Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática

André de Oliveira Pinheiro

Saulo Dias Santos

Transformações geométricas com o GeoGebra

Belém 2012

André de Oliveira Pinheiro Saulo Dias Santos

Transformações geométricas com o GeoGebra

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisitado parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática, pela Universidade do Estado do Pará. Orientadora: Profª. Ma. Cinthia Cunha Maradei Pereira Campos.

Belém 2012

André de Oliveira Pinheiro Saulo Dias Santos

Transformações geométricas com o GeoGebra

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisitado parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática, pela Universidade do Estado do Pará. Orientadora: Profª. Ma. Cinthia Cunha Maradei Pereira Campos.

Data: _____/______/______ Banca Examinadora ____________________________________ - Orientador Prof. Dr. em Educação Universidade do Estado do Pará

____________________________________ Prof. Dr. em Educação Universidade do Estado do Pará

____________________________________ Prof. Dr. em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Belém 2012

AGRADECIMENTOS

A minha mãe, Maria do Socorro, meu pai, Paulo, minha tia, Auxiliadora,

por todo apoio financeiro e emocional que me foi oferecido em minha graduação e

por toda habilidade que vocês têm em se tornarem os melhores em suas posições.

A minha avó, Maria de Lourdes por se tornar o melhor exemplo de pessoa

que alguém pode ser.

Ao meu amor, Laís, por me mostrar todos os dias que a felicidade existe;

e ainda, em vivências simples como um beijo, um carinho, um sorriso, uma

conversa, uma dança ou uma companhia na pulsação das noites de sexta.

Aos meus amigos de graduação, Alexandre, Arthur, Hugo, Leandro,

Mayara, Talita, Renato, Walmi por toda a colaboração e companheirismo nesses 4

anos; além de, é claro, todos os momentos de diversão, sem os quais nenhum ser

humano pode viver.

Ao Saulo, meu companheiro de TCC, por ter acreditar e trabalhar no

desenvolvimento deste trabalho, e por suportar minha impontualidade, meu senso

de humor ácido e meu temperamento.

A professora mestra Cinthia Maradei, por nos orientar, por toda paciência,

comparecimento e, além disso, por ajudar com várias idéias incríveis, sem as quais

este trabalho não seria possível.

Aos professores da UEPA por me servirem de exemplo profissional e a

esta instituição, que mais do que uma Universidade, é um local de engrandecimento

do saber, do caráter e da maturidade, para mim.

A todos que esqueci de mencionar, pois me conhecendo muito bem,

conhecem minha péssima memória.

A Wes Anderson, pelo filme The Darjeeling Limited, que me mostrou que

só o fato de querer ser uma pessoa melhor já nos torna uma pessoa melhor.

Vocês são demais.

André de Oliveira Pinheiro

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por tudo de bom que proporcionou em minha vida.

Agradeço a minha família, minha mãe Ana, meu pai Fernando, meu irmão

Sávio, minha irmã Fernanda, por todo amor, carinho e ajuda que me deram, não só

nesses quatro anos de universidade, e sim em toda minha vida, obrigado por

estarem sempre comigo, amo todos vocês.

Agradeço a todos os meus amigos de turma, em ordem alfabética:

Andreza, Alexandre, Arthur, Camila, Diego, Douglas, Fernando, Franklin, Guilherme,

Hugo, Jean, José, Leandro, Mayara, Nayra, Talita, Renato, Walmi e todos os outros

que estiveram na turma, no entanto já saíram para traçar outros rumos, pelo

companheirismo, pela amizade, pelos momentos divertidos, pelas “saídas”, pelas

viagens e por tudo de bom que me proporcionaram nesses quatro anos de

universidade, obrigado pela amizade de vocês e espero que ela perdure por muito

tempo.

Agradeço aos meus amigos, em ordem alfabética: Cleo, Daniellen, Itamar,

Kathelen e Lilia, pela amizade, carinho, companheirismo e alegrias que me

proporcionaram nesse tempo, obrigado por estarem comigo e pela ajuda que

sempre me deram, muito obrigado.

Agradeço também ao meu companheiro de TCC, o André, por ter se

juntado comigo nessa empreitada, e apesar das dificuldades que tivemos,

conseguimos concluir este trabalho, obrigado por toda ajuda.

Agradeço a professora Mestra Cinthia Maradei por concordar em orientar

este trabalho, muito obrigado.

Agradeço aos professores, servidores e todos os funcionários da UEPA,

muito obrigado.

Agradeço à instituição UEPA por tudo que ofereceu nestes quatro anos,

muito obrigado.

Um muito obrigado .

Saulo Dias Santos

um cão apenas caminhando sozinho numa calçada quente em pleno verão parece ter mais poder do que dez mil deuses. Por que isso?

Charles Bukowski

RESUMO

PINHEIRO, André de Oliveira; SANTOS, Saulo Dias. Transformações geométricas com o GeoGebra, 2011. 83 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo

construir um conjunto de atividades para introduzir o conceito de transformações

lineares com exemplificações através das transformações geométricas, explorando

as conversões de registros de representação semiótica com ajuda do software

GeoGebra. Para tal intuito, foi realizado um levantamento bibliográfico de assuntos

relacionados com a temática abordada, a fim de oferecer maior compreensão sobre

a realidade de tais temas. No desenvolvimento do trabalho é feito um estudo sobre a

informática como tendência, mostrando os pontos positivos e negativos do uso de

suas ferramentas na educação matemática; seguido de uma breve explicação sobre

semiótica, para assim chegar na Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de

Representação Semiótica. Ainda na parte de referencial, são mostrados alguns

conceitos sobre transformações lineares, com foco nas geométricas que tem essa

característica. A partir destas teorias foram criadas atividades explorando vários

registros e conversões das representações destas transformações, a partir de

conceitos de geometria. Este trabalho poderá servir como ponto de partida para

novas pesquisas nesta teoria.

Palavras-Chave: Matemática. Educação Matemática. Transformações lineares. Transformações Geométricas. GeoGebra. Registros de Representação Semiótica.

ABSTRACT

PINHEIRO, André de Oliveira; SANTOS, Saulo Dias. Transformações geométricas com o GeoGebra, 2011. 83 f. Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011.

This paper presents the results of a study that aimed to build a set of activities to

introduce the concept of linear transformations with exemplifications through

geometric transformations, exploring conversions registers of semiotic representation

with the help of software GeoGebra. To this end, we conducted a literature review of

issues related to the theme addressed in order to provide greater understanding of

the reality of such themes. In developing the work is done a study on the computer

as trend, showing the positives and negatives of using their tools in mathematics

education, followed by a brief explanation of semiotics, thus arriving at Raymond

Duval Theory Records on Representation semiotics. Although part of the framework,

some concepts are shown on linear transformations, focusing on geometric that has

this feature. From these theories were created activities exploring various records

and conversions of representations of these transformations, from concepts of

geometry. This work could serve as a starting point for further research on this theory

Keywords: Mathematics. Mathematics Education. Linear transformations. Geometric

Transformations. GeoGebra. Records Semiotic Representation.

LISTA DE FIGURAS Figura 1: Tela de entrada do GeoGebra 24 Figura 2: Quadro de registro de representações por Duval 32 Figura 3: Esquema para diferenciação de tratamentos e conversões por

Duval 33

Figura 4: Reflexões em relação aos eixos coordenados 38 Figura 5: Exemplo de reflexão em torno do eixo 39 Figura 6: Exemplo de reflexão em torno do eixo 40 Figura 7: Exemplo de reflexão em torno da origem 41 Figura 8: Exemplo de dilatação uniforme 42 Figura 9: Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo 43 Figura 10: Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo 44

Figura 11: Exemplo de cisalhamento na direção do 46 Figura 12: Exemplo de rotação 48 Figura 13: Representação geométrica dos vetores , e 53 Figura 14: Representação geométrica dos vetores e e dos vetores ,

e

54

Figura 15: Representação dos vetores e 55 Figura 16: Representação dos vetores e e dos vetores e 56 Figura 17 Representação geométrica dos vetores , e

(contraexemplo) 57

Figura 18 Representação geométrica dos vetores e e dos vetores , e (contraexemplo)

Figura 19: Representação geométrica dos vetores , e 61 Figura 20: Construção da 1ª elipse 64 Figura 21: Construção da 2ª elipse (sobre a 1ª) 65 Figura 22: Reflexão em torno do eixo 66 Figura 23: Reflexão em torno do eixo 67 Figura 24: Reflexão em torno da origem 67 Figura 25: Inserção dos três vetores 70 Figura 26: O polígono descrito pelas extremidades e origem dos vetores 70 Figura 27: Efeito do cisalhamento 71 Figura 28: Efeito do cisalhamento 72 Figura 29: Efeito do cisalhamento 72 Figura 30: Primeiro vetor da atividade de rotação 75 Figura 31: Criação do 1º vetor da atividade 76 Figura 32: Modificações do no vetor (90º) 77 Figura 33: Modificações no vetor (180º) 77 Figura 34: Modificações no vetor (270º) 78

LISTA DE QUADROS Quadro 1: Quadro de Conversões da Atividade 1 51 Quadro 2: Quadro de Conversões da Atividade 2 59 Quadro 3: Quadro de Conversões da Atividade 3 62 Quadro 4: Quadro de Conversões da Atividade 4 68 Quadro 5: Quadro de Conversões da Atividade 5 74

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11

1.2 PROBLEMA 12

1.3 JUSTIFICATIVA 13

1.4 OBJETIVOS 16

1.4.1 Objetivo Geral 16

1.4.2 Objetivos Específicos 16

2 REFERENCIAL TEÓRICO 17

2.1 INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE MATEMÁTICA 17

2.1.1 Informática e educação matemática 17

2.1.2 O uso computador como ferramenta didática 18

2.1.3 O uso dos softwares educativos 21

2.1.4 GeoGebra 22

2.1.4.1 Pesquisas envolvendo o GeoGebra 24

2.2 SEMIÓTICA E MATEMÁTICA 27

2.2.1 O que é semiótica? 27

2.2.2 A Teoria de Duval 29

2.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES: ALGUNS CONCEITOS 35

2.3.1 Transformações Lineares 35

2.3.2 Definição 36

2.3.3 Transformações Geométricas 37

2.3.3.1 Reflexões 37

2.3.3.2 Dilatações e contrações 41

2.3.3.4 Cisalhamentos 45

2.3.3.5 Rotações 47

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 49

3.1 ATIVIDADE 1 49

3.1.1 Contraexemplo 56

3.2 ATIVIDADE 2 58

3.3 ATIVIDADE 3 61

3.4 ATIVIDADE 4 68

3.5 ATIVIDADE 5 73

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 79

REFERÊNCIAS 81

11

1 INTRODUÇÃO

A matemática, com o passar dos anos, vem se estabelecendo como uma

importante ciência para nossa realidade. O seu corpo de conhecimento abrange

diversas áreas, onde sua utilização se torna fundamental para a formalização,

desenvolvimento e avanço das mesmas.

Nesta perspectiva é necessário que seu processo de ensino esteja

relacionado não apenas com o puro conhecimento matemático, mas também com a

realidade do aluno, evidenciando as suas aplicações no cotidiano, proporcionando

assim um aprendizado mais significativo.

Um fato interessante que ocorre na aprendizagem matemática e que se

torna um grande problema é a impossibilidade de acessar um objeto matemático por

meio de um instrumento ou, mesmo, pela percepção por causa de sua natureza “não

real”. Com isso, é preciso uma relação de denotação, a qual é possível por um

sistema semiótico.

Compreende-se sobre sistema semiótico como um sistema de signos que

permite cumprir as funções de comunicação, tratamento e objetivação, não fazendo

referência somente às notações convencionais que, por sua vez, não constituem um

sistema. Podemos citar como exemplo de sistemas semióticos: a língua natural, o

sistema numérico, o algébrico e o gráfico.

Com vista a possibilitar tal aprendizagem utilizamos uma tendência que

vem se destacando na Educação Matemática: a utilização da informática aplicada ao

ensino de matemática. A escolha desta é devido a seus variados elementos

fundamentais direcionados para a educação, proporcionando assim subsídios

indispensáveis para a formação do individuo, haja vista que, com a modernidade e

os avanços tecnológicos, a sua presença é notada nos mais variados setores da

sociedade, entre eles a educação.

Devido a isto, entende-se que o computador deva servir realmente como

uma ferramenta didática onde os professores e alunos possam usufruir claramente

das suas vantagens, como o uso de softwares educacionais.

Com vista dos aspectos acima delineados, este trabalho encontra-se

assim organizado tendo como primeira seção esta introdução, na qual apresentamos

a descrição do problema que motivou e, consequentemente, nos proporcionou a

elaboração deste estudo.

12

Ainda nesta, é mostrada a justificativa que tem por base nossas

experiências em sala de aula com a disciplina Álgebra Linear, mais precisamente o

assunto transformações lineares. Além disso, ela também se baseia em trabalhos de

autores como Celestino (2000) e Karrer (2006), entre outros.

O objetivo geral e os objetivos específicos são apresentados na em

seguida, onde podemos observar o propósito desta pesquisa.

Com a seção 2 encontramos a fundamentação teórica utilizada na

pesquisa, a qual está dividida em três subseções. A primeira enfatiza a introdução

da informática no contexto educativo, assim como o uso de suas ferramentas

pedagógicas: o computador e os softwares educativos, além de apresentar uma

breve descrição do GeoGebra. A segunda focaliza basicamente nos aspectos

relevantes da Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de Representação

Semiótica. Já a terceira mostra a definição de transformações lineares, assim como

algumas transformações geométricas, que servem para exemplificar este conceito.

A seção 3 é composta pela proposta de ensino. Nela podemos encontrar

5 atividades, as quais exploramos vários registros e conversões, com as

representações de transformações lineares pelas transformações geométricas. Cada

atividade apresenta seus objetivos, assim como um passo a passo para resolvê-las

no GeoGebra.

As considerações finais desta pesquisa são encontradas na seção 4.

1.2 PROBLEMA

De acordo com a experiência de graduação obtida na Universidade do

Estado do Pará, e pela leitura da pesquisa de Karrer (2005) foi possível perceber

que o ensino de Transformações Lineares, na maioria das vezes é pautado apenas

em registros de representação discursivas como a língua materna e tratamento

numérico-algébrico e segregado em relação a outros conteúdos, como a Geometria,

o que se traduz nos alunos em grande dificuldade de aprendizado, por não poderem

recorrer à conhecimentos já obtidos e nem diferentes formas de visualização do

objeto.

Tem-se então que, de acordo com a Teoria dos registros de

representação semiótica de Duval (2003, p.15) “a compreensão em matemática

supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações semiótica”,

13

sendo que um trabalho de conversão destes registros é o que influencia

significativamente na compreensão do objeto. Ainda, no momento tecnológico em

que vivemos, o computador pode ser um grande aliado do professor, quando a

representação de um objeto se torna muito complexa para o quadro-negro.

Nesse contexto, qual a possibilidade de elaboração de uma sequência de

atividades que seria uma alternativa ao tratamento tradicional dado ao ensino

introdutório do conceito de Transformações Lineares?

1.3 JUSTIFICATIVA

Por empirismo, no 2º ano da graduação no curso de Licenciatura em

Matemática foi possível perceber que o ensino de Álgebra Linear, nesse caso mais

precisamente o objeto matemático chamado Transformações Lineares, é vinculado

apenas a perspectivas conceituais, no esquema clássico conceito-exemplo-exercício

(considerando que exemplo e exercício geralmente não são apresentados como

forma de aplicação ou problemas e sem perspectivas gráficas). Assim tem-se que o

ensino de transformações lineares se encerra em uma redoma de representações

semióticas discursivas em detrimento, ou inexistência, das representações

semióticas não discursivas. Estas percepções foram reforçadas pela leitura da

pesquisa de Karrer (2005), como já foi mencionado; sendo essa pesquisa, uma

proposta de ensino que articula Álgebra Linear, Geometria e os registros de

representação semiótica.

Nosso trabalho então está situado neste mesmo contexto, contudo se

caracteriza pela elaboração de um conjunto de atividades e não uma proposta de

ensino e, ainda, visa introduzir o conceito de transformações lineares com estas

atividades, diferentemente do trabalho de Karrer (2005) que trabalha sua proposta

de articulação com o conceito de transformações lineares já definido.

Ainda, no quesito motivação, foi identificada, por meio do estudo

realizado por Celestino (2000) sobre o estado da arte da Álgebra Linear, a

necessidade de pesquisas referentes ao ensino e à aprendizagem de Geometria

Analítica e Álgebra Linear. Sua pesquisa mostra uma alta taxa de reprovação

nessas disciplinas (geralmente acima de 30%) em uma amostra de universidades

brasileiras e ainda, segundo suas conclusões: “pesquisas em ensino-aprendizagem

de disciplinas de cursos superiores, no mundo todo, são relativamente recentes, e

14

no início se concentravam na área de cálculo diferencial e integral” (Celestino, 2000,

p.89).

O que nos leva, então, a acrescentar uma forma de explicitar a relação

intrínseca entre a Álgebra Linear e a Geometria, ou seja, para facilitar e enriquecer o

desenvolvimento deste estudo, será executada, através de uma sequência de

atividades, uma articulação entre os registros discursivos vistos em transformações

lineares e registros não discursivos (gráficos) de Geometria, tornando estes últimos

como uma espécie de pré-requisito para a modelagem, visualização e entendimento

do conceito do primeiro, para que haja a conversão entre estes registros e com isso

a efetiva compreensão do objeto; além de executar a mesma relação para mostrar

as peculiaridades das transformações lineares do tipo geométricas. Para tal, será

utilizado com ferramenta o software GeoGebra, pois de acordo com Papert (apud

OLIVEIRA, 2009), “o computador é um dispositivo técnico aberto que estimula os

docentes e discentes a impelir seus conhecimentos até o limite para realçar projetos

através de uma ilimitada variedade de ‘efeitos’”. Esses “efeitos” viriam a se

concretizar em representações que além de gráficas, seriam umas das poucas

formas se visualizar um objeto matemático, uma vez abstrato, e tendo como únicas

possibilidades de representação os registros semióticos.

Ainda em torno deste eixo, pode-se dizer que vivemos em uma sociedade

na qual os homens são direta ou indiretamente dependentes de tecnologia,

sobretudo de recursos computacionais. Essa dependência pode vir a ser útil se bem

direcionada, ao utilizarmos o computador para aperfeiçoarmos nossas atividades

(rotineiras ou não) intelectuais. Sendo assim, a ideia para tal pesquisa, tem como

uma de suas sementes também, o intenso interesse de utilizar uma ferramenta

computacional para o ensino da matemática, uma vez que a informática vem

desenvolvendo um papel bastante importante devido a era digital que se instala

mundialmente, e como uma tendência matemática, ela se torna uma importante

ferramenta de ensino. Karrer (2006) afirma em relação à interação entre o meio

computacional e o meio conceitual matemático:

A fim de que o estudante interaja com o computador para a aprendizagem de um conceito matemático, é necessário que o mesmo domine o sistema formal inerente ao software que está utilizando. Os autores afirmam que o uso do computador no ensino ainda é modesto, mas o impacto epistemológico ocorrido nas últimas décadas é muito significativo, tendo em vista que não se projetava o fato do computador tornar possível o estabelecimento de manipulações diretas de objetos matemáticos e relações. (Karrer, 2006, p. 35)

15

Para construirmos uma base, no que diz respeito a alicerce, mais sólida a

pesquisa e assim engendrá-la de forma mais eficaz, buscamos aliar teorias ao uso

de ferramentas computacionais, a fim de proporcionar maior credibilidade à pesquisa

e aumentar seu potencial. Nesse sentido a teoria de registros de representação

semiótica de Duval (2005) e os trabalhos de articulação entre Álgebra Linear e

semiótica de Karrer (2006) e Karrer e Jahn (2004) vieram a suprir essa necessidade

de referencial.

A ligação primordial entre o contexto computacional e o contexto inerente

à teoria de Duval, se dá em primeiro lugar, de acordo com perspectivas de Duval

(2005, p. 14) de que “os objetos matemáticos, começando pelos números, não são

objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda instrumentos”; o que

nos leva a trabalhar apenas com suas representações semióticas. A pesquisa de

Karrer e Jahn (2004) com livros didáticos de Álgebra Linear permite observar ainda o

fato de que nestes existem “deficiências principalmente no que se refere à utilização

do registro gráfico [não discursivo] e às demais conversões entre esse e os demais

registros” (KARRER e JAHN, 2004, p. 1). Analisando estes estudos, pode-se

perceber então dois problemas relacionados a essa falta de registros de

representação de natureza gráfica:

1. A deficiência de concretização dos conceitos abstratos, os quais

poderiam ser mais palpáveis com a ajuda de uma visualização

gráfica.

2. A impossibilidade de trabalhar com a conversão entre registros

discursivos e não discursivos, o que é conflitante, pois a abordagem

cognitiva principal para a assimilação de um conceito seria a

conversão entre registros de natureza diferenciada.

Sendo assim, o uso do software vem a suprir essa impossibilidade

gráfica, e assim se pode articular com sucesso, registros discursivos como a

linguagem simbólica e registros não discursivos através do gráfico produzido pelo

software.

16

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 OBJETIVO GERAL

Construir um conjunto de atividades para a introdução do conceito de

ensino de transformações lineares, que trabalhe os mais variados registros de

representação, por meio das transformações geométricas e do GeoGebra.

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Identificar os registros de representação semiótica utilizados na aplicação;

Verificar as conversões e tratamentos entre os registros identificados;

Facilitar o processo de ensino-aprendizagem do conceito do objeto

matemático transformações lineares e transformações geométricas.

17

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO DE MATEMÁTICA

2.1.1 Informática e educação matemática

A informática é uma tendência que vem ganhando espaço nas últimas

duas décadas na educação em geral. Mas é na comunidade de educação

matemática onde cada vez mais se tem discutido o uso da informática para ensinar

tal disciplina.

“[...] Talvez ainda seja possível lembrar dos discursos sobre o perigo que a utilização da informática poderia trazer para a aprendizagem dos alunos. Um deles era o de que o aluno iria só apertar teclas e obedecer a orientação dada pela máquina. Isso contribuiria ainda mais para torná-lo um mero repetidor de tarefas. [...]” (BORBA e PENTEADO, 2003, p.11)

Ainda em Borba e Penteado (2003, p.11) relatam-se comentários de

palestras e eventos acadêmicos, principalmente entre os educadores de

matemática, onde muitos destes concebem a matemática como a matriz do

pensamento lógico e se o computador passa a executar esse raciocínio, como

consequência o aluno deixa de utilizar a sua capacidade de raciocinar e acaba por

não desenvolver sua inteligência. No entanto, não é com esta perspectiva que

educadores devem visualizar esta tendência.

Com o desenvolvimento das Tecnologias da Informação e Comunicação

(TICs) a sociedade vem passando por uma transformação onde a interação com a

outra pessoa rompe barreiras. Desse mesmo modo, a informática aparece para

romper barreiras na forma de se ensinar, proporcionando assim uma metodologia

inovadora e interativa, capaz de fazer modificações e obter resultados

instantaneamente, gerando vários benefícios ao processo de ensino-aprendizagem.

Vejamos o seguinte trecho:

“A informática, atualmente, é considerada uma das componentes tecnológicas mais importantes para a efetivação da aprendizagem matemática no mundo moderno. Sua relação com a Educação matemática se estabelece a partir das perspectivas metodológicas atribuídas à informática como meio de superação de alguns obstáculos encontrados por professores e estudantes no processo ensino-aprendizagem.” (MENDES, 2008, p.61).

Em outras palavras, pensar na informática como um recurso pedagógico,

é pensá-la com uma ferramenta que auxilia e propicia um aumento na eficiência e na

18

qualidade da aprendizagem, direcionando-a para buscar novas estratégias para a

produção do conhecimento e pelo auxílio na busca de superação de problemas na

aprendizagem.

Cada vez mais o ambiente de aprendizagem informatizado ganha espaço

como possibilidade de metodologia de ensino. Porém, é necessário que se tenha

clareza de objetivos e metodologia a ser desenvolvida, exigindo empenho e tempo

para a preparação das aulas. Além disso, o uso da informática poderá auxiliar na

compreensão e propiciar novas formas de percepção a determinados conteúdos que

não poderiam ser desenvolvidas apenas com as tradicionais mídias.

“A informática deverá assumir duplo papel na escola. Primeiro, deverá ser uma ferramenta para permitir a comunicação de profissionais da escola e consultores ou pesquisadores externos, permitindo a presença virtual desse sistema de suporte na escola. Segundo, a informática poderá ser usada para apoiar a realização de uma pedagogia que proporcione a formação dos alunos, possibilitando o desenvolvimento de habilidades que serão fundamentais na sociedade do conhecimento.” (VALENTE, 1999, p.36-37)

Por meio da informática os alunos desenvolvem competências e

habilidades de visualização, argumentação lógica, compreensão de formas e

relações de propriedades, as quais são imprescindíveis para criação de percepção,

interpretação e compreensão de seu espaço físico, além de desenvolver um

raciocínio visual.

É importante salientarmos que só a inclusão da informática nas

instituições de ensino não é indicação de mudança. O aluno usando o computador e

realizando tarefas não quer dizer que compreendeu determinado assunto.

“Do mesmo modo que não é o objeto que leva à compreensão, não é o computador que permite ao aluno entender ou não um determinado conceito. A compreensão é fruto de como o computador é utilizado e de como o aluno está sendo desafiado na atividade de uso desse recurso.” (VALENTE, 1999, p.37)

Uma mudança como essa implica em um desafio enorme, e não será só

na compra de equipamentos a solução do problema, e sim em uma proposta

pedagógica eficaz e que preserve a união entre o professor, o aluno, a tecnologia e

o conhecimento.

2.1.2 O uso computador como ferramenta didática

Como mencionamos anteriormente, com o passar dos anos, assim como

a informática, o próprio computador tem sido alvo de grandes discussões pela

19

comunidade cientifica. Isso significa dizer que o uso do computador na sala de aula

e em outros setores das instituições de ensino está sendo questionados a fim de

propiciar uma positiva interação entre os usuários que se utilizam desta ferramenta

digital.

O computador no ensino de matemática ou ainda no processo de ensino -

aprendizagem é hoje conduzida a inúmeros resultados, estes baseados nas

propostas que muito pesquisadores trazem a comunidade como um todo em vários

eventos, congressos, semanas acadêmicas, enfim, nas grandes reuniões cientificas

que ocorrem em todo o país.

“O estudo do uso do computador no ensino de Matemática ou como ferramenta de investigação cognitiva ou como maneira de renovar os cursos tradicionais, tem se firmado como uma das áreas mais ativas e relevantes da Educação Matemática. Existem, atualmente, inúmeros grupos estudando o uso de computadores no ensino de Matemática. [...]” (MENDES, 2008, p.61)

A utilização desta ferramenta propõe uma nova realidade para a

educação, na qual o ensino tradicional perde espaço para uma aula mais interativa e

motivacional, onde o aluno se depara com um ambiente de uma matemática

imaginária diferente da qual está acostumado a ver no seu cotidiano.

Outro ponto interessante no uso do computador é a manifestação do

“erro” de uma forma menos traumática que as tradicionais (normalmente corrigidos,

grifados e reescritos em vermelho). O erro nesta metodologia é um desafio que

propõe ao sujeito a possibilidade de buscar novas descobertas, causando menos

danos na sua busca pelo conhecimento.

Segundo Mendes (2008, p.61) “o computador exerce um papel decisivo

no ensino da matemática nos dias atuais em virtude das possibilidades de

construção de modelos virtuais para a matemática imaginária”. No entanto, ainda

com este autor, ao utilizar tal ferramenta poderemos ter vantagens, assim como

também teremos riscos, conforme os modos de utilizá-lo e com base em cada

proposta pedagógica em que está apoiado (MENDES, 2008, p.61).

Assim como há vantagens na sua utilização, devido a “fácil” manipulação

de fórmulas e figuras geométricas e, também, a informatização que ocorre na

sociedade, há riscos para os professores quando não se apóiam numa metodologia

eficiente, tendo prejuízo para o prosseguimento da aula.

“Consequentemente, o professor deve estar preparado para compreender o pensamento de seu aluno na resolução do problema no ambiente informatizado e as suas formas de comunicação com a máquina, bem como

20

o papel assumido pelo computador no processo didático.” (KARRER, 2006, p.37)

Sobre as discussões feitas sobre o computador no âmbito educacional,

ainda há argumentos e questionamentos contrários ao seu uso em sala. Estes

questionamentos podem ser desde sentimentos dúbios advindos de professores que

por ventura pensem que o computador ocupará seus lugares e que acabarão sendo

dispensáveis ou ainda, o entendimento de que esta ferramenta vem para atrapalhar

suas vidas e dificultam em aceitar e empregar uma metodologia que eles nem

mesmos vivenciaram.

O que o educador deve ser capaz de entender é que, sim, o computador

é realmente capaz de armazenar muitas informações e organizá-las segundo seus

parâmetros, sendo até capaz de apresentá-las seguindo uma programação pré-

definida, contudo não é capaz de orientar um raciocínio ou conduzir uma discussão.

Nem é capaz de relacionar informações para as quais não foi programado. Assim,

um computador nunca poderá ocupar o lugar de um professor que não se limite

apenas a transmitir informações. A utilização do computador no ambiente escolar é

feita para auxiliar o processo de aprendizagem, mas não para conduzi-lo.

E ainda, a introdução da informática na educação propõe aos

profissionais uma nova postura de se empenhar e prosseguir com uma formação

continuada para sua constante atualização profissional, este sim é o maior desafio a

ser enfrentado, pois muitos professores se formam e não continuam sua educação.

Segundo Borba e Penteado (2003, p.15) “o computador pode ser uma

problema a mais na vida já atribulada do professor, mas pode também desencadear

o surgimento de novas possibilidades para o seu desenvolvimento como um

profissional da educação”.

[...] O professor deverá incentivar o processo de melhorias contínuas e ter consciência de que a construção do conhecimento se dá por meio do processo de depurar o conhecimento que o aluno já dispõe. Para tanto, o professor deverá conhecer os seus alunos, incentivando a reflexão e a crítica e permitindo que eles passem a identificar os próprios problemas na sua formação, buscando soluções para o mesmo. Caberá ao professor saber desempenhar um papel de desafiador, mantendo vivo o interesse do aluno, e incentivando relações sociais, de modo que os alunos possam aprender uns com os outros e saber como trabalhar em grupo. Além disso, o professor deverá servir como modelo de aprendiz e ter um profundo conhecimento dos pressupostos teóricos que embasam os processos de construção de conhecimento e das tecnologias que podem facilitar esses processos. (VALENTE, 1999, p.35)

21

Ainda com Valente (1999, p.35) “o professor deixará de ser o de total

entregador da informação para ser o facilitador, supervisor, consultor do aluno no

processo de resolver o seu problema”. Para isto, é imprescindível que o professor

perceba e saiba a importância dos recursos computacionais para o bom

desempenho e eficácia do seu trabalho.

O computador é uma ferramenta poderosa quando utilizada com uma

proposta pedagógica concreta e coerente, mas deve ser usada com cautela, pois

não resolverá todos os problemas, “diferentemente do que acontece quando se trata

de apontar os perigos, nem sempre aparece de forma explícita para qual problema o

computador é a solução” (BORBA e PENTEADO, 2003, p.11), pois como as outras

mídias, o uso da ferramenta computacional pode tornar uma aula desinteressante e

monótona

2.1.3 O uso dos softwares educativos

Com a introdução do computador na educação como recurso pedagógico,

houve a criação de softwares específicos para auxiliar no processo de construção do

conhecimento dos alunos.

Para este software damos o nome de software educativo que serviu

como mais um instrumento para agir junto com o computador no processo ensino-

aprendizagem. O que confere a um software o caráter educacional é a sua aplicação

no processo de ensino - aprendizagem, neste sentido um software pode ser

considerado educacional quando adequadamente utilizado em uma relação de

ensino – aprendizagem.

Software aplicativo, nesta categoria entram aqueles que não foram

desenvolvidos com finalidades educativas, mas podem ser utilizados para

este fim. São os programas de uso geral no mercado e utilizados em

contexto de ensino, como por exemplo, o banco de dados, processadores

de texto, planilhas eletrônicas e editores gráficos. [...]

Software educativo, o objetivo destes programas é favorecer os processos

de ensino – aprendizagem, são desenvolvidos especialmente para construir

o conhecimento relativo a um conteúdo didático. Entre as características

principais de um software educativo estão o seu caráter didático com a

finalidade de levar o aluno/usuário a construir o conhecimento em uma

determinada área, sua possibilidade de interação, mediada pelo professor,

entre usuário e programa e sua facilidade de uso, permitido que qualquer

usuário possa desenvolver suas atividades com facilidade. (OLIVEIRA apud

JUCÁ, 2006, p.89)

22

Como observamos neste trecho, o uso do software educacional em sala

de aula aparece como uma ferramenta que podemos explorar e expandir nas

instituições de ensino. Contudo a sua utilização no processo de ensino, geralmente,

segue duas abordagens distintas: a abordagem instrucionista e a abordagem

construcionista.

As primeiras aplicações pedagógicas do computador foram no sentido

que o computador fosse usado como uma máquina de ensinar e empregava o

conceito de instrução programada. Para isto, é empregada a abordagem

educacional instrucionista, onde sua principal característica é a informatização dos

meios tradicionais de ensino, ou seja, o computador passa as informações

necessárias a alunos passivos. Assim, o professor e o computador continuam sendo

detentores do conhecimento. Dentre os softwares educativos que se encaixam nesta

abordagem, encontram-se os tutoriais, os de exercício e prática, os jogos e as

simulações.

O termo construcionismo foi utilizado por Seymor Papert, na década de

80, para descrever a construção do conhecimento por meio da realização de uma

atividade no computador. Ao contrário da abordagem instrucionista, em que o

professor assume o papel de transmissor de informações e o aluno fica passivo no

processo de aprendizagem, no ambiente construtivista, o papel do professor será de

facilitador da aprendizagem do aluno. Nesta abordagem o computador é uma

ferramenta que ajuda na resolução de problemas e auxilia em diversas tarefas.

Assim, professor e máquina constroem os conhecimentos com os alunos,

proporcionando criatividade e capacidade de interagir, questionar, criticar e dar

soluções aos problemas propostos. Com isso, assumirão uma postura mais critica

frente à sociedade e um olhar mais atento quanto às mudanças de parâmetros. Os

softwares educativos que se adéquam a esta abordagem são os aplicativos, os de

resolução de problemas, de produção de música, além de programas de controle de

processo e a utilização do computador como comunicador.

2.1.4 GeoGebra

O Software GeoGebra é um programa de computador de geometria

dinâmica que foi criado por Marcus Hohenwarter, da Universidade de Salzburg na

Áustria, em 2001. O software é livre e gratuito sob a Licença Pública Geral (GPL) e

23

está escrito em Java, o que lhe permite estar disponível em várias plataformas

(Microsoft Windows, Linux, etc.).

O GeoGebra é uma ferramenta computacional educacional que

proporciona ao educador um grande aparato de opções afim de dinamizar o ensino

e propor novas possibilidades metodológicas. Esse software é caracterizado por

trabalhar com geometria dinâmica.

Entende-se por softwares de Geometria Dinâmica aqueles capazes de construir e manipular objetos geométricos na tela do computador [...] Softwares deste tipo possibilitam trabalhar com Geometria Euclidiana Plana, Geometria Não-Euclidiana e Geometria Analítica, sendo possível também tratar de alguns assuntos não-geométricos, como funções, por exemplo. (SILVA, 2009, p. 5).

O programa reune os conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo,

podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino, permitindo realizar construções

de pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas, assim como funções e alterar

todos esses objetos de forma dinâmica após a construção estar finalizada. Por outro

lado, podem ser incluídas equações e coordenadas diretamente. Desse modo, o

GeoGebra é capaz de lidar com variáveis para números, vetores e pontos, derivar e

integrar funções e ainda oferece comandos para encontrar raízes e pontos extremos

de uma função. Com isso, o programa reúne as ferramentas tradicionais de

Geometria, com outras mais adequadas à Álgebra e ao Cálculo. Assim tem a

vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes

de um mesmo objeto que interagem entre si: a sua representação geométrica e a

sua representação algébrica.

O software proporciona tanto para os alunos como os professores, nos

laboratórios das escolas, utilizar recursos que antes eram considerados de grande

dificuldade na construção e na demonstração de figuras gráficas e geometrias. Este

programa possui recursos em duas e em três dimensões e podem ser encontrados

em: Português, Inglês, Espanhol, Alemão, Frances, Catalão, Italiano, etc. Logo

abaixo observamos a tela de entrada do GeoGebra.

24

Figura 1 – Tela de entrada do GeoGebra Fonte: Imagem produzida pelos autores.

2.1.4.1 Pesquisas envolvendo o GeoGebra

De acordo com estas perspectivas, várias instituições têm trabalhado em

produções científicas envolvendo o GeoGebra, algumas delas discutiremos aqui.

Primeiramente temos que levar em consideração o International

GeoGebra Institute (IGI). Este instituto é uma rede formada de vários institutos que

são implantados afim de desenvolverem pesquisas relacionadas ao GeoGebra,

como meio ou fim. Segundo as palavras do site oficial do GeoGebra

O International GeoGebra Institute (IGI) é uma rede crescente de organizações sem fins lucrativos em todo o mundo. Nosso locais Institutos GeoGebra participar professores, estudantes, desenvolvedores de software e pesquisadores de todo o mundo para se envolver nas seguintes atividades:

projeto de ensino gratuito e materiais de desenvolvimento

profissional;

face-a-face e oficinas on-line para professores;

organização de competições estudantis;

suporte on-line para usuários GeoGebra;

desenvolvimento de software para o GeoGebra;

tradução da documentação GeoGebra;

projetos de pesquisa sobre GeoGebra e IGI;

apresentações em congressos nacionais e internacionais;

25

publicações em revistas.

(Em: <http://www.GeoGebra.org/cms/organization>, tradução nossa.

Acesso em: 18/11/2011)

No Brasil temos o Instituto GeoGebra de São Paulo, sediado na

Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo (PUC-SP) e Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro, sediado no Instituto de

Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense.

No site oficial do Instituto GeoGebra de São Paulo são disponibilizadas as

pesquisas realizadas por alunos e professores com a utilização do software. Esse

instituto vem desenvolvendo pesquisas voltadas ao ensino de diversos conteúdos

dos ensinos Fundamental e Médio e uma voltada ao ensino de conteúdo superior.

Os conteúdos são variados: inequações, função afim, função quadrática,

função logarítmica, função trigonométrica, razões trigonométricas no triângulo

retângulo, números complexos, simetria, e ainda, relacionado ao Ensino Superior,

temos o cálculo diferencial. Com isso, podemos perceber as inúmeras possibilidades

e ampla adequação de conteúdos, os quais podemos trabalhar através de

metodologias e atividades no GeoGebra.

Dentre estas pesquisas a mais relevante à nossa pesquisa seria a

pesquisa de Evangelista (2011) a qual trabalha com transformações no plano, no

âmbito do ensino Fundamental e embasada no contexto da Etnomatemática.

O Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro tem como estudo, a criação de

tutoriais1 sobre o GeoGebra e, ainda, pequenos applets2 com este programa.

Applets

são programas desenvolvidos em linguagem de programação Java®, que podem ser incluídos em códigos HTML (DEITEL; DEITEL, 2003). Estes recursos, em geral, visam adicionar interatividade a aplicações Web. Na Matemática, o uso de applets permite experimentações e investigações, de forma interativa, e possibilita estabelecer conjecturas sobre determinado conceito, de modo que o mesmo possa ser construído de forma consistente (SANTOS, 2008). (apud, BARCELOS, BATISTA e MOREIRA, p.1 2008)

Um applet interessante seria o encontrado na página A Geometria das

Transformações Lineares do Plano no Plano3 e sugerido pelo Profº Dr. Humberto

José Bortolossi, coordenador do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro. O applet tem

com função a expansão/contração de um quadrado e de um círculo através da

inserção de valores em campos de entrada ou de controles deslizantes, ficando a

1 Encontrados em < http://www.geogebra.im-uff.mat.br/vtt.html>

2 Encontrados em < http://www.professores.uff.br/hjbortol/>

3 Encontrado em <http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2011.1/aal/tl2x2/tl2x2-html/tl2x2-br.html>

26

cargo do usuário essa inserção, o que possibilita interatividade e possível

entendimento das mudanças ocorridas em objetos devido mudanças ocorridas em

coordenadas através de Transformações Lineares.

Além dos dois institutos de pesquisas, temos outros estudos

independentes de variadas universidades e institutos pelo Brasil, tais quais nos

despertaram alguma atenção.

Temos o trabalho desenvolvido pelos discentes da Universidade Federal

do Rio Grande do Sul, Cunha e Moraes (2008) o qual utiliza Transformações

Geométricas Euclidianas (algumas delas são exemplos de Transformações Lineares

Planas, contudo não mostradas neste âmbito) para o ensino do conceito de funções,

utilizando o GeoGebra; o trabalho de Barcelos, Batista e Moreira (2010) que tem por

objetivo aprenda a gerar ou modificar applets no GeoGebra.

E na região Norte do país, mais precisamente no Pará, temos alguns

trabalhos que valem à pena seres citados, como o trabalho de Costa e Tenório

(2011) que nos premia com uma análise do GeoGebra como ferramenta didática, e

ainda apresenta propostas metodológicas, experimentadas por eles em uma escola

da rede pública de ensino da cidade de Belém. No mesmo trabalho também

executam a mesma pesquisa com o software WxMaxima, contudo este não

interessa ao nosso estudo, no momento; o trabalho de Fontes e Neri Jr. (2011) que

nos permite perceber a sutil, porém conveniente, diferença entre construir e

desenhar uma figura no software GeoGebra.

Percebemos então, com toda essa pesquisa, que o GeoGebra vem sendo

amplamente pesquisado e inserido em situações corriqueiras ao contexto da relação

ensino-aprendizagem a qual se encontra o professor de matemática, o que é

enriquecedor e possibilita a este professor novos aparatos de pesquisa e utilização

para suas metodologias.

Contudo, quando falamos deste professor, estamos nos referindo ao

professor de matemática do ensino básico. Não conseguimos, infelizmente encontrar

alguma pesquisa que utilize o GeoGebra voltado para o ensino de conteúdos do

ensino superior. O que reforça o que frisamos anteriormente, sobre o fato do ensino

superior necessitar de aparatos gráficos para visualização de seus conceitos

matemáticos, uma vez que estes são considerados mais complexos e abstratos do

que os do ensino básico.

27

2.2 SEMIÓTICA E MATEMÁTICA

2.2.1 O que é semiótica?

Antes de qualquer discussão sobre as perspectivas da semiótica no

contexto matemático, a qual temos por principal referencial a teoria dos registros de

representação semiótica exposta por Raymond Duval em seu livro Sémiosis et

Pensée Humaine, deve-se, de imediato partir à busca do significado do termo

semiótica, que é considerada uma ciência na verdade, e toda etimologia envolvendo

este termo.

O objetivo de um conhecimento mais apurado sobre este termo está no

fato de possibilitar a familiarização à ideia de Duval e com a relação entre esta

ciência e a matemática.

A semiótica é uma ciência relativamente nova, “é uma ciência, um

território do saber e do conhecimento ainda não sedimentado, indagações e

investigações em progresso” (SANTAELLA, 1983, p.1) e por ter uma grande

abrangência de relações como qualquer ciência, seu sentido pode não parecer

prontamente definido e objetivo.

Em uma busca imediata por um conceito de semiótica, uma sentença

encontrada em Santaella(1983, p.1) sintetiza bastante a natureza desta ciência: “é a

ciência de toda e qualquer linguagem”. Apesar de sintetizada, esta sentença deixa

claro qual o objeto de estudo desta. Assim estamos falando do sentido de

linguagem, não apenas da língua materna a qual geralmente é associada a

linguagem, e sim a toda as formas de comunicação que se pode utilizar; logo, fica

perceptível a amplitude alcançada por estas ciência em seu estudo, e como ela pode

ser empregada nas mais diversas ciências, pois abrange e focaliza “todas as

linguagens, sejam elas verbais – como é a língua materna – ou não verbais, como

são a Fotografia, a Pintura, a Arquitetura e, respeitadas algumas condições, a

Matemática” (SANTOS, 2011, p.18,19).

Atualmente percebe-se o poder das linguagens não-verbais ante a

linguagem verbal ao nosso redor. Toda informação recebida através da TV, conduta

de grupos sociais, moda e tecnologias da informação, também é uma intensa forma

de aquisição de conhecimento, além ou em conjunto com a linguagem verbal.

28

De dois séculos para cá (pós-revolução industrial), as invenções de máquinas capazes de produzir, armazenar e difundir linguagens (a fotografia, o cinema, os meios de impressão gráfica, o rádio, a TV, as fitas magnéticas etc.) povoaram nosso cotidiano com mensagens e informações que nos espreitam e nos esperam. Para termos uma idéia das transmutações que estão se operando no mundo da linguagem, basta lembrar que, ao simples apertar de botões, imagens, sons, palavras (a novela das 8, um jogo de futebol, um debate político...) invadem nossa casa e a ela chegam mais ou menos do mesmo modo que chegam a água, o gás ou a luz. (SANTAELLA, 1983, p.2)

Logo percebe-se o quanto a linguagem é um conceito complexo e que

nos remete à formas socializantes de comunicação, tendo para isso que haver

algum significado nesta comunicação. Dito isto, nos deparamos com algo próximo

de nós, educadores: conhecimento, entendimento e cognição.

Para que ocorra o significado em uma comunicação, é imprescindível que

exista algum tipo de linguagem e esta seja satisfatória. Na semiótica, os signos,

exercem este papel.

A concepção de Charles Sanders Peirce, considerado como o pai da

semiótica, reorganizada por Silva (s.d., p.1), diz que signo “é qualquer coisa que

representa alguma outra coisa para alguém”. Nesse sentido pode-se considerar que

signos são as formas de representação de qualquer mensagem, logo, as linguagens

propriamente ditas.

Ainda falando de signos temos que signo é um elemento que se

correlacionam dois outros elementos, chamados de objeto e interpretante. Esta

relação pode ser caracterizada como sendo uma tríade, intradependente, tendo o

signo sendo o meio que representa a mensagem, conhecimento, etc; o objeto é o

que é representado e o interpretante é, por sua vez, o que surge na mente do

intérprete, ao perceber o signo, fazendo com que ele interprete de sua maneira

peculiar, podendo ser a descrição objetiva do signo ou não. (SILVA, s.d., p.2)

Os signos podem ser de três tipos: simbólicos (símbolos), icônicos

(ícones) e indiciais (índices).

Os signos simbólicos são dados por convenção entre os indivíduos e

representam de forma arbitrária os objetos; eles não têm uma relação direta com a

visualização do objeto que se quer representar, mas ainda sim é aceito como

representação. Temos as letras, palavras e os símbolos matemáticos nesse caso.

(SILVA, s.d, p.4; SANTOS, 2011, p.19).

Os signos são icônicos quando guardam semelhança ou analogia com

seu o objeto que se quer representar. Possuem uma relação imitativa com este

29

objeto; sua representação é dada pela semelhança, pela lembrança imediata.

Podemos enquadrar nessa classificação, como por exemplo, uma foto para

representar uma pessoa. (SILVA, s.d., p.4; SANTOS, 2011, p.19).

Já os signos indiciais teriam essa mesma relação direta com o objeto que

se quer representar, mas não de maneira imitativa e sim de maneira associativa; o

signo nos faz perceber o objeto por que nos foi imposto isso e nem porque são

semelhantes visualmente e sim porque são relacionados e temos conhecimento

disto; o signo carrega indícios do objeto que se quer representar. Por exemplo,

nuvens negras no céu as quais nos fazerm entender que uma chuva está por vir.

(SILVA, s.d, p.5; SANTOS, 2011, p.19).

Sendo assim, de acordo com as ideias referidas, um conceito para

semiótica um pouco mais profundo e satisfatório para estabelecer a relação entre

semiótica e educação (como busca do conhecimento), é encontrado através de uma

síntese de Santaella (1983, p.2):

A Semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção designificação e de sentido. [...] Nos fenômenos, sejam eles quais forem — uma nesga de luz ou um teorema matemático, um lamento de dor ou uma idéia abstrata da ciência —, a Semiótica busca divisar e deslindar seu ser de linguagem, isto é, sua ação de signo. Tão só e apenas. E isso já é muito. (SANTAELLA, 1983, p.2,3).

Assim percebe-se como a semiótica, utilizando o mote “teorema

matemático”, pode se relacionar com a atividade cognitiva e o processo de ensino-

aprendizagem, uma vez que ela busca dissecar toda a natureza das representações

de um objeto, podendo muito bem ser um objeto matemático, analisando assim, todo

o processo de formação do significado deste objeto e com isso, de formação algum

conhecimento. Disto, é perceptível a luz, em semiótica, que deu origem à teoria de

Duval, a teoria dos registros de representação semiótica, a qual utiliza a semiótica

para mostrar uma forma de se ter um aprendizado eficaz, em matemática. Este foi o

maior referencial o qual deu ímpeto a este trabalho.

2.2.2 A Teoria de Duval

Os pontos convergentes entre a semiótica e a atividade cognitiva, são os

signos (sejam símbolos, índices ou ícones) os quais para semiótica são um dos

objetos de estudo e para a atividade cognitiva podem vir a ser (se considerarmos os

30

conceitos adotados) o que busca representar o objeto que se quer representar para

formar o conhecimento. A representação tem então, uma importância primordial à

atividade cognitiva, sendo esta praticamente dependente da primeira,

porque para conhecer é preciso ter acesso aos objetos do conhecimento - problema fundamental da aquisição do conhecimento. Logo, a representação será o modo pelo qual se toma possível a visibilidade, a transparência e, assim, a ordenação dos objetos do conhecimento. A representação como suporte que possibilita a mediação entre dois pólos: o do sujeito e o do objeto. (FLORES, 2006, p.6).

Tudo que o homem percebe ao seu redor, observa, sente, toca, ouve é

uma linguagem do ambiente ao seu redor em relação à ele; tudo pode ser um signo

representando os aspectos da realidade.

Diante de qualquer fenômeno, isto é, para conhecer e compreender qualquer coisa, a consciência produz um signo, ou seja, um pensamento como mediação irrecusável entre nós e os fenômenos. E isto, já ao nível do que chamamos de percepção. Perceber não é senão traduzir um objeto de percepção em um julgamento de percepção, ou melhor, é interpor uma camada interpretativa entre a consciência e o que é percebido. Nessa medida, o simples ato de olhar já está carregado de interpretação, visto que é sempre o resultado de uma elaboração cognitiva, fruto de uma mediação sígnica que possibilita nossa orientação no espaço por um reconhecimento e assentimento diante das coisas que só o signo permite. O homem só conhece o mundo porque, de alguma forma, o representa e só interpreta essa representação numa outra representação [...] (SANTAELLA, 1983 p.11)

Assim Raymond Duval embasa sua teoria de busca da otimização da

cognição, na essencialidade das representações.

Raymond Duval é um filósofo e psicólogo de formação. O principal foco

de suas pesquisas é a Psicologia Cognitiva, pesquisas tais que resultaram em sua

principal obra Sémiosis et penseé humaine. Nesta obra ele desenvolveu um modelo

de funcionamento cognitivo do pensamento, em termos de registro de representação

semiótica. (MACHADO, 2003, p.7).

Estes registros de representação nada mais são do que os signos

estudados pela semiótica, pois, como mencionamos são as diversas linguagens e

formas de se representar um objeto.

O foco de sua teoria foi funcionamento cognitivo em matemática, esta a

qual sabemos esta repleta de representações e dos mais variados tipos: símbolos,

gráficos, linguagem escrita, linguagem oral, etc.

Se por um lado a universalização de símbolos ajudou a Matemática a se desenvolver de forma acelerada nos últimos cinco séculos, a compreensão dos conceitos matemáticos por meio dessa simbologia tem sido um desafio para os alunos da Educação Básica da atualidade.

31

Foi este fenômeno que motivou Duval a estudar o fenômeno da compreensão em Matemática sob uma “abordagem cognitiva”. (SANTOS, 2011, p.22)

Essa abordagem cognitiva e a questão da aprendizagem em matemática

se relacionam diretamente com os processos definidos pelo autor como semiosis e

noesis. “Entende-se por semiosis a apreensão ou produção de uma representação

semiótica, e por noesis, os atos cognitivos como a apreensão conceitual de um

objeto [...]” (KARRER, 2006, p.17) formando assim uma relação intrínseca entre

estes conceitos e o objeto; análoga a tríade mencionada anteriormente que

relaciona signo, objeto e interpretante.

Essa mesma relação se faz presente porque, o último (noesis) não pode

existir sem o primeiro (semiosis), não há como adquirir um conceito relacionado a

um objeto sem recorrer aos seus sistemas de representação. (KARRER, 2006,

p.17).

Assim temos que a noesis ou o raciocínio e a aprendizagem matemática

está diretamente ligada as diversas representações semióticas existentes em

matemática, uma vez que toda a visualização matemática se alicerça nessas

representações. Isso porque, considerando Flores (2006, p.2) “os objetos

matemáticos, não sendo acessíveis pela percepção, só podem sê-lo por sua

representação, lembrando que um mesmo objeto matemático poderá ter

representações diferentes, dependendo da necessidade e do uso”, ou seja, os

objetos de estudo da matemática, os valores e conjuntos numéricos, as grandezas,

as operações e relações, etc., não são palpáveis e observáveis como os das demais

ciências, como a física ou a biologia, tendo que se valer única e exclusivamente dos

registros de representação para se fazer visível. Como saberíamos como expressar

e ter uma certa visualização do infinito sem a língua materna para explicar (um dos

registros de representação) ou o símbolo “∞” (outro registro) para manipular?

Esta natureza ímpar da matemática como ciência permite ainda a Duval

(2003) diferenciar a atividade cognitiva neste domínio do conhecimento dos outros

domínios através das duas características seguintes já comentadas, contudo, agora

objetivamente em síntese: a importância primordial das representações semióticas e

a grande variedade destas representações utilizadas em matemática.

A percepção da primeira característica acontece, de acordo com Duval

(2003) por dois motivos; primeiro porque as formas de tratar os objetos matemáticos

dependem necessariamente do sistema de representação utilizado. Como

32

exemplificou Duval (2003, p.13) “o sistema de numeração decimal de posição

oferece mais possibilidades que os sistemas grego ou romano de numeração”.

Segundo porque, como já foi dito, o acesso aos objetos matemáticos é complexa e

somente perceptível ou observável com a ajuda de instrumentos e representações.

A segunda característica é claramente perceptível no primeiro contato

com a matemática, a gama de representações em matemática é imensa. “Além dos

sistemas de numeração, existem as figuras geométricas, as escritas algébricas e

formais as representações gráficas e a língua natural, mesmo se ela é utilizada de

outra maneira que não a da linguagem corrente” Duval (2003, p.14).

Sendo assim, ante essa diversidade, Duval (2003) desenvolve uma

classificação para os registros de representação (a qual podemos verificar no quadro

que segue) em registros multifuncionais, que podem ser de representação discursiva

ou não discursiva e registros monofuncionais que também podem ser classificados

da mesma maneira, em registros de representação discursiva ou não discursiva.

Figura 2 – Quadro de registros de representações por Duval. Fonte: Duval (2003, p. 14).

Essa classificação permite Duval a chegar na conjectura definitiva de sua

teoria definindo assim a maneira propícia de se tratar de forma eficaz, a

compreensão em matemática. Esta hipótese ou conjectura pode ser encontrada em

Duval (2003, p. 14, 15):

A originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação [...] Podemos então antecipar a hipótese, ou, em linguagem matemática, ‘conjecturar’ o seguinte: a compreensão em matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações semióticas. (DUVAL, 2003, p. 14, 15).

33

Ou seja, a atividade cognitiva em matemática, se dá de forma plena e

através da manipulação dos mais variados registros, o que facilita a aquisição de um

conceito. Ao lidar com essas várias representações de um mesmo objeto

matemático e saber proporcionar interações entre eles, respeitando suas naturezas,

o aluno pode vir a ter uma efetiva compreensão daquele objeto que está sendo

representado. Tudo depende também do estímulo dado pelo professor para que haja

um contexto propício a essas manipulações dos registros. Vale lembrar também que

não se deve confundir um objeto e sua representação, ou seja, eles não são a

mesma coisa.

Há duas formas de se executar essas manipulações/transformações de

registros, considerando, que ao se deparar com uma informação, conceito a ser

adquirido ocorre “a formação de representação dentro de um registro semiótico

particular, seja pela expressão de uma representação mental, seja pela evocação de

um objeto real” (SANTOS, 2011, p.22). As transformações podem ser tratamentos

ou conversões.

[...] essas atividades relacionam-se à capacidade de transformar essa representação em outras que possam preservar o conteúdo da representação inicial. Essa transformação pode ocorrer dentro do mesmo registro, ou de um registro para outro. Ao primeiro caso, Duval chama de tratamento; ao segundo, de conversão. (Santos 2011, p.22, 23)

Abaixo temos o esquema desenvolvido por Duval (2003) para exemplificar

essa diferença:

Figura 3 – Esquema para diferenciação de tratamentos e conversões por Duval. Fonte: Duval (2003, p. 15).

34

Um tratamento é a transformação de uma representação que acontece

permanecendo no mesmo registro, como um ato de resolver uma equação ou um

sistema de equações. Já a conversão é a transformação de uma representação que

consiste em mudar de registro, obviamente sem alterar a natureza do objeto; um

exemplo, digamos que primordial ao nosso trabalho como veremos adiante, seria

passar uma equação de sua escrita algébrica para sua representação gráfica.

(DUVAL, 2003)

As duas transformações tem um grande poder no entendimento da

matemática por parte do indivíduo o qual se objetiva ensinar, e esse poder vem do

seguinte fato que ao transitar entre registros de representação de um mesmo objeto,

fica claro que o entendimento do que é este objeto está preciso; não há a possível

confusão entre o objeto e sua representação. A obtenção dessa distinção e a

manipulação das representações demonstram então que o indivíduo percebe a real

natureza de um objeto.

De acordo com a inferência acima, fica um pouco mais claro que uma

dessas transformações é mais eficaz que a outra no entendimento de um objeto

matemático.

De acordo com Duval (2003) é a conversão que toma um papel de

atividade de transformação fundamental à condução de todos mecanismos

subjacentes à compreensão.

É claro que o tratamento tem o seu valor cognitivo uma vez que também é

uma fuga ao enclausuramento de um objeto em uma representação. Contudo a

conversão por permitir trabalhar com o objeto em registros diferentes, possibilita

perceber todo o conteúdo diferenciado advindo destes registros (de natureza

desigual) e reconhecê-lo como conteúdo de natureza do objeto.

Assim, para Duval (2003) deve-se realizar a atividade de conversão de

forma correta para resultados satisfatórios; não ver a conversão como uma simples

tradução, codificação ou associação entre nomes, símbolos e figuras, como por

exemplo, passar de uma equação à sua representação gráfica se valendo apenas

de uma codificação em que seria suficiente aplicar uma regra tabelada a qual um

ponto está associado a um par de números sobre um plano quadriculado por dois

eixos graduados. Isso se caracterizaria apenas como uma atividade superficial, pois

esta codificação permitiria apenas uma leitura pontual das representações gráficas.

35

Na realidade, a conversão entre gráficos e equações supõe que se consiga levar em conta, de um lado, as variáveis visuais próprias dos gráficos (inclinação, intersecção com os eixos, etc.) [sendo estas de natureza própria desta representação] e, de outro, os valores escalares das equações (coeficientes positivos ou negativos, maior, menor ou igual a 1, etc.) [estas de natureza da representação algébrica] [...] São essas variáveis que permitem determinar quais as unidades de significados pertinentes, que devem ser levadas em consideração, em cada um dos dois registros. (DUVAL, 2003, p. 17)

Entende-se aqui por fim, e com base nesse aparato teórico, que a

atividade matemática de cognição está sim, intimamente ligada com a manipulação

de registros, sendo a principal a de conversão, como foi explicitado assim,

permitindo reconhecer o objeto e os diferencia-lo de suas representações.

Esse reconhecimento é a condição fundamental para que um aluno possa, por si próprio, transferir ou modificar formulações ou representações de informações durante a resolução de um problema. Essa condição supõe que ele não identifica mais os objetos matemáticos com os conteúdos de certas representações. (DUVAL, 2003, p.23).

E, mais além, percebemos que, a base teórica de Duval nos leva a outras

reflexões que não se referem propriamente ao aspecto cognitivo do aluno. O que

queremos dizer é que ela nos faz pensar sobre o papel primordial, o funcionamento

e a constituição de um sistema de representação que rege a construção dos

saberes, no nosso contexto, saberes matemáticos.

2.3 TRANSFORMAÇÕES LINEARES: ALGUNS CONCEITOS

Sendo o objeto de estudo deste trabalho o ensino de transformações

lineares e de transformações geométricas, é necessário observar alguns conceitos

importantes para a eficácia do entendimento das atividades propostas.

Assim, baseado em Steinbruch e Winterle (1987), abaixo vejamos um

resumo destes conceitos.

2.3.1 Transformações Lineares

Transformações lineares é a definição dada a um tipo de aplicação onde o

domínio e o contra domínio são espaços vetoriais reais, assim tanto a variável

independente quanto a variável dependente são vetores, assim são consideradas

funções vetoriais, mais precisamente funções vetoriais lineares.

36

Simbolicamente, uma transformação do espaço vetorial no espaço

vetorial , é definida por . Sendo uma função, temos por definição, que

cada elemento (vetor) tem somente um vetor imagem , o qual é

indicado por .

Para caracterizar uma transformação como linear, esta deve obedecer

duas condições.

2.3.2 Definição

Sejam e espaços vetoriais, uma aplicação é chamada de

transformação linear se preserva as operações de adição e multiplicação por

escalar, isto é, satisfaz as seguintes condições:

i) Para quaisquer , .

ii) Para todo e para todo , .

No caso de , ou seja, , temos que é um operador

linear.

Exemplo:

, , é linear.

Prova:

i) Sejam e vetores genéricos de .

Então:

ii) Para todo e para qualquer , tem-se:

37

2.3.3 Transformações Geométricas

Um exemplo de transformações lineares, que será importante para nossa

pesquisa são as transformações geométricas. Vejamos abaixo um resumo deste

conceito.

Seja um plano. Definimos uma transformação geométrica no plano

como sendo uma função de em que associa cada ponto do plano um ponto

de , denotado por . Para chamamos imagem de por . Em

particular, se é uma figura no plano, a imagem de por é o conjunto de pontos

imagens de , denotado por .

Este assunto será importante para o desenvolvimento de nossa pesquisa,

pois servirá para criar as atividades e consequentemente ajudar na introdução do

conceito de transformações lineares. Passamos agora a detalhar algumas

transformações que serão detalhadas na seqüência de atividades.

2.3.3.1 Reflexões

Pode-se entender por reflexão como sendo a transformação de figuras

em imagens num espelho, por isso que muitas vezes é chamada de espelhamento.

Geometricamente temos dois tipos de reflexões: a reflexão em relação a um ponto e

a reflexão em relação a uma reta.

Na primeira a reflexão em relação a um ponto A, a reflexão aplicada a um

ponto gerará um ponto , tal que seja ponto médio do segmento . Já a

segunda, teremos uma reflexão em relação a reta , onde a transformação aplicada

a um ponto gerará um ponto de tal forma que a reta seja mediatriz do

segmento .

Para analisar de forma algébrica a reflexão em torno de uma reta, vamos

pensar nela em torno dos eixos coordenados (Figura 4). Na reflexão do ponto

em relação ao eixo das ordenadas, observamos que o ponto

, pois teremos o eixo das ordenadas sendo a bissetriz do segmento . De

forma semelhante a reflexão do ponto em relação ao eixo das abscissas,

de modo que neste caso a relação entre as coordenadas será .

38

Figura 4 – Reflexões em relação aos eixos coordenados. Fonte: Internet.

Análogo a idéia de reflexão em transformações geométricas, também

temos nas transformações lineares, uma vez que esta tranformação é considerada

também linear, podendo então ser representada também sob a ótica deste objeto

matemático.

a) Reflexões em torno do eixo

A reflexão em torno do eixo é uma transformação linear que leva cada

ponto para a sua imagem , que é simétrica em relação ao eixo .

Sendo assim, essa transformação pode ser representada simbolicamente

por:

ou

Na figura 5, temos um exemplo geométrico do que acontece com um

ponto sob esta transformação linear.

39

Figura 5 – Exemplo de reflexão em torno do eixo . Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)

b) Reflexões em torno do eixo

A reflexão em torno do eixo é uma transformação linear que leva cada

ponto para a sua imagem , logo, é simétrica em relação ao eixo .

Simbolicamente, pode ser representada por:

ou

Um exemplo do que ocorre geometricamente pode ser verificado na figura

6, seguinte.

40

Figura 6 – Exemplo de reflexão em torno do eixo . Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)

c) Reflexões em torno da origem

A reflexão em torno do eixo é uma transformação linear que leva cada

ponto para a sua imagem , logo, modifica as duas coordenadas,

criando uma imagem simétrica em relação à ambas.

Simbolicamente, pode ser representada por:

ou

Exemplo na figura 7.

41

Figura 7 – Exemplo de reflexão em torno da origem. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.196)

2.3.3.2 Dilatações e contrações

Nas transformações geométricas as dilatações e contrações são

consideradas homotetias4, pois elas ampliam ou reduzem as figuras no sentido

horizontal ou no vertical.

Para estas transformações temos deformações na direção do eixo x de

acordo com uma constante , e na direção do eixo y conforme uma constante .

Dessa forma, as coordenadas do ponto P’ obtido a partir de P são dadas por:

Análogo a idéia de dilatação e contração em transformações geométricas,

também este tipo de transformação sob a ótica das transformações lineares, que

veremos em seguida.

4São transformações geométricas que geram ampliações e reduções no tamanho de figuras do

plano.

42

a) Dilatações (ou contrações) na direção do vetor

Esse tipo transformação linear leva cada vetor do plano num vetor

de mesma direção e sentido de , que seria sua imagem, porém vezes maior

(ou menor). É também chamada de dilatação ou contração uniforme.

Pode ser representada por:

ou

Exemplo abaixo, figura 8.

Figura 8 – Exemplo de dilatação uniforme. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.198)

Pode-se verificar, de acordo com a natureza desta transformação, que:

se , é uma dilatação;

se , é uma contração;

se , é a identidade ;

se , troca o sentido do vetor, análogo à reflexão em torno da origem;

43

b) Dilatação (ou contração) na direção do eixo x.

Esse tipo transformação linear leva cada vetor do plano num vetor

de mesmo sentido de , que seria sua imagem, porém alterando apenas sua

coordenada , em vezes.

É representada por:

ou

Exemplo gráfico abaixo, na figura 9, considerando

e .

Figura 9 – Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo . Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.198)

É observável que:

se , é uma dilata o vetor;

se , é uma contrai o vetor.

c) Dilatação (ou contração) na direção do eixo y.

Esse tipo transformação linear é análoga à dilatação (ou contração),

porém alterando apenas sua coordenada , em vezes.

44

É representada por:

ou

Exemplo gráfico abaixo, na figura 10, considerando

e .

Figura 10 – Exemplo de contração e dilatação na direção do eixo . Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.199)

A diferença em uma dilatação ou contração em é análoga à diferença

em uma dilatação ou contração em .

45

2.3.3.4 Cisalhamentos

Nas transformações geométricas o cisalhamento também é uma

homotetia, pois provoca um deslocamento horizontal ou vertical nos ponto de um

plano, de forma que as figuras geométricas são deformadas.

A relação entre as coordenadas de um ponto qualquer do plano, e as

coordenadas de , imagem do ponto pela transformação de cisalhamento

horizontal é dada por:

Onde é o ângulo em relação ao eixo dos . Analogamente, o

cisalhamento vertical é dado por:

Análogo a idéia de cisalhamento em transformações geométricas, sob a

ótica das transformações lineares, temos abaixo:

a) Cisalhamento na direção do eixo

Essa transformação linear consiste na modificação da primeira

coordenada do vetor , substituindo-a por uma combinação linear específica de

e , tal qual .

É representada por:

ou

46

Graficamente abaixo (figura 11):

Figura 11 – Exemplo de cisalhamento na direção do . Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.200).

O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no

paralelogramo OAP’B’, de mesma base e altura. É observável que cada ponto ,

se desloca paralelamente ao eixo até chegar em . Tem-se ainda que o

mesmo não acontece para os pontos do próprio eixo , uma vez que para eles

temos .

b) Cisalhamento na direção do eixo .

É análogo ao cisalhamento na direção do eixo , contudo com todas as

suas mudanças relacionadas ao eixo . É dado por:

ou

47

2.3.3.5 Rotações

Uma rotação fica determinada por um sentido (horário ou anti-horário) e

por um ângulo de giro. Desta forma, para que a rotação fique inteiramente definida e

caracterizada precisamos indicar o ângulo de giro e o centro da rotação. Quando o

centro da rotação estiver definido, é fácil notar que é o único ponto que, quando

aplicada a transformação, não mudará de lugar, por isso chamado de ponto fixo.

Analisando de forma algébrica, dado um sistema de coordenadas de

origem , a rotação de centro e ângulo transforma o ponto no ponto

com:

Análogo a idéia de rotação em transformações geométricas, também

temos nas transformações lineares, que veremos em seguida.

A rotação de um plano dado é um tipo de transformação linear que

permite a cada ponto deste plano descrever um ângulo .

Pode ser representado por:

ou

Geometricamente na figura 12 (considerando os vetores e

:

48

Figura 12 – Exemplo de rotação. Fonte: Steinbruch e Winterle (1987, p.201).

49

3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Este conjunto de atividades está focado nas ideias dos registros de

representação semiótica e suas conversões e na possibilidade destas atividades

serem utilizadas em uma aula introdutória ao conceito do objeto matemático

transformações lineares, utilizando como exemplificações as transformações

geométricas, uma vez que, como já foram mostradas, algumas destas são tipos de

transformações lineares. Nestas atividades são trabalhados alguns tipos de registros

de representação e a conversões entre eles.

Uma vez que o interesse está nos tipos de representação menos usuais,

as atividades são focadas de forma mais incisiva na conversão entre o tipo de

representação discursiva e o de não discursiva, a qual será utilizada a conversão

entre registros monofuncionais que se caracteriza partindo do meio

algébrico/numérico/simbólico para o meio gráfico, e vice-versa, através de atividades

desde a construção de figuras até sua manipulação, partido do sistema algébrico,

através de reflexões, rotações e deformações, ou seja, as propostas de

transformações geométricas de uma figura.

Terá uso também, outros tipos de conversões e representações como

atividades complementares e, com isso, válidas, para o entendimento do objeto,

para por fim, alicerçar uma introdução ao conceito de Transformações Lineares e

suas implicações no plano.

Assim, são propostas estas atividades, afim o professor conduza o aluno

à percepção das relações entre os registros e da visualização do concreto para

entender o conceito de transformações lineares e as transformações geométricas.

3.1 ATIVIDADE 1

Título: O conceito de transformação linear.

Objetivo: Perceber as duas condições necessárias para uma transformação ser

linear e ainda uma interpretação geométrica do significado desse tipo de

transformação.

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

50

Procedimento:

Dados os vetores e , resolva Parte I e Parte II desta atividade.

Parte I

a) Determine o cálculo da adição .

b) Utilize o GeoGebra para representar graficamente os vetores , e .

c) Agora multiplique a matriz

pelos os vetores , mudando a

simbologia dos novos vetores.

d) Ainda na mesma janela GeoGebra e represente graficamente os vetores

obtidos no item anterior.

e) Efetue a adição entre os vetores correspondentes à multiplicação da matriz

dada e os vetores e , e represente o resultado no GeoGebra.

f) Descreva, com palavras, que efeito geométrico ocorre nos vetores, nos itens

c) e e).

Parte II

a) Determine o cálculo da multiplicação .

b) Utilize o GeoGebra para representar graficamente os vetores e .

c) Multiplique a matriz

pelos vetores e , mudando a simbologia dos

novos vetores.

d) Abra uma nova janela no GeoGebra e represente os dois vetores encontrados

no item anterior.

e) Multiplique também por o vetor correspondentes à multiplicação da matriz

dada e o vetor e represente o resultado no GeoGebra.

f) Descreva, com palavras, que efeito geométrico ocorre nos vetores, nos itens

c) e e).

Obs.: Esta atividade está dividida em duas partes para uma explanação melhor do

assunto envolvido: Parte I e Parte II.

51

Quadro 1 – Quadro de Conversões da Atividade 1.

Quadro de Conversões

Item Situação Tipo de conversão ou

tratamento

Item “a”

Vetores dados para a

efetuação de cálculos

entre eles e,

consequentemente,

resultarem em novos

vetores.

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva

Item “b”

Vetores dados para a

construção de uma

figura geométrica.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro multifuncional de

representação não discursiva

Item “c”

Vetores dados para

calcular uma

multiplicação por uma

matriz resultando em

um vetor

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva

Itens “d” e “e”

Vetores dados para a

construção de uma

figura geométrica.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro multifuncional de

representação não discursiva

Item “f”

Análise da modificação

visualizada

geometricamente para

expressão em língua

materna

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação não discursiva

para o registro multifuncional

de representação discursiva

Fonte: Quadro produzido pelos autores.

Com relação aos objetivos específicos, nos itens “a”, “b”, “c” e “d” de cada

parte pretende-se verificar se o aluno demonstra domínio na coordenação entre os

52

registros simbólico-algébrico, gráfico e numérico-tabular, além de representar por

meio do GeoGebra como os vetores se relacionam geometricamente a partir das

operações que ocorrem entre eles. No item “e” pretende-se que o aluno expresse

em língua natural o efeito geométrico que ocorre a partir das imagens geradas pelo

GeoGebra, partindo de uma conversão de registro gráfico para linguagem natural.

Pretende-se ainda com esta atividade mostrar para o aluno a definição de

uma transformação linear na sua forma geométrica, isto é, utilizando a ferramenta

GeoGebra, mostrar como a representação geométrica dos vetores mantém

preservado a soma e a multiplicação por escalar quando efetuamos a

transformação, pois normalmente o aluno se depara só com sua forma algébrica em

sala de aula.

Para executar esses objetivos devemos utilizar o GeoGebra e para isto

seguiremos os procedimentos abaixo:

Passo 1: Resolução no GeoGebra do item “b” da “Parte I”

Nesta etapa vamos utilizar os vetores , e para serem

representados graficamente no GeoGebra. Com o GeoGebra aberto inserimos no

campo entrada os valores de cada vetor: , , . Depois

desta etapa teremos a seguinte imagem:

53

Figura 13 – Representação geométrica dos vetores , e . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Obs.: O vetor que é obtido no item “a” foi representado pelo vetor para

facilitar o prosseguimento da atividade.

Passo 2: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte I”

Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os

valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a

seguinte simbologia: e .

Já com o GeoGebra na tela inserimos no campo entrada os valores

destes vetores: , e . A imagem formada será a

seguinte:

54

Figura 14 – Representação geométrica dos vetores e e dos vetores , e .

Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Assim, ao efetuar a adição requerida no item “e” este novo vetor será idêntico ao

vetor , logo será visível que ; sendo possível ao professor introduzir a ideia

de conservação da adição para as Transformações Lineares.

Passo 3: Resolução no GeoGebra do item “b” da “Parte II”

Abrindo uma nova janela do GeoGebra vamos inserir no campo de

entrada os valores dos vetores e . Este último é obtido a partir do item “a” da

“Parte II”.

Com o GeoGebra aberto inserimos no campo entrada os valores de cada

vetor: e . A figura formada será a seguinte:

55

Figura 15 - Representação dos vetores e . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Obs.: Neste procedimento o vetor é representado pelo vetor para facilitar o

prosseguimento da atividade.

Passo 4: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte II”

Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os

valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a

seguinte simbologia: e .

Então com a janela do GeoGebra na tela iremos inserir no campo de

entrada os valores dos vetores: e . A figura formada será a

seguinte:

56

Figura 16 - Representação dos vetores e e dos vetores e . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Assim, ao efetuar a multiplicação requerida no item e) este novo vetor

será idêntico ao vetor , logo será visível que ; sendo possível ao professor

introduzir a ideia de conservação da multiplicação por escalar para as

Transformações Lineares.

Neste passo a passo fica visível para o aluno e para o professor como os

vetores atuam geometricamente em uma transformação linear, além de proporcionar

a visualização do que define este objeto matemático, pois analisando as imagens

fornecidas observamos que a adição e a multiplicação por escalar dos vetores

permanecem preservados.

3.1.1 Contraexemplo

Objetivo: A partir do comando da atividade anterior provaremos, por um

contraexemplo, quando uma determinada sentença não é uma transformação linear.

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

Procedimento:

57

Dados os vetores e , resolva utilizando os comandos

da parte i da atividade 1, no entanto, no item “c” utilize a matriz

.

Passo 1: Resolução no Geogebra do item “b” da “Parte I”

Nesta etapa vamos utilizar os vetores , e para serem

representados graficamente no GeoGebra. Com o GeoGebra aberto inserimos no

campo entrada os valores de cada vetor: , , . Depois

desta etapa teremos a seguinte imagem:

Figura 17 – Representação geométrica dos vetores , e (contraexemplo). Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Obs.: O vetor que é obtido no item “a” foi representado pelo vetor para

facilitar o prosseguimento da atividade.

Passo 2: Resolução no GeoGebra do item “d” da “Parte I”

Neste passo iremos inserir, na mesma janela do passo anterior, os

valores dos vetores obtidos no item “c”. Para este procedimento foi utilizado a

seguinte simbologia: e .

58

Já com o GeoGebra na tela inserimos no campo entrada os valores

destes vetores: , e . A imagem formada será a

seguinte:

Figura 18 – Representação geométrica dos vetores e e dos vetores , e (contraexemplo).

Fonte: Imagem produzida pelos autores

A partir da interpretação geométrica da figura 18 fica visível que não

ocorre a preservação da adição, logo a sentença que é estudada não é uma

transformação linear.

3.2 ATIVIDADE 2

Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de

contração/dilatação.

Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do

tipo transformação geométrica de contração/dilatação e perceber os padrões

numéricos utilizados, afim representar essa transformação sob a simbologia das

transformações lineares.

59

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

Procedimento:

Dado o vetor , faça o seguinte:

a) Multiplique por a abscissa do vetor .

b) Multiplique por a abscissa do vetor .

c) Agora utilizando o GeoGebra represente na mesma janela o vetor e os

vetores formados no item “a” e “b”.

d)

e) Descreva, com palavras, que efeito geométrico nota-se com a figura do item

“c” quando multiplicamos por e depois por a abscissa do vetor .

Quadro 2 – Quadro de Conversões da Atividade 2. (continua).

Quadro de Conversões

Item Situação Tipo de conversão ou

tratamento

Item “a”

Vetor dado para a

efetuação de cálculo

com um escalar.

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva.

Item “b”

Vetor dado para a

efetuação de cálculo

com um escalar.

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva.

Item “c”

Vetores dados para a

construção de uma

figura geométrica.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro multifuncional de

representação não discursiva.

60

Quadro 2 – Quadro de Conversões da Atividade 2. (conclusão).

Item “d”

Análise da modificação

visualizada

geometricamente para

expressão em língua

materna

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação não

discursiva para o registro

multifuncional de

representação discursiva.

Fonte: Quadro produzido pelos autores.

Com relação aos objetivos específicos, nos itens “a” e “b” pretende-se que

o aluno faça um tratamento com o registro simbólico-algébrico a partir do vetor e

dos dados fornecidos. No item “c” pretende-se, com o uso do GeoGebra,

estabelecer uma conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico do vetor u,

com o intuito do aluno observar como a formato de um vetor se apresenta quando

modificamos sua abscissa. Como conseqüência desta visualização, o item “d”

consiste que o aluno expresse em língua materna o efeito geométrico que ocorre

com a modificação da primeira coordenada do vetor, partindo da conversão do

registro gráfico para a linguagem materna.

Para executar esses objetivos devemos utilizar o GeoGebra e para isto

seguiremos os procedimentos abaixo:

Depois de ter resolvido os itens “a” e “b” iremos abrir uma janela do

GeoGebra e no campo entrada inserir os valores de cada vetor. A figura formada

será a seguinte:

61

Figura 19 – Representação geométrica dos vetores , e . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

A partir da visualização desta imagem o aluno poderá resolver o item “d”

da atividade.

3.3 ATIVIDADE 3

Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de reflexão.

Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do

tipo transformação geométrica de reflexão e perceber os padrões numéricos

utilizados, afim representar essa transformação sob a simbologia das

transformações lineares.

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

Procedimento:

Dada a elipse de equação .

a) Encontre os focos desta elipse.

62

b) Com os focos determinados, construa uma elipse no GeoGebra, tendo um 3º

ponto de referência

c) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor da 1ª coordenada de

cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.

d) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor da 2ª coordenada de

cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.

e) Descreva o que acontece com ao mudarmos o valor das duas coordenadas

de cada um dos nossos pontos de referência para seus simétricos.

f) Como podemos descrever isso através da simbologia das Transformações

Lineares?

Quadro 3 – Quadro de Conversões da Atividade 3 (continua)

Quadro de Conversões

Item Situação Tipo de conversão ou

tratamento

Item “a”

Da equação dada ao

encontro de dois termos

componentes desta

equação: os focos.

Tratamento de registro

monofuncional de

representação discursiva.

Itens “c”, “d” e ”e”

Modificações algébricas

nos vetores para

modificação da figura

geométrica e sua

consequente

visualização.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro monofuncional de

representação não discursiva.

Itens “c”, “d” e ”e”

Análise da modificação

visualizada

geometricamente para

expressão em língua

materna.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação não discursiva

para o registro multifuncional

de representação discursiva.

63

Quadro 3 – Quadro de Conversões da Atividade 3 (conclusão)

Item “f”

Da observação do padrão

das mudanças algébricas

para a uma modelo

matemático desse padrão.

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva.

Fonte: Quadro produzido pelos autores.

No item “a” a finalidade é rever os conceitos de Geometria Analítica, no

caso a elipse, já sabidos pelo aluno como forma à torná-los uma espécie de zona de

conforto a ele, e para que ele possa construir a elipse que servirá de objeto para a

representação das transformações. Os itens “b”, temos o aperfeiçoamento da

utilização do GeoGebra, com a utilização de mais uma de suas ferramentas. Os

itens “c”, “d” e “e”, podem possibilitar que o aluno visualize graficamente o ocorrido

através das mudanças de valores dos pontos, e descreva este ocorrido, convertendo

esta visualização para sua linguagem materna. O item “f” tem por objetivo que o

aluno descreva, agora, simbólico-algebricamente a mudança e por fim realiza a

modelagem do conceito de uma transformação linear, que seria a reflexão, sob

seus três aspectos.

Para execução de tal atividade no GeoGebra, devemos primeiramente

inserir os focos encontrados (aqui chamaremos de e ) e o ponto dado ( ),

através do Campo de Entrada. Feito isso, utilizando a ferramenta “Elipse”, devemos

construir a elipse, selecionando os pontos criados. A elipse ficará assim dependente

dos pontos, o que possibilitará a visualização de sua movimentação. O esperado

está na figura 20, seguinte.

64

Figura 20 – Construção da 1ª elipse. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Esta elipse servirá como ponto de referência para as modificações e

comparações; assim deve-se deixar esta fixa e criar uma nova elipse (da mesma

forma e com os mesmos valores, aqui chamados de e ). Caso haja

alguma dificuldade em criar a nova elipse sobre a anterior, sugestionamos, apenas

no momento da criação, ocultar os objetos antigos (botão direito sobre o objeto e em

seguida a opção “Exibir objeto”).

O resultado está na figura seguinte, quase imperceptível graficamente.

65

Figura 21 – Construção da 2ª elipse (sobre a 1ª). Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Pode ocorrer uma irrisória variação em algum termo da equação da nova

elipse em relação à antiga; isso ocorre devido a imprecisão do mouse ao construir a

segunda de forma idêntica à primeira. Essa variação, contudo, não afetará os

resultados.

Após essa criação, deve-se modificar as coordenadas da nova elipse

como pedido no item “c”. Isso pode ser feito inserindo os valores diretamente no

campo de entrada ou na janela algébrica (lado esquerdo) dando um duplo-clique no

item que se quer modificar. Após as devidas modificações, a imagem será a descrita

pela figura 22 seguinte.

66

Figura 22 – Reflexão em torno do eixo . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Aqui temos uma importante conversão, a qual ocorre quando

manipulamos as variáveis algébricas em virtude da visualização geométrica do

objeto, que é afetado pela transformação linear plana de reflexão em torno do eixo .

O mesmo ocorre nos itens “d” (reflexão em torno do eixo ) e “e” (reflexão em torno

da origem) as quais as figuras 23 e 24 respectivamente descrevem o ocorrido.

67

Figura 23 – Reflexão em torno do eixo . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Figura 24 – Reflexão em torno da origem. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Por fim, após essas visualizações, o esperado é que o aluno perceba os

padrões nas mudanças e os descreva algebricamente, sob os conceitos de

transformações lineares.

68

3.4 ATIVIDADE 4

Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de

cisalhamento.

Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do

tipo transformação geométrica de cisalhamento e perceber os padrões numéricos

utilizados, afim representar essa transformação sob a simbologia das

transformações lineares.

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

Procedimento:

Dados os vetores , e ; ou , e

.

a) Utilizando o GeoGebra, verifique que figura geométrica é formada pelas

extremidades destes vetores?

b) Descreva agora o que acontece se substituirmos a 1ª coordenada de cada

vetor pelo valor de ? E de ? E de ?

Quadro 4 – Quadro de Conversões da Atividade 4 (continua)

Quadro de Conversões

Item Situação Tipo de conversão ou

tratamento

Item “a”

Vetores dados para a

construção de uma

figura geométrica com

suas extremidades.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro multifuncional de

representação não discursiva

69

Quadro 4 – Quadro de Conversões da Atividade 4 (conclusão)

Item “b”

Modificações algébricas

nos vetores para

modificação da figura

geométrica e sua

consequente

visualização

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro monofuncional de

representação não discursiva

Item “b”

Análise da modificação

visualizada

geometricamente para

expressão em língua

materna

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação não discursiva

para o registro multifuncional

de representação discursiva

Fonte: Quadro produzido pelos autores.

Especificamente falando, temos no item “a” a finalidade de verificar se o

estudante determina a imagem geométrica de um objeto, partindo da forma

simbólico-algébrica, através dos conceitos de vetores e a utilização do GeoGebra; e

no item “b”, o objetivo é proporcionar ao aluno a visualização do que acontece com o

objeto geométrico a partir da substituições dos valores da primeira coordenada.

Para executar esses objetivos, devemos seguir os seguintes

procedimentos:

No item “a” devemos inserir os valores dos vetores dados no campo de

entrada do GeoGebra.

O esperado, após inserirmos os vetores no GeoGebra, podemos ver na

figura seguinte.

70

Figura 25 – Inserção dos três vetores. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Para resolver efetivamente o item “a”, temos então que utilizar ferramenta

“Polígono” e construir o polígono utilizando as extremidades e a origem dos vetores

como vértices desse polígono, resultando na figura abaixo

Figura 26 – O polígono descrito pelas extremidades e origem dos vetores. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

71

.Temos então um quadrado formado pelas extremidades e a origem dos

vetores. Esse primeiro item funciona apenas para construção do nosso registro

gráfico inicial, servindo como introdução à questão principal, o item “b”. Para

resolução desse item, temos que modificar, através do campo de entrada, os valores

da 1ª coordenada de cada vetor pelo valor de de suas coordenadas.

Temos então, como resultado esperado, uma deformação do quadrado, o

“transformando” em um paralelogramo como mostra a figura abaixo.

Figura 27 – Efeito do cisalhamento . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Aqui podemos encontrar preciosas conversões entre o registro algébrico

e o registro gráfico, pois, através da manipulação algébrica temos a visualização

geométrica do ocorrido.

De mesma forma executamos as outras mudanças da 1ª coordenada em

(figura 28) e (figura 29).

72

Figura 28 – Efeito do cisalhamento . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Figura 29 – Efeito do cisalhamento . Fonte: Imagem produzida pelos autores.

73

Por fim, é esperado que o aluno possa chegar a conclusão de que há

uma deformação padrão no objeto geométrico, e de forma horizontal, através da

variação dos valores que multiplicam “y” somados ao valor de “x”, na substituição da

1ª coordenada; chegando à uma sentença matemática padrão, que vai se

caracterizar por ser um tipo de transformação linear plana; o cisalhamento.

3.5 ATIVIDADE 5

Título: Exemplo de transformação linear: a transformação geométrica de rotação.

Objetivo: Visualizar como ocorre geometricamente uma transformação linear, do

tipo transformação geométrica de rotação e perceber os padrões numéricos

utilizados, afim representar essa transformação sob a simbologia das

transformações lineares.

Material: Papel, lápis ou caneta e computador com o GeoGebra instalado.

Procedimento:

Utilizando o GeoGebra, execute os passos abaixo

a) Construa o vetor

b) Ainda no GeoGebra construa a matriz

e um

seletor de até , incremento de .

c) Multiplique agora a matriz pelo vetor (M1*u) e com o ponto

resultante crie um novo vetor .

d) Caminhe com o seletor por todos os seus pontos, verifique e descreva

o que acontece.

e) Faça essa multiplicação (com os valores do seletor) no papel e

verifique se há algum padrão que permita considerar essa operação

como uma transformação linear. Se sim, descreva-a simbolicamente.

74

Quadro 5 – Quadro de Conversões da Atividade 5

Quadro de Conversões

Item Situação Tipo de conversão ou

tratamento

Item “a”

Vetores dados para a

construção deste com

ferramenta.

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro multifuncional de

representação não discursiva

Itens “c” e “d”

Modificações algébricas

nos vetores para

modificação da figura

geométrica e sua

consequente

visualização

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação discursiva para

o registro monofuncional de

representação não discursiva

Itens “c” e “d”

Análise da modificação

visualizada

geometricamente para

expressão em língua

materna

Conversão entre o registro

monofuncional de

representação não discursiva

para o registro multifuncional

de representação discursiva

Item “e”

Da observação do

padrão das mudanças

algébricas para a uma

modelo matemático

desse padrão.

Tratamento no registro

monofuncional de

representação discursiva.

Fonte: Quadro produzido pelos autores.

Especificamente falando, do item “a” ao “c” tem por objetivo converter os

registros já conhecidos dos vetores e matrizes para o geométrico, com a utilização

da ferramenta, e com isso o aperfeiçoamento no uso desta.

Ainda em “c” e chegando em “d”, tem-se que estes itens podem

possibilitar que o aluno visualize graficamente o ocorrido através das mudanças de

valores dos pontos, e descreva este ocorrido, convertendo esta visualização para

sua linguagem materna.

75

O item “e” tem por objetivo que o aluno descreva, agora, simbólico-

algebricamente a mudança e o padrão e por fim realize a modelagem do conceito de

um transformação linear, que seria a rotação.

Para executar esta atividade deve-se primeiramente inserir o vetor no

GeoGebra, com resultado esperado na figura 30 abaixo.

Figura 30 – Primeiro vetor da atividade de rotação. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Deve-se então inserir a matriz dada, da seguinte forma

“ ” e o seletor na ferramenta “Seletor”.

Assim a imagem abaixo descreve o resultado esperado (figura 31):

76

Figura 31 - Criação do 1º vetor da atividade. Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Em seguida, ao multiplicar a matriz pelo vetor , o ponto é criado

sobre o ponto , e com este ponto deve-se criar um novo vetor . Assim, o primeiro

vetor servirá como comparação fixa às modificações ocorridas no segundo.

Após as movimentações no seletor temos os resultados abaixo (para 90°,

180°, 270°; 360º é a volta, o mesmo local do 0°):

77

Figura 32 - Modificações do no vetor (90º). Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Figura 33 - Modificações no vetor (180º). Fonte: Imagem produzida pelos autores.

78

Figura 34 - Modificações no vetor (270º). Fonte: Imagem produzida pelos autores.

Pode-se também, para uma melhor visualização da rotação, diminuir o

incremento deste e deixá-lo percorrer seus valores automaticamente, em “Animação

Ativada”.

Por fim, o item “e” permite perceber o padrão das multiplicações no vetor,

e assim definir o modelo de transformação linear plana de rotação.

79

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Há décadas existe a busca pela melhoria do ensino da Matemática, seja

através de pesquisas nesta área educativa e pedagógica, como através do

desenvolvimento de materiais educativos possibilitando novas formas de se ensinar

e repassar o conhecimento. Nesta perspectiva é que as tecnologias de informação e

comunicação estão sendo cada vez mais utilizadas e hoje se tornaram uma

realidade no processo de ensino-aprendizagem.

Com base nos estudos analisados, que foram base para a realização

desse trabalho, podemos afirmar que, apesar dos avanços e das tentativas de

incorporação de tecnologias de informação pelo ensino, ainda são muitos os

obstáculos a transpor pelas instituições e professores. Esses obstáculos vão desde

a necessidade de novas posturas por parte dos profissionais da educação,

mudanças curriculares nos cursos que formam esses profissionais e projetos que

respeitem e considerem os princípios de uma educação transformadora.

Acreditamos que a dinâmica oferecida não só pelo software GeoGebra,

como também por outros voltados para o ensino de Álgebra Linear e, também, para

a matemática em geral, podem contribuir significativamente para o desenvolvimento

da aprendizagem nessa área. Apesar das possibilidades oferecidas por esses

softwares, o ambiente lápis e papel e o uso de outras tecnologias serão

complementares e essenciais para o desenvolvimento da aprendizagem. Os tipos de

problemas propostos e a metodologia de trabalho do professor também serão

fatores determinantes para a aprendizagem dos alunos.

Por fim, esperamos que este trabalho tenha destacado a importância da

Teoria de Raymond Duval sobre os Registros de Representação Semiótica, aqui

visto no caso particular das transformações lineares e transformações geométricas.

E que possibilite a visualização de que é possível desenvolver novas propostas em

sala, aliando novas teorias com a utilização de tecnologias da informação.

Também esperamos com a futura aplicação destas atividades,

evidências suficientes para identificarmos quais conversões os alunos poderão ter

mais dificuldades e quais, de fato, podem trazer a compreensão conceitual do objeto

matemático em questão, para assim podermos trabalhar em cima de cada uma

delas.

80

Neste trabalho, foram abordadas apenas atividades de ensino referentes

a conhecimentos sobre transformações lineares, no entanto a aplicabilidade do

software abrange outros conhecimentos matemáticos, por isso surgirão pesquisas

futuras, como por exemplo, a elaboração de atividades para outros tópicos de

Álgebra Linear como autovalores e autovetores, ortogonalização e formas

quadráticas.

Salientamos que esta pesquisa é apenas o começo de futuras

investigações e pesquisas que pretendemos continuar realizando, na tentativa de

buscar contribuições para a aprendizagem Matemática que se processa nas

instituições de ensino.

Ressaltamos ainda que este trabalho possa servir de base para estudos e

pesquisas posteriores que venham propor uma transformação no processo de

ensino-aprendizagem, objetivando a construção de conceitos e consequentemente

uma aprendizagem significativa.

81

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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática

Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo 66113-200 Belém-PA

http://www2.uepa.br/ccse