©

Controle Não Linear

CEFET/RJ Centro Federal de Educação Tecnológica

Celso Suckow da Fonseca Rio de Janeiro

1

© --

Fundamentos da Teoría de Lyapunov

Dadas as características dos sistemas não-lineares características, incluindo a estabilidade, não é possível aplicar os conceitos desenvolvidos em sistemas lineares. Neste capítulo novas ferramentas matemáticas e definições que podem resolver são apresentados este tema. Os conceitos mais importantes estão associados à estabilidade local e global. Sem dúvida, a teoria de Lyapunov apresentado aqui é o desenvolvida para estes casos.

2

© --

Conceitos de Estabilidade. Antecedentes Preliminares. Um sistema naõ-linear puede-ser representado : X(t)= f (x, t) (1) Esta expresão, ainda não contem u, que pode apresentar um sistema onde u = g(x, t), por tanto, a x(t) = f (x,u,t) = f (x,g(x,t),t)

Um sistema é autónomo se (1) não depende do tempo, ou seja,

x(t) = f (x) . A grande diferença entre eles é que um sistema autônomo tem um plano de estados que não é uma função do tempo. Finalmente, um estado Xo é um estado de equilíbrio (ou ponto de equilíbrio) do sistema se fazendo x(t) = xo, este permanece no punto para todo tempo futuro.

3

© --

Estabilidade e Instabilidade • A estabilidade é definida:

Def:. O ponto de equilíbrio Xo = 0 é estável se, para qualquer R> 0, existe um r> 0, de tal modo que satisfaz || X (0) || <r, então || x (t) || <R para todos os t ≥ 0, no caso contrário, o ponto de equilíbrio é estável (estabilidade no sentido de Lyapunov).

4

© --

Estabilidade Asintótica y Estabilidade Exponencial

Def: Um ponto de equilíbrio Xo = 0 é assintoticamente estável se ele é estável e se, além disso, há alguns r> 0 tal que || x (0) || <r implica que x (t) → 0 quando t → ∞. Algumas implicações importantes são as seguintes: (a) A esfera Br é conhecida como o domínio de atracção, que corresponde a o lugar de pontos que convergem para a origem, Figura (a) ; (b) um ponto de equilíbrio que é estável, mas não assintoticamente estável é chamado marginalmente estável, Figura (a), Analisando a figura (a) verifica-se que: (i) curva 1: assintoticamente estável, (ii) curva 2: marginalmente estável, e (iii) curva 3: instável; (c) A convergência dos estados não implica estabilidade. Por exemplo, na figura (b), um ponto de partida dentro R = 1 converge para x = 0, mas sempre sai de R = 1, de modo que o origen não é estável no sentido de Lyapunov.

5

© --

• (a) (b)

6

© --

• Def: Um ponto de equilíbrio xo = 0 é exponencialmente estável se existem dois números estritamente positivo α e λ tal que ∀ t> 0, || x (t) || ≤ α || x (0) e-λt || em uma esfera Br em torno da origem .

• Alguns âmbitos são: (a) o número λ positivo é geralmente conhecido como a razão para a convergência exponencial, (b) a estabilidade exponencial implica estabilidade assintótica, mas o inverso não é necessariamente verdade.

7

© --

Estabilidade Local y Estabilidade Global.

• As definições acima são válidas para caracterizar o comportamento de sistemas locais. Ou seja, como o sistema evolui após o início perto do ponto de equilíbrio.

• Def:. Se a estbilidade Assintóticas (ou exponencial) é válida para qualquer condição inicial, o ponto equilíbrio É estável E assintótico (ou exponencial) globalmente.

8

© --

Linearização e estabilidade local. • O método de linearização de Lyapunov refere-se à análise de

estabilidade local. Uma vez que todos sistemas físicos pode ser considerado não linear, em certa medida, este método serve como justificação para a utilização de técnicas lineares em sistemas não-lineares.

• A linearização do sistema, x(t) = f (x,u), y = h(x,u) , en torno a o ponto uo, xo, yo é dada por:

9

© --

• São variaçoes de x,u y em torno a o ponto Xo, Uo, Yo

10

© --

Teorema: Método de Linearização de Lyapunov.

• (A) Se o sistema linearizado é estável (isto é, se todos os valores

próprios de A está no meio esquerda do plano complexo), então o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. (B) Se o sistema linearizado é instável (ou seja, pelo menos um autovalor de A é no meio direita do plano complexo), então o ponto de equilíbrio é instável. (C) Se o sistema linearizado é marginalmente estável (ou seja, todos os valores próprios de A estão no p´lano esquerdo, mas pelo menos um está no eixo jw), então não pode concluir nada sobre o ponto de equilíbrio (de facto, o ponto de equilíbrio pode ser estável, assintoticamente estável ou instável).

11

© --

Exemplo 2.1

Estudar a estabilidade do sistema x´(t) = ax + bx5 a e b São constantes Claramente o ponto de equilíbrio é xo = xo = 0 e a linearização é x´(t) = ax. Se: (i) a <0, então o xo = 0 é assintoticamente estável,

(ii) a> 0, entao o xo = 0 é instável (ii) a = 0, nada pode ser dito; na verdade, o que realmente

acontece depende da constante b.

12

© --

Estabilidade

13

© -- 14

© --

• Estabilidade dos pontos de operaçao do reator

15

© --

• Como pode ser visto, o teorema acima não é suficiente, são várias perguntas sem resposta. Entre os mais importantes são: (a) o que dizer de estabilidade quando as raízes estão em o eixo imaginário? e (b) no caso de ser estável o origen, qual é o domínio de atracção ?.

16

© --

• Exemplo 2.2 . Estudo da estabilidade do ponto de funcionamento do reactor exotérmica.

• R/ A. Para estes fins, são plotados os valores próprios da matriz A para diferentes pontos de operação. Isso é equivalente a traçar o L.G.R. sistema mas, dependendo do ponto de funcionamento. A Fig. Anterior (a) mostra o L.G.R. do reactor. Sem dúvida que, para certos valores de T o sistema apresenta valor próprio instável, de modo que eles têm ponto de funcionamento estável.

• Este é o caso do rango de T entre 335 e 379 ° K. • Deve-se ter cuidado com este tipo de caso em sistemas não-lineares como um

ponto de funcionamento instável pode significar a existência de ciclos limites.

• Este é o caso da faixa mostrada na Figura 2.3 (b) e (c). em que para as entradas entre Tc = 303 e 306 podem ter um único ponto de funcionamento é instável. No entanto, o simulação mostrados na Fig. 1.15 mostra a existência de um ciclo limite para esta entrada. Da mesma forma que as entradas To menor do que 303 sistema de viagem para um único ponto de operação instável.

17

© --

• Simulação reactor exotérmica Tc = 311 · (1 + 0.018u (t-3) - 0.036u (t-6)). A linha sólida representa a simulação do sistema original é segmentado e a simulação do sistema linearizado.

18

© --

Método direito de Lyapunov • Este método é uma extensão natural de uma

observação física fundamental: • Se o total de energia de um sistema é

continuamente dissipada, em seguida, o sistema (linear ou não linear) deve atingir eventualmente um ponto de equilíbrio.

• Uma vez que a energia é um escalar, a análise de estabilidade deve ser reduzida para a análise de uma função escalar.

19

© --

• Por exemplo, a caixa da mola, ilustrada na fig. 1 pode ser aproximada pela equação:

• Para un analise mais rigoroso

• A energia é função da x e x´

• Definase • A equação V(x,x´) pode ser escrita:

20

© --

A expressão acima mostra que: (a) a energia zero corresponde a um ponto de equilíbrio (x1 = 0, x2 = 0), (B) a estabilidade assintótica implica a convergencia da energia a zero, e (c) instabilidade emvolve um crescimento da energia. Além disso, a taxa de variação da energia durante o movimento de sistema é obtido por diferenciação V (x) em relação a t:

21

© --

• V´(x) =-b | x2 |3 • é sempre negativo, o sistema perde energia até V´

(x) = 0 ⇒ x2 = 0. O método direto de Lyapunov é uma generalização do problema anterior. Ouseja, deve-se encontrar uma função energia V(x) tipo energia e analizar a função escalar no tempo.

22

© --

A Funções definidas positivas e função de Lyapunov

• A função de energia V (x) no exemplo acima, cumple com: i) é estritamente positivo (exceto para x1 = 0, x2 = 0) ⇒ função definida é positiva. ii) ⇒ monótona decrescente função de Lyapunov.

• Def:. Uma função escalar V (x) é definida positiva localmente se V (0) = 0 e em uma region Bro cumple-se x ≠ 0 ⇒ V (x)> 0. Se V (0) = 0 e a propriedade anterior cumples-se em todo o espaço estado, emtao V (x) é definida positiva globalmente.

23

© --

Exemplo 2.3 Fig 1.

• Determine-se se são definidas positivas locais ou global:

• (a) es localmente porque para x1 = 2π la función V(x) se faz zero novamente, (b) é globalmente, y (c) não é

24

© --

• (a) definida positiva localmente, (b) definida positiva globalmente, (c) não é definida positiva.

25

© --

• Def:. Uma função V (x) é definida negativa se -V (x) é definida positiva.

• Def:. Uma função V (x) é semi-definida positiva, se V (0) = 0 e V (x) ≥ 0 para x ≠ 0.

• Def.: Una función V (x) es semi-definida negativa si –V (x) es semi-definida positiva.

26

© --

• Semi indica a possibilidade que V(x) seja zero para x ≠ 0 e

• Ou seja, os pontos de equilíbrio também satisfaz v´(x)=0, v´(x) depende só de x

• Um caso especial é quando v´(x) é negativa

27

© --

• Def:. Se em uma region bro a função V (x) é definida positiva e tem derivadas parciais contínuas e sua derivada temporal ao longo das trajetórias dos estados do sistema é semidefinida negativa; ou seja V´(x) ≤ 0, então V (x) é uma função para o sistema de Lyapunov.

28

© --

B Teorema para os pontos de equilibrio

Teorema: Lyapunov Estabilidade Local: Se em uma region Bro, existe uma função escalar V (x) com as primeiras derivadas parciais continuas de modo que: • V (x) é definida positiva (localmente no Bro) • V´(x) é semi-definida negativa (localmente no Bro)

emtao o ponto de equilíbrio xo = 0 é estável. • Se a derivada v´(x) é localmente definida negativa em Bro,

então a estabilidade é assintótica.

29

© --

• Estude a estabilidade para:

O qual tem o ponto de equilíbrio em xo=0 Seja uma função de Lyapunov , então então

• Por tanto como v(x) é globalmente definida positiva, e sua derivada

localmente definida negativa, o ponto x0 é asintoticamente estável.

Figura derivada de Lyapunov Exemplo2.5.

30

Exemplo 2.4

© --

Teorema: Lyapunov para a estabilidade global

• Teorema: Lyapunov para a estabilidade global • Assumir que existe uma função escalar V (x), com

derivada de primer ordem contínua de tal forma que: • V(x) é definida positiva • V´(x) é definida negativa • V(x) inf ||x|| ->inf Então o ponto de equilibrio xo é globalmente asintoticamente estável. Estude a estabilidade do sistema Exemplo 2.6

31

© --

C . Teoremas doss Conjuntos Invariantes.

• No caso de se encontrar V´(x) semi definida, permite concluir respeito a caracteristica asintotica do ponto de equilibrio.

• Teorema: conjuntos invariantes local: Considere um sistema autônomo x´= f (x) com f contínua, e V (x) uma função escalar com primeiras derivadas parciais contínuas. Suponha que:

• Para l>0, a region Ωl defiinida pro V(x) < l delimitada.

• V´(x) ≤ 0 para todo x en Ωl

32

© --

• Seja R um conjunto de pontos dentro Ωl onde V´(x) =0 e M o mais grande conjunto invariante em R, Então, cada solução de x(t) que inicie em Ωi tende a M a medida que t → ∞

• Conjunto invariante Exemplo 2.7 33