MÉTODO DA FUNÇÃO DESCRITIVA

• Analises usando funções descritivas• Os ciclos limites aparecem em sistemas de qualquer tipo, sejam de toda

natureza ou induzida. Os mais conhecidos são aqueles devido a histerese, zonas mortas e controles on-off, que por sua vez são graves devido à não-linearidade.

• O tratamento destes é facilitado com a utilização do conceito de descritor de função, que aparece como uma extensão natural da análise de freqüência realizado em sistemas lineares de sistemas não-lineares, especialmente aqueles caracterizados por não linearidades graves.

• Além disso, o Critério de Nyquist é estendida para esses casos para facilitar a análise de estabilidade.

1

Introduçao

• O F. D. é uma extensão natural do método de análise utilizado frequencia utilizado nos sistemas lineares. Suas principais limitações são que é um método aproximado e serve essencialmente en sistemas onde tem a suspeita da presença de ciclos limite.

• A . Exemplo: Ecuaçao de Van der Pol.Considere o sistema descrito pela equação de segunda ordem não-linear,

2

• Obtêm-se uma equação linear usando a transformada de Laplace:

• E uma equação não linear

• As duas funções são apresentadas na figura seguinte

3

• Fig 4.1 Van der Pol oscilador; a) diagrama equivalente, b) diagrama equivalente com FD.

4

• Assumindo que o sistema é constantemente oscilante obter x = A sen wt e x´ = Aωcos wt

• Ao substituir esta expressão na definição de u é u u= -x´x^2 tem-se:

5

• onde u tem um terceiro harmônico. Se o bloco linear é um paixa baixos ,a terceira harmónica pode ser eliminada, de modo que u é:

• Isto implica que o bloco não-linear pode ser aproximada por um bloco linear cujo ganho depende A. Fig. 4.1 (b). Portanto, a entrada (x) e de saída (U) do bloco não-linear pode relacionar-se,

6

• Onde

• Para o caso de Van der Pol oscilador. esta função que depende da amplitude do sinal de entrada e a função de frequência de chamada descritor.

• Pela amplitude e frequência da oscilação é necessário considerar o diagrama na Figura. 4.1 (b).

7

• A solução desta equação complexa (partes reais eimaginárias) é ω = 1 e A = 2, cujos valores não dependende α. Isto é, o sistema tem uma oscilação com umaamplitude de A = 2 a uma frequência angular ω = 1,independente da α.

• Para analisar a estabilidade do ciclo limite, pode-se obter aequação característica (assumindo uma constante) a partirda Figura 4.1 (b), que é:

8

• cujos autovalores são

• Onde é visto que, se A <2 λ1,2 deve ter uma parte realpositiva, de modo que o sistemadiverge e, portanto, a amplitude de oscilação aumenta, e seA> 2 deve ter parte real λ1,2 tem parte real negativa, demodo que o sistema tende a convergir e, portanto, aamplitude de oscilação diminui. por assim, para A = 2 estáprevisto um ciclo limite.

9

• A Fig. 4.2 presenta as simulaçoes para α = 0.3, 0.5 y 2. Os resultados mostran que α modifica os resultados pero o análisis anterior no os presenta. Específicamente, en contra-se que para valores pequenhos de α, os resultados esperados se acercan na situaçao real.

10

• Fig 4.2 Simulações para el oscilador de Van der Pol; a) α = 0.3, b) α = 0.5, c) α = 2.

11

12

• B. Aplicações de Domínio e simplificações.

13

• O uso de funções que descrevem é limitado e seu uso deve ser considerada em simplificações dos sistemas.

• A principal limitação é que os sistemas a serem analisadas estão contidas nos esquemas, tal como é ilustrado na fig. 4.3 (a). As restrições e simplificações são os seguintes.

i Existe apenas uma não-linearidade. No caso de exixtir varias, deve ser reduzida a uma única ou apenas ser considerada a mais relevante.ii O componente não-linear para ser invariante no tempo. Felizmente, a maioria dos sistemas que geram ciclos limites são independentes. Nestes casos, você pode usar o critério de Nyquist extendido.

14

iii É considerado apenas uma saída senoidal. Isto é possível se o bloco linear na fig. 4.3 (a) é um pasa baixos o que acontece na maioria dos sistemas físicos.iv A não-linearidade é impar. Esta restrição é apenas para simplificar o análise e especificamente Não podemos considerar termos dc.

15

• Figura 4.3 Esquema par funções descritoras a) diagrama geral, b) diagrama usando F. D ..

16

C Definições básicas

Seja x (t) = Asen (wt) a entrada e u (t) a saída do bloco não-linear, portanto,

Onde

Se considerar a primeira componente de u(t) entao:

17

• Onde

• Em notação complexa tem-se:

• De modo semelhante ao conceito da resposta em freqüência de F. T. (que é a relaçao da a entrada e a saída) Defina-se a FD como:

18

N (A, ω) do elemento não linear, tal como o quociente entre a componente fundamental da saída e entrada sinusoidal como se ilustra na fig. 4.3 (b). Oseja:

19

• Claramente, F.D. depende da entrada, e é evidente que é uma função complexa. Para graficar pode ser utilizado os dois eixos independentes asimm como a frequência ea amplitude da sinal de entrada.

• No caso do bloco não-linear de Van der Pol oscilador desta função é dada pela função:

20

D. Cálculo das funções descritoras

• Exemplo 4.1

4.2 Não-linearidades as funções descritorasA continuação são obtidas as funções descritoras dos elementos não-lineares mais comuns na engenharia.

21

Figura 4.4 F.D. do bloco não-linear on-off.

22

23

Figura 4.5 F.D. do bloco não-linear saturação

24

25

• Figura 4.6 F.D. do bloco não-linear zona morta e back slash

26

27

28

29

4.3 Análise de Sistemas utilizando funções descriptoras.

• Primeiro obtem-se a FD do bloco não-linear, em seguida, deve-se concluir sobre a existência de ciclos limite e, finalmente, sobre a sua estabilidade. Para estes fins devem-se estender o critério de Nyquist para tais sistemas, começando com uma revisão dos critérios Nyquist para sistemas SISO

• A . Critério de Nyquist Estendido.Para o sistema SISO apresentado na fig. 4.7 (a) tem-se uma FT em LC dada pela expressão h(s)=kg(s)/(1+kg(s), onde os zeros de (1+kg(s), são os polos de h(s) e demostrar os polos de 1 + k·g(s) são também os polos de g(s).

30

• Portanto, se se desejar ter um sistema estável, a função 1 +k · g (s) não deve conter zeros no SPD. De outro jeito, ocritério de Nyquist indica se o contorno de Nyquist (γ)inclui ηp polos e nz zeros da função 1 + k · g (s), então ocontorno transformado 1 + k · g (s) contém N = ηz - ηpvezes origem. Portanto, se se desejar ter umsistema estável deve ser que ηz = 0 e, portanto, sedesejasse um sistema estável, deve ter nz=0 e por tanto ocontorno transformado deve encerrar o origem N =-npvezes.

31

• Se ademais e considerado que o origem no contorno transformado 1 + k·g(s) e o ponto -1/k, pódese establecer o teorema de Nyquist como:

• Teorema: Se o contorno γ encerra ηp pólos da função g (s), então o sistema em LC é estável, se o contorno transformado de g (s) encerra N = -ηp veces o ponto -1/k

32

33

Figura 4.7 Diagramas para la estabilidad; a) en sistemas SISO b)en sistemas con F.D., c) Criterio de Nyquist Extendido.

Fugura 4.7 Diagramas para la estabilidad; a) en sistemas SISO, b) en sistemas con F.D., c) Criterio de Nyquist Extendido.

34

• Uma vantagem deste teorema é que ele permite que aestabilidade necessária para derivar os valores de ganhoarbitrária k. Para estender os critérios acima mencionadospodem-se considerar que k é um número constante, quenão depende de ω e que pode ser complexo fig. 4.7 (c). Sefor este o caso, então o teorema acima é chamado oteorema de Nyquist Estendido. Portanto, quando o sistemamostrado na Fig. 4.3 (b) pode ser convertido em um comoapresentado na Fig. 4.7 (b), então pode-se aplicar oteorema de Nyquist Estendido para deterninar a estabilidadedo ciclo limite onde o ganho k = N '(A) e G (jw) = g' (jw)ou nos casos em que a função FD não dependem de w, peloqual k = N (A) e g(jw) = g (jw).

35

B. Existência e Estabilidade de Ciclos-Limite.

• De acordo com a Fig. 4.3(b) tem-se que x(t) = -y(t), u = N(A, ω)x, e y = g(jω)u, pelo que o sistema cumple com:

• Portanto, se tem ciclos limite , elos tem que que satisfazer a expressão acima.

• Note-se que a expressão acima é uma equação do número complexo e, portanto, tem duas equações, uma para a parte real e outra para a parte imaginária, onde A e w podem ser determinados.

36

• Graficamente, no caso de sistemas que podem tomar a forma ilustrada na fig. 4.7 (b), ou em casos em que o FD é independente de ω, podem ser plotados -1 / N (A) e G (jw) separadamente ea interseção dessas curvas definem um ciclo limite e estabilidade é observada pela extensão do teorema estendido de Nyquist.

• De fato, se g (jw) não contém pólos instáveis , então os pontos fechados pela Nyquist g (jw) são instáveis (a amplitude aumenta) e os pontos não fechados pela Nyquist g(jw) são estáveis (a amplitude diminui).

37

• Por exemplo, os exemplos ilustrados na fig. 4,8 mostran os ciclos limite estáveis porque se se considera que g (s) não contém os pólos instáveis , os pontos encerrados pelo teorema de Niquist, aumenta A e os pontos não encerrados pelo teorema disminui A, de modo que as oscilações tendem a um ponto de intersecção.

38

• Fig. 4.8 ciclo limite estável (as flechas nas curvas indicam aumento do parâmetro ω en g (jw) e A en 1 / N (A)).

39

Exemplo 4.2. Seja um sistema como o apresentado na figura 4.3 com um bloco linear dado:

kp = 122.76, um bloco não linear tipo zona morta, cuja FD é:

Com k = 1 y δ =20, Determine a ciclos limite e estabilidade possível.R/ ao considerar g1(jω) = –1/N(A) a seguirte equação é obtida:

40

o qual pode ser simplificada para,

As seguintes equaçoes são obtidas:

41

De onde A é obtido A = 40. Assim, de ter um um ciclo límite, ele debería ter estes parámetros. Para analizar la estabilidad veja-se a figura 4.9(a)

42

Fig. 4.9 Ciclo límite da zona morta; a) y b) para g1(s), y c) y d) para g2(s).

43

Fig. 4.9 Ciclo límite da zona morta; a) y b) para g1(s), y c) y d) para g2(s).

44

• Como g1 (jw) não contém polos instáveis, os pontos -1 / N (A), que não estão rodeados são estáveis e, assim, diminuir A, pelo que ciclo limite é instável, como mostrado na fig. 4.9 (b)

• Para a Fig.4.9(c)

Onde pode-se ver o ciclo límite com ω = 0.806 y A = 40. 45

• A T. F., tem dois pólos instáveis pelo que os pontos -1 / N (A) estão emcerrados por duas vezes no sentido contrario a o são estáveis .

• Felizmente nesses pontos correspondem a uma diminuiçãono A en -1 / N (A), de modo que o ciclo limite é estável (fig.4.9 (d)).

46

Confiabilidade do Método.

47

Exemplo4.10

Fig. 4.10 Ciclo límite do oscilador de Van der Pol; a) estabilidade, b) confiabilidade.

48

49