Analise TensorialUma abordagem didatica

Volume 1

Versao 1.0

Guaratingueta, Janeiro de 2010

Autor:

Raphael Bastos

1 Introducao

Quando leis fısicas sao formuladas, estas devem ser validas para qualquer sistemade coordenadas do sistema inercial, tal como pode ser deduzido da Teoria daRelatividade Especial, formulada por Einstein.

Por exemplo, se considerarmos um sistema unidimensional cartesiano, qual-quer regiao existente ao longo de uma reta ou curva sera representado geo-metricamente exatamente por um ponto. Do mesmo modo, podemos extendernossa interpretacao geometrica para um sistema bidimensional em que teremospontos, retas e curvas e tridimensionalmente teremos, pontos, retas, curvas esolidos. Mas e para 4 ou mais dimensoes? A intepretacao geometrica e valida?

Como o cerebro humano nao e capaz de processar imagens de dimensoes su-periores a 4, chamadas de hipersolidos, usamos a forma matematica analıticaspara descrever o comportamento nessas dimensoes. A esta forma analıtica mul-timensional damos o nome de tensor.

Antes de que o leitor comece por esse novo assunto, supomos que tenha con-hecimentos em Analise Vetorial, Algebra Linear e Calculo, uma revisao destesassuntos pode ser encontrada em [Spi66].

2 Espacos Multidimensionais e Transformadas

de Sistemas de Coordenadas

Para que se possa usar a abordagem analıtica, e preciso defirnirmos espacosde dimensoes superiores e como sao usadas as coordenadas de um ponto emqualquer dimensao.

2.1 Espacos Multidimensionais

Se voltarmos a introducao, se pode perceber que foi usado um raciocınio geometricopara concebermos espacos dimenstionais (ate tres dimensoes). A partir desseraciocınio, podemos deduzir relacoes simples que definem espacos dimensionais.

Sabemos que, um ponto no espaco e definido pelo numero de coordenadas,tais como (x,y) em um sistema cartesiano bidimensional e (x,y,z) para um sis-tema cartesiano tridimensional (o mesmo vale para qualquer outro sistema decoordenada, como polares, cilındricas ou esfericas).

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References

[Spi66] Spiegel, Murray R.: Analise Vetorial com Introducao a Analise Ten-sorial. (1966)

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