase do sistema esta na seguinte figura.

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais distintas

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Exercícios. Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Nem todos os n autovalores de uma matriz A nxn

precisam ser distintos, ou seja, alguns dos autovalores podem ser

repetidos. Por exemplo, o sistema

tem um autovalor de multiplicidade 2:

Para esse valor obtemos o único autovetor

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Em geral, se for um fator da equação característica de multiplicidade m, então, os seguintes casos podem ter lugar:

1. Para algumas matrizes A, é possível obter m autovetores

linearmente independentes correspondentes a

um autovalor de multiplicidade m. Neste caso, a solução

geral do sistema contém a combinação linear

2. Se houver somente um autovetor correspondente ao

autovalor de multiplicidade m, então podem ser obtidas

m soluções linearmente independentes da forma:

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

onde K são vetores de coluna.

Da análise das soluções fica claro que o ponto de equilíbrio trivial

é estável se todos os autovalores são negativos.

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Segunda solução

Suponhamos que seja um autovalor de multiplicidade 2 e que

exista somente um autovetor associado a esse valor. Uma

segunda equação pode ser obtida da forma

onde

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Segunda solução

Levando a solução no sistema

teremos

Esta equação deve ser valida para todos os valores de t, então

A primeira equação estabelece que K deve ser autovetor de A

associado a . Encontrando K e P do sistema, determinamos a

segunda solução.

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Exemplo. Resolvemos o problema

Sistema tem um autovalor de multiplicidade 2:

Para esse valor obtemos o único autovetor

Vetor P pode ser encontrado da equação

ou

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Escolhendo

teremos

Assim, a segunda solução será

E a solução geral

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores reais repetidos Exercícios. Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexos

Seja um autovalor complexo da matriz de coeficientes A

do sistema homogêneo. Então as soluções linearmente

independentes são

onde vetores de coluna B podem ser encontrados como

Da análise das soluções fica claro que o ponto de equilíbrio trivial é

estável se todas as partes reais de autovalores são negativas.

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexosos

Exemplo. Resolva o problema do valor inicial

Solução. Equação característica

Os autovalores são

e

Para temos o seguinte sistema

Da segunda equação temos

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexos

Escolhendo

temos

Calculamos vetores B como

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexos

Então a solução geral tem a forma

A solução particular é

O retrato de fase do sistema está na seguinte figura

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexos

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Autovalores complexos

Exercícios. Encontrar autovalores e autovetores e determinar se o sistema é estável

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas da segunda ordem

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas

Sistema de equações diferenciais lineares homogêneas